29
DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii PENGHARGAAN iii ABSTRAK iv ABSTRACT v DAFTAR ISI vi DAFTAR GAMBAR viii BAB 1. PENDAHULUAN 1 1.1. Latar Belakang Penelitian 1 1.2. Perumusan Masalah 3 1.3. Tinjauan pustaka 3 1.4. Tujuan penelitian 4 1.5. Manfaat penelitian 4 1.6. Metode penelitian 5 2. 2-DIGRAPH PRIMITIF 6 2.1. Notasi 6 2.2. Matriks Adjacency 12 2.3. Primitifitas Dari 2-Digraph Terhubung Kuat 14 2.4. Matriks tak negatif & Eksponen 2-digraph 19 2.5. Beberapa fakta tentang 2-digraph dengan loop 25 3. 2-DIGRAPH DENGAN LOOP 27 4. KESIMPULAN 34 4.1. Kesimpulan 34 vi Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN i

PERNYATAAN ii

PENGHARGAAN iii

ABSTRAK iv

ABSTRACT v

DAFTAR ISI vi

DAFTAR GAMBAR viii

BAB

1. PENDAHULUAN 1

1.1. Latar Belakang Penelitian 11.2. Perumusan Masalah 31.3. Tinjauan pustaka 31.4. Tujuan penelitian 41.5. Manfaat penelitian 41.6. Metode penelitian 5

2. 2-DIGRAPH PRIMITIF 6

2.1. Notasi 62.2. Matriks Adjacency 122.3. Primitifitas Dari 2-Digraph Terhubung Kuat 142.4. Matriks tak negatif & Eksponen 2-digraph 192.5. Beberapa fakta tentang 2-digraph dengan loop 25

3. 2-DIGRAPH DENGAN LOOP 27

4. KESIMPULAN 34

4.1. Kesimpulan 34

vi

Universitas Sumatera Utara

Page 2: DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii

4.2. Saran 35

DAFTAR PUSTAKA 36

vii

Universitas Sumatera Utara

Page 3: DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

2.1 Representasi grafis dari Digraph 7

2.2 Digraph dengan path, walk, cycle dan loop 8

2.3 Representasi grafis dari 2-Digraph 10

2.4 2-Digraph dengan path, walk, cycle dan loop 11

2.5 Digraph dengan 4 vertex, 6 arc 12

2.6 2-Digraph dengan 4 vertex, 3 arc merah, dan 4 arc biru 13

2.7 (a) digraph terhubung kuat ;(b) digraph tidak terhubung kuat 15

2.8 digraph terhubung kuat 16

2.9 (a) 2-digraph terhubung kuat ;(b) 2-digraph tidak terhubung kuat 17

2.10 2-digraph primitif 19

2.11 Representasi digraph 3 vertex dan 7 arc 21

2.12 Representasi 2-digraph dengan 3 vertex, 3 arc biru dan 3 arc merah 23

4.1 Representasi 2-digraph dengan 2-eksponen 2n 35

4.2 Representasi 2-digraph dengan 2-eksponen 2n-1 35

viii

Universitas Sumatera Utara

Page 4: DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Penelitian

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar atau melihat sistem jalan

satu arah, arus listrik, jaringan kerja dll. Biasanya hal-hal tersebut diatas direpresen-

tasikan secara grafik dengan titik dan garis berarah, hubungan garis dan titik yang

demikian diamati oleh suatu objek di matematika yang disebut dengan digraph.

Suatu digraph terdiri dari titik-titik yang dihubungkan oleh garis berarah.

Secara formal, digraph adalah objek yang terdiri dari dua himpunan yaitu :

1. Himpunan hingga yang tak kosong V , dimana unsurnya disebut vertex dari

digraph D

2. Himpunan E yang merupakan himpunan bagian dari pasangan berurut V XV ,

unsurnya disebut arc dari digraph D

vertex dalam digraph direpresentasikan oleh titik atau lingkaran kecil dan arc direp-

resentasikan oleh garis berarah dari suatu vertex ke vertex lainnya.

Suatu walk dari vertex u ke vertex v yang panjangnya m adalah suatu barisan

arc dalam bentuk

(u = v0, v1), (v1, v2), . . . , (vm−1, vm = v)

Universitas Sumatera Utara

Page 5: DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii

2

walk diatas dapat direpresentasikan sebagai

u = v0 → v1 → v2 → . . . → vm−1 → vm = v

Suatu digraph D dikatakan terhubung kuat bila untuk setiap pasangan vertex u dan

v di D terdapat walk dari u ke v. Digraph D dikatakan ministrong jika penghilangan

satu arc dari D mengakibatkan D tidak terhubung kuat. Suatu digraph terhubung

kuat D dikatakan primitif bila terdapat bilangan bulat k sehingga untuk setiap

pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan panjang tepat k.

Bilangan bulat k terkecil yang demikian disebut disebut sebagai eksponen dari D

dan dinotasikan oleh exp(D).

Studi tentang eksponen digraph primitif diprakarsai oleh Wielandt[5] yang

menyatakan bahwa untuk digraph primitif dengan n vertex, exp(D) ≤ (n − 1)2+ 1.

Holladay dan varga [4] memperlihatkan bahwa ila D adalah digraph primitif dengan

q loop maka exp(D) ≤ 2n − q − 1. Selanjutnya, Liu dan Shao [1] memberikan syarat

perlu dan bagi digraph terhubung kuat D dengan n vertex dan q loop yang mempunyai

exp(D) = 2n − q − 1, sejalan itu dengan itu Dalimunthe dan Suwilo[10] memberikan

syarat cukup untuk digraph agar mempunyai eksponen tepat exp(D) = 2n − q − 1.

Pada tahun 1997, fornasini dan Valcher[3] memperkenalkan konsep 2-digraph yakni

digraph dimana setiap arcnya diwarnai dengan merah atau biru. Sejalan dengan itu

Shader dan Suwilo[2] memperkenalkan konsep 2-eksponen dari 2-digraph. Shader

dan Suwilo mendefinisikan 2-eksponen dari 2-digraph sebagai bilangan bulat terkecil

h + k sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke

v dengan panjang h + k dan terdiri dari h arc merah dan k arc biru. Shader dan

Suwilo memperlihatkan bahwa untuk 2-digraph D dengan n vertex, maka 2-eksponen

terbesar terletak pada interval [(n3 − 5n2)/, (3n3 + 2n2 − 2n)/2]. Lebih lanjut Suwilo

Universitas Sumatera Utara

Page 6: DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii

3

secara eksplisit memberikan formula bagi 2-eksponen dari 2-digraph yang terdiri dari

cycle (lihat[8]), dan memperlihatkan bahwa untuk 2-digraph yang asymetric maka

2 ≤ exp2(D) ≤ 4 (lihat[9]). Sejalan dengan hasil dari Holladay dan Varga[4] perlu

ditentukan 2-eksponen dari 2-digraph dengan loop.

1.2 Perumusan Masalah

Bula D adalah suatu 2-digraph primitif atas n vertex dan m ≥ 2 loop. Dap-

atkah ditemukan batas atas yang cukup ”baik” bagi 2-digraph dengan m ≥ 2 loop.

1.3 Tinjauan pustaka

Shader dan Suwilo [2] memperlihatkan bahwa 2-eksponen terbesar dari 2-

digraph primitif terletak di interval [(n3 − 5n2)/2, (3n3 + 2n2 − 2n)/2]. Batas bawah

pada interval tersebut ditemukan dengan menggunakan 2-digraph yang terdiri dari

dua cycle dan batas atas ditemukan secara teoritis. Sehingga masih terdapat gap an-

tara batas empiris dan batas teoritis. Suwilo[8] memberikan formula bagi 2-eksponen

dari 2-digraph, yang terdiri atas cycle, dan memperlihatkan bahwa untuk 2-digraph

yang asymetric maka 2 ≤ exp2(D) ≤ 4.

Andaikan D adalah 2-digraph primitif yang terdiri dari dua cycle γ1 dan γ2

dengan panjang masing-masing `(γ1) dan `(γ2). Untuk sebarang pasangan vertex u

dan v, misalkan puv adalah sebuah path terpendek dari u ke v dan definisikan

`′r = limu,v∈V

{b(γ2)r(puv) − r(γ2)b(puv)}

`′b = limu,v∈V

{r(γ1)b(puv) − b(γ1)r(puv)}

Suwilo[8] menyatakan bila D adalah 2-digraph primitif yang terdiri dari dua cycle

Universitas Sumatera Utara

Page 7: DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii

4

dengan sedikitnya terdapat satu arc untuk setiap warna, maka.

exp2(D) = `(γ1)`′r + `(γ2)`

′b

Lee dan yang [7] secara khusus mendiskusikan 2-eksponen dari satu klas 2-digraph

ministrong yang terdiri dari cycle 1 → 2 → · · · → n − 3 → n − 2 → 1 dan path

n − 3 → n − 1 → n → 1 Andaikan D adalah digraph ministrong dengan banyak

vertex n ≥ 5 yang terdiri dari cycle 1 → 2 · · · → n − 3 → n − 2 → 1 dan path

n − 3 → n − 1 → n → 1. Warnai paling sedikit satu arc untuk setiap warna, maka

2-eksponen dari 2-digraph terletak pada interval :

2n2 − 8n + 7 ≤ exp2(D) ≤ 2n2 − 5n + 3

1.4 Tujuan penelitian

Menentukan 2-eksponen bagi 2-digraph yang terdiri dari sebuah cycle dengan

2 loop.

1.5 Manfaat penelitian

Penelitian ini bermanfaat untuk memperkaya literatur dibidang 2-eksponen

dari 2-digraph

Universitas Sumatera Utara

Page 8: DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii

5

1.6 Metode penelitian

Metodologi penelitian ini bersifat literatur atau kepustakaan dengan langkah

- langkah sebagai berikut :

1. Menggunakan Software sederhana untuk mendukung pengerjaan pengamatan.

2. Mencari kelas-kelas dari 2-digraph kemudian membandingkannya

3. Mencari bentuk umum dari masing-masing 2-eksponen dari 2-digraph

4. Menentukan batas atas dan batas bawah dari 2-digraph

Universitas Sumatera Utara

Page 9: DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii

BAB 2

2-DIGRAPH PRIMITIF

Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti teorema dan beberapa definisi

sebagai landasan dalam penelitian ini. Konsep dasar ini berkaitan dengan masalah

yang dibahas dalam tulisan ini seperti digraph, 2-digraph, terhubung kuat, 2-digraph

primitif, dan 2-eksponen dari 2-digraph.

2.1 Notasi

Pada bagian ini akan dibahas beberapa notasi digraph yang akan dipergunakan

dalam pembahasan 2-digraph.

2.1.1 Digraph.

Secara sederhana graph adalah kumpulan titik atau lingkaran kecil yang di-

hubungkan oleh garis tak berarah, jika garis penghubung diberi arah, maka graph

yang demikian disebut dengan digraph (directed graph).

Andaikan V adalah suatu himpunan objek berhingga yang tak kosong, sebuah

digraph adalah suatu objek yang dibentuk oleh himpunan V yang unsurnya disebut

vertex dari digraph D, dan himpunan A ⊆ V ×V yang unsurnya disebut dengan arc

dari D. Jika diberikan a, b ∈ V dengan (a, b) ∈ A, maka terdapat arc dari vertex a

ke vertex b di digraph D. Vertex a disebut sebagai vertex awal dan vertex b disebut

sebagai vertex akhir.

Universitas Sumatera Utara

Page 10: DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii

7

Contoh 2.1.1 Himpunan vertex V = {1, 2, 3, 4, 5} bersama dengan himpunan arc

merah A = {(1, 2), (1, 5), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 2), (5, 3)} adalah suatu digraph de-

ngan 5 vertex dan 7 arc.

Suatu digraph dapat direpresentasikan secara grafis dengan cara setiap vertex

direpresentasikan sebagai sebuah titik dan setiap arc (u, v) direpresentasikan sebagai

garis berarah dari titik u ke v.

Representasi dari digraph yang diberikan pada contoh 2.1.1 diatas diberikan

pada gambar berikut.

Contoh 2.1.2 Representasi Grafis dari digraph

Gambar 2.1 : Representasi grafis dari Digraph

Diberikan D adalah digraph, u dan v adalah vertex di digraph D. Sebuah

walk dengan panjang m dari u ke v didefinisikan sebagai barisan arc dan dituliskan

sebagai berikut.

(v0, v1), (v1, v2), . . . , (vm−1,m)

untuk m > 0, v0 = u dan vm = v. Sebuah walk juga biasa dinotasikan uw−→ v dan

panjangnya dinotasikan dengan `(w). Sebuah path didefinisikan sebagai sebuah walk

yang vertexnya tidak boleh berulang kecuali mungkin vertex awal dan akhir. Sebuah

Universitas Sumatera Utara

Page 11: DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii

8

cycle didefinisikan sebagai sebuah path tertutup, dan sebuah loop didefinisikan seba-

gai sebuah cycle dengan panjang satu. Berikut ini akan diberikan representasi dari

digraph untuk menjelaskan beberapa definisi diatas.

Contoh 2.1.3 Diberikan digraph di bawah ini

Gambar 2.2 : Digraph dengan path, walk, cycle dan loop

Digraph pada gambar 2.2 diatas memiliki walk, path, cycle dan loop sebagai

berikut :

• 1 → 3 → 2 adalah sebuah path terbuka.

• 1 → 3 → 4 → 1 adalah sebuah path tertutup atau disebut cycle

• 1 → 3 → 2 → 5 → 3 → 4 adalah sebuah walk tetapi bukan path karena ada

perulangan vertex.

• 3 → 4 → 1 → 3 → 2 → 5 → 3 adalah sebuah walk tertutup dari 3 ke 3 tetapi

bukan cycle.

• 2 → 2 adalah sebuah loop

2.1.2 2-digraph.

Sekarang akan dibahas notasi - notasi digraph yang dijelaskan diatas dan ditu-

liskan kedalam notasi 2-digraph. Andaikan V adalah suatu himpunan objek berhingga

Universitas Sumatera Utara

Page 12: DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii

9

tak kosong, sebuah 2− digraph D adalah suatu objek yang dibentuk oleh himpunan

V yang unsurnya disebut vertex dari D, bersama dengan himpunan A ⊆ V ×V yang

disebut arc merah dan himpunan B ⊆ V × V yang disebut arc biru dari D. Jika

diberikan a, b, c, d ∈ V dengan a, b ∈ A dan c, d ∈ B maka terdapat arc merah dari

vertex a ke vertex b dan terdapat arc biru dari vertex c ke vertex d. Vertex a dan

c disebut vertex awal dan vertex b dan d disebut vertex akhir. Berikut ini diberikan

sebuah contoh 2-digraph

Contoh 2.1.4 Himpunan vertex V = {1, 2, 3, 4, 5} bersama dengan himpunan arc

merah A = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (5, 1)} dan arc biru B = {(5, 2), (5, 3), (4, 5)} adalah

suatu 2-digraph dengan 5 vertex, 4 arc merah dan 3 arc biru.

Suatu 2-digraph dapat direpresentasikan secara grafis dengan cara sebagai

berikut:

• Setiap vertex direpresentasikan sebagai suatu titik.

• Setiap arc merah (a, b) direpresentasikan sebagai garis berarah tak putus dari

titik a ke b.

• Setiap arc biru (c, d) direpresentasikan sebagai garis berarah putus-putus dari

titik c ke d

Berikut ini akan diberikan contoh representasi 2-digraph pada Contoh 2.1.3

diperlihatkan pada gambar di bawah ini.

Universitas Sumatera Utara

Page 13: DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii

10

Contoh 2.1.5 Representasi Grafis dari 2-digraph

Gambar 2.3 : Representasi grafis dari 2-Digraph

Suatu (h, k) − walk dalam 2 − digraph adalah sebuah walk yang memuat

sebanyak h arc merah dan k arc biru.

Dari definisi yang diberikan diatas, suatu (h, k) − walk dari u ke v disebut

sebagai uv − walk, untuk sebuah walk w, r(w) dan b(w) adalah notasi jumlah dari

arc merah dan arc biru. Vektor

[r(w)b(w)

]disebut komposisi dari w

Suatu path adalah suatu walk dengan semua vertex berbeda kecuali mungkin

vertex awal dan vertex akhir. Suatu cycle adalah suatu path tertutup dan loop adalah

suatu cycle dengan komposisi

[01

]atau

[10

]. Berikut ini akan diberikan representasi

grafis dari sebuah 2-digraph seperti yang diperlihatkan pada contoh 2.1.6 berikut ini.

Universitas Sumatera Utara

Page 14: DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii

11

Contoh 2.1.6 Diberikan 2-digraph di bawah ini

Gambar 2.4 : 2-Digraph dengan path, walk, cycle dan loop

2-Digraph pada gambar 4 di atas memiliki path, walk, cycle dan loop sebagai

berikut :

• 1b−→ 3

r−→ 2 adalah sebuah path terbuka dari 1 ke 2 dengan komposisi

[11

].

• 1b−→ 3

b−→ 4r−→ 1 adalah sebuah path tertutup atau cycle dari 1 ke 1 dengan

komposisi

[12

].

• 1b−→ 3

r−→ 2r−→ 5

b−→ 3b−→ 4 adalah walk dari 1 ke 4 dengan komposisi

[23

], tetapi

bukan suatu path karena path adalah walk tanpa melalui lebih dari satu vertex

kecuali mungkin vertex awal dan akhir.

• 3b−→ 4

r−→ 1b−→ 3

r−→ 2r−→ 5

b−→ 3 adalah sebuah walk tertutup dari 3 ke 3 dengan

komposisi

[33

], tetapi bukan cycle.

• 2r−→ 2 adalah sebuah loop dari 4 ke 4 dengan komposisi

[10

].

• 1b−→ 1 adalah sebuah loop dari 4 ke 4 dengan komposisi

[01

].

Universitas Sumatera Utara

Page 15: DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii

12

Sebuah digraph atau 2-digraph dapat direpresentasikan kedalam sebuah ma-

triks, berikut ini diberikan hubungan antara digraph dan 2-digraph dengan matriks.

2.2 Matriks Adjacency

Pada subbab ini akan dibahas hubungan antara digraph, 2-digraph dengan

matriks. Sebuah digraph D dan 2-digraph D dengan n vertex dapat dinyatakan oleh

matriks, yang entri dari matriks tersebut adalah bilangan 1 atau 0, matriks yang

demikian disebut sebagai matriks adjacency.

2.2.1 Matriks Adjacency dari digraph.

Sebuah representasi grafis dari digraph D dapat dituliskan adjacency sebagai

berikut.

aij =

1, jika terdapat arc dari i ke j

0, jika sebaliknya

Berikut ini diberikan contoh matriks adjacency dari sebuah representasi di-

graph.

Contoh 2.2.1 Representasi dari sebuah digraph

Gambar 2.5 : Digraph dengan 4 vertex, 6 arc

Universitas Sumatera Utara

Page 16: DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii

13

Dari representasi digraph diatas didapat matriks adjacency sebagai berikut.

1 1 0 00 0 1 10 0 0 11 0 0 0

Berikut ini akan diberikan sebuah matriks adjacency dari 2-digraph.

2.2.2 Matriks Adjacency 2-digraph.

Pada 2-digraph matriks adjacency dari sebuah representasi grafis dapat dinya-

takan sebagai berikut. Matriks adjacency merah, R = [rij] pada D adalah matriks

n × n dengan

rij =

1, jika terdapat arc merah

0, jika sebaliknya

matriks adjacency biru B = [bij] pada D adalah matriks n × n, dengan

bij =

1, jika terdapat arc biru

0, jika sebaliknya

Berikut ini akan diberikan sebuah 2-digraph dan direpresentasikan kedalam

matriks adjacency nya

Contoh 2.2.2 Representasi dari sebuah 2-digraph

Gambar 2.6 : 2-Digraph dengan 4 vertex, 3 arc merah, dan 4 arc biru

Universitas Sumatera Utara

Page 17: DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii

14

Dari representasi 2-digraph diatas, dapat dibuat sebuah matriks adjacency

sebagai berikut.

R =

1 0 0 00 0 1 00 0 0 01 0 0 0

. Adalah matriks adjacency merah

B =

0 1 0 00 1 0 10 0 0 10 0 0 0

. Adalah matriks adjacency biru

Berikut ini akan dibahas mengenai digraph dan 2-digraph terhubung kuat dan

keterhubungan dengan digraph dan 2-digraph primitif.

2.3 Primitifitas Dari 2-Digraph Terhubung Kuat

Pada bagian ini akan dibahas tentang digraph dan 2-digraph terhubung kuat

dan keterhubungan dengan primitifitas.

2.3.1 Digraph primitif.

Suatu digraph D dikatakan terhubung kuat strongly connected jika untuk setiap

walk berarah dari vertex u dan v dan walk berarah dari vertex v ke u. Berikut ini

diberikan contoh digraph terhubung kuat dan digraph yang tidak terhubung kuat.

Universitas Sumatera Utara

Page 18: DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii

15

Contoh 2.3.1 Representasi dari 2 buah digraph.

Gambar 2.7 : (a) digraph terhubung kuat ;(b) digraph tidak terhubung kuat

Pada gambar2.7 diatas menunjukkan bahwa (a) adalah terhubung kuat karena

terdapat walk dari satu vertex ke vertex lainnya, sedangkan (b) tidak terhubung kuat

karena tidak terdapat walk dari 1 ke 2.

Suatu digraph terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat

positif k sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat uv-walk yang

panjangnya k.

Lemma 2.3.1 Andaikan D adalah digraph terhubung kuat maka setiap vertex v di

D terletak pada cycle.

bukti : Ambil sebarang vertex v di D dan sebarang arc dari vertex u ke v di D.

karena D terhubung kuat, maka terdapat path dari v ke n, akibatnya diperoleh suatu

path tertutup di D yang dibentuk oleh arc dari vertex v ke u di D. Oleh definisi,

path tertutup adalah suatu cycledari sebarang vertex di D, maka setiap vertex v di

D terletak pada suatu cycle.

Andaikan himpunan C = {c1, c2, . . . , ct} adalah himpunan semua cycle di D.

Misalkan M adalah suatu matriks baris dengan kolom ke-i untuk i = 1, 2, . . . , t dari

Universitas Sumatera Utara

Page 19: DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii

16

M adalah panjang cycle ci(`(ci)) misalkan < M > sebagai subgrup dari grup bilangan

bulat Z yang dibangun oleh kolom-kolom dari M yakni

< M > = {z1`(c1) + z2`(c2) + . . . + zt`(ct) : zi ∈ Z, i = 1, 2, 3, . . . , t}

Andaikan D adalah digraph imprimitif dengan indeks imprimitifitas k, dan k =

gcd(`(c1), `(c2), · · · , `(ct). Kemudian suatu digraph dikatakan primitif jika k = 1

dan imprimitf jika k 6= 1

Berikut ini diberikan representasi grafis digaph yang terhubung kuat dan pri-

mitif.

Contoh 2.3.2 Representasi dari digraph tehubung kuat

Gambar 2.8 : digraph terhubung kuat

Pada gambar 2.8 diatas, D adalah digraph terhubung kuat dengan dua cycle

yaitu 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 1 dengan panjang 5 dan cycle 1 → 3 → 4 → 5 → 1

dengan panjang 4. Oleh definisi diatas, maka pembagi persekutuan terbesar dari

cycle dengan panjang 5 dan 4 adalah 1 sehingga D adalah primitif.

Universitas Sumatera Utara

Page 20: DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii

17

2.3.2 2-digraph primitif.

Suatu 2-digraph D dikatakan terhubung kuat strongly connected jika untuk

setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk berarah dari vertex u ke v dan walk

berarah dari vertex v ke u, dengan mengabaikan komposisi arc yang ada. Berikut ini

diberikan contoh 2-digraph yang terhubung kuat dan 2-digraph yang tidak terhubung

kuat.

Contoh 2.3.3 Representasi dari 2 buah 2-digraph.

Gambar 2.9 : (a) 2-digraph terhubung kuat ;(b) 2-digraph tidak terhubung kuat

Pada gambar di atas menunjukkan bahwa (a) adalah 2-digraph terhubung kuat

karena terdapat walk dari satu vertex ke vertex lainnya. Sedangkan (b) adalah 2-

digraph tidak terhubung kuat, karena tidak terdapat walk dari 1 ke 2.

Lemma 2.3.2 Andaikan D adalah suatu 2-digraph terhubung kuat maka setiap vertex

terletak pada cycle.

Bukti. Ambil sebarang vertex v di D dan sebarang arc dari vertex u ke vertex v di

D Karena terhubung kuat, maka terdapat path dari vertex v ke u dan dari vertex

u ke v, akibatnya diperoleh suatu path tertutup di D, yang dibentuk oleh arc dari

Universitas Sumatera Utara

Page 21: DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii

18

vertex u ke v dan path dari vertex v ke u di D. Oleh definisi vertex v terletak pada

suatu cycle. �

Suatu 2-digraph terhubung kuat D dikatakan primitif jika terdapat bilangan

bulat tak negatif h dan k sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat

(h, k) − walk dari u ke v.

Andaikan komponen C = {γ1, γ2, · · · , γc} adalah himpunan semua cycle di D

adalah matrik dengan c kolom. M =

[r(γ1) r(γ2) · · · r(γc)b(γ1) b(γ2) · · · b(γc)

]untuk kolom j pada

M adalah komposisi dari cycle γj kita definisikan sebagai < M > subgroup dari grup

bilangan bulat Z2 dibangun oleh kolom dari M .

Proposisi 2.3.1 Andaikan D adalah 2-digraph terhubung kuat, dan misalkan u dan

v adalah vertex di D dan misalkan w1 dan w2 adalah walk dari u ke v di D. maka[r(w1)b(w1)

]−

[r(w2)b(w2)

]∈< M >

Bukti: Karena D adalah 2-digraph terhubung kuat, maka terdapat walk wvu dari

v ke u. Misalkan w′1 adalah walk tertutup yang dibentuk oleh u

w1−→ vwvu−−→ u dan

misalkan w′2 adalah walk tertutup yang dibentuk oleh u

w2−→ vwvu−−→ u. Karena untuk

setiap walk tertutup dapat dikomposisi menjadi cycle,

[r(w′

1)b(w′

1)

],

[r(w′

2)b(w′

2)

]∈< M >

sehingga

[r(w1)b(w1)

]−

[r(w2)b(w2)

]=

[r(w′

1)b(w′

1)

]−

[r(w′

2)b(w′

2)

]∈< M >. �

Diberikan D adalah sebuah 2-digraph dan z adalah vertex di D. Dua vertex

u dan v di D dikatakan equivalent, di u ∼2 v, bila terdapat sebuah walk wzu dari

z ke u dan sebuah walk wzv dari z ke v dengan komposisi yang sama. Dalam kasus

vertex equivalent, definisi dari equivalent vertex adalah vertex di D yang dipilih

secara bebas. Lebih lanjut, hal itu ditunjukkan oleh hubungan ∼2 adalah hubungan

equivalent dengan himpunan dari vertex di D dan partisi dari himpunan vertex di D

Universitas Sumatera Utara

Page 22: DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii

19

kedalam kelas equivalent. Bilangan dari kelas equivalent k2 dari D disebut dengan

index imprimitivity dari D. Sebuah 2-digraph terhubung kuat dikatakan primitif

bila k2 = 1 dan imprimitif bila sebaliknya. Berikut ini kita berikan sebuah contoh

2-digraph primitif.

Contoh 2.3.2 Representasi 2-digraph primitif

Gambar 2.10 : 2-digraph primitif

Perhatikan gambar diatas, kita mulai dengan arc nomor 2. Walk 2b−→ 3 dan

2b−→ 1, adalah walk dari 2 ke 3 dan dari 2 ke 1 dengan komposisi yang sama. Sehingga

3 ∼2 1. Walk 2b−→ 1

r−→ 2b−→ 3 dan 2

b−→ 3b−→ 1

r−→ 2 adalah walk dari 2 ke 3 dan

dari 2 ke 2. Sehingga 3 ∼2 2. Dengan sifat transitif kita peroleh 1 ∼2 2 akibatnya, D

adalah primitif. Berikut ini akan diperlihatkan hubungan antara entri matriks hasil

representasi dengan eksponen dari 2-digraph.

2.4 Matriks tak negatif & Eksponen 2-digraph

Pada subbab ini akan dibahas pengertian matriks tak negatif dan keterhubun-

gannya dengan 2-digraph.

2.4.1 Matriks tak negatif.

Sebuah matriks dikatakan sebagai matriks tak negatif bila untuk setiap entri

matriksnya aij adalah bilangan tak negatif, sebuah matriks dikatakan sebagai matriks

positif bila untuk setiap entri matriksnya aij adalah bilangan positif. Berikut ini

Universitas Sumatera Utara

Page 23: DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii

20

diberikan contoh dari matriks tak negatif dan matriks positif.[0 1 00 0 11 0 0

], matriks tak negatif;

[1 2 12 1 11 1 2

], matriks positif

Selanjutnya akan dilihat pengertian dari eksponen dari 2-digraph dan hubungannya

dengan matriks tak negatif.

2.4.2 Eksponen digraph.

Pada digraph, eksponen dari digraph D didefinisikan sebagai bilangan bulat

terkecil k, sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v terdapat walk berarah dari

u ke v yang panjangnya k. Eksponen dari digraph D dinotasikan dengan exp(D).

Proposisi 2.4.1 Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D. Entri

Akij dari Ak menyatakan banyaknya walk dari vertex vi ke vj yang panjangnya k di

digraph D

Bukti: Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D, maka setiap

entri (i, j) dari A menyatakan arc dari vertex vi ke vj di digraph D. Hal ini berakibat

untuk k = 1, maka setiap entri a1ij dari A1 menyatakan banyaknya walk dari vertex

vi ke vj yang panjangnya satu

Asumsikan setiap entri a(k)i,j dari Ak menyatakan banyaknya walk dari vertex vi

ke vj yang panjangnya k di D, untuk k ≥ 1. Berikut ini diperlihatkan a(k+1)ij adalah

banyaknya walk dari vertex vi ke vj yang panjangnya k + 1 di D, untuk k ≥ 1.

Perhatikan setiap walk dari vertex vi ke vj di D dengan panjang k + 1 yang

terdiri dari walk dari vi ke vl dengan panjang k untuk l = 1, 2, . . . , n. dan dilanjutkan

dengan arc dari vertex vi ke vj. Sehingga a(k)il alj adalah menyatakan walk yang pan-

jangnya k + 1 dari vertex vi ke vj di D untuk k = 1, 2, . . . , n. Jika tidak terdapat

Universitas Sumatera Utara

Page 24: DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii

21

walk yang panjangnya k dari vertex vi ke vj di D, maka a(k)il = 0 sehingga a

(k)il alj = 0.

Hal ini berarti tidak terdapat walk yang panjangnya k + 1 dari vertex vi ke vj yang

melalui vertex vl di D. Sehingga diperoleh banyaknya walk yang panjangnya k + 1

dari vertex vi ke vj di D adalah.

a(k)i1 a1j + a

(k)i2 a2j + · · · + a

(k)in anj =

n∑

l=1

a(k)il alj

Karena

Ak+1 = AkA

maka

a(k)ij =

n∑

l=1

a(k)il alj

hal ini berakibat a(k+1)ij adalah benar menyatakan banyaknya walk dari vertex vi ke

vj yang panjangnya k + 1 di D. �

Berikut ini diberikan contoh representasi grafis digraph yang akan dicari ek-

sponennya dengan menggunakan proposisi 2.4.1 diatas.

Contoh 2.4.1 representasi digraph dengan 3 vertex dan 5 arc.

Gambar 2.11 : Representasi digraph 3 vertex dan 7 arc

Dari representasi grafis digraph diatas didapat matriks adjacency A sebagai

berikut. A =

[0 1 00 1 11 0 1

], dari teorema diatas untuk mencari banyak walk dari vertex

Universitas Sumatera Utara

Page 25: DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii

22

vi ke vj dengan panjang k adalah entri dari matriks A(k)ij dari Ak. Dengan demikian

nilai k adalah eksponen dari digraph, bila matriks Ak adalah matriks positif. Per-

hatikan matriks Ak untuk k :

a. k = 1;A =

[0 1 00 1 11 0 1

]

bukan eksponen dari digraph pada contoh 2.4.1 diatas, karena tidak terdapat

walk dengan panjang satu, dari 1 ke 1, dari 1 ke 3, dari 2 ke 1 dan dari 3 ke 2

b. k = 2 ;A2 =

[0 1 11 1 21 1 1

]

bukan eksponen dari digraph contoh 2.4.1 diatas, karena tidak terdapat walk

dengan panjang dua, dari 1 ke 1.

c. k = 3;A3 =

[1 1 22 2 31 2 2

]

Eksponen dari digraph pada contoh 2.4.1 diatas adalah 3, karena terdapat walk

dengan panjang tiga dari tiap pasangan vertex pada digraph D.

2.4.3 2-eksponen dari 2-digraph.

Pada 2-digraph D, eksponen didefisikan sebagai bilangan bulat terkecil h + k

sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan

panjang h+ k yang terdiri dari h arc merah dan k arc biru. Eksponen dari 2-digraph

D dinotasikan oleh exp2(D).

Lemma 2.4.1 Jika (R,B) adalah matriks adjacency dari 2-digraph D. Maka entri

(i, j) dari (R,B)(h,k) adalah jumlah (h, k)-walk dari 2-digraph D

Bukti . Akan dibuktikan dengan induksi pada (h+k) dan (h+k+1), jika h = 0 maka

k = 1 atau jika h = 1 maka k = 0. Jika h = 0 maka entri (i, j) dari (R,B)(0,1) = B

Universitas Sumatera Utara

Page 26: DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii

23

adalah walk dengan komposisi

[01

]di 2-digraph D. Dengan cara yang sama, jika

k = 0 maka (R,B)(1,0) = A adalah walk dengan entri (i, j) menyatakan walk dengan

komposisi

[10

]di 2-digraph D.

Andaikan lemma 2.4.1 benar untuk semua bilangan bulat tak negatif h′ dan

k′ dengan h′ + k′ ≤ h + k akan diperlihatkan untuk h + k + 1 adalah benar, dengan

catatan sebagai berikut.

(R,B)(h+1,k) = R(R,B)(h,k) + B(R,B)(h+1,k−1)

dengan induksi entri (i, j) pada R(R,B)(h,k) adalah walk dari i ke j diikuti de-

ngan sebuah arc merah dan diikuti oleh sebuah (h, k)-walk dari entri (i, j) pada

B(R,B)(h+1,k−1) adalah jumlah walk dari i ke j yang dimulai dengan sebuah arc

biru dan dikuti oleh sebuah (h + 1, k − 1)-walk sedemikian hingga entri (i, j) dari

(R,B)(h+1,k) adalah jumlah (h + 1, k)-walk dari i ke j �

Berikut ini diberikan representasi grafis 2-digraph yang akan dicari eksponen-

nya.

Contoh 2.4.2 Representasi 2-digraph dengan 3 vertex, 3 arc biru dan 3 arc merah

Gambar 2.12 : Representasi 2-digraph dengan 3 vertex, 3 arc biru dan 3 arc merah

Universitas Sumatera Utara

Page 27: DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii

24

Dari representasi 2-digraph diatas didapat matriks adjacency sebagai berikut.

Matriks adjacency merah R =

[0 1 00 0 01 1 0

]

dan

Matriks adjacency biru B =

[0 0 11 0 10 0 0

]

Dari contoh 2.4.2 kita cari eksponennya, yaitu dengan melihat penjumlahan h arc

biru dan k arc merahnya, dengan cara sebagai berikut:

a. untuk h + k = 1

1. (R,B)(1,0) = R =

[0 1 00 0 01 1 0

]

2. (R,B)(0,1) = B =

[0 0 11 0 10 0 0

]

b. untuk h + k = 2

1. (R,B)(2,0) = RR =

[0 0 00 0 00 1 0

]

2. (R,B)(1,1) = RB + BR =

[2 1 11 2 01 0 2

]

3. (R,B)(0,2) = BB =

[0 0 00 0 10 0 0

]

c. untuk h + k = 3

1. (R,B)(3,0) = RR2 =

[0 0 00 0 00 0 0

]

2. (R,B)(2,1) = R(R,B)(1,1) + BR2 =

[1 3 00 1 03 3 1

]

3. (R,B)(1,2) = RB2 + B(R,B)(1,1) =

[2 0 33 1 30 0 1

]

Universitas Sumatera Utara

Page 28: DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii

25

4. (R,B)(0,3) = BB2 =

[0 0 00 0 00 0 0

]

d. untuk h + k = 4

1. (R,B)(4,0) = RR3 =

[0 0 00 0 00 0 0

]

2. (R,B)(3,1) = R(R,B)(2,1) + BR3 =

[0 1 00 0 01 4 0

]

3. (R,B)(2,2) = R(R,B)(1,2) + B(R,B)(2,1) =

[6 4 44 6 15 1 4

]

Untuk h+k = 4 dengan komposisi arc

[22

], 2 arc merah dan 2 arc biru, terdapat walk

dari tiap pasangan vertex u dan v di 2-digraph D sehingga 2-digraph pada contoh

2.4.2 diatas memiliki eksponen 4 dengan komposisi arc

[22

], 2 arc merah dan 2 arc

biru.

2.5 Beberapa fakta tentang 2-digraph dengan loop

Dalam subbab ini akan diperlihatkan batas atas dan batas bawah dari eksponen

2-digraph exp2(D) dengan dua buah loop, satu dari masing-masing warna.

Teorema 2.5.1 Jika D adalah 2-digraph dengan n ≥ 2 vertex yang memuat sebuah

loop merah dan sebuah loop biru, maka exp2(D) ≤ 3n − 3

Bukti. Diberikan i dan j vertex di 2-digraph D yang saling berhubungan di D,

terdapat loop merah dan loop biru di 2-digraph D. Untuk setiap pasangan vertex

u dan v di D, selanjutnya walk wuv, upui−→ i

pij−→ jpjv−−→ v, adalah walk dari u ke v.

Untuk pui adalah path dari u ke i, pij adalah path dari i ke j dan pjv adalah path

Universitas Sumatera Utara

Page 29: DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii

26

dari j ke v. Diberikan

lr = maxu∈V

{r(pui)} dan lb = maxu∈V

{b(pui)}

l′r = maxv∈V

{r(pjp)} dan l′b = maxv∈V

{b(pjv)}

maka untuk setiap pasangan vertex u dan v adalah walk wuv dari u ke v dengan[r(wuv)b(wuv)

]≤

[lr + r(pij) + l′rlb + b(pij) + l′b

]

adalah kejadian loop merah dan loop biru, karena walk wuv adalah kejadian loop

merah dan loop biru, walk wuv adalah sebuah walk dari u ke v dengan komposisi[lr + r(pij) + l′rlb + b(pij) + l′b

]disekitar loop merah dan loop biru adalah bilangan hasil perkalian,

sedemikian hingga

lr + lb, l′r + l′b, r(pij) + b(pij) ≤ n − 1

akibatnya exp2(D) ≤ 3n − 3 �

Teorema 2.5.2 Jika 2-digraph D terhubung kuat dengan n vertex, sebuah loop merah

dan sebuah loop biru pada vertex yang sama maka exp2(D) ≤ 2n − 2.

Bukti. Andaikan kedua loop berada pada vertex s, untuk 1 ≤ s ≤ n, dari setiap

pasangan vertex i dan j di 2-digraph D, didapat Pis adalah path dari i ke s dan Psj

adalah path dari s ke j, jika :

lr = maxi

{r(pui)} dan lb = maxi

{b(pui)}

l′r = maxj

{r(pjp)} dan l′b = maxj

{b(pjv)}

untuk setiap pasangan vertex i dan j di D didapat walk dari i ke j dimulai dari

vertex i, kemudian melalui path Pis sampai di vertex s kemudian diikuti path Psj

sampai ke vertex j maka :

[r(wij)b(wij)

]≤

[lr + l′rlb + l′b

]karena walk wij melalui kedua loop,

maka terdapat sebuah (lr + l′r, lb + l′b)-walk dari i ke j, sehingga exp2(D) ≤ 2n − 2�

Universitas Sumatera Utara