DAN Materi TRANFORMASI - ocw.stikom.eduocw.stikom.edu/course/download/2012/11/Transformasi-dan-Invers-La... · maka penyelesaian dari persamaan diferensial ... Gambar 2.1 Prosedur

Diktat Kuliah : Sistem Kendali Elektrik Teknik Elektro Universitas Widyagama Malang

Transformasi dan Invers Laplace II-1

TRANFORMASI DAN INVERS LAPLACE

Didalam perancangan dan analisa sistem pengaturan akan banyak dijumpai persamaan-

persamaan diferensial dimana ia merupakan pemodelan dari suatu sistem. Untuk

mengetahui sifat-sifat dari suatu sistem, persamaan-persamaan tersebut harus

dipecahkan, dan salah satu teknik untuk memecahkan persamaan diferensial adalah

menggunakan metode transformasi Laplace.

Teknik pengalih bentuk yang menghubungkan fungsi-fungsi waktu ke fungsi-fungsi

tergantung frekuensi dari suatu variabel kompleks. Teknik ini disebut Transformasi

Laplace atau alih bentuk Laplace.

Dalam bab ini akan dibahas tentang metode transformasi Laplace, dan transformasi

baliknya.

Tujuan Instruksional khusus:

Mahasiswa mendapat pengetahuan tentang dasar matematis yang diperlukan dalam sistem kendali.

Mahasiswa dapat menggunakan metode transformasi Laplace untuk menyelesaikan persamaan sistem kendali.

Mahasiswa dapat menggunakan tabel transformasi Laplace untuk menyelesaikan persamaan sistem kendali.

Materi II



2.1. TRANSFORMASI LAPLACE Transformasi Laplace adalah suatu metode operasional yang dapat

digunakan secara mudah untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier. Dengan menggunakan transformasi Laplace, dapat diubah beberapa fungsi umum seperti fungsi sinusoida, fungsi sinusoida teredam, dan fungsi eksponensial menjadi fungsi-fungsi aljabar variabel kompleks s . Bila persamaan aljabar dalam s dipecahkan, maka penyelesaian dari persamaan diferensial (transformasi Laplace balik dari variabel tidak bebas) dapat diperoleh dengan menggunakan tabel transformasi Laplace.

Secara sederhana prosedur dasar pemecahan menggunakan metode transformasi Laplace adalah: Persamaan diferensial yang berada dalam kawasan waktu (t), ditransformasikan

ke kawasan frekuensi (s) dengan transformasi Laplace. Untuk mempermudah proses transformasi dapat digunakan Tabel 2-1.

Persamaan yang diperoleh dalam kawasan s tersebut adalah persamaan aljabar dari variabel s yang merupakan operator Laplace.

Penyelesaian yang diperoleh kemudian ditransformasi-balikkan ke dalam kawasan waktu.

Hasil transformasi balik ini menghasilkan penyelesaian persamaan dalam kawasan waktu.

Gambar 2.1 Prosedur penyelesaian persamaan diferensial

menggunakan metode transformasi Laplace.

Persamaan diferensial

variabel x(t). Penyelesaian x(t).

Persamaan Aljabar

operator s

Penyelesaian Aljabar

X(s)

Transformasi Laplace Transformasi Balik Laplace

Perhitungan Aljabar

Penyelesaian Langsung (analitik)

Kawasan waktu (t)

Kawasan frekuensi (s)



1. Definisi transformasi Laplace

L

0 0

)()]([)()]([ dtetftfdtesFtf stst (2-1)

)(tf = fungsi waktu t sedemikian rupa sehingga 0)( tf untuk 0t

s = variabel kompleks (operator Laplace) = + j (dengan j = satuan imajiner) L = simbol operasional yang menunjukkan bahwa besaran yang didahuluinya

ditransformasikan dengan integral Laplace

0dte st

)(sF = tranformasi Laplace dari )(tf

2.2. TRANSFORMASI LAPLACE BALIK (INVERS-LAPLACE)

Proses kebalikan dari penemuan fungsi waktu )(tf dari transformasi Laplace )(sF dinamakan transformasi balik Laplace. Notasi untuk transformasi balik Laplace adalah L-1. Jadi

L-1 )()]([ tfsF (2-2)

Pada bab ini tidak akan dibahas secara mendetail penyelesaian transformasi Laplace, akan tetapi di lebih ditekankan pada penggunaan tabel transformasi Laplace untuk menyelesaikan persamaan fungsi yang sering ditemui dalam teknik kendali, untuk selanjutnya digunakan Tabel 2-1 untuk memperoleh pasangan transformasi Laplace.



Tabel 2-1 Transformasi Laplace

f(t)

F(s)

1. Impuls satuan δ(t) 1

2. Langkah satuan 1(t) s

1

3. t 2

1

s

4. )!1(

1

n

t n

( n = 1, 2, 3, . . . ) ns

1

5. tn ( n = 1, 2, 3, . . . ) 1

!ns

n

6. e-at

as

1

7. te-at 2)(

1

as

8. atn et

n

1

)!1(

1 ( n = 1, 2, 3, . . . )

nas )(

1

9. tne-at ( n = 1, 2, 3, . . . ) 1)(

! nas

n

10. sin ωt 22

s

11. cos ωt 22 s

s

12. sinh ωt 22

s

13. cosh ωt 22 s

s

14. )1(1 atea

)(

1

ass

15. )(1 btat ee

ab

))((

1

bsas

16. )(1 atbt aebe

ab

))(( bsas

s

17.

)(

11

1 btat aebebaab

))((

1

bsass

18. )1(1

2

atat ateea

2)(

1

ass



f(t)

F(s)

19. )1(1

2

ateata

)(

12 ass

20. te at sin 22)(

as

21. te at cos 22)(

as

as

22. te n

tn n 2

21sin

1

22

2

2 nn

n

ss

23.

)1sin(1

2

2

te n

tn n

2

1 1tan

22 2 nn ss

s

24.

)1sin(1

1 2

2

te n

tn n

2

1 1tan

)2( 22

2

nn

n

sss

25. 1 - cos ωt )( 22

2

ss

26. ωt - sin ωt )( 222

3

ss

27. sin ωt - ωt cos ωt 222

3

)(

2

s

28. tt

sin2

1 222 )( s

s

29. t cos ωt 222

22

)(

s

s

30. )cos(cos1

212

1

2

2

tt

)( 2

2

2

1 ))(( 2

2

22

1

2 ss

s

31. )cos(sin2

1ttt

222

2

)( s

s



Sekarang akan dibahas beberapa sifat dari transformasi Laplace Perkalian dengan konstanta

L

00

)()()( dtetfAdtetAftAf stst

)(sAF (2-3)

Penjumlahan dan pengurangan

L )()( 21 tftf

0 0

210

21 )()()]()([ dtetfdtetfdtetftf ststst

)()( 21 sFsF (2-4)

Diferensiasi

L

0

00

))((])([)()( dtsetfetfdtetfdt

dtf

dt

d ststst

)0()()()0(00

fssFdtetfsf st

(2-5)

Mirip dengan itu, untuk turunan ke-n dari )(tf diperoleh

L )0()0(...)0()0()()()1()2(.

21

nnnnn

n

n

ffsfsfssFstfdt

d

n

r

rrnn fssFs

1

)1(

)0()( (2-6)

Integrasi

L

0 00

)()(t

t

stt

tdtedfdf

0

1

0

1 ))(()()(0

dtetfedf st

s

st

s

t

t

0

10

1 )()(0

dtetfdf st

st s

0

11

0

)()(tss

dfsF (2-7)

Diferensiasi dan Integrasi pada kawasan s

)(sFds

d

00)()( dtetf

ds

ddtetf

ds

d stst



0

)( dtettf st = L[-t f(t)] = -L[tf(t)]

sdssF )(

s

stdtdsetf0

)(

0

)(s

stdsdtetf

s s

st

ts

st

tdtetfdtetf

0

11 )(0)( )(1 tfLt

(2-8)

Perubahan skala waktu

L dtet

ft

f st

0

(2-9)

Dengan mengganti 1/ tt ; sehingga 1tt , dan 1dtdt , diperoleh

L

0

11 )()( 11 tdetft

fts

011

11)( dtetfts

)( sF (2-10) Harga awal

)(lim)(lim

0ssFtf

st (2-11)

Untuk interval waktu t0 , jika s mendekati tak hingga, ste mendekati nol.

0)0()(lim)0()(lim)(lim0

fssFssFdtetfdt

d

ss

st

s

atau

)0()(lim

fssFs

karena )(lim)0(

0tff

t maka

)(lim)(lim0

tfssFts

(2-12)

Harga akhir

)(lim)(lim

0ssFtf

st (2-13)



Untuk membuktikan teorema ini, ambil s mendekati nol pada persamaan transformasi Laplace untuk turunan fungsi )(tf atau

)0()(lim)(lim000

ssFdtetfdt

d

s

st

s (2-14)

Karena 1lim

0

st

se , diperoleh

)0()()()(00

fftfdttfdt

d

)0()(lim

0fssF

s

sehingga

)(lim)((lim)(0

ssFtffst

(2-15)

Translasi pada kawasan t

L dtettfttf st

0

00 )()( dimana 0)( tf untuk 0t , dan 00 t

misal 01 ttt , maka 01 ttt dan dt = dt1, maka

dtettf st

0

0 )( 1

)(

01

01)( dtetftts

10

110 )( dtetfe

stst

)(0 sFest

(2-16) Translasi pada kawasan s

L dtetfetfe statat

0)()(

dtetf tas )(

0)(

)( asF (2-17)

Konvolusi Tinjau transformasi Laplace berikut:

dftft

0

21 )()( (2-18)

Integrasi ini sering ditulis



)()( 21 tftf

Operasi matematik )()( 21 tftf disebut konvolusi. Jika dinyatakan t , maka

dtffdftft

t

0

210

21 )()()()(

dtfft

0

21 )()(

Oleh karena itu

)()( 21 tftf dftft

0

21 )()(

dtfft

0

21 )()(

)()( 12 tftf (2-19)

Bila )(1 tf dan )(2 tf adalah kontinyu sepotong-sepotong (piecewise) dan mempunyai orde eksponensial, maka

L )()()()( 210

21 sFsFdftft

(2-20)

Dengan

dtetfsF st

011 )()( L )(1 tf (2-21)

dtetfsF st

022 )()( L )(2 tf (2-22)

Untuk membuktikan persamaan (3-9), perhatikan bahwa 0)(1)(1 ttf untuk t . Oleh karena itu

dfttfdftft

0

210

21 )()(1)()()( (2-23)

Selanjutnya

L

dftf

t

021 )()( L

dfttf0

21 )()(1)(



dtdfttfe st

021

0)()(1)( (2-24)

Dengan substitusi t dalam persamaan terakhir ini dengan mengubah urutan integrasi, yang diperbolehkan dalam kasus ini karena )(1 tf dan )(2 tf dapat ditransformasi dengan integral Laplace, diperoleh

L

dftf

t

021 )()( dfdtettf st

0

20

1 )()(1)(

dfdef s

0

20

)(

1 )()(

defdef ss

0

20

1 )()(

)()( 21 sFsF (2-25)

Persamaan terakhir ini memberi transformasi Laplace dari integral konvolusi. Sebaliknya, jika transformasi Laplace dari suatu fungsi diberikan oleh perkalian dua fungsi transformasi Laplace, )()( 21 sFsF , maka fungsi waktu yang berkaitan (transformasi Laplace balik) diberikan oleh integral konvolusi

)()( 21 tftf .



Tabel 3-2. Sifat-sifat Transformasi Laplace

1. L [Af(t)] = AF(s)

2. L [f1(t) f2(t)] = F1(s) F2(s)

3. L )(tfdtd = sF(s) – f(0)

4. L )(2

2

tfdt

d = s2F(s) – sf (0) – f (0)

5. L )(tfn

n

dt

d = snF(s) – )0()1(

1

kn

k

kn fs dengan )()( 1

1)1(

tftf k

k

dt

dk

6. L dttf )( =

s

sF )( +

s

dttft 0

)(

7. L dtdttf )( =2

)(

s

sF +

2

0)(

s

dttft

+

s

dtdttft 0

)(

8. L ndttf )()(... =ns

sF )( +

n

kt

k

kndttf

s101

))((...1

9. L

t

dttf0

)( = s

sF )(

10.

0)( dttf = )(lim

0sF

s jika

0)( dttf ada

11. L )(tfe at = F(s + a)

12. L )(1)( ttf = e-s F(s) 0

13. L )(ttf = ds

sdF )(

14. L )(2 tft = )(2

2

sFds

d

15. L )(tft n = )()1( sFds

dn

nn n = 1, 2, 3, . . .

16. L )(1 tft

=

0)( dssF

17. L )(atf = aF(as)



1. Metode ekspansi pecahan parsial untuk memperoleh transformasi Laplace balik

Masalah dalam analisis sistem kendali, )(sF , transformasi Laplace dari )(tf lebih sering dijumpai dalam bentuk

)(

)()(

sA

sBsF (2-26)

Dengan )(sA dan )(sB adalah polinomial dalam s dan derajat )(sB lebih kecil dari )(sA . Bila )(sF dipotong dalam komponen

)(...)()()( 21 sFsFsFsF n (2-27)

Dan bila transformasi Laplace balik dari )(),...,(),( 21 sFsFsF n memungkinkan, maka

L -1 )(sF L -1 )(1 sF L -1 )(2 sF . . . + L -1 )(sFn

)(...)()( 21 tftftf n (2-28)

Dengan )(),...,(),( 21 tftftf n adalah transformasi Laplace balik dari

)(),...,(),( 21 sFsFsF n . Transformasi Laplace balik )(sF diperoleh secara unik kecuali

mungkin pada titik-titik dengan fungsi waktu tak kontinyu. Apabila fungsi waktu kontinyu, maka fungsi waktu )(tf dan transformasi Laplace baliknya )(sF mempunyai hubungan korespondensi satu-satu. Keuntungan dari pendekatan ekspansi pecahan parsial adalah masing-masing suku dari )(sF akibat dari ekspansi dalam bentuk pecahan parsial, merupakan fungsi dalam s yang sangat sederhana, sehingga tidak diperlukan tabel transformasi Laplace lagi bila kita ingat beberapa pasangan transformasi Laplace sederhana. Harus diperhatikan bahwa menerapkan teknik ekspansi pecahan parsial dalam mencari transformasi Laplace balik dari )(/)()( sAsBsF akar dari penyebut polinomial )(sA harus diketahui. Jadi metode ini tidak dapat diterapkan bila polinomial penyebut telah difaktorkan. Dalam ekspansi )(/)()( sAsBsF ke dalam bentuk pecahan parsial, penting bahwa pangkat tertinggi s dalam )(sA lebih besar daripada pangkat tertinggi s dalam )(sB . Bila hal ini tidak dipenuhi maka pembilang )(sB harus dibagi penyebut )(sA untuk memperoleh polinomial dalam s ditambah sisa (yaitu rasio polinomial dalam s dengan pembilang mempunyai derajat yang lebih kecil daripada penyebutnya).



2. Ekspansi pecahan parsial bila )(sF hanya melibatkan kutub-kutub (pole). Perhatikan fungsi )(sF yang ditulis dalam bentuk faktor

))...()((

))...()((

)(

)()(

21

21

n

m

pspsps

zszszsK

sA

sBsF

)( nm (2-29)

Dengan p1, p2, . . ., pn dan z1, z2, . . ., zm masing-masing besaran real atau kompleks, tetapi untuk masing-masing bilangan kompleks p i atau zi mempunyai konjugat kompleks p i dan zi . Jika )(sF hanya terdiri dari kutub-kutub (pole) maka dapat diekspansikan dalam jumlah pecahan parsial sederhana sebagai berikut:

n

n

ps

a

ps

a

ps

a

sA

sBsF

...

)(

)()(

2

2

1

1 (2-30)

Dengan ka (k = 1, 2, . . .,n ) adalah konstanta, koefisien ka disebut residu

pada kutub di kps . Nilai ka dapat diperoleh dengan mengalikan kedua sisi

persamaan (2-30) dengan )( kps dan mengganti kps yang memberikan

)()()(

)()(

2

2

1

1kk

ps

k psps

aps

ps

a

sA

sBps

k

. . .

)( k

k

k psps

a. . .

kps

k

n

n psps

a

)(

= ak (2-31)

Dapat dilihat bahwa semua suku ekspansi dapat dihilangkan kecuali yang mengandung ak, sehingga residu ak diperoleh

kps

kksA

sBpsa

)(

)()( (2-32)

Perhatikan bahwa )(tf adalah fungsi real dari waktu, bila p1 dan p2 konjugat kompleks, maka residu a1 dan a2 juga konjugat kompleks. Hanya satu dari konjugat a1 atau a2 yang diperlukan karena yang lain dapat diketahui dengan sendirinya. Karena

L -1 tp

k

k

k keaps

a



)(tf Diperoleh sebagai

)(tf = L -1 tp

n

tptp neaeaeasF

...)( 21

21 )0( t (2-33)

Contoh Tentukan transformasi Laplace balik dari

F(s) = )2)(1(

3

ss

s

Ekspansi pecahan parsial dari F(s) adalah

F(s) = )2)(1(

3

ss

s =

21

21

s

a

s

a

Dengan a1 dan a2 diperoleh dari persamaan di atas

a1 = 22

3

)2)(1(

31

11

sss

s

ss

ss

a2 = 11

3

)2)(1(

31

22

sss

s

ss

ss

Jadi, f(t) = L -1[F(s)]

= L -1

1

2

s + L -1

2

1

s

= 2e-t – e-2t (t 0)

3. Ekspansi pecahan parsial bila )(sF melibatkan banyak kutub.

Berikut ini ditampilkan contoh untuk menunjukkan bagaimana mendapatkan ekspansi pecahan parsial dari )(sF . Contoh : Perhatikan persamaan berikut:

3

2

)1(

32)(

s

sssF



Ekspansi pecahan parsial dari )(sF ini melibatkan 3 bagian,

1)1()1()(

)()( 1

2

2

3

3

s

b

s

b

s

b

sA

sBsF

Dengan b3, b2 dan b1 ditentukan sebagai berikut. Dengan mengalikan kedua sisi dari persamaan terakhir ini dengan (s + 1)3 , diperoleh

2

123

3 )1()1()(

)()1( sbsbb

sA

sBs

Dengan menjadikan s = –1 , persamaan menjadi

3

1

3

)(

)()1( b

sA

sBs

s

Juga, diferensiasi kedua sisi dan dengan mengacu pada s dihasilkan

)1(2)(

)()1( 12

3

sbb

sA

sBs

ds

d

Jika s = –1 , maka

2

1

3

)(

)()1( b

sA

sBs

ds

d

s

Dengan mendeferensiasi kedua sisi dan dengan mengacu pada s, hasilnya adalah

1

3

2

2

2)(

)()1( b

sA

sBs

ds

d

Dari analisis sebelum ini terlihat bahwa nilai b1, b2 dan b3 ditemukan secara sistem sebagai berikut

1

3

3)(

)()1(

ssA

sBsb

1

2 )32( sss

2



1

3

2)(

)()1(

ssA

sBs

ds

db

1

2 )32(

s

ssds

d

1)22( ss

0

1

3

2

2

1)(

)()1(

!2

1

ssA

sBs

ds

db

1

2

2

2

)32(!2

1

s

ssds

d

1)2(2

1

Selanjutnya, diperoleh

)(tf L -1 )(sF

= L -1

3)1(

2

s L -1

2)1(

0

s L -1

1

1

s

tt eet 02 tet )1( 2 )0( t



Transformasi Laplace menggunakan MATLAB • Transformasi Laplace F (s) dari suatu fungsi f (t) adalah cukup sederhana dalam

Matlab. Pertama perlu menentukan variabel simbolis t dan s menggunakan perintah

>> syms t s • Selanjutnya menentukan fungsi f (t) dengan perintah

>> F=laplace(f,t,s) Contoh : Untuk membuat ekspresi lebih enak dibaca menggunakan perintah, simplify dan pretty. di sini diberikan contoh untuk fungsi f (t), Invers Transformasi Laplace menggunakan Matlab

• Perintah Transformasi Laplace balik (invers) menggunakan perintah >> F=ilaplace(f,t,s) Contoh :



2.3. Ringkasan

Suatu kelebihan metode transformasi Laplace adalah bahwa metode ini

memungkinkan penggunaan teknik grafis untuk meramal kinerja sistem tanpa

menyelesaikan persamaan differensial sistem. Kelebihan lain metode

transformasi Laplace adalah diperbolehnya secara serentak baik komponen

transien maupun komponen keadaan tunak sebagai jawaban persamaan pada

waktu menyelesaikan persamaan differensial.



SOAL-SOAL

1. Dapatkan Transformasi Laplace fungsi yang didefinisikan oleh a. 0)(t 0)(1 tf

0)(t 455sin3)(1 )t(tf

b. 0)(t 0)(2 tf 0)(t 2cos103.0)(2 t)(tf

2. Bagaimana Transformasi Laplace, fungsi f(t) pada gambar berikut :

3. Tentukan Transformasi Laplace balik dari fungsi berikut:

a. 21

36)(

s

ssF

b. 22

)2)(1(

25)(

ss

ssF

4. Sederhanakan diagram blok yang ditunjukkan dalam gambar di bawah dan dapatkan fungsi alih loop tertutup C(s)/ R(s).

5. Andaikan sistem yang diberikan oleh

2

1

2

1

2

1

01

1

1

13

14

x

xy

ux

x

x

x

Dapatkan fungsi alih sistem

f(t)

b

0 a a + b t

G1

G2

G3

G4

+ _

+

+

_ +

R(s) C(s)

Documents

DAN Materi TRANFORMASI - ocw.stikom.eduocw.stikom.edu/course/download/2012/11/Transformasi-dan-Invers-La... · maka penyelesaian dari persamaan diferensial ... Gambar 2.1 Prosedur