1

2. METODE RJEAVANJA STRUJNIH KRUGOVA ISTOSMJERNE STRUJE

U svrhu lakeg snalaenja u analizi sloenih strujnih krugova i električnih mrea

uvode se nazivi za pojedine dijelove mree. Onaj dio električne mree koji sadri serijski vezane izvore i otpore, a kroz koji teče

struja iste jakosti naziva se grana električne mree. Mjesto ili točka u električnoj mrei gdje se sastaju najmanje tri grane naziva se čvor

električne mree. Obilaenjem po granama mree, bilo koji zatvoreni krug zove se kontura električne

mree. Bilo koji zatvoreni krug sastavljen od nekoliko grana, dakle čini konturu. Konture koje se od prijanjih razlikuju barem za jednu granu nazivaju se nezavisne konture.

Pojedini dijelovi električne mree prikazani su slikom 28. Slika 28. Elementi električne mre`e U električnoj mrei, gdje su poznati naponi izvora E i otpori R u svim granama

mree, moe se primjenom I i II Kirchhoffova zakona odrediti bilo koja nepoznata struja.

Za bilo koji čvor mree, jednadba I Kirchhoffovog zakona glasi: Algebarska suma svih struja koje ulaze u čvor jednaka je sumi struja koje iz

njega izlaze, ili suma svih struja koje se u čvoru sastaju jednaka je nuli.

∑I=0 Pri rjeavanju jednadbe, očito je, moraju se znati struje po veličini i po smjeru.

Veličina nepoznatih struja označava se općim brojevima I1,I2,IN, dok se smjer pojedine struje moe po volji odrediti. Nakon rjeavanja sistema jednadbi pojedine struje će se pojaviti s negativnim predznakom, to nikako ne znači da je struja negativna, već jednostavno da je smjer struje suprotan od pretpostavljenoga.

Za pojedine nezavisne konture mree postavljaju se naponske jednadbe primjenom II Kirchhoffovog zakona, koji glasi:

Algebarska suma napona svih izvora jedne konture jednaka je sumi padova napona svih otpornika te konture.

Obilaenje konture obavlja se po volji odabranim smjerom, koji se tada smatra pozitivnim smjerom. Napon u algebarskoj sumi II Kirchhoffovog zakona uzima se pozitivnim, ako se pri obilaenju konture prolazi napon izvora u smjeru njegova djelovanja. Isto tako će i padovi napona na pojedinim otporima imati pozitivan predznak, kada se pri obilaenju konture otpornik nalazi u pretpostavljenom smjeru struje kroz njega.

čvor

kontura

grana

2

Primjenom jednadbi I i II Kirchhoffova zakona mogu se analizirati linearne mree, to se moe pokazati primjerom prikazan slikom 29.

Slika 29. Za izračunavanje nepoznanica, matematički gledano, potrebno je postaviti

onoliko jednadbi koliko je nepoznanica. Primjenjujući I Kirchhoffov zakon jednadbe za struje u pojedinim čvorovima će izgledati:

za čvor A -I1-I3+I6=0 za čvor B I1-I2+I4=0 za čvor C I2+I3-I5=0, i za čvor D -I4+I5-I6=0 Sređivanjem prve tri jednadbe, dobiva se četvrta jednadba, pa se dolazi do

zaključka kako je u električnim mreama potrebno postaviti minimalno (č-1) strujnih jednadbi, gdje je č broj čvorova mree.

Električna mrea iz naeg primjera ima 6 grana, koje čine 3 nezavisne konture. Prva kontura dobije se, ako odaberemo put obilazeći čvorove ABDA, druga obilazeći čvorove BCDB i na kraju treća obilazeći čvorove ADCA. Svaki od ovih puteva sadri po jednu granu koja ne pripada ni jednom ni drugom putu, te će dobivene jednadbe biti međusobno neovisne.

Kako bi se mogao primijeniti II Kirchhoffov zakon, odnosno napisati algebarske sume elektromotornih sila za izabrane puteve, moraju se definirati smjerovi obilaenja pojedine konture. Sve elektromotorne sile koje imaju isti smjer kao smjer obilaenja ulaze u zbroj s pozitivnim predznakom, one suprotne ulaze s negativnim predznakom. Predznak padova napona na otpornicima ostaje nepromjenjen, ako struja u grani ima isti smjer kao smjer obilaenja konture, odnosno obrnut ako je smjer konture suprotan od smjera obilaenja. Neposrednom primjenom II Kirchhoffovog zakona za pojedine konture dobiju se naponske jednadbe:

za put ABDA E1-I1R1+I4R4-E4-I6R6=0 za put BCDB -E2-I2R2-I5R5+E4-I4R4=0 i za put ADCA I6R6+I5R5+I3R3+E3=0 Poznavajući sve elektromotorne sile u mrei te sve otpore, rjeenja gore

napisanih jednadbi dati će struje u pojedinim granama mree. Potreban broj naponskih jednadbi, očito je, jednak broju kontura mree k. Općenito, moe se pokazati da je broj kontura k jednak:

k=g-(č-1),

R

3 R6

R1

R4

R5

R2 E2

E3 E4

E1

A

D B

C

K2

K1 K3

I3 I5

I

6 I1

I4

I2

3

gdje je g broj grana mree. U svakoj razgranatoj mrei mogu se primjenom Kirchhoffovih zakona odrediti struje

uz poznate elektromotorne sile i otpore. Međutim, u mreama s velikim brojem grana, mora se postaviti veliki broj jednadbi, pa ova metoda rjeavanja zahtijeva dosta napora i vremena. Tada ova metoda ustupa mjesto drugim metodama, koja će naposljetku dati isti rezultat, bre rjeavanje i uz manje napora.

2.1. Metoda konturnih struja

Ova metoda razvila se iz metoda rjeavanja nepoznanica u mrei primjenom Kirchhoffovih zakona. Za primjer prikazan slikom 29, rjeavanjem strujnih jednadbi po I4, I5 i I6 prema I Kirchhoffovom zakonu dobiva se:

I4=I2-I1; I5=I2+I3 i I6=I1+I3 Kada ovo zamijenimo u naponskim jednadbama, primjenom II Kirchhoffovog

zakona i te jednadbe sredimo, dobiva se: (R1+R4+R6)I1-R4I2+R6I3=E1-E4 -R4I1+(R2+R4+R5)I2+R5I3=E4-E2 R6I1+R5I2+(R3+R5+R6)I3=-E3 U tim jednadbama s desne strane sa nalaze poznate elektromotorne sile, a s lijeve

strane svi otpori mree i struje I1, I2 i I3 u granama mree po kojima su izabrani zatvoreni putevi različiti. Pomoću ove tri jednadbe mogu se, dakle, odrediti struje I1, I2 i I3. Ove jednadbe mogu poprimiti i drugačiji oblik, ako promatranu mreu račlanimo na 3 konture, kako je to prikazano slikom 30. Struje u neovisnim konturama numerirane su II, III i IIII, tako to struja II predstavlja struju prve konture, III struju druge i IIII struju treće konture.

Uzmemo li prvu naponsku jednadbu i u njoj koeficijent uz struju I1 (R1+R4+R6), uočava se da on predstavlja zbroj otpora prve konture koji se moe označiti s R11 te napisati:

R11=(R1+R4+R6) Koeficijent uz struju I2, u istoj jednadbi, je otpor R4 koji pripada i prvoj i drugoj

konturi. Taj otpor naziva se zajednički otpor prve i druge konture R12, pa se moe pisati: R12=R4 Isto tako je otpor R6 uz struju I3 zajednički otpor prve i treće konture R13, tj.: R13=R6

Slika 30.

R3 R6

R1

R4 R5

R2 E2

E3 E4

E1 A

D B

C

IIII IIII

IIII I1

I4

III R5

D

C

III

R4 E4 B D

A

KII

KIII

KI R

6

4

Na desnoj strani prve naponske jednadbe nalazi se suma elektromotornih sila u prvoj konturi, čiji smjer je uzet kao smjer obilaenja konture, a ta suma se označava s EI, te se moe pisati:

EI=E1-E4 U drugoj naponskoj jednadbi, koja se odnosi na drugu konturu, otpor R4 je

zajednički otpor između druge i prve konture, (R2+R4+R5) je ukupni otpor druge konture, a otpor R5 je zajednički otpor između druge i treće konture. Na desnoj strani je suma elektromotornih sila E4-E2, pa se za drugu konturu mogu napisati slijedeći odnosi:

R21=R4 R22=(R2+R4+R5) R23=R5 EII=E4-E2 Iz treće naponske jednadbe izlazi: R31=R6 R32=R5 R33=(R3+R5+R6) EIII=-E3 Unoseći ove promjene u naponske jednadbe dobiva se: R11I1-R12I2+R13I3=EI -R21I1+R22I2+R23I3=EII R31I1+R32I2+R33I3=EIII Ove jednadbe nazivaju se jednadbe konturnih struja. Uočljivo je, da neki članovi

s lijeve strane jednadbe imaju pozitivni predznak, a neki negativan. Za predznake tih članova vrijedi pravilo: članovi s ukupnim optorima pojedinih kontura uvijek imaju pozitivan predznak, dok su članovi s zajedničkim otporima kontura pozitivni kada konturne struje u tim otporima imaju iste smjerove, a negativan kada konturne struje u njima imaju suprotne smjerove.

Rjeavanjem ovih jednadbi dobivaju se struje II, III i IIII u pojedinim konturama, a to su zapravo struje u granama po kojima su pojedine konture međusobno različite (struje I1, I2 i I3) unutar promatrane mree. Struje I4, I5 i I6 u ostalim granama mree mogu se dobiti rjeavanjem strujnih jednadbi:

I4=I2-I1; I5=I2+I3 i I6=I1+I3 Metoda konturnih struja moe se primijeniti u svakoj razgranatoj mrei, pa se za

mreu s n nezavisnih kontura, općenito, moe napisati n jednadbi konturnih struja. R11I1+R12I2+R13I3+ +R1kIk+ +R1nIn=E1 R21I1+R22I2+R23I3+ +R2kIk+ +R2nIn=E2 R31I1+R32I2+R33I3+ +R3kIk+ +R3nIn=E3 Rn1I1+Rn2I2+Rn3I3+ +RnkIk+ +RnnIn=En U svim jednadbama treba potivati pravilo predznaka koeficijenta, to ovisi o

smjerovima konturnih struja u zajedničkim otporima, a neki od članova mogu biti jednaki nuli, ukoliko neke konture nemaju zajedničkih otpora.

Analiza električnih mrea, primjenom metode konturnih struja, izgleda ovako: U mrei se po volji odabere n nezavisnih kontura, s konturnim strujama koje imaju

po volji odabrani smjer obilaenja, Za svaku konturu treba napisati naponsku jednadbu, koja za k-tu konturu općenito

ima oblik:

I R I R Ek kk l kl kkll k

n

⋅ + ⋅ ==≠

∑1

gdje je: Ik - struja promatrane konture k, Il - struja bilo koje druge konture, a otpori:

5

Rkk - ukupni otpor konture k, Rkl - zajednički otpor između konture k i jedne od ostalih kontura, te napon: Ekk - zbroj svih elektromotornih sila konture k (zbrajanje u odabranom pozitivnom

smjeru za tu konturu). Ukoliko u promatranoj konturi nema naponskih izvora, koeficijent Ekk jednak je nuli.

Isto tako otpada član jednadbe Rkl, ukoliko konture k i l nemaju zajedničke grane. Bilo koja nepoznata konturna struja dobiva se kao rjeenje sustava jednadbi, a

pomoću determinanti ona iznosi:

IDDk

k=

gdje je: D - glavna determinanta sustava linearnih jednadbi, koja sadri otporne koeficijente,

s lijeve strane jednadbi, a nalaze se uz konturne struje, koja izgleda ovako:

D

R R R RR R R R

R R R R

R R R R

l n

l n

l l ll

n n nl nn

=

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

. .

. .. . . . . .

. .. . . . . .

. .

ln

Dk - determinanta sustava linearnih jednadbi, koje se dobivaju tako to se u glavnoj determinanti k-ti stupac zamijeni konstantnim članovima E s desne strane jednadbi, koja izgleda ovako:

D

R R E RR R E R

R R E R

R R E R

k

l n

l n

l l ll

n n nl nn

=

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

. .

. .. . . . . .

. .. . . . . .

. .

ln

Nakon određivanja svih konturnih struja, pomoću strujnih jednadbi, izraunavaju se ostale struje po granama mree.

ZADACI 1. ZADATAK: Za mreu prikazanu na slici 31 postavite sustav jednadbi konturnih struja. Rjeenje: Kad bismo ovu mreu htjeli rijeiti direktnom primjenom Kirchhoffovih zakona,

trebalo bi postaviti sustav od 8 jednadbi s 8 nepoznanica, jer je ng=8, a n~=5. Pomoću konturnih struja njihov broj se reducira na nk=ng-(nč-1)=4.

Svakoj konturi je potrebno pridodati referentni smjer i konturnu struju. Konture se biraju tako da se svaka od odabranih razlikuje barem za jednu granu od ostalih.

6

Slika 31 Standardni oblik sustava jednadbi za konture 1, 2, 3 i 4 je: I1R11-I2R12+I3R13+I4R14=E11 -I1R21+I2R22-I3R23+I4R24=E22 I1R31-I2R32+I3R33+I4R34=E33 I1R41+I2R42+I3R43+I4R44=E44 gdje su: R11=R1+R5+R4+R3+R2 R22=R4+R9+R8+R7+R6 R33=R7+R13+R12+R11+R10 R44=R14+R15+R16+R8+R9+R5 R12=R21=R4 R13=R31=0 (konture 1 i 3 nemaju zajedničkih grana) R14=R41=R5 R23=R32=R7 R24=R42=R9+R8 R34=R43=0 (konture 3 i 4 imaju zajednički čvor, ali ne i granu) E11=E1-E2-E3 E22=E4-E5+E3 E33=E7+E6 E44=-E2-E8+E4 Struje u pojedinim granama (označiti ćemo ih indeksom koji se poklapa s oznakom

nekog elementa promatrane grane) biti će: IR1 =I1 IR5 =I1+I4 IR4 =I1-I2 IR9 =I2+I4 IR6 =I2 IR7 =I2-I3 IR10=I3 IR15=I4

I4

R2

E4

R4 R7

R6 R3

R8 R1 R9 R5 E2

E3

E5

E1

R15

R12

R11

E8

I3

R13

R10

E6

R14

R16

E7

I1 I2

7

O izboru smjerova konturnih struja ovisiti će predznaci pojedinih članova u postavljenim jednadbama. Budući da je izbor potpuno slobodan, najpraktičnije je u svim konturama odabrati isti smjer, na primjer smjer kazaljke na satu. U tom će slučaju članovi sa Rkk biti pozitivni, a svi ostali negativni, to dodatno olakava direktno pisanje jednadbi.

2. ZADATAK: Za strujni krug prema slici 32 odredite struje svih grana. Zadano je: E1=12V E2=10V E5=30V E6=38V R1=150Ω R2=1kΩ R3=250Ω R4=R6=500Ω Rjeenje: Za zadani strujni krug broj grana je ng=6 ,a broj čvorova n~=4 te je potreban broj

kontura nk=ng-(n~-1)=6-(4-1)=3.

Slika 32. Sustav jednadbi prema oznakama na slici 32 po metodi konturnih struja glasi: K1 I1(R1+R3+R4) - I2R3 - I3R4. = E1 K2 -I1R3 + I2(R2+R3) =-E2+E5 K3 -I1R4 + I3(R4+R6) =-E5-E6 Konturne struje se dobivaju kao rjeenje jednadbi pomoću determinanti: I1=D1/D I2=D2/D I3=D3/D

R1+R3+R4 -R3 -R4 900 -250 -500 D= -R3 R2+R3 0 = -250 1250 0 R4 0 R4+R6 -500 0 1000

D=7.5 108

E1 -R3 -R4 12 -250 -500 D1= -E2+E5 R2+R3 0 = 20 1250 0 -E5-E6 0 R4+R6 -68 0 1000

D1=-2.25 107

R3

R6

R4

R2 R1

E5 E2

E6

E1

A D C

B

IBC

IBD

ICD

IAB

IAC

IAD I3

I1 I2

8

R1+R3+R4 E1 -R4 900 12 -500 D2= -R3 -E2+E5 0 = -250 20 0 -R4 -E5-E6 R4+R6 -500 -68 1000

D2=7.5 106

R1+R3+R4 -R3 E1 900 -250 12 D3= -R3 R2+R3 -E2+E5 = -250 1250 20 -R4 0 -E5-E6 -500 0 -68

D3=-6.225 107

I1=-2.25 107 / 7.5 108 = -30mA I2= 7.5 106 / 7.5 108 = 10mA I3=-6.225 107 / 7.5 108 = -83mA

Struja grane se određuje kao algebarski zbroj konturnih struja onih kontura kojima grana pripada. Ovaj zbroj se formira prema referentnom smjeru u grani.

Prema slici 32 su: IAB=I1= -30mA IBC=I1-I2= -30mA-10mA=-40mA IBD=I2= 10mA IAC=-I1+I3= 30mA-83mA= -53mA ICD=-I2+I3= -10mA-83mA= -93mA IAD=-I3= 83mA 3. ZADATAK: Odrediti struje svih grana za strujni krug prikazan na slici 33. Zadano je: E1=5V E5=100V R1=300Ω R2=500Ω R3=400Ω R4=200Ω R5=500Ω R6=2kΩ Slika 33. Za referentne smjerove prikazane na slici 33 je: I1= -50mA I2= -70mA I3= 26mA ICA=I1= -50mA IAC=I1-I2= -50mA-(-70mA)= 20mA IAB=I2= -70mA ICD=-I2= 70mA IBD=I2-I3= -70mA-26mA= -96mA IDB=-I3= -26mA

R2

R4

R5

R3 R1

E5

R6 E1

A

D C

B

IBD IAC

IDB

ICA IAB

ICD

I3 I1 I2

9

4. ZADATAK: Za strujni krug prikazan na slici 34 poznato je : E2=25V E5=10V E7=40V R1=300Ω R2=1kΩ R3=200Ω R4=260Ω R6=500Ω R7=300Ω Odredite struje svih grana.

Slika 34. Rjeenje: ICA= -50mA IAC= -10mA IBA= 40mA IDB= -50mA ICD= 60mA IDC= 20mA IBD= -90mA 5. ZADATAK: Generatori elektromotornih sila E1=50V , E2=35V , E3=6V , E4=8V zanemarivih

unutranjih otpora i otpornici R1=300Ω , R2=100Ω , R3=200Ω , R5=100Ω i R6=400Ω vezani su u strujni krug kao to je prikazano na slici 35.

Odrediti struje svih grana strujnog kruga.

Slika 35

R2

R6

R4

R3

E5

E7

R7

E2

E1

A

D C

B

IDB IAC

IBD

ICA

ICD

IBA

IDC

R5

R3

R6

E4

R1

E

RE3

E1

A

D

C

B

IB

ID

IC

IA

IA

ID

10

Rjeenje: Prema referentnim smjerovima označenim na slici 35 jakosti struja grana su: IAD= -60mA IDA= 30mA ICB= -50mA IBC= 40mA IDC= -90mA IAB= 90mA 6. ZADATAK: Zadana je mrea prikazana slikom 36. Primjenom metode konturnih struja odredite

struje u svim granama. Zadano je: E1=190V E2=200V E3=250V E4=10V E5=60V E6=150V E7=50V R1=3kΩ R2=1kΩ R3=2kΩ R4=4kΩ R5=5kΩ R6=3kΩ R7=3kΩ R8=2kΩ R9=1kΩ Slika 36 Rjeenje: K1 I1(R1+R2+R3+R4) - I2R4 - I30. =-E1+E2-E3 K2 -I1R4 + I2(R4+R5+R6+R8) - I3R8 =E3-E5-E7 K3 -I10 - I2R8 + I3(R7+R8+R9) =E4+E5+E6 to nakon uvrtavanja i sređivanja prelazi u: 10I1-4I2-0I3 =-0.24 -4I1+14I2-2I3 =0.14 0I1-2I2+6I3 =0.22 10 -4 0 D= -4 14 -2 = 704 0 -2 6

-0.24 -4 0 D1= 0.14 14 -2 =-14.08 0.22 -2 6

10 -0.24 0 D2= -4 0.14 -2 =7.04 0 0.22 6

10 -4 -0.24 D3= -4 14 0.14 = 28.16 0 -2 0.22

R4

E3

R6

R8

E4 R2 R5

R9 E6

R1

E2

E5

R7

E7 R3

E1

A

D C

B

IBD IAC

IDB

ICA IAB

ICD

I3 I1 I2

11

I1=D1/D =-14.08/704=-20mA I2=D2/D =7.04/704=10mA I3=D3/D =28.16/704=40mA ICA=I1= -20mA IAC=I1-I2= -20mA-10mA= -30mA IAB=I2= 10mA ICD=-I2= -10mA IBD=I2-I3= 10mA-40mA= -30mA IDB=-I3= -40mA

2.2. Metoda napona čvorova U mreama koje imaju velik broj grana, povoljnija metoda rjeavanja nepoznatih

veličina je metoda napona čvorova. Ova metoda koristi I Kirchhoffov zakon za čvorove, ali uz primjenu Ohmovog zakona za prilagođenje dijelova strujnih krugova, odnosno grana. Osnovica ove metode, sastoji se u odabiru određenog čvora, koji se tada uzima za referentni, tako to se njegov potencijal stavi na nulu. Svaki od ostalih čvorova tada ima određeni napon, koji prema referentnom čvoru ima točno određeni potencijal:

Uk0=ϕk-ϕ0=ϕk-0=ϕk

Slika 37. Ako uzmemo mreu prema slici 37, moe se na primjer, čvor 0 uzeti kao referentni,

pa se za čvorove 1,2, i 3 mogu napisati slijedeće strujne jednadbe: I1=-I2-I4 I3=I4+I6 I7=I2+I3 Ako se sada za pojedine grane primijeni Ohmov zakon, mogu se iz potencijalnih

razlika izračunati pripadajuće struje u granama: ϕ1=0-E1+I1(R1+R5) ⇒ I1=(ϕ1+E1)/(R1+R5) ϕ1=ϕ2+I4R4 ⇒ I4=(ϕ1+ϕ2)/R4 ϕ1=ϕ3+E2+I2R2 ⇒ I2=ϕ1-ϕ3-E2/R2 ϕ2=0-I3R6 ⇒ I3=-ϕ2/R6 ϕ3=I7(R7+R8) ⇒ I7=ϕ3/(R2+R8) Zamjenom naponskih izvora adekvatnim strujnim izvorima, te otpori odgovarajućim

vodljivostima dobiva se shema prikazana slikom 38.

R

2

E

2

R

8

R

7

R

3

E

3

R

6

R

5

R

1

R

4

E

1

I

4

I

6

I

3

I

2

I

1

I

7

I

2

3

1

0

2

12

Slika 38. Nakon uvrtenja jednadbi za pojedine struje u strujne jednadbe i supstitucijom

recipričnih vrijednosti otpora vodljivoću G, dobiva se općeniti sustav jednadbi za n čvorova:

ϕ1G11-ϕ2G12-ϕ3G13- -ϕkG1k- -ϕnG1n=I1 -ϕ1G21+ϕ2G22-ϕ3G23- -ϕkG2k- -ϕnG2n=I2 -ϕ1G31-ϕ2G32+ϕ3G33- -ϕkG3k- -ϕnG3n=I3 -ϕ1Gn1-ϕ2Gn2-ϕ3Gn3- -ϕkGnk- +ϕnGnn=In Općenito se moe pisati za bilo koji k-ti čvor električne mree sastavljen od n

čvorova:

ϕ ϕk kk l lk kl klll k

n

ll k

n

G G a E G⋅ − ⋅ = ⋅=≠

=≠

∑∑ lg11

gdje je: Gkk - zbroj vodljivosti svih grana priključenih na čvor k, Glk - zbroj vodljivosti svih grana koje se nalaze samo između čvorova l i k. Na desnoj strani se nalazi zbroj umnoaka napona E priključenih na promatrani čvor

s pripadajućom vodljivoću grane. ZADATAK 1: Generatori elektromotornih sila E1=10V i E2=30V, generator struje Ig=80mA i

otpornici otpora R1=200Ω , R2=2kΩ , R3=1kΩ , R4=2kΩ i R5=2.5kΩ vezani su u strujni krug prema slici 39. Odredite struje svih grana metodom napona čvorova.

G12 G10

.E10

3 1

0

2

G32.E32

G32

G20

G10 G30 G13

G31.E31

13

Slika 39. Rjeenje: Za određivanje struja grana kod metode napona čvorova potrebno je odrediti čvorove i

između njih odabrati jedan kao referentni, u naem slučaju je to čvor 0. Za dati strujni krug naponi UA0 i UB0 između ostalih čvorova i referentnog su tada

relativni potencijali čvorova A i B prema referentnom. Sustav jednadbi za dati strujni krug je: G11UA0+G12UB0=II G21UA0+G22UB0=III Koeficijent tipa Gkk se određuje kao zbroj vodljivosti svih grana vezanih za čvor k, a

u promatranom slučaju su: G11= 1/R1+1/R4+1/R5 =5.9mS G22= 1/R3+1/R2+1/R5 =1.9mS Koeficijent tipa Gkj=Gjk ,k=j se određuje kao zbroj vodljivosti svih grana između

čvorova k i j sa predznakom minus. G12=G21= -1/R5= -0.4 mS Slobodni član u jednadbama II i III , se određuje kao algebarski zbroj struja svih

strujnih generatora i kvocjenta Ek/Rk, formiran prema referentnom smjeru ka čvoru. II=Ig+E1/R1=130mA III=E2/R2-Ig= -65mA 5.9 10-3UA0 - 0.4 10-3UB0 = 130.10-3 -0.4 10-3UA0 + 1.9 10-3UB0 = -65.10-3 Rjeenja prethodnog sistema jednadbi su: UA0=20V UB0=-30V Nakon toga treba odrediti napone između krajeva svih grana kruga. UAB=UA0-UB0=50V Intenziteti struja grana određuju se iz poznatih karakteristika grane (elektromotorne

sile i otpora) i napona između krajeva grane. I1=(UA0-E1)/R1= 50mA I3=UB0/R3= -30mA I2=(-UB0+E2)/R2= 30mA I4=UA0/R4= 10mA I5=UAB/R5= 20mA

R4 R5

R2

0

E2

R3

Ig

R1

E1

B A

I4

I2 I3

I1

I5

14

ZADATAK 2: Za strujni krug prikazan na slici 40 poznato je: E1=12V E2=10V E4=26V E5=15V Ig=25mA R1=100Ω R2=2kΩ R3=1kΩ R4=200Ω R5=5kΩ Odredite struje svih grana strujnog kruga primjenom metode napona čvorova.

Slika 40 Prema oznakama na slici 40 struje grana su: I10=-10mA I13=30mA I20=5mA I12=-20mA I30=5mA ZADATAK 3: Generatori elektromotornih sila E1=76V i E2=-6V I E6=46V, generator struje

Ig=20mA i otpornici otpora R1=2kΩ , R2=1kΩ , R3=400Ω , R4=200Ω R5=100Ω i R6=2kΩ vezani su u strujni krug prema slici 41. Odredite struje svih grana metodom napona čvorova.

Slika 41. Rjeenje: Prema slici 41 je: (1/R1+1/R4+1/R6)U10 - 1/R4U20 - 1/R6U30 = E1/R1+E6/R6+Ig -1/R4U10 + (1/R2+1/R4+1/R5)U20 - 1/R5U30 = E2/R2 -1/R6U10 - 1/R5U20 + (1/R3+1/R5+1/R6)U30 = -E6/R6

E1 R1

0 R4 R5

E2

E5

R2 R3

Ig E4

1

2 3

I13 I12

I30

I10

I20

E6

R4

R1 R2

0

R5

E2

R3

R6

Ig

E1

1 2 3

I30 I32

I13

I12

I10 I20

15

Unoenjem brojčanih vrijednosti poznatih veličina i rjeavajući postavljeni sistem jednadbi dobiva se:

U10=26V U20=14V U30=10V Prema prethodnom je: U12=U10-U20=12V U13=U10-U30=16V U23=U20-U30=4V I10=(U10-E1)/R1= -25mA I20=(U20-E2)/R2= 20mA I30=U30/R3= 25mA I12=U12/R4= 60mA I32=-U23/R5= -40mA I13=(U13-E6)/R6= -15mA ZADATAK 4: Za strujni krug prikazan na slici 42 poznato je: E1=150V E2=100V E3=150V E4=600V E5=200V R1=50Ω R2=20Ω R3=80Ω R4=100Ω R5=300Ω R6=50Ω R7=200Ω R8=25Ω Odredite struje svih grana strujnog kruga primjenom metode napona čvorova.

Slika 42 Rjeenje: Ia=1.5A Ib=2A Ic=-2.5A Id=2A Ie=0.5A If=1.5A Ig=-1A 2.3. Metoda superpozicije Ako u jednoj razgranatoj električnoj mrei imamo jedan raspored izvora

elektromotornih sila, u mrei će se uspostaviti odgovarajuće ravnoteno stanje i u svakoj grani će postojati određena struja. Pri drugačijem rasporedu izvora nastati će drugačije ravnoteno stanje, a u granama će poteći druge vrijednosti struja. Po principu superpozicije, pri istovremenom djelovanju oba rasporeda izvora, odgovarajuća ravnotena stanja se superponiraju. To znači, da su pri novonastalom ravnotenom stanju, struje u pojedinim granama mree jednake algebarskoj sumi struja koje su u njima pritjecale pri pojedinačnom rasporedu izvora. Primjenom te metode, struja u

R1

E1

R7

R5

R3 R4

E5

R2

E3

E4

R6 R8

E2

1

3 0

2

If

Ib

Id

Ig Ia Ic

Ie

16

jednoj grani mree moe se izračunati tako da se redom zamisle umrtvljeni svi izvori osim jednoga, i izračuna struja u promatranoj grani, samo uz taj izvor. Nakon toga se redom, na isti način, izračunavaju struje i za ostale izvore, pa će traena struja biti algebarski zbroj svih pojedinih struja. Za pojedinu konturnu struju Ik moe se općenito pisati:

Ik=Ea.Gka+Eb

.Gkb+ +Ei.Gki+

Konturnu struju Ik moe se tada prikazati kao zbroj pojedinih struja, to su ih prouzročili pojedini izvori svaki za sebe.

ZADATAK 1: U mrei na slici 43 odredite struju kroz otpor R metodom superpozicije. Slika 43. Rjeenje: Obzirom da svi izvori zajedno određuju iznose struja u elementima mree, onda

ćemo struju u nekoj grani dobiti superponiranjem djelovanja pojedinih izvora. Praktički to znači slijedeće: da bismo odredili struju u promatranoj grani, uzmemo jedan od izvora, a sve ostale odstranimo (naponske izvore kratko spojimo, a strujne isključimo). No njihove unutarnje otpore ostavljamo u mrei, jer se oni ponaaju kao pasivni elementi. Kad smo to obavili, izračunamo struju. Nakon toga uzimamo drugi izvor, te opet određujemo struju i tako redom za sve izvore.

Slika 44. Slika 45.

R2

E2

R

R1

E1 I

R2 R

R1

E1 I1

R2

E2

R

R1

I2

17

Tako se redom dobiju slijedeći izrazi: Uz kratko spojeni izvor E2 struja I1 je: I1=E1R2R/((R1+R2R/(R2+R))(R2+R)R) dok za I2 nalazimo: I2=E2R1R/((R2+R1R/(R1+R))(R1+R)R) Naposljetku je stvarna struja kroz otpor R: I=I1-I2 ZADATAK 2: U mrei prikazanoj na slici 46 odredite struju kroz otpor od 30Ω, primjenjujući

metodu superpozicije. Slika 46 Rjeenje: I1 je struja koja teče kada je samo izvor struje 2A spojen I1=2 1/(1/100+1/100+1/75) 1/75=0.8A I2 je struja koja teče kada je samo izvor napona 150V spojen: I2=150/(100+100 75/(100+75)) 100 75/(100+75) 1/75=0.6A I3 je struja koja teče kada je samo izvor struje 0.5A spojen: I3=0.5 25(50+30+20)/(25+50+30+20) 1/(50+30+20)=0.1A I4 je struja koja teče kada je samo izvor napona 25V spojen: I4=25/(20+30+50+25)=0.2A Konačno kroz otpor 30Ω teče struja I=I1+I2-I3+I4=1.5A 2.4. Theveninov teorem Električna mrea se u odnosu na otpor R jedne grane ponaa kao nezavisni izvor

napona ET i unutarnjeg otpora RT, gdje će struja I kroz otpor R biti:

IE

R RT

T=

+

Napon tog izvora ET jednak je naponu na otvorenim priključnicama promatrane mree. Unutarnji otpor RT jednak je otporu cijele preostale mree, na priključnicama gledano sa strane otpornika R, kada je taj otpor odstranjen, a svi izvori elektromotornih sila premoteni.

2A 10

I3 150V

20Ω

25Ω

30Ω

100Ω

I2

0.5A

25V

I4

I1

I

18

ZADATAK 1: Za strujni krug prikazan na slici 47 poznato je: E1=100V E2=120V E4=40V R1=200Ω R2=60Ω

R3=300Ω R4=10Ω Odredite struju kroz otpor R4 primjenom Theveninova teorema. Slika 47. Prema Theveninovu teoremu bilo koji dio aktivne linearne mree moe se

nadomjestiti s obzirom na dvije stezaljke realnim naponskim izvorom, tj. izvorom s unutarnjim naponom i otporom. Unutarnji napon i otpor, označeni sa ET i RT potpuno su određeni elementima dijela mree koji nadomjetamo i to kako po iznosu tako i po polaritetu (ET). Dakle struju u nekoj grani mree moemo odrediti tako da preostali dio nadomjestimo po Theveninu i na nadomjesni izvor priključimo promatranu granu.

Nadomjesni Theveninov napon ET određujemo tako da izračunamo napon na otvorenim stezaljkama linearne mree. Theveninov otpor RT određujemo tako da uz kratko spojene naponske izvore i isključene strujne (ostavljajući pri tome u mrei njihove unutarnje otpore) izračunavamo ukupni otpor između točaka nadomjetenog dijela mree kada na njih nije nita priključeno izvana.

Krug za određivanje ET Slika 48. Slika 49. Krug za određivanje RT Slika 50. Thevenenov generator

R3

E2

R2 R1

E1

A

B

R3 R2

R1

A

B

RT

ET

A

B

R3

E2

R4 R2

E4

R1

E1

A

B I

19

Prema usvojenom referentnom smjeru ET=UAB Primjenjujući metodu napona čvorova prema slici 48 dobiva se: UAB(1/R1+1/R2+1/R3)=E1/R1-E2/R2 UAB=-60V pa je: ET=-60V Unutranji otpor RT dobiva se prema slici 17: RT=R1R2R3/(R1R2+R1R3+R2R3) RT=40Ω Krug za određivanje ET Slika 50. Prema ekvivaletnom strujnom krugu formiranim od Theveninova generatora i grane

u kojoj traimo struju (slika 50) je: I=(ET-E4)/(RT+R4)=-2A ZADATAK 2 : Odrediti struju prijemnika otpora R6 priključenog u strujni krug prema slici 51. Poznato je: E=30V Ig=250mA R1=300Ω R2=120Ω R3=60Ω R4=90Ω R5=180Ω R6=6Ω. Slika 50. Slika 51. Rjeenje: ET=UAB=45V RT=144Ω I=0.3A

RT

ET

A

R6

B I

E4

R4 RT

ET

A

B

I

R1

R6 E

R3 R4

R5 R2

Ig

B

A

I

20

ZADATAK 3: Za strujni krug prikazan na slici 52 odredite struju I Theveninovom metodom. Slika 52. Rjeenje: Prema slici 52 je: UAB=100 40/(300+100) - 150 0.2 + 100=80V ET=UAB=80V RAB=150 + 75 + 300 100/(300+100)=300Ω RT=RAB=300Ω Iz ekvivalentnog kruga na slici 53 slijedi: I=(ET-E3)/(RT+R3)=0.1A Slika 53.

2.5. Nortonov teorem Električna mrea se u odnosu na otpor R jedne grane ponaa kao izvor struje IN i

paralelnoga unutarnjeg otpora RN, gdje će struja I kroz otpor R biti:

I IR

R RNN

N=

+

Struja toga izvora IN jednaka je struji kroz kratko spojene priključnice promatrane mree na mjestu otpora R. Unutarnji otpor RN toga strujnog izvora također je jednak otporu cijele preostale mree na priključnicama, gledano sa strane otpornika R, kada je taj otpor odstranjen, a svi izvori elektromotornih sila premoteni.

RT A

R3=200Ω

B I

E3=30V

ET

150Ω 30V

75Ω

300Ω 40V

I

100V

100Ω

0.2A

200Ω

B

A

21

ZADATAK 1: Za strujni krug prikazan na slici 54 poznato je: E1=50V E2=30V R1=10kΩ R2=15kΩ RP=3kΩ Odredite struju kroz otpor RP primjenom Nortonova teorema. Slika 54. Rjeenje: Nortonov teorem glasi: Strujni krug se prema promatranoj grani moe zamjeniti strujnim izvorom. Struja IN ovog generatora je određena strujom kratkog spoja između točaka

priključenja grane pri čemu je promatrana grana isključena iz kruga. Unutranji otpor je jednak ekvivaletnom otporu između točaka priključenja grane pri čemu je grana isključena iz kruga i svi izvori ugaeni ( naponski kratko spojeni, a strujni odspojeni). Iz prethodnog se moe zaključiti da je Nortonov generator ekvivalentan strujni generator Theveninovom naponskom generatoru.

krug za određivanje IN

Slika 55. Slika 56. Krug za određivanje RN Slika 57. Ekvivalentni krug

E2

R2 R1

E1

A

B

Ik

R2 R1

A

B

RN IN

A

RP

B

IP

RP

E2

R2 R1

E1

A

B

22

Sa slike 55 je: Ik=E1/R1-E2/R2= 3mA IN=Ik

Prema slici 56 je: RN=RAB=R1R2/(R1+R2)=6kΩ Na osnovi slike 57 moe se pisati: IP=IN RN/(RN+RP)=2mA ZADATAK 2: Za strujni krug prikazan na slici 58 poznato je: Ig=20mA E2=24V R1=2kΩ R2=20kΩ R3=5kΩ R4=3kΩ R5=15kΩ Odredite struju u grani u kojoj se nalazi R2 primjenom Nortonova teorema. Slika 58. Slika 59. Krug za određivanje IN Slika 60. Krug za određivanje RN Slika 61. Ekvivalentni krug Prema slici 59 je: IAB=(R5/(R3+R5) - R4/(R1+R4))Ig=3mA IN=IAB Sa slike 60 dobiva se: RAB=RN=((R1+R4)(R3+R5))/(R1+R3+R4+R5)=4kΩ Struja I izračunava se prema slici 61: I=(E2-RNIN)/(R2+RN)=0.5mA

R3

R2

R1

R4

E2

R5

Ig

I

B

R3 R1

R4 R5

Ig

IAB

B

A A

R3 R1

R4 R5

B

A

RN IN

A R2

B

I

E2

23

ZADATAK 3: Primjenom Nortonova teorema odredite struju kroz otpor R6 iz mree na slici 62 Zadano: I1=6mA I2=4mA E1=32V E2=6V R1=3kΩ R2=4kΩ R3=3kΩ R4=1kΩ R5=5kΩ R6=7kΩ Slika 62.

Slika 63. Prema slici 63 je: Iab=Ic+Id gdje su: Ic=(I2R2+E1)/(R2+R5+R3) Id=(E2+I1R1)/(R4+R1) nakon uvrtavanja: Iab=IN=10mA Prekidanjem mree na slici 62 i isključivanjem strujnih odnosno kratkim spajanjem

naponskih dobivamo kombinaciju otpora za određivanje RN. RN=((R1+R4)(R3+R5+R2)/(R1+R4+R3+R5+R2)=3kΩ Struja kroz otpor R6 je: I=INRN/(RN+R6)=3mA

Ic Id

R2

R4

I2

R1

R3

I1

E2 E1

a

R5

b Iab

R2

R4

I2

R1

R3

I1

E2

R6 E1

a

R5

b I