Dinamica fluidului compresibil• Curgerea stationara:

• laminara, traiectorie paralela• turbulenta, peste miscarea predominanta se suprapun miscari

transversale si în interiorul curentului apar vârtejuri sau turbioane.

• Criteriul Reynolds:• w[m/s]-viteza medie• de[m]-diametrul echivalent• ?[m2/s]-vîscozitatea cinematica a fluidului

• În cazul curgerii fluidelor prin conducte circulare curgerea este laminara daca valoarea numarului Reynolds este mai mica de 2320 si este turbulenta pentru valori mai mari.

][Re −=ν

ewd

Hodograful vitezei• Viteza fluidului nu e constanta intr-o

anumita sectiune a curentului, ci variaza în functie de distanta punctului considerat de centrul sectiunii.

• În figura s-a reprezentat repartitia vitezelor într-o sectiune a unui curent de fluid, atat in cazul curgerii laminare, cât si în cazul curgerii turbulente.

• Hodograful vitezelor pentru o curgere laminara intr-o conducta de sectiune circulara este un paraboloid.

• Viteza medie a fluidului w poate fi calculata analitic, daca se cunoaste curba de variatie a vitezei wx în sectiunea A:

∫=A

xdAwA

w1

Diametrul echivalent• pentru curgere laminara: w=0,5wmax

• pentru curgere turbulenta • w=(0,79.- 0,87)wmax la tevi netede si • w=(0,71.- 0,76)wmax la tevi rugoase

• Diametrul echivalent al unui canal cu o sectiune de o forma oarecare este diametrul cercului, care are acelasi raport între aria sectiunii si perimetrul sectiunii ca si canalul în cauza.

• Notând cu A aria sectiunii canalului, cu P perimetrul sectiunii si cu de diametrtul cercului echivalent:

PA

dPA

d

d

ee

e44

2

==>=π

π

Viscozitatea dinamica• Viscozitatea este proprietatea

fluidelor de a se opune curgerii.• Daca se considera paralelipipedul

de fluid din figura, având înaltimea h si cele doua suprafete de sectiune A, care aluneca una fata de alta cu viteza w, atunci conform legii lui Newton, forta�DQJHQWLDOa�QHFHVDUa�acestei deeplasari are expresia:

dhdw

AF η=

η [Pa*s] este un factor dependent de�FH]LXQHD�P ROHFXODUa a fluidului si se numeste viscozitate dinamica.

Viscozitatea cinematica• Raportul dintre viscozitatea dinamica si

densitatea fluidului ρ se�QP HVWH�YLVFR]LWDWH�cinematica.

•

• Pe lânga unitatea m2/s din sistemul de unitati SI se mai întalneste frecvent unitatea denumita Stokes cu simbolul St:

• 1St=1cm2/s=10-4m2/s si 1cSt=10-6m2/s

]/[ 2 smρη

ν =

Procese de curgere stationare, adiabatice

• Ec de continuitate masica • Ecuatia de bilant energetic[ ]kg/s AwAwm 222111 ρ=ρ=&

2

22

21

21

1 22gh

wigh

wi ++=++

•Ecuatia lui Bernoulli

22

22

11

21

22pgh

wpgh

w++=++ ρρρρ

vdv

wdw

AdA

=+

Demo• In cazul proceselor de curgere dlt=0.• In cazul proceselor cu frecare:• Primul princ al termodinamicii pt sist

deschise: gdhw

ddldidq t +++=2

2

tf dldidldq +=+

f

f

ft

dlgdhwddp

vdlgdhwdvdp

dlvdpdigdhwddldi

ρρρ

ρ

++=−

=++=−

−−=+++

2

1:2

2

2

2

2

Rezulta ec lui Bernoulli• Scaderea presiunii de-a lungul curentului indica reducerea

energiei potentiale si are ca urmare o accelerare a curentului si ridicarea lui în câmpul gravitational, precum si acoperirea energiei cheltuite prin frecare.

• In cazul curgerii reversibile e valabila relatia:

• In general pentru instalatii termice pentru care nu apare o deplasare semnificativa a curentului de fluid pe verticala se considedra dh=0, iar ecuatia curgerii adiabatice, reversibile, unidimensionale ia forma:

0)2

(2

=++ ghwp

dρ

wdww

dvdp ==−2

2

Ecuatia lui Bernoulli

.ct2

wp

2w

p2

wp

222

2

21

1 =ρ+=ρ+=ρ+

Pres

static

aPre

s

dinam

ica

.ctppp dsttot =+=

Masurarea debitului cu tubul Pitot Prandtl si diafragma

dinpwρ2

=

ptotala pstatica

pAm ∆⋅⋅⋅⋅= 11 2 ρεα&Unde

1

21

22

,

densitate pt. corectie coef. ,1

AA

AA

m

m

==

=−

=

µ

εµ

µϕα

∆p1, 2

Fara indice,

Schita diafragma

Accelerare, decelerare

2

adica 02

dd

21

22

21

2

wwii

wi

−=−

=+

( ) 21212 2 wiiw +−=

Curgerea adiabatica pt. un gaz perfect

( )

−

−=

=

−

−=

=−−

=

−γ

γ

γγ

γγ

γγ

1

1

211

1

21

212

11

2

11

2

12

pp

vp

TT

RT

TTRw

111max 12

12 RTvpw

−=

−=

γγ

γγ

• Dintr-un rezervor din repaus (linistire)

• Viteza initiala nula• Pt cazul p2 = 0 se obtine

viteza maxima de curgere (intreaga energie potentiala=> energie cinetica)

RdTdTcpdi1

*−

==γ

γ

Viteza sunetului a• Viteza sunetului este viteza de propagare a

variatiilor de presiune si de densitate într-un mediu compresibil si are relatia:

• În cazul transformarii adiabatice a gazului ideal:

• si

sp

a )(δρδ

=

RTp

ddp

0d

pdp

ctp

s γ=ρ

γ=ρ

=>

=ρρ

γ−=ργ

)(

.,

RTa γ=

Viteza sunetului si cifra Mach

• Numarul Mach:

– Ma < 1 curgere subsonica

– Ma > 1 curgere supersonica

[ ]m/s

vpTRp

as

⋅⋅=⋅⋅=

= γγ

ρδδ

aw=Ma

Ma < 1

Ma > 1

data starea la fluid acelin sunetului vitezafluidului a curgere de viteza

==aw

Ma

Ajutaj• Ajutaj = reprezinta piesa cu un canal de sectiune

variabila (continuu), folosita pentru accelerarea/frânarea unui curent de fluid si pt transformarea reciproca a Ep ⇔ Ec.

• Componenta principala pentru turbina de gaze, turbocompresor, motor cu reactie, rachete, etc.

• a)Ajutaj convergent=>folosit pentru accelerarea curentuluipâna la cel mult viteza sunetului

• b)Ajutaj divergent=>folosit pentru franarea fluidului, respectiv pentru comprimarea fluidului, in conditii speciale

• c)Ajutaj convergent-divergent=>folosit pentru accelerarea curentului peste valori ale vitezei supersonice

Schita celor trei tipuri de ajutaje

Ajutaj convergent. Notatii. Curgere adiabatica. Gaz perfect

γ1

0

0 )(pp

vv

=

])(1[1

21

000

γγ

γγ

−

−−

=pp

vpw

])(1[1

21

00

00 γγ

γγ

−

−−

==pp

vp

vv

AvA

wm&

.2])()[(1

20

01

0

2

00

0 ctvp

App

pp

vp

Am ==−−

=+

ψγ

γ γγ

γ&

p, v, T, w

Demo pentru ajutaj convergent• Stare 0 = repaus (rezervor de

linistire)• debitul masic depinde de

parametri termodinamici din rezervorul de linistire

• Functia Ψ are un maxim pentru o valoare definita a raportului de presiuni p/p0

• raport critic βkr

( )00

00

RT/2pA

p2Am

Ψ=

=ρΨ=&

1

max 12

1

−

++

=Ψγγ

γγγ

1

0

cr

0 12

pp

pp −γ

γ

+γ

===βcr

2/11

0

2

0

2/1

1

−

−

=Ψ

+γ

γγ

γγ

pp

pp

Demo pt functia Ψ

γγ

γ

γγ

ψ1

0

2

0)()[(

1

+

−−

=pp

pp

01

0

0

0 ==>

=

=

ψ

pp

pp

0)(

0

=

ppd

dψ

criticraport 0

=ppcr

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

2

0

1

0

12

0

11

0

12

0

12

_2

1

21

0)1(2

0)1(

1:0)(

1)(

2

0)(1)(2

−

−

−

−

−

−

−+

−

+

=

=

+

=

+=

=

+−

=

+−

=+

−

=+−

γγ

γγ

γγ

γγ

γ

γγγ

γγ

γγ

γ

γβ

γ

γ

γ

γ

γγγ

γ

γγ

γ

cr

cr

cr

crcr

crcr

crcr

crcr

criticraprtpp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

Continuare Demo

112

121

112

12

12

1

12

12

112

11

11

11

12

11

211

max

−

+

=+

−+−

+

=

+

−

+−

=

=

+

−

+−

=

+

=

−−−+

−

+−−−

γγ

γγγ

γγ

γγγγγ

γγγγ

γψψ

γγγγ

γ

γγ

γγ

γγγ

γγ

0

02vpAm ψ=&

1

0 12 −

+

==γγ

γβ

ppcr

Reprezentarea functiei

In caz ca p1,T1,w1≠0

1

1

010

2110

1010

21

10

21

)(1

)(2

−

=⇒

−+=⇒

⇒−−

=−==−

γγ

γγ

γγ

TT

pp

wR

TT

TTR

TTcw

ii p

General pt functia Ψ

• Pt ajutajul convergent-ramura din

dreapata, pana la varf.

• Pt a utiliza si ramura din stanga,

ajutajul trebuie sa fie si divergent.

• Varful reprezinta parametri critici.

γ

const.=Ψ⋅A

Ajutaj divergent• In sect minima, la ajutajul convergent, se poate

atinge parametrii critici, deci o destindere panala max. presiunea critica si corepunzator vitezacritica. Daca in exterior presiunea este mai mica sau egala, este OK.

• Daca insa presiunea exterioara este mai mare, curgerea in ajutajul convergent nu poate sa se faca decat pana la nivelul ecstei presiuni exterioare. Exista pierderi.

( ) 00 1/2 RTRTwcr γγγ =−=aRTw == 0cr γ

Tine minte

1. pe=pcr2. pe>pcr(destinderea se opreste la pe)

pies=pe3. pe<pcr(destindere cu pierderi în

exterior) pies=pcr (ψmax)

critic

Reprezentare pentru duza de Laval-

• Atentie la notatii.

• In partea convergenta

(Ma<1),

• in sectiunea minima

(Ma=1)

• in partea divergenta

(Ma > 1).

Formule pentru ajutajul convergent-divergent clasic

−

−+

+

==

+

=

=

=

−

−

−

γγ

γγ

γγ

γγγ

ψψ

γρρ

ρ

1

0

2

1

0

211

max

2

2

111

00

111

21

12

pp

pp

AA

pp

wmA

cr

crcr

crcrcr

&

=⇒ A

ddA i

ii 4

2π

11

111

max

1

0

22

−+=

−

−+

=

−

γγ

γγ γ

γ

aw

pp

ww

cr

Teorie recapitulativa

• Comportarea ajutajului convergent-divergent:

• Ecuatia de

continuitate:

• Ecuatia lui Bernoulli:

• Ecuatia transformarii

adiabatice

vdv

wdw

AdA

=+

wdwvdp =−

0=+vdv

pdp γ

Continuare

• Pentru w<a curgeresubsonica

• Pentru w>a�FUJHUH�supersonica

• =>Sectiunea si presiunea variaza în acelasi sens sau sens opus

2

22

2

2

pwwa

Apw

wpvA

dpdA

γγγ −

=−

=

0>⇒dpdA

0<⇒dpdA

Ajutaj convergent-divergent in general2

22

wpwa

ApA

⋅⋅−

⋅=γd

d

a) tub Venturi subsonic

b) ajutaj de Laval destind (clasic) d) tub Venturi supersonic

c) Ajutaj de Laval compr.

Tub Venturi subsonic

• w1<a;

• w2<a în tot lungul ajutajului presiunea

variaza în acelasi sens ca si sectiunea;

• în partea convergenta presiunea scade, iar în

partea divergenta creste.

• Viteza este subsonica peste tot.

Ajutaj de Laval destindere• w1<a; w2=a în partea convergenta unde viteza este

subsonica,• presiunea scade, variind la fel ca si sectiunea

ajutajului;• datorita destinderii gazului, viteza creste,atingând în

sectiunea minima a ajutajului viteza sunetului, iar într-o sectiune apropriata de aceasta viteza va fi supersonica.

• Presiunea gazului scade în continuare,�DkQG�YDULDWLH�inversa fata de sectiunea ajutajului.

• Astfel presiunea scade continuu de la presiunea de intrare pâna la presiunea mediului exterior, întreaga energie potentiala a gazului fiind transformata în energie cinetica.

Ajutaj de Laval compresiune• w1>a; w2=a în partea convergenta variatia presiunii

este de sens contrar cu ceea a sectiunii,• dar viteza scade ded la valoarea w1 pâna la valoarea

vitezei sunetului,în sectiunea minima a ajutajului.• În partea divergenta a ajutajului, unde viteza de

curgere e subsonica, presiunea gazului creste întrucât creste presiunea ajutajului.

• Viteza scadee de la un capat la celalalt al ajutajului,pe când presiunea creste continuu,ajutajul având în acest caz functiunea de compresor.Acest caz se întalneste la ejectoare supersonice.

Tub Venturii supersonic

• w1>a;w2>a Variatia presiunii e inversa fata

ded variatia sectiunii ajutajului, iar viteza

variaza în acelasi sens.

• Unda de soc (pe>p2)