1TIBERIUDUMITRESCUALGEBRA1Bucuresti,20062ProfesoruluimeuNICOLAERADU3PREFAT ALucrareaseadreseazastudent ilordinanul Idelafacultat iledematem-atica si informatica din universitat i.In cuprinsul ei sunt prezentate rezultatedebazareferitoarelamult imi, funct ii, relat ii deechivalent a, operat ii alge-brice, monoizi, grupuri, inele, corpuri, ineledepolinoamenunasaumaimultenedeterminate, radacini alepolinoamelor, aritmeticalui Zsi K[X],polinoame simetrice, determinant i, spat ii vectoriale, sisteme de ecuat ii liniare,si teoria formei canonice Jordan. Urmand exemplul cart ii [6] a lui Irving Ka-plansky,materialul esteprezentatcaunsiraproapenentreruptdeteoreme.Numerotareateoremelorefacuta ncontinuarefaraat ineseamadetrecereadintr-uncapitol nurmatorul. Denit iilesirezultatelesuntfrecvent nsot itedeexemple, aplicat ii saucomentarii. Fiecarecapitol seterminacuolistadeexercit iidedicultatevariabila. Solut iilecompletealeacestorexercit iisegasesclasfarsitul lucrarii. Tot lasfarsit seaaunindexcarefaciliteazagasirea ntextanot iunilorsauteoremelorimportante.Autorul4Cuprins1 Mult imisifunct ii 91.1 Mult imi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Funct ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Familiidemult imi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4 Relat iideechivalent a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5 Exercit ii.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Operat iialgebrice,monoizi. 272.1 Operat iialgebrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2 Monoizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3 Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 Grupuri 373.1 Exempledegrupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Morsmedegrupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3 Subgrupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4 Subgrupulgeneratdeomult ime. . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5 Congruent emodulounsubgrup . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.6 Ordinulunuielement ntr-ungrup. . . . . . . . . . . . . . . . 453.7 Subgrupurinormale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.8 Grupulfactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.9 Grupuriciclice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.10 GrupulpermutarilorSn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.11 Ecuat iaclaselor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.12 Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554 Inele 614.1 Inel,subinel,ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6156 CUPRINS4.2 Morsmedeinele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.3 Inelfactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.4 Corpuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.5 IneluldepolinoameA[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.6 R adacinialepolinoamelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.7 IneluldepolinoameA[X1, ..., Xn] . . . . . . . . . . . . . . . . 804.8 Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835 AritmeticaluiZsiK[X] 875.1 Teorema mp art iriicurest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.2 Numereprime,polinoameireductibile. . . . . . . . . . . . . . 935.3 Complemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.4 Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986 Polinoamesimetrice 1016.1 Inelulpolinoamelorsimetrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.2 Teoremafundamental a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.3 Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077 Determinant i 1097.1 Propriet at iledeterminant ilor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.2 Dezvolt arialedeterminant ilor. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.3 Aplicat ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.4 Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198 Spat iivectorialesisistemeliniare 1238.1 Spat iivectoriale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238.2 Sistemedeecuat iiliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1328.3 Ranguluneimatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1368.4 Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389 FormacanonicaJordan 1439.1 Matriceaunuiendomorsm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1439.2 Formadiagonal-canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1469.3 FormaJordanauneimatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1519.4 Polinomulminimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1579.5 CazulK= C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1609.6 Aplicat iialeformeicanoniceJordan. . . . . . . . . . . . . . . 165CUPRINS 79.7 Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16910Solut iileexercit iilor 1758 CUPRINSCapitolul1Mult imisifunct iiAcest capitol are caracter introductiv. Se trecn revista conceptele demult ime, apartenent a, incluziune, operat ii cumult imi, mult imeapart ilor,produs cartezian, funct ie, compunere, injectivitate, surjectivitate, echipoten-t a, numarabilitate, familie de mult imi, relat ie de echivalent a, mult ime factor.1.1 Mult imiPrinmult iment elegemocolect ie de obiecte numite elementele mult imii.Dac axesteunelementalmult imiiA,atuncispunemcaxapart ineluiA siscriem x A; n caz contrar, spunem c a x nuapart ine lui A si scriem x , A.Deexemplu,1 1, 2, 3 si4 , 1, 2, 3,unde 1, 2, 3estemult imeaav andelementele1,2 si3.Spunem ca doua mult imi A, Bsunt egale dac a au aceleasi elemente, adic aA = B (x A x B). Cel mai simplu mod de a descrie o mult ime estespecicand elementele sale. De exemplu, 1, 2 este mult imea cu elementele 1si2. Ordineaelementelor sirepetit iilesunt irelevante. De exemplu, 1, 2 =2, 1 =1, 1, 1, 2. Omult ime se poate descrie si prinprecizareauneipropriet at i caracteristice aelementelor sale. De exemplu, 1, 2 = x R[x23x + 2 = 0.Fie A, Bdou a mult imi. Spunem c a A este o submult ime a lui Bsau ca Aeste inclusa n B, daca orice element al lui A este si element al lui B. NotamaceastaprinA BsauB A. Dac a, nplus,A ,= B,spunemcaAesteosubmult imeproprie a lui Bsau ca A este strictinclusa n Bsi notam A BsauB A. Rezult ac aA = BA BsiB A.910 CAPITOLUL1. MULT IMISIFUNCT IISevedeimediatc aegalitateasi incluziuneademult imi sunttranzitive,adic a,dac aA, B, Csuntmult imi,atunci(a)A BsiB Cimplic aA C,(b)A = BsiB= Cimplic aA = C.Avem urm atoarele exemple importante de mult imi. Mult imea numerelornaturale N = 0, 1, 2, ..., mult imea numerelorntregi Z = ..., 2, 1, 0, 1, 2,..., mult imea numerelor rat ionale Q, mult imea numerelor reale Rsi mult imeanumerelorcomplexeC. AulocincluziunileN Z Q R C.Nse poate introduce prinaxiomele lui Peano, iar Z, Q, Rsi Cse potobt ineprinanumiteconstruct ii porninddelaN(vezi exercit iile24, 25si26). Mult imeavida, , estemult imeacarenuarenici unelement. Putemscrie = x[x ,= x.Mult imea vid a este submult ime a oric arei mult imi. Fie A o mult ime. Not amcu T(A) sinumimmult imeapart ilorluiAmult imeaalecareielementesuntsubmult imileluiA,adicaT(A) = B[B A.Deexemplu, T()= si T(1)= , 1. FieA, Bdou amult imi. Sedenescurmatoareleoperat ii:A B= x[x Asaux B(reuniunealuiAcuB)A B= x[x A six B(intersect ialuiAcuB)A B= x A[x , B(diferent adintreA siB).De exemplu, 1, 21, 3 = 1, 2, 3, 1, 21, 3 = 1 si 1, 21, 3 =2. Douamult imi cuintersect iavidasezicdisjuncte. Deexemplu, 1, 2si 3, 4suntdisjuncte. Cumsearata nteoremaurm atoare, operat iiledereuniunesi intersect iesuntcomutative, asociativesi ecaredintreeleestedistributiv afat adecealalta.1.1. MULT IMI 11Teorema1FieA, B, Ctreimult imi. Atunci(a)A B A A B,(b)A B= B AsiA B= B A,(c)(A B) C= A (B C)si(A B) C= A (B C),(d)A (B C) = (A B) (A C),si(e)A (B C) = (A B) (A C).Demonstrat ie. L asamdemonstrat ia cititorului. Pentruexemplicare,prob am(e). Avemsirul deechivalent e: x A (B C) x Asaux B C x Asau(x Bsix C) (x Asaux B)si(x Asaux C) x (A B) (A C). Dac aAesteosubmult imeamult imiiX,atuncicomplementaraluiA nXeste (X(A)=X A. Deexemplu, (X(X)= si (X()=X. Celedou aegalit at iurmatoarepoartanumeledeformuleleluiDeMorgan.Teorema2FieXomult imesiA, B X. AtunciA B= A BsiA B= A BundeY= (X(Y ).Demonstrat ie. Avem: x A B x Xsi x ,A B x Xsix , A six , B x A six B x A B. Ceade-adouaegalitateseprobeaz aanalog. FieA, Bdou amult imi si a A, b B. Perecheaordonata(a, b) sedenesteprin(a, b) := a, a, b.Sevedeusorc adou aperechi (a, b)si (a

, b

)suntegaledacasi numai dacaa = a

si b = b

. Produsul cartezian ABal mult imilor A si Beste mult imeaacestorperechiordonate,adic aA B= (a, b)[a A, b B.Deexemplu, 1, 2 3, 4 = (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4). Rezult ac aA B= A = sauB= .12 CAPITOLUL1. MULT IMISIFUNCT II1.2 Funct iiFieAsi Bdou amult imi. Ofunct ie(sauaplicat ie)fdelaAlaB(notat ief: A B) este o submult ime a produsului cartezian ABcu proprietateapentruoricex Aexist a siesteunicbx Bcu(x, bx) f.Deci f asociazaec arui elementx Aununicelementbx Bpecare-lvomnotacuf(x). Asadar, pentruadeni ofunct ief : A Btrebuies aprecizammult imeaAnumit adomeniul de denit ieal lui f, mult imeaBnumit acodomeniul saudomeniul valorilorlui f si asociereaa f(a).Mult imea (a, f(a))[a A = fsemainumeste sigracul luif. Mult imeatuturorfunct iilorg: A BsenoteazacuBA.Deexemplu, f: 1, 2 1, 2, 3, f(n)=n + 1esteofunct iecugra-cul (1, 2), (2, 3). Pe de alt aparte, g : 0, 1, 2 R, g(x) =y undeyRsi x2+y2=1, nueste funct ie, deoarece g(0) =1, deci g(0)nuesteunicdeterminat, iarg(2)nuexista. Cualtecuvinte, submult imea(0, 1), (0, 1), (1, 0)alui 0, 1, 2Rnusatisfacecondit iadindenit iafunct iei.Prindenit ie, dou afunct ii f : A Bsi g : C Dsunt egaledac aA = C, B= D si f(x) = g(x) pentru orice x A. Fie doua funct ii f: A Bsig: B C. Compunereagfdintregsifestefunct iagf: A Cdenit aprin(gf)(x) = g(f(x))pentrux A.Deexemplu,dac af, g: R R,f(x) = sin(x),g(x) = x2,atunci(gf)(x) =sin2(x) iar (fg)(x) =sin(x2), deci fg ,=gf.Incazulncareofunct ieestedenit apeomult imenit aA = a1, ..., an,sepoatereprezentasubforma=_a1a2. . . an(a1) (a2) . . . (an)_. Deexemplu,funct iaf: 1, 2 1, 2, 3,f(n) = n + 1sepoatereprezenta_1 22 3_.Teorema3Fiefunct iilef : A B, g: B Csi h: C D. Atuncih(gf) = (hg)f(i.e.,compunereafunct iiloresteasociativ a).Demonstrat ie. Dac a x A, atunci (h(gf))(x) = h((gf)(x)) = h(g(f(x)))= (hg)(f(x)) = ((hg)f)(x). 1.2. FUNCT II 13O funct ie f: A Bse numeste funct ie injectiva sau mai simplu inject ie,dac apentruoricex, y Acux ,=yrezult af(x) ,=f(y)(echivalentdacapentru orice x, y A cu f(x) = f(y) rezult a x = y). O funct ie f: A Bsenumeste funct iesurjectiva sau mai simplu surject ie, dac a pentru orice y Bexist a x A astfel ncat f(x) = y. O funct ie se numeste funct iebijectiva saumaisimplubiject ie,dacaestesimultaninjectiva sisurjectiva.De exemplu, e funct iile f, g, h, k : Z Z date prin: f(m) = 2m, g(m) =[m/2],h(m) = m + 1sik(m) = m2. Atuncifesteinjectiv asinesurjectiva,g este surjectivasi neinjectiv a, heste bijectiva, iar k este neinjectivasinesurjectiv a.Dac aAesteosubmult imealuiB, atunciinject iai:A B, dataprini(x) = x,senumestefunct ia(aplicat ia)deincluziunealuiA nB. Biject iaIA: A A, dataprinIA(x) =x, senumestefunct ia(aplicat ia)identicaamult imii A. Severic aimediatcapentruoricefunct ief: A BavemIBf= fsifIA= f.Dac aA, Bsunt douamult imi, atunci surject iilepA: ABAsipB: AB B, date prin pA(x, y) = x si pB(x, y) = y, se numesc proiect iilecanonicealeprodusuluicartezianABpeprimarespectivadouacompo-nent a. Obiject ies: A Asemai numestepermutareamult imii A. Deexemplu,=_a b c db c a d_esteopermutareamult imii a, b, c, dTeorema4Fiefunct iilef, f

: A Bsi g, g

: B C. Atunci aulocurmatoareleimplicat ii(a)f, ginject ii gfinject ie,(b)f, gsurject ii gfsurject ie,(c)f, gbiject ii gfbiject ie,(d)gfinject ie finject ie,(e)gfsurject ie gsurject ie,(f)gfbiject ie finject iesigsurject ie,(g)gf= gf

siginject ie f= f

,(h)gf= g

fsifsurject ie g= g

.Demonstrat ie. (a). Fiex, y Aastfel nc at(gf)(x) =(gf)(y), adic ag(f(x)) =g(f(y)). Cumg, f sunt inject ii, obt inemf(x) =f(y) si apoix=y. (b). Fiez C. Cumg, fsuntsurject ii,exist ay Bcug(y)=zsiapoiexistax Acuf(x) = y. Obt inem(gf)(x) = g(y) = z.(c)rezultadin(a) si(b).14 CAPITOLUL1. MULT IMISIFUNCT II(d). Fiex, y Acuf(x) =f(y). Aplic andpegobt inem(gf)(x) =(gf)(y) sicumgfesteinject ie,rezultax = y.(e). Fie z C. Cum gfeste surject ie, exist a x A cu (gf)(x) = z. Deciy= f(x) Bsig(y) = z. (f)rezultadin(d) si(e).(g). Fiex A. Cumgf=gf

, rezult ag(f(x))=g(f

(x)), decif(x)=f

(x)deoarecegesteinjectiva.(h) Fie y B. Cum feste surject ie, exist a x A cu f(x) = y. Deoarecegf= g

f,rezultag(y) = (gf)(x) = (g

f)(x) = g

(y). Fie funct iile f, g: N N date prin f(n) = n+1 si g(n) = max(n1, 0).Atuncigf= INdarfnuestesurjectivaiargnuesteinjectiva.Teorema5Fief: A Bofunct ie. Atuncifestebijectivadaca sinumaidacaexistaofunct ieg: B Aastfelncat gf =IAsi fg=IB. Dacaexista,funct iagesteunica;gsenumesteinversaluifsisenoteazacuf1.Demonstrat ie. Implicat ia rezult adinpunctul (f)al Teoremei 4. .Fiey B. Cumf estesurjectiv a, exist ay

Aastfelncat f(y

) =y.Deoarece feste injectiv a, y

este unic determinat de y(deoarece f(y

) = y=f(y

)implicay

=y

). Denimfunct iag:B Apring(y)=y

. Pentruoricey B,rezult a(fg)(y)=f(y

)=y; decifg=IB. Deasemenea,dac ax A, atunci g(f(x))=f(x)

=x; deci gf=IA. Unicitatealui grezult adinpunctele(g) si(h)aleteoremei4. De exemplu, inversafunct iei f : N Ndat aprinf(m) =m+1este f1: NNdat aprinf1(m) =m 1. De asemenea, inversafunct iei h : RR, h(x) =x3+5x, x R, este funct ia h1(y) =3_y/2 +_y2/4 + 125/27 +3_y/2 _y2/4 + 125/27,y R.Fief : A Bofunct ie. DacaXA, atunci submult imealui B,f(X) = f(x)[ x X se numeste imaginea (directa) a lui Xprin f. f(A) senoteaz a cu Im(f) si se numeste imaginea lui f. E clar c a feste surjectiva dac asinumaidacaIm(f)=B. Deasemenea, dac aYB, atuncisubmult imealui A, f1(Y )= x A[ f(x) Y senumestepre-imagineasauimagineainversaaluiY prinf.Deexemplu, pentrufunct iah: N Z, dat aprinh(n)=(1)n, avemIm(h)= 1, 1, h(1, 3)= 1, h1(2)= si h1(1)=mult imeanumerelornaturalepare.1.2. FUNCT II 15Teorema6Fief: A Bofunct ie,X, W AsiY, Z B. Atunci(a)X W f(X) f(W),(b)Y Z f1(Y ) f1(Z),(c)f(X W) = f(X) f(W),(d)f(X W) f(X) f(W)(cuegalitatedacafesteinjectiva),(e)f1(Y Z) = f1(Y ) f1(Z),(f)f1(Y Z) = f1(Y ) f1(Z),(g)f1(f(X)) X(cuegalitatedacafesteinjectiva),(h)f(f1(Y )) Y (cuegalitatedacafestesurjectiva).Demonstrat ie. (a)si (b)suntclare. (c). Incluziunea rezult adin(a).Fiey f(X W). Atunciexist ax X Wastfel nc atf(x) = y. Rezultax Xsaux W,deciy f(X)sauy f(W).(d). Prima parte e clara. Presupunem finjectiv a si e y f(X) f(W).Exist ax Xsiw Wastfel ncatf(x) = f(w) = y. Dininjectivitatealuifrezult ax = w,deciy f(X W).(e). Avemsirul deechivalent e: x f1(Y Z) f(x) Y Z f(x) Y sauf(x) Z x f1(Y ) f1(Z).(f).seprobeazaasemanatorcu(e).(g).Dac ax X,atuncif(x) f(X),decix f1(f(X)). Reciproc,ew f1(f(X)). Atunci f(w) f(X), adicaexistax Xcuf(x)=f(w),deciw = x Xdac afesteinjectiva.(h).Relat iaf(f1(Y )) Y esteevidenta. Presupunemc afestesurjec-tiv asiey Y . Atunciexistax Acuf(x) = y. Rezultac ax f1(Y ),deciy f(f1(Y )). Teorema7FieAomult ime. Armat iileurmatoaresuntechivalente:(a)Aestenita,(b)oriceinject ief: A Aestebiject ie,(c)oricesurject ief: A Aestebiject ie.Demonstrat ie. (a) (b) si (a) (c). Fie A= a1, ..., an. Dac af esteinjectiv a, atunci f(a1), ..., f(an)suntelementedistinctedinA, decif(a1), ..., f(an) = A,adicafestesurjectiva.Dac afestesurjectiv a,atunci f(a1), ..., f(an) = Adecif(a1), ..., f(an)suntdistincte,adicafesteinjectiva.(b) (a)si (c) (a). Presupunemc aAesteinnita. Vomconstruifunct iile f, g: A A, finjectiv a nesurjectiv a, g surjectiv a neinjectiv a. Fiind16 CAPITOLUL1. MULT IMISIFUNCT IIinnit a, Aposed aosubmult ime innit aB= a1, a2, ..., an, .... Denimfunct iilef, g: A Aprinf(x) =_x dac a x A Ban+1dac a x = ang(x) =_x dac a x A B a1an1dac a x = an, n 2.Deoarecea1 ,Im(f), g(a1)=g(a2)si gf=IA, rezultac af esteinjectiv adarnesurjectivaiargestesurjectivadarneinjectiva. Proprietateaanterioaranepermitesadenimmult imilenitecaindmult imile Acuproprietateacaorice inject ie (surject ie) f : A Aestebiject ie.Teorema8FieA,Bmult iminitecumrespectivnelemente. Atunci(a)numarul submult imilorluiBeste2n(b)numarul funct iilordelaAlaBestenm(c)numarul permutarilorluiBesten!(d)dacam n,numarul inject iilordelaAlaBesten!/(n m)!(e)dacam n,numarul surject iilordelaAlaBestenmC1n(n 1)m+C2n(n 2)m+ + (1)n1Cn1n.Demonstrat ie. (a). Fie0 k n. Submult imileluiBav andkelementesuntnnum ar deCkn. Deci BareC0n+ C1n++ Cnn=(1 + 1)n=2nsubmult imi. Pentrucelelatearmat ii,veziexercit iul12. Spunem ca doua mult imi A, Bsunt echipotente sau ca au acelasi cardinalsinot amA Bsau [A[= [B[,dacaexist aobiject ief:A B. Eclarcadou a mult imi nite sunt echipotente dac a si numai dac a au acelasi numar deelemente. Dinacestmotiv,pentruomult imenit acunelementevomscrie[A[ = n.Pentru cazul mult imilor arbitrare,se poate proba usor c a relat ia de echi-potent a posed a propriet at ile reexivitate(A A), simetrie (A BB A)si tranzitivitate(A Bsi B C A C). Omult imeechipotent acuNsenumestemult imenumarabila. Eclarc aAestemult imenumarabil adac a si numai daca elementele lui A se pot aseza ntr-un sir innit. Cum Z =0, 1, 2, ..., Zestenumarabil a. NNestedeasemeaneanum arabila,deoareceavembiject iaf: NN N, f(a, b) = 2a(2b + 1) 1.1.3. FAMILIIDEMULT IMI. 17Intr-adev ar, orice num ar natural nenul se scrien mod unic ca produsul dintreoputerealui2 siunnum arimpar.Teorema9(Cantor). Mult imeanumerelorrealeestenenumarabila.Demonstrat ie. Presupunemc aRestenum arabila. Atunci intervalul(0, 1)estenum arabil. Fie a1, ..., an, ...o nsiruireanumerelordin(0, 1)siean= 0, an1an2 ank

reprezentareazecimalaalui an. Pentruecaren, ebnnocifr azecimal adiferit ade0,9 siann. Atuncinum arulcureprezentareazecimal a0, bn1bn2 bnn

apart inelui(0, 1)darnusegaseste n sirul a1, ..., an, ...,contradict ie. FieA, Bdou amult imi. Spunemc aAarecardinal mai micdecatB sinot am [A[ [B[, dac aexistaoinject ief : A B. Dacanplus, A, Bnusuntechipotente, not am [A[ < [B[. Aulocurm atoareledou arezultateremarcabile.Teorema10(Cantor). Pentruoricemult imeA, [A[ < [T(A)[.Demonstrat ie. Inject iai : A T(A), i(x)= x, nearat aca [A[ [T(A)[. Presupunemca avemo biject ie f : AT(A). Se consideramult imeaB= a A[ a ,f(a). Cumf estesurjectiv a, exist ab Acuf(b) = B. Dacab B,atuncib , f(b) = B,contradict ie;iardac ab , B,atuncib f(b) = B,dinnoucontradict ie. Teorema11(Cantor-Schroder-Bernstein). FieA, Bdouamult imi. Daca[A[ [B[si [B[ [A[,atunci [A[ = [B[.Demonstrat ie. Veziexercit iul9. 1.3 Familiidemult imi.Fie Mo mult ime nevida. Un sir (xn)n1de elemente ale lui M nseamn a, defapt, o funct ie f: N M, f(n) = xn. Mai general, dac a Ieste o mult ime, o18 CAPITOLUL1. MULT IMISIFUNCT IIfamilie de elemente (xi)iIdin Mindexata dupa mult imea I nseamn a funct iaf:I M, f(i)=xi. Isenumestemult imeaindiciloriarxielementul deindicei al familiei. Familia se zice nevida dac a Ieste nevida. De exemplu, omatrice de tip mn de numere reale este o familie indexata dup a mult imea1, ..., m 1, ..., n.Fie(Ai)iIofamilienevid ademult imi(adic a, ecareAiestemult ime).Operat iiledereuniune/intersect iesepotdenipentrufamiliiastfel_iIAi= x[ exist aix Icux Aix

iIAi= x[x Aipentruoricei I.Deexemplu, ni=1Ai= A1 An, 0.FieHunsubgrupal lui Gcecont inepeA. Dacax1, ..., xn A, atuncix11x12 x1n H,dindenit iasubgrupului. Deci< A > H. Corolarul29FieGungrupsiAosubmult imealuiG. Atuncisubgrupulgenerat deAesteintersect iatuturorsubgrupurilorlui Gcarecont inpeA,adica< A >=

AHGH.3.4. SUBGRUPULGENERATDEOMULT IME 43Expresialuidincorolarulprecedentpoarteluatadreptdenit iealui< A >.Corolarul30Fie G un grup si a1, ..., an G astfel ncat aiaj= ajaipentruoricei, j(e.g.,dacaGesteabelian). Atunci< a1, ..., an>= ak11 aknn [k1, ..., kn Z.Deexemplu,dac aa, b (Z, +),atunci< a, b >= aZ + bZ.Corolarul31Fiea, b, d, mnumerenaturale. Atunci(a)aZ +bZ = dZ d = cmmdc(a, b).(b)aZ bZ = mZ m = cmmmc(a, b).Demonstrat ie. (a). Conform teoremei, exist a d N astfel nc at aZ+bZ =dZ. Decia, b dZ,adicadestedivizorcomunalluia sib. Fiefundivizorcomunalluia sib. Atuncia, b fZ,decidZ = aZ+bZ fZ, sirezult ac afdivided. Armat ia(b)seprobeaz aanalog. Spunemc agrupul Gestegenerat desubmult imeaA, sauc aAesteunsistemdegeneratoripentruG,dac aG =< A >. Ungrupseziceciclicdac aeste generat de o submult ime cu un singur element. De exemplu, Z este ciclic.Ungrupciclicesteabelian.Intr-adev ar,dacaG =< a >,atuncielementeleluiGsuntdeformaaksiakal= ak+l= alak.Grupul permutarilor S3este generat de (12) si (13), deoarece (23) =(12)(13)(12),(123) = (13)(12)si(132) = (12)(13). CumS3nuesteabelian,el nueste ciclic. Grupul (Z2, +) este generat de (1, 0) si (0, 1) deoarece(a, b) =a(1, 0) + b(0, 1). Pedealt aparte, el nuesteciclic.Intr-adev ar,dac aZ2=, atunci exist am, n ntregi astfel nc at(1, 0)=m(c, d)si(0, 1) = n(c, d). Rezult ac ac = d = 0,contradict ie.UngrupGsezicenit generat dac apoategeneratdeosubmult imenit aasa. Evidentcaungrupnitestenitgenerat. Grupul (Q, +)nueste nit generat.Intr-adev ar, sa presupunem c a Q =< a1/b1, ..., ak/bk> cuai, bi Z,bi> 0. Fien = max(b1, ..., bk). Cumai/bi < 1/n! >,rezult ac aQ=. Dar1/(n + 1)! ,, deoarece1/(n + 1)!=a/n!cuantregimplicaa = 1/(n + 1),contradict ie.44 CAPITOLUL3. GRUPURI3.5 Congruent emodulounsubgrupConformteoremei 25, subgrupurile lui (Z, +) sunt submult imile nZcunnum arnatural. Dacaa, b Z,atuncia b(n) n [ a b a b nZ.Aceast aobservat iepermiteextindereanot iuniidecongruent alagrupuriarbitrare. Fie G un grup si Hun subgrup al lui G. Pe G denim urm atoarelerelat ii: x sy(H) x1y Hnumit acongruent alastangamoduloHsix dy(H) xy1 Hnumit acongruent aladreaptamoduloH.Teorema32FieGungrupsi Hunsubgrupal lui G. Atunci celedouacongruent e modulo Hsunt relat ii de echivalent a pe G. Clasele de echivalent aalecongruent eilastangasuntsubmult imileluiGdeformaxH= xh[ h Hcux G,numiteclaselast angamoduloH. Claseledeechivalent aalecongruent eiladreaptasuntsubmult imileluiGdeformaHx = hx[h Hcux G,numiteclaseladreaptamoduloH.Demonstrat ie. Demonstr am armat iile doar pentru congruent a la st angamodulo H, cele pentru congruent a la dreapta probandu-se analog. Fie x, y, z G. Avemx sx(H) deoarecex1x=1 H. Dacax sy(H), atuncix1yH, deci y1x=(x1y)1H, adic aysx(H). Presupunemc ax sy(H) si y sz(H). Rezult acax1y Hsi y1zH. Decix1z= (x1y)(y1z) H,adicax sz(H). Amvericatasadarc a s(H)este reexiv a, simetric a si tranzitiv a. Clasa de echivalent a a lui x const a dintoate elementele ycu x sy(H). Dar x sy(H) x1y H y xH. Vomnotacu(G/H)s(resp. (G/H)d)mult imeaclaselorlast anga(resp.la dreapta) modulo H. Cele dou a relat ii de congruent a coincid dac a si numaidac aauaceleasi clasedeechivalent a, adic a, dac asi numai dac axH=Hxpentru orice x G.In acest caz se spune c a Heste un subgrupnormal al luiG. Este clar c a toate subgrupurile unui grup abelian sunt normale. C and Heste subgrup normal, mult imea (G/H)s= (G/H)dse noteaz a mai simplu cuG/H.Teorema33FieGungrupsi Hunsubgrupal lui sau. Atunci mult imile(G/H)ssi (G/H)dsunt echipotente. Cardinalul comun al celor doua mult imisenumesteindiceleluiHnGsisenoteazacu[G : H].Demonstrat ie. Fief : G G, f(x) =x1. Eclarcaff =IG, decif estebiject ie. Dacah Hsi a G, rezultacaf(ah) =h1a1. Deci3.6. ORDINULUNUIELEMENT INTR-UNGRUP 45f(aH) = Ha1pentru orice a G. Cum (G/H)ssi (G/H)dsunt partit ii alelui G, rezulta c a aplicat ia aH Ha1: (G/H)s (G/H)deste bijectiv a. InS3consider amsubgrupulH= I, (12). ClaselelastangamoduloHsunt 1H=H, (13)H= (13), (123)si (23)H= (23), (132)ntimpceclaseleladreaptamoduloHsuntH1=H, H(13)= (13), (132)siH(23) = (23), (123). Deci[S3: H] = 3 siceledouacongruent emoduloHsuntdiferite,adicaHnuestesubgrupnormalalluiS3.Fie n 1. Cumclasele de congruent amodulonsunt 0, ..., n 1,deducemca[Z : nZ] = n.Pe de alt a parte [Q : Z] = .Intr-adev ar,dac a Q/Z = x1 +Z, ..., xn +Z,atunciQ =< x1, ..., xn, 1 >,contradict ie.Teorema34(TeoremaluiLagrange). FieGungrupnitsiHunsubgrupal luisau. Atunci[G[ = [H[[G : H].Inparticular, [H[divide [G[.Demonstrat ie. FieC1,...,CsclaselelastangamoduloH. Conformdeni-t iei,s = [G : H]. Fiea G. Aplicat iax ax : H aHesteobiject iecuinversay a1y. Deci [Ci[= [H[pentrui=1, ..., s. CumC1,...,Csesteopartit iealuiG,rezulta[G[ =s

i=1[Ci[ =s

i=1[H[ = [H[[G : H]. 3.6 Ordinulunuielement ntr-ungrupFieGungrup sixunelementalluiG. Ordinulluixsedenesteprinord(x) =_ dac a xn,= 1pentruoricen 1minn N[xn= 1 dac a exist an 1cuxn= 1.Eclar ca 1Gare ordinul 1.In grupul multiplicativ 1, i, avemord(i) =4deoarece i ,=1, i2= 1, i3= i si i4=1. De asemenea,oriceelementnenulalgrupului(Z, +)areordinulinnit.46 CAPITOLUL3. GRUPURITeorema35FieGungrupsi xunelement al lui Gdeordinnit =n.Dacak Z,atuncixk= 1dacasinumaidacandividek.Demonstrat ie. Dac andividek, atunci k =nq cuq Z, deci xk=(xn)q= 1, deoarece xn= 1. Reciproc, presupunem ca xk= 1. Fie k = nq+r,q, r Z,0 r < n mpart ireacurestaluiklan. Atunci1 = xk= xnq+r=(xn)qxr= xr,decir = 0,cf. denit ieiordinului. Ingrupul(C, ),elementeledeordinnitsuntr ad acinileunitat ii,adic ar adacinileecuat iilor deformazn=1, n 1. Pentrunxat, elesepotreprezentasubformatrigonometric ak= cos(2k/n) + i sin(2k/n), 0 k n 1.Se vede ca ord(1) = n. Mai general, ord(k) = n/(k, n), unde d = (k, n) estecmmdcalluiksin.Intr-adev ar,sk= 1 sk1= 1 n [ sk n/d [ sk/dn/d [ s,deoarece(n/d, k/d) = 1.Teorema36FieGungrupsixunelemental luiG. Atunciordinul luixesteegal cuordinul subgrupuluigeneratdex.Demonstrat ie. Presupunemcaord(x) = . Atuncipentruoricenumerentregi h 1 sisedividecup,deciG =< x >. Seaplicateorema44. 3.10 GrupulpermutarilorSnFie A o mult ime nevida. Reamintim ca SA este grupul permut arilor mult imiiA, grupfat adecompunereapermutarilor. DacaAsi Bsuntdou amult imiechipotente,atuncigrupurileSAsiSBsuntizomorfe,cf. exercit iului53.Inparticular,grupulpermut ariloruneimult iminitecunelementeesteizomorfcugrupul permutarilormult imii 1, 2, ..., n, gruppecare l not amcu Sn si-l numim grupul permutarilor de grad n. Conform exercit iului 12 (b),Snaren!elemente.Fien 1sia1, ..., aknumeredistincte ntre1sin. Reamintimc aciclul(a1, ..., ak)estepermutareadinSndenit aprina1 a2 an a1six xpentrux ,= ai. Num arulksenumestelungimeaciclului. Cicluriledelungime1senumesccicluritrivialeiarceledelungime2transpozit ii.GrupulSnesteabeliandac a sinumaidac an 2,deoareceS1siS2suntgrupuri abeliene, iar dac a n 3, atunci (12)(13) = (132) ,= (123) = (13)(12).Teorema47(Cayley.) Orice grup cu n elemente este izomorf cu un subgrupal grupuluipermutarilorSn.Demonstrat ie. FieGungrupcunelemente. DeoareceSnesteizomorfcuSG,estesucientsaar atamc aGesteizomorfcuunsubgrupalgrupuluipermut arilorSG. Pentruecareg G, consider amaplicat iatg: G G,tg(x) = gx. Dac ag, h, x G,atunci(tgth)(x) = ghx = tgh(x).Inparticular,tgestebiject iedeoarecetgtg1 =IG. Aplicat iaT:G SG,T(g)=tg,esteunmorsminjectivdegrupuri.Intr-adev ar,T(g)T(h) = tgth= tgh= T(gh)siker(T) = g[tg= IG = 1.DeciGesteizomorfcusubgrupulIm(T)alluiSG. MorsmulinjectivTsenumestescufundareaCayleyaluiGnSG. Pen-trugrupul lui KleinK=1, a, b, cscufundareaCayleyeste T(1) =I,T(a) =_1 a b ca 1 c b_,T(b) =_1 a b cb c 1 a_,T(c) =_1 a b cc b a 1_.3.10. GRUPULPERMUTARILORSN51Spunemcadouapermut ari si suntdisjunctedac apentruoricei 1, ..., nrezult a(i)=i sau(i)=i.Inparticular, ciclurile(a1, ..., ak),(b1, ..., bl)suntdisjuncte a1, ..., ak b1, ..., bl = .Lema48Fie, Snpermutaridisjuncte. Atunci(1)= .(2)Daca= I,atunci = = I.(3)s, tsuntdisjunctepentruorices, t 1.(4)Daca()p= 1,atuncip= p= I.Demonstrat ie. (1),(2). Putempresupunec a, ,= I. Fiei 1, ..., n.Dac a(i)=(i)=i, atunci ()(i)=i =()(i). Presupunemcaj =(i) ,=i. Cumesteinject ie, rezult ac a(j) ,=j. Deoarece, suntpermut aridisjuncte,(i) = i si(j) = j. Deci()(i) = (i) = j= (j) =()(i). Rezult a sica ,= I. Cazul(i) ,= isetrateazaanalog. (3). Dac as(i) ,= i,atunci(i) ,= i,deci(i) = i sit(i) = i. (4)rezult adinpuncteleanterioare. Teorema49Orice permutare Snse scrie ca produs de cicluri disjuncte,scriereaindunicapanalaordineaciclurilor.Demonstrat ie. Fie Sn. Pemult imea 1, ..., nconsider amrelat iadeechivalent ax ydac aexistak ntregcuk(x)=y. Claseledeechivalent aa11, ..., a1k1, a21, ..., a2k2, ..., as1, ..., asks, numitesi orbitelelui , for-meaz a o partit ie a mult imii 1, ..., n. Daca x 1, ..., n si k este cel mai micntreg 1 astfel ncat k(x) = x, atunci orbita lui x este x, (x), ..., k1(x)(elementedistincte,altfelsecontraziceminimalitatealuik).Rezult a c a, schimb and eventual notat ian interiorul ec arei orbite, putempresupunec aai1= ki(aiki) siaij= (aij1)pentru2 j kisi1 i s.Rezult ac a= (a11, ..., a1k1)(as1, ..., asks).Prob amacumunicitatea. Fie =(b11, ..., b1p1)(bt1, ..., btpt) o altascriere a lui ca produs cicluri disjuncte. Rezult a c a b11, ..., b1p1,...,bt1, ...,btptsuntorbitelelui , deci s=t. Conformlemei precedentecicluriledis-junctecomuta, deci putempresupunec a a11, ..., a1k1= b11, ..., b1p1,...,as1, ..., asks= bs1, ..., bspssi c aa11=b11,...,as1=bs1. Rezultaatunci ca(a11, ..., a1k1) = (b11, ..., b1p1),...,(as1, ..., asks) = (bs1, ..., bsps). Deexemplu,_1 2 3 4 5 6 7 8 94 6 2 1 9 3 5 7 8_= (14)(263)(5987).52 CAPITOLUL3. GRUPURITeorema50Ordinul unei permutari Snestecel mai micmultipluco-munal lungimiiciclurilorcomponente.Demonstrat ie. Dac a este un ciclu de lungime k, =(a1, ..., ak),atunci k,=I pentrup m. Decigrad(fg) grad(f) + grad(g). grad(fg) = m + ndac asinumaidac acoecientulanbmalluiXm+nestenenul. (c)rezultadin(b). Corolarul76FieAundomeniu. AtunciA[X]estedomeniu siU(A[X]) =U(A).Demonstrat ie. Primaarmat ierezultadinpunctul(c)alteoremeiante-rioare. Fief, g A[X] cufg=1. Dinteoremaprecedent a, rezult ac af, gsuntpolinoameconstante(i.e. degradzero). Fie L un corp comutativ. Corpul de fract ii al inelului de polinoame L[X]se numeste corpul fract iilor rat ionale peste L si se noteaz a cu L(X). O fract ierat ionalaesteunc atdedou apolinoameP/QcuQ ,= 0.Teorema77Fieu: A Bunmorsmdeinelecomutativesi x B.Atuncifunct iav: A[X] B,v(a0 + a1X + + anXn) = u(a0) + u(a1)x + +u(an)xnesteunmormdeinele.Demonstrat ie. Fief=

mi=0aiXisig=

nj=0bjXj,f, g A[X]. Avemv(fg) = v(m+n

k=0

i+j=kaibj)Xk=m+n

k=0

i+j=ku(ai)u(bj))xk== (m

i=0u(ai)xi)(n

j=0u(bj)xj) = v(f)v(g).Vericareaegalitat iiv(f+g) = v(f) + v(g)sefaceanalog. Fie A un subinel al inelului B si x B. Dac a f= a0+a1X++anXnA[X] atunci f(x)=a0 + a1x ++ anxnsenumestevaloarealui fnx.Funct iaf: B B,f(y) = f(y)senumestefunct iapolinomialaasociataluif. Deexemplu,dac ag= X2+ X Z2[X],atunci gestefunct ianula.78 CAPITOLUL4. INELE4.6 RadacinialepolinoamelorTeorema78(Teorema mpart irii curest.) FieAuninel comutativsi ef, g A[X] astfelncat gestepolinomnenul cucoecientul dominant in-versabil (e.g. gunitar). Atunciexistasisuntunicepolinoameleq, r A[X]astfel ncatf= gq +r cu grad(r) < grad(g).Polinoamelef, g, q, rsenumescdempart it,mpart itor, catsi repectivrest,iaregalitateaf= gq +rsenumesteidentitatea mpart irii.Demonstrat ie. Fier= f gqpolinomuldegradcelmaimic ntretoatepolinoameledeformaf gwcuw D[X]. Dac agrad(f gq) grad(g),atunci e Xnmonomul conduc ator al lui fgq si Xmmonomul conduc atoral lui g. Atunci f gq1Xnmg este un polinom de grad < grad(f gq),contradict ie.Prob amunicitatealuiqsir. Fieq

, r

D[X]astfel nc atf= gq

+r

sigrad(r

) < grad(g). Sc azandceledouaexpresiialeluifrezult ag(q q

) =r

rsi grad(r

r) N,dac aexistak,1 k< n,astfel nc ati1= j1,...,ik= jksiik+1> jk+1. Altfelspus, M> Ndac a prima component a nenul a a vectorului (i1j1, ..., injn)este> 0. VomscrieM Ndac aM> NsauMesteasemeneacuN.Se observa analogia cu modul de ordonare a cuvintelor ntr-un dict ionar:eca sicumamcomparacuvintele(i1, ..., in) si(j1, ..., jn).Deexemplu,Xk1 Xl1 k lsiX21> X1X2> X1X3> X22> X2X3>X23.Teorema113FieM, N, P, Qpatrumonoamenenule. Atunci(a)M NsauN M.(b)DacaM NsiN P,atunciM P.(c)DacaM NsiN M,atunciMsiNsuntasemenea.(d)DacaM N,P QsiMP, NQ ,= 0,atunciMP NQ.La(b)si(d),dacaunadininegalitat iledinipotezaestestricta,atuncisiinegalitateadinconcluzieestestricta.Demonstrat ie. (a) si (c) rezult adindenit ie. FieM=aXi11Xinn,N =bXj11 Xjnn, P =cXk11 Xknnsi Q=dXl11Xlnn. (b). Putempresupunec aM>Nsi N>P altfel armat iaeclar a. Atunci vectorii(i1j1, ..., injn) si(j1k1, ..., jnkn) auprima componenta nenul a> 0.Rezult a c a si suma lor (i1k1, ..., inkn) are prima component a nenul a > 0,6.1. INELULPOLINOAMELORSIMETRICE 103deci M>P. (d). Trat amcazul M>Nsi P>Q, celelalteseprobeaz aanalog. Atunci vectorii (i1 j1, ..., in jn)si (k1 l1, ..., kn ln)auprimacomponent a nenul a > 0, deci si suma lor (i1+j1k1l1, ..., in+jnknln)areprimacomponentanenul a> 0,adicaMN> PQ. Inanumiteprivint e,ordinealexicogracasecomport asimilarrelat ieideordinepemult imeanumerelornaturale.Teorema114Oricesirstrict descrescatordemonoamedinA[X1, ..., Xn]estenit.Demonstrat ie. Faceminduct iedup an, pentrun=1proprietateaindclar a. Fien 2si presupunemc aexistaunsirinnitstrictdescresc atordemonoameM1>M2>M3> . Izol and necaremonomMjnede-terminata X1, obt inemXi11N1>Xi21N2>Xi31N3>, unde Njsuntmonoamennedeterminatele X2, ..., Xn. Rezult ac ai1i2i3 ,deci existasastfelnc atik=ispentruoricek s. Rezult asirul innitNs> Ns+1> Ns+2> , ncontradict iecuipotezadeinduct ie. Fie fun polinom nenul. Numim termen principal al lui f, si-l not amT(f),celmaimaremonomalluifnordinealexicograc a. Deexemplu,T(s1) =X1. Pentrupolinoame ntr-osingur anedeterminat a,termenulprincipalestechiarmonomuldominant.Teorema115DacaaXi11Xi22Xinnestetemenul principal al unuipolinonsimetric,atuncii1 i2 in.Demonstrat ie. Fie f unpolinomsimetricsi N=bXj11Xj22 Xjnnunmonom nenul al s au. Fiind simetric, fcont ine odat a cu Ntoate monoamelebXj(1)1Xj(2)2 Xj(n)n , Sn.Intreacestea, cel mai mare nordinealexi-cograc aestecelpentrucarej(1) j(2) j(n). Inparticular, pentrupolinoamelesimetricefundamentaleavemT(sk)=X1 Xk,1 k n.Teorema116Fief, g A[X1, ..., Xn]douapolinoamenenule. DacaT(f)T(g) ,= 0(e.g.,dacaAestedomeniu),atunciT(fg) = T(f)T(g).104 CAPITOLUL6. POLINOAMESIMETRICEDemonstrat ie. Scriemf= M0+M1++Mk si g= N0+N1++Nl undeM0= T(f)siN0= T(g),M1, ..., MksuntmonoamestrictmaimicicaT(f)siN1, ..., NlsuntmonoamestrictmaimicicaT(g). Rezult afg=

i,j MiNjsum a ncareM0N0=T(f)T(g)estestrictmai maredec attot i ceilalt i ter-meniMiNj,cf. teoremei113. DeciT(fg) = T(f)T(g). 6.2 TeoremafundamentalaTeorema117(Teorem fundamentala a polinoamelor simetrice.) Orice poli-nomsimetricf A[X1, ..., Xn]sescrie nmoduniccaexpresiepolinomialacucoecient inAde polinoamele simetrice fundamentale s1, ..., sn, adicaexistasiesteunicunpolinomg A[Y1, ..., Yn]astfel ncatf= g(s1, ..., sn).Existent a lui grezult a din urmatorul algoritm (unicitatea lui gva probat aulterior).Algoritmul118(Exprimarea unui polinom simetric n funct ie de polinoamelesimetricefundamentale).Input: f A[X1, ..., Xn]polinomsimetric.Output: g A[Y1, ..., Yn]astfel nc atf= g(s1, ..., sn).g:= 0;h := f;while(h ,= 0)dobeginaXi11Xi22Xinn=termenulprincipalalluih;h := h asi1i21si2i32 sin1inn1sinn ;g:= g +aYi1i21Yi2i32 Yin1inn1Yinn;end.Corectitudineaalgoritmuluirezult adinurm atoareleobservat ii. Cf. teo-remei 112, h r amane simetric n timpul desf asurarii algoritmului. Rezulta caT(h) = aXi11Xi22Xinnare proprietatea i1 i2 in, cf. teoremei 115.Deci, au sens expresiile asi1i21si2i32 sin1inn1sinnsi aYi1i21Yi2i32 Yin1inn1Yinn. Cf. teoremei116,asi1i21si2i32 sin1inn1sinnaretermenulprincipalaXi1i21(X1X2)i2i3 (X1 Xn1)in1in(X1 Xn)in= aXi11Xi22Xinn.6.2. TEOREMAFUNDAMENTALA 105Deci la ecare parcurgere a buclei while, T(h) scade strict.In consecint a,buclawhileseparcurgedoardeunnumarnitdeori, cf. teoremei 114.Inne, se observ a c a dup a init ializ arile g:= 0, h := f, avem f= h+g(s1, ..., sn),egalitatecesepastreazadup aecareparcurgereabuclei while. Lasfarsitvomaveah = 0,decif= g(s1, ..., sn). Deexemplu,pentruf= X21++ X2n,variabilelealgoritmuluiiauval-orileurm atoare: h = f, 2s1, 0,T(h) = X21, 2X1X2sig= 0, Y21 , Y21 2Y2.Adic af= s212s2.Demonstrat ia unicitat ii lui g. Fie g, g

A[Y1, ..., Yn] distincte; deciG := g g

,= 0. E sucient s a arat am c a G(s1, ..., sn) ,= 0. Fie G =

ki=1Miscrierea canonic a a lui Gca sum a de monoame. Atunci G(s1, ..., sn) =

ki=1Mi(s1, ..., sn) ,= 0,deoarece polinoamele Mi(s1, ..., sn) au termenii prin-cipalimonoameneasemeneadou acatedou a.Intr-adev ar,eM= aYi11Yi22 Yinn, N= bYj11Yj22 Yjnndou a monoame nenule neasemenea astfel ncat M(s1, ..., sn) si N(s1, ..., sn) autermenii principali monoameasemenea. CumM(s1, ..., sn)=asi11 si22sinnaretermenulprincipalaXi11(X1X2)i2 (X1 Xn)in= aXi1++in1Xi2++in2 Xin+in1n1XinniarN(s1, ..., sn)aretermenulprincipalbXj1++jn1Xj2++jn2 Xjn+jn1n1Xjnnrezult ac ain=in, in1=jn1,...,i1=j1, deci monoamele M, Nsuntasemenea,contradict ie.Teorema119Componenteleomogenealeunuipolinomsimetricsuntpoli-noamesimetrice.Demonstrat ie. Fief A[X1, ..., Xn] unpolinomsimetricsi ef0, ..., fkcomponentele sale omogene. Dac a Sn si not am fj(X(1), ..., X(n)) cu fj ,obt inem f= f0+f1+ +fn. Cum fjeste polinom omogen de grad jsif= f, deducem ca fj= fjpentru orice j si orice permutare . Deci ecarecomponent aomogenafjestepolinomsimetric. 106 CAPITOLUL6. POLINOAMESIMETRICERezult ac aalgoritmul118poaterulatseparatpentruecarecompo-nent aomogenaaunui polinomsimetric. Presupunemc a nalgoritmul 118,f estesimetricsi omogendegradk. Seobserv ac a, ntimpul desf asur ariialgoritmului, hesteomogendegradksaunul. Mai mult, termenul princi-pal al lui hestemai micdec attermenul principal al lui f. Deci f esteosum a de monoame de tipul asi1i21si2i32 sin1inn1sinncu i1+ +in= k,i1 i2 insi Xi11XinnT(f). Coecient ii apotdeterminat id andvaloripaticularenedeterminatelorX1, ..., Xn.Deexemplu, ef =(X1 + X2)(X1 + X3)(X2 + X3). f estesimetricsiomogendegrad3 siT(f) = X21X2. Tripletele(i1, i2, i3)ceveric acondit iileprecedentesunt (2, 1, 0)si (1, 1, 1). Deci f =s211s102s03+ as111s112s13=s1s2 +as3. Fac and X1= X2= X3= 1, g asim 9 +a = 8, adic a a = 1. Decif= s1s2s3.Lema120Fief A[X1, ..., Xn] unpolinomomogensi simetricdegradkcu1 k < n. Atuncif(X1, ..., Xk, 0, ..., 0) ,= 0.Demonstrat ie. Fie M=aXi11Xi22Xinntermenul principal al lui f.Atunci i1 i2 in, cf. teoremei 115. Cumi1++ in=ksikX21X22X23. Deci f=s21s22 +as31s3+bs32+cs1s2s3+ds23. Dand nedeterminatelor X1, X2, X3valorile 1, 1, 0;2, 1, 1; 1, 2, 2; 1, 1, 1seobt inecuat iile4 + b=0, 27b + 4d=0,108a + 16d = 0si1 a b + c + d = 0,deunderezult aa = 4,b = 4,c = 18,d = 27.171. f1=s1s3 4s4, f2=s22 2s1s3 + 2s4, f3=s21s2 s1s3 2s22 + 4s4,f4= s1s222s21s3s2s3 + 5s1s45s5.172. Facem s1= 0, s2= p, s3= q n rezultatul ex. 170. D = 4p327q2.173. y1+ y2=2s31+ as1s2+ bs3=bs3. Facemx1=1, x2=, x3=2si avemb=0 + 33=27. Deci y1 + y2= 27q. y1y2=cs32 + ds23. Facemx1= 1,x2= ,x3= 2siavemd = 0,apoix1= 1,x2= 1,x3= 0 siavemc = ((1 )(1 2))3= 27. Ecuat ia este y2+27qy 27p3= 0 cu r ad aciniley1,2= 27(q/2 _(q/2)2(p/3)3). Fie =3_q/2 +_(q/2)2+ (p/3)3si=3_q/2 _(q/2)2+ (p/3)3. Dinrelat iilex1 + x2 + x3=0, x1 + x2 +2x3=3, x1 + 2x2 + x3=3, deducemx1= + , x2=2 + six3= +2. Din faptul ca x1este r adacin a,deducem = p/3. Pentrux3+ 6x + 2 = 0,obt inem =32 si= 34.174.Dinteoremafundamentalaapolinoamelorsimetrice,aplicat iaf(X, Y ) f(X + Y, XY ) : R[X, Y ] Aesteunizomorsmdeinele. DeciA/(X2+Y2) R[X, Y ]/(X22Y ) R[X].175. (1). Curegulalui Sarrusseobt ineD=2. (2). Seadun aliniilelaprima, se d a factor comun a+b+c, apoi se scade prima coloan a din celelalte.Se obt ine D = (a +b +c)(ab +bc +ca a2b2c2). (3). Este determinantVandermonde, D = (ca)(cb)(ba). (4), (5). Se consider a determinantulVandermonde1 1 1 1a b c Xa2b2c2X2a3b3c3X3n care se evalueaz a coecient ii lui X2si X.197Se obt in valorile (ca)(cb)(ba)(a+b+c) si (ca)(cb)(ba)(ab+ac+bc).Se poate proceda si direct scaz and prima coloan a din celelalte si dand factoricomunib a,c apecoloane.176.Inmult ind determinantul cu transpusul sau se obt ine D2=3 p1p2p1p2p3p3p3p4cupk= xk1 + xk2 + xk3. DinformuleleluiNewtonseobt inep1= 0,p2= 2p,p3= 3q,p4= 2p2. Rezult aD2= 27q24p3.177. (1). Se aduna toate liniile la prima, se d a factor comun a+3b, dup a carese scade linia 1nmult it a cu b din celelalte. Se obt ine D = (a+3b)(ab)3. (2).Privim determinantul ca polinom n x. Prin adunari de linii se observ a c a elare r ad acinile y z(de exemplu,adun and toate liniile la prima se observar adacina y z). Rezult a D = (x +y +z)(x y z)(x y +z)(x +y z).(3). Privimdeterminantulcapolinom na. Prinadun arideliniiseobserv ac ael arerad acinile b c d, b + c + d, b c + d, b + c d. Rezult aD = (a + b + c + d)(a +b c d)(a b +c d)(a b c d).178.Seevalueaz acoecientulluiXindeterminantulVandermonde1 11 1a1a2 anXa21a22 a2nX2. .. .ai11ai12 ai1nXi1ai1ai2 ainXiai+11ai+12 ai+1nXi+1. .. .an1an2 annXn.Seobt ineD = (

a1 ani)

k>j(akaj).179. Sc adem prima linie din celelalte, dam aix factori comuni pe coloanesi adunam coloanele la prima. = x(a1x)(a2x)(anx)(1/x+1/(a1x) + + 1/(anx)).198 CAPITOLUL10. SOLUT IILEEXERCIT IILOR180. Dezvolt anddup aprimeledoualinii avemD=5 32 55 3 02 5 30 2 55 02 32 3 00 5 30 2 5= 665.181. Dezvolt anddupa prima linie se obt ine relat ia de recurent a Dn=5Dn16Dn2. Rezolv and ecuat ia caracteristica a recurent ei, x25x+6 = 0,seobt ineDn= 3n+12n+1.182.Fieorad acin adeordinulnaunitat ii. Egalitatea(a1 +a2 + +ann1) = an +a1 + +an1n1arat ac aAB=________f(1) f(2)f(n)1f(1) 2f(2)nf(n)21f(1) 22f(2)2nf(n). ..n11f(1) n12f(2)n1nf(n)________.Rezult aca [AB[= [A[[B[=f(1)f(n)[B[, iar [B[ ,=0deoareceBesteundeterminantVandermonde. Seobt ine [A[ = f(1)f(n).183. Presupunemcaexist aunmorsmdegrupuri surjectivf: Z2Z3.Fief(1, 0) =(a, b, c)si f(0, 1) =(a

, b

, c

). Cumf estesurject ie, exist ad, e, d

, e

, d

, e

Zastfel ncat (1, 0, 0) =f(d, e), (0, 1, 0) =f(d

, e

) si(0, 0, 1) =f(d

, e

). Cucalculedefelul (1, 0, 0) =f(d(1, 0) + e(0, 1)) =df(1, 0) + ef(0, 1), searat ac a___d e 0d

e

0d

e

0______a b ca

b

c

0 0 0___=I3, egalitateimposibil adeoarecelu anddeterminantul ambilor membri obt inem0=1.Alt a solut ie. Dac a grupurile Z2si Z3sunt izomorfe, atunci grupul Z2/2Z2Z22esteizomorf cuZ3/2Z3Z32, fals. Alt asolut ie. Searat acasunt 8morsmedegrupuriZ3Z2, sinumai4morsmedegrupuriZ2Z2.184. Fie R inelul endomorsmelor Q-spat iului vectorial Q[X] si e a, b, c, d R determinate prin a(Xn) = X2n, b(Xn) = X2n+1, c(X2n) = Xn, c(X2n+1) =0,d(X2n) = 0,d(X2n+1) = Xn,n 0. SeiauA = (ab) siB=_cd_.199185. Liniile unei matrice inversabile formeaz a o Z2-baz a a spat iului vectorialZ32. Prima linie, L1, poate orice vector nenul, deci poate aleas an 81 = 7moduri. Adoua, L2, poateoricevectorneproport ional cuL1, deci poatealeas an8 2=6moduri. Atreia, L3, poateoricevectornafarasubspat iului generatdeL1si L2, deci poatealeasa n8 4=4moduri.Inconcluziesunt168dematriceinversabile.Ingeneral sunt(qn 1)(qnq)(qn qn1)matriceinversabiledeordinncuelementedintr-uncorp(comutativ)cuqelemente.186. OmatriceA M3(Z4)esteinversabiladac asi numai dac aredusaeimodulo 2 este inversabila. Cate 16 asfel de matrice au aceeasi redus a modulo2,decinumarulc autateste16168 = 2688,cf. ex. precedent.187.Inverselesunt(ad bc)1_d bc a_,_cos sinsin cos_,_sin coscos sin_,___1 0 a0 1 b0 0 1___.188.FieE= In +U. Dinrelat iaE2= nE,deducemU1= (n 1)1(U +(2 n)In).189.Sevedec aBC=nIn, undeCestetranspusaconjugateiluiB, adic aC=_____1 n11 11 n12 2..1 n1n n_____,deoarece1 +n1ij + +in1j= 1 +j/i + + (j/i)n1= 0,pentrui ,= j.190.Rezult adinfaptulcaXX= pentruoriceX T(A). Obazaestex[x A.191. Faptul c aEnd(V ) esteinel severic ausor. Fiea K. Condit iaa(x +y) = ax +ay,pentrux, y V ,esteechivalent acuf(a) End(V ),iarcelelalte condit ii din denit ia spat iului vectorial sunt echivalente cu faptul c afestemorsmdeinele.192. Fie Kuncorp. Se foloseste exercit iul precedent, t in andseamacaEnd(Z) = Z sic anuexistamorsmedeineleK Z.200 CAPITOLUL10. SOLUT IILEEXERCIT IILOR193.Suntsubspat iisubmult imiledela(a),(e) si(f).194. U+ V ==R3, U V =.195.Omatricesimetricaareforma___a b cb d ec e f___iarunaantisimetricaareforma___0 a ba 0 cb c 0___. Deci dimR(V )=9, dimR(S)=6si dimR(A)=3.Eclarc aS A = 0,deciV= S A.196. Sirurile(sin(n/3))n0, (cos(n/3))n0veric arelat iaderecurent a,de exemplucos(n/3)+cos((n 2)/3) =2cos((n 1)/3)cos(/3) =cos((n1)/3). Ele sunt liniar independente: a sin(n/3)+b cos(n/3) = 0,n 0, implica 0 = a sin 0 +b cos 0 = a sin /3 +b cos /3, deci a = b = 0.Dac a sirul (xn) verica relat ia de recurent a, atunci xn= x0cos(n/3)+(2x1x0)sin(n/3)/3.197. Fiek 0. FieXk=fq + b0 + b1X++ bn1Xn1mpart ireacurestaluiXklaf. Cumf(y) = 0,rezult ac ayk= b0 + b1y + + bn1yn1.Presupunem c a 1, y, ..., yn1sunt liniar independente peste Q. Atunci exist aun polinom nenul g= c0+c1X+ +cn1Xn1 Q[X] cu g(y) = 0. Cum festeireductibil,existau, v Q[X]cuuf+ vg= 1. Fac andX= yobt inem0 = 1,contradict ie.198. 1/2=cos(60) =4cos3(20) 3cos(20), deci y =cos(20) ester adacin apolinomului P =8X3 6X 1. Cum 1nusunt r adacini alelui P(X/2) =X33X 1, rezultacaP este ireductibil peste Q. Dinexercit iul precedentdeducemc a1, y, y2suntliniarindependentepesteQ.Cumcos(20n)areformaf(y)cuf Q[X],rezult aca1,y,y2esteobazaaluiW.199. Adaptat i prima parte a demonstrat iei teoremei 140, justic and existent amult imii liniar independente maximale Bcu ajutorul lemei lui Zorn (vezi [5,teoremaV.4.3]).201200.MEF=________1 1 1 1 10 1 2 3 40 0 1 3 60 0 0 1 40 0 0 0 1________siMFE=________1 1 1 1 10 1 2 3 40 0 1 3 60 0 0 1 40 0 0 0 1________.201. ME(D) = MF(D) =________0 1 0 0 00 0 2 0 00 0 0 3 00 0 0 0 40 0 0 0 0________, MG(D) =________0 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 10 0 0 0 0________.202. 1, X, X2, X3 este o baz a a lui Im(D), iar 1 este o baz a a lui ker(D).203. Q(2,3) =< 1,2,3,6 >. Fie a, b, c, d Q cu a +b2 +c3 +d6 = 0. Atunci a +b2 = 3(c +d2). Analizand cazurile a +b2 = 0sia +b2 ,= 0,deducemcaa = b = c = d = 0.204.Fiea + b2 + c3 + d6 ,= 0cua, b, c, d Q. Vedemc a(a + b2 +c3 +d6)(a b2 +c3 d6)(a +b2 c3 d6)(a b2 c3 +d6)=((a + c3)2 (b2 + d6)2)2 ((a c3)2 (b2 d6)2)2=(a23c2)2+ 4(b23d2)2+ 4(ab 3cd)2+ 12(ad bc)2 Q.205._____0 2 0 01 0 0 31 0 3 20 1 1 0_____.206.Not am2 +3cuy. Exprimand1, y, y2, y3nbaza 1,2,3,6seobt inematriceaA =_____1 0 5 00 1 0 110 1 0 90 0 2 0_____.Dezvolt andLaplacepeliniile1 si4g asim [A[=4 ,=0,deci 1, y, y2, y3estebaz a. MatricealuiTnaceastabaz aeste_____0 0 0 11 0 0 00 1 0 100 0 1 0_____.202 CAPITOLUL10. SOLUT IILEEXERCIT IILOR207. Dac a A =_a bc d_, atunci matricea lui T n baza_1 00 0_,_0 10 0_,_0 01 0_,_0 00 1_este_____2a c b 0b a +d 0 bc 1 a +d c0 c b 2d_____.208.FiematriceaA =___2 1 12 1 23 0 1___. Atunci [A[ = 1 siA=___1 1 14 5 63 3 4___,deciA1= A. MatriceledetreceresuntMCF=A,MFC= A1. Coordonatelelui(1, 1, 1) nbazaFsunt(1, 3, 2).209.Esalon andmatricea(AIn)seobt ine(InA1)cuA1= (a2+an)1________1 n a 1 11 11 1 n a 11 11 1 1 n a1 1. . .. .1 1 11 1 n a________. Concret, se adun atoate liniile la prima, se mparte prima linie la a+n, se scade prima linie dincelelalte,etc.210. Esalon and matricea (B In) se obt ine B1=________1 1 00 00 1 10 00 0 10 0. . .. .0 0 00 1________.211. Not amsimplicat Z2= 0, 1. Tipurile de matricele esalonsunt:_1 0 a b0 1 c d_,_1 a 0 b0 0 1 c_,_1 a b 00 0 0 1_,_1 a b c0 0 0 0_,_0 1 0 a0 0 1 b_,_0 1 a 00 0 0 1_,_0 1 a b0 0 0 0_,_0 0 1 00 0 0 1_,_0 0 1 a0 0 0 0_,_0 0 0 10 0 0 0_,_0 0 0 00 0 0 0_.203212.Printransformarielementarepeliniideducemsuccesivmatricele___1 2 3 40 0 1 10 1 5 4___,___1 2 3 40 1 5 40 0 1 1___,___1 2 3 41 2 4 32 3 1 4___,___1 0 0 110 1 0 90 0 1 1___. Subspat iul generat de liniile matricei este (a, b, c, 11a+9b c)[ a, b, c R. Cumrangul matricei este3, subspat iul generat decoloaneesteR3.213. F acandsuccesivtransformarileelementarepelinii T12(1), T13(1),D2(1/2),T23(4),obt inemmatricele___1 2 1 1 11 2 1 1 11 2 1 5 5___,___1 2 1 1 10 0 0 2 20 0 0 4 4___,___1 2 1 1 10 0 0 1 10 0 0 0 0___,___1 2 1 0 00 0 0 1 10 0 0 0 0___. Sis-temulestecompatibilnedeterminat,echivalentcux = 2y z,t = 1.214. F acandsuccesivtransformarileelementarepelinii T12(2), T13(1),T14(1), P24, D3(1/4), T24(1), T21(1), T34(4), T31(3), T42(2), T43(1),obt inemmatricele_____1 1 3 12 1 2 11 1 1 31 2 3 1_____,_____1 1 3 10 1 4 30 0 4 40 1 0 2_____,_____1 1 3 10 1 0 20 0 1 10 0 4 5_____,_____1 0 3 30 1 0 20 0 1 10 0 0 1_____,_____1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1_____. Sistemulestein-compatibil.215.Esalon andmatricea(AI4)seobt ine(I4A1)cuA1=_____2 1 0 03 2 0 031 19 3 423 14 2 3_____.204 CAPITOLUL10. SOLUT IILEEXERCIT IILOR216. Dac a determinantul matricei = (a+b+c)(a+b+c2)(a+b2+c)estenenul,ranguleste3. Dac a=0si(a2,=bcsaub2,=acsauc2,=ab),atunci rangul este2. Dac aa, b, csuntnenulesi a2=bc, b2=ac, c2=ab,adic a b = a,c = a2cu 3= 1,atunci rangul este 1. Daca a, b, c sunt nule,ranguleste0.217.Seesaloneaz aApelinii siapoipecoloane.218.Fiep=rang(A). Putempresupunec aAareformadinex. anterior.Rezult acaABestematriceaobt inutadinBprinanulareaultimelorn plinii. Eclarc arang(B) rang(AB) + n p.219. PentruA M2(Z2). 1(IX A) ,=1 A=0sauA=I. Dac aA, B ,= 0, I,atunci A B PA= 2(IX A) = 2(IX B) = PB.Intrematricele diferite de 0si I,_0 10 0_,_0 01 0_,_1 11 1_aupolinomulcaracteristicX2,_1 10 1_,_1 01 1_,_0 11 0_aupolinomul caracteristicX2+ 1,_0 11 1_,_1 11 0_, aupolinomul caracteristicX2+ X+ 1, iarmatriceleramaseaupolinomulcaracteristicX2+X.220. Folosindrat ionamentul dinsolut iaproblemei precedente, searat acasuntq2+qclase.221. (a). IXA =___X 4 5 22 X + 2 11 1 X 1______1 1 X 12 X + 2 1X 4 5 2______1 0 00 X 2X + 10 X 1 X2+ 5X 2___ ___1 0 00 1 X23X + 10 X 2X + 1___ ___1 0 00 1 00 0 (X 1)3___. 3(IX A) = (X 1)3si2(IX A) = 1deoareceIX Aareun2-minoregal cuX. Deci Aareunsingurfactori invariant(X 1)3si un singur divizor elementar (X 1)3. Forma Jordan a lui A esteJ3(1) =___1 0 01 1 00 1 1___.205(b). IXA =___X + 3 1 322 X 9 275 2 X + 6___ ___1 X + 3 3X 9 22 272 5 X + 6______1 X + 3 30 X2+ 6X + 5 3X0 2X + 1 X___ ___1 0 00 X 2X + 10 3X X2+ 6X + 5___ ___1 0 00 1 X0 X2+ 5 3X___ ___1 0 00 1 00 0 X32X___. 3(IX A)=X3 2Xsi2(IX A) = 1deoareceIX Aareun2-minoregalcuX26X 5.Deci Aareunsingur factori invariant X3 2X. PesteQdivizorii el-ementari suntXsi X2 2, iarformaJordanesteJ1(X) J1(X2 2) =___0 0 00 0 20 1 0___. PesteR siCdivizoriielementarisuntX,X 2 siX +2,iarformaJordanesteJ1(0) J1(2) J1(2) =___0 0 002 00 0 2___.(c). IX A=___X 4 21 X + 4 10 0 X + 2___ ___1 0 00 X + 2 (X + 2)20 X + 2 0___ ___1 0 00 X + 2 00 0 (X + 2)2___. 1(IX A) =1. 3(IX A) =(X+ 2)3si2(IX A)=X+ 2deoarecematricea 2I Aarerangul1. DeciAarefactorii invariant i X +2 si (X +2)2. Peste Q divizorii elementari sunt X +2si(X + 2)2,iarformaJordanesteJ1(2) J2(2) =___2 0 00 2 00 1 2___.(d). 1(IXA) = 1. 4(IXA) = (X1)2(X2)2si 3(IXA) = 1deoarecematriceleI A si2I Aaurangul3.Deci A are un factori invariant (X 1)2(X 2)2. Peste Q, R, C divizoriielementarisunt(X 1)2si(X 2)2,iarformaJordanesteJ2(1) J2(2) =_____1 0 0 01 1 0 00 0 2 00 0 1 2_____.206 CAPITOLUL10. SOLUT IILEEXERCIT IILOR(e). Factorii invariant i sunt(X 3)2(X+ 2)pentrua ,=0si (X 3),(X3)(X+2) pentru a = 0.In primul caz forma Jordan este J2(3)J1(2) =___3 0 01 3 00 0 2___, ncelde-aldoileadiag(3, 3, 2).(f).4(IX A)=(X 1)4si3(IX A)=1deoareceminorul(I A)41 ,= 0. FormaJordanesteJ4(1) =_____1 0 0 01 1 0 00 1 1 00 0 1 1_____.222.MatricelenediagonalizabileauformaA = SJ2()S1cuSmatricecudeterminatul1. GasimA =_ + bd b2d2 bd_cub ,= 0saud ,= 0.223. (1) diag(, , ). (2) diag(, , ). (3) J2()J1(). (4) diag(, , ).(5)J2() J1(). (6)J3().224. A=CXn1, deci Aareunfactor invariant: Xn 1. Divizorii el-ementari sunt X 1, ..., X n, unde 1,..., nsunt r ad acinile de or-dinul nale unit at ii, iar formaJordaneste diag(1, ..., n). Omatrice deasem anare se obt ine dinegalitateaCXn1S =S diag(11, ..., 1n), undeS=________1 1112 n2122 2n. ..n11n12 n1n________.225. (a). Factorii invariant i: X2+1, X2+1. Forma Jordan este J2(1)J2(1).(b). Factorii invariant i: X41. Forma Jordan este J2(1)J2(2)J1(X2+1).226. PresupunemcaA diag(a, b, c). Atunci Asi diag(a, b, c)auacelasipolinomcaracteristic, deci a=b=c=1, asadarA I, fals. Altasolut ie.FormaJordanamatriceiesteJ3(1).227.J2(2) J3(3),J2(2) J2(3) J1(3),J2(2) diag(3, 3, 3),diag(2, 2) J3(3),diag(2, 2) J2(3) J1(3),diag(2, 2, 3, 3, 3).207228. Factorii invariant i ai lui ApesteCsuntaceeasi cucei pesteRsi auformau=(X i)f, v=(X i)2(X+2)(X+3)g. Cumu, v Q[X]si uv are gradul 10, rezultacau=(X i)(X+i), v =(X i)2(X+i)2(X+2)(X 2)(X+3)(X 3). Formacanonic aJordanalui AesteJ2(i) J2(i) diag(i, i,2, 2,3, 3).229.Aarevalorilepropriidistinctea +b +c,a b c,b a c,c a b(veziex. 177),deciA diag(a +b +c, a b c, b a c, c a b).230. Sevedec adaca, Sn, atunci AA=A. Existaopermutare astfel ncat1=(1, ..., k1)(k1 + 1, ..., k2)(ks1 + 1, ..., n). Rezult ac aAAA(A)1A1 CXp11 CXps1, unde p1,...,pssuntlungimileciclurilordindescompunerealui. Sefolosesteapoiex. 224.Pentru=(1943)(852), A diag(1, 1, i, i, 1, , 2, 1, 1). Pentruultimaarmat ie aexercit iului observamcadinformacanonicaJordanalui Aputemrecuperadescompunerealui nprodusdecicluridisjuncte.231. Dac a car(K) ,= 2,atunci n baza e1 +en,e1en,e2 +en1,e2en1,..., en/2+en/2+1, en/2en/2+1, matricea lui u este diag(1, 1, 1, 1, ..., 1, 1).Dac a car(K) = 2, atunci n baza e1, e1+en, e2, e2+en1, ..., en/2, en/2+en/2+1,matricealuiuesteJ2(1) J2(1).232. Celulele Jordan de rang 1 sunt J1(a) cu a ,= 0 si J2(0). Forma Jordan alui A este diag(a, 0, ..., 0) daca Tr(A) = a ,= 0 si J2(0)0n2 dac a Tr(A) = 0.B diag(5, 0, 0),C J2(0) 0.233.Seaplicaexercit iulprecedent. A diag(n, 0, ..., 0)dac an1K ,= 0siA J2(0) 0dacan1K= 0.Altfel. PA=(X n)Xn1. CumA2=nA, polinomulminimalalluiAeste divisor al lui X2nX, deci egal cu X2nXdeoarece A nu este matricescalar a. Dac a n1K ,= 0,atunci A este diagonalizabil a,A diag(n, 0, ..., 0).Dac an1K= 0,atunciA J2(0) 0,deoarecerang(A) = 1.234. (a). PA=X3 12X2+ 21X 10=(X 1)2(X 10). (b). A1=0.1A21.2A+2.1. (c), (d). Subspat iile proprii sunt V1=< w1, w2>, V10=, undew1, w2, w3suntcoloanelematricei S=___1 1 21 0 20 2 1___. (d).FormaJordanaluiAestediag(1, 1, 10), omatricedeasemanareestechiarS,A = Sdiag(1, 1, 10)S1.208 CAPITOLUL10. SOLUT IILEEXERCIT IILOR235. PA=(X 1)4. Avemdefect(A I) =2si (A I)2=0, decidefect((AI)2) = 4. Rezult a A J2(1)J2(1) = J. Avem AU= UJ, undeUeste o matrice ale c arei coloane, u1,..., u4, veric a condit iile u1AIu2AI0,u3AIu4AI0siu2,u4suntliniarindependente. U=_____1 0 1 12 0 1 10 1 0 00 0 0 1_____.An= UJnU1,undeJn=_____1 0 0 0n 1 0 00 0 1 00 0 n 1_____.236. A4= 9I, deci A divide X49 = (X+3)(X3)(X+i3)(Xi3).CumTr(A) =i3, rezult ac aA diag(3, 3, i3), deoareceA2diag(3, 3, 3).237. Avem PA= (X 2)3. Matricea B= A2I=___2 0 81 2 120 1 4___ aredefectul1,deciA J3(2). C autamomatriceUalec areicoloaneu1,u2,u3s averice: u1Bu2Bu3siu3 ,= 0. PutemluaU=___1 2 40 1 40 0 1___.238. SevedecaA J3(1) J2(1). Avemu1AIu2AIu3si u4A+Iu5,undeu1,...,u5suntcoloanelematriceiU=________10 4 1 4 16 3 1 3 13 2 1 2 11 1 1 1 10 0 1 0 1________.239.A J2(a +b) J1(a b).240. Aeste nilpotenta Aare formaXjPA=Xn, cf. teoremeilui Frobenius. Divizorii elementari sunt puteri alelui X. Pentrun=4,matricele Jordan nilpotente sunt: J4(0), J3(0) J1(0), J2(0) J2(0), J2(0) J1(0) J1(0),J1(0) J1(0) J1(0) J1(0).241.Sefacerat ionamentuldindemonstrat iacorolarului186.209242. A este idempotent a Adivide X2X divizorii elementari ai luiA au forma Xsau X1. Pentru n = 4, matricele Jordan idempotente sunt:I,diag(1, 1, 1, 0),diag(1, 1, 0, 0),diag(1, 0, 0, 0),04.243.Seaplicaex. precedent. CumTr(A) = 1,A diag(1, 0, 0).244. fk= defect(J2kn(0)) defect(J2k2n(0)) = min(n, 2k) min(n, 2k 2).Dac a n = 2p, atunci fk=_2 daca k p0 daca k p + 1, deci J22p(0) Jp(0)Jp(0).Dac a n = 2p+1, atunci fk=___2 daca k p1 daca k = p + 10 daca k p + 2, deci J22p+1(0) Jp(0)Jp+1(0).Altfel. MatriceaJ22p(0)estenilpotent acuindiceledenilpotent apsiaredefectul2,deciJ22p(0) Jp(0) Jp(0). MatriceaJ22p+1(0)estenilpotentacuindicele de nilpotent a p +1 si are defectul 2, deci J22p+1(0) Jp(0) Jp+1(0).245.P13P24P23J25(0)P23P24P13= J22(0) J23(0).246.J2(0) J2(0) J4(0) siJ1(0) J3(0) J4(0).247. FieA=(aij)1i,jnsi B=(bij)1i,jn. Tr(A + B)= i(aii + bii)=

iaii +

ibii=Tr(A) + Tr(B). Tr(AB)= i

j aijbji= j

ibjiaij=Tr(BA).248. FieA=(aij). Anul amsuccesivelementelea11,...,annfolosindproce-duraurm atoare. Presupunemc aa11 ,=0. Dac aAareunelementnenulai1cu i > 1, atunci nlocuim A cu Ti1(a11/ai1)ATi1(a11/ai1). Proced am similardac aAareunelementnenul peprimalinie. Daca, exceptandpea11toateelementeledepeprimaliniesi liniecoloanasuntnulesi exist aunelementaii ,= 0, a11,i 1,atuncirealiz amai1 ,= 0 nlocuindAcuTi1(1)ATi1(1).Innalsefolosestefaptulca_a 00 a__0 a21 0_.249. Tr(XY Y X) =Tr(XY ) Tr(Y X) =0, cf. ex. 247. Reciproc,eAomatricecuurmanul a. Cf. ex. anterior, putempresupunec aAareelementeledepediagonalaprincipalanule. SeiaX=diag(1, 2, ..., n)si sedetermin aY dinegalitateaA = XY Y X.210 CAPITOLUL10. SOLUT IILEEXERCIT IILOR250.Dac aA = (aij),atunciAcomut acudiag(b1, ..., bn) aij(bibj) = 0pentruoricei, j.251. Fie 1, ..., nvalorile proprii ale lui A. Exist a S GLn(C) astfel ncatSAS1= diag(1, ..., n) = D si e C:= SBS1. Din AB= BA, rezult a caCD = DC. Seaplicaex. precedent.252. Putem presupune c a A este matrice singular a. Cum fk= defect(Ak)defect(Ak1) este numarul 0-celulelor Jordan ale lui A de ordin k, rezult ac afk fk+1.253.J3(1) J1(1) 03.254.(a)xn= n+ 2n. (b)xn= (1 +n2+n3)(1)n+ 4n.255. Avem___an+1bn+1cn+1___=(1/2)A___anbncn___, unde A=___0 1 11 0 11 1 0___. Deci___anbncn___=(1/2n)An___a0b0c0___. Rezult acaA=S diag(1, 1, 2)S1, undeS=___1 1 11 0 10 1 1___. DeciAn= S diag((1)n, (1)n, 2n)S1= (1/3)___2n+ 2(1)n2n+ (1)n+12n+ (1)n+12n+ (1)n+12n+ 2(1)n2n+ (1)n+12n+ (1)n+12n+ (1)n+12n+ 2(1)n___.Alt asolut ie. FieB=___1 1 11 1 11 1 1___. Atunci An=(B I)n=B(2n+(1)n+1)/3 + (1)n+1I.256. Cum Z este nilpotent a, Zn= 0, cf. ex. 240. Deci 0 = Z2n2= Jn1n(0),contradit ie.257. Se ia Z de forma matrice inferior triunghiulara cu elementele de pe diag-onala principal a egale cu 1 si cu celelalte diagonale paralele cu diagonala prin-cipal a formate ecare din elemente egale. De exemplu,___1 0 01/2 1 01/8 1/2 1___2=J3(1).211258. n(IX A) =(X )nsi n1(IX A) =1deoarece minorul(IX A)1nnuseanuleaz a nX= . A Jn(). PentruJkn(), K,seaplic ateorema196. Jkn() Jn(k).259. Forma canonica Jordan a matricei Jkn(ka) este Jn(a), cf. ex. anterior.DeciexistaS GLn(C)astfel nc at(SJn(ka)S1)k= Jn(a).260. Putemnlocui matriceleA, Bcuformelelor canoniceJordan: A J2(0) J2(0),B J4(0). Doarprimaecuat iearesolut ie,cf. ex. 256 si259.261.S1AS= diag(1, 2, 3),undeS=___1 2 21 0 22 1 2___.Obt inem(S1Y S)2=diag(1, 2, 3). Aplicandex. 250obt inemY= Sdiag(1, 2, 3)S1.262. An= Udiag(2n, 3n)U1si eA= Udiag(e2, e3)U1unde U=_1 21 3_.263.An= U_2n0n2n12n_U1sieA= U_e20e2e2_U1undeU=_2 11 1_.264.SereduceproblemalacazulA = Jn(a) siseaplic ateorema203.265. PA=(X2+ 1)2si defect(A iI)=defect(A + iI)=2. Deciformacanonic aJordanalui AesteJ=J2(i) J2(i). Omatricedeasem anareesteU=_____i 1 i 12 i 2 ii 1 i 10 i 0 i_____ siU1= 41_____i 1 i 11 0 1 2ii 1 i 11 0 1 2i_____.etJ=_eit0teiteit__eit0teiteit_. etA= UetJU1=41_____ieit+teiteitieit+ teiteit2eit+iteitieit2eititeitieitieit+teiteitieit+teiteititeitieititeitieit_____U1=41

_____4cost 2tsint 2tcost + 2sint 2tsint 2sint 2tcost2tcost 6sint 4cost 2tsint 2tcost + 2sint 2tsint2tsint 2tcost 2sint 4cost + 2tsint 6sint 2tcost2tcost 2sint 2tsint 2tcost 2sint 4cost + 2tsint_____.212 CAPITOLUL10. SOLUT IILEEXERCIT IILORBibliograe[1] M.Artin,Algebra.PrentinceHall,NewJersey1990.[2] D. Faddeev, I. Sominski, Recueil dexercises dalg`ebre superieure. Edi-tionsMIR,Mouscou1972.[3] G. Galbur a, F. Rad o, Geometrie. EdituraDidacticasi Pedagogic a,Bucuresti1979.[4] P.Halmos,NaiveSetTheory.Springer,NewYork,Berlin1974.[5] IonD. Ion, N. Radu, Algebra.EdituraDidactic asi Pedagogic a, Bu-curesti1991.[6] I. KaplanskyCommutativeRings. TheUniversityof ChicagoPress,ChicagoandLondon1974.[7] C. Nast asescu, C. Nit a, C. Vraciu, Bazele Algebrei. Editura AcademieiRom ane,Bucuresti1986.[8] I. Proskouriakov, Recueil de probl`emes dalgebre lineaire. EditionsMIR,Mouscou1989.[9] I. Tomescu, Problemedecombinatoricasi teoriagrafurilor. EdituraDidactic a siPedagogica,Bucuresti1981.213Indexadunaremodulon,30aplicat iaidentic a,13asociere ndivizibilitate,88atom,35automorsminterior,39axiomaalegerii,19baz a,128bazacanonica,128biject ie,13caracteristicaunuiinel,69celul aJordan,155centrulunuigrup,41ciclu,38clas aderesturi,22clas aladreapta,44clas alastanga,44clasadeechivalent a,20cmmdc,89cmmmc,89codomeniu,12coecient,76,80coecientdominant,76combinat ieliniar a,126complementalgebric,113complementar a,11componentaomogen a,81compunereafunct iilor,12congruent amodulon,21congruent emodulounsubgrup,44conjugare ntr-ungrup,53coordonate,128corp,61corpulcuaternionilor,73corpuldefract ii,75corpulfract iilorrat ionale,77defectulunuimorsm,131determinant,109determinantVandermonde,112dezvoltarea determinantului dup a olinie,114dimensiunea unui spat iu vectorial, 128divizoralluizero,64divizorielementari,154domeniu,65domeniudedenit ie,12ecuat ia claselor de elemente conjugate,54ecuat iecaracteristic a,162elementinversabil,28elementneutru,27eliminaregaussiana,136exponent ialauneimatrice,168factoriinvariant i,151familiedemult imi,18familiedeelemente,18formacanonicaJordan,160formadiagonal-canonic a,149214INDEX 215formaesalon,134formaJordanauneimatrice,156forma Jordan a unui endomorsm, 157formulaBinet-Cauchy,118formuleleDeMorgan,11formuleleluiNewton,106funct ie,12funct iiegale,12grad,76,80grac,12grup,28grupabelian,37grupciclic,43grupdesimetrie,38grupfactor,48grupnit,37grupnitgenerat,43grupsimplu,59grupulZn,31grupuladitivalunuiinel,61grupuldiedralD4,39grupuldiedralDn,39grupulgeneralliniar,64grupulluiKlein,38grupulpermutarilorSA,38grupulpermutarilorSn,50grupulrotat iilorcubului,59grupulrotat iilordodecaedrului,59grupulrotat iilortetraedrului,59grupuriizomorfe,39ideal,66idealprincipal,67idealnitgenerat,67idealeleluiZ,66idealulgeneratdeomult ime,67imagineadirectaauneimult imi,14indicatorulluiEuler,24,46inel,61inelfactor,70inelintegru,65inelulZn,65inelul ntregilorluiGauss,62inelul depolinoamennnedetermi-nate,80inelulmatricelor,63inelulpolinoamelor ntr-onedetermi-nat a,76inelulseriilorformale,85inject ie,13inmult irecuscalari,123inmult ireamatricelor,62intersect ie,10inversauneifunct ii,14inversiune,52izometrie,38izomorsmdegrupuri,39izomorsmdeinele,68izomorsmdemonoizi,32izomorsmdespat iivectoriale,125Lemachinez aaresturilor,71lemaluiKronecker,97liniarindependent a,127matrice,62matriceadjuncta,114matriceasemenea,145matricecaracteristic a,146matricecompanion,152matricedeasem anare,165matricediagonalizabil a,159matriceesalon,134matriceechivalente,148matriceechivalentepelinii,133216 INDEXmatriceelementare,133matriceinversabil a,116matriceJordan,155matricepatratic a,62matricepolinomiala,146matriceacaracteristic a,146matriceadetrecere,130matriceaunuiendomorsm,143minor,113minorcomplementar,113monoameasemenea,80monoid,28monoidulliber,33monom,76,80morsmdecorpuri,68morsmdegrupuri,39morsmdeinele,67morsmdemonoizi,32morsmdespat iivectoriale,124morsmulluiFrobenius,70mult ime,9mult imefactor,20mult imenum arabil a,16mult imeap art ilor,10mult imeavid a,10mult imidisjuncte,10mult imiechipotente,16multiplicitatealgebric a,162multiplicitategeometric a,162multiplicitateauneirad acini,79necunoscuteprincipale,135necunoscutesecundare,135notat ieaditiv a,29notat iemultiplicativ a,29nucleulunuimorsmdegrupuri,41nucleulunuimorsmdeinele,69num arprim,93omotetie,125operat iecomutativ a,27operat iealgebric a,27operat ieasociativa,27ordinealexicograc a,102ordinulunuigrup,37partestabila,28partit ie,20perecheordonat a,11permut aridisjuncte,51permutare,13permutareimpar a,53permutarepara,53pivot,134polinoamelesimetricefundamentale,101polinomireductibil,93polinommatriceal,146polinomsimetric,101polinomunitar,76polinomulcaracteristic,146polinomulminimal,158pre-imagineaauneimult imi,14produscartezian,11,19produsdirectdegrupuri,38produsdirectdeinele,64produsul direct de spat ii vectoriale,124proiect iecanonic a,13r adacin a,78ranguluneimatrice,136rangulunuimorsm,131regulaluiCramer,117regulaluiLaplace,113relat ie,19relat iedeechivalent a,19INDEX 217relat iileluiViet`e,79reuniune,10scalari,123semigrup,28signaturauneipermutari,52sistemcompatibildeterminat,133sistemcompatibilnedeterminat,133sistemCramer,118sistemdereprezentant i,21sistemincompatibil,133sistemeechivalente,133spat iuvectorial,123spat iuvectorialnitgenerat,126spat iulvectorialstandard,124structuragrupurilorciclice,49subcorp,72subgrup,40subgrupciclic,42subgrupgeneratdeomult ime,42subgrupnormal,44subgrupulimpropriu,40subgrupultrivial,40subinel,65subinelprim,69submult ime,9subspat iu,125subspat iulgeneratdeomult ime,126sum adirect adematrice,153sum adeideale,71sumadesubspat ii,126sumadirecta,126surject ie,13teoremfundamentalaapolinoamelorsimetrice,104teorema Cantor-Schr oder-Bernstein, 17teoremadeizomorsmpentruinele,70teorema mp art iriicurest,78teoremaBezoutgeneralizat a,147teorema de izomorsm pentru grupuri,48teoremaformeiJordan,156teorema Fundamentala a Algebrei, 95teoremaHamilton-Cayley,148teoremaKronecker-Capelli,137teoremaluiBezout,78teoremaluiCantor,17teoremaluiCauchy,54teoremaluiCayley,50teoremaluiEuler,47teoremaluiFilippov,166teoremaluiFrobenius,159teoremaluiGrassman,132teoremaluiKronecker,137teoremaluiLagrange,45teoremaluiWilson,80teoremamicaFermat,47teoremarang-defect,131teoremaschimbului,127teoremeleluiEuclid,94termenprincipal,103transform arielementare,133transpozit ie,38valoareproprie,147valoarealadreapta,147vectorpropriu,160vectori,123