Curs Metode Numerice

7/25/2019 Curs Metode Numerice

1/49

1

MODELARE NUMERICA SI SIMULARE IN OPTOELECTRONICA

Metode numerice de procesare a campului electromagnetic cu ajutorul

diferenelor finite i a straturilor absorbante

Forma diferentiala a ecuatiilor lui Maxwell

Ecuatiile lui Maxwell descriu evolutia campului electromagnetic in diferite medii de

propagare. Forma diferentiala a ecuatiilor lui Maxwell se defineste prin

t

BE , (1)

care exprima legea lui Faraday pentru inductia electromagnetica, si prin

t

D J , (2)

care exprima legea lui Ampere pentru un circuit electric. Determinarea solutiilor sistemului (1) +

(2) de ecuatii Maxwell se face in functie de proprietatile de material ale mediului in care se

propaga campul electromagnetic studiat si de conditiile initiale si/sau la limita impuse de

problema studiata. Proprietatile de material ale mediului de propagare la care ne-am referit mai

devreme sunt descrise prin intermediul urmatoarelor doua ecuatii constitutive

D E , unde 0r , (3)

B H , unde 0r . (4)


2/49

2

Simbolurile introduse mai devrema au urmatoarele semnificatii si unitati de masura

fizice :

B reprezinta fluxul magnetic si se masoara in Vs/m2

;

D reprezinta fluxul dielectric (deplasarea electrica) si se masoara in As/ m2

;

E reprezinta intensitatea campului electric si se masoara in V/m ;

H reprezinta intensitatea campului magnetic si se masoara in A/m ;

J reprezinta densitatea curentului produs de sarcinile libere ( J E , unde reprezinta

conductivitatea specifica a mediului de propagare) si se masoara in A/m2

;

0 reprezinta permitivitatea electrica a vidului si se masoara in As/Vm ;

r reprezinta permitivitatea relativa si depinde de mediul in care se propaga undele

electromagnetice ;

0 reprezinta permeabilitatea magnetica a vidului si se masoara in Vs/Am ;

r reprezinta permeabilitatea relativa si depinde de mediul in care se propaga undele

electromagnetice.

Observatie:Prin intermediul ecuatiei de continuitate

t

J , (5)

din cele doua ecuatii ale sistemului lui Maxwell prezentat mai sus se poate deduce ca

0 B , (6)

relatie care exprima inexistenta polilor magnetici liberi, si

D , (7)

unde reprezinta densitatea sarcinilor libere, relatie care exprima legea lui Gauss.

Aplicand ecuatiilor (1) si (2) ale sistemului lui Maxwell transformata Fourier obinem


3/49

3

j E B , (8)

j J . (9)

Observatie:Sistemul (1) + (2) determina campul electromagnetic in spatiul timp, iar sistemul

(8) + (9) determina campul electromagnetic in spatiul frecventelor.

Discretizarea ecuatiilor lui Maxwell

Atunci cand discretizam campul electrc E in raport cu o retea de puncte in care spatiul si

timpul sunt esantionate prin subdiviziuni uniforme, pentru precizarea valorilor luiEin aceste

puncte adoptam notatia

, , , , ,n

i j k i x j y k z n t E E . (10)

In cazul campului magnetic Hprocedam in mod asemanator

, , , , ,n

i j k i x j y k z n t H H . (11)

De exemplu, tratand sistemul pamant-ionosfera (prezentat in figura 1) ca pe un imens

ghid de unde putem discretiza parametrii de material care intra in compozitia acestui ghid ca si

campul electromagnetic care se propaga prin el dupa o retea de puncte ca cea sugerata in figura

2.


4/49

4

Figura 1. Sistemul ionosfera-pamant.

Figura 2. Discretizarea sistemului ionosfera-pamant.

Discretizarea ecuatiilor lui Maxwell impune gasirea unei metode de discretizare a

derivatelor partiale ale componentelor ce alcatuiesc campul electromagnetic. Folosind aceste

conventii de scriere, formulele de aproximare ale derivatelor partialet

E,

x

E,

y

E,

z

E, prin

metoda difrerentelor finite, au urmatoarele expresii

1

, , , , , , , ,

0lim

t t t n n

i j k i j k i j k i j k

tt t t

E E E EE, (12)

Pamant

Ionosfera

60 km

40 km

Antena

Pamant

Ionosfera

60 km

40 km

Antena


5/49

5

, , , , 1, , , ,

0lim

n n n n

x x j k x j k i j k i j k

xx x x

E E E EE, (13)

, , , , , 1, , ,

0lim

n n n n

i y y k i y k i j k i j k

yy y y

E E E EE , (14)

, , , , , , 1 , ,

0lim

n n n n

i j z z i j z i j k i j k

zz z z

E E E EE. (15)

Observatie:Daca in relatiile (12)(15) inlocuim campul E cu campul H obtinem fara nici un

efort formulele de aproximare ale derivatelor partialet

H,

x

H,

y

H,

z

H.

Algoritmul lui Yee de aproximare a solutiilor sistemului lui Maxwell

Algoritmul lui Yee a fost special conceput pentru a servi la rezolvarea numerica a

diferitelor probleme ridicate de simularea virtuala a unor procese de fizice greu reproductibile in

laborator dar care pot fi complet descrise cu ajutorul ecuatiilor lui Maxwell. Pentru aproximarea

derivatelor partiale din componenta ecuatiilor lui Maxwell algoritmul lui Yee se folosese de

metoda elementului finit. Marele avantaji al acestui algoritm consta in modul de definire al

retelelor de discretizare a ecuatiilor lui Maxwell care are proprietatea de a reduce substantial

cantitatea de memorie RAM necesara pentru ca procesul de calcul sa poata fi asistat de

calculator. In domeniul timp, campurile E si H sunt esantionate dupa o retea de celule Yee.

Intr-o celula Yee (vezi figura 3) campurile electric si magnetic sunt diferentiate in spatiu si timp,

esantionarea facanduse la jumatatea intervalelor spatiale si temporale.


6/49

6

Figura 3. a) O celula Yee. b) O fata a unei celule Yee.

In continuare consideram ca mediul in care ne desfasuram experimentul este izotropic in

raport cu componenta electrica, avand permitivitatea , este omogen in raport cu componenta

magnetica, avand permeabilitatea egala cu permeabilitatea0

a vidului si are conductivitatea

descrisa prin tensorul

11 12 13

21 22 23

31 32 33

.

Pentru aproximarea lui E si H din ecuatiile lui Maxwell

t

t

BE

D J

J E

, (M 1)

ca functii spatio-temporale, definim o retea de celule Yee convenabila in raport cu care

descretizam apoi aceste ecuatii prin metoda elementului finit prezentata mai devreme.


7/49

7

Considerand reteaua definita prin 4, , ,

, , ,i j k n

i x j y k z n t

sistemul de ecuatii al lui Maxwell

se discretizeaza dupa cum urmeaza

(16)

(17)

(18)


8/49

8

(19)

(20)


9/49

9

(21)

(22)

(23)


10/49

10

(24)

Relatiile tocmai gasite permit determinarea recurisva a evolutiei in timp a campului

electromagnetic. Intr-adevar, cunoscand campurile Hsi Jla momentul n- 0.5 si campul electric

Ela momentul n, din ecuatiile (16)(18) putem determina campul magnetic Hla momentul n+

0,5, iar din ecuatiile (19) (21) putem determina campul J la momentul n + 0,5. Folosind

rezultatele obtinute, putem determina apoi campul E la momentul n + 1. Dupa parcurgerea

acestor etape, procesul poate fi reluat pentru Hsi Jcunoscute la momentul n + 0.5 si Ecunoscut

la momentul n+ 1.

Pentru aproximarea lui E si H din sistemul

j

j

E B

J

J E

, (M 2)

(transformatele Fourier ale ecuatiile lui Maxwell) ca functii in domeniul frecventelor, definim o

retea de celule Yee convenabila in raport cu care descretizam apoi aceste ecuatii prin metoda

elementului finit prezentata mai devreme. Considerand reteaua definita prin

3, ,

, ,i j k

i x j y k z

sistemul de ecuatii al lui Maxwell se discretizeaza dupa cum urmeaza

(25)


11/49

11

(26)

(27)

(28)

(29)


12/49

12

(30)

(31)

(32)

(33)

In cazul sistemului actual, ca si in cazul sistemului (16) (24), necunoscutele sunt componentele

campurilor H si J la momentul n + 0.5 si componentele campului E la momentul n + 1,

considerandu-se cunoscute toate componentele campurilor Hsi Jla momentul n- 0.5 precum si


13/49

13

toate componentele campului Ela momentul n, dar spre deosebire de sistemul (16) (24) care

permite determinarea campurilor H, J si Ein doua etape: mai intai Hsi Jsi apoi E, sistemul (25)

(33) nu poate fi rezolvat prin explicitarea succesiva a necunoscutelor sale ci numai pintr-o

abordare globala.

Conditii la limita absorbante

In multe situatii regiunea spatiala in care dorim sa modelam un fenomen optoelectronic

este nemarginita in cel putin o directie. De exemplu in cazul ghidului de unda natural pamant-

ionosfera regiunea in care trebuie sa modelam este nemarginita pe orizontala. Alt exemplu

(ilustrat in figura 4 a)) este dat de o antena dipol care emite intr-un spatiu omogen nemarginit.

Datorita constrangerilor impuse de duratele de functionare si de capacitatile de memorie ale

tehnologiilor de calcul folosite - care sunt limitate, va trebui sa trunchem zona de manifestare a

procesului studiat astfel incat determinarea acestuia sa se faca numai intr-o zona de interes

marginita. In cazul figurii 4 b) aceasta zona este demarcata de dreptunchiul punctat. In aceasta

figura mediul care inconjoara dreptunghiul punctat trebuie sa absoarba undele incidente la

laturile acestui dreptunghi astfel incat campul electromagnetic modelat sa se comporte identic

cazului in care experimentl s-ar face intr-un mediu nemarginit.

Materialul folosit la truncherea zonei de interes se numeste nivel (strat) perfect adaptat.

Ideea unei astfel de tehnici de modelare locala a campului electromagnetic a fost introdusa in

1994 de catre Berenger, Chew si Weedon.

Indiferent de metoda de lucru folosita (rezolvarea sistemului lui Maxwell in domeniul

timp sau in domeniul frecventelor) si de tipul stratului absorbant folosit, acesta reflecta totusi o

parte din undele care il ating (procentul undelor reflectate depinde de tipul undelor incidente).

Optimizarea straturilor absorbante constituie inca un subiect de interes pentru cercetatori.


14/49

14

a) b)

Figura 4. a) Domeniu infinit. b) Domeniu marginit prin introducerea de conditii la limita

absorbante.

Aproximarea campului electromagnetic prin metoda PML (Perfectly Matched Layer)

In cazul folosirii conditiilor la limita absorbante ecuatiile lui Maxwell pentru domeniul

frecventelor au urmatoarele expresii

(34)

unde

(35)

Stratul perfect adaptat (conditii la

limita absorbante)


15/49

15

, ,x y zg j g j g j , reprezentand un set de trei functii de variabila complexa dependente

de frecventa, iar , ,x y za a a , versorii axelor de coordonate. Undele plane care verifica sistemul

(34) au forma

(36)

unde este permitivitatea mediului (care poate fi si izotropic) in care se propaga unda,0

este

permeabilitatea vidului, este conductivitatea electrica a mediului si poate fi un tensor, keste

numarul de unda care poate fi functie de , , . Semnificatie ultimilor trei parametrii este

urmatoarea : reprezinta frecventa radiala a undeli emergente, este unghiul dintre directia de

propagare a undei si axa Oz, iar este unghiul azimutal al directiei de propagare a undei

unghiul dintre proiectia acestei directii pe planul Oxy si axa Ox .

Este simplu de observat ca in cazul 0x y zg j g j g j sistemul (36) se

reduce la forma traditionala a ecuatiilor lui Maxwell, iar expresia (36) la o unda plana standard.

De asemenea se poate observa usor ca unda plana furnizata de sistemul (34) difera de unda plana

furnizata de ecuatiile (8) si (9) prin factorul exponential

care are rolul de a ajusta disiparile produse de utilizarea metodei PML (utilizarii conditiilor la

limita absorbante). Diferitele impedante (exprimate prin rapoarte de forma x

y

E

H, etc.) care se pot

forma cu ajutorul componentelor campului electromagnetic furnizat de sistemul (34) sunt

identice cu cele care se pot forma cu ajutorul componentelor campului electromagnetic furnizat

de sistemul (M 2).

Figura 5 ilustreaza relatiile pe care trebuie sa le verifice functiile x xg g j si

y yg g j in cazul 2-dimensional pentru asigurarea conditiilor la limita absorbante : adica a


16/49

16

conditiilor de ne-reflexie a undelor plane incidente la interfetele stratului absorbant care

inconjoara zona de interes indiferent de unghiul de incidenta.

Figura 5. Conditii la limita absorbante.

Observatie: Pentru evitarea in continuare a folosirii tehnicii de splitare a campului

electromagnetic rescriem operatorul (35) sub forma

(37)

Daca vom considera


17/49

17

unde , ,x y z sunt trei constante reale pozitive, operatorul PML (utilizabil in domeniul

frecventelor) poate fi adus (pentru utilizare in domeniul timp) la forma

(38)

unde reprezinta produsul de convolutie iar functia u se defineste prin 0u t , daca 0x

si 1u t , daca 0x . Operatorul (38) implica cate un produs de convolutie dintre o functie

care descreste exponential la 0 si derivatele partiele ale componentelor campului

electromagnetic. Acest operator poate fi aplicat campurilor care se propaga in medii liniare

indiferent daca aceste medii sunt izotrope sau anizotrope. Datorita proprietatilor de liniaritate

ecuatiile (1) si (2) pot fi rescrise cu ajutorul operatorului (38) sub forma

(39)

unde


18/49

18

(40)

expresia cantitatii PML E obtinanduse din relatia de mai sus prin simpla inlocuire a

campului magnetic Hcu campul electric E.

Produsele de convolutie care apar in ecuatiile (39) pot fi eficient calculate utilizand

tehnica liniar-recursiva de calcul pe portiuni a produselor de convolutie dezvoltata de Kelley si

Luebbers in 1996.

Pentru mediile dispersive mai complicate, precum plasmele magnetizate, metoda

dezvoltata anterior prin utilizarea operatorului (38) nu asigura obtinerea unor coeficienti de

reflexie adegvati pentru benzile de frecvente dorite. Pentru a iesi din acest impas va trebui ca in

exprimarea functiilor , ,x y zg j g j g j sa folosim mai multi termeni. In mod concret

noi vom considera ca

1 1 1

1 1 11 , 1 , 1

1 1 1

N N Nyn ynxn xn zn zn

n n nx xn y yn z zn

bb b

g j j g j j g j j

. (41)

In aceste conditii noul operator PML se va scrie

(42)


19/49

19

Prin utilizarea acestui nou operator cantitatea PML H devine

(43)

In relatiile de mai sus s-a aplicat operatorul parte rela termenilor care pot lua valori complexe

pentru ca procesul de calcul al produselor de convolutie sa solicite cat mai putina memorie RAM

din partea unitatii de calcul folosite. Cantitatea PML se exprima pintr-o relatie

asemanatoare celei de mai sus cu deosebirea ca in locul componentelor campului magnetic vor

apare componntele campului electric.

Observatie:Dezavantajele folosirii noului operator constau in majorarea volumului de calcul pe

care il impune. De exemplu, pentru evaluarea relatiei (43) numarul produselor de convolutie care

trebuiesc evaluate este de N ori mai mare decat cele necesare pentru evaluarea relatiei (40).

Aplicatie

Simulam fenomenul de propagare a undelor emise de o antena care produce un semnal

sinusoidal. In acest sens ni se dau locul in care este situata antena si campul electric produs deaceasta antena in timp. Pentru a simplifica modelul matematic al acestei probleme vom considera

ca ne situam in cazul tranzversal electromagnetic1, adica in cazul undelor plane. Daca o unda de

1Modul transversal de polarizare a luminii admite mai multe tipuri de clasificari:

Modul transversal electric, sau modul TE (Transverse electric) se caracterizeaza prin

absenta campului electric in directia de propagare a undei. Acest mod se mai numeste


20/49

20

acest tip se propaga paralel cu axa 0x atunci 0x zE E , 0x yH H . Dupa cum este normal,

vom presupune ca antena emite in atmosfera, dar pentru a ne apropia cat mai mult de conditiile

unei situatii reale, vom considera de asemenea ca in drumul ei unda va strabate si un mediudielectric.

Ipoteze de lucru

Pentru simplificarea calculelor vom considera parametrii constitutivi ai atmosferei

(spatiul in care transmite antena) egali cu cei ai vidului, adica 120 8,854185 10 F/m ,

9

0 400 10 H/m . Din acelasi motiv vom presupune ca dielectricul considerat in problema

nu are proprietati magnetice, adica 0d . In ceea ce priveste permitivitatea electrica a

dielectricului vom presupune ca este de 4 ori mai mare decat cea a vidului, adica 04d .

Caracteristicile tehnice ale antenei pe care urmeaza sa o studiem sunt sisntetizate in faptulca impulsurile emise de catre aceasta sunt descrise de ecuatia 0 0, sinyE x t E t , unde

0

2c

, 0 500nm .

adesea si modul H deoarece de-a lungul directei de propagare a undei apare numaicampul magnetic .

Modul transversal magnetic, sau modul TM(Transverse Magnetic)se caracterizeaza prin

absenta campului magnetic in directia de propagare a undei. Acest mod se mai numeste simodulE deoarece de-a lungul directei de propagare a undei apare numai campul electric.

Modul transversal electromagnetic, sau modul TEM (Transverse electromagnetic) se

caracterizeaza prin absenta atat a campului electric cat si a campului magnetic in directia

de propagare a undei.

Modul hibrid se caracterizeaza prin prezenta atat a campului electric cat si a celui

magnetic (ambele sunt considerate nenule) in directia de propagare a undei.

Dupa unii autori se considera ca directia de polarizare a unei unde electromagnetice este

data de directia campului magnetic, iar planul de polarizare este planul definit de directia de

propagare a undei si de directia campului magnetic.

Alt mod de a defini modul TE si modul TM: Consideram o unda electromagneticaarmonica in timp care se propaga pintr-un mediu multistratificat. n cazul special in care undaeste liniar polarizata dupa campul electric perpendicular pe planul de incidenta spunem ca unda

este polarizata transversal electric, iar atunci cand unda este liniar polarizata dupa campul sau

magnetic perpendicular pe planul de incidenta vom spune ca unda este polarizata transversal

magnetic. Orice unda plan polarizata poate fi descompusa in doua unde, una Te si alta TM.


21/49

21

Modelul matematic

Fata de datele problemei, fenomenul pe care dorim sa il simulam este modelat matematic

prin urmatorul sistem de ecuatii Maxwell

t

HE ,

t

EH , (44)

unde si vor lua dupa caz valorile 0 0, , ,d d ,respectiv, 0 0, .

Cum in cazul pe care il studiem 0x zE E , 0x yH H , sistemul (44) se transcrie

,y yz z

E EH H

x t x t

. (45)

Prin substitutii simple, sistemul de ecuatii (45) poate fi adus la forma

2 2 2 2

2 2 2 20, 0y y

z z

E E H H

x t x t

. (46)

ntr-adevar, derivnd n raport cu x prima ecuaie a setului (45), obinem2 2 2 22

2 2 2 2 0

y y y yzE E E EH

x x t t x t

. Analog, derivnd n raport cu x cea de a

doua ecuaie a setului (45), obinem2 2 2 2 2

2 2 2 2 0z z z z z

H H H H H

x x t t x t

.

Solutia generala complexificata a ecuaiei (46a) este de forma

, j tyE x t E x e , 1 2

x xE x C e C e , (47)


22/49

22

unde1

C si2

C sunt doua constante de integrare arbitrare, iar j . Impunnd condiia ca

partea reala a acestei soluii s verificecondiiala limit 0 0, sin , 0yE x t E t t , obinem

02 1

02sin

EC C

x , unde . Astfel partea real a functiei

1 2, x x j t yE x t C e C e e ,

verifica verifica atat ecuatia (46a) cat si relatia

0 0, sin , 0yE x t E t t .

Ecuatia (46b) fiind identica cu ecuatia (46a) va admite ca solutie generala o expresie de

forma

, j t

zH x t H x e

, 1 2x x

H x D e D e

, (48)

unde la fel ca mai devreme,1

D si2

D sunt doua constante de integrare arbitrare, iar j .

Pentru a stabili legatura dintre cele doua componente yE si zH ale campului electric si magnetic

va trebui s introducem expresiile acestora in sistemul (45). Ca rezultat obtinem

1 2 1 2x x j t x x j tC e C e e j D e D e e , de unde prin identificare gasim

1 2

1 2

,C C

D D

. (50)

Observatii: 1) Cum 02 102sin

EC C

x , datorit relatiilor (50) deducem ca nici coeficenii

1D si 2D nu sunt independenti unul fata de celalat, chiar daca campului magnetic nu i se impune,

aparent, nici o constrangere.

2) Perechea 1 1, , ,x j t x j t

y zE x t C e e H x t D e e caracterizeaza o unda care se deplaseaza

paralel cu axa 0x catre dreapta, iar perechea 2 2, , ,x j t x j t

y zE x t C e e H x t D e e , o unda

care se deplaseaza paralel cu aceeasi directie, dar catre stanga.

3) Dupa cum se stie impedanta mediului in care se propaga o unda transversal electromagnetica

ca cea analizata de noi se defineste prin relatiay

z

EZ

H . Astfel (datorita relatiilor (50)) in cazul


23/49

23

unei unde care se deplaseaza catre dreapta, impedanta mediului este egala cu

, iar in cazul

unei unde care se deplaseaza catre stanga, cu

.

Folosind rezultatele obtinute pana in prezent putem concluziona ca in fiecare din cele

patru regiuni ale figurii alaturate campul electromagnetic emis de antena este exprimat analitic

prin urmatoarele relatii :

1 1, , ,x j t x j t

y zE x t C e e H x t D e e , in regiunea 1;

2 2, , ,x j t x j t


3 3, , ,x j t x j t


4 4, , ,x j t x j t

y zE x t C e e H x t D e e , in regiunea 4.

Figura 5.

Legatura dintre cele partu randuri de solutii se facre prin intermediul relatiilor de

continuitate care trebuiesc satisfacute la nivelul fiecarei interfete de separatie de catre perechile

adiacente de solutii. Pentru a stabili aceste laegaturi analizam cazul unei unde electromagnetice

care se propaga dintr-un mediu in altul ca in figura de mai jos.


24/49

24

Figura 6.

Conditiile de continuitate la nivelul interfetei de separatie dintre mediile 1 si 2 sunt

,yi yr yt zi zr ztE E E H H H . (51)

Efectuand notatiileyi

i

zi

EZ

H , yr r

zr

EZ

H , yt t

zt

EZ

H si observand ca r iZ Z , in virtutea relatiilor

(51) putem determina coeficientii de transmitanta

2yt t

yi t i

E Z

E Z Z

, (52)

si de reflectanta

yr t i

yi t i

E Z Z

E Z Z

, (53)

ai undei emergente. ntr-adevar, sistemul (51) se transforma mai intai in sistemul

, yi yr yt

yi yr yt

i r t

E E EE E E

Z Z Z , iar apoi in sistemul

11 ,

yr yt

yr yt yi yi

yi yi i r t

E E

E E E E

E E Z Z Z . Folosind

notatiile yt

yi

E

E ,

yr

yi

E

E , ultimul dintre aceste sisteme devine 11 ,

i r tZ Z Z . Tinand

seama de faptul ca r iZ Z , acest ultim sistem ne furnizeaza solutia (52) si (53).

Observatie: Este usor de constatat ca 1 .


25/49

25

Abordarea numerica a problemei

Alegand ca domeniu de integrare produsul cartezian 0, 0,L T , ecuatiile (45) pot fi

discretizate prin intermediul urmatoarelor relatii de recurenta

0.5 0.5

0.5 0.5 1

1 0.5 0.5

0.5 0.5

1,

1,

, ,

n n n n

z i z i x i x i

i

n n n n

x i x i z i z i

i

tH H E E

x

tE E H H

x

i n

(54)

unde axa 0x a fost esantionata in punctele ,ix i x i , semiaxa pozitiva [0ta fost esantionata

in punctele ,nt n t n , paii celor doua diviziuni fiind alesi astfel incat conditia de

stabilitate Couran-Friedrichs-Lewy :

t1

xc

, (55)

sa fie satisfacuta, iar

, 0.5 ,i ii x i x i .

Interdependenta dintre cele doua relatii de recurenta (54) este ilustrata in figura 7 prezentata mai

jos. Pentru a vizualiza mai bine acest lucru rescriem relatiile (54) sub forma

0.5 0.5 1 0.5 0.5

0.5 0.5 1 0.5 0.5, , , , , , ,n n n n n n n n

z i z i x i x i x i x i z i z iH f H E E E g E H H i n

.


26/49

26

Figura 7.

Observaie:n figura de mai sus cerculeul abstractizeaz valoarea cmpului electric n punctul

de coordonate ,t x n care este reprezentat, iar patraelul, valoarea cmpului magnetic,

calculat de asemenea n punctul de coordonate ,t x .

Datorita faptului ca cele doua relatii de recurenta (54) sunt indexate dupa multimile

nemarginite si , folosirea lor in practica este imposibila. Obsevam totusi ca daca am

considera ca in afara unui interval marginit al axei 0x campul magnetic este nul la orice moemnt

de timp atunci relatiile de recurenta (54) ar putea furniza informatiile necesare procesarii

fenomenului care ne intereseaza in interiorul acelui interval. Pentru a fixa ideile sa consideram ca

zona spatio-temporala de interes pentru simularea unui anumit proces electromagnetic este

delimitata de produsul cartezian 0, 0,L T . Consideram ca intervalul 0,L este impartit in

0M subintervale de lungime x si ca intervalul 0,T este impartit in 0N subintervale de

lungime t astfel incat conditia de stabilitate (55) sa fie satisfacuta. In aceste conditii urmarind

diagrama din figura 7 putem observa cu usurinta ca in ipotezele


27/49

27

0.5 , 0.5 , 0, 0z zH x t H M x t t , (56)

0 0, sin , 0yE x t E t t , (56)

relatiile de recurenta (54) pot fi folosite pentru aproximarea solutiei sistemului (45) situata in

domeniul 0, 0,L T .

Yee a propus pentru asigurarea conditiilor (56) considerarea de o parte si de alta a

segmentului 0,L a cate unei regiuni, ca cele prezentate in figura 8, nereflectante cu

proprietatea de absortie a campului electromagnetic.

Figura 8.

Pentru modelarea matematica a probelemelor ridicate de determainarea parametrilor

constitutivi ai celor doua medii absorbante care incadreaza regiunea noastra de interes, ecuatiile

(45) trebuiesc inlocuite prin ecuatiile

,

y yz z

y

E EH H

Ex t x t

, (57)

unde conductivitatea electrica introdusa are menirea de a face ca mediul in care se propaga

undele electromagnetice sa fie cu pierderi (energia de propagare a undei electromagnetice sa fie

transformata in caldura).

Regiunea 1Regi-unea 2 Regiunea 3 Regiunea 4 Regiunea 5


28/49

28

Ca si mai devreme ecuatiile sistemului (57) se pot aduce la forma explicita

2 22 2

2 2 2 2,

y y yz z z E E EH H H

x t t x t t

. (58)

De asemenea se poate arata ca solutiile generale complexificate ale celor doua ecuatii (58) avand

respectiv formele , j tzH x t H x e si , j tyE x t E x e

sunt date de relatiile

1 2x xE x C e C e , 1 2

x xH x D e D e (59)

unde1

C ,2C , 1D , si 2D sunt constante de integrare arbitrare, iar

2 2 j j . (60)

Deoarece perechea 1 1, , ,x j t x j t

y zE x t C e e H x t D e e caracterizeaza o unda care se

deplaseaza paralel cu axa 0x catre dreapta, iar 2 2, , ,x j t x j t

y zE x t C e e H x t D e e , o unda

care se deplaseaza paralel cu aceeasi directie, dar catre stanga, in virtutea rezultatelor obtinute

mai devreme putem concluziona ca in fiecare din cele cinci regiuni ale figurii 8 campul

electromagnetic emis de antena este exprimat analitic prin urmatoarele relatii:

1 1, , ,x j t x j t

y zE x t C e e H x t D e e , in regiunea 1 ;

2 2, , ,x j t x j t


3 3, , ,x j t x j t


4 4, , ,x j t x j t

y zE x t C e e H x t D e e

, in regiunea 4 ;

5 5, , ,x j t x j t

y zE x t C e e H x t D e e , in regiunea 5.

Ca si mai devreme, legatura dintre cele cinci randuri de solutii se facre prin intermediul

relatiilor de continuitate care trebuiesc satisfacute la nivelul fiecarei interfete de separatie de


29/49

29

catre perechile adiacente de solutii. Efectuand notatiileyi

i

zi

EZ

H , yr r

zr

EZ

H , yt t

zt

EZ

H si

observand ca r iZ Z , in virtutea relatiilor (51) putem determina din nou coeficientii de

transmitanta

2yt t

yi t i

E Z

E Z Z

, (61)

si de reflectanta

yr t i

yi t i

E Z Z

E Z Z

, (62)

ai unei unde emergente intre doua regiuni adiacente. Diferenta intre formulele (52), (53) siformulele (61), (62) consta in expresiile diferite ale impedentelor care in situatia actuala au

valorile

2 2,ii i i i i ii

jZ j

,

r iZ Z , (63)

2 2,tt t t t t t t

jZ j

.

Precizare: In formulele (61) (63) este considerat cazul unei unde care se deplaseaza catre

dreapta din regiunea 3 in regiunea 4. In cazul unei unde care se deplaseaza catre stanga din

regiunea 2 in regiunea 1 relatiile (63) s-ar schimba in relatiile

2 2,ii i i i i i

i

jZ j

,

r iZ Z , (63)

2 2,tt t t t t t t

jZ j

.

Consideram acum ca ne situam in una dintre zonele delimitate de regiunile 1 si 2, sau de

regiunile 4 si 5. Pentru a evita distorsionarea solutiilor oferite de relatiile de recurenta (54)


30/49

30

punem conditia ca 0 (undele incidente pe interfata dintre regiunile 1 si 2, sau dintre

regiunile 4 si 5 sa nu fie reflectate inapoi). Aceasta conditie este echivalenta cu faptul ca

impedantele celor doua regiuni adiacente sunt egale intre ele, adica cu faptul ca i t

i t

.

Pentru asigurarea satisfacerii conditiilor (56) consideram ca mediul absorbant care ocupa

regiunea 1 sau regiunea 5 (in functie de alegerea cazului tratat) are conductanta electrica

t i . In aceasta situatie

2 1 2 2 1 2

2 2 2 22 1 2 1t t t i i

j j

, (64)

daca ne referim la zona delimitata de mediul situat in regiunea 1, sau

2 1 2 2 1 2

2 2 2 22 1 2 1t t t i i

j j

, (65)

daca ne referim la zona delimitata de mediul situat in regiunea 2.

Notand Re t si Im t , avem

1 1, , ,j x t j x tx x

y zE x t C e e H x t D e e , (65)

daca x apartine segmentului delimitat pe axa 0x de regiunea 1, sau

5 5

, , ,j x t j x tx x

y z

E x t C e e H x t D e e , (66)

daca x apartine segmentului delimitat pe axa 0x de regiunea 5.

In cazul primului strat absorbant, deoarece mediul din regiunea 2 este spatiul liber, avem


31/49

31

0 0

0

2 1 2 2 1

2 2

.

Astfel, daca luam0

22

2 1x

, atunci 4x , deci factorul 4 63,5 10xe e este

suficient de mic pentru a putea sa consideram campul electromagnetic nul in stanga primului

strat absorbant.

In cazul celui de al doilea strat absorbant, deoarece mediul din regiunea 4 este este

dielectricul de parametrii constitutivi 0 04 ,d d , avem

0 0

0

2 1 4 2 14

2 2

.

Astfel, daca luam 02

2 1x

, atunci 4x , deci factorul 4 63,5 10xe e este

suficient de mic pentru a putea sa consideram campul electromagnetic nul in dreapta ultimului

strat absorbant.

In lumina acestor constatari, daca consideram ca regiunea 1 se intinde de la 0x

la 02x , regiunea regiunea 2 de la 02x la 03x , regiunea 3 de la 03x la 06x ,

regiunea 4 de la 06x la08x , si regiunea 5 de la

08x la010x , atunci simularea

fenomenului de propagare al undelor electromagnetice emise de antena in cauza poate fi simulat

de-a lungul intervalului 0 03 , 8 prin metida diferentelor finite prezentata in acest paragraf.

Pentru o mai buna intelegere a modului in care aparatul teoretic prezentat mai devreme

poate fi utilizat in cadrul aplicatiilor pracitce vom prezenta in continuare liniile de comanda ale

programului Matlab destinat procesarii acestui fenomen.

Liniile de cod pentru simularea asistata de calculator a fenomenului studiat mai devreme

% Permitivitatea

function epsilon=permittivity(k,sx,lambda0,M)


32/49

32

epsilon0=8.854185*1e-12;

er1=4;

Dx=sx*lambda0;

x=k*Dx;

L=M*Dx;

if((x>=0)&(x2*lambda0)&(x


33/49

33

sigma=0;

elseif (x=(L-2*lambda0))

sigma=star2;

end

% Conductivitatea magnetica

function sigmastar=mconductivity(k,sx,lambda0,M)

epsilon0=8.854185*1e-12;

mu0=400*pi*1e-9;

Z0=sqrt(mu0/epsilon0);

Dx=sx*lambda0;

x=(k+0.5)*Dx;

L=M*Dx;

star=(2*pi/lambda0)*Z0;

if((x>2*lambda0)&(x


34/49

34

Dt=(st/c)*Dx;

E0=1;

m=150;

omega=beta0*c;

M=500;

N=4000;

E=zeros(1,M+1);

H=zeros(1,M+2);

for k=0:M

epsilon(k+1)=permittivitty(k,sx,lambda0,M);

ce(k+1)=1-Dt*econductuvity(k,sx,lambda0,M)/epsilon(k+1);

h(k+1)=1/epsilon(k+1);

end

h=h*Dt/Dx;

for k=0:(M-1)

mu(k+1)=permeability(k,sx,lambda0,M);

ch(k+1)=1-Dt*mconductivity(k,sx,lambda0,M)/mu(k+1);

e(k+1)=1/mu(k+1)

end

e=e*Dt/Dx;

for n=1:N

E(m+1)=E0*sin(omega*(n-1)*Dt);

H(2:M+1)=ch.*H(2:M+1)-e.*(E(2:M+1)-E(1:M));

E(1:M+1)=ce.*E(1:M+1)-h.*(H(2:M+2)-H(1:M+1));

E(m+1)=E0*sin(omega*n*Dt);

Ey(n,:)=E;

end

In figura 9 prezentm o secven a programului de simulare descris mai sus.


35/49

35

Figura 9.

Metode numerice de rezolvare a ecuatiilor lui Maxwell dependente de timp cu

ajutorul matricei exponeniale

Ecuatiile lui Maxwell descriu evolutia campului electromagnetic n spaiu si timp. Ele igsesc aplicaii n cadrul a diferite situaii fizice i joac un rol deosebit pentru foarte multe

dintre aplicaiile inginereti. n majoritatea cazurilor este nevoie ca ecuaiile lui Maxwell sa fierezolvate numeric. Una dintre cele mai cunoscute metode de rezolvare numerica a ecuaiilor luiMaxwell este cea a diferentelor finite pentru domeniul timp: FDTD (finite-difference time-

domain). Aceasta metoda foarte populara este flexibila, rapid i n acelai timp uor de aplicat.Metoda diferenelor finite pentru domeniul timp are ns i dezavantaje. Acestea constau nfaptul c aceast metod este puternic dependent de dimensiunea spaial a diviziunilor utilizatepentru discreditarea ecuaiilor i de numrul mare al pailor de integrare. Din aceste motive aufost cutate soluii alternative. n cele ce urmeaz vom prezenta o variant de ultimor care estefolosit pentru rezolvarea problemelor referitoare la ecuaiile lui Maxwell.

Algoritmul de integrare

Vom studia cazul ecuaiilor lui Maxwell pentru medii liniare, izotrope, nedispersive iconservative (nedisipative), adic


36/49

36

HE

t

EH

t

, (1)

unde , , , , , ,x y zt E t E t E t E E r r r r , , , , , , ,x y zr t H r t H r t H r t H H ,

r , r , x y z r i j k .

Proprietila fizice ale ecuaiilor lui Maxwell rezultate din forma simetrica a acestora pot fi

explicitate prin introducerea urmtoarelor cmpuri: , ,t tX r r H r ,

, ,t tY r r E r . Scriind

,, , , ,

,

TT

T

tt t t

t

X rZ r X r Y r

Y r, unde ,

T este

operatorul de transpoziie, ecuaiile lui Maxvell (1) devin

1 10

1 10

t

ZZ AZ , (2)

unde

1 10

1 10

A .

ntr-adevr,

,,, , , ,

, ,

TTT

T T

ttt t t

t t

r H rX rZ r X r Y r

Y r r E r;

,

,

T

T

tt

t t

t

H rrZ

E rr

;


37/49

37

1 1 10

1 1 10

T

T

TT

H

AZE

H

,

de unde

1 1,

t t

H E H ,

t t

H EE H .

n plus, matricea A are urmtoarea proprietete

1 10

1 1 0

T

A A .

Ecuaiei matriciale (2) i putem asocia sistemul

0

0

t

t

X

Y

. (3)

ntr-adevr,

0,

0.

t t t

t t t

HX H E

EY E H

Pentru o anumit diviziune a domeniului de definiie 3V , ecuaiile lui Maxwell (2)pot fi scrise sub forma

t

B , (4)

unde ,t r constituie o reprezentare a funciei , tZ Z r n punctele acelei diviziuni, iar

B reprezint analogul discret al matricei A . Soluia formal a ecuaiei (4) este dat de formula


38/49

38

, ,0 , ,0tt e t B r r U r r , (5)

unde , tt e BU r desemneaz matricea de evoluie temporal. Dac procedeul de discretizare

conserv simetriile fizice ale ecuaiilor lui Maxwell atunci matricea B este real i antisimetric

( T

B B ). Acest lucru implica faptul c , tU r este o matice ortogonal. Din punct de vederefizic, ortogonalitatea matricei ,tU r exprim conservarea energiei.

Spre deosebire de varianta tradiional de construire a algoritmilor de integrare anumeric a ecuaiilor lui Maxwell, expus in capitolul precedent, care datorit discretizriiderivatelor n raport cu timpul, asigura numai o stabilitate condiionat a acestora, utilizareasoluiei formal exacte (5) determinat in acest capitol, permite construirea unor algoritmi custabilitate necondiionat.

Problema aproximrii numerice a soluiei (5) este echivalent cu problema aproximrii

matricei exponeniale , tt e BU r pintr-o anumit matrice de evoluie , tU r . Dac

aproximarea ,tU r este ea insi o matrice ortogonal atunci 2

, 1t U r . Acest lucru

implic faptul c 22

, , 0 ,0t U r r r pentru orice condiie iniial ,0 r i orice

moment de timp t. n consecin algoritmul de integrare n raport cu timpul definit cu ajutorul

matricei ,tU r va fi necondiionat stabil prin construcie.

Formula de descompunere Suzuki

O metod sistematic de abordare a modului de construire al aproximaiilor matriceiexponeniale const n folosirea formulei lui Lie-Tratter-Suzuki

1 2

1

lim kp

mtp

tt m

mk

e e e

BB B BB. (6)

Dac pentru un 0

notm

11 , pe e

BBU r , (7)


39/49

39

atunci ecuaia (6) ne sugereaz c 1 ,m

U r poate constitui o bun aproximare pentru , tU r

dac este suficient de mic, iar m suficient de mare (se considert

m pentru o valoare a

parametrului m suficient de mare n raport cu intervalul de variaie al parametrului timp t).

Referitor la cazul care ne intereseaz aici, dac toate matricele , , ,1 2 pB B B sunt reale i

antisimetrice, 1 ,U r este ortogonal prin construcie, iar o schem numeric bazat pe ecuaia

(7) va fi necondiionat stabil. Pentru valori mici ale lui , eroarea

1 2, ,mt m U r U r se anuleaz odat cu i n consecin vom spune c 1 ,U r

este o aproximaie de primul ordin a matricei ,U r .

Formula (7) ne ofer o procedur simpl i eficient prin care matricea ,U r poate fi

aproximat cu acuratee fr a i se schimba simetriile fundamentale. De exemplu, matricea

1 1/ 2 /2/ 2 / 2

2 1 1, , ,2 2

p p

T

e e e e

B BB BU r U r U r , (8)

reprezint o aproximare de ordinul 2 a matricei ,U r . Mai mult, dac matricea 1 ,U r este

ortogonal atunci i matricea 2 ,U r va fi de asemenea ortogonal.

Metoda lui Suzuki de descompunere fractal furnizeaz o metod general de construcie

a aproximaiilor de ordin nalt pornind de la aproximaiile iniiale 1 ,U r sau 2 ,U r . O

aproximare de ordinul 4 foarte folositoare este dat de relaia

4 2 2 2 2 2, , , , 1 4 , ,a a a a a U r U r U r U r U r U r , (9)

unde1/3

1

4 4a

.

Algoritmul ntr-un pas

Ideeia pe care se bazeaz acest algoritm este aceea a aproximrii foarte precise a matriceiexponeniale cu un polinom de matrice. Se tie c valorile proprii ale unei matrice antisimetrice

H sunt numere pur imaginare. Fie1

/i C B B , unde1

max ijj

i

B B . Valorile proprii ale

matricei C vor aparine intervalului 1,1 . Exprimnd vectorul ,0 r , (care nglobeaz


40/49

40

valorile iniiale ale soluiei sistemului lui Maxwell) n raport cu vectorii proprii jv ai matricei

C , relaia (5) devine

, ,0 , ,0jiziz j jj

t e e

C r r v r v , (10)

unde1

z t B , iar j reprezint valorile proprii ale matricei C .

Observaii:Relaia (10) este o una formal. Nici valorile proprii j i nici vectorii proprii jv

nu se cunosc. Pentru ceea ce urmeaz s facem nu este ns nevoie s cunoatem n mod explicit

aceste date. ntr-adevr, vom determina dezvoltarea sub form de polinom Cebev a lui , tU r

calculnd coeficienii corespunztori funciilor jiz

e v

ce apar n relaia (10). in particular, deoarece

1 1j , avem

01

2jiz k

k k j

k

e J z i J z T

, (11)

unde kJ z este funcia Bessel deordinul k, iar kT este polinomul lui Cebev de gradul k. Cu

ajutorul lui (11) relaia (10) devine

01

, 2 ,0k k kk

t J z i J z T

r I C r , (12)

undek

k kT i T ste polinomul lui Cebev modificat. Mai exact polinoamele de matrice kT C se obin recursiv scriind 0 ,0 ,0T C r r , 1 ,0 ,0T iC r C r ,..,

1 1,0 2 ,0 ,0k k kT iCT T C r C r C r , pentru orice 1k . Cum 1kT C din

construcie, iar / 2 !k k

kJ z z k pentru orice z real, eroarea rezultat din nlocuirea relaiei

(12) cu relaia

01

, 2 ,0K

k

k k

k

t J z i J z T

r I C r , (13)

se va diminua exponenial odat cu creterea lui K. Numrul K se determin din condiia

kJ z M pentru orice k K . Aici M este un parametru de control care determin acurateea

aproximaiei. Pentru M fixat, Kcrete liniar odat cu1

z t H . Facem precizarea c nu exist

nici o cerin ca t s ia numai valori mici.


41/49

41

Conform analizei numerice se tie c pentru un Kfixat, polinomul Cebev este foarteapropiat de polinomul minimax (adica de acel polinom de gradul Kcare are cea mai micdeviaie de la adevrata funcie i este mult mai exact dect polinomul lui Taylor de gradul K,de exemplu). n practic se consider K z .

n sens foarte strict, metoda ntr-un pas nu produce o aproximare ortogonal. Totuipentru nevoile practice ea este perceput ca fiind foarte n timp deoarece ea furnizeaz o

aproximare a operatorului de evoluie exact , tt e BU r , apropiat foarte exact de precizia de

calcul a computerului. Acest lucru implic de asemenea faptul c relaiile

, , 0t t H r H r i , , 0t t E r E r

au loc tot timpul (pentru orice t) ceea ce, la rndul su implic, c schema numeric nu vaproduce erori artificiale pe durata procesului de integrare.

Implementarea algoritmului

Etaple de baz ale construirii formulei produs i a funcionrii algoritmului ntr-un passunt cel mai bine ilustrate considernd cazul unidimensional al ecuaiilor lui Maxwell pentrumedii omogene 1-dimensionale (adic cel mai simplu caz al ecuaiilor lui Maxwell). Din punctde vedere conceptual dac procedm n acest fel nu avem nimic de pierdut deoarece extensia lacazurile neomogene de dimensiune 1 este imediat. n consecin vom conside-raproblema simulrii modului TEM al cmpului electromagnetic ntr-o cavitate de lungime L .

Raportnd aceast cavitate la sistemul de axe Oxyzca n figura 1 i considernd 0,0, ,zE x tE i 0, , ,0yH x tH , sistemul de ecuaii (1) datorate lui Maxwell devine

yz

y z

HE

x t

H E

x t

. (14)


42/49

42

Figura 1.

ntr-adevr, calculnd

0 0

x y z

z z zx y y

z

E E E

x y z y x x

E

e e e

E e e e ,

0 0

x y z

y y y

x z z

y

H H H

x y z z x x

H

e e e

H e e e .

i innd seama de presupunerea 1 i 1 , fcut pentru simplificarea calculului, sistemul(1) se reduce la sistemul (14).

Astfel problema simulrii modului TEM al cmpului electromagnetic prin cavitatea OL estemodelat matematic de sistemul de ecuaii (14) la care se adaug condiiile la limit

z 0, , 0zE t E L t , impuse de caracteristicile geometrice ale mediului de propagare (cea a

unui ghid de und liniar de lungime L ) i datele iniiale constnd n valorile cmpuluielectromagnetic de-a lungul cavitii la momentul iniial.

Pentru discretizarea sistemului de ecuaii cu derivate pariale (14) alegemL

n iconsiderm diviziunea

0 1 2 2 2 1 2: 0 2 2 2 1 22 2 2 2 2

k k nx x x x k x k x n L

LO x

y

z


43/49

43

a intervalului 0,L . Folosind apoi aproximrile

2 2 , 2 ,

2 22 1 ,

2

z z

z

E k t E k t

E k tx

;

2 1 , 2 1 ,2 2

2 ,2

y y

y

H k t H k t

H k tx

,

ecuaiile lui Maxwell (14) devin

2 2 , 2 ,2 2

2 1 ,2

2 1 , 2 1 ,2 2

2 ,2

z z

y

y y

z

E k t E k t

H k tt

H k t H k t

E k tt

. (15)

Definim vectorul

, t 0 , , 1 , ,.., 2 , , 2 1 , ,.., 2 ,2 2 2 2 2

z y z y zE t H t E k t H k t E n t

.

(16)

Acest vector conine att valorile cmpului electric ct i pe cele ale cmpului magnetic npunctele diviziunii .

Componenta de ordinul k a vectorului , t este dat de produsul scalar dintre

vectorul 0,..,0,1,0,..,0Tkk

e i vectorul ,t , adic , ,Tkk t t e . Folosind acest

rezultat este uor de constatat c ecuaiile (15) pot fi puse sub forma (4), unde matricea B estedat de relaia


44/49

44

1

1 11

1 n T T

k k k k k

B e e e e

10 0........0 0 0

1 10 .......0 0 0

...........................................

1 10 0 0.... 0

10 0 0.......0 0

. (17)

Se observ de asemenea faptul c matricea B este antisimetric prin construcie.

Algoritmi de tip Yee

Algoritmii de tip Yee decurg din formulele de descompunere n produse (7), (8) sau (9)studiate mai devreme. Pentru modelul unidimensional (17) este uor de observat c algoritmulYee ntr-un pas corespunde descompunerii

1 ,TT t tt t t e e D DU I D I D , (18)

unde

1

1 1

2

1 n T Tk k k k

k

D e e e e , (19)

n condiiile n care cmpurile E i H sunt aranjate n vectorul prin relaiile (16).

Notm faptul c ntruct 2 D O avem te t D I D (relaie exact). Astfel folosind

formula de ordinul nti a descompunerii n produse pentru aproximarea matricei te B i

descompunnd T B D D , redescoperim operatorul din algoritmul lui Yee. Totui, algoritmullui Yee este de ordinul doi i nu de ordinul nti. Pentru a realiza un pas cu algoritmul lui Yee

trebuie s cunoatem valorile lui ,zE x t i ale lui ,2

yH x t

i nu pe cele ale lui ,yH x t .

Aceast metod consta n evaluarea componentei yH la momente de perioad2

.

In locul formulei (18) putem folosi formula


45/49

45

2 22 ,2 2

Tt t

t Tt tt e e e t

D DDU I D I D I D . (20)

Efectul ultimului factor al produsului (20) este s propage componenta yH cu2

. Factorul din

mijloc propaga componenta zE cu . Primul factor propag componenta yH din nou cu2

. n

aceast schem cmpurile electric i magnetic sunt considerate n acelai moment (timp).Algoritmul; construit cu ajutorul matricei (20) are n timp o precizie de ordinul 2. De notat c

matricea 2t

eD

nefiind ortogonal nu se ctig nimic din punctul de vedere al stabilitii. ntruct

2 22 1, ,m me e

D D

U U , vedem, prin comparaie cu algoritmul lui Yee original, c

volumul de calcul suplimentar este proporional cu2

1m

, adic neglijabil dac numrul m de

pai este mare. n acord cu teoria general prezentat in paragraful 2, expresia (9) definete

schema lui Yee de ordinul 4, a crei realizare se face fr aproape nici un efort odat ce2

U a

fost gata determinat. Este uor de observat c modul de construire al algoritmilor de tip Yeeprezentat mai devreme funcioneaz i n cazul mult mai complicat al mediilor neomogene dedimensiuni 2 sau 3. Notm de asemenea i faptul c algoritmul lui Yee de ordinul 4 nu presupuneo extra stocare pentru a furniza valorile cmpului la momente intermediare. Pentru

exemplificare considerm cazul concret6

L :

0 L/6 2L/6 3L/6 4L/6 5L/6 L

Figura 2.

n aceast situaie

, t , , 2 , , 3 , , 4 , , 5 ,y z y z yH t E t H t E t H t ,

iar sistemul (4) devine


46/49

46

, ,10 0 0 0

2 , 1 1 2 ,0 0 0

3 , 1 10 0 0 3 ,

1 14 ,0 0 0

4 ,

15 , 0 0 0 05 ,

y y

zz

y

y

z

z

y

y

H t H t

t

E t E tt

H t H tt

E tE t

t

H t

H tt

, (21)

unde

10 0 0 0

1 10 0 0

1 10 0 0

1 10 0 0

10 0 0 0

B .

Dup cum se tie sistemul generat de ecuaia matricial (21) admite soluia

, ,0tt e B . (22)

Pentru calculul matricei exponeniale te B observm mai nti c

0 1 0 0 0

1 0 1 0 010 1 0 1 0

0 0 1 0 1

0 0 0 1 0

B ,

apoi, c notnd


47/49

47

0 1 0 0 0

0 0 0 0 01

0 1 0 1 0

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

D i

0 0 0 0 0

1 0 1 0 01

0 0 0 0 0

0 0 1 0 1

0 0 0 0 0

T

D ,

obinem relaiile

T B D D , 2 D O ,Tt t te e e B D D , te t D I D ,

Tt Te t D I D , t Te t t B I D I D ,

care ne conduc n final la rezultatul cutat, anume

2 2

2 2 2

2 2

1 0 0

1 0 0

1 1 2

0 0 1

0 0 1

t

t t t

t t

e t t t t t

t t

t t t

B .

n consecin pentru simularea modului de propagare al undelor electromagnetice de-a lungulcavitii OL (cu alte cuvinte pentru determinarea soluiei (21)) nu ne mai trebuie dect s

cunoatem vectorul ,0 care conine datele iniiale ale problemei(nprincipiu acest vector

este dat de problem).

Algoritmi necondiionat stabili

Descompunnd diviziunea n puncte impare i puncte pare putem descompunematricea B n dou pri

1

1 1 1

1

1 n T Tk k k k

k

B e e e e , (23)

2

2 1 2 2 11

1 n T Tk k k k

k

B e e e e , (24)

astfel nct 1 2 B B B . Potrivit teoriei generale expuse mai sus algoritmul de ordinul nti este

dat de matricea 1 , tU . Evident att 1B ct i 2B sunt matrice antisimetrice bloc-diagonale,


48/49

48

alctuite din cte o submatrice de dimensiune 1 1 i1

2

n matrice reale antisimetrice de

dimensiuni 2 2 . Cum exponenala unei matricebloc-diagonale este egal cu matricea bloc-diagonal alctuit din matricele exponenialeale blocurilor individuale, calculul numeric al

matricei 1eB

(sau al matricei 2eB

) se reduce la calculul a1

2

n matrice exponeniale de

dimensiune 2 2 . Fiecare dintre aceste matrice exponeniale acioneaz numai asupra unei

singure perechi de elemente ale vectorului ,t r , lsndu-le pe celelalte neschimbate. Indicii

fiecreia dintre aceste perechi sunt dai de subindicii vectorilor e i Te . Folosind algoritmul

generat de matricea 1 , tU este uor s construim algoritmii necondiionat stabili de ordin nalt

generai de matricele 2 ,tU i 4 ,tU , a se vedea relaiile (8) i (9).

Probleme

1) In conditile aplicatiei analizate in paragraful precedent, determinati coeficientul de reflexie la

nivelul interfetei de separatie dintre spatiul liber si dielectric (suprafata de ecuatie 06x ).

2) Folositi rezultatul obtinut dupa rezolvarea problemei 1 pentru a simula (prin modificarea

corespunzatoare a codului prezentat mai sus) campul electromagnetic reflectat in spatiul liber

0 02 6x de catre dielectric.

3) Simulati fenomenul de propagare a unei unde electromagnetice pentru care componenta

electrica E verifica conditiile initiale

2

220, 0 0, , 0 , , 0 0,

x m

x y zE x E x E e E x x

,

unde parametrii 0 ,E m si 0 sunt considerati cunoscuti.

4) Simulati fenomenul de propagare a unei unde electromagnetice pentru care componenta

electrica E verifica conditiile

0, 0, , 0, , 0, , [0, )x y zE x t E x t E x t x t t ,


49/49

si

20

220 0 0 0, 0, , , , 0,

t t

x y zE x t E x t Ae E x t t t

,

unde parametrii 00, 0, 0A t se considera cunoscuti.

Documents

Curs Metode Numerice