Cursuri Vibratii

Oct. 2011 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, 1996 VIBRATII -> SISTEME DISCRETE CU UN GRAD DE LIBERTATE

CURS 1 oct. 2011 1.1. Modelarea şi analiza vibraţiilor Prin MODELAREA unui sistem mecanic înţelegem descrierea matematică a comportamentului sistemului.

-în modelul real (complex) legile fizicii se aplică cu mare dificultate. - modelul fizic se obţine prin eliminarea detaliilor şi reţinerea esenţialului. - în MF se pot aplica legile fizicii rezultând Modelul matematic MM - ANALIZA este procesul de rezolvare a MM şi găsirea soluţiei problemei Vibraţia este: -- mişcarea oscilatorie a sistemului mecanic SM în jurul poziţiei de echilibru; exemple: leagăn, pendul, pom, atomii în jurul poziţiei de echilibru, timpanul urechii exterioare, corzile instrumentelor muzicale, corzile vocale, motorul autovehiculului pe suporţi, toate componentele unui vehicul (automobil, tren, vapor, avion) vibrează la deplasarea acestuia, vibraţiile arborilor în timpul rotaţiei, maşinile unelte în timpul prelucrării sau mersului în gol etc. -- transformare: Inregistrarea poziţiei unui sistem mecanic real deformabil oarecare în timpul vibraţiei se face printr-o mulţime (o infinitate) grade de libertate independente (între ele). - fiecare dof înregistrează poziţia liniară sau unghiulară a unei particule din sistem. - fiecare gdl (dof) are origine, sens şi valoare la un moment t. 1.2. Clasificarea vibraţiilor Simboluri pt. modelare cu mase concentrate:

1. După numărul gradelor de libertate sau complexitatea geometrică a SM Sisteme cu un grad de libertate (1dof):

Sisteme cu 2 grade de libertate (2dof): Sisteme cu mai multe (n) grade de libertate (ndof):

)(tFKxxCxM =++ &&& - sisteme mecanice modelate prin FEM unde fiecare nod al reţelei prezintă maxim 6dof (rezolvare numerică)

Sisteme cu masă continuă (o infinitate de dof);

Fenomen real ingineresc FRI model fizic MF model matematic MM Analiza MM

En. Cinetică En. Potenţială

Oct. 2011 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, 1996 Ex: o bară de masă continuă încastrată la un capăt (Fig.x). Se poate menţiona aproximarea sistemelor cu masa continuă prin metoda elementelor finite.

2. Vibraţiile în sisteme conservative / disipative:

neamortizate (sisteme idealizate):

amortizate (sistemele reale): unde xc& exprimă f. amortizare vâscoasă

3. Vibraţii liniare – mişcarea sm x(t) este descrisă prin ecuaţii diferenţiale liniare:

0=++ kxxcxm &&& (Ec.dif.coef. const., răspunsul este proporţional cu excitaţia) V. neliniare – mişcarea sm este descrisă de ecuaţii diferenţiale neliniare; exemplul pendulului:

0sinsin2 =+>−−= ϕϕϕϕlgmglml &&&&

După liniarizare obţinem:

lglg /0 =>−=+ ωϕϕ&&

Exemplu: l=1m, g=9.81 => . . . 4. SM efectuează vibraţii libere (neforţate)

0=++ kxxcxm &&& şi forţate: )(tfkxxcxm =++ &&&

Forţele de excitaţie pot fi cunoscute la orice moment (sunt deterministice) => răspunsul sm este cunoscut.

Vibraţii aleatoare: fortele de vibraţie sunt necunoscute la momentul t fiind caracterizate statistic (prin medie, deviaţia standard, densitate de putere spectr. => răspunsul de asemenea caracterizat statistic.

V. aleatoare: generate de vânt asupra unui pom, antenă etc., de valuri asupra unei ambarcaţiuni, excitaţia autovehiculului provenita de la drum.

Vibraţii tranzitorii sau cu regim rapid schimbător caz în care forţele sunt de durată scurtă şi neperiodice: apar la pornirea unui motor, mişcarea solului sau a construcţiilor la cutremure,

V. haotice – au loc în sisteme neliniare, ca răspuns la diverse excitaţii, vibraţia fiind foarte dependentă de condiţiile iniţiale. Exemple de modelare simplificată/mase concentr. şi element finit 1) un automobil:

M, K M, K M, J M, J

M J

0=+ kxxm && 0=++ kxxcxm &&&

Oct. 2011 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, 1996

Fig. 3. Main muffler mesh

Fig. 4. Anvelopa+jantă discretizate

Fig. 3. Sistem evacuare discretizat

Fig. 5. Parbriz

Oct. 2011 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, 1996 1.3. Funcţia armonică Curs #2

Mişcarea oscilatorie armonică este cea mai simplă formă de mişcare periodică fiind descrisă de funcţia

armonică (1) şi reprezentată ca o curbă sinusoidală (Fig.1). Funcţia armonică este de forma: )+t(a=x(t))+t(a=x(t) ϕωϕω ⋅⋅⋅⋅ sincos

(1.1) t este timpul, a este amplitudinea [m] oscilaţiei,

ω este pulsaţia circulară [rad/s], T

2=f2= 1ππω ,

f este frecvenţa [s-1 sau Hz], T perioada [s], iar φ este faza [rad] la originea timpului (fig.1.1). La originea timpului amplitudinea este a·cos(φ). Timpul asociat maximului de amplitudine dinaintea originii timpului se deduce din relaţia:

ωϕϕωϕω /0,1cos)( −=⇒=⋅=⋅⇒= t+t)+t(atx Pentru deducerea vitezei şi acceleraţiei vibraţiei se derivează funcţia armonică în raport cu timpul:

)+t(a=x(t) ϕω ⋅⋅cos )+t(a)+t(a=(t)x 2/cossin πϕωωϕωω +⋅⋅=⋅⋅−&

)+t(atx)+t(a=(t)x πϕωωωϕωω +⋅⋅=−=⋅⋅− cos)(cos 222&& Observăm amplitudinile deplasării (Xvarf=a), vitezei (Vvarf=aω) şi acceleraţiei (Avarf =aω2) punctului material sau corpului care descrie mişcare armonică. Rescriem tabelar expresiile pentru mişcarea armonică şi pentru viteza şi acceleraţia asociată:

)+t(X=x(t) f ϕω ⋅cosvar )+t(V=(t)x f 2/cosvar πϕω +⋅&

)+t(A=(t)x f πϕω +⋅cosvar&& Observăm faptul că faza vitezei întrece faza deplasării cu 90º şi faza acceleraţiei întrece faza vitezei

cu 90º.

In figură se observă: creşterea amplitudinii cu derivarea (pentru ω>1); La t=0: faza deplasării φ=0 => cos(0)=1 (maxim), faza vitezei φ=pi/2 mărimea vitezei =0, faza acceleraţiei φ=pi => cos(pi)= -1 (minim); depl. şi acc. sunt în antifază

Alte mărimi utile pentru descrierea

mişcării armonice sunt: 1. Media valorilor absolute Xmean pe o perioadă şi 2. Rădăcină din media pătratelor valorilor Xrms pe o perioadă (rms = root mean square). 1 şi 2 sunt aplicabile la legea de mişcare, viteză sau acceleraţie:

)2()()( 021

01 dttxXdttxX T

TrmsT

Tmean ∫=∫= Valoarea RMS este importantă fiindcă este o măsură strâns legată

de energia vibraţiei. Relaţia de dependenţă dintre amplitudine, medie şi rms este:

fmeanrms XXX var21

22== π sau:

Exemplu real:; calibratorul de vibraţii ω=1000 rad/s => f=159 Hz

suprafaţa de montare accelerometru are: deplasarea de amplitudine 10 µm, viteza de ampl. 10 mm/s iar acceleraţia de 10 m/s2

Fig. 3. Meadia val.abs. şi RMS

Fig. 1. Funcţia armonică


fXXfXX meanrms var0.6366var0.7071 ⋅=⋅=

Vector rotitor în planul complex In continuare se urmăreşte descrierea vibraţiei armonice printr-un vector rotitor în planul complex.

Folosim dezvoltarea în serie de funcţii Taylor în jurul valorii x0. Pentru x0=0 obţinem relaţia MacLaurin: In cazul unor funcţii cunoscute se obţin relaţiile:

)1(n!x=e

n

0n=x ∑

∞, )1( ′...)+

5!x+

3!x-j(x+...+

4!x+

2!x-1=e

5342jx

)1(cos ′′∑∞

(2n)!x)(-1=(x)

2nn

0=n, )1(sin ′′′∑

∞

1)!+(2nx)(-1=(x)

1+2nn

0=n

Prin înlocuirea relaţiilor (1’’) şi (1’’’) în expresiile ejx (1’) respectiv e-jx, rezultă relaţiile (1.2): (x)j+(x)=e jx sincos ⋅ (x)j-(x)=e-jx sincos ⋅ (1.2)

Din ultimele două relaţii (prin adunare respectiv prin scădere) se deduc formulele lui Euler:

2

e+e=(x)-jxjx

cos (1.1) şi 2j

e-e=(x)-jxjx

sin (1.3)

Funcţia armonică poate fi reprezentată printr-un vector rotitor în planul complex:

unde: s-a înlocuit variabila x cu funcţia de timp: x(t)= ωt+φ ωt+φ înmulţeşte pe j şi reprezintă unghiul vectorului rotitor la

momentul t t [s] este variabila timp care pune în mişcare vectorul rotitor ω [rad/s] este viteza unghiulară a vectorului φ [rad] este poziţia vectorului la originea timpului t=0.

Proiecţia pe axa reală a vectorului rotitor este funcţia armonică din relaţia 1.1 Exemplu: se consideră vectorul de modul 2, ω=3rad/s, φ=π/2, animat de timpul t:

)]+t(j+)+t([=e )+tj( 2/3sin2/3cos22 2/3 πππ La momentul t=1s se obţine:

)](j+)([=ej

4.5708sin4.5708cos22)23( π+⋅

iar proiecţia reală este 0.1411)(24.5708cos2 −⋅=)(

Derivatele vectorului rotitor complex sunt: Z(t)j=(t)Z ω& Z(t)=(t)Z 2ω−&& ( Z(t)j=(t)Z 3ω−&&& ) (1.4a) Se observă că derivarea în raport cu timpul se traduce în înmulţirea funcţiei cu jω. Expresia jω se poate pune sub forma:

2j

e=)2

j+2

(=jπ

ωππωω sincos (1.4b)

Din relaţiile (1.4a) şi (1.4b) se poate scrie:

)]+t(j+)+t(a[=ea=Z(t) )+tj( ϕωϕωϕω sincos (1.4)

)1()(3

)(2

)(1

)()()( 0)(

30'''

20''

0'

00 ′++++ nn

nRx

n!xfx

!xf+x

!xf+x

!xfxf=xxf

)1()0(3

)0(2

)0(1

)0()0()()(

3'''

2'''

′+++ nn

nRx

n!fx

!f+x

!f+x

!ff=xf

Fig. 4. Pr.reală a vect. complex


ea=ae )+tj(e=Z )2

++tj(j πϕωπ

ωϕωω 2& (1.5)

ea=eae=Z )++tj()+tj(j πϕωπϕωπ

ωωω 222 +&& (1.5’)

Astfel, prin derivare noul vector viteză Z& este rotit (poziţionat) cu 900 în sens trigonometric faţă de Z iar modulul este înmulţit cu ω. La variaţia (creşterea) parametrului timp t, rezultă: 1.cei trei vectori se rotesc cu aceeaşi viteză unghiulară ω, 2.vectorul viteză va fi tot timpul înaintea vectorului deplasare cu 900, 3.vectorii acceleraţie şi deplasare vor fi tot timpul în opoziţie de fază (180 grade). Proiecţiile pe axa reală a vectorilor complecşi deplasare, viteză şi acceleraţie ...Z ,Z Z, &&& sunt egale cu derivatele de ordin corespunzător a funcţiei armonice (1.1). În figura 1.4 este proiectat vectorul rotitor complex M(t) iar proiecţia este urmărită în timp. Un vector complex poate fi reprezentat într-o diagramă amplitudine-frecvenţă în care faza nu este observabilă, numită diagramă spectrală (Fig.1.6) sau în diagrama din figura 1.7 unde faza este vizibilă.

Sistemul cu un grad de libertate

Se va începe studiul vibraţiilor prin alegerea unui sistem simplu, acesta fiind descris printr-un singur gdl. Se pot observa multe sisteme reale care în urma unor simplificări, cu reţinerea esenţialului, pot fi modelate printr-un sistem cu un grad de libertate.

1.4. Vibraţii libere neamortizate Curs #3 Scriem ecuaţia diferenţială de mişcare a corpului de masă m din figura 1.8 pe baza legii a doua a dinamicii, neglijând amortizarea:

kx(t)=(t)xm -&& Trecem termenul drept în membrul stâng şi împărţim cu m:

0=x+x 20ω&& (1.6)

unde s-a notat k/m=0ω . Semnificaţia mărimii 0ω se va observa şi recunoaşte mai târziu, din legea de mişcare a masei m. Integrăm relaţia diferenţială (1.6) pentru a cunoaşte legea de mişcare a masei m, aceasta exprimând poziţia x a masei în funcţie de timp. Privind relaţiile (1.4) şi (1.4a) observăm că funcţia Z este proporţională cu Z&& , fapt ce justifică alegerea unei funcţii de formă exponenţială;

tsaex(t) = (1.6a) ca soluţie a ecuaţiei diferenţiale (1.6).

Mărimile a şi s sunt necunoscute. Înlocuim soluţia în ecuaţia diferenţială (1.6) şi împărţim cu mărimea pozitivă aest . Se obţine ecuaţia caracteristică în s de forma:

0=+s 20

2 ω (1.7)

Fig. 5. Vect. rot. depl, vit, acc.

Fig. 6. Ampl. vs. frecv. Fig. 7. Ampl. frecv. faza

Fig. 5. Vect. rot.: depl, vit, acc.

�x (t)

m

c

k

Fig. 8. Sistem masa-arc

Oct. 2011 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, 1996 având ca soluţii valorile 02,1 ωj=s ± . Inlocuind valorile lui s în soluţia propusă (1.6a), legea de mişcare a masei m va fi de forma:

ea+ea=x(t) t-jtj 00 ωω21 (1.7a)

Exprimăm vectorii rotitori complecşi prin funcţii trigonometrice de forma (x)j+(x)=e jx sincos ⋅ şi obţinem:

Se grupează termenii reali şi cei imaginari şi se obţine legea de mişcare a masei m: (1.7b)sincos 21 tc+tc=x(t) 00 ωω

unde s-a notat: )(, 212211 aajcaac −=+= Constantele de integrare c1 şi c2 se determină din condiţiile iniţiale de pornire a vibraţiei sistemului:

0)0(:)0(:

0

0 =

==

tlavxvitezaxxpozitia

&.

Legea de mişcare (1.7b) trebuie să verifice deci condiţiile iniţiale: 0020010 ; vc=>v (0)x xc=>x x(0) ==== ω&

Din cele două ecuaţii obţinute, au rezultat constantele de integrare c1, c2. Acestea se introduc in relaţia (1.7b) rezultând legea de mişcare a masei m:

tv+tx=x(t)0

0000 sincos ω

ωω (1.8)

Relaţia se poate pune şi sub forma unei singure funcţii armonice de forma:

)-t(a=x(t) ϕω0cos apelând la relaţia trigonometrică: )cos(sinsincoscos βαβαβα −=+ Pentru aceasta rescriem relaţia (1.8) sub forma intermediară:

)sin/cos( 0

20

202

0

0

20

202

0

020

202

0 tvx

v+tvx

xvx=x(t) 00 ω

ω

ωω

ω

ω⋅

+

⋅

+

⋅+ (1.8a)

unde se introduc notaţiile:

20

202

0

0cos

ω

ϕvx

x

+

= şi

20

202

0

00 /sin

ω

ωϕvx

v

+

= (1.8b)

astfel încât se verifică relaţia: 1cossin 22 =+ ϕϕ , iar 00

0

ωϕ

xvtg =

Se înlocuiesc (1.8b) în (1.8a) şi se obţine:

)sinsincos(cos 00 ϕωϕωω

⋅⋅ t+tv+x=x(t) 20

202

0

sau mai compact: )cos( 0 ϕω −ta=x(t) (1.9)

de unde rezultă amplitudinea mişcării armonice şi faza iniţială a mişcării de forma:

ω20

202

0v+x=a şi

xvarctg=

00

0

ωϕ (1.10)

Observăm că amplitudinea mişcării armonice este direct proporţională cu poziţia iniţială x0 şi cu raportul v0 /ω0.

Reprezentarea în planul complex se observă în figura 1.2. Observând relaţia (1.9) este explicabilă notaţia k/m=0ω făcută mai sus, în relaţia (1.6), reprezentând pulsaţia naturală a sistemului deoarece în urma oricăror condiţii iniţiale (poziţie, viteză)

]sin[cos]sin[cos 002001 t)(jt)(a+t)(j+t)(a=x(t) ωωωω ⋅−⋅

Fig. 9. Condiţii iniţiale

Oct. 2011 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, 1996 mişcarea sistemului rezultă armonică de pulsaţie ω0 aceasta fiind dependentă numai de masă şi de rigiditatea arcului. Frecvenţa naturală f0 se calculează cu relaţia:

mk

21=f 0 π

Pulsaţia naturală se referă întotdeauna la sistemul neamortizat. În realitate sistemul este amortizat iar pulsaţia reală este mai mică decât cea naturală deci perioada mai mare. Exemplul 1: Să se calculeze pulsaţia proprie a unui sistem cu un grad de libertate format dintr-o masă m=2kg suspendată de un arc elicoidal fără masă şi de constantă de rigiditate k=2000N/m. rad/s 31.623=k/m=0ω , Hz 5.033=)/(2=f 00 πω . Să se determine poziţia masei după 5 secunde de la pornirea vibraţiei:

00

0 sincos

v0.027+x0.511=x(5)

5)(31.62331.623

v+5)(31.623x=x(5) 0

⋅⋅

⋅⋅.

Poziţia masei după 5 secunde de oscilaţie este deci dependentă de poziţia şi viteza masei la momentul iniţial. Exemplul 2: Coloană de aer asimilată cu un arc Se consideră un cilindru prin cu aer de suprafaţă frontală S şi lungine l în care oscilează un piston de masă m. Coloana de aer se comportă ca un arc de constantă de elasticitate:

LSpk aγ= .

Prin asemănare cu sistemul masă – arc elicoidal se poate scrie pulsaţia naturală a sistemului [ ]: mL

Spaγω =0 unde pa este presiunea atmosferică, iar γ este o constantă care pentru aer iar valoarea 1.4 şi participă la calculul modulului de compresibilitate (bulk modulus) în cadrul relaţiei K=γp (p este presiunea din gaz).

Exemplul 3: Rezonatorul Helmholtz - exemplu de modelare şi simplificare O asemănare cu sistemul arc - masă se întâlneşte la aerul din incinta de volum V şi tubul sau gâtuirea

(de comunicare cu exteriorul) de secţiune circulară, lungime L şi secţiune S (Fig. 10). Intregul sistem este pătruns de aerul din atmosferă. Masa m a aerului din tubul de secţiune S şi lungime L joacă rolul unui piston:

LSm ρ= Volumul mare de aer V din interiorul incintei se va comporta ca un resort de constantă k:

VcSk /22ρ= unde c este viteza sunetului în aer iar ρ este densitatea aerului. Pulsaţia naturală a sistemului asimilat cu un grad de libertate este:

VLScm

k ==0ω

1.5. Vibraţii libere cu amortizare vâscoasă în sistem cu 1gdl Ecuaţia diferenţială a sistemului în funcţie de m, c, k: Considerăm din nou sistemul din figura 1.8 şi aplicăm legea a doua a dinamicii:

kxxc=xm −− &&& . Termenul xc- & reprezintă forţa de amortizare vâscoasă, proporţională cu viteza, pentru viteze mici. Se trec toţi termenii în membrul stâng:

0=++ kxxcxm &&& Se împarte cu masa m:

Fig. 10. Rez Helmholtz


0=x+xmc+x 2

0ω&&& (1.11)

Observând relaţiile (1.4), (1.4a) şi (1.11) se propune o soluţie de formă exponenţială:

stae=x(t) . Aceasta se înlocuieşte în ecuaţia diferenţială a sistemului amortizat.

Rezultă ecuaţia caracteristică: 0=+smc+s 2

02 ω cu

două soluţii (polii sistemului):

202,1 4

21 ω−±−

mc

2mc=s 2

2 (1.12)

Legea de mişcare a masei în timp este soluţia generală a ec.dif. fiind o combinaţie liniară a celor două soluţii (constantele de integrare a1 şi a2 se determină din două condiţii iniţiale):

tsts eaea=x(t) 2121 +

Amortizarea critică c0: Se va observa comportamentul sistemului pentru diferite valori ale constantei de amortizare c cu păstrarea masei m şi a rigidităţii arcului k, constante. Să calculăm valoarea particulară a constantei de amortizare c notată c0, pentru care discriminantul din expresia polilor (1.12) se anuleză. Rezultă amortizarea critică c0 de forma:

mk2=m2= sau 000 ⋅mkc 2m=c ω (1.13)

Pentru c< c0 sistemul vibrează amortizat, pentru c ≥ c0 amortizarea este prea mare pentru a avea loc vibraţie. Raportul de amortizare ζ: Din motive practice de studiu, se introduce o mărime relativă denumită raport de amortizare:

0c/c=ζ care va exprima gradul de amortizare, în locul constantei c. Raportul de amortizare se poate exprima de asemenea în procente, astfel pentru ζ=1% constanta de amortizare c este 1% din amortizarea critică c0. Curs 4 Ecuaţia diferenţială în funcţie de 0ω şiζ :

Ecuaţia diferenţială (1.11) a sistemului se rescrie:

0=x+xmc+x 2

00 ωζ &&&

Se înlocuieşte c0 din relaţia (1.13). Rezultă ecuaţia diferenţială a sistemului exprimată în funcţie de parametrii 0ω şi ζ în loc de parametrii m, c, k:

0=x+x2+x 20ωζω &&& 0 (1.14)

Rădăcinile ecuaţiei caracteristice sau polii sistemului în funcţie de ζ devin:

1- =s 2ζωζω 002,1 - ± sau:

ζωζω 2j =s −± 1- 002,1 1−=j

Iniţial, s-a propus soluţia stae=x(t) . Legea de mişcare a masei în timp este o combinaţie liniară a celor două soluţii corespunzătoare celor doi poli determinaţi:

tsts eaea=x(t) 2121 + (1.15)

Observăm că soluţia sau legea de mişcare x(t) are trei forme distincte în funcţie de valoarea expresiei 1-2ζ de sub radical. Valoarea acestei expresii depinde de raportul de amortizare.

1. Cazul amortizării subcritice ( 1<ζ )

Fig. 11. Amortizor vâscos

Oct. 2011 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, 1996 Dacă 1<ζ , sub radical se obţine o valoare negativă, polii sistemului sunt complex conjugaţi:

ζωζω 2j =s −± 1- 002,1 Se înlocuiesc polii în expresia legii de mişcare (1.15) rezultând:

]jea+jeae=x(t)t-1t-1t

2

0

2

0⋅⋅− − ζωζωζω

21[0 Se exprimă vectorii rotitori complecşi din

paranteză prin funcţii trigonometrice de forma (x)j+(x)=e jx sincos ⋅ (secvenţa Matlab).

Expresia legii de mişcare x(t) indică vibraţie amortizată de forma (1.16) în care amplitudinea vibraţiei descreşte exponenţial:

t)]-1(c+t)-1([ce=x(t) 20

20

t- 0 ⋅⋅ ζωζωωζ sincos 21 (1.16)

Din condiţiile iniţiale =

0

0xx(0)v=(0)x&

, la momentul t=0, se determină constantele c1 şi c2:

ζω

ως2-1

xvcxc0

000201 , +== ! exerciţiu pt. acasă

Urmărind o exprimare mai compactă, se consideră relaţiile:

)cos(sinsincoscos1cossin)()sin()cos( 22

1

222

21

222

21

1 ϕωϕωϕωϕϕϕϕϕ −=⋅+⋅=+=>=+

=+

= tttcctg

cc

c

cc

cddd

Se introduc artificiile de calcul în legea de mişcare:

t)]-1(cc

c+t)-1(cc

c[cce=x(t) 20

20

t- 0 ⋅+

⋅+

+ ζωζωωζ sincos22

21

222

21

122

21

t)]-1(+t)-1([cce=x(t) 20

20

t- 0 ⋅⋅⋅⋅+ ζωϕζωϕωζ sinsincoscos22

21

Legea de mişcare devine:

1

222

21 tan,cos

cca)-t-1(ecc=x(t) 2

0t- 0 =⋅⋅+ ϕϕζωωζ (1.17)

Se introduc două noţiuni, pulsaţia amortizată ωd şi factorul de amortizare σ0:

02

0d -1= ζωσζωω =si 0 (1.18)

respectând relaţia: 20

20

2 ωσω =+d . Polii pot fi scrişi şi în forma ωσ j =s d01,2 ±− .

Legea de mişcare a masei m scrisă compact, este:

)-t(ae=x(t) dt- 0 ϕωσ cos⋅ (1.17’)

unde a= 22000

20

22

21 /)( dxvxcc ωως++=+ iar

dx

xva ωωςϕ

0

000tan +=

2. Cazul amortizării critice ( 1=ζ ) În această situaţie ( 0=c sau c 1=ζ ) discriminantul ecuaţiei caracteristice se anulează şi polii rezultă reali şi

confundaţi: 021 -ω== ss Legea de mişcare este de forma:

t)c(ce=x(t) t- 021 +ω (1.19)

Din condiţiile iniţiale rezultă constantele: 00001 , xvcxc 2 ω+== Reprezentând grafic legea de mişcare observăm că mişcarea este aperiodică amortizată.

Fig. 12. Vibr.pseudoarmonică amortizată 1

x=0:0.01:7*pi/4;Z=exp(j*x); plot(real(Z),imag(Z))

Oct. 2011 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, 1996 3. Cazul amortizării supracritice ( 1>ζ )

Polii sistemului sunt reali, de forma:

1- =s 2001,2 ζωωζ ±-

iar legea de mişcare este suma a două funcţii exponenţiale descrescătoare:

ec+ecec+ec=x(t) t 1--2

t 1-1

t 1-t 1--1

22220 ⋅⋅+⋅−−⋅−−⋅+ = 000000 )()()(

2)( ωζωζωζζζωζωζωζω sau:

)ec+ec(e=x(t) t 1--2

t 1-1

t- 220 ⋅⋅⋅ ζωζωζω 00 (1.20)

Din condiţiile iniţiale rezultă constantele:

)2/(])([ 2000

201 1-x1-vc ςωωςς +−+−=

)2/(])([ 2000

202 1-x1-vc ςωωςς ++=

În figura 1.6 este prezentată amplasarea polilor în planul complex în funcţie de amortizarea din sistem, corespunzător celor trei cazuri mai sus tratate plus cazul vibraţiei neamortizate. Raza cercului pe care rămân polii în cazul vibraţiei, este egală cu pulsaţia naturală ω0 sau modulul polilor complecşi, fiind constantă deoarece depinde numai de m şi k. Pe axa reală se măsoară mărimea factorului de amortizare )(== 000 βωωζσ cos- 0− iar pe axa imaginară se măsoară pulsaţia amortizată sau

pseudopulsaţia ζωω 20d -1= . Observăm relaţia

)(= βζ cos . Polii situaţi pe axa imaginară au 0=ζ corespunzând cazului vibraţiei neamortizate.

Polii amplasaţi pe axa reală pot fi confundaţi la abscisa -ω0 (cazul amorizării critice) sau simetrici faţă de abscisa -ζω0 în cazul amortizării supracritice, caz în care răspunsul la excitaţia exterioară este o descreştere exponenţială a amplitudinii fără treceri repetate prin poziţia de echilibru static.

Pentru amortizare subcritică polii nu sunt aşezaţi pe axele de coordonate, fiind plasaţi în semiplanul negativ al axei reale iar fenomenul de vibraţie are loc. Cu cât un pol este amplasat mai aproape de axa imaginară, amortizarea este mai mică, atingând cazul ideal, fără amortizare, pentru situarea lui pe axa imaginară. Exemplul 2: Se consideră un sistem format dintr-o masă m=10kg, un arc având coeficientul de rigiditate k=1000N/m şi un amortizor. Coeficientul de amortizare se consideră pe rând de valoare c1=400 Ns/m, c2=200Ns/m, c3=10Ns/m. Efectuând calculele se obţine pulsaţia naturală a sistemului 100 =ω , independentă de amortizare,

coeficientul critic de amortizare 00 ω2m=c de valoare 000 2=c iar rapoartele de amortizare

05.0,1,2 221 === ςςς , corespunzător celor trei amortizoare, rezultând în ordine amortizare supracritică, critică şi subcritică. Exemplul 3: Pentru reprezentarea grafică a răspunsului în timp al unui sistem cu un grad de libertate se poate folosi următoarea funcţie scrisă în Matlab: function Vib_amo_1gdl( m, c, k, x0, v0, tf ) w=sqrt(k/m); c0=2*m*w; z=c/c0; wd=w*sqrt(1-z^2); fprintf(' Frecventa naturala este w=%.3g rad/s.\n' , w); fprintf(' Raportul de amortizare este z=%.3g.\n' , z);

Fig. 14. Polii sist. pt: ς =0, 0≤ ς ≤1, ς =1, ς ≥1

Oct. 2011 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, 1996 fprintf(' Amortizarea critică este c0=%.3g.\n' , c0); fprintf(' Frecventa naturala amortizata este wd=%.3g.\n' , wd); t=0 : tf/1000 : tf; if z < 1 a=sqrt( x0^2 + (v0+z*w*x0)^2 / wd^2); % atan2(pi4,pi4)=>0.7854; atan2(pi4,-pi4)=> 2.3562; atan2(-pi4,-pi4)=> -2.3562; atan2(-pi4,pi4)=> -0.7854 phi=atan2(v0+z*w*x0, x0*wd); x=a*exp(-z*w*t) .* cos(wd*t - phi); fprintf('A= %.3g\n' , a); fprintf('phi= %.3g\n' , phi); fprintf('amortizare subcritica\n'); elseif z == 1 c1=x0; % c1, c2 = constante determinate din conditii initiale c2=v0+w*x0; fprintf('c1= %.3g\n' , c1); fprintf('c2= %.3g\n' , c2); x=(c1+c2*t) .* exp(-w*t); fprintf('amortizare critica\n'); else c1=(-v0+(-z+sqrt(z^2-1))*w*x0)/2/w/sqrt(z^2-1); c2=( v0+( z+sqrt(z^2-1)) *w*x0)/2/w/sqrt(z^2-1); % c1, c2 = constante determinate din conditii initiale fprintf('c1= %.3g\n' , c1); fprintf('c2= %.3g\n' , c2); x=exp(-z*w*t) .* (c1*exp(-w*sqrt(z^2-1)*t)+c2*exp(w*sqrt(z^2-1)*t)); fprintf('amortizare supracritica\n'); end plot(t , x) xlabel(' Timpul ') ylabel(' Deplasarea ') Funcţia Vib_amo() este apelată cu 6 parametri: m, c, k, x0, v0, tf unde x0, v0 şi tf sunt poziţia iniţială, viteza iniţială şi timpul sau durata de simulare a fenomenului. Exemple: Vib_amo_1gdl(1.45,2,58,0.1,1,6)

F15: 1.45, 2, 58, 0.1, v0=1, 6

0 1 2 3 4 5 6-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Timpul

Dep

lasa

rea

1.45, 2, 58, 0.1, v0=0.3, 6

0 1 2 3 4 5 6-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

Timpul

Dep

lasa

rea

0 1 2 3 4 5 6-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

Timpul

Dep

lasa

rea

1.45, 2, 58, 0.1,v0=0, 6

Fig. 18. 1.45, c=6, 58,0.1,2,6 1.45, c=c0=18.3, 58, 0.1,2,6 1.45, c=21.3, 58, 0.1,2,6

0 1 2 3 4 5 60

0.05

0.1

0.15

0.2

Timpul

Dep

lasa

rea

0 1 2 3 4 5 6-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Timpul

Dep

lasa

rea

0 1 2 3 4 5 60

0.05

0.1

0.15

0.2

Timpul

Dep

lasa

rea


În funcţie de tipul disipării energiei din sistemele ce efectuează vibraţii, pe lângă amortizarea vâscoasă, s-au realizat şi alte modelări cum sunt amortizarea histeretică sau structurală şi cea coulombiană sau prin frecare uscată.

1.6. Studiul vibrogramei Se va observa identificarea unor parametri pe baza evoluţiei fenomenului în domeniul timp. Având înregistrarea în timp (vibrograma, Fig.20) a mişcării oscilatorii amortizate să calculăm raportul de amortizare şi pulsaţia naturală a sistemului neamortizat. Pentru aceasta se foloseşte noţiunea de decrement logaritmic a cărui mărime este măsurabilă, definită prin relaţia următoare:

)T+x(tx(t)=

dlnδ (9.1)

Se fac înlocuiri rezultând:

T=)-T+t(ae

)-t(ae= d0ddd

)T+(t-d

t-

d0

0

ωζϕωω

ϕωδωζ

ωζ

coscosln (9.2)

Considerând relaţiile: ωπd

d2=T şi ζωω 2

0d -1= se obţine:

ζ

πζδ2-1

2=

Se explicitează raportul de amortizare:

πδ

δζ22 4+

= (9.3)

Considerând că δ 2 este foarte mic comparativ cu π 24 , se neglijează, rescriindu-se relaţia (9.3):

πδζ2

≈ (9.4)

Ex: 5.39)2(083.028.0,28.03/4ln 22 =<<== pi=δ

În continuare pulsaţia naturală se calculează cu relaţia:

ζ

π

ζωω

2d

2d

0-1 T

2=-1

= (9.5)

Identificarea începe prin măsurarea pe vibrogramă a mărimilor x(t), x(t+Td) şi Td la un moment t oarecare.

Fig. 20. Vibrograma

Fig. 16: 1.45,2,58, x=0.1, v= -2, 6 Fig.17: 1.45,2,58, x=-0.1, v=2, 6

0 1 2 3 4 5 6-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Timpul

Dep

lasa

rea

0 1 2 3 4 5 6-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Timpul

Dep

lasa

rea

F19: 1.45,21.3, 58,0.1, -2,2

0 0.5 1 1.5 2-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

Timpul

Dep

lasa

rea


Documents

Cursuri Vibratii