CURS 3 - Bejan Florin

CURS 3VARIABILELE DE STARE PENTRU PĂMÂNTURI NESATURATE

FMP 2018

ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 3 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

STAREA UNUI SISTEM

08.03.2018 2

Fung (1965) descrie starea unui sistem ca fiind

„informația necesară pentru a caracteriza complet sistemul pentru cazul în cauză”

Variabilele de stare trebuie să fie independente de proprietățile

fizice materialului sistemului.

Variabilele de stare pentru un corp elastic sunt date de acele

variabile ce descriu starea de deformații specifice, starea detensiune și geometria acestuia.

FMP 2018


NOȚIUNI DE BAZĂ

08.03.2018 3

VARIABILE DE STAREvariabile nemateriale necesare pentru caracterizarea unui sistem material

VARIABILELE STĂRII DE TENSIUNEvariabile nemateriale necesare pentru caracterizarea condițiilor de echilibru a tensiunilor

(conservarea energiei)

VARIABILELE STĂRII DE DEFORMAȚIEvariabile nemateriale necesare pentru caracterizarea condițiilor de deformație sau deviației de la

stare inițială

(conservarea masei)

RELAȚII CONSTITUTIVEecuații ce exprimă relația matematică dintre variabilele de stare

încorporează proprietățile materialuluiFMP 2018


RELAȚII CONSTITUTIVE

08.03.2018 4

Relațiile constitutive sunt expresii sau ecuații ce relaționează o

variabilă de stare cu alta/alte variabile de stare. Spre exemplu,

relația dintre tensiune și deformație specifică este o relație

constitutivă ce descrie comportamentul mecanic al materialului.

Relații constitutive idealizate, simple sunt stabilite pentru fluide

nevâscoase, fluide vâscoase Newtoniene și solide perfect

elastice etc.

FMP 2018


MODELE MECANICE UTILIZATE ÎN INGINERIE

08.03.2018 5

FMP 2018


MODELUL CONSTITUTIV MOHR-COULOMB

08.03.2018 6

FMP 2018


MODELUL CONSTITUTIV HARDENING SOIL

08.03.2018 7

FMP 2018


PROBLEME PRACTICE ÎN MECANICA PĂMÂNTURILOR NESATURATE

08.03.2018 8

Probleme asociate curgerii fluidelor

1. Balanța apei la interfața

pământ-atmosferă

2. Viteza de reîncărcare netă

a zonei saturate sau a

acviferelor

3. Proiectarea acoperirii

finale pentru depozite de

deșeuri subterane

4. Transportul poluanților

aproape de suprafață

5. Infiltrarea apei în barajele

din pământ considerând

condiții nesaturate.

Probleme asociate stării de tensiuni

1. Stabilitate taluzurilor în

condițiile modificărilor

climatice

2. Presiunea laterală a

pământului și stabilitatea

structurilor de sprijin

3. Stabilitatea excavațiilor și

forajelor

4. Capacitatea portantă a

fundațiilor de suprafață

5. Propagarea tensiunilor în

pământuri nesaturate

Probleme asociate stării de deformații

1. Umflarea și contracția

pământurilor expansive

2. Crăparea din uscare a

argilelor contractile

3. Pământuri colapsibile

4. Consolidarea și tasarea

pământurilor nesaturate

5. Compactarea pământurilor

FMP 2018


STAREA DE TENSIUNE DIN PĂMÂNTURI

08.03.2018 9

Ce este tensiunea?

În cea mai simplă formă tensiunea poate fi definită ca

fiind raportul

FORȚĂ/ARIA UNITARĂCe este aria unitară?

În mecanica pământurilor este aria brută a secțiunii

transversale

Reprezintă planul ce taie particulele solide și porii dintre

acestea și orice este în acei pori

De ce se folosește aria brută a secțiunii transversale?

În multe aplicații din ingineria geotehnică (în particular

proiectarea fundațiilor) este necesar să se identifice

variabilele măsurabile ale stării de tensiune ce

controlează deformația și rezistența la forfecare a

pământului

Permite măsurarea tensiunii

Considerarea pământului mediu continuu

Abordare la nivel macroscopicFMP 2018


FORȚE CE ACȚIONEAZĂ ASUPRA PĂMÂNTULUI

08.03.2018 10

FORȚE EXTERNE

Greutatea proprie a pământului și acțiunile

transmise de construcții

Aceste forțe distribuite pe unitatea de

suprafață conduc la

TENSIUNI TOTALE

𝛔 = 𝐅/𝐀(în mod normal de tip compresiv)

FORȚE INTERNE

PRESIUNEA APEI DIN PORI (𝒖𝒘)

(în mod normal pozitivă sau egală cu zero)

PRESIUNEA AERULUI DIN PORI (𝒖𝒂)

(poate fi pozitivă sau negativă, dar în mod

normal, pentru pământuri nesaturate este

negativă)FMP 2018


Tensiunea normală totală (𝝈) tinde să împingă particulele una

spre alta

Presiunea pozitivă a aerului din pori (𝒖𝒂) tinde să îndepărteze

particulele

Presiunea negativă a apei din pori ( 𝒖𝒘 ) tinde să tragă

particulele una spre alta

STAREA DE TENSIUNE PENTRU PĂMÂNTURI NESATURATE

08.03.2018 11

FMP 2018


PĂMÂNTUL – MEDIU CONTINUU

08.03.2018 12

Proprietățile pământului nu se

determină la nivel microscopic (la nivel

de particulă)

Totuși, este util să înțelegem și să

discutăm ce se întâmplă la nivel

microscopic

Se consideră un element mic de

pământ ( 𝑑𝑥 × 𝑑𝑦 × 𝑑𝑧 ) localizat la

adâncimea z față de suprafața terenului.

Acesta se numește volumul elementarreprezentativ (VER)

Elementul de pământ trebuie să fie mai

mare decât dimensiunile particulelor și

ale porilor

Elementul cubic conține un număr

reprezentativ de particule solide, apă și

aer,

FMP 2018


REPREZENTAREA TENSIUNILOR PE VER

08.03.2018 13

Valorile tensiunilor se reprezintă sub forma

unui tensor

𝐓𝛔 =

𝛔𝐱𝐱 𝛕𝐱𝐲 𝛕𝐱𝐳𝛕𝐲𝐱 𝛔𝐲𝐲 𝛕𝐲𝐳𝛕𝐳𝐱 𝛕𝐳𝐲 𝛔𝐳𝐳

Fluidele din masa pământului nu pot prelua

tensiuni tangențiale semnificative.

Tensiunile generate de presiunile aerului și

apei din pori sunt egale în toate direcțiile

𝒖𝒂 𝟎 𝟎𝟎 𝒖𝒂 𝟎𝟎 𝟎 𝒖𝒂

𝒖𝒘 𝟎 𝟎𝟎 𝒖𝒘 𝟎𝟎 𝟎 𝒖𝒘FMP 2018


PLANURILE ȘI TENSIUNILE PRINCIPALE

08.03.2018 14

Pe trei planuri particulare reciproc perpendiculare tensiunile

tangențiale sunt egale cu zero și aceste planuri se numesc

planuri principale.

Tensiunile normale pe aceste planuri se numesc planuri

principale:

𝝈𝟏 = tensiunea principală maximă

𝝈𝟐 = tensiunea principală intermediară

𝝈𝟑 = tensiunea principală minimăFMP 2018


TENSIUNILE PRINCIPALE

08.03.2018 15

Tensiunile principale sunt ordonate algebric 𝛔𝟏 > 𝛔𝟐 > 𝛔𝟑 Tensiunile principale reprezintă rădăcinile ecuației:

𝛔𝟑 − 𝐈𝟏 ∙ 𝛔𝟐 + 𝐈𝟐 ∙ 𝛔 − 𝐈𝟑 = 𝟎

unde 𝐼1 , 𝐼2 , 𝐼3 sunt invarianții tensorului stării de tensiune, cu

expresiile

𝐈𝟏 = 𝛔𝐱 + 𝛔𝐲 + 𝛔𝐳

𝐈𝟐 = 𝛔𝐱 ∙ 𝛔𝐲 + 𝛔𝐲 ∙ 𝛔𝐳 + 𝛔𝐳 ∙ 𝛔𝐱 − 𝛕𝐱𝐲𝟐 − 𝛕𝐲𝐳

𝟐 − 𝛕𝐳𝐱𝟐

𝐈𝟑 = 𝛔𝐱 ∙ 𝛔𝐲 ∙ 𝛔𝐳 + 𝟐 ∙ 𝛕𝐱𝐲 ∙ 𝛕𝐲𝐳 ∙ 𝛕𝐳𝐱 − 𝛔𝐱 ∙ 𝛕𝐲𝐳𝟐 − 𝛔𝐲 ∙ 𝛕𝐳𝐱

𝟐 − 𝛔𝐳 ∙ 𝛕𝐱𝐲𝟐

FMP 2018


CAZUL SUPRAFEȚEI ORIZONTALE

08.03.2018 16

Evaluarea tensiunilor principale este relativ simplă atunci când suprafața

terenului este orizontală și nu există construcții care să transmită încărcări

Pentru acest caz special,

𝛔𝟏 = 𝛔𝐳 = 𝛔𝐯 = 𝐳 ∙ 𝛄

unde 𝛾 este greutatea volumică a pământului în stare umedă ce include

greutatea volumică a particulelor solide și a apei prezente în porii pământului

și

𝛔𝟐 = 𝛔𝟑 = 𝐊 ∙ 𝛔𝟏unde K este coeficientul presiunii laterale a pământului în stare de repaos

𝟎, 𝟓 ≤ 𝐊 ≤ 𝟎, 𝟖𝟓

De asemenea, pentru acest caz, tensiunile tangențiale sunt zero pe toate

planurile verticale, indiferent de orientareFMP 2018


CAZUL SUPRAFEȚEI ÎNCĂRCATE CU O PRESIUNE UNIFORM DISTRIBUITĂ

08.03.2018 17

𝛔𝐳 =𝟑 ∙ 𝐩 ∙ 𝐳𝟑

𝟐 ∙ 𝛑න𝟎

𝐲

න𝟎

𝐱 𝟏

𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 + 𝐳𝟐 𝟓/𝟐𝐝𝐱𝐝𝐲

𝛔𝐱 =𝟑 ∙ 𝐩 ∙ 𝐳

𝟐 ∙ 𝛑න𝟎

𝐲

න𝟎

𝐱 𝐲𝟐

𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 + 𝐳𝟐 𝟓/𝟐𝐝𝐱𝐝𝐲

𝛔𝐲 =𝟑 ∙ 𝐩 ∙ 𝐳

𝟐 ∙ 𝛑න𝟎

𝐲

න𝟎

𝐱 𝐱𝟐

𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 + 𝐳𝟐 𝟓/𝟐𝐝𝐱𝐝𝐲

𝛕𝐱𝐲 =𝟑 ∙ 𝐩 ∙ 𝐳

𝟐 ∙ 𝛑න𝟎

𝐲

න𝟎

𝐱 𝐱 ∙ 𝐲

𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 + 𝐳𝟐 𝟓/𝟐𝐝𝐱𝐝𝐲

𝛕𝐲𝐳 =𝟑 ∙ 𝐩 ∙ 𝐳𝟐

𝟐 ∙ 𝛑න𝟎

𝐲

න𝟎

𝐱 𝐱

𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 + 𝐳𝟐 𝟓/𝟐𝐝𝐱𝐝𝐲

𝛕𝐲𝐳 =𝟑 ∙ 𝐩 ∙ 𝐳𝟐

𝟐 ∙ 𝛑න𝟎

𝐲

න𝟎

𝐱 𝐲

𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 + 𝐳𝟐 𝟓/𝟐𝐝𝐱𝐝𝐲FMP 2018


VARIABILELE STĂRII DE TENSIUNE

08.03.2018 18

Tensiunea totală, 𝛔 – valoarea lui 𝜎 este întotdeanuna mai mare

decât zero și întotdeauna mai mare decât 𝑢𝑎. Astfel (𝛔 − 𝐮𝐚), numită

tensiunea normală netă este întotdeauna pozitivă

Presiunea aerului din pori, 𝐮𝐚 - când gradul de saturație este mic și

aerul din pori este continuu, atunci 𝑢𝑎 va fi în echilibru cu atmosfera

de deasupra suprafeței terenului. Pentru că 𝑢𝑎 este evaluată ca o

presiune manometrică (i.e. relativă la presiunea atmosferică) în aceste

condiții valoarea este zero sau aproape de zero.

Presiunea apei din pori, 𝐮𝐰 - valoarea lui 𝑢𝑤 poate fi negativă, zero

sau pozitivă – dar pentru pământuri nesaturate este aproape

întotdeauna negativă.

Presiunea netă a fluidului (𝐮𝐚 − 𝐮𝐰) numită sucțiunea pământului sau

sucțiunea matriceală este aproape întotdeauna pozitivă și corespunde

unei presiuni nete ce tinde să tragă particulele unele spre alteleFMP 2018



08.03.2018 19

Dacă combinăm cele trei tensiuni în două variabile ale stării de tensiune

„nete”, vom obține două variabile măsurabile, ambele având tendința de

menține particulele grupate atunci când pământul este nesaturat

1. TENSIUNEA NORMALĂ NETĂ (𝝈 − 𝒖𝒂)

2. SUCȚIUNEA MATRICEALĂ (𝒖𝒂 − 𝒖𝒘)

Cercetările au arătat că aceste două variabile ale stării de tensiune

controlează deformarea pământului și rezistența la forfecare

Aceste variabile ale stării de tensiune pot fi exprimate sub formă tensorială

𝝈𝟏 − 𝒖𝒂 𝟎 𝟎𝟎 𝝈𝟐 − 𝒖𝒂 𝟎𝟎 𝟎 𝝈𝟑 − 𝒖𝒂

și

𝒖𝒂 − 𝒖𝒘 𝟎 𝟎𝟎 𝒖𝒂 − 𝒖𝒘 𝟎𝟎 𝟎 𝒖𝒂 − 𝒖𝒘FMP 2018



08.03.2018 20

TENSIUNEA NORMALĂ NETĂ (𝝈 − 𝒖𝒂) împinge particulele de

pământ una spre alta; reprezintă diferența dintre tensiunea

normală totală (𝜎) și presiunea aerului din pori (𝑢𝑎)

La creșterea tensiunii normale nete pământul devine mai rigid și

mai rezistent

SUCȚIUNEA MATRICEALĂ ( 𝒖𝒂 − 𝒖𝒘 ) trage particulele de

pământ una spre alta; reprezintă diferența dintre presiunea

aerului din pori (𝑢𝑎) și presiunea apei din pori (𝑢𝑤)

La creșterea sucțiunii (i.e. presiunea apei devine mai negativă),

pământul devine mai rigid și mai rezistent

FMP 2018


CASTELUL DIN NISIP

08.03.2018 21

Un castel din nisip reprezintă un

exemplu simplu al modului în care

sucțiunea matriceală trage particulele

una spre alta

Atunci când construim un castel din

nisip, sucțiunea matriceală (apa

tensionată) tinde să tragă particulele

de nisip una spre alta, furnizând

rezistență și rigiditate

Nu se pot realiza castele din nisip

complet uscat (nu există apă în pori)

Când se adaugă apă (dar nu prea

multă) nisipului, apare sucțiunea

matriceală în masa nisipului.FMP 2018


PROCESE CE CONDUC LA MODIFICAREA SUCȚIUNII PĂMÂNTULUI

08.03.2018 22

UMEZIREA PĂMÂNTULUI – creșterea umidității pământului

Dacă pământul este umezit, presiunea apei din pori devine mai puțin

negativă

Particulele de pământ vor fi mai puțin atrase una spre alta

Poate să apară o creștere a volumului pământului

- În cazul pământurilor granulare această creștere este relativ mică dar pentru multe pământuri

argiloase creșterea este mare și le numim pământuri expansive.

- În cazul anumitor pământuri granulare cu densități inițiale mici umezirea conduce la îndesarea

acestora și le numim pământuri colapsibile.

USCAREA PĂMÂNTULUI – scăderea umidității pământului

Dacă pământul este uscat, presiunea apei din pori devine mai negativă

Particulele de pământ sunt atrase mai mult una spre alta

Poate să apară o scădere a volumului pământuluiFMP 2018


CONSECINȚE ALE MODIFICĂRII VARIABILELOR STĂRII DE TENSIUNE

08.03.2018 23

Se așteaptă un răspuns al pământului dacă:

1. se modifică presiunea apei din pori, cauzând o modificare a

sucțiunii pământului;

2. Se modifică tensiunea totală, cauzând o modificare a tensiunii

normale nete;

3. Se modifică simultan ambele variabile ale stării de tensiune.

FMP 2018


RELAȚIA TENSIUNE-DEFORMAȚIE SPECIFICĂ

08.03.2018 24

Relația constitutivă tensiune – deformație specifică pe direcțieverticală pentru pământuri nesaturate liniar elastic, izotrop și

omogen

𝛆𝐯 =𝛔𝐯 − 𝐮𝐚

𝐄−𝟐𝛍

𝐄𝛔𝐡 − 𝐮𝐚 +

𝐮𝐚 − 𝐮𝐰𝐇

unde

𝜀𝑣 = deformația specifică normală pe direcție verticală

𝜎𝑣 = tensiunea normală totală pe direcție verticală

𝜎ℎ = tentriunea normală totală pe direcție orizontală

𝜇 = coeficientul lui Poisson

𝐸 = modulul de elasticitate referitor la modificarea 𝜎 − 𝑢𝑎

𝐻 = modulul de elasticitate referitor la modificarea 𝑢𝑎 − 𝑢𝑤

𝑢𝑎 = presiunea aerului din pori

𝑢𝑤 = presiunea apei din poriFMP 2018


RELAȚIA TENSIUNE-DEFORMAȚIE SPECIFICĂ

08.03.2018 25

Relația constitutivă tensiune – deformație specifică pe direcțieorizontală pentru pământuri nesaturate liniar elastic, izotrop și

omogen

𝛆𝐡 =𝛔𝐡 − 𝐮𝐚

𝐄−𝛍

𝐄𝛔𝐯 + 𝝈𝒉 − 𝟐 ∙ 𝐮𝐚 +

𝐮𝐚 − 𝐮𝐰𝐇

Relația de mai sus se aplică pentru ambele direcții orizontale

Coeficientul presiunii laterale

𝐊𝟎 =𝛍

𝟏 − 𝛍−

𝐄

𝟏 − 𝛍 ∙ 𝐇∙𝐮𝐚 − 𝐮𝐰𝛔𝐯 − 𝐮𝐚

FMP 2018

ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 3 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ08.03.2018 26

FMP 2018


STAREA DE TENSIUNI PENTRU P. NESATURATE

08.03.2018 27

FMP 2018


INVARIANȚII TENSIUNII

08.03.2018 28

𝐈𝟏𝟏 = 𝛔𝟏 + 𝛔𝟐 + 𝛔𝟑 − 𝟑𝐮𝐚

I12 = 3 ua − uw

𝐈𝟐𝟏 = 𝛔𝟏 − 𝐮𝐚 𝛔𝟐 − 𝐮𝐚 + 𝛔𝟐 − 𝐮𝐚 𝛔𝟑 − 𝐮𝐚 + 𝛔𝟑 − 𝐮𝐚 𝛔𝟏 − 𝐮𝐚

I22 = 3 ua − uw2

𝐈𝟑𝟏 = 𝛔𝟏 − 𝐮𝐚 𝛔𝟐 − 𝐮𝐚 𝛔𝟑 − 𝐮𝐚

I32 = ua − uw3

𝐈𝟑𝟐 =𝟏

𝟑∙ 𝐈𝟏𝟐

𝟑

=𝟏

𝟗∙ 𝐈𝟏𝟐 ∙ 𝐈𝟐𝟐FMP 2018


SIMPLIFICĂRI PENTRU PĂMÂNTURI SATURATE

08.03.2018 29

Pe măsură ce un pământ nesaturat devine mai umed, o parte

mai mare din pori este umplută cu apă și mai mică de aer

Pe măsură ce apa este adăugată unui pământ nesaturat și

pământul devine foarte umed, aerul din pori devine discontinuu

– apar bule

Pe măsură ce presiunea aerului devine discontinuă și spațiul

aerului din pori se apropie de zero, presiunea aerului din pori se

apropie de presiunea apei din pori. Asta înseamnă că (𝑢𝑎 − 𝑢𝑤)

se apropie de zero.

Pe măsură ce bulele de aer dispar, dispare 𝑢𝑎 - cel puțin efectul

acesteia dispare.

Astfel, pentru pământuri saturate, rămân doar tensiunile 𝛔 și

𝐮𝐰.FMP 2018



08.03.2018 30

Când spațiul porilor din pământ este umplut cu apă și pământul

este saturat, starea de tensiune este o funcție de două tensiuni:

1. Tensiuni totale

2. Presiunea apei din pori

Să ne amintim:

Tensiunea totală tinde să împingă particulele de pământ una spre alta

Presiunea negativă a apei din pori tinde să tragă particulele de pământ una spre alta

Presiunea pozitivă a apei din pori tinde să îndepărteze particulele una față de alta

Presiunea apei din pori este negativă pentru pământuri

saturate și nesaturate aflate deasupra nivelului apei subterane

Presiunea apei din pori este pozitivă pentru pământuri saturate

aflate sub nivelul apei subteraneFMP 2018



08.03.2018 31

În cazul pământurilor saturate este posibilă combinarea

tensiunii totale cu presiunea apei din pori într-o tensiune „netă”

ce controlează deformarea și rezistența la forfecare a

pământurilor saturate. Această tensiune „netă” este numită

tensiune efectivă, 𝝈′ (Teraghi, 1943)

𝛔′ = 𝛔 − 𝐮𝐰

Starea de tensiune pentru pământuri saturate poate fi

reprezentată prin tensorul tensiunii efective

𝛔𝐱 − 𝒖𝒘 𝛕𝐱𝐲 𝛕𝐱𝐳𝛕𝐲𝐱 𝛔𝐲 − 𝒖𝒘 𝛕𝐲𝐳𝛕𝐳𝐱 𝛕𝐳𝐲 𝛔𝐳 − 𝒖𝒘FMP 2018

Documents

CURS 3 - Bejan Florin