Dane INFORMACYJNE

Projekt „AS KOMPETENCJI” jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków

Europejskiego Funduszu Społecznego

Program Operacyjny Kapitał Ludzki 2007-2013

CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA

Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu SpołecznegoPrezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie

DANE INFORMACYJNENazwa szkół:

ZESPÓŁ SZKÓŁ TECHNICZNYCH W SŁUBICACH

LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W ŚREMIE

ID grupy:

97/23_MF_G1 97/54_mf_g1

Kompetencja:

MATEMATYCZNO - FIZYCZNA

Temat projektowy:

Wzór Eulera dla wielościanów

Semestr/rok szkolny:

semestr trzeci/rok szkolny 2010/2011

Twierdzenie Eulera o wielościanach

Twierdzenie Eulera o wielościanach, twierdzenie Eulera dla wielościanów wypukłych — twierdzenie o wielościanach wypukłych opisujące zależność między liczbą wierzchołków, ścian i krawędziami wielościanu.

gdzie:

W — liczba wierzchołków

S — liczba ścian

K — liczba krawędzi

DOWÓD

Wyobraźmy sobie wykonany z jakiegoś materiału (np. z tektury) wielościan. Jeżeli go rozetniemy wzdłuż krawędzi, tak jednak, aby jedna ściana przylegała do sąsiedniej, to możemy całą bryłę rozwinąć na płaszczyźnie*. Otrzymamy w ten sposób szereg wielokątów o bokach do siebie parami przystających. Rozpatrzmy jeden z tych wielokątów, tj. jedną ze ścian: wtedy S = 1, liczba boków tego wielokąta, czyli liczba krawędzi będzie równa liczbie wierzchołków, tj. W = K, a zatem otrzymujemy zależność

Dowód

Rozważmy teraz dwa przyległe do siebie wielokąty łącznie. Będzie wówczas S = 2, ponieważ te wielokąty będą miały jeden bok wspólny i dwa wierzchołki wspólne, więc liczba krawędzi będzie o 1 większa niż wierzchołków: K = W + 1, a więc będzie znowu S + W = K + 1. Dołączając trzeci wielokąt, spostrzeżemy w taki sam sposób, że zależność poprzednio otrzymana pozostanie bez zmiany (będzie S = 3, W = K - 2). Postępując w ten sposób dalej, stwierdzić możemy, że wciąż zależność nasza będzie taka sama, aż dopiero kiedy dołączymy ostatni wielokąt i wszystkie wielokąty zamkniemy, tworząc dany wielościan, spostrzeżemy, że przez ostatnie dołączenie liczba krawędzi i wierzchołków pozostanie bez zmiany (były one już rozważone poprzednio), przybędzie tylko jedna ściana, a zatem będzie ostatecznie

Uogólnienia

Zachodzą także nierówności:

Analogiczne twierdzenie można uzyskać także dla grafów planarnych. Odpowiednikiem wierzchołka i krawędzi wielościanu jest wierzchołek i krawędź grafu, a odpowiednikiem ściany wielościanu obszar otoczony przez krawędzie grafu, a także obszar na zewnątrz grafu.

Uogólnienia

Uogólnienie wzoru Eulera:

gdzie T to liczba tzw. „tuneli”, czyli wielościennych „wydrążeń” przenikających z jednej strony na drugą tak, że wielościan staje się bryłą (T+1)-spójną.

Warto zauważyć, że twierdzenie to nie ma postaci równoważności: każdy wielościan wypukły spełnia powyższe równanie, ale nie każdy zestaw ścian, wierzchołków i krawędzi spełniający równanie opisuje jakiś wielościan wypukły - łatwo wskazać kontrprzykłady, np. W=2, K=S=0. Istnieją też wielościany nie wypukłe, które to równanie spełniają

WielościanyBryłę „W” nazywamy wielościanem, jeżeli jej brzeg jest sumą skończonej liczby wielokątów, zwanych ścianami wielościanu, przy czym:1. jeśli dwa wielokąty zawierają się w jednej płaszczyźnie, to mają co najwyżej jeden punkt wspólny,2. każde dwa punkty brzegowe bryły „W” można połączyć łamaną zawartą w jej brzegu.

Boki ścian wielościanu nazywamy krawędziami, a wierzchołki ścian - wierzchołkami wielościanu.

Twierdzenie Eulera. Jeśli wielościan wypukły ma w wierzchołków, k krawędzi i s ścian, tow - k + s = 2

WielościanyWielościanem foremnym nazywamy wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są przystającymi wielokątami foremnymi i każdy jego wierzchołek jest końcem tej samej liczby krawędzi wielościanu. Wielościany foremne nazywamy również bryłami platońskimi.

Istnieje tylko pięć (5) brył platońskich. Są to: tetraedr (czworościan foremny), heksaedr (sześcian), oktaedr (ośmiościan foremny), dodekaedr (dwunastościan foremny) i ikosaedr (dwudziestościan foremny). Dlaczego tylko pięć? Pitagoras udowodnił, że płaszczyzna dookoła punktu może być zapełniona jednolicie tylko trzema rodzajami wielokątów foremnych: trójkątami, kwadratami albo pięciokątami. Żeby powstało naroże potrzebne są co najmniej trzy ściany oraz suma kątów płaskich w wierzchołku musi być mniejsza od kata pełnego. Wszystkie ściany w przypadku brył platońskich są jednakowe. Zatem jeśli wielokąty foremne tego samego rodzaju maja utworzyć naroże, to takich kombinacji jest właśnie pięć.

Wielościany

tetraedr heksaedr oktaedr dodekaedr ikosaedr

Bryły platońskie

TWIERDZENIE EULERA I JEGO ZASTOSOWANIE.

1. SFORMUŁOWANIE I ROZWIĄZANIE ZADANIA 1.

Na płaszczyźnie danych jest p punktów (p>2). Punkty te połączono nieprzecinającymi się krzywymi tworząc spójny graf.

Ile obszarów zamkniętych utworzyły krzywe tego grafu?

Rozwiązanie:

Dla trzech punktów graf składa się z 2 lub 3 krzywych - rys.1.

Dla czterech punktów graf składa się z 3 lub z 4 lub z 5 lub z 6 krzywych - rys 2.

Teza: Ilość s obszarów zamkniętych wynosi s = k-p+1.

Rozwiązanie:

Udowodnimy indukcyjnie wzór s = k-p+1 prowadząc indukcję ze względu na ilość p punktów grafu.

1o. Niech p=3 (rys.1). Jeżeli k=2 to s=0; jeśli k=3 to s=1

Ze wzoru s = k-p+1 również otrzymujemy te same wartości: dla k=2, s = 2-3+1 = 0, dla k=3, s=3-3+1=1, zatem wzór jest prawdziwy dla p=3.

2o. Załóżmy, że dla każdego grafu składającego się z p punktów i mającego k krzywych, zachodzi równość s = k-p+1.

Udowodnimy, że dla grafu mającego p+1 punktów również zachodzi ten wzór.

Dowód:Dodając jeden nowy punkt do grafu składającego się z p punktów musimy połączyć go nową krzywą z którymś z dotychczasowych punktów. Nie powstanie przy tym żaden nowy obszar zamknięty ponieważ jest to pierwsza krzywa wychodząca z tego punktu.

Wyrażenie k-p+1 przyjmie więc postać (k+1)-(p+1)+1=k-p+1 = s, czyli wzór jest spełniony.

Zbudowanie r nowych połączeń pomiędzy p+1 punktami w każdym z możliwych układów, spowoduje wzrost liczby krzywych o r oraz wzrost liczby obszarów również o r, ponieważ dorysowanie każdej krzywej albo tworzy jeden nowy obszar, albo też rozdziela już istniejący obszar na dwa obszary, czyli przybywa jeden obszar.

Wyrażenie s = k-p+1 przyjmie więc postać s+r = (k+1+r)-(p+1)+1, a stąd

s+r = k+r-p+1 i ostatecznie s = k-p+1. c.n.d.

Zatem wzór s= k-p+1 jest prawdziwy dla wszelkich grafów składających się z p punktów.

2. Rozwiązanie zadania 2.

Korzystając ze wzoru s = k-p+1 znajdź związek między ilością ścian, ilością wierzchołków i ilością krawędzi dowolnego wielościanu wypukłego?

Do rozwiązania tego zadania należy najpierw dokonać myślowej transformacji zamieniającej wielościan na figurę płaską. W tym celu należy usunąć jedną ze ścian wielościanu, zostawiając jej krawędzie, i zakładając, że wielościan jest wykonany z elastycznego materiału, rozciągnąć go płasko na płaszczyźnie. Wówczas spełnioniony jest wzór s= k-p+1.

Przyjmując oznaczenia s=s (ilość ścian wielościanu), k - ilość krawędzi wielościanu, p= w (ilość wierzchołków wielościanu) otrzymujemy s= k-w+1. Dodając teraz usuniętą wcześniej ścianę otrzymujemy ostatecznie:

Odpowiedź: s = k - w + 2. (Tw. Eulera)

3. Wprowadzenie definicji i przykładów wielościanów foremnych.

Definicja.

Wielościan nazywamy foremnym jeśli wszystkie jego ściany są przystające i wszystkie naroża również są przystające.

Przykładami wielościanów foremnych są sześcian i czworościan foremny.

4. Rozwiązanie zadania 3.Znajdź wszystkie wielościany foremne.

Rozwiązanie:

Ponieważ poszukiwany wielościan ma być foremny więc przyjmijmy, że ma on pewną ilość ścian s i każda ściana ma a boków, oraz że ma on w wierzchołków i z każdego wierzchołka wychodzi b krawędzi. Przyjmijmy też, że ma on k krawędzi.

Otrzymujemy stąd s*a/2 = k i w*b/2=k, a po przekształceniu s=2*k/a i w=2*k/b.

Korzystamy teraz ze wzoru Eulera s = k - w + 2 i wstawiamy do niego dwa ostatnie wyrażenia. Otrzymujemy wyrażenie 2*k/a = k - 2*k/b + 2 a stąd po przekształceniu

2/a + 2/b - 2/k = 1

Rozwiązanie zadania 3

Aby znaleźć jakiś wielościan foremny należy dobrać odpowiednią trójkę liczb a, b, k spełniającą ostatnią równość. Uczniowie mogą albo ręcznie sprawdzać różne trójki liczb albo napisać krótki program komputerowy do znajdowania tych liczb.program Wielosciany_foremne; {Turbo Pascal}uses crt;var a,b,k:integer;beginclrScr;for a:=3 to 50 dofor b:=3 to 50 dofor k:=3 to 50 doif 2/a+2/b-2/k=1 thenwriteLn(a,' ',b,' ',k,' ',2*k/a:2:0);readLn;end.program Wielosciany_foremne; {Think Pascal}

var a, b, k: integer;begin

for a := 3 to 50 do for b := 3 to 50 do for k := 3 to 50 do

if 2 / a + 2 / b - 2 / k = 1 thenwriteln(a, b, k,2*k/a:2:0);end.


Powyższy program daje tylko trzy rozwiązania:

a=3 b=3 k=6 s=4

a=3 b=5 k=30 s=20

a=5 b=3 k=30 s=12

Wśród tych rozwiązań nie ma jednak sześcianu. Nie jest to błąd programu lecz niedokładność obliczeń. Należy omówić z uczniami rachunek błędów i zmienić linię programu if 2/a+2/b-2/k=1 then na postać if abs(2/a+2/b-2/k-1)<0.000001 then.


Teraz otrzymujemy wszystkie rozwiązania, dające wszystkie rodzaje wielościanów foremnych:

a=3, b=3, k=6, s=4 - czworościan foremny

a=3, b=4, k=12, s=8 - ośmiościan foremny

a=3, b=5, k=30, s=20 - dwudziestościan foremny

a=4, b=3, k=12, s=6 - sześcian

a=5, b=3, k=30, s=12 - dwunastościan foremny.


Należy jeszcze uzasadnić (na podstawie analizy wzoru 2/a+2/b-2/k=1), że poszukiwania trójek a, b, k wśród coraz większych liczb nie jest potrzebne, ponieważ 2/a+2/b musiałoby być >1 co nie może mieć miejsca. Znalezione wielościany są więc wszystkimi możliwymi wielościanami foremnymi.

Projekt „AS KOMPETENCJI” jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków

Europejskiego Funduszu Społecznego

Program Operacyjny Kapitał Ludzki 2007-2013

CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA

Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu SpołecznegoPrezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie

Documents

Dane INFORMACYJNE