Capitolul 1

Me canica

11 Mărimi principii şi legi fundamentale icircn mecanica clasică

111 Noţiuni şi mărimi principale icircn mecanica clasică

Mecanica clasică studiază cea mai simplă formă de mişcare a materiei mişcarea mecanică Mişcarea mecanică este mişcarea care conduce la modificarea poziţiei corpurilor unele faţă de celelalte sau a părţilor lor icircn spaţiu şi icircn timp Mecanica clasică newtoniană studiază mişcarea corpurilor care au viteze mult mai mici decacirct viteza luminii icircn vid c=3 10ms Icircn mecanica clasică există o serie de legi (principii) fundamentale legea inerţiei legea mişcării unui punct material sau a variaţiei impulsului legea acţiunilor reciproce legea suprapunerii forţelor legea atracţiei universale etc

Icircn mecanică se introduce noţiunea de punct material Prin punct material icircnţelegem un corp ale cărui dimensiuni pot fi neglijate atunci cacircnd se studiază mişcarea sa Mişcarea se studiază icircn raport cu un sistem de referinţă arbitrar ales deoarece nu există un sistem de referinţă absolut

Sistemele de referinţă se clasifică icircn - sisteme de referinţă inerţiale care sunt acele sisteme care au o mişcare rectilinie şi uniformă sau se află icircn repaus relativ- sisteme de referinţă neinerţiale care au o mişcare accelerată

Sistemului de referinţă i se ataşează un sistem de coordonate Mişcarea mobilului este univoc determinată dacă se cunosc icircn fiecare moment coordonatele sale icircn raport cu sistemul de referinţă ales Sisteme de coordonate utilizate coordonatele carteziene coordonatele sferice (polare icircn cazul 2 dimensional) coordonatele cilindrice

Icircn sistemul de coordonate carteziene poziţia unui punct P este dată de coordonatele carteziene ortogonale x y şi z (Fig 11) Vectorul de poziţie sau raza vectoare este

= x + y + z (11)

Fig 11 Fig 12x

x iO

kz

z

r P

j y

y

x

iAx

O

kAz

z

A

jAy

y

Icircn general orice vector arbitrar este dat de relaţia

(12)unde A and A sunt componentele vectorului (Fig 12) Modulul vectorului este

(13) şi sunt versorii axelor de coordonate şi satisfac relaţiile

= = 1

Icircn sistemul de coordinate sferice poziţia unui

punct P este dată de coordonatele sferice r θ φ (Fig 13)

FFig 13

Legea de mişcare a punctului material icircn coordonate carteziene estex = x(t) y = y(t) z = z(t) (14)

adică= (t) (t) = x(t) + y(t) + z(t) (15)

a) VitezaConsiderăm un punct material care se mişcă pe o traiectorie oarecare la momentul

aflacircndu-se icircn poziţia P şi la momentul aflacircndu-se icircn poziţia P Se face notaţia Δs pentru

lungimea arcului de curbă P P Viteza medie este raportul dintre spaţiul parcurs de mobil şi timpul necesar parcurgerii acestui spaţiu

(16)

Pentru obţinerea unei precizii mai mari icircn ceea ce priveşte descrierea mişcării mobilului se introduce noţiunea de viteză instantanee Viteza instantanee se defineşte

(17a)

adică vectorul viteză instantanee este

(17b)

unde d are orientarea tangentei la curbă şi vectorul viteză instantanee are orientarea tangentei la traiectorie şi sensul coincide cu sensul de deplasare al punctului material

2

x

O

z

P

y

r

Fig 14

Icircn coordonate carteziene vectorul viteză se scrie sub forma (18)

unde and sunt componentele după direcţiile Ox Oz şi Oy Avem

(19)

şi comparacircnd ultimele două relaţii rezultă

(110)

Modulul vectorului viteză este

v = (111)

b) AcceleraţiaO modificare a vitezei este acceleraţia Un mobil este accelerat numai dacă asupra sa

acţionează o forţăVectorul acceleraţie instantanee se defineşte

(112)

Icircn coordonate carteziene vectorul acceleraţie se scrie sub forma (113)

Din relaţiile (19) şi (112) rezultă

(114)

Comparacircnd ultimele două relaţii obţinem

(115)

Modulul vectorului acceleraţie este

(116)

1 Un caz particular este cel al mişcării rectilinii şi uniforme caz icircn care viteza este constantă deci acceleraţia este nulă

c) Lucrul mecanic

3

P2

P1

P2

P1r

2tr

1tr

O

tr

tr dd

Considerăm că asupra unui punct material acţionează o forţă determinacircnd deplasarea corpului pe o traiectorie oarecare Icircn general pot exista situaţiile

- forţa poate să fie variabilă icircn timp F = F(t)- direcţia forţei să nu coincidă cu direcţia de deplasare a punctului material

Lucrul mecanic elementar este o mărime de process deci este o mărime care depinde de tipul procesului (nu este o diferenţială totală exactă deoarece depinde de drumul urmat) Unitatea de măsură icircn SI este

Lucrul mecanic elementar efectuat de forţa care acţionează asupra punctului material cacircnd icircşi deplasează punctual de aplicaţie pe distanţa se defineşte cu relaţia

(117)Lucrul mechanic total efectuat de forţa atunci cacircnd icircşi deplasează punctual de

aplicaţie din puntul A icircn punctual B este

(118)

d) Energia cinetică

Energia cinetică este acea parte a energiei mecanice determinată de mişcarea corpului Notaţii utilizate pentru energia cinetică sau T Thomas Young a fost primul care a introdus termenul de energie referitor la cantitatea egală cu produsul dintre masă şi pătratul vitezei Gustave-Gaspard Coriolis a descris energia cinetică din punct de vedere modern modern Unitatea de măsură icircn SI este

Forţa este egală cu derivata impulsului icircn raport cu timpul

(119)

Se calculează lucrul mecanic elementar

(120)

Energia cinetică este definită cu relaţia

(121)

Din compararea ultimelor două relaţii obţinem

(122)Icircn cazul icircn care punctual material se deplasează icircntre punctele A şi B prin integrarea relaţiei (122) obţinem

(124)

4

Relaţia (124) reprezintă teorema variaţiei energiei cinetice lucrul mecanic efectuat icircntre două poziţii A şi B este egal cu variaţia energiei cinetice a punctului material icircntre cele două poziţii

e) Forţe conservative

Forţele conservative sunt acele forţe pentru care lucrul mecanic efectuat icircntre două puncte A şi B (Fig 16) nu depinde de drumul pe care s-a deplasat punctual de aplicaţie al forţei

Fig 16

(125)

Forţele conservative sunt acele forţe care se pot exprima prin gradientul unui potenţial scalarDaca punctual de aplicaţie al forţei se deplasează pe o curbă icircnchisă A rarrBrarr A lucrul

mecanic efectuat este nul şi avem (126)

Deci lucrul mecanic efectuat de o forţă conservativă pe o curbă icircnchisă este zero

(127)

Utilizacircnd teorema Stokes-Ampegravere obţinem

(128)Rotorul unei forţe conservative este nul Exemple de forţe conservative forţa gravitaţională forţa electrică forţa elastică etcForţele neoconservative sunt forţele pentru care lucrul mecanic efectuat icircntre două

puncte depinde de drum forţa de frecare magnetismul

f) Energia potenţială

Energia potenţială este acea parte a energiei mecanice care depinde de configuraţia sistemului adică de poziţia particulelor icircntr-un cacircmp de forţe William Rankine a introdus termenul de energie potenţială Unitatea de măsură icircn SI este Este necesară alegerea unui punct icircn care se consideră U = 0 numit punctul de zero al energiei potenţiale sau punct de referinţă Energia potenţială se defineşte icircn mod unic numai icircn cazul forţelor conservative Dacă rotorul unui camp vectorial este nul rezultă că acel camp vectorial provine dintr-un scalar prin aplicarea gradientului (rot = 0 = grad φ) deoarece rot grad φ = 0 pentru orice φ

5

A B

(C1)

(C2)

Icircn cazul forţelor conservative avem Pentru forţele conservative avem relaţia

(129)

deci

Se evaluează lucrul mecanic elementar

şi obţinem(130)

Dacă punctual de aplicaţie al forţei se deplasează din A icircn B prin integrarea relaţiei

(130) obţinem

(131)Dacă considerăm că punctul A este desemnat icircn mod arbitrar ca punct de zero al

energiei potenţiale adică avem U(A) = 0 atunci rezultă

(132)

Energia potenţială a unui punct material aflat icircntr-un camp de forţe conservative icircn poziţia oarecare B este egală cu lucrul mecanic efectuat de forţele cacircmpului pentru a deplasa punctual material din poziţia considerată icircn punctul de referinţă

Exemple

1) Energia potenţială icircn cacircmpul forţelor elasticeSe consideră poziţia de echilibru ca punct de referinţă U(0) = 0 şi obţinem

şi

(133)

2) Energia potenţială icircn cacircmp electric

6

Conform legii lui Coulomb forţa de interacţiune dintre două sarcini electrice Q şi q este

(133a)

Se consideră punctul de referinţă la infinit U(r = infin) = 0 şi rezultă

(133b)

Potenţialul electric la distanţa r de sarcina Q este dat de relaţia

(133c)

şi obţinem

(133d)

112 Principiile fundamentale ale dinamicii clasice

1) Legea inerţieiUn punct material icircşi păstrează starea de mişcare rectilinie şi uniformă sau de repaus

relativ atacirct timp cacirct asupra sa nu acţionează nici o forţă

2) Principiul fundamental al dinamiciiIcircn mecanica clasică masa este constantă m = const

(134)

Dacă o forţă acţionează asupra unui corp icirci imprimă o acceleraţie direct proporţională cu avacircnd aceeaşi orientare cu forţa şi invers proprţională cu masa

Dacă cazul mişcării rectilinii şi uniformeUtilizacircnd componentele forţei obţinem

7

(135)

Identificacircnd coeficienţii lui şi rezultă

(136)

(137)

(138)

Relaţiile (136) (137) şi (138) reprezintă ecuaţiile de mişcare Soluţiile acestor ecuaţii reprezintă legea de mişcare a punctului material

(139)

Eliminacircnd timpul din relaţiile (139) obţinem ecuaţia traiectoriei

3) Principiul acţiunilor reciproceDacă un corp acţionează asupra altui corp cu o forţă cel de-al doilea corp

reacţionează cu o forţă egală icircn modul dar de sens contrar numită reactiune (140)

4) Principiul suprapunerii forţelor Dacă mai multe forţe acţionează asupra unui punct material fiecare forţă acţionează

independent de celelalte

8

113 Legi de conservare

1) Legea conservării impulsuluiExpresia matematică este

(141)

Impulsul unui punct material izolat este constant icircn timp

2) Legea conservării momentului cineticMomentul cinetic al unui punct material icircn raport cu un punct fix numit pol

se defineşte prin relaţia (142)

Icircn cazul mişcării circulare şi avem (143)

Momentul forţei icircn raport cu acelaşi punct fix se defineşte cu relaţia (144)

Modulul este

Derivacircnd relaţia (142) icircn raport cu timpul obţinem

9

Icircn general orice vector arbitrar este dat de relaţia

(12)unde A and A sunt componentele vectorului (Fig 12) Modulul vectorului este

(13) şi sunt versorii axelor de coordonate şi satisfac relaţiile

= = 1

Icircn sistemul de coordinate sferice poziţia unui

punct P este dată de coordonatele sferice r θ φ (Fig 13)

FFig 13

Legea de mişcare a punctului material icircn coordonate carteziene estex = x(t) y = y(t) z = z(t) (14)

adică= (t) (t) = x(t) + y(t) + z(t) (15)

a) VitezaConsiderăm un punct material care se mişcă pe o traiectorie oarecare la momentul

aflacircndu-se icircn poziţia P şi la momentul aflacircndu-se icircn poziţia P Se face notaţia Δs pentru

lungimea arcului de curbă P P Viteza medie este raportul dintre spaţiul parcurs de mobil şi timpul necesar parcurgerii acestui spaţiu

(16)

Pentru obţinerea unei precizii mai mari icircn ceea ce priveşte descrierea mişcării mobilului se introduce noţiunea de viteză instantanee Viteza instantanee se defineşte

(17a)

adică vectorul viteză instantanee este

(17b)

unde d are orientarea tangentei la curbă şi vectorul viteză instantanee are orientarea tangentei la traiectorie şi sensul coincide cu sensul de deplasare al punctului material

2

x

O

z

P

y

r

Fig 14

Icircn coordonate carteziene vectorul viteză se scrie sub forma (18)

unde and sunt componentele după direcţiile Ox Oz şi Oy Avem

(19)

şi comparacircnd ultimele două relaţii rezultă

(110)

Modulul vectorului viteză este

v = (111)

b) AcceleraţiaO modificare a vitezei este acceleraţia Un mobil este accelerat numai dacă asupra sa

acţionează o forţăVectorul acceleraţie instantanee se defineşte

(112)

Icircn coordonate carteziene vectorul acceleraţie se scrie sub forma (113)

Din relaţiile (19) şi (112) rezultă

(114)

Comparacircnd ultimele două relaţii obţinem

(115)

Modulul vectorului acceleraţie este

(116)

1 Un caz particular este cel al mişcării rectilinii şi uniforme caz icircn care viteza este constantă deci acceleraţia este nulă

c) Lucrul mecanic

3

P2

P1

P2

P1r

2tr

1tr

O

tr

tr dd

Considerăm că asupra unui punct material acţionează o forţă determinacircnd deplasarea corpului pe o traiectorie oarecare Icircn general pot exista situaţiile

- forţa poate să fie variabilă icircn timp F = F(t)- direcţia forţei să nu coincidă cu direcţia de deplasare a punctului material

Lucrul mecanic elementar este o mărime de process deci este o mărime care depinde de tipul procesului (nu este o diferenţială totală exactă deoarece depinde de drumul urmat) Unitatea de măsură icircn SI este

Lucrul mecanic elementar efectuat de forţa care acţionează asupra punctului material cacircnd icircşi deplasează punctual de aplicaţie pe distanţa se defineşte cu relaţia

(117)Lucrul mechanic total efectuat de forţa atunci cacircnd icircşi deplasează punctual de

aplicaţie din puntul A icircn punctual B este

(118)

d) Energia cinetică

Energia cinetică este acea parte a energiei mecanice determinată de mişcarea corpului Notaţii utilizate pentru energia cinetică sau T Thomas Young a fost primul care a introdus termenul de energie referitor la cantitatea egală cu produsul dintre masă şi pătratul vitezei Gustave-Gaspard Coriolis a descris energia cinetică din punct de vedere modern modern Unitatea de măsură icircn SI este

Forţa este egală cu derivata impulsului icircn raport cu timpul

(119)

Se calculează lucrul mecanic elementar

(120)

Energia cinetică este definită cu relaţia

(121)

Din compararea ultimelor două relaţii obţinem

(122)Icircn cazul icircn care punctual material se deplasează icircntre punctele A şi B prin integrarea relaţiei (122) obţinem

(124)

4

Relaţia (124) reprezintă teorema variaţiei energiei cinetice lucrul mecanic efectuat icircntre două poziţii A şi B este egal cu variaţia energiei cinetice a punctului material icircntre cele două poziţii

e) Forţe conservative

Forţele conservative sunt acele forţe pentru care lucrul mecanic efectuat icircntre două puncte A şi B (Fig 16) nu depinde de drumul pe care s-a deplasat punctual de aplicaţie al forţei

Fig 16

(125)

Forţele conservative sunt acele forţe care se pot exprima prin gradientul unui potenţial scalarDaca punctual de aplicaţie al forţei se deplasează pe o curbă icircnchisă A rarrBrarr A lucrul

mecanic efectuat este nul şi avem (126)

Deci lucrul mecanic efectuat de o forţă conservativă pe o curbă icircnchisă este zero

(127)

Utilizacircnd teorema Stokes-Ampegravere obţinem

(128)Rotorul unei forţe conservative este nul Exemple de forţe conservative forţa gravitaţională forţa electrică forţa elastică etcForţele neoconservative sunt forţele pentru care lucrul mecanic efectuat icircntre două

puncte depinde de drum forţa de frecare magnetismul

f) Energia potenţială

Energia potenţială este acea parte a energiei mecanice care depinde de configuraţia sistemului adică de poziţia particulelor icircntr-un cacircmp de forţe William Rankine a introdus termenul de energie potenţială Unitatea de măsură icircn SI este Este necesară alegerea unui punct icircn care se consideră U = 0 numit punctul de zero al energiei potenţiale sau punct de referinţă Energia potenţială se defineşte icircn mod unic numai icircn cazul forţelor conservative Dacă rotorul unui camp vectorial este nul rezultă că acel camp vectorial provine dintr-un scalar prin aplicarea gradientului (rot = 0 = grad φ) deoarece rot grad φ = 0 pentru orice φ

5

A B

(C1)

(C2)

Icircn cazul forţelor conservative avem Pentru forţele conservative avem relaţia

(129)

deci

Se evaluează lucrul mecanic elementar

şi obţinem(130)

Dacă punctual de aplicaţie al forţei se deplasează din A icircn B prin integrarea relaţiei

(130) obţinem

(131)Dacă considerăm că punctul A este desemnat icircn mod arbitrar ca punct de zero al

energiei potenţiale adică avem U(A) = 0 atunci rezultă

(132)

Energia potenţială a unui punct material aflat icircntr-un camp de forţe conservative icircn poziţia oarecare B este egală cu lucrul mecanic efectuat de forţele cacircmpului pentru a deplasa punctual material din poziţia considerată icircn punctul de referinţă

Exemple

1) Energia potenţială icircn cacircmpul forţelor elasticeSe consideră poziţia de echilibru ca punct de referinţă U(0) = 0 şi obţinem

şi

(133)

2) Energia potenţială icircn cacircmp electric

6

Conform legii lui Coulomb forţa de interacţiune dintre două sarcini electrice Q şi q este

(133a)

Se consideră punctul de referinţă la infinit U(r = infin) = 0 şi rezultă

(133b)

Potenţialul electric la distanţa r de sarcina Q este dat de relaţia

(133c)

şi obţinem

(133d)

112 Principiile fundamentale ale dinamicii clasice

1) Legea inerţieiUn punct material icircşi păstrează starea de mişcare rectilinie şi uniformă sau de repaus

relativ atacirct timp cacirct asupra sa nu acţionează nici o forţă

2) Principiul fundamental al dinamiciiIcircn mecanica clasică masa este constantă m = const

(134)

Dacă o forţă acţionează asupra unui corp icirci imprimă o acceleraţie direct proporţională cu avacircnd aceeaşi orientare cu forţa şi invers proprţională cu masa

Dacă cazul mişcării rectilinii şi uniformeUtilizacircnd componentele forţei obţinem

7

(135)

Identificacircnd coeficienţii lui şi rezultă

(136)

(137)

(138)

Relaţiile (136) (137) şi (138) reprezintă ecuaţiile de mişcare Soluţiile acestor ecuaţii reprezintă legea de mişcare a punctului material

(139)

Eliminacircnd timpul din relaţiile (139) obţinem ecuaţia traiectoriei

3) Principiul acţiunilor reciproceDacă un corp acţionează asupra altui corp cu o forţă cel de-al doilea corp

reacţionează cu o forţă egală icircn modul dar de sens contrar numită reactiune (140)

4) Principiul suprapunerii forţelor Dacă mai multe forţe acţionează asupra unui punct material fiecare forţă acţionează

independent de celelalte

8

113 Legi de conservare

1) Legea conservării impulsuluiExpresia matematică este

(141)

Impulsul unui punct material izolat este constant icircn timp

2) Legea conservării momentului cineticMomentul cinetic al unui punct material icircn raport cu un punct fix numit pol

se defineşte prin relaţia (142)

Icircn cazul mişcării circulare şi avem (143)

Momentul forţei icircn raport cu acelaşi punct fix se defineşte cu relaţia (144)

Modulul este

Derivacircnd relaţia (142) icircn raport cu timpul obţinem

9

Fig 14

Icircn coordonate carteziene vectorul viteză se scrie sub forma (18)

unde and sunt componentele după direcţiile Ox Oz şi Oy Avem

(19)

şi comparacircnd ultimele două relaţii rezultă

(110)

Modulul vectorului viteză este

v = (111)

b) AcceleraţiaO modificare a vitezei este acceleraţia Un mobil este accelerat numai dacă asupra sa

acţionează o forţăVectorul acceleraţie instantanee se defineşte

(112)

Icircn coordonate carteziene vectorul acceleraţie se scrie sub forma (113)

Din relaţiile (19) şi (112) rezultă

(114)

Comparacircnd ultimele două relaţii obţinem

(115)

Modulul vectorului acceleraţie este

(116)

1 Un caz particular este cel al mişcării rectilinii şi uniforme caz icircn care viteza este constantă deci acceleraţia este nulă

c) Lucrul mecanic

3

P2

P1

P2

P1r

2tr

1tr

O

tr

tr dd

Considerăm că asupra unui punct material acţionează o forţă determinacircnd deplasarea corpului pe o traiectorie oarecare Icircn general pot exista situaţiile

- forţa poate să fie variabilă icircn timp F = F(t)- direcţia forţei să nu coincidă cu direcţia de deplasare a punctului material

Lucrul mecanic elementar este o mărime de process deci este o mărime care depinde de tipul procesului (nu este o diferenţială totală exactă deoarece depinde de drumul urmat) Unitatea de măsură icircn SI este

Lucrul mecanic elementar efectuat de forţa care acţionează asupra punctului material cacircnd icircşi deplasează punctual de aplicaţie pe distanţa se defineşte cu relaţia

(117)Lucrul mechanic total efectuat de forţa atunci cacircnd icircşi deplasează punctual de

aplicaţie din puntul A icircn punctual B este

(118)

d) Energia cinetică

Energia cinetică este acea parte a energiei mecanice determinată de mişcarea corpului Notaţii utilizate pentru energia cinetică sau T Thomas Young a fost primul care a introdus termenul de energie referitor la cantitatea egală cu produsul dintre masă şi pătratul vitezei Gustave-Gaspard Coriolis a descris energia cinetică din punct de vedere modern modern Unitatea de măsură icircn SI este

Forţa este egală cu derivata impulsului icircn raport cu timpul

(119)

Se calculează lucrul mecanic elementar

(120)

Energia cinetică este definită cu relaţia

(121)

Din compararea ultimelor două relaţii obţinem

(122)Icircn cazul icircn care punctual material se deplasează icircntre punctele A şi B prin integrarea relaţiei (122) obţinem

(124)

4

Relaţia (124) reprezintă teorema variaţiei energiei cinetice lucrul mecanic efectuat icircntre două poziţii A şi B este egal cu variaţia energiei cinetice a punctului material icircntre cele două poziţii

e) Forţe conservative

Forţele conservative sunt acele forţe pentru care lucrul mecanic efectuat icircntre două puncte A şi B (Fig 16) nu depinde de drumul pe care s-a deplasat punctual de aplicaţie al forţei

Fig 16

(125)

Forţele conservative sunt acele forţe care se pot exprima prin gradientul unui potenţial scalarDaca punctual de aplicaţie al forţei se deplasează pe o curbă icircnchisă A rarrBrarr A lucrul

mecanic efectuat este nul şi avem (126)

Deci lucrul mecanic efectuat de o forţă conservativă pe o curbă icircnchisă este zero

(127)

Utilizacircnd teorema Stokes-Ampegravere obţinem

(128)Rotorul unei forţe conservative este nul Exemple de forţe conservative forţa gravitaţională forţa electrică forţa elastică etcForţele neoconservative sunt forţele pentru care lucrul mecanic efectuat icircntre două

puncte depinde de drum forţa de frecare magnetismul

f) Energia potenţială

Energia potenţială este acea parte a energiei mecanice care depinde de configuraţia sistemului adică de poziţia particulelor icircntr-un cacircmp de forţe William Rankine a introdus termenul de energie potenţială Unitatea de măsură icircn SI este Este necesară alegerea unui punct icircn care se consideră U = 0 numit punctul de zero al energiei potenţiale sau punct de referinţă Energia potenţială se defineşte icircn mod unic numai icircn cazul forţelor conservative Dacă rotorul unui camp vectorial este nul rezultă că acel camp vectorial provine dintr-un scalar prin aplicarea gradientului (rot = 0 = grad φ) deoarece rot grad φ = 0 pentru orice φ

5

A B

(C1)

(C2)

Icircn cazul forţelor conservative avem Pentru forţele conservative avem relaţia

(129)

deci

Se evaluează lucrul mecanic elementar

şi obţinem(130)

Dacă punctual de aplicaţie al forţei se deplasează din A icircn B prin integrarea relaţiei

(130) obţinem

(131)Dacă considerăm că punctul A este desemnat icircn mod arbitrar ca punct de zero al

energiei potenţiale adică avem U(A) = 0 atunci rezultă

(132)

Energia potenţială a unui punct material aflat icircntr-un camp de forţe conservative icircn poziţia oarecare B este egală cu lucrul mecanic efectuat de forţele cacircmpului pentru a deplasa punctual material din poziţia considerată icircn punctul de referinţă

Exemple

1) Energia potenţială icircn cacircmpul forţelor elasticeSe consideră poziţia de echilibru ca punct de referinţă U(0) = 0 şi obţinem

şi

(133)

2) Energia potenţială icircn cacircmp electric

6

Conform legii lui Coulomb forţa de interacţiune dintre două sarcini electrice Q şi q este

(133a)

Se consideră punctul de referinţă la infinit U(r = infin) = 0 şi rezultă

(133b)

Potenţialul electric la distanţa r de sarcina Q este dat de relaţia

(133c)

şi obţinem

(133d)

112 Principiile fundamentale ale dinamicii clasice

1) Legea inerţieiUn punct material icircşi păstrează starea de mişcare rectilinie şi uniformă sau de repaus

relativ atacirct timp cacirct asupra sa nu acţionează nici o forţă

2) Principiul fundamental al dinamiciiIcircn mecanica clasică masa este constantă m = const

(134)

Dacă o forţă acţionează asupra unui corp icirci imprimă o acceleraţie direct proporţională cu avacircnd aceeaşi orientare cu forţa şi invers proprţională cu masa

Dacă cazul mişcării rectilinii şi uniformeUtilizacircnd componentele forţei obţinem

7

(135)

Identificacircnd coeficienţii lui şi rezultă

(136)

(137)

(138)

Relaţiile (136) (137) şi (138) reprezintă ecuaţiile de mişcare Soluţiile acestor ecuaţii reprezintă legea de mişcare a punctului material

(139)

Eliminacircnd timpul din relaţiile (139) obţinem ecuaţia traiectoriei

3) Principiul acţiunilor reciproceDacă un corp acţionează asupra altui corp cu o forţă cel de-al doilea corp

reacţionează cu o forţă egală icircn modul dar de sens contrar numită reactiune (140)

4) Principiul suprapunerii forţelor Dacă mai multe forţe acţionează asupra unui punct material fiecare forţă acţionează

independent de celelalte

8

113 Legi de conservare

1) Legea conservării impulsuluiExpresia matematică este

(141)

Impulsul unui punct material izolat este constant icircn timp

2) Legea conservării momentului cineticMomentul cinetic al unui punct material icircn raport cu un punct fix numit pol

se defineşte prin relaţia (142)

Icircn cazul mişcării circulare şi avem (143)

Momentul forţei icircn raport cu acelaşi punct fix se defineşte cu relaţia (144)

Modulul este

Derivacircnd relaţia (142) icircn raport cu timpul obţinem

9

Considerăm că asupra unui punct material acţionează o forţă determinacircnd deplasarea corpului pe o traiectorie oarecare Icircn general pot exista situaţiile

- forţa poate să fie variabilă icircn timp F = F(t)- direcţia forţei să nu coincidă cu direcţia de deplasare a punctului material

Lucrul mecanic elementar este o mărime de process deci este o mărime care depinde de tipul procesului (nu este o diferenţială totală exactă deoarece depinde de drumul urmat) Unitatea de măsură icircn SI este

Lucrul mecanic elementar efectuat de forţa care acţionează asupra punctului material cacircnd icircşi deplasează punctual de aplicaţie pe distanţa se defineşte cu relaţia

(117)Lucrul mechanic total efectuat de forţa atunci cacircnd icircşi deplasează punctual de

aplicaţie din puntul A icircn punctual B este

(118)

d) Energia cinetică

Energia cinetică este acea parte a energiei mecanice determinată de mişcarea corpului Notaţii utilizate pentru energia cinetică sau T Thomas Young a fost primul care a introdus termenul de energie referitor la cantitatea egală cu produsul dintre masă şi pătratul vitezei Gustave-Gaspard Coriolis a descris energia cinetică din punct de vedere modern modern Unitatea de măsură icircn SI este

Forţa este egală cu derivata impulsului icircn raport cu timpul

(119)

Se calculează lucrul mecanic elementar

(120)

Energia cinetică este definită cu relaţia

(121)

Din compararea ultimelor două relaţii obţinem

(122)Icircn cazul icircn care punctual material se deplasează icircntre punctele A şi B prin integrarea relaţiei (122) obţinem

(124)

4

Relaţia (124) reprezintă teorema variaţiei energiei cinetice lucrul mecanic efectuat icircntre două poziţii A şi B este egal cu variaţia energiei cinetice a punctului material icircntre cele două poziţii

e) Forţe conservative

Forţele conservative sunt acele forţe pentru care lucrul mecanic efectuat icircntre două puncte A şi B (Fig 16) nu depinde de drumul pe care s-a deplasat punctual de aplicaţie al forţei

Fig 16

(125)

Forţele conservative sunt acele forţe care se pot exprima prin gradientul unui potenţial scalarDaca punctual de aplicaţie al forţei se deplasează pe o curbă icircnchisă A rarrBrarr A lucrul

mecanic efectuat este nul şi avem (126)

Deci lucrul mecanic efectuat de o forţă conservativă pe o curbă icircnchisă este zero

(127)

Utilizacircnd teorema Stokes-Ampegravere obţinem

(128)Rotorul unei forţe conservative este nul Exemple de forţe conservative forţa gravitaţională forţa electrică forţa elastică etcForţele neoconservative sunt forţele pentru care lucrul mecanic efectuat icircntre două

puncte depinde de drum forţa de frecare magnetismul

f) Energia potenţială

Energia potenţială este acea parte a energiei mecanice care depinde de configuraţia sistemului adică de poziţia particulelor icircntr-un cacircmp de forţe William Rankine a introdus termenul de energie potenţială Unitatea de măsură icircn SI este Este necesară alegerea unui punct icircn care se consideră U = 0 numit punctul de zero al energiei potenţiale sau punct de referinţă Energia potenţială se defineşte icircn mod unic numai icircn cazul forţelor conservative Dacă rotorul unui camp vectorial este nul rezultă că acel camp vectorial provine dintr-un scalar prin aplicarea gradientului (rot = 0 = grad φ) deoarece rot grad φ = 0 pentru orice φ

5

A B

(C1)

(C2)

Icircn cazul forţelor conservative avem Pentru forţele conservative avem relaţia

(129)

deci

Se evaluează lucrul mecanic elementar

şi obţinem(130)

Dacă punctual de aplicaţie al forţei se deplasează din A icircn B prin integrarea relaţiei

(130) obţinem

(131)Dacă considerăm că punctul A este desemnat icircn mod arbitrar ca punct de zero al

energiei potenţiale adică avem U(A) = 0 atunci rezultă

(132)

Energia potenţială a unui punct material aflat icircntr-un camp de forţe conservative icircn poziţia oarecare B este egală cu lucrul mecanic efectuat de forţele cacircmpului pentru a deplasa punctual material din poziţia considerată icircn punctul de referinţă

Exemple

1) Energia potenţială icircn cacircmpul forţelor elasticeSe consideră poziţia de echilibru ca punct de referinţă U(0) = 0 şi obţinem

şi

(133)

2) Energia potenţială icircn cacircmp electric

6

Conform legii lui Coulomb forţa de interacţiune dintre două sarcini electrice Q şi q este

(133a)

Se consideră punctul de referinţă la infinit U(r = infin) = 0 şi rezultă

(133b)

Potenţialul electric la distanţa r de sarcina Q este dat de relaţia

(133c)

şi obţinem

(133d)

112 Principiile fundamentale ale dinamicii clasice

1) Legea inerţieiUn punct material icircşi păstrează starea de mişcare rectilinie şi uniformă sau de repaus

relativ atacirct timp cacirct asupra sa nu acţionează nici o forţă

2) Principiul fundamental al dinamiciiIcircn mecanica clasică masa este constantă m = const

(134)

Dacă o forţă acţionează asupra unui corp icirci imprimă o acceleraţie direct proporţională cu avacircnd aceeaşi orientare cu forţa şi invers proprţională cu masa

Dacă cazul mişcării rectilinii şi uniformeUtilizacircnd componentele forţei obţinem

7

(135)

Identificacircnd coeficienţii lui şi rezultă

(136)

(137)

(138)

Relaţiile (136) (137) şi (138) reprezintă ecuaţiile de mişcare Soluţiile acestor ecuaţii reprezintă legea de mişcare a punctului material

(139)

Eliminacircnd timpul din relaţiile (139) obţinem ecuaţia traiectoriei

3) Principiul acţiunilor reciproceDacă un corp acţionează asupra altui corp cu o forţă cel de-al doilea corp

reacţionează cu o forţă egală icircn modul dar de sens contrar numită reactiune (140)

4) Principiul suprapunerii forţelor Dacă mai multe forţe acţionează asupra unui punct material fiecare forţă acţionează

independent de celelalte

8

113 Legi de conservare

1) Legea conservării impulsuluiExpresia matematică este

(141)

Impulsul unui punct material izolat este constant icircn timp

2) Legea conservării momentului cineticMomentul cinetic al unui punct material icircn raport cu un punct fix numit pol

se defineşte prin relaţia (142)

Icircn cazul mişcării circulare şi avem (143)

Momentul forţei icircn raport cu acelaşi punct fix se defineşte cu relaţia (144)

Modulul este

Derivacircnd relaţia (142) icircn raport cu timpul obţinem

9

Relaţia (124) reprezintă teorema variaţiei energiei cinetice lucrul mecanic efectuat icircntre două poziţii A şi B este egal cu variaţia energiei cinetice a punctului material icircntre cele două poziţii

e) Forţe conservative

Forţele conservative sunt acele forţe pentru care lucrul mecanic efectuat icircntre două puncte A şi B (Fig 16) nu depinde de drumul pe care s-a deplasat punctual de aplicaţie al forţei

Fig 16

(125)

Forţele conservative sunt acele forţe care se pot exprima prin gradientul unui potenţial scalarDaca punctual de aplicaţie al forţei se deplasează pe o curbă icircnchisă A rarrBrarr A lucrul

mecanic efectuat este nul şi avem (126)

Deci lucrul mecanic efectuat de o forţă conservativă pe o curbă icircnchisă este zero

(127)

Utilizacircnd teorema Stokes-Ampegravere obţinem

(128)Rotorul unei forţe conservative este nul Exemple de forţe conservative forţa gravitaţională forţa electrică forţa elastică etcForţele neoconservative sunt forţele pentru care lucrul mecanic efectuat icircntre două

puncte depinde de drum forţa de frecare magnetismul

f) Energia potenţială

Energia potenţială este acea parte a energiei mecanice care depinde de configuraţia sistemului adică de poziţia particulelor icircntr-un cacircmp de forţe William Rankine a introdus termenul de energie potenţială Unitatea de măsură icircn SI este Este necesară alegerea unui punct icircn care se consideră U = 0 numit punctul de zero al energiei potenţiale sau punct de referinţă Energia potenţială se defineşte icircn mod unic numai icircn cazul forţelor conservative Dacă rotorul unui camp vectorial este nul rezultă că acel camp vectorial provine dintr-un scalar prin aplicarea gradientului (rot = 0 = grad φ) deoarece rot grad φ = 0 pentru orice φ

5

A B

(C1)

(C2)

Icircn cazul forţelor conservative avem Pentru forţele conservative avem relaţia

(129)

deci

Se evaluează lucrul mecanic elementar

şi obţinem(130)

Dacă punctual de aplicaţie al forţei se deplasează din A icircn B prin integrarea relaţiei

(130) obţinem

(131)Dacă considerăm că punctul A este desemnat icircn mod arbitrar ca punct de zero al

energiei potenţiale adică avem U(A) = 0 atunci rezultă

(132)

Energia potenţială a unui punct material aflat icircntr-un camp de forţe conservative icircn poziţia oarecare B este egală cu lucrul mecanic efectuat de forţele cacircmpului pentru a deplasa punctual material din poziţia considerată icircn punctul de referinţă

Exemple

1) Energia potenţială icircn cacircmpul forţelor elasticeSe consideră poziţia de echilibru ca punct de referinţă U(0) = 0 şi obţinem

şi

(133)

2) Energia potenţială icircn cacircmp electric

6

Conform legii lui Coulomb forţa de interacţiune dintre două sarcini electrice Q şi q este

(133a)

Se consideră punctul de referinţă la infinit U(r = infin) = 0 şi rezultă

(133b)

Potenţialul electric la distanţa r de sarcina Q este dat de relaţia

(133c)

şi obţinem

(133d)

112 Principiile fundamentale ale dinamicii clasice

1) Legea inerţieiUn punct material icircşi păstrează starea de mişcare rectilinie şi uniformă sau de repaus

relativ atacirct timp cacirct asupra sa nu acţionează nici o forţă

2) Principiul fundamental al dinamiciiIcircn mecanica clasică masa este constantă m = const

(134)

Dacă o forţă acţionează asupra unui corp icirci imprimă o acceleraţie direct proporţională cu avacircnd aceeaşi orientare cu forţa şi invers proprţională cu masa

Dacă cazul mişcării rectilinii şi uniformeUtilizacircnd componentele forţei obţinem

7

(135)

Identificacircnd coeficienţii lui şi rezultă

(136)

(137)

(138)

Relaţiile (136) (137) şi (138) reprezintă ecuaţiile de mişcare Soluţiile acestor ecuaţii reprezintă legea de mişcare a punctului material

(139)

Eliminacircnd timpul din relaţiile (139) obţinem ecuaţia traiectoriei

3) Principiul acţiunilor reciproceDacă un corp acţionează asupra altui corp cu o forţă cel de-al doilea corp

reacţionează cu o forţă egală icircn modul dar de sens contrar numită reactiune (140)

4) Principiul suprapunerii forţelor Dacă mai multe forţe acţionează asupra unui punct material fiecare forţă acţionează

independent de celelalte

8

113 Legi de conservare

1) Legea conservării impulsuluiExpresia matematică este

(141)

Impulsul unui punct material izolat este constant icircn timp

2) Legea conservării momentului cineticMomentul cinetic al unui punct material icircn raport cu un punct fix numit pol

se defineşte prin relaţia (142)

Icircn cazul mişcării circulare şi avem (143)

Momentul forţei icircn raport cu acelaşi punct fix se defineşte cu relaţia (144)

Modulul este

Derivacircnd relaţia (142) icircn raport cu timpul obţinem

9

Icircn cazul forţelor conservative avem Pentru forţele conservative avem relaţia

(129)

deci

Se evaluează lucrul mecanic elementar

şi obţinem(130)

Dacă punctual de aplicaţie al forţei se deplasează din A icircn B prin integrarea relaţiei

(130) obţinem

(131)Dacă considerăm că punctul A este desemnat icircn mod arbitrar ca punct de zero al

energiei potenţiale adică avem U(A) = 0 atunci rezultă

(132)

Energia potenţială a unui punct material aflat icircntr-un camp de forţe conservative icircn poziţia oarecare B este egală cu lucrul mecanic efectuat de forţele cacircmpului pentru a deplasa punctual material din poziţia considerată icircn punctul de referinţă

Exemple

1) Energia potenţială icircn cacircmpul forţelor elasticeSe consideră poziţia de echilibru ca punct de referinţă U(0) = 0 şi obţinem

şi

(133)

2) Energia potenţială icircn cacircmp electric

6

Conform legii lui Coulomb forţa de interacţiune dintre două sarcini electrice Q şi q este

(133a)

Se consideră punctul de referinţă la infinit U(r = infin) = 0 şi rezultă

(133b)

Potenţialul electric la distanţa r de sarcina Q este dat de relaţia

(133c)

şi obţinem

(133d)

112 Principiile fundamentale ale dinamicii clasice

1) Legea inerţieiUn punct material icircşi păstrează starea de mişcare rectilinie şi uniformă sau de repaus

relativ atacirct timp cacirct asupra sa nu acţionează nici o forţă

2) Principiul fundamental al dinamiciiIcircn mecanica clasică masa este constantă m = const

(134)

Dacă o forţă acţionează asupra unui corp icirci imprimă o acceleraţie direct proporţională cu avacircnd aceeaşi orientare cu forţa şi invers proprţională cu masa

Dacă cazul mişcării rectilinii şi uniformeUtilizacircnd componentele forţei obţinem

7

(135)

Identificacircnd coeficienţii lui şi rezultă

(136)

(137)

(138)

Relaţiile (136) (137) şi (138) reprezintă ecuaţiile de mişcare Soluţiile acestor ecuaţii reprezintă legea de mişcare a punctului material

(139)

Eliminacircnd timpul din relaţiile (139) obţinem ecuaţia traiectoriei

3) Principiul acţiunilor reciproceDacă un corp acţionează asupra altui corp cu o forţă cel de-al doilea corp

reacţionează cu o forţă egală icircn modul dar de sens contrar numită reactiune (140)

4) Principiul suprapunerii forţelor Dacă mai multe forţe acţionează asupra unui punct material fiecare forţă acţionează

independent de celelalte

8

113 Legi de conservare

1) Legea conservării impulsuluiExpresia matematică este

(141)

Impulsul unui punct material izolat este constant icircn timp

2) Legea conservării momentului cineticMomentul cinetic al unui punct material icircn raport cu un punct fix numit pol

se defineşte prin relaţia (142)

Icircn cazul mişcării circulare şi avem (143)

Momentul forţei icircn raport cu acelaşi punct fix se defineşte cu relaţia (144)

Modulul este

Derivacircnd relaţia (142) icircn raport cu timpul obţinem

9

Conform legii lui Coulomb forţa de interacţiune dintre două sarcini electrice Q şi q este

(133a)

Se consideră punctul de referinţă la infinit U(r = infin) = 0 şi rezultă

(133b)

Potenţialul electric la distanţa r de sarcina Q este dat de relaţia

(133c)

şi obţinem

(133d)

112 Principiile fundamentale ale dinamicii clasice

1) Legea inerţieiUn punct material icircşi păstrează starea de mişcare rectilinie şi uniformă sau de repaus

relativ atacirct timp cacirct asupra sa nu acţionează nici o forţă

2) Principiul fundamental al dinamiciiIcircn mecanica clasică masa este constantă m = const

(134)

Dacă o forţă acţionează asupra unui corp icirci imprimă o acceleraţie direct proporţională cu avacircnd aceeaşi orientare cu forţa şi invers proprţională cu masa

Dacă cazul mişcării rectilinii şi uniformeUtilizacircnd componentele forţei obţinem

7

(135)

Identificacircnd coeficienţii lui şi rezultă

(136)

(137)

(138)

Relaţiile (136) (137) şi (138) reprezintă ecuaţiile de mişcare Soluţiile acestor ecuaţii reprezintă legea de mişcare a punctului material

(139)

Eliminacircnd timpul din relaţiile (139) obţinem ecuaţia traiectoriei

3) Principiul acţiunilor reciproceDacă un corp acţionează asupra altui corp cu o forţă cel de-al doilea corp

reacţionează cu o forţă egală icircn modul dar de sens contrar numită reactiune (140)

4) Principiul suprapunerii forţelor Dacă mai multe forţe acţionează asupra unui punct material fiecare forţă acţionează

independent de celelalte

8

113 Legi de conservare

1) Legea conservării impulsuluiExpresia matematică este

(141)

Impulsul unui punct material izolat este constant icircn timp

2) Legea conservării momentului cineticMomentul cinetic al unui punct material icircn raport cu un punct fix numit pol

se defineşte prin relaţia (142)

Icircn cazul mişcării circulare şi avem (143)

Momentul forţei icircn raport cu acelaşi punct fix se defineşte cu relaţia (144)

Modulul este

Derivacircnd relaţia (142) icircn raport cu timpul obţinem

9

(135)

Identificacircnd coeficienţii lui şi rezultă

(136)

(137)

(138)

Relaţiile (136) (137) şi (138) reprezintă ecuaţiile de mişcare Soluţiile acestor ecuaţii reprezintă legea de mişcare a punctului material

(139)

Eliminacircnd timpul din relaţiile (139) obţinem ecuaţia traiectoriei

3) Principiul acţiunilor reciproceDacă un corp acţionează asupra altui corp cu o forţă cel de-al doilea corp

reacţionează cu o forţă egală icircn modul dar de sens contrar numită reactiune (140)

4) Principiul suprapunerii forţelor Dacă mai multe forţe acţionează asupra unui punct material fiecare forţă acţionează

independent de celelalte

8

113 Legi de conservare

1) Legea conservării impulsuluiExpresia matematică este

(141)

Impulsul unui punct material izolat este constant icircn timp

2) Legea conservării momentului cineticMomentul cinetic al unui punct material icircn raport cu un punct fix numit pol

se defineşte prin relaţia (142)

Icircn cazul mişcării circulare şi avem (143)

Momentul forţei icircn raport cu acelaşi punct fix se defineşte cu relaţia (144)

Modulul este

Derivacircnd relaţia (142) icircn raport cu timpul obţinem

9

113 Legi de conservare

1) Legea conservării impulsuluiExpresia matematică este

(141)

Impulsul unui punct material izolat este constant icircn timp

2) Legea conservării momentului cineticMomentul cinetic al unui punct material icircn raport cu un punct fix numit pol

se defineşte prin relaţia (142)

Icircn cazul mişcării circulare şi avem (143)

Momentul forţei icircn raport cu acelaşi punct fix se defineşte cu relaţia (144)

Modulul este

Derivacircnd relaţia (142) icircn raport cu timpul obţinem

9

şi

(145)

Aceasta este teorema de variaţie a momentului cinetic Momentul forţei este egal cu viteza de variaţie icircn timp a momentului cinetic

Din relaţia (145) rezultă (146)

Dacă momentul rezultant al forţei este nul atunci momentul cinetic este constant icircn timp

Această situaţie este icircntacirclnită icircn cazul mişcării icircntr-un cacircmp de forţe centrale Intr-un astfel de cacircmp icircn orice punct forţa este orientată icircn lungul vectorului de poziţie dacă originea axelor de coordonate se alege icircn centrul cacircmpului Icircn acest caz avem

(147)Exemple de cacircmpuri de forţe centrale cacircmpul gravitaţional cacircmpul electric

creat de o sarcină punctiformă

3) Legea conservării energiei mecaniceUtilizacircnd relaţiile (122) şi (130) obţinem

δL = dT δL = ndashdU dT + dU = 0 d(T + U) = 0

(148)

Dacă asupra unui punct material acţionează numai forţe conservative suma dintre energia cinetică şi energia potenţială este constantă icircn timp

Sistemele asupra cărora acţionează numai forţe conservative se numesc sisteme conservative Exemplu oscilatorul armonic

Sistemele asupra asupra cărora acţionează şi forţe neconservative se numesc sisteme disipative Icircn acest caz energia mecanică scade icircn timp transformacircndu-se icircn alte forme de energie de exemplu icircn energie termică

12 Oscilaţii

121 Clasificare

10

T + U = const

Mişcarea oscilatorie este mişcarea unui corp a unui sistem de o parte şi de alta a poziţiei de echilibru

O definiţie mai generală mişcările oscilatorii sunt mişcările care se repetă periodic sau cvasiperiodic icircn timp

Clasificarea mişcărilor oscilatorii se face icircn funcţie de mai multe criterii Avem astfel

1) Clasificarea după dependenţa de timp a mărimilor fizice a) oscilaţii periodice icircn cadrul procesului oscilatoriu valorile tuturor

mărimilor fizice caracteristice procesului de oscilaţie se repetă la intervale egale de timp Intervalul de timp minim după care se repetă aceste valori reprezintă perioada

oscilaţiei (s) Frecvenţa oscilaţiei este inversul perioadei (Hz) şi reprezintă

numărul oscilaţiilor complete efectuate icircn unitatea de timpb) oscilaţii cvasiperiodice icircn acest caz numai o parte din mărimile fizice iau

valori care se repetă periodic icircn timp 2) Icircn funcţie de tipul forţelor care acţionează asupra oscilatoruluia) oscilaţii libere (proprii) care se produc icircn absenţa unei forţe exterioare de

icircntreţinere a mişcării şi pot fi neamortizate (acţionează numai forţa de revenire de tip elastic F = ndash kx) sau amortizate (forţa de revenire de tip elastic şi o forţă de rezistenţă)

b) oscilaţii forţate (icircntreţinute) care au loc atunci cacircnd asupra oscilatorului acţionează şi o forţă exterioară de icircntreţinere a mişcării

3) După caracterul ecuaţiilor de mişcarea) oscilaţii liniare dacă ecuaţia de mişcare este o ecuaţie diferenţială liniarăb) oscilaţii neliniare dacă ecuaţia de mişcare este o ecuaţie diferenţială

neliniarăOscilaţiile care se reprezintă prin funcţii trigonometrice simple (sinus sau

cosinus) se numesc oscilaţii armonice Mişcarea oscilatorie armonică are următoarele caracteristici

- asupra corpului acţionează o forţă de revenire de tip elastic- frecvenţa mişcării este independentă de amplitudinea acesteia- efectele mai multor forţe externe pot fi suprapuse liniarSisteme care oscilează armonic un corp suspendat de un resort (icircn limita

micilor amplitudini de oscilaţie) un pendul simplu (icircn limita micilor unghiuri de oscilaţie) un circuit de tip LC (bobină ideală condensator ideal icircn cazul curenţilor de intensitate mică)4) După natura fizică a oscilaţiilora) oscilaţii mecanice energia cinetică se transformă icircn energie potenţială şi invers astfel de oscilaţii sunt oscilaţiile unui pendul vibraţiile unei corzi ale unei membrane

11

b) oscilaţii electromagnetice icircn cursul cărora energia electrică se transformă icircn energie magnetică şi invers cum sunt oscilaţiile dintr-un circuit oscilantc) oscilaţii electromecanice icircn care energia electrică se transformă icircn energie mecanică sau invers

Exemple de oscilaţii- mişcările tectonice oscilatorii care sunt mişcări lente de ridicare sau de coboricircre a unor porţiuni vaste din scoarţa terestră Pot fi mişcări de ridicare sau epirogenetice sau pozitive (+) şi de coboricircre - negative (-) Efectul mişcărilor oscilatorii poate fi observat numai după un timp icircndelungat (secole) şi de aceea ele mai sicircnt numite mişcări seculare Aceste mişcări oscilatorii au un caracter continuu şi neuniform aticirct icircn spaţiu cicirct şi icircn timp Mişcările de ridicare şi de coboricircre se produc concomitent şi formează un ansamblu al scoarţei terestre asemănător cu nişte unde mari şi line Aceste mişcări nu produc deformarea straturilor de roci Mişcări intense de ridicare a teritoriului au loc icircn Scandinavia Islanda Scoţia Uralul de Nord Icircntr-un secol suprafaţa teritoriului Finlandei icircn urma ridicării scoarţei terestre şi retragerii mării s-a mărit cu 700 km2 Mişcări de ridicare au loc şi icircn Cacircmpia Europei de Est pe teritoriul Canadei (regiunea Marilor Lacuri) pe Coastele de est ale Africii Insula Capri (Marea Mediterană) s-a ridicat din antichitate picircnă icircn prezent cu 200 m Mişcări de coboracircre sunt pe teritoriul Olandei Belgiei (viteza de coboricircre este de 25 mm icircntr-un secol) pe coastele de sud-est ale Marii Britanii icircn regiunile de est ale Italiei pe ţărmurile Indiei icircn Argentina (Cicircmpia La-Plata) şi pe coastele de Vest ale Africii- mişcări oscilatorii ritmice ale globilor oculari oscilaţii la nivel de neuroni (brain waves ndash unde cerebrale)- sisteme de doi sau mai mulţi oscilatori cuplaţi (pendule sau resorturi cuplate mai multe grade de libertate) de exemplu pendulul dublu

12

- o bulă de mercur icircntr-un tub- pendulul lui Foucault (Leacuteon Foucault) a fost conceput pentru a demonstra

mişcarea de rotaţie a Pămacircntului Icircn figura de mai jos este prezentat pendulul lui Foucault plasare virtuală la polul nord

- oscilaţii electrice oscilatori electrici circuitul RLC puntea Wien (4 rezistori şi 2 condensatori) produce unde sinusoidale

13

- oscilaţii electromecanice microfonul

- cristal de cuarţ este un circuit electronic care care utilizează rezonanţa mecanică a unui cristal (de cuarţ)sau a unui material piezoelectric pentru a crea un semnal electric avacircnd o frecvenţă foarte precisă

- oscilatori optici icircn laseri (oscilaţii ale cacircmpului electromagnetic cu frecvenţe de ordinul a 1015 Hz)

14

Mişcarea oscilatorie este mişcarea unui corp a unui sistem de o parte şi de alta a poziţiei de echilibru

O definiţie mai generală mişcările oscilatorii sunt mişcările care se repetă periodic sau cvasiperiodic icircn timp

Clasificarea mişcărilor oscilatorii se face icircn funcţie de mai multe criterii Avem astfel

1) Clasificarea după dependenţa de timp a mărimilor fizice a) oscilaţii periodice icircn cadrul procesului oscilatoriu valorile tuturor

mărimilor fizice caracteristice procesului de oscilaţie se repetă la intervale egale de timp Intervalul de timp minim după care se repetă aceste valori reprezintă perioada

oscilaţiei (s) Frecvenţa oscilaţiei este inversul perioadei (Hz) şi reprezintă

numărul oscilaţiilor complete efectuate icircn unitatea de timpb) oscilaţii cvasiperiodice icircn acest caz numai o parte din mărimile fizice iau

valori care se repetă periodic icircn timp 2) Icircn funcţie de tipul forţelor care acţionează asupra oscilatoruluia) oscilaţii libere (proprii) care se produc icircn absenţa unei forţe exterioare de

icircntreţinere a mişcării şi pot fi neamortizate (acţionează numai forţa de revenire de tip elastic F = ndash kx) sau amortizate (forţa de revenire de tip elastic şi o forţă de rezistenţă)

b) oscilaţii forţate (icircntreţinute) care au loc atunci cacircnd asupra oscilatorului acţionează şi o forţă exterioară de icircntreţinere a mişcării

3) După caracterul ecuaţiilor de mişcarea) oscilaţii liniare dacă ecuaţia de mişcare este o ecuaţie diferenţială liniarăb) oscilaţii neliniare dacă ecuaţia de mişcare este o ecuaţie diferenţială

neliniarăOscilaţiile care se reprezintă prin funcţii trigonometrice simple (sinus sau

cosinus) se numesc oscilaţii armonice Mişcarea oscilatorie armonică are următoarele caracteristici

- asupra corpului acţionează o forţă de revenire de tip elastic- frecvenţa mişcării este independentă de amplitudinea acesteia- efectele mai multor forţe externe pot fi suprapuse liniarSisteme care oscilează armonic un corp suspendat de un resort (icircn limita

micilor amplitudini de oscilaţie) un pendul simplu (icircn limita micilor unghiuri de oscilaţie) un circuit de tip LC (bobină ideală condensator ideal icircn cazul curenţilor de intensitate mică)4) După natura fizică a oscilaţiilora) oscilaţii mecanice energia cinetică se transformă icircn energie potenţială şi invers astfel de oscilaţii sunt oscilaţiile unui pendul vibraţiile unei corzi ale unei membrane

11

b) oscilaţii electromagnetice icircn cursul cărora energia electrică se transformă icircn energie magnetică şi invers cum sunt oscilaţiile dintr-un circuit oscilantc) oscilaţii electromecanice icircn care energia electrică se transformă icircn energie mecanică sau invers

Exemple de oscilaţii- mişcările tectonice oscilatorii care sunt mişcări lente de ridicare sau de coboricircre a unor porţiuni vaste din scoarţa terestră Pot fi mişcări de ridicare sau epirogenetice sau pozitive (+) şi de coboricircre - negative (-) Efectul mişcărilor oscilatorii poate fi observat numai după un timp icircndelungat (secole) şi de aceea ele mai sicircnt numite mişcări seculare Aceste mişcări oscilatorii au un caracter continuu şi neuniform aticirct icircn spaţiu cicirct şi icircn timp Mişcările de ridicare şi de coboricircre se produc concomitent şi formează un ansamblu al scoarţei terestre asemănător cu nişte unde mari şi line Aceste mişcări nu produc deformarea straturilor de roci Mişcări intense de ridicare a teritoriului au loc icircn Scandinavia Islanda Scoţia Uralul de Nord Icircntr-un secol suprafaţa teritoriului Finlandei icircn urma ridicării scoarţei terestre şi retragerii mării s-a mărit cu 700 km2 Mişcări de ridicare au loc şi icircn Cacircmpia Europei de Est pe teritoriul Canadei (regiunea Marilor Lacuri) pe Coastele de est ale Africii Insula Capri (Marea Mediterană) s-a ridicat din antichitate picircnă icircn prezent cu 200 m Mişcări de coboracircre sunt pe teritoriul Olandei Belgiei (viteza de coboricircre este de 25 mm icircntr-un secol) pe coastele de sud-est ale Marii Britanii icircn regiunile de est ale Italiei pe ţărmurile Indiei icircn Argentina (Cicircmpia La-Plata) şi pe coastele de Vest ale Africii- mişcări oscilatorii ritmice ale globilor oculari oscilaţii la nivel de neuroni (brain waves ndash unde cerebrale)- sisteme de doi sau mai mulţi oscilatori cuplaţi (pendule sau resorturi cuplate mai multe grade de libertate) de exemplu pendulul dublu

12

- o bulă de mercur icircntr-un tub- pendulul lui Foucault (Leacuteon Foucault) a fost conceput pentru a demonstra

mişcarea de rotaţie a Pămacircntului Icircn figura de mai jos este prezentat pendulul lui Foucault plasare virtuală la polul nord

- oscilaţii electrice oscilatori electrici circuitul RLC puntea Wien (4 rezistori şi 2 condensatori) produce unde sinusoidale

13

- oscilaţii electromecanice microfonul

- cristal de cuarţ este un circuit electronic care care utilizează rezonanţa mecanică a unui cristal (de cuarţ)sau a unui material piezoelectric pentru a crea un semnal electric avacircnd o frecvenţă foarte precisă

- oscilatori optici icircn laseri (oscilaţii ale cacircmpului electromagnetic cu frecvenţe de ordinul a 1015 Hz)

14

b) oscilaţii electromagnetice icircn cursul cărora energia electrică se transformă icircn energie magnetică şi invers cum sunt oscilaţiile dintr-un circuit oscilantc) oscilaţii electromecanice icircn care energia electrică se transformă icircn energie mecanică sau invers

Exemple de oscilaţii- mişcările tectonice oscilatorii care sunt mişcări lente de ridicare sau de coboricircre a unor porţiuni vaste din scoarţa terestră Pot fi mişcări de ridicare sau epirogenetice sau pozitive (+) şi de coboricircre - negative (-) Efectul mişcărilor oscilatorii poate fi observat numai după un timp icircndelungat (secole) şi de aceea ele mai sicircnt numite mişcări seculare Aceste mişcări oscilatorii au un caracter continuu şi neuniform aticirct icircn spaţiu cicirct şi icircn timp Mişcările de ridicare şi de coboricircre se produc concomitent şi formează un ansamblu al scoarţei terestre asemănător cu nişte unde mari şi line Aceste mişcări nu produc deformarea straturilor de roci Mişcări intense de ridicare a teritoriului au loc icircn Scandinavia Islanda Scoţia Uralul de Nord Icircntr-un secol suprafaţa teritoriului Finlandei icircn urma ridicării scoarţei terestre şi retragerii mării s-a mărit cu 700 km2 Mişcări de ridicare au loc şi icircn Cacircmpia Europei de Est pe teritoriul Canadei (regiunea Marilor Lacuri) pe Coastele de est ale Africii Insula Capri (Marea Mediterană) s-a ridicat din antichitate picircnă icircn prezent cu 200 m Mişcări de coboracircre sunt pe teritoriul Olandei Belgiei (viteza de coboricircre este de 25 mm icircntr-un secol) pe coastele de sud-est ale Marii Britanii icircn regiunile de est ale Italiei pe ţărmurile Indiei icircn Argentina (Cicircmpia La-Plata) şi pe coastele de Vest ale Africii- mişcări oscilatorii ritmice ale globilor oculari oscilaţii la nivel de neuroni (brain waves ndash unde cerebrale)- sisteme de doi sau mai mulţi oscilatori cuplaţi (pendule sau resorturi cuplate mai multe grade de libertate) de exemplu pendulul dublu

12

- o bulă de mercur icircntr-un tub- pendulul lui Foucault (Leacuteon Foucault) a fost conceput pentru a demonstra

mişcarea de rotaţie a Pămacircntului Icircn figura de mai jos este prezentat pendulul lui Foucault plasare virtuală la polul nord

- oscilaţii electrice oscilatori electrici circuitul RLC puntea Wien (4 rezistori şi 2 condensatori) produce unde sinusoidale

13

- oscilaţii electromecanice microfonul

- cristal de cuarţ este un circuit electronic care care utilizează rezonanţa mecanică a unui cristal (de cuarţ)sau a unui material piezoelectric pentru a crea un semnal electric avacircnd o frecvenţă foarte precisă

- oscilatori optici icircn laseri (oscilaţii ale cacircmpului electromagnetic cu frecvenţe de ordinul a 1015 Hz)

14

- o bulă de mercur icircntr-un tub- pendulul lui Foucault (Leacuteon Foucault) a fost conceput pentru a demonstra

mişcarea de rotaţie a Pămacircntului Icircn figura de mai jos este prezentat pendulul lui Foucault plasare virtuală la polul nord

- oscilaţii electrice oscilatori electrici circuitul RLC puntea Wien (4 rezistori şi 2 condensatori) produce unde sinusoidale

13

- oscilaţii electromecanice microfonul

- cristal de cuarţ este un circuit electronic care care utilizează rezonanţa mecanică a unui cristal (de cuarţ)sau a unui material piezoelectric pentru a crea un semnal electric avacircnd o frecvenţă foarte precisă

- oscilatori optici icircn laseri (oscilaţii ale cacircmpului electromagnetic cu frecvenţe de ordinul a 1015 Hz)

14

- oscilaţii electromecanice microfonul

- cristal de cuarţ este un circuit electronic care care utilizează rezonanţa mecanică a unui cristal (de cuarţ)sau a unui material piezoelectric pentru a crea un semnal electric avacircnd o frecvenţă foarte precisă

- oscilatori optici icircn laseri (oscilaţii ale cacircmpului electromagnetic cu frecvenţe de ordinul a 1015 Hz)

14