TRANSPORTUL SI DISTRIBUTIA ENERGIEI ELECTRICE

2

3

Noţiuni introductive• Sistemul electroenergetic = ansamblu de instalaţii energetice care asigură

procesul de producere (generatoarele, fără turbinele de antrenare), de transport (liniile şi staţiile electrice) şi consum de energie (receptoarele electrice)

• Sistemul energetic este ansamblul instalaţiilor rezultat din adăugarea la sistemul electroenergetic, pe partea de centrale şi a turbinelor, cazanelor, depozitelor de combustibil (pentru centrale termoelectrice) respectiv pentru centralele hidroelectrice a turbinelor, barajelor şi lacurilor de acumulare, iar pe partea consumatorilor alături de receptoarele de energie se consideră şi mecanismele antrenate.

• Receptor de energie electrică: un element de circuit care consumă energia electrică în scop util sau un aparat care transformă energia electrică în alte forme de energie(luminoasă, mecanică, termică)

• Consumatorul de energie electrică: ansamblul instalaţiilor electrice pentru alimentarea receptoarelor dintr-o înteprindere, construcţii etc.

• Instalaţiile electrice dintr-un sistem electroenergetic se pot grupa:– Producere a energiei electrice (generatoarele);– Transport a energiei electrice (linii electrice aeriene şi subterane, staţii

transformatoare)– Distribuţie (linii electrice aeriene şi subterane, posturi de transformare,

tablouri de distribuţie)– Instalaţii la consumator.

4

a V

c V b V

a

c b

Na V ca U U ab

c V b V

bc U

a

c b

N

Tensiunea de fază V Tensiunea între faze U

VU 3=

Legătura dintre tensiunea de fază V şi tensiunea între faze U

3

5

Tensiunea nominală a sistemului (ca un întreg) (eng.: nominal voltage of the system) = o valoare a tensiunii utilizată pentru a desemna sau identifica un sistem şi la care se referă anumite caracteristici de funcţionare

Tensiune normată (rated voltage) = o valoare cantitativă atribuită, în general, de constructorul de echipamente pentru anumite condiţii de funcţionare ale unei componente, dispozitiv sau echipament din sistemul electroenergetic. Ex: tensiunea la bornele generatoarelor este diferită de tensiunea reţelei electrice este 6,3 kV, 10,5 kV,24 kV sau 35 kV.

Definiţii

6

Clasificarea reţelelor electrice

• după nivelul de tensiune;

• în funcţie de destinaţia şi extinderea geografică;

• în funcţie de topologie;

• în funcţie de situaţia neutrului faţă de pământ;

sisteme de transport la tensiune alternativăsau continuă

4

7

Clasificarea RE după nivelul de tensiune

• Reţele de joasă tensiune Un≤1 kV- În România este folosită tensiunea de 400/230V

• Reţele de medie tensiune 1≤Un <110kV– Un=10kV;20kV pentru distribuţia urbană (LES/LEC)– Un=20kV pentru distribuţie rurală (LEA)– Un=6kV;10kV pentru distribuţie industrială

(LEC/LES)• Reţele de înaltă tensiune Un =110 kV

- Rol de repartiţie zonală sau de distribuţie în cadrul marilor oraşe

• Reţele de foarte înaltă tensiune 220 kV,400 kV,750 kV

8

• După destinaţie:– Reţele electrice de transport (ÎT, FÎT)– Reţele electrice de repartiţie (ÎT)– Reţele electrice de distribuţie (MT/JT)

• După extinderea geografică:– Reţele naţionale– Reţele zonale– Reţele locale

Clasificarea RE în funcţie de destinaţie şi extinderea geografică

5

9

• Reţele radiale, arborescente sau deschise

Reţea radială

Reţea arborescentă

Staţie de transformare ÎT MT /

Posturi de transformare M / T JT

Clasificarea reţelelor electrice în funcţie de topologie

10

Structuri de reţele buclate

~ 2

~ 1

I

Întreruptor

Clasificarea reţelelor electrice în funcţie de topologie

6

11

~

~

I

I

~

~

I

I

Reţea buclată complex Modificarea topologiei unei reţele prin debuclarea în statiile de transformare: a) fără debuclare; b) cu debuclare

a b

Structuri de reţele complex buclate

Clasificarea reţelelor electrice în funcţie de topologie

12

• Reţele cu neutrul izolat faţă de pământ

• Reţele cu neutrul legat direct la pământ

• Reţele cu neutrul tratat:

- prin impedanţă (bobină şi / sau rezistor)

- prin sistem rezonant (bobina Peterson)

Clasificarea reţelelor în funcţie de situaţia neutrului faţă de pamânt

7

13

Reţele electrice cu neutru izolat faţă de pământ

N

Z =N

Pamant

Transformator

a V ca U U ab

c V b V

a

c b

N

a V

c V b V

a

c b

N

Regim normal VN=VP=0

Regim cu defect (faza a) VN=V VVV cb 3==

14

Reţele cu neutru tratat prin impedanţă

Reţele cu neutru legat direct la pământ

N

ZN

N

X N = 0

Clasificarea reţelelor în funcţie de situaţia neutrului faţă de pământ

8

15

Arhitectura reţelelor electrice

• Elementul principal care poate fi luat în considerare la analiza configuraţiei sistemelor electroenergetice este nivelul de tensiune.

• Legătura între planuri diferite de tensiune este realizată prin intermediul cuplajelor magnetice ale transformatoarelor.

• În interiorul unui plan sunt cuprinse elementele longitudinale ale reţelelor.• Reţelele din planurile superioare servesc transportului energiei electrice,

iar cele din planurile inferioare distribuţiei acesteia.• Injecţia de putere în sistem se face în reţeaua de transport de la

generatoarele centralelor dispuse la medie tensiune.• Nodurile şi reţeaua de treaptă inferioară constituie un consumator pentru

reţeaua din treapta superioară (cu excepţia nodurilor generator)• Consumul de energie din sistem are loc la nivel de înaltă, medie sau joasă

tensiune prin intermediul transformatoarelor de cuplaj cu reţeaua.• Reţelele aflate la nivel inferior sunt mai dense, transferă puteri mai mici.

Particularităţile arhitecturii sistemelor electroenergetice

16

~

~

~

Tensiunea treptei [kV]

750400

220

110

20

(6) 10

0.4

Staţie detransformare

Transformator

Centrală locală

Zoneurbane

Zonerurale

Centralăsistem

Re ele urbaneţRe ele

industrialeţ

Post de transformare

Reţele de distribuţiede joasătensiune

Arhitectura sistemuluielectroenergetic naţional

9

17

Generator

Consum local

750 kV, 400 kV

220 kV

110 kV

20 kV

10 kV

0.4 kV

0 kV

Repartiţia energiei electrice

Distribuţia energiei electrice

Schema principială a transportului şi distribuţiei energiei electrice în SEN pe niveluri de tensiune

1

1

Scheme de conexiune ale reţelelor electrice

Obiective• continuitate în alimentare;• simplitate şi elasticitate în exploatare;• posibilitate de extindere (autostructurare);• economicitate (investiţii şi pierderi minime);

2

a

PT1 PT2

Reţele de joasă tensiune simplu buclate

bc

PT1 PT2

S1 S2

PT1 PT2

S3 I

2

3

Reţele de joasă tensiune buclate

MT

0,4 kV

a. longitudinal

MT

0,4 kV

0,4 kV

MT

b. transversal

c. mixt

4

Staţie

Cablur

i MT

Branşamente

Posturitransformare

CB

Reţea complex buclată de tip plasă

3

5

Configuraţia reţelelor de medie tensiune

În funcţie de modul de racordare de la staţia IT/MT:• Cu distribuţie directă când PT sunt racordate la barele de MT ale staţiei de transformare prin intermediul liniilor de MT (distribuitori).

– Cu rezervarea pe aceeaşi staţie de transformare;– Cu rezervare pe două staţii de transformare diferite.– Tip grilă– În dublă derivaţie

• Reţea de distribuţie indirectă prin puncte de alimentare (PA): reţea defideri+distribuitoare;

• Reţea cu racordare indirectă prin puncte de conexiune: posturile de transformare sunt racordate prin linii de MT la bara punctului de conexiune care la rândul său este alimentat din staţiile IT/MT prin linii deMT.

6

Distribuţie directă prin LES cu rezervă pe aceeaşi staţie(Reţele de distribuţie de M.T. din zonele urbane când nu există posibilitatea asigurării rezervării de pe barele de M.T. din altă staţie de transformare)

MT

S1

MT

S2

Distribuţie directă prin LES cu rezervă pe staţii diferire(Reţele de distribuţie de M.T. din zonele urbane, când există posibilitatea asigurării rezervării de pe barele de M.T. ale altei staţii)

MT

Sta10 kV / MT

ţie de

4

7

Distribuţie directă tip grilă cu rezervare pe aceeaşi staţie sau pe staţii diferite

(Reţele de distribuţie de M.T. din zonele urbane cu densităţi de sarcină de 5-10 MVA/km2 sau pentru a reduce volumul decabluri)

MT

Sta ie existent110 kV / MTţ ă

S2Sta ie viitoare110 kV / MTţ

S1

8

Distribuţie directă tip dublă derivaţie prin LES cu rezervare pe aceeaşi staţie sau pe două staţii diferite

(Reţele de distribuţie de M.T. din zonele urbane cu densităţi de sarcină de peste 10 MVA/km2)

MVCablu de lucru

Cablu de rezervă

5

9

Retele de distribuţie la medie tensiune

a) cu neutru distribuit b) fără neutru distribuit, mixtă cu 2 sau 3 faze

a) America de Nord b) Anglia

I

S

MT/JT

JTN

123

1 2 3

Ît/MT

N

MT/JT

JTN

23N

MT/JT

JTN

3N

N

I S

MT/JT

JT N

JT mono

N

123

JT mono

N

23

1 2 3

ÎT/MT

10

I S

MT/JT

JT monoN

JT mono

N

123

JT mono

N

13

JT mono

N

TI

1 2 3

ÎT/MT

I S

MT/JT

Jt monoN

123

1 2 3

ÎT/MT

Retele de distribuţie la medie tensiune

c) fără neutru distribuit, mixtă cu 1,2,3, faze d)fărăr neutru distribuit, 3 faze

c) Australia d) Europa

6

11

12

7

13

preluarea consumului crescut prin adăugarea de noi linii şi conectarea de noi puncte de injecţie într-o reţea existentă

nu necesită modificarea elementelor esenţiale şi a caracteristicilor tehnice şi constructive principale ale reţelelor existente

se menţine structura şi unitatea reţelei, modificările aduse constituind o dezvoltare de configuraţie, şi nu o refacere a acesteia

Soluţii de autostructurare pentru mărirea capacităţii de tranzitare a reţelelor de MT

crearea staţiilor B şi B’ şi racordarea lor la reţeaua existentă

14

crearea staţiilor C şi C’ care împart zona în sens longitudinal

crearea staţiilor D şi D’ care împart zona în sens transversal

8

15

A110 kV

LEA110 kV

Schema reţelei de alimentare a unei zone cu staţii ce dispun de una sau două unităţi de transformare, alimentate de la aceiaşi linie de 110kV

16

A110 kV

20 kV

C

Schema reţelei de alimentare a unei zone rurale printr-o linie de 110kV ce dispune de staţii cu două unităţi

9

17

~ ~

400 kV/110 kVsubstation

Rural

110 kV/MV

110 kV/MV

110 kV/MV

110 kV/MV

6 kV/110 kVsubstation

Schema unei reţele de repartiţie de 110kV pentru alimentarea unei localităţii urbane

18

System

400 kV/110 kVsubstation 110 kV

Transformersubstation

Deep jointsubstation

110 kV ring

Schemă de repartiţie urbană pentru o localitate cu peste 150.000locuitori

10

19

tS aţie transformare

110 kV / MV

110 kV

Inelul 1, 110 kV Inelul 2, 110 kV

Schemele staţiilor de transformare ce alimentează oraşele mari:

a) cu 2 transformatoare; b) alimentate de la două inele de 110kV

a) b)

1

1

Capitolul 2

Schemele echivalente şi parametrii liniilor electrice

2

cpIaI

bIcI

cpRcaR

caRcaR

aV bV cV

2.1. Rezistenţa electrică a LEAFie o linie electrică trifazată (a, b, c) la care se cunosc rezistenţele

conductoarelor de fază sau active notate Rca şi rezistenţa conductorului de protecţie Rcp. Se pot calcula rezistenţa de secvenţă pozitivă R+ şi rezistenţa de secvenţă zero R0.

2

3

R+ corespunde rezistenţei unei faze în regim normal, adică cu linia alimentată cu un sistem simetric sinusoidal de tensiuni desuccesiune pozitivă şi având sarcini echilibrate.

ca

a

a

cpcba

RRIVZ

IIII

=⇒

=

=⇒=++

+

+

00 în regim normal de funcţionare

formulă generală pentru impedanţa de secvenţă pozitivă

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

=

ac

ab

aa

IaIIaI

II2

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

=

ac

ab

aa

VaVVaV

VV2

4

În regim de secvenţă zero, curenţii I0, identici prin cele trei faze, se închid prin pământ, motiv pentru care la determinarea R0 trebuie considerată şi rezistenţa Rp a căii de întoarcere prin pământ.

0IcpRcaR

caRcaR

0V

pR

0V 0V

0I0I

3I0’

3I0”

R0 corespunde rezistenţei unei faze în regim de secvenţă zero, determinat în mod obişnuit de scurtcircuitele nesimetrice, sistemul fiind alimentat cu tensiuni sinfazice V0

.

3

5

Se disting două situaţii:a) Cazul LEA fără conductor de protecţie:

b) Dacă LEA este prevăzută cu conductor de protecţie, o parte din curentul de secvenţă zero se închide prin conductorul de protecţie, motiv pentru care la determinarea rezistenţei R0 trebuie considerată în paralel cu rezistenţa Rp şi rezistenţa Rcp:

cpca RRR 30 +=

cpp

cpp

ca RRRR

RR+⋅

+= 30unde rezistenţa Rca este rezistenţa la tensiune alternativă a conductorului de fază.

″03I

cpR

caR

pR

′03I

03IRp este rezistenţa căii de întoarcere prin pământ.

( )1.2

( )2.2

6

în care: ρ este rezistivitatea electrică a materialului în [Ωmm2/m]; - conductivitatea materialului, în [m/Ωmm2];

l - lungimea conductorului, în [m];s - secţiunea conductorului, în [mm2];

În realitate, conductoarele sunt realizate sub formă de funie şimărimea Rcc pentru un conductor cu lungimea l, este afectată de câteva erori:

eroarea de lungime: în cazul conductoarelor funie, din cauza răsucirii firelor, lungimea conductoarelor LEA e mai mare cu 2 - 3% şi la LEC cu 2 – 6%.eroarea de secţiune: datorită folosirii în calcule a secţiunii

standardizate; secţiunile reale sunt de obicei mai mici decât cele standardizate.

γ

sl

slRcc ⋅γ=ρ=

În general se cunoaşte rezistenţa unui fir dintr-un conductor la tensiune continuă:

( )3.2[Ω]

4

7

( )[ ]201 2020 −θα+ρ=ρθ

unde α20 este coeficientul de temperatură la 200C [grd-1].

Rezistenţa la tensiune alternativă se calculează luând în considerare rezistenţa la tensiune continuă şi efectele de proximitate (yp) şi pelicular (ys):

[ ]psccca yyRR ++= 1

( )4.2

( )5.2

variaţia cu temperatura a rezistivităţii materialului conductor

Ol

Al

Cu

Ol

Al

Cu

o20ρ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅Ω

mmm2

o20α [ ]1−grd

21074,1 −⋅210941,2 −⋅

2102,14 −⋅

00392,0

00403,0

0062,0

Pentru LEA se poate neglija efectul de proximitate pentru că fazele se află la distanţe mari unele de altele;

- Efectul de suprafaţă (pelicular) se poate neglija pentru secţiuni mai mici de pentru conductoare din Cu, respectiv pentru

la Al.

2500400 mm÷2600mm

8

Rezistenţa căii de întoarcere prin pământ se poate calcula conform formulei lui Carson:

unde este permeabilitatea solului care se poate considera egală cu ;

este pulsaţia.

În general, pentru soluri normale se consideră

31081⋅⋅μ⋅ω=pR ]/[ kmΩ

μ

05,0=pR ]./[ kmΩ

( )6.2

mH / 104 70

−⋅π=μ

fπ=ω 2

5

9

2.2. Reactanţa inductivă a LEAReactanţa inductivă a unui conductor din componenţa unei linii

electrice trifazate se determină cu relaţia:

unde: x0 este reactanţa specifică;l - lungimea conductorului.Inductivitatea unui circuit este dată de raportul dintre fluxul care

străbate o suprafaţă care se reazămă pe acest circuit şi curentul din contur; prin contur se înţelege circuitul de ducere şi de întoarcere a curentului:

Inductivitatea este o mărime de material care depinde de materialul conductor, de dimensiunea şi forma spaţială a circuitului şi de numărul de spire. Inductivitatea nu depinde de mărimea curentului care trece prin circuit.

În cele ce urmează se disting mai multe cazuri:

lxfLLX ⋅=π=ω= 02 ]/[ kmΩ

iL φ= ][H

( )7.2

10

rdllLLL ext

120int ln

28 πμ

+πμ

=+=

rμμ=μ 0

70 104 −π=μrμ

mH /

d12

1 2pământ

Considerând cele două conductoare a fi fire masive, inductivitatea acestora este alcătuită din inductivitatea internă şi inductivitatea externă, corespunzătoare liniilor de câmp magnetic interioare şi exterioare:

unde: este permeabilitatea magnetică absolută;

permeabilitatea magnetică relativă;

- permeabilitatea magnetică a vidului

i. Inductivitatea ataşată unui conductor dintr-un sistem monofazat.

6

11

deci

e

r

rr

rdl

er

dlr

dlr

dllL

120

4

120

1201200

ln2

ln2

4ln

2ln

242

πμ

=⋅π

μ=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ μ

+π

μ=

πμ

+μ⋅

πμ

=

μ−

unde este raza echivalentă a conductorului.Vom distinge cazul conductoarelor din material nemagnetic si

cazul conductoarelor magnetice:conductoare nemagnetice; rezultă că:

se poate calcula re pentru un singur conductor masiv cu relaţia

pentru 7 fire pentru 19 fire

4r

erre

μ−

⋅=

1=μ r

rre 778,0=rre 725,0=

rre 757,0=Pentru conductoarele nemagnetice, raza echivalentă este mai mică decât cea în raport cu conductorul masiv.

erdlL 120 ln

2πμ

=⇒ ( )8.2

12

Pentru conductoarele magnetice (Al – Ol) la:

7 fire avem:

19 fire :

rre 770,0=

rre 812,0=

Cu alte cuvinte, re este mai mare la 19 fire decât la 7.În general, pentru calcul se folosesc parametrii specifici:

e

ee

rdL

rd

rdkmkmHL

12

1212

4

lg46,0

ln2,0ln1]/[2104

=

=⋅⋅π⋅π

=−

Reactanţa inductivă specifică:

]conductor şi /[ lg1445,0

10lg46,0502

120

31200

kmrdx

rdLx

e

e

Ω=

⇒⋅⋅⋅π=ω= −

[mH / km şi conductor]

( )9.2

( )10.2

7

13

ii. Inductivitatea ataşată unui conductor în cazul sistemului trifazat cu un singur circuit

Pentru a putea defini un contur se introduce un conductor fictiv N, situat la o distanţă Dx egală faţă de cele trei faze.

Dx

ai

bi ci

conductor fictiv de

întoarcere

1

3 2

d31 d12

d23

14

Fluxul magnetic total care înlănţuie conductorul a este:

cacbabaaaaN iLiLiL ++=φ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

πμ

=φ1312

0 lnlnln2 d

DxidDxi

rDxil

cb

e

aaN

⇒

( )11.2

Se disting două situaţii:

a) Cazul şi o încărcare simetrică a fazelor:231312 ddd ==

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

πμ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

πμ

=φ12

0

12

0 lnln2

lnln2 d

Dxr

DxildDxii

rDxil

e

acb

e

aaN

e

aaN rdil

120 ln2πμ

=φ

ai−

e

a rdlL 120 ln

2πμ=⇒⇒ ( )12.2

Expresia inductivităţii este aceeaşi ca şi în cazul sistemului monofazat. Fluxul magnetic este în fază cu curentul ia, având un fenomen pur inductiv; inductivitatea La ataşată fazei a, va fi constantă în timp.

8

15

b) Distanţele dintre conductoarele de fază sunt diferite .În acest caz, fluxul total în mărimi instantanee nu mai este

proporţional cu curentul ia, iar acesta nu mai este defazat cu în urma tensiunii. În această situaţie, inductivităţile nu mai pot fi definite decât într-un spaţiu complex

adică nu mai avem o inductivitate La ataşată fazei, care să fie constantă în timp.

Pentru a soluţiona calculul inductivităţii se aplică o transformată în complex expresiei (2.11), rezultând:

( )2312 dd ≠

2/π

IL Φ=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

πμ

=Φ1312

0 lnlnln2 d

DxIdDxI

rDxIl

cb

e

aaN

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+

πμ

=Φ1312

0 ln23

21ln

23

21ln

2 dDxIj

dDxIj

rDxIl

aa

e

aaN

⇒

16

unde

ac

ab

aa

IaIIaI

II

==

=2

23

21

23

21

2 ja

ja

−−=

+−=

⇒ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

⋅π

μ=Φ

12

1313120 ln23ln

2 ddj

rddIl

e

aaN ⇒

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

⋅π

μ=

12

1313120 ln23ln

2 ddj

rddlL

e

a

Datorită expresiei inductivităţii complexe , impedanţa fazei devine: aL

aaaaa LjLRjLLjRZ '''''' )( ω+ω+=−ω+=

Se constată pe de o parte creşterea rezistenţei de fază - care va conduce la pierderi suplimentare de putere în linie şi pe de altă parte, impedanţele de fază nemaifiind egale, apar căderi de tensiune diferite pe faze, cu efect asupra funcţionării consumatorilor la capătul liniei.

( )13.2

9

17

iii. Inductivitatea ataşată unui conductor de fază pentru o linie trifazată, simplu circuit, cu conductoarele transpuse.

DE CE transpunerea conductoarelor?

În practica proiectării LEA, pentru a obţine construcţii economice, mai uşoare şi mai puţin înalte, s-au realizat stâlpi la care distanţele între faze sunt diferite.

În aceste cazuri, când distanţele diferă mult, inductivităţile ataşate fazelor a, b, c,sunt diferite între ele; acest fapt determină o nesimetrie a impedanţelor, respectiv a tensiunilor de fază.

Aceasta produce perturbaţii în liniile de telecomunicaţii sau LEA învecinate, motiv pentru care se remediază prin transpunerea conductoarelor de fază.

12d 23d

31d

1 2 3

18

CE ESTE ŞI CUM se realizează transpunerea?

Distanţa pe care un conductor de fază ocupă cele trei poziţii pe stâlp, s.n. CICLU DE TRANSPUNERE, iar distanţa între doi stâlpi de transpunere s.n. PAS DE TRANSPUNERE.

S-a făcut o ultimă transpunere şi la capătul liniei, pentru ca faza a să se afle în poziţia iniţială (pentru a evita confuzii la efectuarea de manevre în exploatare).

Ia

Ic

Ib

a

b

c

a

b

c

a

b

c

l / 3 l / 3 l / 3

Secţiunea 1 Secţiunea 2 Secţiunea 3

stâlpi transpunere

12d

13d

21d

23d 31d 32d

I II III capătulliniei

10

19

Numărul ciclurilor de transpunere pe o linie, depinde de lungimea şi tensiunea nominală a liniei, şi este dictat de necesitatea de a limita influenţa liniilor de înaltă tensiune (Î.T.) asupra liniilor de telecomunicaţii.

În prezent la liniile de 110 kV se practică un singur ciclu de transpunere, iar la 220 kV, 400 kV, în funcţie de lungimea liniei, între unu si trei cicluri. Pentru ţara noastră, având în vedere lungimile liniilor de 400 kV, lungimea ciclului este de cca. 250 km.

Calculul inductivităţii la LEA cu conductoare transpuseÎn cazul liniilor cu conductoare transpuse, inductivităţile pe cele trei

faze vor fi egale, iar pentru calculul lor se procedează astfel:se scrie fluxul total care înlănţuie, de ex., faza a, pentru cele trei

poziţii ale conductorului pe stâlp (I, II, III):

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++⋅

πμ

=Φ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++⋅

πμ

=Φ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++⋅

πμ

=Φ

3231

0

2123

0

1312

0

lnlnln32

lnlnln32

lnlnln32

dDxi

dDxi

rDxil

dDxi

dDxi

rDxil

dDxi

dDxi

rDxil

cb

e

aaN

III

cb

e

aaN

II

cb

e

aaN

I

20

rezultă fluxul total:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++⋅

πμ

=

=Φ+Φ+Φ=Φ

DMGDxi

DMGDxi

rDxil

cb

e

a

aNIII

aNII

aNI

aN

ln3ln3ln332

0

e

a

e

aaN rDMGil

DMGDx

rDxil ln

2lnln

200 ⋅⋅πμ

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅⋅

πμ

=Φ

Ţinând cont că 0=++ cba iii se obţine

=⋅⋅= 3312312 dddDMG distanţa medie geometrică între

conductoarele de fază ale unui circuitunde:

e

a rDMGlL ln

20

π⋅μ

=

erDMGx lg1445,00 = [Ω / km şi conductor]

( )14.2

( )15.2

11

21

iv. Inductivitatea ataşată unui conductor de fază pentru o linie trifazată, dublu circuit.

aNIII

aNII

aNI

aN Φ+Φ+Φ=Φ 0=++ cba iiiSe consideră că cele două circuite sunt identice din punct de vedere

constructiv şi al încărcării fazelor:

.

'aa ii = 'bb ii = 'cc ii =

;1221 ′′ = dd ;1331 ′′ = dd ...

I II III

21 ′d

31 ′d

11 ′d,

,

'

'

'

c

b

a

iii

c

b

a

iii

22

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅

πμ

=Φ′′′ 1232222123

0 lnlnlnlnlnln32 d

DxidDxi

dDxi

dDxi

dDxi

rDxil

cbacb

e

aaNII

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅

πμ

=Φ′′′ 2313333231

0 lnlnlnlnlnln32 d

DxidDxi

dDxi

dDxi

dDxi

rDxil

cbacb

e

aaNIII

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅

πμ

=Φ′′′ 3121111312

0 lnlnlnlnlnln32 d

DxidDxi

dDxi

dDxi

dDxi

rDxil

cbacb

e

aaNI

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅

π⋅μ

=2

10 ln2 DMG

DMGr

DMGlLe

a⇒

unde: 3312312 dddDMG ⋅⋅= este distanţa medie geometrică între

conductoarele de fază ale primului circuit;distanţa medie geometrică între conductoarele fazelor neomoloage.

−⋅⋅= ′′′ 33322112 dddDMG distanţa medie geometrică între conductoarele

fazelor omoloage ale celor două circuite;

−⋅⋅= ′′′ 31332211 dddDMG

( )16.2

12

23

v. Inductivitatea în cazul sistemelor trifazate cu conductoare de fazăfasciculate sau jumelate

La LEA cu tensiuni foarte înalte: Un= 220 kV; 400 kV; 750 kV.În scopul creşterii capacităţii de transport şi a reducerii pierderilor

de putere şi energie prin descărcare corona.

UNDE şi DE CE?

Avantajele unui număr mai mare de subconductoare pe fază:

Se diminuează câmpul electric superficial în apropierea conductorului, reducându-se valoarea câmpurilor perturbatoare şi pierderile prin descărcare corona: pentru secţiuni uzuale ale conductoarelor la 400 kV, sunt indispensabile 2 subconductoare pe fază, 3 nu sunt absolut necesare, dar în mod evident nu jenează. În Europa, numărul maxim de subconductoare la 400 kV este de 4;

Creşte intensitatea curentului maxim pentru o aceeaşi secţiune totală a conductorului, datorită faptului că faza se răceşte mai bine;

Conduce la scăderea reactanţei inductive a liniei şi în consecinţă la reducerea căderilor de tensiune şi a pierderilor de putere reactivă;

⇒

24

Reducerea uşoară a rezistenţei electrice a liniei, la aceeaşi secţiune totală a conductorului, datorită reducerii efectului de suprafaţă în conductor.

Dezavantaje:Pe de altă parte, pentru aceeaşi secţiune totală, creşterea numărului

de subconductoare ridică costul liniei, datorită eforturilor suplimentare prin încărcarea cu gheaţă a cărei greutate depinde mai mult de suprafaţa totală de contact între conductor şi aer, decât de secţiunea totală.

În plus, avariile sunt mai frecvente la liniile cu mai multe subconductoare.

13

25

Inductivitatea specifică ataşată unei faze având conductoare fasciculate:

e

DMGLρ

= lg46,00pentru cazul real cu conductoare

transpuse

unde: eρ este raza medie echivalentă a conductorului fasciculat.

( )17.2

• LEA cu dublu circuit cu transpunerea fazelor:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅

ρ=

2

10 lg46,0

DMGDMGDMGL

e( )18.2

• Cazul conductorului făcând parte dintr-o linie trifazată, simplu circuit.

26

eρ

R

n n

ee Rrn )1( −⋅⋅=ρ

unde: este numărul de subconductoare pe fază

n

−er raza echivalentă a subconductorului din fascicul

4r

e errμ

−⋅=

eρ

R

Rdm 2=

2mdR =Pentru cazul particular n = 2:

2222 )12( m

eee

drRr ⋅⋅=⋅⋅=ρ −

meedr ⋅=ρ⇒

( )19.2

( )91.2 ′

Se consideră un conductor de fază constituit din mai multe subconductoare.

Determinareaeρ

−R raza de fasciculare

14

27

R

md

Pentru cazul particular n = 3:

2330cos

2RRdm == o

3mdR =⇒

3

2

3 )13(

333 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅=⋅⋅=ρ − m

eee

drRr

3 2

meedr ⋅=ρ

** *

În ceea ce priveşte calculul reactanţei inductive a cablurilor, acesta este mult mai sofisticat, în special datorită secretului de fabricaţie.

Fabricantul pune la dispoziţia specialiştilor direct valorile reactanţei sau susceptanţei, în funcţie de tensiunea şi de tipul cablului.

În general, Lcablu< (4 ... 5) LLEA .Este clar că inductivitatea specifică a unui cablu este mult mai mică

decât inductivitatea specifică a LEA.Pentru LEC nu se fac transpuneri ale fazelor, deoarece acestea nu se

influenţează între ele datorită ecranării; se fac însă transpuneri ale ecranelor metalice.

( )91.2 ′′

28

2.3. Susceptanţa capacitivă a liniilor electrice.

SCB ω= [ ]kmS / capacitatea de

serviciu pffSCCC += 3

Pentru o linie trifazată, există curenţi capacitivi între faze şi între faze şi pământ.

ffC

pCpCpC

ffC ffC

1

23

ffC

−p

C

este capacitatea fază-fază

capacitatea fază-pământ

SC se poate introduce în mod distribuit de-a lungul liniei

SC

conductor de fază

nulul sistemului

15

29

La LEA de medie tensiune, curenţii (laterali) de convecţie fiind foarte mici se pot neglija, a.î. în schema echivalentă nu apare capacitatea de serviciu CS şi rămân în circuit numai rezistenţa RL şi reactanţa inductivă XL; rezultă astfel un dipol electric.

La LEA de înaltă tensiune şi foarte înaltă tensiune, dar în special la liniile în cablu (LEC), nu se mai poate neglija capacitatea de serviciu deoarece curenţii de convecţie sunt foarte mari!!!

Efectul imediat al prezenţei unei CS importante este că liniile de FÎTsau LEC, sunt “generatoare” importante de putere reactivă cu caracter capacitiv, care uneori este greu de “stăpânit”.

În funcţie de regimul de secvenţă (pozitivă, negativă şi zero), capacitatea de serviciu se calculează în mod diferit.

Ο Ο

ΟΟLR LX

30

i. Capacitatea de serviciu de secvenţă pozitivă

Fie o linie trifazată în regim simetric de secvenţă pozitivă, adică tensiunile aplicate fazelor (v) şi sarcinile electrice (q) pe conductoare formează un sistem de secvenţă directă:

⎩⎨⎧

=++=++

00

321

321

qqqvvv

Pentru determinarea capacităţilor de secvenţă se vor folosi coeficienţii de potenţial Maxwell; în acest sens utilizând prima formă a relaţiei Maxwell se poate scrie dependenţa dintre potenţialele şi sarcinile electrice ale conductoarelor sub forma:

[ ] [ ] [ ]qv ⋅α=

În câmpul electric, pământul se comportă ca un conductor perfect şi prezenţa sa poate fi înlocuită cu imaginea conductorului faţă de planul tangent la sol.

16

31

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ααααααααα

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

qqq

VVVVVV

N

N

N

332211 ,, ααα sunt coeficienţii de potenţial proprii

condrh

l1

0

11

2ln2

1⋅

πε=α

[ ]mF /1094

190 ⋅⋅π

=ε

permitivitatea vidului

h1=h3

ffC

22C33C

11C

ffCffC

2q

3q1q

2q−

3q−1q−

V1 V2 V3

12D

d12d23

d31

h2

=α ,...12coeficienţii de potenţial mutuali ;

12

12

0

12 ln2

1dD

l⋅

πε=α

( )20.2

( )02.2 ′

32

3132121111 qqqVV N ⋅α+⋅α+⋅α=−

şi fiind un regim de secvenţă pozitivă avem: 0321 =++ qqq

În plus, dacă linia este cu conductoarele aşezate într-un triunghi echilateral, sau are conductoarele transpuse: , din

rezultă:1312 α=α

.132 qqq −=+

( )121111121111 α−α⋅=⋅α−⋅α=− qqqVV N

⇒⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

πε

=α−α

=−

=+

12

121

0

12111

1

ln2ln2

111

dD

rh

lVV

qC

cond

N

S

Capacitatea de serviciu de secvenţă pozitivă

Rezultă

sau

( )21.2

( )21.2

( )12.2 ′

17

33

Această formulă se referă la CS+ a unui singur conductor, în raport cu

un conductor fictiv care este nulul sistemului considerat.

1311,29,39CS+

[nF/km fază]

750 kV400 kV220 kV110 kVUn

[ ]kmF

Dd

rh

Dd

rh

Dd

rh

C

condcondcond

S /2lg

0242,02lg3,218

102ln

10941012

12

121

12

121

6

12

121

9

3

μ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅⋅π⋅⋅π

=−

+

l = 103 m

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅

⋅πε=⇒ +

12

121

0 2ln

12

Dd

rh

lC

cond

S

( )22.2

34

ii. Capacitatea de serviciu de secvenţă zero

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=====

0321

321

Nvqqqvvv

condiţiile iniţiale:

( )12111

1121113132121111

2 2

α+α⋅==⋅α+⋅α=⋅α+⋅α+⋅α=−

qqqqqqVV N

0 12

1 11 12 1 12

0 12

1 12 21 ln ln

2

SN

cond

qCV V h D

l r d

= = =− α + α ⎡ ⎤⎛ ⎞

+⎢ ⎥⎜ ⎟πε ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦Capacitatea de serviciu de secvenţă zero

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅

πε= 2

12

121

2

12

121

00

2lg

0242,02ln

2

dD

rh

dD

rh

lC

condcond

S ( )23.2

18

35

Întrucât numitorul din expresia lui CS0 este mai mare decât

numitorul expresiei lui CS+ rezultă că CS

0 < CS+; aceasta se

explică prin faptul că, capacităţile de serviciu de secvenţă zero se referă numai la influenţa dintre fază şi pământ, iar raportul între ele este de 2,5 până la 3 ori.

Prezenţa conductorului sau conductoarelor de protecţie legate la pământ măreşte capacitatea faţă de pământ a liniei, pentru că liniile de câmp electric se închid şi prin conductorul de protecţie şi prin pământ.

În cazul conductoarelor fasciculate, raza echivalentă a fazei creşte, ceea ce atrage după sine mărirea capacităţii şi susceptanţeicapacitive.

36

iii. Exprimarea capacităţilor de serviciu ale unui conductor în funcţie de capacităţile parţiale fază-pământ şi fază-fază.

Se realizează transfigurarea triunghi-stea a capacităţilor dintre conductoarele de fază.

⇒

ffstea

ffNstea

CCYY

33

=

=

Nff

ff

ff

ffff

stea YYZ

ZZZ

Z 131

33===

⋅⋅

=

ffC

22C33C11C

ffC ffC NY

NY

NY N

pY pYpY

Prin identificaresau

19

37

Apar două situaţii:

a) Reţeaua funcţionează în regim simetric, adică potenţialele nodurilor P şi N sunt aceleaşi, VN = Vp, ceea ce face sa avem un circuit paralel între două admitanţe.

b) Reţeaua funcţionează în regim nesimetric, adică . În regim de secvenţă zero, cele trei tensiuni de fază sunt egale, nu mai apar capacităţi între faze, iar în schema echivalentă rămâne numai Cp:

pffs

pffNps

CCCYYYYY

+=

+=+=+

+

33

pN VV ≠

psCC =0

P NP N≡P

NYpY +

SY⇒( )24.2

38

Capacitatea liniilor electrice în cablui. Cablurile în evoluţia lor au fost construite cu câmp radial, în jurul

izolaţiei având o manta de plumb a.î. între conductor şi manta se creează linii de câmp radiale. Ulterior a apărut mantaua de plastic + ecran metalic sau strat de grafit.

Cablurile monofazate sunt montate în structură trifazată astfel:• unul lângă altul• în treflă.

Nu există nici o influenţă între ele pentru că fiecare cablu are un ecran.

R

2r

εr

[ ]kmF

rR

rRlC r

S / lg

0242,0

ln

2μ

ε=

πε=

constanta dielectrică a izolaţiei

0 rεε=ε

( )25.2

20

39

ii. Cablurile trifazate fără câmp radial au manta comună. Rolul mantalei de plumb exterioare este de a proteja izolaţia la pătrunderea apei. Capacitatea de serviciu se calculează printr-o expresie puţin mai complicată.

iii. Cablurile trifazate cu manta pe fiecare fază sunt o variantă destul de costisitoare. Fiecare fază are o manta proprie (deci şi câmp radial propriu) şi toate fazele sunt introduse în interiorul unui cablu trifazat. Nu se influenţează între ele datorită ecranului.

Susceptanţa lineică capacitivă este:

( ) ( )6

0 10lg

58,7lg0242,0314 −+ ⋅=⋅=⋅ω= sCb [ ]kmS /

lbBL ⋅= 0 [ ]S

** *

[ ]kmF /μ [ ]kmF /

respectiv susceptanţa unei linii electrice este :

( )26.2

40

Efectul de compensare a liniilor electrice de înaltă tensiune

O particularitate a liniilor electrice de înaltă tensiune, aeriene, dar în special a LEC, constă în faptul că susceptanţa capacitivăprovoacă o circulaţie de curenţi capacitivi şi din această cauză linia poate fi considerată ca un “generator de putere reactivă” (Q).

În consecinţă creşte nivelul de tensiune şi se îmbunătăţeşte factorul de putere al transportului de energie, care la liniile de FÎTajunge la

Curentul capacitiv la începutul unei linii, în ipoteza că tensiunea de fază V este constantă pe toată lungimea liniei, se poate scrie

iar puterea reactivă capacitivă produsă de cele trei faze este

lbBL ⋅= 0

1cos =ϕ ( ).1=λ

lbVIC ⋅⋅= 0

Ln

Ccap BUlbVVIQ2

0

2

3333 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛≅==

Lncap BUQ 2= [ ]VAr

[ ]A

( )27.2

21

41

Valori medii ale puterilor capacitive generate

• Pentru o LEA de 110 kV, Qcap generată pe 100 km este

• La 220 kV, tot pe 100 km:

• La 400 kV, pe 100 km:

[ ];3 MVArQcap =

[ ];1412 MVArQcap ÷=

[ ].6055 MVArQcap ÷=

Liniile electrice în cablu produc o putere capacitivă mult mai mare, de cca. 20 de ori mai mare decât în cazul LEA, la aceeaşi tensiune.

Spre deosebire de liniile la tensiune alternativă, cele la tensiune continuă nu produc putere reactivă capacitivă. De aceea, se preferă cabluri la tensiune continuă pe lungimi mari (de exemplu cablurisubmarine).

42

2.4. Conductanţa liniilor electrice.

Conductanţa GL constituie parametrul LEA corespunzător pierderilor transversale de putere activă, datorate imperfecţiunilor izolaţiei şi descărcărilor corona:

][2

SU

PPGn

corizL

Δ+Δ=

a) Pierderile de putere activă datorate imperfecţiunii izolaţiei( )izPΔ

În punctele de fixare a conductoarelor la stâlp apar “scurgeri” de curent prin izolaţie spre pământ care sunt cu atât mai intense cu cât condiţiile atmosferice sunt mai defavorabile.

Fie un lanţ de izolatoare pentru o LEA cu tensiunea nominală Un = 220 kV care reprezintă o rezistenţă de izolaţie, în condiţii normale de mediu înconjurător, de cca. ]./[104,2 9 fazăΩ⋅

( )28.2

22

43

Având în vedere că o astfel de linie este echipată de-a lungul unui kilometru cu 3 asemenea lanţuri de susţinere, rezultă că rezistenţa de izolaţie este de

, iar conductanţa corespunzătoare este ]/[108,0 9 fazăΩ⋅

]/[25,110 kmnS

RG

iz

==

În consecinţă, această conductanţă determină pierderi de putere pe o fază

]/[201025,1103

220 9

2

320 kmWVGPiz ≅⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅==Δ −

Pe timp nefavorabil (ploaie, ceaţă), valoarea pierderilor de putere creşte de 5 - 6 ori, dar rămân totuşi neglijabile în calculele de regimuri.

În zonele poluate, datorită depunerilor intense de murdărie, valoarea conductanţei creşte foarte mult, .

Având în vedere faptul că, prin proiectare, se aleg izolatoare care nu favorizează depunerile, care se “autospală” la căderea intemperiilor sau sunt curăţate periodic, în practică valoarea se neglijează.

]/[40020 kmnS÷

izPΔ

44

b) Pierderile de putere activă prin descărcare corona – trebuie luate în considerare încă din faza de proiectare a liniei.

CE ESTE ŞI ÎN CE CONDIŢII APARE?Efectul corona este o descărcare electrică autonomă, incompletă ce se

produce la suprafaţa conductorului sub forma unei coroane luminoase, fiind însoţită de un zgomot caracteristic.

Această descărcare electrică apare atunci când intensitatea câmpului electric la suprafaţa conductoarelor depăşeşte valoarea critică

În cazul neunifomităţilor existente pe suprafaţa conductoarelor funie, datorate deteriorărilor mecanice, murdăriei, picăturilor de apă, răsucirii conductoarelor, această valoare iniţială se poate modifica, descărcarea corona producându-se la valori mai mici ale tensiunii decât cele corespunzătoare câmpului critic.

]./[1,21 cmkVE efcr =

23

45

Verificarea pierderilor prin descărcare coronaCorespunzător intensităţii câmpului electric critic se calculeazătensiunea critică de apariţie a fenomenului corona folosind formula:

unde: m1 este un coeficient care ţine cont de starea suprafeţei conductorului având valoarea 0,95 pentru conductoare netede şi 0,8 pentru conductoare funie;

m2 - coeficient ce ţine seama de condiţiile atmosferice având valoarea 1 pentru timp frumos şi 0.8 pentru timp ploios sau cu ceaţă;

- densitatea relativă a aerului; la aceasta are valoarea 1.

Sub tensiunea critică, pierderile datorate descărcării corona sunt mai mici. Peste tensiunea critică, aceste pierderi cresc vertiginos cu creşterea tensiunii.

][lg3,231,2121

81

kVr

DMGrmmUe

crδ⋅⋅⋅=

43421

δ mmHgpCt 760 şi 25 == o

( )29.2

46

În ipoteza unor conductoare perfect cilindrice, curba de variaţie a pierderilor de putere în funcţie de tensiune într-o reprezentare liniară, poate fi descrisă ca în figură.

crPΔ

crUU

PΔ

În general, pierderile prin descărcare corona pot fi exprimate sub forma

( ).crUUkP −⋅=Δ

24

47

Pierderile care apar şi sub tensiunea critică se datorează unor descărcări locale cauzate de asperităţile de pe suprafaţa conductoarelor, de depuneri de particule lichide sau solide; acesta s.n. regimul de pierderi localizate.

Dacă tensiunea liniei creşte, sau dacă ploaia sau ceaţa amplifică fenomenul de neliniarităţi, sarcinile spaţiale din jurul conductorului devin mai dense, ne apropiem de Ucr de apariţie a descărcării corona şi avem de-a face cu regimul generalizat.

Normele prevăd ca pe timp frumos să nu apară descărcări corona, adică

Pentru calculul pierderilor prin descărcare corona se folosesc relaţii empirice:

formula lui Peek pentru

ncr UU >

kVUn 110≤

( ) ( ) ]fază şi /[1025241 52 kmkWVVDMG

rfP cre

c−⋅−+

δ=Δ ( )30.2

48

relaţia lui Peterson – pentru tensiuni mai mari decât 110 kV

]/[ln

107.142

6 kmkW

rDMGUFfP

e

c

−⋅=Δ

unde F este funcţia Peterson

0,90,10,040,02F

1,51,231,020,83crU

U

10

2,5

La liniile aeriene de 400 kV, pierderile prin descărcare corona ajung până la din pierderile Joule, iar la liniile de 750 kVpierderile prin descărcare corona sunt de 4 ori mai mari decât la liniile de 400 kV.

%75÷

( )31.2

25

49

Influenţa descărcării corona se manifestă prin:

creşterea pierderilor de putere şi energie în reţelele electrice;

scurtarea duratei de viaţă a conductoarelor, armăturilor, clemelor prin corodarea acestora;

producerea de perturbaţii de înaltă frecvenţă, puternice, care deranjează emisiunile radio, TV etc., precum şi zgomote acusticederanjante;

Pentru evitarea apariţiei fenomenelor corona este necesar a mări valoarea lui Ucr:

prin mărirea razei conductorului, măsură care însă conduce la dificultăţi de montare şi în exploatarea liniilor;

folosirea conductoarelor jumelate (fasciculate), obţinându-se în felul acesta o mărire a suprafeţei aparente a grupului de subconductoare şi scăzând intensitatea câmpului critic la suprafaţa conductorului; aceasta este metoda cea mai eficace, fiind cea mai răspândită.

50

În cazul liniilor în cablu, conductanţa apare datorită pierderilor de putere prin fenomene de ionizare în dielectricul cablului, „scurgerii” de curent datorat imperfecţiunii izolaţiei sau pierderilor de putere datorită ciclului de histerezis în dielectric.

Pentru evaluarea pierderilor în dielectric se foloseşte tangenta unghiului de pierderi , ce reprezintă raportul dintre componentele activă şi reactivă ale curentului total care circulă prin cablu. În funcţie de calitatea izolaţiei aceasta are valori între 0,002 şi 0,008.

La cabluri cu tensiuni de 110 kV şi 220 kV pierderile de putere în izolaţie ajung până la valoarea de .

δtg

]/[105 kmkW÷

1

Ipoteze asupra modelului transformatorului monofazat:

• miezul magnetic şi circuitele electrice sunt construite simetric;

• transformatorul trifazat în regim simetric faţă de fazele a, b şi c.

2.5. Schemele echivalente şi parametrii transformatorului trifazat

N

i k IkIi

V kV i

N

ΓEi ΓEk

Φi k

Modelul transformatorului monofazat cu două înfăşurări

spire spire

∫ϕ

−=E

dtdsdE

Γ(i) Se aplică legea inducţiei electromagnetice

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ϕ−=+−

ϕ−=+−

dtdiRv

dtdiRv

kkkk

iiii

Alegem curbele de integrare

,

,

i i i i

k k k k

N L iN L i

σ

σ

ϕ = ψ +⎧⎪⎨ϕ = ψ +⎪⎩

Folosind teoria tehnică, fluxul magnetic reprezintă suma dintre fluxul util şi fluxul de dispersie.

(2.32)

Ni, Nk - reprezintă numărul de spire al înfăşurărilor primară, respectiv secundară;

Ri, Rk - rezistenţele înfăşurărilor primară şi secundară;

σσ ,, , ki LL - inductivităţile de dispersie ale înfăşurărilor primară şi secundară;

- fluxul fascicular comun celor două înfăşurări.

unde:

ψ

util dispersieϕ = ϕ +ϕ (2.33)

2

i ii i

k kk k

V R I jV R I j− + = − ωΦ⎧⎨− + = − ωΦ⎩

Considerând regimul de funcţionare sinusoidal şi trecândla exprimarea sub formă fazorială, sistemul de ecuaţii (2.32) devine

,

,

i ii i

k kk k

L I N

L I Nσ

σ

Φ = + ψ⎧⎪⎨Φ = + ψ⎪⎩

( )23.2 ′

( )33.2 ′

E j= − ωψ⎩⎨⎧

+=

+=

σ

σ

ωω

,

,

kkk

iii

LjRzLjRz

t.e.m pe spiră Impedanţele înfăşurărilor

,( ) ii i i iV R j L I j Nσ− + + ω = − ωψ

iz= E=

Înlocuind (2.33`) in (2.32`) şi prelucrând

⎩⎨⎧

=+−=+−

ENIzVENIzV

kkkk

iiii ( )34.2

3

Folosind (2.34), se poate construi schema echivalentă cu două surse

N EN Ei

z z k

k

i

z z

0 0

z z

0 0

Schema echivalentă a transformatorului cu două înfăşurări:a. Schema cu trafo ideal reprezentat prin cuplaj magnetic,

b. Schema cu trafo ideal reprezentat prin operator de transformare

În practică, se folosesc schemele:

Ni/Nk

a. b.Trafo. ideal

în ipoteza că , din (2.34) se obţin ecuaţiile transformatorului ideal:0== ki zz

⎩⎨⎧

=−=−

ENVENV

kk

ii

0

0

Raportul de transformare

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

==

0

0

0

0

k

iik

k

i

k

iik

VVN

VV

NNN Real

Complex

La bornele trafo ideal

⎩⎨⎧

=+−=+−

ENIzVENIzV

kkkk

iiii ( )34.2

Dacă se reiau ecuaţiile

( )35.2

( )63.2 ′

( )63.2 ′′

4

(ii) Se aplică legea circuitului magneticde-a lungul unui contur care străbate circuitul magnetic ∫

Γ

Θ=M

sdH

Se va obţine expresia solenaţiei totale:i kik i kN I N IΘ = +

ctik =ΘIn ipoteza 0i i ki i kN I N I N I= +

Dacă transformatorul se alimentează pe la înfăşurarea i

0k i kk i kN I N I N I= +

0kI

z k

0iI

z i

sau

Înfăşurarea primară

0kI

z k

0iI

z i

( )37.2

In ipoteza neglijării curentului de mers in gol

kkii ININ −≅

k

iik N

NN =

i

kki N

NN =

Transformatorul ideal

0=+ kkii ININ

iikik

ik INI

NNI −=−=

kkiki

ki INI

NNI −=−=

( )83.2 ′

( )83.2 ′′

5

⎩⎨⎧

=+−=+−

ENIzVENIzV

kkkk

iiiiDin (2.34)

Prin impărţire

)( kkkikiii IzVNIzV +−=+−

kiik

k

i

kkk

iii

NN

NN

IzVIzV 1

===+−+−

iikk INI −=

2( )i k ii kik ikV z N z I N V− + + = −

( )83.2 ′

sau

ikikki zNzz 2+=

ikikkik VNIzV −=+−

kikiiki VNIzV −=+−

kikiik zNzz 2+=

Rezultă

unde:

( )93.2 ′

( )93.2 ′′

( )04.2 ′′

( )04.2 ′

6

zik ki Nik

V kVi V i0

z ki ki Nki

V kV i V k0

ikz

kiz

a. Schema cu operator de transformare Nik şi

impedanţa raportată la înfăşurarea i;

cuplaj galvanic la nodul i şi magnetic la nodul k

b. Schema cu operator de transformare Nki şi

impedanţa raportată la înfăşurarea k

cuplaj magnetic la nodul i şi galvanic la nodul k

iI

iI

kI

kI

kiikikikiikiik zNzNzNzz 222 )( =−+=

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

+=

ikikki

kikiik

zNzz

zNzz2

2

Din (2.38)

1=⋅ kiik NN⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

ikkiki

kiikik

zNz

zNz2

2

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

ikikki

kikiik

yNy

yNy2

2

( )41.2

( )42.2

7

Schema în Γ a transformatorului

În cazul reprezentării pierderilor de mers în gol prin admitanţă transversală

Dacă 00

00

i kiiki

i ii k

NI Iy NV N I I

= ⇒ = = −−

I II I

y

I

zzii

i

i

i0

i0

i0i

k

kk

V V

Transformator ideal

Înfăşurare

primară

atunci se poate neglija comparativ cu0ii IZ i iZ I

Dacă se mută la borna i a transformatorului real,0iy

( )43.2

a. Transformator ridicător b. Transformator coborâtor.

zik ki Nik

VkVi yi0

zki ki Nki

VkVi yi0

iI kI

Schema în Γ a transformatorului cu două înfăşurări

Înfăşurare

primară

8

Schema echivalentă în Π cu operator de transformare a transformatorului

iI kIz ki Nik

VkViyiky ki

ik

0 0

22 20

0

000)(

21

ik

ikki

iiik

Ny

y

jbgy

=

+=

00

ii

i

IyV

=

( )44.2

Se reiau ecuaţiile (2.39) ale transformatorului cu raport real

⎩⎨⎧

−=+−−=+−

ikikkik

kikiiki

VNIzVVNIzV

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−=

)(

)(

ikikkik

kikiiki

VNVyI

VNVyI

Schema echivalentă galvanică în π

sau

( )39.2

( )54.2 ′′

( )54.2 ′

unde

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

===

=

2

22

11

ikikki

kikikiikik

ik

i

kki

Nyy

NyzNz

y

NNN

9

2ikikki

Nyy = ikikik

ikikkikiNy

NNyNy ==

12

)()( kiikikiikikik

kikikiikikiikikiiki

VVyNVyNy

VNyVyNVyNVyI

−+−=

=−+−=⇒ ( )46.2

( )47.2

( )54.2 ′

( )54.2 ′′ ⇒

)()1(

2

ikikikkikikik

iikikkikikkikikkikik

ikikikikikkikikkkik

VVyNVNNy

VyNVyNVyNVNy

VNyVyNVyNVyI

−+−=

=−+−=

=−+−=

Schema echivalentă galvanică în π a transformatorului cu două înfăşurări

;0 ikii III +=kikk III += 0

;)1(0 iikiki VNyI −= kikikikk VNNyI )1(0 −=

ikikkiik NyVVI )( −=

ki

VkVi

Ii Ik

y N ( -1)Nik ik iky (1- )Nik ik

y Nik ik Iki

Ii0 Ik0

Iik

( )48.2

Din (2.46) Din (2.47)

10

Se consideră schema echivalentă cu operator de transformare Nik reala transformatorului cu parametri raportaţi la înfăşurarea i

Parametrii transformatorului cu două înfăşurări

zik ki Nik

VknVin Vin

kii

Mărimi caracteristice

11

• Regim de mers în gol – se consideră că înfăşurarea k este în golşi se aplică tensiunea nominală Vin la bornele i-0

2,2 2

0 0 , 0 0 ,

2 20 0 , 0 ,

3 33

3

i ni i n i i i n

i i n i i n

UP G V G G U

Q B V B U

⎧ ⎛ ⎞Δ = = =⎪ ⎜ ⎟⎨ ⎝ ⎠⎪Δ = =⎩

300 2

,

300 2

,

10 [ ]

10 [ ]

ii n

ii n

PG SU

QB SU

−

−

Δ⎧ = ⋅⎪⎪⎨ Δ⎪ = ⋅⎪⎩

Susceptanţa inductivă echivalentă Bi

Admitanţa corespunzătoare pierderilor de magnetizare la mers în gol

, ,0 0 0 00 , 2 2

,, , ,

3[%] [%] [%]1 [ ]100 100 100

3

i n i n ni i n

i ni n i n i n

U II i i i Sy I SUV U U= = = =

][20

200 SGyB iii −≅

MVA

kV

][],[],[ 00 kVUkVArQkWP inΔΔunde:

( )49.2

( )50.2

( )51.2

În cazul transformatoarelor uzuale, în ipoteza că yi0>>Gi0 expresia de sub radical (2.49) se poate dezvolta conform binomului lui Newton.

[ ]

1 1 12 2 2 2 22 20 0 0 0

200

0 0 20

1( ) ( ) ( ) ...2%

2 100

i io io i i i

i ni i

i in

B y G y y G

iG Sy yy U

−= − ≅ − +

≅ − ≅ =

...)(!2

)1()(!1

)( 221 +−

++=+ −− bammbamaba mmmm

Binomul lui Newton

( )15.2 ′

12

2,3 niik

nomsc IRP =Δ

• Regim de scurt-circuit – se consideră că înfăşurarea k este legată în s.c.şi se alimentează primarul astfel încât să se obtină In în infăşurarea i

• Rezistenţa echivalentă

2, 32 10 [ ]i nnom

ik scn

UR P

S−= Δ ⋅ Ω

ni

nni U

SI,

, 3=

kV

MVAkW

( )52.2

Reactanţa inductivă echivalentă ikX

⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=

niiksc

nisc

sc

IzU

VuU

,

,100[%]

][100

[%]13100

[%] 2,

,

, Ω==n

nisc

ni

niscik S

UuI

Uuz

][22 Ω−= ikikik RzX

Cunoscând Rik şi zik

La transformatoarele de mare putere ikik ZR <<

n

inscik

ik

ikikik S

UuZZRZX

22

100%

2=≅−≅ ( )53.2

kV

MVA

. Prin dezvoltarea radicalului:

1

1

Calculul liniilor electrice “scurte” de joasă şi medie tensiune , în regim

permanent de funcţionare

2

3.1 Calculul căderilor de tensiune

Noţiuni

Căderea de tensiune algebrică : diferenţa dintre valorile efective ale tensiunilor din două noduri ale reţelei, legate galvanic şi având aceeaşi tensiune nominală:

%100AB A B adm nDV V V DV Vε

= − < =

Căderea de tensiune fazorială : diferenţa fazorială a două tensiuni , din douănoduri diferite ale reţelei:

AB A BV V V Z IΔ = − =

Necesitatea calculului căderii de tensiune:

- metodă pentru verificarea nivelului de tensiune ;

- restricţie la dimensionarea secţiunii conductoarelor (când se impune ).

admV VΔ ≤ Δ

admVΔ

2

3

3.1.1. Linia radială cu un singur consumator

Fiind date : R , X , şi ;AV ct= Bi

BV

a rI I jI= −

Se cere : implicit căderea de tensiune pe linie ;

Ipoteză : consumator inductiv .

I

VBVA

I iB B=Z=R+jX

A BIA

Fig. 3.1,a. Schema electrică echivalentă simplificată a unei linii trifazate

4

-jIr

i I IB B= =

Ia VB

AB

DVAB

ΔVAB

CVA

jXI

+j

0EDϕ

θ δVABΔVAB

ϕRI

Fig. 3.1,b. Diagrama fazorială fundamentală a căderilor de tensiune.

Diagrama fazorială fundamentală a căderilor de tensiune

3

5

(3.1)

Suma acestor două căderi de tensiune pe fază este căderea de tensiune fazorială, care constituie diferenţa fazorială dintre tensiunea de la începutul liniei şi cea de la finele acesteia, adică:

Proiecţiile pe cele două axe reprezintă componentele longitudinalăşi transversală ale căderii de tensiune :

cos sinAB a rV RI XI RI XIΔ = ϕ+ ϕ= +

cos sinAB a rV XI RI XI RIδ = ϕ− ϕ = − (3.3)

(3.2)

unde : este componenta activă a curentului din linie;- componenta reactivă a curentului din linie.

ϕ= cosIIasinrI I= ϕ

AB A BV V V Z IΔ = − =

Apar două căderi de tensiune :Căderea de tensiune activă pe fază (în faza cu )Căderea de tensiune inductivă ( defazată cu 90 0 înaintea lui )

RI IX I

ABVΔ

Rezultă AB ABABV V j VΔ =Δ + δ (3.4)

I

ABVΔ

ABVδ

——

6

BAAB VVDV −= (3.5)

( ) ( ) BABABBBAAB VVVVVVDV −δ+Δ+=−= 22

Căderea de tensiune algebrică , se calculează ca diferenţa algebrică între modulele (sau valorile efective) tensiunilor şi :

În cazul reţelelor de distribuţie de MT şi JT avem două situaţii:

Pentru reţele scurte, când unghiul are valori mici, componenta transversalăa căderii de tensiune fazorială se poate neglija, iar componenta longitudinalăse identifică cu căderea de tensiune algebrică:

AB AB a rDV V RI XI≅Δ = +

θ

BVAV

Dacă unghiul are valori mari, căderea de tensiune se poate determina direct, scriind că:

(3.6)

Întrucât , relaţia de sub radical se poate dezvolta în serie, după formula binomului lui Newton :

ABBAB VVV Δ+<<δ

( ) 1 2 2( 1) ...1! 2!

m m m mm m ma b a a b a b− −−+ = + + +

—

— θ

4

7

( ) ( )( )

2 4

31 12 8

AB ABAB AB

B AB B AB

V VDV V

V V V V

δ δ≅Δ + − +

+Δ +ΔL (3.7)

Pentru liniile de medie şi joasă tensiune, se pot reţine, cu suficientă aproximaţie, numai primii doi termeni ai relaţiei (3.7). Ţinând seama că - la funcţionarea normală a liniei trebuie să fie câteva procente din tensiunea VB , se poate neglija acest termen în numitorul relaţiei (3.7) obţinându-se:

ABVΔ

( )B

ABABAB V

VVDV2

21 δ

+Δ≅

( )2

2a r

AB a rB

XI RIDV RI XI

V−

≅ + +

sau

(3.8)

1/21 1 42 12 2 2 22 2

3( )1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...

2 8( )AB

B AB AB B AB B AB ABB ABa b

VV V V V V V V VV V

⋅ −⎡ ⎤ δ⎡ ⎤⎢ ⎥+Δ + δ = +Δ + +Δ ⋅ δ − +⎣ ⎦ +Δ⎢ ⎥⎣ ⎦1442443 14243

Înlocuind expresia lui DVAB rezultă :

Observaţii:

8

( )2

2a r

AB a rn

XI RIDV RI XI

V−

≅ + + (3.8’)

BVDe asemenea , pentru simplificare , în (3.8) tensiunea - care este necunoscută se aproximează cu tensiunea nominală pe fază Vn:

Dacă consumatorii de energie electrică se înlocuiesc prin puterile lor active şi reactive monofazate, atunci expresiile căderilor de tensiune pe fază sunt :

nAB V

XQRPV 00 +≅Δ

nAB V

RQXPV 00 −≅δ

( )3

20000

2 nnAB V

RQXPV

XQRPDV

−+

+≅

(3.9)

(3.10)

(3.11)

5

9

Între căderea de tensiune fazorială , şi componentele longitudinală şi cea transversalăexistă relaţia:

ABABAB VjVV δ+Δ=Δ (3.4)

Prin urmare, căderea de tensiune , dată de relaţia (3.8), poate fi exprimată în funcţie de componentele căderii de tensiune fazorială:

ABDV

( )2Im21Re AB

nABAB V

VVDV Δ+Δ= (3.12)

Odată determinată valoarea aceasta trebuie comparată cu căderea de tensiune maximă admisibilă pe linie :

ABDVadmVΔ

nadmAB VVDV100%ε

=Δ≤ (3.13)

În funcţie de puterile totale P, Q transportate pe linie, se utilizează pentru sistemul monofazat , respectiv pentru sistemul trifazat , . 2/0 PP = 2/0 QQ = 3/0 PP = 3/0 QQ =

10

Pentru determinarea defazajului între fazorul şi fazorul se foloseşte diagrama fazorială fundamentală a căderilor de tensiune (fig. 3.1, b):

AV BV

n

ra

raB

ra

ABB

AB

VRIXI

XIRIVRIXI

VVV

ODCD −

≅++

−=

Δ+δ

==θtan (3.14)

Relaţia de legătură între căderea de tensiune considerată între fază şi nulul fictiv, şi căderea de tensiune între faze :

ABDV

ABAB DVDU 2= (3.15,a)

ABAB DVDU 3= (3.15,b)în cazul sistemului trifazat :

Pentru sistemul monofazat, format din două conductoare, , iar pentru sistemul trifazat .

2/nn UV =3/nn UV =

, şi fiind tensiunile între faze, din nodul A şi respectiv B.BAAB UUDU −= AU BU

în cazul sistemului monofazat :•

•

6

11

Componentele căderii fazoriale de tensiune între faze :

ABAB VU Δ=Δ 3 (3.16,a)

ABAB VU δ=δ 3 (3.16,b)Prin înlocuirea curenţilor în funcţie de puterile trifazate transportate pe linie PB şi QB şi tensiunea nominală a liniei corespunzătoare tensiunii între faze, rezultă:

nB UU ≅

n

BB

B

BB

B

B

B

BAB U

XQRPU

XQRPU

QXU

PRU +≅

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=Δ

333

33 3

B B B B B BAB

B nB B

P Q XP RQ XP RQU X RU UU U

⎛ ⎞ − −δ = − = ≅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

(3.17)

(3.18)

( )232

B BB BAB

n n

XP RQRP XQDUU U

−+≅ + (3.19)

12

3.1.2. Linia trifazată radială care alimentează n consumatori concentraţi

Fig. 3.2 Schema electrică principială a unei linii electrice radiale, alimentând n consumatori concentraţi

A 1 2 n

VA Vni1 i2 in

Z1

Z2

Zn

z1 1 1=r +jx z2 2 2=r +jx zn n n=r +jx

I1 I2 In

Notaţii: (k = 1,2, …,n) pentru curenţii derivaţi ; (k = 1,2, …,n) pentru curenţii prin tronsoane ; pentru impedanţele tronsoanelor, respectiv (k = 1,2, …,n) pentru impedanţele cumulate ale tronsoanelor între nodul sursă şi fiecare nod.

ki kIkkk jxrz += kZ

7

13

Pe baza primei teoreme lui Kirchhoff, scrisă pentru fiecare nod k, curenţii în tronsoane pot fi exprimaţi în funcţie de curenţii nodali

∑=

=n

kkiI

11 112 iII −= ş.a.m.d.;

Expresia generalizată a căderii de tensiune fazoriale devine:

( ) ( )∑∑∑===

−++==Δn

kkrkkak

n

kkrkkak

n

kkkAn IrIxjIxIrIzV

111

respectiv

( ) ( )∑∑∑===

−++==Δn

kkrkkak

n

kkrkkak

n

kkkAn iRiXjiXiRiZV

111

(3.20,a)

(3.20,b)

14

( ) ( )2

0 00 011

32

nn

k k k kk k k kkk

Ann n

x P r Qr P x QDV

V V==

⎡ ⎤−+ ⎢ ⎥

⎣ ⎦= +∑∑ (3.21)

( ) ( )2

1132

nn

k k k kk k k kkk

Ann n

x P r Qr P x QDU

U U==

⎡ ⎤−+ ⎢ ⎥

⎣ ⎦= +∑∑ (3.22)

Dacă sarcinile sunt exprimate prin puterile activă şi reactivă, expresia căderii de tensiune între fază şi nul, pentru cazul a n consumatori, căpătă forma:

respectiv pentru căderea de tensiune între faze :AnDU

în care: 00 , kk QP kk QP ,şi sunt puterile monofazate respectiv puterile trifazate ale consumatorilor;

- tensiunea nominală între fază şi nul, respectiv între faze.Vn, Un

8

15

2

0 0 0 00 0 0 01 11 1

32

n nn n

k k k kk k k kk kk k

Ann n

x l P r l Qr l P x l QDV

V V= == =

⎡ ⎤−+ ⎢ ⎥

⎣ ⎦= +∑ ∑∑ ∑

2

0 00 01 11 1

32

n nn n

k k k kk k k kk kk k

Ann n

x l P r l Qr l P x l QDU

U U= == =

⎡ ⎤−+ ⎢ ⎥

⎣ ⎦= +∑ ∑∑ ∑

(3.23)

(3.24)

Dacă reţeaua electrică este omogenă, adică este construită cu conductoare având aceeaşi secţiune şi acelaşi material , iar prin construcţie conductoarele sunt aşezate simetric între ele şi faţă de pământ, atunci există relaţiile:

respectiv

În deducerea relaţiilor pentru căderile de tensiune s-a ţinut seama numai de parametrii longitudinali ai liniei. Acest lucru este posibil la liniile cu tensiuni nominale mai mici decât 110 kV (când capacitatea şi conductanţa liniilor au o influenţă redusă).

Notă:

16

3.1.3. Linia trifazată radială cu sarcini dezechilibrate pe faze

Se consideră o linie electrică de joasă tensiune în care curenţii sunt în fază cu tensiunile pe fază şi sarcinile sunt simetrice pe două faze (b,c) iar pe a treia (a) încărcarea este mai mare .

Fig. 3.3. Reţea trifazată cu conductor neutru.

Vb

Vc

Za

Zb

Zc

Z0 I0

Ib

Ia

Ic

Va

Vb

Vc

Va

9

17

Vb

ΔVb

Vb

Vc

ΔVc

Vc

Va

Va

ΔVa

Ia

Ic+Ib

Ib

ΔV0Ic

O

O

Fig. 3.3 (bis) Diagrama fazorială a căderilor de tensiune la o linie trifazată cu sarcini dezechilibrate şi cosϕ =1;Va, Vb, Vc - sistemul tensiunilor de alimentare ;V'a, V'b, V'c - sistemul tensiunilor aplicate consumatorului.

Dat fiind dezechilibrul încărcării pe faze, în conductorul de neutru va apărea curentul corespunzător sumei geometrice a celor trei curenţi din fazele active, iar căderile de tensiune pe faze sunt inegale. Din această cauză punctul de neutru la consumatori îşi va schimba poziţia din O în O' şi va avea un potenţial care corespunde căderii de tensiune în conductorul neutru , corespunzătoare segmentului OO'.Aceastăcădere de tensiune poartă denumirea de deplasarea neutrului.

0I,aaa IZV =Δ ,bbb IZV =Δ ccc IZV =Δ

000 IZV =Δ

18

Căderea de tensiune pe fiecare fază se obţine însumând fazorial căderea de tensiune în faza respectivă , cu căderea de tensiune în conductorul neutru:

00 IZIZV mmm +=Δ (3.25)în care : este curentul în fazele active a, b sau c iar este curentul în conductorul neutru;

- impedanţa fazei iar impedanţa conductorului neutru.mI 0ImZ 0Z

Pentru liniile trifazate dezechilibrate ce alimentează consumatori cu factor de putere, căderea de tensiune pe fiecare fază (în conductorul de fază şi conductorul neutru)

devine :1cos =ϕ

0 0 0 01

n

m k kk

V r l I r L I=

′Δ = +∑ (3.26)

unde şi reprezintă rezistenţele specifice corespunzătoare conductoarelor active şi conductorului neutru.

0r 0r ′

Dacă sarcinile sunt exprimate prin puteri, relaţia (3.26) devine:

0 00 0 0

1

nk k

mn nk

l P PV r r LV V=

′Δ = +∑în care : sunt puterile active monofazate care circulă prin tronsoanele fazelor a, b sau c;0kP

– puterea activa care circulă prin conductorul neutru;– tensiunea nominală pe fază a liniei;– lungimile conductoarelor de fază ale tronsoanelor, respectiv a

conductorului neutru .

0PnV0, Llk

10

19

Cazuri particulare ce derivă din sistemul trifazat nesimetric sunt ramificaţiile bifazate şi monofazate, cu mare frecvenţă de utilizare practică. Aceste linii reprezintăramificaţii dintr-o linie trifazată cu patru conductoare care alimentează consumatori monofazaţi.

Se presupune cazul liniei bifazate - cu două conductoare active b, c şi un conductor neutru - încărcată cu curenţi egali şi în fază cu tensiunile. Diagrama fazorială a acestei linii cu sarcini active echilibrate este dată în figura 3.4.

Fig. 3.4. Diagrama fazorială a căderilor de tensiune la o linie bifazată cu sarcini active echilibrate

Va

Vc Vc

ΔVc

VbVb

ΔVb

O

O

OIc Ib

ΔV0

I0

20

Căderile de tensiune produse de curenţii şi sunt:bI cICurentul prin conductorul neutru corespunde sumei geometrice a curenţilor din fazele b şi c, şi determină o cădere de tensiune ; rezultă tensiunea de deplasare a punctului neutru din O în O'. Din construcţia grafică rezultă că valoarea efectivă a curentului în conductorul neutru este egală cu cea a curenţilor din celelalte două faze, adică . Deci, căderea de tensiune totală pe conductorul fazei b (sau c) şi pe conductorul neutru, are valoarea :

000 IRV =Δ

cb III ==0

00 0 0 0

1

cos602

n

m b k kk

IV V V r l I r L=

′Δ =Δ +Δ °= +∑

;b bbV R IΔ = c ccV R IΔ =

0 0 00 0

1 2

nk k

n nk

l P L Pr rV V=

′= +∑

În cazul ramificaţiei monofazate, conductorul de fază şi conductorul neutru au aceeaşi secţiune deoarece curentul din ramificaţie este acelaşi prin ambele conductoare. Căderea de tensiune totală în conductoarele de ducere şi întoarcere este:

00 0

1 1

2 2n n

k km k k

nk k

l PV r l I rV= =

Δ = =∑ ∑

1

1

3.2. Dimensionarea reţelelor de distribuţie radiale

2

3.2.1. Consideraţii generale

În cazul cel mai general dimensionarea / alegerea secţiunii conductoarelor se face pe baza criteriilor:

Secţiunea economică (sec) este secţiunea pentru care se realizează un regim de funcţionare optim economic, corespunzător unor cheltuieli totale minime pentru linia electrică pentru o perioadă dată de timp.

criteriile tehnice între care se menţionează :- criteriul incălzirii admisibile în regim de lungă durată;- criteriul căderii de tensiune admisibilă;- criteriul stabilităţii termice în regim de scurtcircuit;- criterii mecanice (rezistenţa mecanică, rezistenţa la coroziune etc.).

criteriul economic, având la bază regula lui Kelvin, care constă în echilibrul între costul pierderilor de energie electrică şi costul liniei provenit din majorarea secţiunii conductoare.

Ca urmare a acestor criterii se determină secţiunea tehnică st.

2

3

max ,STAS e ts s s=

În final se alege secţiunea STAS, ca maximul între secţiuneaeconomică şi tehnică :

Se introduc următoarele noţiuni: max max1 rI I K= ⋅

maxI

max1IrK

- curentul maxim de sarcină (curentul maxim de durată corespunzător regimului normal care se stabileşte în vederea determinării secţiunii economice) ;

- curentul maxim din primul an de funcţionare ;- coeficientul în funcţie de rata de creştere a sarcinii .

Sarcina maximă echivalentă de calcul :

2 2 2 21 1 2 2

max1 2

... ...... ...echiv

k k n n

k n

I l I l I l I lIl l l l+ + + + +

=+ + + + +

Densitatea economică de curent o mărime care se normează în funcţie de durata de utilizare a puterii maxime, de tensiunea nominală a liniei, de tipul liniei şi va servi la dimensionarea economică a liniei.

2A/mmecj ⎡ ⎤⎣ ⎦

(3.27)

(3.28)

(3.29)

4

3.2.2. Dimensionarea secţiunii conductoarelor pe baza încalzirii în regim de lungă durată

Aceasta se face în funcţie de curentul maxim admisibil :

,maxmax, ,max max,

sarcadm sarc adm

II I K I

K≥ → ≤ ⋅

unde K este coeficientul de corecţie în funcţie de condiţiile de pozare .

Valorile curenţilor maxim admisibili sunt date de fabricantul conductoarelor LEA sau cablurilor subterane, pentru anumite condiţii normate în funcţie de tipul acestora şi modul de pozare . Aceste valori etalon corespund unor temperaturi admisibile (θadm) , a căror depăşire ar conduce la deteriorarea proprietăţilor fizice şi chimice ale materialelor componente ale liniilor şi cablurilor (îmbătrânirea izolaţiei la cablu, oxidări locale a conductoarelor, fenomenul de fluaj la LEA etc., care au drept consecinţă reducerea duratei de viaţă a liniei).

(3.30)

3

5

Pentru cazul LEC în funcţie de modul de pozare distingem:

a) Pentru un singur cablu subteran pozat sub pământ la o adâncime de 70 cm şi la 20 0C şi o rezistivitate termică ρT = 100 0C cm/W , fabricantul recomandă o valoare a curentului maxim admisibil.

Pentru alte condiţii de pozare care corespund realităţii , cum ar fi:mai multe cabluri pozate în vecinătate (K1) , la temperaturi diferite de 20 0C (K2) şi pentru rezistivităţi ale solului diferite de ρT =100 0C cm / W

max,admI se corectează cu ajutorul coeficienţilor K=K1K2K3.

b) Pentru cabluri pozate în aer K=K’1K’

2;K’

1 - în funcţie de condiţile de pozare ;K’

2 - în funcţie de condiţile de mediu ;c) Pentru cabluri pozate în apă K=1.15 .

6

3.2.3. Dimensionarea secţiunii conductoarelor pe baza căderii de tensiune admisibile

Se consideră cazul unei linii electrice radiale, fără ramificaţii, care alimentează mai mulţi consumatori (fig.3.5).

Fig.3.5 Schemă electrică de calcul a unei linii radiale

s1 s2sk sn

I1

Z1 Z1

Zk Zk

Zn

I2 Ik In

i1 i2i1 ikin

l1r1 x1

x2 xk xnl2 lk lnr2 rk rn

VA

k

4

7

Pentru aproximaţia făcută se poate considera că, la o anumită tensiune nominală , reactanţa inductivă lineică a liniei este practic independentă de secţiunea conductorului, având o valoare cunoscută (x0=0.34....0.36 W/km şi fază la JT şi 0.37...0.38 W/km şi fază la MT).

Într-o primă aproximare se neglijează componenta transversală a căderii de tensiune rezultând :δV

%100adm nDV V V V⎛ ⎞≈ Δ ≤ Δ =⎜ ⎟

⎝ ⎠ε (3.31)

8

În consecinţă, pentru cele n tronsoane, din 2 n necunoscute iniţiale în rk şi xk, rămân de determinat numai n necunoscute (rk). Pentru determinarea acestora şi deci a secţiunii conductoarelor, se admite una din următoarele ipoteze suplimentare :

- ipoteza secţiunii constante în toate tronsoanele liniei, s=ct;

- ipoteza densităţii de curent constante în toate tronsoanele, j=ct;

- ipoteza minimului de material conductor, V=min.

5

9

3.2.3.1 Alegerea secţiunii conductoarelor în ipoteza secţiunii constante

O primă ecuaţie pentru determinarea celor n necunoscute se obţine folosind condiţia restrictivă impusă căderii de tensiune maxime pe linie, scrisă pentru mărimi de fază:

Alte (n-1) relaţii se obţin considerând egalitatea secţiunilor pe cele ntronsoane:

s1= s2=...= sn=s

1 1

( ) ( )n n

AB AB k ka k kr k ka k kr admk k

DV V R i X i r I x I V= =

≈ Δ = + = + ≤ Δ∑ ∑

Rămâne ca singură necunoscută de determinat mărimea lui s.Expresia căderii de tensiune poate fi scrisă sub forma de componente:

AB a r admV V V VΔ =Δ +Δ ≤Δ

(3.32)

(3.33)

10

în care :

reprezintă componenta activă a căderii de tensiune;1 1

n n

a k ka k kak k

V R i r I= =

Δ = =∑ ∑

1 1

n n

r k kr k krk k

V X i x I= =

Δ = =∑ ∑ componenta reactivă a căderii de tensiune.

Având în vedere că reactanţa lineică x0 este cunoscută, rezultă că mărimeaeste de asemenea cunoscută, putându-se obţine mărimea , la

limită egală cu rVΔ aVΔ

, :a admVΔ

,1 1

n n

adm k kr k ka a admk k

V X i R i V= =

Δ − = =Δ∑ ∑

Considerând conductorul format din acelaşi material şi având aceeaşi secţiune pe toată lungimea liniei, ultima parte a relaţiei se scrie sub forma :

(3.34)

,1

n

a adm k kak

V L is =

Δ = ∑ρ (3.35)

6

11

Rezultă expresia secţiunii tronsoanelor:

1 1,

100%

n n

k ka k kak ka adm a n

s L i L iV V= =

= =Δ ∑ ∑ρ ρ

ε(3.36)

în care:

,%

100a

a adm nV VΔ =ε este componenta activă a căderii admisibile de tensiune pe fază.

Dacă sarcinile sunt exprimate prin puteri, expresia de dimensionare a secţiunii devine:

12

1,

100%

n

k k nk

k kka adm n a n

L ps L p

V V V=

=

= =Δ

∑∑

ρρ

ε(3.37)

12

În cazul reţelelor monofazate de tensiune alternativă, având în vedere căse obţine :, ,2 ,a adm a admU VΔ = Δ

1

1, ,

22

n

k knmono k

k kaka adm a adm n

L ps L i

U U V=

=

= =Δ Δ

∑∑

ρρ

(3.38)

În cazul reţelelor trifazate, când , rezultă:, ,3a adm a admU VΔ = Δ

1

1, ,

33

n

k kntrif k

k kaka adm a adm n

L ps L i

U U V=

=

= =Δ Δ

∑∑

ρρ

(3.39)

7

13

În cazul unei reţele arborescente alimentată la un capăt ,calculul cuprinde mai întâi o etapă de transformare a reţelei, până la aducerea acesteia la forma din figura 3.5. Această transformare presupune înlocuirea derivaţiilor din fiecare nod, printr-o singură latură echivalentă ,a cărei lungime se determină cu ajutorul momentelor electrice.

În continuare, în linia fără derivaţii se determină secţiunile standardizate şi apoi urmând calea transformărilor intermediare se obţin secţiunile ramurilor.

Observaţie :

În final, se verifică căderea de tensiune corespunzătoare traseului celui mai încărcat.

14

3.2.3.2 Alegerea secţiunii conductoarelor în ipoteza densităţii decurent constant

În acest caz secţiunile tronsoanelor liniei din fig. 3.5 sunt diferite. Condiţia de a avea aceeaşi densitate de curent în toate tronsoanele se exprimă prin relaţia:

1 2

1 2

... ... n

n

I II I js s s s

λ

λ

= = = = = =

în care :

I1, I2,..., Il,..., In reprezintă intensitatea curenţilor din fiecare tronson al liniei;

s1, s2,..., sλ,...,sn - secţiunea fiecărui tronson al liniei.

(3.40)

8

15

Considerând expresia componentei active a căderii de tensiune pe fază:

,1

n

a adm k kak

V r I=

Δ =∑şi considerând acelaşi material pentru toate tronsoanele

,1 1 1

cos cosn n n

k ka adm ka k k k k

k k kk k

l IV I l j ls s= = =

Δ = ρ = ρ φ = ρ φ∑ ∑ ∑

Din (3.42) rezultă :,

1cos

a admn

k kk

Vj

l=

Δ=ρ φ∑

(3.41)

(3.42)

(3.43)

Respectiv pentru un tronson oarecare λ :

λ

,λcos

a adm

k k

I Vs l

Δ=ρ φ∑

16

1,

cos coscos

n

k kka adm

Is lV

λ λλ

=λ

ρ φ= ⋅ φΔ φ ∑

Făcând aproximaţia

1

1

cos

cos

n

k k nk

kk

ll L=

=λ

φ≈ =

φ

∑∑

,

,

a

a adm

I Ls

Vλ

λ

ρ ⋅=Δ

(3.44)

În cazul liniilor monofazate se obţine : ,

,

2 amono

a adm

I Ls

Uλ

λ

ρ ⋅=Δ

În cazul reţelelor trifazate : ,

,

3 atrif

a adm

Is L

Uλ

λ

ρ= ⋅Δ

(3.45’)

(3.45”)

Dacă se înmulţeşte şi îmăparte cu cos λφ

rezultă expresia secţiunii unui tronson oarecare:

9

17

3.2.4. Verificarea secţiunii conductoarelor la stabilitate termică

În regimuri forţate de scurtă durată (cazul scurtcircuitelor) normele din România prevăd că în conductoare să nu depăşească temperatura admisibilă:

scθ

sc admθ ≤ θ

în care este temperatura conductorului la sfârşitul scurtcircuitului, în 0C se determină din monograme în funcţie de temperatura iniţială a conductorului (600...700) şi de densitatea curentului de scurtcircuit jsc;

scθ

admθ Creşterea admisă de temperatură în conductoare.

(3.46)

18

Pentru verificarea condiţiei de stabilitate termică se parcurg următorii paşi:

(a) Se calculează valoarea medie pătratică a curentului pe durata scurtcircuitului de la t=0 la tsc (când scurtcircuitul va fi eliminat prin siguranţe fuzibile sau de către protecţia prin relee):

2scI

2 2

0

1 sct

sc scsc

I i dtt

= ∫ (3.47)

Valoarea lui este denumită şi echivalentul termic de 1 s al curentului de scurtcircuit : valoarea efectivă a curentului alternativ constant, care într-o secundă dezvoltă într-un circuit o căldură egală cu cea pe care ar dezvolta-o curentul de scurtcircuit pe toată durata defectului:

2scI

1( )tsc po scI I m n t= + (3.48)

10

19

este valoarea efectivă iniţială a componentei alternative a curentului de scurtcircuit, în kA ;

poI

m coeficient de influenţă a componentei aperiodice a căreivaloare se determină din nomograme, în funcţie de valoareafactorului de şoc şi a duratei defectului tsc;χ

n coeficientul de influenţă a variaţiei în timp a componenteiperiodice ;

tsc durata scurtcircuitului în s.

I∞

Valoarea factorului de şoc se obţine în funcţie de raportul R/X, între rezistenţa şi reactanţa, dintre sursă şi locul de scurtcircuit .

în care :

este componenta permanentă a curentului de scurtcircuit ;

χ

20

(b) Se determină densitatea de curent la scurtcircuit :

tscsc

Ijs

= [A/mm2] (3.49)

în care s este secţiunea conductorului, în mm2.

(c) Determinarea temperaturii finale (la tsc) a conductoarelor.scθ

În acest scop se determină punctul de intersecţie dintre abcisa dată de valoarea densităţii de curent cu ordonata temperaturii iniţiale. Dacăacest punct se află sub temperatura admisibilă dată pentru materialul conductor, atunci secţiunea acestuia este stabilă din punct de vedere termic; în caz contrar se alege o secţiune mai mare.Durata scurtcircuitului tsc este determinată de tipul protecţiei utilizate(tsc=0.4…0.6 la LEA şi tsc=0.3…15 la cabluri ) .

11

21

3.2.5. Dimensionarea secţiunii optime economic

Aplicarea regulii lui KelvinÎn principiu problema constă în stabilirea unui echilibru între costul

liniei – provenit din creşterea secţiunii conductorului şi economia realizatădin reducerea pierderilor de energie. În consecinţă, dimensiunea optimă a conductorului depinde de costul acestuia şi de valoarea pierderilor. Aceasta constituie esenţa regulii lui Kelvin.Pentru găsirea secţiunii s optime pentru o linie trebuiesc avute în vedere următoarele consideraţii:dacă s este mică, rezultă pierderi mari prin efect Joule ( ) ;2 2lP RI I

sΔ = = ρ

dacă s este mare, rezultă un cost ridicat al liniei ;căderea de tensiune până la bornele utilizatorului trebuie să respecte condiţia ;încălzirea în regim de durată a conductorului va impune secţiunea minimă(această restricţie este mult mai strictă pentru liniile în cablu subteran) ;rezistenţa mecanică şi descărcarea corona impun, de asemenea, limita inferioară a secţiunii.

admV VΔ ≤ Δ

22

În cazul construcţiei şi exploatării liniilor electrice aeriene, cheltuielile totale actualizate (Cta) însumează următoarele componente:

Investiţii pentru fiecare tip constructiv de linie :

Ii=(A+Ks)L

în care A sunt investiţii constante, independente de secţiune, în $/km;K - panta de creştere a costului unui km de linie cu secţiunea, în $/km mm²;s - secţiunea conductoarelor, în mm²;L - lungimea liniei, în km.

(3.50)

Cheltuieli de exploatare Cexp , care nu depind de consumuriletehnologice (retribuţii personal, cheltuieli întreţinere şi reparaţii).

Cheltuieli de exploatare Cpw datorate consumului tehnologic(pierderi de putere şi energie pe durata de serviciu a liniei, datorate tranzitului de Pmax, Imax ) :

2 2max max3 3pw pw SL pw SL

LC RI c T I c Ts

ρ= ⋅ = ⋅ (3.51)

12

23

este costul actualizat pe durata unui an al pierderilor de putere şi energie ;

- durata de serviciu a liniei (egală cu 30 ani) ;

- curentul maxim tranzitat.

în care :pwc

SLT

maxI

Rezultă:

2, exp max( ) 3t a SL pw SL

LC A Ks L C T I c Ts

= + + + ⋅ρ (3.52)

Pentru găsirea optimului se poate folosi metoda grafică şi metoda analitică.

, ( )t aC f s=

ppw w

SCE

cc c

T= + τ

cp este costul unui kW instalat în centrala etalonTCSE - durata de serviciu a centralei etalon (= 30 ani)

iar

24

În calculele practice se foloseşte metoda analitică care are la bază criteriul densităţii economice de curent. Optimul economic al secţiunii se poate obţine calculând derivata de ordinul întâi a expresiei (3.52) în funcţie de secţiune :

2, max

2( 3 ) 0t apw SL

ec

dC IK c T Lds s

= − ⋅ ⋅ =ρ (3.53)

O primă constatare este că secţiunea optimă economică este independentăde lungimea liniei.

max

3ecec pw SL

I Kjs c T

= =⋅ρ

(3.54)[A/mm2]

Din (3.53) avem: max3 pw SL

ecc T

s IK

ρ=

Rezultă, expresia densităţii economice de curent:

13

25

Densităţile termice pot fi de 3-5 ori mai ridicate decât densitatea optimăde curent pentru aceeaşi secţiune.Totuşi, costul pierderilor creşte rapid pe măsură ce transferul de putere creşte. În consecinţă este în general rentabil săse schimbe dimensiunea conductorului înainte ca limita termică să fie atinsă.

Observaţii :

Densitatea economică de curent este cu atât mai mare cu cât costul liniei în raport cu secţiunea conductorului este mai mare, respectiv cu cât sunt mai mici rezistivitatea materialului conductor, costul actualizat al pierderilor anuale de putere şi energie, respectiv secţiunea este mai mare cu cât durata de exploatare a liniei este mai mare.

Valoarea densităţii economice se modifică în timp datorită preţului materialului conductor şi al preţului la combustibil s.a.

Densitatea economică de curent este maximă numai când linia este traversată de curentul /puterea maximă; în restul timpului ea are valori inferioare.

1

1

3.3. Calculul pierderilor de putere în linii şi transformatoare

Ca în orice proces fizic şi transportul şi distribuţia energiei electrice implică un consum de energie. Pierderile în reţelele electrice rezultă din diferenţa dintre energia injectată în reţele de către centrale şi energia facturată/vândută consumatorilor. Pierderile includ trei componente:(i) Consumul propriu tehnologic aferent procesului de transport şi

distribuţie a energiei electrice în condiţiile prevăzute de proiectul instalaţiei. Acest consum a fost denumit impropriu”pierderi în reţele”.

(ii) Pierderi tehnice, datorate abaterilor de la regimul de funcţionare proiectat, fie prin dezvoltarea incompletă a instalaţiilor, fie printr-o funcţionare necorespunzătoare.

(iii) Pierderi comerciale, rezultate din erorile introduse de calitateanecorespunzătoare a grupurilor de măsurare, organizarea evidenţei energiei electrice, consumul unor aparate (transformatoarelor demăsurare, contoare etc.), furtul de energie şi altele.

În România 7.73%(1989); 8.99%(1990); 10.7%(1991) şi 12% în 1996.Comparaţie: Franţa 6.57%; Ungaria 10.32%.

2

3.3.1. Calculul pierderilor de putere şi energie electrică în liniile electrice

Pierderi de putere activă datorate efectului Joule, într-o linie trifazată cu o sarcină concentrată la capăt:

2 22 22 2 2 0 0 / 3 / 33 3 ( ) 3 3

/ 3 / 3L L L a r L Ln n n n

P Q P QP R I R I I R RV V U U

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎢ ⎥Δ = = + = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 23

2 10 [kW]L Ln

P QP RU

−+Δ = ⋅ ⋅

2 23

2 10 [kVAr]L Ln

P QQ XU

−+Δ = ⋅ ⋅

( )2 2

32 10 [kVA]L L L LL

n

P QS P j Q R jXU

−+Δ = Δ + Δ = + ⋅ ⋅

În mod similar pierderile de putere reactivă:

Pierderile totale de putere aparentă complexă:

2

3

Pentru calculul pierderilor de energie electrică se consideră două cazuri:

a) În ipoteza că pierderile de putere sunt constante în timp:

23a L LW P t R I tΔ = Δ ⋅ = ⋅

b) Sarcina este variabilă: se utilizează noţiunea de durată τ de calcul a pierderilor maxime de putere:

maxW PΔ = Δ ⋅ τ

10000 [h/an]27500

SMSM

SM

TTT

+τ =

−

unde:

şi TSM este durata de utilizare a puterii aparente maxime.

3.3.1. Calculul pierderilor de putere şi energie electrică în liniile electrice

4

b1) Durata pierderilor maxime τSe trasează curba clasată de variaţie a pătratului curentului cerut de

consumator.

Suprafaţa limitată de acestă curbă şi axele de coordonate, Oabcreprezintă la o anumită scară, diferită de cea a curentului, cantitatea de energie pierdută în intervalul de timp T.

Aceeaşi cantitate de energie este pierdută într-un interval de timp τ<T, dacă sarcina ar fi constantă şi egală cu I2

max (suprafaţa Oade).Se poate scrie:

2 2max0

TtI dt I= ⋅ τ∫

20

2max

TtI dt

Iτ = ∫ Timpul sau durata

pierderilor maxime.

3.3.1. Calculul pierderilor de putere şi energie electrică în liniile electrice

tτ

T

a

b

c

d

e

I

Imax2

O

2

3

5

b2) Durata de utilizare a puterii maxime (TPM, TQM, TSM) Se consideră curba clasată anuală de puteri active vehiculate pe un

element de reţea – puterile în ordine descrescătoare începând de la valoarea maximă Pmax - obţinută din curbele de sarcină zilnice. Suprafaţa de sub curbă reprezintă, la o anumită scară, energia W vehiculată într-un interval T. Aceeaşi cantitate de energie ar putea fi vehiculată la puterea constantă Pmax într-un interval de timp Tmax < T.

tTPM

T

a

b

c

d

e

P

Pmax

O

3.3.1. Calculul pierderilor de putere şi energie electrică în liniile electrice

6

max0

Tt PMW Pdt P T= =∫

0

max

Tt

PM

PdtT

P= ∫

0

max

Tt

QM

Q dtT

Q= ∫

0

max

Tt

SM

S dtT

S= ∫

în mod analog:

3.3.1. Calculul pierderilor de putere şi energie electrică în liniile electrice

4

7

3.3.2. Calculul pierderilor de putere şi energie în transformatore

Pentru o sarcină oarecare pierderile totale de putere activă sunt:

( )2

2 2 20 0 0 03 3t sc T T n sc nom

n

IP P P P R I P R I P PI

⎛ ⎞Δ = Δ + Δ = Δ + = Δ + = Δ + Δ α⎜ ⎟

⎝ ⎠

unde :n n

I SI S

α = = coeficient de încărcare

20 0 % 3

100n

t sc ikSQ Q Q i X IΔ = Δ + Δ = +

2% 100 3 100 100

3

nsc ik in ik nsc

n n n n

U Z I ZUU

Su U U U⋅

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅⋅

2%100sc n

ik ikn

u UZ XS

≅ = ⋅

8

22 20 0% % % %3

100 100 100 1003sc n sc

t n nn

nn n

Si u US

i uS SQ S SS SU

⎛ ⎞Δ = + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

20 % %100 100

sct n n

i uQ S SΔ = + ⋅α ⋅

Pierderile de energie electrică în transformatoare:

( )20t sc nomW P t PΔ = Δ + α Δ ⋅ τ

Randamentul transformatoarelor:

tP PP− Δ

η =

3.3.2. Calculul pierderilor de putere şi energie în transformatore

5

9

3.3.3. Calculul pierderilor folosind circulaţia de puteriîn elementele reţelei

'

'

( )

( )

ik ik io i k iik iko

ki ki ko k i kki kio

I I I V V y V y

I I I V V y V y

⎧ = + = − +⎪⎨

= + = − +⎪⎩

io i ikoI V y=unde:

ki

VkV i yik0 yki0

yikSik SkiIik

Ii0 Ik0

Iki

Iik Iki

ko k kioI V y=

10

( )( )

( )

** '

*

*2 * *

3 3

3

3 3

ik io ikik i i

i i i kiko ik

i i i kiko ik

S V I U I I

U y U y U U

U y U U U y

= = + =

⎡ ⎤= + − =⎣ ⎦

= + −

( )*2 * *3 3ki k k k ikio kiS U y U U U y= + −

L ik kiS S SΔ = +

ReL ik kiP S SΔ = +

ImL ik kiQ S SΔ = +

3.3.3. Calculul pierderilor folosind circulaţia de puteriîn elementele reţelei

1

1

Calculul reţelelor electrice simplu şi complex buclate, în regim simetric

2

4.1. Reţeaua alimentată de la două capete - reţeaua simplu buclată

Se consideră o linie electrică scurtă, care leagă barele colectoare A şi B, de tensiuni date VA şi respectiv VB . Se presupune că linia este simetrică, omogenă, alimentată cu tensiuni simetrice şi având consumatori simetrici (fig.4.1,a) .

Se vor determina : circulaţia de curenţi din tronsoanele liniei , căderile de tensiune pe linie şi nodul k , în care tensiunea de serviciu Vk ia valoarea cea mai scăzută, consumatorul din acest nod fiind alimentat de la ambele surse.

Cunoscând curentul IB şi intensităţile curenţilor ik ‚ curentul IA poate fi determinat pe baza primei teoreme a lui Kirchhoff, conform relaţiei:

1

n

A Bkk

I i I=

= −∑ (4.1)

Se cunosc : Structura şi caracteristicile reţelei, curenţii ik , tensiuniile , .A BV V

2

3

AB

in

Z Zn+1=

i In B+1= In+1In

in-1

Z1

Z2

VA VBI1 I2

Z1

Z2

i1 i2 -

IA

...

inin-1ik

A B

VA VBi1 i2 ik

IA IBk

... ...

IA A BIAB IB

iBiAVA VB

Za. b.

c. d.Fig. 4.1. Schema electrică de calcul a circulaţiei de curenţi şi a căderilor de tensiune în

linii electrice scurte alimentate de la două surse: a – schema electrică iniţială; b - considerarea sursei din nodul B ca un consumator alimentat printr-un curent negativ; c - reprezentarea reţelei alimentată de la ambele capete sub forma a două reţele radiale;

d - schema electrică cu sarcinile aruncate la noduri

A B

ini2iki1

VA

Zk

Z1

I1 I2

IB

IB

IA k

... ...IkIk

Vk

VB

ZZk

4

Căderea de tensiune fazorială, se poate exprima în funcţie de impedanţele cumulate (în raport cu sursa A) Zk şi de curenţii ik în derivaţie :

1

1

n

kAB A B kk

V V V Z i+

=

Δ = − =∑ (4.2)

Fiind cunoscută valoarea căderii de tensiune fazoriale se pune problema determinării curentului . În acest sens, ecuaţia (4.2) se poate scrie sub forma:

ABVΔBn Ii −=+1

1 11

n

k nAB k nk

V Z i Z i+ +=

Δ = +∑ (4.2' )

Din relaţia (4.2') se poate determina curentul :

ZZ n =+1

1+−= nB iI

1

n

k kk A B

B

Z iV V

IZ Z

= −= −∑ (4.3,a)

Curenţii I1, I2, ... , In pot fi determinaţi aplicând prima teoremă a lui Kirchhoff în fiecare din nodurile 1, 2, ... , n (fig. 4.1,a).

Reţeaua alimentată de la ambele capete, A şi B, poate fi considerată ca o reţea radială, alimentată de la un singur capăt, de exemplu de la sursa A, dacă sursa B se înlocuieşte cu un consumator alimentat de la reţea printr-un curent negativ (fig. 4.1,b), adică 1.B nI i += −

în care este impedanţa totală a liniei.

3

5

În mod analog, se poate stabili relaţia de calcul şi pentru intensitatea curentului IA :

'

1

n

k kk A B

A

Z iV V

IZ Z

= −= +∑

(4.3,b)

Având în vedere că (fig.4.1,a) se poate constata căformulele (4.3,a) şi (4.3,b) verifică relaţia (4.1).

ZZZ kk =+ '

Odată calculaţi curenţii IA şi IB, se pot determina circulaţiile de curenţi I1, ..., In prin tronsoane şi astfel să se găsească, nodul k de tensiune minimă. Analizând expresiile (4.3, a şi b) se constată că fiecare cuprinde câte doi termeni:

' ;A ABAI i I= + ABBB IiI –'=în care:

(4.4)

' '

1

1 ;n

kA kk

i Z iZ =

= ∑ '

1

1 n

kB kk

i Z iZ =

= ∑

( )BAAB VVZ

I −=1

(4.5)

(4.6)

6

Observaţii:

- Termenii i'A şi i'B din (4.5) depind numai de valorile curenţilor de sarcină şi de

impedanţele cumulate Z'k şi Zk ale reţelei, în raport cu nodul de alimentare A şi

respectiv B. Curenţii i'A şi i'B echivalează curenţii de sarcină ik; este ca şi cum curenţii ik ar fi mutaţi la nodurile sursă A şi B (fig. 4.1,d). Astfel, pentru determinarea curentului i'

B se va considera suma momentelor electrice Zk ik , în raport cu nodul A, împărţită la impedanţa totală a liniei Z. În mod asemănător, curentului i'

A este dat de suma momentelor electrice Z'k ik în raport cu nodul B şi se

va împărţi prin impedanţa totală a liniei Z.

- Termenul suplimentar IAB, determinat numai de diferenţa tensiunilor aplicate în nodurile A şi B, şi care nu depinde de curenţii de sarcină, reprezintă curentul de egalizare sau curentul de mers în gol, prin artera considerată între nodurileA şi B. În condiţiile în care , curentul IAB există chiar la funcţionarea liniei în gol. Acest curent de egalizare provoacă, independent de modificarea valorii sarcinilor, supraîncărcarea unei surse de alimentare faţă de cealaltă, mărind astfel pierderile de energie. De aceea în exploatare se tinde, pe cât posibil, să existe aceeaşi tensiune la nodurile de alimentare.

BA VV ≠

4

7

Dacă sarcinile sunt exprimate prin puteri şi se face abstracţie de pierderile de putere - S0 fiind puterea aparentă complexă transportată pe o fază şi S = 3S0 fiind puterea transportată de sistemul trifazat - atunci din relaţiile (4.3,a,b) se obţine repartiţia aproximativă a puterilor:

'0

10

n

kkk A B

A n

s ZV V

S VZ Z

∗= −⎛ ⎞

= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

01

0

n

kkk A B

B n

s ZV V

S VZ Z

∗= −⎛ ⎞

= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

(4.7,a)

(4.7,b)

unde s0k reprezintă puterile aparente complexe pe fază absorbite de consumatorii i = 1 ,..., n.

8

Urmărind circulaţia curenţilor dată de relaţiile (4.3,a,b), sau circulaţia puterilor dată de relaţiile (4.7,a,b), se constată că :

o parte din consumatori sunt alimentaţi de la sursa A, iar o parte de la sursa B ;

există un consumator alimentat atît din capătul A (prin I'k ) cât şi din capătul B (prin I''k ) (fig. 4.1,a);

punctul în care este racordat acest consumator, se numeşte punct de separaţie a puterilor şi se notează în schemă cu k (fig. 4.1, c). În acest punct, linia se poate secţiona obţinându-se două linii radiale Ak şi Bk, în care căderile de tensiune se calculează cu relaţiile stabilite în cazul liniilor alimentate la un capăt sau a reţelelor radiale. Este posibil să se obţină două puncte de separaţie, unul pentru puterile active şi altul pentru puterile reactive. În punctul de separaţie a puterilor, tensiunea liniei este cea mai scăzută şi de aceea este necesar să se facă verificarea căderilor de tensiune până în punctele de separaţie a puterilor.

1

1

4.2.2.2. Circulaţia puterilor active şi reactiveTranzitul de putere pe o linie „i-k”

Pentru calculul circulaţiei de puteri pe o latură, se consideră tensiunile de fază Vi şi Vk respectiv curentul prin latură.

Fig. 4.10. Schema echivalentă în Π a unei laturi.

Puterea aparentă complexă trifazată la capătul sursă are expresia

* * *3 3 3 = 3ik i iik ik ki iS V V U= =I I I

ki

VkV i yik0 yki0

yikSik SkiIik

(4.32)

2

Valoarea curentului Iik la capătul sursă se determină astfel:

( ) ( )0 0

13i i k i i kik ik ik ik

V y V V y U y U U y⎡ ⎤= + − = + −⎣ ⎦ikI

de unde rezultă că

( )03

not

iki i kik ikU y U U y I= + − =ikI

Rezultă:ikik iS U I= ⋅

Simplificare: în cadrul regimului permanent, pentru a face să dispară termenul din expresia (4.32) a puterii tranzitate se va opera cu tensiuni între faze şi cu valori de curenţi Iik de ori mai mari decât curenţii reali (Iik)

33

(4.33)

(4.34)

(4.35)

2

3

iar admitanţele longitudinală şi transversală, în coordonate carteziene sau polare:

( )0 00 0

cos sinikjik ik ik ik ik ikik

ik ikik ki

y g jb y e y j

y y g jb

⎧ = + = = +⎪⎨

= = +⎪⎩

γ γ γ

În continuare, se exprimă tensiunile în coordonate polare:

(cos sin )

(cos sin )

j ii i i i i

j kk k k k k

U U e U j

U U e U j

⋅

⋅

⎧ = ⋅ = ⋅ + ⋅⎪⎨

= ⋅ = ⋅ + ⋅⎪⎩

θ

θ

θ θ

θ θ(4.36)

(4.37)

4

( )

( )( )

( ) ( )

**

0

* * *20

20 0cos sin

cos sin

ikik i i i i kik ik

i ki ik ik ik

i ik ik ik ik ik

i k ik i k ik i k ik

ik ik

S U U U y U U y

U y y U U y

U y j g jb

U U y j

P jQ

I ⎡ ⎤= = + − =⎣ ⎦

= + − =

⎡ ⎤= γ − γ + − −⎣ ⎦⎡ ⎤− θ − θ − γ + θ − θ − γ⎣ ⎦

≡ +

Prin identificare, se determină expresiile puterilor active şi reactive tranzitate pe laturi:

( ) ( )( ) ( )ikkiikkiikikikiik

ikkiikkiikikikiik

yUUybUQ

yUUygUP

γθθγ

γθθγ

−−−+−=

−−−+=

sinsin

coscos

02

02 (4.39)

(4.40)

Expresia puterii Sik tranzitate de la nodul “i” către nodul “k” devine:

(4.38)

3

5

Tranzitul de putere pe o latură cu transformator

Fie schema echivalentă a unui transformator ridicător cu raport de transformare real (Nik), conectat la nodul „k” şi având admitanţa corespunzătoare pierderilor la mersul în gol , conectată la nodul i.

Puterea aparentă complexă trifazată (i -> k)

( )

( )0

200

iik i i i i kiki ik

i i ki iki ik ik

S U I U y U y U N U

U g jb y U U y N

∗∗

∗ ∗ ∗

⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ + − ⋅ =⎣ ⎦

= − + −

Fig. 4.11. Schema echivalentă a unui transformator ridicător

0 00 i iiy g jb= −

(4.41)

Nik ki

VkV i yi0

yikSik SkiIik

Ii Ik

V i

i

6

Prin identificare se determină expresiile puterilor active şi reactive tranzitate prin transformator de la nodul i la nodul k:

( ) ( )( ) ( )

20

20

cos cos

sin sinik i i ik ik i k ik ik i k ik

ik i i ik ik i k ik ik i k ik

P U g y U U y N

Q U b y U U y N

= + − − −

= − − + − − −

γ θ θ γ

γ θ θ γ

Trecând în coordonate polare

( ) ( )20 0

ik i k ikj jik ik i i i ik i k ik ikP jQ U g jb y e U U y N e− − −⎡ ⎤+ = + + −⎣ ⎦

γ θ θ γ

Puterea aparentă complexă trifazată (k -> i)

( )*'

* * *2 2

( )2 2

ik k i ik

kki i k k iik ikik

k ik ik ikik ikj j

k ik ik k i ik ik

S U I U N y N U U

U y N U U y N

U y N e U U y N e

∗

− − −

⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ − =⎣ ⎦

= − =

= −γ θ θ γ

(4.43)

(4.44)

(4.45)

(4.42)

4

7

Prin identificare se determină expresiile puterilor active şi reactive tranzitate prin transformator de la nodul k la nodul i:

( )( )

2 2

2 2

cos cos

sin sinki k ik ik ki k i ik ik k i ik

ki k ik ik ik k i ik ik k i ik

P U y N U U y N

Q U y N U U y N

= γ − θ −θ − γ

= − γ − θ −θ − γ

(4.46,a)

(4.46,b)

8

Ecuaţiile bilanţului de puteri în noduri

Prin putere nodală se defineşte suma algebrică dintre puterea produsă - prin convenţie cu semnul “+” şi puterea consumată într-un nod - prin convenţie cu semnul “-”, sau suma algebrică a puterilor din laturile incidente în nodul “i”. Având în vedere că la nodul i sunt conectate mai multe grupuri generatoare şi mai mulţi consumatori, expresia puterii aparente nodale este:

( ) ( )i gi ci gi ci gi ci i iS S S P P j Q Q P jQ= − = − + − = +∑ ∑ ∑ ∑unde:

Pg,i şi Qg,i - puterile activă şi reactivă generate în nodul i; Pc,i şi Qc,i - puterile activă şi reactivă consumate la nodul i.

(4.47)

5

9

Fig 4.12. Bilanţul de puteri în nod

Legea de conservare a puterii/energiei în nodul “i” permite a se scrie expresia:

( )0i ik

k iS S

∈

− =∑α

( )

( )

i ik

k i

i ikk i

P P

Q Q∈

∈

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

∑

∑α

α

(4.48,a) sau (4.48,b)

Sgi gi gi=P +jQ

Sci ci ci=P +jQ

k i ( )αSi

10

( ) ( )

( ) ( )

20

1 1

20

1 1

cos cos

sin sin

n n

i i ik ik ik i k ik i k ikk k

n n

i i ik ik ik i k ik i k ikk k

P U g y U U y

Q U b y U U y

= =

= =

= + γ − θ −θ −γ

=− + γ − θ −θ −γ

∑ ∑

∑ ∑

Există diferite moduri de exprimare a ecuaţiilor de bilanţuri ale puterilor.

i. O primă formă a ecuaţiilor de bilanţ de putere în noduriAvând în vedere expresiile puterilor tranzitate pe o latură Pik şi

Qik , puterile schimbate între nodul i şi restul nodurilor din reţea cu care acesta are legături directe sunt:

(4.49,a)

(4.49,b)

6

11

ii. Exprimarea ecuaţiilor de bilanţ de putere în funcţie de elementeleYii şi Yik,ale matricei admitanţelor nodale [Ynn]

( )

( )

0( )

0 01

cos sin

ii

ii ik ikk i

n

ik ik ik ik ik ikk

jii ii ii

Y y y

y g j y b

Y e G jB

∈

=

⎧ = + =⎪⎪⎪ = + + +⎡ ⎤⎨ ⎣ ⎦⎪⎪ = ≡ +⎪⎩

∑

∑

α

γ

γ γTermenul diagonal

ik ikj jik ik ik ik ikik

Y y y e Y e G jBγ γ= − = − = ≡ +Termenul nediagonal

(4.50)

(4.51)

Pe baza regulilor de formare a termenilor matricei admitanţelor nodale rezultă:

12

Cele două ecuaţii ale bilanţului de putere devin:

( )

( )

2

1

2

1

Re + cos

Im + sin

n

iii i i k ik i k ikk

n

iii i i k ik i k ikk

P U Y U U Y

Q U Y U U Y

=

=

= θ −θ − γ

= − θ −θ − γ

∑

∑

iii. Ecuaţiile bilanţului de puteri utilizând coordonatele polare pentru tensiuni şi coordonatele carteziene pentru admitanţele nodale

( )( )cos sin

cos sin

i

k

ji i i i i

jk k k k k

ik ik ik

U U e U j

U U e U jY G jB

θ

θ

⎧ = = θ + θ⎪⎪ = = θ + θ⎨⎪ = +⎪⎩

(4.52,a)

(4.52,b)

(4.53)

7

13

Expresia puterii nodale injectate în nodul i

*3i iS V= iIunde

1 1 3

n nk

ik ikkk k

UY V Y= =

= =∑ ∑iI

Rezultă:

* * *

1

n

i iki i i k i ik

S U I U Y U P jQ=

= = ≡ +∑

(4.55)

(4.54)

(4.56)

1

3n not

ik ikk

Y U I=

= ≡∑iI

sau

14

Înlocuind expresiile (4.53) în (4.56) se obţine

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

1 1

1

1

cos sin

cos sin

cos sin

sin cos

i k i k

n nj j j

i i ik ik k i k ik ikk k

n

i k ik i k i kk

ik i k i k

n

i k ik i k ik i kk

i k ik i k ik i k

S U e G jB U e U U G jB e

U U G j

jB j

U U G B

j U U G B

θ − θ θ −θ

= =

=

=

= − ⋅ = − =

= θ −θ + θ −θ −⎡ ⎤⎣ ⎦

− θ −θ + θ −θ⎡ ⎤⎣ ⎦

= θ −θ + θ −θ +⎡ ⎤⎣ ⎦

+ θ −θ − θ −θ

∑ ∑

∑

∑

1

n

k=⎡ ⎤⎣ ⎦∑ (4.57)

8

15

sau

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

2

1 1,

1

, Re cos sin

, Im cos sin

n

ii m m i k ik i k ik i kkn n

i k ik ii i i k ikk k

k i

n

ii m m i k ik i k ik i kk

P U S U U G B

U U GG G U U U GG

Q U S U U B G

=

= =≠

=

= = − + − =⎡ ⎤⎣ ⎦

= = +

= = − − − − =⎡ ⎤⎣ ⎦

∑

∑ ∑

∑

θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ

2

1 1

n n

i k ik ii i i k ikk k

k i

U U BB B U U U BB= =

≠

= − = − −∑ ∑

unde

( ) ( )( ) ( )

cos sin

cos sinik ik i k ik i k

ik ik i k ik i k

GG G B

BB B G

= θ − θ + θ − θ⎧⎪⎨

= θ − θ − θ − θ⎪⎩

(4.58)

(4.59)

16

Ecuaţiile bilanţului de puteri la noduri se exprimă sub două forme:

( )

( )

1

1

,

,

n

i m m i k ikk

n

i m m i k ikk

P U U U GG

Q U U U BB

=

=

⎧ θ =⎪⎪⎨⎪ θ = −⎪⎩

∑

∑

respectiv

Având în vedere ecuaţiile (4.60) şi (4.61) rezultă modelul matematic al regimului permanent, model neliniar în raport cu tensiunile nodurilor:

( )( )

,

,gi ci i m m

gi ci i m m

P P P U

Q Q Q U

− = θ⎧⎪⎨

− = θ⎪⎩

( )( )

,

,i i m m

i i m m

P P U

Q Q U

= θ⎧⎪⎨

= θ⎪⎩

i gi ci

i gi ci

P P P

Q Q Q

= −⎧⎪⎨ = −⎪⎩

(4.60) (4.61)

(4.62)

(4.63,a)

(4.63,b)

9

17

În algoritmul de soluţionare, în funcţie de tipul de nod, se foloseşte:- pentru nodurile generatoare numai ecuaţia (4.63,a) a puterii active;- pentru nodurile consumatoare se folosesc ambele ecuaţii (4.63,a) şi

(4.63,b).

Tipuri de noduri

Starea electrică a unui nod este caracterizată de patru mărimi de stare P,Q,U,θ. Deoarece puterile consumate Pci şi Qci sunt impuse, rezultă că în fiecare nod al reţelei vom avea 4 mărimi de stare Pgi,Qgi, Ui şi θi şi doar două ecuaţii de bilanţ de putere. Acest fapt impune ca două dintre mărimile de stare să fie precizate/impuse, iar celelalte două să se calculeze.

În funcţie de cele două mărimi impuse, nodurile se împart în:noduri de tip generator, consumator, pasive şi nodul de echilibru.

4.2.2.4. Problema regimului permanent

18

10

19

Astfel:

• La nodurile de tip generator se impun/precizează puterea activă Pgi şi modulul tensiunii Ui precum şi limitele în care trebuie să se încadreze puterea reactivă (Qmin, Qmax). Fixarea unei anumite tensiuni la acest tip de nod se poate face datorită posibilităţilor de reglaj a puterii reactive a generatoarelor. În urma calculului, se determină puterea reactivă generată Qgi şi argumentul tensiunii θgi.

La nodul generator "hibrid", puterea injectată în nod va fi egală cu suma algebrică dintre puterea debitată de generator şi cea absorbită de consumatorul local.

20

• Nodurile de tip consumator au impuse/precizate puterile activăşi reactivă cerute sau numai una din puteri şi un parametru de tip conductanţă (Gc) sau susceptanţă (Bc). În această categorie se încadrează şi nodurile pasive cu puteri injectate nule; în aceste noduri nu există consumatori racordaţi sau dacă există aceştia sunt reprezentaţi prin admitanţa (Yc) sau impedanţa constantă (Zc).

• Nodul de echilibru, la care se impune/precizează modulul tensiunii Ue şi argumentul θe = 0, reprezintă sistemul de referinţăpentru tensiunile nodurilor (valorile argumentelor fiecărei tensiuni reprezintă defazajul faţă de tensiunea nodului de referinţă) şi totodată este nodul de balanţă global al puterilor din reţea.

11

21

Dacă se scrie ecuaţia de bilanţ global a puterilor în sistem:

g c

gi e cji n j n

S S S S∈ ∈

+ = + Δ∑ ∑rezultă că puterea la nodul de echilibru este dată de relaţia:

c g

e cj gij n i n

S S S S∈ ∈

= + Δ −∑ ∑În relaţia (4.64) se cunosc cu exactitate puterile cerute de

consumatori şi cele disponibile ale surselor, în schimb pierderile de putere din reţea ΔS sunt evaluate cu aproximaţie. Deci, aceasta poate fi acceptată ca egalitate, numai dacă se lasă neprecizateputerea injectată Se (Pe şi Qe) într-un nod de echilibru, ales în mod special pentru tot sistemul energetic. Ca atare nodul de echilibrare trebuie ales astfel încât să poată prelua inexactităţile introduse de pierderile de putere din reţea. De regulă acest rol este îndeplinit de cea mai importantă centrală din sistem. Puterea activă (Pe) şi reactivă (Qe) în acest nod se determină la sfârşitul calculului regimului permanent.

(4.64)

1

1

4.2 Calculul electric al reţelelor complex buclate

Scop: Calculul reţelelor electrice complex buclate implică douăaspecte:

i) De dimensionare: când se cunosc caracteristicile consumatorilor şi topologia reţelei şi secere determinarea secţiunii ramurilor reţelei.

ii) De exploatare: când se cunosc parametrii reţelei şi sarcinileconsumatorilor şi se cere determinarea distribuţiei curenţilor/puterilor şi a căderilor de tensiune în diferitele ramuri ale reţelei electrice.

Rezolvarea problemei de exploatare se face prin aplicarea fie a metodei transfigurării, fie a metodelor globale/matriceale

2

În principiu există două etape de calcul:

Prima etapă constă în simplificarea succesivă a reţelei complex buclată până ce se ajunge la o reţea simplă (de exemplu la o linie alimentată la ambele capete sau numai de la un capăt) pentru care determinarea distribuţiei curenţilor sau puterilor nu prezintă dificultăţi.

O dată cunoscută distribuţia în această schemă simplă, în a doua etapă se determină, prin transformări inverse, distribuţia curenţilor/puterilor atât în schemele intermediare cât şi în schema iniţială,

4.2.1 Metoda transfigurării

2

3

Condiţie: Conductorul de secţiune s1 şi lungime l1 , poate fi înlocuit printr-un alt conductor cu secţiunea s2 şi cu lungimea l2, cu condiţia ca repartiţia sarcinilor şi căderea de tensiune de-a lungul conductoarelor să nu se modifice

rezistenţele celor două conductoare trebuie să rămână neschimbate (adică R1=R2)

a. Reducerea unui conductor de o anumită lungime şi secţiune,la un conductor echivalent de o altă lungime şi o altă secţiune.

Procedee de reducere

2

121 s

sll = (4.8)

Drept secţiune de echivalare se poate alege secţiunea cea mai frecventă din reţeaua studiată.

În calculul unei reţele electrice uneori este avantajos, ca tronsoane de linie cu secţiuni diferite să fie transformate în tronsoane de linie cu aceeaşi secţiune (linia să devină omogenă).

4

b. Aruncarea sarcinilor la noduri.

A B1 2

Z

VA VBi1 i2

Z1

Z2

Z1

Z2

a. Reţea iniţială b. Reţea transfigurată

Fig. 4.2. Schemă de reţea electrică pentru aruncarea sarcinilor la noduri

iB

A B

VA VB

Z

iA

Procedee de reducere

Compunerea ramurilor conectate în paralel impune ca sarcinile să fie situate numai la capetele acestora, în noduri. Dacă sarcinile sunt conectate oriunde de-a lungul ramurilor, se procedează mai întâi la aruncarea (mutarea) lor la capete, cu condiţia păstrării constante a căderii de tensiune, atât în schema iniţială cât şi în cea transformată.

3

5

ABA

BAB

iZiZiZV

iZiZiZV

=+=Δ

=+=Δ

2'2'1

'1

2211

Z

iZ

ZiZiZi

Z

iZ

ZiZiZi

n

kk

B

n

kk

A

∑

∑

=+

=

=+

=

12211

1

'

2'2'1

'1 (4.9 a)

(4.9 b)

unde Z1, Z2, ..., Zk şi respectiv Z'1 , Z'2 , ..., Z'k reprezintă impedanţeletronsoanelor de la cele două capete (extremităţi) până la punctele de conectare a celor k sarcini.

Pentru aruncarea la capete a celor doi curenţi i1 şi i2 din figura 4.2, a, se determină două sarcini iA şi iB aplicate la extremităţile liniei în reţeaua transformată (fig. 4.2, b), astfel ca să se obţină aceeaşi cădere de tensiune ca şi în reţeaua iniţială:

Procedee de reducere

6

'

AZi iZ

= λλ

Zλ Z`λA B

VA VBiλ

Z

A BVA VB

iA iB

Fig. 4.3 a Fig. 4.3 b

În cazul particular al mutării unui singur consumator situat la o distanţă Zλ faţă de capătul A şi la Z`λ faţă de punctul B (fig. 4.3 a, b)

BZi iZ

= λλ

Procedee de reducere

4

7

Prin mutarea sarcinilor la noduri nu se conservă pierderile de putere activă si reactivă din reţea. Pe schema 4.4,b, echivalentă celei din figura 4.4, a, în ipoteza că VA=VB, pe artera AB nu mai circulă niciun curent, adică în acest caz pierderile de putere sunt nule. Această situaţie nu corespunde schemei iniţiale din figura 4.4,a , unde pe arterele considerate între A şi k respectiv între k si B circulă curenţi care produc pierderi de putere activă şi reactivă. Puterea injectată din exterior, în linia electrică, este constantă în ambele scheme 4.4, a şi 4.4, b, pentru că tensiunile la borne şi curenţii rămân neschimbaţi.

Observaţie:

VB

A B

VA VBi1

A B

VAiA iBi2 ik in

Fig. 4.4, a Fig. 4.4, b

IA IBIA IBk

Procedee de reducere

8

Fig. 4.5 Reţea electrică ramificată cu tensiuni diferite la capete

O IE

VA

VE

VB

VC IC

IAIE

IB VO

YAYE

YBYC

Se consideră ramurile A, B, C ale unei reţele electrice care au tensiuni pe fază diferite VA, VB, VC la capete şi debitează într-un nodcomun O (fig. 4.5). Aceste ramuri se pot înlocui printr-o singură ramură echivalentă având admitanţa YE şi tensiunea VE la capătul E.

Procedee de reducere

5

9

CBAE IIII ++=

( ) ( ) ( ) ( ) COCBOBAOAEOE YVVYVVYVVYVV ⋅−+⋅−+⋅−=⋅−

( )E E A B C A B CE O A B C OV Y V Y V Y V Y V Y V Y Y Y⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ − + +123 144424443

sau

∑=++= kCBAE YYYYY

∑

∑=

++⋅+⋅+⋅

= n

k

n

kk

CBA

CCBBAAE

Y

YV

YYYYVYVYVV

1

1

(4.10)

(4.11’’)

Pentru a determina mărimile echivalente, se scriu relaţiile de echivalenţă între schema reală cu trei ramuri şi cea echivalentă cu o singură ramură, astfel:

Procedee de reducere

(4.11’)

10

A

AOA Y

IVV =−B

BOB Y

IVV =−C

COC Y

IVV =−E

EOE Y

IVV =−

Din ultima relaţie se poate determina tensiunea nodului O, sub forma:

E

EEO Y

IVV −=

care după înlocuirea în celelalte trei ecuaţii, permite determinarea curenţilor în ramurile componente:

( ) AEAE

AEA YVV

YYII −+⋅= ( ) BEB

E

BEB YVV

YYII −+⋅= ( ) CEC

E

CEC YVV

YYII −+⋅=

(4.12, a) (4.12, b) (4.12, c)

Procedee de reducereÎnlocuirea ramurilor în paralel printr-o ramură echivalentă este posibilă numai dacă de-a lungul acestora nu există derivaţii cu sarcini suplimentare.La transformări inverse însă, se cunoaşte curentul prin ramura echivalentă şi se cere să se determine curenţii care trec prin ramurile reţelei iniţiale, netransfigurate. În acest caz, se scriu relaţiile căderilor de tensiune:

6

11

Fig. 4.6 Schemele în stea şi în triunghi

Condiţia de echivalenţă a celor două scheme:

( )312312

31231221 ZZZ

ZZZZZ+++

=+

( )312312

12312332 ZZZ

ZZZZZ+++

=+

( )312312

23123113 ZZZ

ZZZZZ+++

=+

312312

13121 ZZZ

ZZZ++

=

23 212

12 23 31

Z ZZZ Z Z

=+ +

31 233

12 23 31

Z ZZZ Z Z

=+ + 2

313131

1

323223

3

212112

ZZZZZZ

ZZZZZZ

ZZZZZZ

++=

++=

++=

(4.14, b)

(4.14, a)

(4.14, c)

(4.13, b)

(4.13, a)

(4.13, c)

Procedee de reducere

d. Transfigurarea stea-triunghi. O altă structură, care intervine ca un subansanblu într-o reţea buclată, este cea în

formă de stea, în cazul cel mai simplu alimentată de la trei noduri (fig. 4.6).I1

I2I3

Z1

Z3 Z2

1

23

1

23

I1

I2I3

Z12Z31

Z23

I23

I31I12

12

(4.14`, b)

(4.14`, a)

(4.14`, c)

(4.13`, b)

(4.13`, a)

(4.13`, c)

23

131213121 Y

YYYYY ++=

31

231223122 Y

YYYYY ++=

12

233123313 Y

YYYYY ++=321

1331

321

3223

321

2112

YYYYYY

YYYYYY

YYYYYY

++=

++=

++=

Observaţie:

În cazul transformării generale, o reţea în stea având n borne de alimentare poate fi transformată intr-un poligon cu n(n-1)/2 laturiavând legate două cate două bornele sale: Yij = Yi

.Yj / ΣYk

Invers, un poligon complet oarecare, având toate laturileindependente între ele, NU SE POATE transforma intr-o stea. Singurul caz posibil este al triunghiului care se transformă in stea: 3(3-1)/2=3

Procedee de reducere

7

13

Ce este?

Calculul de regim permanent constă în determinarea mărimilorelectrice de stare:

• Tensiuni (modul si argument) în noduri• Circulaţia de curenţi/puteri în laturile R.E.• Pierderi de putere

Calculul de regim permanent constituie:

i. Necesitate atât în activitatea de planificare a dezvoltării reţelelor electrice pentru stabilirea configuraţiei cât şi în activitatea de exploatare pentru alegerea regimului de funcţionare (posibilităţi de supraîncărcare‚ nivelul de tensiune‚ identificarea zonelor ”slabe” din reţea etc.);

4.2.2 Metoda matriceală pentru calculul regimului permanent

14

ii. Mijloc de calcul în următoarele activităţi:

• analiza capacităţii de transport‚ în vederea testării limitelor puterilor de transfer (limita termică Imax adm );

• analiza VAr-tensiune‚ pentru evaluarea pe de o parte a necesarului de echipamente VAr-tensiune şi pe de altă parte a modului de reglare a acestora;

• controlul on-line‚ al funcţionării sistemului electric‚ folosind estimatoare de stare şi calculatoare de proces;

iii.Punct de plecare:• optimizarea regimurilor de funcţionare etc.• în studiul şi alegerea protecţiilor prin relee şi automatizărilor;• în calculele de stabilitate statică‚ tranzitorie şi de tensiune;

4.2.2 Metoda matriceală pentru calculul regimului permanent

8

15

Necunoscute:

Având în vedere numărul mare al mărimilor electrice de stare de determinat Uik (tensiunile la bornele laturilor) şi Iik (curenţii în laturi), pentru formarea şi rezolvarea sistemului general de ecuaţiial reţelei electrice, se utilizează metode matriceale.

Ipoteze:

Se consideră reţeaua liniară şi se folosesc teoremele lui Kirchhoffpentru reţeaua electrică în ansamblul său;

Soluţionarea problemei se reduce fie la:

- rezolvarea unui sistem de ecuaţii liniare când caracteristicilesarcinilor şi generatoarelor se reprezintă prin I=ct;

- fie rezolvarea unui sistem de ecuaţii neliniare de gradul II când se foloseşte ipoteza P=ct şi Q=ct.

4.2.2 Metoda matriceală pentru calculul regimului permanent

16

În general‚ o reţea electrică este constituită din:• laturi - linii electrice, transformatoare• noduri - în care sunt conectate generatoare şi/sau consumatori.

• Laturile sunt reprezentate prin impedanţe/admitanţe;• Generatoarele prin curenţi/puteri injectaţi la noduri;• Sarcinile prin impedanţe sau prin curenţi/puteri ce ies din noduri.

În studiul reţelelor şi sistemelor electrice pentru caracterizarea structurii şi parametrilor elementelor acestora se utilizează aşa-zisele matrice de sistem – matricea admitanţelor nodale ([Ynn]) sau matricea impedanţelor nodale ([Znn]).

4.2.2 Metoda matriceală pentru calculul regimului permanent

9

17

Aplicarea metodelor matriceale pentru calculul regimului permanent:

Formularea problemei (CE ESTE ŞI ÎN CE CONSTĂ?)

Regimul permanent este regimul sinusoidal de succesiune pozitivă faţă de fazele a, b, c. Calculul regimului permanent constă în determinareamărimilor electrice de stare P, Q, U, Θ după cum urmează:

• Tensiunile în modul şi argument în nodurile reţelei electrice;• Circulaţia de puteri/curenţi în toate laturile reţelei electrice;• Pierderile de putere pe fiecare latură şi în toată reţeaua electrică

În acest sens se disting două etape:

Etapa I: formularea celor 2n ecuaţii corespunzătoare modulelor şi argumentelor tensiunilor la cele n noduri => metoda tensiunilor nodale utilizând matricea admitanţelor nodale

[ ] [ ] = [ ]nn n n

*n

*n

Y U I = SU

×⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ (4.15)

Etapa II: Rezolvarea sistemului de ecuaţii utilizând una din cele două metode numerice de calcul: Seidel-Gauss sau Newton-Raphson.

4.2.2 Metoda matriceală pentru calculul regimului permanent

18

Se consideră schemele monofilară respectiv echivalentă ale unei reţele electrice (fig. 4.7).

Fig. 4.7. Schemele monofilară (a) respectiv echivalentă (b) ale unei reţele electrice

Pentru obţinerea matricei admitanţelor nodale [Ynn] şi respectiv a ecuaţiei din metoda tensiunilor nodale se aplică teorema I a lui Kirchhoff la nodurile independente‚ adoptând prin convenţie semnul "+" pentru curenţii nodali injectaţi şi "–" pentru cei consumaţi:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++

=+++

3332031023321313

2223021032231221

1113012031132112

––

–––

––

IVyyVVyVVy

IVyyVVyVVy

IVyyVVyVVy

(4.16)

4.2.2.1,a Matricea admitanţelor nodale în reţele fără transformatoare înlaturi

1 3

2

y13

y130 y310

y210 y230

y12 y23 y320y120

I3I1

I2

I1 I3

I2

V1

V2

3

2

1

V3

10

19

Se grupează termenii după tensiunile nodurilor astfel:

11 2 312 13 120 130 12 13

21 2 321 21 23 210 230 23

31 2 331 32 31 32 310 320

( ) – –

– ( ) – –

– – ( )

y y y y V y V y V I

y V y y y y V y V I

y V y V y y y y V I

⎧ + + + =⎪⎪ + + + + =⎨⎪ + + + + =⎪⎩

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

3

2

1

333231

232221

131211

–II

I

VVV

YYYYYYYYY

sau sub forma matriceală

11 12 13 120 130

21 21

31 31

Y y y y y

Y y

Y y

= + + +

= −

= −

12 12

22 21 23 210 230

32 32

Y y

Y y y y y

Y y

= −

= + + +

= −

13 13

23 23

33 31 32 310 320

Y y

Y y

Y y y y y

= −

= −

= + + +

unde:

(4.16`)

(4.17)

4.2.2.1,a Matricea admitanţelor nodale în reţele fără transformatoare înlaturi

20

4.2.2.1,a Matricea admitanţelor nodale în reţele fără transformatoare înlaturi

Proprietăţi ale matricei admitanţelor nodale:Forma acestei matrice prezintă proprietăţi care o fac uşor determinabilă, fiind şi “estetică”.

• Termenii nediagonali Yik sunt fie egali cu valoarea luată cu semn schimbat a admitanţei laturii dintre nodurile “i” şi “k”, fie “0” dacă nu există nici o legătură fizică între cele două noduri.

• Termenii Yii de pe diagonala principală, se determină ca sumă a admitanţelor tuturor laturilor incidente în nodul i;

i) Este o matrice pătratică şi simetrică de ordin egal cu cel al nodurilor independente (n-1) şi se poate construi după următoarea regulă:

11

21

Uneori, datorită transformatoarelor de unghi şi a susceptanţelorcapacitive ale liniilor electrice, este posibil să nu fie aşa. În cazul în care se neglijează laturile transversale, ∑= ikii YY

Numărul termenilor nenuli pe linii şi coloane este egal cu numărul laturilor incidente în nod, plus 1 (corespunzător admitanţei proprii a nodului).iii) În structura reţelelor reale‚ numărul elementelor nenule în matricea [Ynn] este foarte scăzut (circa 2%). Se spune că matricea [Ynn] are un grad înalt de lacunaritate sau este o matrice rară. Din această cauză se folosesc tehnici speciale de lucru cu matrice rare.

ii) Modulul admitanţei diagonale este mai mare sau cel puţin egal cumodulul sumei termenilor nediagonali:

11 12 13 120 130

1 12 13

11 1

k

k

Y y y y y

Y y y

Y Y

= + + +

= − −

≥

∑

22

În cazul general, al reţelei electrice, legătura între tensiunile şi curenţii nodali se exprimă sub forma:

(4.17’)[ ][ ] [ ]nn nnY V I=

În practică, pentru studiul funcţionării sistemelor electroenergetice se operează cu puteri trifazate şi tensiuni între faze. În acest sens expresiile (4.17’) se multiplică cu

[ ] [ ] [ ]nnnn IVY 33 =

Având în vedere legătura între tensiunile pe fază şi tensiunile între faze, şi notând rezultă cunoscuta formă (4.15) a ecuaţiei matriceale din metoda tensiunilor nodale.

I3=I

În aceste condiţii, expresia puterii aparente trifazate devine:*** 333 IUVVS =⋅== II (4.17’’)

3

12

23

Matricea admitanţelor nodale în cazul folosirii modelelor trifazate pentru liniile electrice

b

c

b

c

y

ybc ybc

yac yac

yab yab

a aI zkia aa

ik

z bbik

z ccik

z abik

z bcik

z acik

i

I bi

I ci

I ak

I bk

I ck

aaik y bb

ik y ccik

y aaik y cc

iky bbik

Fig. 4.8.a

24

z

y[ ]Z[ ]Y

[ ]V

[ ]I

2=

i k=

=

aa z ab z ac

z ba z bb z bc

z ca z cb z cc

I ai

I bi

I ci

i [ ]I =I a

k

I bk

I ck

k

ik aa y ab yac

yba ybb ybc

yca ycb y cc

ik

y aa y ab y ac

yba y bb y bc

y ca y cb y cc

[ ]Y2 =ik

V ai

V ci

V bii [ ]V =

V ak

V ck

V bkk

Matricea admitanţelor nodale în cazul folosirii modelelor trifazate pentru liniile electrice

Fig. 4.8.b

13

25

[ ][ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ][ ]

1 1

1 1

2

2

– –ikik ik

i i

– – ikk kik ik

YZ – Z

I UYI U

– Z Z

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦+⎢ ⎥

⎣ ⎦

(4.18)

Matricea admitanţelor nodale în cazul folosirii modelelor trifazate pentru liniile electrice

ki

k

[ ]Ik

[ ]Y2

ik

[ ]Zik

[ ]=Ui

[ ]I i

[ ]Y2ik

3 [ ]V i [ ]=U 3 [ ]Vk

Fig. 4.8.c

26

4.2.2.1,b Matricea admitanţelor nodale în reţele cu transformatoare în laturi

Se consideră cazul laturii longitudinale ik a unui transformator cu operator de transformare cu raport complex Nik (fig. 4.9)

Fig. 4.9. Schemele echivalente cu operator de transformare.

a. b.

c.

SiSk

Ii Iik Ikzik ki Nik

V kVi V i

i

SiSk

Ii Iik Ikyik ki Nik

V kV i V i

Iik

S i

i

zki ki Nki

V kV i

Ii Iki

14

27

Din schema (4.8.c)

( )'i ik i iikI I y V V= = − (4.18’) => ' ik iki iV V z I− = (4.18’’)

Considerând numai transformatorul ideal:'

* *'

*

'

3 3i k

ik ki k

kiik

ikk

S S

V I V I

V INV I

= −

= −

⎛ ⎞= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Rezultă*

'

–k ikik

i ik k

I N IV N V

==

(4.19)

(4.20)

Înlocuind (4.20) în (4.18”) se obţinenot

ik iki ik k ikV N V z I V− = ≡ (4.18’’’)

28

Din (4.18’) Ii=Iik şi (4.19), se obţine relaţia de legătură între curenţi:

Folosind scrierea matriceală a expresiei de legătură între tensiuni:

[ ] [ ]1 – i iikik

k k

V VN A

V V⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅ = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ikV

unde este matricea de cvasiincidenţă a laturii ik cu operatorul de transformare la nodul k:

[ ]ikA

Când latura este orientată de la i la k, adică transformatorul ideal se află conectat la nodul k, matricea de cvasiincidenţă se scrie astfel:

[ ] [ ]1 –ik ikA ik N=

[ ] iktikikikk

i IAINI

I **–

1=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

ik ikikI y V=având în vedere că şi relaţia (4.21), rezultă:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]* * * i iik ik ik ikik ikt t tik ik

k k

V VA I A y V A y A

V V⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ikY

(4.21)

(4.22)

(4.23)

(4.24)

4.2.2.1,b Matricea admitanţelor nodale în reţele cu transformatoare în laturi

15

29

[ ] [ ] [ ] [ ]**

11 –

–ik ik ik ikt ik ikik

A y A y NN

⎡ ⎤= = ⎢ ⎥

⎣ ⎦Y

(4.25)

4.2.2.1,b Matricea admitanţelor nodale în reţele cu transformatoare în laturi

sau:

[ ]' '

* 2' '

ikik ikii ikik

ik ikki kk ik ik

y y NY Yy N y NY Y

−⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥= =⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Y

Dacă latura este orientată de la nodul k la nodul i adicătransformatorul ideal, având raportul Nki,este conectat la nodul i:

[ ] [ ]1ki kiikA N= −

[ ]*2 –

–kikiki ki

ikkiki ki

y N y N

y N y

⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦

Y

(4.22’)

(4.26)

Matricea de admitantă a transformatorului cu raport complex de transformare din (4.24) este :

30

4.2.2.1,b Matricea admitanţelor nodale în reţele cu transformatoare în laturiSe constată că matricea [Yik] pentru transformatoare cu raport

complex de transformare (Nik) este o matrice nesimetrică deoarecetermenii *' ( ) ' ( )ik ikik kiik ik

Y y N Y y N= − ≠ = −

Dacă Nik este real atunci:

[ ] 2

ikik ikik

ik ikik ik

y y N

y N y N

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦Y

Se constată că matricea [Yik] pentru transformatoare cu raport real de transformare (Nik) este o matrice simetrică deoarece termenii

' ( ) ' ( )ik ik ki ikik ikY y N Y y N= − = = −

(4.27)

16

31

• Orice termen diagonal Yii este egal cu suma admitanţelor longitudinale şi transversale ale laturilor incidente galvanic în nod. Dacă la nodul respectiv pe lângă liniile electrice este conectată şi o latură cu transformator se disting două cazuri:

2

0

.

ii kiik ik ki

linii transf

Y y y y N= + +∑ ∑ ∑1442443 14243

- dacă admitanţa longitudinală a transformatorului este legată galvanic la nodul i termenul diagonal este:

0ii ik ikY y y= +∑ ∑

În cazul în care componentele transversale ale transformatorului nu se neglijează acestea se adaugă şi ele la termenul Yii.

(4.28)

(4.29)

Reguli generale de scriere a matricei [Ynn]

- dacă transformatorul ideal se află conectat la nodul i, admitanţalongitudinală a transformatorului se înmulţeşte cu pătratul raportului de transformare:

4.2.2.1,b Matricea admitanţelor nodale în reţele cu transformatoare în laturi

32

• Termenii nediagonali în cazul laturii cu transformator se exprimă astfel:

– dacă operatorul de transformare se află la nodul k:ikN

ikikik NyY −=*–ki ikik

Y y N=

– dacă operatorul de transformare kiN se află la nodul i:*

ik kikiY y N= − kikiki NyY –=

(4.30, a, b)

(4.31, a, b)

;

;

4.2.2.1,b Matricea admitanţelor nodale în reţele cu transformatoare în laturi

1

1

Clasificarea variabilelor sistemuluiÎn scopul de a stabili sistemul de ecuaţii de rezolvat, este necesar

ca, în funcţie de tipul nodului să se facă o clasificare a variabilelor sistemului:a. Variabile de cerere: Pc, Qc (toate puterile active şi reactive

consumate)

b. Variabile de intrare sau de control: toate mărimile care pot fi „manipulate” pentru a satisface echilibrul dintre consum şi generare, în condiţiile în care SEE funcţionează cu restricţii şi funcţii obiectiv. În cele mai multe cazuri acestea sunt:

– modulul tensiunilor la toate nodurile generatoare;– puterea generată la toate nodurile generatoare cu excepţia nodului

de echilibru (la nodul de echilibru, puterea generată se calculează la sfârşitul regimului permanent închizându-se balanţa prin acoperirea pierderilor în sistem);

– prizele de funcţionare ale transformatoarelor cu reglaj sub sarcină.

2

c. Variabilele de stare: care odată calculate permit calculul altor mărimi de interes; mărimile de stare de această dată sunt tensiunile complexe în toate nodurile din sistem;

d. Variabilele de ieşire: sunt funcţii de variabile de stare, de cele de intrare şi de cerere:– circulaţia de puteri active şi reactive pe liniile electrice;– puterea reactivă generată;– puterile Pe şi Qe generate la nodul de echilibru;– intensitatea curenţilor în liniile electrice.

Deci, problema regimului permanent cuprinde două etape:

i. Fiind date:• topologia reţelei electrice;• caracteristicile elementelor componente ale reţelei([Ynn]);• condiţiile de regim de frontieră ale celor „n” noduri diferenţiate în:

2

3

→ noduri generatoare (g), cu Pg=ct. şi Ugimpus=ct.

( ) ( )2,

1;cos sin

n

g i ii i i k ik i k ik i kk k i

P G U U U G B= ≠

= + θ −θ + θ −θ⎡ ⎤⎣ ⎦∑min max

, , ,g i g i g iQ Q Q< <

→ noduri consumatoare (c), cu Sc=Qc+jPc=ct.

( ) ( )

( ) ( )

2,

1;

2,

1;

cos sin

sin sin

n

c i ii i i k ik i k ik i kk k i

n

c i ii i i k ik i k ik i kk k i

P G U U U G B

Q B U U U G B

= ≠

= ≠

= + θ −θ + θ −θ⎡ ⎤⎣ ⎦

= − − θ −θ − θ −θ⎡ ⎤⎣ ⎦

∑

∑

→ nodul de echilibru (e=1): Ue=ct.; θe=0°

4

ii. Se determină:→ θg şi Ug ; Uc şi θc ; Pe şi Qe;→ circulaţiile de putere active şi reactive în laturile reţelei;→ pierderile de puteri ΔPik şi ΔQik în laturi şi totale în sistem.

Obs.: Pentru efectuarea calculelor se consideră ipoteza că liniileelectrice sunt simetrice şi echilibrat încărcate respectiv se neglijează cuplajele magnetice dintre diversele elemente ale reţelei şi în consecinţă calculul regimului permanent se va efectua numai pe reţeaua de succesiune pozitivă şi anume numai pe o fază a acesteia.

3

5

4.2.2.5. Aplicarea metodei Seidel Gauss pentru modelul neliniar

Se consideră expresia cunoscută a puterii trifazate:

* *3 3 3 * n

iik i i ik* ki

k=1i

SS V V = UYU

= = ⇒ = ∑ I I I (4.65)

Se separă curentul Ii corespunzător unuia din nodurile independente :

k

n

ikkikiiii UYUYI ∑

≠=

+=,1

ni ,...,2= ( 1)i e≠ =

de unde rezultă relaţia de bază din metoda iterativă Gauss

niUYIY

Un

ikkkiki

iii ,...,2,1

,1

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∑

≠=(4.66)i

Pentru început valorile pentru tensiuni se iniţializează cu tensiunile nominale , cu excepţia nodului de echilibru unde

, iar tensiunea la nodurile generatoare impusă;

g ggU U= θ

ct. ; ct.g eU U= =

0n iiU U= θ =0e eeU U= θ =

6

Tensiunile impuse la nodul de echilibru şi în nodurile generatoare se păstrează constante pe tot parcursul calcului iterativ.

Pentru pasul p+1 ce urmează pasului p, în procesul iterativ de calcul, relaţia (4.66) pentru calculul tensiunii capătă forma:

( ) ( ) ( )1

1;

1 ,n

p p pi iki k

k k iii

U I Y U i eY

+

= ≠

⎛ ⎞= − ≠⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ (4.66’)

în care:

( )( )

( )( ) ( )p

iip

ipi

pip

i jQPSU

SI +== ;*

*

4

7

ii În cadrul variantei Seidel-Gauss se grăbeşte obţinerea soluţiei utilizându-se în cadrul pasului (p+1) valorile tuturor tensiunilor nodale Uk având k<i care au fost calculate deja în cadrul acestui pas iterativ, conform relaţiei :

( )( )

( )( ) ( )

11 1

, *1 1

1 ,p i n

p p pi iik iki calc k kp

k k iii i

P jQU Y U Y U i eY U

−+ +

= = +

⎛ ⎞−= − − ≠⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ (4.67)

Calculul se continuă până când este satisfăcut testul de convergenţă:( ) ( ) ε≤−+ U U i

pi

p 1

iii Deşi metoda Seidel-Gauss conduce la o soluţie într-un număr mai mic de iteraţii decât metoda Gauss ea poate fi îmbunătăţită, din punct de vedere al calculului prin folosirea unui factor de accelerare ω a procesului de convergenţă

( ) ( ) ( ) ( )1 1, , ,p p p p

i acc i i calc iU U U U i e+ += + ω − ≠

(4.68)

(4.69)

8

De regulă factorul de accelerare ω∈(1…2).În etapa iniţială de accelerare aplicarea factorului de accelerare

poate fi defavorabilă în cazurile când tendinţa spre soluţie este oscilatorie; din această cauză se recomandă ca în perioada iniţială (3÷4 iteraţii) să nu se folosească accelerarea, adică ω=1, până când valorile tensiunilor intră în zona normală.

În continuare, în funcţie de numărul de noduri din reţea, de parametrii elementelor reţelei, se va folosi un factor de accelerare ω=1,2…1,75 şi din zece în zece iteraţii se va aplica ω=2 sau ω=2 ,2.

iv O particularitate în cadrul regimului permanent prin metoda tensiunilor nodale o constituie tratarea nodurilor de tip generator.

Aceasta constă în încadrarea în limitele admisibile, Qgmin÷Qg

max, a puterii reactive debitată de fiecare generator. Nodurile generatoare au posibilitatea să-şi regleze puterea reactivă între cele două limite admise astfel încât să poată menţine tensiunea în nod constantă.

5

9

a. Nu se calculează tensiunea la nodul de echilibru deoarece ea este impusă în modul şi argument şi menţinută constantă pe toată durata procesului iterativ;

b. Pentru nodurile de tip consumator se consideră puterea reactivă constantă Qi

(p)=Qi, iar tensiunea este actualizată la fiecare iteraţie conform relaţiei (4.67);

c. Un nod generator considerat de tip PU este tratat astfel: Prin acţiunea regulatorului automat de tensiune

(RAT) se poate regla puterea Qg în interiorul Qgmin÷Qg

max

pentru a se obţine valoarea impusă / specificată a tensiunii în nod. În acest scop trebuie să se facă corecţia tensiunii:

În acest sens relaţia de calcul Ui,calc(p+1) se aplică în funcţie de

tipul nodului în mod diferit:

( )( )

( ),

,,

pi calcp impus

ii cor pi calc

UU U

U= (4.70)

10

Ca urmare a aplicării a ultimei expresii, modulul tensiunii corectate devine egal cu tensiunea specificată sau impusă.

Pentru calculul puterii reactive la iteraţia p, Qi(p), care este

suportul generatorului pentru a menţine tensiunea la o valoare specificată se utilizează ultimile valori actualizate ale tensiunilor:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= ∑∑

+=

−

=

+*

1

1

1

1,

*2,Im

n

ik

pkik

i

k

pkik

pcoriii

pcori

pi UYUYUYU Q (4.71)

Se verifică încadrarea în limitele:( ) maxmin

ip

ii QQQ <<

• Dacă Qi(p) calculată se încadrează în limitele admisibile, atunci

la iteraţia p tensiunea va fi Ui(p)= Ui,cor

(p), iar la iteraţia p+1 noua valoare a tensiunii Ui

(p+1), se calculează cu relaţia (4.67).

6

11

• Dacă Qi(p) calculată nu se încadrează în limitele admisibile,

atunci nodul „i” aparţinând mulţimii nodurilor generatoare trece în mulţimea „c” nodurilor de tip consumator, iar puterea reactivă Qi

(p)

este fixată la una din limitele extreme:

( ) min ( ) min

( ) max ( ) max

Dacă Dacă

p pi i i i

p pi i i i

Q Q Q QQ Q Q Q

→ < ⇒ =

→ > ⇒ =

În concluzie, acest lucru dovedeşte că suportul puterii reactive a generatorului este insuficient pentru a menţine tensiunea la valoarea specificată şi tensiunea la iteraţia „p” va fi valoarea calculată

.( ) ( )pcalci

pi UU ,=

12

La sfârşitul procesului de calcul, după iteraţia (p+1), când este satisfăcut testul de convergenţă, se calculează puterea aparentăcomplexă la nodul de echilibru folosind relaţia

( ) ( )1 * * 1 *2

1

nfinal p p

ee eke e e kek= ,k e

S = S U Y U Y U+ +

≠

= + ∑În practică se foloseşte şi criteriul de convergenţă:

( ) ( ) ε≤−+ SS ps

ps

1

(4.72)

(4.73)

7

13

Observaţiia. Dacă puterea activă generată violează limitele generatorului,

excesul (sau deficitul) generării la nodul de echilibru este distribuit între unităţile rămase şi se fac mai multe iteraţii. Această ajustare este respectată până când generarea la nodul de echilibru este în limitele acceptabile.

b. De asemenea, dacă puterea reactivă generată la nodul de echilibru violează limitele generatorului, pot fi considerate câteva posibilităţi. Prima poate consta în schimbarea nodului deechilibru la un alt generator. O altă posibilitate este modificarea tensiunii la nodul de echilibru pentru a nu se mai viola limitele sale de putere reactivă. A treia posibilitate este de a introduce generatoare de putere reactivă şi sau consum cu ajutorul condensatoarelor şi/sau bobinelor.

1

1

5. Regimul termic al liniilor electrice: principala restricţie în dimensionarea şi verificarea secţiunii

conductoarelor.

5.1. GeneralităţiFenomenul de încălzire a conductoarelor constituie o restricţie tehnică importantă în transportul energiei electrice, în sensul limitării capacităţii de transport.

Principalele regimuri de funcţionare ale liniilor electrice:

I. Regimul de lungă durată (câteva ore)a. Cu sarcină constantă 100%b. Cu sarcină variabilă

II. Regimul de scurtă durată

2

5.2. Calculul la încălzire a conductoarelor LEA

5.2.1. Determinarea curentului admisibil în regim permanent cu sarcină constantă 100 %

Pentru determinarea curentului maxim admisibil prin conductor se foloseşteecuaţia de bilanţ energetic:

1W W Wt rad conv= +

0Wcond =

( )W Srad rad cond aerα θ θ= −

2max1

IRt

W =

aerθ

cθ

Imax

(5.1)

(5.2)

(5.3’)

(5.3’’)

Fig. 5.1

W/cm

W/cm

W/cm( )W Sconv conv cond aerα θ θ= −

Ipoteze simplificatoare:•• Toate punctele conductorului au aceeaşi temperatură în regim staţionar

2

3

( ) 6 22.8 100 0.6 10rad cond W grd cmα θ − ⎡ ⎤= + ⋅ ⋅⎣ ⎦

3 29 10convpv W grd cmd

α − ⎡ ⎤= ⋅ ⋅⎣ ⎦

2 suprafaţa laterală a conductoruluiS rl dlπ π= = −

( ) ( )2

2 2 21 max max max max20 20

101 1 20o oo

t s plW RI I y y Is s q

ρ ρ α θ−

⎡ ⎤= = = + + + − ⋅⎣ ⎦ ⋅

2 22 2 1

2 1010

mm mm mm cmm cm

ρ − −Ω Ω= = = Ω ⋅

Al

Al Ol

ss s qs s⋅ = ⋅

+

Al

Al Ol

sqs s

=+

q este coeficientul de corecţie în cazul conductorului de Al-Ol

(5.4’)

(5.4’’)

(5.6)

(5.5)unde

(5.7)( )( )maxrad conv rad conv aerW W S+ = α + α θ − θ

Se presupune că tot curentul trece prin mantaua de Aluminiu

4

( )( )( ) ( )[ ]0

max2020

2

max..

max 201110−+++

−+=

θαρπθθαα

ps

aerradconv

yyqsldI

( )( )( ) ( )[ ]0

max2020

23

max..

max 2011210

−+++−+

=θαρθθααπ

ps

aerradconv

yyqsI

12 2 3 2 3 2 32

33 2 3 2 2 3

2

1[ ] 2 24 4 82 4

2 2 28 4

d d d dd cm s d

d d s

−

⋅ ⋅ = ⋅ = = =

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

π π π π ππ π π ππ

π ππ π π

Din egalarea ecuaţiilor (5.6) şi (5.7) rezultă expresia curentului maxim:

(5.8)

3

5

5.2.2. Răspunsul la o sarcină treaptă: curba de încălzire/răcire

t

1 . .t înmag evacW dt W d W dt⋅ = ⋅ θ + ⋅

100%

W

( )2

1 cond cond aerW dt RI d C dT S T T dtt θ α⋅ = = ⋅ + − ⋅

rad convα α α= +

A Sα=

cond aerT Tθ = −

(5.9)

(5.9’ )

Se consideră regimul de încărcare de lungă durată cu sarcină constantă

Fig. 5.2Bilanţul energetic dintre cantităţile de căldură, pentru un interval dt

– Capacitatea de cedare a căldurii către mediul ambiant

6

Dacă ct. atunci condaer

dTdTdt dtθ

= =

1dW C At dt

= + ⋅θ θ

1În ipoteza că ct. şi ct, oluţia ec. dif. liniare (5.10') este:tW A s= =

1 2tB e B−= +αθ

1unde este inversul constantei de timp a încălziriiAC

α ττ

= =

• Determinarea constantei B1: pentru condiţia iniţială t=0 şi θ= θi , din (5.11) rezultă:

1 2i B Bθ = + sau 1 2iB B= θ −

Ecuaţia (5.9’) se poate scrie ca ecuaţie diferenţială:

1cond

tdTW C A

dt= + θ (5.10)

respectiv din (5.10)

(5.10’)

(5.11)

(5.12)

4

7

21

2W RItB

A A= = =θ

răcire încălzire

1 1Wt tte ei A

− −= + −α αθ θ

• Determinarea constantei B2: pentru regimul permanent de sarcină Tcond=ct.

0conddT ddt dt

⇒ = =θ

1din (5.10') rezultă tW A θ= ⋅

Pentru t ⇒∞ 1max .

tadm

WA

θ θ θ= = ≤∞

( )1echivt te ei

− −= + −∞α αθ θ θRezultă:

sau

Înlocuind (5.12) şi (5.13) în ecuaţia (5.11), rezultă

(5.14’)

(5.13)

(5.14)

8

Curbele de încălzire / răcire

) 0a iθ = ) 01ib şi W tθ θ∞= =

θ∞

( )1încălzirete αθ θ −= −∞

θ

t

θ

răcirete αθ θ −= ∞

θ∞

t

θ∞

θ

t

iθ( )1încălzire i

t te eα αθ θ θ− −= − +∞

răciretei

αθ θ −=

) Simultan încălzire+răcirecFig. 5.3 Reprezentări grafice

τ

5

9

5.2.3. Încălzirea conductoarelor în regim permanent sub sarcină variabilă

t1 tt3t2

Wt1A

Wt2A

Wt3Aθ

θi

θmediu

0I II III

Fig. 5.4 Regim cu sarcină variabilă cu paliere constante

“Echivalarea regimului cu sarcină variabilă prin mai multe regimuri cu sarcină constantă regim termic tranzitoriu“

10

θθ(t)

Wt1A

Wt2A

Wt3A

t1 tt3t2

θi

θmediu

0I II III

5.2.3. Încălzirea conductoarelor în regim permanent sub sarcină variabilă

( )1 t te eiα αθ θ θ− −= − +∞

(5.14’)

Fig. 5.5 Variaţia temperaturii într-un regim cu sarcină variabilă

Pentru fiecare din regimurile cu sarcină constantă (I, II, III …) se scrie o relaţie de forma:

6

11

Răspunsurile în temperaturi corespunzătoare perioadelor cu sarcină constantă.

Pentru regiunea I (0-t1) se obţine

111t

eI−α⎛ ⎞

θ = θ −⎜ ⎟∞ ⎝ ⎠

0=iθ• Iniţial cond. are aceeaşi temperatură cu cea a mediului (θmediu)

În ipoteza că αt1<1, prin dezvoltare în serie:

111 neglijând termenii de ordin superiorte tα α− ≅ −

( )1 11 1 (5.16)1 1t tIθ θ α θ α≅ − + =∞ ∞

• Pentru regiunea II (t1-t2)

( )2 21 12 2 2 1 1 2I

t te e t t tIIα α

θ θ θ θ α θ α α− −⎛ ⎞

= − + ≅ + ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟∞ ∞ ∞⎝ ⎠

⇒

(5.15)

12

( ) ( )21 212 2 1 1 2 2 2 1 1t t t t t t tθ α θ α α θ α θ α α+ ⋅ − = + −∞ ∞ ∞ ∞

212

1212 tttermenulneglijeazăsetttdeoarece ααα <<

( )2 1 (5.17)2 1t tIIθ α θ θ≅ +∞ ∞

Se determină o încărcare medie a conductorului, care funcţionând pe durata t1+t2 va conduce la aceeaşi temperatură θII, adică:

( ) ( ) ( )1 2

2 1 1 21 (5.18)2 1t t

echiv echivt t e t tαα θ θ θ θ α− +⎡ ⎤+ = − ≅ +⎣ ⎦∞ ∞

Rezultă:

1 21 2

1 2

(5.19)echiv

t tt t

θ θθ ∞ ∞+

=+

7

13

Înlocuind tWA

θ = în (5.18) se obţine:

( ) ( ),1 2 1 1 2 2

t echivt t

Wt t W t W t

A Aαα + = +

1 1 2 2,

1 2

(5.20)t tt echiv

W t W tWt t+

=+

⇓

În ipoteza că rezistenţa electrică a conductorului este constantă în timpul procesului termic, rezultă:

( )2 21 1 2 22

1 2echiv

R I t I tRI

t t+

=+

respectiv: 2 2

1 1 2 2

1 2

(5.21)echivI t I tI

t t+

=+

14

5.3.1. Consideraţii generale

• Surse de căldură în cablu:- căldura produsă prin efectul Joule în conductoare;- prin circulaţia de curenţi induşi în armătura metalică;- pierderi în izolaţie ' 2 6

1( 10 [ / ]).tW V C tg W cmω δ −= ⋅

• Disiparea căldurii spre mediul înconjurător (pământ, apă sau aer) astfel ca c o n d a d mθ θ≤ => transferul termic se face radial

5.3. Încălzirea conductoarelor cablurilor din LES

8

15

5.3.2. Analogia electrică a fenomenului termic.Schema echivalentă a cablului

Fluxurile de căldură produse în interiorul cablului se transmit spre învelişulexterior al cablului şi de acolo mai departe spre suprafaţa de separaţie dintrepământ şi apă (unde sunt pozate) şi aer, prin fenomenul de conducţie. De lasuprafaţa de separaţie, căldura este transmisă în aer prin convecţie şi radiaţie.

În regim stabilizat defuncţionare, suprafaţa deseparaţie devine o suprafaţăizotermă.

Suprafeţele izoterme din pământ au temperaturi din ce în ce mai ridicate pe măsurăce ne apropiem de suprafaţaconductorului cablului.

h 10oC20oC

30oC

Nivelulsolului

Conducţie

C +onvecţie radiaţie

θcond

Fig. 5.6

16

1 1

T T

dq grad gradr drθλ θ θ

ρ ρ= − = − = −

Legea lui Fourier: densitatea fluxului de căldură (q) transmis prin conducţie într-o secundă printr-o secţiune unitate (1cm2):

unde: q este densitatea de flux termic după o direcţie, în W/cm2;

λ – conductivitatea termică, in W/grad cm;

λρ 1

=T

– rezistivitatea termică, în [grd cm/W].

Printr-o transformare conformă - de tip inversiune – suprafaţa pământului se transformă într-un spaţiu cilindric. În final, se obţin două suprafeţe cilindricede raze r1 si r2, de lungime l, având temperaturile θ1 şi θ2 (θ1> θ2).

(5.22)

Fig. 5.7

r2

r1

r

l

θ1

θ2

Σ

9

17

Fluxul de căldură transmis, într-o secundă, prin suprafaţa Σ este dat de:

∫Σ

Σ−==Σ=

drdrlrlqdqW

T

θρππ 22

sau

Σ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=− W

rdr

ld T

πρθ2

Integrând între θ1 (sursa caldă) şi θ2 (sursa rece), respectiv între r = r1 şi r = r2:

( )1

2

12ln

2 rr

lW T

πρθθ ⋅=−−

Σ

sau

1 2 TW RΣ Σθ − θ = ⋅ Legea lui Fourier

unde 2

1

termici

ln (5.25) este rezistenţa termică totală a circuitului2

termic în [grd.cm/W] sau

TT

rRl r

ρπΣ =

Ω

(5.23)

(5.24)

18

Analogia între circuitul termic şi un circuit electric echivalent

Rezistivitatea electrică (ρe)Rezistivitatea termică (ρT)Rezistenţa electrică (Re)Rezistenţa termică (RTΣ)

Diferenţa de potenţial (ΔU)Diferenţa de temperatură (Δθ)Curent electric (I)Fluxul de căldură (WΣ)

Circuit electric (legea lui Ohm)Circuit termic (legea lui Fourier)

Temperatura conductorului:(5.26)cond mediu TR Wθ θ Σ Σ= +

θcond θmediu

ΔθWΣ

RTΣ

Fig. 5.8 Schema electrică echivalentă circuitului termic

10

19

5.3.3. Calculul curentului admisibil pentru un singur cablu

Pierderi Joule în conductor

W1t=RI2

Pierderi in dielectric' 2

1 0( )tW V C tgω δ=

Pierderi în mantaua de Pb

)( ''

1tW

Pierderi în armătura metalica deprotecţie

''1( )tpW

maxθ

maxθ

0θ

extθΔ

iθΔ

mediuθ

RT4

RT3

RT2

R /2T1

R /2T1

W1t

W1t‘

W1t‘‘

W1tp‘‘

Rezistenţa termică a mantalei exterioare

Pierderi totale

Conductor

RT2

RT3

RT4

RT1

Izolaţiezistenţ

ţieRe ă termică izola

Manta Pb

Rezistenţă termică umplutură

Armţie

ătură metalică de protec

Suprafaţa exterioară a cablului

Rezistenţa termică a mediului de pozare

Mediu înconjurătormediuθ

Schema echivalentă a cablului monofazat

Categorii de surse

de căldură

Fig. 5.9

20

( )( )( ) ( )

1

1 1

''int 1 1 1 2

'' '' '1 3 1 1 2 34 40,5

t

t t p T

ext t T t T

t T t T T T T

W R W W R

W W W R W RR RR R

θ θ θΔ = Δ + Δ = + +

+ + + + + + + + =

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

11 1

'''' '''

1 1 1 2 1 3 1 1 2 31 1 1

'1 1 1

4 4

42 1 2 3 1 3 41 2

1 1 0,5

1 1 0,5

t pt tt T t T Tt T t T T T

t t t

t T T T t T T T

T

T T

WW WW R W R W R W R R RR R

R

W W W

W R R R R R RW Rλ λ λ

⎛ ⎞⎛ ⎞= + + + + + + + + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= + + + + + + + + + +⎡ ⎤⎣ ⎦

( )( ) ( )( )

'1 1 2 3

11 1 3 41

4

2 2

0,51 1

Tt T T Tt

T T T T

W R R RW

R R RR

Rθ

λ λ λΔ − + + +

=+ + + + + +

Căderea totală de temperatură:

unde:''''

111 2

1 1

; tpt

t t

WWW W

λ λ= =

sau:

Având în vedere că W1t=ReIadm2, rezultă expresia curentului admisibil:

( )( ) ( )( )

'1 1 2 3

1 1 2 1 2 3

4

4

0,5(5.27)

1 1adm t T T T

adme T T

T

TT

W R R RI

R RR

RR Rθ

λ λ λΔ − + + +

=+ + + + + +⎡ ⎤⎣ ⎦

11

21

Pentru calculul Iadm trebuie cunoscute:

• constantele fizice interne ale cablului: rezistenţa electrică (Re),pierderile în dielectric şi rezistenţele termice (RT1, RT2, RT3 );

• rezistenţa termică externă a mediului

( )' 21tW V C tgω δ=

( )4 .TR

Constantele fizice interne ale cablului se determină de către fabricaconstructoare:

pentru condiţii normate de pozare, în fabrică, ţinând seama de dimensiunile geometrice şi de constantele fizice ale cablului, secalculează Iadm;

pentru abateri importante faţă de condiţiile normate, se corecteazăIadm cu anumiţi coeficienţi (K1, K2, K3).

→

→

→

22

( )

( ) ( ) ( )

'1 1 2 3

1 1 2 1 2 31 2

4

1 2

4

0,51 (1 )

11

adm t T T Tadm

T T T

T

eT

W R R RI

RR

RRR R

θλ λ λ

λ λλ λ

Δ − + + += =

+ + + + + +⎡ ⎤⎣ ⎦+ + ⋅+ +

( )'1 1 2 3

1 1 23

1 2

4

4

0,5(1 )

1

adm t T T T

T TW T

T

T

W R R RR RR R

R

R

θλ

λ λ

Δ − + + += =

⎡ ⎤+ +⋅ + +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

'

fR

fR

unde: ( )21

1 λλ ++=eW

RR este rezistenţa echivalentă de pierderi (în conductor, manta şi în armături metalice) .

( )( )

' '1 4

4

(5.28)adm t fadm

W

T

Tf

W RI

R RR

RθΔ − +

=⋅ +

În expresia (5.27) curentului Iadm, se înmulţeşte şi împarte numitorul cu (1+λ1+ λ2):

wR

12

23

32150

TTTfRRRR ++= ,'

( )3

21

211

11

T

TT

fRRRR +

++++

=λλλ

Rezistenţele termice fictive alecablului, în [grd.cm/W]

Schema electrică echivalentă,

Dacă se neglijează pierderile în dielectric (cazul cablului demedie tensiune) se obţine:

' 1 0tW ≈

( )4

(5.29)W f TR

IR R

θΔ=

+

θΔ

W1t

W1t

Rf R f’ RT 4Rf

’’ ’

Fig. 5.10

24

Schema electrică echivalentă pentru cablul de medie tensiune

Determinarea constantelor fizice interne

• Rezistenţa electrică echivalentă pe faza RW

( ),

2,

t NW

adm N

WR

I= , ,unde şi sunt

date de fabrica constructoare,pentru o stare normată.

t N adm NW I

θΔ

W1tRf R T4

Fig. 5.11

13

25

• Rezistenţa termică fictivă Rf

( ),2

4,

adm Na

Ndm

TW f

IR R R

Δ=

+

θ

Rezultă:,

,4,

adm Nf

tN

NTR

WR

θΔ+ =

4,

,,

admT N

Nf

t N

RW

RΔ

= −θ

adm, NSe stabileşte egalitatea în funcţie de I din relatia (5.30) si (5.31):

( ) 4

2

, ,,Se cunosc (5.30) şi (pentru un anumit sol);t N W ad T Nm NW R I R=

( ), ,2

4,

,

t N adm Nadm N

W f TW N

WI

R R R RθΔ

= =+

⇓

(5.31)

(5.32)

26

Determinarea Imax pentru alte condiţii de pozare. Pentru o altă RT4, sau alte diferenţe de temperatura Δθ se obţine

( )4max

W Tf

IR R R

Δ=

+θ

4,T NR

După egalarea termenilor din membrul stâng al ecuatiilor (5.34’) şi (5.34’’)

( ) ( )4,, 4T Nt N f t TfW R W RR R+ = +

2şi după înlocuirea , rezultăt WW R I=

4,

4

f NN

Tf

TRI

RRR

I+

=+

Astfel:

(i) Dacă se admite că pentru o stare oarecare Δθ = ΔθN şi se cunosc IN şi

( ), 4,t N f T N NW R R+ = Δθpentru o altă stare a solului

( )4t f T NW R R+ = Δθ4TR

(5.33)

(5.34’)

(5.34”)

(5.35)

14

27

(ii) În cazul unei căderi de temperatură Δθ ΔθN, dar pentru condiţii depozare normată RT4=RT4, N se pot scrie relaţiile:

( )( )

4,

4,

,t N f N

t

T N

Tf N

W R

W R

R

R

θ

θ

⎧ + = Δ⎪⎨

+ = Δ⎪⎩

( )( )

4,

4

2

2,

W N f N

W f

T N

T N

R

R

R I R

R I R

θ

θ

⎧ + = Δ⎪⎨

+ = Δ⎪⎩

NN

I I Δ=

Δθθ

sau:

≠

( )( )4, 2 2T N

NW f

N

R RRII

θ θΔ Δ+ = =

de unde egalitatea

⇓

(5.36)

28

Calculul rezistenţei termice externe RT4 a pământului (Extras)

4

Pentru 10, se poate folosi expresia rezistentei termice externe RT4 a pamântului

2ln (5.37)2

fiind rezistivitatea termică a solului :50 . ol cu umiditate normală

e

T

caT

blu

T

h r

hr

gr

R

d cm W s

ρπ

ρ

>

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠−

100...180 . oluri nisipoase.grd cm W s−

Această relaţie este analoagă cu cea din electrostatică, când sefoloseşte metoda imaginilor pentru calculul coeficienţilor de influenţă.

2rcablu

h

Fig. 5.12

15

29

42 22,3lg 0,366 lg (5.38)

6,28T

Tcablu cablu

T rR h h

rρ ρ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Rezistenţa termică între cele două surse de căldură aşezate simetric în raport cu solul

Cazul a două surse de căldură aşezate simetric în raport cu solul

h

h

2h

+Wt

-Wt

cab lu

( ) ( )S urse se că ldură cu r h .

t tW ş i W+ −

Fig. 5.13

30

Rezistenţa termică echivalentă în cazul a două cabluri pozate în sol

Analogia între metoda imaginilor electrice şi cazul surselor termice se poate extinde pentru cazul unui grup de cabluri.

4,12

cablu

Rezistenţa termică mutuală:'ln

2unde s' este distanţa între imaginea cablului 1 şi cablul 2.

s distanţa între cablurile montate în sol, cu s > d .

TT

sRs

ρπ

=

Pentru o încărcare egală a celor două cabluri, expresia rezistenţei echivalente este:

4,2 ' 2 'ln ln ln (5.39)

2 2 2T T T

T echivcablu cablu

h s h sRr s r s

ρ ρ ρπ π π

⎛ ⎞= + = ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

1’2’

1

2

h1

h1

h2

h2

s’

s

Fig. 5.14

16

31

Rezistenţa termică echivalentă în cazul a trei cabluri pozate în paralel

2h

2 1 3

1’2’ 3’

d12 d13

'12D

Determinarea supratemperaturii unui cablu (1) din grup, faţă de temperatura solului, produsă de celelalte două cabluri (2 şi 3)

( ) 4(1,1) (1) 4(1,2) (2) 4(1,3) (3)1 (5.40)a T t T t T tR W R W R WθΔ = + +

Fig. 5.15

32

Dacă cele 3 cabluri sunt încărcate în mod egal:

(1) (2) (3)t t t tW W W W= = =

, 4(1,1) 4(1,2)2a echiv T T tR R Wθ ⎡ ⎤Δ = +⎣ ⎦

4,T echivR

2'12

4,12

2ln ln2 2

T TT echiv

cablu

DhRr d

ρ ρπ π

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟

⎝ ⎠

2'12

4,12

2ln (5.41)2

TT echiv

cablu

DhRr d

ρπ

⎡ ⎤⎛ ⎞= ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

din (21) se obţine:

respectiv

Rezistenţa termică echivalentă a solului:

17

33

Supratemperatura suprafeţei cablului în raport cu temperatura solului este:

( ) ( )2 2 2'1212

, 212 12

22 2ln ln2 2

T Ta echiv t t

cablu cablu

h dDh hW Wr d r d

ρ ρθπ π

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎛ ⎞Δ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

sau

2 212

, 212

42ln (5.42)2

Ta echiv t

cablu

h dhWr d

ρθπ

⎡ ⎤+Δ = ⋅ ⋅⎢ ⎥

⎣ ⎦