Curs Fiabilitate Editura NOU

FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE 1

IOAN P. VIZITEU

FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE

Unica vecie dată e dragostea


2

IOAN P. VIZITEU


EDITURA PIM

IAŞI 2010


3

Copyright © 2010 Toate drepturile asupra acestei ediţii sunt rezervate autorului Referenţi ştiinţifici: Prof.univ.dr.ing.DUMITRU IVAS

Tehnoredactare: Georgeta Viziteu Director Editorial

Editura PIM Iaşi, 2010 ISBN

Descrierea CIP a Camerei Naţionale a Cărţii Viziteu, Ioan

Fiabilitatea instalaţiilor energetice ISBN 30ex


4

REFERAT

Asupra cărţii cu titlul,


Autor: IOAN P. VIZITEU

Cartea este rezultatul activităţii didactice, ştiinţifice şi în exploatarea SEN a autorului pe o perioadă îndelungată (28 ani), activităţi care l-au format şi consacrat ca specialist de marcă, lucru dovedit şi de numeroasele sale participări la manifestări ştiinţifice de prestigiu din lume şi din ţară, de premiile obţinute, de apartenenţa la societăţi si comitete ştiinţifice.

Autorul a obtinut titlul de dr.ing in Fiabilitate cu o teza valoroasa care a abordat pentru

prima data la noi problema fiabilitatii sistemelor de protectie si securitate. Meritul major al lucrării “Fiabilitatea instalaţiilor energetice” , autor prof.univ.dr.ing.

Ioan P. Viziteu, constă în tratarea riguroasă a unei teme pe cât de importantă pe atât de puţin regăsită în literatura de specialitate.

Cartea este structurată în trei părţi : 1. Elemente de bază în teoria fiabilităţii 2. Fiabilitatea sistemelor de protecţii şi automatizare ale instalaţiilor electroenergetice 3. Elemente de optim şi tehnici moderne utilizate in fiabilitatea instalaţiilor electroenergetice

Autorul abordează problema fiabilităţii sub aspectele: previzional, experimental şi operaţional. Prof. dr. ing. Ioan P. Viziteu foloseşte în lucrare instrumente matematice sofisticate, de mare acurateţe şi de pe poziţia unui foarte bun cunoscător al fenomenelor din instalaţiile energetice. Lucrarea, are un pronunţat caracter aplicativ, oferind instrumente de analiză atât pentru cei care concep cât şi pentru cei care exploatează instalaţiile de protecţie şi automatizare. Autorul pune la dispoziţia cititorilor o serie de algoritmi care determină fiabilitatea şi securitatea instalaţiilor de protecţie şi autometizare.

Lucrarea reprezintă pentru orice lucrător în domeniul protecţiei şi automatizării instalaţiilor electroenergetice, o invitaţie la o abordare, pe un nivel superior, rafinat, a activităţii sale, cu efecte benefice dintre cele mai concrete, asupra siguranţei Sistemului Energetic Naţional.

Cartea este recomandată atât studenţilor, cercetătorilor, doctoranzilor şi

universitarilor cât şi inginerilor din exploatare, întreţinere, montaj, proiectare din domeniul electric.

Felicit autorul şi editura pentru demersul lor deosebit de util. Prof.dr.ing. Dumitru Ivas


5

CUPRINS

PARTEA I-a ELEMENTE DE BAZA IN TEORIA FIABILITATII .........................................11

I.1. Introducere ………………………………………………………..……….….…..12

I.2. Modele matematice folosite în fiabilitate…………….....…….….….……15

I.2.1. Modelarea comportării elementelor şi sistemelor……...…..…...………….15

I.3. Variabile aleatoare….....………………………….…………….…….…….…..25 I.3.1. Operaţii cu variabile aleatoare………..…………….….………...........….……26 I.3.2. Funcţii de repartiţie …………………….…………...….……………….………27

I.3.3. Densitatea de repartiţie…...……………………….…………………..………29

I.3.4. Valori medii ; momente…………......………………………………..…….…29

I.3.4.1. Cazul variabilelor aleatoare discrete…......…………………….…..……….29

I.3.4.2. Cazul variabilelor aleatoare continue……...……………………...………..32

I.3.5. Funcţia caracteristică………….......……………….……………….…..……..33

I.3.6. Funcţia generatoare………………......……………………...…………..…….37

I.4. Legi clasice de probabilitate………………….......…..……..……...…….40

I.4.1. Legi clasice de repartiţie de tip discret…………..…….…….......…….…41

I.4.1.1. Repartiţia binomială sau repartiţia lui Bernoulli (schema urnei

lui Bernoulli).................................................................…....………........….41

I.4.1.2. Repartiţia Poisson …………………………………….………….......….…...43

I.4.1.3. Repartiţia multinominală……………………………......…………..………...44

I.4.1.4. Repartiţia binomială cu exponent negativ…….……….……………….…..46

I.4.1.5. Repartiţia hipergeometrică………….……………….…..…….....….……….46

I.4.2. Legi clasice de repartiţie de tip continuu………….…….…….....……..46

I.4.2.1. Repartiţia normală………….………………………………….....…………...46

I.4.2.2. Repartiţia normală redusă……………….………..……………......…….….48

I.4.2.3. Repartiţia lognormală………………..……………….....……...……………..48


6

I.4.2.4. Repartiţia exponenţială……………………..…………....……….…..……….49

I.4.2.5. Repartiţia χ2 (hi pătrat)…….………………………......….....…….….……...49

I.4.2.6. Repartiţia Weibull………..………….......………………....……………….…50

I.5. Fiabilitatea elementului simplu……………………..………..……....…….51

I.5.1 Fiabilitatea elementului simplu nereparabil……………….....….….……..51

I.5.2 Calculul fiabilităţii elementului simplu reparabil………..……...………..55

I.6. Fiabilitatea sistemelor cu structură serie – paralel…….….…….…..…..58 I.6.1 Fiabilitatea sistemelor cu structura serie………….........…...….…..……..58

I.6.2. Fiabilitatea sistemelor cu structura paralel…….......……………...………..59

I.6.3 Fiabilitatea sistemelor cu structură mixtă………….........…..…....………60

I.6.4 Structura redondantă globală…………………………………...…….……64

I.6.5 Structuri necompozabile - Structura triunghi - stea

şi stea – triunghi…………………....…........................................….………65

I.6.6 Reprezentarea parametrică bidimensională…………………..…..………..67

I.7. Construcţia şi simplificarea funcţiilor de structură şi a reţelelor de fiabilitate …………………………..……………………70

I.7.1. Legături şi tăieturi ……………….……………..……….….……….………..70

I.7.2. Simplificarea funcţiilor de structură şi a reţelelor

de fiabilitate...........................................................................................….72

I.7.2.1. Funcţia ϕ este monotonă…………......………..…………………………...72

I.7.2.2. Funcţia ϕ este nemonotonă…….....……….…….….……………………...73

I.8. Metode de calcul a fiabilităţii…....…………………...…………………..75 I.8.1. Metoda binomială………....…...………………………………………………75

I.8.2 Metoda Monte Carlo....……………...………………………………………...79

I.8.3 Metode bazate pe procese Marcov cu parametru continuu ..............82

I.8.3.1. Procese Marcov...………………...………………………………………..….82

I.8.3.2. Intensitatea de tranziţie…...……….………………………………….……….84

I.8.3.3 Ecuaţia diferenţială a parametrilor de stare.....…………..……………..85

I.8.3.4. Metode bazate pe procese Marcov de tip continuu....…..………….…85

I.8.3.5. Metode Markov de tip continuu pentru un sistem serie.....……………..88

I.8.3.6 Repartiţii teoretice şi repartiţii empirice….....…………….………………91

I.8.4 Metoda celor mai mici pătrate simple....…………………………….……92


7

I.9. Metodele statistice de determinare a fiabilităţii....…....………………97

I.9.1. Etapele estimării....………………….......……………………………………..97

I.9.2 . Construirea funcţiilor empirice de fiabilitate

)()(),()(^^^^

,, tfttQtR λ …………....…...……………………………………………….98

I.9.3. Planuri de experimentare pentru estimarea

indicatorilor de fiabilitate …………………………….………………….……99

I.10. Estimaţia parametrilor legilor de probabilitate..…........………..….100 I.10.1. Repartiţia complet specificată……………………………………....……..100 I.10.2. Funcţia de estimaţie (estimatorul)…………………….………......………..101

I.10.3. Estimatorul absolut corect……………………………………........………102

I.10.4. Estimaţie eficientă………..………………………………..….....…………..103

I.10.5. Determinarea parametrilor funcţiei de repartiţie………....………....…..104

I.10.6. Metoda verosimilităţii maxime………………..………....………………...105

I.11. Verificarea ipotezelor statistice…….…………..……………………….106 I.11.1 . Puterea unui test…………………….………….....………….…………….107

I.11.2. . Testul χ2………………………………..…...……………………………..…109

PARTEA a II-a FIABILITATEA SISTEMELOR DE PROTECŢII ŞI AUTOMATIZARE ALE INSTALAŢIILOR ELECTROENERGETICE ...................................................111 II.1. Modelul fiabilităţii previzionale...........................................................112

II.1.1 Modelele de fiabilitate ale releelor şi sistemelor de protecţie .................112

II.1.2. Definiţii şi concepte ................................................................................112

II.1.3. Locul şi rolul protecţiilor...........................................................................114

II.1.4. Variante de echipare primară a unui element primar cu

întrerupătoare respectiv protecţii............................................................ 114

II.1.5. Defecţiuni ale protecţiilor şi efectele lor ................................................. 116

II.1.6. Modelul de fiabilitate al unui releu simplu .............................................. 118

II.1.7. Modele de fiabilitate a sistemelor de protecţie montate pe

intrerupătoare ..................................................................................... 122

II.1.8. Model de calcul a fiabilităţii unui element primar cu

considerarea echipării acestuia cu protecţii. .........................................123 II.2. Modelul fiabilităţii experimentale ...................................................... 126


8

II.2.1. Expresiile matematice ale probabilităţilor ansamblului constituit

de protecţia de distanţă ........................................................................ 126

II.2.2. Modelul timpului de răspuns, ca variabilă aleatoare, pentru

relee de distanţă.................................................................................... 133

II.3. Modelul fiabilităţii operaţionale ......................................................... 146

II.3.1. Funcţiile statistice pentru fiabilitatea operaţională a instalaţiilor

de protecţie şi automatizare ............................................................. 147

II.3.2. Intensitatea operaţională de transmitere a răspunsurilor eronate..... 149 II.3.3. Intensitatea operaţională de transmitere a funcţionărilor

Intempestive. .....................................................................................153

II.3.4. Intensitatea operaţională de refuz .....................................................157

II.3.5. Densitatea operaţională de repartiţie a timpului

de funcţionare corectă până la primul răspuns eronat

al protecţiei sau automatizării............................................................ 161

II.3.6. Densitatea operaţională de repartiţie a timpului de

funcţionare corectă până la prima funcţionare

intempestivă a instalaţiei .................................................................. 163

II.3.7. Densitatea operaţională de repartiţie a timpului de

funcţionare corectă până la primul refuz al instalaţiei ....................... 165

II.3.8. Fiabilitatea operaţională sau probabilitatea de

funcţionare corectă neîntreruptă în intervalul [0, ti]

sau probabilitatea de a nu transmite răspunsuri eronate

în intervalul [0, ti] ............................................................................... 168

II.3.9. Riscul operaţional de funcţionare intempestivă în

intervalul [0, ti] sau probabilitatea de funcţionare intempestivă

în intervalul [0, ti] ............................................................................... 171

II.3.10. Riscul operaţional de refuz, în intervalul [0, ti]

sau probabilitatea de refuz în intervalul [0, ti] ................................... 174

II.3.11. Riscul operaţional de răspuns eronat în intervalul [0,ti] sau

probabilitatea de răspuns eronat în intervalul [0, ti] ...........................177

II.4. Modelul matematic al securităţii sistemelor de relee de protecţie si automatizare ............................................................... 180

II.4.1. Modelul dual de defect ..................................................................... 180


9

II.4.2. Riscul şi securitatea din perspectiva modului de

defectare al sistemelor de relee ............................................................ 181

II.4.3. Securitatea sistemelor cu n relee serie (ŞI) ......................................... 185

II.4.4. Securitatea sistemelor cu n relee paralel (SAU) .................................. 187

II.5. Aplicaţii care privesc creşterea fiabilităţii sistemelor de protecţii şi automatizare ale instalaţiilor electroenergetice ......................192 II.5.1. Alegerea instalaţiilor de protecţie şi automatizare pe

baza criteriului performanţă fiabilistă – cost .......................................... 192

II.5.2. Optimizarea nivelului de redundanţă a instalaţiilor de protecţie ............ 194

II.5.3. Analiza disponibilităţii şi credibilităţii sistemelor

de protecţie şi automatizare .................................................................. 198

II.5.4. Calitatea actului de conducere a procesului de mentenanţă ................ 203

II.5.5. Studiul calităţii procesului de mentenanţă ............................................ 205

II.5.6. Stabilirea duratelor optime dintre două intervenţii succesive ................ 207

II.5.7. Prognoze privind fiabilitatea şi securitatea sistemelor

de protecţie şi automatizare ................................................................. 209

II.5.8. Concluzii ............................................................................................... 209

PARTEA a III-a ELEMENTE DE OPTIM SI TEHNICI MODERNE UTILIZATE IN FIABILITATEA INSTALATIILOR ELECTROENERGETICE................211

III.1. Căi de corelare optimă a valorilor indicatorilor de fiabilitate pentru componentele instalaţiilor energetice……..…..212

III.1.1. Greutatea………………………………….…………………………………..212

III.1.2. Importanţa...…………………………………………………………………..213

III.1.3. Aportul....……………..……………………………………………………….114 III.2. Model de optimizare a structurii sistemelor folosind criteriile “ importanţă “ şi “ aport ” a elementelor………………….218

III.3. Tehnici moderne utilizate în fiabilitate…………………....…..…..221

III.3.1. Redondanţă analitică.....……………………………………………..……..221

III.3.2. Redondanţa materială...…………………………………………………….223

III.3.3. Principiul redondanţei analitice.....………………………….……………..224

III.3.4. Redondanţa discretă…........………………………………………………..225

III.3.5. Redondanţă statică.....…………………………..……………………….….227


10

III.3.6. Redondanţa dinamică.....……………..…………..……..……………….230

III.4. Spaţiul de paritate generalizată......…...…......….……..……………231

III.5. Detecţia şi diagnoza.………….………….........……………..………...233 III.5.1. Etapele procedurii de detecţie – diagnoză…..………....……………...233

III.5.1.1. Toleranţa la defectări….....….....…..……..………….……………………233

III.5.2. Reducerea informaţiei şi detecţia…………………....…………………234

III.5.3. Detecţia….…………………………………..……………………………...234 III.5.4. Identificarea………..………………………………………………………..234

III.5.5. Tehnicile de detecţie...……………………………..……………………..235

III.6 Redondanţa analitică………….....…..……………………………….….235 III.6.1. Etapele cercetării modelelor...………….………………………………..235

III.6.2. Metoda modelului...………………………………………………………...236

III.6.3. Estimarea stării sistemului....………....…………………..……………...240

III.6.3.1. Filtrajul statistic……...……………….……………………………………..240

III.6.3.2. Filtrul kalman sau captatorul perfect…………………......……...….…241

III.7. Tehnici de detecţie a defectelor traductoarelor…………...……..244 III.7.1. Rezidiul în bucla deschisă…………...………………………………….244

III.7.2. Rezidiul din bucla închisă...…………………………….…………….…244

III.7.3. Tehnica estimării....……………….……………..……………………….…245

III.7.4. Metoda ipotezelor multiple...……………………………………….….…247

III.8. Tehnici moderne de mentenanţă predictivă.....................................248

III.8.1. Monitorizarea şi diagnosticarea modernă a

autotransformatoarelor..........................................................................249

III.8.1.1 Monitorizarea........................................................................................249

III.8.1.2. Diagnosticarea prin măsurători de termoviziune...................................250

III.8.2. Diagnosticarea unităţilor de transformare cu ajutorul

analizelor cromatografice.....................................................................250 III.9. Cum influienţează incertitudinea parametrică optimalitatea politicilor de mentenanţă……….....….………………...252

III.9.1. Disponibilitate şi entropie..... ………....………………..……………….....253

III.9.2. Complexitate şi incertitudine .....………....…...…….…………………….254

III.9.3. Mentenanţă preventivă bazată pe vârstă..... …..…….....………………255

III.9.4. Influienţa incertitudinii parametrice.... ..................................................257


11

III.9.5. Criteriul de reparare minimal..... ..……………………..………..……..259

III.9.6. Determinarea costului critic optimal............ …………………… ........260

IV Anexa.……………….……………………………………………….……..262

Bibliografie.........................................................................................267


12

PARTEA I-a

ELEMENTE DE BAZA IN TEORIA FIABILITATII


13

I.1. INTRODUCERE

Produsele şi serviciile unei economii sunt caracterizate de indicatorul de bază numit

calitate.

Acest indicator are mai multe componente. Una dintre acestea este reprezentată de

fiabilitate.

Fiabilitatea ca noţiune este foarte veche, dar ca teorie apare în ultimele trei decenii.

Teoria fiabilităţii este o ştiinţă interdisciplinară . Ea se referă la toate etapele unui

produs; proiectare , fabricare , transport , montare şi exploatare.

• Bazele fiabilităţii unui produs se stabilesc în perioada de proiectare când se

fixează structura şi se dimensionează elementele sale.

• În timpul fabricării fiabilitatea se asigură prin alegerea corectă a procedeelor şi

utilajelor tehnologice , prin respectarea regimurilor şi condiţiilor de fabricaţie,

prin controlul riguros pe faze a calităţii materialelor folosite.

• Pe timpul transportului fiabilitatea se menţine prin utilizarea unor metode

adecvate de ambalare şi conservare.

• În timpul montajului fiabilitatea se menţine prin respectarea tehnologiilor de

montaj şi conservare până în momentul punerii în funcţiune.

• În timpul exploatării fiabilitatea se asigură prin aplicarea instrucţiunilor

tehnologice de întreţinere şi exploatare şi de conservare , asigurând condiţiile

externe corespunzătoare necesare funcţionării normale şi efectuând la timp şi

conform instrucţiunilor de întreţinere lucrările necesare de întreţinere.

Fiabilitatea s-a impus ca ştiinţă în momentul când uzura morală a produselor a

devenit un proces foarte accelerat.

OBIECTUL CURSULUI Cursul de fiabilitate are ca obiect :

• studiul defecţiunilor ( cauze , apariţie , dezvoltare , metode de combatere) • aprecierea cantitativă a comportării produselor în timp în funcţie de factorii

interni şi externi

• determinarea metodelor şi modelelor de calcul şi de prognoză a fiabilităţii


14

• analiza fizică a defectelor

• stabilirea metodelor pentru menţinerea şi creşterea fiabilităţii sistemelor ,

dispozitivelor şi elementelor componente

• stabilirea metodelor de selectare şi prelucrare a datelor privind fiabilitatea

produselor

• determinarea valorilor optime ale indicatorilor de fiabilitate pentru elementele

componente şi pentru sisteme

DEFINIŢII

Din punct de vedere calitativ :

Fiabilitatea este capacitatea unui element sau sistem de a funcţiona fără

defecţiuni în decursul unui anumit interval de timp în condiţii date.

Din punct de vedere cantitativ :

Fiabilitatea este probabilitatea ca elementul sau sistemul să-şi îndeplinească

funcţiunile cu anumite performanţe şi fără defecţiuni într-un anumit interval de timp şi

în anumite condiţii date.

Deci este o funcţie de probabilitate având ca variabilă timpul şi comportarea

sistemului.

Noţiunea de fiabilitate mai poate include şi următoarele aspecte :

• operatorul uman ca element al sistemului

• ierarhizarea funcţiilor sistemului din punct de vedere al importanţei funcţionale

• detalierea efectelor deteriorărilor ţinând cont şi de elementele informaţionale ale

sistemului (semnale )

În sinteză apar deci , trei categorii de elemente :

• aparataj

• operator

• semnale cărora le corespunde :

• fiabilitatea sistemului tehnic

• fiabilitate operaţională ( sistem tehnic + operator )

• fiabilitate funcţională ( sistem + operator + semnale )


15

Componente

Operator

Semnale

Fiabilitate

Fiabilitate operaţională

Fiabilitate funcţională

Fig.1

Siguranţa în funcţionare - a unui sistem , este o noţiune mai generală şi cuprinde :

• fiabilitatea elementelor

• redondanţa elementelor şi sistemului

• mentenabilitatea

• profilactica

• mentenanţa

Redondanţa (rezervabilitatea) - se realizează prin structură sau prin

supradimensionare :

Sistem neredontant

Fig.2

Redondanţa pentru elemente

Fig.3

Redondanţa pentrucomponente

Fig.4


16

Redondanţa pentrusistem

Fig.5

Mentenabilitatea – este probabilitatea cu un element defect să fie repus în funcţiune într-un interval de timp dat şi în condiţii date. Profilactica – constă în înlocuirea elementelor după o perioadă de funcţionare fără ca acestea să se defecteze. Mentenanţa – constă într-o succesiune de operaţii care să realizeze fiabilitatea elementelor componente. Poate fi : - mentenanţa curativă – înlăturarea deficienţelor în faza de prototip

- mentenanţa preventivă – revizii periodice planificate - mentenanţa corectivă - operaţii de înlocuire a defecţiunilor previzibile -

neprevizibile , apărute după avarii Siguranţa în funcţionare a unui sistem este dictată de :

- siguranţa în funcţionare a elementelor componente - schema de legare a elementelor - intensitatea solicitărilor interne (sarcini ) şi externe (factori de mediu) - durata solicitărilor şi durata de exploatare - calitatea exploatării şi nivelul de organizare a acesteia

I.2. MODELE MATEMATICE FOLOSITE ÎN FIABILITATE I.2.1 . MODELAREA COMPORTĂRII ELEMENTELOR ŞI SISTEMELOR Fenomenele în natură pot fi deterministe sau aleatoare.

Fenomenele aleatoare nu pot fi cunoscute in mod determinist ci doar cu o anumită

probabilitate .

Comportarea în timp a unei instalaţii este un fenomen aleator.

Studiul teoretic al fiabilităţii presupune trei faze :

- analiză

- calcule

- aprecierea rezultatelor

Faza de analiză – constă în ceea ce numim modelare. Se subdivide în următoarele


17

subgrupe :

- analiza tehnică : funcţională şi structurală a sistemului;

- stabilirea modelului;

- alegerea modelelor şi procedeelor matematice de rezolvare a modelului.

Faza de apreciere a rezultatelor presupune :

- determinarea punctelor slabe d.p.d.v. a fiabilităţii şi căile de “întărire” a

lor.

- determinarea valorilor optime ale indicatorilor de fiabilitate pentru sistem

şi componentele sale fie după criterii economice fie presupunând nivele

de risc acceptabile.

Comportarea instalaţiilor d.p.d.v. fiabilistic poate fi modelată cu ajutorul fenomenelor

aleatoare – care se studiază cu ajutorul teoriei probabilităţilor. Aceste studii se

realizează:

- fie prin expermente

- fie prin urmărirea în exploatare a sistemelor şi componentele lor.

Comportarea în exploatare are tot valoare de experiment.

Rezultatul unui experiment se numeşte eveniment.

Evenimentul poate fi elementar sau complex (se poate realizarea simultană a unui

complex de condiţii).

Exemple :

- eveniment elementar : o linie electrică subterană care se află sau nu în

funcţiune

- eveniment complex : un generator aflat în stare de funcţionare care se

roteşte cu turaţia normală ( f=fn ) , are tensiunea nominală (U=Un), este

încărcat la puterea naturală (P =Pn ).

Evenimentele privite d.p.d.v. al producerii sau neproducerii lor sunt mărimi logice şi

pot fi modelate cu ajutorul operaţiilor logice.(sau ∪ ; ş i ∩ ; non _ ) . Trecerea

sistemelor sau componentelor din starea de funcţionare în starea de refuz constituie

evenimente aleatoare. De altfel şi trecerea inversă din starea de refuz în cea de

succes (prin reparare,poate fi considerată tot un eveniment aleator datorită

multitudinii parametrilor care determină timpul de recuperare)

• Evenimentul Φ - este numit eveniment imposibil şi este acel eveniment care sigur


18

nu poate avea loc.

(Ex. – dacă într-o centrală cazanul este defect turbina nu poate fi în funcţiune). .

• Evenimentul Ω - complementar lui Φ, se numeşte eveniment sigur.

ΦΩ = ………….. (** Ω=Φ Dacă se notează cu A – întrerupătorul închis B - evenimentul ca întrerupătorul să fie deschis Atunci: BA=Ω (1)

Dacă C – este evenimentul ca întrerupătorul să fie străbătut de curent Φ=BC (2) ((((( C şi B – se numesc evenimente incompatibile ( nu se pot produce simultan )

Evenimentele compatibile sunt evenimente care pot avea loc simultan.

Modelarea cazului când elementele nu-şi influienţează reciproc comportarea este

mai simplă şi se face prin evenimente independente. În caz contrar se folosesc

modele ale evenimentelor dependente care sunt mai complicate. Adică, între cele

două evenimente există o condiţionare ( o dependenţă).

Ex : Defectarea unuia din cele două transformatoare existente într-o staţie duce la

creşterea încărcării celuilalt şi deci la creşterea posibilităţii de defectare a celuilalt).

Elementele aflate în stare de funcţionare se zice că se află în stare de SUCCES , iar

cele aflate în stare de nefuncţionare se zice că se află în stare de REFUZ. Mulţimea

stărilor posibile în care se poate afla sistemul se bucură de propietăţile unui sistem

complet de evenimente care este un număr de “ n ” evenimente incompatibile

A1 ……..An care îndeplinesc următoarele condiţii :

Φ== n

in AAAA1

21 ......... (3)

Ω== AAAA i

n

n 1

21 ...... (4)

Dacă avem o centrală cu două grupuri G1 şi G2 se poate vorbi de următoarele

evenimente posibile :


19

- A0 – nu funcţionează nici unul din grupuri

- A1 – G1 - funcţionează şi G2 nu funcţionează

- A2 – G1 – nu funcţionează şi G2 funcţionează

- A3 – atât G1 cât şi G2 se află în funcţiune

Evident : Φ= AAAA 3210 . (5)

Ω=AAAA 3210 (6) Deci A0 A1 A2 A3 sunt evenimente incompatibile formând un sistem complet de

evenimente.

Un caz particular al unui sistem complet de evenimente este cel al evenimentelor

complementare care satisfac următoarele relaţii:

Ω=AA (7)

Φ=AA (8)

Exemplu :

- se notează cu A - evenimentul când elementul funcţionează

- se notează cu A (non A) - evenimentul când elementul nu funcţionează

A şi A sunt evenimente complementare şi formează împreună un sistem complet de

evenimente.

În cursul unui experiment se poate produce totalitatea evenimentelor , avem astfel

de-a face cu spaţiul evenimentelor elementare. Dacă se notează cu E acest spaţiu ,

se defineşte mulţimea tuturor părţilor sale P (E). Se numeşte corp borelian de

evenimente o formaţie nevidă (k) de părţi ale lui E care satisface următoarele condiţii

:

)(EPK ⊂ ( (9)

kAKA ∈⇒∈∀ (10)

kAKA iNi

Nii∈⇒∈

∈∈∀ )( (11)

O mulţime E de evenimente elementare înzestrată cu un corp borelian de

evenimente k se numeşte câmp borelian de evenimente şi se notează E , k .


20

Exemplu : Avem un sistem format din 10 elemente considerat d.p.d.v. al funcţionării

sau nefuncţionării elementelor sale i ( i = 1÷10) . Notând cu Ai evenimentul ca

elementul i să se afle în stare de succes atunci există următoarele stări posibile:

- nu avem nici un element în funcţiune

10

10=C eveniment (deci există un singur eveniment)

- avem un element în funcţiune cu evenimentele AAA 1021 .....

adică C1

10

evenimente (deci există C1

10

- evenimente)

- avem câte două elemente în funcţiune cu evenimentele )(.....)(,)( 1093121

AAAAAA

adică C2

10

evenimente

- avem în funcţie câte i elemente adică Ci

10

- evenimente

- avem în funcţie câte 10 elemente adică C10

10

- evenimente

Aşadar practic toate combinaţiile posibile de evenimente , deci avem un câmp de

evenimente.

Evenimentele care constitue acest câmp sunt în număr de:

2..... 10

10

10

1

10

10

1

10

0

10=∑=++

=CCCC

i

i

(12)

Cunoaşterea câmpului de evenimente pentru un experiment este un pas însemnat în

analiza fenomenului studiat.

Măsura numerică a posibilităţii de realizare sau nu a unui eveniment în cazul de faţă

a unei stări este probabilitatea P(A) care îndeplineşte următoarele condiţii :

1)(0 << AP (13)

- probabilitatea evenimentului sigur este 1

1)( =ΩP (14)

- probabilitatea evenimentului imposibil este zero

0)( =ΦP (15)

- probabilitatea reuniunii a două evenimente incompatibile între ele este egală cu suma probabilităţilor evenimentelor


21

)()()( BPAPBAPBA +=Φ= ⇒ (16)

Dacă în urma a “ n “ experimente în condiţii identice un eveniment A se produce de “ m “ ori atunci :

nmAP =)( (17)

dacă numărul experimentelor este suficient de mare. Altfel spus :

Într-un câmp finit de evenimente , ale cărui evenimente sunt egal probabile

probabilitatea unui eveniment oarecare este egal cu raportul dintre numărul de

evenimente elementare favorabile evenimentului dat şi numărul total de evenimente

ale câmpului.

În general modelarea evenimentelor energetice se face cu ajutorul evenimentelor

incompatibile . Adesea interesează probabilitatea de a se realiza oricare din stările

componente ale unei anumite grupe . Se utilizează pt. aceasta teorema adunării

probabilităţilor.

( )APAPAPAPAAAP i

n

inn ∑+++=

=

=1

2121 )(........)()().....( (18)

Probabilitatea sumei a “n” evenimente incompatibile este egală cu suma

probabilităţilor acestor evenimente.

Probabilitatea unei stări prin care trece sistemul este determinată de către o

combinaţie de stări de probabilitate cunoscută a elementelor componente cu

comportare independentă în timp . Asta se realizează prin utilizarea produsului

evenimentelor independente.

( )APAP in

∏=1

)( unde (19)

( )APAPAPAPAAAP i

n

nn ∏= =⋅⋅⋅1

212 )(.......)()().....( (20)

Această teoremă stă la baza metodei binomiale de calcul a fiabilităţii sistemelor .


22

Dacă evenimentele nu sunt independente se aplică teorema probabilităţilor

condiţionate.

( ) ( )( )AP

AAPAAP

1

2112 /

= (21)

Şi reprezintă probabilitatea de realizare a evenimentului A2 când se realizează

evenimentul A1. Deci ,

( ) ( )AAPAPAAP 12121 /*)(= (22)

Exemplu Cazul unui bloc generator transformator

SPG

T

B

Fig. 6 Debitarea puterii blocul GT pe bara B presupune funcţionarea generatorului care

depinde de funcţionarea transformatorului , acesta alimentând serviciile proprii SP.

Funcţionarea transformatorului T şi a generatorului G sunt evenimente dependente.

Probabilitatea ca bara B să funcţioneze ( evenimentul fiind bara B aflată sub

tensiune ) este :

( ) ( )TGPTPTGPBP /)()( ⋅== == (23)

Studiu de caz

Fie staţia E (figura 7) prevăzută cu instalaţie de DRRI (declanşare de rezervă la

refuz de întrerupător).

Să se determine probabilitatea de funcţionare în treapta a doua a protecţiei din A

(Z2A) şi de refuz (DRRI) în cazul în care întrerupătorul I pentru defect în K refuză

declanşarea (D ).


23

A

C

B

D

K

E

DRRII

Fig.7 Staţie prevăzută cu DRRI

Avem: ( ) ( )( )P

PP

DRRI DDRRI D

D=

(24)

( ) ( )( )P

PP

Z DRRIZ DRRI

DRRIA

A2

2=

(25)

dar ( ) ( )P PDRRI DRRI D= −1 (26)

( ) ( )( )P

PP

Z DRRIZ DRRI

DRRI DA

A2

2

1=

−

(27)

( ) ( )( ) ( )P

PP P

Z DRRIZ DRRI

D DRRI DA

A2

2

1=

− ⋅

(28)

Cum ( )P Z DRRIA2 şi ( )P DRRI D se pot determina din datele obţinute din

exploatare, se obţine:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]P P P PZ DRRI Z DRRI D DRRI DA A2 2 1 = ⋅ − ⋅ (29)

Caz numeric:

Când se cunosc probabilităţile de refuz de declanşare a intrerupătorului şi de

funcţionare în treapta a II-a, când refuză DRRi

( )P D = 0 001,

( )P Z DRRIA2 0 00101= ,

( ) 99111,0=DDRRIP

( ) [ ]P Z DRRIA2 0 00101 1 0 001 0 99111 0 001008 = ⋅ − ⋅ =, , , ,


24

Formula probabilităţii totale ilustrează corelaţia dintre probabilitatea unui eveniment A

şi evenimentele N1, N2………… Nn care formează un sistem complet de evenimente.

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )NAPNPNAPNANANAPAP ii i

n

i

n

in /......)( *

1121 ∑=∑==

== (30)

Deci probabilitatea de producere a evenimentului A este suma produselor

probabilităţilor de realizare a evenimentului condiţionat de producerea evenimentelor

Ni

Exemplu

Care este probabilitatea unei declanşări nedorite la întrerupătorul Io din schema de

mai jos (fig.8) când unul din întrerupătoarele I1, I2………… In refuză declanşarea din

cauza lipsei curentului operativ ?

Io

I1

L1I2

L2

Ln

In

.

.

Fig.8

A – evenimentul ca să lipsească curentul operativ la întrerupătoarele I1, I2………… In NI - evenimentele independente ca pe liniile LI să apară un motiv de creştere a curentului (avarie)

( )[ ] ( ) ( )NAPNPNNNAP ii

n

in /....

121 •∑=

= (31)

Dacă se urmăreşte probabilitatea realizării evenimentului A împreună cu numai una

din ipotezele Ni modelarea se face cu formula lui Bayes.

Avem un sistem complet de evenimente H1, H2…Hn cu probabilităţile P (H1), P

(H2)….P (Hn).

Să presupunem că A se poate realiza împreună cu una din aceste ipoteze. Care este

probabilitatea ca odată cu evenimentul A să fie realizată şi ipoteza Hi.

Din relaţia probabilităţilor condiţionate avem.

( ) ( ) ( )HPHAPAPAHP iii ⋅⋅ = /)(/ (32)


25

( ) ( ))(

)(//

APHPHAP

AHP iii

⋅= (33)

dar,

( )./)()(1

HAPHPAP ii

n

i⋅∑=

=

(34)

deci,

( ) ( )( )∑ ⋅

==

⋅

n

kk

i

HAPHPHPHAPHP

k

iiA

1/)(

/ (35)

Exemplu În construcţia unei linii se folosesc 3000 izolatoare din care 600 sunt refolosite iar

2400 sunt noi . Probabilitatea de conturnare a celor folosite este 0,1 iar a celor noi de

0,05. Câte conturnări din 10 se vor datora izolatoarelor noi ?

Fie - E1 (E2.) – evenimentul ca un izolator solicitat de o supratensiune să fie nou ,

respectiv refolosit

- X – evenimentul de a apare o conturnare

8.0

30002400)( 1

==EP 2.03000600)( 2

==EP (36)

05.01 =

XEP 1.02 =

XEP (37)

Probabilitatea ca o conturnare să se producă la izolatoarele noi se determină folosind

formula lui Bayes.

( ) ( )

( )67.0

/12

1

1

1 )(/=

⋅

⋅=

∑=k

kEPXEPEPEP

EXP

k

X (38)

Din 10 conturnări 6,67 se var datora izolatoarelor noi iar restul de 3,33 izolatoarelor

refolosite care deşi mai puţine au o capacitate mai mică de a suporta supratensiuni

fără a se conturna.


26

I.3. VARIABILE ALEATOARE Se mai numesc şi variabile întâmplătoare.

Exemplu :

- zilele dintr-un an în care cade ploaia

- nr. de defecte de pe LEA într-un an

- nr.de funcţionări eronate ale protecţiilor într-un interval de timp dat

- nr. de RAR-uri reuşite într-un interval de timp dat

- nr. de puncte care apar la aruncarea unui zar

- timpul de funcţionare fără defecţiuni

- timpul de restabilire

Fie Ω, K , P un corp borelian de probabilitate şi o familie F de părţi a lui Ω care

generează corpul borelian .

F are forma de interval [ a , b ]; - ∞ < a < b < + ∞

β este corpul borelian generat de familia F de intervale de forma [ a , b ]

Se numeşte variabilă aleatoare o funcţie

X : Ω → R cu proprietatea ca ∀ A ∈ B X-1 (A) ∈ K ,

adică X-1 (A) = ω ∈ Ω / X (ω)∈β ∈ K

X este variabilă aleatoare dacă ,

ω ; X (ω) < X sau (39) ω;X(ω)≤X∈ K (40) sau înlocuind cu complementara dacă ω ;X (ω)> X ∈Ksau (41) ω;X(ω)≥X ∈ K (42) • formaţie nevidă (k) de părţi ale mulţimii de evenimente elementare.

Variabilele se numesc independente dacă pentru un sistem de numere reale XI (XI

,X2 …Xn)

avem : P(XI < x1, X2 < x2 ……. Xn < xn) = P ( XI < x1 ) · P ( X2< x2) · ….P ( Xn < xn) (43) Fie X ,Y două variabile aleatoare şi α ∈ R


27

XX

XYXYX

⋅

⋅

+

α

α

Sunt deasemeni variabile aleatoare (44)

Dacă X şi Y sunt două variabile aleatoare X (ω) = Y (ω) , ∀ ω ∈Ω .

Cunoaşterea variabilelor aleatoare presupune cunoaşterea :

- valorilor pe care le pot lua acestea

- probabilităţilor cu care sunt luate fiecare dintre aceste valori

Schematic avem :

←

pppxxx

Xn

n

.............21

21 Tabloul care defineşte distribuţia sau repartiţia (45)

variabilei aleatoare X.

Se cere : →xxx n.......21 Valorile posibile ale variabilelor aleatoare (46)

→ppp n......21 Probabilitatea cu care variabila X ia aceste valori (47)

Deci o variabilă aleatoare este o aplicaţie X : Ω → R P ( X = x1 ) + P ( X =x2) + ….+ P ( X=xn) = 1 (48) sau simplificat p1 + p2 + ……..+ pn = 1 (49) I.3.1 OPERAŢII CU VARIABILE ALEATOARE Dacă X este o variabilă aleatoare cu repartiţia :

pppxxx

Xm

m

.............21

21 (50)

şi a o constantă variabilă aleatoare aX are repartiţia :

pppxaxaxa

Xan

n

........

.......

21

21 (51)

iar variabila aleatoare a+x are repartiţia


28

++++

pppxaxaxaXa

n

n

.................21

21 ....... (52)

Dacă X şi Y sunt variabile aleatoare , suma Z = X + Y va avea repartiţia :

+++++

ppppyxyxyxyxYX

mnij

nmii

..........................

.................

21

1211

21 (53)

pij – fiind probabilitatea realizării simultane a egalităţii X= xi şi Y= yj Dacă :

pppxxx

Xm

m

.............21

21

qqqyyy

Yn

n

.............

21

21

rrrzzz

Zs

s

...............

21

21

++++++

+++pppp

zyxzyxzyxzyxmnsijk

snmkjiZYX

.............................................111

112111

211 ........ (54)

Dacă

( )( )

qpPqyYPpxXP

jiij

j

i

i

i

⋅=

=

=

==

I.3.2 FUNCŢII DE REPARTIŢIE Dacă X este o variabilă aleatoare , funcţia F(X) = ω / ω ∈ R ; X(ω) < x se numeşte

funcţie de repartiţie a variabilei aleatoare F : R → [ 0 , 1 ]

Simplificat F(x) = P (X < x )


29

Deci oricare variabilă aleatoare poate fi dată prin intermediul funcţiei sale de

repartiţie .

Pentru variabilele aleatoare discrete , funcţia de repartiţie este :

∑

<

=xXn

npxF )( unde xXPp nn == )(( ω (55)

Deci : Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare discrete este suma

probabilităţilor valorilor X(ω) situate la stânga lui x

Exemplu : Fie variabila aleatoare X care ia valorile xI ( i = 0, 1, 2, 3, 4, 5 ) , astfel :

2.01.03.01.02.01.0

543210X

utilizând formula ∑

<

=xXn

npxF )( rezultă : (56)

≤<++++

≤<+++

≤<++

≤<+

≤<

<

=

>51

)(

541.03.01.02.01.0

433.01.02.01.0

321.02.01.0

212.01.0

101.0

00

xdacaxdacaxdacaxdacaxdacaxdaca

xdaca

xF

(57)

Aşadar dacă X este o variabilă aleatoare discretă funcţia sa de repartiţie este dată de :

∑<

=xXi

ipxF )( (58)

Exemplu : Fie variabila aleatoare X dată prin tabloul de repartiţie :

81

83

83

81

320 1X

Să se determine funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X .


30

Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X este :

<

≤<

≤<

≤<

<

=

xdacaxdaca

xdaca

xdaca

xdaca

xF

3

3287

2184

1081

00

1

)(

(59)

I.3.3. DENSITATEA DE REPARTIŢIE Ştim că funcţia de repartiţie îndeplineşte condiţia : )()()( 1221 xFxFxXxP −=<≤ (60)

Dacă X este o variabilă aleatoare şi F(X) este funcţia sa de repartiţie şi dacă ∃ o

funcţie f(n) reală definită şi integrabilă pe R astfel încât :

RxdnnfxFx

∈∀= ∫∞−

)()( (61)

atunci această funcţie fn o numim densitate de repartiţie sau densitate de

probabilitate.

( )x

xxXxPx

xFxxFxxfxx

F ∆∆+<≤

=∆

−∆+==

→∆→∆

)()()()( limlim'00

(62)

De aici rezultă :

dxxfxxXxP )()( =+<≤ ∆ (63)

I. 3.4. VALORI MEDII ; MOMENTE I.3.4.1. CAZUL VARIABILELOR ALEATOARE DISCRETE a. Valori medii Fie X o variabilă aleatoare discretă care ia valorile xn cu probabilităţile Pn = P(X= xn)

( ) ∑∞

=

=1n

nn xPxM (64)


31

se numeşte valoare medie sau speranţa matematică a variabilelor aleatoare X.

Proprietăţi :

- Media sumei variabilelor aleatoare -

Dacă X şi Y sunt două variabile aleatoare discrete şi există M(X) şi M(Y)

atunci există M(X+Y) şi

( ) )()( YMXMYXM ++ = (65)

- Media produsului dintre o variabilă aleatoare X şi o constantă c –

( ) )(XMccXM ⋅= (66)

Deci ,

( ) ( ) )(11

XMcxPxPxPcXM ni

nni

nni

n ccc ==== ∑∑∑∞

∞=

∞

=

∞

=

(67)

În general : )(

11∑∑

∞

=

∞

=

=

iii

iii XMcXcM (68)

- Produsul a două variabile aleatoare discrete -

( ) )()( YMXMYXM ⋅=⋅ (69)

- Inegalitatea lui Schwartz –

( ) ( )YMXMXYM 2*2)( ≤ (70)

b. Abaterea unei variabile aleatoare

Fie X o variabilă aleatoare discretă a cărei valoare medie este M(X) , variabila

aleatoare

( )XMX −=τ (71)

se numeşte abaterea variabilei aleatoare X.

Media abaterii unei variabile aleatoare : M(τ) = 0

Avem ( ) [ ] ( )[ ]XMMXMXMXMM −=−= )()(τ (72)


32

Dar media unei constante M(c) = c şi cum M(X) = constant ( )[ ] ( )XMXMM = (73)

Deci . ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 0=−=−= XMXMXMMXMM τ (74)

c. Momente

Fie X o variabilă aleatoare discretă şi r un număr natural . Dacă ∃ M(Xr) atunci

această valoare se numeşte momentul de ordin r al variabilei aleatoare X şi se

notează :

( ) pxXMM nn

r

nrrX ⋅== ∑

∞

=1)( (75)

- Momentul de ordin 1 este chiar media variabilei aleatoare

( ) PxXMXMM n

nnX ⋅=== ∑

∞

=1

1

1 )()( (76)

- Momentul de ordin r al variabilei aleatoare | X | se numeşte momentul

absolut de ordin r al variabilei aleatoare X

||XM

r (77)

- Momentul de ordin r al abaterii τ = X – M(X) , se numeşte moment centrat de

ordin r al variabilei aleatoare X şi se calculează :

( ) ( ) ( )[ ]

−=−== )(XMXMXMXMMXM

r

rrr τ (78)

d. Dispersia Momentul centrat de ordin 2 : ( ) [ ]ττ 2

2 MM = (79)

se numeşte dispersia variabilei aleatoare X şi se notează : ( ) ( ) ( )( )

=== −∆ XMXMXmX

2

2

22 τ (80)


33

Numărul τ ( ) ( )XmX 2==∆ τ (81)

se numeşte abaterea medie pătratică a variabilei aleatoare X.

Proprietăţi ale dispersiei :

- ( ) ( ) ( )[ ]XMXMX

222 −=∆ (82)

( ) ( )( )[ ] ( )( )( ) ( ) ( )[ ]

( )

( )[ ]XMXM

XMXMXMXMXM

XMMXMXM

XMXMMXMXMXMXMXMXMXXM

XMXMMXMX

XMMXMM

X

2

22

)()(2

2

2

)(

)()()()()(

)()()(

)()()(

2

*2

2

2

2

22

−=

=⋅+⋅−=

−=

=

+

−=

=⋅+−=

=

=−=

=

+

⋅⋅

−∆

- Dacă : µλ +⋅= XY ;λ şi µ fiind două constante (83)

( ) ( )

( )XYXY

∆∆∆∆⋅=

=

λλ 222

(84)

- Dacă λI sunt n constante iar XI sunt n variabile aleatoare discrete independente

două câte două , atunci :

( )XX i

n

ii

n

iii ∆∑∑∆ ⋅=

⋅

==

2

11

2 λλ (85)

I.3.4.2. CAZUL VARIABILELOR ALEATOARE CONTINUE a. Valori medii Fie X o variabilă aleatoare continuă având funcţia de repartiţie F(X) şi fie f(x)

densitatea de repartiţie a variabilei aleatoare X , atunci se numeşte valoarea medie

a variabilei aleatoare :

( ) ∫∫+∞

∞−

∞+

∞−== dxxxfXxdtXM )()( (86)


34

b. Abaterea Dacă X este o variabilă aleatoare continuă şi M)X este media , atunci )(XMX −=τ (87)

se numeşte abaterea variabilei aleatoare X. c. Momentul Dacă X este o variabilă aleatoare continuă , expresia : ( ) ( ) dxxfX xxdFxXMM rrr

r )()( ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−=== (88)

se numeşte momentul de ordin r a variabilei aleatoare X. Momentul de ordin r al modulului variabilei aleatoare continue X :

( ) ( ) dxxfdFX xxXMMrrr

r )(∫∫+∞

∞−

+∞

∞−==

= (89)

se numeşte momentul absolut de ordin r al variabilei aleatoare continue X. • Dispersia variabilei aleatoare

( ) ( )( )

= − XMXMM

2.

2 τ (90)

se numeşte dispersia variabilei aleatoare X ( ) ( )( )

= − XMXMM

r

r

..τ (91)

se numeşte momentul centrat de ordin r a variabilei aleatoare continue X. I.3.5. FUNCŢIA CARACTERIATICĂ Fie Ω, K , P un câmp de probabilitate şi Z : Ω → C , Z (ω) = X (ω) + j Y (ω) ,

∀ ω ∈ Ω

Funcţia Y se numeşte variabila aleatoare complexă dacă X şi Z sunt variabile

aleatoare pe acest câmp .

Media variabilei aleatoare complexe Y este :


35

M(Z) = M(X) + j M (Y) (92)

Expresia :

eitX = cos tX + j sin X ∀ t ∈ R (93)

este o variabilă aleatoare complexă cu modulul egal cu 1.

Valoarea medie a variabilei aleatoare complexe eitX se numeşte funcţie caracteristică

a variabilei aleatoare X.

( ) [ ] )(xdFMt ee itXitX

x⋅== ∫

+∞

∞−ϕ (94)

Pentru variabila aleatoare de timp discret funcţia caracteristică are formula :

( ) ∑∞

=

=1k

k

itX

x petϕ (95)

unde: [ ] NkXP xp kk

∈== (96)

Dacă variabila aleatoare este continuă şi are o densitate de repartiţie f(x) întrucât

dF(x) = f(x) dx , funcţia sa caracteristică va fi :

( ) dxxft eitX

x)(⋅= ∫

+∞

∞−ϕ (97)

Fiecărei variabile aleatoare îi corespunde :

- o funcţie de repartiţie şi

- o funcţie caracteristică.

Funcţiile de repartiţie sunt în general discontinue , din acest motiv în calcule se face

uz de funcţiile caracteristice , acestea fiind continue.

Alt avantaj al funcţiilor caracteristice este reprezentat de faptul că produsul de

convoluţie a 2 funcţii de repartiţie corespunde produsului obişnuit a 2 funcţii

caracteristice.

Deci funcţia caracteristică este un instrument de studiu al variabilelor aleatoare mai

uşor de folosit decât funcţia de repartiţie.


36

• Proprietăţi ale funcţiilor caracteristice :

- Dacă X este o variabilă aleatoare şi ϕx funcţia sa caracteristică atunci :

( ) 10 =ϕ x Demonstraţie: ( ) [ ] 1]1[0 0 === MM exϕ (98)

( ) Rttx

∈≤ 1ϕ

- Funcţia caracteristică este o funcţie uniform continuă pe R

εϕϕ 2)()( 21 <− tt xx

(99)

- Pentru ∀ t ∈ R

( ) ( )txtx

ϕϕ____________

=− (100)

Demonstraţie :

( ) ( )tdFee xitxxdFt itx

xϕϕ

______________________________

)( =∞+∞−

==− ∫∫∞+

∞−

− (101)

- Dacă a şi b sunt două constante reale şi Y = aX + b atunci :

( ) ( )att

X

ibt

y e ϕϕ ⋅= (102)

Demonstraţie :

( ) ( ) [ ]( )

( )at

MdFdF

dFMtt

X

itb

itaXitbitaXitbitbitaX

baXitbaX

baXy

eeeeeee

ee

ϕ

ϕϕ

=

===⋅=

====

∫∫

∫∞+

∞−

∞+

∞−

+∞

∞−

++

+

)(

- Dacă X şi Y sunt două variabile aleatoare independente ,atunci:

( ) ( ) ( )ttt

YXYX ϕϕϕ ⋅=+

(103)

Demonstraţie : ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]eeeee itYitXitYitXYXit

YXMMMMt ⋅=⋅== +

+

)(ϕ (104)

deci, ( ) ( ) ( )ttt

YXYX ϕϕϕ ⋅=+

(105)

- În general dacă X1 X2……. Xn sunt variabile aleatoare


37

( ) ( ) ( ) ( )ttttXnXXXnXX ϕϕϕϕ ⋅⋅⋅=

++ .....21....21 (106)

( ) ( )tt

XkXk ϕϕ ∏=∑

(107)

- Dacă momentul absolut de ordin n al variabilei aleatoare X există

atunci derivata de ordin n ϕ(n)(t) şi are valoarea :

( ) )()(

xdFt exi itxnnn

∫+∞

∞−=ϕ (108)

iar :

iM n

n

n X)0(

)()(ϕ

= (109)

Demonstraţie :

Prin derivare de n ori a funcţiei caracteristice se obţine :

( ) )(xdFt exi itxnn

X ∫+∞

∞−=ϕ (110)

pentru t=0 avem :

( ) ][)(0 0 XxdF Miexi nnnn

X== ∫

+∞

∞−ϕ (111)

deci,

iM n

n

n X)0(

)()(ϕ

= (112)

- Dacă pentru ∀ n∈N , momentul absolut de ordin n există ( ∃ M( | X | ) )

atunci funcţia caracteristică ϕX (t) se poate dezvolta în serie de puteri.

( ) ( ) ( )Xit k

n

k

k

XM

kt ∑

=

=1 !ϕ (113)

Demonstraţie: Se utilizează formula lui Marc – Lauri


38

( ) ( ) ( )

1

!)!1(......

!2!11

0

;12

<<

=+−

++++=

−

θ

θnn

itx itxRR

itxitxe

n

nn

n

itx

(114)

- Dacă X este o variabilă aleatoare unidimensională având funcţia

caracteristică ϕX (t) reală , are loc inegalitatea :

( ) ( )[ ]tkt

XX k ϕϕ −≤− 121 (115)

În mod particular :

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )[ ]tt

txtx

pentruttxktx

XX

k

ϕϕ −≤−

−≤−

=

−≤−

1421

cos12cos1

2cos1cos1

22

2

(116)

Teorema de inversiune Dacă F este o funcţie de repartiţie şi ϕ funcţia caracteristică pentru x1< x2 , două

puncte de continuitate ale lui F are loc relaţia :

( ) ( ) dtt

it X

u

u

itxitx

u

eexFxF )(21 21

12 lim ϕ∫+

−

−−

∞→

−Π

=− (117)

Teorema de unicitate Funcţia de repartiţie F este unic determinată de funcţia caracteristică ϕX .

( )

−

Π= ∫

+

−

−−

∞→∞→

dttit

xX

u

u

itxity

uy

eF )(21limlim ϕ (118)

I.3.6. FUNCŢIA GENERATOARE Funcţia generatoare a unei variabile aleatoare X este funcţia :

G : Z/Z∈C | Z | ≤ 1 → C

Dată prin relaţia :

( ) ZpG k

kk

Z ∑∞

=

=0

(119)


39

Funcţia generatoare determină în mod unic repartiţia variabilei aleatoare X . Între

funcţia generatoare a variabilei aleatoare X şi funcţia caracteristică a acesteia există

relaţia :

( ) ( )eit

XGt =ϕ (120)

Derivăm de k ori :

ZpkkkkkZG

ZpkkpZGZpkZppZG

ZpZpZppZGZpZpZpZpZpZG

kk

k

k

k

k

k

k

k

k

k

kk

k

k

k

−

−

−

−

+−−−−

−−⋅⋅−⋅

+++++=

++++++=

++++++=

++++++=

++++++=

)1)....(3)(2)(1()(

)2)(1(123)(''')1(23)(''

3)(')(

.......0000)(..

...........000

...........200

...........210

...........

1

3

31

21

321

12

321

3

3

2

2

1

1

0

0

Deci ,

!

)0(!)(!)(

)()(0)(

() kkZkZ GppGZpG

k

kk

k

k

k =⇒=⇒= (121)

Fie : ( )kXpqk

>=

probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia valori mai mari decât k. ( )pppppq kkkk

.......1......1021++−+++=

++ (122)

Introducem funcţia generatoare:

( )

ZZG

ZZ

Z

ZZZH

ZH

ZH

ZH

ZH

ppZpZpZpZ

ZpZpZpZ

Zppp

Zq

k

k

kk

k

k

k

k

k

k

kk

k

k

k

kk

k

k

kk

k

kk

−−

−=

−−

−−

−=

−−−=

−−−=

++−=

=

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑

∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

1)(

11..............

1111)(

.........)(

.........)(

.......1)(

)(

10

001

00

0

001

00

0

010

0


40

ZZGZH

−−

=1

)(1)( (123)

- )0(

0Gp = (124)

Demonstraţie :

)0(

...0)(0

)()(0

)(

0

10

0

0

0

0

0G

ZGZ

ZGZGk

ZG

pPPpZp

Zp k

k

=

++=⇒=

=⇒=⇒=

= ∑

(125)

- Cu ajutorul funcţiei generatoare a unei variabile aleatoare se pot calcula

momentele :

( ) ( )( ) ( ) ( ) ZpkkZppZG

ZpkZpZppZG

ZpZpZpZppZG

k

k

k

k

k

k

k

k

k

31

43

'''

22

432

''

13

4

2

32

211

0)(

....................23423000

.............4323200

.................4321

−

−

−

−−−

+=

+⋅⋅+⋅⋅+++=

+⋅+⋅+++=

+++++

Pentru Z=1 avem :

( )( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) )1(')1(''3)1('''

)1(')1(''

)1('

)(2323

22221)1('''

)()1(''

)()1('

)2)(1(..............123423)1('''

)1(..............343212)1(''

..............4321)1('

3

2

23

23

2232

2

22

43

4322

4321

)(

21112

GGGX

GGX

G

rezultaaiciDe

XMXXk

kkkkkG

XMXkG

XMG

kkkG

kkG

kG

MM

XM

MMppkpkpkkkpkpk

Mpkpkpkkp

pkkkppppkkppppp

kpppppp

kkk

kkk

kkk

k

kk

kk

kk

++=

+=

=

+−=+−=

=+−−=−−=−−=

−=−=−=

==

=−−+⋅⋅⋅+⋅=

=−+⋅+++⋅=

=++++=

∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑ −−∑ −⋅⋅

∑

(126) Fie : X = ( X1, X2 ,X3,……….. n) un vector aleator n dimensional având funcţia de repartiţie


41

F(x1, x2 ,x3,……….. n) Funcţia caracteristică a vectorului aleator are forma:

( ) ( ) ( )∫+++=

R

xtxtxtn

nn xxxdFettt ni

nX........... 21

.....

212211ϕ (127)

Dacă funcţia caracteristică este reală, ea are forma:

( ) ( ) ( )∫ +++=Rn

xxxdFxtxtxtttt nnnnX...........cos..... 21221121ϕ (128)

I.4. LEGI CLASICE DE PROBABILITATE

A. – Legi clasice de repartiţie de tip discret

B. – Legi clasice de repartiţie de tip continuu

A. Legi clasice de repartiţie de tip discret Repartiţia binomială

Repartiţia Poisson

Repartiţia multinomială

Repartiţia binomială cu exponent negativ

Repartiţia hipergeometrică

B. Legi clasice de repartiţie de tip continuu

1. Repartiţia uniformă

2. Repartiţia exponenţială

3. Repartiţia normală

4. Repartiţia normal redusă

5. Repartiţia lognormală

6. Repartiţia χ2 (hi pătrat)

7. Repartiţia γ (gama)

8. Repartiţia β (beta)


42

9. Repartiţia student sau Goset

10. Repartiţia Snedecor

11. Repartiţia Weibull

I.4.1 LEGI CLASICE DE REPARTIŢIE DE TIP DISCRET I.4.1.1 REPARTIŢIA BINOMIALĂ

sau repartiţia lui Bernoulli ( schema urnei lui Bernoulli)

Într-o urnă există b bile de două culori . Se extrage una din ele . După ce se vede ce

bilă a fost , (ce culoare a avut ) , bila se introduce din nou în urnă. Avem astfel n

extrageri independente . Fie nr. de bile de o culoare notat cu a (bile albe ) şi nr. de

bile de altă culoare notat cu r (nr.de bile roşii )

a + r = b , b = număr total de bile

Fie A evenimentul care constă în extragerea la întâmplare a unei bile albe şi CA

evenimentul contrar .

Avem :

10,)(

)(

,, =+<=+

==

=+

==

qpqpbr

rarCAPq

ba

raaAPp

(129)

Se fac n extrageri .

Notăm cu Ak evenimentul care constă în obţinerea a k bile de culoarea a din cele n

extrageri . Evenimentul Ak , k=1,2….n formează un sistem complet de evenimente.

Probabilitatea obţinerii a k bile de culoarea a din cele n extragerii este.

qPCA

knkk

nkPKP−

== )()( Variabila aleatoare are următoarea repartiţie:

−− pqpCqpCq nn

n

n

n

n

nk

............................

.......................................................10111111

(130)

Repartiţia determinată de probabilitatea P(Ak) se numeşte repartiţie binomială de

ordinul n şi parametru p şi se notează Bi (n,p).

- Media repartiţiei binomiale este :


43

( )

( )

( )

qpC

qxpCqpx

qxpCqpx

qpCpxM

knn

k

kkn

knn

k

kkkn

n

knkn

k

kkn

n

knn

k

kknk

kk

knp

qpcăcontţinândşixfăăcând

knp

avemderivând

npkX

−

=

−

=

−−

−

=

−

=

∞

=

∑

∑+

∑+

∑∑

=

=+=

=

=

===

0

0

11

1

11

11

)(xMnp = (131)

- Dispersia este :

( ) ( ) ( )[ ] npqxMxMx =−=∆222 (132)

Demonstraţie :

( ) [ ]

( ) ( )

( ) qxpCqpx

qpCqpxqxpCqpx

qpCkxMxM

knkkk

n

n

knkk

n

nknkkk

n

n

knkk

n

knpx

rezultăederiprinşi

deoareceknp

căŞtiind

−−

−−−−

−

∑+

∑+∑+

∑

=

==

==

1

11

2

2

:var

:

2

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )[ ] npqpnpnnpX

Xnnp

Xnnnp

Xpnnp

Xnnnp

x

xnnnp

pnppnxMMMppnMp

MqpqpMpqpqp

qxpCkpqpxqpx

n

nn

knkkk

n

nn

=−=−−+=−

=−+

=⋅−+

=

−+

=⋅−+

=

=⋅⋅⋅−+

++⋅++

∑++

−

−−

−−−−

)1(

1

1

1

1

1

222222

2

2

222

2

2

2

2

2

221

12221

- Funcţia caracteristică


44

( ) [ ] ( ) [ ]qepqepCqpCee ititMt

nknkn

k

kn

knkkn

n

k

itkitX

X +∑∑ ====−

=

−

=**

.

00ϕ

( ) [ ]qep ittn

X +⋅=.

ϕ (133)

- Ştiind că funcţia caracteristică poate avea şi expresia : ( ) ( )eit

XGt =ϕ (134)

unde :

( ) Zp kn

nk

ZG ∑=

=0

este funcţia generatoare , (135)

Se pot determina momentele :

( )( )( ) )1(')1(''3)1('''

)1(')1(''

)1(')(

3

2

1

GGGX

GGX

GXMX

MMM

++=

+=

==

(136)

I.4.1.2. REPARTIŢIA POISSON

Se mai numeşte şi legea evenimentelor rare. Este un caz limită al repartiţiei

binomiale pentru n→∞ şi p→0 cu condiţia np = λ = constant.

Prin definiţie repartiţia discretă determinată de probabilitatea :

e kk

kKP −=

!)( λλ (137)

k=1,2….n λ > 0 se numeşte repartiţie Poisson de parametru λ. Tabloul de repartiţie al legii Poisson este :

⋅⋅⋅ −−−− ..................

!.......

!2!1

...........................................210

k

k

eeee X λλλ λλλ (138)

Această lege se poate obţine din legea binomială făcând n→∞ şi np = λ.


45

- Media

( ) λ=XM (139) Demonstraţie :

( ) ( )

( ) ( )

λλ

λλ

λλ

λλ

λλ

λλ

λ

λλλλλ

λλ

=⋅=

+

−+++⋅=

−⋅=

=⋅⋅−

⋅===

−

=

−−

∞

=

−−

−∞

=

−∞

==

∑

∑∑∑

ee

ee

eepX

e

kk

kkk

kkXM

k

k

k

k

kk

kk

n

kk

.....!1

.....!2!11.!1

..!1!1.2.1.0.

1

1

0

.

00

-Dispersia ( ) [ ])( 2..22 XMXM −=∆ (140)

[ ] λλ λλλ λλ +=+=⋅== −−∞

==∑∑ 22

0

2

1

22

! eekpXXM k

k

kk

n

kk

Deci , [ ] λλ λλ =−+=∆

2.22 (141) -Funcţia caracteristică Are expresia :

( ) e etit

X

−= 1λϕ (142)

I.4.1.3 REPARTIŢIA MULTINOMINALĂ Avem o urnă care conţine nj bile de culoarea j , j ∈ [1,r] ,

r - nr. maxim de culori

Nr. Total de bile din urmă este :

∑=

=r

jjnn

1

- Evenimentul care constă din extragerea unei bile de culoarea j este notat Aj

Probabilitatea evenimentului Aj este :

( ) ∑=

==++

==r

jj

j

r

jjj pn

nnnnAp cu

np

121

1.......

(143)


46

- Evenimentul care constă din obţinerea în urma a n extrageri repetate a:

- k1 bile de culoarea 1 ,

- k2 bile de culoarea 2

- .

- .

- r bile de culoarea r ,

- cu Σ kj=n ,

- Se notează Bk1, k2 …..kr

Probabilitatea de producere a evenimentului Bk1, k2 …..kr este :

( ) ( )Bpkkkp krkkn .....21111 ...... = (144)

( ) pppkkkBp kr

r

kk

rkrkk

n ......*!!.......!.

! 2

2

1

121

.....21 = (145)

Această probabilitate determină o repartiţie care se numeşte repartiţie polinomială

sau multinominală. Aceasta provine de la faptul că termenul general al dezvoltării

polinomului :

( )ppp rn....21+

dar membrul drept al probabilităţii ( )Bp krkk .....21

-Media npXM j

=)( (146)

-Dispersia ( ) [ ] ( ) qppnpXMM jjjj

nX =−=−=∆ 1)( 2.

22 (147)

-Funcţia caracteristică Are valoarea :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )epepepep

epepepkkk

eB

itr

r

ititit

krkk

r

trkrktkij

krkkrkkX

itrititn

pt

1

3

3

2

2

1

1

21

21

......2211

.....1......21

.........

1....21

11!!......!

!

++++=

==

=⋅=

∑

∑ ++ϕ

(148)


47

I.4.1.4. REPARTIŢIA BINOMIALĂ CU EXPONENT NEGATIV

qpCPnknn

kn k−−

−−= 1

1)( (149)

( )

( )

( )

−

∆

=

=

+=

=

eqep

p

ppnM

M

it

itt

nq

nqX

pnX

n

X 1

.

22

22

2

2

1

ϕ

I.4.1.5. REPARTIŢIA HIPERGEOMETRICĂ

( )CCCP n

ba

kn

b

k

an bak

+

−

−=,, (150)

banaXM+

=)(

[ ] [ ] ( )

( ) ( )12

2.22 )(−+

−+=−=

+∆ba

nbanbMba

XMX (151)

I.4.2. LEGI CLASICE DE REPARTIŢIE DE TIP CONTINUU I.4.2.1.REPARTIŢIA NORMALĂ

A fost pusă în evidenţă de Moivre sub formă redusă ca o repartiţie limită a unei

repartiţii binomiale cu p=q=1/2 .

Generalizată pentru pq ∈ (0,1) a fost obţinută de Laplace .La forma generală cea

mai cunoscută insă a ajuns Gauss care a utilizat-o la studiul erorilor

Fie o variabilă aleatoare continuă X . Aceasta urmează o repartiţie normală de

parametri m şi τ2 dacă densitatea sa de probabilitate este :

( )

emx

xf τπτ2

2

221)(

−= − (152)


48

şi se notează N (m,τ2)

Media :

mXM =)( (153)

Dispersia :

τ 22 )( =∆ X (154)

Funcţia de repartiţie :

( )

dumu

xFx

e∫ ∞−

−−

= τπτ2

2

221)( (155)

Funcţia caracteristică:

( ) et titm

X2

22τϕ −= (156)

Demonstraţie

Media :

( )

dxmu

xdxxxfXM e∫∫∞

∞−

−∞

∞−

−== τπτ

2

2

221)()( (157)

dtdxmtxmxt τττ

=+=⇒−

= (158)


49

( )

mmm

dtt

mdtt

tdtt

mtXM

Poissonegr

II

eee

==

+=

=+=+=

==

∞

∞−

−∞

∞−

−∞

∞−

−

∫∫∫

πππ

πτ

πτ

πτ

π

221

21

21

21

21)(

.int2

201

222

222

(159)

Dispersia se demonstrează ştiind că:

( ) [ ])( 2.22 XMXM −=τ (160)

I.4.2.2. REPARTIŢIA NORMALĂ REDUSĂ

Dacă o variabilă aleatoare U este repartizată N(0,1)

Se zice că ea urmează o repartiţie normală redusă funcţia sa de repartiţie fiind :

duu

ufx

e∫ ∞−

−= 2

2

21)(π

(161)

Funcţia de mai sus se numeşte funcţia Laplace

I.4.2.3. REPARTIŢIA LOGNORMALĂ

O variabilă aleatoare X continuă urmează o repartiţie lognormală dacă densitatea sa

de repartiţie este :

( )

∫ ∞−

−−

=x

enx

xf τπτ2

2

2

ln

21)( (162)

şi se notează LN(nτ2)

unde n şi τ2 sunt media şi respectiv dispersia logaritmului lui X


50

I.4.2.4. REPARTIŢIA EXPONENŢIALĂ

O variabilă aleatoare X urmează o repartiţie exponenţială de parametru λ notată E(λ)

dacă are o densitate de repartiţie :

( )[ ]

>≥=

∞∈−

−

,00

00

xpentru

sixpentruxf

e x λλ

(163)

Media :

λ1)( =XM (164)

Dispersia :

λ2

2 1)( =∆ X (165)

Funcţia caracteristică:

( )it

tX −

=λ

λϕ (166)

Funcţia de repartiţie :

≤

>−=

−

00

01)(

xpentru

xpentruxF

e xλ

(167)

I.4.2.5. REPARTIŢIA χ2 (hi pătrat)

O variabilă aleatoare continuă X este repartizată χ2 cu n grade de libertate şi

parametru τ dacă densitatea sa de probabilitate este :


51

exxn

nnn

xf τγτ

.1)( 22

.1.2

22

.2

−− ⋅⋅= (168)

cu

dxex x−∞ −

∫=0

1)( ααγ (169)

Gama funcţia lui Euler de speţa a II-a

Funcţia caracteristică a sa este :

( )τϕ 2)( 21 2itn

Xt −

−= (170)

Dacă variabilele aleatoare independente X1 şi X2 sunt repartizate χ2 cu n1 respectiv

n2 grade de libertate atunci variabila aleatoare X1 + X2 este repartizată χ2 cu n1 + n2

grade de libertate .

( )τϕ 2)( 21 221.

21 itnn

XXt −

+−

+= (171)

I.4.2.6. REPARTIŢIA WEIBULL

Modelează durata de viaţă .

Se utilizează cu bune rezultate în studiul :

- uzurii materialelor

- repartiţiei defecţiunii tuburilor în vid

- fiabilităţii în general

O variabilă aleatoare este repartizată Weibull dacă densitatea sa de repartiţie este :

( )

ex

uxx x

ux

o

mxf

mm

0

.

1

0

)(−

= −

−

− (172)

m – parametru de forma

x0 - parametru de scală

u – parametru de localizare sau de calaj

Repartiţia aceasta se mai numeşte şi repartiţie Weibull triparametrică . w (m , x0 ,u)


52

Funcţia de repartiţie a sa este :

( )

≥<

≥≥−

−

=

−

00

01

)(

0

.

uuxdacă

uuxdacăxux

xFe

m

(173)

Dacă u=0 , m=1 , adică W (1,x0 , 0)

eexx

xxx

xxf λλ −− ==

0

.

0

0 0

1)( (174)

cu x0

1=λ (175)

adică este repartiţia exponenţială negativă.

I.5. FIABILITATEA ELEMENTULUI SIMPLU Elementul simplu este d.p.d.v. fiabilistic o entitate primară indivizibilă. Structura sa

interioară se poate reflecta în comportarea de ansamblu a sistemului din care acest

element face parte. Este interesant studiul în timp al elementului simplu d.p.d.v. al

comportării sale vis à vis de funcţiile nominale programate. Elementele simple pot fi:

• reparabile ( turbine , cazane , relee complexe etc.)

• nereparabile ( garnituri , tranzistoare ,izolatoare ,etc.)

În energetică elementele simple pot fi atât reparabile cât şi nereparabile , dominante

fiind cele reparabile.

I.5.1. FIABILITATEA ELEMENTULUI SIMPLU NEREPARABIL.

Elementul simplu nereparabil este caracterizat de variabila aleatoare numită

timp de funcţionare. Fie F(t) funcţia de repartiţie a acestei variabile


53

( ) tptF t f ≤=

Raportul la un interval de timp [0 , t ] pot exista următoarele evenimente

incompatibile (fig.1).

tp TA f ≤=1

elementul se defectează în intervalul [0 , t ] tp TA f >=1

elementul nu se defectează în intervalul [0 , t ] Ω=AA 21

(reuniunea acestor două evenimente formează evenimentul sigur ) 1)(21 =>+=>+≤= tptptpp TtFTTAA fff (176)

Fig.9 Evenimente incompatibile relative la elementul simplu nereparabil

Deducem : )(1 tFT tp f −=> cu tp TtF f <=)( (177)

Cu ajutorul funcţiei de repartiţie F(t) se pot determina :

• Probabilitatea ca elementul simplu să se defecteze în intervalul (0,t )

sau riscul de defectare din interiorul [0 , t ]

)()( tFTtQ tp f =<= (178)

• Probabilitatea ca elementul simplu să funcţioneze fără defectare

(neîntrerupt ) mai mult decât intervalul [ 0 , t ]

tp TtR f >=)( (179)

Tf Tf

0 A1 t 0 A2 t


54

se mai numeşte şi fiabilitate iar după unii autori funcţie de siguranţă.

Fie evenimentul care constă în faptul că elementul se defectează în intervalul infinit

mic dt :

dttTt f +<< (180)

Utilizând proprietăţile funcţiilor de repartiţie avem :

( ) ( ) dttftdFtFdttFdttp Ttf

)()( ==−+=

+<< (181)

în care f(t) – este densitatea de repartiţie.

Aşadar probabilitatea ca elementul să se defecteze în intervalul dt este :

( ) ( ) dttftFdttFdttp Tt

f)(=−+=

+<< (182)

f(t) având semnificaţia probabilităţii ca elementul simplu să se defecteze chiar în

momentul t.

Probabilitatea ca elementul să se defecteze în intervalul dt ,dacă a funcţionat corect

(neîntrerupt) în perioada anterioară este :

dtttdttp TTt ff

)(/ λ=

>+≤< (183)

unde λ(t) – se numeşte intensitate de defectare.

Dacă notăm evenimentul :

t

dttt

TBTBf

f

>=

+≤<=

2

1 (184)

Avem :

( )( ) ( )( )

( )tptdtttp

p

pp

TTT

BBB

BBf

ff

>

>+<<=

=

2

21

21 / (185)

Dar B1 include B2 BB 21 ⊂ BBB 121 =⇒


55

Aşadar -

( ) ( )( )

)(1)(

)(1)(

)(1)()(/

tFdttf

tFtdF

tFtFdttF

tpdtttp

tdtttpTTTT

f

fff

−=

−=

=−

−+=

>

+≤<=>+≤<

(186)

Prin integrare se obţine:

)(1)( 0

)( tQtF et

dtt =∫−= − (187)

Expresia funcţiei de repartiţie în funcţie de intensitatea de defectare λ(t) a

elementului simplu .

Fiabilitatea va fi :

( )e

t

dtttFtR ∫=−= −0)(1)( λ

(188)

et

dtttR ∫= −0

)()( λ (189)

Intensitatea de defectare are o variaţie în timp de tip “cadă” ca în figura 9

Fig.10 - Curba cadă

Aceasta este caracterizată de următoarele trei zone :

• I – zona de rodaj sau de tinereţe în care intensitatea de defectare este

descrescătoare .În această perioadă se manifestă greşelile de execuţie şi de

montaj.

I II

I

III t

λ(t)


56

• II – zona de maturitate cu o intensitate de defectare cvasiconstantă

• III – zona de bătrâneţe cu o intensitate de defectare crescătoare în timp datorită

fenomenelor de uzură ireversibile

În calculele de fiabilitate energetică se consideră că intensitatea de defectare este

constantă. Aceasta duce la simplificarea expresiilor indicatorilor fiabilistici.

ee

t

t

tR

tQλ

λ

−

−

−=

−=

1)(

1)( (190)

Adică este necesar ca practic funcţia de repartiţie F(t) să fie exponenţială.

Se mai definesc următorii indicatori de fiabilitate :

• Timpul mediu de funcţionare neîntreruptă

[ ] ∫∞

=0

)( dttRM T f (191)

• Probabilitatea de funcţionare neîntreruptă în intervalul [t1,t2] dacă a funcţionat

neîntrerupt până la t1

∫=

−2

1

)(

21 )(t

t

dtt

ttpλ

(192)

• Timpul mediu de menţinere în starea de funcţionare neîntreruptă dacă elementul

a funcţionat neîntrerupt în intervalul (0,t)

[ ] ∫∞

=−1

11 )(

)(1

tf dttRR

MttT (193)

I.5.2. CALCULUL FIABILITĂŢII ELEMENTULUI SIMPLU REPARABIL

Stadiul fiabilităţii elementului simplu reparabil se încadrează în teoria fiabilităţii

elementelor cu timp finit de restabilire .

Restabilirea constă în refacerea proprietăţilor funcţionale , prin utilizarea procesului

de reparare sau prin înlocuire imediată.


57

Un element reparabil se caracterizează prin perioade succesive de funcţionare

neîntreruptă cu perioade de reparare.

Timpii de funcţionare şi cei de reparare sunt variabile aleatoare utilizate în

determinarea principalilor indicatori de fiabilitate :

Fie : Tfi – perioada i de funcţionare neîntreruptă

Tri – perioada de reparare următoare perioadei de funcţionare i

Fig.11

Pentru studiul fiabilităţii elementului simplu reparabil se utilizează una din

următoarele metode :

a) Metoda fluxurilor de defectare

b) Metoda funcţiilor condiţionate de repartiţia timpului de funcţionare între două

avarii succesive

c) Metoda Markov

a) Fluxul defectărilor este caracterizat de timpii t1 t2…. tn de apariţia a defectărilor.

Aceşti timpi sunt aleatori.

Intensitatea fluxului are expresia :

( ) [ ] ( )

t

ttk

ttttt k

k

tt

p∆

∆+⋅=

∆∆+Ω

=∑

∞

=

→∆→∆

1

00limlim ,.ϖ (194)

unde :

[ ]ttt ∆+Ω , - este numărul mediu de defectări în intervalul ∆t [ ]tttpk

∆+, - probabilitatea să se producă k defecte în

intervalul ∆t. Se definesc următoarele funcţii de repartiţie :

…

0 t1 t2 tn

Tf1 Tr1 Tf2 Tr2 Tf3 Tfn Trn


58

tptF T fi ≤=)( (195) tptG T ri ≤=)( (196) pentru variabilele aleatoare Tfi respectiv Tri Dacă:

λ==∑

nMT

Tfi

f ][1

←intensitatea de defectare a (197)

elementului simplu reparabil

µ== ∑nMT

Tri

d][1 ← intensitatea de reparare a elementului (198)

simplu reparabil

atunci expresiile celor două funcţii de repartiţie sunt :

ee

t

t

tG

tFλ

λ

−

−

−=

−=

1)(

1)( (199)

Numărul mediu de avarii sau restabiliri într-o perioadă de timp T este :

[ ] TTνλ

µλ+

=Ω.,0 (200)

Probabilitatea de funcţionare la momentul t este :

( )e ttp ..)( µλ

µλλ

µλµ +−

++

+= (201)

cu condiţia iniţială : 1)0( =p (202) Probabilitatea de avarie la momentul t este :

( )[ ]e ttptq µλ

µλλ +−−+

=−= 1)(1)( (203)

Dacă timpul este foarte mare t→∞ avem :


59

[ ][ ] [ ]

[ ][ ] [ ]TT

T

TTT

df

d

t

df

f

t

MMM

tqq

MMM

tpp

+=

+==

+=

+==

∞→

∞→

µλλ

µλµ

)(

)(

lim

lim (204)

I.6. FIABILITATEA SISTEMELOR CU STRUCTURĂ SERIE – PARALEL I.6.1. FIABILITATEA SISTEMELOR CU STRUCTURA SERIE Un sistem se considera serie d.p.d.v. fiabilistic dacă evenimentul bună funcţionare a

sa este realizat când fiecare element component este în stare de bună funcţionare .

Fig. 12

Ei - evenimentul bună funcţionare a evenimentului i

S - starea de bună funcţionare a sistemului

EEEEES ni .............321= (205)

Fiabilitatea este dată de probabilitatea ca sistemul să fie în starea de succes.

)Re( englezadinliabilityefiabilitatRnotat

−−=

∏∏==

==

=⋅⋅=

===

n

ii

n

ii

ni

nis

RE

EEEEEEEER

P

pppP

pSp

11

21

21

)(

)().....(...)()(

)............()( (206)

I 1 2 i n

1 2 i n


60

P(Ei) - probabilitatea de bună funcţionare a elementului i

Ri = P(Ei)

Pentru evenimente dependente :

).....

().....()()(12121

3

1

21 EEE

EEE

EEEER

n

ns pppP

−

⋅⋅= (207)

Dacă se utilizează probabilitatea de defectare :

( )[ ]∏ ∏∏= =

−

=

−=−==

n

i

n

ii

n

iis REER ipp

1 11

11)( (208)

I.6.2. FIABILITATEA SISTEMELOR CU STRUCTURA PARALEL

Un sistem are o structură paralelă d.p.d.v. al fiabilităţii dacă pentru buna funcţionare

a sa este suficient cel puţin un element component al său să fie în stare de buna

funcţionare .

Ei - evenimentul bună funcţionare a evenimentului i

S - starea de bună funcţionare a sistemului

EEEEES ni .............321= (209)

În fig. 12a este prezentată schema fiabilistică iar în 12b graful asociat ei .

Conform De MORGAN

EEEEES ni .........321__ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

= (210)

EEEEES ni____________

............321= (211)

EI – Evenimentul elementului i defect

Folosim deci probabilitatea de defectare :

==

==

EpEpEpEpEpSpR

EEEEEpSpR

nis

nis

____________

__

...................321_

____

3

__

2

__

1

___

)(

................)( (212)

deci ,


61

Fig. 13

( )[ ] ∏∏∏===

=−=

==

n

i

n

ii

n

iREpEpSpR iis

1

_

1

_

1

__

1)( (213)

[ ]∏==

−=∏=n

ii

n

iRRR is

11

__

1 (214)

Rs−

- nonfiabilitatea sistemului

−Ri__

nonfiabilitatea elementului

Fiabilitatea sistemului paralel este :

[ ]∏∏==

−−=−=−=n

ii

n

iRRRR iss

11

___

1111 (215)

Pentru evenimente dependente :

).....

().....(*)(12121

21

__

EEEE

EEEER

n

nppPs−

= (216)

I.6.3. FIABILITATEA SISTEMELOR CU STRUCTURĂ MIXTĂ

Aceste structuri conţin combinaţii de tip serie-paralel şi paralel - serie . Analiza

acestor sisteme se face din aproape în aproape utilizându-se relaţiile pentru

a

b

O I

I O

1

1

2 2

3

.

. i

.

.

.

. i

.

. n


62

evaluarea fiabilităţii structurilor serie respectiv paralel cunoscute. Funcţie de

structurile predominante evaluarea fiabilităţii poate fi făcută pornind de la :

- fiabilitatea de bună funcţionare ( cazul serie ) sau de la

- probabilitatea de defectare ( cazul paralel ) .

Aceste abordări pot fi făcute în diferite etape în funcţie de situaţia concretă.

Cunoscându-se valorile fiabilităţii componentelor sistemului (RA RB ……….RL ) ş i

considerându-se evenimentele independente se poate determina fiabilitatea

sistemului . ( fig. 14 ) .

SISTEME CU STRUCTURĂ MIXTĂ

Fig.14

D

G

H

A

F E

C B

II

V IV

III

VI

VII

K L

VIII

I


63

Descompunerea sistemului se face astfel :

Fig.15

Acestea reprezintă structurile elementare ale sistemului .

Posibilităţile de bună funcţionare ale sistemului sunt prezentate în tabloul alăturat.

Numărul

combinaţiilor

Combinaţia de elemente care trebuie să funcţioneze

Pentru ca sistemul să fie în bună stare de funcţionare

1 A B C K L

2 A D K L

3 E F G K L

4 E F H K L

C BB

I

H G

V

D

I II

V IV

VI

VI

III VII

II A

III

F E

IV

L K

VIII


64

Plecând de la simplu la complex, folosindu-ne de cele prezentate în tabelul

precedent pentru a identifica structurile serie , paralel şi apoi evalua fiabilitatea

sistemului.

Pentru structura I avem :

RRR CBI *= (217)

Pentru structura II avem :

( )( ) ( )RRRRRRRRR DIIDDIDIII +−−=−−== 111*_______

(218)

sau

RRRRRRRRRRRRRRRR

DCBCBD

DIIDDIIDII II−+=

=−+=−++−=−= 111__

(219)

Pentru structura III avem :

RRRRRRRRRRRRRRRRRRR

DCBACBD

ADIIADAIIAIII

AA −+=

=−+== (220)

Pentru structura IV avem :

RRR FEIV *= (221)

Pentru structura V avem :

( )( )

RRRRRR

RRRRRRRRR

HGHGV

HGHGHG

V

HGV

−+=−=

+−−=−−==__

______

1

111 (222)

Pentru structura VI avem :

( )

RRRRRRRRRRRRRRRRRRR

HFGEHFEGFE

HGHFVIVVI GE−+=

=−== + (223)

Pentru structura VII avem :


65

( )( )

RRRRRR

RRRRRRRRR

IVIIIVIIIIVII

VIIIIVIIIIVIIII

VII

VIIIIVII

−+=−=

+−−=−−==__

______

1

111 (224)

Pentru structura VIII avem :

RRR LkVIII = (225)

Fiabilitatea întregului sistem este :

( ) RRRRRRRRR LkVIIIIVIIIIVIIIVIIIS ⋅⋅−+== (226)

Înlocuind expresiile lui RIII , RVI , RVII şi RVIII în relaţia de mai sus se obţine expresia

fiabilităţii sistemului.

I.6.4. STRUCTURA REDONDANTĂ GLOBALĂ

Fig. 16

1 2 3 …….…………..i…………………………………n

1( 1 ) 2( 1 ) 3( 1 ) ………………i( 1 )………………………….………n( 1 )

1( k ) 2( k ) 3( k ) …………..…i( k )………………………….……n ( k )


66

Sunt k+1 grupări serie aflate în paralel. O grupare serie conţine n elemente.

Fiabilitatea unei grupări serie este :

RRRRR n

n

iiS ..............21

1

== ∏=

(227)

Aceste elemente serie echivalente cuplate în paralel formează sistemul cu

redondanţă globală:

( )RRRRRR S

kkSSS

k

j

jSg

1.10

0

..........+

=

=== ∏ (228)

( ) ( )RRRR SSkk

gg − ++−=−=−= 1 11

111 (229)

Deci :

( )RR Sk

g − +−= 1 1

1 (230)

Rg – fiabilitatea sistemului cu redondanţă globală

K+1 – numărul total de grupări serie ale sistemului

I.6.5 STRUCTURI - NEDECOMPOZABILE STRUCTURA TRIUNGHI - STEA ŞI STEA - TRIUNGHI

Este cazul sistemelor de mare complexitate cu structuri complicate . Analiza acestora

prin metode exacte fiind foarte laborioasă . Dacă aceste sisteme sunt formate din

elemente a căror nonfiabilitate este foarte mică 1<<Ri se recomandă folosirea de

metode aproximative .

Din expresiile funcţiilor de fiabilitate (utilizând probabilităţile de defectare ale

elementelor) se obţin polinoame în Ri din care se reţin în urma ordonării după

puterile crescătoare ale nonfiabilităţii elementului i - Ri , primii termeni ,contribuţia

celor de grad superior fiind nesemnificativă , deci putându-se neglija .

Prin utilizarea termenelor de transfigurarea stea – triunghi şi triunghi-stea se pot

transforma structurile nedecompozabile ( punte ) în structuri serie-paralel.


67

• Cazul triunghi – stea

Fig. 17

În ipoteza 1<<Ri

avem:

RRRRRRRRR

23313

23122

31121

≅

≅

≅

(231)

• Cazul stea – triunghi

Fig.17

3 1 3

2

31

12 23

1

2

2

1 3

1 3

2

31

12 23

3 1

2

2

1 3


68

Nonfiabilităţile au expresiile:

RRRR

RRRRRRR

RRRRRRR

enecunoscuttriunghistructuriitatilenonfiabili

cunoscutesteastructuriitatilenonfiabili

,1

3223

,23,12,313

2112

,3,2,12

1331

)(

)(

=

−=

−=

(232)

Erorile sunt mai mici cu un ordin de mărime în cazul transfigurărilor triunghi-stea

decât în cazul celor stea-triunghi.

Avantajul transfigurărilor în cazul sistemelor complexe constă în :

rapiditatea reducerii acestora la structuri de tip serie –paralel

simplitatea calculelor de evaluare numerică a fiabilităţii permit , în faza de

proiectare compararea rapidă a fiabilităţilor diverselor variante posibile ale

aceluiaşi sistem.

I.6.6. REPREZENTAREA PARAMETRICĂ BIDIMENSIONALĂ

Considerăm probabilitatea ca fiind un punct în planul cartezian. Funcţie de probabilitatea de funcţionare RI şi de cea de refuz Ri

se definesc doi

parametri ε şi ω.

RR

RR

RRtg

−=

−===

11ωε (233)

Din :

RRtgR

Rtg −=⇒−

= 11 ωω

⇒ 11

+=

ωtgR (234)


69

sau: 11+

=εR (235)

Din: RtgRtgR

Rtg =−⇒−

= ωωω1

(236)

⇒ 1+=

ωω

tgtgR (237)

sau: ωω

ctgRRR

Rctg

=−⇒−

= 11

1

11

+=

ωctgR (238)

Folosindu-se această reprezentare bidimesională (ε , ω ) a fiabilităţii elementelor , se

evaluiază fiabilitatea sistemelor având diferite structuri :

• Cazul structurilor serie

Elementele au fiabilitatea (i = 1, 2……..n) .

Ştim că fiabilitatea unei structuri serie este :

( ) ( )∏∏∏

=

== +=

+== n

ii

n

ii

n

iSS tgRR

1

1.

1 1

11

1

εω (239)

Considerând că şi RS poate fi scris de forma :

11+

=ε S

SR (240)


70

Rezultă:

( )

( )∏∏ =

=

+=+⇒+

=+

n

iiSn

ii

S 1

1

111

11

1 εεεε

(241)

( ) 111

−+= ∏=

n

iiS εε (242)

În relaţia (242) εi se determină pentru fiecare element în parte cunoscându-se Ri şi

Ri barat Ri−

.

• Cazul structurilor paralel

Elementele componente au fiabilitatea Ri

Ştim că nonfiabilitatea unei structuri paralel este :

1

1+

= ωctgRp

p (243)

Se obţine:

( )∏

=

+=

+ n

ii

p ctgctg1

1

11

1

ωω (244)

⇒ ( ) 111

−+= ∏=

n

iip ctgctg ωω (245)

• Cazul structurilor nedecompozabile

În acest caz se utilizează transformarea triunghi-stea pentru care avem :


71

Fig. 18

εεε

εεε312312

31121 1 +++

= (246)

εεε

εεε312312

23122 1 +++

= (247)

εεε

εεε312312

233131 1 +++

= (248)

I.7. CONSTRUCŢIA ŞI SIMPLIFICAREA FUNCŢIILOR DE STRUCTURĂ ŞI A REŢELELOR DE FIABILITATE

I.7.1. LEGĂTURI ŞI TĂIETURI

Fiind dat un sistem cu structura bivalentă S= (E , ϕ)

- E = mulţimea componentelor sistemului

- ϕ = funcţia de structură a sistemului

Definiţie

Numim LEGĂTURĂ o submulţime L ⊆ E , cu propietatea ϕ (X1 , X2 , …… Xn)=1

3 1 3

2

31

12 23

1

2

2

1 3


72

unde :

∉

∈=

Lpentru

Lpentru

ee

xi

i

i 0

1

Notăm :

1 - starea de funcţionare

2 – starea de refuz

Aşadar o legătură a sistemului este o mulţime de componente ale sistemului cu

proprietatea că sistemul funcţionează dacă elementele acestei mulţimi funcţionează

şi restul sunt defecte.

Definiţie Numim TĂIETURĂ o submulţime T a sistemului bivalent S cu T⊆ E care satisface

relaţia :

ϕ (X1 , X2 , …… Xn)=0

unde :

∈

∉=

Tpentru

Tpentru

ee

xi

i

i 0

1

se numeşte tăietură.

Aşadar o tăietură T a sistemului S este o mulţime de componente ale acestuia cu

proprietatea că sistemul nu funcţionează dacă componentele acestei mulţimi sunt

defecte , iar restul componentelor funcţionează.

Ex.

( ) ( ) ( ) ( ) taieturaoconstituenuasubmultime

taieturaoconstitueET

legaturaoestenuasubmultime

legaturaoconstitueEL

eeeeee

eeeeeee

543

641

541

6521

,,11,0,0,0,1,1

,,00,1,0,1,1,0

,,00,1,0,0,1

,,,11,1,0,0,1,1

−=

⊆==

−=

⊆==

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

Demonstraţie

- Dacă ( )ϕ,ES = , pentru care ( ) 1........., 121 =xxxϕ atunci

1/ =∈= xe ii EL este o legătură a sistemului S

- Dacă ( )ϕ,ES = , pentru care ( ) 0........., 21 =xxx nϕ atunci

0/ =∈= xe ii ET este o tăietură a sistemului


73

I.7.2. SIMPLIFICAREA FUNCŢIILOR DE STRUCTURĂ ŞI A REŢELELOR DE FIABILITATE

Fie o reţea de fiabilitate având o structură S= (E, ϕ)

I.7.2.1. FUNCŢIA ϕ ESTE MONOTONĂ

a. Fie L1 L2………………….Lk legăturile minimale ale acestei structuri

Funcţia :

( ) ∏ ∏= ∈

−−=

k

i Liettxx

1

11ϕ (249)

este echivalenta funcţiei de structură a sistemului.

Reţeaua de fiabilitate iniţială este echivalentă cu reţeaua obţinută din punerea în

paralel a celor k legături , fiecare legătură fiind constituită din înserierea elementelor

componente ale legăturilor respective .

Ex. : .,,;.,;.,;.;., 321521431312321 ..... eeeLeeLeeLeLeeL =====

Reţeaua echivalentă este :

Fig. 19

b. Fie T1 T2………………….Tk tăieturile minimale ale acestei structuri

e2 e3

e1

e1 e3

e1 e2

e1

e2

e3

O

Z


74

Funcţia ( ) ( )∏ ∏= ∈

−−=k

i Tiettxx

1

11ϕ (250)

este echivalentă funcţiei de structură a sistemului.

Reţeaua de fiabilitate iniţială este echivalentă cu reţeaua obţinută din înserierea celor

k tăieturi minimale . Fiecare din aceste tăieturi este constituită din componentele sale

puse în paralel.

Ex.:

.,

.,

.,,

213

312

3211

.

..

eeTeeT

eeeT

=

=

=

Reţeaua echivalentă este :

Fig. 20

I.7.2.2. FUNCŢIA ϕ ESTE NEMONOTONĂ

a. În acest caz dacă L1, L2………………….Lk sunt legăturile minimale funcţia :

( ) ( )∏ ∏∏

−−−=

∉∈ Liett

Liett xxx 111ϕ (251)

O Z

e1

e1

e1 e2

e2 e2

e3


75

este echivalenta funcţiei de structură a sistemului .

Această relaţie se mai putea scrie :

( ) ( )∑ ∏∏= ∉∈

−=

k

i Liett

Liett xxx

11ϕ (252)

b. Dacă T1 T2………………….Tk sunt tăieturile minimale funcţia :

( ) ( )∏ ∏∏= ∈∉

−−=

k

i Tiett

Tiett xxx

1

11ϕ (253)

este echivalentă cu funcţia de structură a sistemului.

Această relaţie mai poate fi scrisă :

( ) ( )∏∑∏∉= ∈

−−=Tiet

tki Tiet

t xxxn

12

1ϕ (254)

Ex:

X1 X2 X3 ϕ( X1 X2 X3) Legăturile sunt:

0

0 0 1 Li=φ Deoarece ϕ( X1 X2 X3)=1

1=∃ xi

0

0 1 0

0

1 0 1 L2=e2

0

1 1 1 L3=e2 e3

1

0 0 1 L4=e1

1

0 1 0

1

1 0 0

1

1 1 1 L5=e2 e3e3


76

Funcţia de structură va fi :

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) xxxxxxxxx

xxxxxxxxxk

it

Liett

Liet

321321132

312321

1

111

111111

+−−+−+

+−−++−−−=

∈

−= ∑ ∏∏= ∈ −−−

ϕ (255)

Tăieturile sunt:

eTeT

eeT

.

..

33

22

211 ,

=

=

=

(256)

Funcţia de structură va fi :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )xxxxxx

xxxxxxxxxn

ki Tiett

Liett

2132

31231

21

1131

1112

11

11 −−−

−−−−−−−=

−=

−−−

∑ ∏∏+= ∉∈

ϕ

(257)

I.8. METODE DE CALCUL A FIABILITĂŢII

1. Metoda binomială

2. Metoda Monte-Carlo

3. Metode bazate pe procese Markov cu parametru continuu

4. Metode bazate pe procese Markov cu parametru discret

5. Metode bazate pe enumerarea exhaustivă a stărilor sistemului

6. Metode bazate pe utilizarea formulei probabilităţii totale

7. Metode bazate pe mulţimea legăturilor şi tăieturilor minimale

8. Metode bazate pe ridicarea la putere a matricei de conexiune

9. Metode bazate pe reducere succesivă a mărimii matricei de conexiune

10. Metoda căilor adiţionale


77

I.8.1 METODA BINOMIALĂ

Având două stări posibile pentru echipamente identice relaţia:

qpCPmnmm

nmn

−= ( la totalul de n teste se găsesc m echipamente în starea 1 şi n-m în starea 0)

poate fi mai uşor determinată pe calculator cu formula –

( )( )qm

pmnPP nmnm 1,,1 +−

=+ (258)

Media este :

npxM =)( iar (259)

Dispersia :

( ) qpnx =∆2 (260)

Valorile mediei şi dispersiei sunt utile şi în cazul când modelul binomial se înlocuieşte

cu alte modele. De exemplu pentru valori mari ale lui m şi n repartiţia binomială tinde

către una normală având aceleaşi valori ale mediei şi dispersiei:

( )

eMx

xf σσ 221)( 2.

2.−

Π= −

(261)

adică :

ep npqnqm

npqmnn

−

Π= −

∞→

2.

21

21lim (262)

În energetică în cazul protecţiilor şi automatizărilor n – este de ordinul zecilor /an iar

valoarea q este sub 5%.

Acest lucru face ca repartiţia binomială să tindă în acest caz către o repartiţie

Poisson (Legea evenimentelor rare ) de parametru λ=nq.

Adică relaţia generală :

( ) ekp k

kλλλ −=

!, devine: (263)


78

( ) ( )enqp nq

m

mn m−=

! (264)

Dacă elementele sistemelor nu sunt identice ( nu au acelaşi p şi acelaşi q ) , cazul

majorităţii sistemelor reale (elementele sunt eterogene) valorile parametrilor p şi q

sunt individuale pentru fiecare element , deci au forma pi , qi .

Sistemul nu mai ia naştere dintr-un binom la puterea n , (p+q)n , ci prin produsul

sumelor dintre pi şi qi .

( )∏=

+n

iii qp

1 (265)

Modelul de determinare a probabilităţilor stărilor în aceste situaţii ( evenimente

independente şi diferite ) este :

( ) 11

=+∏=

n

iii qp (266)

Exemplu

Fie sursele S1, S2 ,S3 care debitează pe o bară a unui consumator . Se cere să se

afle probabilităţile diferitelor nivele de putere pe bară.

Fig.21

S1 S2 S3

Consumator


79

Sursa Puterea disponibilă Probabilitatea de succes Probabilitatea de refuz

1 S1 p1 q1

2 S2 = 2S1 p2 q2

3 S3 = 3S1 p3 q3

Stările SI S2 S3 Probabilitatea stărilor Puterea disponibilă pe bară

I f f f p1 p2 p3 SI = S1 + S2 + S3 = 6S1

II f f r p1 p2 q3 SII = S1 + S2 = 3S1

III f r f p1 q2 p3 SIII = S1 + S3 = 4S1

IV f r r p1 q2 q3 SIV = S1 = S1

V r f f q1 p2 p3 SV = S2 + S3 = 5S1

VI r f r q1 p2 q3 SVI = S2 = 2S1

VII r r f q1 q2 p3 SVII = S3 = 3S1

VIII r r r q1 q2 q3 SVIII = 0

6S1 cu p = p1 p2 p3

5S1 cu p = q1 p2 p3

4S1 cu p = p1 q2 p3

3S1 cu p = p1 p2 q3 + q1 q2 p3 (267)

2S1 cu p = q2 p2 q3

S1 cu p = p1 q2 p3

• Pentru sistemele cu două elemente serie avem:

Stările e1 e2 Sistem Probabilitatea stărilor

I f f f p1 p2

II f r r p1 q2

III r f r q1 p2

IV r r r q1 q2


80

Rezultă probabilităţile de succes şi de refuz ale sistemului .

Corespunzător stării I avem :

Psucces = p1 p2 (268)

Starea de refuz se compune din stările II , III , IV . deci ,

Prefuz = p1 q2 + q1 p2 + q1 q2 (269)

• Pentru sistemele cu două elemente paralel avem :

Stările e1 e2 Sistem Probabilitatea stărilor

I f f f p1 p2

II f r f p1 q2

III r f f q1 p2

IV r r r q1 q2

Starea de succes a sistemului este dată de stările I , II , şi III , astfel avem :

Psucces = p1 p2 + p1 q2 + q1 p2 (270)

Starea de refuz a sistemului este dată de starea IV a elementelor , astfel avem

:

Prefuz = q1 q2 (271)

I.8.2. METODA MONTE – CARLO

Permite obţinerea soluţiilor unei probleme cu ajutorul experimentelor aleatoare

repetate. Se stabileşte un algoritm de determinare a unei mărimi cu o anumită

precizie dată. Datele statistice similare cu ajutorul algoritmului permit obţinerea

mărimii căutate.

Dacă după n experimente obţin datele g1 , g2…………. gn mărimea căutată este :

gngn

lim∞→

= (272)

gn - trebuie să conveargă în probabilitate către g.

Generarea numerelor aleatoare se face prin metode analitice sau neanalitice.

Cele mai frecvente metode analitice cunoscute sunt :


81

• Metoda mijlocului pătratului

• Metoda congruenţională multiplicativă ( de recurenţă)

xbx nn 01 =+ (modp ) (273)

- b0 , x0 , p fiind numere date

• Metoda congruenţională mixtă

( )Pak

jjijki xbx .mod

1

0

+= ∑

−

=++ (274)

din care se poate obţine relaţia metodei congruenţionale multiplicative dacă se face

a=0 şi k=1

Fie A - procesul simulat

p - probabilitatea de apariţie a evenimentului modelat

N - nr. de încercări

ξ - variabila booleană = ⌠ 1 dacă evenimentul apare

0 dacă evenimentul nu apare

L - nr. total de evenimente favorabile

∑=

=n

ii

L1ξ (275)

f – frecvenţa evenimentului:NLf a

= (276)

• Media frecvenţei evenimentului este :

( ) ( ) pNNpM

NLM

NM

iaf ==== ∑ξ1)(1 (277)

• Dispersia :

( )NpQf a

=∆2 (278)

Demonstraţie :

( ) ( ) ( ) ( )N

QppNpLNNN

f a=

−=== ∑∆∆∆ 2

22

22

2 111 ξ (279)

• Abaterea medie pătratică:


82

( )NpQf a

=τ (280)

Conform legii numerelor mari :

( ) pM ff a

tinde

a= → (281)

Diferenţa dintre fa şi media sa P este eroarea care poate fi determinată:

( ) ( ) ( )εε

τ εε 22

2

11NpQpppp fff a

aa

−=<−⇒−=<− (282)

Fie: ( ) δε −=<− 1pp f a (283)

( ) ( )

( )δ

εδ

εδ

δδδε

ε

ε

Npp

NpQ

NpQ

NpQcupp f a

−>>⇒>

>∈=>−

⇒1

1,0

2

2

(284)

Din :

( )

δε

Npppp ff aa

−≤−⇒<−

1 (285)

sau :

( )

δδ pNpp

pNp

p fpf aa

−≤−⇒

−≤−

112

(286)

sau eroarea relativă :

δpNp

p

pf a −≤

− 1 adică δε pN

pr

−<

1 (287)

Această ultimă relaţie arată că eroarea relativă scade odată cu creşterea lui N


83

Deci creşterea preciziei cu un ordin de mărime necesită creşterea numărului de

experimente cu două ordine de mărime.

Numărul minim de trageri pentru o anumită precizie fixată este :

δε ppN 2

1 −= (288)

Pentru ε = 10% δ = 0,1 ⇒ p

pp

pN −=

⋅⋅

−= +

−−

11 1010103

12 (289)

Timpul de calcul funcţie de numărul de operaţii pe secundă se scrie :

undăpeoperdenr

NT calc sec..min.. = (290)

Pentru ε = 10%

sec.

1.1.103

min. peoperdenrppT calc

−= (291)

I.8.3. METODE BAZATE PE PROCESE MARCOV CU PARAMETRU CONTINUU

I.8.3.1. PROCESE MARCOV Un proces aleator este o familie de variabile aleatoare :

( ) ( ) TtNiitX ,0,1, ∈== X(t) – starea procesului la momentul t

i - mulţimea stărilor posibile ale procesului

(OT) - domeniul de variaţie în timp

Un proces este de tip Marcov de gradul k dacă starea lui la momentul t depinde

numai de ultimele k stări . Aceasta este un proces fără istorie în sensul că întreaga

sa evoluţie trecută este concentrată în ultimele k stări .

Cel mai des întâlnit este procesul Marcov de gradul 1 a cărui stare depinde numai

de ultima stare ( anterioară)


84

Dacă mulţimea stărilor i este discretă avem de-a face cu un lanţ Marcov.

Procesele Marcov pentru care variabila t este continuă se numeşte proces Marcov cu

parametru continuu sau proces Markov cu timp continuu.

Modelul Markov permite determinarea probabilităţilor ca sistemul să se afle în fiecare

din cele n stări posibile .

Probabilităţile de tranziţie din starea i la momentul s în starea j la momentul t (t>s) se

defineşte astfel .

( ) ( ) isxjtxptspij=== /)(, (292)

şi reprezintă probabilitatea condiţională ca la momentul t sistemul să se afle în

starea j dacă la momentul anterior s se află în starea i.

Un proces Markov este caracterizat de următoarele :

• Matricea probabilităţilor absolute de stare [pi(t)] şi reprezentă probabilităţile ca

procesul să se afle în stările i la momentul t

• Probabilităţile de tranziţie pij(s,t) şi reprezintă probabilitatea ca sistemul să se afle

în starea j la momentul t dacă la momentul s anterior era în starea i. Probabilităţile care determină un lanţ Markov verifică relaţiile Champman-Kolmogorov:

rel. I ( ) ( ) ( )teesst ppp kj

n

kikij

,,1

∑=

= (293)

rel. II ( ) ( ) ( )tsst ppp ij

n

iij

,1

∑=

= (294)

Adică probabilitatea ca procesul să se afle în starea j la momentul t este egală cu

suma produselor probabilităţilor de a se afla în oricare din stări cu probabilitatea

trecerii din aceste stări în starea j .

Pi(s)

1p1(t)

2p2(t)

kpk(t)

npn(t)

i

pi1(s,e)

pi2(s,e)

pik(s,e)

pin(s,e)

1p1(s)

2p2(s)

kpk(s)

npn(s)

j

Pj(s)

p1j(s,t)

p2j(s,t)

pkj(s,t)


85

Fig. 22 Fig. 23

Făcând s=t şi t=t+∆t iar rel . II avem :

( ) ( ) ( )tttttt ppp ij

n

iij

∆+⋅=∆+ ∑=

,1

(295)

I.8.3.2. INTENSITATEA DE TRANZIŢIE

Prin definiţie intensitatea de tranziţie din starea i în starea j este :

( )

t

tttpij

tij ∆

∆+=

→∆

,lim

0λ (296)

De aici rezultă:

( ) ( )ttij tttpij

∆+∆=∆+ 0, λ (297)

0(∆t) – probabilitatea producerii evenimentelor simultane (nulă)

Deci:

( ) tij tttpij

∆=∆+ λ, (298)

Probabilitatea ca sistemul să rămână în starea i în intervalul ∆t este complementară

sumei probabilităţilor de trecere în alte stări :

( ) ( ) ttttptttpji

ijji

ijii ∆−=∆+−=∆+ ∑≠

∑≠

λ1,1, (299)

În mod similar pentru starea j avem :

pnj(s,t)


86

( ) ( ) ttttptttpji

jiji

jijj ∆−=∆+−=∆+ ∑≠

∑≠

λ1,1, (300)

sau :

( ) ( )∑

≠

∆−=∆ji

jijj tttt λλ 1 (301)

I.8.3.3. ECUAŢIA DIFERENŢIALĂ A PARAMETRILOR DE STARE

Probabilitatea ca sistemul să se găsească la momentul t+∆t în starea j este dată de

suma probabilităţilor ca sistemul să treacă din alte stări în starea j plus probabilitatea

ca aceasta să rămână în aceeaşi stare j în intervalul ∆t.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑≠

∆+∆=∆+ji

jjjijij tttptttptttp λλ, (302)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t

tptttp

tp

ttptttp jji

ijjtttjj ij

jii

∆

−

∆−

∆

∑

∆

−∆+ ∑≠

+∆

= ≠

λλ 1, (303)

( )( ) ( ) ( ) ( )

tji

ijj

t

tttt

dtd

tttppp

ijji

i

j ∆

∑≠

−∆

∆=

∆∑≠

λλ (304)

dar : ( ) λλ jjji t =− ∑ deci (305)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttttttdtd

ijijjjijji

ij pppp λλλ ∑∑ =+=≠

(306)

deoarece îl include şi pe i=j prin termenul pj λjj

deci:


87

( ) ( ) ( ) ( )tpttt qpp ijij ⋅=⋅= λ'

(307)

( ) qijij t =λ - se numeşte matricea intensităţilor (308)

de tranziţie

I.8.3.4. METODE BAZATE PE PROCESE MARCOV DE TIP CONTINUU

( ) [ ] ( )[ ]tt pqp iiji⋅=

' (309)

[ ]qij - matricea de tranziţie

( )[ ]tpi - probabilităţi ale elementelor sistemului în starea I

<

>

=∑

0

0

1

qq

q

ij

ij

ij

(310)

Soluţia sistemului este :

( ) ( )epp t

ii

qt ij

−= 0 (311)

Pentru procese de lungă durată :

( ) tactsodevinet pp iintanlim ⇒=

∞→ (312)

Derivata sa este nulă:

( ) [ ] ( )[ ] 00'

=⋅⇒=

⇒ tt pqp iiji

(313)

Ecuaţiei matriciale anterioare (care nu permite soluţii nebanale)


88

⇒ îi mai asociem şi ecuaţia : ∑=

=n

iip

1

1 (314)

Având toate stările sistemului se pot selecta două submulţimi:

• submulţimea stării de succes : S

• submulţimea stării de insucces : R

RSN = = mulţimea tuturor stărilor astfel încât se pot calcula

- probabilitatea de succes : ∑∈

=Sj

js pp (315)

- probabilitatea de insucces : ∑∈

=Rj

jr pp (316)

Cu aceste probabilităţi se pot calcula indicatorii de fiabilitate ai sistemului

Adică :

- durata medie totală a stărilor de succes într-o perioadă de timp de

calcul T :

( )[ ] TTtMSJ

JS pp ∑∈

==α (317)

- durata medie totală a stărilor de refuz într-o perioadă de timp de

calcul T:

( )[ ] TTtMrJ

ir pp ∑∈

==β (318)

- media nr. de treceri din starea de succes în starea de refuz:

( )[ ] TTtM ppp iJrJ

Jr

== ∑∑

∈

τ (319)

- media duratei de succes :

[ ] ( )[ ]( )[ ]tMtMM T f τ

α= (320)

- media duratei de insucces:

[ ] ( )[ ]( )[ ]tMtMM T r τ

β= (321)

Toate aceste relaţii sunt valabile pentru cazul în care rata defectărilor este constantă.

λ


89

Fig.24

I.8.3.5. METODE MARKOV DE TIP CONTINUU PENTRU UN SISTEM SERIE

Fig.25

Sistemul se va afla în starea de succes atât timp cât toate cele n elemente se vor

afla în stare de succes. Defectarea unui element nu atrage după sine defectarea unui

alt element. Un al doilea element se admite că se poate defecta după ce cel defectat

anterior este reparat şi adus în stare de succes.

=+

=

=

defect esten elementul carein starea 1n starea

defect este 1 elementul careîn starea 2 starea

sistemului a succes de starea 1 starea : Fie

.

. stări de insucces ale

sistemului

[ ] [ ]

=

=⋅

1

0

ppq

i

iiJ (322)

1 2 n

λ1

λ2 λn µ1

µn

1


90

Fig.26

1n 3 2 1 +

[ ]

µλ

µλµλ

µµµλ

−

−−

∑−

=

nn

ni

iJq

......

.

.

.

00

0000

22

11

21

1..321

+n

(323)

11

1

=∑+

=

n

iip (324)

0.

*

......

.

.

.

1

3

2

1

22

11

21

00

0000

=

−

+−

−−

∑

p

ppp

nnn

ni

µλ

µλµλ

µµµλ

(325)


91

=−

=−

=−

=∑+

= −−

=+++

⇔

+

+

∑ +

0

.

0

0

01

1 11

1...............................

11

3212

2111

1321

pp

pppp

pp

pppp

nnn

ii

n

n

i i

µλ

µλµλ

µλ

(326)

=

=

+=

⇒

∑

µλ

µλ

µλ

n

nn

i

i

i

pp

pp

p

1

1

112

1

.

1

1

(327)

Avem :

=

=

∑

∑

∈

∈

RiiR

SiiS

pppp

(328)

i∈S - semnifică stările de succes. Practic starea de succes globală este dată

de suma stărilor de succes.

i∈R - semnifică stările de refuz. Practic starea de refuz globală este dată de

suma stărilor în care sistemul refuză funcţionarea.

Se pot calcula următoarele mărimi fiabilistice:

• Durata medie totală de succes (de funcţionare) în perioada de referinţă T:

( )[ ]tM α


92

• Durata medie totală de insucces (de nefuncţionare ) în perioada de referinţă T:

( )[ ]tM β

• Numărul mediu total de stări de insucces (de defectări) în perioada de

referinţă T:

( )[ ]tM ν

• Timpul mediu de funcţionare până la primul defect

[ ]TM f

• Timpul mediu de reparare sau timpul mediu de înlocuire (durata medie a unei

stări de insucces eliminată prin reparare sau înlocuire sau durata medie de

reparare sau înlocuire)

[ ]TM R

Astfel :


93

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]

[ ] ( )[ ]( )[ ]

[ ] ( )[ ]( )[ ] ∑

∑

∑

∑∑

∑

∑

∑

==

==

=

+==

+==

∈∈

+

=

+

=

+

=

ii

ii

i

R

ii

f

RJiJ

Sii

n

ii

i

n

ii

i

R

n

ii

iS

tMtMM

tMtMM

TtM

T

TtM

TTtM

T

T

pp

p

p

λµλ

λ

µλµλ

µλ

τβ

τα

τ

β

α

1

1

1

1

1

1

1

1

(329)

I.8.3.6. REPARTIŢII TEORETICE ŞI REPARTIŢII EMPIRICE

Funcţiile matematice y=f(t) reprezintă o dependenţă a variabilei y de variabila t.

De exemplu :

batg

y t ++−=2

2

reprezintă legea căderii corpurilor în vid în

câmp gravitaţional (330)

Funcţia anterioară este o funcţie teoretică.

Dacă printr-o experienţă se măsoară corespondenţa dintre t ţi y se obţine o funcţie

empirică unde se vor întâlni abateri faţă de calculele făcute prin relaţia scrisă

experienţa neputând fi făcută în condiţii ideale.

De obicei se spune că experimentele conduc la funcţii empirice.


94

Funcţia empirică se consideră a fi o reprezentare aproximativă a unei funcţii teoretice

exprimată în mod matematic .În natură dependenţele au caracter mult diferit de cele

din matematică.

Exemplu : dependenţa vârstă – greutate la persoanele din emisfera nordică. Această

legătură reprezintă o lege stocastică.

Repartiţia normală , binomială , Weibull , exponenţială etc . sunt exemple de

repartiţii de natură stocastică.

Repartiţiile empirice prezintă neregularităţi care se înlătură prin operaţia de ajustare.

Să presupunem că avem m puncte :

( ) ( ) ( )ytpytpytp mmm,..............,,

222111

pi – punctele de pe abscisă ( spre exemplu timpul )

yi – punctele de pe ordonată ( spre exemplu frecvenţa)

Punctele pi din plan pot fi elementele unei serii statistice în care abscisele reprezintă

diferite momente , iar ordonatele frecvenţele fenomenului.

Dispunerea în plan a punctelor pi prezintă o oarecare neregularitate . Prin ajustare se

propune să se găsească o curbă care apropie cel mai bine punctele pi obţinându-se

astfel direcţia de dezvoltare a fenomenului reprezentat prin punctele pi.

I.8.4. METODA CELOR MAI MICI PĂTRATE SIMPLE

Fie punctele pi date de relaţia :

btay +=

şi punctele empirice pi rezultate experimental .

Fig.27

Pi’ ( ti , a+bti)

pi ( ti , yi) y=a+bt Y

t ti


95

Se impune determinarea coeficienţilor necunoscuţi a şi b astfel încât expresia :

( ) min2.

=∑ −+ ybta ii (331)

adică să determinăm a şi b astfel încât suma pătratelor pp ii

' să fie minimă.

min'2.

=∑

pp ii (332)

Suma pătratelor diferenţelor dintre ordonatele teoretice şi ordonatele empirice să fie

minimă ; procedeul fiind numit şi metoda celor mai mici pătrare .

Determinarea parametrilor se face astfel :

( ) ( )∑ −+==

n

i

not

ybta iibaF1

2., (333)

care va fi minimă când derivatele în raport cu a şi b se anulează.

⇒

=

=

0..

0..

bFaF

δδδδ

( )

( )

=

=

∑ −+

∑ −+

0.

.

0.

.

2.

2.

bii

aii

ybta

ybta

δ

δ

δ

δ

(334)

( )

( )

=−+

=−+

∑∑

02

02

ybttybt

iii

ii

a

a (335)

=−+

=−+⇒

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑n

iiii

n

ii

tytt

ybt

ba

a

1

2.

1

0

0 (336)


96

=+

=+

⇒∑ ∑ ∑

∑ ∑

tytt

yt

iiii

ii

ba

bna

2. (337)

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑

==

ttttyt

y

tttttyty

ii

i

ii

i

ii

i

iii

ii

ni

n

bn

a

2.

.

2.

2.

(338)

Se poate simplifica prin schimbarea originii axelor astfel încât 02. =∑ti

Rezultă atunci :

∑

∑∑==

ttyy

i

iii bn

a 2

'

(339)

Fig 28

Această ajustare printr-o linie dreaptă este un caz particular al unei ajustări generale.

∑=

=++++=n

i

i

i

n

n tatatataaa ty0

..3.

3

2.

210 ..................... (340)

Determinarea coeficienţilor aaa n....................1,0 se face impunând condiţia celor mai mici

pătrate.

t ti

pi ( ti , yi)

y=a+bt Y

Ajustarea cu o linie dreaptă prin

metoda celor mai mici pătrate


97

( ) min22

110 ........

2.=∑ −++++ ytatataa i

ninii (341)

Pentru cazul parabolei de gradul 2 avem :

taaa ty 2

210 ++= (342)

⇒

=

=

=

0.

0.

0.

2

1

0

a

a

a

F

F

F

δδδδδδ

(343)

( )( )( )

=∑−++

=∑−++

=−++

⇒

∑ ∑∑∑ ∑∑

∑ ∑ ∑

022

02

02

4

2

3

1

2

0

3

2

2

10

2

210

yttatatayttatata

ytataa

i

i

n

iiii

iiii

iii

(344)

⇒ a0 , a1 , a2 prin Cramer .

Pentru simplificare se poate transla sistemul . Translarea se poate face astfel încât

axa y să cadă la mijlocul seriei caz în care :

00 3 == ∑∑ tt ii si (345)

( )

( )

∑−

−=

=

∑−

−=

∑∑ ∑ ∑ ∑

∑∑

∑∑ ∑ ∑ ∑

ttyttyta

tyta

ttyttyta

in

n

in

ni

iiiii

i

ii

ni

iiii

ni

2

2

2.

222

2

1

2.

22

0

(346)


98

Grafic se reprezintă ca în figura de mai jos.

Fig.29

Dacă curba este dată de o funcţie exponenţială :

bay t.= (347)

se logaritmează :

( ) btabay t .log..loglog.log +== (348)

( ) ( )∑ −+=

=n

iybta iibaF

0

2..log.log.log,.log (349)

=

=

0..

0..

bFaF

δδδδ

(350)

=

=

⇒

∑∑

∑

tyt

y

i

ii

i

b

na

2

log

log

(351)

Y

t

Ajustare parabolică

Ajustare exponenţială

Date reale (experimentale )


99

I.9. METODELE STATISTICE DE DETERMINARE A FIABILITĂŢII

I.9.1. ETAPELE ESTIMĂRII

Estimarea fiabilităţii sistemelor pe baza datelor statistice se poate face în două

moduri :

a) organizarea de experimente speciale numite teste de fiabilitate

b) prin prelucrarea de observaţii rezultate din funcţionarea normală a

echipamentelor

Există avantaje şi dezavantaje pentru fiecare din cele două moduri :

• - Prima metodă are ca principal dezavantaj imposibilitatea creării unor condiţii

identice cu cele din regimul de exploatare .

Este recomandată pentru echipamente de protecţie de serie mare (

aparate de măsură , rezistenţe , izolatoare , aparatură de comutaţie , garnituri

pentru etanşare )

• - A doua metodă este mai avantajoasă decât prima prin aceea ca necesită

cheltuieli minime legate numai de înregistrarea şi prelucrarea datelor

statistice.

Are dezavantajul unei durate mari de observaţie şi a greutăţii asigurării numărului

minim necesar de elemente observate. Este singura posibilă pentru echipamentele

de serie mică ( cazane de abur , condensatoare , degazoare , turbine etc )

Etapele estimării indicatorilor de fiabilitate sunt :

1. – în urma observaţiilor se stabilesc seriile statistice ale variabilelor aleatoare

şi se construiesc histogramele ( densităţile empirice de repartiţie )

2. – se fac ipoteze asupra legităţilor teoretice ale variabilelor aleatoare ( timp de

funcţionare până la prima avarie , timp de funcţionare între două avarii

succesive etc )

3. – se verifică ipotezele statistice şi se stabilesc legile de repartiţie ale

variabilelor aleatoare precum şi parametrii lor .

4. – se stabilesc valorile numerice ale indicatorilor de fiabilitate


100

I.9.2 . CONSTRUIREA FUNCŢIILOR EMPIRICE DE FIABILITATE

)()(),()(^^^^

,, tfttQtR λ

Datele statistice necesare construirii graficelor funcţiilor )()(),()(^^^^

,, tfsittQtR λ se pot

obţine în urma încercărilor de laborator sau a supravegherii elementelor şi

sistemelor în condiţii de exploatare normală .

În cazul testelor de fiabilitate , în scopul economisirii materialelor elementelor ieşite

din funcţiune nu se înlocuiesc prin altele noi , de aceea numărul elementelor se

reduce continuu.

Pentru construirea funcţiilor empirice se imparte domeniul timpului de funcţionare al

elementelor în subintervale ∆ti = ti – ti-1

Lungimea intervalului ∆t depinde de volumul şi omogenitatea materialului statistic

Cu cât există un număr mai mare de observaţii cu atât intervalele alese pot fi mai

scurte .

Fie N(t) – numărul de elemente în funcţie la momentul t

şi n(t) - numărul de elemente defecte la momentul t

Determinarea funcţiilor empirice se face utilizând relaţiile :

( ) ( )

( ) ttttt

ii

iii

Nnn

i ∆

−∆+= −− 11

^

λ ← intensitatea de defectare (352)

( ) ( )

( ) tttf

i

ii

Nnn

i ∆

−= −

01

^

← probabilitatea de defectare la momentul t

(densitatea repartiţiei timpului de funcţionare (353) până la prima defectare)

( )( )0

1^

Nn

itR i−= ← probabilitatea de funcţionare neîntreruptă în

intervalul ( 0 , t ] (354)

( )( )0

1^

Nn

itQ i−= ← probabilitatea de avariere în intervalul ( 0 , t ] (355)


101

ttt iii ∆+=−1

( ) ( )tt ii nNN 1)0(−

−= ← numărul de elemente în funcţiune momentul t (356)

) ( )( )ttttp N

N

1

2^

,( 1 2 = ← probabilitatea de funcţionare neîntreruptă în (357)

intervalul [t1, t2 ] dacă până la momentul t1 a funcţionat neântrerupt.

Se fac tabele de tipul următor :

t∆ mi ( )tin 1− ( )tin ( )tiN f i

^

λ i^

pi

^

Qi

^

I.9.3. PLANURI DE EXPERIMENTARE PENTRU ESTIMAREA INDICATORILOR DE FIABILITATE

Un plan de experimentare este caracterizat de următoarele :

N – numărul de elemente supuse experimentării

T – durata experimentării

R* – notaţie ce arată că elementele experimentale dacă se defectează se

repară şi continuă să rămână sub observaţie

R*- notaţie care indică înlocuirea elementelor cu altele noi

Avem astfel următoarele principale planuri de experimentare :

a – planul trunchiat [N ,T , R*] , [N , T , R* ] în care observaţiile statistice

se consideră încheiate după scurgerea unui timp prestabilit T

b – planul cenzurat [N ,R* ,r ] , [N , R* r ] în care observaţia statistică se

întrerupe la apariţia unui număr prestabilit de defectare r ( r < N )

c – planul mixt [N ,R* , (r , T ) ] , [N , R* (r , N ) ] în care observaţia se face

pe o perioadă T însă dacă se produc r defecte observaţia se

întrerupe.


102

Aşadar momentul întreruperii este :

tr dacă tr < T

T dacă tr ≥ T

tr - este timpul în care se produc r defecte .

Un caz particular este constituit de planul [N , R* N ] care se termină odată cu

defectarea tuturor elementelor şi care se utilizează în special pentru experimentări

accelerate.

Pentru protecţii şi automatizări avem următoarele situaţii :

1.- pentru elementele de supraveghere se poate aplica planul cenzurat ,

planul trunchiat sau cel mixt

2.- pentru partea de logică a protecţiei se întocmeşte un plan ( planul

FRE ) special [N , L , n]

N – nr. de reţele testate

n – nr. de testare făcute fiecărui releu (protecţie)

L – nr. de trepte ale protecţiei testate

I.10. ESTIMAŢIA PARAMETRILOR LEGILOR DE PROBABILITATE

I.10.1 REPARTIŢIA COMPLET SPECIFICATĂ

Să presupunem că avem o selecţie dintr-o populaţie statistică dată a cărei funcţie de

repartiţie teoretică are o formă matematică cunoscută având parametrii necunoscuţi .

Definim repartiţia specificată ca fiind acea repartiţie exprimată printr-o funcţie dată

(densitate de repartiţie sau funcţie de repartiţie ) care conţine anumiţi parametri

necunoscuţi .

Exemplu :

Presupunem că studiem un fenomen pentru care ajungem la concluzia că repartiţia

sa este normală N (m,σ2 )

Deci ,


103

( )

emx

xf σπσ2.

2.

22

1)(−

= − (358)

Cum parametrii m şi σ sunt necunoscuţi iar repartiţia este exprimată prin densitatea

de repartiţie f(x) a lui N (m,σ2 ) spunem că repartiţia este specificată.

Cunoaşterea fenomenului presupune cunoaşterea valorilor numerice a parametrilor.

Definim repartiţia complet specificată ca fiind acea repartiţie exprimată printr-o funcţie

dată în care toţi parametrii sunt cunoscuţi. Operaţia prin care determinăm valoarea

parametrilor se numeşte estimarea parametrilor.

I.10.2. FUNCŢIA DE ESTIMAŢIE ( ESTIMATORUL)

Fie x1 , x2 ……..n o selecţie de volum n dintr-o repartiţie specificată . Există o

infinitate de funcţii g(x1 , x2 ……..n) care pot fi luate drept valori ale parametrilor

necunoscuţi ai repartiţiei . Aceste funcţii se numesc estimaţii . Problema este de a

alege din această infinitate de estimaţii pe cele care se apropie cel mai mult de

valorile adevărate ale parametrilor care nu se cunosc.

Fie λ parametrul real necunoscut al funcţiei f(x,λ) şi

( )xxx nnn ..........21λλ = (359)

funcţia necunoscută căutată (estimaţia care trebuie determinată spre a fi luată drept

valoare a parametrului λ)

f(x,λ) – este densitatea de repartiţie

Funcţia ( )xxx nnn ..........21λλ = o numim funcţie de estimaţie sau estimator.

Estimaţia va fi cu atât mai bună cu cât repartiţia sa se concentrează mai puternic în

jurul adevăratei valori a parametrului , adică cu cât dispersia (împrăştierea) valorilor

repartiţiei , faţă de valoarea adevărată este mai mică.

Prin urmare ( )xxx nnn ..........21λλ = trebuie să conveargă în probabilitate către λ.

Spunem că dacă :

( ) λλ →∞→

pxxx nnn

..........lim 21 (360)

atunci ( )xxx nn ......21λ se numeşte estimator corect sau estimaţie consistentă .


104

Aceasta înseamnă că dacă această relaţie are loc atunci pentru valori mari ale lui n

funcţia de estimaţie ( )xxx nn ......21λ ia valori apropiate de λ cu o probabilitate

foarte mare adică :

( ) 1→<− ελλ np (361)

Aşadar aceste valori aproximează foarte bine valorile lui λ şi deci ( )xxx nn ......21λ va

fi luată drept un estimator a lui λ.

Dacă există mai mulţi parametri necunoscuţi cele de mai sus rămân adevărate ,

aplicându-se pentru fiecare din aceşti parametri.

De exemplu , pentru repartiţia normală parametrii sunt m şi σ . Vom găsi deci două

funcţii de estimaţie :

( )xxxm nn ........21 şi ( )xxx nn ......21σ (362)

care converg în probabilitate către m respectiv σ când n ia valori foarte mari .

( )

( ) σσ →

→

∞→

∞→

pnn

n

pnn

n

xxxxxxm m

......

......

21

21

limlim

(363)

I.10.3. ESTIMATORUL ABSOLUT CORECT

Convergenţa unei funcţii în probabilitate spre o constantă prezintă foarte adesea mari

dificultăţi .Se preferă astfel să se recurgă la condiţii mai simple :

Iată!

• Dacă:

( )[ ] ( )( )

( )[ ]( )[ ]

λ

α

αλ

λλ

λ

uiparametrulal

corectestimator

unestecaspunem

ncu

nM

xxxxxx

xxx

nn

nn

n

nn

.........

0.........

0

.........

21

212.

21

lim=

=

+=

∆∞→

(364)


105

• Dacă α(t)=0

Deci , dacă :

( )[ ]( )[ ]

( )[ ]

λ

λ

λ

λ

uiparametrul

acorectaabsolut

estimatieoestecaspunemn

M

xxxxxx

xxx

nn

nn

nn

.........

0.........

.........

21

21

2.21

lim =∞→

=

∆

(365)

Se spune în aceste cazuri că este un estimator nedeplasat.

I.10.4. ESTIMAŢIE EFICIENTĂ

Dacă dintre toate estimaţiile absolut corecte ale unui parametru λ există o estimaţie

λn a cărei dispersie este :

( )[ ]( )

=

∆

δλλδ

λ,inf

2.21

2. 1.........x

xxxnM

nn

(366)

atunci această estimaţie este de dispersie minimă.

f(x,λ) – densităţile de repartiţie ale repartiţiei specificate (continue şi derivabile ,

având derivatele parţiale de ordinul necesar în raport cu parametru λ.

O estimaţie absolut corectă a parametrului λ care are o dispersie minimă se numeşte

estimaţie eficientă.

Dacă ( )xxx nn ......21λ este o estimaţie absolut corectă a parametrului λ ,raportul :

( )( ) ( )

=

∆ δλλδ

λλ

,ln2.

2.

1

xfE

nMn

nn

(367)

se numeşte eficienţa estimaţiei : λn.

Se observă că :


106

( ) 10 ≤≤ λEn

Dacă :

( ) 1=λEn - estimaţia este eficientă.

( ) ( )⇒

=

∆ δλλδ

λ,ln

2.

2.

11xf

nMn

(368)

( )( )

=⇒

∆

δλλδ

λ,ln

2.

2. 1

xfnM

n

(369)

adică estimaţia n este de dispersie minimă adică o estimaţie eficientă.

I.10.5. DETERMINAREA PARAMETRILOR FUNCŢIEI DE REPARTIŢIE

Principalele variabile aleatoare cu ajutorul cărora se stabilesc intensităţile de

defectare şi de reparare a echipamentelor energetice ( λ şi µ ) sunt timpul de

funcţionare neîntreruptă şi timpul de reparare.

Pe baza datelor statistice este necesar să se stabilească funcţia de repartiţie

teoretică , care modelează cel mai bine variabila aleatoare şi să se determine

parametrii acesteia. D.p.d.v. statistic această determinare reprezintă o estimare

neparametrică , respectiv parametrică.

Estimarea parametrilor poate fi :

- punctuală , sau

- cu ajutorul intervalelor de încredere

Metodele punctuale de estimare parametrică sunt :

- metoda verosimilităţii maxime

- metoda linearizării

- metoda momentelor

- metoda celor mai mici pătrate


107

I.10.6. METODA VEROSIMILITĂŢII MAXIME

Fie o variabilă aleatoare X şi f( x , λ ).

Funcţia ( ) ( )∏=

=n

kknn xxxxF f

121 ,,...... λλ - se numeşte funcţie de verosimilitate.

Parametrul necunoscut este soluţia ecuaţiei :

0.ln=

δλδ F

Dacă pentru parametrul λ există o estimare eficientă , atunci ecuaţia de

verosimilitate are soluţie unică . Estimaţia se numeşte suficientă în acest caz

În cazul mai multor parametri funcţia de verosimilitate are expresia :

( ) ( )∏=

=r

kSkSr xxxxF f

1212121 .......,.......;...... λλλλλλ (370)

iar cum F ia valori maxime odată cu lnF parametrii λλλ S.......21 se determină din

sistemul de ecuaţii :

=

=

=

0ln..

0ln

0ln

2

1

λ

λ

λ

δδ

δδ

δδ

S

F

F

F

numite ecuaţii de verosimilitate (371)

Exemplu :

Repartiţia exponenţială pentru care s-au făcut n testări determinându-se valorile

TTT n......21 se scrie :


108

( )( ) e

et

t

Ttp

tfλ

λ

λ

λ−

−

==

= (372)

Ecuaţia de verosimilitate este :

( ) ( )( ) [ ]( )

( )∑∑

∑∑

∏

=

==

−

−−−

=

−=−

=

−=−=

∑=

==

n

ii

i

n

ii

n

ii

nn

nn

n

in

TTTTTTT

eTTT

eeetTTT

nnF

nF

TF

TTTiF

i

nI

1

1121

21

121

lnln

lnln,......ln

ln,......ln

.............,...... 2

λδλλλδ

δλδ

λλλλ

λ

λλλλ

λλ

λλ

λλλ

(373)

Ecuaţia de verosimilitate se scrie :

TTTTmedii

i

n

nn 110^

===⇒=−∑∑∑ λλ (374)

I.11. VERIFICAREA IPOTEZELOR STATISTICE Există teste neparametrice pentru verificarea timpului funcţiei de repartiţie şi

teste parametrice pentru verificarea valorii parametrilor funcţiilor de repartiţie.

Ne propunem să verificăm dacă ipotezele pe care le facem în legătură cu tipul

funcţiei de repartiţie sunt adevărate . Adică dacă funcţia pe care am intuit-o a modela

fenomenul este cea adevărată sau nu.

O problemă de bază în calculele de fiabilitate este stabilirea timpului funcţiei

de repartiţie pentru variabilele aleatoare. De cele mai multe ori interesează

verificarea exponenţialităţii timpului de funcţionare neîntreruptă şi a timpului de

reparare.

Verificarea ipotezelor statistice parcurge următoarele etape:

• pe baza datelor statistice se construiesc funcţiile empirice de repartiţie


109

• se alege una sau mai multe funcţii care se presupune că modelează variabila

aleatoare

• se estimează printr-o metodă oarecare parametrii tuturor funcţiilor ipotetice

• se aplică unul din testele statistice de verificare a ipotezelor (testul χ2 , testul

Kolmogorov – Smirnov , etc.. )

I.11.1. PUTEREA UNUI TEST

Există şi teste de verificare a ipotezelor asupra valorii parametrilor unei repartiţii. Ne

propunem să verificăm ipoteza conform căreia parametrul λ ia valoarea λ0 .

Notăm această ipoteză cu H0 şi o numim ipoteza nulă .

Presupunem că afară de λ0 parametrul λ mai poate lua şi una din valorile

λ1,λ2 …..λn

Ipotezele :

λ

λλ

λ

λ

λ

nnH

HH

=

=

=

:..

:

:

22

11

se numesc ipoteze alternative (375)

Deci :

ealternativipoteze

nulaipoteza

nnH

HH

H

−

−

=

=

=

=

λ

λλ

λ

λ

λ

λ

λ

:

:

:

:

0

22

11

00 (376)

Ipoteza nulă şi ipotezele alternative constituie ipotezele admisibile asupra valorii

parametrului λ.

Fie două ipoteze admisibile :

• ipoteza nulă - λλ 00 : =H


110

• ipoteza alternativă - λλ 11 : =H

Mulţimea tuturor observaţiilor posibile se împarte în două regiuni distincte :

V – numită regiune critică

CV - numită regiune de acceptare

• Ipoteza se acceptă dacă rezultatul observaţiei cade în regiunea CV de acceptare

• Ipoteza se respinge dacă rezultatul observaţiei cade în regiunea critică V

Dacă avem o relaţie x1 , x2 ……..xn

şi dacă ( x1 , x2 ……..xn ) ∈ V - respingem ipotezo H0 (nulă)

(şi acceptăm ipoteza H1 ).

şi dacă ( x1 , x2 ……..xn ) ∈ CV - acceptăm ipotezo H0 (nulă)

(şi respingem ipoteza H1 ).

Acceptând sau respingând o ipoteză se pot comite două feluri de erori :

• Erori de ordinul întâi , având probabilitatea α

( )[ ]Hxxx Vp n 021 /......, ∈=α (377)

reprezintă eroarea de a respinge ipoteza H0 când ea este adevărată

(în general α=0,01 sau α=0,05)

α - se numeşte prag de semnificaţie

• Erori de ordinul doi , având probabilitatea β

( )[ ]Hxxx CVp n 121 /.... ∈=β (378)

şi reprezintă eroarea de a accepta ipoteza H0 când ea este falsă.

Cu cât α şi β sunt mai muci cu atât testul este mai puternic

Dintre toate mulţimile V care satisfac relaţia

( )[ ] α=∈ Hxxx Vp n 021 /......, (379)


111

trebuie să alegem o mulţime care servesc ca o bază a testului , această mulţime este

cea pentru care :

( )[ ] β=∈ Hxxx CVp n 121 /......, (380)

are valoarea minimă. Această regiune determinată în acest caz de mulţimea V este

cea mai bună regiune critică iar testul bazat pe cea mai bună regiune critică se

numeşte cel mai puternic test.

I.11.2 . TESTUL χ2

Acesta este un test neparametric pentru verificarea timpului funcţiei de repartiţie.

Este bazat pe criteriul comparării frecvenţelor .

Fie Xn(x1 , x2 ……..xn) o selecţie de volum n , ordonată sub forma unui şir variaţional.

Se împarte axa ( 0 , ∞ ) în N intervale ;

[ 0 , x1 ) , [x1, x2 ) ………..[xN-1, ∞ )

Fie pi probabilitatea ca valoarea xi să aparţină unui interval [xi-1, xI].

Conform funcţiei de repartiţie :

( ) ( )∫∫−−

== xx

dxxfxx

xdF i

i

i

ipi

11 (381)

F(x) – este funcţia de repartiţie ipoteză.

Testul constă în compararea abaterii frecvenţelor sub formă absolută ( deci

frecvenţele absolute ) individual sau global.

Dacă abaterile sunt mici ( în nişte limite date , cu o anumită probabilitate dată )

funcţia estimată este cea reală.

Pentru aceasta se calculează expresia:

[ ]

∑−

=N

ti

tiei1

2.2

νννχ (382)


112

ν e - frecvenţa absolută empirică a variabilei aleatoare pe intervale

ν t - frecvenţa teoretică

( )dxxx

xfNN i

ipiti ∫

−

==1

.ν (383)

Se controlează dacă în limitele unei probabilităţi date egală cu δ probabilitatea

P(χ2>χ02) satisface ecuaţia :

δχχ =

>

2.

0

2p (384)

unde :

χ02 – este tabelat în funcţie de δ şi de numărul de grade de libertate.

Dacă există S parametri şi aceştia sunt estimaţi cu aceeaşi selecţie se reduce

numărul gradelor de libertate de la N -1 la N – S – 1.

Există ipotezele :

H0 : F(x) – este funcţia de repartiţie căutată (ipoteza nulă)

H1 : F(x) – nu este funcţia de repartiţie căutată (ipoteza alternativă)

Ipoteza se acceptă la pragul de încredere α ( F(x) este funcţia de repartiţie

căutată ) dacă :

( )12222

−−≤≤ SNsau χχχχ α (385)

Ipoteza nu este acceptată la pragul de semnificaţie α ; ( F(x) nu este funcţia de

repartiţie căutată)

Dacă :

( )122

−> Nχχ (386)

α = 1-δ - se numeşte prag de semnificaţie sau nivel de

semnificaţie

.


113

PARTEA a II- a

FIABILITATEA SISTEMELOR DE PROTECŢIE ŞI AUTOMATIZARE ALE INSTALAŢIILOR

ELECTROENERGETICE


114

II.1. MODELUL FIABILITĂŢII PREVIZIONALE

Fiabilitatea previzională, reprezintă fiabilitatea evaluată pornind de la

concepţia sistemului şi de la datele cu privire la componentele de realizare ale

acestuia având drept scop prognozarea comportării în exploatare a sistemului

considerat. [GEBA 85 ]

II.1.1. MODELELE DE FIABILITATE ALE RELEELOR ŞI SISTEMELOR DE PROTECŢIE

Studiul fiabilităţii sistemelor de securitate presupune abordarea complexă a

problematicii aferente acestora. Astfel, în cele ce urmează, se tratează de la simplu

la complex fiabilitatea:

− releului simplu, ca element de sine stătător;

− releului complex, compus din mai multe relee simple;

− sistemului de protecţie, alcătuit din unul sau mai multe relee complexe în

conexiune cu transformatoarele de măsură, sursele de curent continuu şi

elementele din dispozitivul de acţionare;

− sistemului de protecţie, plus dispozitivul de acţionare, plus echipamentul de

comutare (întrerupătorul);

− elementului protejat, cu două celule, prin care este racordat la sistemul energetic;

− elementului protejat, inclusiv a celor n celule, ale căror echipamente de comutaţie,

sunt comandate de instalaţia de securitate.

II.1.2. DEFINIŢII ŞI CONCEPTE

Sistemele de putere (SP), fac parte din categoria sistemelor mari, a căror

funcţionare are efecte sociale majore.

Elementele primare (EP), precum:

− generatoarele (G),

− transformatoarele (T),

− liniile (L),

− barele colectoare (BC),


115

sunt cele prin a căror funcţionare, energia electrică (EE) ajunge la consumatori în

momentul în care este produsă.

Cerinţa, privind continuitatea în alimentare a consumatorilor, este realizată

prin disponibilitatea EP şi prin redundanţă (rezervare).

Disponibilitatea necesară pentru EP, este realizată prin fiabilitatea (R) lor şi

prin mentenanţă (M).

La defectarea unui EP, când asupra sa se execută lucrări de mentenanţă,

nemaifiind necesară funcţionarea, elementul trebuie să poată fi izolat de restul

sistemului primar, care trebuie să rămână în funcţiune.

Această cerinţă este realizată prin încadrarea (figura 50) tuturor elementelor

primare cu întrerupătoare (I) sau mai corect celule. Acestea din urmă fiind

subsisteme complexe, care îndeplinesc următoarele funcţiuni multiple, dintre care, în

continuare ne interesează trei:

− funcţia de comandă (FC) - care constă din punerea şi scoaterea din

funcţiune voită de către operator;

− funcţia de protecţie (FP) - care constă în izolarea elementului defect de

celelalte elemente ale sistemului, care trebuie să rămână în funcţiune;

− funcţia de izolare (FI) - care constă în izolarea unui întrerupător sau EP

defect sau aflat în mentenanţă.

Modelarea protecţiilor, în studiul fiabilităţii sistemelor de putere, poate fi

făcută,numai printr-o corectă localizare a lor în schemele monofilare ale SP şi, o

corectă analiză a efectelor funcţionării sau nefuncţionării lor.

Protecţia sesizează apariţia unui defect, localizează defectul şi comandă

declanşarea întrerupătoarelor, care realizează legătura dintre elementele primare

integre şi cel defect.

Nefuncţionarea protecţiei sau a întrerupătorului comandat are acelaşi efect,

dar include în zona defectă şi elementele primare vecine integre.

În studiile de până acum s-a modelat împreună cu întrerupătorul şi protecţia

aferentă lui. Neabordarea diferenţiată a făcut ca şi datele privind funcţionarea să fie

reduse.

În continuare, se va încerca modelarea detaliată a protecţiilor, pornind de la o

analiză a defecţiunilor protecţiilor şi o detaliere a nefuncţionării protecţiilor în funcţie

de poziţia acestora în sistemul primar.


116

Acesta din urmă extinde un model propus anterior [IVAS 94].

Trebuie remarcat că efectele nonfiabilităţii protecţiilor sistemelor primare pot fi

analizate din puncte de vedere diferite, dar convergente, din care enumerăm:

− privim sistemul primar în sine;

− privim un element primar al sistemului primar;

− privim numai protecţia;

− privim sistemul primar din punct de vedere al serviciului pe care acesta îl

asigură consumatorilor (alimentarea acestora cu energie electrică).

Ultimul punct de vedere este cel corect, conţinându-le pe celelalte.

II.1.3. LOCUL ŞI ROLUL PROTECŢIILOR

Vorbind despre protecţii ne referim la:

− un releu de protecţie;

− o protecţie destinată unui anumit defect (de distanţă, maximala de curent, etc.) care este deja un subsistem de relee, traductoare, etc.;

− protecţiile montate pe un întrerupător, destinate declanşării acestuia la defectarea elementelor primare pentru care acestea sunt montate;

− sistemul global de protecţie şi automatizare a unui sistem primar.

II.1.4. VARIANTE DE ECHIPARE PRIMARĂ A UNUI ELEMENT PRIMAR CU

ÎNTRERUPĂTOARE RESPECTIV PROTECŢII

Din punctul de vedere al unui element primar, acesta poate fi echipat

(comandat, protejat, izolat, etc.) după cum urmează:

− un întrerupător - în cazul elementelor schemelor radiale (figura 30.a) şi a

generatoarelor);

− două întrerupătoare - în cazul elementelor de interconexiune cu câte un

întrerupător la capăt (figura 30.b);

− trei sau patru întrerupătoare, la elementele de la punctul anterior, cu două

întrerupătoare la un capăt (figura 30c) sau la ambele capete (figura 30.d);

− mai multe întrerupătoare, în cazul barelor colectoare şi transformatoarelor cu mai


117

multe înfăşurări (figura 30.e).

Ep - element protejat

Ep1 - linie radială

Ep2 - generator

Ep3 - linie de interconexiune

Ep4 - bară colectoare

Generalizând

cazul din figura 30.e,

rezultă că elementele

sistemelor de putere pot

fi caracterizate de

contururi de protecţie,

materializate de celulele

prin care se face

izolarea lor voită sau

forţată, de celulele

elementelor vecine

( )N nN1− energizate (care reprezintă surse sau sunt legate la surse pe alte căi).

Un defect la elementul E, din figura 30, va fi izolat prin funcţia de protecţie a

întrerupătoarelor (celulelor) care-l leagă cu vecinii (I1, I2, I3 şi I4), dacă toate cele patru

zone rămân energizate după deschiderea întrerupătoarelor (dacă de exemplu N2

este alimentată radial prin E, I2 nu va declanşa).

În caz de refuz a unui întrerupător (de exemplu I4), izolarea se va face prin

aceeaşi funcţie a întrerupătoarelor conturului (elementului) vecin (Nn), care va fi izolat

simultan cu E, de aşa numita protecţie de rezervă, materializată aici de

întrerupătoarele I5 şi I6, cu aceeaşi condiţie enunţată anterior privind sursele.

Este ilustrat aici efectul multiplicator de avarii la nefuncţionarea protecţiilor.

Multiplicarea avariei (declanşarea lui Nn prin I5, I6), la defectarea lui E şi refuzul

lui I4 (figura 31), se realizează numai pe durata comutărilor normale Tm, când se

apelează la funcţia de izolare a celulei (I4) dupa care Nn se repune în funcţiune. E, va

fi repus, după timpul de reparaţie Tr, de înlăturare a avariei care a generat

fenomenul.

~ Linie de interconexiune

sau trafo Ep3

Ep3

Ep3

Ep1,2,3 Ep1,2,3

Ep4

Ep1 (linie radială)

Ep2 (generator

a)

b) c) d) e)

Figura 30 Variante de echipare ale unui element primar


118

II.1.5. DEFECŢIUNI ALE PROTECŢIILOR ŞI EFECTELE LOR

Din punct de vedere a fiabilităţii, protecţiile pot fi considerate ca sisteme

particulare.

Particularităţile lor se încearcă a fi evidenţiate în continuare.

A. - au o singură stare de funcţionare corectă şi mai multe stări de defect şi

anume:

a. declanşează corect;

b. declanşează eronat

b1 fără ca elementul protejat să se defecteze

b2 cu altă temporizare decât cea corectă;

c. nu declanşează la defect;

d. anclanşează fără comandă.

N1

E N2 Nn

N3

I3

I2 I4

I1

Figura 31

Element încadrat în sistem

cu considerarea vecinilor săi

E - element (zonă

protejată)

N1÷Nn - element (zonă

protejată) vecină

I5

I6


119

Efectele acestora sunt următoarele:

a. izolează doar elementul primar defect, pe o perioadă egală cu

timpul de reparat Tr

b1. scoate elementul primar, Ep, din funcţiune, doar pentru perioada

unei repuneri în funcţiune prin comutări;

b2. poate duce la declanşări eronate ale altor protecţii;

c. măreşte zona deconectată (dezenergizată), cu zonele aferente

integre, legate de elementul primar protejat, prin întrerupătorul care

refuză declanşarea . Zonele deconectate eronat pot fi repuse în

funcţiune, prin comutări după izolarea întrerupătorului care a refuzat

să lucreze;

d. poate pune în pericol personalul de exploatare (întreţinere) şi

funcţionarea sistemului când zona energizată nedorit este defectă.

B. - au elementele în funcţiune tot timpul (TT, TC, CO) şi elemente (figura 52,

pentru scheme mai complexe), care funcţionează numai la apariţia

defectului (RC, DA, I).

Defecţiunile acestora din urmă, sunt evidenţiate, numai dacă, elementul primar

protejat, pentru care este montată protecţia, se defectează. Precum şi dacă, se fac

lucrări de verificare preventivă sau dacă instalaţiile de protecţie sunt prevăzute cu

funcţii de autotestare.

Efectele în această situaţie sunt următoarele:

− Ieşirea din funcţie a protecţiei nu are efecte negative, dacă este descoperită

înainte ca elementul primar protejat să se defecteze (de exemplu la o operaţie de

mentenanţă). De aici, rezultă concluzii privind politica de mentenanţă sau

autodiagnosticul protecţiei.

− Precizia indicatorilor de fiabilitate a protecţiilor, obţinuţi prin selecţie, depinde de

fiabilitatea elementului primar protejat (EP).


120

II.1.6. MODELUL DE FIABILITATE AL UNUI RELEU SIMPLU

Cel mai adesea, releele de protecţie sunt sisteme complexe.

Principial însă, ele sunt de fapt comparatoare, K, între doi sau mai mulţi parametri de

intrare Mi şi o mărime de referinţă (reglaj) R0 (figura 33) cu mărimea de ieşire I, care

ideal, trebuie să îndeplinească următoarele condiţii: Ipentru M R

pentru M Ri

i

=≤

>

0

10

0

reprezentate în varianta ideală prin figura 33.b

• Cazul releelor maximale Parametrul supravegheat de releu are însă două domenii, care arareori se

suprapun şi, care pot fi apreciate ca două mărimi distribuite şi anume: cele normale

N şi cele de avarii,A.

Teoretic, numai acestea pot fi considerate constante (figura 34).

• I- întrerupător • DA- dispozitiv de

acţionare • RC- contactul

releului • RB- bobina

releului • TT- transformator

de tensiune • TC- transformator

de curent • EP- element

primar protejat • C O- curent

operativ

RB

RC CO

(+)

(-)

EP

TT

TC

I DA

Figura 32 Elementul primar şi protecţia asociată lui


121

Mi

R0 K

I

Mi

R0 K

I TC

Mi R0

1

P I

a) b)

Mi R0

1

P I

c) d)

Figura 33 Modelul releului simplu

Fiecare din funcţiile de distribuţie din figura 34, pot fi obţinute prin tehnici de

selecţie şi estimaţie a parametrilor.

Odată cunoscute, calculul probabilităţilor de acţionare falsă (intempestivă) sau

rateuri (refuzuri), pot fi obţinute prin integrare (figura 35).

Riscul de funcţionare intempestivă este dat de relaţia:

( ) ( )q f da f draA

Xr

X

R

m

Mint = +⋅∫ ∫ (387)


122

N R0 A Mi

P

1

a) ideal N R0 A Mi

P

1

b) real corect

N R 0 A Mi

P

1

c) pericol de refuz

P

1

d) prericol de acţionare intempestivă

N R0 A Mi

P

1

e) cu probabilitate atât de refuz cât şi de funcţionare intempestivă

N R 0 A Mi

f(mn) f(n) f(ma)

Figura 34 Funcţiile de distribuţie în

cazul releelor maximale

Rm Am X RM AM

f(r) f(a) P

1

Figura 35 Funcţii de distribuţie corespunzătoare valorilor de reglaj

şi de avarie în cazul releelor maximale ( )f fr a( ) ( ) - funcţia de distribuţie a mărimii de referinţă (avarie)

Rm(Am) - valoarea minimă a mărimii de referinţă (avarie)

RM(AM) - valoarea maximă a mărimii de referinţă (avarie)

Cazul releelor minimale În cazul releelor de tip minimal situaţia se prezintă ca în figura 36.


123

În mod similar celor prezentate la releele maximale, pentru cazul releelor

minimale (figura 37) riscul de funcţionare eronată (refuz) este:

( ) ( )q f dr f daref rR

Xa

X

A

m

M= +∫ ∫ (388)

A R0 N Mi

P

1

a) ideal A R0 N Mi

P

1

b) real corect

A R i N Mi

P

1

c) prericol de refuz

P

1

d) prericol de acţionare intempestivă

A R 0 N Mi

P

1 e) există atât riscul funcţionărilor intempestive cât şi al refuzurilor

A R 0 N Mi

Figura 36 Funcţiile de distribuţie în cazul releelor minimale


124

pentru cazul comparatorului ideal.

II.1.7. MODELE DE FIABILITATE A SISTEMELOR DE PROTECŢIE MONTATE PE ÎNTRERUPĂTOARE

Sistemele de protecţie echipează un întrerupător şi comandă deschiderea

acestuia, la defectarea elementului primar (EP) corespunzător. Sistemele de

protecţie, conţin traductoare, relee specializate, relee intermediare, surse de curent

operativ, etc. Vom considera, că de asemeni, fac parte din sistemele de protecţie,

dispozitivele de acţionare ale întrerupătoarelor şi întrerupătoarele propriu-zise.

Modelele care rezultă în aceste situaţii arată ca în figura 38a şi b.

Cu ajutorul lor se poate calcula, cu uşurinţă probabilitatea de succes, a izolării

unui defect de către întrerupător, care va fi necesară în continuare.

Din schemele prezentate rezultă unele concluzii privind creşterea fiabilităţii

protecţiilor, de exemplu prin utilizarea unor elemente TC şi TT diferite pentru cele

două protecţii, sau chiar a două surse de curent operativ diferite [VIZI 97/1]

Am A Rm X AM R RM

f(a) f(r)

Figura 37 Funcţii de distribuţie corespunzătoare valorilor de avarie

şi de reglaj în cazul releelor minimale


125

II.1.8. MODEL DE CALCUL A FIABILITĂŢII UNUI ELEMENT PRIMAR CU CONSIDERAREA ECHIPĂRII ACESTUIA CU PROTECŢII. Vom analiza cazul cel mai frecvent (figura 30.b) pe care-l detaliem în fig. 39.

L2

∼ ∼

Sursă

Vecin 1 N1

Vecin 2 N2

E I1

IC1 L1 IC2

IS1 IS1

I2

S2

Figura 39 Încadrarea unui element primar echipat cu două întrerupătoare în sistemul de putere

Elementul primar, E, caracterizat de intensităţile de defectare (reparare), λE

(µE) şi protejat de întrerupătoarele I1 şi I2, în ai căror indicatori de fiabilitate includem

TC

TT

RS

CO RC

DA I

a)

DA I CO RC1

RC2

RB1

RB2

TC

TT b)

Figura 38 Sisteme de protecţii montate pe întrerupătoare


126

şi protecţiile, conform modelelor din paragraful anterior, în care întrerupătoarele

constituie conturul lui, E faţă de elementele vecine N1 şi N2.

Elementele N1 şi N2 au la rândul lor, fiecare, două categorii de vecini şi

anume:

− surse reprezentate generic în figură prin S1 şi S2;

− consumatori (A1 şi A2).

Pentru a putea obţine un model, care să cuprindă, pe lângă fiabilitatea

elementului primar şi influenţele protecţiilor montate pe I1 şi I2 şi a elementelor

vecine, s-a întocmit un graf al stărilor, pentru exemplul din figura 59, prezentat în

figura 40, în care:

E - elementul primar;

N1, N2 - elementele (conturului) vecine;

A1, A2 - consumatorii racordaţi la N1, N2;

X - element integru;

X - element defect energizat;

X - element integru dezenergizat;

X - element defect dezenergizat;

E I1(I2) - elementul E energizat prin I1(I2);

( )λ µX Xi i - intensitatea de defectare (reparare) a elementului Xi;

Tm - timp de comutare normală;

λmmT

=1

- intensitatea de comutare normală a unui vecin N;

λmm - intensitatea de comutare normală a lui N1 şi N2;

Tk - timpul de comutare automată;

λkkT

=1

- intensitatea de comutare automată;

Pi - probabilitatea de funcţionare reuşită, a întrerupătorului Ii şi a protecţiei

aferente;


127

q pi i= −1 - probabilitatea de insucces, a întrerupătorului Ii şi a protecţiei

aferente.

22 A1 N1 E N2 A2

25 A1 N1 E N2 A2

24 A1 N1 E N2 A2

23 A1 N1 E N2 A2

14 A1 N1 E N2 A2

15 A1 N1 E N2 A2

16 A1 N1 E N2 A2

17 A1 N1 E N2 A2

12 A1 N1 E N2 A2

18 A1 N1 E N2 A2

19 A1 N1 E N2 A2

20 A1 N1 E N2 A2

21 A1 N1 E N2 A2

25 A1 N1 E N2 A2

0 A1 N1 E N2 A2

1 A1 N1 E N2 A2

2 A1 N1 E N2 A2

3 A1 N1 E N2 A2

4 A1 N1 E N2 A2

5 A1 N1 E N2 A2

6 A1 N1 E N2 A2

8 A1 N1 E N2 A2

9 A1 N1 E N2 A2

7 A1 N1 E N2 A2

10 A1 N1 E N2 A2

11 A1 N1 E N2 A2

λN2

qSλK qSλK

λN1

pSλK pSλK

λm

λN2 λN1

q1qSλK

p1qSλK

p1pSλK

pSq1λK

λm

λm

λm

λm

λmm

λN2 λN1

λmm q2qSλK

p2qSλK

p2pSλK

µN1 µN2

µE λE

q1p2λK q1q2λK

p1q2λK p1p2λK

λm λm

λmm

µN1 µN2

λN1 λN2

λm λm

pSλK pSλK qSλK qSλK

µE µE

Figura 40 Graful stărilor unui element primar echipat cu două întrerupătoare aflat întrun sistem de putere


128

Studiu de caz

Modelul de fiabilitate

prezentat în figura 40 [VIZI 97/4],

în care N1 şi N2 semnifică vecinii

elementului primar E, pentru care

sunt cunoscuteλN1=λN2=0,0004[h-1]

şi µN1=µN2=0,02[h-1], ştiindu-se de

asemenea λE=0,0002[h-1] şi

µE=0,05[h-1], precum şi Tk=10-3[h-1]

şi Tm=0,5[h-1], conduce la un

număr de întreruperi care

afectează sarcina conectată în

nodul N1, ca cel prezentat în figura

41’.[VIZI 97/2],

II.2. MODELUL FIABILITĂŢII EXPERIMENTALE

Fiabilitatea experimentală, reprezintă fiabilitatea rezultată în urma încercărilor

experimentale, făcute cu produsul realizat, în scopul depistării şi diagnosticării

defectelor.

II.2.1. EXPRESIILE MATEMATICE ALE PROBABILITĂŢILOR ANSAMBLULUI CONSTITUIT DE PROTECŢIA DE DISTANŢĂ

În [SING 80], [ANDE 84], [ALLA 82], sunt prezentate, atât aspecte care

vizează fiabilitatea operaţională, cât şi aspecte care vizează fiabilitatea

experimentală a instalaţiilor de protecţie şi automatizare, fără însă a fi diferenţiate.

După opinia noastră, chestiunile trebuie disociate, întrucât, rezultatele sunt diferite.

Adică, este posibil să se decidă într-un singur fel pentru situaţia în care realitatea

comportă aspecte diferite, tocmai din cauza faptului că nu se sesizează că

problemele aparţin la planuri diferite.

Figura 41’ Numărul de întreruperi care afectează sarcina dintr-un nod (N1)

3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5

M[ν(t)]N1

q=0,4

q=0,25

q=0,1

λE10-3 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0


129

Ne vom ocupa, în cele ce urmează, de fiabilitatea experimentală (numită de

unii autori şi tehnică [GEBA 84]), respectiv de testarea în regim accelerat a

instalaţiilor de protecţie complexe.

Fiabilitatea protecţiilor prin relee reprezintă probabilitatea ca sistemul de protecţie să fie în stare de funcţionare în intervalul (0, t) - adică sistemul să se afle în una din stările Sne sau Smp .

Se caută expresiile matematice, ale probabilităţilor de funcţionare neeronată,

de refuz, de funcţionare intempestivă, precum şi probabilitatea ca protecţiile de

distanţă testate, în condiţii de laborator, să comunice răspunsuri eronate.

Pentru determinarea cantitativă a performanţelor releelor de distanţă, ale căror

caracteristici de funcţionare t f z= ( ) au forma unor trepte (figura 42), se foloseşte o

instalaţie specială, concepută de autor [VIZI 92/4]. [VIZI 92/6], [BARO 88], [NITU

80],[NITU 81].

Definim următoarele mărimi:

-probabilitatea funcţionărilor, corecte corespunzătoare treptei i :

PFNi

i

i

= (389)

-probabilitatea refuzurilor, corespunzătoare treptei i:

J RNi

i

i

= (390)

t4

t3

t2

t1

t

tr.I tr.II

tr.III tr.IV

z1 z2

z3 z4

z

Figura 42 Caracteristica în trepte a protecţiilor de distanţă


130

-probabilitatea funcţionărilor intempestive, corespunzătoare treptei i:

I ENi

i

i

= (391)

-probabilitatea ca protecţia să transmită răspunsuri eronate, în treapta i:

Q R ENi

i i

i

=+ (392)

unde: Fi - reprezintă numărul de funcţionări corecte, în treapta i;

Ei - numărul de funcţionări intempestive, corespunzătoare treptei i;

Ri - numărul de refuzuri de acţionare, în treapta i;

Ni - numărul de solicitări ale protecţiei, în treapta i.

Odată stabilite relaţiile probabilităţilor Pi, Ji, Ii şi Qi (relaţiile (393÷396), ale

protecţiei pentru treapta i, se determină funcţie de acestea, prin înlocuirea lui Fi, Ri, Ei

şi Ni corespunzătoare numărului testelor făcute în treapta I, următoarele valori:

tr. I P FN1

1

1

= J RN1

1

1

= I EN1

1

1

= Q R EN1

1 1

1

=+ (393)

tr. II P FN2

2

2

= J RN2

2

2

= I EN2

2

2

= Q R EN2

2 2

2

=+ (394)

tr. III P FN3

3

3

= J RN3

3

3

= I EN

i3

3

3

= Q R EN3

3 3

3

=+ (395)

tr. IV P FN4

4

4

= J RN4

4

4

= I EN4

4

4

= Q R EN4

4 4

4

=+ (396)

Dacă probele vor fi făcute pentru mai multe relee, de exemplu m relee, pentru

fiecare din ele vor fi determinate valorile:

Fik( ) k ∈ (1,2,...,m)

Rik( ) k ∈ (1,2,...,m)

Eik( ) k ∈ (1,2,...,m)

Pentru releul de distanţă, în ansamblul său, vom avea următoarele

probabilităţi:


131

P F F F FN N N N

F

N

M M M M SM

S

SS

=+ + ++ + +

= =

=

∑

∑1 2 3 4

1 2 3 4

1

4

1

4 (397)

J R R R RN N N N

R

N

M M M M SM

S

SS

=+ + ++ + +

= =

=

∑

∑1 2 3 4

1 2 3 4

1

4

1

4 (398)

I E E E EN N N N

E

N

M M M M SM

S

SS

=+ + ++ + +

= =

=

∑

∑1 2 3 4

1 2 3 4

1

4

1

4 (399)

Q E E E E R R R RN N N N

E R

N

M M M M M M M M SM

SSM

S

SS

=+ + + + + + +

+ + +=

+= =

=

∑ ∑

∑1 2 3 4 1 2 3 4

1 2 3 4

1

4

1

4

1

4 (400)

unde: P - reprezintă probabilitatea de funcţionare corectă a protecţiei de distanţă;

J - reprezintă probabilitatea de refuz a protecţiei de distanţă;

I - probabilitatea ca releul de distanţă să funcţioneze intempestiv;

Q - probabilitatea ca protecţia să comunice răspunsuri eronate.

Valorile lui FM1 , FM

2 , FM3 , FM

4 sunt determinate ca medii, după testarea unui

număr M de relee în treptele 1, 2, 3 şi 4. Astfel, dacă F k1( ) este numărul de funcţionări

corecte ale releului k în treapta 1, atunci când pentru aceasta s-au făcut N1 teste:

releul 1 releul 2 ..... releul k ..... releul m ↓ ↓ ↓ ↓ F1

1( ) F12( ) F k

1( ) F m

1( )

putem scrie valorile medii FSM (s = 1,2,3,4) astfel:

FF F F F

m mFM

k mk

k

m

111

12

1 11

1

1=

+ + + + += ⋅

=∑

( ) ( ) ( ) ( )( )

(401)

care reprezintă valoarea medie a funcţionărilor corecte, în treapta întâia,

corespunzătoare celor m relee cărora li s-au făcut câte N1 testări,

respectiv : FF F F F

m mFM

k mk

k

m

221

22

2 22

1

1=

+ + + + += ⋅

=∑

( ) ( ) ( ) ( )( )

(402)


132

care reprezintă valoarea medie a funcţionărilor corecte în treapta a doua,

FF F F F

m mFM

k mk

k

m

331

32

3 33

1

1=

+ + + + += ⋅

=∑

( ) ( ) ( ) ( )( )

(403)

FF F F F

m mFM

k mk

k

m

441

42

4 44

1

1=

+ + + + += ⋅

=∑

( ) ( ) ( ) ( )( )

, (404)

care reprezintă aceleaşi valori medii, corespunzătoare treptelor trei respectiv patru.

Se poate scrie în general:

Fm

FSM

Sk

k

m

= ⋅=

∑11

( ) (405)

În mod similar:

RR R R R

m mRS

M S S Sk

Sm

Sk

k

m=

+ + + + += ⋅

=∑

( ) ( ) ( ) ( )( )

1 2

1

1 (406)

EE E E E

m mES

M S S Sk

Sm

Sk

k

m=

+ + + + += ⋅

=∑

( ) ( ) ( ) ( )( )

1 2

1

1 (407)

Înlocuind valorile lui FM1 , FM

2 , FM3 , FM

4 se obţine:

P mF

mF

mF

mF

N

k

k

mk

k

mk

k

mk

k

m

SS

=⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= = = =

=

∑ ∑ ∑ ∑

∑

1 1 1 11

12

13

14

1

1

4

( ) ( ) ( ) ( )

(408)

sau

PF

N

mF

N

F

m N

SM

S

SS

Sk

k

m

S

SS

Sk

k

m

S

SS

= =⋅

=⋅

=

=

==

=

==

=

∑

∑

∑∑

∑

∑∑

∑1

4

1

411

4

1

411

4

1

4

1 ( ) ( )

(409)

Deci PF

m N

Sk

k

m

S

SS

=⋅

==

=

∑∑

∑

( )

11

4

1

4 (410)

În mod similar se demonstrează că:


133

JR

m N

Sk

k

m

S

SS

=⋅

==

=

∑∑

∑

( )

11

4

1

4 (411)

IE

m N

Sk

k

m

S

SS

=⋅

==

=

∑∑

∑

( )

11

4

1

4 (412)

QE R

m N

Sk

k

m

SSk

k

m

S

SS

=+

⋅

== ==

=

∑∑ ∑∑

∑

( ) ( )

11

4

11

4

1

4 (413)

Dacă releul are L trepte şi notăm cu V una din mărimile P, J, I se obţin relaţiile

generale, "relaţiile FRE" (414), în ipoteza că numărul de teste din fiecare treaptă

este egal N1=N2=...=NL=N*:

V∈P,J,I

T∈F,R,E (414)

Acestea, reprezintă probabilităţile de funcţionare neeronată (V=P, T=F), de refuz,

(V=J, T=R), de funcţionare intempestivă, (V=I, T=E) şi probabilitatea ca protecţia să

comunice răspunsuri eronate[VIZI 92/3],.

Studiu de caz Prin testarea la diverse valori ale impedanţei a unor relee frecvent utilizate în

reţelele de 110 kV cu ajutorul simulatorului de defecte s-au obţinut rezultate care pot

fi sintetizate în grafice de tipul celor din figurile 43, 44, 45. Dacă se imaginează un

+=

=

∑∑∑∑

∑∑

= == =

= =

L

S

m

k

kS

L

S

m

k

kS

L

S

m

k

kS

RELmN

Q

TLmN

V

1 1

)(

1 1

)(*

1 1

)(*

1

1


134

ecart de timp în jurul valorii timpului, care ar trebui obţinut pentru impedanţa reglată,

se pot reţine şi număra funcţionările pentru care timpul de răspuns este în afara

ecartului. De exemplu: pentru releele D114, în cazul unui ecart de ±40 ms (figura 63),

în jurul valorii t=140 ms (la o impedanţă Z=16,5 ohmi), se constată 2 funcţionări

intempestive pentru 50 de teste, deci probabilitatea de funcţionare intempestivă este

2/50 = 4%. Pentru releele PD3/2, în cazul unui ecart de ±100 ms (figura 64), în jurul

valorii t=1040 ms (la o impedanţă Z=18ohmi, corespunzătoare treptei a doua), se

constată 8 funcţionări intempestive, pentru 50 de teste, deci probabilitatea de

funcţionare intempestivă este 8/50 = 16%. De asemeni pentru releele RD110, în

cazul unui ecart de ±20 ms în jurul valorii t=105 ms (la o impedanţă Z=16,5ohmi) se

constată 2 funcţionări intempestive, pentru 50 de teste. Deci probabilitatea de

funcţionare intempestivă este 2/50 = 4% şi 3 refuzuri adică probabilitatea de refuz

este 3/50 = 6%.

Variaţia timpului de răspuns pentru o impedanţă fixată Z1_3=16,5ohm în cazul releului D114

80100120140160180

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

număr test

timp

răsp

uns

Figura 43

Variaţia timpului de răspuns pentru o impedanţă fixată Z1_5=18ohm în cazul releului PD3/2

640740840940

10401140

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

număr test

timp

răsp

uns

Figura 44


135

Variaţia timpului de răspuns pentru o impedanţă fixată Z1_3=16,5ohm în cazul releului RD110

8090

100110120130140

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

număr test

timp

răsp

uns

Figura 45

II.2.2. MODELUL TIMPULUI DE RĂSPUNS, CA VARIABILĂ ALEATOARE, PENTRU RELEE DE DISTANŢĂ.

Fie un releu de distanţă, având caracteristica t=f(z), în trepte, figura 46(vezi si

fig.47), timpul de răspuns fiind dependent de impedanţa până la locul de defect.

Presupunând un număr de solicitări (nsol), fixat, în raport cu care se observă

răspunsurile protecţiei (nr), în funcţie de timpul după care este transmis impulsul de

declanşare pentru un reglaj fix privind impedanţa de defect (Z fixat), se calculează

raportul nr/np, adică probabilitatea de răspuns, care se reprezintă în funcţie de timpul

de răspuns tr (figura 47).

Figura 46Testarea protecţiilor de distanţă în vecinătatea impedanţelor

de trecere dintr-o treaptă în alta

t4

t3

t2

t1

t

zreg

zreg2 zreg3

z A

B

C


136

Tz - timpul de răspuns al protecţiei corespunzător treptei de impedanţă Z fixată pe

releu.

Răspunsurile se vor înscrie, pe o curbă ca cea din figura 47, căreia îi

corespunde densitatea de probabilitate f(tr), cu ajutorul căreia se pot determina o serie

de mărimi foarte utile analizei modului de comportare a releelor de impedanţă.

Dacă, în jurul timpului Tz, se dau limitele Tz - a respectiv Tz + a, se consideră

răspunsuri favorabile ale protecţiei, cele corespunzătoare ecartului [ ]T a T az z− +, .

Dacă t T ar z< − - funcţionarea protecţiei se consideră intempestivă.

Dacă t T ar z> + - funcţionarea protecţiei se consideră întârziată, respectiv

avem de-a face, cu un refuz de funcţionare în treapta considerată a protecţiei.

În raport cu Tz, funcţionarea releului se poate înscrie în una din următoarele

situaţii:

a) Curba deplasată la dreapta (2), adică cea pentru care probabilitatea

maximă se obţine pentru valori ale timpului de răspuns t T Tr z z= >' (fig.48)

b) Curba deplasată la stânga (3), adică, cea pentru care probabilitatea

maximă se obţine, pentru valori ale timpului de răspuns t T Tr z z= <' ' (fig.49)

c) Curba înscrisă (4), adică, cea care are maxima atinsă tot pentru

t Tr z= .(fig.50),dar este de dispersie mai mica

n

nr

sol

a a

Tz tr

Figura 47

1

Fig.47. Funcţia de distribuţie a răspunsurilor

pentru protecţiile de distanţă


137

d) Curba circumscrisă (5), adică acea curbă care are maximul atins tot pentru

t Tr z= , dar este de dispersie mai mare(fig.51)

Figura 48 Curba caracteristica refuzurilor de funcţionare

Fig.49 Curba caracteristica funcţionarilor

intempestive

Fig.50 Curba caracteristică unei bune

conformităţi

n

nr

sol

tr

a a

Tz T’z

2

n

nr

sol

tr

a a

Tz T’’z

3

F

Tz tr

a a

1

4

nn

r

sol Figura 50


138

Fig.51 Curba caracteristica unei conformitati

reduse

Fig.52 Explicativa pentru calculul

conformităţii

Fig.53 Explicativa la calculul

neconformitatii

n

nr

sol

tr

1

Tz

a a

5

Figura 51

nn

r

sol

tr

1

Tz

4

t1 t2

nn

r

sol

tr

1

Tz t1 t2

5

Fig.73


139

Dacă ±a sunt toleranţele de catalog, date de furnizorul de relee, avem

următoarele interpretări pentru echipamentele având curbele prezentate anterior:

− Curba 2 caracterizează releele cu întârzieri de funcţionare, practic refuzuri

de funcţionare în raport cu impedanţa de defect reglată. Pentru aceste relee,

impedanţa reglată pe releu trebuie să fie mai mică decât impedanţa ieşită din

calcul;

− Curba 3 caracterizează releele cu accelerări de funcţionare (funcţionări

intempestive) în raport cu impedanţa de defect reglată. Pentru aceste relee

impedanţa reglată pe releu trebuie să fie mai mare decât impedanţa ieşită din

calcul.

− Curba 4 caracterizează releele care se conformează valorilor reglate şi care

sunt cele rezultate din calcul;

− curba 5 caracterizează o funcţionare corectă doar pentru un număr redus

de teste.

Riscul de funcţionare intempestivă este:

q f dtt t

T az

int ( ) ( )= ⋅

− ∞

−

∫ (415)

Probabilitatea de funcţionare corectă este:

R t tT a

T a

f dtz

z

( ) ( )= ⋅

−

+

∫ (416)

Riscul de funcţionare întârziată (refuz) pentru treapta de impedanţă fixată

este:

q f dtref t t

T az

( ) ( )= ⋅

+

+∞

∫ (417)

Este foarte important ca furnizorul să dea pe lângă toleranţele ±a din jurul

valorii reglate, ale timpului “garantat” de răspuns şi probabilităţile corespunzătoare de

răspuns astfel încât să poată fi trasate curbe de tipul 1

. Practic ar trebui ca echipamentele să fie însoţite în momentul livrării de

o astfel de curbă.


140

Ingineria convergentă [CATU 97],[VIZI 95/7],[MIHA 97] sugerează impunerea

unor curbe de tipul 1 de către beneficiar. Practic, acesta reprezintă nivelul de

exigenţă al beneficiarului. Odată stabilit, convenit împreună cu furnizorul, acest nivel

de exigenţă trebuie asigurat.

Definim coeficienţii CC şi CN cu ajutorul cărora stabilim gradul de conformitate,

respectiv de neconformitate faţă de exigenţele convenite.

• Cu cât, valoarea coeficientului de conformitate CC (aplicabil în situaţii pentru care

curbele au forma din figura 53):

C f dtt

f dtt

f dtt

tf dt

t

tf dt

tf dt

tC t t t t t t= − + − + −

−∞ −∞

+∞ +∞

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫1 4 4 1 1 4

1 1

1

2

1

2

2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (418)

sau [ ]C f f dtC t t= −+∞

−∞∫ 1 4( ) ( ) (419)

este mai mică, cu atât conformitatea în raport cu exigenţa convenită este mai bună (produsul fiind superior exigenţelor convenite). • Cu cât, valoarea CN (aplicabil în situaţii pentru care curbele au forma din figura 54):

C f dtt

f dtt

f dtt

tf dt

t

tf dt

tf dt

tN t t t t t t= − + − + −

−∞ −∞

+∞ +∞

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫5 1 1 5 1

1 1

1

2

1

2

2 2

5( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (420)

sau [ ]C f f dtN t t= −+∞

−∞∫ 5 1( ) ( ) (421)

este mai mare, cu atât neconformitatea în raport cu exigenţa convenită este mai

mare (produsul fiind inferior exigenţelor convenite).

Valorile t1 si t2 reprezintă punctele de intersecţie între curbele 1 şi 4, respectiv 1 şi 5.

Studiu de caz 1 Stabilirea nivelului de conformitate

Fie două tipuri de relee pentru care curbele experimentale sunt cele din figura

54’ (reprezentate cu albastru, respectiv negru). Exigenţa impusă de beneficiar, se


141

prezintă de forma curbei roşii. Vrem să determinăm, care din cele două tipuri de

relee, are gradul de neconformitate mai mare

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.01

700 760 820 880 940 1000 1060 1120 1180 1240 1300

0.00997356

6.0858e-015

y( ),,1000 40 t

y( ),,1000 80 t

y( ),,1000 60 t

1290700 t

Figura 54’ Curbele experimentale a două tipuri de relee raportate la curba de exigenţă convenită

Valorile obţinute pentru coeficienţii de neconformitate, a celor două tipuri de relee

sunt prezentate în figura 54’’.Se constată o valoare mult mai mare, a coeficientului de

neconformitate a releului “albastru” faţă de cea a releului “negru”, raportul dintre ele

fiind 1,667.

0.30.34

0.38

0.42

0.46

0.50.54

0.58

0.62

0.66

0.7

700 760 820 880 940 1000 1060 1120 1180 1240 1300

0.645649

0.38757

D1( )t

D2( )t

1290700 t

Figura 54’’ Curbele experimentale a două tipuri de relee raportate la curba de exigenţă convenită


142

Studiu de caz 2 Determinarea riscurilor de funcţionare intempestivă

Dacă timpul de răspuns, pentru o anumită valoare a impedanţei, are o

repartiţie normală, de medie m şi dispersie σ,

f( ),,t m σ .1

.σ .2 π

e

( )t m 2

.2 σ2

(422)

riscul ca pentru defecte (fig.56) la distanţa Z1,4 (curba 4 din figura 55),să lucreze

ca şi cum defectul ar fi în Z1,3 (curba 3 din figură 55) va fi:

I( )f d

154.516

260

t.1

.14.64 .2 π

e

( )t 134.5 2

.2 14.642d

80

154.516

t.1

.25.55 .2 π

e

( )t 175 2

.2 25.552

=I( )f 0.297 (423)

În condiţiile în care, furnizorul garantează pentru releu, curbe având toleranţe

±8 cunoscute (curba 6, albastră din grafic), se poate calcula riscul de funcţionare

intempestiva, la defect într-un punct situat la o distanţă ce măsoară o impedanţa

Zreg1. Dacă releul ar fi trebuit să fi fost deja trecut în treapta a doua, el lucrând tot în

treapta rapidă, conform curbei 5 din grafic (curba 5 corespunde răspunsurilor

obţinute pe cale experimentală după cumpărarea releului pentru o impedanţă egală

cu impedanţa de trecere din treapta întâia în treapta a doua - Zreg1), riscul va avea

valoarea (diagrama a cincea comparativ cu diagrama a şasea ):

qint d

100

1000 8

t.1

.23.41 .2 π

e

( )t 288 2

.2 23.412

(424)

=qint 1 Deci riscul, ca pentru un defect situat la o distanţă, căreia îi corespunde

impedanţa de trecere din treapta întâia în treapta a doua, protecţia să funcţioneze

intempestiv, este egal cu 1. Adică, în comparaţie cu diagrama de funcţionare a


143

releului, oferită de furnizor (albastra), constatăm că acesta funcţionează după o altă

curbă (curba 5,magenta)

0

0.008

0.016

0.024

0.032

0.04

0.048

0.056

0.064

0.072

0.08

0 120 240 360 480 600 720 840 960 1080 1200

f( ),,t 95.8 5.68

f( ),,t 124.66 6.9

f( ),,t 134.5 14.64

f( ),,t 175 25.55

f( ),,t 288 23.41

f( ),,t 1025 7.5

f( ),,t 1043.5 5.58

f( ),,t 1059.5 6.72

f( ),,t 1000 8

tFigura 55 Explicativă la determinarea riscului de funcţionare intempestivă

Ideal ar fi fost, ca să avem suprapunere între curba 5(magenta), obţinută pe

cale experimentală, după ce am cumpărat releul şi curba albastră, garantată de

furnizor.

Exemplul a fost ales în mod special cu ecart mare, între curba furnizorului şi

cea experimentală pentru a se pune în evidenţă cât mai clar relaţiilor matematice

utilizate.

Studiu de caz 3

Considerăm valoarea impedanţei corespunzătoare unei trepte i şi răspunsul

releului de distanţă în vecinătatea stângă şi dreaptă a treptei de impedanţă Zreg,1

(figura 76). Constatăm că pentru un număr de teste n=50 şi valori ale impedanţei

treptei intai reglate, Zreg,1=17,5 ohmi (in primar), ecartul dintre vecinătăţi fiind de 0,5

ohmi, se obţine o variaţie a timpului de răspuns . Se observă o aplatizare însemnată

a mediei mobile a timpului de răspuns [VIZI 97 - TEZA] în cazul releelor D114, atat la

Z= Zreg1 şi la Z=Zreg1-0,5 ohm În cazul releului PD3/2 se constată la Z=Zreg1-0,5 şi un

salt al mediei mobile(la n=45), ceea ce este echivalent cu creşterea riscului de refuz


144

în vecinătatea impedanţei de trecere. Pentru releele de distanţă clasice, utilizate în

SEN în reţelele de 110 kV: D114, RD 110 şi PD 3/2, distribuţia timpilor de răspuns la

limita de trecere din treapta întâia în treapta a doua se prezintă respectiv ca în

figurile 57, 58, 59.

ImpedanţaZi,1Zi,2Zi,3Zi,4

Zreg,iZi,5Zi,6Zi,7Zi,8

ti

ti+1

timp

Figura nr. 56 Testarea timpului de răspuns la limita de trecere dintre două trepte consecutive de impedanţă

82,51922076

122,4936928

158,0345331

271,4283955

1032,7722431031,214237

1052,298756

Z1,8

=19.

5

Z1,7

=19

Z1,6

=18.

5

Z1,5

=18

Zreg

.1=1

7.5

Z1,4

=17

Z1.3

=16.

5

Z1.2

=16

Z1,1

=15.

5

0

10

20

30

40

50

Frec

vent

a ra

spun

suril

or

Tim

pul

de r

aspu

ns[m

s]

Impedanta [ohm/primar]

Distributia numarului de raspunsuri ale protectiilor D114 in functie de impedanta de defect situata la limita de trecerea din treapta intaia in treapta a doua

40-50

30-40

20-30

10-20

0-10

Figura 57


145

Este evident, observând graficele din figurile 57, 58 şi 59, că există zone de

interferenţă între curbele de distribuţie ale timpilor de răspuns corespunzătoare

diverselor impedanţe. Este posibil ca de o manieră asemănătoare celei prezentate la

Studiu de caz 1 să se calculeze riscurile ca releele să funcţioneze pentru o

impedanţă vecină, când sunt reglate la o anumită valoare. Trasând graficele timpilor

de răspuns,pentru valorile impedanţelor reglate în vecinătatea impedanţei de

trecere, din treapta întâia în treapta a doua (figurile 60, 61 şi 62), se observă:

• timpul cel mai mic de răspuns în treapta întâia corespunde releelor D114

(suprafaţa albastră), apropiat de cel obţinut şi în cazul releelor RD110;

• cel mai mare timp de răspuns în treapta întâia corespunde releelor din

familia PD (suprafaţa roşie);

• existenţa unor vârfuri care pun în evidenţă întârzieri de funcţionare

(refuzuri) în cazul releelor din familia PD, atât în treapta întâia cât şi în

treapta a doua;

• existenţa unor suprafeţe, care pun în evidenţă funcţionări intempestive, în

treapta a doua, în cazul releelor RD110;

• trecerea din treapta întâia în treapta a doua, la releele D114, se face după

o suprafaţă racordată, în timp ce, pentru celelalte două tipuri de relee

trecerea este mai bruscă;

• timpii de răspuns în treapta a doua, sunt mai mari pentru releele de tip PD

şi RD110.


146

282.8905011

308.5148918

380.2551656

1125.75066

Z1,8

=19.

5

Z1,7

=19

Z1,6

=18.

5

Z1,5

=18

Zreg

.1=1

7.5

Z1,4

=17

Z1.3

=16.

5

Z1.2

=16

Z1,1

=15.

5

05

101520253035

Fre

cven

ta

Tim

pul

de

rasp

uns

[ms]

Impedanta

Distributia numarului de raspunsuri ale protectiilor PD3/2 in functie de impedanta de defect situata la limita de trecerea din treapta intaia in treapta a

doua

30-35

25-30

20-25

15-20

10-15

5-10

0-5

Figura 58

78.44901102

96.87521914

91.13051709

1088.0052041068.434201

1063.228844

Z1,8

=19.

5

Z1,7

=19

Z1,6

=18.

5

Z1,5

=18

Zreg

.1=1

7.5

Z1,4

=17

Z1.3

=16.

5

Z1.2

=16

Z1,1

=15.

5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Frec

vent

a

Tim

pul d

e ră

spun

s [m

s]

Impedanta

Distributia numarului de raspunsuri ale protectiilor RD 110 in functie de impedanta de defect situata la limita de trecerea din treapta intaia in

treapta a doua

35-4030-3525-3020-2515-2010-155-100-5

Figura 59


147

1 611 16 21 26 31 36 41 46

Z1,1

=15.

5

Z1.2

=16

Z1.3

=16.

5

Z1,4

=17

Zreg

.1=1

7.5

Z1,5

=18

Z1,6

=18.

5

Z1,7

=19

Z1,8

=19.

5

0

200

400

600

800

1000

1200

timp

de ra

spun

s [m

s]

Nr.testului

Impedanta

Dependenta timpului de raspuns in cazul releelor D 114 de impedanta(la trecerea din treapta intaia in treapta a doua) si de numarul de teste.

1000-1200800-1000600-800400-600200-4000-200

Figura 60

110

1928

37

46Z1

,1=1

5.5

Z1.2

=16

Z1.3

=16.

5

Z1,4

=17

Zreg

.1=1

7.5

Z1,5

=18

Z1,6

=18.

5

Z1,7

=19

Z1,8

=19.

5

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

timpu

l de

ras

puns

[m

s]

nr. de teste

impedanta

Dependenta timpului de raspuns al protectiei PD3/2 de impedanta de defect ( in vecinatatea trecerii din treapta intaia in treapta a doua ) si de numarul de teste

1200-14001000-1200800-1000600-800400-600200-4000-200

Figura 61

Având în vedere observaţiile precedente, opinăm pentru o utilizare de

următoarea manieră a releelor:

1. Releele D114 pentru liniile de sistem, transformatoare şi


148

autotransformatoare;

2. Releele PD3/2, pe linii radiale unde nu se impun pretenţii mari în legătură

cu rapiditatea;

1

22

43

Z1,1

=15.

5

Z1.2

=16

Z1.3

=16.

5

Z1,4

=17

Zreg

.1=1

7.5

Z1,5

=18

Z1,6

=18.

5

Z1,7

=19

Z1,8

=19.

5

0

200

400

600

800

1000

1200

Tim

pul

de r

aspu

ns [m

s]

Nr.testelor

Impedanta

Dependenta timpului de raspuns in cazul protectiilor RD 110 de impedanta (la trecerea din treapta intaia in treapta a doua) si de numarul de teste .

1000-1200

800-1000

600-800

400-600

200-400

0-200

Figura 62 .

3. Releele RD110 pe linii care acceptă deconectări intempestive, fără să pună

în pericol siguranţa sistemului, eventual utilizarea lor în paralel cu relee din

noile tehnologii, declanşările în treapta a doua fiind transmise în condiţii de

tip ŞI;

4. Înlocuirea releelor PD3/2 de pe autotransformatoare, cu relee D114 sau

altele realizate în tehnologie digitală

5. Corelarea utilizării performanţelor acestor tipuri de relee cu rezultatele

privind ierarhizările elementelor primare ale sistemelor, cu ajutorul

indicatorilor de risc probabilistic de tensiune, respectiv de încărcare a

laturilor , precum şi funcţie de importanţa elementelor primare din punct de

vedere a stabilităţii dinamice;

6. Trasarea de diagrame similare şi pentru alte tipuri de relee, inclusiv pentru

cele funcţionând pe principiile tehnologiei digitale şi realizarea de corelări conform cu

punctul 5.

II.3. MODELUL FIABILITĂŢII OPERAŢIONALE Fiabilitatea operaţională sau fiabilitatea în exploatare este fiabilitatea rezultată

în urma observaţiilor făcute în timpul exploatării sistemelor.


149

II.3.1. FUNCŢIILE STATISTICE PENTRU FIABILITATEA OPERAŢIONALĂ A

INSTALAŢIILOR DE PROTECŢIE ŞI AUTOMATIZARE

Urmărirea instalaţiilor de protecţie şi automatizare, dacă este corect făcută,

poate furniza date extrem de utile în vederea estimării fiabilităţii operaţionale.

Se poate realiza o estimaţie punctuală a caracteristicii de fiabilitate sau se

determină un nivel de încredere în jurul acestei estimări punctuale. Intervalul de

încredere conţine valoarea adevărată a caracteristicii cu o anumită probabilitate, care

este nivelul de încredere [GEBA 84].

În cazul instalaţiilor de securitate care funcţionează în sistemele

electroenergetice, se pot realiza matrice de urmărire statistică cu ajutorul cărora,

ulterior sau simultan, să poată fi determinaţi parametrii care pot caracteriza

fiabilitatea operaţională a acestora.

O astfel de matrice ar trebui să conţină elementele din următorul tabel:

∆ti intervalul de timp de supraveghere, de exemplu o lună.

δnp numărul de evenimente primare care s-au manifestat în intervalul de timp

respectiv.

δnsol numărul de solicitări la care au fost supuse instalaţiile de securitate în

intervalul ∆ti

δnint numărul de instalaţii la care au funcţionat intempestiv (fals) în intervalul ∆ti

δnref numărul de instalaţii care au refuzat acţionare în intervalul ∆ti

N(0) numărul de instalaţii de tipul respectiv aflate în funcţiune la începutul

analizei.

δner numărul de instalaţii care au răspuns eronat la solicitare (au refuzat sau au

funcţionat intempestiv) în intervalul ∆ti

nint numărul cumulat de instalaţii de tipul respectiv care pana la momentul ti au

funcţionat intempestiv aflate în funcţiune

nref numărul cumulat de instalaţii care până la momentul ti au refuzat

funcţionarea în cazul solicitărilor

ner numărul cumulat de instalaţii care până la momentul ti au transmis

răspunsuri eronate la solicitări


150

nc numărul de instalaţii care nu au funcţionat eronat până la momentul ti

(opţional)

Sunt adevărate următoarele relaţii:

δ δ δn n ner t t ref ti i i( ) int ( ) ( )= + (425)

δn n nt t t ti i i iint ( ) int ( ) int ( )= + −∆ (426)

δn n nref t ref t t ref ti i i i( ) ( ) ( )= + −∆ (427)

n n ner t t ref ti i i( ) int ( ) ( )= + (428)

Se mai determină:

Nn.int(ti) numărul de relee (instalaţii) care nu au funcţionat intempestiv până la

momentul ti

N N nn t ti i.int ( ) ( ) int ( )= −0 (429)

Nn.ref(ti) numărul de relee (instalaţii) care nu au refuzat până la momentul ti

N N nn ref t ref ti i. ( ) ( ) ( )= −0 (430)

Nn.er(ti) numărul de relee (instalaţii) care nu au transmis răspunsuri eronate până

la momentul ti

[ ]N N n n N nn er t t ref t er ti i i i. ( ) ( ) int ( ) ( ) ( ) ( )= − + = −0 0 (431)

În cazul instalaţiilor din filialele de reţele electrice este necesară urmărirea

funcţionării instalaţiilor printr-o astfel de matrice.

Coloanele sale pot fi (tabelul 5.1):

Tabelul 5.1 Matricea de urmărire statistică a instalaţiilor de protecţie şi automatizare

∆ti δnp δnsol nint δnint nref δnref ner δner N(0) Nn.int Nn.ref Nn.er

Se definesc următoarele mărimi:

− Intensitatea operaţională de transmitere a răspunsurilor eronate; − Intensitatea operaţională de transmitere a funcţionărilor intempestive; − Intensitatea operaţională de refuz; − Densitatea operaţională de repartiţie a timpului de funcţionare corectă,

până la primul răspuns eronat al protecţiei sau automatizării (instalaţiei de securitate);


151

− Densitatea operaţională de repartiţie a timpului de funcţionare corectă, până la prima funcţionare intempestivă a instalaţiei;

− Densitatea operaţională de repartiţie a timpului de funcţionare corectă până la primul refuz al instalaţiei;

− Fiabilitatea operaţională de funcţionare corectă neîntreruptă în intervalul [0, ti] sau probabilitatea de a nu transmite răspunsuri eronate în intervalul[0, ti];

− Riscul operaţional de funcţionare intempestivă în intervalul [0, riscul operaţional de funcţionare intempestivă în intervalul [0, ti] sau probabilitatea de funcţionare intempestivă în intervalul [0, ti] ;

− Riscul operaţional de refuz în intervalul [0, ti] sau probabilitatea de refuz în intervalul [0, ti] ;

− Riscul operaţional răspuns eronat în intervalul [0, ti] sau probabilitatea de răspuns eronat, în intervalul [0, ti] ;

Analizele care urmează, au avut în vedere datele obţinute în urma

observaţiilor făcute pe instalaţiile zonei Bacău şi cele ale SEN la foarte inaltă

tensiune. Valorile indicatorilor definiţi au la bază datele de mai sus. Trebuie făcută

precizarea că pe parcursul observaţiilor, pentru echipamentele avute în vedere, au

fost efectuate lucrările de mentenanţă la periodicităţile prevăzute în normativele în

vigoare.

II.3.2. INTENSITATEA OPERAŢIONALĂ DE TRANSMITERE A

RĂSPUNSURILOR ERONATE

Intensitatea operaţională de transmitere a răspunsurilor eronate, este o

mărime obţinută pe cale statistică, ce se exprimă ca raport între numărul de

relee (instalaţii de securitate) care au funcţionat eronat într-un anumit interval

de timp şi produsul dintre numărul de relee care nu au funcţionat eronat, până

la momentul ti şi intervalul de timp considerat.

( )( ) ( )

. ( )

( )

. ( )λ

δer t er t t er ti

n er ti i

er ti

n er ti ii

i in nN t

nN t

=−⋅

=⋅

− + −1 1∆

∆ ∆ (432)


152

Studiu de caz 1

Mai jos, sunt prezentate (tabelul 5.2) atât valorile medii (prima linie), cât şi

valorile punctuale ale intensităţilor operaţionale de transmitere a răspunsurilor

eronate, în cazul protecţiilor si automatizărilor cât şi în cazul acestora considerate

global,(nediferenţiat) pe un interval de timp de supraveghere cumulat de 68 de luni în

cadrul instalaţiilor din zona Bacău. Unitatea de măsură este h-1. În calcule se va ţine

cont că determinările sunt făcute pentru o lună medie egală cu 30,4 zile.

Tendinţele (trendul intensităţilor de funcţionare eronată) s-au determinat în trei

moduri diferite:

− trendul linear pentru, care sunt date şi expresiile lineare (figura 63 pentru

protecţii, variabila independentă fiind timpul);

− trendul polinomial pentru care, de asemeni, sunt date expresiile matematice

pentru lambda (figura 64 în cazul protecţiilor).


153

Tabelul 5.2 Lambda eronat protecţii şi automatizări

Timpul [luni]

lambda er.(ti) protectii [h-1]

lambda er.(ti) autom. [h-1]

lambda er.(ti) protectii si automatizari [h-1]

Timpul [luni]

lambda er.(ti) protectii [h-1]

lambda er.(ti) autom. [h-1]

lambda er.(ti) protectii si automatizari [h-1]

Val. med. 3.95E-06 1.069E-06 5.1365E-06

Val. med. 3.95E-06 1.069E-06 5.1365E-06

1 2.06729E-06 1.52982E-05 2.58819E-06 35 2.25801E-06 0 2.90009E-062 6.23006E-06 0 7.80878E-06 36 2.26174E-06 0 1.16993E-053 0 5.11844E-06 0 37 9.10707E-06 0 2.93107E-064 2.07984E-06 5.13761E-06 2.60787E-06 38 2.28056E-06 0 5.88731E-065 6.26805E-06 5.15693E-06 7.8685E-06 39 4.57634E-06 0 1.78923E-056 0 5.17639E-06 0 40 1.38679E-05 0 5.99014E-067 0 0 0 41 4.63829E-06 0 08 0 0 2.62786E-06 42 0 0 9.04445E-069 2.09254E-06 0 2.6329E-06 43 6.98106E-06 0 1.21662E-05

10 2.09574E-06 0 1.59815E-05 44 9.37172E-06 1.05926E-05 1.53439E-0511 1.26909E-05 0 0 45 1.18156E-05 0 3.07565E-0612 0 0 5.34792E-06 46 2.36721E-06 0 013 4.24339E-06 0 5.36885E-06 47 0 0 6.17902E-0614 4.25657E-06 0 0 48 4.75083E-06 0 1.8791E-0515 0 0 2.68969E-06 49 1.44022E-05 0 6.2924E-0616 2.13159E-06 0 0 50 4.81762E-06 5.31683E-06 3.15343E-0617 0 0 0 51 2.41305E-06 0 3.1607E-0618 0 0 1.08438E-05 52 2.41731E-06 0 3.168E-0619 8.57974E-06 0 2.71632E-06 53 2.42158E-06 0 3.17533E-0620 2.1483E-06 5.19599E-06 1.92815E-05 54 2.42587E-06 0 021 1.52049E-05 0 5.53122E-06 55 0 0 3.1827E-0622 4.35807E-06 0 2.7712E-06 56 2.43017E-06 0 6.39507E-0623 2.18251E-06 5.21575E-06 5.56488E-06 57 4.87763E-06 0 024 4.37896E-06 0 5.58754E-06 58 0 0 025 4.39299E-06 0 5.6104E-06 59 0 0 026 4.40712E-06 5.23566E-06 2.81095E-06 60 0 0 3.205E-0627 2.20711E-06 0 5.64503E-06 61 2.44316E-06 0 9.68289E-0628 4.42848E-06 0 8.52014E-06 62 7.36889E-06 0 029 6.67507E-06 5.25572E-06 5.70371E-06 63 0 0 030 4.46454E-06 0 0 64 0 0 031 0 0 1.15031E-05 65 0 0 3.23524E-0632 8.98763E-06 0 2.88181E-06 66 2.46071E-06 0 3.31339E-0533 2.2506E-06 0 2.88788E-06 67 2.50569E-05 0 034 2.2543E-06 0 2.89397E-06 68 0 0 3.32141E-06

TRENDUL LINIAR AL INTENSITĂŢII DE TRANSMITERE A RASPUNSURILOR ERONATE ÎN CAZUL PROTECŢIILOR

lambda er. = 2E-08t + 6E-06

0

0,000005

0,00001

0,000015

0,00002

0,000025

0,00003

0,000035

0,00004

0,000045

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69

timpul[luni]

lam

bda

eron

at [h

-1]

Fig.63


154

TRENDUL POLINOMIAL AL INTENSITĂŢII DE TRANSMITERE A RASPUNSURILOR ERONATE ÎN CAZUL PROTECŢIILOR

lambda er. = 1E-14t5 + 2E-12t4 - 4E-10t3 + 2E-08t2 - 1E-07x + 5E-06

0

0,000005

0,00001

0,000015

0,00002

0,000025

0,00003

0,000035

0,00004

0,000045

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69

timpul[luni]

lam

bda

eron

at [h

-1]

Fig.64

Pentru protecţii, se constată o uşoară creştere în timp a intensităţii

operaţionale de funcţionare eronată, vizibilă atât pe graficul trendului linear, cât şi pe

cel al celui polinomial. În calculele obişnuite sugerăm utilizarea valorilor medii (tabelul

5.2). Pentru calculele acoperitoare, de tip pesimist, sunt date mediile maximelor

anuale ca luând valori între anumite limite în funcţie de gradele de încredere (figura

65).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120.1039

0.103905

0.10391

0.103915

0.10392

0.103925

lam

bda

eron

at [1

/an]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1295% 90% 85% 80% 75% 70%

Media maximelor intensitatilor de functionare eronata in cazul instalatiilor de protectie, in functie de gradele de incredere ( 95%---70%)


155

Figura 65

Studiu de caz 2

Analiza diferenţiată pe tipuri de protecţii şi automatizări, având în vedere doar

instalaţiile zonei Bacău este prezentată în tabelul 5.3.a şi tabelul 5.3.b. Se constată o

comportare extraordinar de bună a releisticii LZ31, R3Z24 şi R1Z24a, pentru care

lambda este 0. Acest lucru se poate datora numărului mediu mic de solicitări, precum

şi numărului mic de relee de aceste tipuri, aflate în exploatare.

Tabelul 5.3 a .Lambda eronat mediu pe tipuri de protecţii şi automatizări(Zona Bacău)

EAW (RD310, RD110 Q3 ŞI

Q4, RD7)

ZPA ,D111,

D113,D114, D400

GSCI (PD3/2, PD3, PD2)

ABB (LZ31) SIEMENS (R3Z24)

SIEMENS (R1Z24A)

număr mediu de solicitări

60.0833333 48.5833333 6.16666667 5.58333333 8.25 0.58333333

Lambda eronat mediu [1/h]

1.38144E-05 7.71547E-06 1.40721E-05 0 0 0

Tab.5.3 b

maximale linii+trafo

diferenţiale linii

diferenţiale bare

diferenţiale trafo

protecţii homopolar

e

drri rar aar dasf


9.58333 0.83333 0.583333 1.833333 13.33333 0.75 96.333 3.0833 8.6667

Lambda eronat mediu [1/h]

1.56914 E-06

3.01408 E-05

6.97998E-06

5.41719 E-07

4.22994 E-06

1.58636 E-06

6.0314E-06

2.9918E-06

3.9578E-06

Tabelul 5.4 Lambda eronat mediu pe tipuri de protecţii la FIT (SEN)

SIEMENS ZPA ABB EAW

număr mediu de solicitări 225.7143 102.7143 515.4286 117.8571

Lambda eronat mediu [1/h] 4.16548E-06 4.80475E-06 3.68632E-06 4.9507E-06

Confirmarea este dată de faptul că, în cazul analizei făcute la nivelul tuturor

protecţiilor din SEN, unde atât numărul de solicitări, cât şi cel de relee de acelaşi tip

este mult mai mare, valorile lui lambda, pentru releele din tipurile amintite nu mai este 0

(Siemens şi ABB tabelul 5.4).

II.3.3. INTENSITATEA OPERAŢIONALĂ DE TRANSMITERE A FUNCŢIONĂRILOR INTEMPESTIVE

Intensitatea operaţională de transmitere a funcţionărilor intempestive

este o mărime obţinută pe cale statistică, ce se exprimă ca raport între


156

numărul de relee (instalaţii de securitate), care au funcţionat intempestiv, în

intervalul de timp considerat şi produsul dintre numărul de relee care nu au

funcţionat intempestiv până la momentul ti şi respectivul interval de timp.

int ( ) int ( ) int ( )

.int ( )int ( )

.int ( )λ

δt

t t ti

n t i

ti

n ti ii

i in nN t

nN t

=−⋅

=⋅

− + −1 1

1

∆

∆ ∆ (433)

Studiu de caz 1

În tabelul 5.5 sunt prezentate, atât valorile medii (prima linie), cât şi valorile

punctuale ale intensităţii operaţionale de transmitere a funcţionărilor intempestive în

cazul protecţiilor (coloanele 2 şi 5) şi automatizărilor (coloanele 3 şi 6). Timpul de

supraveghere a instalaţiilor de la Zona Bacău, a fost de 68 de luni, unitatea de

măsură fiind 1/h. Tabelul 5.5 Lambda intempestiv protecţii şi automatizări

Timpul [Luni] Lambda Int. (Ti) protecţii

[h-1]

Lambda Int. (Ti) automatizări [h-1]

Timpul [Luni] Lambda Int. (Ti) protecţii

[h-1]

Lambda Int. (Ti) automatizări [h-1]

Val. med. 4.8309E-06 9.6435E-07 Val. med. 4.8309E-06 9.6435E-07 1 2.58819E-06 1.52982E-05 35 2.90009E-06 0 2 7.80878E-06 0 36 1.16993E-05 0 3 0 5.11844E-06 37 2.93107E-06 0 4 2.60787E-06 5.13761E-06 38 5.88731E-06 0 5 7.8685E-06 5.15693E-06 39 1.78923E-05 0 6 0 5.17639E-06 40 5.99014E-06 0 7 0 0 41 0 0 8 2.62786E-06 0 42 9.04445E-06 0 9 2.6329E-06 0 43 1.21662E-05 0

10 1.59815E-05 0 44 1.53439E-05 1.05926E-05 11 0 0 45 3.07565E-06 0 12 5.34792E-06 0 46 0 0 13 5.36885E-06 0 47 6.17902E-06 0 14 0 0 48 1.8791E-05 0 15 2.68969E-06 0 49 6.2924E-06 0 16 0 0 50 3.15343E-06 5.31683E-06 17 0 0 51 3.1607E-06 0 18 1.08438E-05 0 52 3.168E-06 0 19 2.71632E-06 0 53 3.17533E-06 0 20 1.92815E-05 5.19599E-06 54 0 0 21 5.53122E-06 0 55 3.1827E-06 0

2.7712E-06 0 56 6.39507E-06 0 23 5.56488E-06 5.21575E-06 57 0 0 24 5.58754E-06 0 58 0 0 25 5.6104E-06 0 59 0 0 26 2.81095E-06 5.23566E-06 60 3.205E-06 0 27 5.64503E-06 0 61 9.68289E-06 0 28 8.52014E-06 0 62 0 0 29 5.70371E-06 5.25572E-06 63 0 0 30 0 0 64 0 0 31 1.15031E-05 0 65 3.23524E-06 0 32 2.88181E-06 0 66 3.31339E-05 0 33 2.88788E-06 0 67 0 0 34 2.89397E-06 0 68 3.32141E-06 0


157

Pentru protecţii, tendinţa intensităţii operaţionale de funcţionare intempestivă s-a

realizat prin:

− trendul linear (figura 66), pentru care este dată şi ecuaţia, în care variabila

independentă este timpul;

− trendul polinomial (figura 67), pentru care, de asemeni, este dată forma

explicită matematică.

TRENDUL LINIAR A INTENSITĂŢII DE FUNCŢIONARE INTEMPESTIVĂ ÎN CAZUL PROTECŢIILOR

lambda int. = 2E-08t + 5E-06

0

0,000005

0,00001

0,000015

0,00002

0,000025

0,00003

0,000035

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67

timpul[luni]

lam

bda

inte

mpe

stiv

[h-1

]

Fig.66

TRENDUL POLINOMIAL A INTENSITĂŢII DE FUNCŢIONARE INTEMPESTIVĂ ÎN CAZUL PROTECŢIILOR

lambda int. = 4E-13t5 - 7E-11t4 + 3E-09t3 - 7E-08t2 + 6E-07t + 2E-06

0

0,000005

0,00001

0,000015

0,00002

0,000025

0,00003

0,000035

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67

timpul[luni]

lam

bda

inte

mpe

stiv

[h-1

]

Fig.67

Pentru calculele obişnuite sugerăm, atât pentru protecţii, cât şi pentru

automatizări utilizarea valorilor medii (tabelul 5.5). Pentru calcule acoperitoare de tip


158

pesimist, sunt date mediile maximelor anuale. Acestea iau valori între anumite limite

cu diverse grade de încredere (95%, 90%, 85%, 80%, 75%, 70% - figura 67).

00.0000020.0000040.0000060.0000080.00001

0.0000120.0000140.0000160.0000180.00002

lam

bda

inte

mpe

stiv

[1/a

n]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1295% 90% 85% 80% 75% 70%

Media maximelor intensitatilor de funcţionare intempestivă in cazul instalatiilor de protectie, in functie de gradele de incredere ( 95%---70%)

Fig.68

Studiu de caz 2

Analiza diferenţiată pe tipuri de protecţii şi automatizări (pentru statistici la nivelul

zonei Bacău), este prezentată în tabelele 5.6.a şi 5.6.b. Ca şi în cazul intensităţii

operaţionale de transmitere a răspunsurilor eronate, se constată valori nule pentru

releele LZ31, R3Z24 şi R1Z24a. Explicaţia constă în faptul că, pe lângă o foarte bună

comportare a acestora la Zona Bacău, atât numărul de relee cât şi numărul de

solicitări a fost redus. Acest fapt este demonstrat şi de situaţia în care, analiza are în

vedere toate protecţiile Siemens şi ABB de la FIT existente în SEN (tabelul 5.7),

unde numărul de relee, dar şi numărul de solicitări a fost mult mai mare.

Tabelul 5.6 a Lambda intempestiv mediu pe tipuri de protecţii şi automatizări (Zona Bacău)


Q4, RD7)

ZPA D111,

D113,D114, D400



SIEMENS (R1Z24A)


60.0833333 48.5833333 6.16666667 5.58333333 8.25 0.58333333

Lambda intempestiv mediu [1/h]

8.27196E-06 3.32368E-06 6.47269E-06 0 0 0

Tabelul 5.6 b


diferenţiale linii

diferenţiale bare

diferenţiale trafo


e

drri rar aar dasf


159


9.58333 0.83333 0.583333 1.833333 13.33333 0.75 96.333 3.0833 8.6667

Lambda intempestiv mediu

[1/h]

9.21309 E-07

3.01408E-05

6.97998E-06

4.63381 E-07

3.80761 E-06

1.58636E-06

6.48453 E-07

0 3.95784 E-06

Tabelul 5.7 Lambda int. mediu la nivel (SEN)

SIEMENS ZPA ABB EAW număr mediu de solicitări 225.7143 102.7143 515.4286 117.8571 Lambda intempestiv mediu [1/h]

3.42113E-06 4.20367E-06 3.35838E-06 4.85036E-06

II.3.4. INTENSITATEA OPERAŢIONALĂ DE REFUZ

Intensitatea operaţională de refuz este o mărime obţinută pe cale

statistică, reprezentând raportul dintre numărul de relee, care au refuzat

funcţionarea în cazul unor solicitări, dintr-un interval de timp ∆ti şi, produsul

dintre numărul de relee (instalaţii de securitate), care nu au refuzat până la

momentul ti şi respectivul interval de timp.

( )( ) ( )

. ( )

( )

. ( )λ

δref t ref t t ref ti

n ref ti i

ref ti

n ref ti ii

i in nN t

nN t

=−⋅

=⋅

− + −1 1∆

∆ ∆ (434)

Expresia lui Nn.ref(ti) este dată în 430.

Studiu de caz 1

În tabelul 5.8 sunt prezentate atât valorile medii (prima linie), cât şi valorile

punctuale ale intensităţilor operaţionale de refuz, în cazul protecţiilor (coloanele 2 şi

5) şi automatizărilor (coloanele 3 şi 6). Timpul de supraveghere a fost de 68 de luni,

unitatea de măsură este 1/h.

Pentru calculele obişnuite sugerăm, atât pentru protecţii, cât şi pentru

automatizări utilizarea valorilor medii (tabelul 5.8 prima linie).

Tabelul 5.8 Lambda refuz în cazul protecţiilor şi automatizărilor luate cumulat

Timpul [Luni] Lambda Refuz (Ti) Protecţii [1/h]

Lambda Refuz (Ti) Automatizări [1/h]

Timpul [Luni]

Lambda Refuz (Ti) Protecţii [1/h]

Lambda Refuz (Ti) Automatizări [1/h]

Val. med. 1.5721E-06 4.5132E-06 Val. med. 1.5721E-06 4.5132E-06

1 0 0 35 0 0 2 0 5.05762E-06 36 0 1.19184E-05 3 0 0 37 0 0 4 0 5.07635E-06 38 0 0 5 1.04031E-05 1.02285E-05 39 0 0


160

6 2.60573E-06 5.13339E-06 40 0 5.98521E-06 7 2.61069E-06 5.15268E-06 41 0 0 8 0 1.56344E-05 42 0 6.01147E-06 9 0 0 43 2.67698E-06 0

10 0 0 44 2.17558E-05 0 11 0 0 45 0 0 12 0 5.23135E-06 46 0 6.03795E-06 13 0 0 47 0 0 14 0 5.25139E-06 48 5.46061E-06 1.21832E-05 15 0 0 49 0 0 16 0 5.27159E-06 50 0 0 17 7.87709E-06 1.06249E-05 51 0 0 18 2.63074E-06 5.33313E-06 52 2.73576E-06 0 19 0 1.07499E-05 53 0 0 20 0 3.86867E-05 54 0 1.22925E-05 21 0 0 55 8.25671E-06 0 22 0 0 56 0 0 23 5.28175E-06 3.98104E-05 57 2.75777E-06 6.17394E-06 24 5.30218E-06 1.14696E-05 58 0 0 25 0 5.75888E-06 59 2.76333E-06 6.20187E-06 26 0 5.78318E-06 60 8.34045E-06 0 27 0 0 61 2.7858E-06 0 28 0 5.80769E-06 62 0 0 29 2.65623E-06 1.17146E-05 63 0 0 30 2.66139E-06 0 64 0 0 31 2.66656E-06 0 65 2.79147E-06 0 32 0 1.18156E-05 66 0 1.2517E-05 33 2.67176E-06 0 67 0 0 34 0 0 68 0 6.28722E-06

Pentru calculele acoperitoare, de tip, pesimist au fost date mediile maximelor

anuale. Acestea iau valori între anumite limitem, cu anumite grade de încredere

(figura 69).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

0.000002

0.000004

0.000006

0.000008

0.00001

0.000012

lam

bda

refu

z [1

/an]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1295% 90% 85% 80% 75% 70%

Media maximelor intensitatilor de refuz in cazul instalatiilor de protectie, in functie de gradele de incredere ( 95%---70%)

Fig.69


161

Atât pentru protecţii, cât şi pentru automatizări, tendinţa intensităţii operaţionale de

refuz s-a realizat prin:

− trendul linear (figura 70 pentru automatizări), pentru care sunt date şi

expresiile analitice;

− trendul polinomial (figura 71 automatizări). De asemeni se dă expresia

analitică a lui lambda, funcţie de timp, care poate fi utilizată în calculele de

predicţie. Valoarea descendentă a trendului poate fi interpretată şi ca o

reflectare a unor lucrări de întreţinere, din ce în ce, mai de bună calitate.

TRENDUL LINIAR A INTENSITĂŢII DE REFUZ ÎN CAZUL AUTOMATIZĂRILOR

lambda refuz = -8E-08t + 7E-06

0

0,000005

0,00001

0,000015

0,00002

0,000025

0,00003

0,000035

0,00004

0,000045

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67

timpul[luni]

lam

bda

refu

z [h

-1]

Fig.70

TRENDUL POLINOMIAL A INTENSITĂŢII DE REFUZ ÎN CAZUL AUTOMATIZĂRILOR

lambda refuz = -4E-13t5 + 7E-11t4 - 4E-09t3 + 8E-08t2 - 1E-07t + 3E-06

0

0.000005

0.00001

0.000015

0.00002

0.000025

0.00003

0.000035

0.00004

0.000045

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67

timpul[luni]

lam

bda

refu

z [h

-1]


162

Fig.71

Studiu de caz 2

Analiza diferenţiată pe tipuri de protecţii şi automatizări (numai cu referire la

instalaţiile Zona Bacău) este prezentată în tabelele 5.8.a şi 5.8.b. Pentru releele ABB

(LZ31) şi Siemens (R3Z24 şi R1Z24a) valoarea lui lambda este şi în acest caz 0. Ca

şi în cazurile anterioare explicaţia constă în aceea că, pe lângă o foarte bună

comportare a acestor relee, numărul lor precum şi numărul de solicitări la care au

fost supuse este mic. Se poate constata, că în cazul unui număr foarte mare de relee

(toate din SEN pentru FIT), acest indicator nu mai este zero (tabelul 5.9).

Tabelul 5.8.a Lambda refuz mediu pe tipuri de protecţii şi automatizări


Q4, RD7)

ZPA ,D111,

D113,D114, D400



SIEMENS (R1Z24A)


60.0833333 48.5833333 6.16666667 5.58333333 8.25 0.58333333

Lambda refuz mediu [1/h]

3.25225E-06 3.60564E-06 4.93838E-06 0 0 0

Tabelul 5.8.b


diferenţiale linii

diferenţiale bare

diferenţiale trafo


e

drri rar aar dasf


9.58333 0.83333 0.583333 1.833333 13.33333 0.75 96.333 3.0833 8.6667


6.09201 E-07

0 0 7.6451 E-08

3.41465 E-07

0 5.16584 E-06

2.99185 E-06

0

Confirmarea este dată de faptul că în cazul analizei făcute la nivelul tuturor

protecţiilor din SEN, unde atât numărul de solicitări, cât şi cel de relee de acelaşi tip

este mult mai mare, valorile lui lambda pentru releele din tipurile amintite nu mai este

0 (Siemens şi ABB tabelul 5.9). Tabelul 5.9 Lambda refuz mediu la nivel SEN

SIEMENS ZPA ABB EAW

număr mediu de solicitări 225.7143 102.7143 515.4286 117.8571


5.81163E-07 4.35193E-07 2.60506E-07 5.03606E-08


163

II.3.5. DENSITATEA OPERAŢIONALĂ DE REPARTIŢIE A TIMPULUI DE FUNCŢIONARE CORECTĂ PÂNĂ LA PRIMUL RĂSPUNS ERONAT AL PROTECŢIEI SAU AUTOMATIZĂRII

Densitatea de repartiţie operaţională a timpului de funcţionare corectă,

până la primul răspuns eronat este o mărime obţinută pe cale statistică, ce se

exprimă ca raport între numărul de relee (instalaţii de securitate), care au

funcţionat eronat într-un interval de timp dat şi produsul dintre numărul total de

relee ţinute sub observaţie şi intervalul de timp considerat.

( )( ) ( )

( )

( )

( )f

n nN t

nN ter t er t er t i

i

er t

ii

i i=−

⋅=

⋅−1

0 0∆ ∆δ

(435)

Studiu de caz

În tabelul 5.10, sunt prezentate valorile punctuale ale acestei mărimi, în cazul

automatizărilor (coloanele 2 şi 5) şi al protecţiilor (coloanele 4 şi 6).

Tabelul 5.10 Densitatea de repartiţie operaţională a timpului de funcţionare corecta pana la primul răspuns eronat

Nr. Crt. Automatizări Protecţii Nr. Crt. Automatizări Protecţii 1 1.51171E-05 2.06418E-06 35 1.0078E-05 2.06418E-06 2 5.03902E-06 6.19253E-06 36 0 8.25671E-06 3 5.03902E-06 0 37 0 2.06418E-06 4 1.0078E-05 4.12836E-06 38 0 4.12836E-06 5 1.51171E-05 1.23851E-05 39 5.03902E-06 1.23851E-05 6 1.0078E-05 2.06418E-06 40 0 4.12836E-06 7 5.03902E-06 0 41 5.03902E-06 0 8 1.51171E-05 2.06418E-06 42 0 4.12836E-06 9 0 2.06418E-06 43 1.0078E-05 1.03209E-05

10 0 2.06418E-06 44 0 2.68343E-05 11 0 1.23851E-05 45 5.03902E-06 2.06418E-06 12 5.03902E-06 0 46 0 0 13 0 4.12836E-06 47 1.0078E-05 4.12836E-06 14 5.03902E-06 4.12836E-06 48 0 4.12836E-06 15 0 0 49 5.03902E-06 4.12836E-06 16 5.03902E-06 2.06418E-06 50 0 2.06418E-06 17 1.0078E-05 0 51 0 2.06418E-06 18 5.03902E-06 6.19253E-06 52 0 4.12836E-06 19 1.0078E-05 1.03209E-05 53 1.0078E-05 2.06418E-06 20 4.03122E-05 2.06418E-06 54 0 0 21 0 1.44492E-05 55 0 8.25671E-06 22 0 4.12836E-06 56 5.03902E-06 4.12836E-06 23 4.03122E-05 2.06418E-06 57 0 2.06418E-06 24 1.0078E-05 8.25671E-06 58 5.03902E-06 0 25 5.03902E-06 8.25671E-06 59 0 2.06418E-06 26 1.0078E-05 4.12836E-06 60 0 8.25671E-06 27 0 2.06418E-06 61 0 8.25671E-06 28 5.03902E-06 4.12836E-06 62 0 0 29 1.51171E-05 6.19253E-06 63 0 0


164

30 0 6.19253E-06 64 0 0 31 0 2.06418E-06 65 1.0078E-05 4.12836E-06 32 1.0078E-05 1.03209E-05 66 0 2.06418E-05 33 0 2.06418E-06 67 5.03902E-06 0 34 0 4.12836E-06 68 5.03902E-06 2.06418E-06

Pentru instalaţiile din Zona Bacău este prezentată tendinţa acestei mărimi prin

trendul linear (figura 72 pentru automatizări şi 73 pentru protecţii) respectiv cel

polinomial (figura 74 pentru automatizări şi figura 75 pentru protecţii).

TRENDUL LINIAR AL DENSITĂŢII TIMPULUI DE FUNCŢIONARE CORECTĂ PÂNĂ LA PRIMA FUNCŢIONARE ERONATĂ ÎN CAZUL AUTOMATIZĂRILOR

f er(ti) = -1E-07t + 9E-06R2 = 0.0781

00.000005

0.000010.000015

0.000020.000025

0.000030.000035

0.000040.000045

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67

timpul [luni]

f ref

. (ti)

Figurra 72

TRENDUL LINIAR AL DENSITĂŢII TIMPULUI DE FUNCŢIONARE CORECTĂ PÂNĂ LA PRIMA FUNCŢIONARE ERONATĂ ÎN CAZUL PROTECŢIILOR

f er(ti) = 4E-10t + 5E-06R2 = 3E-06

0

0.000005

0.00001

0.000015

0.00002

0.000025

0.00003

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67

timpul [luni]

f ref

. (ti)

Figura 73


165

TRENDUL POLINOMIAL AL DENSITĂŢII TIMPULUI DE FUNCŢIONARE CORECTĂ PÂNĂ LA PRIMA FUNCŢIONARE ERONATĂ ÎN CAZUL AUTOMATIZĂRILOR

f er(ti) = -5E-13t5 + 8E-11t4 - 5E-09t3 + 1E-07t2 - 1E-06t + 9E-06R2 = 0.1164

0

0.00001

0.00002

0.00003

0.00004

0.000051 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67

timpul [luni]

f ref

. (ti)

Figura 74

TRENDUL POLINOMIAL AL DENSITĂŢII TIMPULUI DE FUNCŢIONARE CORECTĂ PÂNĂ LA PRIMA FUNCŢIONARE ERONATĂ ÎN CAZUL PROTECŢIILOR

f er(ti) = 4E-14t5 - 1E-12t4 - 3E-10t3 + 2E-08t2 - 3E-07t + 5E-06R2 = 0.026

0

0,000005

0,00001

0,000015

0,00002

0,000025

0,00003

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67

timpul [luni]

f ref

. (ti)

Figura 75

II.3.6. DENSITATEA OPERAŢIONALĂ DE REPARTIŢIE A TIMPULUI DE FUNCŢIONARE CORECTĂ PÂNĂ LA PRIMA FUNCŢIONARE INTEMPESTIVĂ A INSTALAŢIEI

Densitatea de repartiţie operaţională a timpului de funcţionare corectă, până la prima funcţionare intempestivă, este o mărime obţinută pe cale statistică, ce se exprimă prin raportul numărului de relee (instalaţii de securitate), care au funcţionat intempestiv într-un interval de timp dat şi produsul dintre numărul total de relee aflate sub observaţie şi mărimea intervalului de timp considerat.

int ( ) int ( ) int ( )

( )int ( )

( )f

n nN t

nN t

tt t i

i

t

ii

i i=−

⋅=

⋅−1

0 0∆ ∆δ

(436)


166

Studiu de caz În tabelul 5.11, sunt prezentate valorile densităţii de repartiţie operaţională a

timpului de funcţionare corectă, până la prima funcţionare intempestivă, atât pentru instalaţiile de automatizare (coloanele 2 şi 5), cât şi pentru cele de protecţie (coloanele 4 şi 6).

Tabel nr. 5.11 Densitatea operaţională de repartiţie a timpului de funcţionare corectă până la prima funcţionare intempestivă

Nr. Crt. Automatizări Protecţii Nr. Crt. Automatizări Protecţii 1 1.51171E-05 2.06418E-06 35 0 2.06418E-06 2 0 6.19253E-06 36 0 2.06418E-06 3 5.03902E-06 0 37 0 8.25671E-06 4 5.03902E-06 2.06418E-06 38 0 2.06418E-06 5 5.03902E-06 6.19253E-06 39 0 4.12836E-06 6 5.03902E-06 0 40 0 1.23851E-05 7 0 0 41 0 4.12836E-06 8 0 0 42 0 0 9 0 2.06418E-06 43 0 6.19253E-06

10 0 2.06418E-06 44 1.0078E-05 8.25671E-06 11 0 1.23851E-05 45 0 1.03209E-05 12 0 0 46 0 2.06418E-06 13 0 4.12836E-06 47 0 0 14 0 4.12836E-06 48 0 4.12836E-06 15 0 0 49 0 1.23851E-05 16 0 2.06418E-06 50 5.03902E-06 4.12836E-06 17 0 0 51 0 2.06418E-06 18 0 0 52 0 2.06418E-06 19 0 8.25671E-06 53 0 2.06418E-06 20 5.03902E-06 2.06418E-06 54 0 2.06418E-06 21 0 1.44492E-05 55 0 0 22 0 4.12836E-06 56 0 2.06418E-06 23 5.03902E-06 2.06418E-06 57 0 4.12836E-06 24 0 4.12836E-06 58 0 0 25 0 4.12836E-06 59 0 0 26 5.03902E-06 4.12836E-06 60 0 0 27 0 2.06418E-06 61 0 2.06418E-06 28 0 4.12836E-06 62 0 6.19253E-06 29 5.03902E-06 6.19253E-06 63 0 0 30 0 4.12836E-06 64 0 0 31 0 0 65 0 0 32 0 8.25671E-06 66 0 2.06418E-06 33 0 2.06418E-06 67 0 2.06418E-05

Pentru instalaţiile din Zona Bacău este prezentată tendinţa acestei mărimi,

prin trendul linear (figura 76 pentru automatizări şi 77 pentru protecţii) şi prin cel

polinomial (figura 78 pentru protecţii).


167

TRENDUL LINIAR AL DENSITĂŢII TIMPULUI DE FUNCŢIONARE CORECTĂ PÂNĂ LA PRIMA FUNCŢIONARE INTEMPESTIVĂ ÎN CAZUL AUTOMATIZĂRILOR

f int. (ti) = -4E-08t + 3E-06R2 = 0.102

-0.0000020

0.0000020.0000040.0000060.000008

0.000010.0000120.0000140.000016

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67

timpul [luni]

f int

. (ti)

Figura 76

TRENDUL LINIAR AL DENSITĂŢII TIMPULUI DE FUNCŢIONARE CORECTĂ PÂNĂ LA PRIMA FUNCŢIONARE INTEMPESTIVĂ ÎN CAZUL PROTECŢIILOR

f int.(ti) = 6E-09t + 3E-06R2 = 0.001

0

0.000005

0.00001

0.000015

0.00002

0.000025

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67

timpul [luni]

f int

. (ti)

Figura 77

TRENDUL POLINOMIAL AL DENSITĂŢII TIMPULUI DE FUNCŢIONARE CORECTĂ PÂNĂ LA PRIMA FUNCŢIONARE INTEMPESTIVĂ ÎN CAZUL PROTECŢIILOR

f int.(ti) = 4E-13t5 - 5E-11t4 + 3E-09t3 - 6E-08t2 + 5E-07t + 1E-06R2 = 0.0848

0

0.000005

0.00001

0.000015

0.00002

0.000025

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67

timpul [luni]

f int

. (ti)

Figura 78 II.3.7. DENSITATEA OPERAŢIONALĂ DE REPARTIŢIE A TIMPULUI DE FUNCŢIONARE CORECTĂ PÂNĂ LA PRIMUL REFUZ AL INSTALAŢIEI

Densitatea de repartiţie operaţională a timpului de funcţionare corectă,

până primul refuz este o mărime obţinută pe cale statistică, ce se exprimă prin raportul numărului de relee (instalaţii de securitate), care au refuzat să funcţioneze la solicitările făcute într-un interval de timp dat şi produsul dintre


168

numărul total de relee aflate sub observaţie şi mărimea intervalului de timp considerat.

( )( ) ( )

( )

( )

( )f

n nN t

nN tref t ref t ref t i

i

ref t

ii

i i=−

⋅=

⋅−1

0 0∆ ∆δ

(437)

Studiu de caz În tabelul 5.12, sunt prezentate valorile densităţii de repartiţie operaţională a

timpului de funcţionare corectă, până la primul refuz, atât pentru instalaţiile de automatizare (coloanele 2 şi 5), cât şi pentru cele de protecţie (coloanele 4 şi 6).

Tabelul 5.12 Densitatea operaţională de repartiţie a timpului de funcţionare corecta pana la primul răspuns al instalatei

Nr. Crt. Automatizări Protecţii Nr. Crt. Automatizări Protecţii 1 5.03902E-06 0 35 1.0078E-05 0 2 0 0 36 0 0 3 5.03902E-06 0 37 0 0 4 1.0078E-05 8.25671E-06 38 0 0 5 5.03902E-06 2.06418E-06 39 5.03902E-06 0 6 5.03902E-06 0 40 0 0 7 1.51171E-05 2.06418E-06 41 5.03902E-06 0 8 0 0 42 0 0 9 0 0 43 0 2.06418E-06

10 0 0 44 0 1.65134E-05 11 5.03902E-06 0 45 5.03902E-06 0 12 0 0 46 0 0 13 5.03902E-06 0 47 1.0078E-05 0 14 0 0 48 0 4.12836E-06 15 5.03902E-06 0 49 0 0 16 1.0078E-05 0 50 0 0 17 5.03902E-06 6.19253E-06 51 0 0 18 1.0078E-05 2.06418E-06 52 0 2.06418E-06 19 3.52732E-05 0 53 1.0078E-05 0 20 0 0 54 0 0 21 0 0 55 0 6.19253E-06 22 3.52732E-05 0 56 5.03902E-06 0 23 1.0078E-05 4.12836E-06 57 0 2.06418E-06 24 5.03902E-06 4.12836E-06 58 5.03902E-06 0 25 5.03902E-06 0 59 0 2.06418E-06 26 0 0 60 0 6.19253E-06 27 5.03902E-06 0 61 0 2.06418E-06 28 1.0078E-05 0 62 0 0 29 0 2.06418E-06 63 0 0 30 0 2.06418E-06 64 0 0 31 1.0078E-05 2.06418E-06 65 1.0078E-05 2.06418E-06 32 0 0 66 0 0 33 0 2.06418E-06 67 5.03902E-06 0 34 0 0 68 5.03902E-06 0

Pentru instalaţiile din Zona Bacău, sunt prezentate trendurile lineare, ale

automatizărilor, respectiv protecţiilor în figurile 79 şi 80 iar cele polinomiale, sunt

prezentate în figurile 81 şi 82.


169

TRENDUL LINIAR AL DENSITĂŢII TIMPULUI DE FUNCŢIONARE CORECTĂ PÂNĂ LA PRIMUL REFUZ ÎN CAZUL AUTOMATIZĂRILOR

f ref.(ti) = -8E-08t + 7E-06R2 = 0.0582

0

0,000005

0,00001

0,000015

0,00002

0,000025

0,00003

0,000035

0,00004

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67

timpul [luni]

f ref

. (ti)

Figura 79

TRENDUL LINIAR AL DENSITĂŢII TIMPULUI DE FUNCŢIONARE CORECTĂ PÂNĂ LA PRIMUL REFUZ ÎN CAZUL PROTECŢIILOR

f ref.(ti) = 5E-09t + 1E-06R2 = 0.0014

00.0000020.0000040.0000060.000008

0.000010.0000120.0000140.0000160.000018

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67

timpul [luni]

f ref

. (ti)

Figura 80

TRENDUL POLINOMIAL AL DENSITĂŢII TIMPULUI DE FUNCŢIONARE CORECTĂ PÂNĂ LA PRIMUL REFUZ ÎN CAZUL AUTOMATIZĂRILOR

f ref(ti) = -4E-13t5 + 7E-11t4 - 4E-09t3 + 7E-08t2 - 3E-07x + 4E-06R2 = 0.1249

0

0.000005

0.00001

0.000015

0.00002

0.000025

0.00003

0.000035

0.00004

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67

timpul [luni]

f ref

. (ti)

Figura 81


170

TRENDUL POLINOMIAL AL DENSITĂŢII TIMPULUI DE FUNCŢIONARE CORECTĂ PÂNĂ LA PRIMUL REFUZ ÎN CAZUL PROTECŢIILOR

f ref(ti) = -4E-14t5 + 6E-12t4 - 3E-10t3 + 7E-09t2 - 1E-07t + 2E-06R2 = 0.0234

-0.0000020

0.0000020.0000040.0000060.000008

0.000010.0000120.0000140.0000160.000018

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67

timpul [luni]

f ref

. (ti)

Figura 82

II.3.8. FIABILITATEA OPERAŢIONALĂ SAU PROBABILITATEA DE FUNCŢIONARE CORECTĂ NEÎNTRERUPTĂ ÎN INTERVALUL [0, TI] SAU PROBABILITATEA DE A NU TRANSMITE RĂSPUNSURI ERONATE ÎN INTERVALUL [0, TI]

Fiabilitatea operaţională sau probabilitatea de a nu transmite răspunsuri

eronate este o mărime obţinută pe cale statistică, ce se exprimă ca fiind

complementul raportului dintre numărul cumulat de relee (instalaţii de

securitate), care au funcţionat eronat, până la un moment dat şi numărul total

de relee aflate sub observaţie.

( )( )

( )R n

Nt er ti

i= −10

(438)

Studiu de caz

În tabelele 5.13.a şi 5.13.b, este prezentată fiabilitatea operaţională medie, pe

tipuri de instalaţii. De remarcat valorile foarte bune (maxime posibile) ale acestei

mărimi în cazul releelor LZ31 (ABB), R3Z24 şi R1Z24a (Siemens). Aceste rezultate

se datoresc pe de o parte comportării foarte bune în exploatare a acestor tipuri de

relee, iar pe de altă parte faptului că, atât numărul lor, cât şi numărul solicitărilor la

care au fost supuse în zona Bacău a fost mic. Acest lucru este pus în evidenţă şi prin

rezultatele obţinute din analiza statistică la nivel SEN pentru instalaţiile de FIT

prezentată în tabelul 5.14.


171

Tabelul 5.13 a Fiabilitatea operaţională medie pe tipuri de instalaţii


Q4, RD7)

ZPA ,D111,

D113,D114, D400



SIEMENS (R1Z24A)


60.0833333 48.5833333 6.16666667 5.58333333 8.25 0.58333333

Probabilitatea medie de succes (R med.)

0.76408451 0.81025641 0.77314815 1 1 1

Tabelul 5.13 b


diferenţiale linii

diferenţiale bare

diferenţiale trafo

protecţii homopolare

drri rar aar dasf


9.58333 0.83333 0.583333 1.833333 13.33333 0.75 96.333 3.0833 8.6667

Probabilitatea medie de succes (R med.)

0.95117 0.54762 0.869048 0.984333 0.863569 0.9231 0.8128 0.9345 0.8267

Tabelul 5.14 Fiabilitatea operaţională medie pe tipuri de protecţii [SEN]

SIEMENS ZPA ABB EAW număr mediu de solicitări 225.7143 102.7143 515.4286 117.8571

Probabilitatea medie de succes(R med.)

0.888441 0.910363 0.88532 0.812314

Maximele fiabilitatii in perioada celor sase ani studiati, pentru cazul protectiilor

00.20.40.60.8

11.2

1 2 3 4 5 6

timpul [ani]

Rm

ax.

Figura 83

Pentru instalaţiile de protecţie, în general, pot fi folosite calculele de tip

optimist. Marjele de valori corespunzătoare diverselor grade de încredere aflându-se

în figura 84.


172

Media max imelor probabil i tatati i de functionare neeronata în cazul instalati i lor de protectie; max ime si

minime functie de gradele de incredere (95%---70%)

0.78

0.8

0.82

0.84

0.86

0.88

0.9

0.92

0.94

0.96

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 95% 90% 85% 80% 75% 70%

pr0b

abilit

atea

Fig.84

Trendul linear şi expresia sa analitică, în cazul protecţiilor, este prezentat în

figura 85. Pentru automatizări în figura 86 este prezentat, atât trendul linear, cât şi cel

polinomial, figură în care se află şi expresiile analitice ale acestora. Este bine să

precizăm că fiabilitatea are în vedere numărul cumulat de relee care transmit

răspunsuri eronate. Deci se măsoară probabilitatea cumulată.

EVOLUTIA PROBABILITĂŢII DE FUNCŢIONARE NEERONATĂ IN CAZUL INSTALATIILOR DE PROTECTIE

R(t) = -0.0037t + 1.0108R2 = 0.9923

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70

TIMPUL [LUNI]

VAL

OAR

EA F

IABI

LITA

TI

Fig.85


173

Evolutia probabilitatii de a nu transmite răspunsuri eronate in cazul instalatiilor de automatizare

R1(t) = -0.0035t + 0.961R2 = 0.9129

R2(t) = -5E-08t4 + 7E-06t3 - 0.0003t2 - 0.0018t + 0.9856R2 = 0.9864

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70

timpul [luni]

R (t

i)

Fig.86

II.3.9. RISCUL OPERAŢIONAL DE FUNCŢIONARE INTEMPESTIVĂ ÎN INTERVALUL [0, TI] SAU PROBABILITATEA DE FUNCŢIONARE INTEMPESTIVĂ ÎN INTERVALUL [0, TI]

Riscul operaţional de funcţionare intempestivă sau probabilitatea de

funcţionare intempestivă este o mărime obţinută pe cale statistică, ce se

exprimă ca raport între numărul cumulat de funcţionări intempestive, până la

un anumit moment şi numărul total de relee (instalaţii de securitate) aflate sub

observaţie.

int ( ) int ( )

( )q n

Nt

ti

i=0

(439)

Studiu de caz

În tabelele 5.14.a şi 5.14.b, este prezentat riscul operaţional mediu de

funcţionare intempestivă, pe tipuri de instalaţii de protecţie şi automatizare. Se

remarcă valorile nule ale acestuia în cazul Siemens şi ABB aflate în exploatareîn

zona Bacău. Valorile acestui risc se modifică în cazul statisticii elaborate la nivel

SEN, pentru instalaţiile electroenergetice de FIT (tabelul 5.15) deoarece, atât

numărul de relee, cât şi cel al solicitărilor este mult mai mare.


174

Tabelul 5.14 a Riscul mediu de funcţionare intempestiva pe tipuri de instalaţii


Q4, RD7)



SIEMENS (R1Z24A)


60.0833333 48.5833333 6.16666667 5.58333333 8.25 0.58333333

Probabilitatea medie de funcţionare intempestivă (q int med)

0.15258216 0.10897436 0.12962963 0 0 0

Tabelul 5.14 b


diferenţiale linii

diferenţiale bare

diferenţiale trafo


drri rar aar dasf


9.58333 0.83333 0.583333 1.833333 13.33333 0.75 96.333 3.0833 8.6667


0.02539 0.45238 0.130952 0.013333 0.124631 0.0769 0.0117 0 0.1733

Tabelul 5.15 Riscul mediu de funcţionare intempestiva pe tipuri de protecţii la nivel SEN



0.097432 0.076784 0.103386 0.180801

Pentru instalaţiile de protecţie în general (fără a se ţine cont de tipul acestora),

se pot folosi pentru calculele de tip pesimist valorile riscului operaţional de

funcţionare intempestivă, între limitele corespunzătoare diverselor grade de

încredere, aşa cum sunt ele ilustrate în figura 87.

Trendul linear (de culoare roşie) şi cel polinomial (de culoare verde) şi

expresiile analitice aferente lor, în cazul protecţiilor, sunt prezentate în figura 88. În

cazul automatizărilor aceleaşi trenduri sunt ilustrate în figura 89.


175

00,050,1

0,15va

loare

a

risc

ulu

i

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

95% 90% 85% 80% 75% 70%

Media maximelor riscului de functionare intempestiva in cazul instalatiilor de protectie in functie de gradele de incredere

( 95%---70 %)

Fig.87

EVOLUTIA RISCULUI DE FUNCTIONARE INTEMPESTIVA INCAZUL PROTECTIILOR

q int1 (t) = 0.0027t - 0.0074R2 = 0.9887

q int2 (t) = 5E-09t4 - 1E-06t3 + 1E-04t2 + 0.0005t + 0.0034R2 = 0.9952

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71

timpul [luni]

q in

t (t)

Fig.88

Variatia riscului de functionare intempestiva in cazul instalatiilor de automatizare

q int1 (t) = 0.0005t + 0.0193R2 = 0.9197

q int2 (t) = -2E-11t6 + 4E-09t5 - 3E-07t4 + 2E-05t3 - 0.0003t2 + 0.0039t + 0.0074R2 = 0.96950

0,010,020,030,040,050,060,07

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70timpul [luni]

q.in

t (ti)

Fig.89


176

Spre exemplu, pentru reducerea riscului de funcţionare intempestivă a

protecţiilor homopolare de tensiune, utilizate în cazul reţelelor având neutrul tratat

prin rezistenţă, a fost imaginat un releu electronic, cu ajutorul căruia sunt eliminate

declanşările false determinate de respectiva protecţie, în cazul arderii siguranţelor de

medie tensiune din celula de măsură [VIZI 96/4]. Schema acestui releu este

prezentată în figura 90.In acelaşi scop s-au dat soluşii pentru DRRI [VIZI 90/2] şi

pentru DASF[VIZI 94/6].

functionareprotectie homo-polara de tens.(defect real in primar)

UH

UH

ardere sigurantamedie tens.

Prag detensiune

mare

circuitelogice de tip“NU” si detip “DA’’

circuitelogice de tip “ŞI” cutrei porti

circuitelogice detip “ŞI”

circuitelogice detip “ŞI-NU”

circuitelogice detip “DA”

circuitelogice de tip“SAU”

circuitelogice detip “ŞI”

UR

US

UT Prag detens.joasa

Fig.90.Releu electronic de tensiune homopolară pentru reţelele având neutrul tratat prin rezistenţă

II.3.10. RISCUL OPERAŢIONAL DE REFUZ, ÎN INTERVALUL [0, TI] SAU PROBABILITATEA DE REFUZ ÎN INTERVALUL [0, TI]

Riscul operaţional de refuz sau probabilitatea de refuz este o mărime

obţinută pe cale statistică, ce se exprimă ca raport între numărul cumulat de

refuzuri până la un anumit moment şi numărul total de relee (instalaţii de

securitate) aflate sub observaţie.

( )( )

( )q

nNref t ref t

ii=

0 (439)


177

Studiu de caz

În tabelele 5.16.a şi 5.16.b, este prezentat riscul operaţional mediu de refuz,

pe tipuri de instalaţii de protecţie şi automatizare, calculat după datele din

exploatarea echipamentelor din Zona Bacău. În afara riscurilor nule, existente în

cazul releelor Siemens şi ABB, se constată aceeaşi bună funcţionare, în cazul

protecţiilor diferenţiale de linii şi a celor de bare (qref med = 0). În tabelul 5.17, este

prezentată valoarea medie a aceluiaşi risc, diferenţiat pe tipuri de protecţie la FIT,

statistica având în vedere datele de la nivelul întregului SEN.

Tabelul 5.16 a Riscul operaţional mediu de refuz pe tipuri de instalaţii(Zona Bacău)


Q4, RD7)



SIEMENS (R1Z24A)


60.0833333 48.5833333 6.16666667 5.58333333 8.25 0.58333333

Probabilitatea medie de refuz (q ref

med)

0.08333333 0.08076923 0.09722222 0 0 0

Tabelul 5.16 b maximale

linii+trafo diferenţiale

linii diferenţiale

bare diferenţiale

trafo protecţii

homopolare drri rar aar dasf


9.58333 0.83333 0.583333 1.833333 13.33333 0.75 96.333 3.0833 8.6667

Probabilitatea medie de refuz (q ref med)

0.02344 0 0 0.002333 0.011799 0 0.1756 0.0655 0

Tabelul 5.17 Riscul operaţional mediu de refuz pe tipuri de protecţii la nivel SEN

Valorile medii ale maximelor riscului operaţional de refuz, pentru toate tipurile

de protecţii, luate nediferenţiat, sunt date între anumite limite, corespunzătoare

diverselor grade de încredere (95%, 90%, 85%, 80%, 75%, 70%), în figura 91. Ele

pot fi utilizate cu succes, în calculele pesimiste.

SIEMENS ZPA ABB EAW număr mediu de solicitări 225.7143 102.7143 515.4286 117.8571 Probabilitatea medie de refuz (q ref med) 0.014127 0.089637 0.011294 0.006884


178

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05qref.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

95% 90% 85% 80% 75% 70%

Media maximelor riscului de refuz in cazul protectiilor , functie de gradele de incredere ( 95%---70% )

Fig.91

Evoluţia riscului operaţional de refuz, precum şi trendul linear (de culoare

roşie) şi cel polinomial (de culoare verde), în cazul protecţiilor, luate în general

(nediferenţiate pe tipuri) şi, expresiile analitice ale acestora, sunt ilustrate în figura

92. Aceleaşi trenduri, pentru cazul automatizărilor (figurate în aceleaşi culori),

precum şi expresiile analitice aferente lor, sunt pezentate în figura 93.

EVOLUTIA RISCULUI DE REFUZ IN CAZUL PROTECTIILOR

q ref2 (t) = 0.0009t - 0.0035R2 = 0.9736

q ref1 (t) = -9E-09t4 + 1E-06t3 - 6E-05t2 + 0.0015t - 0.003R2 = 0.9845

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70

TIMPUL [LUNI]

VA

LOA

RE

A R

ISC

ULU

I

Fig.92


179

Variatia riscului de refuz in cazul instalatiilor de automatizare

q ref1 (t) = 0.003t + 0.0197R2 = 0.9021

q ref2 (t) = 6E-08t4 - 8E-06t3 + 0.0003t2 + 0.0004t + 0.0014R2 = 0.9862

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70

timpul [luni]

q.re

f(ti)

Fig.93

II.3.11. RISCUL OPERAŢIONAL DE RĂSPUNS ERONAT ÎN INTERVALUL [0,TI] SAU PROBABILITATEA DE RĂSPUNS ERONAT ÎN INTERVALUL [0, TI]

Riscul operaţional de răspuns eronat sau probabilitatea de răspuns eronat

este o mărime obţinută pe cale statistică, ce se exprimă ca raport între numărul

cumulat de funcţionări eronate (intempestive şi refuzuri), până la un anumit moment

şi numărul total de relee (instalaţii de securitate) aflate sub observaţie.

( )( )

( )int ( ) ( )

( ) int ( ) ( )QnN

n nN

q qter t t ref t

t ref tii i i

i i= =+

= +0 0

(440)

Studiu de caz

În urma studiilor efectuate asupra instalaţiilor de protecţie şi automatizare din

zona Bacău, s-au obţinut următoarele valori medii, pentru riscul de răspuns eronat

(diferenţiate pe tipuri de instalaţii tabelele 5.18.a şi 5.18.b). Se constată că această

mărime, are valorile cele mai mici (0), în cazul instalaţiilor de protecţie echipate cu

relee LZ31, R3Z24 şi R1Z24a. Aceasta, demonstrează, o foarte bună funcţionare a

echipamentelor respective, însă trebuie ţinut cont şi de faptul că numărul solicitărilor

la care acestea au fost expuse, este posibil să nu fie concludent. Observaţia de mai

sus, este confirmată şi de valorile din tabelul 5.19, obţinute pentru întregul număr de


180

relee aflate la nivel SEN, care echipează celulele de FIT unde numărul de solicitări la

care acestea au fost supuse, a fost mult mai mare.

Tabelul 5.18 a Riscul operaţional mediu de răspuns eronat pe tipuri de instalaţii (Zona Bacău)


Q4, RD7)



SIEMENS (R1Z24A)


60.0833333 48.5833333 6.16666667 5.58333333 8.25 0.58333333

Probabilitatea medie de transmitere a

răspunsurilor eronate (Q med)

0.23591549 0.18974359 0.22685185 0 0 0

Tabelul 5.18 b


diferenţiale linii

diferenţiale bare

diferenţiale trafo


drri rar aar dasf


9.58333 0.83333 0.583333 1.833333 13.33333 0.75 96.333 3.0833 8.6667

Probabilitatea medie de transmitere a

răspunsurilor eronate (Q med)

0.04883 0.45238 0.130952 0.015667 0.136431 0.0769 0.1872 0.0655 0.1733

Tabelul 5.19Riscul de răspuns eronat pe tipuri de protecţii la FIT (SEN)


Probabilitatea medie de transmitere a răspunsurilor eronate (Q med)

0.111559 0.089637 0.11468 0.187686

În calculele acoperitoare, de tip pesimist, pot fi utilizate datele dintre limitele

corespunzătoare diverselor grade de încredere (95%, 90%, 85%, 80%, 75%, 70%),

prezentate în figura 94. Acestea, reprezintă mediile maximelor riscului operaţional de

funcţionare eronată (de transmitere a răspunsurilor eronate), aferente instalaţiilor de

protecţie în general, fără a se face diferenţieri între diferitele tipuri de echipamente


181

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0,18

0,2

valo

area

ris

culu

i

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Media maximelor riscului de functionare eronata a instalatiilor de protectie functie de gradele de incredere ( 95%---70%)

Fig.94

Evoluţia riscului operaţional de răspuns eronat, este prezentat pentru cazul

protecţiilor nediferenţiate pe tipuri, în figura 95.

EVOLUTIA PROBABILITĂŢII DE FUNCŢIONARE ERONATĂ CORESPUNZATOARE INSTALATIILOR DE PROTECTIE

Q = 0.0037t - 0.0108

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70

TIMPUL [LUNI]

VAL

OAR

EA R

ISC

ULU

Fig. 95

În cazul automatizărilor, evoluţia acestui risc precum şi trendurile sale linear

(roşu) şi polinomial (verde), împreună cu expresiile lor analitice sunt ilustrate în figura

96.


182

Fig.96

II.4. MODELUL MATEMATIC AL SECURITĂŢII SISTEMELOR DE RELEE DE PROTECŢIE SI AUTOMATIZARE

II.4.1. MODELUL DUAL DE DEFECT

Un element poate să refuze funcţionarea, când trebuie să funcţioneze, sau

poate să funcţioneze intempestiv când nu există motiv de a acţiona.[ ]

Fie qref - riscul de refuz de funcţionare;

qinst - riscul de funcţionare intempestivă.

Pentru un sistem paralel, având două elemente identice avem:

2

21 refrefrefref qqqQ =⋅= , (441)

adică sistemul refuză, dacă ambele elemente refuză.

Dacă însă funcţionează, oricare din ele intempestiv, contează modul de

funcţionare intempestivă ( întrucât schema transmite răspuns eronat de tip

intempestiv) riscul de funcţionare intempestivă este.

( ) ( )intint2

int2

intintint 21111 qqqPRQ −=−−=−=−= (442)

Riscul sistemului va fi:

Q = P(releul să funcţioneze eronat) = Qref + Qint ⇒


183

( )Q q q qref= + −2 2int int (443)

Securitatea poate fi calculată cu relaţia:

( )S Q q q qref= − = − − ⋅ −1 1 22int int (444)

Acest rezultat, sugerează o diagramă logică, ce include ambele tipuri de funcţionări

eronate (refuzul şi acţionarea intempestivă).

Astfel, sistemul este defect, dacă ambele relee

refuză simultan, sau cel puţin un releu

funcţionează intempestiv .

Figura 97 Contacte în paralel de relee care transmit impuls la o bobina

de declanşare

Protecţiile 1 şi 2(fig.97) transmit în paralel impulsuri de declanşare, la bobina de

declanşare BD. Fiecare din contactele finale ale protecţiilor, poate funcţiona

intempestiv sau refuza. Astfel, dacă există condiţii de declanşare şi ambele protecţii

refuză, contactele rămân deschise; avem cazul unui refuz al protecţiilor, deci refuz de

declanşare (defect de închidere = open failure).

În mod similar, dacă există o selectivitate necorespunzătoare sau alte cauze,

rezultând închideri intempestive ale contactelor protecţiilor, spunem că avem un

defect de închidere (de scurtare - shorted failure). [ALLA 82]

II.4.2. RISCUL ŞI SECURITATEA DIN PERSPECTIVA MODULUI DE DEFECTARE AL SISTEMELOR DE RELEE

Defectele aparatelor se pot datora vechimii lor, pericolelor şi proastei

mentenanţe.

Presupunem cazul unui sistem redundant de protecţie, transmiţând impuls la o

singură bobină de declanşare. Considerăm două moduri de defectare:

− refuz de închidere, când există condiţii de defect;

− funcţionare intempestivă, când nu există defect primar.

Definim probabilităţile corespunzătoare celor două tipuri de evenimente astfel:

− qref i - probabilitatea de refuz de funcţionare a releului I, când există defect

în zona de lucru;

(+)

(+)

(-) BD

Prot.1

Prot.2


184

− qint i - probabilitatea de funcţionare intempestivă a releului i, când nu există

defect în zona sa de lucru (absenţa defectului primar).

Pentru un întreg sistem sau subsistem avem următoarele:

− Qref i - probabilitatea de refuz a subsistemului i;

− Qint i - probabilitatea de funcţionare intempestivă a subsistemului i.

Utilizând aceste definiţii, putem stabili formulele de probabilitate pentru

sistemele de relee.

Cazul releelor paralel (SAU)

Q q qrefSAU

ref ref= ⋅1 2 (445)

dacă q qref ref1 2≠

Q qrefSAU

ref= 2 (446)

dacă q q qref ref ref1 2= =

Schema logică de funcţionare a sistemului este prezentata în fig.99

Cum întotdeauna q qref ref1 2 1⋅ < ⇒ Q q qrefSAU

ref ref= <2 , (447)

probabilitatea de refuz, în cazul schemelor SAU, este mai mică decât în cazul

utilizării unui singur releu.

( )( )Q q qSAUint int int= − − − ⇒1 1 11 2 (448)

Q q q q qSAUint int int int int= + − ⋅1 2 1 2 dacă q qint int1 2≠ (449)

şi ( ) ( )Q q q qSAUint int int int= − − = −1 1 2

2 dacă q q qint int int1 2= = (450)

Deoarece q

qQ qint

intint int

<− >

⇒ >1

2 1 (451)

Deci probabilitatea de funcţionare intempestivă, în cazul utilizării unei scheme

SAU, este mai mare decât în cazul folosirii unui singur releu.

Cazul releelor serie (ŞI)

Q q qIintŞ

int int= ⋅1 2 dacă q qint int1 2≠ (452)

SAU

1

2

Figura 99 Schema logică de funcţionare a sistemelor cu relee

paralel

1

2

Figura 98 Relee paralel

ŞI

1

2

Figura 101 Schema logică de funcţionare a sistemelor cu relee

serie

1 2

Figura 100 Relee serie


185

şi Q qIintŞ

int= 2 dacă q q qint int int1 2= = (453)

( )( )Q q q q q q qrefI

ref ref ref ref ref refŞ = − − − = + − ⋅1 1 11 2 1 2 2 2 dacă q qref ref1 2≠ (454)

( )Q q qrefI

ref refŞ = −2 dacă q q qref ref ref1 2= = (455)

Deci probabilitatea de funcţionare intempestivă, a releelor serie (ŞI), este mai mică

decât în cazul utilizării unui singur releu, iar probabilitatea de refuz în cazul releelor în

schemă ŞI(serie) este mai mare decât în cazul utilizării unui singur releu.

Expresiile insecuritatii(riscului), respectiv securităţii, în cele doua cazuri sunt

următoarele:

Cazul SAU

Q S Q QSAU SAUrefSAU SAU= = + int (456)

S Q q q q q q qSAU SAU

ref ref= = ⋅ + + − ⋅1 2 1 2 1 2int int int int dacă q qq qref ref

int int1 2

1 2

≠≠

(457)

( )S Q q q qSAU SAU

ref= = + ⋅ −2 2int int dacă q qq qref ref

int int1 2

1 2

==

(458)

Securitatea are expresiile:

S S Q q q q q q qSAU SAU SAUref ref= − = − = − ⋅ − − + ⋅1 1 1 1 2 1 2 1 2int int int int dacă

q qq qref ref

int int1 2

1 2

≠≠

(459)

( )S S Q q q qSAU SAU SAUref= − = − = − − ⋅ −1 1 1 22

int int dacă q qq qref ref

int int1 2

1 2

==

(460)

Studiu de caz 1

În cazul a doua instalaţii conectate SAU, când riscului de refuz i se dă valoarea

maxima, 0.05 (vezi fig.91), iar cel intempestiv ia valori între limitele 0.06-0.016 (vezi

fig.88), variaţia securităţii unui astfel de sistem, arată ca în fig.102

0.70.720.740.760.780.8

0.820.840.860.880.9

0.06 0.072 0.084 0.096 0.108 0.12 0.132 0.144 0.156 0.168 0.18

0.8811

0.7031

S ,,q int 0.05 2

0.160.06 q int


186

Fig.102 Variaţia securităţii în cazul a doua instalaţii conectate în logica de tip SAU, la q.ref constant

Daca însă, riscul maxim, variază între limitele sale (0.02-0.05), iar riscului

intempestiv i se dă valoarea maxima posibila, 0.16, securitatea se prezintă ca în

fig.103

0.7030.7030.7040.7040.7040.7040.7050.7050.7050.7060.706

0.02 0.023 0.026 0.029 0.032 0.035 0.038 0.041 0.044 0.047 0.05

0.7052

0.7031

S ,,0.16 q ref 2

0.050.02 q ref Fig.103 Variaţia securităţii în cazul a doua instalaţii conectate în logica de tip SAU, la q.int constant

Securitatea atinge valori mult mai mici, în cazul variaţiei riscului de refuz, ea

fiind mult mai sensibilă în raport cu acest risc decât cu riscul de funcţionare

intempestivă.

Cazul ŞI

Q S Q QI Iref

I IŞ Ş ŞintŞ= = + (461)

S q q q q q qI

ref ref ref refŞ

int int= + − ⋅ + ⋅1 2 1 2 1 2 dacă q qq qref ref

int int1 2

1 2

≠≠

(462)

iar securitatea corespunzătoare este:

S S Q q q q q q qI I Iref ref ref ref

Ş Ş Şint int= − = − = − ⋅ + ⋅ − ⋅1 1 1 1 2 1 2 1 2 (463)

apoi

( )S Q q q qI I

ref refŞ Ş

int= = ⋅ − +2 2 dacă q qq qref ref

int int1 2

1 2

==

(464)

iar securitatea:

( )S S Q q q qI I SAUref ref

Ş Şint= − = − = − ⋅ − −1 1 1 2 2 (465)

Studiu de caz 2

În cazul a doua instalaţii conectate ŞI, când riscului de refuz i se dă valoarea

maximă, 0.05 ( vezi fig.91), iar cel intempestiv ia valori între limitele 0.06-0.016 (

vezi fig.88), variaţia securităţii unui astfel de sistem, arată ca în fig.104. Dacă însă,


187

riscul maxim variază între limitele sale (0.02-0.05), iar riscului intempestiv i se da

valoarea maxima posibila, 0.16, securitatea se prezintă ca în fig.105

0.870.8730.8760.8790.8820.8850.8880.8910.8940.897

0.9

0.06 0.072 0.084 0.096 0.108 0.12 0.132 0.144 0.156 0.168 0.18

0.8989

0.8769

S ,,q int 0.05 2

0.160.06 q int Fig.104 Variatia securităţii în cazul a doua instalaţii conectate în logica de tip ŞI, la q.ref constant

0.860.8680.8760.8840.892

0.90.9080.9160.9240.9320.94

0.02 0.023 0.026 0.029 0.032 0.035 0.038 0.041 0.044 0.047 0.05

0.9348

0.8769

S ,,0.16 q ref 2

0.050.02 q ref Fig.105 Variatia securităţii în cazul a doua instalaţii conectate în logica de tip ŞI, la q.int constant

II.4.3. SECURITATEA SISTEMELOR CU N RELEE SERIE (ŞI)

Schema clasica de fiabilitate a unui astfel de sistem este prezentata în fig.106:

A1 A2 A3 Ai An Figura 106 Cazul a n relee serie

Sistemul refuză, dacă cel puţin un element refuză; schema echivalentă de refuz fiind

prezentata în fig.107:


188

qref 1 qref 2 qref 3 qref i qref n

Figura 107 Schema echivalentă de refuz în cazul a n relee

serie

Sistemul va funcţiona intempestiv, dacă toate elementele sale, simultan,

funcţionează intempestiv. Schema echivalentă de funcţionare intempestivă este

prezentată în fig.108:

Expresiile probabilităţilor de funcţionare intempestivă şi de refuz sunt:

Q q q q qIi nint

Şint int int int... ...= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅1 2 (466)

Q qIi

i

n

intŞ

int==∏

1 (467)

( ) ( ) ( ) ( )Q q q q qrefI

ref ref refi refnŞ ... ...= − − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −1 1 1 1 11 2 (468)

( )∏=

−−=n

irefi

Iref qQ

1

ª 11 (469)

Schema clasică de fiabilitate, având în vedere dualismul

refuz-funcţionare[ ] intempestivă, specific sistemelor de

relee, este echivalentă cu doua scheme una de tip serie

fig.126, care pune în evidenţă refuzurile şi una paralel

(fig.127) care pune în evidenţă funcţionările intempestive.

Această schemă echivalentă, compusa practic din doua

subsisteme, unul având n elemente serie cu probabilităţile de refuz qref.1, qref.2, ...

...qref.i...... qref.n, iar celălalt având n elemente paralel, cu probabilităţile de funcţionare

intempestiva qint.1, qint.2,....... qint.i,........ qint.n, se numeşte schemă de securitate a

sistemelor cu n relee serie.

Riscul ca sistemul să furnizeze răspunsuri eronate va fi:

Q Q QIref

I IŞ ŞintŞ= + (470)

( )Q q qIrefi

i

n

ii

nŞ

int= − − += =∏ ∏1 1

1 1

iar securitatea:

( )S Q q qI Irefi

i

n

ii

nŞ Ş

int= − = − −= =∏ ∏1 1

1 1 (471)

qint 1

qint 2

qint i

qint n

Figura 108 Schema echivalentă de funcţionare intempestivă în cazul a n relee serie


189

Dacă elementele sunt identice avem:

( )( )

Q q q

S q q

Iref

n n

Iref

n n

Şint

Şint

= − − +

= − −

1 1

1 (472)

II.4.4. SECURITATEA SISTEMELOR CU N RELEE PARALEL (SAU)

Dacă avem A1, A2, …, An elemente în paralel,

(fig.109), sistemul refuză, dacă toate elementele sale refuză.

Deci schema de refuz este o schemă paralel (fig.110).

Q q q q q qrefSAU

ref ref refi refn refii

n

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ==∏1 2

1... ... (473)

În schimb, dacă oricare din elementele acestuia

funcţionează intempestiv, sistemul funcţionează intempestiv

(schema de funcţionare intempestivă fiind una serie- fig.110)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Q q q q q qSAUi n

i

n

int int int int int int... ...= − − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − = − −=∏1 1 1 1 1 1 11 2 1

1 (474)

Riscul ca sistemul să comunice răspunsuri eronate este:

Q Q QSAUrefSAU SAU= + ⇒int (475)

( )Q q qSAUrefi

i

n

ii

n

= + − −= =∏ ∏1 1

1 1int (476)

iar securitatea sistemului va fi:

( )S Q q qSAUi

i

n

refii

n

= − = − += =∏ ∏1 1

1 1int (477)

Dacă elementele sunt identice avem:

( )( ) n

refnSAU

nnref

SAU

qqS

qqQ

−−=

−−+=

int

int

1

11 (478)

A1

A2

Ai

An

Figura 109 Cazul a n relee paralel


190

Aşadar, schema de securitate a unui sistem având n elemente paralel se

poate considera ca fiind compusă din două subsisteme, unul alcătuit din n elemente

paralel având probabilităţile de refuz: q q q qref ref refi refn1 2, ,..., ,..., , iar celălalt alcătuit din n

elemente serie având probabilităţile de funcţionare intempestivă

q q q qi nint int int int, ,..., ,...,1 2 .

Studiu de caz

Variaţia fiabilităţii, R(qref,n) şi a securităţii S(qint, qref,n), pentru protecţiile cu

relee ZPA arată ca în figura 111. Se observă, că fiabilitatea creşte cu numărul de

instalaţii aflate în paralel, în timp ce securitatea atinge un maxim, pentru n=2, după

care scade.

0.7

0.8

0.9

1

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.999946

0.726398

R( ),0.089637 n

S ,,q int 0.089637 n

41 n Fig.111 Comparaţie între fiabilitate şi securitate în cazul instalaţiilor cu relee ZPA

Diferenţa evoluţiei celor două mărimi este mult mai bine pusă în evidenţă, în

cazul instalaţiilor de automatizare RAR (fig.112)

qref 1

qref 2

qref i

qref n

qint 1 qint 2 qint 3 qint i qint n

Figura 110 Schema echivalentă de refuz în cazul sistemelor de relee paralel

Figura 110 Schema echivalentă de funcţionare intempestivă în cazul sistemelor de relee paralel


191

0.8

0.82

0.84

0.86

0.88

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

1 1.7 2.4 3.1 3.8 4.5 5.2 5.9 6.6 7.3 8

R( ),0.1756 n

S ,,q int 0.1756 n

n Fig.112 Comparaţie între fiabilitate şi securitate în cazul instalaţiilor de automatizare RAR

Riscul de refuz, al automatizărilor RAR, este diminuat cu peste 10% în cazul

utilizării unor scheme speciale[VIZI 91/3] , de asemeni diminuarea depaşeşte 15% in

cazul folosirii releelor electronice pentru controlul impulsurilor de reanclanşare, la

ieşirea din releele RAR (figura 113). [VIZI 94/1.

Securitatea poate să prezinte o pantă permanent negativă, în funcţie de

numărul de elemente aflate în paralel, sau una pozitivă într-un anumit interval de

variaţie a numărului de elemente, după care ea să devină din nou negativă.

Studiu de caz

În cazul unor echipamente având riscul intempestiv constant, qint=0,11 şi qref

variabil, evoluţia securităţii se prezintă ca în figura 114.


192

P1 2 Trafo1

UB TT Bară

Detector de

unghi

Afişor ∆ϕ

Timp

T

SI1

O

SAU

O

DD1

DD2 1

1

2

+

UL

TT Linie

SI2

SI3

O

Amplificator RE

RAR (-)

Reanclanşare

NU

NU

DD3 1

2

P2 Trafo2

prescriere unghi de comparare

Figura 113 Releu electronic pentru controlul reanclanşării


193

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.878706

0.625822

S ,,q int 0.014127 n

S ,,q int 0.089637 n

S ,,q int 0.011294 n

S ,,q int 0.06884 n

S ,,q int 0.0833333 n

S ,,q int 0.09722222 n

S ,,q int 0.02344 n

S ,,q int 0.011799 n

S ,,q int 0.11 n

S ,,q int 0.1756 n

S ,,q int 0.2 n

41 n Figura 114 Variaţia securităţii în funcţie de qref şi numărul de relee aflate în paralel

Se constată că, pentru qref=qint, securitatea rămâne constantă, până în momentul

în care mai este pus un releu în paralel, dacă se adaugă şi altele aceasta scade, panta

fiindu-i evident negativă. Pentru valori ale riscului de refuz mai mari decât riscul de

funcţionare intempestivă, (curbele 1 şi 2), securitatea atinge un maxim după care scade

odată cu creşterea numărului de relee aflate în paralel. Evoluţia riscului este în mod

evident, inversă celeia pe care o are securitatea(fig.115).

0.1

0.25

0.4

1 2.5 4

0.374522

0.121294

Q ,,q int 0.014127 n

Q ,,q int 0.089637 n

Q ,,q int 0.011294 n

Q ,,q int 0.06884 n

Q ,,q int 0.0833333 n

Q ,,q int 0.09722222 n

Q ,,q int 0.02344 n

Q ,,q int 0.011799 n

Q ,,q int 0.11 n

Q ,,q int 0.1756 n

Q ,,q int 0.21 n

41 n

Figura 115 Variaţia riscului în funcţie de qref şi numărul de relee aflate în paralel

1

2

1 2


194

II.5. APLICAŢII CARE PRIVESC CREŞTEREA FIABILITĂŢII SISTEMELOR DE PROTECŢII ŞI AUTOMATIZARE ALE INSTALAŢIILOR ELECTROENERGETICE

Principalele probleme dezvoltate în acest capitol sunt:

− alegerea instalaţiilor de protecţie şi automatizare pe baza criteriului performanţă

fiabilistă-cost;

− optimizarea nivelului de redundanţă;

− analiza disponibilităţii şi credibilităţii instalaţiilor de protecţie şi automatizare;

− analiza calităţii actului de conducere a procesului de mentenanţă precum şi al

calitaţii acţiunilor de menetenanţă propriu-zisă;

− stabilirea duratelor optime dintre două intervenţii succesive;

− prognozarea fiabilităţii şi securităţii sistemelor de protecţie şi automatizare.

II.5.1. ALEGEREA INSTALAŢIILOR DE PROTECŢIE ŞI AUTOMATIZARE PE BAZA CRITERIULUI PERFORMANŢĂ FIABILISTĂ – COST

Plecându-se de la nivelul minim de securitate ce trebuie asigurat de un anumit

echipament, de la intensitatea de transmitere a răspunsurilor eronate ale diverselor

tipuri de protecţii şi de la costurile corespunzătoare acestora, în cele ce urmează se

stabileşte un algoritm de alegere a instalaţiilor (echipamentelor) de protecţie şi

automatizare, astfel încât soluţia utilizată să fie cea mai avantajoasă din punct de

vedere economic.

Dacă riscul de transmitere a răspunsurilor eronate acceptat este Qadm,

probabilitatea admisibilă de a nu transmite răspunsuri eronate este[VIZI 96/3],:

Radm = 1 - Qadm (479)

Probabilitatea ca protecţia să nu transmită răspunsuri eronate, un interval mai

mare decât (0,t) este:

R eT t ter( )>− ⋅= λ

(480)

Alegem între două tipuri de protecţii pentru care cunoaştem:

λer1 - intensitatea de transmitere a răspunsurilor eronate (funcţionări intempestive

şi refuzuri) a primului tip de protecţie;


195

λer2 - intensitatea de transmitere a răspunsurilor eronate a celui de-al doilea tip de

protecţie;

C1 - costul de achiziţie al primului tip de protecţie;

C2 - costul de achiziţie al celui de-al doilea tip de protecţie.

R eT t ter( )11 1>

− ⋅= λ (481)

R eT t ter( )22 2>

− ⋅= λ (482)

reprezintă probabilităţile ca protecţia să nu transmită răspunsuri eronate în intervalul

(0,t).

Din relaţia R e eadmt ter er= =− ⋅ − ⋅λ λ1 1 2 2 (483)

putem determina duratele de utilizare t1 şi t2 ale celor două tipuri de protecţie, astfel

încât probabilitatea de a nu transmite răspunsuri eronate, să fie mai mare decât

valoarea sa limită admisibilă:

tRadm

er1

1= −

lnλ

(484)

tRadm

er2

2= −

lnλ

(485)

Costul pe unitatea de timp, de utilizare, până la înlocuire va fi:

CCt

CRn

er

adm1

1

1

1 1= = −⋅λ

ln (486)

CCt

CRn

er

adm2

2

2

2 2= = −⋅λ

ln (487)

Rezultă:

CC

CC

n

n

er

er

1

2

1 1

2 2=

⋅⋅

λλ

(488)

Făcând Cn1=Cn2 rezultă:

λ λer erC C1 1 2 2⋅ = ⋅ (489)

Adică ştim care dintre cele două protecţii, văzute pe piaţă este mai economic de

cumpărat. Dacă sunt incluse pe lângă costurile de investiţie iniţială ( )C CI I1 2, şi

costurile de exploatare ( )C CE E1 2, :

C C CI E1 1 1= + (490)


196

C C CI E2 2 2= +

Avem: ( )( )

CC

C C

C Cn

n

er I E

er I E

1

2

1 1 1

2 2 2=

⋅ +

⋅ +

λ

λ (491)

Dacă: CC

n

n

1

21> - este mai avantajos să cumpărăm protecţia 2

CC

n

n

1

21< - este mai avantajos să cumpărăm protecţia 1.

Dacă se ţine cont de actualizarea cheltuielilor şi de daunele care se pot

produce la consumatorii de energie electrică, avem:

C C C k D fI EA iA ijCMA iARj

N

i

n

i

n

i1 1 1111

= + ⋅ + ⋅===∑∑∑ (492)

C C C k D fI EA iA ijCMA iARj

N

i

n

i

n

i2 2 2111

= + ⋅ + ⋅===∑∑∑ (493)

semnificaţia mărimilor fiind următoarea: C1,C2 - cheltuielile totale actualizate; C1I,C2I - cheltuielile de întreţinere iniţiale;

C CEA EAi i1 2, - cheltuielile de exploatare anuale în anul i;

kiA - coeficientul de actualizare al cheltuielilor; DijCMA - dauna la consumatorul racordat la plecarea j în anul i; fAR = N·Q - frecvenţa anuală a răspunsurilor eronate;

N=T·λ - numărul de solicitări ale protecţiei;

T - timpul unui an [ore]; Q - probabilitatea de a transmite răspunsuri eronate; Q = qref + qint;

λ - este intensitatea de defectare a elementului primar. II.5.2. OPTIMIZAREA NIVELULUI DE REDUNDANŢĂ A INSTALAŢIILOR DE PROTECŢIE

Redundanţa asigură, în general, eliminarea refuzurilor, cu alte cuvinte scade

probabilitatea de refuz. Ea se impune a fi utilizată în situaţiile în care, intensitatea de

refuz are valori ridicate.


197

Stabilirea numărului optim de elemente redundante se poate face, utilizând,

unul din algoritmii [CATU 89/2] cunoscuţi:

− bazaţi pe metode euristice;

− bazaţi pe metoda utilizării multiplicatorului Lagrange;

− bazaţi pe utilizarea programării dinamice;

− determinarea rutei celei mai fiabile, în cazul în care informaţia trebuie

transmisă între mai multe niveluri ierarhice.

Nu trebuie uitat faptul că, creşterea nivelului de redundanţă, sporeşte riscul

funcţionărilor intempestive.

Informaţiile, prin intermediul instalaţiilor de protecţie, se transmit de regulă, pe

lanţuri de tip serie.

Ne propunem să creştem fiabilitatea instalaţiilor de protecţie prin asigurarea

redundanţei elementelor lanţului de tip serie.

Fie un lanţ cu n elemente (relee) serie, pentru care realizăm redundanţa

succesivă. Să presupunem că, pentru început realizăm o rezervare de m ori pentru

elementul 1 (figura 116).

qref1 qref2 qref3 qrefi qrefn

qref1

m qref1

2

Figura 116 Schema echivalentă de refuz a unui lanţ cu n relee serie

qint1 qint1 qint1 qint1 qint1

1 2 3 j m

qint2

Qint3

qinti

qintn

Figura 117 Schema echivalentă de funcţionare intempestivă a unui lanţ cu n relee serie


198

Introducerea elementelor în paralel produce modificări în schema duală

corespunzătoare funcţionărilor intempestive (figura 117).

Expresiile riscurilor de refuz şi de funcţionare intempestivă, vor fi:

( ) ( )Q q qref refm

refii

n= − − −

=∏1 1 11

2 (494)

( )[ ]Q q qmi

i

n

int int int= − −=∏1 1 1

2 (495)

Dacă se realizează redundanţa prin multiplicare pentru fiecare din cele n

elemente astfel:

elementul 1 de m1 ori;

elementul 2 de m2 ori;

…..

elementul i de mi ori;

…..

elementul n de mn ori,

putem scrie relaţiile generale:

( ) ( ) ( ) ( )Q q q q qref refm

refm

refim

refnmi n= − − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −1 1 1 1 11 2

1 2 ... ... (496)

( ) ( ) ( )Q q q qm m

nmn

int int int int...= − −

⋅ − −

⋅ ⋅ − −

1 1 1 1 1 11 21 2

(497)

Securitatea sistemului va fi:

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]nnm

nmmm

refnmref

mref qqqqqqS int2int1int21 11...11111...111 2121 −−⋅⋅−−⋅−−+−⋅⋅−⋅−−= (498)

sau

( ) ( )S q qrefim

i

n

im

i

ni i

= − −

+ − −

= =∏ ∏1 1 1 1

1 1int (499)

Optimizarea constă în găsirea gradului de multiplicare m1 m2 … mi … mn

aferent fiecăruia din cele n elemente 1, 2, … i, … n, astfel încât, securitatea să fie

mai mare decât o valoare limită prestabilită (costul de realizare a redundanţei fiind

minim - eventual).


199

limSS ≥ ; C C= min (500)

Sau să avem securitate maximă la un cost mai mic decât o valoare prestabilită

S S= max ; C C≤ lim (501)

Este important să se ştie că, deşi fiabilitatea creşte prin mărirea redundanţei,

fiind cu atât mai bună cu cât redundanţa fiecărui element este mai mare, securitatea,

care este un indicator mult mai complex în ceea ce priveşte caracterizarea

succesului instalaţiilor de protecţie şi automatizare, creşte prin componenta sa

specifică refuzului dar scade prin componenta sa specifică funcţionărilor

intempestive.

Deci, există un optim de redundanţă pentru care securitatea are valoare

maximă[VIZI 97/3],. Ori tocmai acest optim se doreşte a fi stabilit astfel încât riscul

răspunsurilor eronate al instalaţiilor de protecţie şi automatizare să fie minim.

Relaţiile anterioare se mai pot scrie :

QTOT ≤ Qlim , C = Cmin sau QTOT = Qmin , C ≤ Clim (502)

Studiu de caz

Se consideră protecţia unei linii de înaltă tensiune, pentru ale cărei

elemente se cunosc riscurile de funcţionare intempestivă şi de refuz precum

şi costurile aferente acestora. Se pune problema optimizării securităţii

(minimizarea riscului), în condiţiile multiplicării prin redundanţă a elementelor

componente ale protecţiei .

Rezultatele se prezintă ca mai jos.

ELEMENTUL DIN SCHEMA DE PROTECŢIE E1 E2 E5 E6 E8 E9

q.ref 0.050044 0.048002 0.0443386 0.044709 0.001116 0.009091 q.int 0.00443386 0.0217 0.02108465 0.107393 2.23E-03 0.009091

preţ unitar (USD) 1000 1500 500 5000 100 100 nr. min de elem.

redund. 1 1 1 1 1 1

Tabel 6.1 Valorile riscurilor şi a preţurilor corespunzătoare elementelor serie din lanţul de optimizat


200

circ.crt. (E1)

circ.tens. (E2)

circ.cc. (E5)

protecţie (E6)

bob.decl. (E8)

E.v.d. (E9)

risc. sistem.

Cheltuieli($)

1 1 1 1 1 1 0.182800304 8200 2 1 1 1 1 1 0.141904362 9200 2 2 1 1 1 1 0.100714055 10700 2 2 2 1 1 1 0.060840976 11200 2 2 2 2 1 1 0.018852197 16200 2 2 2 2 2 2 0.008827824 16400 2 2 2 2 2 1 0.017757236 16300 3 2 2 2 2 2 0.006463834 17400 3 3 2 2 2 2 0.004279393 18900 3 3 2 3 2 2 0.002374238 23900

Tabel 6.2 Variantele de redundanţă ale lanţului serie analizat

În figura 118, reprezentând trendul riscului, se observă că acesta, în funcţie de

varianta de redundanţă utilizată, scade, după care creşte, deşi numărul de elemente

redundante se măreşte.

Variatia riscului sistemului functie de de redondanta (trendul riscului)

Q = 3E-05v5 - 0.0009v4 + 0.0106v3 - 0.0506v2 + 0.0553v + 0.167R2 = 0.9941

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

varianta (numărul de elemente redondante)

Ris

cul

sist

emul

ui

Figura 118 Dependenţa riscului de varianta de redundanţă folosită (trendul riscului)

II.5.3. ANALIZA DISPONIBILITĂŢII ŞI CREDIBILITĂŢII SISTEMELOR DE PROTECŢIE ŞI AUTOMATIZARE

Coeficientul de disponibilitate, determinat în funcţie de media timpului de bună

funcţionare [MTBF] şi de media timpului de mentenanţă, [MTM], are expresia:


201

IMTBF

MTBF MTMA =+

(503)

În privinţa MTBF afirmaţia necesită câteva precizări:

a) Cazul protecţiilor clasice [VIZI 96/5]

− Se poate vorbi de MTBF, în sens clasic, numai dacă ne referim la partea de

curent alternativ (elemente de demaraj, elemente de măsură, elemente de

direcţie, etc.), care se află în permanenţă sub excitaţia mărimilor tensiune şi

curent din secundarele transformatoarelor de măsură;

− Mărimea MTBF nu poate caracteriza, în sens fiabilistic clasic şi, partea de

logică (de curent continuu), deoarece aceasta are regimul de funcţionare

"în aşteptare". Practic nu ştim dacă această parte, pe timpul funcţionării

normale a echipamentelor primare, este în stare de bună funcţionare sau

nu. Este adevărat însă, că în urma analizelor privind fiabilitatea

operaţională se poate determina intensitatea de transmitere a răspunsurilor

eronate (funcţionări intempestive şi refuzuri) cu ajutorul căreia se poate

estima media timpului de bună funcţionare, dintre două răspunsuri eronate

ale instalaţiei de protecţie sau automatizare.

b) Cazul protecţiilor prevăzute cu posibilităţi de autotestare

Media timpului de bună funcţionare poate fi considerată aptă să caracterizeze

din punct de vedere fiabilistic, atât elementele funcţionând în curent alternativ

(demaraj, măsură, direcţie, etc.), cât şi pe cele care constituie partea logică a

instalaţiei.

Dacă aceste protecţii sunt şi tolerante la defectări, media timpului de bună

funcţionare (relaţia 505) creşte în raport cu cea a protecţiilor clasice (relaţia 504) (fig.

119)


202

T’fr T’fi T’mi T’m2 T’f1 T’m1 T’f2

Tf1 Tm1 Tf2 Tm2 Tfi Tmi Tfr

a)

b)

Figura 119 MTBF pentru instalaţiile clasice şi cele tolerante la defectări a) Protecţii clasice b) Protecţii tolerante la defectări

Tfi - durata de funcţionare dintr-un interval oarecare de timp;

Tmi - timpul de mentenanţă după respectiva mentenanţă.

Corespunzător celor două figuri MTBF va fi:

MTBFT

r rT

fii

r

fii

r= ==

=

∑∑1

1

1 (504)

MTBFT

r rT

fii

r

fii

r'

''= ==

=

∑∑1

1

1 (505)

Definim coeficientul stării de funcţionare eronată ca fiind:

K MTBF MTMTVse = −

−1 (506)

unde: TV - este timpul se supravieţuire al sistemului de securitate.

Evident, MTBF<MTBF’, deoarece, în general Tfi < T fi' , întrucât pentru

protecţiile tolerante la defectări, după timpul de funcţionare normală Tfin , urmează un

timp de funcţionare cu defectul mascat, corespunzător lăţimii suprafeţei haşurate din

figura (119.b), T fidm' , timp în care instalaţia de securitate este aptă să-şi menţină

capacitatea de a răspunde corect la solicitări, funcţionând corect (fig. 120).


203

T’fi

T’fidm T’fin

Tfi

Figura 120 Timpii de funcţionare corectă în cazul protecţiilor clasice (Tfi) şi a celor tolerante la defectări (T'fi)

Aşadar, se poate scrie că:

T T T Tfi fin fidm fi' ' '= + > (507)

Prin urmare, coeficientul stării de funcţionare eronată, în cazul instalaţiilor

clasice, este mai mare decât în cazul instalaţiilor prevăzute cu autotestare şi

autodiagnoză.

Credibilitatea, ca măsură a probabilităţii de a nu exista defecţiuni care să ducă la răspunsuri eronate ale sistemului , evident că în cazul instalaţiilor clasice, are valoarea dată numai de detectările de defecte descoperite în mod întâmplător, în cazul lucrărilor de verificare periodică. În timp ce, în cazul instalaţiilor de securitate autotestabile, atât timp cât acestea au module în stare de bună funcţionare, practic, se sesizează toate defectele care ar putea duce la funcţionări eronate. Cu alte cuvinte, probabilitatea de a detecta stările instalaţiei, care ar conduce la funcţionări intempestive sau refuzuri, este în mod teoretic egală cu unitatea, în cazul protecţiilor autotestabile şi, foarte mică, în cazul instalaţiilor clasice. Credibilitatea este cu atât mai mare cu cât viteza de testare este mai mare. Pentru reducerea timpului de mentenanţă, (MTM), au fost imaginate o serie de echipamente pentru efectuarea lucrărilor [VIZI 94/5]

În direcţia realizării de echipamente autotestabile există foarte mult teren de acţiune. Preocupările autorului s-au îndreptat spre realizarea unui releu electronic pentru anclanşarea automată a buclelor deschise, cu autotestare, care să mărească credibilitatea automatizărilor de tip AAR de linie, existente în cadrul instalaţiilor de sistem de 110 kV (figura 121) [VIZI 94/1].


204

IEŞIRE

Blocaj extern

Bloc măsură Ul

R S T N

Ul

Bloc generare tensiune prescrisă

Upr.

Upr.

Bloc măsură Ub

R S T N

Ub

Circuit de

blocaj

Bloc analiză stare Ua şi Ub

Bloc autotestare

RESET

D1b D2b D3b

D1a D2a D3a

Bloc temporizator şi amplificator

D1 D3 D2

“A lucrat releul”

“Releu defect”

RESET EXTERN Bloc

alimentare

+ -

220 V ca

24 V

“ON/OFF”

+24 Vcc +15 Vcc

Figura 121 Releu electronic cu autotestare pentru anclanşarea automată a buclelor deschise

De asemeni, plecînd de la releele numerice existente [GAL 94],[ABB 96], s-a

conceput o schemă de releu de distanţă, pentru care sunt detectate, inclusiv

defectele de traductoare (funcţia de validare mărimi) sau cele din circuitele

secundare de curent, respectiv tensiune, pe principiul redundanţei analitice (figura

122).


205

AUTOSUPRAVEGHERE ŞIAUTODIAGNOZĂ

UNITATE DE PROGRAMARE

SEMNALI-ZĂRI

INTER-FAŢĂ

IEŞIRE

DECLAN-ŞĂRI

UNITATEDE

START

UNITATEDE

AFIŞARE

UNITATEADE

LOGICĂ

Funcţia de toleranţăla defectări

Funcţia deprotecţie

Funcţia deRAR

Funcţia deperturbograf+

locator

Condiţii externe +controale

Funcţia decomunicaţie

INTERFAŢĂ

INTRĂRI

Funcţie devalidare mărimi

I

U

Figura 122 Releu de distanţă digital tolerant la defectări utilizând redundanţa analitică

II.5.4. CALITATEA ACTULUI DE CONDUCERE A PROCESULUI DE

MENTENANŢĂ

Disponibilitatea ca mărime privită sub aspectul combinat dintre mentenabilitate

[MOR 92], mentenanţă şi fiabilitate:

A R F Mt t t t r( ) ( ) ( ) ( )= + ⋅ (508)

cu: M et tr

r( ) = − −1 µ - mentenabilitatea[FERB 94]


206

F Rt t( ) ( )= −1 - nonfiabilitatea,

tr - timpul de repunere în funcţie a instalaţiei,

permite aprecierea calităţii managementului actului de mentenanţă.

Pentru instalaţiile de securitate, intensitatea de reparare µ, ar trebui dată de

furnizor, calculul său de către acesta trebuind să fie făcut după relaţia [GEBA 84]:

µ =1

MTR (509)

cu: MTRn t n t n t

n n n

n t

n

k k k

k k

i i ii

k

i ii

k=+ + +

+ + += =

=

∑

∑1 1 1 2 2 2

1 1 2 2

1

1

λ λ λλ λ λ

λ

λ

(510)

unde:

ni - numărul de componente de acelaşi tip ale echipamentului de securitate;

λi - intensitatea de defectare a acestui tip de componente;

ti - timpul mediu, apreciat de furnizor, pentru înlăturarea defecţiunii unei

componente din grupul ni (luat din normele de montaj).

Cu aceste valori se calculează A t0 ( )

Pe baza observaţiilor din exploatare, în timpul a "m" acţiuni de mentenanţă,

media timpului de reparare, MTR, are expresia:

(511)

Cu aceste valori se calculează Am t( )

Conducătorul (managerul) procesului de exploatare şi întreţinere a

echipamentului, făcând comparaţie între valorile obţinute pentru A t( ) , va avea

informaţii despre calitatea coordonării procesului de mentenanţă. Astfel, diferenţa

disponibilităţilor obţinute determină un ecart:

ε = −A At m t0 ( ) ( ) (512)

care reflectă calitatea procesului de conducere a acţiunilor de mentenanţă.

Dacă acest ecart este mare, el se traduce prin:

- fie o organizare defectuoasă a formaţiilor;

- fie o dotare insuficientă ca volum sau nivel tehnologic;

MTRt t t

m mtmi

i

m=

+ + += ⋅

=∑

1 2

1

1


207

- fie o instruire necorespunzătoare;

- fie chiar lipsa calificării;

- fie o foarte mare viteză de degradare a echipamentului [VIZI 95/6].

Pentru instalaţiile de protecţie

A = P + Q⋅M (513)

P - reprezentând probabilitatea de funcţionare neeronată a protecţiei;

Q - reprezentând probabilitatea ca protecţia să comunice răspunsuri eronate

valorile lor putând fi determinate cu relaţiile FRE [VIZI 92/3]

II.5.5. STUDIUL CALITĂŢII PROCESULUI DE MENTENANŢĂ

Se propune, pentru aprecierea calităţii lucrărilor de întreţinere un indicator.

Acesta, pe lângă posibilitatea analizei calităţii lucrărilor de mentenanţă [CAR 94/2],

ne poate da informaţii şi cu privire la momentul când se poate renunţa la o instalaţie

de securitate:

Fie Qm = Qp·Qa (514)

indicatorul calităţii lucrărilor de mentenanţă al instalaţiilor de protecţie şi

automatizare,

unde:

♦ Qp - reprezintă indicatorul coeficienţilor funcţionali, ilustrând, în ce măsură

coeficienţii funcţionali ai protecţiilor şi automatizărilor (coeficient de revenire etc.), s-

au îmbunătăţit sau nu, după efectuarea lucrărilor de mentenanţă. Expresia sa este:

Qkk

kkp

i m

ii

j

j mj

i i

=

⋅

∏ ∏( )

( )

( )

( )0

0α β

(515)

• Se foloseşte raportul k kj m j( ) ( )0 , în cazul în care, după lucrările de

mentenanţă se doreşte să se obţină coeficienţi funcţionali, având valori mai

mici decât cei de referinţă daţi prin norme, deci k kj m j( ) ( )> 0

• Se foloseşte raportul k kj j m( ) ( )0 în cazul în care după lucrările de

mentenanţă se doreşte să se obţină coeficienţi funcţionali având valori mai

mari decât cei de referinţă daţi prin norme, deci k kj m j( ) ( )< 0

Aşadar, dacă valorile de referinţă ale coeficienţilor funcţionali ai instalaţiilor în

cauză sunt ki ( )0 , ei îmbunătăţindu-se după efectuarea lucrărilor de mentenanţă când


208

capătă valorile ki m( ) , indicatorul Qp se obţine din produsul rapoartelor supraunitare

existente între cele două mărimi aflate la puterile αi şi βi între care există relaţia:

α βi i∑ ∑+ = 1 (516)

Coeficienţii de pondere αi şi βi se stabilesc în funcţie de experienţa de

exploatare, ei reflectând ponderea diverşilor coeficienţi funcţionali ai protecţiilor în

raport cu ceilalţi coeficienţi.

♦ Qa - reprezintă factorul de atenuare a principalelor mărimi perturbatoare,

ilustrând în ce măsură factorii perturbatori (umiditate, temperatură, influenţa

câmpurilor, etc.) s-au îmbunătăţit după efectuarea lucrărilor de mentenanţă

Qkk

kka

s

s ms

r m

rr

i i

=

⋅

∏ ∏( )

( )

( )

( )

0

0

γ δ

(517)

cu γ δss

rr

∑ ∑+ = 1 (518)

în care:

ks ( )0 - este parametrul perturbator limită acceptat;

ks m( ) - este parametrul perturbator după intervenţie;

Variaţia lui Qm în funcţie de timpul de viaţă al echipamentului este prezentată

în figura 123.

tv - este momentul în care

echipamentul ar trebui vândut,

chiar dacă la un preţ foarte scăzut

deoarece în foarte scurt timp

parametrii săi nu mai pot fi

menţinuţi(refăcuţi) nici prin lucrări

de mentenanţă;

tr - momentul în care

echipamentul ar trebui retras din exploatare, funcţionarea sa nemaiprezentând nici

securitate, nici credibilitate.

Studiu de caz

Se consideră o protecţie maximală de curent, cu blocaj voltmetric situată într-o

cabină de relee, în care se execută lucrări de mentenanţă. În cazul releelor maximale

de curent Ki(0)=0,85 (coeficient de revenire), după lucrările de mentenanţă acesta

Qm

1,4

1

tv tr t

Figura 123 Variaţia indicatorului calităţii procesului de mentenanţă


209

este Ki(m)=0,86. Pentru releele minimale de tensiune Ku(0)=1,15; Ku(m)=1,08.

Umiditatea Kv(0)=70%, după lucrările de mentenanţă Kv(m)=63%, iar temperatura

Kt(0)=100C ş i Kt(m)=160C. Din experienţa de exploatare şi întreţinere, se apreciază

că: α α β βi u v t= = = = 0 5, .

Indicatorul calităţii procesului de mentenanţă este:

Qkk

kk

kk

kkp

i m

i

u

u mv m

v

t m

t=

⋅

⋅

⋅

=

( )

( )

,( )

( )

,( )

( )

,( )

( )

,

,0

0 50

0 5

0

0 5

0

0 5

1 384

Deci lucrările de întreţinere au fost bine executate.

II.5.6. STABILIREA DURATELOR OPTIME DINTRE DOUĂ INTERVENŢII SUCCESIVE

În vederea asigurării unei funcţionări corecte a protecţiilor şi automatizărilor,

care nu dispun de module de autotestare, pentru evitarea acţionărilor false şi a

refuzurilor în funcţionare, normativele [PE 88], [INST 92 ] recomandă intervalul de

timp, după care trebuie făcute verificări periodice. Desigur că, indicaţiile din normativ

s-au stabilit pe baza experienţei de exploatare, dar acestea trebuie actualizate

conform cu evoluţia sistemelor de protecţie folosite [VIZI 95/6].

Este clar că, un interval mic între două verificări profilactice, determină o

funcţionare sigură, probabilitatea apariţiei unui defect, în acest interval fiind redusă,

mai ales dacă instalaţiile nu sunt îmbătrânite; în acelaşi timp, însă, verificările dese

solicită mai mult personalul de întreţinere şi exploatare, iar pe de altă parte, scot din

funcţiune instalaţia de protecţie prin relee sau automatizare pe durata verificărilor. Un

interval de timp prea mare, între două verificări succesive, măreşte riscul unor

funcţionări intempestive sau refuzuri în funcţionare în eventualitatea defectării

instalaţiei în cauză. Aspectele mai sus menţionate nu sunt dorite, de unde ideea

necesităţii unei cât mai corecte aprecieri a duratei dintre două verificări profilactice.

Corectitudinea stabilirii periodicităţii verificărilor protecţiilor se poate face dacă

se dispune de date statistice, din exploatare, pe baza cărora se pot calcula indicatorii


210

de fiabilitate operaţională ai instalaţiei şi durata optimă de funcţionare între două

verificări succesive.

Indicatorii de fiabilitate, pentru tipul de protecţie sau automatizare considerată

se vor calcula separat, pentru fiecare sursă de insucces: acţionări intempestive şi

refuzuri în funcţionare.

Aceşti indicatori, în ipoteza admiterii funcţiei de repartiţie exponenţială

(λ=constant) sunt prezentaţi mai jos:

Indicatori de fiabilitate Acţionări intempestive Refuzuri de funcţionare

Intensitatea de defectare

[ ]λ int ( )int ( ) int ( )

( ) int ( )t

t t t

t

n nN n t

=−

− ⋅

+ ∆

∆0 [ ]λ ref t

ref t t ref t

ref t

n nN n t

( )( ) ( )

( ) ( )=

−

− ⋅

+ ∆

∆0

Probabilitatea medie de succes

R et ttint ( ) int ( )= − ⋅λ ∆ R eref t tref t( ) ( )= − ⋅λ ∆

Probabilitatea medie de insucces Q

tt

tint ( )

int ( )=

⋅λ ∆2

Qt

ref tref t

( )( )

=⋅λ ∆

2

Tabelul nr. 6.3 Indicatorii de fiabilitate funcţie de sursele de insucces

Dacă riscul limită acceptat pentru acţionările false este Qint.lim, iar cel puţin

pentru refuzuri este Qref.lim timpii dintre două verificări succesive rezultă din relaţiile:

∆tQ

optim12

≤⋅ int.lim

intλ (519)

∆tQ

optimref

ref2

2≤

⋅ .limλ

(520)

( )∆ ∆ ∆t t toptim optim optim= min ,1 2

Acest interval de timp se compară cu timpii daţi prin norme ∆t:

Dacă ∆ ∆t toptim < - lucrările de mentenanţă trebuie efectuate cu o frecvenţă

mai mare decât cea dată prin norme.

Dacă ∆ ∆t toptim > - lucrările de mentenanţă pot fi efectuate cu o frecvenţă

mai mica decât cea dată de norme.


211

II.5.7. PROGNOZE PRIVIND FIABILITATEA ŞI SECURITATEA SISTEMELOR DE PROTECŢIE ŞI AUTOMATIZARE

Pentru a avea informaţii despre un fenomen viitor, sunt utilizate datele

obţinute pe cale experimentală , cu ajutorul cărora se obţine o curba f(t) reconstituită

după descompunerea în serii Fourier[ROT-97] a fenomenului despre care s-au cules

datele experimentale. Se stabileşte momentul t, în care fenomenul se doreşte a fi

cunoscut şi, se calculează expresia din relaţia 610. Pot fi determinaţi coeficienţii ak,

bk, ck cu ajutorul cărora este construită funcţia teoretică. Se pot astfel obţine atât date

care să anticipeze evenimentele primare deci şi numărul de solicitări, cât şi

coeficienţi ak, bk, ck cu ajutorul cărora să poată fi scrisă expresia analitică a

indicatorilor de fiabilitate (densitate de repartiţie, intensitate de transmitere a

răspunsurilor eronate, intensitate de funcţionare intempestivă, intensitate de refuz,

riscuri etc.).

După o relaţie de tipul:

( ) ( )( )f t a b k t c k tk k kn

( ) sin cos= + +=

∞

∑ ω ω1

(521)

unde: ϖπ

=2T

T - intervalul pe care s-au cules datele

se pot obţine prognoze în legătură cu fenomenul urmărit plecând de la datele culese

pentru perioadele anterioare.

Momentul t este bine să fie dat în luni (30,4 zile).

II.5.8. CONCLUZII

Capitolul oferă instrumente de analiză atât pentru cei care concep schemele

în care sunt utilizate instalaţii de protecţie şi automatizare cât şi pentru cei care

exploatează şi întreţin astfel de instalaţii. Sunt expuse o serie de algoritme menite să

analizeze o parte din elementele care influenţează fiabilitatea şi securitatea

instalaţiilor de protecţie şi automatizare.

Este vorba de următoarele:

− alegerea instalaţiilor de protecţie şi automatizare pe baza criteriului

performanţă fiabilistă-cost, luându-se în considerare, atât costurile de


212

investiţie iniţială şi de exploatare, cât şi a daunelor care se pot produce la

consumatorii de energie electrică;

− optimizarea nivelului de redundanţă prin asigurarea nedepăşirii de către

riscuri a unor praguri prestabilite, în condiţiile unor costuri minime sau a

asigurării unor riscuri minime, la costuri mai mici decât nişte valori impuse;

− analiza disponibilităţii şi credibilităţii sistemelor de protecţie şi automatizare,

plecând de la indicele de disponibilitate pentru instalaţiile clasice precum şi

pentru cele prevăzute cu autotestare şi autodiagnoză. Propunerea în scopul

realizării acestei analize a unui coeficient care să caracterizeze starea de

funcţionare eronată. Conceperea unor scheme care să ducă la creşterea

disponibilităţii şi credibilităţii. Este cazul releului electronic cu autotestare

pentru anclanşarea automată a buclelor deschise şi, a releului digital de

distanţă cu validarea mărimilor de intrare utilizând principiile redundanţei

analitice şi a toleranţei la defectări.;

− analiza calităţii lucrărilor de mentenanţă şi a calităţii actului de conducere al

procesului de mentenanţă. Introducerea unui indicator care pe lângă

calitatea lucrărilor de mentenanţă poate da informaţii şi în legătură cu

momentul în care o instalaţie de securitate trebuie scoasă din funcţiune;

− stabilirea duratelor optime, dintre două intervenţii succesive la instalaţiile de

protecţie şi automatizare aflate în exploatare, astfel încât acestea să

asigure un anumit nivel de securitate impus;

prognozarea fiabilităţii şi securităţii sistemelor de protecţie şi automatizare

plecând de la datele obţinute din exploatarea acestora, într-o perioadă anterioară.


213

PARTEA a III - a

ELEMENTE DE OPTIM SI TEHNICI MODERNE UTILIZATE IN FIABILITATEA INSTALATIILOR ELECTROENERGETICE


214

III.1. CĂI DE CORELARE OPTIMĂ A VALORILOR INDICATORILOR DE FIABILITATE PENTRU COMPONENTELE INSTALAŢIILOR ENERGETICE

Optimizarea indicatorilor de fiabilitate a instalaţiilor energetice poate propune : - determinarea simultană a valorilor optime pentru indicatorii de fiabilitate ai

componentelor unui sistem şi a indicatorului fiabilitate globală a acestuia

- determinarea valorilor optime ale indicatorilor de fiabilitate a subsistemelor sau

componentelor sistemului , fiind impus indicatorul fiabilitate globală a sistemului

- determinarea valorilor optime ale indicatorilor globali ai unui sistem când se

urmăreşte un optim global la nivelul economiei naţionale.(În această situaţie este

necesară exprimarea bănească a nesiguranţei în alimentarea cu energie

electrică)

Stadiul optimizării indicatorilor de fiabilitate necesită evidenţierea influenţei pe care o are fiecare element asupra fiabilităţii sistemului .

Această influenţă este determinată de :

- poziţia elementului în modelul structural

- fiabilitatea celorlalte elemente

- fiabilitatea elementului în cauză

III.1.1. GREUTATEA

Greutatea elementului i este dată de raportul dintre greutatea funcţiei diferenţiale

asociată funcţiei algebrice logice ( funcţia de structură ) a sistemului şi numărul

stărilor generate de cele m elemente ale sistemului.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−

== ∆ xGxG

xyG yyg ii

mmxi

xi 01221][

(522)

unde :

( ) ( ) ( )myx xxy i

......1.........211= - se numeşte funcţie unitate (523)

( ) ( ) ( )myx xxy i

......0.........210= - se numeşte funcţie nulă (524)


215

( )xyxi∆ se numeşte funcţia diferenţială de argument i (525)

( )[ ]xyG - greutatea funcţiei y(x) – este numeric egală cu

numărul de valori ale m-ulei x=(x1 x2………….xm)

pentru care y(x)=1

Pentru forma normal disjunctiv ortogonală greutatea funcţiei este dată de relaţia :

( )[ ] ∑=

−=n

j

imxyG12 γ

(526)

γi – rangul miniterminilor care compun funcţia y(x)

m - nr.de elemente

n - nr.de minitermeni

∑∑

∑∑∑∑

=

−−

=

−−

=

−−

=

−−=

−−

=

−−

−=

−=−

=

p

f

rfl

j

rj

xi

p

f

rfl

j

rjm

p

f

rfml

j

rjm

xi

g

g

1

)1(

1

)1(

1

)1(

1

)1(1

)1(

1

)1(

22

22222

(527)

l – nr. de minitermeni care îl conţin pe xi

p – nr. de minitermeni care îl conţin pe xi

În practică :

2 1−

−= m

ii

xi

plg (528)

Calculul minitermenilor poate fi făcut pe mai multe căi pentru cazul când nu se

utilizează calculatorul mai comod este întocmirea tablourilor Karmingh

III.1.2. IMPORTANŢA

Acest criteriu este definit de derivata parţială a probabilităţii de succes a sistemului în raport cu probabilitatea de succes a elementului.


216

( ) ( )

( ) ( )PPQPP

PPP

PP i

SOi

S

i

Si

S

i

iSOS

i

S −=−

=−

= 11δ

(529)

( )P iS1 - probabilitatea de succes a sistemului când 1=Pi

( )P iSO - probabilitatea de succes a sistemului când 0=Pi

Creşterea probabilităţii de funcţionare a sistemului la creşterea probabilităţilor de

funcţionare a elementelor se poate determina cu o relaţie de forma :

PPPPPPPPPPPPPPPP

PP kkjikji kji

Sl

jiji ji

ii i

SS

CC

P

C lmmm

∆∆⋅∆++∆∆⋅∆⋅⋅

++∆⋅∆⋅⋅

+∆⋅=∆ ∑∑∑∈∈∈

..................

..... 21...,,

2

21 δδδδδδ

δ δδ

(530)

Această relaţie are la bază valorile numerice ale importanţei elementelor

componente.

Acest criteriu permite determinarea elementelor care influenţează mai mult fiabilitatea

sistemului , importanţa depinzând de siguranţa în funcţionare a celorlalte elemente şi

nu de siguranţa elementului în cauză.

Când probabilitatea de funcţionare a tuturor elementelor este 0,5 greutatea se

confundă cu importanţa.

III.1.3. APORTUL

Se defineşte ca produsul dintre importanţa şi siguranţa elementului sau produsul dintre viteza de variaţie a siguranţei sistemului în raport cu siguranţa elementului şi siguranţa elementului.

PPPB i

i

Si δ

δ= (531)

Aportul defineşte creşterea siguranţei sistemului după restabilirea elementului , din

element defect în element fiabil (cu fiabilitate Pi).


217

( )

( )PPPPPPPP

PB iSOS

i

iSOS

iii

Si −=

−==

δδ

(532)

Acesta este cel mai complet indicator al participării elementului la fiabilitatea

sistemului.

Ex.

Fig.124

Varianta 1 L1 = L2 = 5km

Varianta 2 L1 = L2 = 200km

Modelul structural are o funcţie algebrică logică de forma :

( ) xxxxxxxxxxxxxxxxxy 6543275431742631 +++= (533)

Pornind de la valorile numerice ale intensităţii de defectare şi reparare se pot calcula

probabilităţile de funcţionare ale elementelor şi cu ajutorul acestora se pot calcula

valorile criteriilor “greutate” “importanţă” “aport” PPPBP

Pg ii

Si

i

Sxi

=;;

Pentru variantele de 5km şi 200km se observă că greutatea nu este influenţată de

lungimea liniilor.

Importanţa unei linii creşte odată cu creşterea lungimii datorită scăderii probabilităţii

de funcţionare a liniei vecine cu creşterea lungimii.

În varianta 1 liniile sunt mai sigure , importanţa cuplei fiind de circa 400ori mai mică

decât a liniilor .

L1 110 B1 T1 MT

110 L2 B2 T1 MT

C 110


218

În varianta 2 , scăzând probabilităţile de funcţionare ale liniilor creşte importanţa

cuplei de circa 20ori , deasemeni creşte şi importanţa barelor.

Se pune problema ca odată cu creşterea probabilităţii de funcţionare a elementelor

componente ale unui sistem pe seama creşterii cheltuielilor să se poată obţine pentru

indicatorii de fiabilitate valori optime.

Criteriul “importanţă ” permite exprimarea probabilităţii de nefuncţionare a unui sistem

, funcţie de probabilităţile de nefuncţionare a elementelor sale.

( )

QPP

QP

i

iSS

i

S 1−=

δ

δ (534)

Aşadar dacă se exprimă creşterea probabilităţii de nefuncţionare sub forma:

.....21 ,

2

+∆⋅∆⋅+∆⋅=∆ ∑∑∈∈

QQQQQQQ

QQ jiji ji

Si

i i

SS

CC mmδδδ

δ δ (535)

Expresie, în care se pot neglija termenii de ordin 2 , eroarea fiind acceptabilă în

energetică . Se obţine :

QQQQ i

i i

SS

Cm

∆=∆ ∑∈

1 δ

δ (536)

În această manieră orice reducere a probabilităţii de refuz a oricărui element al

sistemului va determina o reducere a probabilităţii de refuz a acestuia cu valoarea

QS∆ obţinându-se

QQQQQQQ i

i i

SOSOS

Cm

∆⋅−=−= ∑∆∈

1 δδ

(537)

dar,

QQQ iiOi−=∆ (538)

deci,


219

( ) QQQQQ

QQQQQQQQ i

i i

SiO

i i

SOiiO

i i

SOS

CCC mmm

⋅∑∑∑∈∈∈

+⋅−=−−=111 δδ

δδ

δδ

(539)

QO – valoarea iniţială a probabilităţii de nefuncţionare a sistemului

QiO – valoarea iniţială a probabilităţii de nefuncţionare a elementului I

În problemele de optimizare nonfiabilitatea este introdusă fie sub formă de restricţii

(în sensul de a nu se depăşi un anumit prag de nonfiabilitate ) fie sub forma de

cheltuieli ( în termenul care constituie daunele şi care intră în funcţia scop) :

DPIZ KKK dpI ++= (540)

Daunele exprimându-se sub forma :

QdkD sop= (541)

D - daunele

d - dauna specifică pe unitatea de timp datorită defectării

Kd – coeficient dimensional

În acest caz:

+−= ∑∑ QQQQQ

QQdK ii

SiOi

i

SOOp

Q

D

O

δδ

δδ

1

(542)

⇒

QQQ

dKQdKQQQQdK i

i i

SOpOOpi

i

SOOp

CD

m

∑∑∈

+=

+=

1

11

δδ

δδ

(543)

Modelele având la bază algoritmul lui Beliman permit determinarea valorilor optime

ale indicatorilor de fiabilitate pentru elementele componente ale sistemului .


220

III.2. MODEL DE OPTIMIZARE A STRUCTURII SISTEMELOR FOLOSIND CRITERIILE “ IMPORTANŢĂ “ şi “ APORT ” A ELEMENTELOR

Optimizarea structurii sistemului din punct de vedere al fiabilităţii urmăreşte :

a) fie obţinerea valorii optime a indicatorilor de fiabilitate ai elementelor componente

când este impusă valoarea indicatorului global al sistemului

b) fie obţinerea valorilor indicatorilor de fiabilitate ai elementelor , concomitent cu

optimizarea indicatorului global al sistemului

Funcţia scop exprimă de fiecare dată cheltuielile care se fac în perioada de investire şi în cea de exploatare a sistemului.

• Când se impune indicatorul global al sistemului , cazul “a ” , limitele se referă

la indicatorul de fiabilitate al sistemului.

• Când şi indicatorul global face obiectul optimizării , cazul “b ” , pot fi impuse

şi alte limite : cost , gabarit , greutate etc.

Se scrie funcţia scop ca o relaţie dintre indicatorul de fiabilitate considerat şi

cheltuielile de realizare a investiţiei

- IS = f1(q) ; I - cheltuieli de investiţii , q – indicatorul considerat

- – ES = f2(q) , ES - cheltuieli de exploatare ) .

Relaţia depinde de calea pe care se obţine creşterea fiabilităţii. Dacă aceasta se face

prin redondanţă indicatorul folosit este nonfiabilitatea ( probabilitatea de

nefuncţionare a elementului care se rezervează ).

imizatascopfunctiaimZ EI SS minmin ←=+= (544)

II Oi n= - IO – investiţia necesară unui element (545)

QQ n

O= - n - nr. de elemente în paralel (546)

Probabilitatea de nefuncţionare scade odată cu creşterea numărului elementelor

puse în paralel

QQ

nQnQO

O lnln

lnln == ⇒ (547)


221

deci,

QQI

QQ

IQIO

O

O

Oi lnlnlnln

== (548)

Qo – probabilitatea de nefuncţionare a unui element din cele n puse în

paralel

Q - probabilitatea de nefuncţionare a subsistemului rezultat din

punerea în paralel a celor n elemente

Ii - investiţia totală pentru subsistemul i format din n elemente în

paralel

Fig.125

Variaţia probabilităţii de nefuncţionare a sistemului se determină cu relaţia :

...21 ,

2

+∆∆+∆=∆ ∑∑∈∈

QQQQQQQ

QQ jiji ji

Si

i i

SS

CC mmδδδ

δ δ (549)

Reducerea probabilităţii de defectare a orcărui element duce la reducerea

probabilităţii de defectare a sistemului :

...21 ,

2

+∆∆+∆−=∆−= ∑∑∈∈

QQQQQQQ

QQQQQ jiji ji

Si

i i

SOSOS

CC mmδδδ

δ δ(550)

Neglijând termenii de ordin superior , elementele energetice fiind în general de înaltă

fiabilitate .

Se obţine :

.

i

n

1 2 m


222

QQQQQ i

ii

SOS

∆−= ∑δ

δ (551)

∆Qi – este reducerea probabilităţii de defectare a elementului i

QQQ iiOi−=∆ (552)

Se obţine :

( )

QQQQQQQ

QQQQQQ

QQQQQQ

ii

i

SOSi

ii

SiO

ii

SOS

iiOi

i

SOS

∑∑∑

∑

+==+−=

−−=

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

1

(553)

QO – valoarea iniţială a probabilităţii de nefuncţionare a sistemului

QiO – valoarea iniţială (naturală) a probabilităţii de nefuncţionare a elementului i

• a. În cazul când se impune valoarea maximă limită a indicatorului global QS

notată Qe urmărindu-se minimizarea costului total pentru sistem , avem :

≤

=+=

QQ

EIZ

eS

SS immin

(554)

Cheltuielile de investiţii şi de exploatare se pot exprima în funcţie de

probabilităţile de nefuncţionare a elementului i

( ) ( ) 1011

<<== ∑∑==

QQEEQII ii

m

iiSi

m

iiS (555)

deci ,


223

( ) ( )

≤

=+= ∑ ∑= =

eS

m

ii

m

iiiiS

Q

im

Q

QEQIZ1 1

min

(556)

Sistem care permite determinarea indicatorilor de fiabilitate folosind un model

clasic de programare dinamică .

• b. Când şi indicatorul de fiabilitate globală face obiectul optimizării problema

optimizării se reduce la aplicarea repetată a algoritmului de la cazul anterior . Funcţia scop are deci forma :

( ) ( ) imQEQIZ i

m

iii

m

ii min

11

=+= ∑∑==

(557)

În cazul când nu există nici un element în paralel (structura cea mai simplă), valoarea

indicatorului q se numeşte Qnatural . Această valoare este valoarea limită acceptată

pentru primul pas

QQ itanaturalQ

lim=≤ (558)

Se scade din valoarea Qnatural o treaptă ∆Q (a cărui valoare depinde de precizia

impusă ) se obţine o nouă valoare limită pentru QS şi se repetă aplicarea algoritmului

programării dinamice pentru determinarea noii valori a lui Qi şi a cheltuielilor totale Z

care se compară cu cele anterioare . Dacă noua valoare a lui Z este mai mică se

repetă operaţia cu o nouă valoare a lui Qlimită . Operaţia se repetă până ce valoarea

Z = Zi începe să crească. În această situaţie valoarile Qi obţinute sunt cele optime

structura sistemului fiind cea optimă.

III.3. TEHNICI MODERNE UTILIZATE ÎN FIABILITATE

III.3.1. REDONDANŢĂ ANALITICĂ

Tehnicile redondanţei analitice au luat un avânt deosebit graţie pătrunderii calculatoarelor electronice.


224

Aceasta se aplică în special la detecţia defectelor traductoarelor a căror informaţii cer să fie validate înainte ca ele să fi alimentat sistemele de comandă sau conducere a unei instalaţii. Ideea este :

• fie de a dubla (sisteme duplex) sau tripla (sisteme triplex) căile de

măsură ; este cazul aşazisei redondanţe materiale.

• Fie în utilizarea relaţiilor analitice care există între măsurile mărimilor

dependente care sunt sau nu de aceeaşi natură ; este cazul

redondanţei analitice

Fig.126

Ne propunem să tratăm : principiile de bază ale redondanţei

Intrare date

I = 0

QS = Qnatural

I = I + 1

Qlimită = Qlimită - ∆Q Rutină

program

dinamică

DA NU

DA NU

Tipăreşte

date

STOP

I=0

Zj< Zj-1


225

metodele teoretice care permit generalizarea relaţiilor care leagă

măsurile între ele noţiunile de redondanţă directă , statică şi dinamică

noţiunile de paritate simplă şi generalizat

III.3.2. REDONDANŢA MATERIALĂ Fie: m1 – măsura traductorului 1

m2 – măsura traductorului 2

m3 – măsura traductorului 3

mif – valorile filtrate ale măsurilor traductoarelor i

(m1f ; m2f ; m3f)

mmr ff 21 −= - reziduul dintre valorile filtrate ale traductorului 1 şi 2 (559)

Fig. 127 Redondanţă materială dublă

Fig. 128 Redondanţă materială triplă

Reziduul r = m1f – m2f este comparat cu un prag care este funcţie de

caracteristicile statice ale zgomotelor traductoarelor.

Redondanţa dublă permite numai detectarea unui defect simplu.

Redondanţă triplă permite detectarea şi localizarea defectelor de traductoare.

Sunt calculate în acest caz trei reziduuri:

m1

m2

FILTRU

FILTRU

+

-

PRAG MAXI

PRAG MINI

DETECTOR SEMNAL

m1f

m2f

m1

m2

FILTRU

FILTRU

DETECTOR

m1f

m2f

FILTRU m3

m3f

r2

r1

r3

VOTER Diagnosti

Traductor


226

ff

ff

ff

mmr

mmr

mmr

323

312

211

−=

−=

−=

(560)

Voterul are rolul de a detecta traductorul defect.

III.3.3. PRINCIPIUL REDONDANŢEI ANALITICE

Utilizează atât informaţiile primite de la traductoare cât şi informaţiile suplimentare provenite de la modele. Această redondanţă are drept obiect detecţia şi recunoaşterea defectelor de

funcţionare şi luarea de măsuri corective corespunzătoare . Se bazează pe relaţia

cauză-efect existent între intrările şi ieşirile observate ale sistemului . Se poate folosi

atât în cazul traductoarelor cât şi la detecţia şi localizarea defectelor elementelor de

acţionare sau a procesului însuşi.

Fig. 129 Traductorul material înlocuit printr-un model analitic

Această redondanţă presupune două faze distincte : a) – generarea reziduurilor

b) - luarea deciziei

Reziduul reprezintă ecartul între comportamentul observat şi comportamentul de referinţă aşteptat în funcţionare sănătoasă. În absenţa defectelor reziduurilor sunt de medie nulă cu o varianţă nominală. Sunt selectate reziduurile care satisfac compromisul . Intrarea cea mai sensibilă posibil la defectele care se caută a fi

Traductor 1

Traductor 2

Intrare 1

Intrare 2

Intrare 3

MODEL

VOT

LOGIC

m valid

m1

m2

mS


227

detectate trebuie să fie cel mai puţin sensibilă la erorile de modelare şi la zgomotele de măsură. III.3.4. REDONDANŢA DISCRETĂ Se aplică în cazul sistemelor multiplex unde se dispune de două sau mai multe

sisteme de măsură identice. Pentru fiecare variabilă scalară necunoscută x a

vectorului X se achiziţionează mai multe măsuri yi .

De exemplu în cazul a două măsuri yi şi yJ ale unei variabile x se asociază reziduul .

yyp JiiJ−= (561)

În cazul unui sistem triplex când pentru o mărime scalară x avem măsurile y1 y2 y3 afectate de erorile ε1 ,ε2 ,ε3 avem:

εεε

33

22

11

+=

+=

+=

x

x

x

yyy

sau

+

=

εεε

3

2

1

3

2

1

111

X

yyy

(562)

Fie : ε−−

+=−

Hy x

Pentru a găsi relaţiile de redondanţă între măsuri este suficientă eliminarea mărimii

necunoscute x . Aceasta revine la a căuta o matrice ν numită matrice de paritate

care satisface relaţia:

0=Hν (563)

Înmulţind ecuaţia de mai sus cu matricea ν:

0==+=−−−

HdeoareceHxy νενεννν (564)

Notăm py−−

=ν şi-l numim vector de paritate . Acest vector este nul în cazul

absenţei defectelor şi zgomotelor în traductoare . În cazul sistemelor triplex o soluţie

evidentă este :


228

101110

011

−−

−=ν (565)

Cu următoarele ecuaţii de paritate :

εεεεεε

1313

3232

2121

−=−

−=−

−=−

yyyyyy

(566)

Numai două din cele 3 ecuaţii de paritate sunt independente ( Rangul ν matricei

este 2) . În general rangul lui ν este egal cu numărul de măsuri m minus numărul

necunoscutelor n de eliminat :

nmrang −=ν (567)

În cazul nostru conservăm primele 2 linii ale lui ν

εν−−

=−

−=

yyy

p3

2

1

.110011

(568)

Vectorul de paritate p se deplasează în spaţiul cu două dimensiuni numit SPAŢIU

DE PARITATE SIMPLĂ .

νενενεεεε

ννν 321321 321

3

2

1

.−−−−−−−

++==p (569)

Vectorul ν formează o bază în spaţiul de paritate . Această formulare a lui p−


229

arată ca o eroare ε i are loc într-un traductor i , vectorul p se va deplasa urmărind

direcţia particulară a vectorului ν i în spaţiul de paritate .

Exemplu: dacă traductorul 3 este defect, 1 şi 2 fiind traductoare sănătoase, rezultă →

P = ε3υ3 (ε1 ε1) fiind practiv nuli, samd)

Fig. 130

În concluzie componentele vectorului de paritate sunt semnale “indicatori de

defecte ale traductoarelor” în absenţa zgomotului (medie nulă ) şi în absenţa

defectelor , vectorul „p” trebuie să fie de medie nulă .

Localizarea defectelor este posibilă supraveghind direcţia vectorului „p” în spaţiul de

paritate. Totodată un sistem duplex este insuficient pentru a localiza traductorul

defect ( rang ν = 1 ) şi trebuie deci cel puţin un sistem triplex.

III.3.5. REDONDANŢĂ STATICĂ

Obiectul redondanţei statice este de a căuta relaţiile algebrice dintre valorile

instantanee ale măsurilor . Redondanţa directă pleacă de la gradul de coerenţă al

mai multor măsuri ale unei aceleiaşi mărimi x care se caută a fi estimată.

B(-1,1)

ν2

A(1,0)

ν3 C(0,-1)

← Vectorii de bază în spaţiul de paritate

υ x


230

Problema e dacă nu s-ar putea estima una din variabilele măsurate plecând de la

altele . Fie un ansamblu de măsuri yi (i=1÷m) ale unui vector y , aceste măsuri

depind de un vector x cu n componente xj (j=1÷n).

Redondanţele instantanee au ca expresie :

( )liniarcazul

nelinearcazul

ya

yyyyf

i

m

ii

mi

←=−

←=−

∑=

0

0..............

1

21

,

(570)

Unde yi este este valoarea celei de-a i măsuri.

În cazul linear vectorul de măsură y este legat de mărimea vectorilor x printr-un

model de forma :

( ) ( ) ( )1,,1, nnmm

H xy ε−−−

+=

(571)

unde : Y - vectorul mărimilor sau observaţiilor – de dimensiune m

x - vectorul necunoscutelor sau de stare de dimensiune n

H + matricea observaţiilor de dimensiune (m * n)

Vectorul de paritate este p−

;

p = υY=υε;υ fiind matricea de paritate care satisface υH=0 (572)

Condiţia de existenţă a lui ν este ca numărul de măsuri m să fie superior

dimensiunii n a lui x .

Matricea ν posedă următoarele proprietăţi :

• posedă m-n linii linear independente , rangul său fiind egal cu m-n

• vectorii linii ai matricei ν sunt ortogonali vectorilor coloană ai lui H şi

formează o bază în spaţiul de paritate de dimensiune m-n

• matricea ν nu este unică deoarece există o infinitate de moduri de a

găsi o bază în spaţiul de paritate .


231

Descompunerea vectorului de măsură ε−−−

+= xy H în cazul proiecţiilor ortogonale:

yyy H−−−

+= ν în cazul protecţiilor ortogonale (573)

Fie H spaţiul descris de vectorii coloană ai matricei H şi ν spaţiul descris de vectorii

linie ai matricei ν

Fig. 131

Vectorul hxx i

n

iiH ∑

=−

=1

aparţine spaţiului H de dimensiune n ,iar vectorul de

măsură y−

aparţine lui Rm care se descompune în două spaţii complementare H şi

ν , cu ν spaţiul ortogonal a lui H.

Vectorul y−

se descompune în doi vectori prin proiectare pe spaţiile H şi ν.

yyy H ν−−−

+= (574)

H

yH

ε

yν

Hx

υ

Y

Yz


232

( )

( ) yHHHy

XyHHHyT

T

THI

HTHH

−

−

−

−−

−

−

−=

==

1

^1.

ν

(575)

Condiţiile pentru ca cele m-n ecuaţii de paritate să fie independente şi ca liniile lui ν

să fie ortonormate ( )IT =νν conduc la alegerea lui ν astfel ca :

( ) HHHHI TT T 1−

−=νν (576)

pentru alegerea lui ν astfel :

pyy TTT

−−−

=== ννννν εν (577)

Vectorul de paritate se deduce printr-o relaţie în spaţiul ν . Aşadar redondanţa statică exploatează relaţiile între valorile instantanee sau stabilitate ale observaţiilor unui sistem fapt ce permite ca ieşirea de la un traductor să poată fi reconstituită plecând de la informaţiile primite de la alte traductoare. Variaţiile reziduului pot fi datorate : - fie unei defectări de traductor - fie unei degradări a sistemului. Redondanţa statică nu se aplică la detectarea defectelor elementelor de acţionare . III.3.6. REDONDANŢA DINAMICĂ

Acest tip de redondanţă se realizează prin cercetarea relaţiilor integro-diferenţiale între măsurători . • În reprezentare cantitativă este o redondanţă între măsuri şi derivatele lor.

• În reprezentare discretă este o redondanţă între valorile discrete prezente şi

trecute ale măsurătorilor

Expresia generală a relaţiilor de redondanţă dinamică se scrie :

( ) ( ) 01111

=−+− ∑∑∑∑====

jkjk uy jj

ij

m

ij

jij

m

iβα (578)

yi(k) – măsura celei de-a i observaţie la momentul k

ui(k) – măsura celei de-a i intrare la momentul k

αij, βij – coeficienţi de relaţie


233

Formularea discretă este mai apropiată de implementarea numerică pe

calculator .

Se disting două tipuri de redondanţe dinamice :

Autoredondanţă

Interredondanţă

Autoredondanţa priveşte redondanţa unui traductor vizavi de el însuşi în cadrul

acesteia intervin numai valorile prezente şi trecute ale unui aceluiaşi traductor.

Interredondanţa leagă informaţiile provenind de la mai multe traductoare.

Pentru înţelegerea acestora este necesară introducerea noţiunii de spaţiu de paritate

generalizată.

III.4. SPAŢIUL DE PARITATE GENERALIZATĂ

În cadrului spaţiului de paritate generalizată se apreciază cu mărimile discrete.

Fie :

( ) ( ) ( )

( ) ( )kHk

kGkFk

xyuxx

−−

−−−

=

+=+ 1

(579)

x−

- vectorul de stare de dimensiune n

u−

- vectorul intrărilor

y−

- vectorul de măsuri de dimensiune m

F, G, H – matrici ale sistemului de stare discret

Sistemul de stare integrat pe orizontal [ k , k+1] dă :


234

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )ikkrk

ikkrk

uGFHxFHy

uGFxFx

r

i

irr

r

i

irr

++=+

++=+

−

−

=

−−

−−

−

−

=

−−

−−

∑

∑

1

0

1

1

0

1

(580)

Fie :

( )

( )

( )

( )

( )( )

( )

−+

+

+

=

+

+

−

−

−

−−

−

−

−

1..

1

*

.......

...

..

..

*..

.

.

1

21

000000

rk

k

k

rk

k

k

u

uu

HGHFHF

HGHG

kx

FH

HFH

y

yy

rrr

(581)

iar în prezenţa zgomotelor :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ε−−−−

++= rkrkrrk uGxHy ,, (582)

Relaţiile de redondanţă sunt obţinute prin multiplicarea sistemului cu matricea de

paritate Ω cu condiţia ca :

( ) 0=Ω rH (583)

H(r) – fiind matricea de observabilitate.

Ecuaţia de paritate generalizată are forma generală :

( ) ( ) ( ) ε−−−

ΩΩ =

−= rkrGrky up ,, (584)

Toate aceste ecuaţii nu sunt independente mai ales dacă fereastra de observabilitate

[k , k+r] este prea largă.


235

III.5. DETECŢIA ŞI DIAGNOZA

III.5.1. ETAPELE PROCEDURII DE DETECŢIE – DIAGNOZĂ III.5.1.1. TOLERANŢA LA DEFECTĂRI

Sistemele tolerante la defectări sunt sistemele care-şi pot continua execuţia corectă a funcţiilor lor de intrare – ieşire în prezenţa unor defectări apărute în timpul funcţionării. Este foarte important ca pentru sistemele de mare răspundere funcţională

componentele acestora să fie tolerate la defectări. Din punct de vedere tehnic,

această cauză nu este uşor de realizat .

Pentru a putea funcţiona tolerant la propriile defectări , sistemele de proiectare şi

automatizare trebuie să-şi detecteze propriile defecte să localizeze aceste defecte şi

să-şi stabilească pentru mai departe structurile proprii astfel încât ele să-şi realizeze

integral sau parţial propriile facturi .

Aşadar este nevoie să-şi detecteze şi să-şi diagnostigheze dacă este posibil , ele

însele defecţiunile proprii .

Sistemele sunt caracterizate de :

• variabile de intrare

• variabile de ieşire

• variabile de stare ( acestea rezumă trecutul şi prezic viitorul imediat al sistemului)

Variabilele de intrare-ieşire sunt legate prin relaţii de tip cauză-efect. Controlul

acestor relaţii permite obţinerea de informaţii despre starea sistemului. Acesta

putându-se afla în una din următoarele trei stări :

• stare de deteriorare

• stare de defect

• stare de avarie

Este deci necesară detectarea şi diagnosticarea defectelor .Etapele procedurii

de detecţie diagnoză sunt :

• achiziţia de date ( observarea variabilelor )

• comprimarea sau reducerea informaţiilor


236

• detecţia – permite să se decidă dacă sistemul se află sau nu în stare structurală

normală

• stabilirea diagnosticului – atribuie defectul traductoarelor , organelor de comandă

a procesului

• predicţia (prognosticul ) – permite previzionarea evoluţiei viitoare

• analiza consecinţelor – indică impactul defectului asupra securităţii , calităţii

aspectelor economice

• planificarea acţiunilor – stabilirea acţiunilor de mentenanţă a reconfigurărilor sau a

acţiunilor de urgenţă

III.5.2. REDUCEREA INFORMAŢIEI Şi DETECŢIA

Reducerea informaţiei se face :

• în spaţiul de stare

• in spaţiul structurilor

Se urmăreşte mărimea reziduului rezultat din diferenţa model-sistem real .

Se compară astfel rezultatul relaţiei model şi rezultatul măsurătorii reale . Acest

rezidiu va face obiectul detecţiei.

III.5.3. DETECŢIA

Se face prin utilizarea testelor de ipoteze asupra reziduurilor şi anume : aparţine

vectorul aleator al reziduurilor la una sau alta din ipotezele HO sau H1

HO – starea bună

H1 - starea de defect

Reducerea informaţiei în spaţiul structurilor ( sau ) a parametrilor structurali poartă

numele de identificare.

III.5.4. IDENTIFICAREA

Constă în determinarea în timp real a modelului matematic plecând de la cunoaşterea semnalelor de intrare şi de ieşire. Reziduul sau distanţa (proximitatea ) dintre model şi proces se apreciază cu ajutorul

unui criteriu care trebuie minimizat .


237

Minimizarea se face fie utilizându-se metoda:

• celor mai mici pătrate simple

• sau metoda celor mai mici pătrate recursive în timp real

Astfel sunt estimaţi parametrii modului teoretic . Se asigură prin urmare o cât mai

bună conformitate între model şi procesul real .

III.5.5. TEHNICILE DE DETECŢIE

Se doreşte estimarea semnalelor observate .Tehnicile de detecţie permit aceste

estimări .

Acestea sunt :

• filtrarea clasică

• filtrarea statistică ( Filtru Kolman ) care permite determinarea stării celei mai

probabile a sistemului . Se pleacă de la ecuaţia de stare şi de la ecuaţia de

observare . Se obţin astfel :

⇒ESTIMAREA APRIORI SAU PREDICŢIA

⇒ESTIMAREA APOSTERIORI SAU FILTRAJUL

III.6. REDONDANŢA ANALITICĂ

• validează semnalele înainte , ca acestea să ajungă la blocul de decizie

• permite localizarea defectelor traductoarelor prin urmărirea vectorului de paritate

în spaţiul de paritate

III.6.1. ETAPELE CERCETĂRII MODELELOR Fig.132

Etapele cercetării modelelor sunt : • caracterizarea - sau căutarea tipului de model

SEMNALE DE INTRARE

SEMNALE DE IEŞIRE IDENTIFICARE

MODEL

MATEMATIC


238

• identificarea – corelaţia , optimizarea estimarea

• verificarea

• validarea – examinarea modelului identificat pentru alte semnale de intrare

Se urmăreşte proximitatea (distanţa) dintre modelul propus şi proces desfiinţându-se

un criteriu care trebuie minimizat.

Metoda de identificare trebuie să îndeplinească următoarele condiţii :

• să fie una în timp real

• să fie sensibilă la modificările mici ale procesului

• să aibă un timp de răspuns cât mai mic ( precocitate de detecţie )

• să perturbe sistemul cât mai puţin

Cea mai utilizată metodă de identificare este metoda modelului:

III.6.2. METODA MODELULUI

Fig.133

MODEL PROPUS (CARACTERIZAT)

EXISTĂ O

IDENTITATE DE

COMPORT. ÎNTRE

OBIECTŞI MODEL

MODIFICARE PARAMETRI

STRUCTURALI AI MODELULUI

ASTFEL ÎNCÂT SĂ → BUNA

PROCESUL POATE

FI MODELAT CU

MODELUL ALES

STOP


239

În spaţiul parametrilor vectorii de bază sunt cei n parametri ai sistemului :

a−

- vectorul parametrilor modelului

ao−

- vectorul nominal

Se urmăreşte distanţa de structură ∆s(a) şi de stare ∆E(a)

( )

−

−−=∆

−−

− aaaa MaS

T

00 (585)

M - matricea pozitiv definită:

( ) ( )

−

−−−=

∆

−−−−∫

−

ttmNmE SaStSatSa

T

0,0, (586)

Sm – ieşiri model

S0 – ieşiri obiect ( proces real )

Ieşirile modelului pot fi lineare sau neliniare

Metoda modelului

A. – În cazul ieşirilor model lineare îşi propune determinarea parametrilor modelului

prin :

a) - minimizarea distanţei de stare

b) - sau prin minimizarea distanţei de structură

a) Minimizarea distanţei de stare se face :

⇒ prin metoda celor mai mici pătrate simple

aaeS

aaeSaaeS

nn 21

2122

2111

.

.

+=

+=

+=

baVbaa

e

ee

S

SS

T

nn

−−−

+=+

=

2

12

1

2

1

1....11

.

. (587)


240

S

SS

n

.

.2

1

- vectorul observaţiilor

1....11

2

1

e

ee

n

- vectorul intrărilor

aa

2

1 - vectorul parametrilor modelului – trebuie determinat

b−

- vectorul de zgomot

Estimarea parametrului “a” se face prin minimizarea

criteriului

( )∑ −= SSy imi2 (588)

[ ] SVVVa TTay

−

−=⇒=

1^

0δδ

(589)

V – matrice formată plecând de la intrări (informaţii)

Zgomotul trebuie să fie de matrice nulă

⇒ prin metoda celor mai mici pătrate recursivă în timp real

Aceasta permite calculul parametrului â(k) când cunosc â(k-1)

estimat la momentul anterior (k-1)


241

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−−+−=

−−−

11^^^

kkkkfkk aVSaa T (590)

f(k)- vector care reglează convergenţa.

Când sistemul nu este staţionar şi se urmăreşte evoluţia

parametrilor se introduce un factor de uitare .

b) Minimizarea distribuţiei de structură

Distribuţia de structură este :

( ) ( ) ( )

−

−−=∆

−−

− aaaka kmMmkS

T

00 (591)

unde :

( ) ( )kkS SSm 0−=∆ (592)

În cazul unui proces cu o singură ieşire avem :

( )kTkS Va−−

= 0)( (593)

( )kV−

- vectorul informaţie

Parametrii sunt :

( ) ( )( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) TVMVVMSS

aan

T

m

m

kk

kkkkkm

+−

−−=+

−

−

−

−

− 1

10

1λ

(594)

λ - factor de relaxare similar factorului de uitare


242

prezentat anterior

Tn – talon pentru a menţine dispersia estimatorului

limitată

Tn ≠ 0 când avem procese comandate în buclă închisă

B. - Cazul ieşirilor model neliniare

Metoda nu se pretează pentru punere în practică în timp real.

III.6.3. ESTIMAREA STĂRII SISTEMULUI

III.6.3.1. FILTRAJUL STATISTIC

Permite determinarea stării celei mai probabile a sistemului . Semnalele de comandă

ale unui sistem pot fi murdărite de zgomote. Filtrarea clasică nu este satisfăcătoare

deoarece introduce defazaje care pot prejudicia stabilitatea sistemului. Se folosesc

din acest motiv filtrele statistice . Dacă putem avea acces la starea sistemului prin

metodele de estimare avem posibilitatea detecţiei defectelor sistemului prin

redondanţă analitică. De asemeni estimând starea sistemului prin observaţii diferite

putem testa coerenţa observaţiilor .

Deci putem astfel controla :

• starea sistemului

• starea informaţiilor pe baza cărora sistemul ia decizii ( starea traductoarelor )

Filtrajul statistic foloseşte teoria estimaţiei . Cu ajutorul său se estimează vectorul de

stare al sistemului. Filtrajul statistic modelează forma semnalului.

Fig.135

MODEL

STRUCTURĂ

LINEARĂ

Semnal

observat

Zgomot de

observaţie W(t

Zgomot de proces

l(t) Semnal util


243

III.6.3.2. FILTRUL KALMAN SAU CAPTATORUL PERFECT Un estimator este eficace dacă :

• media sa este egală cu valoarea reală

• dispersia sa tinde către zero

Se pleacă de la ecuaţia de stare şi de la ecuaţia de observare.

Ecuaţia de stare este :

wuGxFx kkkk++=

+1 (595)

iar ecuaţia de observare este :

vxHS kkk+= (696)

în care :

( )kx−

- este vectorul de stare

( )kS−

- vectorul de observare

( )ku−

- vectorul de comandă

( )kw−

- vectorul de zgomot al procesului

( )kv−

- vectorul de zgomot de măsură

F - matricea de tranziţie

G - matricea de comandă

H - matricea de observare

Fig. 136

Modelul statistic direct al semnalului dat prin ecuaţiile anterioare .

Interpretarea filtrului Kalman se face pornind de la ecuaţiile de predicţie şi filtraj.

G Z-1 H

F

wk

+

+

+

+

xk

vk

Sk uk


244

• Predicţia sau estimarea apriori se bazează pe modelarea şi construcţia

semnalului . Dacă la momentul k-1 apariţia de estimare a dat o estimare fără

abatere .

xx kkk

−=

−−− 11/1

^ (597)

estimatorul apriori următor este :

uGxFx kkkkk

11/11/

^^−

−−−

+= (598)

• Filtrajul sau estimaţia aposteriorii permite estimarea optimă a stării ţinând seama

de noile observaţii Sk conformei metodei celor mai mici pătrate simple estimaţia

optimă este o combinaţie lineară de estimaţia apriori şi noile observaţii :

SKxLx kkkkk

+=−

^^

1//

(599)

Ştiind că : vxHS kkk

+= (600)

Estimaţia optimă devine : KvxKHxLx kk

kkkk

++=−

^^

1//

(601)

Speranţa matematică (media) este :

( ) ( )vxKHMxLMxM kkkkkk

KM++

=

−

^^1//

(602)

Estimatorul apriori fiind fără abatere avem :

( ) ( )vxKHxLMxM kkkkkk

KM++

=

−−

11//

^^ (603)

fie :

( ) xKHLxM kkk+=

^

/

(604)


245

Condiţia pentru ca estimatorul să fie fără abatere este : 1=+ KHL (605) ( ) vxKHxLx kkk

kkkkK++=

−−

1/1//

^^ (606)

Cum : xHSvvxHS

kkkkk

kkk

^^1/1/ −−

−=⇒+= (607)

Avem :

( )

−+=

−−=

+ xHSKxKHLx kkk

kkkk

^^^

1/1/1

/ (608)

Deci:

−+=

−− xHSKxx kkk

kkkk

^^^

1/1//

(609)

Avem în vedere ecuaţiile de predicţie şi filtraj :

−+=

−+=

−−

−−

xHSKxx

uGxFx

kkk

kkkk

kkkkk

^^^

1^^

1/1//

1/1/

(610)

Fig.137

K

F H

uk 1−

+ -

G

MODEL FILTRARE PREDICŢIE

Z 1− x kk 1/ −

Sk

x kk 1/ −

uk 1−


246

III.8. TEHNICI DE DETECŢIE A DEFECTELOR TRADUCTOARELOR III.8.1. REZIDIUL ÎN BUCLA DESCHISĂ Fig.138 ei – mărimea de intrare

Se măsoară în permanenţă ecartul :

)(1)()(^

1 kkkr hh −= (611) adică diferenţa dintre ieşirea reală a traductorului şi ieşirea din model care este o

mărime estimată.

Deci din informaţii despre starea traductorului (este bun sau defect) în funcţie de

mărimea lui r.

III.7.2. REZIDIUL DIN BUCLA ÎNCHISĂ Dacă modelul din exemplul de mai sus este corect estimarea stării traductorului este

bună . Dar dacă modelul nu este corect? Atunci este necesară corectarea modelului.

Se procedează la utilizarea relaţiilor de construire a unui filtru KALMAN.

Fig.139

PROCES

( TRADUCTOR )

MODEL

h1 +

r

ei

h^

1

PROCES

( TRADUCTOR )

FILTRU SAU

RECONSTRUCTOR

h1 +

r−

h^

1


247

Predicţia :

( )1)1(1)(1

^^

−+−+= kkk lbhah i (612)

Estimaţia (filtrajul):

)(*)(1)(^

1 krkkk hh +−=+ (613)

cu )(1)(^

1 kkr hh −= (614) k- matricea de câştig

Rezidiul r(k) se stabilizează la o valoare constantă din cauza buclei închise în cazul

în care traductorul ar furniza o mărime abstractă .Metoda în bucla deschisă este cea

mai bună d.p.d.v. al robusteţii.

III.7.3 TEHNICA ESTIMĂRII Teoria filtrării şi estimării permite generarea funcţiilor de paritate şi filtrele de

diagnosticare asociate. Ecartul dintre mărimi şi valorile estimate este în funcţie de

zgomote şi defecte .

a. Estimarea unui ansamblu de măsură în funcţie de o singură măsură. Fig.140 Are particularitatea că defectarea măsurii utilizată pentru estimare atrage după sine o

eroare de estimare asupra tuturor celorlalte măsuri , în timp ce o defectare a oricărei

Filtru

estimator y

y

y

m

j^

^

^1

LOGICA

DE

DECIZIE

DIAGNOSTIC

Yj

Y1

Yi

Ym


248

alte măsuri nu creează ecart (reziduu) decât pentru aceea măsură , astfel

defecţiunea poate fi uşor detectată şi diagnosticată .Metoda utilizată în aeronautică

pentru observarea elementelor de acţionare (servo-valve) mai este numită şi metoda

imaginii electronice.

Fig.141 Detecţia defectului de servo-valva se face prin analiza reziduului dintre valoarea

măsurată Y şi valoarea reconstituită Y^

b. Estimarea unei măsuri în funcţie de un ansamblu de măsuri

Este soluţia opusă celei prezentate anterior de cea mai bună calitate.

Fig.142 Diagnosticarea defectelor traductorului i se face prin compararea cu valoarea

reconstituită pe baza informaţiilor primite de la alţi traductori (traductorul în cauză

fiind exclus d.p.d.v. al furnizării de mărimi către intrarea în estimator)

Metoda prezintă avantajul ca indiferent dacă una din mărimile Yj se defectează ,

concomitent cu defectarea lui Yi – defectul lui Yj este diagnosticat.

SISTEM

IMAGINE

ELECTRONIC

DETECŢIE Intrare

e(t)

Y(t)

+

-

)(^

tY

LOGICA DE

DECIZIE

DIAGNOSTIC FILTRU

ESTIMATOR

YI

Y1

Yj

Ym


249

c. Estimarea măsurilor plecând de la un ansamblu de măsuri.

De această dată traductorul în cauză este închis.

Fig.143 Toate componentele vectorului estimat sunt modificate în cazul defectării unei

singure măsuri însă abaterile determinate de defectarea unui traductor reflectate în

estimaţie sunt mult mai mici decât ale mărimii defecte ( care se deplasează în raport

cu valoarea normală) şi acest fapt se reflectă în valoarea reziduului mărimii

respective, fapt ce permite detecţia şi diagnoza defectului.

III.7.4. METODA IPOTEZELOR MULTIPLE Această tehnică presupune cunoaşterea diferitelor defecte posibile la care se

asociază diferite modele de funcţionare şi diferite ipoteze.

De exemplu :

- ipoteza Ho= fără defecte

- ipoteza H1= abaterea traductorului i

- ipoteza H2= întreruperea traductorului j

- ipoteza H3= deriva (alunecarea ) traductorului k

Problema este de a determina ipoteza Ho ,H1………… Hm plecând de la ansamblul

observaţiilor y1 ,o………… m

Diagnostic

FILTRU

ESTIMATOR

DEC

IZIE

Y1

YI

Ym

r1

ri

rm

Y1

Y i^

Y m^


250

Ipoteza reţinută din cele m ipoteze posibile este cea a cărei densitatea de

probabilitate condiţionată este cea mai mare .

Fig.144

III.8. TEHNICI MODERNE DE MENTENANŢĂ PREDICTIVĂ Asistam la o tendinţă de trecere de la strategii de mentenanţă preventivă bazate

exclusiv pe programare în timp către o strategie de mentenanţă bazată pe

fiabilitate şi stare tehnică.

La unele categorii de instalaţii/echipamente altele decât ansamblurile funcţionale,

se efectuează mentenanţă bazată pe timp şi pe stare, fundamentată pe baza

inspecţiilor tehnice periodice, a constatărilor în urma acţiunilor de mentenanţă

anterioare şi a documentaţiilor tehnice.

În cadrul mentenanţei preventive, la anumite categorii de instalaţii, se efectuează

– mentenanţă predictivă care include monitorizarea prin mijloace tehnice

speciale continuă sau periodică şi

– diagnoza cuprinzând analiza informaţiilor şi identificarea tendinţelor.

Prin mentenanţă predictivă se estimează comportarea (ulterioară) în timp a

componentelor şi se poate preveni o defectare iminentă sau probabilă.

Filtrul KOLMAN

Ho

Funcţia de verosimilitate

Filtrul KOLMAN

H1


Filtrul KOLMAN

Hm


.

MAX

Ipoteza

reţinută

Măsuril

Y−


251

• În cadrul strategiei de mentenanţă predictivă, un loc important este acordat

diagnosticării corecte a degradărilor cauzate

– pe de o parte de îmbătrânire sau uzură şi

– pe de altă parte de efectele evenimentelor accidentale care apar pe

parcursul duratei de viaţă.

• În acest context nu se ţine cont numai de precizările privind fiabilitatea

echipamentelor date de furnizor, ci de un complex de informaţii colectate şi

evaluate de specialiştii implicaţi în operare (exploatare), respectiv service.

• Tehnologiile de monitorizare şi evaluare a echipamentelor vor ocupa un loc

din ce în ce mai important pentru luarea deciziilor privind momentul optim de

intervenţie asupra echipamentelor.

III.8.1. MONITORIZAREA SI DIAGNOSTICAREA MODERNA A AUTOTRANSFORMATOARELOR (AT) III.8.1.1. MONITORIZAREA

Autotransformatoarele noi sunt dotate cu instalatii de monitorizare (de exemplu de

tip MS2000). Montarea acestora presupune pe lângă modificarea circuitelor

secundare pentru integrarea în SCADA şi realizarea comunicaţiei la distanţa cu

serverul central.

Aceasta din urma se realizează prin modem pe linie telefonică obişnuită (sau FO)

dar necesită prezenţa în staţie a unui calculator PC dedicat instalaţiei de monitorizare. Pentru aceasta se monteaza un PC în camera de comandă şi se

realizeaza circuitele de comunicatie necesare. Legătura între instalaţia de

monitorizare montată pe AT şi PC se realizeaza prin pozarea unui cablu de fibră

optică protejat prin pat de cablu. În acest fel există o legatură permanentă între

instalaţia de monitorizare şi serverul central prin care se poate urmări continuu

funcţionarea instalaţiei de monitorizare. Toate informaţiile furnizate de instalaţia de

monitorizare sunt disponibile şi pe PC-ul dedicat acesteia aflat in camera de

comandă. Este posibila şi parametrizarea software a PC-ului pentru comunicaţia la distanţă.


252

III.8.1.2. DIAGNOSTICARE PRIN MĂSURĂTORI DE TERMOVIZIUNE Una din metodele moderne de diagnosticare se realizeaza cu ajutorul camerei de

termoviziune. Funcţionând în domeniul infraroşu şi având un senzor de căldură

menţinut la o temperatură foarte coborâtă, camera detectează amprenta termică,

temperatura, oricărui obiect, în domeniul (–10) o C - 450o C, vizualizarea făcându-se

direct printr-un vizor sau pe un display, în mod alb-negru sau color (de exemplu cu

256 culori, în 9 palete cromatice).

De obicei există posibilitatea memorarii imaginii in camera sau să fie făcut stop

cadru pe o imagine ca si posibilitatea de înregistrare automată a imaginilor la un

interval reglabil de timp (de exemplu în domeniul 10 sec. – 10 ore), în cazul în care

se doreşte evoluţia în timp a temperaturii in funcţie de variaţia în timp a încărcării.

La punctele calde găsite şi înregistrate în memorie, se notează încărcarea celulei

de care aparţin la ora măsurătorii, apoi după preluarea imaginii se calculează

temperatura la care poate ajunge respectivul punct la o încărcare maximă a celulei.

Dacă din măsurătoarea iniţială cu camera de termoviziune, temperatura punctului

cald e mult mai mare decât a punctelor similare din aceiaşi celulă, acesta e trecut ca

problema care trebuie urgent de rezolvată.

Supravegherea realizată prim termometrie este o metodă deosebit de utilă

prin care se poate aprecia la momentul oportun necesitatea intervenţiei la un element

din sistem.

Astfel sunt evitate indisponibilităţi ale elementelor de sistem cu durate mari de timp.

III.9.2. DIAGNOSTICAREA UNITĂŢILOR DE TRANSFORMARE CU AJUTORUL ANALIZELOR CROMATOGRAFICE

O altă metodă ce furnizează date importante ce stau la baza deciziilor luate

pentru unităţile de transformare o constituie analiza cromatografică a gazelor

dizolvate în uleiul electroizolant din transformatoare, autotransformatoare şi bobine

de compensare:

– hidrogen,

– metan,

– oxid de carbon,


253

– dioxid de carbon,

– etilenă,

– etan şi acetilenă, folosind o seringă special construită.

Soft-urile folosite în asociere cu analizorul sunt: EZChrom, PPMreport şi TOA

(Transformer Oil Analyst).

O analiză completă a gazelor din ulei poate fi realizată în câteva minute.

Prin concepţie aparatul măsoară probe de gaze colectate cu ajutorul sondei GP-100

sau din sistemele de colectare a echipamentelor de monitorizare tip AMS-500.

Probele de ulei recoltate direct din unităţile de transformare pot fi analizate la

fel de rapid folosind metoda Shake Test.

Această metodă constă în agitarea într-o seringă tip ShakeTest a unui volum de ulei

şi unul de aer ( fără CO2 ) şi măsurarea concentraţiilor de gaze rezultate.

• Cauzele deteriorărilor care se dezvoltă în transformatoare sunt de două feluri :

– termice şi

– electrice,

Aceste cauze permit o stabilire orientativă a deteriorarilor după compoziţia gazelor

dizolvate.

• Pronosticarea se face cu ajutorul următorilor termeni consacraţi:

– ”descărcări electrice”,

– ”supraîncălzire”,

– ”supraîncălzire şi descărcări electrice

• Un alt criteriu important care stă la baza prognosticării defectelor este şi viteza

acumulării de gaze în ulei.

• Toate defectele care depind de timpul dezvoltării deteriorării, pot fi împărţite în

3 grupe :

– defect evolutiv brusc,

– defect evolutiv rapid şi

– defect evolutiv lent.


254

III.9. CUM INFLUIENŢEAZĂ INCERTITUDINEA PARAMETRICĂ OPTIMALITATEA POLITICILOR DE MENTENANŢĂ

Impactul tehnico-economic face din definiţia mentenanţei optimale o foarte importantă problemă. Scopul este de a ilustra limitele modelelor mentenanţei optimale in condiţiile aplicării acestora situaţiilor reale caracterizate de incertitudini inevitabile. În prima parte subliniem relaţiile dintre disponibilitate si entropie, apoi studiem cum complexitatea funcţională şi incertitudinea parametrică influienţează disponibilitatea sistemului marcov staţionar . În partea a doua prezentăm trei modele aplicate pentru studiul politicilor mentenanţei optimale:

1 perioada optimă pentru mentenanţa preventivă bazată pe vârsta echipamentelor 2 perioada optimă pentru testarea unui dispozitiv aflat în aşteptare 3 costul critic optim pentru reparaţia minimă

Arătăm că incertitudinile parametrilor tehnico-economici se propagă prin

modele şi diminuează acurateţea optimului teoretic. Ca şi concluzie sugerăm cercetarea unui compromis între complexitatea modelelor şi incertitudinea informaţiei disponibile. Conceptul de mentenanţă se inscrie in cadrul mai general de siguranţă in funcţionare. Astazi ea se orientează spre ceea ce numim mentenanţă bazată pe fiabilitate. Insăşi definiţia mentenabilităţii nu este înca stabilizată. Normele internaţionale definesc mentenanţa drept o combinare a tuturor acţiunilor tehnice şi administrative incluzând şi acţiunile de supraveghere in intenţia de a menţine sau restaura starea în care dispozitivul poate să-şi îndeplinească performanţele şi funcţiile cerute. Se consideră mentenanţa în relaţie cu trei funcţii generice ale Siguranţei în funcţionare

• fiabilitatea, • mentenabilitatea • disponibilitatea Este replasat conceptul de mentenanţă într-un cadru mai pertinent, cel al

politicilor de optim tehnico-economic al mentenanţei şi punerea în evidenţă a limitelor soluţiilor optimale atunci când se ţine cont de incertitudinile care afectează în mod inevitabil parametrii modelelor utilizate.

Ne propunem să arătăm cum incertitudinea poate afecta disponibilitatea sistemelor, considerând chestiunea sub doua unghiuri complementare.

Mai intîi evidenţiem pentru un sistem marcovian cu doua stări o relaţie generală între disponibilitatea şi entropia sa, care este o masură a dezordinii ataşată procesului de defectare/reparare .

Apoi printr-o extindere a sistemului cu două stări la un numar mai mare de stări se arată influienţa complexitîtii şi incertitudinii parametrilor asupra disponibilităţii.

In partea a doua se prezintă în mod succesiv trei cazuri de politici • mentenanţa, • test şi


255

• reparare care permit analizarea influienţei parametrilor tehnico-economici asupra soluţiilor optimale.

Primul caz, cel al mentenanţei preventive bazată pe varsată, coduce la determinarea unei periodicităti optimale, criteriul de respectat putând fi oricare dintre:

• disponibilitatea maxima sau • costul minim.

Al doilea caz cel al testîrii unui dispozitiv conduce la determinarea unei

periodicităţi optimale a testelor, Criteriul fiind disponibilitatea maximă . Al treilea caz constă în a alege între:

• o inlocuire şi o • reparaţie cu un cost minimal

Analiza conduce la determinarea costului critic minimal care separă cele două decizii posibile, criteriul fiind costul minimal. Perspectivele care se deschid privesc utilizarea conjugată a:

• modelelor simple si robuste şi • a metodelor care ţin cont de propagarea incertitudinii parametrilor,permiţând

evaluarea eficacităţii economice reale a politicilor optimale reputate.

Intr-un sistem markovian cu doua stări se scriu relaţiile între fiabilitate, entropie si disponibilitate. Disponibilitatea putând fi influienţată de mentenanţă. Se creşte numărul de stări, deci complexitatea şi se poate arăta cum incertitudinile parametrilor se propagă şi afectează disponibilitatea. III.9.1. DISPONIBILITATE ŞI ENTROPIE

• Entropia informaţiei în sens Shanon are expresia: (615)

(616)

Pentru un sistem Markov simplu cu două stări mutual exclusive, una de bună foncţionare şi alta de defectare, entropia sa se scrie:

(617)

( ) ( )i

ni

iin pLnppppH ∑

=

=

−=1

21 ),...,(

( )∑=

=

=ni

iip

11


256

Probabilitea (p) este cea de buna foncţionare . Entropia este o funcţie convexă şi simetrică care posedă un maxim unic şi

care coresponde la:

(617)

(618)

Obiectivul constă în atingerea unei disponibilităţi cât mai aproape de unitate,

ceea ce în termeni de fiabilitate se scrie :

(619)

Mentenananţa nu intervine ea nefiind decât un mijloc de ameliorare a

disponibilitătii.

III.9.2. COMPLEXITATE ŞI INCERTITUDINE

Creştem complexitate considerând un sistem cu patru stări:

• Starea de bună funcţionare: depinzând de timpul mediu de bună funcţionare

(Tf), sistemul apoi defectându-se

• Detecţia având durata (Td),

• Identificarea având durata (Ti)

• Reparaţia caracterizată de durată (Tr), după care sistemul redevine funcţional

• Disponibilitatea sistemului se scrie:

(620)

• Valoarea medie a disponibilităţii (Di) variază, în funcţie de numărul de stări i

(621)

• Coeficientul de variaţie al disponibilitaţii variază după relaţia :

0=∂∂ pH

( ) ( )2/1== pHpMaxH

( )HR −= exp

( ) ( )[ ]frid TTTTD +++=− 111

iDi 1=( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]pLnppLnppH −⋅−+⋅−= 11


257

(622)

Dacă CV este inferior lui 15%, lucrurile se complică .

Se pot interpreta separat aceste relaţii funcţie de numărul stărilor , deci funcţie

de complexitatea funcţională a sistemului.

Se constată descreşterea valoarii disponibilităţii în raport invers cu numărul de

stări deci cu complexitatea sistemului markovian considerat

Intrucat apar in plus:

- duratele de reparaţie,

- duratele de detecţie şi de

- identificare a defecţiunilor .

• Variabilitatea disponibilităţii descreşte atunci când complexitatea sistemului

creşte .

• Se poate spune că cu cât disponibilitatea unui sistem este mai ridicată cu atât

ea este mai incertă.

• Este deci justificată luarea în consideare a icertitudinii parametrice la

efectuarea calculelor de performanţă functională bazată pe observarea

comportamentului trecut sau pe proiectarea comportamentului viitor (aspecte

previzionale) .

III.9.3. MENTENANŢĂ PREVENTIVĂ BAZATĂ PE VÂRSTĂ

Se consideră un dispositiv având rata de defectare instantanee h(t) care

corespunde, de exemplu, la un model Weibull .

• definit printr-un parametru de scală η (cf:durata de viaţă caracteristică) şi

• un parametru de forme β (cf: intensitatea de uzură )

( ) ( )1−≈ iiCVi


258

Modelul Weibull:

(623)

Politica de mentenanţă bazată pe vârstă constă în:

• Pe de o parte în restabilirea periodică a fiabilităţii dispozitivului

• Iar pe de altă parte în repararea sa de câte ori apare un defect

• Costul mentenanţei preventive periodice este net inferior celui de reparaţie

care este dependent de gravitatea defectului

Acest model este interesant căci el permite:

• Pe de o parte calcularea unei periodicităţi optimale în funcţie de parametrii

technico-economici,

• Iar pe de altă parte face posibilă corespunderea criteriului de optimalitate la un

cost minimal sau la o disponibilitate maximală

• Periodicitatea optimală (T*) este soluţia unică a ecuaţiei :

(624)

Unde :

• h(t) – Rata de defectare

• R(t)- Funcţia de fiabilitate (supravieţuire) ;

• (r) – raportul (inferior unităţii) între costul de mentenanţă şi de reparaţie

(parametru economic).

Relaţia (547) ia forma particulară, (rel. 548):

Unde erf (u) este funcţia eroare

(625)

Pentru un raport al costurilor inferior lui 1/3 perioda optimală devine :

( ) ( ) ( ) 1−⋅= βηηβ tth

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ −=⋅⋅+*

0

** 11T

rdttRThTR

( )[ ] ( ) ( ) ( )rTTerfT −=−+⋅⋅ 11]exp[ 2*** ηηηπ


259

(626)

III.9.4. INFLUIENŢA INCERTITUDINII PARAMETRICE Perioda optimală este o funcţie non lineară a doi parametri: • unul technic (cf: durată de viaţă caracteristică a dispozitivului ) şi • altul economic (cf: raportul costurilor),

Determinăm variabilitatea periodei optimale în funcţie de cele două variabile:

Cu coefficientul de variaţie inferior lui 30%, cel al periodei optimale se scrie

relaţia :

(627)

• Daca parametrul economic est determinat atunci incertitudinea

care afectează perioda optimală este cea a parametrului η , adică cea a

duratei de viaţă medii a dispozitivului.

In mod reciproc dacă parametrul tehnic este dominant incertitudinea

perioadei optimale este cam jumatate din cea a parametrului economic (raportul

costurilor).

• In cazul unui dispozitiv având:

Parametrii technici :

Parametrii economici :

Perioda optimală T* devine : &

Practic putem alege :

( )rrT −⋅≈ 1* η

( ) ( ) ( ) ( )]411[ 222*ηη CVCVCVCVTCV rr +⋅+⋅≈

( )0=rCV

≈== anMTTFh 1;2;000,10 βη %10=ηCV

( ) %20&5/1 == rCVr

( ) 21* ≈ηT ( ) 21* ≈ηT


260

• Perioda optimală într-un interval de 6 la 8 luni, in jurul optimului teoric egal cu

7 luni.

• Se poate deci conclude că incertitudinea parametrică degradează optimul

tehnic

Asta justifică faptul că perioada optimă (in general optimul tehnic) se

poate alege:

• nu punctual ci

• într-o plajă a cărei intindere depinde statistic de coeficientul sau de variaţie.

Notăm:

• (Tt) perioda de test,

• (Ta) durata medie de defectare,

• (Tr) durata medie de reparare

• (p) probabilitatea ca dispozitivul sa nu raspunda la solicitari.

Indisponibilitate medie (I) ca suma a doua indisponibilitati partiale:

• una corespunzatoare regimului de asteptare

• Si alta depinzand de procedura de testare

(628)

Perioda optimală de test (Tt*) poate fi obţinută:

• Cercetând disponibilitatea maximă

• Sau indisponibilitatea minimă

(629)

• In mod practic este destul de dificilă cunoaşterea cu precizie a celor trei

parametri care determină perioada optimală de testare.

• Fiabilitatea fiind foarte ridicată valorile observabile nu sunt foarte semnificative

• In termeni statistici esenţiali sunt :

- cazul duratei de defectare

( ) ( ) ( ) ( )[ ]atrtr TTTTTpI /2++⋅=

( ) ( ) ( ) ( )art TTpT ⋅⋅⋅= 2*


261

- şi într-o mai mică masură probabilitatea de a nu raspunde la

solicitare

• Se poate calcula coeficientul de variaţie al perioadei optimale prin propagarea

incertitudinii parametrilor :

(630)

• Pentru cazul prac al unui grup diesel valorile sunt destul de realiste :

- Durata de reparare aprox 2 zile

- Durata dintre defectări aprox 1 an

- Aprox. 2 refuzuri la 100 de sollicitări

Perioada optimală rezultă:

(631)

• Testele se pot realiza cu o periodicitate săptămânală Tt = 168 h , valoare

care constituie o limită superioară.

III.9.5. CRITERIUL DE REPARARE MINIMAL

Pentru echipamentele energetice foarte costisitoare politicile de mentenanţă

trebuie să determine o disponibilitate foarte ridicată.

Daca avem un defect major :

• fie se repară echipamentul

• fie se inlocuieşte

Alegerea optimului între aceste două strategii rezultă din considerente tehnico

economice :

- o reparaţie minimă avand costul (Cr) sub o valoare critică (Cc*), limitată

superior de costul de înlocuire (Cn), egal cu preţul dispozitivului nou.

( ) ( ) 222* 21 part CVCVCVTCV ++⋅≈

( ) ( )%10&50 == rr CVhT( ) ( )%30&000,10 == aa CVhT( ) ( )%20&%2 == pCVp

( ) ( )%19&141 ** ≈≈ tt CVhT


262

Ne bazam pe doua ipoteze :

• una de natură technică (cf: fiabilitate dispositivului ),

• alta economică (cf:costul reparaţiei)

III.9.6. DETERMINAREA COSTULUI CRITIC OPTIMAL

• Conform Weibull fiabilitatea R(t) este :

(632)

• Funcţia de repartiţie exponenţială este:

(633)

• Costul critic optimal este soluţia ecuaţiei nelineare:

(634)

• Costul critic se scrie ca limita asimptotică;

(635) • Sau mai general:

(636)

• Se poate remarca că dacă se cunoaşte costul de înlocuire (Cn) (parametrul de

formă al distribuţiei Weibull) , incertitudinea sa se repercutează direct asupra

costului critic optimal.

• Exempul unui generator de mare putere

Coeficienţii de variaţie, ai costului critic optimal:

( ) ( ) ]exp[ βηttR −=

( ) ( )[ ]0exp1 rrr CCCF −−=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0]exp1[1 0*

0* =+−⋅⋅−+− rcrnc CCCCC β

( )βnc CC ⇒*

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]1exp111 0* ⋅−+⋅−+≈ ββ rnc CCC


263

(637)

- (K’,K”) sunt constante :

• Precizia este acceptabilă dacă coeficienţii de variaţie sunt inferiori lui 20 % .

• Coeficientul de variantă a costului critic ia forma:

(638)

Valorea optimală a costului critic:

(639)

• Coeficientul de variantă correspunzator :

(640)

Se observă:

• Dispersia semnificativă a costului critic în jurul valorii sale medii

• Incertitudinea care poate fi exploatată in sensul introducerii în procesul de

decizie a unor noi criterii (întarzierea reparaţiei, nivelul de pregătire a celui

care repară etc) Modelul reparatiei minime este mai elaborat decat primele două :

• metoda bazată pe vârstă şi

• metoda bazată pe testare

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]222* 1''' ββ CVCVKCVKCCV rc +⋅⋅+⋅≈

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]222* 116/1 ββ CVCVCVCCV rc +⋅⋅+≈

( )359.0* ≈cC

( ) %5.11* ≈cCCV


264

IV. ANEXA PROBABILITĂŢI

Fie un câmp de evenimente Ω, K şi o funcţie P : K → R care satisface - P(A) ≥ 0 pentru ∀ A ∈ K - P(Ω) =1 Dacă A , B ∈ K şi Φ=BA aaa

atunci –

)()()( BPAPBAP += (641)

se numeşte probabilitate Tripletul Ω, K , P se numeşte câmp borelian de probabilitate Dacă

P : K → R şi dacă Ai ∈ K şi Φ=AA ji ji ≠

Atunci :

( ) )(∑= APAP ii (642)

Probabilitatea P satisfăcând deci condiţiile : - P(A) ≥ 0 - P(Ω) =1 - Φ=AA ji

ji ≠ (evenimente incompatibile)

- ( ) )(∑= APAP ii __ se numeşte probabilitate complet aditivă. (643)

În acest caz tripletul Ω, K , P se numeşte câmp de probabilitatea Dacă - Φ≠AA ji

(evenimente compatibile)

- ( ) )(∑≠ APAP ii (644)

- )()()()( BAPBPAPBAP −+= (645)

PROBABILITĂŢI CONDIŢIONATE

Fie Ω, K , P un câmp borelian de probabilitate şi A,B ∈ K cu P(A) ≠ 0 , Expresia

⇒ ( ))()( APBAPPA

BP B

==

(646)


265

se numeşte probabilitatea evenimentului B condiţionată de evenimentul A. Proprietăţi :

- ( ) 0≥BPA (647)

- 1=

ΩAP (648)

- Φ=AA ji ji ≠ (649)

- ( ) ∑

=

AAAP i

iA (650)

- )(

)(AP

BAPABP

=

( ) 0/0)(0)(

0(≥⇒

≠

>

>

ABPAPAP

BAP (651)

- ( ) ( )1)(

)()(

====

ΩΩΩAPAP

APAPPAP AA

(652)

- ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )

∑∑∑

===

==

=

−

AA

APAAP

APAAP

APAAP

APAAP

APAAP

AAP ii iiiii

)()()()()(

(653)

FORMULA PROBABILITĂŢII TOTALE

Fie evenimentele Ai incompatibile şi P(Ai) ≠0 Este adevărată relaţia:

( )

∑=

AAPAAP

ii i *)( (654)

Ştim că : ( ) )()()(

* APAAPAAP

APAAP

AAP i

ii

ii

=⇒=

(655)


266

Sumând avem :

( )

= ∑∑APAA

PAAPi

ii)(

(656)

Dar ,

( ) ( )[ ] ( )[ ]

( ) [ ] )(APAPAAPAAPAAPAA

i

ii i

==

⇒==

Ω∑∑

(657)

deci ,

( ) )(* APAAPAP i

i

= ∑ (658)

adică ,

( )∑

=i A

APAPAPi

i *)( (659)

PROBABILITATEA INTERSECŢIEI A “n” EVENIMENTE Dacă - Κ∈Ai

şi Φ≠

−

=

1

1

n

iiAP (660)

atunci ( )

=

−= AAA

APAAAPA

APAPAPn

nn

ii

12121

3

1

21

1 ............** (661)

Demonstraţie – Metoda inducţiei complete Pentru n=2 avem

( ) ( )

=

AAPAPAAP

1

221 *1 evident din formula probabilităţilor condiţionate

p. Pn-1 adevărat ,

demonstrăm n

( )

−

−

=

−

=

AAAAP

AAPAPAP

n

nn

ii

221

1*......

.....1

21

1

1

(662)

Serie:


267

Demonstraţie

=

−

=

−

= AAPAP n

n

ii

n

ii

1

1

1

1

(663)

Dar ,

( ) ( )

=⇒=

ABPAPBAPAP

BAPABP *)()(

(664)

Deci,

=

=

−

−−

=

−

=

−

=

AAAAPAA

APAAPAP

AAPAPAAP

n

nn

ii

nn

ii

Bn

A

i

n

i 221

1

21

3

1

2211

1

1

1

1

1 .....*** ....)( (665)

Deci,

( )

=

−−

−−

= AAA

APAAAAPA

PPAPAPn

n

n

nn

ii

121221

1

1

21

1

1 ....*

.........* (665’)

FORMULA LUI BAYES

Fie evenimentele Ai∈K şi ∪ Ai = Ω , P(Ai) ≠ 0 incompatibile două câte două ⌡ Dacă A∈K este un eveniment pentru care P(A) ≠ 0 atunci are loc relaţia :

( )∑

=

AAPAP

AAPAP

AAP

ii

jj

j

*

*)( (667)

Avem ,

( ) ( )

( )

==

=⇒=

⇒ AAPAPAAP

AAPAPAAPAP

AAPAAP

jj

jj

jj

j *

*

)(

)()(*

(668)

Formula probabilităţii totale :

( ) ( )

= ∑ A

APAPAP i * (669)


268

Deci ,

( )∑

=

AAPAP

AAPAP

AAP

ii

jj

j

*

*)( (670)


269

BIBLIOGRAFIE

ABB 96 - Buyer’s Guide 96/97 vol 2 Protection , Monitoring and control ABB - 1996 ALLA 82 - R.N. Allan - Terminal effects and protection sistem failurs in composite system reliability

evoluation - IEEE - Transaction on Power Apparatus and systems, vol.. Pass - 101, No.12,

December 1982

ALLA 94 - Ronald Allan, s.a…Effect of protection system on bulk power reliability evoluation - IEEE

Transaction on Power System, vol.9, No.1, February 1994

ANDE 84 - P.M. Anderson - Reliability modeling of power systems - IEEE - Transmision on Power

Apparatus and Systems, vol.PAS - 103, No.8, August 1984

ANGE 80 - Ion Angeloiu, ş.a., Introducere în sisteme tehnice, Editura militară, Bucureşti, 1980

BADE 73 - I Badea , Gh. Broşteanu , I Chenzbraun, P. Columbeanu Protecţia prin relee şi

automatizarea sistemelor electrice Ed.Tehnică Bucureşti 1973

BARO 88 - T.Baron,Al. Isac-Maniu şi alţii Calitatea şi fiabilitatea - manual practic voi.1şi 2 Ed.Tehnică

, Bucureşti 1988

BAST 82 - Patrik Bastard s.a…The technique of finite-impuls-response filtering applied to digital

protection and control of medium voltage power system IEEE Transactions on Power Delivery

vol.7 nr.2 aprilie 1982, pag. 620

BOIS 93 - Boisseau C, Tautin P - Evaluation monitoring method applied to instrument transformers

Electricite de France, mai 1993 pag.21

CAR 94/1Cârlan Probleme de optimum în ingineria sistemelor tehnice, Editura Academiei Romane,

Bucureşti, 1994

CAR 94/2 - Miltiade Cârlan, Curs de fiabilitate, CFP -RENEL, Bucureşti, 1994

CARL 91 - Carlos A.Dortolina 2.s.a …, An aproche for explicity modelyng the protective relaying

sistem in substation reliability evoluation studies - IEEE. Transmitions on Power Systems

vol.6, Nr.4, november 1991pag.1373

CATA 93 - V.Catania A Modular-Network Architecture for Performance Enhancement in Extended

Local Area Network, IEEE Transaction on Reliability, vol. 42, No. 1, 1993, pag. 50 CATU 85 - V.Cătuneanu, I. Bacivarof Fiabilitatea sistemelor de telecomunicaţii, Editura militară,

Bucureşti, 1985

CATU 89/1 - V.Cătuneanu, A. Bacivarof Structuri electronice de înaltă fiabilitate, Editura militară,

Bucureşti, 1989

CATU 89/2 - V.Cătuneanu, Florin Popentiu, Optimizarea fiabilităţii sistemelor, Editura Academiei RSR,

Bucureşti, 1989

CĂTU 97 - Vasile Cătuneanu TQM, Metodă şi tehnică de bază în aplicarea ingineriei convergente în

intreprinderile industriale - FRPC & ROMCONTROL SA Simpozionul COMPETITIVITATE ŞI

PROFIT PRIN CALITATE , mai 1997

CHIAN 91 - Shih-Chian Yang Reconfigurable Fault Tolerant Network for Fast Packet Switching, IEEE

Transaction on Reliability, vol. 40, No. 4, 1992, pag. 476


270

CONS 92 - Cristian Constantinescu Predicting Performability of a Fault/Tolerant Microcomputer

for Process Control, IEEE Transaction on Reliability, vol. 41, No. 4, 1992, pag. 558 CRT 94 - Gh.Cârţină. Gh. Georgescu, M,Gavrilas, Claudia Boiciu Retele neuronale artificiale si

sisteme expert in energetica Editura “Gh.Asachi” Iasi 1994

DESP 95 - Philippe Despiney La surveillance des reducteurs de mesure, RGE-Revue general de

l’electricite, nr .4 aprilie 1995 pag.42

DOTL 92 - G.Dotlic, M.Petrovic s.a… Aquisition and statistical analysis of protection devices and

automatic reclasers operating data - CIGRE, Septembrie 1992 Paris

ERNA 93 - M. Ernault, A. Giard, B. Meyer, P. Pauciatici -Security studies at the planning

stage:influence of severe incidents on the stability of the French power sistem, Electricite de

France, septembrie 1993 pag.9

FERB 94 - P. Ferbach - Path planning for mentenance operations Electricite de France, august 1994

pag.40

GAL-94-Stelian Alexandru Gal .Protecţia de distanţă digitală pentru sistemele electroenergetice

Teza de doctorat UP Timişoara, 1994

GEBA 84 - T.Gebar s.a… Fiabilitatea şi mentenabilitatea sistemelor de calcul, Ed. Tehnică,

Bucureşti, 1984

HAZI 96 - Hazi Gh. Considerarea caracteristicilor statistico-probabilistice în optimizarea regimurilor

sistemelor electroenergetice Teza de doctorat UT Iaşi, 1996

HONG 93 - J.S. Hong , C.H. Lie Joint Reliability-Importance of Two Edges in an Unidirected Network,

IEEE Transaction on Reliability, vol. 42, No. 1, 1993, pag. 17 IEEE 91- On Reliability of Expert Systems, IEEE Transaction on Reliability, vol. 40, No. 4, 1991, pag.

408 IEEE 92/1 - A comparativ evoluation of Four System Level Diagnosis Strategies for Hypercubes, IEEE

Transaction on Reliability, vol. 41, No. 1, 1992, pag. 26 IEEE 92/2 - Optimization Models for Selection of Programs Considering Cost & Reliability, IEEE

Transaction on Reliability, vol. 41, No. 2, 1992, pag. 281 ILYN 92 - Ilynichnin s.a…, Service exponence and field tests summarizing the protection and devices

improvement in EHV - UHV transmitions, CIGRE septembrie 1992 Paris

IOFI 79 - B.I.Iofiev Comanda automată în caz de avarie a sistemelor electroenergetice Ed.

Tehnică Bucureşti 1979

INST 92 - Instrucţiune privind executarea lucrărilor de exploatare şi reparaţii capitale ale fondurilor fixe

energetice din gestiunea filialelor de reţele electrice (uz intern) Decizia DGTDEE

nr.115/1992

IVA 92 - Cornelia Ivaşcu, Automatizări şi protecţii prin relee în sistemele electroenergetice, vol. II,

Universitatea Tehnica din Timişoara 1992

IVAS 81 - D. Ivas Fiabilitate în energetică - Pentru uzul studenţilor U.T. Iaşi 1981

IVAS 94 - D. Ivas , F. Munteanu Modelling of circuit-breakers as Multifunctional and Multivalent

Elements in Reliability Calculations for H V Installations Proceedings of The


271

International Conference “Towards a Sustainable Energy Efficiency ”Neptun ,România ,June

1994

LEVI 92 - Levkov V -State of the art on fault tolerant real time distributed sistems Electricite de

France, iunie 1992 pag.43

LI 92 -Li Duan , Iacov Y Haimes A Decomposition Method of Optimization of Large-System

Reliability, IEEE Transaction on Reliability, vol. 41, No. 2, 1992, pag. 183 LIMN 91 - Nicolaos Limnios Arbre de defaillance Edition Hermes Paris 1991 pag.44

LOVE 79 - Daniel I Lowe Failure aualysis of low voltage power aud control circuits Sesion

Member IEEE Beehtel Power Corporation vos Angeles , California 1979

MIHA 97 - Adrian Mihalache Sisteme fractal de asigurare a calităţii FRPC & ROMCONTROL SA

Simpozionul COMPETITIVITATE ŞI PROFIT PRIN CALITATE Bucureşti mai 1997

MIHO 76 Gh. Mihoc Bazele matematice ale teoriei fiabilitãţii Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică

Bucureşti 1976

MIHO 80 - Gh. Mihoc ,I.Micu,Teoria fiabilităţii şi statistică matematică Editura Didactică şi Pedagogică

Bucureşti 1980 MOR 92 - Allain Moriu G -Action methodology for dependability studies of sistems, Electricite de

France, iulie 1992 pag.80

MOS-92-Mosneron Dupin F- Human factors of safety:a few landmarcs Electricite de France, iunie

1992 pag15

MROC 91-R.S.Mroczkowski, J.M. Maynard Estimating the Reliability of Electrical Connectors, IEEE

Transaction on Reliability, vol. 40, No. 5, 1991, pag. 507 MUNT 95 - F. Munteanu Contribuţii privind metodele şi tehnicile de analiză a fiabilităţii structurii şi

regimurilor de funcţionare a subsistemelor de distribuţie a energiei electrice - Teză de

doctorat - UT Iaşi 1995

MUNT 97 - F. Munteanu, D.Ivas, Ioan Viziteu, Nodal reliability equivalent Concept for Voltage

Perturbations Analysis in Power Distribution Networks, PMAPS International Conference -

Vancouver Canada 1997

NITU 80 - V.I. Nitu , C. Ionescu Fiabilitatea în energetică Editura Didactică şi Pedagogică , Bucureşti

1980

NITU 81 - V. Nitu , C. Mingiuc, P Nitu Fiabilitatea şi securitatea centralelor nuclearo-electric E.S.S.E.

Bucureşti 1981

PE 88 -PE 116-2/88 - Instrucţiuni de încercări şi măsurători la instalaţiile de automatizare a părţii

electrice din centrale şi staţii ICEMENERG Bucureşti 1990

PE 94 -PE 116/94 - Normativ de încercări şi măsurători la echipamente şi instalaţii electrice

ICEMENERG Bucureşti 1995

PE 95 -PE 013/95 Normativ privind metodele si elementele de calcul al siguranţei în funcţionare a

instalaţiilor energetice Icemenerg Bucureşti 1995

PERS 95 - Ron Perso Utilizare Excel pentru windows Tenora 1996

PHIL 92 - Phillipe Guuinic La fiabilite previsionnelle en electrotechnique, RGE-Revue general de

l’electricite nr .8 septembrie 1992, pag.4


272

POEA 87 - Alexandru Poeată , Gh. Georgescu Conducerea automată a reţelelor electrice de

distribuţie ENERG nr.3/1987

POEA 90 - Alexandru Poeată Observabilitatea şi controlabilitatea instalaţiilor electroenergetice Al X-

lea simpozion - Siguranţa în funcţionare a instalaţiilor energetice Bacău 1990 POPO 88 - Alexandrescu A. Popovici Proiectarea securităţii sistemelor complexe Editura Ştiinţifică şi

Enciclopedică , .Bucureşti 1988

ROT 97 - Dan Rotar, Teza de doctorat Contribuţii privind optimizarea circuitelor de comanda ale

motoarelor pas cu pas prin implementarea acestora cu microprocesor, UT Iaşi 1997

SEEH 91 - H.Seehase, A Reliability Model for Connector Contacts, IEEE Transaction on Reliability,

vol. 40, No. 5, 1991, pag. 513

SHEN 91 - K.Shen The Effectiveness of Adding Standby Redundancy of System and Component

Level, IEEE Transaction on Reliability, vol. 40, No. 1, 1991, pag.53 SING 80 - C.Sing, A.D. Patton - Models and concepts for power system reliability evaluation including

protection - system failures. Electric Power and Energy Systems nr.4 1980

STAN 82 - Florin Stanciulescu, Dinamica sistemelor mari, Editura Academiei RSR, Bucuresti,

1982

SULT 92 - Sultanem F, Erhard P - La simulation temps-reel a EDF pour le test des protections et des

regulateurs de tension, Electricite de France, martie 1992 pag. 28

TARC 89 - C. Târcolea , A.Filipoiu , S.Bontaş Tehnici actuale în teoria fiabilităţii Editura Ştiinţifică şi

Enciclopedică .Bucureşti 1989

TEOD 88 - Dan Teodorescu Automatizări microelectronice Ed.Tehnică Bucureşti 1988

TODO 89 - Ioan Todoran Răspunsuri posibile - Corelaţie şi prognoză Ed.Dacia - Cluj Napoca 1989

VIZI 85 - Ioan Viziteu - Solutie pentru cresterea sigurantei în functionare a retelelor de medie tensiune

cu neutrul tratat prin bobina de stingere Al- VIII-lea simpozion “Siguranta în functionare a

instalatiilor energetice - Curtea de Arges - iulie 1985

VIZI 87/1 - Ioan Viziteu, Georgeta Viziteu - Folosirea indicatorilor de siguranţa a nodurilor de sistem

pentru determinarea probabiliăţii de asigurare a unei anumite puteri pe barele nodurilor - Al IX-

lea simpozion - “Siguranţa în funcţionare a instalaţiilor energetice”-Iasi - octombrie 1987

VIZI 87/2 - Ioan Viziteu - Contribuţii privind interpretarea corecta a diagramelor vectoriale a protectiilor

de distanta - A VII-a sesiune de comunicări tehnico-ştiinţifice - “Producerea transportul şi

utilizarea raţionala a energiei”- Suceava, 1987

VIZI 88/1 - Ioan Viziteu - Consideraţii privind intreruperea circuitelor de curent Simpozionul Naţional al

Reţelelor Electrice - ediţia a V-a vol.II Cluj Napoca 1988

VIZI 88/2 - V.Nasturas ,V. Munteanu , Ioan Viziteu, Gh. Şchiopu - Consideraţii privind introducerea

protecţiei de rezerva a barelor de medie tensiune în staţiile de transformare- Simpozionul

Naţional de Reţele Electrice - ediţia a V-a, vol. II, Cluj-Napoca 1988

VIZI 88/3 - Ioan Viziteu - Dispozitiv pentru conectarea şi deconectarea automată a bateriilor de

condensatoare - Certificat de inovator nr.3116

VIZI 88/4 - Ioan Viziteu - Dispozitiv pentru sesizarea întreruperii circuitelor de curent - Brevet RSR

94570


273

VIZI 90/1 - Ioan Viziteu, Roşu Sandu Gh.- Consideraţii privind creşterea fiabilităţii protecţiei cuplelor

realizată cu relee de distanta româneşti- Al X-lea simpozion “Siguranţa în funcţionare a

instalaţiilor energetice” Bacau - 1990

VIZI 90/2- Ioan Viziteu, Stefan Fratila, Rosu S.Gh. - Creşterea siguranţei în funcţionare a instalaţiilor

prin modificarea organului de direcţie a protecţiilor de distanta RD 110 - Al X-lea simpozion

“Siguranţa în funcţionare a instalaţiilor energetice”- Bacau - 1990

VIZI 90/4 - Ioan Viziteu, Rosu S. Gh. - Consideraţii privind verificarea locatoarelor de scurtcircuite linii

(LSL) -Al X-lea simpozion -“Siguranţa în funcţionare a instalaţiilor energetice”- Bacau - 1990

VIZI 90/3 - Ioan Viziteu, Ştefan Frăţilă - Consideraţii privind realizarea schemelor de DRRI - Al X-lea

simpozion “Siguranţa în funcţionare a instalaţiilor energetice” - Bacau - 1990

VIZI 90/5 - Ioan Viziteu - Consideraţii privind ridicarea şi interpretarea corectă a diagramelor

vectoriale ale protecţiilor homopolare Sesiunea jubiliară ICEMENERG - Bucureşti - noiembrie

1990

VIZI 90/6 - Ioan Viziteu, Roşu S. Gh. - Elemente de fiabilizare a regulatoarelor automate RATT-

Simpozionul - “Siguranţa în funcţionare a instalaţiilor energetice” Bacău - 1990

VIZI 91/1 - Ioan Viziteu, Aurel Cristea , Dorel Uricaru, Gh. Hazi.- Asupra unor probleme legate de

punerea în funcţie şi întreţinerea instalţiilor de telemecanica Al III-lea simpozion - Optimizarea

dezvoltării şi exploatării instalaţiilor energetice - Iasi - 1991

VIZI 91/2 - Ioan Viziteu, Dănuţ Chiriac, Puiu Berzunţiu- Consideraţii privind testarea fiabilităţii releelor

intermediare - Simpozionul - “30 de ani de invăţmânt universitar la Bacău” - Bacău - 1991

VIZI 91/3 - Ioan Viziteu, E. Potoraca, D. Moise , Puiu Berzunţiu, Roşu S.Gh.- Aspecte privind

automatizarea RAR în reţelele de 110KV - Simpozionul - “30 de ani de invăţământ universitar

la Bacău” - Bacău - 1991

VIZI 91/4 - Ioan Gheorghiu, Ioan Viziteu, Ştefan Frăţilă, Valentin Ciuche, I. Agafiţei - Analizator de

perturbaţii”- Simpozionul - “Optimizarea dezvoltării şi exploatării instalaţiilor energetice”- Iasi-

1991

VIZI 92/1 - Ioan Viziteu - Structurare Functions of High and Very High Voltage Lines Protections -

C.N.E., Neptun, 1992

VIZI 92/4 - Ioan Viziteu - Consideraţii privind testarea fiabilităţii releelor fiabilităţii de distanţa”

Sesiunea jubiliara “ 80 de ani de invăţământ electrotehnic la Iaşi” - Secţiunea “Tehnici noi în

conducerea reţelelor de distribuţie”- Iaşi- 1992 pag…

VIZI 92/3 - Ioan Viziteu - Aspecte ale modelării matematice a fiabilităţii releelor de distanţa - Sesiunea

jubiliara “80 de ani de învăţământ electrotehnic la Iaşi” - Secţiunea - “Tehnici noi în

conducerea reţelelor de distribuţie” - Iaşi - 1992 pag.

VIZI 92/2 - Ioan Viziteu - Releu electronic pentru sesizarea întreruperilor din secundarele

transformatoarelor de curent - Brevet de invenţie nr. 105872 VIZI 92/5 - Ioan Viziteu, Hazi Gh.- Contributions on Controlling Differential Protection circuits -

C.N.E., Neptun, 1992

VIZI 92/6 - Ioan Viziteu - Considerations on Testing Complex Relays Reliability - C.N.E.,1992


274

VIZI 92/7 - Ioan Viziteu - Funcţia de repartiţie a impedanţei de defect privită ca variabila

aleatoare- Simpozionul “Siguranţă în funcţionare a instalaţiilor energetice “ - ediţia a XII-a - Timişoara

- octombrie 1992

VIZI 94/1 - Ioan Viziteu, Muraru Adrian - Relais electronique tolerant les defections pour

l’automatisation des boucles ouvertes - C.N.E., Neptun, 1994

VIZI 94/2 - Ioan Viziteu - Modernisations des automatisations de reanclanchement automatique

rapide - C.N.E, Neptun, 1994

VIZI 94/3 - Ioan Viziteu - L’amelioration de l’alimentation de protections a distance des stations haute

puissance - C.N.E., Neptun, 1994

VIZI 94/4 - Ioan Viziteu, Adrian Muraru - Possibilites d’ameliorations de schema des instalation de

service internes de circuit continuu des stations de transformations - C.N.E., Neptun, 1994

VIZI 94/5 - I. Onea, A. Muraru, R.Struţu, Roşu S. Gh., Ioan Viziteu Truse pentru verificarea releelor

complexe - Conferinţa de electroenergetică - Timişoara - noiembrie 1994 Lucrarea -I.31 -

pag.225

VIZI 94/6 - Ioan Viziteu, Fraţilă St., Onea Ioan - Consideraţii privind deconectarea sarcinii la

scăderea frecvenţei Conferinţa de electroenergetică - Timişoara - noiembrie 1994 Lucrarea -

III.40 -pag.. 870

VIZI 94/7 - Ioan Viziteu.R. Struţu, A.Muraru - Aspecte ale măsurării parametrilor energiei electrice cu

ajutorul aparatelor numerice Conferinţa de electroenergetică - Timişoara - noiembrie 1994

Lucrarea -I.30- pag.221

VIZI 94/8 - Ioan Viziteu, Radu Struţu, Adrian Muraru Aparate indicatoare digitale de tablou pentru

traductoare GTDEE Buletin informativ nr. 29-numar festiv-pag.40, inovaţie - aviz 5043 /1994

VIZI 94/9 - Ioan Viziteu, Radu Struţu, Adrian Muraru Voltmetre şi ampermetre digitale independente,

GTDEE Buletin informativ nr. 29-numar festiv-pag.42, inovaţie - aviz 5044/1994

VIZI 95/1 - Ioan Viziteu -Protecţii de distanţă utilizând principiul logicii majoritare 2 din 3 - Simpozionul

de siguranţa în funcţionarea SEN - Galaţi - septembrie - 1995 - secţiunea I lucrarea nr.38

VIZI 95/2 - Ioan Viziteu, Posibilităţi de eliminare a erorilor determinate de coeficientul de ramificaţie

Simpozionul de Siguranţa în Funcţionare- SEN, Galaţi septembrie 1995, secţia I, lucrarea 9

VIZI 95/3 - Ioan Viziteu, Gh. Hazi. Puncte de vedere privind siguranţa în funcţionare a protecţiilor

transformatoarelor de putere, Simpozionul de Siguranţa în Funcţionare SEN, Galati,

septembrie 1995, secţiunea I, lucrarea 31

VIZI 95/4 - Ion Viziteu, Redundanta invertoarelor din staţiile de transformare, Sesiunea Jubiliara

ICEMENERG 1960-1995 postere, secţia V

VIZI 95/5 - Ioan Viziteu, Gh Hazi. Validarea informaţiilor care ajung la protecţiile prin relee, Sesiunea

jubiliara ICEMENERG 1960-1995 postere, secţia V

VIZI 95/6 - Ioan Viziteu, dr. Cornelia Ivaşcu. Mentenanţa preventivă şi creşterea eficientei instalaţiilor

de protecţie prin relee - Revista energetica - seria B- septembrie-octombrie 1995 pag.252

VIZI 95/7 - Ioan Viziteu Ingineria convergentă a protecţiilor si automatizărilor A IV -a Conferinţa de

instalaţii electrice si automatizări SIEAR Sinaia octombrie 1995


275

VIZI 96/1 - Ioan Viziteu. - Vectorii critici a elementelor structurale ale schemelor de protecţie -

Simpozionul naţional de reţele electrice - octombrie 1996 Cluj-Napoca - Lucrarea -2.3.5.-

pag.183

VIZI 96/2 - Ştefan Fraţilă, Ioan Viziteu - Reducerea riscurilor de comanda greşită a întrerupătoarelor

generatoarelor - Simpozionul naţional de reţele electrice - octombrie 1996 - Cluj-Napoca

Lucrarea -2.3.6 -pag.185

VIZI 96/3 - Ioan Viziteu, Jean Guy Pineault, Dumitru Ivas… The choice of complex protections based

on the performance - price criteria - National Energy Conferince septembrie 1996 - Neptun -

Lucrarea - 3B-205 - pag.334

VIZI 96/4 - Ioan Viziteu, Ştefan Fraţilă, Mircea Fătu Eliminarea declanşărilor în reţelele cu neutrul

tratat prin rezistenta la arderea siguranţelor de medie tensiune Conferinţa Naţională de

Energetica Industriala -BACAU -1996, pag

VIZI 96/5 - Ioan Viziteu, Gh. Hazi Influenţa fiabilităţii elementelor asupra fiabilităţii schemelor de

protecţie şi automatizare Conferinţa Naţională de Energetica Industriala -BACAU 1996-

VIZI 97/1 - Gh.Hazi., Ioan Viziteu, Ştefan Frăţilă Posibilităţi de creştere a siguranţei în funcţionare

pentru protecţiile LEA 110kV Simpozionul de Siguranţa în Funcţionare SEN, Craiova,

octombrie, 1997

VIZI 97/2 - Gh Hazi., Ioan Viziteu, Aneta Hazi Indicatori de fiabilitate înscrişi în contracte. Calculul

duratei maxime de restabilire a alimentarii pentru consumatorii de energie electrica,

Simpozionul de Siguranţa în Funcţionare SEN, Craiova, octombrie, 1997

VIZI 97/3 - Ioan Viziteu, Gh Hazi., Mihai Dobraniş, Antonela Butnaru Algoritm de calcul a securităţii

sistemelor de protecţie cu ajutorul analizelor de risc, Simpozionul de Siguranţă în Funcţionare

SEN, Craiova, octombrie, 1997 VIZI 97/4 - Ioan Viziteu, Florin Munteanu, Dumitru Ivas Protection and Security Systems Modelling for

Reliability Calculations in Power Networks First Conferince On Mathematical Methods in

Reliability Bucuresti, septembrie 1997

VUJO 92 - M Vujosevic ,M Sucur Reliability Analyses for a Tree-Structured Hierarchic Control System,

IEEE Transaction on Reliability, vol. 41, No. 2, 1992, pag. 190 YAMA 93 - S.Yamada, J.Hishitan, S.Osaki Software-Reliability Growth with a Weibull Test-Effort: A

Model & Application, IEEE Transaction on Reliability, vol. 42, No. 1, 1993, pag. 100

Documents

Curs Fiabilitate Editura NOU