Dahn 2009 Offener Unterricht und Lehrerausbildung StD Hürter Fachleiter Mathematik Studienseminar für das Lehramt an Gymnasien Kaiserslautern

Dahn 2009

Offener Unterricht und LehrerausbildungStD Hürter

Fachleiter MathematikStudienseminar für das Lehramt an

Gymnasien Kaiserslautern

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Offener Unterricht :Möglichkeiten

und Schwierigkeiten(in einer Lehrprobe

und im Alltag)

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7 Offener Unterricht

Merkmale offenen Unterrichts: Organisatorisch

Schüler bestimmen Zeit, Raum und Partner der Bearbeitung mit

Ermöglichung von Einzel-, Partner-, und Gruppenarbeit

Methodisch Schüler bestimmen Medien und Methoden der

Bearbeitung mit Methodenvielfalt Betonung von experimentellem, entdeckendem,

kreativen Lernen Inhaltlich

Schüler bestimmen Thema und Gegenstand der Bearbeitung mit

Reihenfolge der Bearbeitung ist nicht fest Sozial und Persönlich

Schüler bestimmen Regeln der Bearbeitung und Werte mit

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Der Lehrer bestimmt Thema, Lernort, Lernzeit, Methoden, …

http://bidok.uibk.ac.at/library/raidel-analyse-dipl.html

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Schüler bestimmen Thema und Partner

Schüler bestimmen Lernort und Medien

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10 Offener Unterricht im Alltag und in Lehrproben

Ziel:

Statt eines Plädoyers für offene Formenwill ich am Beispiel einer Unterrichtsstunde

die ich vor kurzem in als Lehrprobe gesehen habeauf viele kleine Gelegenheiten

einer Unterrichtsgestaltung zur Diskussion stellen, die sich unter dem Oberbegriff Öffnung subsumieren

lassen.

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11 Mögliche Themen heute

Eine Lehrprobenstunde:Es wird die Planung von Lehrprobenstunden an einem

Beispiel aufgezeigt, um Alternativen zur vorhandenen Planung unter dem Aspekt der Öffnung zu reflektieren und zu diskutieren.

Variation nach Schupp:Die Methode „Aufgabenvariation im Mathematikunterricht“

wird an einem Beispiel erläutert und diskutiert.

Computereinsatz:Nach Wahl können einige Dateien (Dynageo,

Tabellenkalkulation, Präsentationssoftware, …) präsentiert und diskutiert werden.

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12 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11 (LK)

Lehrprobenstunde:Einstiegsfolie

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13 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11

Verlaufsplan

Hinweise auf „Öffnungsmöglichkeiten“

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Lehrprobenstunde: Arbeitsauftrag auf dem Arbeitsblatt

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Lehrprobenstunde: Hilfen

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Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung?

Alternativen zur Problemauswahl

Vorstellen verschiedener Probleme (eventuell schon in der vorangegangenen Stunde)Auswahl des zu bearbeitenden Problems durch die Schüler (nach Neigung) oder durch den Lehrer

Die oben vorgestellte Methode findet je nach Schulbuch mehr oder weniger Unterstützung. Cornelsen blaue Reihe verwendet „Aufträge“ (folgende Folie).

Andere Präsentation und Bearbeitung des gegebenen Problems wird im folgenden auch genauer untersucht.

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17 Extremwertaufgaben: „Aufträge“

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Problemgrund:Im Unterricht wurde zu der abgebildeten Situation eine Geschichte vorgelesen.

„Ich erzähle euch mal eine Geschichte. …“

„Schaut mal. Wer erfindet eine Geschichte zu der Abbildung.“

Alternativen:

--- Stiller Impuls ---

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Problemfindung und Problemerkenntnis:Im Unterricht wurde nach kurzem Warten der kürzeste Weg als Lösung vorgeschlagen. Der Lehrer lies ihn einzeichnen und fragte: Warum ist das der kürzeste Weg? Danach wurde kurz über die vorliegenden Geschwindigkeiten diskutiert. Die Schüler vermuteten an Land 4m/s bis 8m/s. Der Lehrer teilte mit: „Die gehen von 10m/s und 2m/s aus.“

Diskussion über mögliche Wege ohne Kommentar weiter laufen lassen.

Geschwindigkeiten nach Wahl der Schüler übernehmen. Dies ermöglicht eher eine anschließende Diskussion und Variation.

Alternativen:

Computereinsatz: Recherchieren von Geschwindigkeiten (falls nötig)

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Überlegungen zur Problemlösung:

Wird die Gradlinigkeit der Bewegung problematisiert?

Alternativen und Fragen:

Wird die Konstanz der Geschwindigkeit problematisiert?

Soll man Beispiele rechnen lassen für die Schülervorschläge: Direkter Weg, Abbiegen nach 25m, Abbiegen nach 50m („schlechter Schwimmer bleibt so lange wie möglich an Land“).

Wird eine Koordinatensystem zu Grunde gelegt?

Wird die Geschwindigkeit in km/h umgerechnet?

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C

F

Durchführung der Problemlösung:


Wird ein Lösungsschema verwendet/vorgegeben?

Soll das Arbeitsblatt eine Skizze enthalten?

Werden C und die Verbindungsstrecke vorgegeben?

Kann C auch links von A oder rechts vom Lotfußpunkt F liegen?

Wird die Variable x für AC oder für CF eingeführt?

Differenzierung: Welche Hilfen werden auf welche Art gegeben?


Frontalunterricht, Einzel-, Partner- oder Gruppenarbeit?

Ist Computereinsatz möglich? Kurzer Blick auf Geogebra?

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C

F

Größe, die extremal werden soll:

Zeit beim Zurücklegen von AC+CB

Term für die zu optimierende Größe:

Aufstellen von Nebenbedingungen:

AC CBt t t

2 2AC AC CB CB

2 2

AC CB

ss v t t

v

AC x s , v 10, s 40 (50 x) , v 2

40 (50 x)xt , t

10 2

2 2AC AC CB CB

2 2

AC CB

ss v t t

v

CF x s 50 x, v 10, s 40 x , v 2

50 x 40 xt , t

10 2

Öffnen würde bedeuten, beide Alternativen zuzulassen.

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C

F

Aufstellen einer Funktion für die zu optimierende Größe:

2 22 2

AC CB

50 x 40 x 1t(x) t t (50 x 5 40 x )

10 2 10

Berechnen von Beispielenmit oder ohne Computer.

x t(x)-5 25,660 25,005 24,66

10 24,6215 24,8620 25,3625 26,0830 27,0035 28,0840 29,2845 30,6050 32,0255 33,50

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

-50 0 50 100

Alternativ:

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C

FNotation der Definitionsmenge der Zielfunktion unter Beachtung der Randbedingungen des Problems

2 22 2

AC CB

50 x 40 x 1t(x) t t (50 x 5 40 x )

10 2 10

ffD ? D 0;50 ?


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C

F

Durchführung der Problemlösung:


Wird ein Lösungsschema verwendet/vorgegeben?

Soll das Arbeitsblatt eine Skizze enthalten?

Werden C und die Verbindungsstrecke vorgegeben?

Kann C auch links von A oder rechts vom Lotfußpunkt F liegen?

Wird die Variable x für AC oder für CF eingeführt?



Frontalunterricht, Einzel-, Partner- oder Gruppenarbeit?

Ist Computereinsatz möglich? Kurzer Blick auf Geogebra?

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C

FUntersuchung der Zielfunktion auf lokale Extremstellen: Notwendige Bedingung

2 2

2 2

2

2

2 2 2 2

1t(x) (50 x 5 40 x )

101 1 1 5x

t (x) ( 1 5 2x) ( 1)10 102 1600 x 1600 x

1 5xt (x) 0 ( 1) 0 5x 1600 x

10 1600 x200

25x 1600 x 24x 1600 x3

200 200x oder x

3 3x 8,16 oder x 8,16

Probe in der Ausgangsgleichung zeigt, dass -8,16 keine Lösung ist (man braucht dazu keinen Vergleich mit der Definitionsmenge).

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C

F

Berechnung der 2. Ableitung …

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1 5xt (x) ( 1)

10 1600 x1

t '(0) 0101 250

t '(50) ( 1) 010 1600 2500


Berechnung von t‘(x+h) und t‘(x-h) für kleine h (Vorzeichenwechsel)

Argumentieren: t‘(0) ist negativ, t‘(50) positiv. t‘ hat also einen Vorzeichenwechsel in [0;50]. Da t‘ in [0;50] nur eine Nullstelle hat, muss dieser Vorzeichenwechsel bei dieser Nullstelle vorliegen.

Untersuchung der Zielfunktion auf lokale Extremstellen: Hinreichende Bedingung

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C

FUntersuchung der Zielfunktion am Rand

Für D=[0;50] erhält man t(0)=25 und t(50)32 (s.u.),für D=R muss man das Verhalten von f(x) für x gegen + und - betrachten. Der „Grenzwert“ ist jeweils +.

Alternativen je nach Rand

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C

FUntersuchung der Zielfunktion auf lokale Extremstellen: Ergebnis

Die Funktion hat eine lokale Extremstelle bei x8,16.Es handelt sich um einen Tiefpunkt.Das Minimum ist t(8,16) 24,6

2 2

2

1t(x) (50 x 5 40 x )

10

200 1 200 200t( ) (50 5 40 )

3 10 3 3

1 200 5000 1 10 50(50 5 ) (50 6 5 6)

10 3 3 10 3 31

(50 80 6) 5 8 6 24,610

1t(0) (50 5 40) 25

101

t(50) 5 4100 3210

Man macht keinen großen Fehler, wenn man bis F läuft und dann erst ins Wasser geht.

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Sicherung: Präsentation der Ergebnisse, Reflexion der Lösungen


Wie viele Schüler präsentieren?

Wie viele verschiedene Präsentationen werden durchgeführt?

Wer moderiert die Präsentation?

Wann unterbricht der Lehrer die Präsentation (wenn überhaupt)?

Wie wird bei Fehlern reagiert?

Welche Möglichkeiten der Vertiefung bieten sich (im Zusammenhang mit der Präsentation)?

Welche Möglichkeiten der Vertiefung werden genutzt?

Wie werden die präsentierenden Schüler ausgewählt?

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Möglichkeiten zur Vertiefung:

Alternativen :

Geringfügig ändern: Variation der Geschwindigkeitsparameter Ersetzen von Bedingungen: Statt Minimum wird Maximum gesucht …Verallgemeinern:

Lösung mit Geschwindigkeiten vL=u und vW=wA vom Ufer wegbewegen

Spezialisieren (Hinzufügen von Bedingungen): vL=vW, vL=2vW …Grenzfälle betrachten: vL=vW …Vergleichen: Vergleich von Lösungswegen mit x und 50-xUmorientieren/Ziel ändern:

Möglichst wenig nass werdenGibt es u und v, so dass kein Minimum existiert?

Kontext ändern: Lichtstrahl in zwei Medien… (Schupp nennt insgesamt 24 Möglichkeiten; Hans Schupp: Thema mit Variationen, franzbecker Verlag 2002)

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Erhält jeder Schüler alle Hilfen sofort oder bei Bedarf?

Welche Hilfen sind wirklich notwendig?

Wo werden die Hilfen ausgelegt?

Inhaltlich könnte man die Hilfen reduzieren (keine Nummern, nur Formeln, …)

Statt Hilfen könnte man auch Lösungskontrollen zur Verfügung stellen.

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Teil 2Aufgabenvariation

im Mathematikunterricht

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34 Variationen nach Schupp

Vorgehensweise im Unterricht

Vorgabe der Einstiegsaufgabe, z.B. auf einem Arbeitsblatt

Schüler bearbeiten und lösen diese Aufgabe in Einzel- oder Partnerarbeit, möglicherweise auf verschiedene Art.

Besprechung der Lösungen der ersten Aufgabe, z.B. an der Tafel, möglicherweise alternative Lösungswege

Schüler werden zum Variieren der Einstiegsaufgabe aufgefordert (eventuell kennen sie dazu schon Regeln) und erfinden veränderte Aufgaben in Einzel- oder Partnerarbeit

Die Vorschläge der Schüler werden (z.B. mit Hilfe der Tafel) aufgegriffen, bewertet, strukturiert, geordnet und ausgewählt (z.B. im Unterrichtsgespräch).

Gemeinsam ausgewählte Aufgabenvorschläge werden gelöst.

Die Lösungen der variierten Aufgaben werden vorgestellt.

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35 Beispiel: Auftrag

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36 Beispiel: Ergebnisse

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Bei Interesse:Computereinsatz

zum EntdeckendenLernen:

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Sechs kleine Dateien zum Thema Winkelsumme im Dreieck, als Versuch entdeckenden Lernens

Dazu passend: Arbeitsblätter zu Winkeln in Klasse 7

Weniger offen, bei den Schülern aber extrem beliebt: Kleine Powerpointpräsentationen

Dazu passend: Arbeitsblätter zur Multiplikation von Brüchen: Teilweise offen

Zu guter Letzt: Doch noch ein Lernzirkel (Lernzirkel zur Addition von Brüchen)

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