Curso propedéutico de matemáticas

8/17/2019 Curso propedéutico de matemáticas

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PREFACIO 2

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 3

1.1 INTRODUCCIÓN. 3 1.2 GENERALIZACIÓN. 7 1.3 MÉTODOS DE SOLUCIÓN. 9 1.4 MÉTODO DE SOLUCIÓN GRÁFICO. 15 1.5 EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA. 19 1.6 SISTEMAS EQUIVALENTES. 23 1.6.1 SISTEMAS INDETERMINADOS Y SOBREDETERMINADOS. 241.7 SISTEMAS HOMOGÉNEOS. 30 1.8 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON UNA FUNCIÓN OBJETIVO. 31 1.8.1 LÍNEAS DE INDIFERENCIA. 331.9 EJERCICIOS DE REPASO. 38

2 MATRICES. 43

2.1 INTRODUCCIÓN. 43 2.2 CONCEPTOS BÁSICOS 43 2.3 OPERACIONES CON MATRICES. 45 2.3.1 SUMA Y RESTA DE MATRICES. 452.3.2 MULTIPLICACIÓN. 462.4 OTRO TIPO DE MATRICES. 49 2.4.1 MATRICES CUADRADAS Y RECTANGULARES. 492.4.2 MATRICES TRIANGULARES. 502.4.3 MATRIZ IDENTIDAD, TRANSPUESTA Y SIMÉTRICA. 502.5 DEFINICIÓN DE DETERMINANTE. 51 2.6 RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR MEDIO DE DETERMINANTES. 52 2.7 LA INVERSA DE UNA MATRIZ 55 2.7.1 CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ 2*2. 55

3 INDEPENDENCIA LINEAL. 62

3.1 LA SUMA DE VECTORES. 62 3.2 DEFINICIÓN DE NORMA DE UN VECTOR. 64

3.2.1 PRODUCTO POR UN ESCALAR 643.3 COMBINACIONES LINEALES Y DEPENDENCIA LINEAL. 64

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. 68


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Matemáticas Curso Propedéutico

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PREFACIO

Una de las “técnicas” más eficaces para aprender y entender métodos, conceptos o ideas

matemáticas es que se presenten en ricos escenarios y/o situaciones problema. Después de

esta experiencia, se requiere que el aprendiz practique o ejercite los conocimientos y

métodos, aprendidos en las situaciones previas, en la resolución de problemas en unadiversidad de situaciones. El presente material de matemáticas fue elaborado bajo este

punto de vista.

Febrero 2012.


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1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

1.1 Introducción.

Los sistemas de ecuaciones lineales, fueron inicialmente los objetos de estudio del álgebralineal. Estos sistemas o modelos se originan en una gran variedad de situaciones reales o deaplicaciones. A manera de ejemplo, a continuación se presentan los siguientes problemas quedan lugar a la formulación de sistema de ecuaciones.

Ejemplo 1. Mezclas.(1)

Un químico debe preparar de una solución ácida diluida compuesta por 2 partes de agua y 3partes de ácido muriático para obtener una solución de 350 ml. Donde la cantidad de aguadebe exceder en 2 ml a la del ácido. ¿Cuánto debe utilizar de cada una de las sustanciaspara la cantidad requerida?.

Para clarificar el problema se presenta la siguiente figura.

Figura 1. SoluciónSean x= la cantidad de ml de agua.

y=la cantidad de ml de ácido.

Con base en la figura se ve que la suma de 2partes (agua) y 3 partes (ácido) deben dar el totalde 350 ml. Lo anterior se traducesimbólicamente mediante la siguiente ecuación.Tomando en cuenta las condiciones de las 2partes (agua) y la de las 3 (ácido) se plantea la

ecuación 2 3 = 3 5 0 Con respecto a la segunda condición de que la cantidad de agua excede en 2ml la cantidadde acido la ecuación es: = 2 En resumen. El modelo que representa al problema anterior es:

2 3 = 3 5 0

= 2

A este sistema se le llama modelo lineal.. Obsérvese que las variables no aparecen elevadasa una potencia mayor que 1. Los lados izquierdos de las ecuaciones son combinacioneslineales de las variables x e y

350 ml

y de acido

x de agua


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Ejemplo 2.

Rocío necesita preparar una ensalada de frutas para una fiesta en su escuela, por ellorequiere comprar peras y manzanas. Sus amigos se cooperaron con $70. En el mercado locallas peras cuestan $12.00/kg mientras que las manzanas cuestan $9.50/kg. Ella debe comprar

exactamente 7 kg de fruta y gastar toda la cantidad de $70.00. ¿Cuánto de cada fruta debecomprar Rocío para la ensalada? Formular el modeloVariables : . : . Sistema de ecuaciones: = 7 12 9.5 = 70

Ejemplo 3. .Un total de $35000 fueron invertidos a tres tasas de interés: 7%, 8% ,9%. El interés en elprimer año fue de $2830, que no se reinvirtió. El segundo año la cantidad invertida a 9%devengó un 10% y las otras permanecieron iguales. El interés total en el segundo año fue de$2960. ¿Cuánto fue la cantidad invertida en cada tasa de interés?

.

: 7%. : 8%.

: 9% Las relaciones entre variables. =35000 0.07 0.08 0.09 =2830 0.07 0.08 0.1 =2960

$35 000.00

Inversiónal 7%

Inversiónal 8%

Inversiónal 9%


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Ejemplo 4. (2)Un taller de costura produce playeras, camisas y chamarras usando 3 tipos diferentes demáquinas de coser. La producción por semana es como se muestra en la tabla siguiente.¿Cuántas máquinas deben trabajar para coser 1200 camisas, 1000 playeras y 600 chamarraspor semana?.

Máquina tipo 1 Máquina tipo 2 Máquina tipo 3Camisas 100 150 100Playeras 70 80 70

Chamarras 50 60 40

Si x representa el numero de máquinas del tipo 1 que trabajas en una semana, su producciónserá 100x camisas, 70x playeras y 50x chamarras. Si y denota el numero de máquinas deltipo 2 que trabajan por semana su producción será 150y camisas, 80y playeras y 60ychamarras. Y si z representa el número de máquinas del tipo 3 que trabajan por semana suproducción será de 100z camisas, 70z playeras y 40z chamarras.

Con base a esta información y considerando la demanda el sistema que se obtiene es:

100x+150y+100z=120070x+80y+70z=100050x+60y+40z=600.

Ejemplo 5. (3)Supongamos que una empresa administra tres refinerías de petróleo y cada una produce 3derivados: gasolina, diesel y aceite lubricante. Supongamos también que por cada barril depetróleo (aproximadamente 159 galones) la producción en galones, es como se indica en lasiguiente tabla.

Refinería 1 Refinería 2 Refinería 3Gasolina 20 21 19

Diesel 11 12 13 Aceite lubricante 9 8 8

Supongamos que se desea satisfacer una demanda de 1250 galones de gasolina, 750 dediesel y 520 de aceite lubricante. ¿Cuántos barriles de petróleo debe procesar cada refineríapara satisfacer esta demanda?

Denotemos por , , las cantidades de barriles que debe procesar las tres refineríasrespectivamente.Relacionado datos y variables

La producción total de gasolina, diesel y aceite lubricante es la suma de la producción de cadarefinería, así se tiene:


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Total de gasolina. 20 21 19 Total de diesel. 11 12 13 Total de Aceite lubricante. 91 82 83 Las cantidades anteriores deben satisfacer las demandas dadas, esta condición lleva al

siguiente sistema:20 21 19 =1250 11 12 13 =750 91 82 83 =520 Ejemplo 6.

Considere una comunidad muy sencilla que consiste de un agricultor que sólo produce toda lacomida, un carpintero que construye todas las casas y un sastre que produce toda la ropa.Por conveniencia, se seleccionara las unidades de manera que cada individuo produzca unaunidad de cada bien durante el año. Suponga que durante el año la parte de cada bien quees consumida por cada individuo se da en la siguiente tabla:

Bienes consumidospor

Bienes producidos por

Agricultor Carpintero Sastre

Agricultor716 12 316

Carpintero516 16 516

Sastre

13

12

La información anterior se interpreta así: el agricultor consume716 de su propia producción, mientras que el carpintero consume516 de lo que produce el agricultor, el carpintero consume de la ropa hecha por el sastre y asísucesivamente.

Se asume en esta situación que cada uno paga el mismo precio por un bien, así el agricultorpaga el mismo precio por su comida como el sastre y el carpintero aunque él la hayaproducido.

El problema consiste en determinar los precios , , de manera que el sistema esté enequilibrio. Ninguno gana y ninguno pierde. son los precios unitarios respectivos. Losgastos del agricultor son:

716 12 316


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7

Dado que los gastos deben ser igual a los ingresos del agricultor tenemos que

716 12 316 = De manera análoga para el carpintero y el sastre se tiene.516 16 516 = 14 13 12 = Por lo tanto el sistema es

716 12 316 =

516 16 516 = 14 13 12 = Todos los ejemplos anteriores se pueden escribir en la forma matricial Ax=b , donde A es lamatriz de los coeficientes, x es un vector cuyas componentes son las incógnitas y b es un

vector dado (información). Encontrar la solución de estos sistemas significa encontrar elvector x que satisface la ecuación matricial, en caso de que exista.

1.2 Generalización.

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de m ecuaciones lineales con nincógnitas , … que deben satisfacer simultáneamente dichas ecuaciones. En formageneral los sistemas de ecuaciones tienen la siguiente estructura:

∗ ∗ ⋯ ∗ = ∗ ∗ ⋯ ∗ = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ∗ ∗ ⋯ ∗ = Donde , son números reales y las representan las incógnitas o variables de decisión.El objetivo es encontrar una solución (si existe) del sistema anterior, es decir, encontrar un


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conjunto de valores que, sustituidos en las incógnitas, satisfagan el lado derecho del sistema,(solución del sistema).

El sistema anterior como ya se mencionó se representa mediante la siguiente forma matricial.

donde

Matriz de coeficientes.

Vector de decisión.

Restricciones.

No obstante, que algunos de los ejemplos anteriores son casos particulares , en general el

proceso que lleva a la formulación de un modelo, pasa por las siguientes etapas. Las cualesse representa en la siguiente figura.

Figura 2. Fases para la construcción de modelos.

Situaciónproblema

Formulacuón delmodelo

Solución

Conclusión

Validación yverificación

Interpretación Utilizar teoríasmétodos

Abstracción


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En las fases anteriores en general se comienza con el análisis de un problema, en estaexploración se empiezan a identificar las relaciones que existen entre sus distintoselementos, esta actividad es un proceso de abstracción.

Posteriormente se formula un modelo matemático del problema, que de acuerdo a losejemplos anteriores, lleva a un sistema de ecuaciones.

Una vez establecido el modelo se selecciona un método para resolverlo. La soluciónencontrada se analiza para verificar si tiene sentido de acuerdo al problema. Por ejemplo, enel problema 4 de las camisas, un resultado negativo no tendría sentido.

1.3 Métodos de solución.

Como ya se mencionó, se debe tener un método para encontrar una solución de estossistemas. Antes de presentar un método general, a continuación se expone un procedimiento

o estrategia llamado de “prueba y error ”

Retomando el ejemplo 3 ( problema de inversión).

=35000 0.07 0.08 0.09 =2830 0.07 0.08 0.1 =2960 Solución del modelo por el procedimiento de prueba y error.

Se puede tomar como punto de partida suponiendo que las cantidades invertidas son iguales

para cada inversión.

Prueba 1: Sean = = = ¿Se cumple

con larelación?

Restricción Diferencia

SI

=35000

350003 350003 350003 =35000

35000=35000 0

NO

0.07 0.08 0.09 =2830 24503 28003 1050=2830 2800≠2830

-30


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10

NO

0.07 0.08 0.1 =296 24503 28003 35003 =2960

87503 ≠2960

-43.333

Como se puede observar estos puntos no son solución del sistema ya que existe unadiferencia. Como la mayor diferencia se encuentra en la ecuación tres y en esta la variable 0.1tiene el mayor peso (coeficiente) se procede a incrementar su valor. La cantidad que seaumente a la variable tres deberá ser disminuida a la variables restantes para mantener laigualdad de la ecuación 1. Como la variable uno tiene el coeficiente mas pequeño se puededisminuir su valor.

Como el valor de la diferencia es de 43.333 se decide incrementar el valor de =12500 yreducir el valor de la variable 3 a

=10834 y se ajusta el valor de

=11666. Se espera

que el valor de la diferencia de la segunda ecuación sea eliminada con este movimiento.

Prueba 2: Sean =10834, =11666, =12500 ¿Se cumple

con larelación?


SI =35000 108341166612500=35000 35000=35000 0

NO0.07 0.08 0.09 =2830 758.38933.281125=2830

2816.66≠2830 -13.34

NO0.07 0.08 0.1 =296 758.38933.281250=2960 2941.66≠2960 -18.34

Pese a que el valor de las diferencias han disminuido es necesario ajustar los valores conobjeto de acercarse más a la solución del sistema.


con larelación?


SI =35000 10334116661300=35000 35000=35000 0


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11

NO0.07 0.08 0.09 =2830 723.38933.281170=2830 2826.66≠2830 -3.34

NO

0.07

0.08

0.1

=296

723.38933.281300=2960

2956.66≠2960 -3.34

Pese a que el valor de las diferencias han disminuido es necesario ajustar los valores conobjeto de acercarse más a la solución del sistema.


con larelación?


SI =35000 100001200013000=35000 35000=35000 0SI

0.07 0.08 0.09 =2830 7009601170=2830 2830=2830 0SI

0.07 0.08 0.1 =2960 7009601300=2960 2960=2960 0Con esta última prueba se encuentra el valor de la solución del problema que se alcanza enlos puntos =10000, =1200, =13000. Ninguna otra combinación de valores satisfaceal sistema por lo que se dice que esta es una solución única.

Ejemplo 7. El problema de las refinerías

Una compañía petrolera tiene tres refinerías ubicadas en Campeche, Tabasco y Veracruz.Cada refinería produce tres derivados de petróleo: Aceite de calefacción, diesel y gasolina. Apartir de un barril de petróleo crudo la primera refinería produce 42 litro de aceite decalefacción, 21 litros de diesel y 10.5 litros de galones de gasolina. La segunda produce a

partir de un barril de petróleo 21, 28 y 10 litros de aceite de calefacción, diesel y gasolinarespectivamente. Y la tercera produce a partir de un barril de petróleo 10, 10, 24 litros deaceite de calefacción, diesel y gasolina respectivamente.

La demanda que debe cubrir la compañía petrolera para el próximo mes serán de 1000 litrosde aceite de calefacción, 1785 litros de diesel y 2100 litros de gasolina,

Los datos expresados en el enunciado anterior pueden ser ordenados en la siguiente tabla.


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TABLA 1. Tabla de datos problema de la refinería.

ProductoProducción por un barril de petróleo crudo Demanda

mínimaesperada

Refinería deCampeche

Refinería deTabasco

Refinería deVeracruz

Aceite decalefacción

42 21 10 1000

Diesel 21 28 10 1785Gasolina 10.5 10 24 2100

Variables.

: ó í ℎ. : ó í .

: ó í .

Relaciones entre variables y los datos.

La combinación de producción de cada una de las refinerías debe ser por lo menos igual a lademanda esperada por la compañía para cada uno de los productos.

42 21 10 =1000 21 28 10 =1785 10.5 10 24 =2100 Prueba 1: Sean

=

=

= 10

¿Se cumplecon la

relación?Restricción Diferencia

NO42 21 10 =1000 420210100≠1000 730 ≠1000. -270

NO21 28 10 =1785 210280100≠1785 590 ≠ 1785. -1195

NO 10.5 10 24 =2100

105100240≠2100

445 ≠ 2100 -1655

Con un valor de xi= 10 no se cumple ninguna de las restricciones, así que se prueba unnuevo valor. Tomando en consideración que la diferencia más grande existe en la restricción 3se debe asignar un valor mayor a la variable x3 que es la que tiene un peso mayor (parámetromás grande) en esta restricción. Así como la variable x2 , debe tomar un valor mayor.


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Prueba 2: Sean =10, , = 2 0 , = 40 ¿Se cumple

con larelación?


NO 42

21

10

=1000

420420400≠1000

1240 ≠ 1000. 240

NO21 28 10 =1785 210560400≠1785 1170 ≠ 1785. -650

NO10.5 10 24 =2100 105 200 960 ≠ 2100 1265 ≠ 2100 -835

Se intenta un nuevo valor. Considerando la mayor diferencia, por lo que, se incrementa elvalor de x3.

Prueba 3: Sean = 3 , = 3 0 , = 80 ¿Se cumple

con larelación?


NO42 21 10 =1000 126630800≠1000 1556 ≠ 1000. 556

NO21 28 10 =1785 63840800≠1785

1703 ≠ 1785.

-82

NO 10.5 10 24 =2100 31.5 300 1920 ≠ 2100 2251.5≠ 2100 151.5Prueba 4: Sean = 0 , = 4 0 , = 70 ¿Se cumple

con larelación?


NO 42 21 10 =1000

0 8 4 0 7 0 0 ≠ 1 0 0 0 1540 ≠ 1000. 540NO

21 28 10 =1785 01120700≠1785 1820 ≠ 1785. 35


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14

NO10.5 10 24 =2100 0 400 1680 ≠ 2100 2080 ≠ 2100 -20

Por la naturaleza del problema se infiere que el mínimo valor de barriles de crudo que sepuede asignar a una refinería es de 0 por tanto el valor de ya no puede ser disminuidoPrueba 5: Sean = 0 , =37.2, = 72 ¿Se cumple

con larelación?


NO42 21 10 =1000 0781.2720≠1000 1525 ≠ 1000. 525

NO 21 28 10 =1785

01041.6720≠1785

1761.6≠1785. 23.4

SI10.5 10 24 =2100 0 372 1728 = 2100 2100 = 2100 0

Prueba 6: Sean = 0 , = , = 72 ¿Se cumple

con larelación?


NO 42 21 10 =1000 0796.5720≠1000 1516.5 ≠ 1000. 516.5SI

21 28 10 =1785 01062720=1785 1785=1785. 0NO

10.5 10 24 =2100 0 26557 1728 ≠ 2100 147517

≠ 2100 7.2857 Prueba 6: Sean = 0 , = ≈38.1818, = ≈71.5909 ¿Se cumple

con larelación?


NO42 21 10 =1000 0 882011 1575022 ≠1000 517.7268


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15

1517.7272 ≠ 1000. SI

21 28 10 =1785 0 1176011

1575022

=1785 1785=1785.

0

SI 10.5 10 24 =2100 0 420011 3780022 = 2100 2100 = 2100 0 Como puede observarse no existe una combinación de barriles de petróleo asignados quecumplan simultáneamente con el sistema.

1.4 Método de solución gráfico.

La estrategia anterior es un método heurístico para encontrar una solución y permite entenderel comportamiento del sistema. Sin embargo, el método no es muy eficiente. Por ello acontinuación se presenta el método gráfico, comenzaremos con un ejemplo sencillo en dosvariables.

Ejemplo 8.

Claudia y Toño reman en un río. Toño insiste en remar todo el camino, cuando va a favor dela corriente el rema a una velocidad de 11km/h y cuando va en contra de la corriente, va auna velocidad de 3km/h. ¿Cuál es la velocidad con que rema Toño?.

.

Variables

: ñ : . Sistema de ecuaciones. = 11 = 3

Si Toño rema a favor de la corrientesu velocidad es de 11km/h

Si Toño rema en contra de lacorriente su velocidad es de 3km/h


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Solución gráfica.

Desde el punto de vista gráfico la solución del sistema es el punto de intersección de las dosrectas. Dicho punto tiene como coordenadas

= 7 = 4. Esta solución es única.

Ejemplo 9.

Introduciendo una variante al problema de la refinería ahora se aborda con el método gráfico.

Sistema

A diferencia del ejemplo anterior, este sistema tiene tres variables y tres ecuaciones. Lasecuaciones del lado izquierdo representan las ecuaciones planos (3). Desde el punto de vistageométrico para que exista una solución única, los tres planos deben ser concurrentes en unsólo punto.


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Solución gráfica

Hasta ahora los sistemas anteriores tienen una solución única. ¿Qué pasa desde el punto devista geométrico cuando el sistema tiene múltiples soluciones, o no tiene solución?

Las preguntas anteriores se responden geométricamente a partir de los siguientes ejemplos:

Punto deconcurrencia delos 3 planos.


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Nótese que en el primer sistema hay tres incógnitas, pero hay dos ecuaciones. Es decir haymás incógnitas que ecuaciones. ¿Qué significa esto gráficamente?. En cambio en el segundo,hay tres incógnitas y tres ecuaciones ¿Significa qué hay una solución única?.

Figura 3. Representación gráfica del inciso a)

¿Qué observa?

Figura 4. Representación gráfica del inciso b)

¿Qué observa?

42 21 10 =1000

21 28 10 =1785

10.5 10 24 =2100


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Figura 5. Representación gráfica del c)

¿Qué observa? El procedimiento de “prueba y error” ayuda a entender como se comporta el sistema, sinembargo no es eficiente y cuando se abordan sistemas de ecuaciones lineales máscomplicados ya no es manejable. También el método grafico tiene sus limitaciones en elsentido de cuando se tiene un sistema de mas de 3 variables ya no es posible visualizargráficamente la solución.

1.5 El método de eliminación Gaussiana.

Un método más poderoso para resolver un sistema de ecuaciones lineales es la denominadaeliminación Gaussiana. Esta se ilustra mediante el siguiente ejemplo.

Ejemplo 10.

Una compañía produce tres tipos de muebles para hogar. Los cuales son sillas sillones ymecedoras. Cada uno requiere de madera, plástico y aluminio como lo indica la tablasiguiente.

TABLA 2. Datos del problema de producción.Madera (unidades) Plástico (unidades) Aluminio (unidades)

Sillas 1 1 2Sillones 2 2 3

Mecedoras. 3 2 5


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La compañía tiene en existencia 400 unidades de madera, 300 unidades de plástico, y 700unidades de aluminio. Para la producción de fin de temporada la compañía desea utilizartodas sus existencias. Para lograr esto ¿ Cuántas sillas, sillones y mecedoras debe fabricar?.

Variables.

: .: . : . Sistema de ecuaciones.

2 3 =400 . 2 2 =300 á. 2 3 5 = 700 . Resolución del sistema.

La eliminación Gaussiana utiliza las operaciones algebraicas elementales con objeto detransformar el sistema original en un sistema equivalente. Las operaciones elementales son:

1. Multiplicación de las ecuaciones por una constante distinta de cero.2. Intercambiar las ecuaciones.3. Sumar o sustraer a una ecuación otra ecuación que resulta de aplicar la operación 1.

La solución por eliminación involucra dos etapas. La primera es transformar el sistema dado

en un sistema triangular superior tal como el siguiente. 2 3 =400. =100 =100 La segunda etapa es usar la sustitución regresiva para obtener los valores de las incógnitas.

Estas dos etapas se basan en las siguientes dos propiedades:

1. Si multiplicamos ambos lados de una ecuación por una constante esto no afecta lasolución de la ecuación.

2 3 =400.

=100

=100


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2. Si sumamos dos ecuaciones (sumar los lados izquierdos y sumar los lados derechos),cualquier solución de ambas ecuaciones es también una solución de la ecuacióncombinada

A continuación se resuelve el ejemplo anterior utilizando las propiedades anteriores.

Se suma a la segunda ecuación el resultado de multiplicar la primera ecuación por -1.

Operación Nuevo sistema. 2 3 =400 2 2 =300 0 0 =100 2 3 =400. =100 2 3 5 =700

Se intercambia la ecuación 2 por la ecuación 3.

Operación Nuevo sistema.

2 3 =400.

=100 2 3 5 =700 2 3 =400.

2 3 5 =700 =100 Se suma a la segunda ecuación el producto de multiplicar la primera ecuación por -2

Operación Nuevo sistema.2 4 6 =800. 2 3 5 =700 0 =100 2 3 =400. =100 =100

Se multiplican las ecuaciones 2 y 3 por -1.Operación Nuevo sistema.1 ∗ = 1 0 0 → = 100 1 ∗ =100 → =100

2 3 =400. =100 =100 De a cuerdo con la ecuación tres del sistema equivalente =100 . Ahora se emplea elmétodo de sustitución regresiva para encontrar los valores de sustituyendo a en lasegunda ecuación.

=100

1 0 0 = 1 0 0 = 0 Ambos valores son sustituidos en la ecuación uno. 2 3 =400 203100=400 1 0 0 = 4 0 0 =100


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Para comprobar que los valores encontrados satisfacen simultáneamente a todas lasecuaciones del sistema se sustituyen dichos valores de las incógnitas en el sistema deecuaciones.

Sean

=100,

= 0 y

=100

2 3 = 4 0 0 → 1 0 0 0 3 0 0 = 4 0 0 2 2 = 3 0 0 → 1 0 0 0 2 0 0 = 3 0 0 2 3 5 = 7 0 0 → 2 0 0 0 5 0 0 = 7 0 0 Por lo tanto la compañía debe fabricar 100 sillas, 0 sillones y 300 mecedoras para ocupartodos su inventario.

Hay que subrayar el hecho de que la solución a un sistema de ecuaciones lineales dependede los coeficientes asociados a cada una de las variables. Y que la clave de la eliminaciónGaussiana es que las operaciones empleadas lleven siempre a un sistema de ecuaciones

equivalente al anterior.

En resumen, un sistema de ecuaciones lineales es equivalente a cualquier sistematransformado por las operaciones elementales antes señaladas.

Todo el proceso realizado anteriormente, para encontrar la solución del sistema se puedetraducir de forma matricial.

2 3 =400. 2 2 =300. 2

3

5

=700

1 2 31 2 22 3 5

= 400300700

Las operaciones elementales realizadas anteriormente sobre el sistema ahora se hacen sobrelos renglones de la matriz y el vector columna de lado derecho.

1 2 31 2 22 3 5400300700 ~

1 2 30 0 12 3 5 400300700 ~

1 2 30 0 10 1 1400100100 ~

1 2 30 1 10 0 1400100100 ~

1 2 30 1 10 0 1 400100100

− ∗ − ∗ ∗ − Reescribiendo la última matriz equivalente a términos de un sistema de ecuaciones se obtiene

lo siguiente.

1 2 30 1 10 0 1 23 =

400100100 2 3 =400. =100 =100


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23

Para obtener los restantes valores se emplea una sustitución regresiva en las ecuacionesanteriores, sustituyendo. Y La solución obtenida es =100, = 0 y =100.1.6 Sistemas equivalentes.

Como ya se observó por medio de las operaciones elementales el sistema fue transformado auno de forma escalonada, el cual es equivalente al original. El método anterior de maneraresumida consistió en los pasos siguientes:

a) Seleccionar la primera ecuación, como pivote y usarla para generar ceros en laprimera columna, es decir, debajo de la entrada .

b) El paso anterior produce una submatriz, repitiendo el paso anterior es decir,seleccionar la primera ecuación de la submatriz y utilizarla para generar cerosdebajo de la primera columna de la submatriz, y así sucesivamente hasta obtener unamatriz triangular superior. La cual tiene la siguiente forma.

∗ ∗ ⋯ ∗ = ′ 0 ∗ ∗ ⋯ ∗ = ′ 0 ∗ 0 ∗ ⋯ ∗ = ′ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮0 ∗ 0 ∗ ⋯ ∗ = ′ [ ⋯ ⋮ ⋱ ⋮

0 ⋯ ]

⋮

= ′⋮′

Reescribiendo lo anterior como un sistema de ecuaciones, se escoge la ultima ecuación en lacual se ve de manera directa la solución de . Para obtener los valores de las restantesvariables, se usa la sustitución regresiva.(4)

El sistema equivalente escalonado de m ecuaciones lineales con n incógnitas tendrá soluciónúnica si = lo que implica que = 0. Si es < el sistema tendrá soluciones infinitas(sistema indeterminado) lo que implica que ≠ 0 . Se puede asignar cualquier valor a lasvariables + hasta , a dicho valor de estas variables corresponderán valores únicos de lasvariables hasta . Este tipo de sistemas tienen una familia de soluciones con n-r gradosde libertad (número de variables a las que se puede asignar cualquier valor).(5)

Pero si existe el caso donde = y = , donde ≠ esta soluciones contradictoriaspara una misma incógnita, evidentemente indica que el sistema no tiene solución. A estossistemas se les llama sobredeterminados .


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24

1.6.1 Sistemas indeterminados y sobredeterminados.

A continuación se presentan ejemplos de este tipo de sistemas.

Ejemplo 11. Vitaminas.(1) (Sistema indeterminado).

A una persona se le prescribió tomar 10 unidades de vitamina A, 9 unidades de vitamina D y25 unidades de vitamina E. Para satisfacer estos requerimientos puede elegir entre 3 marcasde píldoras vitamínicas. La marca X contiene 2 unidades de vitamina A, 3 unidades devitamina D y 5 unidades de vitamina E; la marca Y tiene 1 , 3 y 2.5 unidadesrespectivamente, y la marca Z tiene 3 de A, 0 de D y 7.5 de E. ¿Qué combinación de píldorasdebe tomar la persona para satisfacer la prescripción médica?Datos del problema.

VitaminaMarca de píldoras

Requerimiento vitamínico.X Y Z

A 2 1 3 10

D 3 3 0 9E 5 2.5 7.5 25

Variables.

: : : El sistema. 2 3 = 10

3 3 0 = 9

5 2.5 7.5 = 25 Multiplicar la ecuación 1 por (1/2)Operación Nuevo sistema.

12 ∗ 2 3 = 10→ 12 32 = 5 12 32 = 5 3 3 0 = 9 5 2.5 7.5 = 25

Sumar a la ecuación 2 el resultado de multiplicar la primera ecuación por -3Operación Nuevo sistema.

3 32 92 =15 3 3 0 = 9 1.5 4.5 = 6 12 32 = 5 1.5 4.5 = 6 5 2.5 7.5 = 25


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25

Sumar a la ecuación 3 el resultado de multiplicar la primera ecuación por -5.


5 52

152 =25

5 2.5 7.5 = 25 0 0 0 = 0 12

32 = 5

1.5 4.5 = 6 0 0 0 = 0 ¿Cuál es la explicación de que la última ecuación de la tabla anterior se reduzca a 0=0?

Nótese que en le sistema original, si se examina con mayor detalle, se observa que la terceraecuación es un múltiplo de la primera. Es decir, la tercera ecuación se obtiene de la primeramultiplicándola por 2.5 .Dicho de otro modo, el sistema tiene una ecuación redundante. Porello, el sistema se reduce a 2 ecuaciones:

2 3 = 10 3 3 0 = 9 12 32 = 5 1.5 4.5 = 6 Este es un sistema indeterminado ya que tiene múltiples soluciones. Estas se obtienen, sidespejamos de la segunda ecuación y así queda como una variable independiente ala cual se le puede asignar cualquier valor. Obteniéndose múltiples soluciones.

Dada la condición del problema los valores que se asignan a dicha variable no debenproducir valores negativos en las variables.

Asignando el valor = , utilizando el procedimiento de sustitución regresiva se encuentra lasolución al sistema. 1.5 4.5 = 6 1.5 4 . 5 = 6 1.5 =64.5 = 4 3 Dado que ≥ 0 entonces (-4+3r) ≥ 0 lo que implica que r ≥ . Tomando en cuenta elvalor asignado a y el de . Se sustituyen en la ecuación 1

12 32 = 5 12 4 3 32 = 5 2 32 32 = 5 3 = 7 = 7 3


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26

Dado que x10 lo que implica que r


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: ú á ó. : ú á . : ú á . El sistema.

= 70 150 175 145 =11200 = 2 = 4 Reescribiendo las dos últimas ecuaciones, el sistema queda:

= 70 150 175 145 =11200 2 = 0

4 = 0 Resolución el sistema.Sumar a la segunda ecuación el resultado de la primera por -150Operación Nuevo sistema.150 150 150 =10500 150 175 145 =11200 0 25 5 =700

= 70 25 5 =700 2 = 0 4 = 0 Sumar a la tercera ecuación el resultado de la primera por -1Operación Nuevo sistema. =70 2 = 0 0 3 =70

= 70 25 5 =700 3 =70 4 = 0 Sumar a la cuarta ecuación el resultado de la segunda por -1 /25Operación Nuevo sistema.

15 =28

4 = 0 0 195 =28 = 70

25 5 =700 3 =70 =28

Multiplicar la ecuación cuatro por -5/19


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28


519 195 = 2 8 → = 14019

= 70 25 5 =700 3 =70 =

Sumar a la tercera ecuación el resultado de la segunda por 3/25Operación Nuevo sistema.

3 35 = 84 3 =70 0 25 = 14 = 70 25 5 =700 =14 =

Multiplicar la tercera ecuación por -5/2Operación Nuevo sistema.

52 ∗ 25 = 1 4 → =35 = 70 25 5 =700 =35

= Lo que indica una inconsistencia en el

sistema.

Graficamente significa que los cuatro planos no son concurrentes en un punto en el espacio.Esto se ilustra en la siguiente gráfica.


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29

Figura 7. Grafica del sistema.

Por otro lado , =35 no se puede considerar, debido a que no tiene un sentido en elproblema real, dado que no es posible contratar -35 empleados. Tratando de dar un sentido,podríamos suponer que

= 0y con este valor se obtienen los siguientes resultados.

=28 = 42 , la cual tampoco es una solución del sistema. Ya que no satisface la ecuacióncuatro.Un problema que podría plantearse en esta situación, si es posible encontrar una solución“aproximada” al sistema. Este problema no se aborda en estas notas.


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31

Determine si el sistema tiene solución única o un número infinito de soluciones. Utilizando laeliminación Gaussiana, se obtienen lo siguiente.

2 = 0

5 3 = 0 0 = 0 Si = (donde r es un parámetro) entonces los valores de = = representan elconjunto de soluciones del sistema para cualquier valor real de r.

1.8 Sistema de ecuaciones lineales con una función objetivo.

En muchas situaciones o problemas, un sistema de ecuaciones suele tener asociado unafunción objetivo. Esto lo explicaremos con el siguiente ejemplo.

Ejemplo 14. Cultivos.

Suponga que un agricultor tiene 200 hectáreas de tierra en el cual puede sembrar cualquiercombinación de tres cultivos maíz, frijol y calabaza. El maíz requiere de 4 días de mano deobra y $ 200 de capital por cada hectárea sembrada. El frijol requiere 5 días de cultivo y $350de capital. Y la calabaza requiere 2 días de mano de obra y $250 de capital. Suponga tambiénque el maíz genera una ganancia de $60.00 /ha, mientras que el frijol y la calabazaproporcionan una ganancia de $ 45 y $78 respectivamente por cada hectárea. Si el agricultordispone de $25000 de capital y de 320 días de mano de obra ¿Cuál es la estrategia desiembra que proporciona la mayor cantidad de ganancia?.

Variables.

: ú ℎá í. : ú ℎá . : ù ℎá . Las restricciones del problema.

≤200 4 5 2 ≤ 320

200 350 250 ≤ 25000 Por supuesto, debido a la naturaleza de problema los valores de las variables de decisióndeben satisfacer lo siguiente ≥ 0, ≥ 0 ≥ 0 Obtener la máxima ganancia no implica agotar todos los recursos, es decir, se puedeencontrar la máxima ganancia y no emplear por ejemplo, todo el capital o la tierra.


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El objetivo del agricultor es maximizar la siguiente función sujeta a las restricciones anteriores.

:60 45 78 Para resolver este tipo de problema se utilizan a las herramientas de la Investigación de

Operaciones, en particular el método simplex. Un paso inicial en este método es transformarlas restricciones de desigualdad que aparecen en el sistema en restricciones de igualdad, yasí poder utilizar la eliminación Gaussiana.

Resolviendo el sistema usando la eliminación Gaussiana se obtiene la siguiente solución n =100, = 0 = 0 con una ganancia de $7800. Mediante una representacióngeométrica la solución se indica con un circulo, en la siguente gráfica, el cual se interseca lafunción objetivo con la región factible, determinada por las restricciones de desigualdad.

Figura 8. Representación grafica de la solución.

.

En la gráfica se puede observar que el conjunto de puntos solución del sistema se encuentranen la parte positivo y acotada por los planos de restricción.


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33

Verificando que la solución satisface las restricciones.

Con base en el ejemplo previo se observa que la función objetivo siempre alcanza su valormáximo o mínimo en la frontera de la región factible. De hecho, el valor óptimo siempre sealcanza en uno de los puntos vértices que forman la región factible.El siguiente ejemplo ilustra el concepto de región factible..

Figura 9. Región factible del sistema.

La región sombreada es un conjunto de puntos que define una región factible, es decir, quecualquier punto que se tome de esta región satisface simultáneamente las restricciones delsistema. Este concepto será de utilidad para la resolución de los problemas.

1.8.1 Líneas de indiferencia.

No obstante que existe un número infinito de soluciones en la región factible, el problema dela búsqueda del óptimo se reduce a la investigación de los puntos frontera de dicha región, esdecir, en los puntos vértices. Esto lo ilustraremos con el siguiente ejemplo.

La función objetivo cambia de valor de acuerdo con el valor que se le asigne a las variablesde decisión , determinan un valor Pi. que se representa a continuación

Regiónfactible


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34

= Todos los puntos que satisfacen esta ecuación se le llama curva de isoutilidad yproporcionan el mismo grado de satisfacción.

Las líneas de isoutilidad se desplazan paralelamente al asignar valores diferentes a lafunción objetivo. Para ilustrar este desplazamiento, observe las siguientes gráficas..

Figura 10. Desplazamiento que optimiza.

Nótese que el valor de la función objetivo del tipo de maximización se mejora a medida quelas líneas de isoutilidad se mueven hacia arriba y hacia la derecha.

Figura 11. Desplazamiento optimiza .

0

20

40

60

80

100

120

0 50 100 150

isoutilidad 1

isoutilidad 2

isoutilidad 3

Cresimiento delvalor de lafunción objetivo

0

20

40

60

80

100

120

0 50 100 150

isoutilidad 1

isoutilidad 2

isoutildad 3

Mejora del valor de lafuncion objetovo


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En problemas de minimización, el valor de una función objetivo disminuye a medida que sedesplaza hacia la izquierda y hacia abajo.

El movimiento de las líneas de isoutididad está restringido a la región factible.

Como se observa en la siguiente figura.

Figura 12. Punto óptimo.

Optimizar una función objetivo significa buscar un punto que maximice o minimice el valor dedicha función satisfaciendo las restricciones del modelo. Esquemáticamente el procedimiento

se ilustra en el siguiente diagrama

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 1 2 3 4 5 6

región factible

isoutilidad 1isoutilidad 2

puntomáximo


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Figura 13. Procedimiento de solución de problemas de PL con el método gráfico.

Para aclarar todos los conceptos anteriores considere el siguiente ejemplo.

Ejemplo 15. Producción.

Una compañía produce dos tipos de artículos manuales y eléctricos. Cada uno requiere parasu fabricación tres máquinas A, B, C. Como lo muestra la tabla siguiente.


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TABLA 3. Tabla de datos del problema de producción.

A B C Utilidad/UnidadManual 2 1 1 4Eléctrico 1 2 1 6

Horasdisponibles por

máquina.

180 160 100


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1.9 Ejercicios de repaso.

Ejemplo 16. Refinerías.

Considere que existe una compañía petrolera que cuenta con 3 refinerías 1,2y3 .Por cadabarril de crudo de petróleo, las diferentes refinerías producen las siguientes cantidades(medidas en galones) de aceite de calefacción, diesel y gasolina.

Refinería 1 Refinería 2 Refinería 3 Aceite decalefacción

6 3 2

Diesel 4 6 3Gasolina 3 2 6

Suponga que se tienen las siguientes demandas 280 galones de aceite de calefacción, 350diesel y 350 gasolina.

a) Escriba un sistema de ecuaciones cuya solución podría determinar los niveles deproducción que pudieran satisfacer dicho sistema.

Determinación de variables

x1 = Cantidad de barriles de petróleo crudo que entran a la

Refinería 1


Refinería 2


Refinería 3

Sistema de ecuaciones:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

6 3 2 280

4 6 3 350

3 2 6 350

x x x

x x x

x x x

b) Encuentre una solución aproximada para este sistema de ecuaciones cuya producción

no sea mayor que 30 galones de su demanda

Nuevo sistema

1 2 3

1 2 3

1 2 3

280 6 3 2 310

350 4 6 3 380

350 3 2 6 380

x x x

x x x

x x x


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39

Para solucionar el sistema usamos el método de prueba y error por lo tanto asignamos en uninicio valores arbitrarios a las “xi” y observamos como se comporta el sistema.

Intento 1

1

2

3

10

10

10

6(10) 3(10) 2(10) 110

4(10) 6(10) 3(10) 130

3(10) 2(10) 6(10) 110

Valores

x

x

x

Sustitución

esta fuera del rango factible



De lo anterior se ve que se deben incrementar los valores de l as “x1”.

Intento 2

1

2

3

20

20

20

6(20) 3(20) 2(20) 220 60

4(20) 6(20) 3(20) 260 90

3(20) 2(20) 6(20) 220 130

Valores

x

x

x

Sustitución

esta fuera del rango factible dif



Como podemos observar debemos aumentar xi

Intento 3

1

2

3

25

25

25

6(25) 3(25) 2(25) 275 5

4(25) 6(25) 3(25) 325 25

3(25) 2(25) 6(25) 275 75

Valores

x

x

x

Sustitución




Obsérvese que la diferencia entre la demanda y el resultado de la ecuación 3 es la masgrande, como x3 es la que tiene mas peso. Por lo tanto la aumentamos y esperamos que conesta acción queden subsanadas las otras dos ecuaciones.


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40

Intento 4

1

2

3

25

25

35

6(25) 3(25) 2(35) 295

4(25) 6(25) 3(35) 355

3(25) 2(25) 6(35) 335 15

Valores

x

x

x

Sustitución

esta dentro del rango factible

esta dentrodel rango factible


Tendremos que aumentar el valor de x3 para lograr que la ecuación tres su resultado estedentro del rango factible.

Intento 5

1

2

3

25

25

39

6(25) 3(25) 2(39) 301

4(25) 6(25) 3(39) 367

3(25) 2(25) 6(39) 359

Valores

x

x

x

Sustitución


esta dentrodel rango factible


Una solución del sistema es

1

2

3

25

25

39

Valores

x

x

x

Con una tolerancia de +30 galones en la demanda de los productos.


Considere el siguiente sistema de ecuaciones el cual representa ecuaciones de oferta – demanda para sillas, mesas, y sofás de dos fabricas.

Fábrica 1 Fábrica 2 DemandaSillas 10x1 6x2 200

Mesas 7x1 7x2 150


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Sofás 5x1 4x2 100

Encuentre una solución aproximada por el método de prueba y error.Primero formulamos el sistema de ecuaciones10x1+ 6x2 =200

7x1+7x2 =1505x1+4x2=100

Y damos valores arbitrarios a X1 =10 y a x2 =10. Sustituimos los valores en el sistema y vemosel comportamiento del mismo.

10(10)+ 6(10)=160 100 Dif:-3 Esta dentro de un intervalo del 10%Consideraríamos que la solución al sistema sea X1 =11 y a x2 =12. con una precisión del 10%

Ejemplo 18. Programación lineal.

Formule el siguiente problema como un problema de programación lineal pero no lo resuelva.Hay dos almacenes para camiones y dos lugares para venderlos la siguiente tabla

proporcionan los costos por transportar un camión de los almacenes a cada uno de loscentros de venta.

Centro 1 Centro 2 Almacén 1 40 50 Almacén 2 60 40


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42

El almacén 1 tiene 100 camiones y el almacén 2 tiene 80. El centro1 necesita al menos 50camiones y el almacén 2 necesita al menos 100. Encuentre la manera económica desatisfacer estos requerimientos.Realizamos un diagrama explicativo

Determinación de variables

x11 Número de camiones que van del almacén 1 al centro 1x12 Número de camiones que van del almacén 1 al centro 2x21 Número de camiones que van del almacén 2 al centro 1x22 Número de camiones que van del almacén 2 al centro 2

Sabemos que el problema se basa en reducir costos y con las variables podemos escribirla en

términos de las variables determinadas.

Min w: 40x11+50x12+40x21+60x22 Sujeta a:x11+ x12 100x21+ x22 80x11+ x21 50x12+ x22 100x110x120x210

x220


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2 MATRICES.

2.1 Introducción.

El término matriz fue introducido en la literatura matemática por Josseph Sylvester (1950)para referirse a una entidad u objeto matemático, la cual puede representarse por un arreglorectangular de datos o entradas. Por ejemplo.

10 12 165 9 7

.

2.2 Conceptos básicos

Como ya se mencionó una matriz es un arreglo rectangular de datos en hileras y columnas.Cuya estructura general es la siguiente.

= ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ Donde el elemento

indica que se encuentra en la hilera “m” y en la columna “m”. Se dice

que la matriz es de orden “m*n” es decir el número de hileras por el número de columnas. Sim=n se dice que la matriz es cuadrada, pero si ≠ se dice que la matriz es rectangular.Las matrices son de utilidad para la formulación y resolución de problemas. A continuación seproporcionan los siguientes ejemplos.


Un fabricante de los productos A, B y C ocupa unidades de malo de obra y material en suproducción. En una semana de producción se utilizan estos recursos como lo muestra la tablasiguiente.

TABLA 4. Datos del problema de producción.

RecursosProducto Disponibilidad

del recurso A B CMano de obra 10 12 16 250

Material 5 9 7 200

Si el fabricante puede vender todo lo que produce ¿Cuántas unidades de cada producto debeproducir para ocupar la mayor cantidad de los recursos disponibles?.


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Variables.

: :

: Restricciones.. 10 12 16 ≤250 5 9 7 ≤200 Forma matricial.

El sistema anterior se puede representar en forma matricial ordenando los datos en un arreglorectangular. Para la matriz A considere solo los coeficientes asociados a cada una de lasvariables.

1 2 3 = 10 12 165 9 7 1 2 A es una matriz de orden 2*3.

Para el vector columna x considere las variables que desea calcular. Y para el vectorcolumna b, considere solo el valor de los recursos disponibles.

= 1 1 2 3 = 1250200 1 2

Observe que con estos arreglos el sistema puede representarse de la siguiente forma.

10 12 165 9 7 ∗ ≤ 250200 Como puede notarse la matriz A es una representación que organiza de manera compacta lainformación dada del problema. Y como se observo al principio una matriz puede de versecomo una tabla de doble entrada donde las columnas representan una característica delproblema y las hileras otra.


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2.3 Operaciones con matrices.

Las operaciones con las matrices las ilustraremos mediante los siguientes ejemplos.

2.3.1 Suma y resta de matrices.

Ejemplo 20. Venta de vehículos.

Considere que un comerciante de vehículos vende dos modelos. Deluxe y Súper. Cada unode ellos se encuentra disponible es dos colores rojo y negro. Los datos de ambos vehículosde los meses de enero y febrero del presente año se encuentran representados en la tablasiguiente. El vendedor desea conocer el numero total de unidades vendías en dicho periodo.

TABLA 5. Tabla de ventas.

ModeloEnero Febrero

Rojo Negro Rojo NegroDeluxe 1 4 8 9

Súper 3 2 0 15

Los renglones de la matriz proporcionan el número de vehículos vendidos de cada uno de losmodelos. Mientras que las columnas proporcionan el número de vehículos vendidos por cadauno de los colores.

Se generan las matrices A y B que sistematicen los datos del sistema.

= 1 43 2 →Ventas del mes de enero. = 8 90 15 →

Ventas del mes de febrero.

Las ventas totales son el resultado de sumar las ventas de enero y febrero.

1 43 2 8 90 15 = 9 133 17 = = 9 133 17

Observe que los elementos de la matriz C{} representan la suma de las ventas.


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2.3.2 Multiplicación.

Matriz vector.

Ejemplo 21. Compras en el mercado.

Suponga que alguien desea comprar 5 melones, 4 manzanas, 3 naranjas y 2 piñas.Comparando precios en dos mercados se encuentra que los precios de esos dos productosson A=[ 30,10,10 y 75] y en el mercado B =[ 25,15,8 y 80] respectivamente.

a) Exprese el problema de calcular costos de este conjunto de frutas en cada mercadocomo un producto de una matriz y un vector

Definición del vector de frutas deseadas.

5

4

3

2

v

La matriz de costos de las fritas en los mercados es:

30 10 10 75

25 15 8 80

Mercado AC

Mercado B

El costo de las frutas para cada uno de los mercados queda definida con el siguiente producto

5

30 10 10 75 4 370* *

25 15 8 80 3 369

2

Cv C v

Por lo anterior sabemos que el costo por comprar las frutas en el mercado A (370 u.m) es 1u.m más que comprarla en el mercado B (369 u.m).

¿Es posible realizar la multiplicación si se cambia el orden? Supongamos que tratamos dehacer dicho producto

∗ = 5432 3025 10 10 7515 8 80 Obsérvese que no es posible, ya que el número de hileras del vector es diferente al númerode columnas de la matriz.


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Ejemplo 22. Fiesta.

Suponga que alguien necesita aprovisionarse para una fiesta y necesita 10 sándwiches, 6cuartos de fruta, 3 cuartos de ensalada de papa, y 2 platillos de bocadillos. La siguiente tabla

muestra los costos de estas provisiones en tres diferentes abastecimientos.

Abastecimiento A

AbastecimientoB

AbastecimientoC

sándwich 5 5 4fruta 1 1.5 075

ensalada depapa

0.7 1 1

bocadillos 8 7 10

a) Exprese el problema para determinar los costos de las provisiones para la reunión por

cada abastecimiento como una matriz – vector y determine los costos porestablecimiento

10

6

3

2

5 1 0.75 8

5 1.50 1 7cos

4 0.75 1 10

Pr

5 1 0.75 8 10

5 1.50 1 7 6*

4 0.75 1 10 3

2

Vector necesidades v

Abastecimiento A

Abastecimiento B Matriz tos C

Abastecimiento C

oducto

Cv

74.25

76

67.5

El costo por comprar en los centros de abastecimiento A,B y C es 74.25, 76 y 67.5

respectivamente. Siendo el lugar más costoso para comprar en el mercado B y el máseconómico para comprar en el centro C.


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48

Ejemplo 23.

Expresar en notación matricial las siguientes operaciones en estos arreglos de datos: la matriz A proporciona la cantidad de material requerido para construir productos diferentes, la matrizB proporciona los costos de estos materiales en diferentes lugares, la matriz C expresa

cuantos de estos productos son necesarios para construir dos diferentes tipos de casas y lamatriz D proporciona la demanda para las casa de dos estados de la República.

Matriz AMaterial

Producto M MO A A 5 20 10B 4 25 8C 10 10 5

M=Madera, MO= Mano de obra, A=Acero

Matriz B “Costos por ciudad”

DF Edo. Méx.Madera 2 3

Mano de Obra 6 6 Acero 3 4

Matriz C “Productos necesarios para hacer las casas”

A B CCasa I 4 8 3

Casa II 5 5 2

Matriz D ”Demanda para las casas”

Casa I Casa IID.F. 50,000 200,000Edo. Méx. 80,000 500,00

A) Calcule el primer renglón del producto AB

*

5 20 10 2 3 160 175

4 25 8 * 6 6 * *

10 10 5 3 4 * *

A B

B) ¿Cuál producto matricial expresa cuánto de los diferentes productos son necesariospara satisfacer la demanda para los dos tipos de casa en los diferentes Estados?


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*

50000 200000 4 8 3 1200000 1400000 550000*

80000 500000 5 5 2 2820000 3140000 1240000

D C

La matriz resultante indica la cantidad de productos a, b, c necesarios para satisfacer lasdemandas en el DF y Estado de México.

A B CD.F 1200000 1400000 550000Edo. Méx 2820000 3140000 1240000

C) ¿Cuál producto matricial expresa el costo por construir cada tipo de casa en cadaEstado?

*( * )

5 20 10 2 34 8 3

* 4 25 8 * 6 65 5 2

10 10 5 3 4

160 1754 8 3 2381 2582

* 182 1945 5 2 1900 2065

95 110

C A B

Las entradas de la matriz resultante indican el costo por producir cada tipo de casa en cada

Estado.

DF Estado. MéxicoCasa I 2381 2582Casa II 1900 2065

2.4 Otro tipo de matrices.

Algunas matrices presentan características particulares tanto en la naturaleza de los

elementos que las conformas así como en su disposición. A este tipo de matrices se les llamamatrices especiales.

2.4.1 Matrices cuadradas y rectangulares.

Como se mencionó, una matriz se compone de m filas y de n columnas. En estascircunstancias se pueden presentar dos casos que m=n o m ≠n .En el primer caso se diceque es una matriz cuadrada, por ejemplo.


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∗ = [ ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ] En el caso de que m

≠n se trata de una de una matriz rectangular que tiene la siguiente

estructura particular.

∗ = [ ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ] 2.4.2 Matrices triangulares.

Antes de definir a las matrices triangulares introduciremos el concepto de diagonal principal.Para ello considere una matriz cuadrada A de orden n*n. En dicha matriz A=[ ] se determinaa la diagonal principal como un subconjunto de elementos

donde i=j.

Una matriz triangular superior es donde los elementos que aparecen debajo de la diagonalson todos cero.

∗ = [ ⋯ ⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ ] Una matriz triangular inferior es donde los elementos que están arriba de la diagonal superiorson todos cero.

∗ = [ ⋯ 0

⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ]

2.4.3 Matriz identidad, transpuesta y simétrica.

La matriz identidad es donde los elementos de la diagonal principal son todos 1’s y loselementos fuera de la diagonal son cero. La propiedad que tiene es que cuando se multiplicapor cualquiera otra matriz Q, esta no cambia.

∗ = [ ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ]


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51

= 1 0 00 1 00 0 1 Ejemplo.

= 1 0 00 1 00 0 1 ℎ =

ℎ Matriz transpuesta

Sea el siguiente ejemplo.

= 4 7 84 9 26 5 1 A partir de esta matriz formemos una nueva matriz, intercambiando las hileras por lascolumnas.

′ = 4 4 67 9 58 2 1 A esta matriz se le llama la transpuesta de A.

Simétrica.

Una matriz simétrica es una matriz que es igual a su propia transpuesta: = . La matriz es necesariamente cuadrada. Ejemplos. = 1 22 8 = 1 00 4

2.5 Definición de determinante.

Strang (2007) comenta que los determinantes han dejado de ser el centro del álgebra lineal delo que estaban hace 100 años. Sin embargo, aún es un concepto importante que aparece el laresolución de problemas en el álgebra lineal. Considerando esta importancia, a continuaciónse introduce dicho concepto.

El determinante es una función que asigna un número real a una matriz cuadrada. Cuyanotación es la siguiente.


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52

→ ℛ Donde A es una matriz. La regla para asociar a la matriz A un número real es la siguiente.

Sea A= , el det = ∗ ∗ , la diferencia de estos productos puederepresentarse mediante el siguiente arreglo | | = .2.6 Resolución de un sistema de ecuaciones por medio de determinantes.

Ejemplo 24.

Una compañía tiene dos refinerías. Cada refinería produce dos productos derivados delpetróleo: gasolina y diesel. Suponga que a partir de un barril de petróleo la primera refineríaproduce 20 galones de diesel y 15 galones de gasolina. La segunda produce cantidadesdiferentes de estos productos como se describen en la siguiente tabla.

Refinería I Refinería IIDiesel 20 16

Gasolina 15 7

Suponga que la demanda es que la demanda para el diesel es 720 galones, y que lademanda para la gasolina es 440. ¿Cuáles son los valores

, necesarias para satisfacer

esta demanda?

Variables. : ú 1 : ú 2 Requerimos que las variables anteriores satisfagan el siguienteSistema. 20 16 =720 15 7 =440 Para abordar el problema anterior lo plantearemos de manera general, y observaremos queen la solución esta involucrada la definición de determinante.

Sea el sistema:

= = Solución.


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53

Multiplicamos la primera ecuación por d y la segunda por b y luego sustraemos.

= =

=

Resolviendo para x se tiene:

= La cual se sustituye en la primera ecuación y simplificando obtenemos.

= Las fórmulas anteriores proporcionan una solución inmediata al problema de la refinería.Sustituyendo los valores numéricos del problema ( a=20, b=16, c=16, d=7,e=720 y f=440) enlas fórmulas anteriores :

=

= 7∗720 16∗440

2 0 ∗ 7 15∗16= 20

= = 20∗440 16∗7202 0 ∗ 7 15∗16 =27.2 Estas fórmulas se pueden extender para solucionar sistemas ecuaciones de 3 incógnitas ytres ecuaciones, y de manera más general de n ecuaciones con n incógnitas. Sin embargo,estas expresiones se hacen inmanejables, por ello es más adecuado utilizar la eliminaciónGaussiana que se introdujo en secciones anteriores. No obstante, el concepto dedeterminante es importante debido a sus implicaciones teóricas para la resolución deproblemas.

La parte critica para determinar sí un sistema de ecuaciones tiene solución, es fijarse en losdenominadores y los numeradores de las formulas anteriores. Es decir, a estedenominador se le llama el determinante de sistema. Aquí se pueden presentar los siguientescasos:

1. ≠ 0 y ≠ 0 Implica que el sistema tiene solución única.


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54

2. = 0 y = 0 Implica que el sistema tiene un conjunto infinito desoluciones, es decir, que cualquier pareja de números reales satisface el sistema.

3.

= 0 y

≠ 0 Implica que el sistema no tiene solución.

Rescribiendo el sistema anterior en forma matricial.

= Donde A es la matriz de los coeficientes = 20 1615 7 , = 720440 y = De forma másgeneral el sistema se reescribe usando subíndices.

= = Donde

= = =

Con esta nueva notación las fórmulas anteriores quedan expresadas de la siguiente manera:

= ∗ ∗ ∗ ∗ =

= ∗ ∗ ∗ ∗ =

Las fórmulas anteriores se les conoce como las reglas de Cramer.

Ejemplo:

2 3 = 4 2 = 9 Se obtiene


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55

= 4 39 2 2 31 2 =2 ∗ 4 3 ∗ 92 ∗ 2 3 ∗ 1 = 357 = 5

= 1 42 92 31 2 = 2 ∗ 4 1 ∗ 92 ∗ 2 3 ∗ 1 = 147 = 2 2.7 La inversa de una matriz

En esta sección se explica un método para resolver sistema de ecuaciones expresadas en laforma general Ax=b , para cualquier b utilizando el concepto de inversa de una matriz.

Cualquier matriz A tiene una inversa aditiva denotada por –A la cual satisface la siguiente

propiedad. = Una matriz A tiene también una inversa multiplicativa, denotada por A-1 que cumple con lapropiedad.

− = − = Donde I es la matriz idéntica. Las inversas nos permiten “resolver” un sistema de ecuacionesde manera análoga a cuando se resuelve una ecuación escalar ax=b se divide ambos ladospor a, y se obtiene x=a-1b, de manera equivalente si la matriz A tiene una inversa, entoncesel sistema de ecuaciones

Ax=btiene como solución

x=A

-1

b.

2.7.1 Cálculo de la inversa de una matriz 2*2.

Considere la matriz A y denotemos su inversa (lo desconocido) por X

A = 3 14 2 , = La ecuación matricial a resolver es = , es decir,

= 3 14 2 = 1 00 1 Para determinar x (=A-1) , encontraremos las entradas de una columna cada vez.

3 14 2 = 10


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56

Lo que equivale a resolver el siguiente sistema.

3 = 1 4 2 = 0

Para la segunda columna se tiene

3 14 2 = 01 Lo que equivale a resolver el siguiente sistema.

3 = 0 4 2 = 1

Lo anterior implica resolver dos sistemas de ecuaciones. Usaremos la regla de Cramer pararesolver dichos sistemas.

= 1 0 det = det , = 1 0det = det

De la misma manera las soluciones para las otras incógnitas son:

=

det , =

det

Estos resultados nos conducen a establecer la siguiente fórmula general para calcular lainversa de una matriz 2*2.

= − = La fórmula anterior podemos expresarla así: dividir todas las entradas de A por eldeterminante, luego intercambiar los elementos de la diagonal y cambiar el signo de las dos

entradas que están fuera de esta diagonal.

El procedimiento anterior es útil para cuando se tiene una matriz de 2*2 sin embargo, cuandose tiene una matriz de orden mayor, el cálculo se vuelve complicado. Por ello es convenientedesarrollar un método más general y eficiente para calcular la inversa. Este se basa en laeliminación Gaussiana. Lo ilustraremos con el siguiente ejemplo.


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57

Ejemplo 25.

= 1 0 22 4 21 2 6

A esta matriz le agregamos la idéntica.

| = 1 0 22 4 21 2 61 0 00 1 00 0 1 ~

1 0 20 4 20 2 4 1 0 0 2 1 0 1 0 1 ~ (

1 0 20 1 120 1 2 1 0 0 12 14 0 12 0 12)

~(

1 0 20 1 120 0 52

1 0 0 12 14 0

0 14 12)~

(

1 0 20 1 120 0 1

1 0 0 12 14 0

0 110 15)~

(

1 0 20 1 00 0 1

1 0 0 12 15 1100 110 15 )

~(

1 0 00 1 00 0 11 15 25 12 15 1100 110 15 )

= | −

− = ( 1 15 25

12 15 1100 110 15 )

El proceso anterior se resume de la siguiente manera.

| → | − Comprobando la inversa.

∗ −

=

( )

=


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58

− ∗ =

) =

Ejemplo 26.

Un fabricante produce dos productos A y B. Por cada unidad que vende de A la ganancia esde 8 unidades monetarias, por cada unidad que vende de B la ganancia es de 11 unidadesmonetarias. Por experiencia se ha encontrado que puede ser vendido 25% más de A que deB. Para el año siguiente el fabricante desea una ganancia total de $42 000. ¿Cuántasunidades de cada producto debe vender?

Sistema

8 11 =42000 =1.25 Reescribiendo el sistema.

8 11 =42000 1.25 = 0 Forma matricial.

= 8 111 1.25 = 420000

Calculando la inversa de A.

| = 8 111 1.251 00 1 ~ 1 1181 1.2518 00 1 ~ 1 1180 218 18 0 18 1


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59

~ 1 1180 1 18 0121 821 ~

1 00 1 584 1121121 821

− = 584 1121121 821 = − = − ∗ = 584 11211

21 8

21

420000 = 25002000

= = 25002000 Debe vender 2500 unidades de A y 200 unidades de B.Ejemplo 27.

Una compañía de muebles produce mesas sillas y sofás en un mes la compañía tienedisponible 300 unidades de madera, 350 unidades mano de obra 250 unidades detapicería. La compañía desea programar la producción para el mes entrante en la cual seusen todos esto recursos. Los diferentes productos requieren las siguientes cantidades demateria prima. Dicha información se proporciona en la siguiente tabla.

Mesas Sillas SofáMadera 4 1 3

Mano de obra 3 2 5Tapicería 2 0 4

Encuentre la inversa de esta matriz de datos y úsela para determinar cuanto de cadaproducto debe ser producido.

Sistema

=

= = Representación matricial.

=


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Calculando la inversa de A

| = ~ (

) ~ (

)

~ (

) ~ (

)~

(

)

~

) ~

) ~

)

− =(

)

Comprobación. − =

(

)

=

= −


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61

= − ∗ =(

)

=(

/ )

≈ ...

El fabricante debe producir 41.66 unidades mesa, 8.333 sillas y 41.66 sofás.

Comprobación.

4 1253 253 3 1253 = 3 0 0 300=300 3 1253 2 253 5 1253 = 3 5 0

350=350 2 1253 0 253 4 1253 = 2 5 0 250=250


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62

3 INDEPENDENCIA LINEAL.

El concepto de vector es una noción que aparece involucrado en problemas de áreas como lafísica, ingeniería, economía y por supuesto en las matemáticas. Desde el punto de vistagráfico un vector puede verse como un segmento dirigido cuyo origen coincide con un

sistema coordenado. La representación algebraica es cuando se asocia a cada punto P delsistema coordenado el vector que tiene a P como extremo. Por ejemplo

El vector anterior se puede ver en términos de componentes, en las direcciones de los ejescoordenados, por ejemplo, la componente 1 en la dirección del eje x y la componente 2 en ladirección del eje y. Bajo este concepto el plano se puede pensar como un conjunto devectores que “llenan el plano”. Así, el plano cartesiano se define como el conjunto de vectoresen R 2 .representados por una flecha o por parejas ordenadas de números reales.

3.1 La suma de vectores.

La representación gráfica de la suma de vectores se obtiene trasladando a uno de ellos alextremo del otro formando un paralelogramo en donde una de las diagonales representa elresultado de dicha suma. Ver figura a continuación.

P(3,1), Q(1,3)


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0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6

= ,

=,


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64

Los conceptos anteriores pueden extenderse al espacio R 3 El espacio R 3 es el la triada de

números reales. Más precisamente R 3 .=(x,y,z: x,y,z Є R 3 )

Para definir la suma y producto por escalar en ℛ se procede de la misma forma que para ℛ se extiende el concepto de forma natural agregando un tercera coordenada.

3.2 Combinaciones lineales y dependencia lineal.

Lo anterior puede representarse gráficamente


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65


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66

Adviértase con base a en la figura anterior, que el vector (2,4) se puede expresar como unmúltiplo del vector (1,2), es decir (2,4)=k(1,2). Donde k=2.

Cuando esto sucede se dice que los vectores son linealmente dependientes. En casocontrario, se dice que son linealmente independientes, por ejemplo, los vectores (2,1) y (1,2)no es posible expresar uno en términos del otro.


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sistema siempre tiene solución (solución trivial) y cuando tiene más de una diremos que los

vectores , y , son linealmente dependientes. En caso contrario diremos que sonlinealmente independientes.

Las ideas anteriores las formulamos en las siguientes dos definiciones.

Definición 1. Los vectores , , ⋯ son linealmente independientes si la única solución dela ecuación es ⋯ = , implica que todos los escalares , , ⋯ debenser igual a cero.

Definición 2. Los vectores , , ⋯ se dice qué son linealmente dependientes si existenescalares de , , ⋯ no todos cero tal que ⋯ = .


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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.

1. Haeussler E. F., Paul S. R. Matemáticas para administración, Economía, Ciencias Socialesy de la Vida. [ed.] Pérez A. M. [trad.] De la Cera J. & Ibarra M. V. H. s.l. : Prentice Hall & ASimon & Schuster company, 1997. pág. 941.2. Barrera Mora, Fernando. Álgebra Lineal. México : Grupo Patria Editorial, 2007.3. Tucker, A. A Unified Introduction to Liner Algebra: Models, Methods and Theory. s.l. :Macmillan Publishing, 1988.4. Kolman, B. Introductory. Linear Algebra with applications. USA : Prentice Hall, 1997.5. Steven, J. L. Linera Algebra with applications. USA : Prentice-Hall, 1998.6. Perry, William L. Algebra Lineal con aplicaciones. Mexico : McGraw-Hill, 1990.

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