By : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin ITS
1PistonSilinderSystem BoundaryGasGambar 1. Gas dalam pasangan
silinder pistonBAB 1PENDAHULUANDifinisi FluidaFluida adalah suatu
zat atau substansi yang akan mengalami deformasi secara kontinyu
bilaterkena gaya geser, walaupun gaya tersebut kecil
sekalipun.Sifatinitentusangatberbedadenganzatpadatdimanabilaterkenagayageserdapatterjadideformasi
tetapi tidak kontinyu.Contoh fluida : air, gas, minyak, uap
dsb.Ruang Lingkup Mekanika
FluidaDenganmenghayatimekanikafluidadiharapkandapatmengetahuiprinsip-prinsipataukonsepdasaryangdigunakanuntukmenganalisisataumendesainsuatumesinatauperalatanyangmemakai
fluida sebagai fluida kerjanya.Persamaan-Persamaan DasarPersamaan
dasar yang digunakan untuk menganalisis problem mekanika fluida
adalah :1. Hukum kekekalan massa.2. Hukum gerak Newton kedua.3.
Moment of momentum.4. Hukum pertama Thermodinamika.5. Hukum kedua
Thermodinamika.Model AnalisisAnalisisatau pemecahanmasalah,
terlebihdahuluharusditentukansistemyangakandianalisis. Untuk ini
digunakan sistem dan control volume.Sistemdan Volume
AturSistemadalahsejumlahmassayangtetapdanteridentifikasi,batassistemmemisahkan/membatasi
antara sistem dari sekelilingnya. Batas sistem bisa tetap ataupun
bergerak, namun tidakada massa yang melintasinya.Gambar 1
memperlihatkan gas yang ada didalam pasangan silinder-piston adalah
suatu sistem.By : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin ITS
2Control surfaceArah aliranPipaGambar 2. Aliran fluida melalui
pipaPadamatakuliahlainuntukmemecahkanmasalahbanyakmenggunakanpendekatanfreebodydiagram.Haltersebutlogiskarenaberhubungandenganbendakakuyangsudahjelasidentitasnya.Pada
mekanika fluida karena berhubungan dengan aliran fluida
melewatiperalatan
tertentumisal,pompa,kompresor,turbin,nozzledll.makasangatsulitmemfokuskanpadasuatumassayangteridentifikasi.Untukinilebihbaikbiladifokussuatuvolumeyangtetapdi
suaturuangdimana aliran fluida melaluinya. Analisis yang demikian
disebut pendekatan sistem volume
atur.Volumeatur(controlvolume)adalahsembarangvolumedisuaturuangandimanaairanfluida
melaluinya.PENDEKATAN DIFFERENTIAL DAN INTEGRALHukum-hukum dasar
dalam mekanika fluida diformalisasikan dalam persamaan
differentialdanintegral.Persamaandifferentialdiperlukanbiladiinginkansifat-sifatdetailsuatualiran.Sedangkan
persamaan integral digunakan untuk mendapatkan sifat-sifat global
dari suatu aliran.Methoda
DiskripsiMethodediskripsidigunakanbilajejakgerakansuatumassayangteridentifikasidapatdengan
mudah diikuti. Methode ini disebut juga dengan methoda diskripsi
Lagrange. PenggunaanmethodainimisalpadaHukum Newton II
untuksuatupartikeldenganmassatetapm.Secaramatematis hukum tersebut
dapat ditulis :a m F. = .Atau : ) ( . v md tdd tv dm F= = .Atau : )
( .2222r md tdd tr dm F= = .Dimana :F. = Gaya-gaya luar yang
bekerja pada sistem.a= Percepatan titik pusat massa sistemV=
Kecepatan titik pusat massa sistem.r= Posisi vektor pusat massa
sistem relatif terhadap suatu koordinat yang tetap.Dari kuliah
mekanika dasar diketahui bahwa :d tv da =dand td uax= ;d td vay= ;d
td waz=By : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin ITS 3d tr
dv= dand td xu = ;d td yv = ;d td zw =Contoh soal 1.1
:Sebuahboladilempartegakluruskeatasdengankecepatanawal30m/sec.Denganmengabaikantahananudara,hitungtinggimaksimumyangdicapaiboladanberapawaktuyangdibuthkan
untuk mencapai ketinggian maksimum.Jawab :Diketahui :Sebuah bola
dilempar vertikal keatas pada saat t = 0 , x = 0sec.0mi u v =sec.
30mi v = , abaikan tahanan udaraPenyelesaian :Rumus dasar :a m F. =
.x xa m F. = .22d tx dax= ;d td xu =Dari free body diagram
diperoleh :x xa m F. = .xa m g m W . . = - = -22. .d tx dm g m =
-Jadi :gd tx d- =22.Diintegralkan terhadap waktu : t gd td xd td xt
t.0- = -=Atau :t g ud td x.0- =xygvxygvBy : Heru MirmantoDiploma-3
Jurusan Teknik Mesin ITS 4Diintegralkan sekali lagi terhadap waktu
antara 0 dan t, diperoleh :20 0.21. t g t u x x - = -Atau :20.21. t
g t u x - =Ketinggian maksimum bisa dicapai bila 0 = =d td xuJadi :
t g ud td x. 00- = =Waktu yang diperlukan untuk mencapai ketinggian
maksimum :mxmgut81 , 9secsec3020= =sec 06 , 3max= tTinggi maksimum
yang dapat dicapai diperoleh dari :20.21. t g t u x - =
dengangut0=Jadigugugguu x2020 00 max2121=||.|
\|- =, )mxm81 , 9secsec30212222=m 9 , 45
=Contohsoalinidimaksudkanuntukmengingatkanpenggunaanmethodadiskripsidalamproblemamekanikapartikel.Ingatdisinibahwakecepatanuadalahfungsiwaktudalammethodediskripsi
ini.Kitamenyadaribahwafluidaterdiridarisangatbanyakpartikelyanggerakannyaharusdidiskripsikan.Mengikutijejakdarisetiappartikelmerupakansuatukesulitanyangbesar.
Olehkarenaitukitamencarisistemdiskripsiyanglain.Karenakitalebihseringberurusandengananalisisvolumeaturmakaakanlebihmudahkalaukitamemakaisistemdiskripsi
Euler.Methodadiskripsi Euler memfokuskan perhatiannya pada properti
aliran pada suatu titik yang telah
diketahuisebagaifungsidariwaktu.Jadimethodadiskripsimenyatakanpropertidarialiransebagaifungsidari
koordinat ruang dan waktu. Methoda inilah yang seterusnya lebih
bayak dipakai.By : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin ITS
5Dimensi dan Satuan (Unit)Istilah Dimensi
digunakanuntukmenyatakanbesaranyangdapatdiukur;besarantersebutmeliputi,
panjang, waktu, kecepatan dll.Didalam suatu sistem dimensi semua
besaranyang dapat diukur tersebut dapat dibagi menjadi duagroup,
yaitu Besaran Primer dan Besaran Sekunder.Besaran-besaran
primeradalah
sembarangskalapengukuranyangkitatetapkan;besaran-besaransekunderadalah
besaran-besaranyangdimensi-dimensinyadiekspresikandalambentukdimensi-dimensi
dari besaran primer.Sistim
DimensiKitamengenaltigasistimdimensidasarberdasarkantigacaramenspesifikasikandimensiprimer.
Sistim-sistim tersebut menggunakan dimensi primer sbb:1. Massa (M),
panjang (L), waktu (t), temperatur (T).2. Gaya (F), panjang (L),
waktu (t), temperatur (T).3. Gaya (F), massa (M), panjang (L),
waktu (t), temperatur
(T).Padasistim1,gaya(F)adalahdimensisekunder,konstantaproporsionalnyatidakberdimensi.Padasistim2,massa(M)adalahdimensisekunderkonstantaproporsionalnyatidakberdimensi.Sedangkanpadasistim3,gaya(F)danmassa(M)keduanyadipilihsebagaidimensiprimer.
Pada kondisi ini konstanta proporsionalnya gc.Sistim SatuanSI
adalah singkatandari SystmeInternational
dUnits,yangmerupakanpengembangansistim
metriktraditional.Sistimsatuan
SImemakaidimensiprimerantaralainsatuan massa(kg),satuan panjang
(m), satuan waktu (sec) dan temperatur adalah Kelvin (K).Gaya (F)
sebagai dimensi sekunder, untuk sistim satuan ini adalah Newton (N)
yang didapatdari Hukum Newton II sbb:2det. 11m kgN =Untuk satuan
absolut metrik (Absolut Metric System of Units), satuan massa
(gram), satuanpanjang (cm), satuan temperatur Kelvin (K).Satuan
gaya sebagai dimensi sekunder :2det. 11cm gd y ne
=Didalamsistimsatuan TheBritishGravitationalSystemofUnit,satuan
gayaadalahpound(lbf),satuan panjangfoot(ft),satuan waktudetik(sec)
dansatuan TemperaturadalahRankine(R).
Karenamassamerupakandimensisekunder,satuanmassaadalah slug
yangdidapatkan dari hukum Newton II sebagai berikut :ftlbslugf2sec
11 =By : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin ITS 6Di dalam
sistim satuan English Engineering (The English Engineering System
of Unit),satuan gayaadalahpoundforce(lbf),satuan
massaadalahpoundmass(lbm),satuan panjangfoot (ft), satuan waktu
detik (sec) dan satuan temperatur adalah Rankine (R). Karena massa
dangaya merupakan dimensi primer, maka hukum Newton II ditulis sbb
:cga mF= 1Yangdimaksuddengan Gaya1pound(lbf)
adalahbesarnyagayayangmemberikanpercepatan1poundmassa(lbm)sebesarpercepatangravitasibumi,32,1742secft.DarihukumNewton
II tampak bahwa :2sec174 , 32 11ft x lblbmf=2sec174 , 321fmclblb
ftg =Karena gaya 1 lbf mengakselerasikan massa 1 lbm sebesar
32,1742secft, hal ini berarti pula
bahwagaya1lbfmengakselerasikanmassa32,174lbmsebesar12secft.Satuslugjugadiakselerasikansebesar
12secftoleh gaya sebesar 1 lbf, jadi :1 slug =32,174 lbmContoh soal
1.2
:Densityataurapatmassaairraksadiketahuisebesar26,3slug/ft3.Hitung
beratspesifik(didalam lbf/ft3) dibumi dan dibulan (percepatan
gravitasi bulan gb= 5,47 ft/sec2). Volume spesifikdalam bentuk
m3/kg dan gravitasi spesifik air raksa.Diketahui :Hg= 26,3
slug/ft3.gb= 5,47 ft/sec2Pertanyaan :- Berat spesifik didalam
lbf/ft3dibumi dan dibulan.- Volume spesifik dalam bentuk m3/kg.-
spesifik gravitasi air raksa (SG).Jawab :Berat spesifik = =
gvolumebera t. =By : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin
ITS 7Volume spesifik =u1=Specific Gravity = SG =O H2=O H2 Properti
yang ada :Gbumi= 32,174 ft/sec2Gbulan= 5,47 ft/sec2H2O= 1,94
slug/ft3a. Berat spesifik air raksa dibumi=bumi bumig . =ft
sluglbfxftxftslug.sec .sec2 , 32 3 , 2622 3=3847ftlbf=(Ingat2sec1
1ftx slug lbf = )b. Volume spesifik air raksa
=u1=kglbmxlbmslugxftmxslugft4536 , 0 174 , 32) 3048 , 0 (3 ,
26333=kgmx3510 37 , 7-=c. Specific Gravity = SG =O H2=O H2 6 , 1394
, 13 , 2633= =slugftxftslugCatatan : Massa tidak tergantung dari
akselerasi gravitasi sehingga Vbumi= Vbulanatau
SGbumi=SGbulanMaksud soal ini untuk mengingatkan kembali definisi
density, berat spesifik, volumespesifik, spesifik gravitasi.By :
Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin ITS 8Contoh soal 1.3
:Diketahui: Suatu tekanan pada sistem SI adalah Pascal (Pa).Hitung
: Berapa besar tekanan tersebut dalam pounds force per square inch
(psi).Jawab :21 1mNPa =xlbmslugxkglbmxNm kgxmNPa174 , 32 4536 , 0
sec ..1 12 2=24210 45 , 1. 12. 0254 , 0.sec .inlbfxinchftxinch mxft
sluglbf-=2410 45 , 1 1inlbfx Pa-= atau kPainlbf89 , 6 12=By : Heru
MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin ITS 9BAB 2KONSEP- KONSEP
DASARFluida Sebagai
ContinuumSemuafluidaterdiridarikomposisimolekul-molekuldalamgerakankonstan.Bagaimanapunjugadidalampelaksanaannyakitalebihberkepentingandenganpengaruhrata-rataataupengaruhumumdarimolekul-molekultersebut.Pengaruhatauakibatumumdarimolekul-molekul
tersebut dapat diamati dan diukur. Sehingga fluida diperlakukan
sebagai zat atau
substansiyangdapatdipecah-pecahmenjaditakberhinggabanyaknya(sebagaicontinuum)dankitatidakberurusan
dengan sifat setiap
molekul.Konseptentangcontinuummerupakandasardarimekanikafluidaklasik.Akibatasumsibahwasuatufluidadiangapsebagaicontinuummaka,setiappropertidarifluidamempunyaihargatertentupadasetiaptitikdidalamruang.Sehinggapropertifluidasepertidensity,temperatur,kecepatan
dsb merupakan fungsi dari posisi danwaktu. Misal densityfluida pada
suatu titik dapatdidefinisikan sebagai berikut := ooo om'lim, ) t z
y x , , , =Medan
KecepatanAsumsifluidasebagaicontinuummemberikangambaranbahwasetiappropertimerupakanfungsi
dari posisi dan waktu. Untuk medan kecepatan dapat ditulis sbb :, )
t z y x V V , , ,
=Bilapropertydidalammedanalirantidakberubahmenurutwaktu,alirantersebutdisebutdenganaliran
steady atau aliran stasioner (steady flow). Secara matematis dapat
ditulis :0 =cctqDimana :q = adalah property fluidaUntuk aliran
steady atau stasioner maka,0 =cctatau , ) z y x , , =dan0 =cctVatau
, ) z y x V V , , =By : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin
ITS
10Jadipadaaliransteady,propertyaliranbisajadiberubahdarisatutitikketitiklainnyadimedan
aliran, tetapi property tersebut besarnya tetap di titik yang sama
setiap saat.Dimensi
AliranYangdimaksuddimensialiranadalahbanyaknyakoordinatruangyangdiperlukanuntukmenspesifikasikanmedankecepatannya.Suatualirandiklasifikasikansebagaisatudimensi,duadimensiatautigadimensitergantungpadajumlahkoordinatruangyangdiperlukanuntukmenspesifikasikan
medan aliran.Meskipun pada umumnya aliran berada pada kondisi 3-D
namun analisis dengan koordinatruang yang lebih sedikit sering
memberikan keuntungan. Perhatikan aliran steady melalui pipa
lurusdengan penampang konstan.Gambar 2.1Persamaan aliran :
]
|.|
\|- =2max1Rru uProfilseperti
diperlihatkanpadagambardiatas,dimanakoordinatsilinderr,
u,danxdigunakan untuk menspesifikasikan sembarang titik pada medan
aliran. Pada kondisi diatas medankecepatanhanyasebagaifungsidari r
dantidaktergantungdari x dan ,sehinggainidikatakansebagai aliran
satu
dimensi.Aliranyangmedankecepatannyaberubahkesegalaarahdisebutalirantigadimensi,danpada
kenyataannya secara umum memang seperti itu.Alirandikatakan uniform
bilakecepatanalirantersebutbesarnyasamadiseluruhpermukaan penampang
dan penampang tersebut tegak lurus
aliran.Istilahmedanaliranuniformdimaksudkanuntukmenyatakansuatualiranyangbesardanarahvektor
kecepatannya adalah konstan, tidak tergantung dari koordinat ruang
diseluruh medan aliran.Pathlines, Streaklines dan
StreamlinesDidalammenganalisispermasalahanmekanikafluida,seringkalisangatberfaedahjikaterlebih
dahulu mendapat gambaran visualisasi dari medan aliran yang
dilengkapi dengan pa thlines,strea klines, dan strea
mlines.Pathlines adalah jalan yang merupakan jejak yang dibuat oleh
suatu partikel yang bergerak.Untuk mendapatkan suatu pa thlines,
kita identifikasikan sebuah partikel fluida yang bergerak
padasuatusaattertentu,misalnyamenggunakansetitikzatwarnayangditeteskankedalamaliranfluidadan
selanjutnya ikuti jejakyang ditempuh zat warna tersebut.
Garisyangmerupakan jejak dari zatwarna tersebut adalah
pathline.Bila zat warna diteteskan secara beruntun ke dalam aliran
dimana zat warna yang
fungsinyasebagaipenggantipartikelfluidadihubungkandengansuatugarismakagaristersebutdinamakanBy
: Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin ITS 11Streakllines.
Atau Jika fokus perhatian kita ditujukan pada suatu lokasi yang
tetap di
dalamsuaturuangandanmengidentifikasisemuapartikelyangmelaluisuatutitikdi
dalamruangantersebut.Beberapasaatkemudiandibuatgaris-garisyangmenghubungkanpartikel-partikelfluidatersebut,
maka garis ini disebut strea kline.Streamlines adalah garis-garis
yang dibuat sedemikian rupa didalam medan aliran,
sehinggasetiapsaat
garistersebutakansearahdenganalirandisetiaptitikdimedanalirantersebut.Jikastrea
mline searah dengan vektor kecepatan disetiap titik di medan aliran
maka tidak ada aliran yangmemotong strea mline tersebut.Pada aliran
steady pa thlines, strea klines dan strea mlines merupakan
garis-garis yang
identik(sama)didalammedanaliran.Bilaalirantidakstasioner(steady)maka
pa thlines,strea klines danstrea mlines merupakan garis-garis yang
berbeda atau garis-garis yang tidak berhimpit.Contoh soal 2.1
:Sebuah medan kecepatan mempunyai persamaan :j b i a y V + =Satuan
kecepatan V (m/det) dan y (m); a = 2 det-1dan b = 1
m/det.Pertanyaan :a. Apakah medan aliran satu, dua atau tiga
dimensi, jelaskan.b. Hitung komponen kecepatan u, v, w pada titik
(1,2,0)c. Tentukan slope streamline melalui titik (1,2,0)Jawab :a.
suatualirandiklasifikasikansebagaialiransatudimensi,duaatautigadimensitergantungbanyaknya
koordinat ruang yang dibutuhkan untuk menspesifikasikan medan
kecepatannya.Jadikarenamedankecepatannyahanyamerupakan fungsidariy
(satukoordinatruang)maka medan aliran satu dimensi.b. Medan
kecepatanw k v j u i V + + =Karena :b j a y i V + =Maka: u = a y ;
v = b w = 0Sehingga Pada titik (1, 2, 0) u = 2 . 2m/det= 4 m/det; v
= 1 m/det; w = 0c. Strea mlines adalah garis-garis yang ditarik
didalam medan aliran, sedemikian hingga searahdengan arah aliran
disetiap titik di medan aliran. Oleh karena itu slope dari strea
mline padatitik ( 1, 2, 0 ) tentu searah dengan vektor kecepatan di
titik tersebut.By : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin ITS
12, )410 , 2 , 1= =|.|uvd xd ystrea mlineMaksud dari soal ini untuk
menggambarkan spesifikasi medan kecepatan dan menjelaskandefinisi
strea mlines.Medan
TeganganGaya-gayapermukaan(surfaceforces)adalahgaya-gayayangbekerjapadasisi-sisi(boundaries)mediamelalui
kontaklangsung.Sedangkangayayangterjaditanpakontakphisikdanterdistribusipadakeseluruhanvolumedarifluidaitudisebutgayabody(Bodyforces).Gayaberatdangayaelektromagnetikadalahcontoh-contohdarigayabodyyangbekerjapadasuatufluida.Gaya
gravitasi yang bekerja pada suatu elemen volume d adalah d g. .
dimanagadalahpercepatan gravitasi
lokal.Teganganyangbekerjapadasuatumediaadalahakibatdarigaya-gayayangbekerjapadabeberapabagiandarimediatersebut.Gayadanluasankeduanyamerupakanbesaran
vektor,olehkarena itu kita bisa mengantisipasi bahwa medan stress
bukan merupakan medan vektor.Gambar 2.2Perhatikan suatu element
luasan Ao yang terletak pada titik C, dikenakan gayaF. Orientasi
elemenAo diberikan oleh vektor n, seperti diperlihatkan pada gambar
2.2 Gaya Fyang beraksi pada
Aodapatdiuraikanmenjadi2komponen,satukearahnormal(tegakluruspermukaan)dantangensial(sejajar)permukaan.Tegangannormal(norma
lstress)dantegangangeser(shea rstress)dapatdidefinisikan sbb
:nnAnAFn oooo0lim=ntAnAFn ooot0lim=yxyxu = 4 m/dtv= 1 m/dtVBy :
Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin ITS 13Tegangan-
tegangan pada suatu titik dapat digambarkan secara lengkap dengan
menspesifikasikan 9komponen tegangan yang bekerja.
]
z z z y z xy z y y y xx z x y x xo t tt o tt t
oMenunjuksuatuelemenkecilsepertidiperlihatkanpadaGambar2.3terlihatada6bidangdimanategangan
bekerja.Gambar 2.3By : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin
ITS
14ViskositasDidefiniskanbahwafluidaadalahsuatuzatyangakanterdeformasisecarakontinyubiladikenakan
gaya geserGambar
2.4Perhatikansifat-sifatelemenfluidadiantaraduabuahpelatdatarsepertipadaGambar2.4.pelatatasbergerakdengankecepatankonstan
u o dalampengaruhgaya F yangkonstan.Tegangangeser yang bekerja pada
elemen fluida adalah :yxyxAy xd Ad FAFy= =ooot0limDimanayAo
adalahluasandarielemenfluidayangkontakdenganpelat. Dalamwaktu t o
akanmengalami deformasi dari posisi MNOP menjadi MNOP. Kecepatan
deformasi fluida tersebutadalah :d tdttra te n d eforma tioooooo=
=0limJarak l . o antara titik M dan M adalah :t u l . . . o o o
=Atauo o o o . . . y l =Dari dua persamaan diatas maka :yut
....oooo o=Atauy du dt
dd...=oElemenfluidasepertiGambar2.4biladikenaitegangangesermakalajudeformasi(shea
rra te)adalahy du d...By : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik
Mesin ITS 15Newtonian FluidPada kondisi normal berbagai fluida
seperti air, gasolin, udara dll, mempunyai sifat
apabiladikenaisuatutegangangesery xt
makategangangesertersebutakansebandingdengankecepatandeformasinya||.|
\|y du d... Fluida dengan sifat ini disebut fluida Newtonian
(Newtonian Fluid). Yakni :y du dy x.. tDimana :y xt = tegangan yang
terjadi pada bidang y dalam arah x.u = kecepatan dalam arah
xSelanjutnya dapat diduga bahwa apabila dua fluida yang berbeda,
misal gliserin dengan
air,biladikenaisuatutegangangeseryangsamabesar,makatentuakanmenghasilkankecepatandeformasiyangberbeda.Dalamcontohinigliserin
lebihtahandeformasidaripadaair,halinikarenagliserinlebihkentaldibandingair.Sehinggapadapersamaandiatasterkandungsuatukonstanta
pembanding. Konstanta ini disebut dengan kekentalan absolut atau
viskositas absolut atauviskositas dynamik dan dinotasikan dengan .
Selanjutnya persamaan diatai ditulis sebagai:y du dy x.. t = ataud
y d u y x/t =Bilay xt mempunyai dimensi [F/L2] dany du d..adalah
[t1] maka satuan viskositas adalah :Dalam SI.2m d t N= =d t mkg=
Pa. DetDalam Metrik. d t cmgra m= Dimana :poisecmgra m1. det=Dalam
British gravitional.2ftd t lbf= . d t ftslug=Dalam British
Engineering.2ftd t lbf= . d t ftlbm=By : Heru MirmantoDiploma-3
Jurusan Teknik Mesin ITS
16Dalammekanikafluidajugadikenalkekentalankinematisfluidaatauviskositaskinematik(kinematicviscosity)fluida,dimanadinotasikan(v),yakniperbandinganantaraviskositasabsolutterhadap
massa jenis () fluida tersebut. Yang ditulis :||.|
\|=uMaka dimensi dari persamaan diatas didapat :.2tL= uDalam
SI.2d tm= uDalam Metrikd tcm2= uDimana :stoked tcm1.2=Dalam British
gravitional atau British Engineering.2d tft= uFluida
Non-NewtonianApabilafluidadikenaitegangangeserternyatategangangesertersebuttidakberbandinglangsungdengankecepatandeformasimaka,fluidatersebutdikelompokansebagaifluidaNon-Newtonian.
Misal seperti : pasta gigi, bubur kertas, cat
dll.Pastagigiakanberperilakusebagaifluidaapabiladitekankeluardaritubenya.Pastagigitidak
akan keluar dengan sendirinya walaupun tutup tubenya dilepas. Ini
menunjukkan bahwa agarberperilaku sebagai fluida dibutuhkan
tegangan minimum yang harus diberikan untuk mengalirkan.Sedangkan
cat bersifat sangat kental saat berada pada tempatnya namun akan
menjadi encer ketikadioleskan pada kuas.Dalam aliran satu dimensi,
hubungan antaray xt dengany du d..untuk fluida Non-Newtonian adalah
:ny xdydu k ||.|
\|=dimana, k =konstanta;eksponen n
sebagaiindeksyangbergantungpadaperilakualiran.PersamaandiatasakanmenjadihukumNewtonuntukviskositasbilan=1dan
k= .Untukmengetahuibahway xt mempunyaitandayangsamadengany du
d..maka,persamaandiatasdapatditulis :||.|
\|=||.|
\|||.|
\|=-dydudydudydu k ny x1dimana:1 -||.|
\|=ndydu k disebutviskositassemuatau(a ppa rentviscosity
).Sebagaianbesarapparent viscosity fluida Non-Newtonian lebih
tinggi dibanding viskositas air.By : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan
Teknik Mesin ITS 17Bila fluida mempunyai a ppa rent viscosity yang
menurun seiring dengan kenaikan kecepatandeformasi(n 2300 adalah
aliran turbulentRe = 2300 adalah aliran transisi dari laminar ke
turbulentUntuk aliran antara dua pelat sejajaru h V h V . . .Re =
=Re < 1400 adalah aliran laminarRe > 1400 adalah aliran
turbulentRe = 1400 adalah aliran transisi dari laminar ke
turbulentB). Aliran Incompressible Dan CompressibleAliran
incompressible adalah aliran dimana perubahan massa
jenisfluidasepanjang medanaliran adalah kecil (relatif
konstan).Alirancompressibleadalahaliran
dimanaperubahanmassajenisfluidasepanjangmedanaliran adalah cukup
besar.Dalamprakteknyauntukmembedakanapakahaliranincompressibleataucompressible,Machmemberikan
suatu angka tak berdimensi :cVM =dimana :V = kecepatan rata-rata
fluidaC = kecepatan suaraApabila M < 0,3 dikatakan aliran
incompressibleM > 0,3 dikatakan aliran compressibleProblem:A
concentric cylinder viscometer may be formed by rotating the inner
member of a pair of closelyfitting cylinders. For a small
clearance, a linear velocity profile may be assumed in the liquid
fillingtheannularclearancegap.Aviscometerhasaninnercylinderof75mmdiameterand150mmheight,
with a clearancegapwidth of 0.02 mm. a torque of 0.021 Nm is
required to turn the innercylinder at 100 rpm. Determine the
viscosity of the liquid in the clearance gap of the viscometer.By :
Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin ITS 21Given :Concentric
cylinder viscometer,Di= 75 mm or Ri= 37.5 mmh = 150 mmd = 0.02 mm.n
= 100 rpm (rotation of Inner cylinder)T = 0.021 NmFind : Viscosity
of liquid in clearance gap.Solution :Shear force is given byA F t =
whereh R 2 Ai=For a Newtonian Fluidd yd u t =Since the velocity
profile is assumed to be lineardV t =Where V is the tangential
velocity of the inner cylinderiR V a =Thus,dh Rh RdV A F2iia x x t
2 2 = = =And the torquedh RF R T3iia x 2 = =By : Heru
MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin ITS 22BAB 3FLUIDA STATIS3.1
Persamaan Dasar Fluida StatisTujuan utama untuk mendapatkan suatu
persamaan yang akan digunakan untuk
menentukanbesarnyatekanandisembarangtitikdidalamfluidastatis.UntukmaksudinidigunakanhukumNewtonkeduauntuksuatudiferensiasielemenfluidayangbermassa
= d d m ,dengansisi-sisidx, dy, dan dz seperti gambar 3.1G a y abod
y untuk elemen fluida dFBadalah : = = d g d m g d FB .Dimana :g =
gravitasi = densityd = elemen volume = dx.dy.dzd z d y d x g d FB.
. =Dalamfluidastatistidakadategangangeser,hanya surfaceForce
yaitugayatekanpermukaan besarnya p = p (x, y, z) variasi tekanan di
dalam
fluida.UntukmenentukantekananpadatiapsisielemendigunakanderetTaylor.Tekananpadasisikirielemen
:, )2 2d yyppd yypp y yypp pL Lcc- =|.|
\|-cc+ = -cc+ =Gambar 3.1 Elemen fluida & gaya-gaya tekan
dalam arah yBy : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin ITS
23Tekanan pada sisi kanan elemen :, )2d yypp y yypp pR Rcc+ = -cc+
=Tekanan pada sisi-sisiyang lain dapat diperoleh dengan cara yang
sama.Kombinasi seluruh gaya gaya permukaan yang ada :, ) , ) , ) ,
) i d z d yd xxpp i d z d yd xxpp d FS.2.2-|.|
\|cc+ +|.|
\|cc- =, ) , ) , ) , ) j d z d xd yypp j d z d xd
yypp.2.2-||.|
\|cc+ +||.|
\|cc- +, ) , ) , ) , ) k d y d xd zzpp k d y d xd
zzpp.2.2-|.|
\|cc+ +|.|
\|cc- +, ) d z d y d x kzpjypixpd FS. . ||.|
\|cc+cc+cc- =Bentukyangadadidalamkurungdiatasdisebut gradient
tekanandandiberisymbolgradpataup. dalam koordinat rectangular
:pzkyjxizpkypjxpi p p gra d ||.|
\|cc+cc+cc||.|
\|cc+cc+ccV Selanjutnya gaya permukaan dapat ditulis:, ) d z d y
d x p d z d y d x p gra d d FS. . . . -V = -
=Secaraphisikgradienttekananadalahnegatipgayasurfaceperunitvolumeakibattekanan.Daripersamaan
diatas maka :, ) , ) , ) + - =+ - = + = d g p gra d d z d y d x g p
gra d d F d F d FB S . .Per unit volume :g p gra ddd F + - =Hukum
Newton Ke II untuk partikel fluida = = d a d m a d F Untuk fluida
statis a = 0, maka :0 = =add FBy : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan
Teknik Mesin ITS 24Gambar 3.2 Tekanan absolut dan gageSehingga :0
=+ - g p gra d + = 0Karena gaya-gaya tersebut kearah sumbu x, y dan
z maka komponen gaya tsb :0 =+cc-Xgxp Arah sumbu X0 =+cc-Ygyp Arah
sumbu Y0 =+cc-Zgzp Arah sumbu ZTelah diketahui bahwa 0 =Xg ; 0 =Yg
dan g gZ- =Sehingga :0 =ccxp; 0 =ccyp; dan gzp - =ccPersamaan
diatas menunjukkan bahwa dalam fluida statis tekanan hanya terjadi
secara vertikal : - =- = gd zd pBatasan :1. Fluida statis.2.
Gravitasi hanya oleh gaya body.3. Sumbu Z adalah sumbu
vertical.Sebelummempertimbangkanpermasalahankhusus,adalahpentinguntukdicatatbahwanilaitekanan
harus dinyatakan berdasarkan suatu tingkat referensi.Gaya tekan
perunit volume disatu titikGaya body perunit volume disatu titikBy
: Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin ITS
25Kebanyakanalatukurtekananmembacasuatuperbedaantekananantaratekananyangdiukur
dengan tekanan setempat (atmosfir). Tekanan yang diukur dengan
referensi tekanan atmosferdisebut pressure ga ge.P absolut= P gage+
P
atmosfirTekananabsolutharusdigunakanpadasemuaperhitungan,baikpersamaangasidealmaupunpersamaan
keadaan yang lain.3.2 Variasi Tekanan Pada Fluida
StatisKitatelahmelihatbahwavariasitekanandalamberbagaifluidastatisdigambarkanolehhubungan
dasar pressure-high.gd zd p - = Meskipun g didefinisikansebagai
spesificw eight,namununtukmendapatkandistribusi tekanan sering
ditulis sebagai variasi dan g.Didalam
aplikasiteknissecaraumumvariasi g selaludiabaikan(g
dianggapkonstan),sedangkan selalu diperhitungkan.Variasi tekanan
dalam fluida compressible dapat dievaluasi dengan
integrasipersamaan : - =- = gd zd pSebelummenyelesaikan persamaan
diatas density harus di ekspresikan dalam fungsi variable.Density
gas umumnya tergantung pada tekanan dan temperatur. Untuk persamaan
gas ideal :T R p = Dimana : R = konstanta gas =M olekul Bera
tuniversa l ga s kons
T = temperature absolutPada fluida incompressible = konstan,
selanjutnya untuk gravitasi konstan maka :tan kons gd zd p=- =
Untukmendapatkanvariasitekanan,kitaharusmengintegralkandenganmenentukankondisi
batasd z g d pzz oppo- = } }, ) , ) z z o g z o z g po p - = - - =
- Untuk cairan, sering permukaan bebas cairan digunakan sebagai
refrensi(datum) dan jarakke bawah dinyatakan positip. Sehingga :h z
z o = -Maka :By : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin ITS
26h g po p = - ManometerU-tubesederhanaditunjukkansptpadagambar
3.3.jikabagiansebelahkananterbukake atmosphere, pengukuran h1dan
h2untuk mendapatkan tekanan di A., )1 1 1h g z z g p pA B B A- = -
= - dan, )2 2 2h g z z g p pB C C B= - = - Sehingga :1 1 2 2h g h g
p pC A- = - Jika :Cp =p a tmosphere, selanjutnya ga ge p p pC A =
-Contoh Soal
:Airmengalirmelaluimultiple-tubemanometerpipaAdanBsepertiditunjukkanpadagambar
dibawah ini. Tentukaan perbedaan tekanan pA pBdalam unit KPascal.
SG oil 0,8 dan SGHg 13,6Open to atmosphereGambar 3.3 Manometer
U-tube untuk mengukur pressure gage padaABy : Heru
MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin ITS 27Jawab :Persamaan dasar
:gd hd pd zd p - = - = O HSG2=Asumsi :1. Fluida Statis2.
Inkompresibel.d h g d p - = dan d h g d phhpp= } }2121, )1 2 1 2h h
g p p - = - Dimulai dari titik A dan gunakan persamaan antara
titik-titik yang saling berdekatan maka didapat :1 20d g p pH A C=
- 4d g p pHg E F- = - 2d g p pHg C D- = - 5 20d g p pH F B- = - 3d
g p poil D E= - Sehingga dari 5 persamaan dimuka maka :, ) , ) , )
, ) , )B F F E E D D C C A B Ap p p p p p p p p p p p - + - + - + -
+ - = -5 20 4 3 2 1 20d g d g d g d g d gH Hg oil Hg H+ + - + - =
Substitusi : g SG SGO H O H==2 2 5 20 4 20 3 20 2 20 1 20d d SG d
SG d SG d p pH H Hg H oil H Hg H B A + + - +- = - , )5 4 3 2 1 206
, 13 8 , 0 6 , 13 d d d d dH ++-+ - = m gH |.|
\| + + - + - =1000200 1700 80 1020 25020KPa m xmkgxd tm = = 4 ,
25 59 , 2 1000 81 , 93 2By : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik
Mesin ITS 28Gambar 3.4 Variasi temperatur thd ketinggian3.3
Atmosfir StandarDibawah ini ditabelkan kondisi udara diatas
permukaan air laut menurut standar USProperty Symbol SI
EnglishTemperature T 15oC 59oFPressure p 101,325 Kpa(abs) 14,696
psia (lb/in2)Density 1,225 kg/m30,002377 slug/ft3Viscosity
1,781x10-5kg/m.sec 3,719x10-7lbf.sec/ft2Profil temperatur atmosfir
menurut standar US dapat dilihat pada gambar dibawah ini :Sistem
HidrolikSistemhidrolikdikarakterkanolehtekananyangsangattinggi.Sebagaimanakonsekuensidengansistemtekanantinggi,variasitekananseringdiabaikan.Remhidrolispadakendaraanbermotordikembangkanpadatekanandiatas10
MPa,mesin-mesinhidrolispadapesawatterbangseringdirencanakandengantekanandiatas30MPa.Begitupuladongkrakyangmempunyaitekanan
diatas 70MPa. Dll.Gaya Hidrostatis Pada Permukaan Yang
Tenggelam.Sekarangkitatelahmenentukanvariasitekananfluidastatis,selanjutnyakitadapatmemeriksagaya-gayapadapermukaanbidangdidalamfluida.Untukmenentukansecaralengkapresultan
gaya yang bekerja pada permukaan yang tenggelam, harus
menspesifikasikan sbb :1. Besarnya gaya.2. Arah gaya.3. Garis kerja
gaya.Kita akan mempertimbangkan bidang dan permukaan tenggelam
dalam fluida statis.By : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik
Mesin ITS 29Gambar 3.5 Permukaan bidang tenggelamGaya Hidrostatis
Pada Permukaan Bidang Yang Tenggelam.Bidang miring yang tenggelam
dalam suatu liquid diperlihatkan pada gambar 3.5 dibawah ini.Jika
didalamfluidastatistidakadagayagesermaka,gayahidrostatispadaberbagaielemenpermukaanpastigayanormaltehadappermukaan.
Gayatekanyangbekerjapadasuatuelemenpermukaan sisi atas, k d y d x A
d=adalah A d p F d - =Arah positip vektor d A adalah keluar dan
normal (tegak lurus) terhadap luasan, tanda negatip
padapersamaandiatasmengindikasikanbahwagayad
FbekerjaberlawananarahterhadapluasandA.Resultangayayangbekerjapadapermukaandidapatdenganmenjumlahkangaya-gayakecilpadaluasan.}
- =ARA d p F Untukmengevaluasipersamaandiatasharusmengekspresikanp
dand Adalambentukvariabelyang sama.gd hd p = Dimana h
diukurpositipkebawahdaripermukaanbebascairan,selanjutnyabila
tekananpada h0adalah p0dan density ( = konstan) maka,h g p d h g p
ph+ = + =} 000Hargap
selanjutnyadisubstitusikankepersamaanFR.Geometripermukaandiekspresikandalambentuk
x & y dan h = y sin Titik kerja gayaresultan harus sedemikian
rupa sehingga moment gayaresultan pada suatu
sumbuadalahsamaterhadapmomengaya-gayayangterdistribusipadasumbuyangsama.Jikavektorposisi
adalah r selanjutnya :By : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik
Mesin ITS 30} - = = 'ARA d p x r F d x r F x ry j x i r '+ '= ' , y
j x i r+= dank d A A d =, k F FR R - =Sehingga :, ) , ) , ) , )} }
+- =+=-'+ ' A ARk A d p x y j x i F d x y j x i k F x y j x i , )}
-='-' AR Rd A p y i x j F y i F x j Ini adalah persamaan vektor,
dengan demikian komponen-komponennya sama, sehingga :}='ARd A p x F
x dan}='ARd A p y F yAtau :}='A Rd A p xFx1dan}='A Rd A p
yFy1Dimana :x dan y adalah koordinat-koordinat titik kerja resultan
gaya.Contoh Soal :Suatu bidang miring seperti ditunjukkan pada
gambar dibawah,menggantung pada titik A denganlebar 5 m. Tentukan
resultan gaya FRair dan udara pada (pintu) permukaan bidang
miring.Jawab :Untuk menentukan FRsecara lengkap, harus
dispesifikasikan :Besar, Arah dan Garis kerja resultan
gaya.Persamaan dasar :} - =ARA d p F gd hd p = By : Heru
MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin ITS
31Tekananatmosferbekerjapadasisibawahdarigate, p
adalahnetatautekanangageakibatkombinasi aksi kedua fluida.Gate
bergantung pada A , terletak pada bidang x-y.} } - =- =A ARk d y w
p A d p F , ) k d y w A d=gd hd p = d h g d p = Asumsi konstan maka
:h g p pa+ = Dimana :h = D + y sin 300dan D = 2 mjika p adalah
tekanan gage, makapa= 0 sehingga ,, )030 sin+ = y D g p Dengan
demikian :, )} } + - =- =LARk d y w y D g A d p F0030 sin
]
+ - =
]
+ - =0200230 sin230 sin2LD L w g kyD y w g FLR kN k km kg d t
Nxmm mx m xd tmxmkgFR- =
]
+ - =588212164 2 5 81 , 9 9992 22 3(Gaya bekerja dengan arah z
negatip)Garis kerja resultan gaya FR:}='A Rd A p xFx1dan}='A Rd A p
yFy1, )} } }+ == ='L LR R A Rd y y D yFw gd y w p yFd A p yFy00030
sin1 1
]
+ =
]
+ ='0 3200 3230 sin31230 sin312LD LFw gyD yFw gyRLR m kgd t Nmm
mxN xmxd tmxmkgy
]
+ ='2325 2 321364216 210 88 , 5581 , 9 999m y=' 22 , 2By : Heru
MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin ITS 32}='A Rd A p xFx1dan2wx
=mwd A pFwd A pwFxA R A R = =
= ='} }5 , 22 2 21Dengan demikian :, ) m j i r += '22 , 25 ,
2Sehingga garis kerja resultan gaya FRadalah sepanjang sumbu Z
negatip melalui r'GAYA BOUYANCYJika suatu object tenggelam atau
terapung pada suatu liquid, maka gaya vertikal bersih yangbekerja
pada nya yang disebabkan tekanan liquid disebut dengan gaya
bouyancy.Perhatikan suatu object yang tenggelam di dalam fluida
statis gambar dibawah.Gaya hidrostatis yang bekerja pada benda
berbentuk silinder adalah :gd hd p = Integrasi untuk konstan maka :
h g p p + = 0Gaya vertikal bersih fluida pada elemen benda adalah
:, ) , ) , ) d A h h g d A h g p d A h g p d FZ 1 2 1 0 2 0-= + - +
= Kita tahu bahwa :, ) =- d d A h h1 2elemen volume benda = = =} }g
d g d F FVZ Z Dimana : = adalah volume bendaJadi gaya vertikal
bersih, atau bouyancy dari benda sama dengan berat liquid yang
dipindahkan olehbenda tersebut. Kaidah ini pertama kali dipraktekan
oleh Archimedes.h2h1By : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik
Mesin ITS 33BAB 4PERSAMAAN-PERSAMAAN DASAR DALAM BENTUK INTEGRAL
UNTUK
VOLUMECONTROLKitaakanmemulaistuditentangfluidabergerakdenganmengembangkanpersamaan-persamaandasardalambentukintegraluntukaplikasivolumecontrol.Mengapaanalisiscontrolvolumelebihbaikditerapkandaripadaanalisissystem.Adaduaalasanuntukini.Pertama,fluidasebagaimediadapatmengalamidistorsidandeformasisecaraterusmenerus,sehinggasecaraekstremsangatsulituntukmengidentifikasidanmengikutisuatu
massayangsamadisetiapsaat(sepertiyangdilakukanpadaanalisissystem).Kedua,kitaseringberurusantidakdengangerakansuatumassafluidatertentu,tetapidenganpengaruhgerakanfluidaterhadapsuatuperalatanataukonstruksi.4.1
Hukum-Hukum Dasar Untuk Suatu SystemHukum-hukum dasar untuk suatu
system sudah disimpulkan dengan jelas; untuk alasan yangmenjadi
semu pada bab berikut tiap persamaan dasar untuk system ditulis
sebagai suatu persamaanpersatuan waktu.4.1.1 Kekekalan MassaSystem,
didefinisikansebagaisejumlahmassayangteridentifikasitetap.Hukumkekekalanmassa
menyatakan bahwa massa M, dari system selalu konstan. Dalam
persatuan waktu :0 =|.|sy stemd td M( 4.1 a )dimana :} }= =) ( ) (
sy stem ma ss sy stemsy stemd d m M ( 4.1 b )4.1.2 Hukum Newton
IIUntuksuatusystemyangbergerakrelatifterhadapreferensitertentuyangdiam,HukumNewton
II menyatakan bahwajumlah semua gaya gaya luar yang bekerja pada
system adalah samadengan besarnya perubahan momentum linier
persatuan waktu dari system.sy stemd tP dF||.|=( 4.2a )Dimana
momentum linier P :} } ==) ( ) ( sy stem ma ss sy stemsy stemd V d
m V P ( 4.2b )4.1.3 Prinsip Momentum AngulerPrinsip momentum
anguler untuk system menyatakan bahwa perubahan momentum
angulerpersatuan waktu adalah sama dengan penjumlahan semua torsi
yang bekerja pada system.By : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik
Mesin ITS 34sy stemd tH dT||.|=( 4.3a )dimana momentum anguler H :}
} ==) ( ) ( sy stem ma ss sy stemsy stemd V x r d m V x r H ( 4.3b
)Torsidapatdihasilkanolehgayapermukaandangayabodydanjugabisadisebabkanolehporosyang
memotong batas systemSha ftsy stem ma ssST d m g x r F x r T }++ =)
(( 4.3c )4.1.4 Hukum Thermodinamika IHukum thermodinamika I
menyatakan kekekalan energi untuk suatu systemd E W Q = - o oDalam
persamaan persatuan waktu ditulis :sy stemd td EW Q|.|= - ( 4.4a
)dimana total energi system :} } ==) ( ) ( sy stem ma ss sy stemsy
stemd e d m e E ( 4.4b )danz gVu e+ + =22( 4.4c )4.1.5 Hukum
Thermodinamika
IIJikasejumlahpanasyangditransferkesuatusystempadatemperaturT,Hukumthermodinamika
II menyatakan bahwa perubahan Entropi dS untuk suatu system :TQd
So:Dalam persamaan persatuan waktu ditulis :QT d td Ssy stem :|.|
1( 4.5a )dimana total entropi system :} } ==) ( ) ( sy stem ma ss
sy stemsy stemd s d m s S ( 4.5b )By : Heru MirmantoDiploma-3
Jurusan Teknik Mesin ITS 354.2 Hubungan Antara Derivasi-Derivasi
System Dengan Formulasi Control Volume.Sebelumnya kita telah
menyimpulkan persamaan-persamaan dasar untuk suatu system.
Kitamendapatkanbahwabiladitulisdalambentukpersatuanwaktu,setiappersamaanmelibatkanderivasi
waktu dari pada property ekstensif system (massa, momentum,
momentum angular, energy,entropy dari
system).Untukmengembangkanformulasicontrolvolumetiap-tiaphukumdasarsystem,kitaakanmenggunakan
simbol N untuk menyatakan sembarang property ekstensif system.
Sedangkan untuksembarang property ekstensif, N dibagi dengan unit
massa diberi simbol . Jadi :} } ==) ( ) ( sy stem ma ss sy stemsy
stemd d m N q q ( 4.6 )Membandingkan dengan persamaan 4.6 dengan
persamaan sebelumnya kita melihat bahwa :N=M maka 1 = qN= Pmaka V=
qN= Hmaka V x r= qN=Emaka e = qN=Smaka s = q4.2.1
DerivasiSystemdancontrolvolumeyangdigunakandalamanalisisinidiperlihatkanpadagambar4.1.Medanaliran,
, ) t z y x V , ,
,adalahsembarangdanrelatifterhadapkoordinatx,y,danz.Controlvolumeadalahtetapdidalamruangdanrelatifterhadapkoordinatsystemxyz;dengandefinisi
system selalu berisi partikel-partikel fluidayang sama dan
konsekuensinya harus bergerakdalam medan aliran. Pada gambar 4.1
batas system diperlihatkan pada dua saat yang berbeda
yaitupadat0dant0+At.Padasaatt0,batassystemberhimpitdengancontrolvolume
;padasaatt0+At,system menduduki region II dan III. System telah
dipilih sedemikian hingga massa di dalam
regionImemasukicontrolvolumeselamainterval
At,danmassadalamregionIIImeninggalkancontrolvolume pada interval
waktu yang sama.By : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin
ITS 36Tujuankitadalam
analisisiniadalahmencarihubunganbesarnyaperubahansembarangpropertyekstensif
N dari system terhadap variasi waktu dikaitkan dengan control
volume. Dari definisi suatuderivasi besarnya laju perubahan Nsy
stemadalah :) )tN Nd td Nt S t t Stsy stemA -=|.| A + A0 0lim0( 4.7
)Pada t0+At, system menduduki region II dan III ; pada saat
t0system dan control volume berhimpit.Sehingga :) ) )t t III I CV t
t III II t t SN N N N N NA + A + A ++ - = + =0 0 0) , )0 0t CV t SN
N =Jika :} } ==) ( ) ( sy stem ma ss sy stemsy stemd d m N q q (
4.6 )Kita dapat menulis:)t tIIIt tIt tCVt t Sd d d NA + A + A +A
+
]
+
]
-
]
=} } }0 0 00 q q qDan ) , )00 0tCVt CV t Sd N N
]
= =} qSubstitusi persamaan ini ke persamaan 4.7, maka :td d d dd
td NtCVt tIt tIIIt tCVtsy stemA
]
-
]
-
]
+
]
=|.|} } } }A + A + A + A0 0 0 0lim0q q q qJika limit dari suatu
penjumlahan adalah sama dengan jumlah limit-limitnya, maka :td dd
td NtCVt tCVtsy stemA
]
-
]
=|.|} }A + A0 0lim0q qtdtdt tItt tIIItA
]
-A
]
+A + AA + A} }0 0lim lim0 0q q( 4.9 )13 2By : Heru
MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin ITS 37Tugas kita sekarang
mengevaluasi masing-masing kelompok dari 3 kelompok persamaan 4.9
diatas.Kelompok) )tN Ntd dt CV t t CVttCVt tCVtA -=A
]
-
]
A + AA + A} }0 0 0 0lim lim0 0q q}cc=cc=CVCVdt tN
qKelompok)tNtdt t IIItt tIIItA=A
]
A + AA + A}0 0lim lim0 0qUntukmengevaluasi )t t IIINA
+0marikitalihat pandangandiperbesarsuatubentuksubregiondariregion
III, seperti diperlihatkan pada gambar 4.2.Vektor A
dbesarnyasamadenganelemenluasandAdaricontrolsurface;denganarahA
dadalahnormal(tegaklurus)mengarahkeluarpadaelemenluasancontrolsurface.Sudut
oadalahsudutantara A
ddenganvektorkecepatanV.JikamassadalamregionIIImengalirkeluardaricontrolvolumeselamaintervalwaktu
At,makasudut o akanselalulebihkecildari t/2diseluruh luasan control
surface yang melingkup region III.Untuk region III dapat ditulis :)
, ) , ) t t t t t t IIId A l d d NA + A + A +A= =0 0 0cos o q
qDimana : d A l d A = o cos12By : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan
Teknik Mesin ITS 38Selanjutnya seluruh region III :)t tCSt t
IIIIIId A l NA +A +
]
A =}00cos o qDimana CSIIIadalah permukaan perpotongan antara
region III dengan control volume. :Al adalah jarak yang ditempuh
selama interval At sepanjang streamline yang telah ada pada
waktut0.Sekarangkitatelahmendapatgambaranuntuk )t t IIId NA
+0selanjutnyakitadapatmengevaluasikelompok pada pers 4.9 sebagai
berikut :)td A ltNtdIIICStt t IIItt tIIItAA=A=A
]
}} AA + AA + Ao qqcoslim lim lim0 0 00 0}=IIICSd A V o q
cosBentuk persamaan yang terakhir bertitik tolak dariVtlo t=AA Alim
dan A d d A=Kelompok pada persamaan 4.9 :)tNtdt t Itt tItA- =A
]
-A + AA + A}0 0lim lim0 0qUntukmengevaluasi )t t INA
+0marikitalihatpandangandiperbesarsuatubentuksubregiondariregion I,
seperti diperlihatkan pada gambar 4.3.23By : Heru MirmantoDiploma-3
Jurusan Teknik Mesin ITS 39Vektor A
dbesarnyasamadenganelemenluasandAdaricontrolsurface;denganarahA
dadalahnormal(tegaklurus)mengarahkeluarpadaelemenluasancontrolsurface.Sudut
oadalah sudut antara A ddengan vektor kecepatanV. Jika massa dalam
region I mengalir masuk kecontrol volume selama interval waktu At ,
maka sudut o akan selalu lebih besar dari t/2 diseluruhluasan
control surface yang melingkup region I.Untuk region I dapat
ditulis :) , ) , ) t t t t t t Id A l d d NA + A + A + - A = =0 0
0cos o q qDimana :, ) d A l d-A = o cos tanda negatip karena o >
t/2 jadi o cos akan negatipSelanjutnya seluruh region I :)t tCSt t
IId A l d NA +A +
]
A - =}00cos o qDimana CSIadalah permukaan perpotongan antara
region I dengan control volume. :Al adalah jarak yang ditempuh
selama interval At sepanjang streamline yang telah ada pada
waktut0.Sekarangkitatelahmendapatgambaranuntuk )t t Id NA
+0selanjutnyakitadapatmengevaluasikelompok pada pers 4.9 sebagai
berikut :)td A ltNtdICStt t Itt tItAA -- =A- =A
]
-}} AA + AA + Ao qqcoslim lim lim0 0 00 0} }=AA AI ICS CStA d V
d Atl o q o q cos coslim0Bentuk persamaan yang terakhir bertitik
tolak dariVtlo t=AA Alim dan A d d
A=Sekarangkitatelahmendapatkanekspresimasing-masingdariketigabentukpersamaansebelahkanan
persamaan 4.9, sehingga dapat ditulis :} } }+ + cc= |.|III ICS CS
CVsy stemd A V A d V dt d td No q o q q cos cos Berdasarkan gambar
4.1 seluruh control surface, CS, terdiri dari tiga permukaan yaitu
:p III ICS CS CS CS + + =3By : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan
Teknik Mesin ITS
40DimanaCSPdikarakterkantidakadaaliranmelintasicontrolsurface,yangmana
o = t/2atau0 = V.Sehingga persamaan diatas :} }+ cc=|.|CS CV sy
stemA d V dt d td N o q q cos( 4.10 )Jika d A V A d V= o cos maka
persamaan 4.10 menjadi} }+ cc=|.|CS CV sy stemA d V d t d td N .(
4.11 )4.2.2 Arti
PhisikTujuankitaadalahmemperolehhubunganumumantaraperubahansembarangpropertyekstensif,Ndarisuatusystemterhadapvariasiwaktuyangdikaitkandengancontrolvolume.Karena
demikian pentingnya persamaan 4.11 lebih baik ditulis lagi :} } +
cc=|.|CS CV sy stemA d V d t d td N Arti phisik masing-masing
kelompok :sy stemd td N|.|= Besarnya total laju perubahan sembarang
property ekstensif
darisystem.cc}dtCVq=Besarnyaperubahansembarangpropertyekstensif,Ndidalamcontrolvolume.
=adalah property intensif, N perunit massa d = elemen massa yang
dikandung di dalam control volume}dCVq= adalah jumlah total
property ekstensif, N didalam control volume.}
CSA d V
q=Banyaknyaalirannettodarisembarangpropertyekstensif,Nmelaluicontrol
surface.A d V =
adalahbanyaknyaaliranmassanettomelaluielemenluasandAperunitwaktu.By
: Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin ITS 41A d V
q=adalahbanyaknyasembarangpropertyekstensif,NyangmelaluiluasandA.4.3KEKEKALAN
MASSA :Hukum kekekalan massa menyatakan bahwa massa didalam system
adalah konstan :0 =|.|sy stemd td M(4.3.1)Dimana :} }= =) ( ) ( sy
stem ma ss sy stemsy stemd d m M Bila dikaitkan rumus system dengan
control volume :} } + cc=|.|CS CV sy stemA d V dt d td N q qDimana
:} } ==) ( ) ( sy stem ma ss sy stemsy stemd d m N q qBila :N=M
maka 1 = qSehingga :} } + cc=|.|CS CV sy stemA d V dt d td M Bila
dikaitkan dengan persamaan 4.3.1 diatas maka :} } + cc=CS CVA d V
dt 0KEADAAN KHUSUS :Bila aliran inkompresibel maka :} } + cc=CS CVA
d V dt 0Sehingga bila persamaan diatas dibagi dengan maka :}
+cc=CSA d Vt 0By : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin ITS
42Telah diketahui bahwa control volume adalah suatu volumeyang
tetap bentuk dan ukurannya atau = konstan, maka :} =CSA d V
0Persamaandiatasadalahkekekalanmassauntukaliraninkompresibel,yangmungkinbisasteadyatau
unsteady.Untuk aliran steady hukum kekekalan massa menjadi :} =CSA
d V 0Contoh soal :Perhatikan aliran steady dari air melalui
peralatan seperti ditunjukkan dalam gambar dibawah.Diketahui
:Luasan A1= 0,02 m2; A2= 0,05 m2; A3= A4= 0,04 m2Mass flow rate
keluar melalui saluran 3, =3m56,7 kg/sec.Volume rate masuk melalui
saluran 4, = 40,03 m3/sec dan V1= 3 i m/secJika properti uniform
melalui semua saluran, tentukan kecepatan dan arah aliran pada
saluran 2.Pertama kita tentukan control volume yang sesuai dan
mudah penyelesaiannya.Persamaan dasar :} } + cc=CS CVA d V dt . . 0
Asumsi :1. Aliran steady2. Aliran incompressibleBy : Heru
MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin ITS 433. Uniform flow.Untuk
aliran steady :} =CSA d V 0Pada persoalan diatas menjadi :04 3 2
1=+++= } } } } }A A A A CSA d V A d V A d V A d V A d V Dimana :1
11 1A V A d V A d VA A - =- = } }3 3 33 3m A V A d V A d VA A = ==
} } 4 4 444Q A V A d V A d VA A - = - =- = } } Sehingga :} } } }
--- = 4 3 1 2A A A AA d V A d V A d V A d V 4 3 1 1Q m A V + - =
smxmkgskgm xsmxmkg332303 , 0 1000 7 , 56 02 , 0 3 1000 + - =skgA d
VA3 , 332= } Kecepatan aliran pada saluran 2smm xmkgskgAA d VVA666
, 005 , 0 10003 , 3323222= =
=} Arah keluar positip (ke bawah) berarti berlawanan dengan arah
sumbu Y positip.smj V666 , 02- =By : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan
Teknik Mesin ITS 444-4Persamaan Momentum Untuk Control Volume Yang
DiamKitaberharapmengembangkanrumusmatematikaHukumNewtonII,supayasesuaidigunakanuntukcontrolvolume.Padasectionini,penurunanrumushanyaterbatasuntukcontrolvolumeyangdiam(CVtidakmempunyaipercepatanrelatifterhadapsuatusistemkoordinatyangdiam).DalammenurunkanrumuscontrolvolumeHukumNewtonII,proseduryangdigunakananalog
seperti menurunkan rumus kekekalan massaHokum Newton II untuk
system yang bergerak relative terhadap suatu sistem koordinat yang
diam :sy stemd tP dF||.|=Dimana momentum linear P :} } ==) ( ) ( sy
stem ma ss sy stemsy stemd V d m V P Dan resultan gaya F meliputi
semua gaya surface dan gaya body yang bekerja pada system.b sF F F
+ =Bila dikaitkan rumus system dengan control volume :} } +
cc=|.|CS CV sy stemA d V dt d td N q qDimana :} } ==) ( ) ( sy stem
ma ss sy stemsy stemd d m N q qBila :P N= V= qSehingga :} } +
cc=|.|CS CV sy stemA d V V d Vt d td P Dengan demikian :} } + cc= +
=CS CVB SA d V V d VtF F F
GayaFmewakilisemuagayayangbekerjapadacontrolvolume,meliputigayasurfacedangayabody.
Jika dinotasikan gaya body perunit massa adalah : = =} }d B d m B
FCVBBy : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin ITS 45Jika
gaya body hanya disebabkan oleh gaya gravitasi maka gaya body per
unit massa adalah g.Gaya surface yang diakibatkan tekanan diberikan
:}- =ASd A p F
.Pemilihanbatascontrolvolumepastiakanmempengaruhigaya-
gayayangbekerja padacontrolvolume.Komponen gaya-gaya adalah :} } +
cc= + =CS CVBx Sx xA d V u d utF F F } } + cc= + =CS CVBy Sy yA d V
v d vtF F F } } + cc= + =CS CVBz Sz zA d V w d wtF F F Contoh :Air
berasal dari nozzle yang diam menubruk
pelatdatarsepertipadagambardisamping.Kecepatanair meninggalkan
nozzle V = 15 m/s. Luas
nozzleA=0,01m2.asumsiarahairtegakluruspelatdatardanmengalirsepanjangpelat.Tentukangaya
horozontal pada support.Jawab
:Dalammenyelesaikanpermasalahandiataskitamemilihsuatusistemkoordinat,selanjutnyamemilih
control volume yang sesuai. Ada 3 control volume yang
dipilih.Persamaan dasar :} } + cc= + =CS CVB SA d V V d VtF F F
Dan} } + cc=CS CVA d V dt 0By : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan
Teknik Mesin ITS 46Asumsi :1. Aliran steady2. Aliran
incompressible3. Aliran uniform pada tiap-tiap sectionUntuk aliran
steady maka persamaan dasar menjadi :} = + =CSB SA d V V F F F Dan}
=CSA d V 0Control volume 1 :Control volume telah dipilih sedemikian
hingga luasan permukaan sebelah kiri sama dengan luasanpermukaan
sebelah kanan, dan dinotasikan dengan A.Jika kita mencari gaya
horizontal, kita tulis komponen X dari persamaan momentum aliran
steady.} = +CSBX SXA d V u F F . . Karena tidak ada body force
dalam arah x, sehingga0 =BXFdan} =CSSXA d V u F . . Untuk
mengevaluasi FSxharus dilibatkan semua gaya yang bekerja pada
permukaan pada controlvolume.X a a SXR A p A p F + -
=Konsekuensinya maka :X SXR F =Massa yang melalui permukaan atas
dan bawah harga u = 0, sehingga} } ==1. . . .A CSXA d V u A d V u R
Pada section (1 ) jika arah d A dan V1adalah 180omaka :Gaya yg
diakibatkantek atmosphere kearah kiri (-) pdpermukaan kananGaya
support pdcontrol volumeGaya yg diakibatkan tekatmosphere ka
arahkanan (+)pd permukaan kiriBy : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan
Teknik Mesin ITS 47A d V A d V - = 1. . sehingga : 11 11. . . A V u
A d V u RAX - =- =} m kgNm xmxmkg mRX.sec01 , 0sec15 999sec15223-
=KN RX25 , 2 - =Rx gaya aksi berlawanan thd arah positip asumsiMaka
dari itu :KN R KX X25 , 2 = - =Control volume 2
:Controlvolumeyangdipilihsedemikianhinggaluaspermukaansebelahkirisamadenganluaspermukaansebelahkanan.DilambangkanA.Controlvolumetidakmemotongsupport,akantetapicontrolvolumekontakdengansupportmelaluibeberapabagianluasancontrolsurface.Adasuatugaya
yangditerimaolehsupportpadacontrolsurface.KomponengayayangmengarahkesumbuxdinotasikanRx.
SelanjutnyauntukCVinikomponenpersamaanmomentumsolusinyasama dengan
CV1.Control volume 3
:ControlvolumedipilihsedemikianhinggaluaspermukaansebelahkiridansebelahkanansamaterhadapluasanpelatdandinotasikandenganA.sepertikasusCVIIkomponengayaxdarisupport
pada CV dinotasikan oleh RX. Selanjutnya komponen persamaan
momentumkea arah x :} =CSSXA d V u F . .} = + =1. .AX p a SXA d V u
R A p F KN A d V uA25 , 2 . .11- =- =} Selanjutnya :KN A p Rp a X25
, 2 . - - =danKN A p R Kp a X X25 , 2 . + = - =By : Heru
MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin ITS 48Free body diagram pada
pelat :KN A p KN A p Fp a p a nett25 , 2 . 25 , 2 . = - + =Contoh
soal
:Airmengalirsecarasteadymelaluireducingelbow900sepertitampakpadagambar.Padabagianinlet,tekananmasuksebesar221Kpadanmempunyailuaspenampang0,01m2.Padabagianoutletmempunyailuaspenampang0,0025m2dankecepatannyasebesar16m/s.Tekananpada
outlet adalah tekanan atmosphere. Tentukan gaya yang dibutuhkan
untuk memegang elbow ditempatnya.Diketahui :Air dengan aliran
steady melalui reducing elbow 900P1= 221 Kpa A1= 0,01 m2V2= - 16 j
m/sA2= 0,0025 m2Tentukan :Gaya yang dibutuhkan untuk memegang elbow
di tempatnya.Jawab :Pilih CV seperti ditunjukkan oleh garis
putus-putus. RXdan RYadalah komponen gaya yangdibutuhkan untuk
memegang elbow pada tempatnya.Persamaan dasar :} } + cc= + =CS CVB
SA d V V d VtF F F } } + cc=CS CVA d V dt 0Asumsi :1. Uniform
flow2. Atmospheric pressure pa= 101 Kpa3. Incompressible flow4.
Steady flowKXpaApYXBy : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin
ITS 49Komponen persamaan momentum ke arah sb x :} } ==1. . . .A
CSSXA d V u A d V u F , )} = + + - +13 1 3 1 1. . . .AX a aA d V u
R A A p A p A p , )} - = + -11 1 1. . .AX aA d V u R A p p Dimana,
)g ap p p1 1= -Maka :1 1 1 1. . A V u A p Rg X - - =Untuk
mendapatkan kecepatan1V digunakan persamaan kontinuitas :} } } += =
2 1. . 0 .A A CSA d V A d V A d V Jadi :} } +- =+- =1 22 2 1 1. . .
. 0A AA V A V A d V A d V sehingga:2 2 1 1. . A V A V = sec / 401 .
00025 . 0sec16122 1m xmAAV V = = = sec / 41m i V =1 1 1 1. . A V u
A p Rg X - - =m kgs Nx m xmxmkg mm xmN x..01 . 0sec4999sec4 01 .
010 2 , 12213225- - =KN RX36 , 1 - =Komponen persamaan momentum ke
arah sumbu Y :d A V v d A V v F F FA CSBy Sy} }= = + =2. . } = + +
- - +22 4 2 4. . . . .Ay By a a a aA d V v R F A p A p A p A p By :
Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin ITS 50. .2 2 2A V v R
Fy By = +. .2 2 2A V v F RBy y + - =Sehingga :m KgNsx m xsmxmkgsmF
RBy y.0025 , 0 16 999 16223|.|
\|- |.|
\|- + - =N F RBy y639 - - =Bila FBydiabaikan maka :Ry= - 639
N4-4.1 Analisis Diferensial Control VolumeKita telah
mempertimbangkan sejumlah contoh2yang mana kekekalan massa dan
persamaanmomentumdiaplikasikanterhadapcontrolvolumetertentu.CVyangdipilihuntukanalisistidakbutuh
ukuran tertentu.Pemakaian persamaan dasar terhadap suatu
diferensial CV mengawali persamaan
diferensialyangmenggambarkanhubungansejumlahpropertiesdalammedanaliran.Dalambeberapakasuspersamaandiferensialdapatdiselesaikanuntukmemeberikaninformasidetailtentangvariasipropertiesdalammedanaliran.
Untukkasussteadyflow,incompressible,frictionlesssepanjangstreamline,integrasiterhadapsuatupersamaandiferensialmenuntunkehubunganpropertiesyangbergunasejumlahkecepatan,tekanan,danketinggiandalamsuatumedanaliran.Kasusinidipresentasikan
untuk menggambarkan penggunaan diferensial
CV.Selanjutnyapemakaiankekekalanmassadanpersamaanmomentumuntuksuatualiransteadydanincompressibletanpagesekansepertiditunjukkanpadagambar4.4dibawah.Controlvolumeyangdipilihadalah
tetapdidalamruangdandibatasiolehstreamline.Suatuelemenstreamtube
dimanapanjang CV adalah dsGambar 4.4 Flow through a streamtubeBy :
Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin ITS 51a. Persamaan
Kontinuitas :} } + cc=CS CVA d V dt 0Asumsi :1. Steady flow2. Tidak
ada aliran melintasi batas streamline3. Incompressible
flow.Selanjutnya :, ) , ) d A A d V V A Vs s s+ + +- = . . 0 , ) ,
) d A A d V V A Vs s s+ + =. . (4.20a)s s sd V d A d V A d A V . .
0 + +=s sd V A d A V . 0 +=(4.20b)b. Komponen Persamaan Momentum
kearah Streamwise :Persamaan dasar :} } + cc= +CSsCVs Bs SsA d V u
d utF F (4.21)Asumsi :4. Tidak ada gesekan, shg FSshanya akibat
gaya tekan.Gaya tekan hanya dalam tiga bentuk yaitu :, ) , ) d Ad
pp d A A d p p A p FSs.2. |.|
\|+ + + + - =(4.22a)d A d p d p A FSs.21. - - =(4.22b)Komponen
gaya body :, ) d sd AA g d g Fs s Bs|.|
\|+ - = =2sin . . . u (4.22c)Bila d z d s = . sin uMaka :d zd AA
g FBs|.|
\|+ - =2. . By : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin ITS
52Sehingga momentum flux :, ) , ), ) d A A d V V d V V A V V A d V
us s s s s sCSs+ + + +- = }. . . , ), )s s s s s s sCSsd V A V A V
d V V A V V A d V u . . . . = + +- = } Jika persamaan diatas
disubstitusikan ke persamaan momentum maka :s sd V A V d z d A g d
z A g d A d p d p A . . . . .21. . . .21. = - - - -Bila dibagiA . ,
maka :||.|
\|= = - -2. .2ss sVd d V V d z gd p0 .22= +||.|
\|+ d z gVdd psUntuk aliran incompressible, persamaan ini dapat
diintegrasikan menjadi :konst z gV ps= + + .22konst z gVp= + +
.22Asumsi dari persamaan ini adalah:1. Steady flow2. No friction3.
Flow along stream line4. Incompressible flowContoh Soal
:Airmengalirsecarasteadymelaluinozzlehorizontaldankeluarkeatmosphere.
Diameterinlet D1= 75 mm dan diameter outlet D2= 25 mm. Tentukan
tekanan gage minimum agar kapasitasQ = 0,02 m3/sec.By : Heru
MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin ITS 53Penyelesaian
:Persamaan dasar :222 2121 1.2.2z gV pz gV p+ + = + + } } + cc=CS
CVA d V dt 0Asumsi :1. Steady flow2. Incompressible flow.3. Aliran
sepanjang streamline4. z1= z25. uniform flow at section 1 and
2Pemakaian persamaan Bernoulli :, )||.|
\|- = - = - = - = 12 22122212122 2 1 1 1VVV V V p p p p pa tm g
Pemakaian persamaan kontinuitas : 2 2 1 1. . 0 A V A V+- = 02 2 1
1==A V A VSehingga :2112AAVV=dan111AQV =Selanjutnya :||.|
\|- = 1. 222212121AAAQpg
]
-||.|
\|= 1.. . 842141221DDDQpgx Sehingga :, ), ) m kgs Nx Qmxmkgx
pg..1 3075 , 01999824 24 4 3 21- =xKPams NQ x pg820.10 05 , 2622
91= =By : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin ITS 544-4.2
Control Volume Yang Bergerak dengan Kecepatan
KonstanPermasalahansebelumnyamengilustrasikanpemakaianpersamaanmomentumuntukcontrolvolumeyangdiam.SekarangkitaakanmembahaspersamaanmomentumpadaCVyangbergerak
dengan kecepatan konstan relatif terhadap sistem koordinat XYZ yang
diam.Persamaan4.11yangmengekspresikansystemderivasidalambentukvariabelCV,adalahvalid
untuk berbagai pergerakan sistem koordinat xyz. Catatan :1. Semua
kecepatan diukur relatif thd CV.2. Semua turunan dievaluasi relatif
thd CVBila ditulis kembali persamaan transport:} } + cc= |.|CSx y
zCVsy stemA d V dt d td N q
qJikasemuabesaranharusdiukurrelatifterhadapCV,penggunaanpersamaaniniuntukmemperoleh
persamaan momentum suatu CV yang diam dari formulasi sistem, kita
harus set :x y zP N=x y zV= qPersamaan CV selanjutnya ditulis :} }
+ cc= + =CSx y z x y zCVx y z B SA d V V d VtF F F . .
(4.27)Persamaan 4.27 adalah pemakaian rumus hukum Newton II untuk
beberapa inertial CV (diam ataubergerak dengan kecepatan
konstan)Contoh 4.10 Van bergerak dengan kecepatan konstanPada
gambar sketch menunjukkan suatu vane dengan sudut turning 600. Vane
bergerak padakecepatan konstan U = 10 m/s. Menerima water jet dari
nozzle yang diam dengan kecepatan 30 m/s.Luasan nozzle keluar A =
0.003 m2. Tentukan gaya yang digunakan untuk menjaga agar
kecepatanvane konstan.By : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik
Mesin ITS 55Peny elesa ia n :Pilih CV yang bergerak beserta vane
dengan kecepatan konstan U, seperti ditunjukkan olehgaris
putus-putus. Rxdan Ryadalah komponen gaya2yang dibutuhkan untuk
menjaga kecepatan CVpada 10 m/s.Persamaan dasar :} } + cc= + =CSx y
z x y zCVx y z B SA d V V d VtF F F . . } } + cc=CS CVA d V dt
0Asumsi :4. Aliran steady relatif thd vane5. Besarnya kecepatan
relatif sepanjang vane adalah konstan.U V V V - = =2 1 6. Uniform
pada section 1 dan 2.7. FBx= 08. Incompressible flowKomponen
persamaan momentum ke arah sb X :} } + cc= +CSx y z x y zCVx y z Bx
SxA d V u d utF F . Tidak ada gaya tekan netto, jika patmbekerja
pada semua sisi CV } }+ - = + - =22 2 2 1 1 11 A AxA V u A V u Vd A
u Vd A u R (Semua kecepatan diukur relatif terhadap xyz),Dari hukum
kontinuitas : } }+ - = + - =22 2 1 110A AA V A V Vd A Vd A 2 2 1 1A
V A V =Sehingga :, )1 1 1 2A V u u Rx - =Semua kecepatan harus
diukur relatif terhadap CV :U V V - =1U V V - =2U V u - =1, ) u
cos2U V u - =By : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin ITS
56Bila disubtitusikan :, ) , ) , )1 1cos A U V U V U V Rx- - - - =
u, ) , ) , )1 11 cos A U V U V Rx- - - = u, ) , ) , )m kgs Nm
xsmmkgsmRx..003 . 0 10 30 999 1 5 . 0 10 30223- - - =N Rx599 - =
(ke kiri)Persamaan momentum kearah sumbu Y :} } + cc= +CSx y z x y
zCVx y z By SyA d V v d vtF F . Dilambangkan massa di dalam CV
adalah M } }= = -2 A CSyVd A v Vd A v M g R v1= 0 }= = =21 1 2 2 2
2AA V v A V v Vd A v , ) , )1 1sin A U V U V - - = u, ) , ) , )m
kgs Nm xsmmkgsmM g Ry..003 . 0 10 30 999 866 . 0 10 30223- - = -KN
M g Ry04 . 1 = -(ke
atas)AbaikangayaberatvanedanairyangadadivanemakaGayanettoyangdibutuhkanuntukmempertahankan
kecepatan vane konstan :, ) KN j i R04 , 1599 , 0 + -
=4.5.PERSAMAANMOMENTUMUNTUKCONTROLVOLUMEYANGBERGERAK DENGAN
PERCEPATAN
KONSTANUntukmengembangkanpersamaanmomentumuntukCVyangbergerakdenganpercepatankonstanperluhubunganPXYZdarisistemterhadapPxyzsistem.Penurunansistemd
td PXYZdapatdihubungkan terhadap variasi CV melalui persamaan
4.26.kitamulaimenulishukumNewtonIIuntuksistem,ingatbahwapercepatanharusdiukurrelatifterhadap
suatu kerangka referensi yang diam yang mana telah dilambangkan
dengan XYZBy : Heru MirmantoDiploma-3 Jurusan Teknik Mesin ITS 57}
}= = |.|=) ( ) (.sy stem ma ssXYZsy stem ma ssXYZsy stemXYZd md td
Vd m Vd tdd td PF}=) (.sy stem ma ssXYZd m a FJika gerak dari xyz
murni translasi, tanpa rotasi, relatif terhadap referensi yang diam
XYZ :}+ =) ( sy stem ma ssrf x y z XYZd m a a aUntuk masalah ini
kita dapat menulis persamaan :, )} }+ = =) ( ) (. .sy stem ma ssrf
x y zsy stem ma ssXYZd m a a d m a F} }= -) ( ) (. .sy stem ma ssx
y zsy stem ma ssrfd m a d m a Fdand tV dax y zXYZ =sy stemx y zsy
stem ma ssx y zd td Pd m V dd td||.|= =}) (.sy stemx y zsy stem ma
ssx y zd td Pd m V dd td||.|= =}) (.BilaV d d m . =sy stemx y zsy
stem Vrfd td PV d a F||.|= = -}) (. Dimana momentum linear :)} }=
=) ( ) (. . .sy stem Vx y zsy stem ma ssx y zsy stemx y zV d V d m
V P
