Click here to load reader

Dane INFORMACYJNE

  • View
    34

  • Download
    0

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Dane INFORMACYJNE. Nazwa szkół: ZESPÓŁ SZKÓŁ TECHNICZNYCH W SŁUBICACH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W ŚREMIE ID grupy: 97/23_MF_G1 97/54_mf_g1 Kompetencja: MATEMATYCZNO - FIZYCZNA Temat projektowy: Wzór Eulera dla wielościanów Semestr/rok szkolny: semestr trzeci/rok szkolny 2010/2011. - PowerPoint PPT Presentation

Text of Dane INFORMACYJNE

PowerPoint Presentation

Projekt AS KOMPETENCJI jest wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach rodkw Europejskiego Funduszu SpoecznegoProgram Operacyjny Kapita Ludzki 2007-2013CZOWIEK NAJLEPSZA INWESTYCJA

Publikacja jest wspfinansowana przez Uni Europejsk w ramach rodkw Europejskiego Funduszu SpoecznegoPrezentacja jest dystrybuowana bezpatnie1Dane INFORMACYJNENazwa szk:ZESP SZK TECHNICZNYCH W SUBICACHLICEUM OGLNOKSZTACCE W REMIE ID grupy:97/23_MF_G1 97/54_mf_g1Kompetencja:MATEMATYCZNO - FIZYCZNATemat projektowy:Wzr Eulera dla wielocianw Semestr/rok szkolny: semestr trzeci/rok szkolny 2010/20112Twierdzenie Eulera o wielocianachTwierdzenie Eulera o wielocianach, twierdzenie Eulera dla wielocianw wypukych twierdzenie o wielocianach wypukych opisujce zaleno midzy liczb wierzchokw, cian i krawdziami wielocianu.

gdzie:W liczba wierzchokwS liczba cianK liczba krawdzi

3DOWDWyobramy sobie wykonany z jakiego materiau (np. z tektury) wielocian. Jeeli go rozetniemy wzdu krawdzi, tak jednak, aby jedna ciana przylegaa do ssiedniej, to moemy ca bry rozwin na paszczynie*. Otrzymamy w ten sposb szereg wieloktw o bokach do siebie parami przystajcych. Rozpatrzmy jeden z tych wieloktw, tj. jedn ze cian: wtedy S = 1, liczba bokw tego wielokta, czyli liczba krawdzi bdzie rwna liczbie wierzchokw, tj. W = K, a zatem otrzymujemy zaleno

DowdRozwamy teraz dwa przylege do siebie wielokty cznie. Bdzie wwczas S = 2, poniewa te wielokty bd miay jeden bok wsplny i dwa wierzchoki wsplne, wic liczba krawdzi bdzie o 1 wiksza ni wierzchokw: K = W + 1, a wic bdzie znowu S + W = K + 1. Doczajc trzeci wielokt, spostrzeemy w taki sam sposb, e zaleno poprzednio otrzymana pozostanie bez zmiany (bdzie S = 3, W = K - 2). Postpujc w ten sposb dalej, stwierdzi moemy, e wci zaleno nasza bdzie taka sama, a dopiero kiedy doczymy ostatni wielokt i wszystkie wielokty zamkniemy, tworzc dany wielocian, spostrzeemy, e przez ostatnie doczenie liczba krawdzi i wierzchokw pozostanie bez zmiany (byy one ju rozwaone poprzednio), przybdzie tylko jedna ciana, a zatem bdzie ostatecznie

UoglnieniaZachodz take nierwnoci:

Analogiczne twierdzenie mona uzyska take dla grafw planarnych. Odpowiednikiem wierzchoka i krawdzi wielocianu jest wierzchoek i krawd grafu, a odpowiednikiem ciany wielocianu obszar otoczony przez krawdzie grafu, a take obszar na zewntrz grafu.

UoglnieniaUoglnienie wzoru Eulera:

gdzie T to liczba tzw. tuneli, czyli wielociennych wydre przenikajcych z jednej strony na drug tak, e wielocian staje si bry (T+1)-spjn.Warto zauway, e twierdzenie to nie ma postaci rwnowanoci: kady wielocian wypuky spenia powysze rwnanie, ale nie kady zestaw cian, wierzchokw i krawdzi speniajcy rwnanie opisuje jaki wielocian wypuky - atwo wskaza kontrprzykady, np. W=2, K=S=0. Istniej te wielociany nie wypuke, ktre to rwnanie speniaj

WielocianyBry W nazywamy wielocianem, jeeli jej brzeg jest sum skoczonej liczby wieloktw, zwanych cianami wielocianu, przy czym:1. jeli dwa wielokty zawieraj si w jednej paszczynie, to maj co najwyej jeden punkt wsplny,2. kade dwa punkty brzegowe bryy W mona poczy aman zawart w jej brzegu.

Boki cian wielocianu nazywamy krawdziami, a wierzchoki cian - wierzchokami wielocianu.Twierdzenie Eulera. Jeli wielocian wypuky ma w wierzchokw, k krawdzi i s cian, tow - k + s = 2WielocianyWielocianem foremnym nazywamy wielocian wypuky, ktrego wszystkie ciany s przystajcymi wieloktami foremnymi i kady jego wierzchoek jest kocem tej samej liczby krawdzi wielocianu. Wielociany foremne nazywamy rwnie bryami platoskimi.Istnieje tylko pi (5) bry platoskich. S to: tetraedr (czworocian foremny), heksaedr (szecian), oktaedr (omiocian foremny), dodekaedr (dwunastocian foremny) i ikosaedr (dwudziestocian foremny). Dlaczego tylko pi? Pitagoras udowodni, e paszczyzna dookoa punktu moe by zapeniona jednolicie tylko trzema rodzajami wieloktw foremnych: trjktami, kwadratami albo picioktami. eby powstao naroe potrzebne s co najmniej trzy ciany oraz suma ktw paskich w wierzchoku musi by mniejsza od kata penego. Wszystkie ciany w przypadku bry platoskich s jednakowe. Zatem jeli wielokty foremne tego samego rodzaju maja utworzy naroe, to takich kombinacji jest wanie pi.Wielocianytetraedr heksaedr oktaedr dodekaedr ikosaedr

Bryy platoskie

Twierdzenie Eulera i jego zastosowanie. 1. Sformuowanie i rozwizanie zadania 1.Na paszczynie danych jest p punktw (p>2). Punkty te poczono nieprzecinajcymi si krzywymi tworzc spjny graf. Ile obszarw zamknitych utworzyy krzywe tego grafu?

Rozwizanie:Dla trzech punktw graf skada si z 2 lub 3 krzywych - rys.1.

Dla czterech punktw graf skada si z 3 lub z 4 lub z 5 lub z 6 krzywych - rys 2.

Teza: Ilo s obszarw zamknitych wynosi s = k-p+1.

Rozwizanie:Udowodnimy indukcyjnie wzr s = k-p+1 prowadzc indukcj ze wzgldu na ilo p punktw grafu.1o. Niech p=3 (rys.1). Jeeli k=2 to s=0; jeli k=3 to s=1 Ze wzoru s = k-p+1 rwnie otrzymujemy te same wartoci: dla k=2, s = 2-3+1 = 0, dla k=3, s=3-3+1=1, zatem wzr jest prawdziwy dla p=3.2o. Zamy, e dla kadego grafu skadajcego si z p punktw i majcego k krzywych, zachodzi rwno s = k-p+1.Udowodnimy, e dla grafu majcego p+1 punktw rwnie zachodzi ten wzr.

Dowd:Dodajc jeden nowy punkt do grafu skadajcego si z p punktw musimy poczy go now krzyw z ktrym z dotychczasowych punktw. Nie powstanie przy tym aden nowy obszar zamknity poniewa jest to pierwsza krzywa wychodzca z tego punktu. Wyraenie k-p+1 przyjmie wic posta (k+1)-(p+1)+1=k-p+1 = s, czyli wzr jest speniony.Zbudowanie r nowych pocze pomidzy p+1 punktami w kadym z moliwych ukadw, spowoduje wzrost liczby krzywych o r oraz wzrost liczby obszarw rwnie o r, poniewa dorysowanie kadej krzywej albo tworzy jeden nowy obszar, albo te rozdziela ju istniejcy obszar na dwa obszary, czyli przybywa jeden obszar.Wyraenie s = k-p+1 przyjmie wic posta s+r = (k+1+r)-(p+1)+1, a stds+r = k+r-p+1 i ostatecznie s = k-p+1. c.n.d.Zatem wzr s= k-p+1 jest prawdziwy dla wszelkich grafw skadajcych si z p punktw.2. Rozwizanie zadania 2.Korzystajc ze wzoru s = k-p+1 znajd zwizek midzy iloci cian, iloci wierzchokw i iloci krawdzi dowolnego wielocianu wypukego? Do rozwizania tego zadania naley najpierw dokona mylowej transformacji zamieniajcej wielocian na figur pask. W tym celu naley usun jedn ze cian wielocianu, zostawiajc jej krawdzie, i zakadajc, e wielocian jest wykonany z elastycznego materiau, rozcign go pasko na paszczynie. Wwczas spenioniony jest wzr s= k-p+1.Przyjmujc oznaczenia s=s (ilo cian wielocianu), k - ilo krawdzi wielocianu, p= w (ilo wierzchokw wielocianu) otrzymujemy s= k-w+1. Dodajc teraz usunit wczeniej cian otrzymujemy ostatecznie:Odpowied: s = k - w + 2. (Tw. Eulera)3. Wprowadzenie definicji i przykadw wielocianw foremnych.Definicja.Wielocian nazywamy foremnym jeli wszystkie jego ciany s przystajce i wszystkie naroa rwnie s przystajce.Przykadami wielocianw foremnych s szecian i czworocian foremny.4. Rozwizanie zadania 3.Znajd wszystkie wielociany foremne.Rozwizanie:Poniewa poszukiwany wielocian ma by foremny wic przyjmijmy, e ma on pewn ilo cian s i kada ciana ma a bokw, oraz e ma on w wierzchokw i z kadego wierzchoka wychodzi b krawdzi. Przyjmijmy te, e ma on k krawdzi. Otrzymujemy std s*a/2 = k i w*b/2=k, a po przeksztaceniu s=2*k/a i w=2*k/b.Korzystamy teraz ze wzoru Eulera s = k - w + 2 i wstawiamy do niego dwa ostatnie wyraenia. Otrzymujemy wyraenie 2*k/a = k - 2*k/b + 2 a std po przeksztaceniu 2/a + 2/b - 2/k = 1Rozwizanie zadania 3Aby znale jaki wielocian foremny naley dobra odpowiedni trjk liczb a, b, k speniajc ostatni rwno. Uczniowie mog albo rcznie sprawdza rne trjki liczb albo napisa krtki program komputerowy do znajdowania tych liczb.

program Wielosciany_foremne; {Turbo Pascal}uses crt;var a,b,k:integer;beginclrScr;for a:=3 to 50 dofor b:=3 to 50 dofor k:=3 to 50 doif 2/a+2/b-2/k=1 thenwriteLn(a,' ',b,' ',k,' ',2*k/a:2:0);readLn;end.program Wielosciany_foremne; {Think Pascal}var a, b, k: integer;begin for a := 3 to 50 do for b := 3 to 50 do for k := 3 to 50 doif 2 / a + 2 / b - 2 / k = 1 thenwriteln(a, b, k,2*k/a:2:0);end.

Rozwizanie zadania 3Powyszy program daje tylko trzy rozwizania:a=3b=3k=6s=4a=3b=5k=30s=20a=5b=3k=30s=12Wrd tych rozwiza nie ma jednak szecianu. Nie jest to bd programu lecz niedokadno oblicze. Naley omwi z uczniami rachunek bdw i zmieni lini programu if 2/a+2/b-2/k=1 then na posta if abs(2/a+2/b-2/k-1)1 co nie moe mie miejsca. Znalezione wielociany s wic wszystkimi moliwymi wielocianami foremnymi.

Projekt AS KOMPETENCJI jest wspfinansowany przez Uni Europejsk w ramach rodkw Europejskiego Funduszu SpoecznegoProgram Operacyjny Kapita Ludzki 2007-2013CZOWIEK NAJLEPSZA INWESTYCJA

Publikacja jest wspfinansowana przez Uni Europejsk w ramach rodkw Europejskiego Funduszu SpoecznegoPrezentacja jest dystrybuowana bezpatnie23