Oct. 2010 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, 1996 VIBRATII -> SISTEME DISCRETE CU UN GRAD DE LIBERTATE

CURS 1 oct. 2010 Prof.univ.dr.ing Iulian Lupea 1.1. Modelarea şi analiza vibraţiilor Prin MODELAREA unui sistem mecanic înţelegem descrierea matematică a comportamentului sistemului. Fenomen real ingineresc FRI -> model fizic MF-> model matematic MM -în modelul real (complex) legile fizicii se aplică cu mare dificultate. Modelul fizic se obţine prin eliminarea detaliilor şi reţinerea esenţialului.

- în MF se pot aplica legile fizicii Modelul matematic MM se obţine în urma aplicării legilor fizicii în MF ANALIZA este procesul de rezolvare a MM şi găsirea soluţiei problemei Vibraţia este mişcarea oscilatorie a sistemului mecanic SM în jurul poziţiei de echilibru; exemple: leagăn, pendul, pom, atomii în jurul poziţiei de echilibru, timpanul urechii exterioare, corzile instrumentelor muzicale, corzile vocale, motorul autovehiculului pe suporţi, toate componentele unui vehicul (automobil, tren, vapor, avion) vibrează la deplasarea acestuia, vibraţiile arborilor în timpul rotaţiei, maşinile unelte în timpul prelucrării sau mersului în gol etc. Inregistrarea poziţiei unui sistem mecanic real deformabil oarecare în timpul vibraţiei se face printr-o mulţime (o infinitate) grade de libertate independente (între ele). Fiecare dof înregistrează poziţia liniară sau unghiulară a unei particule din sistem. Fiecare gdl (dof) are origine, sens şi valoare la un moment t. 1.2. Clasificarea vibraţiilor Simboluri 1. După numărul gradelor de libertate sau complexitatea geometrică a SM

Sisteme cu un grad de libertate (1dof)

Oct. 2010 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, 1996

Sisteme cu 2 grade de libertate (2dof)

Sisteme cu mai multe (n) grade de libertate (ndof): )(tFKxxCxM =++ &&&

- sisteme mecanice modelate prin FEM unde fiecare nod al reţelei prezintă maxim 6dof (rezolvare numerică)

Sisteme cu masă continuă (o infinitate de dof); Ex: o bară de masă continuă încastrată la un capăt (Fig.x). Se poate menţiona aproximarea sistemelor cu masa continuă prin metoda elementelor finite.

2. Vibraţiile pot fi neamortizare (sisteme idealizate):

0=+ kxxm && şi amortizate (sistemele reale):

0=++ kxxcxm &&& unde xc& exprimă f. amortizare vâscoasă.

3. Vibraţii liniare – mişcarea sm x(t) este descrisă prin ecuaţii

diferenţiale liniare: 0=++ kxxcxm &&&

V. neliniare – mişcarea sm este descrisă de ecuaţii diferenţiale neliniare; exemplul pendulului:

0sinsin2 =+>−−= ϕϕϕϕlgmglml &&&&

După liniarizare obţinem:

lglg /0 =>−=+ ωϕϕ&&

4. Sistemele mecanice efectuează vibraţii libere (neforţate) 0=++ kxxcxm &&& şi forţate: )(tfkxxcxm =++ &&&

Forţele de excitaţie pot fi cunoscute la orice moment (sunt deterministice) => răspunsul sm este cunoscut.

Vibraţii aleatoare: fortele de vibraţie sunt necunoscute la momentul t fiind caracterizate statistic (prin medie şi deviaţia standard) => răspunsul de asemenea caracterizat statistic.

V. aleatoare: generate de vânt asupra unui pom, antenă etc., de valuri asupra unei ambarcaţiuni, excitaţia autovehiculului provenita de la drum.

V. haotice – au loc în sisteme neliniare, ca răspuns la diverse excitaţii, vibraţia fiind foarte dependentă de condiţiile iniţiale.

Vibraţii tranzitorii sau cu regim rapid schimbător caz în care forţele sunt de durată scurtă şi neperiodice:

Oct. 2010 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, 1996 apar la pornirea unui motor, mişcarea solului sau a construcţiilor la cutremure, Exemplu de modelare simplificată a unui automobil

M, K M, K M, J M, J

M, J

Oct. 2010 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, 1996

1.3. Funcţia armonică

Mişcarea oscilatorie armonică este cea mai simplă formă de mişcare periodică fiind descrisă de funcţia armonică (1) şi reprezentată ca o curbă sinusoidală (Fig.1). Funcţia armonică este de forma:

)+t(a=x(t))+t(a=x(t) ϕωϕω ⋅⋅⋅⋅ sincos (1.1) unde t este timpul, a este amplitudinea [m] oscilaţiei, ω

este pulsaţia circulară [rad/s], T

2=f2= ππω , f este

frecvenţa [s-1 sau Hz], T perioada [s], iar φ este faza [rad] la originea timpului (fig.1.1). La originea timpului amplitudinea este a·cos(φ). Timpul asociat maximului de amplitudine dinaintea originii timpului se deduce din relaţia:

ωϕϕω /1cos)( −=⇒=⋅⇒= t)+t(atx Pentru deducerea vitezei şi acceleraţiei vibraţiei se derivează funcţia armonică în raport cu timpul:

)+t(a=x(t) ϕω ⋅⋅cos )+t(a)+t(a=(t)x 2/cossin πϕωωϕωω +⋅⋅=⋅⋅−&

)+t(atx)+t(a=(t)x πϕωωωϕωω +⋅⋅=−=⋅⋅− cos)(cos 222&& Observăm amplitudinile deplasării (Xvarf=a), vitezei (Vvarf=aω) şi acceleraţiei (Avarf =aω2) punctului material sau corpului care descrie mişcare armonică. Rescriem tabelar expresiile pentru mişcarea armonică şi pentru viteza şi acceleraţia asociată:

)+t(X=x(t) f ϕω ⋅cosvar )+t(V=(t)x f 2/cosvar πϕω +⋅&

)+t(A=(t)x f πϕω +⋅cosvar&& Observăm faptul că faza vitezei întrece faza deplasării cu 90º şi faza acceleraţiei întrece faza vitezei

cu 90º.

Alte mărimi utile pentru descrierea mişcării armonice sunt media valorilor absolute Xmean şi rădăcină

din media pătratelor valorilor Xrms (rms = root mean square) (2).

dttxXdttxXT

Trms

T

Tmean ∫∫ ==0

210

1 )()( (2)

Fig.x amplitudinea, media val. abs şi rms Valoarea RMS este importantă fiindcă este o măsură strâns legată de energia vibraţiei. Relaţia de dependenţă dintre amplitudine, medie şi rms este:

fmeanrms XXX var21

22== π sau:

Oct. 2010 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, 1996

fXXfXX meanrms var0.6366var0.7071 ⋅=⋅=

Vector rotitor în planul complex In continuare se urmăreşte descrierea vibraţiei armonice

printr-un vector rotitor în planul complex. Folosim dezvoltarea în serie de funcţii Taylor în jurul valorii x0. Pentru x0=0 obţinem relaţia MacLaurin: In cazul unor funcţii cunoscute se obţin relaţiile:

)1(n!x=e

n

0n=x ∑

∞, )1( ′...)+

5!x+

3!x-j(x+...+

4!x+

2!x-1=e

5342jx

)1(cos ′′∑∞

(2n)!x)(-1=(x)

2nn

0=n, )1(sin ′′′∑

∞

1)!+(2nx)(-1=(x)

1+2nn

0=n

Prin înlocuirea relaţiilor (1’’) şi (1’’’) în expresiile ejx (1’) respectiv e-jx, rezultă relaţiile (1.2): (x)j+(x)=e jx sincos ⋅ (x)j-(x)=e-jx sincos ⋅ 1 (1.2) Din ultimele două relaţii (prin adunare respectiv prin scădere) se deduc formulele lui Euler:

2

e+e=(x)-jxjx

cos (1.2) şi 2j

e-e=(x)-jxjx

sin 3 (1.3)

Funcţia armonică poate fi reprezentată printr-un vector rotitor în planul complex:

unde s-a înlocuit variabila x cu funcţia de timp: x(t)= ωt+φ ωt+φ înmulţeşte pe j şi reprezintă unghiul vectorului rotitor la

momentul t t [s] este variabila timp care pune în mişcare vectorul rotitor ω [rad/s] este viteza unghiulară a vectorului φ [rad] este poziţia vectorului la originea timpului t=0.

Proiecţia pe axa reală a vectorului rotitor este funcţia armonică din relaţia 1.1 Exemplu: se consideră vectorul de modul 2, ω=3rad/s, φ=π/2:

)]+t(j+)+t([=e )+tj( 2/3sin2/3cos22 2/3 πππ La momentul t=1s se obţine:

)](j+)([=ej

4.5708sin4.5708cos22)23( π+⋅

iar proiecţia reală este 0.1411)(24.5708cos2 −⋅=)(

Derivatele vectorului complex sunt: Z(t)j=(t)Z ω& Z(t)=(t)Z 2ω−&& Z(t)j=(t)Z 3ω−&&& (1.4a) Se observă că derivarea în raport cu timpul se traduce în înmulţirea funcţiei cu jω. Expresia jω se poate pune sub forma:

2j

e=)2

j+2

(=jπ

ωππωω sincos (1.4b)

)]+t(j+)+t(a[=ea=Z(t) )+tj( ϕωϕωϕω sincos (1.4)

)1()(3

)(2

)(1

)()()( 0)(

30'''

20''

0'

00 ′++++ nn

nRx

n!xfx

!xf+x

!xf+x

!xfxf=xxf

)1()0(3

)0(2

)0(1

)0()0()()(

3'''

2'''

′+++ nn

nRx

n!fx

!f+x

!f+x

!ff=xf

Oct. 2010 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, 1996 Din relaţiile (1.4a) şi (1.4b) se poate scrie:

ea=ae )+tj(e=Z )2

++tj(j πϕωπ

ωϕωω 2& (1.5)

ea=eae=Z )++tj()+tj(j πϕωπϕωπ

ωωω 222 +&& (1.5’)

Astfel, prin derivare noul vector viteză Z& este rotit (poziţionat) cu 900 în sens trigonometric faţă de Z iar modulul este înmulţit cu ω. La variaţia parametrului timp t, cei doi vectori se rotesc cu aceeaşi viteză unghiulară ω dar vectorul viteză va fi tot timpul înaintea vectorului deplasare cu 900. Acelaşi fenomen se observă între vectorii acceleraţie şi viteză. Vectorii acceleraţie şi deplasare se vor roti cu aceeaşi viteză unghiulară ω dar vor fi tot timpul în opoziţie de fază (180 grade). Proiecţiile pe axa reală a vectorilor complecşi deplasare, viteză şi acceleraţie ...Z ,Z Z, &&& sunt egale cu derivatele de ordin corespunzător a funcţiei armonice (1.1). În figura 1.2 este proiectat vectorul rotitor complex M(t) iar proiecţia este urmărită în timp. Un vector complex poate fi reprezentat într-o diagramă amplitudine-frecvenţă în care faza nu este observabilă, numită diagramă spectrală (Fig.1.3) sau în diagrama din figura 1.4 unde faza este vizibilă.

Sistemul cu un grad de libertate

Se va începe studiul vibraţiilor prin alegerea celui mai simplu sistem, acesta fiind descris printr-un singur gdl. Se pot observa multe sisteme reale care în urma unor simplificări cu reţinerea esenţialului pot fi modelate printr-un sistem cu un grad de libertate.

1.4. Vibraţii libere neamortizate Scriem ecuaţia diferenţială de mişcare a corpului de masă m din figura 1.5 pe baza legii a doua a adinamicii, considerând amortizarea nulă:

kx(t)=(t)xm -&& Trecem termenul drept în membrul stâng şi împărţim cu m:

0=x+x 20ω&& (1.6)

unde s-a notat k/m=0ω . Semnificaţia mărimii ω0 se va observa mai târziu. Integrăm relaţia diferenţială (1.6) pentru a cunoaşte legea de mişcare a masei m, adică poziţia x a masei în funcţie de timp. Privind relaţiile (1.4) şi (1.4a) observăm că funcţia Z este proporţională cu Z&& , fapt ce justifică alegerea unei funcţii de forma;

ea=x(t) st ca soluţie a ecuaţiei diferenţiale (1.6).

�x (t)

m

c

k

Oct. 2010 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, 1996 Mărimile a şi s sunt necunoscute. Înlocuim soluţia în ecuaţia diferenţială (1.6) şi împărţim cu

mărimea pozitivă aest . Se obţine ecuaţia caracteristică în s de forma: 0=+s 2

02 ω (1.7)

având ca soluţii valorile ω01,2 j=s ± . Inlocuind valorile lui s în soluţia propusă, legea de mişcare a masei m va fi de forma:

ea+ea=x(t) t-j2

tj1 00 ωω (1.7a)

Exprimăm vectorii rotitori prin funcţii trigonometrice (x)j+(x)=e jx sincos ⋅ şi obţinem:

Se grupează termenii reali şi cei imaginari şi se obţine legea de mişcare a masei m: (1.7b)sincos tc+tc=x(t) 0201 ωω

unde s-a notat: )(, 21221 aajcaac1 −=+= Constantele de integrare c1 şi c2 se determină din condiţiile iniţiale de pornire a vibraţiei sistemului,

mai exact poziţia x(0)=x0 şi viteza x’(0)=v0 la t=0. Legea de mişcare (1.7b) trebuie să verifice şi condiţiile iniţiale:

0v=(0)x& ω02010 c=v =>v (0)x ,c=x =>x x(0) 00 == & Din cele două ecuaţii obţinute se deduc constantele de integrare c1, c2 şi se introduc in relaţia (1.7) rezultând:

tv+tx=x(t) 00

00 ω

ωω sincos0 (1.8)

Relaţia se poate pune şi sub forma unei funcţii armonice:

Se introduc notaţiile:

ω

ϕ

ω

ωϕ

20

v20+x2

0

x

20

v20+x2

0

v 0cos,0/0sin == ,

astfel încât se verifică relaţia: 1cossin 22 =+ ϕϕ , iar 00

0ω

ϕx

vtg =

Se înlocuiesc x0 şi v0/ω0 în relaţia (1.8) şi se obţine:

)sinsincos(cos ϕωϕωω

⋅⋅ t+tv+x=x(t) 0020

202

0

sau mai compact: )(cos 0 ϕω −ta=x(t)

cu amplitudinea şi faza iniţială de forma:

ω2

0

202

0v+x=a şi

xvarctg=

00

0

ωϕ (1.10)

Observăm că amplitudinea mişcării armonice este direct proporţională cu poziţia iniţială x0 şi cu raportul v0 /ω0.

Reprezentarea în planul complex se observă în figura 1.2. Observând relaţia (1.9) este explicabilă notaţia k/m=0ω făcută mai sus, în relaţia (1.6), reprezentând pulsaţia naturală a sistemului deoarece în urma oricăror condiţii iniţiale (poziţie, viteză) mişcarea sistemului rezultă armonică de pulsaţie ω0 aceasta fiind dependentă numai de masă şi de rigiditatea arcului. Frecvenţa naturală rezultă de forma:

mk

21=f 0 π

)-t(a=x(t) 0 ϕωcos (1.9)

]sin[cos]sin[cos (x)j(x)a+(x)j+(x)a=x(t) 21 ⋅−⋅

Oct. 2010 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, 1996 Pulsaţia naturală se referă întotdeauna la sistemul neamortizat. În realitate sistemul este amortizat iar pulsaţia reală este mai mică decât cea naturală deci perioada mai mare. Exemplul 1: Să se calculeze pulsaţia proprie a unui sistem cu un grad de libertate format dintr-o masă m=2kg suspendată de un arc elicoidal fără masă şi de constantă de rigiditate k=2000N/m. rad/s 31.623=k/m=0ω , Hz 5.033=)/(2=f 00 πω . Să se determine poziţia masei după 5 secunde de la pornirea vibraţiei:

00

sincos

v0.027+x0.511=x(5)

5)(31.62331.623

v+5)(31.623x=x(5) 00

⋅⋅

⋅⋅ .

Poziţia masei după 5 secunde de oscilaţie este deci dependentă de poziţia şi viteza masei la momentul iniţial. Exemplul 2: Se consideră un cilindru de suprafaţă S şi lungine l în care oscilează un piston de masă m. Coloana de aer se comportă ca un arc de constantă de elasticitate LSpk a /γ= . Prin asemănare cu

sistemul masă – arc elicoidal se poate scrie pulsaţia naturală a sistemului [ ]: mLSpaγω =0 unde pa este

presiunea atmosferică, iar γ este o constantă care pentru aer ia valoarea 1.4 şi participă la calculul modulului de compresibilitatea (bulk modulus) în cadrul relaţiei K=γp (p este presiunea din gaz).

Coloană de aer asimilată cu un arc O asemănare cu sistemul arc - masă se întâlneşte la incinta de volum V ce conţine aer cu rol de resort

(Fig. XX) şi un tub sau gâtuirea circulară de lungime L şi secţiune S a cărui masă a aerului conţinut joacă rol de piston. Masa din zona îngustată este m=ρSL iar constanta arcului asociat aerului din incintă este:

VcSK /22ρ= Pulsaţia naturală a sistemului asimilat cu un grad de libertate este:

VLSc

mK

πω

20 ===

Rezonatorul Helmholtz Masa aerului din tubul de secţiune S şi lungime l joacă rolul unui piston:

lVm ρ= Volumul mare de aer V din interiorul incintei se va comporta ca un resort de constantă k:

VcSk /22ρ= Unde c este viteza sunetului în aer iar ρ este densitatea aerului. Pulsaţia naturală a sistemului este:

vlScmk == /0ω

1.5. Vibraţii libere cu amortizare vâscoasă Considerăm din nou sistemul din figura 1.5 şi aplicăm legea a doua a dinamicii:

kxxc=xm −− &&& . Termenul xc- & reprezintă forţa de amortizare vâscoasă, proporţională cu viteza, pentru viteze mici. Se trec toţi termenii în membrul stâng şi se împarte cu masa:

0=x+xmc+x 2

0ω&&& (1.11)

Observând relaţiile (1.4), (1.4a) şi (1.11) rezultă că soluţia este de forma: ae=x(t) st , care se înlocuieşte în ecuaţia diferenţială a sistemului amortizat având un grad de libertate. Rezultă ecuaţia caracteristică:

Oct. 2010 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, 1996

0=+smc+s 2

02 ω cu soluţiile:

În continuare se va observa comportamentul sistemului pentru diferite valori ale constantei de amortizare cu păstrarea masei m şi a rigidităţii arcului k, constante. Pentru început să calculăm valoarea particulară a constantei de amortizare c notată c0, pentru care discriminantul se anuleză. Rezultă amortizarea critică de forma:

km2=k/mm2=c sau 0 2m=c 00 ω (1.13) Din motive practice, se introduce o mărime relativă denumită raport de amortizare cc/= 0ζ pe care o vom folosi în locul constantei c. Raportul de amortizare se poate exprima de asemenea în procente, astfel pentru ζ=1% constanta de amortizare c este 1% din amortizarea critică c0.

Ecuaţia diferenţială (1.11) se rescrie:

0=x+xm

c+x 200 ω

ζ&&&

Se înlocuieşte c0 din relaţia (1.13) rezultând: 0=x+x2+x 2

00 ωωζ &&& (1.14) Rădăcinile ecuaţiei caracteristice sau polii sistemului în funcţie de ζ devin:

1- =s 2001,2 ζωωζ ±-

sau:

ζωωζ −± 1- 2001,2 j =s

Iniţial s-a propus soluţia ae=x(t) st . Legea de mişcare a masei în timp este o combinaţie liniară a celor două soluţii corespunzătoare celor doi poli determinaţi:

ec+ec=x(t) ts2ts

1 21 (1.15) Observăm că soluţia x(t) are trei forme distincte în funcţie de valoarea expresiei 1-2ζ de sub radical.

Valoarea acestei expresii depinde de raportul de amortizare şi prin urmare de valoarea constantei de amortizare.

1. Cazul amortizării subcritice ( 1<ζ ) Dacă 1<ζ sub radical se obţine o valoare negativă, polii sistemului sunt complex conjugaţi:

ζωωζ 2001,2 -1j=s ±-

Se înlocuiesc polii în expresia legii de mişcare (1.15) rezultând:

]jec+je[ce=x(t)t-1t-1t-

2

0

2

00ζωζωωζ −

2010 Se trece la exprimarea prin funcţii trigonometrice. Expresia legii de mişcare x(t) indică vibraţie

amortizată de forma (1.16) în care amplitudinea vibraţiei descreşte exponenţial:

Pentru condiţiile iniţiale x(0)=x0, 0v=(0)x& se determină constantele c1 şi c2:

ζω

ως

2-1

xvcxc

0

000201 ,

+==

Urmărind o exprimare mai compactă, rezultă:

)-t-1(ae=x(t) 20

t- 0 ϕζωωζ cos (1.17) sau:

)-t(ae=x(t) dt- 0 ϕωσ cos⋅ (1.17’)

Se introduc astfel două noţiuni, pulsaţia amortizată ωd şi factorul de amortizare σ0:

ω202

2

m4c

2mc=s −±− 2,1 (1.12)

t)]-1(c+t)-1([ce=x(t) 20

20

t- 0 ζωζωωζ sincos 21 (1.16)

Oct. 2010 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, 1996

02

0d -1= ζωσζωω =si 0 (1.18)

respectând relaţia: 20

20

2 ωσω =+d . Din condiţiile iniţiale x0, v0 se pot calcula constantele a şi φ.

Polii pot fi scrişi şi în forma ωσ j =s d01,2 ±− . 2. Cazul amortizării critice ( 1=ζ ) În această situaţie ( c=c sau 0 1=ζ ) discriminantul ecuaţiei caracteristice se anulează şi polii rezultă confundaţi: ω0ss -21 == Legea de mişcare este de forma:

t)c(ce=x(t) t- 021 +ω (1.19)

Din condiţiile iniţiale rezultă constantele: 00001 , xvcxc 2 ω+== Reprezentând grafic legea de mişcare observăm că mişcarea este aperiodică amortizată. 3. Cazul amortizării supracritice ( 1>ζ )

Polii sistemului sunt de forma: 1- =s 2

001,2 ζωωζ ±- iar legea de mişcare rezultată este:

Din condiţiile iniţiale rezultă constantele: )2/(])([ 2

0002

01 1-x1-vc ςωωςς +−+−=

)2/(])([ 2000

202 1-x1-vc ςωωςς ++=

În figura 1.6 este prezentată amplasarea polilor în planul complex în funcţie de amortizarea din sistem, corespunzător celor trei cazuri mai sus tratate plus cazul vibraţiei neamortizate. Raza cercului pe care rămân tot timpul polii este egală cu pulsaţia proprie ω0 sau modulul polilor complecşi, fiind constantă deoarece depinde numai de m şi k. Pe axa reală se măsoară mărimea factorului de amortizare

)(== 000 βωωζσ cos- 0− iar pe axa imaginară se măsoară pulsaţia amortizată

)ec+ec(e=x(t) t 1--2

t 1-1

t- 20

20 ζωζωζω0 (1.20)

Oct. 2010 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, 1996

sau pseudopulsaţia ζωω 20d -1= . Observăm relaţia )(= βζ cos .

Polii situaţi pe axa imaginară au 0=ζ corespunzând cazului vibraţiei neamortizate. Polii amplasaţi pe axa reală pot fi confundaţi la abscisa -ω0 (cazul amorizării critice) sau simetrici faţă

de abscisa -ζω0 în cazul amortizării supracritice, caz în care răspunsul la excitaţia exterioară este o descreştere exponenţială a amplitudinii fără treceri repetate prin poziţia de echilibru static.

Pentru amortizare subcritică polii nu sunt aşezaţi pe axele de coordonate ci în semiplanul negativ a axei reale iar fenomenul de vibraţie are loc. Cu cât un pol este amplasat mai aproape de axa imaginară, amortizarea este mai mică, atingând cazul ideal, fără amortizare, pentru situarea lui pe axa imaginară. Exemplul 2: Se consideră un sistem format dintr-o masă m=10kg, un arc având coeficientul de rigiditate k=1000N/m şi un amortizor. Coeficientul de amortizare se consideră pe rând de valoare c=400 Ns/m, 200Ns/m, 10Ns/m. Efectuând calculele se obţine pulsaţia naturală a sistemului 10=0ω , independentă de amortizare şi coeficientul critic de amortizare ω00 2m=c de valori co1=2, c02=1, c03=0.05 corespunzător celor trei amortizoare. Exemplul 3: Pentru reprezentarea grafică a răspunsului în timp al unui sistem cu un grad de libertate se poate folosi următoarea funcţie scrisă în Matlab: function Vib_amo(m,c,k,x0,v0,tf) w=sqrt(k/m); z=c/(2*w*m); wd=w*sqrt(1-z^2); fprintf('Frecventa naturala este %.3g rad/s.\n',w); fprintf('Raportul de amortizare este %.3g.\n',z); fprintf('Frecventa proprie amortizata este %.3g.\n',wd); t=0:tf/1000:tf; if z < 1 A=sqrt(((v0+z*w*x0)^2+(x0*wd)^2)/wd^2); phi=atan2(x0*wd,v0+z*w*x0); x=A*exp(-z*w*t).*sin(wd*t+phi); fprintf('A= %.3g\n',A); fprintf('phi= %.3g\n',phi); elseif z==1 a1=x0;%(1.46) a2=v0+w*x0;%(1.46) fprintf('a1= %.3g\n',a1); fprintf('a2= %.3g\n',a2); x=(a1+a2*t).*exp(-w*t); else a1=(-v0+(-z+sqrt(z^2-1))*w*x0)/2/w/sqrt(z^2-1); a2=(v0+(z+sqrt(z^2-1))*w*x0)/2/w/sqrt(z^2-1); fprintf('a1= %.3g\n',a1); fprintf('a2= %.3g\n',a2); x=exp(-z*w*t).*(a1*exp(-w*sqrt(z^2-1)*t)+a2*exp(w*sqrt(z^2-1)*t)); end plot(t,x) xlabel('Timpul') ylabel('Deplasarea') Funcţia Vib_amo() poate fi apelată cu parametri: m, c, k, x0, v0, tf unde x0, v0 şi tf sunt poziţia iniţială, viteza iniţială şi timpul de simulare a fenomenului şi cu parametri: zeta, w, x0, v0 şi tf unde w este pulsatia naturală [rad/s].

Oct. 2010 Extrase: Iulian Lupea, Roboţi şi Vibraţii, Ed. Dacia, 1996 În funcţie de tipul disipării energiei din sistemele ce efectuează vibraţii, pe lângă amortizarea vâscoasă, s-au realizat şi alte modelări cum sunt amortizarea histeretică sau structurală şi cea coulombiană sau prin frecare uscată.

1.6. Studiul vibrogramei Acest caz realizează identificarea unor parametrii pe baza evoluţiei fenomenului în domeniul timp. Se pune o problemă practică. Având înregistrarea în timp (vibrograma, Fig.9.2) a mişcării oscilatorii amortizate să calculăm raportul de amortizare şi pulsaţia naturală a sistemului neamortizat. Pentru aceasta se foloseşte noţiunea de decrement logaritmic a cărui mărime este măsurabilă, definită prin relaţia următoare:

)T+x(tx(t)=

dlnδ (9.1)

Se fac înlocuiri rezultând:

T=)-T+t(ea

)-t(ea= d0ddd

)T+(t-d

t-

d0

0

ωζϕωω

ϕωδωζ

ωζ

coscosln (9.2)

Considerând relaţiile: ωπd

d2=T şi ζωω 2

0d -1= se

obţine:

ζ

πζδ2-1

2=

Se explicitează raportul de amortizare:

Considerând că δ 2 este foarte mic comparativ cu π 24 , se neglijează, rescriindu-se relaţia (9.3):

În continuare pulsaţia naturală se calculează cu relaţia

Identificarea începe prin măsurarea pe vibrogramă a mărimilor x(t), x(t+Td) şi Td la un moment t oarecare.

πδ

δζ22 4+

= (9.3)

πδζ2

≈ (9.4)

ζ

π

ζ

ωω2

d2

d0

-1 T

2=-1

= (9.5)