(d, n) (p, n) (d, n)3 (,p )14 (p, )7 - matematika.mkmatematika.mk/wp-content/uploads/Nuklearna.pdfZbirka zada~i od fizika NUKLEARNA FIZIKA _____ 329

Zbirka zada~i od fizika NUKLEARNA FIZIKA _____________________________________________________________________________________

329

12. NUKLEARNA FIZIKA

1. Da se zapi{at skrateno slednive nuklearni reakcii:

a) nHeHH 32

21

21 +→+ ;

b) nBeLip 74

73 +→+ ;

v) npHγ21 +→+ ;

g) nHeHH 42

31

21 +→+ ;

d) HOHeN 11

178

42

147 +→+ ;

|) HeHepLi 42

42

73 +→+ .

Re{enie: Skrateniot zapis na nuklearnata reakcija od oblikot: bBaA +→+ (1) glasi: ( )BbaA , (2) Spored toa, skratenite zapisi na gornite reakcii glasat:

a) ( ) He nd, H 32

21 ;

b) ( ) Be np, Li 74

73 ;

v) ( )n pγ, H21 ili ( )p nγ, H2

1 ;

g) ( ) He nd, H 42

31 ;

d) ( ) O p, N 178

147 α ; ova e istoriskata reakcija koja {to ja izvel

Raderford vo 1911 godina i so koja {to zapo~nala ve{ta~kata transformacija na atomskite jadra.

|) ( ) He p, Li 42

73 α ; ova e u{te edna istoriska reakcija koja {to ja

pretstavuva prvata nuklearna reakcija izvedena so zabrzani ~esti~ki vo 1930 godina (protoni zabrzani vo akceleratorot na Kokroft i Volton bombardiraat jadra na litium, pri {to se osloboduva alfa-~esti~ka). Treba da se napomene deka vo na~inot na zapi{uvawe na nuklearnite reakcii pogore ne be{e vodeno smetka za energetskiot bilans na reakciite, tuku samo za u~esnicite vo niv.


330

2. Da se prikaè tekot na slednite nuklearni reakcii dadeni so skraten zapis:

a) ( ) C pd, C 146

136 ;

b) ( ) H γn, H 21

11 ;

v) ( ) C pd, C 146

136 ;

g) ( ) Be nγ, Be 84

94 ;

d) ( ) Ne p, F 2210

199 α ;

|) ( ) Si p, Al 3014

2713 α ;

e) ( ) B n, Li 105

73 α ;

`) ( ) Nn, B 147

115 α .

Re{enie: Standardnata forma so koja {to se opi{uva tekot na nuklearnite reakcii pogore glasi:

a) pCHC 146

21

136 +→+ ; (1)

b) γH n H 21

11 +→+ ; (2)

v) pC H C 146

21

136 +→+ ; (3)

g) nBe γBe 84

94 +→+ ; (4)

d) pNe F 2210

199 +→+ α ; (5)

|) pSi Al 3014

2713 +→+ α ; (6)

e) nB Li 105

73 +→+ α ; (7)

`) nN B 147

115 +→+ α . (8)


331

3. Kako rezultat na radioaktivno raspa|awe, jadroto

U23892 se transformira vo jadro Pb206

82 . Kolku vkupno α i β raspa|awa ima vo toj proces? Re{enie: Pri alfa-raspadot, jadroto koe {to se raspa|a emituva alfa-~esti~ka koja {to pretstavuva atomsko jadro na helium,

odnosno He 42 . Pri beta raspadot pak, jadroto emituva beta

~esti~ka koja {to pretstavuva 01- e . Spored toa, reakcijata na

raspa|awe na atomskoto jadro na uranium moè da se zapi{e na sledniot na~in:

HePb U 01-

42

20682

23892 enm ++→ (1)

kade {to m i n se brojot na alfa i beta-raspa|awa soodvetno. Soglasno zakonite za zapazuvawe na atomskiot i maseniot broj, brojot na protonite i neutronite pred i posle reakcijata mora da ostane nepromenet. Spored toa, od (1) sleduva sledniot sistem ravenki: nm ⋅++= 04206238 (2) i nm −+= 28292 (3) So re{avawe na sistemot ravenki koj {to go so~inuvaat ravenkite (2) i (3) se dobiva: 8=m i 4=n , {to zna~i deka procesot (1) e prosleden so osum alfa-raspa|awa i 4 beta-raspa|awa.


332

*4. Da se opredeli minimalnata energija koja {to treba da ja ima edno antineutrino za da moè da ja predizvika slednata reakcija:

++→+ enpν~ Da se smeta deka protonot se nao|a vo sostojba na miruvawe. Re{enie: Od zakonot za zapazuvawe na energijata sleduva: ++=+

enp EEEEν~ (1)

kade {to ν~E e energija na antineutrinoto, a:

2cmE pp = (2)

e energija na protonot (negovata kineti~ka energija 0=kpE ,

bidej}i toj se nao|al vo sostojba na miruvawe);

knnn EcmE += 2 (3) e energija na neutronot i:

++ +=keee

EcmE 2 (4)

e energijata na pozitronot, kade {to em e masata na elektro-not. So zamena na (2), (3) i (4) vo (1) se dobiva: ( ) ( )++ +++==+

keeknnep EcmEcmEcmE 222~ν (5)

Minimalnata energija {to treba da ja ima antineutrinoto za da ja predizvika ovaa reakcija }e ja opredelime od uslovot kineti~kite energii na pozitronot i neutronot da bidat ednakvi na nula, odnosno: 0==+ knke

EE . Zemaj}i go ova vo

predvid vo (5), se dobiva: ( ) 2

min~ cmmmE pen −+=ν (6)

Ako se imaat vo predvid slednite brojni vrednosti: MeV 2,9382 =cm p , MeV 5,9392 =cmn i MeV 5,02 =cme , od (6)

dobivame: MeV 8,1min~ =νE .


333

5. Da se pokaè deka jadroto Pu23694 e nestabilno i moè

da se raspadne so isfrlawe na α -~esti~ka. Re{enie: Raspadot na jadroto na plutoniumot moè da se prikaè so slednava nuklearna reakcija:

Q++→ HeUPu 42

23292

23694 (1)

Edno jadro }e bide nestabilno koga }e se raspadne spontano (samo od sebe), bez da se donesuva energija od nadvor. So drugi zborovi, pri raspadot }e se oslobodi energija. Toa zna~i deka vrednosta na energijata Q koja {to }e se oslobodi vo reakcijata (1) mora da bide pozitivna. Taa iznesuva:

( ) 2HeUPu cMMMQ −−= (2)

kade {to 236Pu =M , 232U =M i 4He =M . Masite na soodvet-nite jadra iznesuvaat: uMm ⋅= PuPu (3)

uMm ⋅= UU (4)

i uMm ⋅= HeHe (5)

kade {to: kg 1067,1 27−⋅=u e unificiranata edinica za masa. So zamena na (3), (4) i (5) vo (2) dobivame:

( ) ucmmmQ /2HeUPu −−= (6)

Zamenata na brojnite vrednosti vo (6) dava: MeV 87,5=Q . Ovaa

vrednost e pozitivna, a toa zna~i deka jadroto Pu23694 e

nestabilno i moè spontano da se raspadne emituvaj}i α -~esti~ka.


334

6. Da se najde rastojanieto koe {to treba da go izminat neutronite vo neutronski snop so energija eV 5 , ako e potrebno intenzitetot na snopot da se namali na edna polovina od po~etniot intenzitet. Poluìvotot na neutronite iznesuva 12,8 minuti. Re{enie: Dadeno: Se bara:

eV 5=E , s 768min 12,821 ==T ?−d

Kineti~kata energija na neutronite iznesuva:

2

2υnmE = (1)

od kade {to za brzinata so koja {to tie se dviàt se dobiva:

nm

E2=υ (2)

Zamenata na brojnite vrednosti vo (2) }e dade: skm 31=υ . Za

vreme s 768min 12,821 ==T , polovina od neutronite vo snopot }e

se raspadnat, pri {to negoviot intenzitet }e se namali na polovina od po~etniot intenzitet. Rastojanieto koe {to pritoa }e go izminat neraspadnatite neutroni iznesuva: 21Td υ= (3)

So zamena na (2) vo (3) dobivame:

nm

ETd

221= (4)

So zamena na brojnite vrednosti vo (4) se dobiva: km 800 23=d , {to e pribli`no ednakvo na ~etiri Zemjini radiusi.


335

7. Fluks od α -~esti~ki koi {to imaat brzina sm 107=υ

bombardiraat olovna plo~a so volumen 3cm 9=V . Do koja tem-

peratura }e se zagree plo~ata, ako vo nea se zapiraat 1510 α -~esti~ki? Da se pretpostavi deka celata energija na dvièweto na α -~esti~kite se pretvora vo toplina.

Temperaturata na plo~ata pred eksperimentot bila C201o=t .

Masata na α -~esti~kite e kg 106,6 27−⋅=αm , gustinata na

olovoto -33 mkg 103,11 ⋅⋅=ρ , a specifi~niot toplinski

kapacitet na olovoto CkgJ 1013,0 -13 o⋅⋅⋅=c . Re{enie: Dadeno:

sm 107=υ , 363 m 109cm 9 −⋅==V , C201o=t , kg 106,6 27−⋅=αm ,

-33 mkg 103,11 ⋅⋅=ρ , CkgJ 1013,0 -13 o⋅⋅⋅=c , 1510=N Se bara: ?2 −t Kineti~kata energija na N α -~esti~ki iznesuva:

2

2υαmNE = (1)

Toplinata koja {to }e se oslobodi pri bombardiraweto na olovnata plo~a se presmetuva na sledniot na~in: ( )12Pb ttcmQ −= (2)

odnosno, bidej}i Vm ρ=Pb ravenkata (2) se prezapi{uva kako:

( )12 ttVcQ −= ρ (3) Spored uslovot na zada~ata, celata kineti~ka energija se pretvora vo toplina koja {to odi za zagrevawe na olovnata plo~a, odnosno:

( )12

2

2ttVc

mN −= ρυα (4)

od kade {to za temperaturata do koja {to }e se zagree olovnata plo~a se dobiva:

Vc

mNtt

ρυα

2

2

12 += (5)

odnosno: C6,2692o=t .


336

8. Kolkava e mo}nosta na nuklearna centrala, ako nejzinata dnevna potro{uva~ka na U235 iznesuva kg 22,0=m ?

Pri delba na edno jadro na uranium se osloboduva energija od MeV 2000 =E . Stepenot na korisno dejstvo na nuklearnata

centrala iznesuva %25=η . Re{enie: Dadeno: Se bara:

kg 22,0=m , MeV 2000 =E , 25,0%25 ==η ?−kP Korisnata mo}nost na centralata iznesuva: PPk η= (1) kade {to:

t

EP = (2)

e vkupnata mo}nost {to se osloboduva pri fisijata na celoto koli~estvo uranium. Vo (2) s 86400h 24 ==t (celodnevna potro{uva~ka), dodeka pak vkupnata energija {to se oslobo-duva pri fisijata na uraniumot iznesuva: 0NEE = (3) kade {to:

ANM

mN = (4)

e brojot na jadra na uranium koi {to se podelile. M e molarna masa na uranium. So zamena na (4) vo (3) dobivame:

0ENM

mE A= (5)

So zamena na (2) i (5) vo (1), za mo}nosta na centralata dobivame:

0ENMt

mP Ak η= (6)

odnosno: GW 28,0=kP .


337

*9. Da se proceni gustinata na nuklearnata materija kako i brojot na nukleonite vo edinica volumen. Kolkav }e bide radiusot na Zemjata, ako cela nejzina materija se zbie vo topka ~ija {to gustina bi bila ednakva na gustinata na nuklearnata materija? Radiusot na atomskoto jadro se presmetuva kako:

3115105,1 AR −⋅= kade {to A e maseniot broj na jadroto. Re{enie: Ako atomskoto jadro go smetame za sfera, toga{ negoviot volumen }e iznesuva:

π3

3

4RV = (1)

Zamenuvaj}i go vo (1) izrazot za radiusot na jadroto daden vo uslovot na zada~ata imame: AV 441044,1 −⋅= (2) Masata na atomskoto jadro se presmetuva kako: Aum = (3) kade {to u e unificiranata edinica za masa. Gustinata na nuklearnata materija iznesuva:

V

m=ρ (4)

Zamenuvaj}i gi (2) i (3) vo (4) dobivame: 317 mkg 1017,1 ⋅=ρ . Brojot na nukleonite vo edinica volumen iznesuva:

43107 ⋅==V

AN (5)

Volumenot na Zemjata koga celata nejzina materija bi se zbila vo topka so gustina ednakva na onaa dadena so (4) }e iznesuva:

πρ

3

3

4Z

Z RM

V == (6)

od kade {to za radiusot na Zemjata bi se dobilo:

34

3

ρπz

Z

MR = (7)

So zamena na brojnite vrednosti vo (7) zemaj}i za masata na

Zemjata vrednost kg 1096,5 24⋅=ZM , se dobiva: m 230=R .


338

10. Da se opredeli energijata na vrzuvawe i specifi~nata energija na vrzuvawe na jadroto na deuteron. Re{enie: Energijata na vrzuvawe na dadeno atomsko jadro so dadeni atomski Z i masen broj A se presmetuva na sledniot na~in: ( ) 2, cMZAB ⋅∆= (1) kade {to: ( ) ( ) np mZAZmZAmM −−−=∆ , (2)

e defekt na masa koj {to e rezultat na toa {to slobodnite nukleonite imaat pogolema energija odo{to koga istite tie bi formirale jadro (zatoa atomite se stabilni sistemi). Vo (2): ( ) ( ) uZAMZAm ⋅= ,, (3)

e masata na jadroto. Za jadroto na deuterium H21 vaì: 1=Z i

2=A . Negovata masa spored (3) iznesuva:

( ) um ⋅= 01355,2H21 (4)

Defektot na masa spored (2) iznesuva: ( )uM 01355,200866,100783,1 −+=∆ (5) odnosno: uM 00294,0=∆ . So zamena na ovaa vrednosti vo (1),

zemaj}i vo predvid deka MeV 48,9312 =uc , za energijata na

vrzuvawe se dobiva ( ) MeV 226,2H21 =B . Specifi~nata energija

na vrzuvawe se presmetuva na sledniot na~in:

( ) ( )A

B HH

212

1 =ε (6)

So zamena na brojnite vrednosti vo (6) se dobiva: ( ) MeV 113,1H2

1 =ε .


339

11. Da se najde razlikata vo energiite na vrzuvawe na

jadrata H3 i He3 , ako se poznati masite na jadrata:

( ) um ⋅= 01604940,3H3 i ( ) um ⋅= 016029940,3He3 . Zo{to se javuva ovaa razlika? Re{enie: Dadeno: Se bara:

( ) um ⋅= 01604940,3H3 , ( ) um ⋅= 016029940,3He3 ?−∆B Energijata na vrzuvawe na dadeno atomsko jadro so dadeni atomski Z i masen broj A se presmetuva kako: ( ) 2, cMZAB ⋅∆= (1) kade {to: ( ) ( ) np mZAZmZAmM −−−=∆ , (2)

e defektot na masata. So zamena na (2) vo (1) se dobiva slednata formula za presmetuvawe na energijata na vrzuvawe:

( ) ( ) ( )[ ] 2,, cmZAZmZAmZAB np ⋅−−−= (3)

Energiite na vrzuvawe za jadrata H3 i He3 iznesuvaat, soodvetno: ( ) ( )[ ] 233 H2H cmmmB np ⋅−+= (4)

i ( ) ( )[ ] 233 He2He cmmmB np ⋅−+= (5)

So zamena na brojnite vrednosti vo (4) i (5) dobivame:

( ) MeV 48,8H3 =B i ( ) MeV 72,7He3 =B . Razlikata vo energiite na vrzuvawe iznesuva:

( ) ( )HeH 33 BBB −=∆ (6) ili, so zamena na (4) i (5) vo (6):

( ) ( )[ ] 233 HeH cmmmmB pn ⋅−−−=∆ (7)

So zamena na brojnite vrednosti vo (7) se dobiva: MeV 76,0=∆B . Ovaa razlika se dolì na faktot {to vo

jadroto He32 ima eden proton pove}e otkolku vo jadroto H3

1 . Toj proton predizvikuva pogolemo Kulonovo odbivawe pome|u nukleonite, a kako rezultat na toa e namalena energijata na vrzuvawe na jadroto.


340

*12. Da se presmeta energijata na vrzuvawe na α -~esti~-kata, ako se dadeni masite na nukleonite i na

~esti~kata: ( ) umm p ⋅== 007276,1H11 , umn ⋅= 008665,1 i

( ) um ⋅= 001523,4He42 .

Re{enie: Dadeno:

( ) umm p ⋅== 007276,1H11 , umn ⋅= 008665,1 , ( ) um ⋅= 001523,4He4

2

Se bara:

( ) ?He42 −B

Energijata na vrzuvawe na dadeno atomsko jadro so dadeni atomski Z i masen broj A se presmetuva kako: ( ) 2, cMZAB ⋅∆= (1) kade {to: ( ) ( ) np mZAZmZAmM −−−=∆ , (2)

e defektot na masata. So zamena na (2) vo (1) se dobiva slednata formula za presmetuvawe na energijata na vrzuvawe:

( ) ( ) ( )[ ] 2,, cmZAZmZAmZAB np ⋅−−−= (3)

Energijata na vrzuvawe na jadroto He42 iznesuva:

( ) ( )[ ] 242

42 He22He cmmmB np ⋅−+= (4)

Specifi~nata energija na vrzuvawe pak, se presmetuva kako:

( ) ( )A

B HeHe

33 =ε (5)

kade {to 4=A , odnosno:

( ) ( )[ ]A

cmmm np

242

42 He22He ⋅−+=ε (6)

So zamena na brojnite vrednosti vo (6) dobivame:

( ) MeV 1,7He42 =ε (7)


341

*13. Dadena e slednata nuklearna reakcija: ( )BbaA ,

kade {to am , aE i bm , bE se masite i kineti~kite energii na

~esti~kite a i b , dodeka pak Am , 0=AE i Bm , BE se masite i kineti~kite energii na ~esti~kite A i B , soodvetno. Ako agolot pome|u pravcite na dvièwe na proektilot a i ~esti~kata b e θ , da se opredeli klasi~niot izraz za energijata Q na nuklearnata reakcija. Re{enie: Dadeno: Se bara:

am , aE , bm , bE , Am , 0=AE , Bm , BE , θ ?−Q

A

B

a

b

θ

Sl.1 Dijagramot na impulsite e daden na sl.2. Spored kosinusnata teorema sleduva:

θ

bpBp

ap

Sl.2 So zamena na (3), (5), (6) i (7) vo (4) se dobiva:

B

babaa

B

ab

B

b

m

EEmmE

m

mE

m

mQ

211

−−

+= (8)

Reakcijata e slednata: BbaA +→+ (1) Ravenkata koja {to go dava energet-skiot bilans na reakcijata (1) e sled-nata: Bba EEQE +=+ (2) Energijata na ~esti~kata B , spored ravenkata (2) iznesuva: baB EQEE −+= (3)

θcos2222babaB ppppp −+= (4)

Od druga strana, klasi~nite izrazi za impulsite na ~esti~kite koi {to u~estvuvaat vo reakcijata se sled-nite:

BBB Emp 2= (5)

aaa Emp 2= (6)

bbb Emp 2= (7)


342

*14. α -~esti~ka so energija MeV 3,5=αE ja

predizvikuva slednata nuklearna reakcija: ( ) C n, Be 126

94 α , ~ij

{to toploten efekt iznesuva MeV 7,5=Q . Da se opredeli kineti~kata energija na neutronot koj {to izlegol pod prav agol vo odnos na pravecot na dvièwe na α -~esti~kata. Re{enie: Dadeno: Se bara:

MeV 3,5=αE , MeV 7,5=Q ?−nE

Be

C

α

n

ααα υmp =

CCC mp υ=

nnn mp υ=

Sl.1 CCC mp υ= (3)

ααα υmp = (4)

i nnn mp υ= (5) So zamena na (3), (4) i (5) vo (2) se dobiva:

222222nnCC mmm υυυ αα += (6)

So zamena na (6) vo (1), vodej}i smetka deka:

2

2αα

αυm

E = i 2

2nn

n

mE

υ= (7)

za energijata na neutronite se dobiva:

C

C

1

1

m

m

Qm

mE

En

n

+

+

−

=

αα

(8)

odnosno: MeV 52,8=nE .

Od zakonot za zapazuvawe na energijata sleduva:

222

2CC

22 υυυαα mmQ

m nn +=+ (1)

Na sl.1 e prikaàn dijagramot na impulsite od kade {to se gleda deka:

222C nppp += α (2)

Soodvetnite impulsi vo (2) izne-suvaat:


343

*15. So protoni ~ija {to energija e MeV 20=pE se

bombardira meta od Li73 . Da se opredeli agolot na izleguvawe

na dvete α -~esti~ki dobieni vo ovaa reakcija ~ija {to energija e MeV 2,17=Q . Re{enie: Dadeno: Se bara:

MeV 20=pE , MeV 2,17=Q ?−θ

Lip

α

θ

α

θ

Sl.1 Zakonot za zapazuvawe na impulsot, vo vektorska forma glasi:

αααα υυυ mmm pp += (3)

Proekcijata na (3) na oska ~ija {to nasoka se sovpa|a so nasokata na dvièwe na protonite glasi: θυυ αα cos2mm pp = (4)

Brzinata na protonot se presmetuva na sledniot na~in:

p

pp m

E2=υ (5)

Ako izrazite (2) i (4) gi zamenime vo (5), za agolot pod koj {to izletuvaat dvete α -~esti~ki }e dobieme:

QE

E

m

m

p

pp

+=

αϕ

2arccos (6)

Od zakonot za zapazuvawe na energijata sleduva:

QEm

p +=2

22ααυ

(1)

od kade {to za brzinata na α -~esti~kite se dobiva:

α

αυm

QE p += (2)


344

*16. Vo Vilsonova komora se nabquduva elasti~no

raseju-vawe na α -~esti~ka pod agol o30=θ vo odnos na upadniot pravec. So koe jadro se slu~il sudarot, ako toa izletalo pod istiot agol vo odnos na upadniot pravec kako i α -~esti~kata? Re{enie: Dadeno: Se bara:

o30=θ ?−xm

x

α

θθ

x

α x

y

Sl.1 Proekciite na ovaa vektorska ravenka na oskite od koordinatniot sistem prikaàn na sl.1 glasat:

- na x -oskata: θυθυυ αααα coscos0 xxmmm += (2)

- na y -oskata: θυθυαα sinsin0 xxmm −= (3) Od ravenkata (3) sleduva: xxmm υυαα = (4) So zamena na izrazot (4) vo ravenkata (2) dobivame: θυυ αα cos20 = (5) Vo izrazot so koj {to e daden zakonot za zapazuvawe na energijata:

222

2220 xxmmm υυυ αααα += (6)

da go zamenime izrazot (5). ]e dobieme:

−=θ

υυ αα 22

02

cos4

11mm xx (7)

Ako ja kvadrirame ravenkata (4) od levo i desno }e dobieme:

Ako so 0αυ ja ozna~ime brzinata na α -~esti~kata pred sudarot, so αυ nejzinata brzina

posle sudarot i so xυ brzinata na baranata ~esti~ka, toga{ vektor-skata ravenka koja {to go pretstavuva zakonot za zapazu-vawe na impulsot glasi:

xxmmm υυυ αααα +=0 (1)


345

2222ααυυ mm xx = (8)

Od (5) sleduva:

θ

υυ αα 2

202

cos4= (9)

Izrazot (9) da go zamenime vo (8). Dobivame:

θ

υυ αα2

20

222

cos4

mm xx = (10)

So kombinirawe na relaciite (7) i (10) se dobiva:

−=θ

θα2

2

cos4

11cos4

xm

m (11)

Od ravenkata (11), za masata na nepoznatata ~esti~ka se dobi-va:

1cos4 2 −

=θ

αmmx (12)

So zamena na brojnite vrednosti vo (12) se dobiva: 2=xm , {to zna~i deka jadroto so koe {to se slu~il sudarot e jadroto na

deuterium H21 .


346

17. Procesot na radioaktivno raspa|awe na daden element trael za vreme t . Na po~etokot bile prisutni 0N jadra od toj element, a konstantata na raspadot e λ . a) da se opredeli brojot na jadra koi {to se raspadnale za vreme t ; b) da se opredeli periodot na poluraspad; v) kolkavo e srednoto vreme na ìvot? g) da se opredeli vremeto za koe {to se raspadnale 1N jadra. Re{enie: Dadeno: Se bara: t , λ , 0N , 1N a) ?−rN , b) ?21 −T , v) ?−τ , g) ?1 −t

a) Od zakonot za radioaktivno raspa|awe:

teNN λ−= 0 (1) kade {to N e brojot na jadra prisutni vo moment na vreme t , se opredeluva brojot na raspadnati jadra na sledniot na~in:

( )tr eNNNN λ−−=−= 100 (2)

b) Periodot na poluraspad se opredeluva kako:

λ

2ln21 =T (3)

v) Srednoto vreme na ìvot iznesuva:

2ln

1 21T==

λτ (4)

g) Ako vremeto za koe {to se raspadnale 1N jadra go

ozna~ime so 1t , toga{ spored (2) }e imame:

( )1101teNN λ−−= (5)

So logaritmirawe na dvete strani na ravenkata (5) se dobiva:

−=

10

01 ln

1

NN

Nt

λ


347

*18. Obrazec od par~e sveò ise~eno drvo ima aktivnost 3,150 =A raspadi vo minuta, koja {to se dolì na

raspa|awe na C14 . Sli~en obrazec, zemen od sarkofagot na

nekoj egipetski faraon dava 7=A raspadi vo minuta. Da se opredeli pred kolku godini e zakopan faraonot, ako se znae deka periodot na poluraspa|awe na C14 iznesuva 557021 =T

godini. Da se navedat najmalku tri aproksimacii koi {to se koristat vo zada~ata. Re{enie: Dadeno: Se bara:

-110 s 25,0min3,15 == −A , -11 s 11,0min7 == −A , a 557021 =T ?−t

Aktivnosta na daden radioaktiven element se presmetuva na sledniot na~in: NA λ= (1) Spored zakonot za radioaktivno raspa|awe, taa se menuva so tekot na vremeto na sledniot na~in:

teAA λ−= 0 (2)

kade {to 0A e aktivnosta na elementot vo po~etniot moment na vreme. Spored uslovot na zada~ata, za po~etna aktivnost

0A na jaglerodot se smeta onaa koja {to ja ima par~e sveò ise~eno drvo, dodeka aktivnosta koja {to ja ima jaglerodot od sarkofagot na faraonot e A . Spored (2), ako se zeme vo predvid deka vaì:

21

2ln

T=λ (3)

za vremeto za koe {to traelo raspa|aweto na jaglerodot (starosta na sarkofagot) se dobiva:

A

ATt 021

ln2ln

= (3)

So zamena na brojnite vrednosti vo (3) se dobiva 6283=t godi-ni. Pri re{avaweto na zada~ata se napraveni nekolku aproksimacii: aktivnosta na elementot se meri so relativna to~nost; samiot zakon za radioaktivno raspa|awe se koristi pribli`no za ne mnogu golemi vremiwa; sporna e i koncentra-cijata na 2CO vo vozduhot vo vremeto koga e zakopan faraonot.


348

*19. Rezultatite od mereweto na aktivnosta na

izotopot Cr5524 na krajot od petminutni intervali se: 19,2; 7,13;

2,65; 0,99 i 0,37mCi . Da se opredeli vremeto na poluìvot na ovoj element. Re{enie: Aktivnosta na daden radioaktiven element opa|a so tekot na vremeto na sledniot na~in:

teAA λ−= 0 (1) So logaritmirawe na dvete strani na ravenkata (1), dobivame: tAA λ−= 0lnln (2) od kade {to se gleda deka Aln e linearna funkcija od vremeto t . Spored podatocite dadeni vo uslovot na zada~ata, moè da se napravi tabelata 1. Ako grafi~ki se pretstavi zavisnosta

( )mCiA Aln ( )mint

19,2 2,95 0 7,13 1,96 5 2,65 0,97 10 0,99 -0,01 15 0,37 -0,09 20

Tabela 1

Aln

t100 15 205

1

2

3

Sl.1 So zamena na (4) vo (5) se dobiva: min 6,421 =T .

)(ln tA , se dobiva grafikot prikaàn na sl.1. Koefici-entot na pravecot na pravata na sl.1 iznesuva: λα −== tgk (1) kade {to α e agolot koj {to pravata go zafa}a so pozi-tivniot del na x0 -oskata. Da go presmetame ovoj koefici-ent po grafi~ki pat:

( )200

09,095,2

−−−=k (2)

odnosno: 152,0−=k (3) Od (1) i (3) za konstantata na radioaktivno raspa|awe se dobiva: -1min 152,0=λ (4) Periodot na poluìvot na ovoj element iznesuva:

λ

2ln21 =T (5)


349

20. Kolkava e aktivnosta na g 1 Ra226 ~ij {to period na

poluraspa|awe iznesuva 162221 =T godini?

Re{enie: Dadeno: Se bara:

kg 10g 1 -3==m , s 108,9a 1622 1021 ⋅==T ?−A

Aktivnosta na radiumot se presmetuva na sledniot na~in: NA λ= (1) kade {to:

21

2ln

T=λ (2)

e konstantata na radioaktivno raspa|awe, a: AnNN = (3) e brojot na radiumovi atomi prisutni vo daden moment. Koli~estvoto na ovie atomi iznesuva:

M

mn = (4)

kade {to molg 226=M e molarnata masa na radiumot. So zamena na (4) vo (3), za brojot na atomite imame:

ANM

mN = (5)

kade {to AN e Avogadroviot broj. So zamena na (2) i (5) vo (1). dobivame:

ANM

m

TA

21

2ln= (6)

So zamena na brojnite vrednosti vo (6), za aktivnosta na g 1

Ra226 se dobiva: 10107,3 ⋅=A raspa|awa vo sekunda. Ovaa

aktivnost e iskoristena za definirawe na edinicata Kiri, odnosno: -110 s 107,3Ci1 ⋅= , {to zna~i deka Ci1 e aktivnost koja {to ja ima eden gram uranium-236.


350

21. Se pretpostavuva deka starosta na Zemjata e okolu

102 9⋅ godini. Najdolgove~niot izotop na Tc99 ima period na

poluraspa|awe 521 1012,2 ⋅=T godini. Da se opredeli koj del od

vkupnoto koli~estvo na ovoj element, koe {to se nao|alo vo Zemjata u{te pri nejzinoto formirawe, ostanal do denes? Re{enie: Dadeno: Se bara:

a 102 9⋅=t , a 1012,2 521 ⋅=T ?/ 0 −NN

Spored zakonot za radioaktivno raspa|awe imame:

teNN λ−= 0 (1)

kade {to N e brojot na jadra na Tc99 prisutni vo moment na vreme t (denes), moème da go opredelime brojot na jadra prisutni vo momentot na formirawe na Zemjata:

tNeN λ=0 (2) odnosno, ako se zeme vo predvid deka:

21

2ln

T=λ (3)

ravenkata (3) pominuva vo:

⋅=21

02ln

expT

tNN (4)

Ako pretpostavime deka denes ostanalo samo edno edinstveno

jadro na Tc99 ( 1=N ), toga{ za brojot na prisutni jadra vo momentot na formirawe na Zemjata od (4) bi dobile:

⋅=21

02ln

expT

tN (5)

odnosno: 28400 10=N . Ova e ogromen broj jadra. Za ilustracija,

tolku atomi nema nitu vo vselenata. Vakviot rezultat proizleguva od pretpostavkata deka denes ostanalo barem

edno jadro na Tc99 . Toa zna~i deka Tc99 odamna se raspadnal, taka {to deneska pove}e ne postoi.


351

*22. Vo krvta na ~ovek se vnesuva 3cm 1 rastvor {to

sodrì radioaktiven Na24 so aktivnost -10 s 2000=A , namenet

za medicinski ispituvawa. Aktivnosta na 3cm 1 krv zemena

posle 5 ~asa bila -1min 16000=A . Da se opredeli volumenot na krvta vo ~ove~koto telo, ako se znae deka periodot na

poluraspa|awe na Na24 iznesuva 15 ~asovi. Re{enie: Dadeno: Se bara:

30 cm 1=V , -1

0 s 2000=A , -1s 7,266=A , h 5=t , h 1521 =T ?−V

Vkupnata aktivnost na krvta so volumen V vo ~ove~koto telo vedna{ po vnesuvaweto na radioaktiven preparat so volumen 0V i aktivnost 0A iznesuva:

V

VAA 00

1 = (1)

Ovaa aktivnost }e opa|a so tekot na vremeto, taka {to posle vreme t }e iznesuva:

teAA λ−= 1 (2) kade {to:

21

2ln

T=λ (3)

So koristewe na (1) i (3), ravenkata (2) se prezapi{uva na sledniot na~in:

−= t

TV

VAA

21

00 2lnexp (4)

Od (4), za volumenot na krvta vo ~ove~koto telo vo koe {to e vnesen radioaktivniot preparat se dobiva:

−= t

TA

VAV

21

00 2lnexp (5)

So zamena na brojnite vrednosti vo (5) dobivame: 3cm 5952=V .


352

23. Kolkavo koli~estvo uraniumova ruda e potrebno za da se dobie g 5,172 Ra234 , ako rudata sodrì 0,3% U226 ?

Periodite na poluraspa|awe na uraniumot i radiumot

iznesuvaat 1620Ra =T godini i 5U 107,2 ⋅=T godini, soodvetno.

Re{enie: Dadeno: Se bara:

g 5,172Ra =m , a 1620Ra =T , a 107,2 5U ⋅=T , mm 003,0U = ?−m

Zakonot za radioaktivna ramnoteà glasi: RaRaUU NN λλ = (1) kade {to za brojot na atomi na radiumot i uraniumot vaì soodvetno:

ANM

mN

U

UU = (2)

i ANM

mN

Ra

RaRa = (3)

Vo (2) i (3) molg 234U =M i molg 226Ra =M se molarnite masi na uraniumot i radiumot. Konstantite na radioaktivno raspa|awe iznesuvaat:

U

U2ln

T=λ i

RaRa

2ln

T=λ (4)

So zamena na (2), (3) i (4) vo (1) dobivame:

AA NM

m

TN

M

m

T Ra

Ra

RaU

U

U

2ln2ln = (5)

Spored uslovot na zada~ata: mm 003,0U = (6) kade {to so m ja ozna~ivme masata na rudata. Od (5) i (6) sleduva:

RaRa

UURa

003,0

1

MT

MTmm = (7)

Zamenata na brojnite vrednosti vo (7) dava: kg 29=m .


353

24. Da se presmeta periodot na poluraspa|awe na

radioaktivniot izotop Po210 , ako e poznato deka g 1=m od toj izotop za vreme od edna godina, po pat na radioaktivno

raspa|awe sozdava 3cm 90=V helium pri normalni uslovi ( Pa 101325=p , K 273=T ). Re{enie: Dadeno:

kg 10g 1 -3==m , 353 m 109cm 90 −⋅==V , Pa 101325=p , K 273=T Se bara: ?21 −T

Od zakonot za radioaktivno raspa|awe:

teNN λ−= 0 (1) za brojot na raspadnati jadra dobivame:

( )teNNNN λ−−=−=∆ 100 (2) Koli~estvoto na ovie jadra se presmetuva kako:

M

m

N

Nn

A

=∆= (3)

i spored (2) iznesuva:

( )teM

mn λ−−= 1 (4)

So zamena na (4) vo Klapejronovata ravenka: nRTpV = (5) se dobiva:

( )teRTM

mpV λ−−= 1 (6)

Logaritmiraj}i gi dvete strani na ravenkata (6) i re{avaj}i ja po konstantata λ , vodej}i smetka deka λ/2ln21 =T , dobivame:

−

⋅=

pVMmRT

mRT

tT

ln

2ln21 (7)

So zamena na brojnite vrednosti vo (7) se dobiva: 387,021 =T

godini.


354

*25. Da se presmeta kolku atomi na radon }e se raspadnat za vremeto koe {to e potrebno da se raspadne eden atom na aktinium. Po~etnite koli~ini na aktinium i radon se

ednakvi i iznesuvaat 710 atomi. Periodot na poluraspa|awe na aktiniumot e 5,13Ac =T godini, dodeka pak periodot na

poluraspa|awe na radonot e 825,3Ra =T denovi. Re{enie: Dadeno: Se bara:

70 10=N , s 10 4,25a 5,13 8

Ac ⋅==T , s 103,3 d 825,3 5Ra ⋅==T ?−∆N

Od zakonot za radioaktivno raspa|awe na aktiniumot:

teNN Ac0

λ−= (1) kade {to:

Ac

Ac2ln

T=λ (2)

se opredeluva brojot na raspadnati jadra:

( )teNN λ−−=∆ 101 (3)

Spored uslovot na zada~ata: 11 =∆N , od kade {to (3), so zemawe vo predvid na (2), pominuva vo:

−=− t

TNN

Ac00

2lnexp1 (4)

Od (4), za vremeto za koe {to }e se raspadne edniot atom na aktinium se dobiva:

1

lnln2 0

0Ac

−=

N

NTt (5)

Brojot na raspadnati jadra na radon za ova vreme }e iznesuva:

( )teNN Ra10λ−−=∆ (6)

kade {to: AcAc 2ln T=λ (7) So zamena na (5) i (7) vo (6) dobivame:

−−−=∆

1lnexp1

0

0

Ra

Ac0 N

N

T

TNN (8)

So zamena na brojnite vrednosti vo (7) se dobiva: 128=∆N .

Documents

(d, n) (p, n) (d, n)3 (,p )14 (p, )7 - matematika.mkmatematika.mk/wp-content/uploads/Nuklearna.pdfZbirka zada~i od fizika NUKLEARNA FIZIKA _____ 329