Curso de Análise Vol.I

Soluc~oes dos exerccios de Analise do livro de Elon

Lages Lima:Curso de analise vol.1.

Rodrigo Carlos Silva de Lima z

Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ

[email protected]

z

15 de maio de 2013

Sumario

1 Soluc~oes-Curso de analise vol.1 6

1.1 Notac~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Captulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Captulo 2-Conjuntos nitos, Enumeraveis e n~ao-enumeraveis . . . . . . . . 12

1.4 Captulo 3 -Numeros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.4.1 Quest~ao 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.4.2 Quest~ao 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.4.3 Quest~ao 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.4.4 Quest~ao 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.4.5 Quest~ao 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.4.6 Quest~ao 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.4.7 Quest~ao 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.4.8 Quest~ao 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.4.9 Quest~ao 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.4.10 Quest~ao 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.4.11 Quest~ao 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.4.12 Quest~ao 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.4.13 Quest~ao 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.4.14 Quest~ao 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.4.15 Quest~ao 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.4.16 Quest~ao 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.4.17 Quest~ao 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.4.18 Quest~ao 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.4.19 Quest~ao 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2

SUMARIO 3

1.4.20 Quest~ao 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.4.21 Quest~ao 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.4.22 Quest~ao 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.4.23 Quest~ao 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.4.24 Quest~ao 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.4.25 Quest~ao 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.4.26 Quest~ao 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.4.27 Quest~ao 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.4.28 Quest~ao 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.4.29 Quest~ao 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.4.30 Quest~ao 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.4.31 Quest~ao 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.4.32 Quest~ao 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.4.33 Quest~ao 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.4.34 Quest~ao 35 e 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.4.35 Quest~ao 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.4.36 Quest~ao 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.4.37 Quest~ao 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1.4.38 Quest~ao 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.4.39 Quest~ao 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.4.40 Quest~ao 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.4.41 Quest~ao 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1.4.42 Quest~ao 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

1.4.43 Quest~ao 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

1.4.44 Quest~ao 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

1.4.45 Quest~ao 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1.4.46 Quest~ao 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1.4.47 Quest~ao 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1.4.48 Quest~ao 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.5 Captulo 4-Seque^ncias e series de numeros reais . . . . . . . . . . . . . . . 65

1.5.1 Quest~ao 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1.5.2 Quest~ao 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1.5.3 Quest~ao 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

SUMARIO 4

1.5.4 Quest~ao 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

1.5.5 Quest~ao 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

1.5.6 Quest~ao 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

1.5.7 Quest~ao 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

1.5.8 Quest~ao 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

1.5.9 Quest~ao 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

1.5.10 Quest~ao 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

1.5.11 Quest~ao 11a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

1.5.12 Quest~ao 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

1.5.13 Quest~ao 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

1.5.14 Quest~ao 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

1.5.15 Quest~ao 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1.5.16 Quest~ao 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1.5.17 Quest~ao 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

1.5.18 Quest~ao 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

1.5.19 Quest~ao 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

1.5.20 Quest~ao 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

1.5.21 Quest~ao 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

1.5.22 Quest~ao 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

1.5.23 Quest~ao 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

1.5.24 Quest~ao 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

1.5.25 Quest~ao 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

1.5.26 Quest~ao 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

1.5.27 Quest~ao 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

1.6 Captulo 5-Topologia da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

1.6.1 Quest~ao 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

1.6.2 Quest~ao 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

1.6.3 quest~ao 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

1.6.4 Quest~ao 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

1.6.5 intA [ intB int(A [B): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871.6.6 int(A \B) = int(A) \ int(B): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881.6.7 Quest~ao 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

1.6.8 Quest~oes 7 e 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

SUMARIO 5

1.6.9 Quest~ao 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

1.6.10 Quest~ao 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

1.6.11 Quest~ao 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

1.6.12 Quest~ao 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

1.6.13 Quest~ao 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

1.6.14 Quest~ao 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

1.6.15 Quest~ao 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

1.6.16 Quest~ao 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

1.6.17 Quest~ao 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

1.7 Captulo 8-Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

1.7.1 Quest~ao 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

1.7.2 Quest~ao 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

1.7.3 Quest~ao 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

1.7.4 Quest~ao 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

1.7.5 Quest~ao 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

1.8 Captulo 8-Seque^ncias e series de func~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Captulo 1

Soluc~oes-Curso de analise vol.1

Esse texto ainda n~ao se encontra na sua vers~ao nal, sendo, por enquanto, cons-

titudo apenas de anotac~oes informais. Sugest~oes para melhoria do texto, correc~oes da

parte matematica ou gramatical eu agradeceria que fossem enviadas para meu Email

[email protected]:

Se houver alguma soluc~ao errada, se quiser contribuir com uma soluc~ao diferente ou

ajudar com uma soluc~ao que n~ao consta no texto, tambem peco que ajude enviando a

soluc~ao ou sugest~ao para o email acima, colocarei no texto o nome da pessoa que tenha

ajudado com alguma soluc~ao. Espero que esse texto possa ajudar alguns alunos que

estudam analise pelo livro do Elon.

1.1 Notac~oes

Denotamos (xn) uma seque^ncia (x1; x2; ). Uma n upla (x1; x2; ; xn) podemosdenotar como (xk)

n1 :

O conjunto de valores de adere^ncia de uma seque^ncia (xn) iremos denotar como A[xn].

Usaremos a abreviac~ao PBO para princpio da boa ordenac~ao.

Denotamos f(x+ 1) f(x) = f(x):Usando a notac~ao Qxn =

xn+1xn

:

Ac para o complementar do conjunto A.

6

CAPITULO 1. SOLUC ~OES-CURSO DE ANALISE VOL.1 7

1.2 Captulo 1

Quest~ao 1

Propriedade 1. Dados A e B, seja X com as propriedades

A X, B X.

Se A Y e B Y ent~ao X Y .

Nessas condic~oes X = A[B, a uni~ao A[B e o menor conjunto com subconjuntos Ae B.

Demonstrac~ao.

A primeira condic~ao implica que A [ B X. A segunda condic~ao com Y = A [ Bimplica X A [B: Das duas segue que A [B = X:

Quest~oes 2,3 e 4

Propriedade 2. A \B e o menor subconjunto de A e B.Seja X com

X A e X B

Se Y A e Y B ent~ao Y X.

Nessas condic~oes X = A \B:

Demonstrac~ao. Da primeira condic~ao temos que X A \ B: Da segunda tomandoY = A \B, que satisfaz Y A e Y B, ent~ao

A \B X

logo pelas duas inclus~oes A \B = X:

Propriedade 3. Sejam A;B E: ent~ao

A \B = ; , A Bc:


Demonstrac~ao. Temos que E = B [Bc onde B \Bc = ;:)):Suponha por absurdo que A \ B = ; e n~ao vale A Bc, ent~ao existe a 2 A tal que

a =2 Bc e por isso a 2 B, mas da A \B 6= ; absurdo.():Suponha a 2 A \ B ent~ao a 2 A Bc e a 2 B o que e absurdo pois B e Bc s~ao

disjuntos.

Corolario 1. Vale que A [B = E , Ac B:Pois

A [B = E , Ac \Bc = ; ,

pelo resultado anterior

Bc (Ac)c| {z }A

, Ac B:

Corolario 2. Sejam A;B E. A B , A \Bc = ;.Sabemos que A \ W = ; , A W c por resultado que ja mostramos, tomando

W = Bc temos o resultado que desejamos.

Quest~ao 5

Exemplo 1. De^ exemplo de conjuntos A;B;C tais que

(A [B) \ C 6= A [ (B \ C):

Sejam A = B 6= ; e C tal que C \ A = ;. Ent~ao

(A [B) \ C = A \ C = ; 6= A [ (B \ C) = A [ ; = A:

Quest~ao 6

Propriedade 4. Se A;X E tais que A \X = ; e A [X = E ent~ao X = Ac:

Demonstrac~ao. Pelo que ja mostramos A \X = ; ent~ao X Ac. De A [X = Etemos Ac X, como temos Ac X e X Ac ent~ao tem-se a igualdade X = Ac.


Quest~ao 7

Propriedade 5. Se A B ent~ao B \ (A [ C) = (B \ C) [ A 8C:Se existe C tal que B \ (A [ C) = (B \ C) [ A ent~ao A B.

Demonstrac~ao. Vamos mostrar a primeira armac~ao. Seja x 2 B \ (A [ C), ent~aox 2 B e x 2 A[C. Se x 2 A ent~ao x 2 (B \C)[A e terminamos, se x =2 A ent~ao x 2 Be x 2 C e terminamos novamente pois e elemento de B \ C:

Agora a outra inclus~ao. Se x 2 (B \ C) [ A ent~ao x 2 A ou x 2 B \ C. Se x 2 Aterminamos. Se x =2 A ent~ao x 2 B \ C e da pertence a B \ (A [ C) como queramosdemonstrar.

Agora a segunda propriedade. Suponha por absurdo que A 6 B ent~ao existe x 2 Atal que x =2 B, tal x pertence a (B \C) [A porem n~ao pertence a B \ (A [C) portanton~ao temos a igualdade, absurdo!.

Quest~ao 8

Propriedade 6. Vale que A = B , (A \Bc) [ (Ac \B) = ;:

Demonstrac~ao.

(): Se (A \ Bc) [ (Ac \ B) = ; ent~ao A \ Bc = ; e Ac \ B = ;, logo por resultadosque ja provamos A B da primeira relac~ao e B A da segunda, portanto A = B:

)): Se A = B ent~ao A \Bc = Ac \B = ;:

Quest~ao 9

Propriedade 7. Vale que (A nB) [ (B n A) = (A [B) n (A \B).

Demonstrac~ao. Vamos provar as duas inclus~oes.

Seja x 2 (A n B) [ (B n A). Tal uni~ao e disjunta, pois se houvesse um em ambosconjuntos, ent~ao pelo primeiro x 2 A; x =2 B pelo segundo x 2 B; x =2 A absurdo.

Se x 2 AnB logo x 2 A; x =2 B portanto x 2 A[B e x =2 A\B logo x 2 (A[B)n(A\B),o caso de x 2 (B nA) tambem implica inclus~ao por simetria (trocar A por B n~ao altera).

Se x 2 A[BnA\B ent~ao x 2 A ou x 2 B e x =2 A\B logo x =2 A e B simultaneamente,isso signica que x 2 A ou x 2 B exclusivamente logo x 2 (A nB) [ (B n A):


Quest~ao 10

Propriedade 8. Se

(A [B) n (A \B) = (A [ C) n (A \ C)

ent~ao B = C; isto e, vale a lei do corte para AB = AC:

Demonstrac~ao. Suponha que B 6= C, suponha sem perda de generalidade quex 2 B; x =2 C. Vamos analisar casos.

Se x =2 A ent~ao x =2 (A [ C) n (A \ C) porem x 2 (A [B) n (A \B):Se x 2 A ent~ao x =2 A [ B n (A \ B) e x 2 (A [ C) n (A \ C), portanto n~ao vale a

igualdade dos conjuntos.

Logo devemos ter B = C:

Quest~ao 11

Propriedade 9. Valem as seguintes propriedades do produto cartesiano .

1. (A [B) C = (A C) [ (B C):

2. (A \B) C = (A C) \ (B C).

3. (A nB) C = (A C) n (B C):

4. Se A A0 e B B0 ent~ao AB A0 B0:

Demonstrac~ao.

1. Seja (x; y) 2 (A [ B) C, temos que y 2 C se x 2 A ent~ao (x; y) 2 (A C), sex 2 B ent~ao (x; y) 2 (B C) ent~ao vale (A [B) C (A C) [ (B C): Agoraa outra inclus~ao.

Temos que (AC) (A[B)C pois um elemento do primeiro e da forma (x; y)com x 2 A e y 2 C que pertence ao segundo conjunto, o mesmo para (B C).

2. Tomamos (x; y) 2 (A \B) C, ent~ao x 2 A e x 2 B, y 2 C, logo (x; y) 2 A C e(B C) provando a primeira inclus~ao, agora a segunda.(x; y) 2 (A C) \ (B C) ent~ao x 2 A e B, y 2 C logo (x; y) 2 (A \B) C:


3. Sendo (x; y) 2 (A n B) C ent~ao x 2 A; x =2 B e y 2 C logo (x; y) 2 (A C)e n~ao pertence a B C pois para isso seria necessario x 2 B o que n~ao acontece.Agora a outra inclus~ao, se (x; y) 2 (A C) n (B C) ent~ao x 2 A e y =2 C poremx n~ao pode pertencer a B pois est~ao sendo retirados elementos de BC ent~ao valea outra inclus~ao.

4. Seja (x; y) 2 A B ent~ao pelas inclus~oes A A0 e B B0 temos x 2 A0 e y 2 B0portanto (x; y) 2 A0 B0:

Quest~ao 12

Propriedade 10. Seja f : A! B , ent~ao valem

1.

f(X) n f(Y ) f(X n Y )

X; Y subconjuntos de A.

2. Se f for injetiva ent~ao f(X n Y ) = f(X) n f(Y ):

Demonstrac~ao.

1. Seja z 2 f(X) n f(Y ) ent~ao z = f(x) e n~ao existe y 2 Y tal que z = f(y) ent~aoz 2 f(X n Y ) pois e imagem de um elemento x 2 X n Y .

2. Ja sabemos que vale a inclus~ao f(X) n f(Y ) f(X n Y ). Vamos provar agora aoutra inclus~ao f(X n Y ) f(X) n f(Y ): Seja z 2 f(X n Y ) ent~ao existe x 2 X n Yportanto x 2 X e x =2 Y tal que f(x) = z. Se z 2 f(Y ) ent~ao existiria y 2 Y talque f(y) = z mas como f e injetora x = y o que contraria x 2 X n Y , logo vale aoutra inclus~ao e o resultado ca provado .

Quest~ao 13

Propriedade 11. f : A! B e injetora , f(A nX) = f(A) n f(X) 8X A:

Demonstrac~ao.

)): Ja zemos na propriedade anterior.


(): Suponha por absurdo que f n~ao e injetiva ent~ao existem a 6= x tais que f(x) =f(a), seja X = fxg, vale que f(a) 2 f(A n X) pois a 2 A; a =2 X = fxg porem f(a) =2f(A) n f(X) ent~ao n~ao vale a igualdade, o que e absurdo.

1.3 Captulo 2-Conjuntos nitos, Enumeraveis e n~ao-

enumeraveis

Quest~ao 1

Axioma 1. Existe uma func~ao s : N ! N injetiva, chamada de func~ao sucessor, onumero natural s(n) e chamado sucessor de n.

Corolario 3. Como s e uma func~ao, ent~ao o sucessor de um numero natural e unico, isto

e, um numero natural possui apenas um sucessor.

Axioma 2. Existe um unico numero natural que n~ao e sucessor de nenhum outro natural,

esse numero simbolizamos por 1:

Axioma 3 (Axioma da induc~ao). Dado um conjunto A N , se 1 2 A e 8n 2 A tem-ses(n) 2 A ent~ao A = N:

Propriedade 12. Supondo os axiomas 1 e 2 ent~ao o axioma 3 e equivalente a proposic~ao:

Para todo subconjunto n~ao vazio A N tem-se A n S(A) 6= ;:Demonstrac~ao.

)): Supondo o axioma (3) valido. Suponha por absurdo que exista A 6= ;; A N talque AnS(A) = ; ent~ao A S(A), isto e, 8 x 2 A existe y 2 A tal que x = s(y): Sabemosque 1 =2 A, pois se n~ao 1 2 A n S(A). Se n =2 A, vamos mostrar que s(n) =2 A. Se fosses(n) 2 A, chegaramos em uma contradic~ao com A S(A), pois deveria haver y 2 A talque s(y) = s(n) e por injetividade seguiria y = n 2 A, o que contraria a hipotese, logoS(n) =2 A, A e vazio pois n~ao contem nenhum numero natural, mas consideramos que An~ao e vazio como hipotese, absurdo!.

():Pelo axioma 2 temos que 1 e o unico elemento de N n S(N), pelo axioma 1 temos que

S(N) N da temos N = f1g [ S(N) o que implica 1 2 A; 8 n 2 N s(n) 2 A, A = N:


Quest~ao 2

Propriedade 13. Dados m e n naturais ent~ao existe x natural tal que

x:n > m:

Demonstrac~ao. Vale n 1 da multiplicando por m+1 segue (m+1)n m+1 > mlogo (m+ 1)n > n:

Quest~ao 3

Propriedade 14. Seja n0 2 N . Se A N tal que n0 2 A e n 2 A ) n + 1 2 A ent~aotodo x 2 N com x a pertence a A.

Demonstrac~ao. Se a = 1 nada temos a fazer pois A = N . Se a > 1 ent~ao a = b+1 e

sucessor de b. Vamos mostrar que b+n 2 A 8 n 2 N: Sabemos que b+1 2 A. Supondo queb+n 2 A ent~ao b+(n+1) 2 A da por induc~ao segue que b+n 2 A 8 n 2 N: Lembrandoque x > b signica que existe p natural tal que b + p = x, como b + p 2 A 8p 2 N ent~aox 2 A: Outro fato que usamos e que se x > b ent~ao x b+ 1 = a pois n~ao existe naturalentre b e b+ 1, b 2 N .

Quest~ao 5

Denic~ao 1 (Antecessor). m 2 N e antecessor de n 2 N quando m < n mas n~ao existec 2 N tal que m < c < n:

Propriedade 15. 1 n~ao possui antecessor e qualquer outro numero natural possui ante-

cessor.

Demonstrac~ao. N~ao vale m < 1 para algum natural m, logo 1 n~ao possui antecessor.

Agora para todo outro n 2 N vale n > 1 logo existe p 2 N tal que p+1 = n, vamos mostrarque p = m e o antecessor de n. Vale p < p + 1, logo a primeira condic~ao e satisfeita, a

segunda condic~ao tambem e satisfeita pois n~ao existe c 2 N tal que p < c < p+1: Vamosmostrar agora que existe um unico antecessor. Suponha existe^ncia de dois antecessores m

e m0 distintos ent~ao existe um deles que e o maior, digamos m0, da m < m0 e m0 < n por

transitividade segue m < m0 < n o que contraria a denic~ao de antecessor, ent~ao existe

um unico.


Quest~ao 6

Quest~ao 6 a)

Propriedade 16. Mostrar que

nXk=1

k =n(n+ 1)

2:

Demonstrac~ao. Por induc~ao sobre n. Para n = 1 a igualdade vale pois

1Xk=1

k = 1 =1(2)

2:

Supondo a validade para nnX

k=1

k =n(n+ 1)

2

vamos provar para n+ 1n+1Xk=1

k =(n+ 1)(n+ 2)

2:

Por denic~ao de somatorio temos

n+1Xk=1

k = (n+ 1) +nX

k=1

k = (n+ 1) +n(n+ 1)

2= (n+ 1)(1 +

n

2) =

(n+ 1)(n+ 2)

2

onde usamos a hipotese da induc~ao .

Quest~ao 6 b)

Propriedade 17. Mostrar que

nXk=1

(2k 1) = n2:

Demonstrac~ao. Por induc~ao sobre n. Para n = 1 temos

1Xk=1

(2k 1) = 2:1 1 = 1 = 12:

supondo a validade para n,nX

k=1

(2k 1) = n2


vamos provar para n+ 1n+1Xk=1

(2k 1) = (n+ 1)2:

Usando a denic~ao de somatorio e hipotese da induc~ao tem-se

n+1Xk=1

(2k 1) =nX

k=1

(2k 1) + 2n+ 1 = n2 + 2n+ 1 = (n+ 1)2 :

Quest~ao 6 c)

Exemplo 2. Mostrar por induc~ao que

(a 1)nX

k=0

ak = an+1 1:

Para n = 1 temos

(a 1)1X

k=0

ak = (a 1)(a+ 1) = a2 1:

Supondo que (a 1)nX

k=0

ak = an+1 1 vamos provar que (a 1)n+1Xk=0

ak = an+2 1: Pordenic~ao de somatorio e pela hipotese da induc~ao temos

(a 1)n+1Xk=0

ak = (a 1)an+1 + (a 1)nX

k=0

ak = an+2 an+1 + an+1 1 = an+2 1 :

Quest~ao 6 d)

Exemplo 3. Mostre que se n 4 ent~ao n! > 2n:Para n = 4 vale 4! = 24 > 24 = 16: Suponha validade para n , n! > 2n, vamos provar

para n+ 1, (n+ 1)! > 2n+1: Multiplicando n! > 2n por n+ 1 de ambos lados segue que

(n+ 1)! > (n+ 1)| {z }>2

2n > 2:2n = 2n+1 :

Quest~ao 7

Propriedade 18 (Unicidade da fatorac~ao em primos). Seja n 2 N; n > 1: Se n =mYk=1

pk =sY

k=1

qk onde cada pk e qk s~ao primos, n~ao necessariamente distintos ent~ao m = s

e pk = qk8 k , apos, se necessario, uma renomeac~ao dos termos.


Demonstrac~ao. Vamos provar usando o segundo princpio da induc~ao, para n = 2 a

propriedade vale. Suponha a validade para todo t < n vamos provar que nessas condic~oes

vale para n.

n = pm

m1Yk=1

pk = qs

s1Yk=1

qk

pm divide o produtosY

k=1

qk ent~ao deve dividir um dos fatores, por exemplo qs (se n~ao,

renomeamos os termos), como pmjqs ent~ao pm = qs

pm

m1Yk=1

pk = pm

s1Yk=1

qk )m1Yk=1

pk =s1Yk=1

qk = n0 < n

como n0 e menor que n, usamos a hipotese da induc~ao, que implica m1 = s1, qk = pkde k = 1 ate m 1, da segue que m = n e qk = pk de k = 1 ate m:

quest~ao 8

Propriedade 19. Sejam A e B conjuntos com n elementos, ent~ao o numero de bijec~oes

de f : A! B e n!

Demonstrac~ao.

Por induc~ao sobre n, para n = 1, tem-se uma func~ao A = fa1g e B = fb1g, f : A! Btal que f(a1) = b1: Supondo a validade para conjuntos com n elementos, vamos provar

que vale para conjuntos com n+1 elementos. Tomando A = fak; k 2 In+1g e B = fbk; 2In+ 1g, dado s 2 In+1, xamos as bijec~oes f com f(a1) = bs da a quantidade dessasfunc~oes e dada pela quantidade de bijec~oes de A n fa1g em B n fbsg, que e n! para cada svariando de 1 ate n+ 1, o total ent~ao e (n+ 1)n! = (n+ 1)!:

Corolario 4. O mesmo vale se A = B.

Quest~ao 9

Quest~ao a)

Propriedade 20. Se A e B s~ao nitos e disjuntos com jAj = n e jBj = m ent~ao A[B enito com jA [Bj = m+ n:


Demonstrac~ao. Existem bijec~oes f : In ! A, g : Im ! B. Denimos h : Im+n !A [ B como h(x) = f(x) se 1 x n e h(x) = g(x n) se 1 + n x m + n(1 x n m), como h e bijec~ao segue o resultado.

Propriedade 21. Se A e B s~ao conjuntos nitos n~ao necessariamente disjuntos vale a

relac~ao

jA [Bj = jAj+ jBj jA \Bj:

Demonstrac~ao. Escrevemos A como a uni~ao disjunta A = (A n B) [ (A \ B), dajAj jA \Bj = jA nBj agora escrevemos A [B = (A nB) [B, uni~ao disjunta logo

jA [Bj = jA nBj+ jBj

usando a primeira express~ao segue que


Propriedade 22. Se A e B s~ao conjuntos nitos n~ao necessariamente disjuntos vale a

relac~ao


Demonstrac~ao. Escrevemos A como a uni~ao disjunta A = (A n B) [ (A \ B), dajAj jA \Bj = jA nBj agora escrevemos A [B = (A nB) [B, uni~ao disjunta logo

jA [Bj = jA nBj+ jBj

usando a primeira express~ao segue que


Quest~ao b)

Corolario 5. Podemos deduzir a identidade para tre^s conjuntos

jA [B [ Cj;

tomamos B0 = B [ C e aplicamos o resultado para dois conjuntos

jA [B [ Cj = jAj+ jB [ Cj jA \ [B [ C]j =


= jAj+jBj+jCjjB\Cjj[A\B][[A\C]j = jAj+jBj+jCjjB\CjjA\BjjA\Cj+jA\B\Cj

logo

jA [B [ Cj = jAj+ jBj+ jCj jB \ Cj jA \Bj jA \ Cj+ jA \B \ Cj

Quest~ao c)

Propriedade 23 (Princpio da inclus~ao- exclus~ao). Sejam n conjuntos nitos (Ak)n1 , seja

I o multiconjunto das combinac~oes das intersec~oes desses n conjuntos, ent~ao

jn[

k=1

Akj =XK2I

jKj(1)nk

onde onde nk e o numero de intersec~oes em K.

Quest~ao 10

Propriedade 24. Seja A nito. Existe uma bijec~ao g : In ! A para algum n, pois A enito, a func~ao f : A! A e injetiva ou sobrejetiva , g1 f g : In ! In e injetiva ousobrejetiva, respectivamente.

Demonstrac~ao.

)): Se f e injetiva ou sobrejetiva ent~ao g1 f g : In ! In e injetiva ou sobrejetiva,por ser composic~ao de func~oes com essas propriedades.

(): Seja g1 f g : In ! In sobrejetiva vamos mostrar que f tambem e sobrejetiva.Dado y 2 A vamos mostrar que existe x 2 A tal que f(x) = y: Como g : In ! A esobrejetiva ent~ao existe x1 2 In tal que g(x1) = y e pelo fato de g1 f g ser sobrejetivaent~ao existe x2 2 In tal que g1(f(g(x2))) = x1 = g1(y) como g1 e injetiva segue quef(g(x2)) = y logo f e sobrejetiva.

Se g1 f g e injetiva ent~ao f e injetiva. Sejam x; y quaisquer em A, existemx1; x2 2 In tais que g(x1) = x, g(x2) = y. Vamos mostrar que se f(x) = f(y) ent~ao x = y:

Se f(x) = f(y) ent~ao f(g(x1)) = f(g(x2)) e g1(f(g(x1))) = g1(f(g(x2))) com

g1 f g segue que x1 = x2 que implica g(x1) = g(x2), isto e, x = y:

Propriedade 25. Seja A um conjunto nito. f : A! A e injetiva , e sobrejetiva.


Demonstrac~ao.

)):Consideramos o caso f : In ! In, se f for injetiva ent~ao f : In ! f(In) e uma bijec~ao

com f(In) In. fn n~ao pode ser parte propria de In pois se n~ao f1(In) ! In seriabijec~ao de um conjunto com sua parte propria, logo f(In) = In e f : In ! In e bijec~ao.

(): Se f for sobrejetiva ent~ao para cada y 2 In (imagem) podemos escolher x 2 In(domnio) tal que f(x) = y e da denir g : In ! In tal que g(y) = x, g e injetiva, pois fe func~ao, logo pelo resultado ja mostrado g e bijetora, implicando que f tambem e.

Quest~ao 11

Propriedade 26 (Princpio das gavetas de Dirichlet- Ou princpio da casas dos pombos.).

Se temos m conjuntos (Ak)m1 e n elementos n > m, com

nXk=1

jAkj = n ent~ao existe At em(Ak)

m1 tal que jAtj > 1:Esse resultado diz que se temos n elementos e m conjuntos tais que n > m ent~ao deve

haver um conjunto com pelo menos 2 elementos.

Demonstrac~ao. Supondo que jAkj 1 8 k ent~ao aplicando a somanX

k=1

em ambos

lados dessa desigualdade temos

n =nX

k=1

jAkj m) n m

o que contraria a hipotese de n > m ,portanto deve valer jAtj > 1 para algum t 2 In.

Quest~ao 12

Propriedade 27. Seja A um conjunto com n elementos, ent~ao o numero de func~oes

injetivas f : Ip ! A ep1Yk=0

(n k):

Demonstrac~ao. Se p > n o resultado vale pois n~ao existe func~ao injetiva de f : Ip !A, pois se n~ao f : Ip ! f(A) seria bijec~ao e f(A) A da A iria possuir um subconjuntocom p elementos que e maior que o numero de elementos de A, o que e absurdo. Iremos

provar o resultado para outros valores de p n. Para p = 1 temos n func~oes, que s~ao

f1(1) = a1; f2(1) = a2; ; fn(1) = an:


Suponha que para Ip temos

p1Yk=0

(n k) func~oes que s~ao injetivas, vamos mostrar que

para Ip+1 temos

pYk=0

(n k) func~oes. Seja o conjunto das func~oes f : Ip+1 ! A injetivas,

podemos pensar o conjunto das f restritas a Ip tendo

p1Yk=0

(n k) func~oes, por hipotese dainduc~ao , agora podemos denir essas func~oes no ponto p+1, onde temos n p escolhas,para cada uma dessas escolhas temos

p1Yk=0

(n k) func~oes, portanto temos um total de

(n p)p1Yk=0

(n k) =pY

k=0

(n k) func~oes.

Quest~ao 13

Propriedade 28. Se X possui n elementos ent~ao tal conjunto possui

n

p

subconjuntos

com p elementos.

Demonstrac~ao. Vamos provar por induc~ao sobre n e p livre. Para n = 0 ele so

possui um subconjunto com 0 elementos

0

0

= 1 e para outros valores de p > 0 2 N

vale

0

p

= 0:

Suponha que para um conjunto qualquer A com n elementos, temos

n

p

subconjuntos,

agora podemos obter um conjunto com n + 1 elementos, adicionando um novo elemento

fan+1g, continuamos a contar osn

p

subconjuntos que contamos com elementos de A

e podemos formar mais subconjuntos com p elementos adicionando o ponto fan+1g aosconjuntos com p 1 elementos, que por hipotese da induc~ao temos

n

p 1, ent~ao temos

no total

n

p 1+

n

p

=

n+ 1

p

pela identidade de Stifel, como queramos demonstrar.

Quest~ao 14

Propriedade 29. Seja jAj = n ent~ao jP (A)j = 2n:

Demonstrac~ao. Por induc~ao sobre n, se n = 1, ent~ao A = fa1g possui dois subcon-juntos que s~ao ; e f1g: Suponha que qualquer conjunto qualquer B com n elementostenha jP (B)j = 2n, vamos provar que um conjunto C com n + 1 elementos implica


jP (C)j = 2n+1: Tomamos um elemento a 2 C, C n fag possui 2n subconjuntos (porhipotese da induc~ao), sk de k = 1 ate k = 2

n, que tambem s~ao subconjuntos de C, porem

podemos formar mais 2n subconjuntos de C com a uni~ao do elemento fag, logo no totaltemos 2n + 2n = 2n+1 subconjuntos de C e mais nenhum subconjunto, pois n~ao temos

nenhum outro elemento para unir aos subconjuntos dados.

Quest~ao 15

Exemplo 4. Existe g : N ! N sobrejetiva tal que g1(n) e innito para cada n 2 N .Seja f : N ! N denida como f(n) = k se n e da forma n = pkk onde pk e o k-esimo

numero primo e f(n) = n caso contrario, f e sobrejetiva e existem innitos n 2 N taisque f(n) = k para cada k natural.

Quest~ao 16

Propriedade 30. Pn = fA N j jAj = ng e enumeravel.

Demonstrac~ao. Denimos a func~ao f : Pn ! Nn da seguinte maneira: Dado A =fx1 < x2 < < xng, f(A) = (x1; ; xn). Tal func~ao e injetiva pois dados A = fxk; k 2Ing e B = fyk; k 2 Ing n~ao pode valer xk = yk para todo k, pois se n~ao os conjuntosseriam iguais.

Se trocamos N por outro conjunto X enumeravel o resultado tambem vale, basta

denir uma func~ao f : Pn ! Xn e g : X ! N injetiva, enumeramos um subconjuntonito qualquer com n elementos A X como A = fx1; ; xng onde g(x1) < g(x2) < < g(xn) e denimos f(A) = (x1; ; xn).

Corolario 6. o conjunto Pf dos subconjuntos nitos de N e enumeravel pois

Pf =1[k=1

Pk

e uni~ao enumeravel de conjuntos enumeraveis. O mesmo vale trocando N por um conjunto

enumeravel qualquer A.


Quest~ao 17

Propriedade 31. X e nito , existe f : X ! X que so admite subconjuntos estaveis ;e X.

Demonstrac~ao. Iremos considerar sempre conjuntos n~ao vazios.

)): Suponha X nito, ent~ao X = fa1; ; ang, denimos f : X ! X como f(a1) =a2, f(a2) = a3, em geral f(ak) = ak+1 se k < n e f(an) = a1: f n~ao possui subconjunto

estavel diferente de X, pois, suponha um conjunto Y 6= X estavel, a1 n~ao pode pertencerao conjunto, pois se n~ao f(a1) = a2 2 Y , f(a2) = a3 2 Y ate f(an1) = an 2 Y ent~aoteramos Y = X o que e absurdo, da mesma maneira se at 2 Y ent~ao f(at) = at+1 2 Y ,f(at+1) = at+2 2 Y , em menos de n aplicac~oes da func~ao teremos f(an1) = an 2 Y e daf(an) = a1 2 Y o que implica Y = X, logo n~ao podemos ter outro subconjunto estavelalem de X com a func~ao f denida acima.

():Suponha X innito, vamos mostrar que qualquer func~ao f : X ! X possui subcon-

junto estavel Y 6= X:Tomamos a1 2 X, consideramos f(a1) := a2 se a1 = a2 paramos e temos o conjunto

Y = fa1g 6= X pois X e innito, se n~ao continuamos a aplica a func~ao f(a2) := a3, se a3 =a2 ou a1 ent~ao paramos e tomamos Y = fa1; a2g, continuamos o processo recursivamentef(ak) : ak+1 se ak+1 e igual a algum dos elementos de fa1; ; akg, ent~ao paramos oprocesso e tomamos Y = fa1; ; akg, se para todo k 2 N os elementos ak+1 = f(ak) n~aopertencem ao conjunto fa1; ; akg, ent~ao temos um conjunto

= fa2 = f(a1); f(a2) = a3; f(a3) = a4; ; f(an) = an+1; g

tomamos tal conjunto como Y e temos

f(Y ) = ff(a2) = a3; f(a3) = a4; ; g Y

podemos observar que Y 6= X pois a1 =2 Y: Assim conclumos nossa demonstrac~ao.

Quest~ao 18

Propriedade 32. Seja f : A! A injetiva, tal que f(A) 6= A, tomando x 2 Anf(A) ent~aoos elementos fk(x) de O(x) = ffk(x); k 2 Ng s~ao todos distintos. Estamos denotandofk(x) pela k-esima composic~ao de f com ela mesma.


Demonstrac~ao. Para todo t vale que f t e injetiva, pois a composic~ao de func~oes

injetivas e injetiva.

Se existisse k 6= t tal que fk(x) = f t(x); t > k , ent~ao existe p > 0 2 N tal quet = k + p

fk+p(x) = fk(fp(x)) = fk(x)

por injetividade de fk segue que fp(x) = x, logo x 2 f(A) o que contraria a hipotese dex 2 A n f(A). Portanto os elementos s~ao distintos.

Quest~ao 19

Propriedade 33. Se A e innito ent~ao existe func~ao injetiva f : N ! A.

Demonstrac~ao. Podemos denir f indutivamente. Tomamos inicialmente x1 2 A edenimos f(1) = x1 e para n 2 N escolhemos xn+1 2 An

n[k=1

fxkg denido f(n+1) = xn+1:

A nn[

k=1

fxkg nunca e vazio pois A e innito. f e injetora pois tomando m > n tem-se

f(n) 2m1[k=1

fxkg e f(m) 2 A nm1[k=1

fxkg:

Corolario 7. Existe func~ao injetiva de um conjunto nito B num conjunto innito A,

usamos o mesmo processo do exemplo anterior, mas o processo para depois de denir a

func~ao jBj pontos.

Propriedade 34. Sendo A innito e B nito existe func~ao sobrejetiva g : A! B.

Demonstrac~ao. Existe func~ao injetiva f : B ! A, logo f : B ! f(B) A ebijec~ao, possuindo inversa g1 : f(B)! B. Considere a func~ao f : A! B denida comof(x) = g1(x) se x 2 f(B) e f(x) = x1 2 B se x =2 f(B), f e func~ao sobrejetiva.

Quest~ao 20

Quest~ao 20-a)

Propriedade 35. O produto cartesiano nito de conjuntos enumeraveis e enumeravel.


Demonstrac~ao. SejasY

k=1

Ak o produto cartesiano dos conjuntos Ak enumeraveis,

ent~ao para cada k existe uma func~ao fk : N ! Ak que e sobrejetiva, ent~ao denimos afunc~ao f : N s !

sYk=1

Ak dada por

f(xk)s1 = (fk(xk))

s1

,isto e,

f(x1; ; xs) = (f1(x1); ; fs(xs))

como tal func~ao e sobrejetiva e N s e enumeravel segue quesY

k=1

Ak e enumeravel.

Corolario 8. Se X e nito e Y e enumeravel, ent~ao F (X; Y ) e enumeravel. Basta

considerar o caso de X = In, ent~ao F (X; Y ) =nY

k=1

Y = Y n, que e enumeravel.

Quest~ao 20-b)

Propriedade 36. Para cada f : N ! N seja Af = fn 2 N j f(n) 6= 1g: O conjunto Mdas func~oes, f : N ! N tais que Af e nito e um conjunto enumeravel.

Demonstrac~ao. Seja Bn o conjunto das f : N ! N , tais que jAf j = n; va-mos mostrar inicialmente que Bn e enumeravel. Cada f : N ! N e uma seque^ncia(f(1); f(2); f(3); ; f(n); ), os elementos de Bn s~ao as seque^ncias que diferem da uni-dade em exatamente n valores. Para cada elemento f de Bn temos n termos diferentes

de 1, que ser~ao simbolizados por

f(k1); f(k2); ; f(kn) onde k1 < k2 < < kndenimos g : Bn ! Nn como

g(f) = (pf(k1)k1

; pf(k2)k2

; ; pf(kn)kn )

onde cada pt e o t-esimo primo. A func~ao denida dessa forma e injetora, pois se vale

g(f) = g(h) ent~ao

(pf(k1)k1

; pf(k2)k2

; ; pf(kn)kn ) = (qf(k01)k01

; qf(k02)k02

; ; qf(k0n)k0n )

por unicidade de fatorac~ao em primos segue que qt = pt e kt = k0t 8 t.

Agora escrevemos M =1[k=1

Bk e uma uni~ao enumeravel de conjuntos enumeraveis,

portanto o conjunto das func~oes f : N ! N tais que Af e nito e enumeravel.


Quest~ao 21

Exemplo 5. Exprimir N =1[k=1

Nk onde os conjuntos s~ao innitos e dois a dois disjuntos.

Tome Nk+1 = fpkk ; k 2 N onde pk o k-esimo primog e N1 = N n1[k=2

Nk, cada um

deles e innito, s~ao disjuntos e sua uni~ao da N .

Quest~ao 22

Exemplo 6. f : N N ! N denida como f(m;n) = 2m1(2n 1) e uma bijec~ao.Dado um numero natural n qualquer, podemos escrever esse numero como produto dos

seus fatores primos

n =nY

k=1

pkk = 21 :

nYk=2

pkk

como os primos maiores que 2 s~ao mpares e o produto de mpares e um numero mpar

ent~ao n = 2m(2n1): Agora vamos mostrar que a func~ao e injetora seja f(m;n) = f(p; q)

2m(2n 1) = 2p(2q 1)

se m 6= p os numeros ser~ao diferentes pela unicidade de fatorac~ao (2s 1 n~ao possuifatores 2 pois sempre e mpar), ent~ao devemos ter m = p, da segue que n = q e termina

a demonstrac~ao.

Quest~ao 23

Propriedade 37. Todo conjunto A N e enumeravel.

Demonstrac~ao. Se A e nito ent~ao A e enumeravel. Se A e innito podemos enu-

merar seus elementos da seguinte maneira x1 = minA, xn+1 = minA nn[

k=1

fxkg, da

A =1[k=1

fxkg

pois se existisse x 2 A tal que x 6= xk da teramos x > xk para todo k que e absurdo,pois nenhum conjunto innito de numeros naturais e limitado superiormente. A func~ao x

denida e injetora e sobrejetora. Vamos mostrar agora que ela e a unica bijec~ao crescente


entre A e N . Suponha outra bijec~ao crescente f : N ! A: Deve valer f(1) = x1, pois sefosse f(1) > x1 ent~ao f n~ao seria crescente. Supondo que vale f(k) = xk 8 k n 2 Nvamos mostrar que f(n + 1) = xn+1, n~ao pode valer f(n + 1) < xn+1 com f(n + 1) 2 Apois a func~ao e injetora e os possveis termos ja foram usados em f(k) com k < n + 1,

n~ao pode valer f(n + 1) > xn+1 pois se n~ao a func~ao n~ao seria crescente, ela teria que

assumir para algum valor x > n + 1 o valor de xn+1, a unica possibilidade restante e

f(n+ 1) = xn+1 o que implica por induc~ao que xn = f(n) 8n 2 N:

Quest~ao 24

Propriedade 38. Todo conjunto innito se decomp~oe como uni~ao de uma innidade

enumeravel de conjuntos innitos, dois a dois disjuntos.

Demonstrac~ao. Todo conjuntoX innito possui um subconjunto innito enumeravel

E = fb1; b2; ; bn; g, tomamos b2k = xk e formamos o conjuntoA = fx1; x2; ; xn; g.Denimos Bk = fxkpk ; k 2 Ng, onde pk e o k-esimo primo e B0 = A n

1[k=1

Bk, cada um

desses conjuntos B0; B1; e innito e todos s~ao disjuntos, vale A =1[k=0

Bk , denimos

B1 = (E [ X) n A que e innito e n~ao possui elemento e disjunto com todo outro Bk,com isso temos

X =1[

k=1Bk

que e uma uni~ao enumeravel de conjuntos innitos disjuntos.

Quest~ao 25

Denic~ao 2 (Func~ao caracterstica). Sejam um conjunto A e V um subconjunto qualquer

de A, denimos

Cv(t) = 0 se x =2 V

Cv(t) = 1 se x 2 V

Propriedade 39. Sejam X; Y A: Valem as propriedades.

Cx\y = CxCy


Cx[y = Cx + Cy Cx\y e Cx\y = 0, X \ Y = ;:

Se X Y , Cx Cy:

CAnX = 1 Cx:

Demonstrac~ao.

Cx\y = CxCy. Temos dois casos a analisar, se t 2 X \ Y ent~ao

Cx\y(t) = 1 = Cx(t)| {z }1

Cy(t)| {z }1

;

se t =2 X \ Y podemos supor t =2 Y ent~ao

Cx\y(t) = 0 = Cx(t)Cy(t)| {z }0

:

Cx[y = Cx + Cy Cx\y e Cx\y = 0, X \ Y = ;:Analisamos tre^s casos.

1. Se t 2 X \ Y ent~ao Cx[y(t) = 1, Cx(t) +Cy(t)Cx\y(t) = 1 + 1 1 = 1, logovale a igualdade.

2. Se t =2 X \ Y e t 2 X ( sem perda de generalidade), ent~ao Cx[y(t) = 1,Cx(t) + Cy(t) Cx\y(t) = 1 + 0 0 = 1, logo vale a igualdade.

3. Agora o ultimo caso, se t =2 X; Y , Cx[y(t) = 0 e Cx(t) + Cy(t) Cx\y(t) =0 + 0 0 = 0, valendo novamente a igualdade.

Cx[y = Cx + Cy , Cx\y = 0 , Cx\y(t) = 0 8t 2 A, isso signica que X e Y s~aodisjuntos.

Se X Y , Cx Cy: )): Analisamos tre^s casos

1. t =2 Y e t =2 Y da t =2 x e vale Cx(t) = 0Cy(t):2. Se t 2 Y e t =2 x ent~ao Cx(t) = 0 Cy(t) = 1:3. Se t 2 Y tem-se t 2 Y da Cx(t) = 1 1 = Cy(t):

Em qualquer caso vale a desigualdade.

(): Suponha que X n~ao esteja contido em Y , ent~ao existe t tal que t 2 X; t =2 Yportanto vale cx(t) = 1 e cy(t) = 0 e n~ao se verica a desigualdade.


CAnX = 1 Cx:Analisamos dois casos

1. Se t =2 X ent~ao CAnX(t) = 1 = 1 Cx(t)| {z }0

.

2. Se t 2 X CAnX(t) = 0 = 1 Cx(t)| {z }1

.

Quest~ao 26

Propriedade 40. O conjunto das seque^ncias crescentes de numeros naturais n~ao e enu-

meravel.

Demonstrac~ao. Seja A o conjunto das seque^ncias crescentes de numeros naturais.

Suponha que seja enumeravel, ent~ao existe uma bijec~ao x : N ! A

x1 = (y(1;1); y(2;1); y(3;1); y(4;1); )

x2 = (y(1;2); y(2;2); y(3;2); y(4;2); )...

xn = (y(1;n); y(2;n); y(3;n); y(4;n); )vamos mostrar que existe uma seque^ncia crescente que sempre escapa a essa enu-

merac~ao, tomamos a seque^ncia s como

s = (y(1;1)+1 ; y(2;2)+y(1;1)+1 ; y(3;3)+y(2;2)+y(1;1)+1; y(4;4)+y(3;3)+y(2;2)+y(1;1)+1 ; )

denotando y(0;0) = 1 o t-esimo termo da seque^ncia acima e st =tX

k=0

y(k;k), tal seque^ncia

e crescente e ela difere de cada xt na t-esima coordenada, portanto ela n~ao pertence

a enumerac~ao, o que e absurdo, portanto o conjunto das seque^ncias crescentes e n~ao

enumeravel.

Quest~ao 27

Propriedade 41. Sejam (N; s) e (N 0; s0) dois pares formados por um conjunto e uma

func~ao em que ambos cumprem os axiomas de Peano. Ent~ao existe uma unica bijec~ao

f : N ! N 0 tal que f(1) = 10, f(n+ 1) = f(n) + 10 e vale ainda que


f(m) + f(n) = f(m+ n)

f(m:n) = f(m)f(n)

m < n, f(m) < f(n):

Demonstrac~ao. Primeiro vamos provar que f deve ser obrigatoriamente da forma

f(n) = n0 8n 2 N , por induc~ao sobre n, a propriedade vale para n = 1, suponha avalidade para n, vamos provar para n+ 1

f(n+ 1) = f(n) + 10 = n0 + 10 = s0(n) = (n+ 1)0:

Ent~ao para todo n 2 N ca provado que f(n) = n0, f e unica por construc~ao, sendotambem sobrejetora.

Vale que f(m) + f(n) = f(m + n), vamos provar por induc~ao sobre n. Para n = 1

ela vale por denic~ao da func~ao, supondo a validade para n, vamos provar para n+1

f((m+ n) + 1) = f(m+ n) + f(1) = f(m) + (f(n) + f(1)) = f(m) + f(n+ 1)

logo ca provada a propriedade. f e injetiva, pois se houvessem dois valores distintos

m > n tais que f(m) = f(n) ent~ao existe p 2 N tal que n + p = m, aplicando afunc~ao temos f(n) + f(p) = f(m) = f(n), isto e n0 + p0 = n0 ent~ao n0 > n0 o que e

absurdo, portanto a func~ao e injetiva.

f(m:n) = f(m)f(n). Por induc~ao sobre n, para n = 1 ela vale. Suponha validade

para n, vamos provar para n+ 1

f(m:(n+ 1)) = f(mn+m) = f(m)f(n) + f(m) = f(m)[f(n) + 1] = f(m)f(n+ 1)

como queramos provar.

m < n, f(m) < f(n): )): Se vale m < n ent~ao existe p 2 N tal que m+ p = n eda aplicando f tem-se m0 + p0 = n0 o que implica n0 > m0, isto e, f(n) > f(m):

() Da mesma forma se f(m) < f(n) ent~ao m0 < n0 e da existe p0 tal que m0+ p0 =n0 ) f(m+ p) = f(n) que por injetividade segue m+ p = n, portanto n > m:


1.4 Captulo 3 -Numeros reais

1.4.1 Quest~ao 1

Quest~ao 1-1

Primeiro provamos um lema, depois a quest~ao pedida.

Propriedade 42.

a

d+c

d=a+ c

d:

Demonstrac~ao.

a

d+c

d= d1a+ d1c = d1(a+ c) =

a+ c

d

por distributividade do produto em relac~ao a soma.

Propriedade 43.

a

b+c

d=ad+ bc

bd:

Demonstrac~ao.

a

b+c

d=a

b

d

d+c

d

b

b=ad

bd+cb

db=ad+ bc

bd:

Quest~ao 1-2

Propriedade 44.

a

b:c

d=ac

bd:

Demonstrac~ao.

a

b:c

d= a:b1:c:d1 = ac:b1:d1 = ac:(bd)1 =

ac

bd:

1.4.2 Quest~ao 2

Quest~ao 2-1

Propriedade 45. Para todo m inteiro vale

am:a = am+1:


Demonstrac~ao. Para m natural vale pela denic~ao de pote^ncia, agora para m =

n; n > 0 2 N um inteiro vamos provar an:a = an+1. Para n = 1 temos

a1a = a1+1 = a0 = 1:

Vamos provar agora para n > 1; n 1 > 0

an = (an)1 = (an1a)1 = an+1a1

multiplicando por a de ambos lados an:a = an+1 como queramos demonstrar.

Propriedade 46.

am:an = am+n:

Demonstrac~ao. Primeiro seja m um inteiro qualquer e n natural, vamos provar a

identidade por induc~ao sobre n, para n = 0 vale

am:a0 = am = am+0

para n = 1 vale

ama1 = ama = am+1:

Supondo valido para n

am:an = am+n

vamos provar para n+ 1

am:an+1 = am+n+1

temos

am:an+1 = amana = am+n:a = am+n+1 :

Agora para n com n natural , sem e natural temos que a propriedade ja foi demonstrada

aman = amn

se m e inteiro negativo temos

aman = amn

pois o inverso de aman e aman = am+n propriedade que ja esta provada por m e nserem naturais e amnanm = 1 por unicidade do inverso de = aman = am+n e aman

logo ca provado para n e m inteiros. Para pote^ncia negativa n podemos fazer como sesegue

aman = (am)1(an)1 = (aman)1 = (am+n)1 = amn:


Quest~ao 2-2

Propriedade 47.

(am)n = amn

para m e n inteiros.

Demonstrac~ao. Primeiro por induc~ao para m inteiro e n natural

(am)0 = 1 = am:0

(am)1 = am = am:1:

Supondo valido para n

(am)n = amn


(am)n+1 = am(n+1)

temos pela denic~ao de pote^ncia e pela hipotese da induc~ao que

(am)n+1 = (am)nam = amnam = amn+m = am(n+1)

onde usamos a propriedade do produto de pote^ncia de mesma base. Para n inteiro negativo

(am)n = ((am)n)1 = (amn)(1) = amn:

1.4.3 Quest~ao 3

Exemplo 7. Sexkyk

=xsys

para todos k; s 2 In, num corpo K, prove que dados, ak 2

K; k 2 In tais quenX

k=1

akyk 6= 0 tem-se

nPk=1

akxk

nPk=1

akyk

=x1y1:

Chamandox1y1

= p temosxkyk

= p logo xk = pyk e a soma

nXk=1

akxk = pnX

k=1

akyk


logonP

k=1

akxk

nPk=1

akyk

= p =x1y1

:

1.4.4 Quest~ao 4

Denic~ao 3 (Homomorsmo de corpos). Sejam A;B corpos. Uma func~ao f : A ! Bchama-se um homomorsmo quando se tem

f(x+ y) = f(x) + f(y)

f(x:y) = f(x):f(y)

f(1A) = 1B

para quaisquer x; y 2 A: Denotaremos nesse caso as unidades 1A e 1B pelos mesmossmbolos e escrevemos f(1) = 1.

Propriedade 48. Se f e homomorsmo ent~ao f(0) = 0:

Demonstrac~ao. Temos

f(0 + 0) = f(0) + f(0) = f(0)

somando f(0) a ambos lados segue

f(0) = 0:

Propriedade 49. Vale f(a) = f(a):

Demonstrac~ao. Pois

f(a a) = f(0) = 0 = f(a) + f(a)

da f(a) = f(a):

Corolario 9.

f(a b) = f(a) + f(b) = f(a) f(b):


Propriedade 50. Se a e invertvel ent~ao f(a) e invertvel e vale f(a1) = f(a)1:

Demonstrac~ao.

f(a:a1) = f(1) = 1 = f(a):f(a1)

ent~ao pela unicidade de inverso em corpos segue que f(a)1 = f(a1):

Propriedade 51. f e injetora.

Demonstrac~ao. Sejam x; y tais que f(x) = f(y), logo f(x) f(y) = 0, f(x y) = 0,se x 6= y ent~ao x y seria invertvel logo f(x y) n~ao seria nulo, ent~ao segue que x = y:

Propriedade 52. Se f : A ! B com f(x + y) = f(x) + f(y) e f(x:y) = f(x)f(y) parax; y arbitrarios, ent~ao f(x) = 0 8x ou f(1) = 1:

Demonstrac~ao. f(1) = f(1:1) = f(1)f(1), logo f(1) = f(1)2 por isso f(1) = 1 ou

f(1) = 0: Se f(1) = 0 ent~ao f(x:1) = f(x)f(1) = 0, f(x) = 0 8x.

1.4.5 Quest~ao 5

Propriedade 53. Se f : Q! Q e um homomorsmo ent~ao f(x) = x 8x 2 Q:

Demonstrac~ao. Vale que f(x + y) = f(x) + f(y), tomando x = kh e y = h xo,

tem-se

f((k + 1)h) f(kh) = f(h)

aplicamos a soman1Xk=0

de ambos lados, a soma e telescopica e resulta em

f(nh) = nf(h)

tomando h = 1 segue que f(n) = n, tomando h =p

nsegue

f(np

n) = f(p) = p = nf(

p

n)) f(p

n) =

p

n:


1.4.6 Quest~ao 6

1.4.7 Quest~ao 7

1.4.8 Quest~ao 8

Propriedade 54. Seja K um conjunto onde valem todos os axiomas de corpo, exceto a

existe^ncia de inverso multiplicativo. Seja a 6= 0. f : K ! K com f(x) = ax e bijec~ao, 9 a1 2 K:

Demonstrac~ao. )): A func~ao e sobrejetora logo existe x tal que f(x) = 1 = axportanto a e invertvel com a1 = x 2 K:

(): Dado qualquer y 2 K tomamos x = ya1 da f(x) = aa1y = y e a func~ao esobrejetiva. f tambem e injetiva, pois se f(x1) = f(x2), ax1 = ax2 implica por lei do

corte que x1 = x2:. Em geral f e injetiva , vale a lei do corte por essa observac~ao.

Propriedade 55. Seja K nito. Vale a lei do corte em A , existe inverso para cadaelemento n~ao nulo de K,

Demonstrac~ao. )): Se vale a lei do corte, pela propriedade anterior tem-se que paraqualquer a 6= 0 em K, f : K ! K com f(x) = ax e injetiva, como f e injetiva de K emK que e um conjunto nito, ent~ao f e bijetiva, o que implica a ser invertvel.

(): A volta e trivial pois existe^ncia de inverso implica lei do corte.

1.4.9 Quest~ao 9

Exemplo 8. O conjunto dos polino^mios de coeciente racionais Q[t] n~ao e um corpo, pois

por exemplo o elemento x n~ao possui inverso multiplicativo, se houvesse haverianX

k=0

akxk

tal que xnX

k=0

akxk = 1 =

nXk=0

akxk+1 o que n~ao e possvel pois o coeciente do termo

independente x0 e zero emnX

k=0

akxk+1 e deveria ser 1.

O conjunto dos inteiros Z n~ao e um corpo, pois n~ao possui inverso multiplicativo para

todo elementos, por exemplo n~ao temos o inverso de 2:


1.4.10 Quest~ao 10

Propriedade 56. Dados x; y 2 R, x2 + y2 = 0 , x = y = 0:

Demonstrac~ao. )):Suponha que x 6= 0, ent~ao x2 > 0 e y2 0 de onde segue quex2+y2 > 0 , absurdo ent~ao deve valer x2 = 0) x = 0 logo temos tambem y2 = 0) y = 0;portanto x = y = 0.

(): Basta substituir x = y = 0 resultando em 0.

1.4.11 Quest~ao 11

Exemplo 9. A func~ao f : K+ ! K+ com f(x) = xn, n 2 N e crescente. Sejam x > y > 0ent~ao xn > yn pois xn =

nYk=1

x >nY

k=1

y = yn, por propriedade de multiplicac~ao de positivos.

Se f : Q+ ! Q+, Q+ o conjunto dos racionais positivos, ent~ao f n~ao e sobrejetiva paran = 2, pois n~ao existe x 2 Q tal que x2 = 2 2 Q+:

f(K+) n~ao e um conjunto limitado superiormente de K, isto e, dado qualquer x 2 Kexiste y 2 K+ tal que yn > x: O limitante superior do conjunto, se existisse, n~ao poderiaser um numero negativou ou zero, pois para todo y positivo tem-se yn positivo, que e maior

que 0 ou qualquer numero negativo. Suponha que x positivo seja, tomando y = x + 1

temos yn = (x+ 1)n 1 + nx > x, logo f(K+) n~ao e limitado superiormente.

1.4.12 Quest~ao 12

Propriedade 57. Sejam X um conjunto qualquer e K um corpo, ent~ao o conjunto

F (X;K) munido de adic~ao e multiplicac~ao de func~oes e um anel comutativo com uni-

dade, n~ao existindo inverso para todo elemento. Lembrando que em um anel comu-

tativo com unidade temos as propriedades, associativa, comutativa, elemento neutro e

existe^ncia de inverso aditivo, para adic~ao. valendo tambem a comutatividade, associati-

vidade, existe^ncia de unidade 1 para o produto e distributividade que relaciona as duas

operac~oes.

Demonstrac~ao.


Vale a associatividade da adic~ao

((f + g) + h)(x) = (f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) = (f + (g + h))(x)

Existe elemento neutro da adic~ao 0 2 K e a func~ao constante 0(x) = 0 8 x 2 K, da

(g + 0)(x) = g(x) + 0(x) = g(x):

Comutatividade da adic~ao

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x)

Existe a func~ao simetrica, dado g(x), temos f com f(x) = g(x) e da

(g + f)(x) = g(x) g(x) = 0:

Vale a associatividade da multiplicac~ao

(f(x):g(x)):h(x) = f(x):(g(x):h(x))

Existe elemento neutro da multiplicac~ao 1 2 K e a func~ao constante I(x) = 1 8 x 2K, da

(g:I)(x) = g(x):1 = g(x):

Comutatividade da multiplicac~ao

(f:g)(x) = f(x)g(x) = g(x)f(x) = (g:f)(x)

Por ultimo vale a distributividade (f(g + h))(x) = f(x)(g(x) + h(x)) = f(x)g(x) +

f(x)h(x) = (f:g + f:h)(x):

N~ao temos inverso multiplicativo para toda func~ao, pois dada uma func~ao, tal que

f(1) = 0 e f(x) = 1 para todo x 6= 1 em K, n~ao existe func~ao g tal que g(1)f(1) = 1,pois f(1) = 0, assim o produto de f por nenhuma outra func~ao gera a identidade.

1.4.13 Quest~ao 13

Propriedade 58. Sejam x; y > 0 . x < y , x1 > y1:


Demonstrac~ao. )): Como y > x e x1 e y1 s~ao positivos, multiplicamos a desi-gualdade por x1y1 em ambos lados x1y1y > x1y1x implicando x1 > y1, ent~ao

se y > x temos1

x>

1

y:

(): Se x1 > y1 . x; y s~ao positivos, multiplicamos a desigualdade por xy em amboslados, de onde segue que y > x.

1.4.14 Quest~ao 14

Propriedade 59. Sejam a > 0 em K e f : Z ! K com f(n) = an. Nessas condic~oes fe crescente se a > 1, decrescente se a < 1 e constante se a = 1:

Demonstrac~ao. Para qualquer n 2 Z vale f(n+ 1) f(n) = an+1 an = an(a 1),an e sempre positivo, ent~ao o sinal da diferenca depende do sinal de a 1: Se a = 1 valef(n+ 1) = f(n) 8 n 2 Z logo f e constante, se a 1 < 0; a < 1 ent~ao f(n+ 1) f(n) 0; a > 1 ent~ao f(n+1) > f(n)e a func~ao e crescente.

Perceba que as propriedades citadas valem para todo n 2 Z, por exemplo no caso dea > 1 temos

< f(4) < f(3) < f(2) < f(1) < f(0) < f(1) < f(2) < f(3) < < f(n) < f(n+1) < analogamente para os outros casos.

1.4.15 Quest~ao 15

Exemplo 10. Para todo x 6= 0 real, prove que (1 + x)2n > 1 + 2nx:Se x > 1 tomamos a desigualdade de bernoulli com 2n no expoente. Se x < 1 vale

1 + x < 0 porem elevando a uma pote^ncia par resulta num numero positivo, por outro

lado 2nx < 2n logo 1+2nx < 12n < 0 ent~ao (1+x)2n e positivo e 1+2nx e negativo,logo nesse caso vale (1 + x)2n > 1 + 2nx :

1.4.16 Quest~ao 16

Exemplo 11. Se n 2 N e x < 1 ent~ao (1 x)n 1 nx, pois de x < 1 segue quex > 1 e da aplicamos a desigualdade de Bernoulli (1 + y)n 1 + ny com y = x.


1.4.17 Quest~ao 17

Corolario 10. Se a e a+ x s~ao positivos, ent~ao vale

(a+ x)n an + nan1x:

Poisa+ x

a= (1 +

x

a) > 0 ent~ao podemos aplicar a desigualdade de Bernoulli (1 + y)n

1 + ny com y =x

a, resultando em

(a+ x)n an + nan1x:

Se a 6= 0, arbitrario em R, podendo agora ser negativo, substitumos y = xa

em

(1 + x)2n > 1 + 2nx: chegando na desigualdade

(a+ x)2n > a2n + a2n12nx:

Se valex

a< 1 ent~ao da desigualdade (1 y)n 1 ny, novamente tomamos y = x

ade onde segue

(a x)n an an1nx:

1.4.18 Quest~ao 18

Propriedade 60. Sejam seque^ncias (ak) , (bk) em um corpo ordenado K onde cada bk e

positivo, sendoa1b1

o mnimo eanbn

o maximo dos termos da seque^ncia de termoakbk

ent~ao

vale

a1b1

nPk=1

ak

nPk=1

bk

anbn:

Demonstrac~ao. Para todo k valea1b1 ak

bk an

bn) bk a1

b1 ak bk an

bnpois bk > 0,

aplicamos a somanX

k=1

em ambos lados, de onde segue

nXk=1

bka1b1

nXk=1

ak nX

k=1

bkanbn


dividindo pornX

k=1

bk que e positivo, temos nalmente

a1b1

nPk=1

ak

nPk=1

bk

anbn:

1.4.19 Quest~ao 19

Propriedade 61 (Multiplicatividade).

jajjbj = ja:bj

para a e b reais quaisquer.

Demonstrac~ao. Vale que jx:yj2 = (x:y)2 = x2y2 e (jxjjyj)2 = jxj2jyj2 = x2:y2 osquadrados desses numeros s~ao iguais e eles s~ao n~ao negativos, ent~ao segue que jx:yj =jxjjyj:

Demonstrac~ao.[2] ja:bj =p(a:b)2 =

pa2:b2 =

pa2:pb2 = jajjbj:

Propriedade 62. Se x 6= 0 ent~ao j1xj = 1jxj :

Demonstrac~ao. Vale jxjj1xj = jx

xj = 1 da j1

xj e inverso de jxj, sendo 1jxj :

Corolario 11 (Preserva divis~ao).

jxyj = jxjjyj :

1.4.20 Quest~ao 20

Propriedade 63.nY

k=1

jakj = jnY

k=1

akj

Demonstrac~ao. Por induc~ao, para n = 1 vale, supondo para n numeros

nYk=1

jakj = jnY

k=1

akj


vamos provar para n+ 1n+1Yk=1

jakj = jn+1Yk=1

akj

temos

n+1Yk=1

jakj =nY

k=1

jakj:jan+1j = jnY

k=1

akjjan+1j = jnY

k=1

akan+1j = jn+1Yk=1

akj :

Propriedade 64 (Desigualdade triangular generalizada). Sejam g(k) denida para k

inteiro ,a; b 2 Z, ent~ao valej

bXk=a

g(k)j bX

k=a

jg(k)j:

Demonstrac~ao. Para cada k vale

jg(k)j g(k) jg(k)j

aplicando o somatorio em ambos lados segue

bX

k=a

jg(k)j bX

k=a

g(k) bX

k=a

jg(k)j

que implica

jbX

k=a

g(k)j jbX

k=a

jg(k)jj =bX

k=a

jg(k)j

pois os termos jg(k)j somados s~ao n~ao negativos ,logo a soma desses termos e n~ao-negativae o modulo da soma e igual a soma.

Propriedade 65. A identidade que provamos acima vale para numeros reais, vamos

provar agora por induc~ao que se vale jz + wj jzj+ jwj para quaisquer z; w ent~ao vale

jnX

k=1

zkj nX

k=1

jzkj

de maneira que possa ser usada para numeros complexos , normas e outras estruturas que

satisfazem a desigualdade triangular.

Demonstrac~ao.[2] Por induc~ao sobre n, para n = 1 tem-se

j1X

k=1

zkj = jz1j 1X

k=1

jzkj = jz1j


logo vale. Supondo a validade para n

jnX

k=1

zkj nX

k=1

jzkj


jn+1Xk=1

zkj n+1Xk=1

jzkj:

Da hipotese da induc~ao somamos jzn+1j em ambos lados, logo

jn+1Xk=1

zkj = jzn+1 +nX

k=1

zkj jzn+1j+ jnX

k=1

zkj n+1Xk=1

jzkj

Vejamos outras1 demonstrac~oes da desigualdade triangular

1.4.21 Quest~ao 22

Vamos resolver um caso mais geral do problema.

Denic~ao 4 (Mediana). Dada uma seque^ncia nita (yk)n1 seus termos podem ser rear-

ranjados para forma uma seque^ncia n~ao-decrescente (xk)n1 . A mediana eX e denida da

seguinte maneira

Se n e mpar eX = xn+12.

Se n e par eX = xn2+1 + xn22

.

Exemplo 12. Seja (xk)n1 uma seque^ncia crescente f : R ! R com f(x) =

nXk=1

jx xkj.Se x < x1 ent~ao

f(x) = nx+nX

k=1

xk

logo f e decrescente para x < x1. Tomando x > xn

f(x) = nxnX

k=1

xk

logo f e crescente para x > xn:

1Essas demonstrac~oes aprendi com Pedro Kenzo, obrigado por compartilhar as soluc~oes.


Seja agora x 2 [xt; xt+1), t variando de 1 ate n 1

f(x) =tX

k=1

(x xk)nX

k=t+1

(x xk) = (2t n)x+tX

k=1

xk nX

k=t+1

xk

portanto a func~ao e decrescente se t

n

2, de t = 1 ate t = bn

2c

em cada intervalo [xt; xt+1) a func~ao e decrescente, sendo bn2c segmentos decrescentes, de

t = bn2c+ 1 ate n 1, temos n 1 bn

2c segmentos crescentes.

Se n e mpar f e decrescente em [xbn2c; xbn

2c+1) e crescente em [xbn

2c+1; xbn

2c+2) logo

o ponto xbn2c+1 = xn+1

2e o unico ponto de mnimo.

Se n e par a func~ao e constante em [xn2; xn

2+1), todos os pontos desse intervalo s~ao

pontos de mnimo. Em especial o pontoxn

2+ xn

2+1

2e ponto de mnimo.

Conclumos que um ponto de mnimo acontece sempre na mediana da seque^ncia.

Exemplo 13. Achar o mnimo da func~ao f(x) =nX

k=1

jx kj para n mpar e para n par.Trocando n por 2n temos que o mnimo acontece no ponto x 2n

2= xn = n, substitumos

ent~ao tal valor na func~ao

2nXk=1

jn kj =nX

k=1

jn kj+2nX

k=n+1

jn kj =nX

k=1

(n k) +2nX

k=n+1

(n+ k) =

=nX

k=1

(n k) +nX

k=1

(k) =nX

k=1

n = n:n = n2:

portanto o mnimo de2nXk=1

jx kj e n2:

minfjx 1j+ jx 2jg = 1

minfjx 1j+ jx 2j+ jx 3j+ jx 4jg = 4

minfjx 1j+ jx 2j+ jx 3j+ jx 4j+ jx 5j+ jx 6jg = 9

minfjx 1j+ jx 2j+ jx 3j+ jx 4j+ jx 5j+ jx 6j+ jx 7j+ jx 8jg = 16.


Agora para n mpar, trocamos n por 2n + 1 o mnimo acontece no ponto x (2n+1)+12

=

xn+1 = n+ 1, aplicando na func~ao temos

2n+1Xk=1

jn+1kj =n+1Xk=1

jn+1kj+2n+1Xk=n+2

jn+1kj =n+1Xk=1

(n+1k)+2n+1Xk=n+2

(n+1)+k =

=nX

k=1

(n+ 1 k) +nX

k=1

k =nX

k=1

(n+ 1) = n(n+ 1):

minfjx 1j+ jx 2j+ jx 3jg = 2

minfjx 1j+ jx 2j+ jx 3j+ jx 4j+ jx 5jg = 6

minfjx 1j+ jx 2j+ jx 3j+ jx 4j+ jx 5j+ jx 6j+ jx 7jg = 12

minfjx1j+jx2j+jx3j+jx4j+jx5j+jx6j+jx7j+jx8j+jx9jg = 20.

1.4.22 Quest~ao 23

Propriedade 66. ja bj < ") jaj < jbj+ ":

Demonstrac~ao. Partindo da desigualdade ja bj < ", somamos jbj a ambos lados

ja bj+ jbj < "+ jbj

e usamos agora a desigualdade triangular

jaj ja bj+ jbj < "+ jbj

da segue

jaj "+ jbj:

Da mesma forma vale se jabj < " ent~ao jbj "+jaj ) jbj" jaj e com jaj "+jbj:temos

jbj " jaj "+ jbj:

Vimos que ja bj < " implica jaj < jbj+ ", mas como a jaj segue a < jbj+ ":


1.4.23 Quest~ao 24

Propriedade 67. Dado um corpo ordenado K , s~ao equivalentes

1. K e arquimediano.

2. Z e ilimitado superiormente e inferiormente.

3. Q e ilimitado superiormente e inferiormente.

Demonstrac~ao.

1) 2. N Z ent~ao Z e ilimitado superiormente. Suponha por absurdo que Z sejalimitado inferiormente, ent~ao existe a 2 K tal que a < x 8x 2 Z, logo a > x,porem existe n natural tal que n > a) n|{z}

2Z< a o que contraria a hipotese.

2) 3 . Z Q portanto Q e ilimitado superiormente e inferiormente.

3 ) 1 . Para todo y 2 K existe ab2 Q com a; b > 0 naturais tal que a

b> y,

da a > yb, podemos tomar y =x

b, logo a > x; a 2 N , portanto N e ilimitado

superiormente e o corpo e arquimediano.

1.4.24 Quest~ao 25

Propriedade 68. Seja K um corpo ordenado. K e arquimediado, 8" > 0 em K existen 2 N tal que 1

2n< ":

Demonstrac~ao.

)): Como K e arquimediano, ent~ao 8" > 0 existe n 2 N tal que n > 1") n + 1 >

n >1

"por desigualdade de Bernoulli temos 2n > n+ 1 >

1

") 1

2n< ":

(): Se 8" > 0 em K existe n 2 N tal que 12n

< ", tomamos " =1

x, x > 0 arbitrario

ent~ao x < 2n, com 2n = m 2 N ent~ao K e arquimediano, N n~ao e limitado superiormente.

1.4.25 Quest~ao 26

Propriedade 69. Seja a > 1, K corpo arquimediano, f : Z ! K com f(n) = an, ent~ao


f(Z) n~ao e limitado superiormente.

inf(F (Z)) = 0:

Demonstrac~ao.

Vale que a > 1 ent~ao a = p + 1 onde p > 0, por desigualdade de Bernoulli temos

(p + 1)n 1 + pn. 8 x > 0 2 K existe n tal que n > xp) pn > x ) (p + 1)n

1 + pn > x, logo f(Z) n~ao e limitado superiormente.

0 e cota inferior de f(Z) pois vale 0 < an 8n 2 Z. Suponha que exista x tal que0 < x < am 8 m 2 Z, sabemos que existe n 2 N tal que an > 1

xda x >

1

an= an,

absurdo, ent~ao 0 deve ser o nmo.

1.4.26 Quest~ao 27

Propriedade 70. Se s e irracional e u 6= 0 e racional ent~ao u:s e irracional.

Demonstrac~ao. Suponha que s e irracional e u:s seja racional, ent~ao u:s =p

qcom

p 6= 0 e q 6= 0 inteiros e como u 6= 0 e racional ele e da forma u = jv, j 6= 0 e v 6= 0,

inteiros, logoj

vs =

p

q

multiplicando porv

jambos lados segue

s =p:v

j:q

que e um numero racional, logo chegamos a um absurdo.

Propriedade 71. Se s e irracional e t racional, ent~ao s+ t e irracional.

Demonstrac~ao. Suponha s + t racional, ent~ao s + t =p

qda s =

p

q t que seria

racional por ser diferenca de dois racionais, um absurdo ent~ao segue que s+ t e irracional.

Exemplo 14. Existem irracionais a e b tais que a + b e a:b sejam racionais. Exemplos

a = 1 +p5 , b = 1

p5 da a+ b = 2 e a:b = 1 5 = 4:


1.4.27 Quest~ao 28

Propriedade 72. Sejam a; b; c; d racionais ent~ao

a+ bp2 = c+ d

p2, a = c e b = d:

Demonstrac~ao.

(): Se a = c e b = d a temos a+ bp2 = c+ d

p2.

)): Suponha a + bp2 = c + d

p2 ent~ao a c =

p2(d b), se d = b ent~ao a = c e

terminamos, se n~ao vale quea cd b =

p2

o que e absurdo poisp2 e irracional.

1.4.28 Quest~ao 29

Exemplo 15. O conjunto da forma fx + yppg onde x e y s~ao racionais e subcorpo dosnumeros reais.

O elemento neutro da adic~ao 0 pertence ao conjunto. Pois 0 = 0 + 0pp

O elemento neutro da multiplicac~ao 1 pertence ao conjunto. Pois 1 = 1 + 0pp

A adic~ao e fechada. Pois x+ ypp+ z + w

pp = x+ z + (y + w)

pp:

O produto e fechado. Pois (x+ ypp)(z + w

pp) = xz + xw

pp+ yz

pp+ y:wp:

Dado x 2 A implica x 2 A. Pois dado x+ ypp temos o simetrico x ypp:

Dado x 6= 0 2 A tem-se x1 2 A: Pois dado x+ ypp temos inverso

x yppx2 y2p

como inverso multiplicativo.

Exemplo 16. O conjunto dos elementos da forma a + b onde =3p2 n~ao e um corpo

pois o produto n~ao e fechado, vamos mostrar que 2 n~ao pertence ao conjunto.


Suponha que 2 = a+b ent~ao 3 = a+b2 = 2 substituindo a primeira na segunda

temos que

a+ b(a+ b) = a + ab+ b2 = (b2 + a) + ab = 2) (b2 + a) = 2 ab

se b2 + a 6= 0 ent~ao = 2 abb2 + a

o que e absurdo pois e irracional, ent~ao devemos ter

a = b2, multiplicamos a express~ao a + b2 = 2 por , de onde segue a2 + 2b = 2,substituindo 2 = a+ b nessa ultima temos

a(a+ b) + 2b = a2 + ab + 2b = 2) (2 ab) = 2b+ a2

se 2 6= ab chegamos num absurdo de = 2b+ a2

2 ab , temos que ter ent~ao 2 = ab e a = b2

de onde segue 2 = b3, porem n~ao existe racional que satisfaz essa identidade, da n~aopodemos escrever 2 da forma a+b com a e b racionais, portanto o produto de elementos

n~ao e fechado e assim n~ao temos um corpo.

1.4.29 Quest~ao 30

Propriedade 73. Sejam a; b 2 Q+: pa+pb e racional , pa e

pb s~ao racionais.

Demonstrac~ao.

)):Se a = b ent~ao 2

pa 2 Q o que implica pa =

pb 2 Q: Agora o caso de a 6= b:

Suponha quepa+

pb e racional ent~ao seu inverso tambem racional , que e

papba b ,

dapa

pb 2 Q , a soma (pa+

pb) + (

pa

pb) = 2

pa 2 Q logo pa 2 Q, a diferenca

de numeros racionais tambem e um numero racional (pa+

pb)pa =

pb, portanto

pa

epb s~ao racionais.

(): A volta vale pois a soma de racionais e um racional.

1.4.30 Quest~ao 31

Propriedade 74. Sejam A R n~ao vazio limitado e c 2 R, ent~ao

1. c sup(A), 8 " > 0 9 x 2 A tal que c " < x:


2. c inf(A), 8 " > 0 9 x 2 A tal que c+ " > x:

Demonstrac~ao.

1. )): Para todo " > 0 vale que c " < sup(A). Dado " > 0 xo, se n~ao existissex 2 A tal que c " < x ent~ao c " seria cota superior menor que o supremo, o quee absurdo, contraria o fato do supremo ser a menor das cotas superiores.

(): Suponha por absurdo que fosse c > sup(A), poderamos tomar c sup(A) = "da c c+ sup(A) = sup(A) < x o que e absurdo.

2. )): Para todo " > 0 vale que c + " < inf(A). Dado " > 0 xo, se n~ao existissex 2 A tal que c+ " > x ent~ao c+ " seria cota superior menor que o nmo, o que eabsurdo, contraria o fato do nmo ser a menor das cotas inferiores.

(): Suponha por absurdo que fosse c < inf(A), poderamos tomar inf(A) c = "da x < c+ inf(A) c = inf(A) o que e absurdo.

1.4.31 Quest~ao 32

Exemplo 17. Seja A = f 1nj n 2 Ng . Mostre que inf A = 0: Sabemos que 0 e uma cota

inferior, agora vamos mostrar que 0 e a menor delas. Dado 0 < x, x n~ao pode ser cota

inferior, pois existe n natural tal que1

n< x, logo 0 e o nmo.

1.4.32 Quest~ao 33

Propriedade 75. Se A e limitado inferiormente e B A ent~ao inf(A) inf(B):

Demonstrac~ao. infA e cota inferior de A, logo tambem e cota inferior de B, sendo

cota inferior de B vale infA infB, pois inf B e a maior cota inferior de B.

Propriedade 76. Se A e limitado superiormente e B A ent~ao sup(A) sup(B):

Demonstrac~ao. Toda cota superior de A e cota superior de B, logo o sup(A) e cota

superior de B, como sup(B) e a menor das cotas superiores de B segue que sup(A) sup(B):


Corolario 12. Se A e B s~ao conjuntos limitados com B A ent~ao vale sup(A) sup(B) inf(B) inf(A) pois temos sup(A) sup(B) e inf(A) inf(B), tendoainda que sup(B) inf(B):

1.4.33 Quest~ao 34

Propriedade 77. Sejam A;B R tais que para todo x 2 A e todo y 2 B se tenhax y. Ent~ao supA inf B:

Demonstrac~ao. Todo y 2 B e cota superior de A, logo supA y para cada y poissupA e a menor das cotas superiores, essa relac~ao implica que supA e cota inferior de B

logo supA inf B, pois inf B e a maior cota inferior.

Propriedade 78. supA = inf B , para todo " > 0 dado , existam x 2 A e y 2 B comy x < ":

Demonstrac~ao. (, usamos a contrapositiva. N~ao podemos ter inf B < supA pelapropriedade anterior, ent~ao temos forcosamente que inf B > supA, tomamos ent~ao " =

inf B supA > 0 e temos y x " para todo x 2 A e y 2 B pois y inf B esupA x de onde segue x supA, somando esta desigualdade com a de y tem-sey x inf B supA = ":

) , Se supA = inf B. Ent~ao sendo para qualquer " > 0, supA "2n~ao e cota superior

de A, pois e menor que o supA (que e a menor cota superior), da mesma maneira inf A+"

2n~ao e cota inferior de B, ent~ao existem x 2 A e y 2 B tais que

supA "2< x supA = inf B y < inf B + "

2

inf B "2< x y < inf B + "

2

de onde segue inf B "2< x, x < "

2 inf B e y < inf B + "

2somando ambas tem-se

y x < ":

1.4.34 Quest~ao 35 e 36

Propriedade 79. Se c > 0 ent~ao sup(c:A) = c: supA:


Demonstrac~ao. Seja a = supA. Para todo x 2 A tem-se x a, de onde seguecx ca, assim ca e cota superior de cA: Seja d tal que d < ca ent~ao d

c< a logo

d

cn~ao e

cota superior de A, implicando a existe^ncia de pelo menos um x tal qued

c< x, d < cx

de onde segue que d n~ao e cota superior de cA, assim ca e a menor cota superior de cA

logo o supremo.

Propriedade 80. Se c > 0, inf cA = c inf A:

Demonstrac~ao.

Seja a = inf A, ent~ao vale a x para todo x, multiplicando por c segue ca cxde onde conclumos que ca e cota inferior de cA. Seja d tal que ca < d, ent~ao a ca tem-sed

c< a como a e supremo, isso signica que existe x 2 A tal que d

c< x logo d > cx,

assim esse d n~ao e cota inferior, implicando que ca e a menor cota inferior, ent~ao nmo

do conjunto.

A quest~ao 35 segue da proxima propriedade com c = 1:

Propriedade 82. Se c < 0 ent~ao sup(cA) = c inf A:

Demonstrac~ao. Seja b = inf A ent~ao vale b x para todo x 2 A, multiplicandopor c segue cb cx assim cb e cota superior de cA. Agora tome d tal que cb > d segueb d assim esse d n~ao pode ser cota

superior de cA, ent~ao cb e a menor cota superior, logo o nmo.

1.4.35 Quest~ao 37

Item I

Sejam A;B R, conjuntos limitados .


Propriedade 83. O conjunto A+B = fx+ y j x 2 A; y 2 Bg tambem e limitado.

Demonstrac~ao. Se A e limitado , existe t tal que jxj < t para todo x 2 A e se B elimitado existe u tal que jyj < u 8y 2 B: Somando as desigualdades e usando desigualdadetriangular segue jxj + jyj < u + t e jx + yj jxj + jyj < u + t logo o conjunto A + B elimitado.

Item II

Propriedade 84 (Propriedade aditiva). Vale sup(A+B) = sup(A) + sup(B):

Demonstrac~ao. Como A;B s~ao limitidados superiomente, temos supA := a e

supB := b, como vale a x e b y para todos x; y 2 A;B respectivamente segueque a+ b x+ y logo o conjunto A+B e limitado superiormente. Para todo e qualquer" > 0 existem x; y tais que

a < x+"

2; b < y +

"

2

somando ambas desigualdades-segue-se que

a+ b < x+ y + "

que mostra que a+ b e a menor cota superior, logo o supremo, ca valendo ent~ao

sup(A+B) = sup(A) + sup(B):

Item III

Propriedade 85. inf(A+B) = inf A+ inf B.

Demonstrac~ao. Sejam a = infA e b = infB ent~ao 8x; y 2 A;B tem-se a x, b yde onde segue por adic~ao a+ b x+ y, assim a+ b e cota inferior de A+B. 9x; y 2 A;Btal que 8" > 0 vale x < a + "

2e y < b +

"

2pois a e b s~ao as maiores cotas inferiores,

somando os termos das desigualdades segue x+ y < a+ b+ ", que implica que a+ b e a

maior cota inferior logo o nmo.

1.4.36 Quest~ao 38

Denic~ao 5 (Func~ao limitada). Seja A R, f : A ! R e dita limitada quando oconjunto f(A) = ff(x) j x 2 Ag, se f(A) e limitado superiormente ent~ao dizemos que f e


limitada superiormente e caso f(A) seja limitado inferiormente dizemos que A e limitado

inferiormente.

Seja uma func~ao limitada f : V ! R.

Denic~ao 6.

sup f := sup f(V ) = supff(x) j x 2 V g

Denic~ao 7.

inf f := inf f(V ) = infff(x) j x 2 V g

Propriedade 86. A func~ao soma de duas func~oes limitadas e limitada.

Demonstrac~ao. Vale jf(x)j M1 e jg(x)j M2 8x 2 A ent~ao

jf(x) + g(x)j jf(x)j+ jg(x)j M1 +M2 = M

portando a func~ao soma f + g de duas func~oes limitadas e tambem uma func~ao limitada.

Sejam f; g : V ! R func~oes limitadas e c 2 R.

Propriedade 87.

sup(f + g) sup f + sup g:

Demonstrac~ao.

Sejam

A = ff(x) j x 2 V g; B = fg(y) j y 2 V g; C = fg(x) + f(x) j x 2 V g

temos que C A+B, pois basta tomar x = y nos conjuntos, logo

sup(A+B) sup(f + g)

sup(A) + sup(B) = sup f + sup g sup(f + g)

Propriedade 88.

inf(f + g) inf(f) + inf(g):

Demonstrac~ao. De C A+B segue tomando o nmo

inf(A+B) = inf(A) + inf(B) = inf(f) + inf(g) inf(C) = inf(f + g):


Exemplo 18. Sejam f; g : [0; 1]! R dadas por f(x) = x e g(x) = x

Vale sup f = 1; sup g = 0, f + g = 0 logo sup(f + g) = 0 vale ent~ao

sup f + sup g = 1 > sup(f + g) = 0:

Temos ainda inf f = 0; inf g = 1, f + g = 0, inf(f + g) = 0 logo

inf f + inf g = 1 < inf(f + g) = 0:

As desigualdades estritas tambem valem se consideramos as func~oes denidas em [1; 1],nesse caso sup f + sup g = 2 e inf f + inf g = 2 e sup(f + g) = 0 = inf(f + g):

1.4.37 Quest~ao 39

Denic~ao 8. Sejam A e B conjuntos n~ao vazios, denimos A:B = fx:y j x 2 A; y 2 Bg:

Propriedade 89. Sejam A e B conjuntos limitados de numeros positivos, ent~ao vale

sup(A:B) = sup(A): sup(B):

Demonstrac~ao. Sejam a = sup(A) e b = sup(B) ent~ao valem x a e y b; 8x 2A; y 2 B da x:y a:b, logo a:b e cota superior de A:B. Tomando t < a:b segue que t

a< b

logo existe y 2 B tal que ta< y da

t

y< a logo existe x 2 A tal que t

y< x logo t < x:y

ent~ao t n~ao pode ser uma cota superior, implicando que a:b e o supremo do conjunto.

Propriedade 90. Sejam A e B conjuntos limitados de numeros positivos, ent~ao vale

inf(A:B) = inf(A): inf(B):

Demonstrac~ao. Sejam a = inf(A) e b = inf(B) ent~ao valem x a e y b; 8x 2A; y 2 B da x:y a:b, logo a:b e cota inferior de A:B. Tomando t > a:b segue que t

a> b

logo existe y 2 B tal que ta> y da

t

y> a logo existe x 2 A tal que t

y> x logo t < x:y

ent~ao t n~ao pode ser uma cota inferior, implicando que a:b e o nmo do conjunto.


1.4.38 Quest~ao 40

Propriedade 91. Sejam f; g : A! R func~oes limitadas ent~ao f:g : A! R e limitada.

Demonstrac~ao. Vale que jf(x)j < M1 e jg(x)j < M2 ent~ao jf(x)g(x)j < M1M2 =M 8 x 2 A , portanto f:g : A! R e limitada.

Propriedade 92. Sejam f; g : A! R+ limitadas superiormente, ent~ao

sup(f:g) sup(f) sup(g):

Demonstrac~ao. Sejam C = fg(x):f(x) j x 2 Ag , B = fg(y): j y 2 Ag e A =ff(x) j x 2 Ag . Vale que C A:B para ver isso basta tomar x = y nas denic~oes acima,da

sup(A:B) sup(C)sup(A) sup(B) sup(C)sup(f) sup(g) sup(f:g):

Propriedade 93. Sejam f; g : A! R+ limitadas inferiormente, ent~ao

inf(f:g) inf(f) inf(g):

Demonstrac~ao. Sejam C = fg(x):f(x) j x 2 Ag , B = fg(y): j y 2 Ag e A =ff(x) j x 2 Ag . Vale que C A:B, da

inf(A:B) inf(C)

inf(A) inf(B) inf(C)inf(f) inf(g) inf(f:g):

Exemplo 19. Sejam f; g : [1; 2] ! R dadas por f(x) = x e g(x) = 1x, vale sup f = 2,

sup g = 1 sup f: sup g = 2 e sup(f:g) = 1, pois f:g = 1 logo

sup f sup g > sup(f:g):

Da mesma maneira inf f = 1, inf g =1

2vale inf f: inf g =

1

2e inf(f:g) = 1 portanto

inf f: inf g < inf(f:g):


Propriedade 94. Seja f : A! R+ limitada superiormente ent~ao sup(f 2) = (sup f)2:

Demonstrac~ao. Seja a = sup f tem-se f(x) a 8x da f(x)2 a2 ent~ao a2 ecota superior de f 2, e e a menor cota superior pois se 0 < c < a2 ent~ao

pc < a logo

existe x tal quepc < f(x) < a e da c < f(x)2 < a2 logo a2 e a menor cota superior

sup(f 2) = sup(f)2:

Propriedade 95. Seja f : A! R+ ent~ao inf(f 2) = (inf f)2:

Demonstrac~ao. Seja a = inf f tem-se f(x) a 8x da f(x)2 a2 ent~ao a2 e cotainferior de f 2, e e a maior cota inferior pois se a2 < c ent~ao a 1 natural. O conjunto

A = fmkn

2 I j m;n 2 Zg e denso em I.


Demonstrac~ao. Dado " > 0 existe n 2 N tal que kn > 1", da os intervalos

[m

kn;m+ 1

kn] tem comprimento

m+ 1

kn mkn

=1

kn< ":

Existe um menor inteiro m + 1 tal que x + " m+ 1kn

dam

kn2 (x "; x + ") pois

se fosse x + " t e t =2 [k;1) = Ak logo n~ao podepertencer a intersec~ao te todos esses conjuntos.

Da mesma maneira existe uma seque^ncia decrescente de intervalos abertos limitados

com intersec~ao vazia, sendo Bk = (0;1

k)

1\k=1

Bk = B

B e vazio, pois se houvesse um elemento nele x > 0, conseguimos k tal que1

k< x da x

n~ao pertence ao intervalo (0;1

k) = Bk portanto n~ao pode pertencer a intersec~ao.

1.4.46 Quest~ao 49

Propriedade 103. Sejam B A n~ao vazios, A limitado superiormente, se 8x 2 A existey 2 B tal que y x ent~ao sup(B) = sup(A):

Demonstrac~ao. B e limitado superiormente pois esta contido em um conjunto limi-

tado e vale que sup(A) sup(B), pois B A, suponha que fosse c = sup(A) > sup(B),ent~ao tomando " = sup(A) sup(B) > 0, existe x 2 A tal que x > c " = sup(A) sup(A) + sup(B) = sup(B), por hipotese existe y x > sup(B) com y 2 B, o que eabsurdo, pois n~ao pode existir um elemento maior que o supremo.


Propriedade 104. Sejam B A n~ao vazios, A limitado inferiormente, se 8x 2 A existey 2 B tal que y x ent~ao inf(B) = inf(A):

Demonstrac~ao. B e limitado inferiormente pois esta contido em um conjunto limi-

tado e vale que inf(A) inf(B), pois B A, suponha que fosse c = inf(A) < inf(B),ent~ao tomando " = inf(B) inf(A) > 0, existe x 2 A tal que x < c + " = inf(A) sup(A) + inf(B) = inf(B), por hipotese existe y x < inf(B) com y 2 B, o que eabsurdo, pois n~ao pode existir um elemento menor que o nmo.

1.4.47 Quest~ao 50

Denic~ao 12 (Corte de Dedekind). Um corte de Dedekind e um par ordenado (A;B)

onde A;B 2 Q n~ao vazios, tais que A n~ao possui maximo, A [ B = Q e 8 x 2 A; y 2 Bvale x < y.

Seja C o conjunto dos cortes de Dedekind.

Propriedade 105. Em (A;B) vale sup(A) = inf(B):

Demonstrac~ao. Ja sabemos que vale sup(A) inf(B), pois 8 x 2 A; y 2 B valex < y implica sup(A) < y e sup(A) ser cota inferior implica sup(A) inf(B), suponhapor absurdo que fosse sup(A) < inf(B), ent~ao o intervalo (sup(A); inf(B)) n~ao possui

valores x 2 A, pois se n~ao x > sup(A), nem y 2 B pois da y < inf(B), mas como existemracionais em tal intervalo, pois Q e denso e A [B = Q, chegamos em um absurdo.

Propriedade 106. Existe bijec~ao entre R e C o conjunto dos cortes.

Demonstrac~ao. Denimos f : C ! R como f(A;B) = sup(A) = inf(B):

f e injetora, suponha f(A;B) = f(A0; B0) ent~ao sup(A) = inf(B) = sup(A0) =

inf(B0).

Dado x 2 A vamos mostrar que x 2 A0.

x < sup(A0) = inf(B0) y0; 8 y0 2 B0; da x 2 A0

a inclus~ao A0 A e analoga. Ent~ao vale A = A0:


Dado y 2 B, vamos mostrar que y 2 B0.

x0 < sup(A) < inf(B0) y

com isso y 2 B0: De maneira similar, B0 B portanto B = B0. Como vale B = B0e A = A0 ent~ao a func~ao e injetiva.

A func~ao e sobrejetiva. Para qualquer y 2 R, tomamos os conjuntos (1; y)\Q = Ae B = [y;1) \Q, A n~ao possui maximo, para todo x 2 A e y 2 B tem-se y > x eQ = [(1; y) \Q] [ [ [y;1) \Q], alem disso vale sup(A) = y = inf(B), portantof(A;B) = y e a func~ao e sobrejetora, logo sendo tambem injetora f e bijec~ao.

1.4.48 Quest~ao 53

Propriedade 107 (Media aritmetica e geometrica.). Se a; b > 0 vale

a+ b

2pa:b:

Demonstrac~ao.

(pa

pb)2 0) a 2pa

pb+ b 0) a+ b 2pa

pb) a+ b

2pab:

Quest~ao 57

Exemplo 22. A func~ao f : R! (1; 1) com f(x) = xp1 + x2

e bijetora.

Ela esta bem denida em R, pois o unico problema possvel seria o termo dentro da

raz no denominador ser n~ao positivo, o que n~ao acontece pois x2 + 1 1, ela e injetorapois

x1p1 + x21

=x2p1 + x22

) x1 = x2, sua imagem esta contida no intervalo (1; 1)

poisp1 + x2 >

px2 = jxj logo j xp

1 + x2j < 1 sendo tambem sobrejetora, pois dado

y 2 (1; 1) temos jyj < 1) y2 < 1) 0 < 1 y2, podemos tomar x =s

y2

1 y2 se x 0

e x = s

y2

1 y2 caso x < 0 e da vale f(x) = y (Podemos perceber pela denic~ao quex 0, y 0 e x 0, y 0 ).


Quest~ao 58

Propriedade 108. Seja G 6= f0g um grupo aditivo de R, ent~ao vale uma das possibili-dades

1. Existe t tal que G = tZ , isto e, G e formado pelos multiplos inteiros de t.

2. G e denso em R.

Demonstrac~ao.

G 6= f0g possui elemento positivo, pois dado a 6= 0 2 G, a 2 G, por ser grupo , etemos que a ou a e positivo. Sejam G+ = fx 2 G j x > 0g e t = inf G+:

1. Se t > 0 vamos mostrar que vale t 2 G. Suponha por absurdo que n~ao. Existey 2 G tal que

t < y < 2t;

pois 2t n~ao e a maior cota inferior, por isso existe y entre t e 2t, subtraindo t de

ambos lados nessa desigualdade tem-se

0 < y t < t:

Como y tambem n~ao e maior cota inferior de G, existe z 2 G tal que

t < z < y < 2t

ent~ao z < y ) y z > 0 , de t < z temos z < t de y < 2t tem-se y z 0;9n0 2 N j n > n0 ) jxn aj < "

porem temos a desigualdade jjxnj jajj jxn aj logo jjxnj jajj < " e lim jxnj = jaj:

Exemplo 23. lim jxnj pode existir porem limxn pode n~ao existir, por exemplo tomamosxn = (1)n, ela n~ao converge porem j(1)nj = 1 e constante logo convergente.

1.5.1 Quest~ao 2

Exemplo 24. Se lim xn = 0 e yn = minfjx1j; ; jxnjg ent~ao lim yn = 0:Por denic~ao vale que 0 yn jxnj, como jxnj ! 0 ent~ao por sanduche segue que

lim yn = 0:

1.5.2 Quest~ao 3

Propriedade 110. Se lim x2n = a e lim x2n1 = a ent~ao lim xn = a:


Demonstrac~ao. Sejam yn = x2n e zn = x2n1 como temos lim yn = lim zn = a,

para qualquer " > 0 existem n0 e n1 tais que para n > n0

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Curso de Análise Vol.I