qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopas dfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjkl zxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop asdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfgh jklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcv bnmrtyuiopasdfghjklzxcvbnmqwert yuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopa sdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghj Departamentul de nvmnt la Distan i Formare Continu klzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcv Facultatea de tiinte Economice bnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyu iopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzCoordonator de disciplin: Lect. univ. dr. Doina-Constanta Mihai1

2008-2009

UVT MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE I

Suport de curs nvmnt la distan Management, Anul I, Semestrul IPrezentul curs este protejat potrivit legii dreptului de autor i orice folosire alta dect n scopuri personale este interzis de lege sub sanciune penal ISBN 973-98725-6-5 2

SEMNIFICAIA PICTOGRAMELOR

F

= INFORMAII DE REFERIN/CUVINTE CHEIE

= TEST DE AUTOEVALUARE

= BIBLIOGRAFIE

= TEM DE REFLECIE

= TIMPUL NECESAR PENTRU STUDIUL UNUI CAPITOL SAU SECIUNE

= INFORMA II SUPLIMENTARE PUTE I GSI PE PAGINA WEB A U.V.T. LA ADRESA www.didfc.valahia.ro SAU www.id.valahia.ro .

3

Tematica cursului

1. Capitolul I. Dobnda simpl. 2. Capitolul II. Dobnda compus. 3. Capitolul III. Pli ealonate (Rente). 4. Capitolul IV. Operaiuni de scont. 5. Capitolul V. Rambursarea mprumuturilor.

4

CAPITOLUL I DOBNDA SIMPL1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Cuprins Obiectiv general Obiective operaionale Timpul necesar studiului capitolului Dezvoltarea temei Bibliografie selectiv Tem de reflecie Modele de teste Rspunsuri i comentarii la teste

Cuprins Noiunile de dobnd, dobnd simpl, operaiuni financiare echivalente n regim de dobnd simpl. Tehnica rezolvri problemelor cu operaiuni financiare n regim de dobnd simpl.

Obiectiv general: Dobndirea de cunotine privind conceptul de dobnd simpl, a operaiunilor financiare echivalente n regim de dobnd simpl. Obiective operaionale: nsuirea tehnicii i a etapelor de rezolvare a diverselor probleme cu operaiuni financiare n regim de dobnd simpl.

= 2 ore

5

CAPITOLUL I DOBNDA SIMPL 1. Noiunea de dobnd, definiia dobnzii simple. 1.1. Definirea noiunii de dobnd simpl. Noiunea de baz cu care se opereaz n calculele financiare este noiunea de dobnd. Definiia 1: Dobnda simpl este dobnda calculat asupra aceleiai sume de bani pe toata durata unui plasament. Dobnda produs pe un an de zile, de o unitate monetar se numete dobnd unitar i se noteaz cu i. Dobnda produs pe un an de zile de o sut de uniti monetare se numete procent anual i se noteaz cu p. Evident:

FDefiniia dobnzii simple

p = 100 iDaca notam: S0 , suma iniial, suma depus sau mprumutat, cu t , timpul estimat n ani, D , dobnda simpl produs de S0 pe perioada t, atunci dobnda simpla este direct proporionala cu: suma iniiala S0 , procentul anual p si durata plasamentului t. Propoziie: Dobnda simpl ce revine sumei S0 , pe perioada t cu procentul anual p este egal cu: D = S0 i t D = S0p t 100

FElementele dobnzii simple

Observaii: 1. Dobnda simpl este o funcie de trei variabile: suma iniial S0, durata plasamentului t i dobnda unitara i. 2. Durata plasamentului este estimat n ani. 1 an bancar = 360 zile ; 1 zi = 1 t = n luni = n360

ani; t = n zile = n 1

360

ani;

1 n 1 1 = ani; t = 1 semestru = ani; t = 1 trimestru = ani. 12 12 2 4

1. 2. Valoarea actual i final Dac S0 este suma depus iniial, dobnda, D = S0 i t, va fi dobnda adus de aceast sum pe durata t cu dobnda unitar i. 6

Definiia 2. Suma S = S0 + D se numete suma final sau valoarea final, adic suma disponibil peste t ani. Sf = S0 + S0 i t Sf = S0 (t + i t). Definiia 3. Suma iniial S0 se numete valoarea actual. S0 =Sf . 1 + it

1. 3. Operaiuni financiare echivalente n regim de dobnd simpl Observaie: a. Scadena comun Durata t a unui plasament se mai numete i scaden.

FOperaiuni echivalente n regim de dobnd simpl

Fie S1 , S 2 , .. S n mai multe sume iniiale plasate pe duratele t1 , t 2 , .. t n , respectiv, cu dobnzile unitare respective i1 , i2 , .. in , putem descrie aceste operaiuni financiare prin matricea A. S1 A = t1 i 1 S 2 ..... S n t2 ..... t n i2 ..... in

n practica bancar apare necesitatea nlocuirii acestor plasamente cu unul singur n care se cunoate suma iniiala plasat S i dobnda unitar i, i se dorete s se afle scadena plasamentului (durata plasamentului) astfel nct dobnda s fie aceiai cu cea a plasamentelor descrise de matricea A.S B= t i

Definiia 4. Se numete scadena comun nlocuitoare, durata t a plasamentului S din matricea B, care nlocuiete plasamentele descrise de matricea A, astfel nct dobnda total lui A s fie egal cu dobnda produs de B. n acest caz operaiunile descrise de A i B se numesc operaiuni echivalente n dobnd simpl. A B D (A) = D (B) (1) (2)S1i1t1+ S 2i2t 2 + .... + S nint n = S i t

Noiunea de baz cu care se opereaz n calculele financiare este noiunea de dobnd. 7

Noiunea de baz cu care se opereaz n calculele financiare este noiunea de dobnd. Din relaia (2) obinem ca scadena comun nlocuitoare este egala cu: t=

S i tk =1

n

k k k

iS

b. Suma comuna nlocuitoare Definiia 5: Suma comun nlocuitoare se numete suma S a plasamentului B descris mai sus care nlocuiete plasamentele descrise de matricea A cu condiia c dobnda totala lui A este egal cu dobnda produs de B . Relaia (1) i (2) sunt adevrate dar necunoscut este S, suma plasamentului B, iar i, t sunt cunoscute . Cunoatem de asemenea plasamentele descrise de A. Din (2) , obinem ca suma comuna nlocuitoare este egala cu:n

S=

s i tk =1

k k k

it

.

c. Procent comun nlocuitor Definiia 6: Se numete procent comun nlocuitor, procentul p (p = 100 i) al

plasamentului B care nlocuiete plasamentele din A cu condiia (1), cele dou plasamente A si B sa fie echivalente in regim de dobnda simpla . D (A) = D (B) n acest caz suma S i scadena t sunt cunoscute.n

i=

S i tk=i

k k k

St

FAplicaie

Exemplul:Un creditor studiaz faptul c, la un moment dat, poate plasa la 3 posibili debitori, n regim de dobnd simpl, anumite sume dup cum urmeaz: ctre primul suma de 1000 u.m. pentru 2 luni cu procentul de 5 %; ctre al doilea suma de 2000 u.m. pentru 100 zile cu procentul de 6 %; ctre al treilea suma de 5000 u.m. pentru 10 sptmni cu procentul de 8

%. Apare ntre timp un alt posibil debitor, neavnd alte obligaii i nefiind interesat dect de dobnda obinut vrea s tie:

8

a) ce sum ar trebui s-i plaseze pe termen de 3 luni cu procentul anual de 4 % pentru a avea aceeai dobnd. b) cu ce procent ar trebui s-i plaseze suma de 5000 u.m. pe timp de un trimestru pentru a avea aceiai dobnd. c) pe ce durat ar trebui s-i plaseze suma de 4000 u.m. cu un procent de 10 % pentru a avea aceeai dobnd. Rezolvare:5000 1000 2000 A = 2luni 100 zile 10saptamani 5% 6% 8%

a)

S B = 3luni , 4%

D( A) = D( B)

b)

5000 B = 1trimestru , D( A) = D( B ) p 4500 B = t , D( A) = D( B ) 10%

c)

2 5 100 6 10 7 8 3 4 =S + 2000 + 5000 12 100 360 100 360 100 12 100 50 200 100 a) + + 6 6 9 = 250 + 100 100 ; S= S = 52,77 100 = 5277um 1 9 1 6 100 10001 52,77 = 0,042 , b) 52,77 = 5000 i , i = 4 1250

p = 100i = 4,2%

c)

D ( A) = 52,77 , D ( B) = 4500 t t=

10 , 100

52.77 = 0.177 360 = 42,12 zile = 43 zile . 450

n unele situaii se dorete nlocuirea plasamentelor A cu alte plasamente descrise de matricea C unde C este :

9

S S C = t1 t 2 i i 1 2

S tn in

d. Sum medie nlocuitoare Definiia 7: Suma S din matricea de mai sus C care nlocuiete plasamentele din

FValori medii n operaiuni echivalente n regim de dobnd simpl

matricea A cu condiia ca dobnda simpl a celor 2 operaii financiare A i C sa fie aceeai, se numete sum medie nlocuitoare.

D(A) = D(C)S1i1t1 + S 2 i2 t 2 + ..... + S n i n t n = S (i1t1 + i2 t 2 + ..... + in t n ) S=

S i tk =1 n

n

k k k

i tk =1

k k

e. Scadena medie nlocuitoareDefiniie 8: Se definete analog ca mai sus, cele n plasamente din A vor fi nlocuite prin n plasamente descrise de o matrice D de felul urmtor:

S1 D= t i 1

S 2 ..... S n t..... t , D ( A) = D ( D ) i2 ..... in t=k =14 n

S i t S ik =1 k k

n

k k k

Scadenta t, obinuta astfel, se numete scadenta medie nlocuitoare. f. Procent mediu nlocuitor Definiia 9: Plasamentele lui A vor fi nlocuite cu plasamentele lui E, unde E va arta ca mai jos:

10

S1 E = t1 i

S 2 ..... S n t 2 ..... t n , i i i=

D ( A) = D ( E ),

S i tk =1 n

n

k k k

S tk =1

k k

Procentul p = 100i, unde i este dat mai sus, se numete procent mediu nlocuitor. Observaie: Din punct de vedere matematic, aa cum spune i numele, suma medie nlocuitoare, scadena medie nlocuitoare i procentul mediu nlocuitor sunt nite valori medii ponderate. 1. Care este dobnda simpl aferent plasrii unei sume de 10.000 u.m. pe o durata

FAplicatii

de 72 zile cu un procent de 8%, dar dac este de 10%. Rezolvare: a) S0 = 10.000 u.m., t = 72 zile; p = 8% D = S0 i t = 10 0008 72 = 160 u.m. 100 360

b) Care este valoarea finala? Sf = Si + D = 10.160 u.m. 2. Se constituie un depozit la banc pe o durat de dou luni cu un procent de 12% . a) Care este dobnda simpl aferent ? b) Care este valoarea final ? Rezolvare: S0 = 2.000.000 u.m., t = dou luni = 60 zile, i = 0,12. t = 60 / 360 = 1/6 ani =0,1666667 ani, p = 12%

a) D = S0 i t = 2.000.000 x 0,12 x 0,1666667 = 40.000 u.m. b) Sf = S0 + D = 2.000.000 + 40.000 = 2.040.000 u.m. 3. S se calculeze procentul mediu de depunere pentru, urmtoarele operaiuni financiare, echivalente in dobnda simpla: 5.000 u.m. cu 4% pe timp de 45 zile; 10.000 u.m. cu 5% pe timp de 60 zile; 50.000 u.m. cu 2% pet imp de 100 zile.n

Rezolvare : Avem:

p =

Sk =1 n k =1

k

pk t kk k

S t

11

=

5000 4 45 + 10000 5 60 + 50000 2 100 = 5000 45 + 10000 60 + 50000 100 900000 + 3000000 + 10000000 = = 225000 + 600000 + 5000000

=

13900000 = 2,38% . 5825000

4. Se plaseaz la 26 aprilie 2004 pn la sfritul lunii septembrie 2004 suma de 60000 u.m. , cu procentul anual de 6%. Care este valoarea final a acestui plasament? Rezolvare: S0 = 60000 u.m., p = 6%, St = ? Durata plasamentului este : aprilie: 4 zile; mai: 31 zile; iunie: 30 zile; iulie: 31 zile; august: 31 zile; septembrie: 30zile, t = 157 zile Sf = S0 + D D = S0 x t360 x p = 60000 x 157/360 x 6 /100= 1570 u.m. Sf = 60000 + 1570 Sf = 61670 u.m. 5. Se plaseaz la 15 iunie 2004 pana la sfritul lunii noiembrie 2004, suma de 50.000 u.m., cu rata anuala de 7 %. Care este valoarea finala a acestui plasament? Rezolvare: Durata plasamentului este: Iunie Iulie August Septembrie Octombrie Noiembrie 30 15 = 15 zile 31 zile 31 zile 30 zile 31 zile 30 zile 168 zileD = 50000 168 7 = 1663 um, S f = 50000 + 1633 = 51633 um. 360 100

6. S se determine scadenta unei sume de 15.000 u.m. care produce o dobnd egal cu suma dobnzilor produse de: 32.000 u.m., pe timp de 142 zile; 57.000 u.m., pe timp de 121 zile; 68.000 u.m., pe timp de 165 zile. Rezolvare: 12

T=

32000 142 + 57000 121 + 68000 165 22661000 = = 144 32000 + 57000 + 68000 157000

T=144zile. 7.Sa se calculeze procentul mediu de plasament al sumelor: 17.000 u.m., pe timp de 95 zile, cu 3%; 11.000 u.m., pe timp de 67 zile, cu 2%; 30.000 u.m., pe timp de 170 zile, cu 5%; 14500 u.m., pe timp de 145 zile, cu 4,5%. Rezolvare:p= 17000 95 3 + 11000 67 2 + 30000 170 5 + 14500 145 4,5 = 4,3%. 17000 95 + 11000 67 + 30000 170 + 14500 145

8. Se plaseaz la 20 mai 2003 pana la sfritul lunii septembrie suma de 60.000 u.m., cu rata anuala de 10 %. Care este valoarea finala a acestui plasament? Rezolvare: Durata plasamentului este: Mai Iunie Iulie August Septembrie 31-20 = 11 zile 30 zile 31 zile 31 zile 30 zile 133 zileD = 60000 133 10 = 2216 um, S f = 60000 + 2216 = 62216 um. 360 100

9. S se determine procentul mediu de plasament al sumelor: 22.000 u.m., pe timp de 76 zile, cu 5%; 35.000 u.m., pe timp de 110 zile, cu 4 %; 27.000 u.m., pe timp de 125 zile, cu 3 %. Rezolvare: p =22000 76 5 + 35000 110 4 + 27000 125 3 33885000 = = 3,8% 22000 76 + 35000 110 + 27000 125 8897000

13

10. S se determine suma care n 142 zile produce o dobnd egala cu suma dobnzilor produse de: 17.500 u.m., pe timp de 147 zile; 12.000 u.m., pe timp de 92 zile; 10.000 u.m., pe timp de 124 zile. Rezolvare:S= 17500 147 + 12000 92 + 10000 124 4916500 = = 34623,23um. 142 142

11. S se determine scadena sumei de 40.000 (u.m.) care produce o dobnd gal cu suma dobnzilor produse de 5.200 u.m. pe timp de 61 zile, 1.000 pentru 63 zile, 4.700 u.m. pe timp de 91 zile. Rezolvare: 5200 1000 4700 A= 61 63 91 DS(A)=DS(B),t= 5200 61 + 1000 63 + 4700 91 40000

40000 t = B

t = 20,1975 zile = 21 zile. 12. S se calculeze procentul mediu de plasament al sumelor: a) 17.000 u.m., pe timp de 95 zile, cu 3%; b)11.000 u.m., pe timp de 67 zile, cu 2%; c)30.000 u.m., pe timp de 170 zile, cu 5%; d)14.500 u.m., pe timp de 145 zile, cu 4,5%;

14

Rezolvare: 17000 A = 95 zile 3% 17000 11000 67 zile 2% 30000 170 zile 5% 14500 145 zile 4,5%

i=

95 3 67 2 170 5 145 4,5 + 11000 + 30000 + 14500 360 100 360 100 360 100 360 100 = 95 67 170 145 + 11000 + 30000 + 14500 17000 360 360 360 360 4845000 + 1474000 + 25500000 + 9461250 41280250 = = 0,0432% (1615000 + 737000 + 5100000 + 2102500)100 955450000

=

13. Un creditor studiaz faptul ca, la un moment dat poate plasa la 3 posibili debitori n regim de dobnd simpl anumite sume dup cum urmeaz: ctre primul suma de 1000 UM pentru 2 luni cu procentul de 5 %; ctre al doilea suma de 2000 UM pentru 100 zile cu procentul de 6 %; ctre al treilea suma de 5000 UM pentru 10 sptmni cu procentul de 8 %. Apare ntre timp un alt posibil debitor neavnd alte obligaii i nefiind interesat dect de dobnda obinut vrea s tie: ce sum ar trebui s-i plaseze pe termen de 3 luni cu procentul anual de 4 % pentru a avea aceeai dobnd. cu ce procent ar trebui s-i plaseze suma de 5000 UM pe timp de un trimestru pentru a avea aceiai dobnd. pe ce durat ar trebui s-i plaseze suma de 4000 UM cu un procent de 10 % pentru a avea aceeai dobnd.

5000 1000 2000 A = 2luni 100 zile 10saptamani B 5% 6% 8% a) S B = 3luni , 4% D( A) = D ( B)

15

b)

5000 B = 1trimestru , p

c)

4500 B = t . 10%

a) D(A) = D(B):1000 2 5 100 6 10 7 8 3 4 =S + 2000 + 5000 12 100 360 100 360 100 12 100 50 200 100 + + 6 6 9 = 250 + 100 100 S= 10 5 1 6 100 S = 52,77 100 = 5277UM

1 b) 52,77 = 5000 i , 4 i= 52,77 = 0,042 , 1250

p = 100i = 4,2%

c) D ( A) = 52,77 4500 t

10 , 100

t=

52.77 = 0.177 360 = 42,12 zile = 43 zile 450

14. Ce sum trebuie s depunem azi, cu procentul de 5% pentru ca peste 30 de zile s putem ridica 20.000 u.m ? Rezolvare: S0 = ? , p = 5%, t = 30 zile, Sf = 20.000 u.m, S0 = ?

S0 =

Sf 1 + it

S0 =

20000 30 1 + 0,05 360

S0 = 19.991,6um 15. Un capital de 1000 000 u.m. este plasat intr-un cont cu rata anual de 9%. Care va fi capitalul disponibil peste 20 zile? Dar peste 3 luni? Dar peste un an? Rezolvare: Avem: S0 = 1000 000 u.m. p = 9% Daca durata plasamentului este t360 = 20 zile, avem:

D=

S 0 pt 1000000 9 20 = = 500 um 36000 3600016

iar suma capitalizat dup 20 zile va fi: Sf = S0 + D = 100 500 um. Daca durata plasamentului este t = 3 luni, avem:

D=

S 0 pt 1000000 9 3 = = 2250 , 1200 12000

iar valoarea final: Sf = 100 000 + 2 250 = 102 250 u.m. Peste 1 an, dobnda obinut va fi:

D=

S 0 pt = 1000 9 1 = 9000 100iar suma final:

Sf = 109 000 u.m. 16. Ce sum trebuie s depunem azi cu procentul 3%. Pentru ca peste 300 zile s putem ridica 10 000 u.m.? Rezolvare: Avem: S 0 = Sf 10000 10000 = = = 9756,10 u.m. pt 3 300 1,025 1+ 1+ 36000 36000

17. Determinai valoarea totala a dobnzii si valoarea finala la sfritul unei perioade de investiii daca se investete 1000 u.m. cu procentul de 10% timp de 3 ani. Dar timp de 9 luni? Rezolvare Va = 1000 u.m., i = 0,10, t = 3 ani, Vf = Va(1 + i t), Vf = 1000(1+0,1 3) Vf = 1000 1,3, Vf = 1300 u.m. Va = 1000 u.m., i = 0,10, t =V f = 1000(1 + 0,1 9 ) 129 , Vf = Va(1 + i t), 12

Vf = 1075 u.m. 18.O persoana depune la banca o suma de 150 000 000 lei tiind ca procentul este de 20,70 % pe an. Ce suma i s-ar cuveni dup o luna, dup trei luni, dar dup un an de la depunere? Rezolvare 17

D =Sopt, t1= 30 zile, D1 = 150000000 (20,70/100) x (30/360) = 93150000 000 /36000 =2587 500 lei t2 = 3/12 = 1/4 D2 = 150000000 x (20,70/100) x 1/4= 310500 000 /4 = 7762 500 lei t3 = 12/12, D3 = 150000000 x (20,70/100) x 1= 31050 000 lei Sf = So + D, S f1= So + D1, S f1 = 150 000 000 + 2587500 = 152 587 500 lei S f2= So + D2, S f1 = 150 000 000 + 7762500 = 15762500 lei S f3 = So + D3, S f3 = 150 000 000 +31050 000 = 181 050 000 lei

BIBLIOGRAFIE SELECTIV I. Tratate i monografii. 1. PURCARU, I., Matematici financiare, Editura Economic, Bucuresti, 1992. 2. POPESCU O., BAZ D., BEGANU G., FILIP A., .a. Matematici aplicate in economie, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1999. .

TEST DE AUTOEVALUARE

1. Care este dobnda simpl rezultat n urma plasrii unei sume de 2400 um, pe timp de 60 de zile cu procentul de 8% ? Ce sum final rezult n urma acestui plasament?

18

TEM DE REFLECIE Ce valoare poate avea suma medie nlocuitoare n funcie de valorile sumelor plasate iniial, n cadrul unei operaiuni financiare echivalente n regim de dobnd compus? Dar procentul mediu nlocuitor, respectiv scadena medie nlocuitoare

MODELE DE NTREBRI ntrebrile vor fi tip gril, cu cel puin un rspuns fiecare ntrebare. 1. Suma pe care o va ridica o persoan care a depus 75 000EU pe timp de 150 zile cu procentul anual de 5% este: a) 76 000EU, b) 78 561EU, c)75 156,25EU. 2) n cte zile suma de 5 000EU va deveni 5 200 EU cu procentul anual de 4%. a) 320zile, b) 500zile, c) 360zile. RSPUNSURI LA NTREBRI 1. c. 2. c.

19

CAPITOLUL II DOBNDA COMPUS1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Cuprins Obiectiv general Obiective operaionale Timpul necesar studiului capitolului Dezvoltarea temei Bibliografie selectiv Tem de reflecie Modele de teste Rspunsuri i comentarii la teste

Cuprins Conceptul de dobnd compus, elementele dobnzii compuse, operaiuni echivalente n regim de dobnd compus Tehnica rezolvrii problemelor n care apar operaiuni n regim de dobnd compus.

Obiectiv general: Dobndirea de cunotine privind conceptul de dobnd compus, a operaiunilor financiare echivalente n regim de dobnd compus. Obiective operaionale: nsuirea tehnicii i a etapelor de rezolvare a problemelor n care apar operaiuni echivalente n regim de dobnd compus.

= 2 ore

20

CAPITOLUL II DOBNDA COMPUS 2. Definiia noiunii de dobnd compus. n operaiunile financiare n regim de dobnd compus se consider o anumit unitate de timp ca o unitate etalon, calculul dobnzii compuse se face innd seama de unitatea de timp etalon. n operaiile pe termen lung unitatea de timp folosit este anul.

FDefiniia dobnzii compuse

Definiia 10: Vom spune c o sum de bani este plasat cu dobnda compus cnd la sfritul primei perioade, (unitate etalon), dobnda simpl a acestei perioade este adugat la sum pentru a produce la rndul ei dobnd n perioada urmtoare i aa mai departe. 2.1. Formula de fructificare n regim de dobnd compus. a) Presupunem c timpul t este un numr ntreg de perioade. Vom nota: S0 , suma iniiala depusa la nceputul perioadei; p = 100i, procentul anual de depunere, t= n numrul de perioade (ani),de uniti etalon de timp Sf = suma finala rezultata in urma acestui plasament. Suma la nceputul anului S0 S 0 (1 + i )

Nr. ani 1 an 2 ani .. n ani

Dobnda produs n timpul anului D = S 0 1 an D = S 0 (1 + i ) + i 1an

Suma la sfritul anuluiS f = S 0 + S 0i = S 0 (1 + i ) S f = S 0 (1 + i) + S 0 (1 + i)i = S 0 (1 + i )(1 + i) = S 0 (1 + i ) 2

S 0 (1 + i )

n -1

D = S 0 (1 + i)

n

S f = S 0 (1 + i) n -1 + S 0 (1 + i ) n -1 i = = S 0 (1 + i ) n

FElementele dobnzii compuse

Suma final este:S f = S 0 (1 + i ) n ,

21

sau mai general: S f = S 0 (1 + i ) , S f = S 0 u t , unde ut, se numete factor det

fructificare, u = 1 + i, i valorile sale sunt calculate pentru diferite procente si diferite perioade de timp n tabele financiare. Dobnda calculata in regim de dobnda compusa este data de diferena dintre suma finala si suma iniiala:

D = S f - S0 D = S 0 (1 + i ) t - S 0 D = S 0 (1 + i ) t - 1

[

]

Suma iniiala S0 , calculata in funcie de suma finala Sf , scadenta t , si

FAplicaie

procentul anul, p = 100 i , se numete valoare actuala a sumei Sf sau , S 0 = unde

Sf un

,

1 = v n se numete factor de actualizare , i , la fel ca factorul de fructificare n u

un , este calculat n tabele financiare. S0 =

(1 + i )n

Sf

FAplicaie

Exemplu: Ce sum ar trebui s depunem acum pentru a primi peste 5 ani , 1000u.m., cu o rat a dobnzii de 6%? Rezolvare: Datele problemei sunt S f = 1000 um, t = 5 ani, p = 6% S0 =

(1 + i )

Sf

n

, S0 =

1000 , S = 747,38 um. (1 + 0,06)5 0k k unde 0 < < 1 h h

b) Formula de fructificare n regim de dobnd compus cnd timpul nu este un nr. ntreg de perioad. Dac t = n + Atunci suma final va fi: 1) Soluia raional:S f = S 0 (1 + i ) n (1 + k i) h

2) Soluia comercial:

S f = S 0 (1 + i )22

n+

k h

= S 0 (1 + i )t

Dup n perioade (ani) suma finala este S f = S 0 (1 + i ) n , n perioada (anul) n + 1 , dobnda simpla revenita acestei sume este D = S 0 (1 + i ) n i Dup timpul, t = n + k h suma finala va fi :S f = S 0 (1 + i ) n + S 0 (1 + i) n k i = S 0 (1 + i ) n (1 + k h i ) , h k . h

astfel am obinut soluia raionala pentru calculul dobnzii compuse cnd timpul nu este un numr ntreg de perioade. Soluia comerciala este aceea in care suma finala este calculata cu aceeai formula folosita in cazul in care timpul t este exprimat printr-un numr ntreg de ani.

FAplicaie

Exemplu: S se calculeze folosind dobnda compus, valoarea final a sumei de 100.000 u.m plasat timp de 3 ani i ase luni cu procentul anual de 6% . Rezolvare: Datele problemei sunt: S0 = 100.000 u.m., t =3 ani i 6 luni, p = 6% , i = 6/100 a) Soluia raionalS f = S 0 (1 + i ) n (1 + k h i ) = 100.000 (1+6/100)3(1+6/100 6/12)=120.801 um.

a) Soluia comercialS f = S0 (1+i) n+ k / p = 100.000 (1+6/100)3 + 6 / 12 = 122.600 um.

c) Sa presupunem acum ca suma iniiala S 0 este plasa timp de n ani cu procentele anuale diferite, p1 =100 i1 in primul an , p2 = 100 i2 in anul al doilea, s.a.m.d., pn = 100 in , in cel de-al n-lea an, atunci suma finala calculata va fi data de :S f = S 0 (1 + i1 )(1 + i2 )....(1 + i n ) .

FAplicaie

Exemplu: S se determine suma final rezultat n urma plasrii sumei de 500 um pe timp de 3 ani cu procentele de 4%, 5% i respectiv 7% Rezolvare: Datele problemei sunt: S 0 = 500 um, t = 3 ani, p1 = 4%, p 2 = 5%, p3 = 7%. Se va aplica formula de calcul a sumei finale, in care avem procente diferite.S f = S 0 (1 + i1 )(1 + i2 )(1 + i3 ) = 500 (1 + 0,04 )(1 + 0,05)(1 + 0,07 ) = 584,22 um.

23

2.1. Procente proporionale procente echivalente. Definiia 11: Fie p1 , procentul anual, corespunztor perioadei de depunere t1 si

FProcentele dobnzii compuse

p2, procentul anual corespunztor perioadei de depunere t2, procentul proporional cu p2 dac:

p1 este

p1 t1 = . p2 t 2Exemplu: fie p1 = 6 %, t1 = 1 an, atunci p2 = 6/12% este procentul

proporional cu p1, corespunztor lui t2 = 1 luna. Definiia 12: Procentul ps = 100 i2 corespunztor unui semestru este echivalent cu procentul anula pa = 100i dac produc aceiai sum final in regim de dobnda compusa, adic: (1 + i2 ) 2 = (1 + i ) Dac pk = 100 ik este procentul corespunztor unei fraciuni k a anului (adic 1 an = k fraciuni) pk este echivalent cu procentul anual p=100 i, dac (1 + ik ) = 1 + i ,k

1 + ik = k 1 + i ,

ik = n 1 + i - 1 .

2.1. Operaiuni financiare echivalente n valoare actual n regim de dobnd compus. n concluzie elementele de baz n dobnda compus sunt:

FElementele dobnzii compuse

S f = S 0 (1 + i) t , formul de fructificare a sumei S0.

S0 =

Sf (1 + i )t

, factorul

1 1 = v t (factor de actualizare ) = v i (1 + i) t 1+ i

S 0 = S f v t valoarea actual a lui S f .

Fie plasamentele descrise de matricea A: S1 A = t1 i 1 S 2 ..... S n t 2 ..... t n , i2 ..... in

24

unde sumele S i sunt sumele finale ce rezult n urma unor plasamente, cu scadentele ti , cu procentele anuale ii , i = 1,2,,n i matricea B format de 1 sau mai multe plasamente de felul celei din A. Operaiunile financiare A i B se numesc echivalente n valoarea actual in regim de dobnd compus dac valoarea actual a lui A este egala cu valoarea actual a lui B. VA(A) = VA(B) a. Suma comun nlocuitoare, este suma S finala ce rezulta n urma unui plasament descris de matricea B,S B=t i

unde t i i, si elementele lui A, sunt cunoscute, astfel nct VA(A) =VA(B). Daca A este echivalent cu B n valoare actual n regim de dobnd compus atunci:

S1 S2 Sn S + + ..... + = , tn t t1 t2 (1 + i1 ) (1 + i2 ) (1 + in ) (1 + i)i: n Sk S = (1 + i )t t k k =1 (1 + ik )

b. Scadena comun nlocuitoare este durata de plasare t din matricea B (descris mai sus) astfel nct VA(A) = VA(B) , elementele S, i sunt cunoscute;(1 + i )t = S S = S VA( A) (1 + ik ) tk k =1 kn

t lg(1+i) = lg S lg (VA(A))

t=

lg S - lg(VA( A)) lg(1 + i)

c. Procent comun nlocuitor este procentul din matricea B (de mai sus) astfel nct VA(A) = VA(B) ; din relaiile de mai sus se obine:

25

lg(1 + i) =

lg S - lg VA( A) t

d. Suma medie nlocuitoare. n acest caz operaiunile descrise de matricea A sunt nlocuite de o matrice C n care avem aceeai sum final de plasare i scadenele i procentele anuale sunt aceleai din A. S S ..... S C = t1 t 2 ..... t n i i ..... i n 1 2

Suma final S din matricea C se numete sum medie nlocuitoare a plasamentelor din A echivalente cu C, in valoare actuala, in regim de dobnda compusa, daca VA(A) = VA(C) : 1 Sn 1 S1 S2 1 + + ...... + = S + + ...... + t1 t2 tn t1 t2 (1 + i1 ) (1 + i2 ) (1 + in ) (1 + i2 ) (1 + in ) tn (1 + i1 )

S=

(1 + i ) (1 + i )k =1 k k =1 n k

n

Sk 1

tk

tk

FValori medii n operaiuni echivalente n valoare actuala in regim de dobnd compus

e. Scadenta medie nlocuitoare este scadenta t din matricea D care va fi echivalent cu A n valoare actuala . S1 D= t i 1 S 2 ...... S n t...... t , i2 ..... in

t satisface ecuaia

S1 S2 Sn S1 Sn + + ...... + = + ...... + t1 t2 tn t (1 + i1 ) (1 + i2 ) (1 + i1 ) (1 + t n ) t (1 + in )

f. Procentul mediu nlocuitor este procentul din matricea E echivalent cu A, n regim de dobnda compus , n valoare actual. 26

S1 E = t1 i

S 2 ..... S n t2 ..... tn i ..... i

Procentul mediu nlocuitor satisface ecuaia:

S1 S2 Sn S1 S2 Sn + + ...... + = + + ...... + tn t1 t2 t1 t2 (1 + i1 ) (1 + i2 ) (1 + in ) (1 + i) (1 + i ) (1 + i)t nObservaie: Dac S 0 este plasat n regim de dobnd compus, n ani cu

procentele i1, i2 ,......,in , atunci suma final: S f = S0 (1 + i1 )(1 + i2 )(1 + i3 )......(1 + in ) i valoarea actual: S 0 = Sf (1 + i1 )(1 + i2 )....(1 + in ) .

Exemple rezolvate: 1. Ce devine suma de 10.000 u.m. plasata pe timp de 10 ani cu procentul anual de 3,5 % ? Rezolvare: S10 = 10.000 x 1,035 10 = 10.000 x 1,41059876 S10 = 14105,9876 u.m. 2. S se determine ce suma trebuie depusa cu procentul anual de 5 % pentru a incasa peste 4 ani suma de 600 000 u.m. Rezolvare : p = 5%, t = 4 ani, Sf = 600 000 u.m., S0 = ?, Sf = S0 (1 + i)t = S0 ut unde u = 1+i , deci S0 = Sf

(1 + i )

t

=

6000 000 = 493621,2 u.m. 1,05 4

3. S se calculeze folosind dobnda compus, valoarea final a sumei de 100.000 um plasat timp de 3 ani i ase luni cu procentul anual de 6% . Rezolvare: S0 = 100.000 u.m., t =3 ani i 6 luni, p = 6% , i = 6/100 a) Soluia raional 27

Sf = S0 (1+i) n (1+ik/h) = 100.000 (1+6/100)3 (1+6/100 6/12) = 120.801 u.m. a) Soluia comercial Sf = S0 (1+i) n+k / p = 100.000 (1+6/100)3 +6 / 12 = 122.600 u.m. 4. Care este valoarea finala a sumei de 35 000 u.m. plasata cu dobnda compusa timp de 5 ani si 3 luni, cu rata anuala de 7 %. Rezolvare: S0 = 35 000 um,t = 5ani si 3 luni, t=5+0,25=5,25 ani, p = 7%, i = 0,07, a) Soluia comerciala: Sf = S0 (1+i) t = 35000 1,07 5, 25 = 49 926,70 u.m. b) Soluia raionala:

k n 4 ( S f = S 0 (1 + i ) 1 + i = 35000(1,07 ) 1 + 0,07 0,05) =49 948,37 u.m. h 5. Ce suma ridica o persoana peste 6 ani cu dobnda compusa daca depune azi 110.000 u.m. cu procentul de 3% ? Care este dobnda obinut? Rezolvare: t=6 ani, S0=110.000, p=3%, Sf=?, D=?, Sf=S0(1+i)t Sf=110.000(1+0,03)6=131.345 u.m. D=Sf - S0=21.345 u.m. 6. Ci bani ar trebui s depunem acum pentru a primi peste 5 ani , 1000 u.m., cu o rat a dobnzii de 6%? Rezolvare: Sf = Sa(1+i) n, 1000 u.m. = Sa(1+i)5, 1000 u.m. = Sa(1+0,06)5, 1000 u.m. = Sa 1,338 Sa =

1000 u.m. 1,338

Sa = 747,38u.m.

28

7. Care este valoarea finala a unei investiii de 15000 u.m. peste 4 ani, la o rata a dobnzii compuse semestriale de 9,5%? Rezolvare: Sa = 15000 u.m. i=0,095 = 0,0475 2

n=tmn=8 Sf = Sa (1+i)n Sf = 15000 (1 + 0,0475)8 Sf = 21741,915 u.m. 8. O suma de 200 000 u.m. plasata in regim de dobnda simpla cu un anumit procent si un anumit t, a condus la o D = 54 000 u.m. Aceeai suma plasata in regim de D compusa cu p = 4%, pe acelai numr de ani a condus la o D = 84 662.40 u.m. Sa se determine durata de plasare a celor doua operaiuni, precum si procentul anual al primei operaiuni. Rezolvare: DS : S0 =200 000 u.m. D = 54 000 u.m. t1 = ?, p2 = 4%, t 1 = t2 = ?DC = S 0 [( 1 + i ) t - 1 ] = 200000 [ 1 , 04t

DC: S0 = 200 000 u.m. D = 84 662.40 u.m. p1 = ?- 1]

84662 , 40 = 200000 [( 1 , 04 ) t - 1 ], 84662 , 4 = 200000 (1, 04 ) t - 200000 284662 , 4 142331 , 2 284662 , 4 = 200000 (1 , 04 ) t , (1, 04 ) t = = = 1, 423312 200000 100000 (1 . 04 ) t = 1, 423312 t = 9 54000 p 54000 = 200000 9, = 3% D s = S 0 it , p = 100 18000

29

BIBLIOGRAFIE SELECTIV I. Tratate i monografii. 1. PURCARU, I., Matematici financiare, Editura Economic, Bucuresti, 1992. 2. POPESCU O., BAZ D., BEGANU G., FILIP A., .a. Matematici aplicate in economie, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1999. .

TEST DE AUTOEVALUARE

1. Aflai valoarea final a sumei de 1000um, plasat n regim de dobnd compus, pe timp de 4 ani cu procentele de 4%, 3%, 5% i respectiv 2%? n medie care este procentul de depunere?

TEM DE REFLECIE Care plasament este mai avantajos pentru perioade de timp mai mici de un an, n regim de dobnd simpl sau compus ? Dar pentru perioade mai lungi de un an ?

30

MODELE DE NTREBRI ntrebrile vor fi tip gril, cu cel puin un rspuns fiecare ntrebare. 1. ) Ce sum de bani ar trebui s depunem acum pentru a primi peste 2 ani suma de 600 EU, cu procentul anual de 5%. a) 544,21769 EU, b) 400EU, c) 500EU. 2) Care este valoarea final a unei investiii de 30 000EU peste 4 ani cu un procent anual de 8,5%. a ) 41 500EU, b) 41 575,761EU, c) 50 000EU. 3) S se calculeze valoarea final a unei sume de 50 000u.m. peste 2 ani i 4 luni cu procentul de 6. a) 70 000u.m.; 51 000(1,06) , b) 78 090,20; 50 000(1,06) c) 72 000; 73 000.7 2 7 3

RSPUNSURI LA NTREBRI 1 2 3 a. b. b.

31

CAPITOLUL III PLI EALONATE (RENTE)

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Cuprins Obiectiv general Obiective operaionale Timpul necesar studiului capitolului Dezvoltarea temei Bibliografie selectiv Tem de reflecie Modele de teste Rspunsuri i comentarii la teste

Cuprins Notiunea plati esalonate, tipuri de plati, valoarea actuala si valoarea finala. Tehnica rezolvarii problemelor cu plati esalonate.

Obiectiv general: Dobndirea de cunotine privind principalul aspect al folosirii noiunilor de plati esalonate, de clasificare a diferitelor tipuri de plati. Obiective operaionale: nsuirea tehnicii i a etapelor de rezolvare a problemelor in care apar platile esalonate.

= 4 ore

32

CAPITOLUL III PLATI ESALONATE, RENTE 1. Noiunea si clasificarea platilor esalonate. 3.1. Generalitati. nelegem prin pli ealonate sume de bani pltite la

FClasificarea platilor esalonate

intervale (perioade) de timp egale. Perioada poate fi anul, semestrul, trimestrul, luna si in acest caz plile se vor numi anuiti, semestrialiti, trimestrialiti, mensualiti, respectiv. Plile ealonate pot fi fcute cu scopul : - fie n vederea constituirii unor sume i se numesc pli ealonate de plasament sau fructificarea;-

fie n vederea rambursrii unei datorii, acestea sunt pli de amortizare sau

rambursare.

FPlati esalonate anticipate, posticipate

Plile ealonate pot fi fcute: - la nceputul perioadei i se numesc anticipate; - la sfritul perioadei i se numesc posticipate; De asemenea plile ealonate mai pot fi : - limitate ( temporale), numrul de pli este finit, fixat prin contract. - perpetue, numrul plilor este nelimitat; - viagere - numrul plilor depinde de viaa unei persoane. Mai pot fi: - imediate - cnd ncep n perioada imediat semnrii contractului; - amnate - cnd au loc dup un numr de ani de la semnarea contractului. n fine, plile ealonate pot fi constante sau variabile dup cum sumele depuse periodic sunt constante sau nu.

FPlati anuale (anuitati)

3. 2. Anuiti sau pli ealonate anuale1. Anuiti imediate limitate posticipate: durata contractului este de n ani (limitate), i plile au loc n perioada imediat semnrii contractului la sfritul fiecrui an.

33

T1

T2

Tn-1 n-1 in

Tn n

i1 1 0 Valoarea actual ( An ]p )

i2

2

Valoarea final ( S nP ) ]

Considernd c operaiunea este n regim de dobnd compus, suma final a tuturor plilor, care este suma sumelor finale pentru fiecare plat, va fi:( S nP]) = T1 (1 + i2 ) (1 + i3 ) ... (1 + in ) + T2 (1 + i3 ) (1 + i 4 ) ... (1 + in ) + ... + Tn ( S nP ) = ]

T (1 + i ) + Tj =1

n -1

n

j

k = j +1

k

n

Dac procentele sunt constante, adic i1 = i2 = = in=i , avem:( S nP]) = T1 (1 + i ) ( S nP ) = ]n -1

+ T2 (1 + i )j

n- 2

+ ... + Tnn

[T (1 + i )n -1 j =1

n- j

]+ T

Dac att anuitile ct i procentele sunt constante, adic T1 = T2 = =Tn, i i1 = = i2 = =in atunci vom obine:

S

( P) n]

= T (1 + i)

n -1

+ T (1 + i)

n -2

+ ..... + T = Tu

n -1

+ Tu

n-2

u n -1 + ..... + Tu + T = T i

Am folosit suma unei progresii geometrice, cu primul termen b1 i raia q:

b1 + b1q + b1 q 2 + ..... + b1q n -1 = b1

qn -1 1- qn = b1 1- q 1- q

Ca urmare valoarea finala a acestor anuiti este:( S nP ) = T ]

u n -1 i

Analog vom calcula i valoarea actual a tuturor plilor, ca fiind suma valorilor actuale pentru fiecare plat:

34

( AnP ) = T1 ]

1 1 1 + T2 + ... + Tn (1 + i1 )(1 + i2 ) (1 + i1 )(1 + i2 ) ... (1 + in ) 1 + i1( AnP ) = ]j 1 Tj k =1 1 + i = j =1 k n

n T j vk , j =1 k =1 n

unde v k

=

1 , k = 1, n . 1 + ik = j

Dac procentele sunt constante, adic i1 = i2 = = in=i , avem:( AnP ) = ]

T (1 + i ) j =1 j

n

1

(T v )n j j =1 j

unde v = 1/(1+i). Dac att anuitile ct i procentele sunt constante, adic T1 = T2 = =Tn, i i1 = i2 = =in atunci vom obine:

1- vn T T T T 2 n + + + ..... + = Tv + Tv + ..... + Tv = Tv A = 1- v 1 + i (1 + i )2 (1 + i )3 (1 + i )n 1 1 1 1+ i 1 = v, v = = , unde 1+ i 1- v 1+ i i i n 1- v ( AnP ) = T ] i( P) n]

Observaie: Pentru T = 1, din relaiile de mai sus, obinem suma final, respectiv valoarea actual a unui ir de anuiti posticipate de 1 u.m. (le vom nota cu sn i an):

1 - vn u n -1 , an = sn = i irezult :( S nP ) = T s n , ] ( An P ) = T a n . ]

Aadar sn i an acioneaz ca nite factori de acumulare (fructificare) i, respectiv, de actualizare (exist tabele cu aceste mrimi pentru procedurile manuale de calcul).

35

2. Anuiti imediate limitate anticipate: durata contractului este de n ani (limitat), i plile au loc n perioada imediat semnrii contractului la nceputul fiecrui an. Avem urmtoarea schem de pli:

T1

T2

T3

Tn n-1 in n

i1 1 0 Valoarea actual ( AnA ) ]

i2

2

Valoarea final ( S nP ) ]

Deoarece fiecare plat are loc, cu un an mai devreme (la nceputul fiecrui an) fa de cazul n care plile sunt posticipate, suma final i valoare actual a acestor pli vor fi diferite doar printr-un factor u, faa de cazul posticipat.( S n A]) = T1 (1 + i1 ) (1 + i2 ) ... (1 + in ) + T2 (1 + i2 ) (1 + i3 ) ... (1 + in ) + ... + Tn (1 + in ) ( S n ]A ) =

n T j (1 + ik ) j =1 k= j n j -1

Pentru valoarea actual avem suma: A( A) n]

= T1 + T j j=2

n

1 k =1 1 + i k

Dac procentele sunt constante, adic i1 = i2 = = in=i , avem( S nA]) = T1 (1 + i ) + T2 (1 + i )n n -1

+ ... + Tn (1 + i )

( S n]A ) =

[T (1 + i )n j j =1

n - j +1

]

Dac att anuitile ct i procentele sunt constante, adic T1 = T2 = =Tn, i i1 = i2 = =in atunci vom obine:

36

( S n ]A) = T (1 + i) n + T (1 + i) n -1 + ..... + T (1 + i ) = Tu n + Tu n-1 + ..... + Tu 2 + Tu =

= T u

u n -1 i

Cu notaiile de mai sus pentru factorii sn i an obinem formulele:( S nA) = T u sn ]

( An ]A) = T +

T T T 1- vn 1- vn i + + ...... + =T =T , 1- v = = iv 2 n -1 1+ i 1- v 1 + i (1 + i ) iv (1 + i )( An A) = T u a n ]

3. Anuiti imediate nelimitate posticipate: durata contractului este nelimitat, i plile au loc n perioada imediat semnrii contractului la sfritul fiecrui an. Avem urmtoarea schem de pli:

T1

T2

Tn-1 n-1 in

Tn n

i1 1 0 Valoarea actual ( AP ) ]

i2

2

n cazul plilor nelimitate, valoarea final nu poate fi evaluat, vom evalua numai valoarea actual care ar putea reprezenta plata unor pensii.j 1 = lim T j n j =1 k =1 1 + i k n

( AP ) ]

= lim

n

( AnP ) ]

Seria este convergent dac, conform criteriului de convergen al raportului, pentru serii cu termeni pozitivi, avem:

lim

k

Tk +1