curs03_dsis Dinamica structurilor şi inginerie seismică

8/8/2019 curs03_dsis Dinamica structurilor i inginerie seismic

1/16

Dinamica Structurilori Inginerie Seismic. [Sem. II 2007] http://cemsig.ct.upt.ro/astratan/didactic/dsis/

2.2.2. Vibra ii libere amortizateMicarea unui sistem cu un singur grad de libertate dinamic (de exemplu cadrul portal discutat anterior) subac iunea unei fore dinamice p(t)este descris de ecuaia (2.6): ( )mu cu ku p t + + = .

n cazul vibraiilor libere amortizate fora perturbatoare lipsete p(t)=0, astfel nct ecuaia de micare (2.6)( )mu cu ku p t + + = devine:

0mu cu ku+ + = (2.25)mpr ind ecuaia (2.25) cumob inem:

22 0n nu u u + + = (2.26)

unde n k m = , conform definiiei anterioarei

2 n cr c c

m c

= = (2.27)

Ne vom referi la valoarea

22 2cr nn

k c m km

= = = (2.28)

princoeficientul de amortizare critic , iar este frac iunea din amortizare critic .

Coeficientul de amortizarec este o msur a energiei disipate de sistem ntr-un ciclu de oscilaii libere. Pe dealt parte, fraciunea din amortizarea critic este o msur adimensional a amortizrii, proprie unuisistemi care depinde inclusiv de masai rigiditatea acestuia.

Tipuri de mi care

n Figura 2.12 sunt prezentate deformaiile u(t) ale unor sisteme SGLD supuse unei deplasri iniiale u(0)pentru trei valori ale . Dac c = ccr sau 1 = , sistemul revine la poziia de echilibru static f r a efectuavreo oscilaie. Dac c > ccr sau 1 > , sistemul revine la poziia de echilibru static f r a efectua vreooscilaie, la fel ca n cazul 1 = , dar mai lent. Dac c < ccr sau 1 < , sistemul oscileaz fa de poziia deechilibru static cu amplitudini care scad n timp.

Figura 2.12. Oscilaii libere ale unor sisteme cu amortizare subcritic, critic i supracritic (Chopra, 2001)

Coeficientulccr se numete coeficient de amortizare critic deoarece aceasta este valoarea cea mai mic acoeficientului de amortizare care prentmpin complet oscilaiile. Acesta delimiteaz zona dintre micareaoscilatoriei cea neoscilatorie.Majoritatea structurilor inginereti (cldiri, poduri, baraje, structuri marine, etc.) sunt caracterizate de oamortizare subcritic (c < ccr ), cu fraciuni din amortizarea critic sub 0.1. De aceea, n continuare ne vom


2/16

2. Dinamica sistemelor cu un singur grad de libertate dinamic

29

referi doar la acest tip de sisteme, n contextul ingineriei civile existnd puine raiuni pentru studiuldinamicii structurilor cuamortizare critic (c = ccr ) sau a celor cuamortizare supracritic (c > ccr ).

Sisteme cu amortizare subcritic

Soluia ecuaiei (2.25) innd cont de condiiile iniiale (2.17) pentru sisteme cuc


3/16


Figura 2.14. Efectul amortizrii asupra perioadei proprii de vibraie (Chopra, 2001).

Figura 2.15. Oscilaii libere pentru patru nivele ale amortizrii: 2%, 5%,10% 20% i =

Atenuarea mi c riin cele ce urmeaz este analizat rela ia ntre raportul dintre dou vrfuri succesive ale micrii de oscilaieamortizat i fraciunea din amortizarea critic. Raportul dintre valoarea deplasrii la timpult i cea care este nregistrat dup o perioad T D este independent de t . Acest raport poate fi determinat din ecuaia (2.29):

( )( ) exp( ) n D Du t T

u t T =

+(2.33)

Folosind ecuaiile (2.31)i (2.20) obinem:

2

( ) 2exp( ) 1 Du t

u t T

= +

(2.34)

Ecuaiile (2.33) i (2.34) reprezint n acelai timp i raportul dintre vrfurile succesive ale micriioscilatorii (vezi Figura 2.16) 1i iu u + , deoarece aceste vrfuri au loc la intervale de timp egale cuT D:

21

2exp1

i

i

uu

+

=

(2.35)

Logaritmul natural al acestui raport se numete decrement logaritmic i este notat prin :

21

2ln1

i

i

uu

+

= =

(2.36)


4/16


31

Pentru valori mici ale fraciunii din amortizarea critic, 21 1 , ceea ce conduce la relaia aproximativ:

2 (2.37)

Figura 2.16. Vrfurile unei micri oscilatorii amortizate (Chopra, 2001).

n Figura 2.17 sunt indicate relaiile exactei aproximative ntre decrementul logaritmic i fraciunea deamortizare critic . Se poate concluziona c rela ia (2.37) este valabil pentru 0.2 < , caz care acoper

majoritatea situaiilor practice.n cazurile n care atenuarea micrii se produce lent, datorit unei amortizri mici a structurii, este util determinarea decrementului logaritmic pe baza unor vrfuri aflate la cteva perioade. Pe durata a j oscilaiiamplitudinea micrii se diminueaz de lau1 la u1+j. Acest raport este dat de:

31 1 2

1 2 3 4 1

j j

j j

uuu u u eu u u u u

+ +

= =

De unde:

( ) ( )1 11 ln 2 j j u u += (2.38)

Figura 2.17. Relaia exact i cea aproximativ ntre decrementul logaritmici fraciunea de amortizarecritic, (Chopra, 2001).

ncerc ri de vibra ii libere amortizatePentru structuri inginereti practice, determinarea analitic a fraciunii din amortizarea critic nu esteposibil, de aceea aceast proprietate se determin experimental. ncercrile experimentale de oscilaii libereamortizate pe structuri reale reprezint una dintre modalit ile de determinare practic a amortizrii. Pentrusisteme cu o amortizare mic, fraciunea din amortizarea critic poate fi determinat din relaiile:


5/16


1 1ln ln2 2

i i

i j i j

u usau j u j u

+ +

= = (2.39)

Prima dintre aceste relaii este echivalent cu ecuaia (2.38), iar cea de-a doua este o relaie similar, fiindexprimat n termeni de acceleraie (mai uor de nregistrat experimental dect deplasrile), i care poate fidemonstrat a fi adevrat pentru structuri slab amortizate.

2.3. Vibra ii for ate

For ele dinamice care pot fi aplicate structurilor inginereti au diverse forme. n acest capitol vor fi analizatedou clase de ncrcri dinamice. Prima dintre acestea reprezint ncrcrile armonicei periodice, care pots apar, spre exemplu, ca urmare a funcionrii unor dispozitive rotative amplasate n cldiri. Cea de-a douacategorie de ncrcri dinamice sunt cele care variaz arbitrar n timp, spre exemplu cele de tip treapt i oc.

2.3.1. Vibra ii armonice neamortizate ale sistemelor SGLD

O for armonic are forma 0( ) sin p t p t = sau 0( ) cos p t p t = , unde p0 reprezint amplitudinea foreiperturbatoare, iar pulsaia acesteia, creia i corespunde perioada 2T = (vezi Figura 2.18a). n cele ce

urmeaz se va prezenta rspunsul unui sistem cu un singur grad de libertate dinamic sub aciunea unei ncrcri de tip sinus, rspunsul la o ncrcare dinamic de tip cosinus fiind similar cu acesta.

n cazul unor vibraii neamortizate generate de o for perturbatoare armonic de forma 0( ) sin p t p t = ,ecuaia de micare (2.6) devine:

0 sinmu ku p t + = (2.40)

Deformaia u(t)a sistemului SGLD poate fi obinut rezolvnd ecuaia (2.40) pentru condiiile iniiale:(0) (0)u u u u= = (2.41)

unde (0)u i (0)u sunt deplasarea, respectiv viteza n momentul de timp n care este aplicat for a dinamic p(t). Soluia particular a ecuaiei (2.40) este:

( )0

21( ) sin

1 p nn

pu t t k

=

(2.42)

Soluia complementar a ecuaiei (2.40) este:

( ) cos sinc n nu t A t B t = + (2.43)

Soluia complet fiind suma soluiei particularei a celei complementare, obinem:

( )0

21( ) cos sin sin

1n n n

pu t A t B t t k

= + +

(2.44)

Folosind condiiile iniiale (2.41) se obine soluia final:

( ) ( )( ) ( )

0 02 2

0 / 1( ) 0 cos sin sin1 1

nn n

n n n

u p pu t u t t t k k

= + +

(2.45)

rspuns tranzitoriu rspuns staionar

Ecuaia (2.45) este reprezentat n Figura 2.18b pentru 0.2n = , (0) 0u = , (0) / n ou p k = cu liniecontinu. Termenul din ecuaia (2.45) care include sint reprezint soluia particular a ecuaiei de micare(2.40), aceasta din urm fiind reprezentat cu linie ntrerupt n Figura 2.18b.Pe baza ecuaiei (2.45)i folosind Figura 2.18b se poate observa c deplasareau(t) are dou componentedistincte de vibraie: o micare oscilatorie cu frecvena egal cu cea a forei perturbatoare, definit de termenul coninnd

sin t


6/16


33

o micare oscilatorie la frecvena proprie de vibraie a sistemului, definit de termenii coninnd cos nt i sin nt

Prima dintre aceste componente se numete r spuns sta ionar sau for at , deoarece acesta se datoreaz for eidinamice aplicatei nu este influenat de condiiile iniiale. Cea de-a doua component poart denumirea der spuns tranzitoriu, care depinde de deplasareai viteza iniial, precumi de propriet ile sistemului SGLDi de fora perturbatoare. Rspunsul tranzitoriu exist chiar i pentru (0) (0) 0u u= = , caz n care ecuaia(2.45) devine:

( )0

21( ) sin sin

1 nnn

pu t t t k

=

(2.46)

Figura 2.18. Fora armonic 0( ) sin p t p t = (a); rspunsul unui sistem SGLD sub aciunea unei forearmonice pentru 0.2n = , (0) 0u = , (0) / n ou p k = (b), Chopra, 2001.

Rspunsul tranzitoriu apare n Figura 2.18 ca diferena dintre rspunsul totali cel staionar. Acesta continu la infinit doar n cazul teoretic al vibraiilor neamortizate, amortizarea prezent n cazul structurilor realeducnd la diminuarea amplitudinii oscilaiilor cu timpul, motiv pentru care se numete tranzitoriu.n cazul n care se neglijeaz efectul dinamic al sistemului SGLD, coninut n termenul de acceleraie dinecuaia (2.40), se obine deplasarea static a sistemului n orice moment de timpt dat:

( ) 0 sinst p

u t t k = (2.47)

Valoarea maxim a deplasrii statice este:


7/16


( ) 00st puk

= (2.48)

care reprezint deformaia maxim a sistemului sub aciunea unei fore statice cu valoarea p0 i care va fidenumit n continuaredeforma ie static . Folosind aceast ultim notaie, rspunsul staionar poate fiexprimat ca:

( )( )20

1( ) sin1st n

u t u t

=

(2.49)

Factorul din paranteza ptrat a expresiei (2.49) este reprezentat n Figura 2.19 funcie de raportul dintrepulsaia perturbatoarei pulsaia proprie de vibraie a sistemului SGLD( )n . Pentru 1n < sau

n < acest factor este pozitiv, indicnd faptul c deplasareau(t) i fora perturbatoare p(t)au acelai semnalgebric (sistemul se deplaseaz n acelai sens n care acioneaz for a). n acest caz se spune c deplasareaeste n faz cu fora perturbatoare. Pentru 1n > sau n > acest factor este negativ, indicnd faptul c deplasareau(t) i fora perturbatoare p(t)au semne algebrice opuse (sistemul se deplaseaz n direcie opus sensului n care acioneaz for a). n acest caz deplasarea estedefazat fa de fora perturbatoare.

Figura 2.19. Reprezentarea factorului( )2

11 n

funcie de raportul n (Chopra, 2001).

No iunea de faz poate fi descris matematic prin exprimarea relaiei (2.49) n funcie de amplitudineau0 adeplasrii u(t) i a unghiului de faz n urmtoarea form:

( ) ( ) ( )0 0( ) sin sinst d u t u t u R t = = (2.50)

unde

( ) ( )0

20

011

nd

nst n

u R iu

(2.51)

Pentru n < unghiul de faz = 0, indicnd faptul c deplasareau(t) variaz proporional cu sin t , n

faz cu fora perturbatoare p(t). Pentru n > unghiul de faz = , indicnd faptul c deplasareau(t) variaz proporional cu sin t , defazat fade fora perturbatoare p(t). Varia ia unghiului de faz funcie deraportul n este reprezentat n Figura 2.20.


8/16


35

Figura 2.20. Factorul dinamic de deplasarei unghiul de faz pentru un sistem neamortizat acionat de o for armonic (Chopra, 2001).

Factorul dinamic de deplasare Rd este egal cu raportul dintre amplitudinea micrii oscilatoriiu0 i deplasareastatic ( )0st u . Expresia factorului dinamic de deplasare din ecuaia (2.51) este prezentat grafic n Figura2.20 funcie de raportul n i permite urmtoarele observaii: pentru valori mici ale raportului n (fora dinamic variaz "lent"), factorul dinamic de deplasare Rd

este doar cu puin mai mare dect 1, amplitudinea micrii dinamice fiind apropiat de deformaia static pentru 2n > ( 2n > ), factorul dinamic de deplasare Rd < 1, amplitudinea micrii dinamice

fiind mai mic dect deformaia static odat cu creterea raportului n peste 2 factorul dinamic de deplasare Rd scade, ajungnd la

valoarea 0 pentru n , ceea ce implic faptul c oscilaiile datorate unei variaii foarte rapide alefor ei perturbatoare n comparaie cu pulsaia proprie a sistemului sunt mici

pentru 1n ( apropiat de n ), factorul dinamic de deplasare Rd este mult mai mare dect 1, ceeace nseamn c amplitudinea micrii dinamice este mult mai mare dect deformaia static Pulsa ia rezonant reprezint pulsaia forei perturbatoare pentru care factorul dinamic Rd este maxim. ncazul unui sistem neamortizat pulsaia rezonant coincide cu pulsaia proprie de vibraie n , iar factoruldinamic de deplasare Rd este infinit la aceast pulsaie. Totui, micarea de oscilaie nu devine infinit imediat, ci gradual, dup cum se va vedea din cele ce urmeaz.

Pentru n = soluia (2.46) a ecuaiei de micare nu mai este valabil, soluia particular (2.42) nefiindvalabil deoarece este parte a soluiei complementare. n acest caz soluia particular are forma:

( ) 0 cos

2 p n n n

pu t t t

k

= = (2.52)

iar soluia complet pentru condiii iniiale de repaus (0) (0) 0u u= = devine:


9/16


( )01( ) cos sin2 n n n pu t t t t k

= (2.53)

sau

( )0( ) 1 2 2 2cos sin

2st n n nu t t t t u T T T

=

(2.54)

Aceast rela ie este reprezentat grafic n Figura 2.21, de unde se poate observa c timpul n care are loc ooscilaie complet este egal cuT n. Micarea oscilatorieu(t) are maxime locale pentru ( )1/ 2 nt j T = cuvalori de ( )( )01/ 2 , 1,2,3...st j u j = , i minime locale pentru nt jT = cu valori de ( )0 , 1,2,3...st j u j = . nfiecare ciclu de oscilaie amplitudinea deplasrii crete cu valoarea:

( ) ( ) ( ) 01 0 01 j j st st pu u u j j uk

+ = + = = (2.55)

Amplitudinea deplasrii crete la infinit, dar aceasta devine infinit doar dup un timp infinit.

Figura 2.21. Rspunsul unui sistem neamortizat sub aciunea unei fore sinusoidale cu frecvena n = ,(0) (0) 0u u= = (Chopra, 2001).

Creterea infinit a deformaiilor n cazul sistemelor neamortizate sub aciunea unei ncrcri armonice esteteoretic din dou motive. n primul rnd, structurile reale au o amortizare intrinsec, care va limitaamplificarea la infinit a deformaiilor. n cel de-al doilea rnd, structurile reale nu au un rspuns infinitelastic, astfel nct, odat cu creterea deformaiilor peste o anumit valoare, structura fie va suferi deformaii

n domeniul plastic, rigiditatea va scdea i pulsaia proprie nu va mai fi egal cu cea perturbatoare, fie vaceda ntr-un mod fragil.

2.3.2. Vibra ii armonice amortizate ale sistemelor SGLD

R spunsul sta ionar i tranzitoriu

n cazul unor vibraii amortizate generate de o forperturbatoare armonic de forma 0( ) sin p t p t = ecuaiade micare (2.6) devine:

0 sinmu cu ku p t + + = (2.56)

Deformaia u(t)a sistemului SGLD poate fi obinut rezolvnd ecuaia (2.56) pentru condiiile iniiale:(0) (0)u u u u= = (2.57)


10/16


37

unde (0)u i (0)u sunt deplasarea, respectiv viteza n momentul de timp n care este aplicat for a dinamic p(t). Soluia particular a ecuaiei (2.56) este:

( ) sin cos pu t C t D t = + (2.58)

unde

( )( ) ( )

( )

( ) ( )

2

02 22

02 22

11 2

2

1 2

n

n n

n

n n

pC k

p Dk

=

+

= +

(2.59)

Soluia complementar a ecuaiei (2.56) este identic cu soluia ce caracterizeaz oscilaiile libere amortizate:

( )( ) cos sinnt c D Du t e A t B t = + (2.60)

unde 21 D n = . Soluia complet a ecuaiei (2.56) este:

( )( ) cos sin sin cosnt D Du t e A t B t C t D t = + + + (2.61)

rspuns tranzitoriu rspuns staionar

Figura 2.22. Rspunsul unui sistem SGLD amortizat sub aciunea unei fore armonice pentru 0.2n =

,0.05 = , (0) 0u = , (0) / n ou p k = (Chopra, 2001).

Constantele A i B de mai sus pot fi determinate folosind condiiile iniiale (0)u i (0)u . Similar vibraiilorfor ate neamortizate, rspunsul dinamic n cazul unor vibraii forate amortizate este compus din dou componente: rspunsultranzitoriu i celsta ionar sau forat.

Ecuaia (2.61) este reprezentat grafic n Figura 2.22 pentru 0.2n = , 0.05 = , (0) 0u = ,(0) / n ou p k = . Rspunsul total este indicat cu linie continu, iar cel staionar cu linie ntrerupt. Diferena

dintre rspunsul totali cel staionar este rspunsul tranzitoriu, care scade exponenial cu timpul cu o rat care depinde de n i . Dup un timp rspunsul unui sistem amortizat acionat de o forperturbatoare

armonic este guvernat de componenta staionar. n mare parte din cele ce urmeaz se va studia doarcomponenta staionar a vibraiilor forate. Se va avea totui n vedere, c este posibil ca deformaia maxim a sistemului s aib loc nainte ca sistemul s ating stadiul staionar.


11/16


R spunsul pentru = n n continuare se va examina rolul amortizrii n reducerea vibraiilor tranzitoriii n limitarea vibraiilorsta ionare pentru cazul n care pulsaia forei perturbatoare este egal cu pulsaia proprie a sistemului. Pentru

n = constanteleC i D din ecuaia (2.59) devinC=0 i ( )0 2st D u = . Pentru n = i condiiiini iale de repaus, constantele A i B din ecuaia (2.61) pot fi determinate a fi ( )0 2st A u = i

( ) 20 2 1st B u = . nlocuind valorile constantelor A, B, C i D n ecuaia (2.61), aceasta devine:

( )0 21( ) cos sin cos

2 1nt

st D D nu t u e t t t

= +

(2.62)

Ecuaia (2.62) este reprezentat grafic n Figura 2.23 pentru fraciunea din amortizarea critic 0.05 = .Comparnd-o pe aceasta cu vibraiile neamortizate reprezentate n Figura 2.21, se poate observa c amortizarea atenueaz micarea oscilatorie n fiecare ciclu, limitnd rspunsul la valoarea:

( )00 2

st uu

= (2.63)

Pentru sisteme cu o amortizare mic, termenul coninnd sin Dt din ecuaia (2.62) este neglijabil, iar D n , astfel nct ecuaia (2.62) se simplific la:

( ) ( )01( ) 1 cos2

nt st nu t u e t

(2.64)

funcia nf urtoare

Varia ia n timp a deplasrii are forma dat de funcia cos nt , amplitudinea acesteia fiind indicat n Figura2.23 cu linie ntrerupt.

Amplitudinea micrii staionare sub aciunea unei fore perturbatoare cu pulsaia n = i rata la care esteatins starea de micare staionar depinde foarte mult de amortizarea sistemului. Acest fapt se poate observa n Figura 2.24, n care este reprezentat ecuaia (2.62) pentru trei valori ale : 0.01, 0.05i 0.1. Cu ctamortizarea este mai mic, cu att este mai mare numrul de oscilaii necesare pentru a atinge o anumit proporie din amplitudinea micrii staionareu0. De exemplu, numrul de oscilaii complete necesare pentrua atinge 95% dinu0 este egal cu 48 pentru = 0.01, 24 pentru = 0.02, 10 pentru = 0.05, 5 pentru = 0.1i 2 pentru = 0.2.

Figura 2.23. Rspunsul unui sistem amortizat cu 0.05 = sub aciunea unei fore perturbatoare sinusoidalecu n = ; (0) (0) 0u u= = (Chopra, 2001).


12/16


39

Figura 2.24. Rspunsul a trei sisteme amortizate cu = 0.01, 0.05i 0.1 sub aciunea unei fore perturbatoare

sinusoidale cu n =

; (0) (0) 0u u= =

(Chopra, 2001).

Deforma ia maxim i unghiul de faz Deformaiile sistemului n stadiul de vibraii staionare sunt definite de ecuaiile (2.58)i (2.59),i pot firescrise sub urmtoare form:

( ) ( ) ( ) ( )0 0sin sinst d u t u t u R t = = (2.65)

unde 2 20u C D= + i ( )1tan D C = . nlocuind valorileC i D, rezult:

( ) ( ) ( )

0

2 220

1

1 / 2 / d

st n n

u Ru

= =

+

(2.66)

( )( )

12

2 / tan

1 / n

n

=

(2.67)

Factorul dinamic de deplasare Rd este egal cu raportul dintre amplitudinea deplasrii oscilatoriiu0 ideplasarea static ( )0st u . Ecuaia (2.65) este reprezentat grafic n Figura 2.25 pentru trei valori aleraportului / n i o valoare fix a amortizrii ( = 0.2). n aceast figur sunt indicate valorile Rd i ,precumi variaia n timp a deformaiei statice, care este proporional cu fora perturbatoare p(t). Micareasta ionar are aceeai perioad ca i fora perturbatoare ( 2 / T = ), dar cu un defazaj de / 2 .

n Figura 2.26 este prezentat factorul dinamic de deplasare funcie de / n pentru cteva valori alefraciunii din amortizarea critic . Comparnd o reprezentare similar a factorului dinamic pentru cazulvibraiilor neamortizate din Figura 2.20, se poate observa c amortizarea reduce factorul Rd , i, n consecin,amplitudinea micrii pentru toate pulsaiile forei perturbatoare. Aceast reducere este ntr-o strns legtur cu pulsaia forei perturbatoare, fiind examinat mai jos pentru trei regiuni ale scrii de pulsaie: Pentru valori ale raportului 1n ( nT T , atunci cnd fora dinamic variaz "lent"), factorul

dinamic de deplasare Rd este doar cu puin mai mare dect 1, amplitudinea micrii dinamice fiindapropiat de deformaia static i fiind cvasi-independent de valoarea amortizrii. Astfel,

( ) 00 0st pu uk

= (2.68)

Acest rezultat implic faptul c rspunsul dinamic este foarte apropiat de cel statici este guvernat derigiditatea sistemului.


13/16


Figura 2.25. Rspunsul staionar al unor sisteme amortizate ( = 0.2) sub aciunea unei fore perturbatoaresinusoidale cu pulsaia: / n = 0.5 (a), / n = 1 (b), / n = 2 (c), Chopra, 2001.

Pentru 1n ( nT T , adic for a dinamic variaz "repede"), factorul dinamic de deplasare Rd tindectre zero odat cu creterea raportului n i este puin afectat de valoarea amortizrii. Pentru valoriridicate ale raportului n , termenul( )n domin ecuaia (2.66), care poate fi aproximat cu:

( )2

00 2 20

nst

pu um

= (2.69)

ceea ce implic faptul c rspunsul este controlat de masa sistemului. Pentru 1n (pulsaia forei perturbatoare este apropiat de pulsaia proprie de vibraie a sistemului),

factorul dinamic de deplasare Rd este sensibil la valoarea amortizrii, i pentru valori mici ale amortizriipoate fi mult mai mare dect 1, ceea ce nseamn c amplitudinea micrii dinamice poate fi mult maimare dect deformaia static. Pentru 1n = ecuaia (2.66) devine:


14/16


41

( )0 00 2

st

n

u puc

= = (2.70)

ceea ce implic faptul c amplitudinea micrii este controlat de amortizarea sistemului.Unghiul de faz , care indic defazajul n timp dintre rspunsul dinamic al sistemuluii fora perturbatoare,variaz cu raportul n i este reprezentat grafic n Figura 2.26. Valoarea acestuia este examinat mai jospentru aceleai trei regiuni ale domeniul de valori n : Pentru valori ale raportului 1n (fora dinamic variaz "lent"), unghiul de faz este apropiat de

0, deplasarea sistemului fiind aproximativ n faz cu fora perturbatoare, ca n Figura 2.25a. Deplasareasistemuluii fora perturbatoare au acelai sens.

Pentru 1n (fora dinamic variaz "repede"), unghiul de faz este apropiat de 2 , deplasareasistemului fiind n esendefazat de fora perturbatoare, ca n Figura 2.25c. Deplasarea sistemuluiifor a perturbatoare au sensuri opuse.

Pentru 1n (pulsaia forei perturbatoare este apropiat de pulsaia proprie a sistemului), unghiul defaz este egal cu /2 pentru orice valoare a fraciunii din amortizarea critic , deplasarea sistemului nregistrnd un vrf la trecerea forei prin valoarea 0, situaie exemplificat n Figura 2.25b.

Figura 2.26. Factorul dinamic de deplasarei unghiul de faz pentru un sistem amortizat acionat de o for perturbatoare armonic (Chopra, 2001).


15/16


R spunsul la rezonan Frecven a rezonant este definit ca frecvena la care se nregistreaz amplitudinea maxim a rspunsului ntermeni de deplasare, vitez sau acceleraie. Dup cum se poate observa din Figura 2.26, valorile maxime aledeplasrii se nregistreaz la valori ale pulsaiei puin diferite de pulsaia proprie a sistemului. Frecvena (saupulsaia) de rezonan poate fi determinat derivnd expresia Rd n raport cu n i egalnd-o cu zero.

Pentru 1 2 < pulsaia rezonant pentru deplasare este egal cu 21 2n

.

Pentru un sistem neamortizat pulsaia rezonant este egal cu pulsaia proprie de vibraie a sistemului n . Denotat faptul c pulsaia rezonant pentru un sistem amortizat este diferit de pulsaia vibraiilor amortizate

D . Totui, pentru valori mici ale amortizrii ( 20% < ), diferenele ntre pulsaia rezonant, cea proprieicea amortizat sunt minore. Valoarea factorului dinamic de deplasare corespunztor pulsaiei rezonante este:

2

12 1

d R

=

(2.71)

2.3.3. Determinarea amortiz rii din ncerc ri de vibra ii for ate amortizate

Determinarea pe cale analitic a coeficientului de amortizare vscoas c sau a fraciunii din amortizareacritic nu este posibil. Una dintre soluiile acestei probleme o constituie efectuarea de ncercri de vibraiilibere i interpretarea datelor obinute, folosind noiunea decrementului logaritmic, aa cum s-a descris nsec iunea 2.2.2. Aceast procedur este simpl i relativ uor de aplicat n condiii de laborator, pe modelesimple de structuri. Totui, aplicarea metodei decrementului logaritmic n cazul structurilor reale este dificil dac nu imposibil, deoarece aplicarea unei deplasri iniiale sau a unei viteze iniiale structurilor realeimplic for e foarte marii structuri de reaciune de dimensiuni comparabile cu structurile ncercate. Exist ns posibilitatea determinrii fraciunii din amortizarea critic pe baza unor ncercri de vibraii foratearmonice, care pot fi realizate mult mai uor n cazul structurilor inginereti. Vibraiile pot fi produse cuajutorul unor dispozitive rotative cu mas excentric, fixate de structur. Prin modificarea masei excentricesau a vitezei de rotaie, se poate modifica foarte uor amplitudinea, respectiv pulsaia forei armoniceperturbatoare. Efectund ncercri de vibraii forate la diferite valori ale pulsaiei forei armoniceperturbatoarei nregistrnd deplasarea de vrf a structurii, se pot obine curbe Rd - / n ca n Figura 2.27.

Figura 2.27. Definiia l imii de band la semiputere (Chopra, 2001).


16/16


43

Forma curbei Rd - / n depinde de amortizarea sistemului. Una dintre modalit ile de obinere a fraciunii dinamortizarea critic const n folosirea principiului del ime de band la semiputere, definit cai diferenadintre valorile pulsaiilor de cele dou pr i ale pulsaiei rezonante( )b a pentru care factorul dinamic dedeplasare este de 1 2 ori mai mic dect valoarea acestuia la rezonan. Acest concept este exemplificat nFigura 2.27.

Pentru valori mici ale lui este adevrat urmtoarea relaie:2b a

n

= (2.72)

relaie care poate fi reformulat ca i:

2b a

n

= sau2b a

n

f f f

= (2.73)

unde 2 f = este frecvena de vibraie. Acest rezultat permite evaluarea amortizrii unei structuri pe bazaunor ncercri de vibraii forate.

Documents

curs03_dsis Dinamica structurilor şi inginerie seismică