Curs de analiz¼a complex¼a

Gabriela Apreutesei

Iasi, 2010

1

Capitolul IStructura algebric¼a si topologic¼a a multimii numerelor complexe

I.1. Multimea numerelor reale

Pe tot parcursul acestui curs vom considera binecunoscute informatiile es-entiale referitoare la multimea numerelor reale R, la structura sa algebric¼a sicea topologic¼a:Reamintim c¼a multimea numerelor reale R, împreun¼a cu adunarea si în-

multirea uzuale, formeaz¼a un corp comutativ.Pe acest corp se consider¼a relatia de ordine uzual¼a " � "; deci o relatie care

este:i) re�exiv¼a: x � x; pentru orice x 2 R;ii) antisimetric¼a: dac¼a x � y si y � x atunci x = y;iii) tranzitiv¼a: dac¼a x � y si y � x atunci x � z:Aceast¼a relatie este compatibil¼a cu operatiile algebrice de pe R : dac¼a a;

b 2 R astfe încât a � b; atunci a+ c � b+ c si a � d � b � d, pentru orice c; d 2 R;d � 0:Relatia este de total¼a ordine, adic¼a oricare ar � dou¼a numere reale a si b

avem �e a � b, �e b � a:

S-a obtinut astfel un corp comutativ total ordonat. În plus, R veri�c¼a axiomacompletitudinii (sau axioma Cantor-Dedekind): orice multime nevid¼a a lui Rcare este majorat¼a admite cel putin o margine superioar¼a.Pentru �ecare element a 2 R sistemul vecin¼at¼atilor V(a) este format din

toate multimile V � R care contin intervale deschise centrate în a; adic¼a multim-ile V pentru care exist¼a " > 0 cu (a� "; a+ ") � V:De�nirea sitemului vecin¼at¼atilor pentru �ecare punct a permis introducerea

urm¼atoarelor notiuni: sir convergent de numere reale, limit¼a si continuitate aunei functii reale într-un punct, functii reale derivabile si integrabile Riemann.Toate aceste de�nitii vor �utilizate în continuare si le vom considera cunoscute.

I.2. Forma algebric¼a a numerelor complexe

De�nitia I.1:Prin multimea numerelor complexe vom întelege multimeaC = f(a; b) ; a; b 2 Rg; dotat¼a cu dou¼a operatii:adunarea : " + " : C� C! C; (a; b) + (c; d) = (a+ c; b+ d);înmultirea : " � " : C� C! C; (a; b) � (c; d) = (ac� bd; ad+ bc):

Teorema I.1: Tripletul (C;+; �) formeaz¼a un corp comutativ.

Observatia I.1: Remarc¼am c¼a R poate � identi�cat cu un subcorp al lui Cprin aplicatia � : R �! C;

�(x) = (x; 0):

2

Astfel se poate considera x = (x; 0) pentru orice x 2 R: Deci 0C = 0R:Vom nota în continuare (0; 1) = i; are loc relatia i2 = (�1; 0), adic¼a i2 = �1:Astfel putem ajunge la urm¼atoarea scriere a numerelor complexe:

oricare ar � (a; b) 2 C avem (a; b) = (a; 0) + (b; 0) � (0; 1) = a+ bi:

De�nitia I.2: Aceast¼a scriere ( (a; b) = a+ib) se numeste scrierea algebric¼auzual¼a a numerelor complexe.Atunci când am �xat un sistem de coordonate ortogonal în plan , orice num¼ar

complex z = a+ ib se poate reprezenta în mod unic ca un punct având abscisaa si ordonata

b; numerele reale a si b sunt partea real¼a (Re z), respectiv partea imagi-nar¼a (Im z) a lui z. Reciproc, oric¼arui punct din plan îi corespunde un num¼arcomplex, numit a�xul punctului respectiv (�gura I.1).

Figura I.1

Acest plan, în care reprezent¼am numerele comlpexe z; îl vom numi plancomplex, iar axele orizontal¼a si vertical¼a vor �denumite axa real¼a, respectiv axaimaginar¼a a planului complex si le vom nota cu Ox, respectiv Oiy:De�nitia I.3: Prin functia modul se întelege aplicatia j �j : C! R;jzj = ja+ ibj def=

pa2 + b2:

Pentru un element dat z; num¼arul jzj are semni�catie geometric¼a si anumeel reprezint¼a lungimea segmentului determinat de origine si punctul din plan dea�x z = a+ ib:Din de�nitia de mai sus rezult¼a imediat urm¼atoarele trei propriet¼ati:

3

Propriet¼ati:1) jzj = 0R , z = 0C;2) jz1 � z2j = jz1j � jz2j ;3) jz1 + z2j � jz1j+ jz2j :

De�nitia I.4: Prin operatia de conjugare se întelege functia � : C! C;�z = a+ ib

def= a� ib:

În reprezentarea din plan a unui num¼ar complex z, conjugatul s¼au z estesimetricul lui z fat¼a de axa real¼a.

Se arat¼a usor c¼a au loc egalit¼atile:1) z1 + z2 = �z1 + �z2; 8z1; z2 2 C;2) z1 � z2 = �z1 � �z; 8z1; z2 2 C;3) �z = z; 8z 2 C;4) jzj2 = z � �z; 8z 2 C;5) z�1 = (z)�1 ; 8z 6= 0;6) z = z , Im z = 0:

I.3. Scrierea trigonometric¼a a numerelor complexe

Dac¼a z = a+ib este un num¼ar complex nenul, atunci este bine de�nit unghiul� 2 (��; �] format de directia pozitiv¼a a axei Ox cu raza vectoare a punctuluidin plan asociat lui z.Leg¼atura dintre � si z este dat¼a de relatiile trigonometrice în triunghiul bine

determinat de punctele O, z, a:

cos � =a

jzj ; sin � =b

jzj : (1)

Observatia I.2: Unghiul � care veri�c¼a relatiile (1) exist¼a si este unic.

Orice num¼ar complex z 6= 0 se poate scrie sub forma z = jzj�ajzj + i

bjzj

�sau

z = jzj (cos � + i sin �) : Din cele de mai sus se vede c¼a exist¼a o corespondent¼abijectiv¼a între numerele complexe nenule z si solutiile � ale de sistemului (1).

4

Figura I.2

De�nitia I.4: 1. Scrierea z = jzj (cos � + i sin �) a unui num¼ar complexz 6= 0 este numit¼a forma trigonometric¼a a num¼arului z (�gura I.2):2. Se poate de�ni functia bijectiv¼a

arg : Cnf0g ! (��; �] , arg z = �;

numit¼a argumentul redus al lui z:3. Dac¼a pentru sistemul (1) nu cerem ca solutiile s¼a se g¼aseasc¼a în inter-

valul (��; �]; atunci multimea solutiilor o vom nota cu Arg z si este numit¼aargumentul neredus al lui z.Deci Arg z = farg z + 2k�; k 2 Zg; iar dac¼a � 2 Arg z; atunciarg z = �(mod 2�) 2 (��; �]:În plus, dac¼a z = a+ ib si a 6= 0; atunci arctg ba 2 Arg z:Scrierea trigonometric¼a a num¼arului complex z 6= 0 devine:

z = jzj (cos arg z + i sin arg z):

Exemplul I.1: S¼a se calculeze modulul, conjugatul si argumentul num¼aruluicomplex z = 1 + i:

Evident jzj =p2; z = 1� i; cum z =

p2�p

22 +

p22

�; elementul � 2 (��; �]

pentru care cos � =p22 si sin � =

p22 este � = �

4 ; deci arg z =�4 :

Observati I.3: Cercetând scrierea numerelor complexe atât în forma loralgebric¼a, cât si cea geometric¼a, nu se observ¼a pe multimea C nici o relatie detotal¼a ordine adecvat¼a (compatibil¼a cu operatiile de pe C). Aceasta face s¼anu putem vorbi pe C de numere pozitive sau negative deoarece aceste notiuni

5

presupun compararea cu 0: Vom considera ca singura relatie de ordine pe C;ordinea uzual¼a între numerele reale.

I.4. Interpretarea geometric¼a a operatiilor uzuale pe C

Utilizând scrierea algebric¼a a numerelor complexe remarc¼am c¼a orice num¼arcomplex z = a + ib poate � identi�cat cu un vector din plan având originea înO si vârful în punctul M din plan de a�x z: Dac¼a vom nota versorii de pe axelereal¼a si imaginar¼a cu bx; respectiv by; putem scrie c¼a z �

��!OM = abx+ bby:

Fie acum punctele M1 si M2 de a�xe respectiv z1 = a1+ ib1 si z2 = a2+ ib2:

Atunci���!OM1 +

���!OM2 = (a1bx+ b1by) + (a2bx+ b2by) = (a1 + a2) bx + (b1 + b2) by =

z1+z2; deci adunarea numerelor complexe poate �privit¼a ca adunarea vectorilorcorespondenti din plan dup¼a regula binecunoscut¼a a paralelogramului (�guraI.3).

Figura I.3

Dac¼a acum vom utiliza scrierea trigonometric¼a a dou¼a numere complexez1 = r1 (cos �1 + i sin �1) si z2 = r2 (cos �2 + i sin �2) ; atunci, conform de�nitieiînmultirii numerelor complexe, avem z1z2 = r1r2[(cos �1 cos �2 � sin �1 sin �2) +i (cos �1 sin �2 + sin �1 cos �2)]; adic¼a z1z2 = r1r2[cos (�1 + �2) + sin (�1 + �2)]:Aceast¼a formul¼a ne indic¼a semni�catia vectorial¼a a produsului a dou¼a nu-

mere complexe: z1z2 este un vector cu vârful în origine, de lungime egal¼a cuprodusul lungimilor vectorilor z1 si z2; iar directia este dat¼a de semidreaptacare face axa Ox unghiul sum¼a orientat �1 + �2 (�gura I.4). Reamintim în�nal formula lui Moivre: dac¼a z = r (cos � + i sin �) si n 2 N�f0g atuncizn = rn (cosn� + i sinn�) ; care poate � dedus¼a din formula de înmultire adou¼a numere complexe puse sub form¼a trigonometric¼a:

6

Figura I.4

I.5. Ecuatii uzuale în planul complex

Vom rescrie în continuare în limbaj complex binecunoscutele ecuatii eledreptei si ale cercului.

Ecuatia dreptei prin dou¼a puncte date:Consider¼am M1 si M2 dou¼a puncte distincte din plan, de a�xe z1 si z2: S¼a

exprim¼am în functie de z1 si z2 a�xul z al unui punct M de pe dreapta M1M2:Deci dac¼a M 2M1M2 atunci z�z1

z2�z1 = t 2 R si reciproc.Deci ecuatia canonic¼a a drepteiM1M2 exprimat¼a în temeni de numere com-

plexe estez � z1z2 � z1

= t 2 R:

De aici se g¼aseste usor si ecuatia parametric¼a a dreptei M1M2 :

z = (1� t)z1 + tz2; t 2 R:

Se obtin de asemenea ecuatiile canonice si parametrice ale semidreptei jM1M2 :

M 2 jM1M2 ,z � z1z2 � z1

= t 2 R�+ , z = (1� t)z1 + tz2; t 2 R�+;

7

respectiv ale segmentului jM1M2j :

M 2 jM1M2j ,z � z1z2 � z1

= t 2 [0; 1], z = (1� t)z1 + tz2; t 2 [0; 1]:

Figura I.5

Distanta dintre dou¼a puncte date:Dac¼a M1 si M2 sunt dou¼a puncte distincte din plan, de a�xe z1 si z2; s¼a

exprim¼am distanta d dintre ele. Pentru aceasta �e z1 = x1+ iy1 si z2 = x2+ iy2scrierea lor algebric¼a. Atunci

d =p(x2 � x1)2 + (y2 � y1)2 = jz2 � z1j :

Ecuatia cercului de centru si raz¼a date:S¼a presupunem c¼a avem un punctM0 de a�x z0 în planul complex si vrem s¼a

exprim¼am ecuatia cercului de centru M1 si raz¼a dat¼a r > 0 : dac¼a z este a�xulpunctului M si z = x+ iy; z0 = x0+ iy0; atunci M descrie cercul dac¼a si numaidac¼a distanta de la M si M0 este r (�gura I.6), adic¼a

jz � z0j = r:

8

Figura I.6

I.6. Topologizarea multimii numerelor complexe

De�nitia I.6: Prin vecin¼atate a unui punct z0 2 C întelegem orice multimeV � C cu proprietatea c¼a exist¼a D(z0; ") astfel încât: D(z0; ") � V; unde prinD(z0; ") s-a notat discul deschis de centru z0 si raz¼a " > 0; adic¼a D(z0; ") =fz 2 C j jz � z0j < "g (�gura I.7):Familia vecin¼at¼atilor unui punct arbitrar z0 2 C este V(z0) = fV � C;9 D(z0; ") astfel

încât D(z0; ") � V g:Observ¼am de asemenea c¼a familia U(z0) = fD(z0; ") j " > 0g formeaz¼a un

sistem fundamental de vecin¼at¼ati pentru punctul z0:

9

Figura I.7

Reamintim acum urm¼atoarele de�nitii, adaptate multimii C:De�nitia I.7:1. O multime D � C se numeste deschis¼a dac¼a �e D = ;,�e D 6= ; si

8 z0 2 D 9D(z0; ") � D:2. O multime F � C se numeste închis¼a dac¼a CnF este deschis¼a.3. O multime K � C se numeste compact¼a dac¼a este închis¼a si m¼arginit¼a:

9M > 0 astfel încât jzj �M;8 z 2 K:4. O multime D � C se numeste conex¼a dac¼a oricare ar �A � D; A 6= ;; A

simultan deschis¼a si închis¼a, rezult¼a c¼a A = D:5. Un punct z0 2 C se numeste punct de acumulare pentru o multime D � C

dac¼a orice vecin¼atate a lui z0 intersecteaz¼a multimeaD în m¼acar un punct diferitde

z0 : 8V 2 V(z0); (V 8 fz0g) \D 6= ? :

6. Un punct z0 este punct interior multimii D dac¼a exist¼a un disc D(z0; ") �D; unde " > 0:

S¼a vedem în cele ce urmeaz¼a la ce revine în aceast¼a topologie convergenta,respectiv conditia Cauchy pentru un sir de numere complexe.

De�nitia I.8: Un sir (zn)n2N� � (C; j �j) se numeste convergent dac¼a exist¼az0 2 C cu proprietatea c¼a 8V 2 V(z0) 9nV 2 N astfel încât 8n � nV ; xn 2 V:Vom nota zn ! z0:

10

Teorema I.2: 1. Un sir (zn)n2N� � C este convergent la z0 2 C dac¼a:8" > 0 9n" 2 N astfel încât 8n � n"; jzn � z0j < "2. Un sir (zn)n2N� � C; zn = xn + iyn;8n 2 N�; este convergent la z0 =

x0 + iy0 dac¼a si numai dac¼a xn ! x0 si yn ! y0 în R:

Observatia I.4: De fapt convergenta unui sir de numere complexe revine laconvergenta a dou¼a siruri de numere reale; acestea pot � si sirurile modulelor,respectiv a argumentelor, atunci când sirul este nenul.De�nitia I.9: Un sir (zn)n2N� � C se numeste sir Cauchy dac¼a:8" > 09n" 2 N� astfel încât 8n � n";8p 2 N avem jzn+p � znj < ":

Teorema I.3: Un sir (zn)n2N� � C; zn = xn + iyn este sir Cauchy dac¼a sinumai dac¼a sirurile reale (xn)n2N� ; (yn)n2N� sunt siruri Cauchy.

Teorema I.5: Pe spatiul (C; j �j) orice sir Cauchy este convergent..

De�nitia I.11:1. Se numeste serie de numere complexe un culpu de siruri (zn)n2N ; (Sn)n2N,

unde zn 2 C si Sn = z0+z1+ :::+zn pentru orice n 2 N: zn se numeste temenulgeneral al seriei, iar Sn se numeste sirul sumelor pertiale. Vom nota seria cu1Xn=0

zn:

2. O serie de numere comlpexe1Xn=1

zn se numeste convergent¼a dac¼a sirul

sumelor sale partiale Sn = z1 + z2 + ::: + zn este convergent în C: În mod

echivalent (în virtutea faptului c¼a C este un spatiu Banach) avem

Teorema I.6: Seria1Xn=1

zn este convergent¼a dac¼a si numai dac¼a este în-

deplinit¼a conditia de tip Cauchy:8" > 09n" 2 N astfel încât 8k 2 N si 8n � n" avem jzn+1 + zn+2 + :::zn+kj <

":

Observatia I.5: Scriind, de exemplu, �ecare termen zn în forma algebric¼azn = xn + yn; putem descompune sirul sumelor partiale a seriei sub forma

Sn = (x1 + x2 + :::xn) + i(y1 + y2 + :::yn); deci studiul seriei complexe1Xn=1

zn

revine la studiul seriilor reale1Xn=1

xn si1Xn=1

yn: În caz de convergent¼a avem

1Xn=1

zn =1Xn=1

xn + i1Xn=1

yn:

11

I.7. Punctul de la in�nit. Sfera lui Riemann

Multimea R a numerelor reale se completeaz¼a prin dou¼a puncte, anume �1si +1; obtinându-se dreapta real¼a încheiat¼a. În mod similar putem completamultimea C; dar printr-un singur punct, notat 1, obtinându-se planul complexextins sau planul lui Gauss.Vom nota C1 = C [ f1g:Aceasta se poate topologiza la rândul ei.De�nitia I.12: Prin vecin¼atate a punctului 1 vom întelege orice multime

V � C1 care contine exteriorul unui disc, deciV 2 V(1) dac¼a exist¼a " > 0 astfel încât V � C8D(0; ") (�gura I.8):

Figura I.8

În cele ce urmeaz¼a vom exprima faptul c¼a un sir de numere complexe arelimita 1:De�nitia I.13: Un sir (zn)n2N � C are limita 1 (sau diverge la 1) dac¼a:8V 2 V(1) 9nV 2 N astfel încât 8n � nV ; xn 2 V:Vom nota zn !1.Teorema I.8: Un sir (zn)n2N � C are limita 1 dac¼a si numai dac¼a

jznjR! +1 sau, echivalent,

zn 6= 0;8n 2 N�( sau începând cu un rang n0) si1

zn! 0:

12

Asa cum pentru multimea numerelor complexe am g¼asit o imagine geome-tric¼a, anume planul complex, am dori s¼a punem în evident¼a un model geometricsi pentru multimea C1: Vom ar¼ata c¼a pentru aceasta poate � aleas¼a o sfer¼adin R3: Pentru usurinta calculelor vom considera sfera cu centrul în origine side raz¼a 1; adic¼a sfera unitate, pe care o vom nota cu S3 (0; 1) (aceast¼a alegereîns¼a nu este esential¼a, demonstratia putându-se adapta si pentru alte sfere dinR3). Vom descrie aceast¼a corespondent¼a bijectiv¼a dintre C1 si S3 (0; 1) maiîntâi printr-o constructie geometric¼a: �e sistemul de coordonate în R3 dat deoriginea O si axele de cooronate x1; x2; x3: Not¼am cu N punctul de coordonate(0; 0; 1) ; pe care îl vom numi polul nord al sferei. Vom identi�ca planul x1Ox2cu planul complex, deci orice punct de coordonate (x1; x2; 0) poate � identi�catcu punctul de a�x z = x1+ix2: Fie acumM (x1; x2; x3) un punct oarecare de peS3 (0; 1) ; diferit de N: Dreapta MN intersecteaz¼a planul x1Ox2 într-un punctP de a�x z (�gura I.9): Consider¼am aplicatia de�nit¼a geometric astfel:

� : S3 (0; 1)! C1; � (M) =�P; dac¼a M 6= N;

1; dac¼a M = N:

Vom numi aceast¼a aplicatie proiectia stereogra�c¼a.

Figura I.9

Teorema I.7: Aplicatia proiectie stereogra�c¼a este un bijectie între sferaunitate S3 (0; 1) si planul complex extins C1.

Vom reveni asupra multimii C1 în capitolul urm¼ator.

13

Capitolul al II-leaFunctii complexe de o variabil¼a complex¼a

II.1. Limit¼a si continuitate pentru functii complexe

O functie complex¼a este o functie f : D � C ! C; deci pentru orice z 2 Davem f(z) 2 C; astfel f(z) = u(z) + iv(z); unde u; v : D ! R: Prin identi�-carea lui C cu R2 (adic¼a f¼acând identi�carea x+ iy � (x; y)), putem consideramultimea D ca �ind o submultime a lui R2 :Deci f(x + iy) = u(x; y) + iv(x; y); cu u; v : D � R2 ! R: Rezultatele de

baz¼a referitoare la functiile reale de dou¼a variabile reale se consider¼a stiute.Vom adapta în continuare unele de�nitii cunoscute din cazul real în contextul

functiilor complexe.

De�nitia II.1: Fie f : D � C ! C si z0 punct de acumulare pentrumultimea D: Spunem c¼a functia f are limita l în punctul z0 dac¼a pentru oricesir (zn)n2N� � D; zn 6= z0 cu zn ! z0 avem f(zn)! l: Scriem lim

z!zof(z) = l:

D¼am unele reguli de calcul, similare cu cele din R:Propriet¼ati (operatii cu limite):I. Fie f; g : D � C! C; z0 punct de acumulare pentru D:Dac¼a exist¼a lim

z!z0f(z) = l1; lim

z!z0g(z) = l2 cu l1; l2 2 C atunci:

1) Exist¼a limz!z0

(�f + �g)(z) = �l1 + �l2; oricare ar � scalarii �,� 2 C;2) Exist¼a lim

z!z0(f � g)(z) = l1 � l2;

3) Dac¼a g(z) 6= 0 pe o vecin¼atate a lui z0 si l2 6= 0;atunci exist¼a limz!z0

�fg

�(z) =

l1l2:II. Dac¼a f : D � C ! E � C; g : E ! C; z0 este punct de acumulare

pentru D si exist¼a limz!z0

f(z) = l; iar l este punct de acumulare pentru multimea

f(D); cu f (z) 6= l pe o vecin¼atate a lui z0 si exist¼a limw!l

g(w) = l1; atunci functia

g � f : D ! C are limit¼a în z0 si limz!z0

(g � f)(z) = l1:

Limitele din proprietatea de mai sus sunt �nite; facem conventia a+1 =1pentru orice a 2 C; iar cazul1+1 este nedeterminat. Deasemenea1�1 =1;a �1 =1 dac¼a a 6= 0; iar 0 �1 este caz de nedeterminare. Convenim ca a

0 =1dac¼a a 6= 0 si 1a =1 pentru a 6=1. Cazul 00 este nedeterminat.De�nitia II.2: Fie f : D � C; z0 2 D: f se numeste continu¼a în z0 dac¼a

pentru orice sir (zn)n � D; zn ! z0 avem f(zn)! f(z0):

Observatia II.1: Dac¼a z0 este punct de acumulare pentru D, atunci f estecontinu¼a in z0 dac¼a si numai dac¼a exist¼a lim

z!z0f(z) = f(z0):

Dac¼a z0 este punct izolat pentru D, atunci f este în mod sigur continu¼a înz0:

Propriet¼ati (operatii cu functii continue):1. Dac¼a f; g : D ! C; z0 2 D si f; g sunt continue în z0; atunci f + g si

f � g sunt continue în z0:

14

Dac¼a în plus g( z0) 6= 0; atunci este bine de�nit¼a functia fg pe o vecin¼atate

a lui z0 si este continu¼a în z0:2. Dac¼a f : D � C ! E � C; g : E ! C; z0 2 D; f continu¼a în z0 si g

continu¼a în w0 = f( z0); atunci g � f : D ! C este continu¼a în z0:

În mod speci�c are loc urm¼atoarea teorem¼a:Teorema II.1 (caracterizarea limitei si continuit¼atii în C):Fie f : D � C! C; f(x+ iy) = u(x; y) + iv(x; y):1) Dac¼a z0 = x0+iy0 este punct de acumulare pentru D; atunci exist¼a lim

z!z0f(z) =

l1 + il2 dac¼a si numai dac¼a exist¼alim

(x;y)!(x0;y0)u(x; y) = l1 si lim

(x;y)!(x0;y0)v(x; y) = l2:

2) Dac¼a z0 2 D; f este continu¼a în z0 dac¼a si numai dac¼a u; v sunt continueîn (x0; y0):.

Teorema II:2: Proiectia streogra�c¼a de�nit¼a în paragraful I.7 este un home-omor�sm între sfera lui Riemann S3 (0; 1) si planul complex extins C1:Observatia II.2: Dac¼a dou¼a multimi D si E sunt homeomorfe (adic¼a dac¼a

exist¼a între ele un homeomor�sm �) atunci structura topologic¼a de pe una dintremultimi se trasport¼a prin � în structura topologic¼a a celeilalte. Astfel multimiledeschise, închise, compacte, conexe ale lui D sunt duse prin � în multimi deacelasi tip ale lui E:

II.2. Derivabilitatea si diferentiabilitatea functiilor complexe

Vom considera în cele ce urmeaz¼a multimea deschis¼a si conex¼a D � C . Dac¼aD nu este conex¼a, se realizeaz¼a studiul pe �ecare component¼a conex¼a a lui D:

De�nitia II.3: Fie f : D � C! C; z0 2 D:1) Prin derivata functiei f în punctul z0 întelegem �num¼arul� (unic) din

C [ f1g; notat cu f 0(z0); unde f 0(z0) = limz!z0

f(z)�f(z0)z�z0 ; atunci când aceast¼a

limit¼a exist¼a.2) Functia f se numeste derivabil¼a în z0 dac¼a f 0(z0) 2 C:3) Spunem c¼a f este olomorf¼a pe D dac¼a f este derivabil¼a în orice punct al

lui D:4) f se numeste diferentiabil¼a în z0 dac¼a exist¼a � 2 C si ! : D ! C;cu lim

z!z0!(z) = !(z0) = 0; astfel încât

f(z) = f(z0) + �(z � z0) + !(z)(z � z0);8z 2 D:

Observatia II.3: Ideea de baz¼a în de�nitia functiilor diferentiabile este dea aproxima, atunci când este posibil, functiile complexe prin functii mai simplesi anume prin functii a�ne. Cu notatiile de mai sus, o asemenea functie a�n¼aeste df (z; z0) = f(z0) + �(z � z0):

15

Teorema II.3: Fie f : D � C ! C; z0 2 D: Functia f este derivabil¼a înz0 dac¼a si numai dac¼a f este diferentiabil¼a în z0:În plus, constanta � din de�nitia diferentiabilit¼atii este A = f 0(z0):

Leg¼atura dintre derivabilitate si continuitate este similar¼a cu cea din R:Teorema II.4: Fie f : D � C ! C derivabil¼a în z0 2 D: Atunci f este

continu¼a în z0:

Proprietatea II.1 (operatii cu functii derivabile):I. Fie f; g : D � C! C; z0 2 D; f; g derivabile în z0: Atunci:1) f + g este derivabil¼a în z0 cu (f + g)0(z0) = f 0(z0) + g

0(z0);2) f � g este derivabil¼a în z0 si (f � g)0(z0) = f 0(z0) � g(z0) + f(z0) � g0(z0);3) Dac¼a în plus g(z0) 6= 0; atunci f

g este derivabil¼a în z0 unde�f

g

�0(z 0) =

f 0(z0) � g(z0)� f(z0) � g0(z0)g2(z0)

:

II. Fie f : D ! E; g : E ! C; D;E � C multimi deschise, z0 2 D siw0 = f(z0): Dac¼a f este derivabil¼a în z0 si g este derivabil¼a în w0; atunci g �feste derivabil¼a în z0 cu (g � f)0(z0) = g0(f(z0)) � f 0(z0):III. Fie D; E multimi deschise din C; f : D ! E bijectie, z0 2 D si inversa

f�1 : E ! D continu¼a astfel încât f 0 (z0) 6= 0:Dac¼a f este derivabil¼a în z0; atunci f�1 este derivabil¼a în w0 = f(z0) si

are loc:(f�1)0(w0) =

1

f 0(z0)=

1

f 0 (f�1 (w0)):

Reamintim c¼a o functie � : D � R2 ! R este diferentiabil¼a într-un punct(x0; y0) 2 D dac¼a exist¼a �1 si �2 2 R si exist¼a !k : D ! R; k = 1; 2; cu

lim(x;y)!(x0;y0)

!k(x; y) = !k(x0; y0) = 0 astfel încât:

�(x; y) = �(x0; y0) + �1(x� x0) + �2(y � y0) ++!1(x; y)(x� x0) + !2(x; y)(y � y0); 8 (x; y) 2 D:

Constantele reale �1 si �2 sunt de fapt derivatele partiale ale functiei � înraport cu x; respectiv y : �1 =

@�@x (x0; y0); �2 =

@�@y (x0; y0):

Urm¼arim s¼a stabilim în continuare o caracterizare a derivabilit¼atii unei functiicomplexe prin intermediul p¼artii ei reale si a p¼artii imaginare. Rezultatul difer¼aesential de cel g¼asit în cazul continuit¼atii:Teorema II.5 (teorema lui Riemann de caracterizare a derivabil-

it¼atii):Fie f : D � C ! C ,f = u + iv;o functie complex¼a si z0 2 D:Functia

f este derivabil¼a în z0 dac¼a si numai dac¼a functiile u; v : D � R2 ! C suntdiferentiabile în (x0; y0) si în plus au loc conditiile Cauchy-Riemann:(

@u@x (x0; y0) =

@v@y (x0; y0)

@u@y (x0; y0) = �

@v@x (x0; y0)

:

16

În acest caz f 0(z0) = @u@x (x0; y0)� i

@u@y (x0; y0) .

Teorema II.6: Fie D un domeniu (multime deschis¼a si conex¼a) si f : D !C olomorf¼a astfel încât Re f sau Im f este constant¼a. Atunci rezult¼a c¼a f esteconstant¼a.

Observatia II.4: La baza demonstratiei de mai sus au stat conditiile @v@x = 0si @v@y = 0, deci enuntul se poate reformula în felul urm¼ator:

Corolar II.1: Dac¼a pe o multime deschis¼a conex¼a D au loc relatiile @v@x = 0

si @v@y = 0 (sau, echivalent, @u

@x = 0 si @u@y = 0) atunci f este constant¼a. În

particular, dac¼a f 0 = 0 pe D atunci f este constant¼a.Corolar II.2: Fie D o multime deschis¼a si conex¼a si f : D ! C olomorf¼a

astfel încât una din urm¼atoarele functii este constant¼a: jf j sau arg f (în cazulîn care f(z) 6= 0; pentru orice z 2 D). Atunci f este constant¼a.

II.3 Functii armonice

Vom stabili în continuare leg¼atur¼a care exist¼a între functiile armonice u :D � R2 ! R si functiile olomorfe f : D � C! C:De�nitia II.4: O functie u : D � R2 ! R de clas¼a C2(D) se numeste

functie armonic¼a dac¼a veri�c¼a ecuatia lui Laplace: �u = 0; unde

�u =@2u

@2x+@2u

@2y:

Expresia �u se numeste laplace-ianul functiei u; iar conditia �u = 0 se

numeste conditia de armonicitate pentru functia u:Teorema II.7: Fie D � C un domeniu (multime deschisa si conex¼a) si

f : D ! C olomorf¼a, f = u+ iv: Dac¼a u; v 2 C2(D) atunci u si v sunt functiiarmonice.

Vom folosi acest rezultat în diverse aplicatii.Reciproca Teoremei II.7 nu are loc, asa cum se poate vedea în Problema

II.13. Totusi, impunând conditii mai tari pentru domeniul D; proprietatea areloc. Vom avea nevoie, pentru demonstratie, de urmatoarea de�nitie:

De�nitia II.5: O multime D � C este convex¼a dac¼a pentru orice dou¼apuncte z1; z2 2 D segmentul cu capetele în z1 si z2 este continut în întregime înD (adic¼a z = tz2 + (1� t)z1 2 D;oricare ar � t 2 [0; 1]):Teorema II.8: Consider¼am D o multime convex¼a din plan si u : D ! R

armonic¼a. Atunci exist¼a o functie f : D ! C olomorf¼a cu f = u+ iv:

Observatia II.5: 1. O asemenea functie armonic¼a v se numeste conjugataarmonic¼a a lui u: În general aceasta nu este unic¼a; stiind v; urmeaz¼a c¼a si functiav + c (unde c este o constant¼a real¼a) este o conjugat¼a armonic¼a a lui u.2. Teorema II.8 are loc pe multimi mai generale (multimi simplu conexe, pe

care le vom de�ni în capitolul al III-lea). Deoarece în demonstratia teoremei din

17

acest caz este nevoie s¼a de�nim integrala complex¼a l¼asam acest rezultat pentrucapitolul IV, ca exercitiu (Problema IV. 16).3. Demostratia f¼acut¼a în cazul multimilor convexe (teorema II.8 de mai sus)

familiarizeaz¼a cititorul cu metoda care ne permite g¼asirea unei functii olomorfecunoscându-i partea real¼a (a se vedea problemele II.6 - II.9). In esent¼a ea serefer¼a la a integra partial conditiile Cauchy-Riemann.

II.5. Functii elementare

1. Functia exponential¼a

De�nitia II.6: Prin functia complex¼a exponential¼a se întelege functia exp :C! C; exp(x+ iy) = ex(cos y + i sin y):Aceast¼a functie se noteaz¼a de asemenea si prin ez; unde z = x+ iy:

Motivatie: În R , sirul xn =�1 + x

n

�neste convergent cu limita ex ;sirul

complex zn =�1 + z

n

�neste de asemenea covergent, iar limita sa este ex(cos y+

i sin y) (a se vedea si Problema I.11):

Proprietatea II.2:1. exp jR coicide cu functia exponentiala real¼a;2. exp este periodic¼a de perioad¼a principal¼a 2�i;3. exp(2�i) = 1, exp (�i) = �1;4. exp(z1 + z2) = exp z1 � exp z2;5. exp este functie olomorf¼a pe C cu exp

0= exp :

2.Functia logaritm

Urm¼arim, în cele ce urmeaz¼a,s¼a introducem o functie similar¼a logaritmuluinatural din R:Functia exponential¼a în complex, �ind periodic¼a, nu este injectiv¼a, deci nu

admite invers¼a. Dar dac¼a vom restrânge functia la o band¼a paralel¼a cu axaimaginar¼a, de l¼atime 2� (perioada principal¼a a functiei este 2�i), vom obtine ofunctie injectiv¼a, deci inversabil¼a. De exemplu, s¼a consider¼am

D0 = fz 2 C j � � < Im z < �g

siDk = D0 + 2k�i = fz + 2k�i; z 2 D0g ; k 2 Z:

Vom nota în continuare Cn(�1; 0] = Cn fz 2 C; Re z � 0g :

18

Figura II.1

De�nitia II.7: Numim determinarea principal¼a a functiei logaritm functia f0 :Cn(�1; 0]! D0; f0(z)

not= ln z = ln jzj+ i arg z:

Mai general, prin determinare a functiei logaritm vom întelege orice functiefk : Cn(�1; 0]! Dk; fk(z)

not= ln z = ln jzj+ i arg z + 2k�i; k 2 Z:

Proprietatea II.3:1. Restrictia functieif0 la semiaxa real¼a pozitiv¼a f0 : (0;+1)! D0 coincide

cu logaritmul natural real .2. Are loc egalitatea efk(z) = z ( adic¼a exp �fk = 1Cn(�1;0]):3. Totusi fk(ez) = z+2m�i; k;m 2 Z; în particular pentru k = 0 si z 2 D0

are loc f0 � exp = 1D0 :4. Pentru orice k 2 Z; functiile fk sunt olomorfe cu f 0k(z) = 1

z :

Observatia II.6: Proprietatea II.3 ne spune c¼a functia logaritm complexnu veri�c¼a toate propriet¼atile cunoscute ale logaritmului real ( de exempluln � exp = 1R asa cum se poate vedea în Problema II.12). Semnal¼am, de aseme-

nea, c¼a în general, în complex,�ln z1z2 6= ln z1 + ln z2n ln z 6= ln zn; n 2 N: :

Fie z1 = �p32 + i 12 si z2 = � 1

2 + ip32 : Scriem numerele z1 si z2 sub form¼a

trigonometric¼a si g¼asim

z1 = cos7�

6+ i sin

7�

6; z2 = cos

4�

3+ i sin

4�

3; :

deci jz1j = jz2j = 1, arg z1 = 7�6 si arg z2 = 4�

3 ; de unde

ln z1 + ln z2 = ln 1 + i7�

6+ ln 1 + i

4�

3= i

5�

2: (1)

Produsul lor este

z1z2 = cos15�

6+ i sin

15�

6= cos(2� +

�

2) + i sin(2� +

�

2) = cos

�

2+ i sin

�

2

19

si astfelln z1z2 = ln 1 + i

�

2: (2)

Confruntând (1) cu (2) g¼asim rezultate diferite. În general, dac¼a arg z1 +arg z2 2 (��; �] egalitatea are loc, în caz contrar, nu.

3. Functia putere

De�nitia II.8: Pentru �ecare a 2 C se poate de�ni functia f : Cn(�1; 0]!C; f(z) = ea ln z

not= za; numit¼a functia putere, unde prin ln s-a notat o deter-

minare oarecare a logaritmului complex.

Proprietatea II.4:1. Restrictia la R a functiei putere complexe în cazul a 2 R coincide cu

functia putere real¼a.2. Dac¼a a = n 2 N; avem o singur¼a determinare a functiei putere, iar

în cazul a = mn (unde m si n sunt numere naturale prime între ele) avem n

determin¼ari ale sale.3. Functia putere complex¼a este olomorf¼a cu derivata (za)0 = a � za�1;8 z 2

Cn(�1; 0] (a �xat în C):

Observatia II.7: Datorit¼a propriet¼atilor speciale ale functiei logaritm com-plex va rezulta c¼a unele dintre relatiile veri�cate de functia putere din R nu auloc si în C; de exemplu (za)b 6= zab si (za)b 6= (zb)a (în general). L¼as¼am aceasta

ca un exercitiu pentru cititor.

4. Functiile trigonometrice

De�nitia II.9: Vom de�ni functiile sinus si cosinus în complex prin for-mulele:

sin : C! C; sin z =eiz � e�iz

2i;

cos : C! C; cos z =eiz + e�iz

2:

Proprietatea II.5:1. Restrictiile functiilor sin jR si cos jR sunt tocmai functiile cunoscute din

R:2. sin si cos sunt olomorfe pe C cu sin0 = cos; cos0 = � sin :3. Au loc formulele cunoscute în R pentru sin si cos; de exemplu:

sin2 z + cos2 z = 1;

sin(z1 + z2) = sin z1 cos z2 + sin z2 cos z1;

cos(z1 + z2) = cos z1 cos z2 � sin z1 sin z2;

20

Observatia II.8: F¼ar¼a a necesita o de�nire special¼a, dar cu un rol importantîn teoria functiilor de o variabil¼a complex¼a, sunt functiile:-polinomial¼a: P : C ! C; P (z) = a0z

n + a1zn�1 + ::: + an�1z + a0; cu

a0; :::; an 2 C si-rational¼a : R : Cn fz1; :::; zkg ! C; R(z) = P (z)

Q(z) ;unde P;Q sunt functiipolinomiale, iar z1; :::; zk sunt r¼ad¼acinile lui Q : Q(z1) = ::: = Q(zk) = 0 siQ(z) 6= 0 pentru z 6= z1; :::; zk:

21

Capitolul al III-leaIntegrale curbilinii în Rn

III.1. Drumuri si curbe în Rn

Pentru a de�ni integralele curbilinii de speta întâi si de speta a doua, vomintroduce mai întâi notiunile de drum si curb¼a.

De�nitia III.1: Numim drum parametrizat în Rn o functie : [a; b] !Rn continu¼a. Pentru t 2 [a; b]; not¼am (t) = ( 1(t); :::; n(t)): Ecuatiile

:

8<: x1 = 1(t)::::::::::

xn = n(t); t 2 [a; b] (1)

de�nesc reprezentarea parametric¼a a drumului :

Cazuri particulare: a) n = 2: Atunci un drum în R2 se poate scrie subforma (t) = (f (t) ; g (t)) ; t 2 [a; b] ; unde f; g sunt functii continue pe [a; b] :Putem de asemenea scrie pentru orice t 2 [a; b] ;

:

�x = f (t)y = g (t) :

(2)

b) n = 3: Un drum în R3 se poate scrie în forma (t) = (f (t) ; g (t) ; h (t)) ;t 2 [a; b] sau

:

8<: x = f (t)y = g (t)z = h (t) ;

(3)

unde functiile f; g; h sunt continue pe [a; b] :De�nitia III.2: Dac¼a : [a; b] ! Rn este un drum, atunci multimea

([a; b]) = f (t) ; t 2 [a; b]g (imaginea intervalului [a; b] prin functia ) se nu-meste imaginea drumui (sau traiectorie sau hodograf ).Exemplul III.1:1) Consider¼am drumul de�nit parametric prin

1 :

�x = cos ty = sin t;

unde t 2 [0; �] : Imaginea acestui drum este semicercul de centru O si raz¼a 1a�at în semilpanul superior,parcurs în sens trigonometric.2) Fie drumul dat prin ecuatia implicit¼a y =

p1� x2; x 2 [�1; 1]:El poate

� paremetrizat prin

2 :

�x = t

y =p1� t2;

t 2 [�1; 1]: Se constat¼a c¼a acest drum are aceeasi imagine ca si drumul precedent,dar este parcurs invers.

22

De�nitia III.3: Numim opusul drumului : [a; b] ! Rn; drumul notat � : [a; b] ! Rn; de�nit prin � (t) = (a+ b� t) ; (8) t 2 [a; b] : Observ¼am c¼a �(a) = (b) ; � (b) = (a) :De�nitia III.4: Dac¼a 1 : [a; b] ! Rn si 2 : [b; c] ! Rn sunt drumuri

cu proprietatea c¼a 1 (b) = 2 (b) ;numim juxtapunerea lui 1 cu 2 drumul 1 [ 2 : [a; c]! Rn;

( 1 [ 2) (t) =�

1 (t) ; t 2 [a; b] 2 (t) ; t 2 [b; c] :

De�nitia III.5: Un drum : [a; b] ! Rn = ( 1; :::; n) se numeste drumneted, dac¼a functiile 1; :::; n 2 C1 ([a; b]) : Un drum : [a; b]! Rn se numesteneted pe portiuni dac¼a se poate scrie ca o juxtapunere a unui num¼ar �nit dedrumuri netede.Vom de�ni în cele ce urmeaz¼a notiunile de drum recti�cabil si lungimea unui

drum si vom da o metod¼a de calcul a lungimii unui drum din Rn: Idea de baz¼aîn de�nirea lungimii unei curbe este o idee fundamental¼a în matematic¼a, anumeaceea de aproximare, asa cum se va vedea mai jos.

Figura III.1

Fie : [a; b] ! Rn un drum dat de reprezentarea parametric¼a (1) : Consid-er¼am o diviziune � 2 D ([a; b]), � : a = t0 < t1 < � � � < tp = b si � drumulpoligonal (reuniunea segmentelor) cu vârfurile în puncteleAk ( 1(tk); :::; n(tk)) 2 , (8 )k = 1; p: Atunci lungimea segmentului de dreapt¼a cu vârfurile în puncteleAk�1( 1(tk�1); :::; n(tk�1)) si Ak( 1(tk); :::; n(tk)) estep

[ 1(tk)� 1(tk�1)]2 + [ 2(tk)� 2(tk�1)]2:::+ [ n(tk)� n(tk�1)]2

si deci lungimea drumului poligonal � este

l( �) =

pXk=1

jAk�1Akj =

=

pXk=1

p[ 1(tk)� 1(tk�1)]2 + :::+ [ n(tk)� n(tk�1)]2: (4)

Linia poligonal¼a înscris¼a A1A2:::Ap �aproximeaz¼a�curba dat¼a.

23

De�nitia III.6: Spunem c¼a drumul are lungime �nit¼a sau c¼a este rec-ti�cabil dac¼a multimea fl( �); � 2 D ([a; b])g este m¼arginit¼a. În acest caz,lungimea l ( ) a drumului se de�neste prin

l( ) = sup�2D[a;b]

l( �):

Prezent¼am mai jos cîteva propriet¼ati ale lungimii unui drum.Propozitia III.1: a) Pentru orice drum recti�cabil ; avem l ( ) = l ( �) ;b) Dac¼a 1; 2 sunt drumuri juxtapozabile recti�cabile, atunci 1 [ 2 este

recti�cabil si l ( 1 [ 2) = l ( 1) + l ( 2) :

Teorema III.1: (de reprezentare integral¼a a lungimii unui drum) Fie :[a; b] ! Rn un drum neted reprezentat parametric prin relatiile (1). Atuncidrumul este recti�cabil, iar lungimea sa este

l( ) =

bZa

q[ 01(t)]

2 + :::[ 0n(t)]2dt: (5)

Analiz¼am acum un caz particular important pentru aplicatii, anume cazuldrumurilor date implicit: y = f (x) ; el se poate paremetriza considerând x caparametru.Corolar III.1: Presupunem c¼a : [a; b] ! R2 este un drum de�nit para-

metric prin

:

�x = x;

y = f (x) ;(6)

pentru x 2 [a; b] ; unde f 2 C1 ([a; b]) : Atunci este drum recti�cabil, iarlungimea sa este

l ( ) =

Z b

a

q1 + f 0 (x)

2dx: (7)

Vom de�ni în continuare notiunea de drumuri echivalente. Fie : [a; b]! Rnun drum si t = ' (�) : [c; d]! [a; b] o bijectie continu¼a strict cresc¼atoare. Atunci � ' este tot un drum si se numeste drum obtinut din prin schimbarea deparametru t = ' (�) :De�nitia III.7: Spunem c¼a drumurile 1 : [a; b] ! Rn si 2 : [c; d] ! Rn

sunt drumuri echivalente prin relatia s de schimbare de parametru (si not¼am 1s 2) dac¼a exist¼a o functie ' : [c; d]! [a; b] bijectiv¼a, continu¼a si strict cresc¼a-toare astfel încât 2 = 1 � ':Un exemplu de drumuri echivalente este dat de 1 si

�2 din exemplul III.1.

Se poate demonstra cu usurint¼a urm¼atorul rezultat:Teorema III.2: Relatia s mai sus de�nit¼a este o relatie de echivalent¼a pe

multimea drumurilor din Rn:De�nitia III.8:. Numim curb¼a orientat¼a o clas¼a de drumuri echivalente în

raport cu relatia s de schimbare de parametru.Observatia III.1: Se poate ar¼ata c¼a lungimea unei curbe nu depinde de

parametrizare.

24

Spunem c¼a o curb¼a este de clas¼a C1 (sau curb¼a neted¼a) dac¼a un reprezen-tant al clasei de echivalent¼a care este curba este drum de clas¼a C1 (neted).Analog se de�neste o curb¼a neted¼a pe portiuni. De altfel, vom identi�ca clasade echivalent¼a (curba) cu un reprezentant (drum).Se poate ar¼ata c¼a dac¼a 1s 2; atunci l ( 1) = l ( 2) :

III.2: Integrale curbilinii de speta I

Pentru a introduce integrala curbilinie de speta I, s¼a lu¼am un exemplu din

�zic¼a: �e_

AB un arc de curb¼a (de exemplu în plan), pe care ni-l imagin¼am cape un �r material (�gura III.1). Presupunem c¼a stim densitatea � (M) a �rului

în punctul M al arcului_

AB.

Consider¼am o diviziune a arcului_

AB: A = A0, A1, . . . , Ak�1, Ak, . . . , An =

B (în aceast¼a ordine) si punctele intermediare_

Mk 2 Ak�1Ak; (ceea ce revine la considerarea unei diviz¼ari a intervalului de de�nitie al curbei si la un sistem de puncte intermediare pentru:

aceast¼a divizare). Calcul¼am masa portiunii de �r_

Ak�1Ak: Ea se aproximeaz¼acu

� (Mk) � l� _

Ak�1Ak

�; unde l

� _

Ak�1Ak

�este lungimea arcului

_

Ak�1Ak: Deci,

masa_

AB tnXk=1

� (Mk) � l� _

Ak�1Ak

�:

De aici rezult¼a c¼a masa_

AB = limjj�jj!0

nXk=1

� (Mk) � l� _

Ak�1Ak

�; unde jj�jj =

maxnl� _

Ak�1Ak

�; k = 1; n

o: Aceasta este o prezentare intuitiv¼a a unei prob-

leme practice care a condus la introducerea notiunii de integral¼a curbilinie despeta întâi.

Fie : [a; b]! Rn un drum recti�cabil, = ( 1; 2; :::; n) si F : ([a; b])!R o functie dat¼a. Vom de�ni integrala curbilinie a lui F în raport cu lungimeade arc. Pentru aceasta, �e � : a = t0 < t1 < ::: < tp = b diviziune a intervalului[a; b] si �k 2 [tk�1; tk] ; k = 1; p un sistem de puncte intermediare. Not¼amPk = (tk) si sk lungimea segmentului de dreapt¼a de extremit¼ati Pk�1 si Pk;adic¼a

sk = l ([Pk�1Pk]) =

q[ 1 (tk)� 1 (tk�1)]

2+ :::+ [ n (tk)� n (tk�1)]

2:

25

Figura III.2

Atunci suma Riemann atasat¼a functiei F în raport cu lungimea curbei ;diviziunii � si sistemului de puncte intermediare � = f�kgk=1;p este

S (F;�; �) =

pXk=1

F ( (�k)) sk =

=

pXk=1

F ( 1 (�k) ; :::; n (�k))

q[ 1 (tk)� 1 (tk�1)]

2+ :::+ [ n (tk)� n (tk�1)]

2:

Reamintim c¼a prin norma diviziunii � întelegem num¼arul

jj�jj = max�tk � tk�1; k = 1; p

:

De�nitia III.9: Spunem c¼a functia F este integrabil¼a în raport cu lungimeacurbei dac¼a exist¼a un num¼ar real I cu proprietatea c¼a (8) " > 0; (9) � = � (") >0 astfel încât (8) � 2 D ([a; b])(=multimea diviziunilor intervalului [a; b]) cujj�jj < � (") si oricare ar � sistemul de puncte intermediare � = f�kgk=1;p ; s¼aavem

jS (F;�; �k)� Ij < ":

În acest caz, num¼arul I se numeste integrala curbilinie (pe curba ) a functiei

F si se noteaz¼a I =Z

F (x) dl:

Demonstr¼am în cele ce urmeaz¼a un rezultat care asigur¼a, în anumite ipotezesuplimentare, existenta integralei curbilinii si în plus ne d¼a o formul¼a de calcula acestei integrale cu ajutorul integralei Riemann.

Teorema III.3 (Teorema de reducere a integralei curbilinii de spetaI la o integral¼a Riemann):Fie : [a; b]! Rn,

:

8<: x1 = 1 (t):::::::::::

xn = n (t) ;(8)

t 2 [a; b] ; o reprezentare parametric¼a a curbei netede (de clas¼a C1) sau netedepe portiuni si F : D � Rn ! R (D domeniu ce contine curba ) o functie

26

continu¼a. Atunci exist¼a integrala curbilinieZ

F (x) dl si avem

Z

F (x1; :::; xn) dl =

Z b

a

F ( (t))

q( 01 (t))

2+ :::+ ( 0n (t))

2dt: (9)

Din de�nitie rezult¼a cu usurint¼a urm¼atoarele propriet¼ati ale integralelor cur-bilinii de speta I. Demonstratiile lor le l¼as¼am în seama cititorului.Propozitia III.2: a) Dac¼a 1s 2 si F este integrabil¼a pe 1; atunci F este

integrabil¼a si pe 2 siR 1

Fdl =R 2

Fdl:

b) Dac¼a F este integrabil¼a pe ; atunci F este integrabil¼a si pe � siR

Fdl =

�R �

Fdl:

c) Dac¼a 1 si 2 sunt drumuri juxtapozabile si F este o functie integrabil¼ape 1 [ 2; atunci F este integrabil¼a pe 1 si pe 2 siZ

1[ 2

Fdl =

Z 1

Fdl +

Z 2

Fdl:

d) Dac¼a F;G sunt dou¼a functii integrabile pe si �; � sunt doi scalari reali,atunci �F + �G este o functie integrabil¼a pe si avemZ

(�F + �G)dl = �

Z

Fdl + �

Z

Gdl:

III.3: Integrale curbilinii de speta a II-a

De�nitia III.10: Numim form¼a diferential¼a pe domeniul D � Rn o expresiede tipul ! = P1dx1 + ::: + Pndxn; unde P1; :::; Pn : D ! R sunt functii datedepinzând de n variabile. Aceste functii Pj ; j = 1; n se numesc coe�cientiiformei diferentiale !.De�nitia III.11: Dou¼a forme diferentiale ! = P1dx1 + :::+ Pndxn si e! =fP1dx1 + :::+ fPndxn se numesc egale dac¼a Pj = fPj ; pentru orice j = 1; n:Cazuri particulare: a) Pentru n = 2; not¼am variabilele independente cu

x; y si astfel o form¼a diferential¼a ! de�nit¼a pe un domeniu D din R2 se va scrieîn forma

! = P (x; y) dx+Q (x; y) dy:

a) Pentru n = 3; not¼am variabilele independente cu x; y; z: O form¼a diferential¼a! de�nit¼a pe un domeniu D din R3 va avea forma

! = P (x; y; z) dx+Q (x; y; z) dy +R (x; y; z) dz:

27

Vom de�ni în continuare integralele curbilinii de speta a doua sau dintr-oform¼a diferential¼a !: Pentru aceasta, �e : [a; b]! Rn un drum dat parametricprin

:

8<: x1 = 1 (t):::::::::::

xn = n (t) ;(10)

si P1; :::Pn : ([a; b]) ! R functii date. Not¼am ! = P1dx1 + ::: + Pndxn: Fiediviziunea � : a = t0 < t1 < ::: < tp = b a intervalului [a; b] si � = f�kgk=1;p ;�k 2 [tk�1; tk] ; k = 1; p un sistem de puncte intermediare. Construim sumaRiemann asociat¼a formei diferentiale !; diviziunii � si sistemului de puncteintermediare � în raport cu :

S (!;�; �) =

pXk=1

fP1 ( (�k)) [ 1 (tk)� 1 (tk�1)]+

+:::+ Pn ( (�k)) [ n (tk)� n (tk�1)]g:

De�nitia III.12: Spunem c¼a forma diferential¼a ! este integrabil¼a pe dac¼a exist¼a un num¼ar real I astfel încât (8) " > 0; (9) � (") > 0 astfel ca (8)� 2D ([a; b]) cu jj�jj < � (") si (8) � = f�kgk=1;p un sistem de puncte intermediare,s¼a avem

jS (!;�; �)� Ij < ": (11)

Num¼arul real I; dac¼a exist¼a, se numeste integrala formei diferentiale ! pe

si se noteaz¼a I =Z

!:

Propozitia III.3: 1) Dac¼a !1; !2 sunt forme diferentiale integrabile pecurba si �1; �2 sunt scalari reali, atunci

R

(�1!1 + �2!2) = �1R

!1 + �2R

!2

(liniaritatea integralei curbilinii de speta a doua în raport cu forma diferential¼a).2) Dac¼a 1; 2 sunt drumuri juxtapozabile si forma diferential¼a ! este in-

tegrabil¼a pe curba 1 [ 2; atunci ! este integrabil¼a atât pe 1; cât si pe 2si

R 1[ 2

! =R 1

! +R 2

!:

3) Dac¼a ! este o form¼a diferential¼a integrabil¼a pe ; iar � este opusul lui ; atunci ! este integrabil¼a si pe � si

R �

! = �R

!:

D¼am si în acest caz o metod¼a de calcul a integralei cu ajutorul integralelorRiemann.

Teorema III.4 (Teorema de reducere la o integral¼a Riemann): Con-sider¼am un drum recti�cabil : [a; b] ! Rn, neted sau neted pe portiuni, datparametric prin relatiile (5:10) si ! = P1dx1+ :::+Pndxn o form¼a diferential¼a,unde P1; :::; Pn : D � Rn ! R sunt functii continue si � D (D �ind dome-

niu). Atunci ! este integrabil¼a pe si are loc relatia

28

Z

! =

bZa

[P1( (t)) � 0

1(t) + :::+ Pn( (t)) � 0

n(t)]dt: (12)

Observatia III.2: Se stie c¼a lucrul mecanic al unei forte conservative Fcare se deplaseaz¼a parcurgând arcul

_

AB este dat de L =R_AB

F � dr; deci el se

exprim¼a cu ajutorul unei integrale curbilinii de speta a doua:

L =

Z_AB

P1dx1 + P2dx2 + P3dx3;

unde (P1; P2; P3) sunt componentele fortei F ; iar r = (x1; x2; x3) este deplasarea.Este stiut faptul c¼a lucrul mecanic al fortei conservative F care îsi deplaseaz¼apunctul de aplicare, nu depinde de drumul parcurs, ci doar de doar de extrem-it¼atile drumului.Acest exemplu �zic ne sugereaz¼a introducerea notiunii de independent¼a de

drum a unei integrale curbilinii de speta a doua.De�nitia III.13: Fie ! = P1dx1 + ::: + Pndxn o form¼a diferential¼a, unde

P1; :::; Pn : D � Rn ! R si 1; 2 dou¼a curbe din domeniul D având aceleasicapete. Integrala formei ! se numeste independent¼a de drum dac¼a

R 1

! =R 2

!:

De�nitia III.14: Forma diferential¼a ! = P1dx1+ :::+Pndxn; cu P1; :::; Pn :D � Rn ! R; se numeste exact¼a dac¼a exist¼a o functie f : D ! R diferentiabil¼aîncât

df = !: (13)

În acest caz ; f se numeste primitiv¼a pentru forma diferential¼a !; iar conditiadf = ! revine la urm¼atoarele egalit¼ati:

@f

@x1= P1;

@f

@x2= P2; :::;

@f

@xn= Pn: (14)

Vom da în continuare o generalizare a Teoremei Leibniz-Newton pentru in-tegralele curbilinii de speta a II-a.Teorema III.5: Fie forma diferential¼a exact¼a ! având coe�cientii continui

pe D � Rn si curba neted¼a : [a; b] ! D: Dac¼a f este o primitiv¼a pentru!; atunci: Z

! = f( (b))� f( (a)): (15)

Observatia III.3: Proprietatea r¼amâne valabil¼a si pentru drumuri netedepe portiuni. Într-adev¼ar, dac¼a = 1 [ ::: [ m;unde 1; :::; 2 sunt netede,

29

atunciZ

! =

Z 1

! + :::+

Z m

! = f( (b1))� f( (a)) + :::+ f( (bm))� f( (bm�1));

unde bm = b si (a; b1) ; (b1; b2) ; :::; (bm�1; b) sunt extremit¼atile drumurilor 1; 2; ..., m: Deci

R

! = f( (b))� f( (a)):

Observatia III.4: Aproximând drumurile recti�cabile prin linii poligonaleînscrise (care sunt drumuri netede pe portiuni), putem aplica Observatia III.3pentru a deduce c¼a Teorema III.5 se mentine si pentru drumuri recti�cabile.

Prezent¼am acum o teorem¼a de caracterizare a independentei de drum a in-tegralelor curbilinii de speta a doua.Teorema III.6: Fie ! o form¼a diferential¼a având coe�cientii continui pe

D. Integrala lui ! este independent¼a de drum dac¼a si numai dac¼a pentru oricedrum inclus în D; : [a; b]! D � Rn; închis ( (a) = (b)), avem

R

! = 0:

Figura III.3

De�nitia III.15: Multimea deschis¼a D � Rn se numeste multime conex¼a(prin arce) dac¼a orice dou¼a puncte ale sale pot � unite printr-o linie poligonal¼ainclus¼a în multimea D:

Teorema III.7: 1) Orice form¼a diferential¼a exact¼a cu coe�cienti continuipe o multime D are integrala independent¼a de drum.2) Dac¼a D este deschis¼a si conex¼a (prin arce), are loc si reciproca.

Urm¼arim în cele ce urmeaz¼a s¼a stabilim conditii (necesare si su�ciente) cares¼a asigure faptul c¼a o form¼a diferential¼a este exact¼a.De�nitia III.16: Fie ! o form¼a diferential¼a, ! = P1(x1; :::; xn)dx1 + ::: +

Pn(x1; :::; xn)dxn; cu Pi : D � Rn ! R de clasa C1: Forma diferential¼a ! senumeste închis¼a dac¼a

@Pk@xj

=@Pj@xk

; (8) k; ; j = 1; n ; k 6= j: (15)

Teorema III.8: Fie ! = P1dx1 + ::: + Pndxn; Pi : D � Rn ! R; i =1; n de clasa C1 pe D. Dac¼a forma diferential¼a ! este exact¼a, atunci ! esteînchis¼a.

30

Reciproca Teoremei III.8 nu este în general adevarat¼a. Ea are loc totusi pemultimi cu o structura mai special¼a, numite multimi simplu conexe.De�nitia III.17: O multime D � Rn se numeste simplu conex¼a dac¼a este

conex¼a si orice dou¼a curbe 1; 2 : [a; b]! D pot � deformate în mod continuuuna în alta, deform¼arile r¼amânând în multimea D: (sau, echivalent, orice curb¼aînchis¼a : [a; b]! D poate �restâns¼a la un punct din D f¼ar¼a a iesi din multimeaD).Observatia III.5: Din punt de vedere intuitiv, un domeniu simplu conex

este o multime f¼ar¼a "g¼auri".De exemplu, orice curb¼a simpl¼a : [a; b] ! Rn (adic¼a injectiv¼a pe [a; b)) si

închis¼a, � D; delimiteaz¼a un domeniu simplu conex inclus în D:De asemenea orice bil¼a din spatiul Rn este o multime simplu conex¼a.Formul¼am acum reciproca teoremei III.8 pe multimi simplu conexe:Teorema III.9: Fie ! = P1dx1+ :::+Pndxn; Pi : D � Rn ! R; i = 1; n de

clasa C1 pe multimea simplu conex¼a D. Dac¼a forma diferential¼a ! este închis¼a,atunci ! este exact¼a.

Corolar III. 2: Dac¼a D este o multime simplu conex¼a din Rn; iar ! =P1dx1 + ::: + Pndxn este o form¼a diferential¼a închis¼a cu coe�cientii Pi : D �Rn ! R; Pi 2 C1 (D) ; i = 1; n; atunci integrala lui ! pe orice curb¼a închis¼ainclus¼a în D este zero.

31

Capitolul al IV-leaIntegrala functiilor complexe

IV.1 De�nitia si propriet¼atile integralei complexe

De�nitia IV.1: Fie f : ( )! C;unde : [a; b]! C este un drum din planulcomplex. Pentru a de�ni integrala functiei f pe curba ( ) consider¼am o divizarea intervalului [a; b]:� : a = t0 < t1 < ::: < tn = b care induce pe curba o divizare prin

punctele zk = (tk); 8 k = 1; n:Fie si sistemul de puncte intermediare (s.p.i.) (�k); unde �k = (�k) 2

( );8 k = 1; n; �k 2 [tk�1; tk]:Norma diviz¼arii � este k�k = maxfjtk � tk�1j ; k = 1; ng; iar suma Rie-

mann atasat¼a functiei f pe divizarea � si sistemului de puncte intermediare(s.p.i.) � este

S�;�(f) =

nXk=1

f(�k)(zk � zk�1)

Functia f se numeste integrabil¼a pe curba ( ) dac¼a:exist¼a I 2 C încât pentru orice " > 0 exist¼a �" > 0 cu proprietatea c¼a oricare

ar � divizarea �; cu k�k < �" si oricare ar � sistemul de puncte intermediare(�) avem jS�;�(f)� Ij < ":În cazul în care num¼arul I exist¼a, îl vom nota cu

R

f(z)dz si îl vom numi

integrala functiei f pe curba ( ).Observatia IV.1: I este limita sumelor Riemann luate pe toate diviziunile

� cu norma k�k ! 0: Rezult¼a c¼a num¼arul I de�nit mai sus, atunci când exist¼a,este unic (ca limita unei sir din R).

Teorema IV.1: Fie f : D � C ! C; f(x + iy) = u(x; y) + iv(x; y) si( ) � D o curb¼a. Dac¼a f este integrabil¼a pe ( ); atunci:Z

f(z)dz =

Z

u(x; y)dx� v(x; y)dy + iZ

v(x; y)dx+ u(x; y)dy:

Vedem astfel c¼a integrala unei functii complexe se reduce la dou¼a integralecurbilinii de specia a II-a. Aplicând rezultatele cunoscute pentru integralele cur-bilinii de specia a II-a (a se vedea formula (12) din teorema III.4) , obtinemurm¼atoarea teorem¼a:

Teorema IV.2: Dac¼a f : ( ) ! C este o functie continu¼a, iar : [a; b] !C este o curb¼a neted¼a, atunci f este integrabil¼a pe ( ) si are loc:

Z

f(z)dz =

bZa

f( (t)) � 0(t)dt (1)

32

sau, echivalent,

Z

f(z)dz =

bZa

[u(�(t); (t)) � �0(t)� v(�(t); (t)) � 0(t)]dt+

+i

bZa

[v(�(t); (t)) � �0(t)� u(�(t); (t)) � 0(t)]dt; (2)

unde (t) = �(t) + i (t):

Teorema IV.3: Dac¼a f este integrabil¼a pe ( ) atuci are loc inegalitatea:������Z

f(z)dz

������ � l( ) � supz2

jf(z)j ;

unde l( ) este lungimea curbei ( ):

În cele ce urmeaz¼a intention¼am s¼a d¼am o formul¼a de tip Leibniz-Newtonpentru integrelele functiilor complexe.

De�nitia IV.2: O functie f : D � C ! C admite primitive dac¼a exist¼aF : D ! C olomorf¼a încât F 0 = f: Functia F se numeste primitiv¼a pentrufunctia f:

Observatia IV.2: Dac¼a F = U + iV; iar f = u+ iv; conditia ca F s¼a �eprimitiv¼a pentru f se scrie ( din teorema lui Riemann ):

@U@x + i

@V@x = u+ iv;adic¼a

8<: u = @U@x

v = @V@x

:

Pe de alt¼a parte, asa cum am vazut în teorema IV.1, calculul oric¼arei integralecomplexe revine la calculul a dou¼a integrale curbilinii de specia a doua.Aceasta ne sugereaz¼a c¼a pentru a stabili o formul¼a de tip Leibniz-Newton

am putea utiliza primitivele pentru forme diferentiale asa ca în Capitolul III(De�nitia III.13). Teorema urm¼atoare d¼a leg¼atura dintre cele dou¼a maniere dea de�ni primitivele.

Teorema IV.4: În cazul în care functia f : D � C ! C este continu¼a,f = u + iv; functia F = U + iV este primitiv¼a a lui f dac¼a si numai dac¼a Ueste primitiv¼a pentru forma diferential¼a !1 = udx � vdy;iar V este primtiv¼apentru !2 = vdx+ udy:

Dac¼a not¼am cu !1 = udx � vdy; !2 = vdx + udy; teorema IV.4 a�rm¼a c¼aformele diferentiale !1si !2 sunt exacte.Atunci, particularizând rezultatele în ceea ce priveste independenta de drum

a integralelor curbilinii de specia a II-a, obtinem:

33

Teorema IV.5 (formula Leibnitz-Newton): Dac¼a f : D � C ! C esteo functie continu¼a si admite primitiva F; atunci pentru orice drum recti�cabil : [a; b]! D are loc: Z

f(z)dz = F ( (b))� F ( (a)):

Teorema IV.6: Functia continu¼a f : D � C! C admite primitiv¼a dac¼a sinumai dac¼a , pentru orice dou¼a curbe recti�cabile ( 1); ( 2) � D având aceleasicapete, avem c¼a Z

1

f(z)dz =

Z 2

f(z)dz

sau, echivalent, dac¼a si numai dac¼aR

f(z)dz = 0 pe orice curb¼a închis¼a din D:

În continuare ne vom ocupa de integralele functiilor olomorfe.

Teorema IV.7 (teorema fundamental¼a a lui Cauchy): Fie D � C undomeniu simplu conex, f : D ! C o functie olomorf¼a cu f 0 continu¼a si ( ) � Do curb¼a închis¼a. Atunci

R

f(z)dz = 0:

Observatia IV.3 (referitoare la teoremele IV.4 - IV.7): Fie D un domeniusimplu conex, f : D ! C olomorf¼a. Din demonstratia teoremei IV.7 urmeaz¼a c¼aformele diferentiabile !1 = udx � vdy si !2 = vdx + udy sunt închise. Atunci,conform teoremei III.9, !1 si !2 sunt exacte, adic¼a adimit primitive. TeoremaIV. 4 spune c¼a si f admite primitive. O primitiv¼a se poate g¼asi, conform teoremeiIV.5, l¼asând arbitrar cap¼atul (b) = w al curbei si notând (a) = z0; astfelF (w) =

Rz0w

f(z)dz este primitiv¼a pentru f; unde prin z0w întelegem orice curb¼a

recti�cabil¼a având aceste capete (integrala unei functii care admite primitive nudepinde de drumul ales: teorema IV.6).Deci dat¼a o functie olomorf¼a f pe un domeniu simplu conex D ; o primitiv¼a

pentru f poate � calculat¼a prin formula

F (w) =

Zz0w

f(z)dz; z0w �ind un drum recti�cabil cu capetele z0 si w:

Vom da f¼ar¼a demonstratie o variant¼a a teoremei IV.7 care are loc în conditiimai generale.De�nitia IV.3: Fie D � C un domeniu. O curb¼a închis¼a ( ) � D se nu-

meste omotop¼a cu un punct în D dac¼a, pentru orice z0 2 ( ); ( ) se poatedeforma în mod continuu la curba degenerat¼a z0; deform¼arile r¼amânând înmultimea D:

Observatia IV:4:

34

1) Se vede usor c¼a un domeniu D este simplu conex dac¼a si numai dac¼a oricecurb¼a închis¼a din D este omotop¼a cu un punct în D:2) Dac¼a D este deschis¼a si ( ) este omotop¼a cu un punct în D, atunci dome-

niul D determinat de curba ( ) este simplu conex.

Teorema IV.8 (teorema fundamental¼a a lui Cauchy - forma gener-al¼a):Fie D � C deschis¼a, f : D ! C olomorf¼a si ( ) � D curb¼a închis¼a omotop¼a

cu un punct în D:Atunci

R

f(z)dz = 0:

Exemplul IV.1: Consider¼am ( ) � C o curba simpl¼a (f¼ar¼a autointersectii)închis¼a si a 2 Cn( ):S¼a calcul¼am

R

dzz�a :

Functia f : Cnfag ! C; f(z) = 1z�a este olomorf¼a (cu derivat¼a continu¼a).

Distingem dou¼a situatii:1) a =2 D ;unde D este domeniul determinat de curba închis¼a ( ):

Figura IV.1

Multimea Cnfag nu este simplu conex¼a, dar dac¼a not¼am cu s semidreaptacu vârful în a, paralel¼a cu axa real¼a, ce nu interscteaz¼a ( );multimea Cns estedomeniu simplu conex în care f este olomorf¼a (�gura IV.1).Aplicând teorema fundamental¼a a lui Cauchy functiei f pe Cns rezult¼a c¼aR

dzz�a = 0:

2) a 2 intD :

35

Figura IV.2

Ar¼at¼am în acest caz c¼aR

dzz�a =

Rjw�aj=r

dzz�a :

Realiz¼am o t¼aietur¼a ce uneste curba ( ) cu cercul C(a; r) de ecuatie jw � aj =r ( unde alegem r > 0 astfel încâtC(a; r) � D ) prin dou¼a segmente paralelela distanta " una de alta, notate I1 si I2 (vezi �gura IV.2).

Consider¼am acum curba � obtinut¼a prin parcurgerea curbei de la A la Bîn sens trigonometric, apoi I1, apoi cercul C(a; r) în sens invers trigonometric,apoi I2 (în sens opus lui I1).Curba � este simpl¼a închis¼a si putem alege un domeniu simplu conex D în

Cnfag încât � � D: AtunciR�

f(z)dz = 0: Pe de alt¼a parte avem c¼aR�

f(z)dz =R

f(z)dz +RI1

f(z)dz �R

C(a;r)

f(z)dz �RI2

f(z)dz si pentru " ! 0RI1

f(z)dz �RI2

f(z)dz = 0; de undeR

f(z)dz �R

C(a;r)

f(z)dz = 0:

Acum, pentru calculul integralei pe cerc, parametriz¼am cercul:

C(a; r) : z � a = r(cos t+ i sin t); t 2 [0; 2�]:

AtunciR

C(a;r)

dzz�a =

RC(a;r)

r(� sin t+i cos t)r(cos t+i sin t) dt =

2�R0

idt = 2�i: DeciR

dzz�a = 2�i:

În sintez¼a,R

dzz�a =

�0; dac¼a a =2 D

2�i; dac¼a a 2 intD :

Aplicatie:R

C(0;r)

dzz2�1 pentru r = 1=2 si r = 2:

D¼am urm¼atoarea variant¼a a teoremei fundamentale a lui Cauchy, util¼a îndemonstrarea unor formule integrale, cît si în unele aplicatii:

Teorema IV.9: Fie D � C un deschis, iar ( ); o curb¼a simpl¼a închis¼aomotop¼a cu un punct în D; z0 2 D n si f : D ! C continu¼a, olomorf¼a peD nfz0g:Atunci

R

f(z)dz = 0:

36

IV.3. Integrale complexe parametrice

De�nitia IV.4: Prin integral¼a parametric¼a vom întelege o expresie (caredepinde de z) de tipul

R

f(w; z)dw; unde f : ( )�D ! C; cu D � C un domeniu

si ( ) o curb¼a plan¼a.Teorema IV.10: Fie D � C un domeniu si ( ) o curb¼a recti�cabil¼a din

planul complex. Dac¼a functia f : ( ) � D ! C este continu¼a, atunci F (z) =R

f(w; z)dw este de asemena continu¼a în D:

Teorema IV.11: 1. Dac¼a functia gw : D ! C; gw(z) = f(w; z) esteolomorf¼a pentru orice w 2 ( ); iar g0w(z) = @ f

@ z (w; z) este continu¼a de ansamblulvariabilelor pe �D; atunci si functia F este olomorf¼a în D cu

F 0(z) =

Z

@ f

@ z(w; z)dw:

2. Fie g : ( )! C functie continu¼a si

F (z) =

Z

g(w)

w � z dw;

unde z 2 C n ( ):Atunci F este olomorf¼a pe C n( ) si admite derivate de orice ordin:

F (n)(z) = n!

Z

g(w)

(w � z)n+1 dw:

Teorema IV.12 (formula integral¼a a lui Cauchy): Fie D � C undeschis, ( ) � D curb¼a simpl¼a închis¼a, omotop¼a cu un punct în D; z0 2intD ; f : D ! C olomorf¼a.Atunci

f(z0) =1

2�i

Z

f(z)

z � z0dz:

Are loc, de asemenea, si urm¼atorul rezultat important:

Teorema IV.13 (formula integral¼a a lui Cauchy generalizat¼a): Con-sider¼am D � C un deschis, ( ) � D o curb¼a simpl¼a închis¼a omotop¼a cu un punctîn D;iar f : D ! C o functie olomorf¼a. Atunci, oricare ar � z0 2 intD ; fadmite derivat¼a de orice ordin în z0;iar derivata sa de ordin n este:

f (n)(z) =n!

2�i

Z

f(w)

(w � z)n+1 dw::

37

Observatia IV:5: 1) Fie D � C; ( ) � D: Teorema IV.12 ne spune c¼aeste su�cient s¼a cunoastem valorile unei functii olomorfe pe o curb¼a ( ) simpl¼a,închis¼a, omotop¼a cu un punct în D; pentru a obtine valorile ei în orice punctz 2 intD ; anume f(z) = 1

2�i

R

f(w)(w�z)n+1 dw ; acelasi lucru este valabil si pentru

valorile derivatelor sale f (n)(z) (teorema IV.13).Deci putem �reface� functia f cunoscând doar valorile pe o curb¼a simpl¼a

închis¼a ( ):2) Functiile olomorfe pe multimi deschise admit derivate de orice ordin n si

acestea sunt date de formula din teorema IV.13.

Teorema IV.14 (formula integral¼a a lui Cauchy pentru dou¼a curbe):Fie f : D ! C o functie olomorf¼a, unde D este o multime care contine cercurileC(0; R1) si C(0; R2): Dac¼a z 2 C încât R1 < jzj < R2; are loc formula

f(z) = 12�i

Rjwj=R2

f(w)w�z dw �

12�i

Rjwj=R1

f(w)w�z dw:

Iat¼a în continuare o �reciproc¼a�a teoremei fundamentale a lui Cauchy:

Teorema IV.15 (teorema lui Morera): Fie f : D � C ! C o functiecontinu¼a, unde D este multime deschis¼a. Dac¼a

R

f(z)dz = 0 pe orice curb¼a

simpl¼a închis¼a omotop¼a cu un punct în D; atunci f este olomorf¼a pe D:Corolar IV.1: Fie f : D � C ! C continu¼a si olomorf¼a pe Dnfz0g; unde

D este multime deschis¼a si z0 2 D: Atunci f este olomorf¼a pe D:

Aceast¼a consecint¼a a teoremei lui Morera are un rol important atât în unelerezultate teoretice,cât si în rezolvarea unor probleme.

Formul¼am în continuare o aplicatie la formula integral¼a generalizat¼a a luiCauchy :

Teorema IV.16 (teorema lui Liouville): Dac¼a f : C! C este o functieolomorf¼a si m¼arginit¼a atunci este constant¼a.

38

Capitolul al V-leaSerii Taylor si serii Laurent

V.1. Serii de functii

În acest capitol vom prezenta dou¼a tipuri speciale de serii de functii, anumeseriile Taylor si seriile Laurent. Ele se vor dovedi deosebit de importante atuncicând vom introduce notiunea de singularitate izolat¼a a unei functii complexe side reziduu.Vom reaminti la început câteva de�nitii referitoare la seriile de functii reale

(convergent¼a punctual¼a, absolut¼a si uniform¼a), cât si enuntul unor criterii deconvergent¼a. Vom puncta apoi care dintre aceste rezultate se mentin si în cazulfunctiilor complexe.Pentru o abordare unitar¼a vom nota în acest capitol prin � corpul R sau C:De�nitia V.1: Fie fn : D � �! �;8 n 2 N: Se numeste serie de functii

de termen general fn cuplul format din sirurile (fn)n2N si (Sn)n2N; unde Sn estesirul sumelor partiale:

Sn = f0 + f1 + :::+ fn;8 n 2 N: Vom nota aceast¼a serie cu1Pn=0

fn:

De�nitia V.2: Seria1Pn=0

fn se numeste convergent¼a în z0 dac¼a seria1Pn=0

fn(z0)

de numere din � este convergent¼a.

De�nitia V.3: Seria1Pn=0

fn se numeste punctual convergent¼a pe o multime

A � D dac¼a seria1Pn=0

fn(z) este convergent¼a în orice z 2 A:Deoarece pe � sirurile convergente coincid cu sirurile Cauchy, de�nitia de

mai sus este echivalent¼a cu conditia Cauchy:

8 z 2 A 8" > 0 9 nz;" 2 N astfel încât 8n � nz;";8p 2 N )

) jfn+1(z) + :::+ fn+p(z)j < ":

De�nitia V.4: Seria1Xn=0

fn se numeste absolut convergent¼a în punctul z 2

D dac¼a seria1Xn=0

jfn (z)j este convergent¼a ca serie de numere reale pozitive.

De�nitia V.5: Multimea punctelor în care o serie de functii este conver-gent¼a punctual se numeste multime de convergent¼a .

În baza conditiei Cauchy putem formula si alte de�nitii în mod convenabil:

De�nitia V.6: Serie1Pn=0

fn este uniform convergent¼a pe o multime K � �dac¼a

8" > 0 9 n" 2 N a:i:8n � n" ;8 p 2 N )

) jfn+1(z) + :::+ fn+p(z)j < ";8 z 2 K:

39

De�nitia V.7: Seria1Pn=0

fn este uniform convergent¼a pe compactele din D

dac¼a oricare ar � un compact K � D ,1Pn=0

fn este uniform convergent¼a pe K:

8K � D compact,8" > 0 9 nK;" 2 N astfel încât8n � nK;";8 p 2 N )

) jfn+1(z) + :::+ fn+p(z)j < ";8 z 2 K:

Uniforma convergent¼a pe compactele dintr-o multime asigur¼a convergentapunctual¼a pe acea multime. De asemenea convergenta uniform¼a treansfer¼a unelepropriet¼ati (continuitate, integrabilitate) de la termenii seriei la suma seriei:Propozitia V.1: Fie fn : D � � ! � un sir de functii astfel încât seria

1Pn=0

fn este uniform convergent¼a la f pe compactele din multimea de convergent¼a

D1:

1) Atunci1Pn=0

fn este si punctual convergent¼a pe D1:

2) Presupunem c¼a fn sunt continue pe D1; atunci f este de asemenea con-tinu¼a.3) Dac¼a � = R si fn sunt integrabile Riemann, atunci f este integrabil¼a

Riemann.4) Consider¼am � = C:

Dac¼a fn sunt continue pe o curb¼a neted¼a � D1 atunciZ

1Pn=0

fn(z)dz

converge uniform laZ

f(z)dz:

Presupunem c¼a fn sunt olomorfe. Atunci f este olomorf¼a si în plus seria

derivatelor de orice ordin k;1Pn=0

f(k)n este uniform convergent¼a pe compactele

din D1 la f (k):

Un rezultat de uniform¼a convergent¼a a unei serii de functii reale sau complexeeste:Teorema V.1 (criteriul lui Weierstrass): Dac¼a fn : D � �! � este un

sir de functii astfel încât

9(�n)n2N � [0;+1) cu jfn(t)j � �n; 8n 2 N;8 t 2 D

si1Pn=0

�n este convergent¼a, atunci seria1Pn=0

fn este absolut si uniform conver-

gent¼a pe D.Vom reaminti înc¼a dou¼a rezultatei de uniform¼a convergent¼a speci�ce seriilor

de functii reale:

40

Teorema V.2 (criteriul lui Abel de uniform¼a convergent¼a): Fie

fn; gn : D � R ! R dou¼a siruri de functii. Dac¼a seria1Xn=0

fn este uniform

convergent¼a pe D, iar sirul de functiile gn este monoton descresc¼ator si uni-form m¼arginit pe D (exist¼a M > 0 astfel încât jgn (t)j �M; pentru orice t 2 D),

atunci seria1Xn=0

fngn este uniform convergent¼a pe D:

Teorema V.3 (criteriul lui Dirichlet de uniform¼a convergent¼a): Fie

fn; gn : D � R! R dou¼a siruri de functii. Dac¼a seria1Xn=0

fn are sirul sumelor

partiale Sn = f1+f2+:::+fn uniform m¼arginit pe D, iar sirul de functiile gn este

monoton descresc¼ator si uniform convergent la 0 , atunci seria1Xn=0

fngn este

uniform convergent¼a pe D:

V.2. Serii Taylor complexe

Cele mai multe rezultate din paragraful precedent se pot transpune si pen-tru serii complexe. În continuare le vom formula pe cele mai importante si,acolo unde exist¼a deosebiri semni�cative de în demonstratii, vom indica ration-amentele respective.De�nitia V.8: Se numeste serie de puteri în panul complex (sau serie

Taylor) o serie de functii de variabila z 2 C de forma1Xn=0

an(z � z0)n (5)

unde z0 2 C este un num¼ar �xat, iar (an)n2N este un sir de numerecomplexe.În acest caz functiile termen sunt fn : C ! C; fn(z) = an(z � z0)

n: Luândz0 = 0 obtinem seria

1Xn=0

anzn: (5�)

Pentru seriile (5) si (50) suntem interesati s¼a r¼aspundem la aceleasi problemeca în paragreful anterior referitor la structura multimii de convergent¼a, tipulde convergent¼a a serii (50) si propriet¼atile functiei sum¼a. Informatiile esentialeobtinute pentru seria (50) se vor transfera print-o translatie de pas z0 la seria(5) :

41

Exemplul V.2: Seria geometric¼a1Pn=0

zn este convergent¼a pe discul unitate

deschis jzj < 1 si are suma

f(z) =1

1� z pentru jzj < 1:

Pentru jzj � 1; seria nu este convergent¼a.

Cercet¼am structura de convergent¼a a seriei de puteri (50). Similar cazuluiseriilor de puteri reale avem si în complex urm¼atoarea teorem¼a:

Teorema V.4 (teorema lui Abel în planul complex):

1) Dac¼a exist¼a z0 2 C; z0 6= 0; astfel încât1Pn=0

anzn0 converge, atunci

1Pn=0

anzn converge pentru orice z 2 C cu jzj < jz0j :

Mai mult, convergenta este absolut¼a si uniform¼a pe compactele din disculD(0; jz0j):2) Dac¼a exist¼a z1 2 C încât

1Pn=0

anzn1 diverge, atunci

1Pn=0

anzn diverge

pentru orice z 2 C cu jzj < jz1j :

Teorema V.5 (teorema razei de convergent¼a): Pentru seria de puteri

(50)1Pn=0

anzn exist¼a si este unic elementul r 2 [0;+1] astfel încât:

1) Dac¼a r = 0; convergenta seriei (50) are loc numai în z0 = 0:

2) Dac¼a r 2 (0;1); seria1Pn=0

anzn converge absolut si uniform pe compactele

din D(0; r) si diverge pe Cn D(0; r); pe cercul jzj = r convergenta se studiaz¼ade la caz la caz.

3) Daca r = +1; atunci1Pn=0

anzn converge absolut si uniform pe compactele

din C:

De�nitia V.9: Vom numi raz¼a de convergent¼a pentru seria (50) elementul(unic) r 2 [0;+1] a c¼arui existent¼a este asigurat¼a de teorema precedent¼a.

Teorema V.6(formule de calcul pentru raza de convergent¼a în C):

1) Formula lui Hadamard: Raza de convergent¼a r pentru seria (50) estedat¼a de

r =1

l; unde l = lim sup

n!1npjanj

(unde s-a f¼acut conventia r = +1 pentru l = 0 si r = 0 pentru l = +1).2) Dac¼a exist¼a lim

n!1npjanj = l1;atunci raza de convergent¼a a seriei consid-

erate este r = 1l1:

42

3) Dac¼a exist¼a lim supn!1

jan+1jjanj = l2;atunci raza c¼autat¼a este 1

l2:

Informatiile referitoare la functia sum¼a a unei serii de puteri complexe levom enunta sintetic în urm¼atorul rezultat:Teorema V.8: Dac¼a r > 0 este raza de convergent¼a pentru seria de puteri

1Pn=0

anzn; atunci functia f : D(0; r)! C; f(z) =

1Pn=0

anzn este olomorf¼a.:

Observatia V.6: Seria1Pn=0

an(z� z0)n este absolut si uniform convergent¼a

pe compactele din D(z0; r); iar suma sa este olomorf¼a pe D(z0; r) .De�nitia V.10: O functie f : D � C! C (unde multimea D este deschis¼a)

se numeste analitic¼a pe D dac¼a:Oricare ar � z0 2 D exist¼a discul D(z0; r); r > 0 si exist¼a (an)n2N � C

astfel încât f(z) =1Pn=0

an(z � z0)n; pentru orice z 2 D(z0; r):

Folosind teorema V.8�pe �ecare disc D(z0; r) � D obtinem:

Teorema V.10: Orice functie analitic¼a este o functie olomorf¼a.

V.3. Serii Laurent

Vom studia în continuare un alt tip de serii de functii, speci�ce spatiului C; cese vor dovedi ulterior deosebit de importante în clasi�carea singularit¼atilor

izolate ale functiilor.

De�nitia V.11: 1) Se numeste serie Laurent o serie de forma:

1Xn=�1

an(z � z0)n; z0 2 C �xat, an 2 C;8n 2 N; (6)

unde prin sumarea de la �1 la +1 se întelege

1Xn=�1

an(z � z0)n =�1X

n=�1an(z � z0)n +

1Xn=0

an(z � z0)n

sau1X

n=�1an(z � z0)n =

1Xm=1

a�m(z � z0)�m +1Xn=0

an(z � z0)n:

Prima dintre cele dou¼a serii în care se descompune seria Laurent se numestepartea principal¼a, iar a doua se numeste partea analitic¼a (sau partea taylorian¼a)a seriei Laurent.2) O serie Laurent se numeste convergent¼a dac¼a atât partea principal¼a, cât

si partea sa taylorian¼a sunt convergente.

43

Pentru o serie Laurent ne vor interesa aceleasi probleme ca în cazul seriilorde puteri: structura multimii de convergent¼a, tipul de convergent¼a a seriei sipropriet¼atiile functiei sum¼a.

Teorema V.11: Multimea de convergent¼a pentru o serie Laurent1P

n=�1an(z�

z0)n este o coroan¼a circular¼a centrat¼a în z0:

D(z0; r1; r2) = fz 2 C j r1 < jz � z0j < r2g; 0 < r1 < r2:

Convergenta este absolut¼a si uniform¼a pe compactele din D(z0; r1; r2), iarsuma seriei este olomorf¼a.

V.4. Functii olomorfe pe multimi deschise

În continuare vom urm¼ari s¼a studiem problema reciproc¼a: în ce conditii ofunctie complex¼a se poate dezvolta în serie Taylor sau Laurent?Abord¼am mai întâi cazul seriilor Taylor.Dat¼a o functie f : D � C ! C; unde D este un deschis, ne întreb¼am ce

proprietate a lui f asigur¼a analiticitatea sa (adic¼a posibilitatea de a se dezvoltaîn serie de puteri în jurul �ec¼arui punct z0 2 D) :

f(z) =1Xn=0

an(z � z0)n; 8 z 2 D(z0; r):

De asemenea, ne întreb¼am ce relatie exist¼a între coe�cientii an si functia f, dar si cum s¼a g¼asim raza de convergent¼a r f¼ar¼a (eventual) a face dezvoltarealui f în serie de puteri. R¼aspunsul este dat de urm¼atoarea teorem¼a:

Teorema V.12 (analiticitatea functiilor olomorfe): Dac¼a f : D � C!C este olomorf¼a, iar D un deschis, atunci f este analitic¼a, anumepentru orice z0 2 D exist¼a r = d(z0; F r D) astfel încât 8 z 2 D(z0; r) are

loc dezvoltarea:

f(z) =

1Xn=0

f (n) (z0)

n!(z � z0)n:

Observatia V.7: Teoremele V.10 si V.12 ne spun c¼a, în cazul complex,functiile derivabile si cele analitice coincid (în R, functiile analitice nu sunt totuna cu functiile derivabile, nici m¼acar cu cele de clas¼a C1).

Exemplul V.3:: S¼a dezvolt¼am în serie de puteri în jurul originii functiileelementere:

I. f : C! C; f(z) = ez: Stabilim întâi multimea de convergent¼a:z0 = 0) r = d(0; F rC) = +1:

44

Apoi an =f(n)(0)n! = 1

n! (f (n)(z) = ez;8n 2 N): Atunci

ez =1Xn=0

1

n!� zn;8 z 2 C:

II. f : C n [�1;�1]! C; f (z) = ln (1 + z) :Raza de convergent¼a este r = d (0; [�1;�1]) = 1; deci dezvoltarea va avea

loc în D(0; 1):Derivatele succesive ale logaritmului sunt

f 0 (z) = 11+z ; f

00(z) = � (1 + z)�2 ; f 000 (z) = 1 � 2 � (1 + z)�3 ; ::::;f (n) (z) = (�1)n�1 (n� 1)! (1 + z)�n ; :::;de unde a0 = 0; a1 = 1; a2 = � 1

2 ; a3 =13 ; ::: ; an = (�1)

n�1 1n ; ::: .

Deducem c¼a dezvoltarea în serie Taylor a lui f este

ln(1 + z) =1Xn=0

(�1)n�1 1n� zn;8 z 2 D (0; 1) :

III. f; g : C! C; f (z) = sin z; g (z) = cos z:Dezvoltarea are loc pentru ambele functii în tot planul complex.Calcul¼am derivatele functiei f :

f 0 (z) = cos z; f 00 (z) = � sin z; f 000 (z) = � cos z; f IV (z) = sin z si apoiderivatele se repet¼a din patru în patru; urmeaz¼a c¼a

a4k = 0; a4k+1 =1

(4k+1)! ; a4k+2 = 0; a4k+3 = �1

(4k+3)! ; k 2 Z si dezvoltareaîn serie de puteri a functiei f este

sin z =1Xn=0

(�1)n 1

(2n+ 1)!� z2n+1;8 z 2 C:

În mod similar pentru g derivatele se repet¼a din patru în patru si va avealoc dezvoltarea

cos z =1Xn=0

(�1)n 1

(2n)!� z2n;8 z 2 C:

V.5. Functii olomorfe într-o coroan¼a circular¼a

Putem formula acum problema reciproc¼a pentru dezvolt¼ari Laurent: dat¼a ofunctie pe o coroan¼a circular¼a D(z0; r1; r2);s¼a g¼asim conditii care s¼a ne asiguredezvoltarea ei în serie Laurent dup¼a puterile (pozitive si negative) ale lui (z�z0):Teorema V.13: Dac¼a f : D(z0; r1; r2) ! C este olomorf¼a, atunci f se

poate dezvolta în serie Laurent dup¼a puterile lui z � z0:De�nitia V.12: Se numeste disc punctat coroana circular¼a D(z0; 0; r); cu

r > 0:

45

Observatia V.8: Seriile de puteri sunt în leg¼atur¼a cu discurile si functiileolomorfe pe disc, iar seriile Laurent sunt asociate coroanelor circulare si functi-ilor olomorfe în coroane circulare . Mai exact pentru D o multime deschis¼a si

z0 2 D; dac¼a f : D � C ! C este olomorf¼a, atunci f se dezvolt¼a în seriede puteri în jurul lui z0 pe un disc D(z0; r); iar dac¼a f : D nfz0g ! C esteolomorf¼a, atunci f este dezvoltabil¼a în serie Laurent în jurul lui z0 pe disculpunctat D(z0; r)nfz0g = D(z0; 0; r):

46

Capitolul al VI-leaReziduuri

VI.1. Singularit¼ati izolate.

De�nitia VI.1: Se numeste punct singular izolat pentru o functie f un

punct z0 dintr-o multime deschis¼a D � C astfel încât f : D nfz0g ! C esteolomorf¼a.Observatia VI.1: Dac¼a z0 este un punct izolat singular pentru f; rezult¼a

c¼a f admite dezvoltare Laurent pe discul punctat 0 < jz � z0j < r :

f(z) =1Xn=0

an(z � z0)n +1Xn=1

a�n(z � z0)�n:

În functie de felul cum se prezint¼a partea principal¼a din aceast¼a dezvoltare,putem avea urm¼atoarele tipuri de singularit¼ati izolate:De�nitia VI.2:1. z0 este punct singular aparent dac¼a partea principal¼a în dezvoltarea de

mai sus lipseste:a�n = 0; 8n � �1:

2. z0 este pol (de ordin n0) dac¼a partea principal¼a este o sum¼a �nit¼a:

9 n0 � 1 încât a�n0 6= 0, iar a�n = 0; 8 n > n0:

3. z0 este singularitate esential¼a dac¼a partea principal¼a este o serie efectiv¼a(multimea coe�cientilor nenuli din partea principal¼a este in�nit¼a):

cardfn 2 N�; a�n 6= 0g = �o:

Exemplul VI.1:

f(z) =ez � 1z

; z 2 C n f0g este functie olomorf¼a.

Se observ¼a c¼a punctul z0 sete singulsritate izolat¼a pentru functia f:

ez =1Xn=0

zn

n!) f(z) =

1

z�1Xn=1

zn

n!=

1Xm=0

zm

(m+ 1)!; care este serie de puteri efectiv¼a,

de unde rezult¼a c¼a z0 = 0 este singularitate aparent¼a.Exemplul VI.2:

f(z) =1

zn; z 2 Cnf0g

este gata dezvoltat¼a în serie Laurent în jurul punctului singular izolat z0 = 0 cupartea taylorian¼a 0, iar partea principal¼a 1

zn , de unde rezult¼a c¼a z0 = 0 este polde ordin n:

47

Exemplul VI.3:

f(z) = sin1

z; z 2 C n f0g;

având singularitatea izolat¼a z0 = 0:Folosind dezvoltarea functiei sinw în serie de puteri, f¼acând w = 1

z avem:

f(z) =1Xn=0

(�1)n(2n+ 1)!

�1

z

�2n+1având partea principal¼a chiar seria

1Xn=0

(�1)n(2n+ 1)!

1

z2n+1; de unde rezult¼a c¼a z0 = 0 este singularitate esential¼a.

Pentru o functie f : D n fz0g ! C olomorf¼a urm¼arim în continuare s¼a carac-teriz¼am tipurile de singularit¼ati izolate cu ajutorul limitei functiei f în punctulz0. Un prim rezultat, referitor la singularit¼ati aparente, este:

Teorema VI.1 (teorema de caracterizare a singularit¼atilor aparente):Fie f : D n fz0g ! C olomorf¼a, unde D � C este un deschis si z0 2 D: Atunciau loc echivalentele:1. z0 este singularitate aparent¼a;2. 9 lim

z!z0f(z) 2 C;

3. f este m¼arginit¼a într-o vecin¼atate V (z0) n fz0g;4. (caracterizarea lui Riemann) 9 lim

z!z0(z � z0) � f(z) = 0:

De�nitia VI.3: O functie g are un zerou de ordin n în z0 dac¼a exist¼a ofunctie olomorf¼a g1 având acelasi domeniu de de�nitie ca g încât g1(z0) 6= 0 sig(z) = (z � z0)n � g1(z) pe o vecin¼atate a lui z0.

Teorema VI.2: Fie f : D n fz0g ! C olomorf¼a, unde D � C un deschis siz0 2 D: Urm¼atoarele a�rmatii sunt echivalente:1. z0 este pol de ordin n pentru f ;2. Functia (z � z0)nf(z) are în z0 singularitate aparent¼a, culimz!z0

(z � z0)nf(z) 2 C n f0g3. Functia 1

f are în z0 un zerou de ordin n:

Teorema VI.3 (teorema de caracterizare a polilor): Fie f : D n fz0g !C olomorf¼a, unde D � C este multime deschis¼a si z0 2 D:

f are în z0 pol dac¼a si numai dac¼a 9 limz!z0

f(z) =1:

Exemplu VI.4: Fie f(z) = sin zz3 ; z 2 C n f0g; punctul z0 = 0 este singular-

itate izolat¼a pentru f: Pentru a stabili tipul singularit¼atii calcul¼amlimz!z0

f(z) = limz!0

sin zz � 1

z2 = 1; (deoarecesin zz ! 1 si 1

z2 ! 1 atunci când

z ! z0 ), deci z0 este pol.G¼asim ordinul polului: c¼aut¼am n 2 N� astfel încât 9 lim

z!z0(z � z0)f(z) 2

C n f0g:

48

limz!0

zn � sin zz3

= limz!0

zn�2 � sin zz

= 1 2 C n f0g pentru n = 2;

deci z0 = 0 este pol de ordin 2.

Teorema VI.4 (teorema de caracterizare a singularit¼atilor esentiale):Fie f : D n fz0g ! C olomorf¼a, unde D � C este deschis si z0 2 D: Urm¼a-

toarele a�rmatii sunt echivalente:1. f are în z0 singularitate esential¼a;2. Nu exist¼a lim

z!z0f(z) în C1;

3. Exist¼a dou¼a siruri (zn); (wn) � D n fz0g; cu zn; wn ! z0 încât f(zn) !A; f(wn)! B; iar A 6= B (A;B 2 C1):

VI.2. Reziduuri

De�nitia IV.4: Fie f : D n fz0g ! C olomorf¼a, unde D � C este deschissi z0 2 D: Atunci f admite pe un disc punctat 0 < jz � z0j < r o dezvoltareLaurent:

f(z) = :::+a�n

(z � z0)n+ :::+

a�1z � z0

+ a0 + a1(z � z0) + :::

Se numeste reziduul functiei f în z0 coe�cientul a�1 din aceast¼a dezvoltare.Vom nota a�1 = rez(f; z0):Motivarea notiunii: S¼a presupunem c¼a avem o curb¼a simpl¼a închis¼a ( ) �

D n fz0g încât z0 2 intD : AtunciZ

f(z)dz = :::+a�n

Z

dz

(z � z0)n+:::+a�1

Z

dz

z � z0+

Z

[a0 + a1(z � z0):::] dz:

Functia a0+ a1(z� z0) + ::: �ind olomorf¼a pe D(z0; r) � va avea integrala0 (conform teoremei fundamentale a lui Cauchy).Pentru n > 1; functia

1

(z � z0)n= (z � z0)�n are pe D n fz0g primitiva

(z � z0)�n+1�n+ 1 si deci

integrala sa pe curba închis¼a ( ) va � 0.Pentru n = 1 stim c¼a

R

dzz�z0 = 2�i (exemplul din paragraful III.2).

DeciR

f(z)dz = 2�i�a�1; ceea ce justi�c¼a interesul nostru pentru coe�cientul

a�1 dintre toti coe�cientii dezvolt¼arii.Metode de calcul a reziduurilor:I. Dac¼a z0 este singularitate aparent¼a pentru f; atunci (partea principal¼a

lipsind) avem:rez(f; z0) = 0:

49

II. a) Dac¼a z0 este pol pentru f , s¼a presupunem mai întâi c¼a z0 este pol deordin 1:

f(z) =a�1z � z0

+ a0 + a1(z � z0) + ::: ; pe 0 < jz � z0j < r:

) (z � z0)f(z) = a�1 + a0(z � z0) + :::;trecâd la limit¼a pentru z ! z0 în aceast¼a egalitate va rezulta c¼a

rez(f; z0) = a�1 = limz!z0

(z � z0)f(z):

Aplicatie: Fie f(z) = g(z)h(z) ; unde g; h : D � C! C olomorfe, z0 2 D încât

g(z0) 6= 0 si h(z0) = 0; h0(z0) 6= 0; h va avea în z0 un zerou de ordin 1 :

h(z) = (z � z0)h1(z) ; h1 olomorf¼a cu h1(z) 6= 0: Atunci

(z�z0)f(z) =g(z)

h1(z); functia

g

h1�ind olomorf¼a pe un disc D(z0; r);

g

h1(z0) 6= 0;

adic¼a f are în z0 un pol de ordin 1:

rez(f; z0) = limz!z0

(z � z0)f(z) = limz!z0

z � z0h(z)

� g(z) = g(z0)

h0(z0):

b) Dac¼a f are în z0 un pol de ordin n > 1; vom avea

(z � z0)nf(z) = a�n + a�n+1(z � z0) + :::+ a�1(z � z0)n�1 + a0(z � z0)n + :::;

derivând relatia succesiv de (n� 1) ori g¼asim:

[(z � z0)nf(z)](n�1) = (n� 1)!a�1 + n!a0(z � z0) + :::

obtinem rez(f; z0) = a�1 =1

(n� 1)! limz!z0[(z � z0)nf(z)](n�1):

III. Dac¼a z0 este singularitate esential¼a pentru f , neavând o formula decalcul pentru reziduu, modalitatea de a-l g¼asi este s¼a realiz¼am în jurul lui z0pentru f; pe un disc punctat, dezvoltarea Laurent.

50

VI.3. Teorema reziduurilor

Vom da în continuare rezultatul esential legat de calculul integralelor cur-bilinii pentru functii care au singularit¼ati izolate în interiorul domeniului deter-minat de curb¼a.

Teorema VI.5 (teorema reziduurilor): Fie f : D n fz1; :::; zng ! Colomorf¼a cu D � C multime deschis¼a si z1; :::; zn 2 D: Dac¼a � D n fz1; :::; zngeste o curb¼a simpl¼a închis¼a omotop¼a cu un punct în D; atunciZ

f(z)dz = 2�iX

zk2intD

rez(f; zk):

Figura VI.1

O extensie a acestei teoreme este asa numit¼a teorema a semireziduurilor:

Teorema VI.6 (teorema semireziduurilor): Fie un contur simpluînchis dintr-un domeniu D si f : Dn(fa1; a2; :::; amg [ fz1; z2; :::; zng) ! Co functie olomorf¼a, unde a1; a2; :::; am 2 intD sunt singularit¼ati izolate siz1; z2; :::; zn 2 sunt poli de ordin 1.i) Dac¼a adimte tangent¼a unic¼a în z1; z2; :::; zn; atunciZ

f(z)dz = 2�imXj=1

rez(f; aj) + �inXk=1

rez(f; zk):

51

ii) Dac¼a �k este unghiul dintre semitangente în zk la ; atunciZ

f(z)dz = 2�imXj=1

rez(f; aj) + inXk=1

(� � �k) rez(f; zk):

Figura VI.2

VI.4. Aplicatii ale teoremei reziduurilor în calculul unor integralereale

I. Ne propunem s¼a calcul¼am integrala

I =

2�Z0

R(cos t; sin t)dt;

unde R este o functie rational¼a al c¼arei numitor în cos t si sin t se anuleaz¼a.C¼aut¼am o curb¼a ( ) simpl¼a închis¼a (t) = x(t)+ iy(t) � C cu t 2 [0; 2�] si o

functie complex¼a f încât I s¼a se poat¼a exprima cu ajutorul integralei complexeR

f(z)dz:

O alegere convenabil¼a este cercul unitate (la fel de bine poate � luat oricealt cerc cu centrul în origine)

: jzj = 1, z = cos t+ i sin t; t 2 [0; 2�]:Cum �z = cos t� i sin t rezult¼a

cos t =z + �z

2; sin t =

z � �z2i

;

52

Înlocuim �z = jzj2z = 1

z si tinem cont c¼a dz = (� sin t+i cos t)dt = izdt; adic¼adt = dz

iz :Functia complex¼a de integrat va �

f(z) = R

�z + 1

z

2;z � 1

z

2i

�� 1iz:

Atunci, din teorema reziduurilor

I = 2�iXjzkj<1

rez

�R

�z + 1

z

2;z � 1

z

2i

�� 1iz; zk

�:

II. Fie R o functie rational¼a si vrem s¼a calcul¼am1R�1

eiax �R(x)dx: Pentru a

avea asigurat¼a convergenta la +1 si �1; conform criteriului de convergent¼a în� (vezi criteriile de convergent¼a a integralelor generalizate din functii pozitive);pentru R = P

Q va trebui s¼a presupunem c¼a:

În cazul a = 0; 1 + gradP < gradQ; adic¼a 2 + gradP � gradQ;În cazul a > 0; 1 + gradP � gradQ:Ne vom situa în prima ipotez¼a. În plus mai presupunem c¼a Q(x) 6= 0 8 x 2

R: Asigurati de convergenta integralei I =1R�1

eiax � R(x)dx avem c¼a I =

limr!1

rR�reiax � R(x)dx: Vom considera o curb¼a = 1 [ 2; unde 1 este seg-

mentul [�r; r] de pe axa real¼a; vom completa cu un semicerc 2 asa ca în�gura VI.3.

Figura VI.3

Functia pe care o alegem este f(z) = eiax �R(z):În toate exemplele, ideea general¼a este de a calcula, pentru o curb¼a si o

functie f convenabil alese,R

f(z)dz prin dou¼a metode: prin teorema rezidu-

urilor si prin teorema III.2, alegând o parametrizare a curbei ( ):Putem alege r > 0 su�cient de mare încât D s¼a contin¼a toate singularit¼atile

izolate ale lui f a�ate în semiplanul superior.

53

Cum R este functie rational¼a, singularit¼atile lui f vor � în num¼ar �nit ( vor� printre r¼ad¼acinile lui Q) si vor � poli (anulând numitorul, vor face ca limitafunctiei s¼a �e 1).Deci Z

f(z)dz = 2�iX

Im zk>0

rez(f; zk):

Parametrizând curba ( 1) avem z = t+ i � 0; t 2 [�r; r]; de unde dz = dt siR 1

f(z)dz =rR�rf(t)dt:

Ar¼at¼am c¼a limr!1

R 2

f(z)dz = 0 :

������Z 2

f(z)dz

������ � l( 2) � supz2 2

jf(z)j � �r � supz2 2

��eiaz�� � jR(z)j��eiaz�� = ��eiax�ay�� = e�ay � 1 pentru y = Im z > 0:

Rezult¼a ������Z 2

f(z)dz

������ � �r � supjzj=r

jR(z)j � �r � Mr2

r!1! 0:

Obtinem, prin trecere la limit¼a pentru r !1;

limr!1

Z

f(z)dz =

1Z�1

f(x)dx; adic¼a I = 2�iX

Im zk>0

rez(f; zk):

III. S¼a calcul¼am integrala real¼a generalizat¼a I =0R

�1R(x)dx; unde R este o

functie rational¼a R(x) = P (x)Q(x) cu Q(x) 6= 0 pentru x � 0:

Pentru a avea asigurat¼a convergenta la �1; conform criteriului în �, vomcere ca 2 + gradP � gradQ: Vom integra functia complex¼a f(z) = R(z) � ln zpe curba din �gura VI.4, ocolind partea de pe semiaxa real¼a negativ¼a prinsegmentele I1 si I2 paralele cu aceasta.

54

Figura VI.4

AvemZ

f(z)dz =

ZC(0;r)

f(z)dz +

ZI1

f(z)dz �Z

C(0;�)

f(z)dz �ZI2

f(z)dz: (1)

Parametriz¼am segmentele I1; I2 :I1 : z = x+ i"; x 2 [�r;��]; dz = dxI2 : z = x� i"; x 2 [�r;��]; dz = dxAtunci

ZI1

f(z)dz �ZI2

f(z)dz =

��Z�r

[R(x+ i") ln(x+ i")�R(x� i") ln(x� i")] dx

Pentru a calcula ln z pe cele dou¼a segmente observ¼am c¼a argumentul s¼audinspre semiplanul superior este �; iar dinspre semiplanul inferior este ��:

55

Explicit¼am logaritmul complex pe I1; I2:

ln(x+ i") = lnpx2 + "2 + i arg(x+ i") !

"!0ln jxj+ i�;

ln(x� i") = lnpx2 + "2 + i arg(x� i") !

"!0lnx� �i:

Atunci

ZI1

f(z)dz �ZI2

f(z)dz = 2�i

��Z�r

R(x)dxr!1!�!0

2�i �0Z

�1

R(x)dx: (2)

Integralele pe cele dou¼a cercuri tind la 0:�������Z

C(0;r)

f(z)dz

������� � 2�r � supjzj=rjR(z)j � jln zj � 2�r � sup

jzj=rjR(z)j � jln jzj+ i arg zj �

� 2�r � Mr2� (jln rj+ �) r!1! 0

�������Z

C(0;�)

f(z)dz

������� � 2�� � supjzj=�jR(z)j � (jln jzjj+ jarg zj) �

� 2�� �M � (� ln � + �) �!0! 0:

Pentru r > 0 su�cient de mare si "; � > 0 mici toate r¼ad¼acinile numitorului(adic¼a singularit¼atile lui f) s¼a se g¼aseasc¼a în intD :Aplicând teorema reziduurilor pe g¼asimZ

f(z)dz = 2�iX

zk2intD

rez(f; zk): (3)

Combinând acest rezultatele din (1) ; (2) si (3) deducem

limr!1;"!0;�!0

Z

f(z)dz ! 2�iI; de unde I =Xzk2C

rez(f; zk):

IV. S¼a calcul¼am integrala real¼a generalizat¼a I =1R0

R(x)dx; unde R este o

functie rational¼a R(x) = P (x)Q(x) cu Q(x) 6= 0 pentru x � 0:

Pentru a avea asigurat¼a convergenta la +1 vom presupune 2 + gradP �gradQ:Curba pe care o vom alege este cea din �gura VI.5 , iar functia de integrat

f(z) = R(z) � ln z;

56

Figura VI.5

unde vom presupune pentru functia ln c¼a argumentul ia valori în (0; 2�](deci z 2 C n [0;+1); ln z = ln jzj+ i arg z):Observ¼am c¼a pe semiaxa pozitiv¼a Ox, dinspre semiplanul superior argumen-

tul este 0, iar dinspre semiplanul inferior argumentul este 2�:Putem alege r > 0 su�cient de mare si "; � > 0 su�cient de mici încât toate

r¼ad¼acinile lui Q (adic¼a singularit¼atile lui f) s¼a se g¼aseasc¼a în intD :Atunci Z

f(z)dz = 2�iX

zk2intD

rez(f; zk):

Pe de alta parteZ

f(z)dz =

ZC(0;r)

f(z)dz +

ZI1

f(z)dz �Z

C(0;�)

f(z)dz �ZI2

f(z)dz:

Parametriz¼am I1 si I2 similar ca în cazul III anterior:I1 : z = x+ i"; x 2 [�; r]; dz = dx

57

I2 : z = x� i"; x 2 [�; r]; dz = dx si g¼asim

ln(x+ i") = lnpx2 + "2 + i arg(x+ i") !

"!0ln jxj+ i0 = lnx

ln(x� i") = lnpx2 + "2 + i arg(x� i") !

"!0lnx+ 2�i:

AtunciZI1

f(z)dz �ZI2

f(z)dz = �2�irZ�

R(x)dxr!1!�!0

�2�i �1Z0

R(x)dx:

Analog ca în cazul III,

����� RC(0;r)

f(z)dz

����� � 2�r � Mr2 � (jln rj+ 2�)r!1! 0 si����� R

C(0;�)

f(z)dz

����� � 2�� �M � (� ln � + 2�) �!0! 0:

Atunci1Z0

R(x)dx = �X

zk2intD

rez(f; zk):

V. S¼a presupunem acum c¼a dorim s¼a calcul¼am integrala real¼a I =1R0

R(x) lnxdx;

unde R este o functie rational¼a R(x) = P (x)Q(x) cu Q(x) 6= 0 pentru x � 0:

Pentru a avea asigurat¼a convergenta la +1 vom presupune din nou c¼a 2 +gradP � gradQ:Curba pe care o vom alege este tot cea din �gura VI.5 , iar functia de integrat

f(z) = R(z) � ln2 z:Facem aceeasi conventie ca la cazul IV si anume c¼a functia argument ia valori

în (0; 2�] (deci ln z = ln jzj+ i arg z; z 2 C n [0;+1) ):AvemZ

f(z)dz =

ZC(0;r)

f(z)dz +

ZI1

f(z)dz �Z

C(0;�)

f(z)dz �ZI2

f(z)dz:

Utilizând calculul f¼acut în exemplul precedent avem c¼a

����� RC(0;r)

f(z)dz

����� r!1! 0

si

����� RC(0;�)

f(z)dz

����� �!0! 0:

Dar

ln2(x+ i") !"!0

(lnx+ i0)2 = ln2 x;

ln2(x� i") !"!0

(lnx+ 2�i)2;

58

de undeZI1

f(z)dz �ZI2

f(z)dz = �2�irZ�

R(x) lnxdx+ 4�2rZ�

R(x)dxr!1!�!0

r!1!�!0

�2�i1Z�

R(x) lnxdx+ 4�2 �1Z0

R(x)dx:

Aceasta âmpreun¼a cu teorema reziduurilorZ

f(z)dz = 2�iX

zk2intD

rez(f; zk):

ne conduce la relatia

Xzk2intD

rez(f; zk) = �1Z�

R(x) lnxdx� 2�i �1Z0

R(x)dx:

Identi�când p¼artile reale din cele doi membri g¼asim

1Z�

R(x) lnxdx = �Re[X

zk2intD

rez(f; zk)]:

59