Culegere Probleme Microunde Militaru

George LOJEWSKI Nicolae MILITARU

MMIICCRROOUUNNDDEE

Culegere de probleme

EEDDIITTUURRAA EELLEECCTTRROONNIICCAA 22000000

Microunde – Culegere de probleme

1

LINII DE TRANSMISIUNE TEM 1.1 Să se calculeze parametrii lineici ai unui cablu coaxial fără pierderi având raza conductorului interior şi raza interioară a cămăşii Cablul are dielectricul din polietilenă,

mm3=r.2,2=rε

cm.1=R

Rezolvare: Într-un sistem de coordonate cilindrice, dată fiind simetria circulară a cablului coaxial, fiecare dintre cele două câmpuri conţine câte o singură componentă, iar aceste componente nu depind de coordonata unghiulară ϕ :

ρρrEE 0=

ρϕrHH 0= , 00 HZE d=

Sarcina electrică lineică de pe suprafaţa conductorului interior poate fi dedusă din legea fluxului electric aplicată unei suprafeţe

LqΣ cilindrice, coaxiale cu

cablul, de lungime unitară şi rază oarecare ,ρ ( )Rr << ρ :

( ) 0

2

0

1

0

2dddd ErzEAAqL επϕρρεεπ

ρ ==⋅=⋅= ∫ ∫∫∫ΣΣ

ΣΣ nEnD

Cunoscând câmpul, tensiunea dintre conductoare poate fi determinată aplicând definiţia ei clasică:

( )rRrErEEU

R

r

R

r

B

A

lnddd 00 ==== ∫∫∫ ρρ

ρρρlE

în care şi A B sunt două puncte arbitrare, situate fiecare pe câte unul dintre cele două conductoare. Rezultă astfel capacitatea pe unitatea de lungime a conductoarelor:

mpF5,101mF105,101

310ln

2,21036

12

ln

2 129

0

0 =⋅=⋅

⋅⋅

=== −πππε

rRrE

rEUq

C LL

5

Linii de transmisiune TEM

Pe de altă parte, orice undă se propagă cu o viteză de fază egală cu viteza undelor plane în mediul dielectric respectiv, Astfel, ştiind că

TEM ϕv.c

LLCL

v 1=ϕ

iar

εμ1

=c

din egalarea celor două expresii rezultă relaţia: . εμ=LLCLCu alte cuvinte, inductanţa lineică a cablului coaxial poate fi exprimată în funcţie de capacitatea sa lineică. Se obţine:

mnH241mH10241,03

10ln2104ln

26

7=⋅=

⋅== −

−

ππ

πμ

rRLL .

1.2 O porţiune dintr-un cablu coaxial fără pierderi de lungime terminată în gol, prezintă la frecvenţa o reactanţă de intrare capacitivă

. Mărind treptat frecvenţa, se constată o scădere a modulului impedanţei de intrare până la frecvenţa , la care apare un minim. Din aceste măsurări să se determine permitivitatea electrică a dielectricului din cablu şi impedanţa caracteristică a cablului.

,cm10=lkHz1001 =f

MHzkΩ138−=iX

4332 =f

Rezolvare: Impedanţa de intrare a unei linii fără pierderi, terminată în gol, are expresia:

iCZSC

CSCZi XlZ

lZZlZZ

ZZS

Sjctgj

tgjtgj

−=−=++

=∞=

∞=β

ββ

,

unde este reactanţa de intrare a liniei de transmisiune considerate. lZX Ci βctg= La creşterea frecvenţei, minimul modulului impedanţei de intrare are loc când

2πβ =l , adică 4λ=l . Folosind datele din problemă, rezultă:

.cm4042

2 =⋅== lfcλ

Pe de altă parte,

rrf

cfc

ελ

ελ 02

2

0

22 ===

de unde rezultă valoarea constantei dielectrice:

3104334,0

1034

2

6

82

2

02

2

02 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

lfc

r λλ

ε .

La frecvenţe mici ( l>>λ ), lll βλπβ ≈= 2tgtg astfel încât impedanţa de intrare devine

,1j1j2

j2

j1jiLLL

LCCCi CCLlC

Lfl

cZl

Zl

ZZωωππ

λβ

−=⋅−=−=−=−≈

6


unde reprezintă capacitatea de intrare a liniei. Li ClC ⋅= La frecvenţa la care 1f l>>λ , se poate deci scrie

lCC

XLi

i11

11ωω

−=−=

astfel încât se poate deduce capacitatea lineică a cablului coaxial de lungime : l

mpF115mF101151,010138102

12

1 1235

1=⋅=

⋅⋅⋅⋅=−= −

ππ lXfC

iL .

De aici rezultă şi impedanţa caracteristică a cablului:

2

11

2

0

0 2)2(

411

fXf

Xflfc

CcCcCL

CCL

Z ii

L

r

LLL

LL

LC

ππ

ε−=−=

⋅=

⋅===

deci

Ω=⋅⋅⋅⋅⋅

= 50104332

10138106

35πCZ .

1.3 Cât este rezistenţa lineică a unei linii de transmisiune având impedanţa caracteristică , terminată adaptat, dacă s-a constatat o atenuare a semnalului de la fiecare parcurşi? Pierderile în dielectricul liniei se consideră neglijabile.

Ω= 100CZm10dB1

Rezolvare: Constanta de atenuare a unei linii este legată de parametrii săi lineici prin relaţia: , γα Re=unde constanta de propagare γ are expresia: ( )( )LLLL CGLR ωωγ jj ++= . Dacă (pierderi mici în metal) şi (pierderi neglijabile în dielectric), se poate scrie:

LL LR ω<< 0≈LG

( )j j j 1 j 1j 2

L LL L L L L L L

L L

R RR L C L C L CjL L

γ ω ω ω ωω ω

⎛ ⎞≅ + ⋅ = + ≅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Rezultă astfel expresia constantei de atenuare a liniei considerate:

C

L

L

LLL Z

RL

RCL

22==α .

Cu valorile problemei se obţine:

mNp0115,0mNp7,81,0mdB1,0 ====

lAα ,

de unde rezultă: mΩ3,21000115,022 =⋅⋅== CL ZR α .

1.4 Se consideră circuitul cu schema din figura de mai jos în care tronsonul de linie de transmisiune folosit este fără pierderi, are drept dielectric aerul iar impedanţa sa caracteristică prezintă valoarea . Se cere: Ω= 50CZ

a) Să se calculeze puterea activă în sarcină, la frecvenţa GHz1= , folosind expresia impedanţei de intrare în linie;

f

7


b) Să se calculeze aceeaşi putere, folosind tensiunea pe sarcină.

CZ

3,75cml =

1

10VU

2U

zOl−

100SZΩ

Rezolvare: Lungimea de undă pe linie corespunzătoare frecvenţei de lucru este:

cm30m3,010

1039

80 ==

⋅==

fc

λ

şi deci, în raport cu λ , linia folosită are lungimea:

8λ

=l .

a) Impedanţa de intrare în tronsonul fără pierderi cu lungimea l are expresia:

lZZlZZZZ

SC

CSCin β

βtgjtgj

++

=

şi întrucât

18

2tgtg =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=

λλπβl ,

rezultă valoarea impedanţei de intrare:

( )Ω−=++

= 30j40100j50

50j10050inZ .

Puterea activă la intrarea circuitului are expresia:

inin

in ZZ

UP Re

2 2

21 ⋅= .

Deoarece linia folosită este fără pierderi, puterea activă de la intrare este egală cu puterea în sarcină:

( ) W8,04030402

102

22

2=⋅

+== inS PP .

Observaţie: Termenul inZ poate fi determinat direct, ştiind că impedanţa de intrare a unei linii de lungime 8λ , fără pierderi, terminată pe o sarcină pur rezistivă, are modulul egal cu impedanţa sa caracteristică, Ω== 50Cin ZZ .

b) Pentru o linie fără pierderi de lungime l şi impedanţă caracteristică CZ , ecuaţia tensiunii pe linie poate fi pusă sub forma:

( ) zIZzUzU C ββ sinjcos 00 −= ,

8


în care amplitudinile undelor directă şi inversă au fost exprimate în funcţie de tensiunea totală de la sarcină şi curentul total de la sarcină, . 0U 0ICu notaţiile din figură, relaţia precedentă devine: ( ) ( ) ( )lIZlUlUU C −−−=−= ββ sinjcos 221 şi deoarece curentul prin sarcină, , poate fi exprimat în funcţie de tensiunea la sarcină,

2I

SZ

UI 2

2 = ,

rezultă:

2221 21j1

21

82sin

10050j

82cos UUUU ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=

λλπλ

λπ

de unde poate fi dedusă tensiunea la sarcină în funcţie de tensiunea de la intrarea liniei:

12

21j12

1 UU⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= .

Puterea transmisă sarcinii pur rezistive are expresia:

S

S ZU

P2

22=

şi valoarea:

W8,01002

10522

2

=⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

=SP .

1.5 Pentru circuitul cu schema din figura de mai jos să se deseneze distribuţia amplitudinii tensiunii în lungul liniilor de transmisiune la frecvenţa , dacă tronsoanele de linie de transmisiune sunt considerate fără pierderi iar dielectricul liniei este aerul, .

GHz3=f

1=rε

24VinU

150CZΩ

10cml = 1 5cml =

U 1

50CZΩ 1

450RΩ

1U2

150CZΩ

2U2

100RΩ

2 2,5cml =

Rezolvare: Lungimea de undă pe linie corespunzătoare frecvenţei de lucru este:

8

09

3 10 0,1m 10cm3 10r

ccf f

λε

⋅= = = = =

⋅.

Primul tronson are deci lungimea egală cu o lungime de undă λ , al doilea tronson este repetor de impedanţă ( )21 λ=l iar cel de-al treilea tronson - inversor de impedanţă ( )42 λ=l .

9


Impedanţa de intrare în linia de lungime este: 2l

Ω=== 225100

1502

2

22

2 RZ

Z Ci .

Tronsonul 2l este terminat pe o sarcină pur rezistivă, =12R ei valoare este mai mică decât =152CZ care raportul de undă staţionară pe linia de lungime 2l se poate calcula direct cu relaţia:

Ω00 , a căr, caz înΩ0

5,1100150

2

22 ===

RZ Cσ .

Impedanţa de sarcină a tronsonului de lungime are deci valoarea 1l

Ω=+⋅

=+⋅

== 150225450225450||

21

21211

i

iiS ZR

ZRZRZ .

Impedanţa de intrare în tronsonul de lungime (repetor de impedanţă) este aceeaşi:

1l

. Ω====

15012/1 | Slii ZZZλ

Deoarece linia cu lungimea este terminată pe o sarcină pur rezistivă, cu o valoare mai mare decât impedanţa caracteristică a liniei , raportul de undă staţionară se poate calcula cu relaţia:

1lΩ=>Ω= 50150 11 CS ZZ

350

150

1

11 ===

C

S

ZZ

σ .

Primul tronsonul are drept impedanţă de sarcină impedanţa de intrare în tronsonul repetor. Aceasta este egală cu impedanţa lui caracteristică, , deci tronsonul este terminat adaptat, astfel încât raportul de undă staţionară

Ω== 1501 Ci ZZ1=σ iar

tensiunea la sarcină este egală cu tensiunea de la intrare: . V24== inUU Impedanţa lui de intrare are valoarea: . Ω== 150Cin ZZ Pentru tronsonul de lungime l1 2= λ , tensiunile de la extremităţi sunt U , respectiv . Întrucât impedanţa de sarcină a acestui tronson este pur rezistivă şi mai mare decât , rezultă că la capătul dinspre sarcină al tronsonului repetor va exista un maxim de tensiune, egal cu

U1 Ω=1501SZΩ= 501CZ

V241 =U . Pe de altă parte, între două maxime ale distribuţiei de tensiune există şi un minim, situat, faţă de sarcina tronsonului repetor, la distanţa

cm5,244==

+= Γ λλ

πϕπd .

În punctul de minim tensiunea are valoarea:

V8324

1

1 ==σU

.

Pentru reprezentarea distribuţiei de tensiune pe linii se face observaţia că tensiunea la sarcină este U . Întrucât rezultă că la sarcină există un minim al distribuţiei de tensiune de pe tronsonul inversor egal cu

2 Ω=<Ω= 150100 22 CZR

10


V165,1

24

2

12 ===

σU

U .

Distribuţia de tensiune în lungul tronsoanelor este reprezentată în figura de mai jos.

O[cm]z

( ) [V]U z

8

16

24

2,5−7,5−17,5−

1.6 O linie având impedanţa caracteristică este terminată pe o sarcină compusă dintr-un rezistor cu rezistenţa de

Ω= 50CZΩ20

1=

în serie cu un condensator având capacitatea de 3 pF. Să se calculeze raportul de undă staţionară şi distanţa la care apare primul minim de tensiune, la frecvenţa . Dielectricul liniei este aerul iar pierderile ei sunt neglijabile.

GHz0f

Rezolvare: Reactanţa de sarcină are valoarea:

Ω−=−=−= 532

11

00 CfCX S πω

astfel încât impedanţa de sarcină este . Ω−=+= 53j20j SSS XRZAceastă sarcină determină un coeficient de reflexie al tensiunii, Γ :

rad43,1jj e69,0e5053j205053j20 −=⋅Γ=

+−−−

=+−

=Γ Γϕ

CS

CS

ZZZZ

.

Raportul de undă staţionară σ este determinat de modulul coeficientului de reflexie:

45,569,0169,01

11

=−+

=Γ−

Γ+=σ .

Poziţia minimelor este determinată de faza coeficientului de reflexie. Calculând întâi lungimea de undă pe linie,

cm30m3,0110

1039

8

0

0 ==⋅

⋅==

rfcε

λ

se obţine în final poziţia minimului, calculând distanţa lui de la sarcină:

11


cm08,4304

43,14min =⋅

−=

+= Γ

ππλ

πϕπd .

Altfel: Pe diagrama Smith: Se reprezintă punctul corespunzător impedanţei normate de sarcină:

06,1j4,050

53j20j −=−

=+= SSC

S xrZZ

.

Acesta se află deci la intersecţia dintre cercul 4,0=r cu arcul de cerc . 06,1−=xDe pe diagramă se identifică cercul concentric cu diagrama 5,5≈σ şi poziţia normată a punctului 136,0≈λd , de unde rezultă distanţa cerută: . cm08,430136,0136,0min =⋅=≈ λd 1.7 Conectând la capătul unei linii de măsură cu pierderi neglijabile o sarcină necunoscută, se măsoară pe linie un raport de undă staţionară ,2=σ iar la distanţa

de capătul liniei se constată existenţa unui minim al distribuţiei tensiunii. Cunoscând lungimea de undă pe linie

cm22=dcm30=λ şi impedanţa caracteristică a liniei de

măsură , să se determine impedanţa sarcinii de la capătul liniei. Ω= 75CZ Rezolvare: Din datele experimentale se poate calcula coeficientul de reflexie al sarcinii,

Γ⋅Γ=Γ ϕje :

333,031

11

≈=+−

=Γσσ ,

rad15

213022414 min ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=Γ

πππλ

πϕd

.

Reţinând o valoare , rezultă: ( ππϕ ,−∈Γ )

rad209,0j15j

e33,0e31 −−

≈⋅=Γπ

.

Din expresia coeficientului de reflexie al tensiunii la sarcină,

11

11

+−

=+−

=+−

=ΓS

S

CS

CS

CS

CS

zz

ZZZZ

ZZZZ

se determină impedanţa normată de sarcină:

3,0j932,1e955,1e333,01e333,01

11 rad154,0j

209,0j

209,0j−==

−+

=Γ−Γ+

= −−

−

Sz .

În final, prin denormare, se obţine valoarea impedanţei de la capătul liniei: ( ) ( ) Ω−=⋅−=⋅= 5,22j145753,0j932,1CSS ZzZ . Observaţie: Distanţa, faţă de sarcină, la care apare primul minim rezultă din relaţia

cm74min =+

= Γ λπϕπd .

Pe o linie fără pierderi distanţa între două minime consecutive este de 2λ astfel încât minimul măsurat este de fapt al doilea: cm221572 2min,min =+==+ dd λ .

12


Altfel: Pe diagrama Smith: Se desenează cercul concentric cu diagrama 2=σ , tangent exterior la cercul

2=r şi tangent interior la cercul 21=r . Deplasării pe linia fără pierderi de la intrarea sa spre sarcină îi corespunde pe diagrama circulară o rotaţie în sens trigonometric, pe un cerc cu centrul în origine, până la o deplasare normată:

733,03022

≈=λd .

Aceasta presupune parcurgerea completă a diagramei plus încă o deplasare de . Punctul astfel obţinut, situat la intersecţia dintre cercul 233,05,0733,0 =− 2=σ şi

dreapta determinată de centrul diagramei şi poziţia 0,233, corespunde impedanţei normate de sarcină. De pe diagramă se citeşte: ; 93,1=r 3,0−=x şi deci valoarea impedanţei necunoscute, obţinută prin denormare, este: ( ) ( ) ( )Ω−≈⋅−=+= 5,22j145753,0j93,1j CS ZxrZ . 1.8 O linie de transmisiune fără pierderi, cu impedanţa caracteristică

este terminată pe o sarcină având impedanţa la frecvenţa de lucru. Ştiind că puterea transmisă sarcinii este să se calculeze valoarea maximă a tensiunii pe linie.

,100Ω=CZ .)150j50( Ω+=SZ,W10=SP

Rezolvare: Se calculează întâi coeficientul de reflexie al sarcinii:

( )rad107,1je745,066,0j33,0

32j1

j133j1

150j150150j50

=+≈+

=++−

=++−

=+−

=ΓCS

CS

ZZZZ .

Rezultă o valoare a coeficientului de reflexie al puterii:

952 =Γ==Γ

d

ip P

P.

Puterea transmisă sarcinii este diferenţa dintre puterea undei directe şi puterea undei inverse, ( ) ( )211 Γ−=Γ−=−= dpdidS PPPPP . Din datele problemei, se calculează puterea undei directe şi puterea undei inverse, :

dP

iP

( ) W5,22951

101 2 =

−=

Γ−= s

dPP ,

. W5,12105,22 =−=−= Sdi PPP Puterea undei directe este legată de unda directă de tensiune prin relaţia: dP dU

C

dd Z

UP

2

2

=

de unde se obţine amplitudinea undei directe: V675,2210022 =⋅⋅== dCd PZU .

13


În mod similar se poate deduce şi amplitudinea undei inverse: V505,1210022 =⋅⋅== iCi PZU . Valoarea maximă a tensiunii pe linie este suma amplitudinilor undelor directă şi inversă: V1175067max =+=+= id UUU . Valoarea minimă a tensiunii pe linie este V175067min =−=−= id UUU . Observaţie: Amplitudinea undei inverse poate fi calculată şi din definiţia coeficientului de reflexie: V5067745,0 ≈⋅=⋅Γ= di UU . Valorile maxime şi minime calculate în cele de mai sus sunt condiţionate de o lungime suficientă a liniei. 1.9 Să se stabilească condiţiile în care o linie fără pierderi, având ca sarcină o impedanţă pur rezistivă, prezintă la intrare tot o impedanţă pur rezistivă. Rezolvare: Expresia impedanţei de intrare a unei linii fără pierderi este:

lZZlZZZZ

SC

CSCi β

βtgjtgj

++

=

Întrucât linia este fără pierderi, . Considerând , partea imaginară a impedanţei de intrare are expresia:

ℜ∈CZ ℜ∈= SS RZ

( )lRZlRZZZ

SC

SCCi β

βtgtgIm 22

22

+−

= .

Impedanţa de intrare este pur rezistivă atunci când ,0Im =iZ adică în unul din următoarele cazuri:

a) CS ZR = , deci atunci când linia este terminată adaptat;

b) 0tg =lβ , sau πβ kl = , sau 2λkl = , adică în situaţia liniilor în

2λ (repetoare

de impedanţă);

c) ∞→lβtg , sau ( )2

12 πβ += kl , sau ( )4

12 λ+= kl , deci pentru liniile în

4λ

(transformatoare de impedanţă). Altfel: Pe diagrama Smith: Trecerea de la punctul corespunzător sarcinii pur rezistive, situat pe axa absciselor ( ), la punctul corespunzător impedanţei de intrare se face prin rotirea, în sens orar, pe un cerc cu centrul în originea diagramei circulare. Şi acest punct, corespunzând unei impedanţe cu partea reactivă normată nulă, trebuie să se afle pe axa absciselor. Această situaţie poate apărea dacă:

0=x

a) Punctul iniţial se află în origine, deci raza cercului pe care se face rotaţia este nulă, astfel încât punctul corespunzător impedanţei de intrare este tot în origine. În acest caz CS ZR = , adică linia este terminată adaptat.

14


b) Rotaţia se face cu un unghi de o360 astfel încât cele două puncte se suprapun. În această situaţie lungimea liniei este de 2λ .

c) Rotaţia se face cu un unghi de o180 astfel încât ambele puncte se află pe axa absciselor, aşezate simetric în raport cu centrul cercului. În acest caz lungimea liniei este de 4λ .

1.10 Se consideră o linie de transmisiune fără pierderi, prezentată în figura de mai jos. Să se determine poziţia secţiunii AA ′ pentru care modulul impedanţei de intrare, iZ , trece printr-un maxim.

CZ

2λ

zO

z

A

A′

Rezolvare: Admitanţa de intrare a porţiunii de lungime z terminate în scurtcircuit, de la dreapta secţiunii , este: AA ′

λπβ zYzYY CCisc

2ctgjctgj −=−= ,

unde este admitanţa caracteristică, reală, a liniei, iar CY λ este lungimea de undă. Admitanţa de intrare a tronsonului terminat în gol, de la stânga secţiunii AA ′ , are expresia:

λπ

λππλ

λπλβ zYzYzYzYY CCCCig

2tgj2tgj2

2tgj2

tgj −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= .

Admitanţa de intrare văzută în secţiunea AA ′ reprezintă suma celor două admitanţe calculate anterior:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=+=

uuYzzYYYY CCigisci

1j2ctg2tgjλπ

λπ ,

unde

λπzu 2tg= .

Rezultă:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=

uuY

uuYY CCi

11 .

Deoarece produsul mărimilor u şi u1 este constant, suma lor este minimă (adică modulul impedanţei este maxim) atunci când cele două mărimi sunt egale. Rezultă deci condiţia: 1=u

15


sau

12tg ±=λπz ,

de unde

Zkkz∈+±= ,

42 ππλπ .

Se obţine:

.28λλ kz +±=

Întrucât ,2

,0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∈

λz convin numai valorile

8λ

=z ,

respectiv

8

3λ=z .

1.11 Să se proiecteze circuitul cu schema din figura de mai jos astfel încât la frecvenţa corespunzătoare unei lungimi de undă cm50=λ să se obţină adaptarea unei sarcini având impedanţa la o linie de acces cu impedanţa caracteristică .

Ω−= )100j25(SZΩ= 75CZ

Toate liniile de transmisiune au ca dielectric aerul şi prezintă pierderi neglijabile.

CZCZ CZ ′

4λ d

1iZ 2iZ

SZ

Rezolvare: Metoda 1. Lungimea tronsonului în λ/4 (inversor de impedanţă), la frecvenţa de lucru, este

cm5,124

504

===λl .

Din condiţia de adaptare este necesar ca: . Ω== 751 Ci ZZ Pe de altă parte, tronsonul inversor de impedanţă realizează adaptarea unei impedanţe de sarcină reale, , la o altă impedanţă, , de asemenea reală: 2iZ Zi1

221 iCiiC ZZZZZ ⋅=⋅=′ .

16


Se impune deci ca lungimea a celui de-al doilea tronson să prezinte o valoare pentru care , astfel încât impedanţa să fie pur rezistivă.

d 0Im 2 =iZ 2iZ

Impedanţa de intrare în tronsonul cu lungimea considerat fără pierderi, are expresia:

,d

dZZdZZZZ

SC

CSCi β

βtgjtgj

2 ++

= .

În mărimi normate se obţine:

tztz

ZZz

S

S

C

ii j1

j22 +

+== ,

unde

34j

31

75100j25

−=−

==C

SS Z

Zz

reprezintă impedanţa normată de sarcină, iar

λ

πβ ddt 2tgtg == .

Astfel, rezultă:

[ ] [ ]222 )43(

j)43()43(j1j)43()43(j1

34j

31j1

j34j

31

ttttt

ttt

t

tzi ++

−+⋅−+=

++−+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

+−=

adică

( )92417

12812j92417

13j 2

2

2

2

222 ++−−

+++

+=+=

tttt

tttxrz iii .

Din condiţia rezultă valoarea lungimii pentru care impedanţa este pur rezistivă:

0Im 2 =iz d 2iz

012812 2 =−− ttsau 0323 2 =−− ttdeci

3

1012,1

±=t .

Rezultă astfel următoarele cazuri: • 72,0tg 11 −≈= dt β

adică ( ) Zkkd ∈+−= 111 ,72,0arctg πβ deci

d k1 120 624

2= − ⋅ + ∈k Z1

λπ

λ, , ;

• 387 ,1tg 22 ≈= dt βadică Ζ∈+= 222 ,387,1arctg kkd πβdeci

17


d k2 220 946

2= ⋅ + ∈k2

λπ

λ, , Ζ .

Rezultă de aici că cele mai mici valori pozitive pentru lungimea sunt: d• cm20 1 =d• cm53,7 2 =d

Corespunzător acestor valori, impedanţa , respectiv impedanţa caracteristică 2iz CZ ′ a tronsonului inversor primesc următoarele valori:

• pentru cm20 : 1 =d

55,8972,02472,017

)172,0(392417

)1(32

2

72,0121

21

2

1

≈+⋅+⋅

+=

+++

=−=t

i ttt

z

şi, corespunzător, Ω=⋅⋅=⋅=′ 3,219)55,875(752iCC ZZZ

• pentru cm53,7 : 2 =d

117,09387,124387,117

)1387,1(392417

)1(32

2

387,1222

22

2

2

≈+⋅+⋅

+=

+++

==t

i ttt

z

şi, corespunzător, Ω=⋅⋅=⋅=′ 65,25)117,075(752iCC ZZZ Metoda 2. Se bazează pe observaţia că impedanţa pe o linie de transmisiune fără pierderi este pur rezistivă numai într-un plan de maxim sau de minim al distribuţiei de tensiune pe linie. În acest caz, impedanţa corespunzătoare unui plan de minim al distribuţiei de tensiune este

( ) σ

Czz

ZZ =

= min,

unde Z reprezintă impedanţa văzută într-un plan situat la faţă de sarcină. Similar, într-un plan de maxim se obţine valoarea

(minz )

( )

σCzz ZZ == max

,

unde Z reprezintă impedanţa văzută într-un plan situat la faţă de sarcină iar (maxz ) σ este raportul de undă staţionară pe linie. Tronsonul în λ 4 , inversor de impedanţă, transformă o impedanţă pur rezistivă

în altă impedanţă, de asemenea reală, SZ SC ZZ 2′ . Distanţa trebuie să fie astfel aleasă încât impedanţa văzută în planul respectiv să fie reală, deci să corespundă fie unui minim, fie unui maxim al distribuţiei de tensiune pe linie.

d

Distanţa de la sarcină la care apare primul minim al distribuţiei de tensiune este dată de relaţia:

d =+π ϕπ

λΓ

4.

Cu datele problemei, impedanţa normată de sarcină este:

18


34j

31−==

C

SS Z

Zz

iar coeficientul de reflexie al tensiunii la sarcină are valoarea

j1,249rad1 0,79e1

S C S

S C S

Z Z zZ Z z

−− −Γ = = ≅

+ +.

Se obţine astfel lungimea tronsonului terminal:

1, 249 50 7,53 cm4

d ππ

−= ≅ .

În acest plan, impedanţa normată are valoarea:

117,0111

2 =Γ+

Γ−==

σiz .

Denormând, se obţine valoarea impedanţei de intrare în tronsonul de lungime : d . Ω=⋅== 775,8117,07522 iCi zZZ Impedanţa liniei de lungime cm5,124504 === λl se calculează cu ajutorul relaţiei: 2 75 8,775 25,65C C iZ Z Z′ = = ⋅ ≅ Ω . În mod similar se determină distanţa şi impedanţa caracteristică în cazul unui maxim al distribuţiei de tensiune.

d CZ ′

Primul maxim de tensiune pe linie este situat – faţă de sarcină – la o distanţă : d

20,03 cm2 4

d ϕλ λπΓ= − ≅ .

În acest plan, impedanţa normată are valoarea

2

1 1 0,79 8,521 1 0,79iz σ+ Γ +

= = = ≅− Γ −

.

Denormând, se obţine valoarea impedanţei de intrare în tronsonul de lungime : d . Ω=⋅== 63952,87522 iCi zZZCorespunzător, impedanţa caracteristică a tronsonului inversor are valoarea: Ω=⋅==′ 219639752iCC ZZZ . Metoda 3. Pe diagrama Smith. Se reprezintă pe diagramă punctul corespunzător impedanţei normate de sarcină:

25 j100j 0,333 j1,33375

SS s

C

Z r xZ

−= + = ≅ − .

Acesta se află deci la intersecţia dintre cercul 333,0=r şi arcul de cerc . 333,1−=x Se citeşte de pe diagramă poziţia corespunzătoare punctului obţinut, notat cu : A ( ) 348,0≈Ad λ . Corespunzătoare unei deplasări de la sarcină până într-un plan al liniei în care impedanţa este pur rezistivă, pe diagramă se efectuează o rotaţie în sens orar (spre generator), pe un cerc cu centrul în origine, până la intersectarea semidiametrului real negativ. Punctul astfel obţinut, notat cu B , reprezintă impedanţa normată . De pe 2iz

19


diagramă se citeşte valoarea acesteia, , şi poziţia ei normată: 12,02 ≈= rzi

( ) 5,0=Bd λ . În acest fel, prin denormare se determină lungimea a tronsonului terminal care asigură în planul său de intrare o impedanţă pur rezistivă,

d

( ) ( )[ ] ( ) cm6,750 =⋅ , 348,05,0 −=−= λλλ AB dddprecum şi valoarea ei: . ( ) Ω=⋅≈= 97512,022 CAii ZzZ Urmând relaţiile prezentate în cadrul acestei probleme la metoda 2, poate fi determinată şi valoarea impedanţei caracteristice a tronsonului inversor, corespunzător datelor obţinute pe diagrama circulară. Astfel, rezultă: . Ω≈′ 26CZ Continuând rotirea din punctul B , pe acelaşi cerc concentric cu diagrama Smith, se constată intersecţia cu semidiametrul real pozitiv, în punctul B′ . Se găseşte astfel şi cea de-a doua soluţie a problemei: , ( ) 5,82 ≈=′ rz Bi

adică, prin denormare, ( ) Ω=⋅≈= ′ 638755,822 CBii ZzZde unde , Ω≈′ 219CZrespectiv

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) . cm1,2050348,075,0 =⋅−≈

25,0λ ≈−+=λ λ−= ′ λλλ AdBAB dddd

Variaţia cu frecvenţa a modulului coeficientului de reflexie pe linia de acces corespunzător celor două soluţii, obţinută prin simulare pe calculator, este prezentată în figura 1.11.1.

Figura 1.11.1.a Figura 1.11.1.b cm53,7=d

Ω=

cm20=dΩ=′ 3,219CZ ′ 65,25CZ

20


Observaţie: Se constată că deşi cele două soluţii obţinute sunt ambele corecte la frecvenţa nominală, ele conduc la un răspuns în frecvenţă uşor diferit. Dacă se acceptă o anumită dezadaptare pe linia de acces, exprimată printr-o valoare maxim admisibilă a lui Γ sau σ atunci se poate defini o bandă de frecvenţe în interiorul căreia circuitul de adaptare considerat funcţionează corect. Banda de frecvenţe este mai largă pentru prima soluţie. 1.12 Să se calculeze lungimile , precum şi impedanţa caracteristică 1l 2l CZ ′ astfel încât circuitul cu schema din figura de mai jos să realizeze la frecvenţa adaptarea unei sarcini la o linie de acces cu impedanţa caracteristică

.

GHz1=f( Ω+= 10j20SZ )

Ω= 50CZ Atât cele două tronsoane cât şi linia de acces au ca dielectric aerul şi prezintă pierderi neglijabile.

CZ

1 4l λ=

SZCZ ′

CZ

2l

Rezolvare: La frecvenţa lungimea de undă este GHz1=f

cm30m3,010103

9

80 ==

⋅==

fcλ

şi deci

cm5,74

3041 ===λl .

Condiţia de adaptare a impedanţei complexe de sarcină la linia de acces având o impedanţă caracteristică reală impune ca admitanţa totală de sarcină – alcătuită din admitanţa

SZ

SS ZY 1= şi admitanţa de intrare în tronsonul derivaţie pe sarcină terminat în scurtcircuit – să fie reală. În această situaţie, tronsonul inversor de impedanţă are rolul de a transforma valoarea reală obţinută într-o valoare egală cu impedanţa caracteristică a liniei de acces, fapt care permite adaptarea. Admitanţa de sarcină este

21


( ) S02,0j04,010j20

11j −=+

==+=S

SSS ZBGY

iar admitanţa de intrare în tronsonul derivaţie are expresia:

22

2 ctgjltgj

tgjlY

YYlYY

YY CYSC

CSCi

S

βββ

−=++

=∞→

.

Admitanţa totală în planul de sarcină al liniei în 4λ are expresia . ( )2lctgj βCSSSit YBGYYY −+=+= Impunând condiţia de adaptare, , 0Im =tYrezultă condiţia:

C

S

YB

l =2ctg β

adică soluţia:

ZkkYB

lC

S ∈+= ,2

arcctg22

λπλ

Urmărind obţinerea unui tronson cu o lungime minimă, se consideră şi deci se obţine:

0=k

cm25,118303

83

43

202,002,0arcctg

22 =⋅

==⋅=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

λππλ

πλl .

În această situaţie, admitanţa totală are o valoare reală: S04,0== St GYdeci impedanţa din planul de sarcină al tronsonului inversor este:

Figura 1.12.1 cm25,112 =l

′ Ω≈ 35,35CZ

22


Ω=== 2504,011

tt Y

Z .

Impedanţa caracteristică a tronsonului în 4λ se calculează ca medie geometrică a impedanţelor terminale: Ω≈⋅==′ 35,352550tCC ZZZ . Variaţia cu frecvenţa a modulului coeficientului de reflexie pe linia de acces obţinută prin simulare pe calculator este prezentată în figura 1.12.1. 1.13 Să se stabilească în ce condiţii o linie de transmisiune fără pierderi, intercalată între un generator cu impedanţa internă şi o sarcină cu impedanţa poate fi utilizată ca circuit de adaptare.

GZ SZ

Rezolvare: Impedanţa de intrare a liniei fără pierderi, de impedanţă caracteristică ,

lungime l şi constantă de defazare

CZ

λπβ 2

= , are expresia:

lZZlZZ

ZZSC

CSCi β

βtgjtgj

++

= .

Transferul maxim de putere este obţinut dacă se îndeplineşte condiţia . *

Gi ZZ = Notând , , GGG XRZ j+= SSS XRZ j+= ul =βtg şi ţinând seama de faptul că pentru linia fără pierderi se scrie: ,ℜ∈CZ

( )

SSC

CSSCGG uRuXZ

uZXRZXR

jj

j+−++

=− .

Prin egalarea părţilor reale şi a părţilor imaginare de aici rezultă: ( ) ( ,SGGSSGC RXRXuRRZ −=− ) , ( ) ( ) 02 =+−++ GSGSCGSC XXRRuZXXuZde unde, prin eliminarea variabilei se obţine ecuaţia: ,u

( )( )

03 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+−−++⋅

−−

CSGGS

GSGSSGGSC

GSSG

SG ZRXRX

XXRRRRXXZ

XRXRRR

.

Renunţând la soluţia care nu convine rămâne condiţia: 0=CZ

( ) ( )

SG

SSGGGSC RR

XRRXRRZ

−+−+

=2222

2 .

Deoarece impedanţa caracteristică a liniei fără pierderi este reală, trebuie ca să fie pozitiv, adică

2CZ

011

2222

≥−

+−

+

SG

S

SS

G

GG

RR

RXR

RXR

,

sau

23


011

≥−

−

SG

SpGp

RR

RR,

în care s-au notat prin şi rezistenţele corespunzătoare reprezentărilor de tip paralel pentru impedanţele şi, respectiv, ( ).

GpRZ

SpR

G SZ , SpSpS XRZ j||=j|| GpGpG XRZ = Dacă această condiţie este satisfăcută rezultă ℜ∈u şi din ecuaţia ul =βtg se determină lungimea necesară a liniei. În concluzie, adaptarea este posibilă atunci când rezistenţa în reprezentarea paralel şi conductanţa în reprezentarea serie ale impedanţei generatorului sunt, ambele, ori mai mici, ori mai mari decât mărimile corespunzătoare ale impedanţei de sarcină. 1.14 Să se calculeze lungimea a unui tronson de linie terminat în scurtcircuit şi distanţa , faţă de sarcină, la care trebuie legat în derivaţie acest tronson, pentru a se realiza adaptarea unei sarcini cu impedanţa

ld

( )Ω−= 10j20SZ la o linie de acces. Atât linia principală cât şi tronsonul de linie folosit pentru adaptare sunt fără pierderi şi au impedanţa caracteristică , iar lungimea de undă pe linie este Ω= 50CZ

cm100=λ .

CZ( )20 j10

SZ− Ω

d

1Y

2Y

l

CZ

Rezolvare: Analitic, problema se rezolvă punând condiţia de adaptare; aceasta revine la a scrie că admitanţa totală de la capătul liniei de acces să fie egală cu admitanţa caracteristică a liniei de acces, CC ZY 1= . Admitanţa normată de intrare în tronsonul de lungime terminat pe admitanţa normată de sarcină

dy Y YS S= C este:

dydy

YY

yS

S

C ββ

tgj1tgj1

1 ++

== .

Admitanţa normată de intrare în tronsonul de lungime terminat în scurtcircuit are expresia:

l

lyYY

ySyi

Cβctgj2

2 −===∞=

.

24


Din condiţia de adaptare: CYYY =+ 21

sau , 121 =+ yyse obţine:

1ctgjtgj1tgj

=−++

ldydy

S

S βββ

în care admitanţa normată de sarcină are valoarea

j210j20

50+=

−===

S

C

C

SS Z

ZYYy .

Rezultă relaţia:

1ctgjtg)j2(j1

tgjj2=−

++++ l

dd βββ

adică

( ) 1ctg1tg2tg51tg4tgj

1tg2tg5tg12

2

2

2

2=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+−+−−

++−

+ ldddd

ddd β

ββββ

βββ

din care, prin identificarea părţilor reale şi imaginare, se deduc condiţiile:

• ( ) 11tg2tg5

tg122

2=

+−+

dddββ

β ,

de unde se obţine: . 01tg2tg3 2 =−− dd ββRezultă astfel două valori pentru lungimea tronsonului terminal:

31tg 1 −=dβ

adică

Ζ∈+−= 111 ,)31arctg( kkd πβ

deci , cm8,441 ≈drespectiv 1tg 2 =dβadică

42πβ =d

de unde

cm5,1282 ==λd .

• 0ctg1tg2tg51tg4tg

2

2=−

+−+−− l

dddd β

ββββ

Corespunzător celor două valori ale dβtg , se obţin de aici două soluţii pentru lungimea tronsonului lateral: 1ctg 1 =lβ

25


adică

cm5,1281 ==λl ,

respectiv , 1ctg 2 −=lβadică

cm5,378

32 ==

λl .

Sintetizând rezultatele obţinute, se constată că adaptarea la linia de acces se produce pentru următoarele perechi de lungimi ale tronsoanelor: ; cm5,12 ,cm87,44 == ld . cm5,37 cm,5,12 == ld Altfel: Pe diagrama Smith: Se începe prin reprezentarea pe diagramă, a punctului, notat cu , corespunzător impedanţei normate de sarcină

A2,0j4,0 −== CSS ZZz .

Datorită conexiunii paralel, se preferă calculul cu admitanţe. Admitanţa normată de sarcină j21 +== SS zy este reprezentată de punctul notat cu A′ , simetric cu în raport cu centrul diagramei.

A

Determinarea distanţei d revine la determinarea unghiului de rotaţie în sens orar (spre generator), astfel încât admitanţa de sarcină, A′ , să se transforme într-o admitanţă având partea reală egală cu unitatea (deoarece adăugarea ulterioară a admitanţei de intrare a tronsonului lateral – pur reactiv – nu va influenţa asupra părţii reale a admitanţei totale). Efectuând rotaţia din punctul A′ până la intersectarea cercului , se obţine punctul

1=gB . Unghiul de rotaţie, determinat cu ajutorul gradaţiilor de pe

periferia diagramei, corespunde unei distanţe normate la lungimea de undă 125,0=λd , adică, denormând, cm5,12125,0 == λd . În punctul B , partea imaginară a admitanţei (susceptanţa) tronsonului terminal, citită pe diagramă, are valoarea normată 1−=b ; în consecinţă, lungimea tronsonului lateral trebuie astfel determinată încât susceptanţa lui de intrare să aibă valoarea normată +1, necesară pentru compensare. Lungimea aceasta poate fi determinată tot pe diagramă, prin intermediul unghiului de rotaţie necesar pentru a transforma admitanţa terminală a tronsonului lateral, ∞=y (reprezentată de punctul C ), în susceptanţa necesară pentru adaptare (punctul D ). Se obţine: 375,0=λl , de unde, denormând, rezultă: cm5,37375,0 =⋅= λl . Se constată că problema mai admite o soluţie, reprezentată de punctul B′ . Pentru acest punct se obţin: 449,0=λd , adică cm9,44449,0 =⋅= λd şi

26


125,0=λl , adică cm5,12125,0 == λl . Observaţie: Prin acest procedeu poate fi adaptată orice sarcină , deoarece oricare ar fi punctul de pornire, la rotirea în jurul originii se intersectează cercul , deci se obţin soluţii.

SZ1=g

Variaţia cu frecvenţa a modulului coeficientului de reflexie pe linia de acces, corespunzătoare celor două soluţii, obţinută prin simulare pe calculator, este prezentată în figura de mai jos. Se poate observa faptul că prima soluţie conduce la o bandă ceva mai largă a circuitului de adaptare.

Figura 1.14.2.b cm5,12=d cm5,37=l

Figura 1.14.2.a cm87,44=d

cm5,12=l

1.15 Un cablu coaxial fără pierderi, de lungime cm40=l , are impedanţa caracteristică şi este terminat pe o impedanţă compusă dintr-un rezistor cu rezistenţa de în paralel cu un condensator având capacitatea de

Ω= 200CZΩ100 pF5 .

CZ

l

iZ

SR SC

27


Ştiind că lungimea de undă pe cablu este iar dielectricul dintre conductoare prezintă o constantă dielectrică , să se calculeze impedanţa de intrare a liniei.

cm25=dλ4=rε

Rezolvare: Frecvenţa de lucru are valoarea:

MHz600Hz106425,0

103 88

0 =⋅=⋅

⋅===

rdd

ccfελλ

.

Rezultă că admitanţa de sarcină are valoarea

( )S105,188j01,0

1051062j10j1j

4

1282

−

−−

⋅+=

⋅⋅⋅⋅+=+=+= πω SS

SSS CR

BGY

sau, în mărime normată,

77,3j2+==C

SS Y

Yy .

Admitanţa normată de intrare în linia de transmisiune are expresia:

,tgj1tgj

lyly

yS

Si β

β++

=

unde

rad052,10254022 === π

λπβ

d

ll

adică 726,0tg =lβ . Rezultă astfel valoarea admitanţei de intrare:

( )rad291,1je174,209,2j6,0

726,077,3j2j1726,0j77,3j2 −=−=⋅++

++=iy .

Prin urmare, impedanţa de intrare normată este: 442,0j127,01 +== ii yz sau, denormând, ( ) ( )Ω+=⋅+== 4,88j4,25200442,0j127,0Cii ZzZ . Altfel: Pe diagrama Smith: Se reprezintă pe diagramă admitanţa normată de sarcină, . Punctul obţinut se roteşte apoi în jurul centrului diagramei, în sens orar (deplasare spre generator), cu un unghi corespunzător lungimii normate a liniei,

77,3j2 +=Sy

6,1=λ1,05,036,1 =⋅−

l ; aceasta presupune parcurgerea completă a trei cercuri, plus încă o deplasare de diviziuni. În punctul astfel obţinut se citeşte admitanţa normată de intrare,

. Pentru a afla impedanţa normată de intrare, se consideră punctul simetric lui faţă de origine. Se obţine sau, denormând,

, ceea ce corespunde soluţiei obţinute anterior pe cale analitică.

09,2j6,0 −=iy

iy== ,24Cii ZzZ

442,0j127,0 +=iz( Ω+ 4,88j5 )

28


1.16 Pentru o impedanţă de sarcină ( ) ,50j100 Ω+=SZ să se calculeze lungimile ale tronsoanelor de linie conectate în derivaţie la distanţele (fixe) ,

respectiv faţă de capătul liniei, astfel încât linia de transmisiune să fie terminată adaptat.

21, ll cm500 =lcm750 =+ dl

Atât linia principală cât şi tronsoanele terminate în scurtcircuit sunt fără pierderi şi au impedanţa caracteristică . Lungimea de undă pe linie este Ω= 50CZ .cm100=λ Prin modificarea lungimilor ale tronsoanelor este posibilă adaptarea oricărei impedanţe de sarcină ?

21, ll

CZ

d 0l

SZy′1y

1l

A

A′

2l

B

B′

y′′2y

Rezolvare: Se notează cu admitanţele normate de intrare ale tronsoanelor laterale terminate în scurtcircuit.

21, yy

Deoarece ,210 =λl tronsonul terminal de lungime este repetor de impedanţă astfel încât admitanţa lui normată de intrare are valoarea:

0l

bgZZ

zyy

S

C

SS ′+′=−=

+====′ j2,0j4,0

j211 .

Întrucât 41=λd rezultă că tronsonul de lungime este inversor de impedanţă astfel încât se poate scrie:

d

1

1yy

y+′

=′′ .

Condiţia de adaptare la intrarea în tronsonul de lungime este: 2l . 12 =′+ yy Pe de altă parte, admitanţele de intrare în tronsoanele de linie laterale terminate în scurtcircuit au expresiile: ,ctgj 11 ly β−= , 22 ctgj ly β−=prin urmare condiţia de adaptare devine:

.1ctgjctgjj

12

1=−

−′+′l

lbgβ

β

29


Egalând aici părţile reale şi imaginare, se obţine sistemul:

( ) ( )

1ctg 2

12 =

−′+′

′

lbgg

β,

( ) ( )21

21

2ctg

ctgctg

lbglb

lβ

ββ

−′+′+′−

= .

Rezolvând sistemul, se obţin soluţiile:

( )5

611ctg '''1

±−=−±= ggblβ ,

2611ctg '2 ±=−±=

glβ ,

de unde , Zkkl ∈+= '

1'1

'1 ,289,1 πβ

Zkkl ∈+−= '2

'2

"1 ,967,0 πβ

respectiv , Zkkl ∈+= "

1"1

'2 ,685,0 πβ

. Zkkl ∈+−= "2

"2

"2 ,685,0 πβ

Se obţin următoarele valori pozitive minime ale lungimilor tronsoanelor: cm9,10;cm5,20 21 == llsau .cm1,39;cm6,34 21 == llObservaţie: Problema admite soluţii numai dacă .1' <g Variaţia cu frecvenţa a modulului coeficientului de reflexie pe linia de acces corespunzătoare celor două soluţii, obţinută prin simulare pe calculator, este prezentată în figura de mai jos.

Figura 1.16.2b Figura 1.16.2a cm5,201 =l cm9,102 =l

cm6,341 =l cm1,392 =l

30


Altfel: Pe diagrama Smith: Se porneşte de la , căreia îi corespunde pe diagramă punctul

2,0j4,0j −=++=′ SSS bgyyM . Admitanţa din stânga în secţiunea AA ′ ,

, va fi reprezentată de un punct a cărui poziţie pe cercul depinde de . Trecerea în secţiunea

( )1ctg lβ

1l1 j bgyyy SSA +=+=

4,0== SggS − N

BB ′ se face rotind punctul pe un cerc cu centrul în origine în sens orar (spre generator) cu

N( ) ππλ =⋅ 4d . Se

obţine deci punctul diametral opus lui , care se notează cu şi căruia îi corespunde admitanţa .

N Q1−=′′ Ayy

Se impune condiţia , adică 1. Punctul se află pe cercul , rotit cu

12 =+′′ yy ctg 21 =−− ljyA β Q

4,0=g π radiani. Se caută intersecţia acestui cerc cu cercul . Se găsesc punctele

1=gQ′ şi prin care trec cercurile Q′′ Qbb ′= b, Qb ′′=

2l, care corespund

susceptanţelor compensate de tronsonul cu lungimea . Rezultă deci: , b , adică punctele 222 −=′b ,1−=′Qb 22,1=′′Q2 =′′ −b R′ şi R ′′ care corespund admitanţei

de intrare în linia cu lungimea . 2l Această lungime se obţine prin deplasarea pe cercul exterior în sens orar (spre sarcină) până se ajunge la scurtcircuit ( ∞=y , notat cu ). Se măsoară: S 109,025,0359,02 =−=′ λl ; 391,025,0141,02 =+=′′ λl , de unde, prin denormare, rezultă: , cm9,10109,02 ==′ λlrespectiv . cm1,39391,02 ==′′ λl Se precizează poziţiile N şi N′ ′′ a cle punctului N a simetrice ale punctelor Q, ′

Q ′′ raport cu originea. Prin Nşi în ′ şi N ′′ trec cercurile 48,0−=′= Nbb , respectiv care corespund susceptanţei . Deci susceptanţa liniei

poate avea valorile: 48,0=b ′′= Nb 1b+bb SA = 1l

, 28,01 −=−′=′ SN bbbrespectiv . 68,01 =−′′=′′ SN bbb Punctele reprezentative se notează cu T ′ , respectiv T ′′ . Deplasându-le în sens trigonometric (spre sarcină) până în punctul , se obţine: S 206,025,0456,01 =−=′ λl şi 346,025,0096,01 =+=′′ λl adică, prin denormare: , cm6,20206,01 ==′ λlrespectiv . cm6,34346,01 ==′′ λl Se constată în final că rezultatele obţinute pe cale grafică, cu ajutorul diagramei circulare, sunt în bună concordanţă cu cele obţinute pe cale analitică.

31


1.17 Să se calculeze dimensiunile şi poziţia unui tronson de adaptare în 4λ cu ajutorul căruia să se realizeze adaptarea unei sarcini ( )Ω−= 100j25SZ la un cablu coaxial având impedanţa . Dielectricul cablului este aerul. Raza mare a secţiunii transversale a cablului este

Ω= 75CZ.cm1=a Tronsonul de adaptare se realizează prin

modificarea razei conductorului interior. Frecvenţa de lucru este .MHz600=f Se neglijează pierderile.

l

Rezolvare: Lungimea de undă corespunzătoare frecvenţei de lucru este:

cm50m5,0106103

8

80 ==

⋅⋅

==rf

cε

λ .

Schema echivalentă structurii desenate este prezentată mai jos.

CZCZ CZ ′

4λ d

SZ

Transformatorul de impedanţă în 4λ schimbă o impedanţă reală în altă

impedanţă reală, SZ

SC ZZ 2′ . Distanţa trebuie să fie aleasă astfel încât impedanţa văzută în planul respectiv să fie reală şi mai mică decât (deoarece

d

CZ bb >′ , ), deci să corespundă unui minim al tensiunii.

CZ<CZ ′

Poziţia minimului de tensiune este dat de relaţia:

λπϕ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += Γ

441d .

Impedanţa normată de sarcină este

34j

31

75100j25

−=−

==C

SS Z

Zz

iar coeficientul de reflexie al tensiunii la sarcină este:

( )jarctg3 j1,249rad1 10 e 0,79 e1 4

S C SS

S C S

Z Z zZ Z z

− −− −Γ = = = ⋅ ≅ ⋅

+ +.

Sz1z

d

2b 2a 2b '2b

32


Se obţine:

cm53,7504249,1

41

=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

πd .

În acest plan de minim al distribuţiei de tensiune impedanţa normată are valoarea:

.117,0111

1 =Γ+

Γ−==

S

Szσ

Impedanţa tronsonului de adaptare în 4λ trebuie să corespundă ecuaţiei

, ( ) 12 1 zzC ⋅=′

deci ,342,01

' == zzC adică . Ω=⋅=⋅= 65,25342,075''

CCC zZZ Din expresia impedanţei caracteristice pentru cablurile coaxiale,

baZ

rC ln60

ε= ,

rezultă că pentru cablul coaxial iniţial, raza conductorului interior este:

mm86,260

exp =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅= rCZ

abε

,

iar pentru porţiunea de lungime 4λ

mm52,660

exp'

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=′ rCZ

abε

.

Lungimea l a tronsonului cu impedanţa CZ ′ este: .cm5,124504 === λl 1.18 Să se calculeze puterea maximă transmisibilă printr-un cablu coaxial cu dimensiunile având ca dielectric aerul, terminat pe impedanţa lui caracteristică. Se ştie că în cazul aerului intensitatea câmpului electric maxim admisibilă este de

2,72mm,R = 1mmr =

cmkV300 =strE şi se admite un coeficient de siguranţă .2,0=C

Rezolvare: Notând cu intensitatea maximă a câmpului electric (de la suprafaţa conductorului interior) rezultă:

0E

2R

2r 0 0 lnB R

A r

r RU d E d rEr

ρρ

= = =∫ ∫E l .

Dar:

,2

2

CZU

P =

unde

33


60 lnCRZr

= Ω .

În consecinţă

2 22 2 20 0ln ln

W1202 60 ln

R Rr E r Er rP R

r

= =⋅ ⋅

iar dacă se introduce coeficientul de siguranţă rezultă valoarea puterii maxime transmisibile prin cablul coaxial în condiţiile date:

C

( )2 2 26 6

0,

max,tr

ln 10 3 10 ln 2,720, 2 15kW

120 120

strRr ErP C

− ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ = .

1.19 Să se calculeze puterea maximă transmisibilă printr-un cablu coaxial cu dimensiunile având ca dielectric aerul, dacă impedanţa lui terminală este

2,72mm,R = 1mm,r =( ) .Ω60j90+=SZ

Se consideră, ca şi în cazul problemei precedente, intensitatea câmpului electric de străpungere a aerului cmkV300 =strE şi se admite un coeficient de siguranţă

.2,0=C Rezolvare: În cazul unui cablu coaxial, fără pierderi, dezadaptat, puterea transmisă sarcinii are expresia

C

i

C

didS Z

UZ

UPPP

22

22

−=−= ,

iar raportul de undă staţionară este

id

id

UUUU

UU

−

+==

min

maxσ

deci

( )( )σC

ididC

S ZU

UUUUZ

P22

12max=+−=

Comparând cu cablul terminat adaptat, (vezi problema 1.18), se constată că puterea maximă transmisibilă scade de σ ori. Cu datele problemei, impedanţa caracteristică a cablului coaxial are valoarea:

60 ln 60 ln 2,72 60CRZr

= = ≅ Ω

iar impedanţa normată de sarcină este:

j5,160

60j90+=

+==

C

SS Z

Zz

astfel încât coeficientul de reflexie al tensiunii la sarcină

rad727,0je415,02j52j1

j5,2j5,0

11

⋅=++

=++

=+−

=ΓS

S

zz

.

34


Rezultă de aici valoarea lui σ :

1 1 0,415 2,421 1 0, 415

σ+ Γ +

= = ≅− Γ −

.

Cablul fiind identic cu cel din problema anterioară, se deduce:

( )

kW2,642,21015 3

adaptaretransm.max,transm.max, =

⋅==

σ

PP .

1.20 Ce capacitate trebuie să aibă un condensator conectat la un capăt al unei linii fără pierderi de lungime pentru ca linia terminată în scurtcircuit la celălalt capăt să rezoneze la frecvenţa de ? Impedanţa caracteristică a liniei este

iar dielectricul acesteia are o permitivitate electrică relativă .

cm3=lGHz1

Ω= 50CZ 4=rε

CZ

l

iZ

C

Rezolvare: Impedanţa de intrare în tronsonul cu lungimea , terminat în scurtcircuit, are expresia:

l

, lZZ Ci βtgj=şi cum

rad4,0103

21003,0222 8

9

0ππ

επ

λπβ =

⋅⋅⋅

===c

lfll r

rezultă: ( ) Ω=⋅= 154j4,0tg50j πiZ . Condiţia de rezonanţă este: ,0=+ iC XXde unde

.1C

XX iC ω−=−=

Se obţine astfel capacitatea condensatorului:

pF1F10154102

11 129 =≈⋅⋅

== −

πω iXC .

1.21 Un emiţător transmite semnalul antenei prin intermediul unei linii având constanta de atenuare mdB0434,0=α şi lungimea de . Ştiind că raportul de undă staţionară pe linie este

m1025,1=σ şi că puterea medie activă în antenă este de , să

se calculeze puterea debitată de emiţător. W100

35


Rezolvare: Randamentul unei linii de transmisiune are expresia:

,ee

1222

2

ll ααη

−Γ−

Γ−=

unde reprezintă coeficientul de reflexie al sarcinii iar este lungimea liniei având constanta de atenuare

Γ lα .

Pentru datele numerice ale problemei, se obţine:

1mNp05,010686,810434,0 <<=⋅⋅=lα ,

fapt ce permite folosirea aproximaţiei: 2e 1 2l lα .α± ≅ ± Din expresia raportului de undă staţionară pe o linie se deduce

,11

+−

=Γσσ

astfel încât se poate scrie:

( ) ( )2

2 2

1 4 114 2 2 21 2 1 2 1ll l l

σησ α σα α α α

σ

− Γ≅ = =

⎛ ⎞+ ++ − Γ − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Din definiţia randamentului:

em

ant

PP

=η ,

unde este puterea livrată antenei, iar este puterea debitată de emiţător, rezultă: antP emP

antem ant

11PP l Pα ση σ

⎡ ⎤⎛ ⎞= ≅ + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦,

de unde, cu datele problemei se obţinea valoarea cerută:

W11010054

45

2011 =⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅+≅emP .

1.22 Să se calculeze impedanţa caracteristică şi randamentul unui tronson de cablu coaxial de lungime 4λ folosit pentru adaptarea unei sarcini la un generator având impedanţa internă pur rezistivă, Constanta de atenuare a cablului este

Ω= 10SZ.250Ω=gZ

mdB1=α , iar lungimea de undă .cm20=λ

CZ

4l λ=

SZSUinUgE

gZ

zOl−

36


Rezolvare: Condiţia de adaptare este: ,ing ZZ =

unde este impedanţa de intrare a liniei cu pierderi, inZ

lZZlZZZZ

SC

CSCin γ

γthth

++

= .

Pentru un tronson inversor ( 4λ=l ) se obţine ,2πβ =l deci

( )lll

lllllll αβα

βαβαγπβπβ th

1tgthj1

tgjthlimjthlimth22

=⋅+

+=+=

→→,

astfel încât condiţia de adaptare conduce la:

,thth

SC

CSCg ZlZ

ZlZZZ++

=αα

de unde rezultă ecuaţia: ( ) ,0th2 =−−− SgCSgC ZZlZZZZ αcu soluţiile

( ) ( )

24thth 22

SgSgSgC

ZZlZZlZZZ

+−±−=

αα.

Valoarea pozitivă a impedanţei caracteristice poate fi scrisă sub forma:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−++

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

2

th211th

21 l

ZZ

ZZ

lZZ

ZZ

ZZZg

S

S

g

g

S

S

gSgC αα

sau, cu notaţia Sg ZZr = :

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

2

th1211th1

21 l

rrl

rrZZZ SgC αα .

Pentru un tronson inversor, fără pierderi, ( 0=α ), se regăseşte expresia impedanţei caracteristice ca medie geometrică a impedanţelor sale terminale: SgC ZZZ = .

Dacă linia are pierderi mici iar şi nu diferă prea mult, astfel încât gR SR r să nu fie mult diferit de 1, se poate scrie:

1th121

<<⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ − lr

r α

şi de aici rezultă:

1 11 t2C g S hZ Z Z r l

rα

⎡ ⎤⎛ ⎞≅ + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

.

Cu datele problemei atenuarea tronsonului are valoarea:

Np1075,5m42,0

mNp115,0 3−⋅=⋅=lα ,

şi deci

37


( )3 3th th 5,75 10 5,75 10 .l lα α− −= ⋅ ≅ ⋅ = Astfel, se obţine:

3 21 1 1 1 1 1th 5 5,75 10 1,38 10 12 2 2 5

r l r lr r

α α − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ≅ − = − ⋅ = ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠<< ,

astfel încât, pe baza relaţiei aproximative, rezultă valoarea impedanţei caracteristice: ( )22500 1 1,38 10 50,69CZ −≅ + ⋅ = Ω . Observaţie: Rezultatul calculat prin aproximare diferă foarte puţin de valoarea

Ω== 50gSC ZZZ rezultată în urma neglijării pierderilor. Puterea reală medie (puterea activă) pe o impedanţă complexă Z la bornele căreia tensiunea are amplitudinea U , este dată relaţia:

ZZ

UP Re

21

2

2

mr ⋅= ,

astfel încât expresia randamentului tronsonului de adaptare devine:

inS

in

in

S

in

S

ZZZ

U

UPP

Re

2

2

2

==η

Se calculează:

( )( )

( ) ( )( ) ( )

,ee

1e0e0

000lll

il

d

id

lz

z

in

S

UUUU

zUzU

UU

γγγγ −−−=

=

Γ+Γ+

=++

==

unde este coeficientul de reflexie al tensiunii la sarcină, Γ

( )( ) ,

11

00

+−

=+−

==ΓS

S

CS

CS

d

i

zz

ZZZZ

UU

iar CSS ZZz = reprezintă impedanţa normată de sarcină. În cazul problemei, 4λ=l , astfel încât

lll απ

αγ ±±±± ±== ejeee 2j

şi, prin urmare,

( ) ( )

222

chshe1je1j2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=−−+

= − llzz

zzz

UU

S

Sl

Sl

S

S

in

S

αααα .

De asemenea,

S

S

SC

CS

S

C

S

in

S

in

zlzl

ZlZZlZ

ZZ

ZZ

ZZ

++

=++

⋅==αα

αα

th1th

thth

ReRe .

Randamentul poate fi astfel scris şi sub următoarea formă:

( ) ll

zz

lzlzl

lzl

SS

S

S

S αααα

ααα

η2

222

thth11

1ch

1th

1thch1th

1

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⋅=++

⋅+

= .

În cazul liniei cu pierderi mici 1<<lα astfel încât, în final, rezultă:

38


( ) ( ) ( )

2 22 2

1 1

11 12 3 3SS

l l lz l l

z

ηα α α

α α

≅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,

adică

1 .11 SS

z lz

ηα

≅⎛ ⎞

+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

Cu datele numerice ale problemei, , 1Np1075,5 3 <<⋅= −lα 197,069,5010 === CSS ZZz şi astfel se obţine valoarea randamentului: .%1,97=η 1.23 Un cablu coaxial având pierderi neglijabile şi lungimea 4λ este folosit pentru adaptarea unei impedanţe de sarcină rezistivă la o linie de acces având impedanţa caracteristică . Considerând pentru factorul de undă staţionară pe linia de acces o valoare maxim admisibilă 1, să se determine banda de frecvenţe a acestui circuit de adaptare calculat pentru o frecvenţă centrală

Ω= 25SZ

,1=Ω=100CZ

maxσ.GHz10 =f

CZ ′

0 4l λ=

SZCZ

Rezolvare: Condiţia de adaptare la frecvenţa centrală este: 0f

Ω=⋅== 5025100'SCC ZZZ .

Impedanţa de intrare în tronsonul de adaptare are expresia:

lZZlZZZZ

SC

CSCi β

βtgjtgj

'

''

++

= .

În vecinătatea frecvenţei se poate scrie: 0f

( ) ,12 0

00

00 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ+=

Δ+=Δ+=

ββπβ

ββββββ llll

de unde admiţând condiţia 10<<

Δββ , rezultă:

0

0

2tg ctg2

l βπ βββ π βΔ

= − ≅ −Δ

.

39


Notând 02 ββπ Δ

=x , în vecinătatea frecvenţei nominale , expresia impedanţei

de intrare a tronsonului devine:

0f

,1j1

j11j1

j11j

1j

' xz

xzZ

xz

z

xzZ

xZZ

xZZ

ZZ

S

SC

SS

SC

SC

CS

Ci+

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+′=

−

′−′=

unde

21

==′

=C

S

C

SS Z

ZZZz .

Deoarece ,1<<x se poate scrie:

11 ji C SS

Z Z zz

⎡ ⎤⎛ ⎞≅ + −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦x .

În aceste condiţii, coeficientul de reflexie calculat la intrarea tronsonului are expresia:

1j1 1j212 j

SSi C

Si C S

SS

z xzZ Z z x

Z Z zz x

z

⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎛ ⎞− ⎝ ⎠Γ = = ≅ −⎜ ⎟+ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

,

iar raportul de undă staţionară pe linie are expresia:

1 11 2 11 S

S

z xz

σ+ Γ

= ≅ + Γ = + − ⋅− Γ

.

De aici, pentru o valoare dată a lui , rezultă: maxσ

SS z

zffx

11

22max

max0max0max

−

−=

Δ=

Δ=

σπββπ .

Cu datele numerice ale problemei, se obţine:

042,02

221

11,1

max0=⋅

−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δπf

f ,

şi deci ( ) .MHz84Hz108410042,022 69

0max =⋅=⋅⋅=⋅Δ= ffB 1.24 Pentru a mări banda de frecvenţe în care se obţine adaptarea unei sarcini, se pot folosi circuite de adaptare compuse din mai multe tronsoane de linie de lungime

4λ , cu impedanţe caracteristice diferite, conectate în cascadă. Să se calculeze banda de frecvenţe în care are loc adaptarea (admiţând

) dacă pentru a adapta o sarcină cu impedanţa la impedanţa caracteristică a liniei de acces .Ω se folosesc două tronsoane de lung e

1,1max =σ Ω= 25SZ, im100=CZ

4λ . Frecvenţa centrală G este 0f .Hz1=

40


Să se compare răspunsul cu cel de la problema precedentă.

2CZ

4λ

SZ1CZ

4λ

2iZ

CZ

Rezolvare: La frecvenţa , notând , condiţiile de adaptare sunt: 0f 02 ZZi =

01 ZZZ CC =

SC ZZZ 02 = . Se introduc parametrii ( )212 CCCS ZZZZr == şi 2CS ZZk = ; se exprimă în funcţie de . , ,CZSZ ,1CZ 2CZ rkZ ,,0

Din relaţiile ,02 SC ZZZ = ,2 SC ZkZ =rezultă ,0

2ZkZS = . 02 kZZC = Se obţin imediat:

,021 r

kZr

ZZ C

C ==

rZk

ZZZ C

C0

2

0

21 == .

Pentru frecvenţe puţin diferite de frecvenţa centrală la care 0f 4λ=l , impedanţa de intrare a tronsonului de linie terminat pe sarcina este (vezi problema precedentă)

SZ

.j1

j1

j1

1j

1j

1j00

2

2

22

kx

kxZ

xkx

kkZ

xZZ

xZZ

ZZSC

CS

Ci+

+=

−

−=

−

−=

Impedanţa de intrare a tronsonului de impedanţă caracteristică are expresia: 1CZ

41


xZZ

xZZ

Z

xZZ

xZZ

ZZ

C

i

C

i

C

iC

Ci

Ci 1j1

1j

1j

1j

1

2

1

2

1

21

12

11⋅−

−=

⋅−

⋅−= .

Întrucât

,j1

j1

1

2

kx

kxkr

ZZ

C

i

+

+⋅=

se scrie:

( )

( ),

j1jj1

j1jj1

j1

j11j1

1jj1

j1

001

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

⋅=

+

+⋅⋅−

−+

+⋅

=

kxkxkxr

kxrxkxk

rkZ

kx

kxkr

x

xkx

kxkr

Zr

kZi

( ) ( )( ) .1j1j1

2

2

01 xrkxrxrrxk

rkZZi ++−

++−⋅=

Încercând soluţia ca să nu depindă de 1iZ ,x rezultă egalităţile:

( )( ) r

krk

rrk=

++

=−

−1j

1j1

,

îndeplinite numai pentru ,1=r .1±=k Rezultatul nu prezintă interes deoarece conduce la caz în care circuitul de adaptare devine inutil. ,CS ZZ = Coeficientul de reflexie la intrare este

,11

1

1

1

1

+−

=+−

=ΓCi

Ci

Ci

Ci

ZZZZ

ZZZZ

( )( )

.1j11

11j1

2

2

1

xrr

kxr

xrk

rx

ZZ

C

i

++⋅−

++−=

Se obţine

( )

( ).

11j12

11j1

2

2

xr

kk

rxr

r

xr

kk

rxrr

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=Γ

Pentru o valoare dată a lui r se urmăreşte minimizarea modulului coeficientului de reflexie la variaţia lui k . În acest scop, derivând Γ în raport cu şi deoarece k

,1<<x rezultă condiţia:

,01=−

rk

k

deci

42


,4 rk = ceea ce conduce la alegerea optimă SC ZZZ =0 . Pentru această alegere, rezultă:

22

2

11

212 1 2

r xxr r

rr x

r

−Γ ≅ ≅ ⋅ −

⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

De aici se poate calcula raportul de undă staţionară pe linia de acces:

21 11 2 1 .1

r xr

σ+ Γ

= ≅ + Γ = + −− Γ

Ţinând seama de expresia lui ,x rezultă:

rrf

f1

12 max

max0max0 −

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ σπβ

β ,

sau, numeric,

16437,05,0211,12

max0=

−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δπf

f .

Se obţine astfel lărgimea benzii , ( ) MHz75,3282 0max =⋅Δ⋅= ffBbanda obţinută fiind de aproape 4 ori mai mare decât în situaţia analizată în problema precedentă. Variaţia cu frecvenţa a modulului coeficientului de reflexie pe linia de acces, obţinută prin simulare pe calculator, este prezentată în figura de mai jos.

Se constată că, într-adevăr, corespunzător unei valori

047,011,111,1

11

max

max =+−

=+−

=Γσσ

,

43


banda circuitului de adaptare considerat este , ceea ce confirmă rezultatul obţinut pe cale analitică.

sim 329 MHzB ≅

1.25 Într-un cablu coaxial se folosesc discuri dintr-un material dielectric pentru susţinerea conductorului central. Aceste discuri au grosimea mm3=d şi sunt fixate la o distanţă unul de altul. Ştiind că dielectricul are permitivitatea electrică

şi pierderi neglijabile, să se calculeze constanta de defazare şi lungimea de undă la frecvenţa

cm2=D

300=f4=rε

.MHz Rezolvare: Se exprimă succesiv: - capacitatea suplimentară datorită prezenţei unui disc: ( )1sup −= rLl dCC ε , unde este capacitatea lineică a liniei în absenţa discurilor; LC- numărul de discuri pe unitatea de lungime: DN 1= ; - capacitatea suplimentară totală pe unitatea de lungime:

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−== 11supsup rLllL D

dCNCC ε ;

- capacitatea lineică în prezenţa discurilor:

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−=+= 11sup

'rLlLLL D

dCCCC ε .

În situaţia în care lungimea de undă este mult mai mare decât distanţa dintre discuri se poate considera că linia are un dielectric omogen, a cărui permitivitate electrică rezultă din relaţia: LLrech CC '=ε . Se obţine astfel:

( ) .45,13203111 =⋅+=−+= rrech D

d εε

Lungimea de undă în acest cablu este:

cm83m83,045,1103

1038

800 ==

⋅⋅⋅

===rechrech f

cεε

λλ ,

deci ipoteza d>>λ este pe deplin justificată, iar

mrad566,722

0===

cf rechεπ

λπβ .

44


2

GGHHIIDDUURRII UUNNIIFFOORRMMEE 2.1 Să se determine funcţiile de distribuţie transversală ale componentelor câmpului electromagnetic pentru modul de propagare în ghidul metalic uniform de secţiune dreptunghiulară. Folosind rezultatele obţinute, să se reprezinte liniile de câmp electric şi magnetic.

21E

Rezolvare: Sistemul de coordonate potrivit pentru studiul acestui ghid este sistemul cartezian. Componenta axială se obţine din ecuaţia membranei cu condiţia la limită corespunzătoare:

zE

( ) yb

nxa

mEyxEmnz

ππ sinsin, 0=

Pentru modul , 21E

( ) yb

xa

EyxEzππ sin2sin, 021

=

Componentele transversale se obţin din componenta axială cu relaţiile de legătură:

( )2 2

jT T z z T zE H

k kγ ωμ

= − ∇ + ×∇E e ,

( )2 2

jT T z z T zH E

k kγ ωε

= − ∇ − ×∇H e ,

unde ( ) ( 222 bnamk ππ += ) , iar 1 2T x y∂ ∂

∇ = +∂ ∂

e e .

Ţinând cont că se obţin expresiile: ,0=zH

yb

xaa

Ek

Exπππγ sin2cos2

02−= ,

yb

xab

Ek

Eyπππγ cos2sin02−= ,

yb

xab

Ek

H xπππωε cos2sinj

02= ,

yb

xaa

Ek

H yπππωε sin2cos2j

02−= .

45

Ghiduri uniforme

Cu ajutorul lor se reprezintă liniile de câmp electric şi magnetic.

a

b

2.2 Să se determine viteza de fază şi viteza de grup ale unei unde care se propagă într-un ghid metalic uniform, de secţiune dreptunghiulară, umplut cu un dielectric având permitivitatea electrică relativă , la frecvenţa . Dimensiunile transversale ale ghidului sunt

10H

=f4=rε,cm

GHz95,1=a .cm75,0=b

Rezolvare: Pentru modul în ghidul dreptunghiular . Ca urmare, frecvenţa critică corespunzătoare modului de propagare are valoarea

10H cm32 == acλ

GHz5Hz105403,0

103 98

0 =⋅=⋅

⋅===

rCcc

ccfελλ

de unde se obţine .95=ffc Viteza de fază este:

( ) ( ) ( )

.sm108,19514

103

118

2

8

20

2⋅=

−

⋅=

−=

−==

ff

c

ff

cvcrcg εβ

ωϕ

Viteza de grup este:

( ) ( ) .sm1025,1111 8202 ⋅=−=−== ffc

ffc

dd

v cr

cg

g εωβ

2.3 Să se calculeze constanta de defazare şi lungimea de undă ale modului care se propagă la frecvenţa printr-un ghid metalic uniform având secţiunea dreptunghiulară cu . Ghidul este umplut cu un dielectric fără pierderi având

10HGHz6=f

, cm1=bcm2=a.4=rε

Rezolvare: Lungimea de undă critică corespunzătoare modului de propagare în ghidul de undă dreptunghiular are valoarea:

10H

cm.42 == acλRezultă frecvenţa critică,

GHz,75,3Hz10375,0404,0

103 108

0 =⋅=⋅

===rcc

dc

ccf

ελλ

şi lungimea de undă pe ghid,

46


( ) ( ) ( )cm.2,3m032,0

675,314106

103

11 29

8

20

2

==

=−⋅

⋅=

−=

−=

fff

c

crc

gελλ

λλ

Se obţine astfel valoarea constantei de defazare:

.mrad196102,3

222 =

⋅==

−

πλπβg

g

Observaţie: Constanta de defazare mai poate fi calculată şi cu relaţia

( ) ( ) ( ) ,121 22 ffff ccg −=−= λπββ unde cm.5,2m025,04106103 98

00 ==⋅⋅=== rr fc εελλ Rezultă astfel valoarea constantei de defazare,

( ) ( ) .mrad196675,31025,02 2 =−= πβ g 2.4 Să se calculeze lungimile de undă şi vitezele de fază pentru toate

modurile care se pot propaga într-un ghid metalic uniform de secţiune dreptunghiulară, cu dielectric aerul, având dimensiunile

mngλ mnvϕ

,mnE

cm6=a , la frecvenţa .

cm3=bGHz5,7=f

Rezolvare: În ghidul dreptunghiular, frecvenţa critică corespunzătoare unui mod de propagare având indicii (m, n), este dată de expresia:

22

022

22⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

bn

amc

bn

amcf

rcmn ε

.

Pentru modurile şi astfel încât frecvenţele critice sunt: ,E 0>m ,0>n

fba

cfE c <=⋅=+

⋅=+= GHz59,5Hz1059,5

03,01

06,01

210311

2: 9

22

8

220

11 11

fba

cfE c <=⋅=+

⋅=+= GHz07,7Hz1007,7

03,01

06,04

210314

2: 9

22

8

220

21 21

fba

cfE c >=⋅=+

⋅=+= GHz3,10Hz103,10

03,04

06,01

210341

2: 9

22

8

220

12 12

Deci dintre modurile se propagă numai şi mnE 11E .21ESe calculează, pe rând:

• lungimea de undă în spaţiul liber, cm4m04,0105,7103 98

00 ==⋅⋅== fcλ • lungimea de undă în ghid corespunzătoare modului 11E de propagare,

( ) ( )

cm65,759,51

4

1 220

11

11=

−=

−=

ffc

gλ

λ

47

Ghiduri uniforme

• viteza de fază corespunzătoare aceluiaşi mod, sm105,4106105,7 829

1111⋅=⋅⋅⋅=⋅= −

gfv λϕ • lungimea de undă în ghid corespunzătoare modului 21E de propagare,

( ) ( )cm4,12

5,71,71

41 2

0

21

21=

−=

−=

ffcg

λλ

• viteza de fază corespunzătoare modului 21E , sm103,9104,12105,7 829

2121⋅=⋅⋅⋅=⋅= −

gfv λϕ . 2.5 Ce valoare are permitivitatea electrică relativă a dielectricului care umple un ghid metalic de secţiune dreptunghiulară, dacă la frecvenţa GHz3=f lungimea de undă din ghid pentru modul este egală cu lungimea de undă în spaţiul liber ? Se cunosc dimensiunile transversale ale ghidului:

10H,cm4=a .cm2=b

Rezolvare: Lungimea de undă în ghid are expresia:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ).

11

111

20

02

0

0

20

20

2

crrcr

cdrcrc

dg

ffff

λλε

λ

ελλε

λλλε

λ

ε

λλλ

−=

−=

=−

=−

=−

=

Condiţia conduce la: 0λλ =g

( ) 120 =− cr λλε ,

adică

2

01 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

cr λ

λε .

Înlocuind cu datele problemei, se obţine: cm82 == acλ

cm10m1,0103103 9800 ==⋅⋅== fcλ

56,28

1012

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=rε .

2.6 La frecvenţa , impedanţa de undă a modului într-un anumit ghid metalic dreptunghiular cu dielectric aer are valoarea

GHz10=f 11H( ) Ω

11HuZ = 394 . Cât este

impedanţa de undă a modului la această frecvenţă ? Care sunt dimensiunile ghidului (presupunând ) ?

22Eba 2=

Rezolvare: Impedanţa de undă a modului are expresia: 11H

48


( )( )2

0

11

11 1 ff

ZZ

cHu

−= ,

unde 0 0 0 120 377Z μ ε π= = ≅ Ω reprezintă impedanţa de undă în spaţiul liber. Rezultă:

( ) 29,039437711

22

0

11

11 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

Hu

c

ZZ

ff

.

Pe de altă parte, frecvenţele critice ale modurilor şi sunt identice: mnE mnH

,112 2211 bacfc +=

22 22

222⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

bacfc .

Se constată că astfel încât ,21122 cc ff =

58,029,0222

=⋅=ffc . Rezultă valoarea impedanţei de undă a modului la frecvenţa : 22E f

( ) ( ) Ω=−=−= 30758,013771 220 2222

ffZZ cEu

Deoarece 2ab = ,

a

caa

cfc 2521

20

2

211=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= ,

de unde rezultă

( )fffca

cc 11112

52

5 00 λ== .

Ştiind că cm3m03,010103 10800 ==⋅== fcλ , se pot obţine dimensiunile

transversale ale ghidului:

cm56,1129,02

503,0=

⋅=a ,

.cm78,52 == ab 2.7 Să se calculeze unghiul de incidenţă pe pereţii laterali al celor două unde plane a căror suprapunere alcătuiesc modul care se propagă într-un ghid metalic uniform de secţiune dreptunghiulară cu dielectric aerul, la frecvenţa .

10HGHz7=f

Dimensiunile transversale ale ghidului sunt ,cm5,3=a .cm7,1=b Cât devine acest unghi la frecvenţa GHz3,4=′f ? Rezolvare: Pentru ghidul şi modul considerat, cm,72 == acλ

49

Ghiduri uniforme

GHz.28,4Hz1028,407,0103 98 =⋅≈⋅== cc cf λ Unghiul de incidenţă pe pereţii laterali este dat de relaţia:

2

0 1sin ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==

ffc

gλλθ .

La rezultă: GHz7=f

79,0728,41sin

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=θ

adică . o3,52=θ La rezultă: GHz3,4=′f

096,03,428,41sin

2

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=θ

adică . o52,5=θObservaţie: Apropierea de frecvenţa critică implică o direcţie de propagare a undelor plane componente tot mai depărtată de direcţia axială, ceea ce înseamnă că odată cu scăderea frecvenţei de lucru, unghiul de incidenţă al celor două unde plane componente scade şi el, devenind chiar zero la frecvenţa de tăiere În această situaţie propagarea devine pur transversală şi deci apare un fel de “rezonanţă transversală” în interiorul ghidului, fenomen ce echivalează cu absenţa oricărei propagări în lungul ghidului. 2.8 Să se calculeze constanta de atenuare pentru modul în cazul unui ghid uniform de secţiune dreptunghiulară având ca dielectric aerul şi dimensiunile

, la frecvenţa .

10H,cm2=a

cm1=b GHz6=f Rezolvare: Pentru ghidul şi modul considerat, cm,42 == acλ

GHz.5,7Hz105,704,0103 980 =⋅=⋅== cc cf λ

Se constată că , deci în ghid nu are loc o propagare, ci există doar o oscilaţie atenuată (

cff <αγ = ). Constanta de propagare, reală, are expresia:

121212

0

0

2

0

222 −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−=

c

cckλλ

λπ

ωω

λπ

ωωεμωεμωγ

Se calculează, pe rând: cm5m05,0106103 98

00 ==⋅⋅== fcλ ,

22 5 1 94, 24 Np m

0,05 4πα γ ⎛ ⎞= = − ≅⎜ ⎟

⎝ ⎠,

sau, echivalent, [ ] [ ] .5,81824,94686,8mNp686,8mdB =⋅=⋅= αα

50


2.9 Să se calculeze lungimile de undă ale modurilor care se pot propaga într-un ghid metalic de secţiune circulară având raza cm5=a , la frecvenţa . Ghidul are ca dielectric aerul.

GHz3=f

Rezolvare: În ghidul circular, frecvenţele critice ale modurilor de propagare sunt date de:

( ) ,2 mnEc a

cfmn

ρπ

=

( ) mnHc acf

mnρ

π′=

2,

unde este rădăcina a -a a funcţiei Bessel de speţa 1 şi de indice , iar este rădăcina a -a a derivatei acesteia.

mnρ m n mnρ′m

Din tabelele de funcţii Bessel se extrag, în ordine, primele valori şi se calculează frecvenţele critice corespunzătoare:

,mnρ mnρ′

84,111 =′ρ ( ) ff Hc <=⋅=⋅⋅⋅

= GHz76,1Hz1075,184,105,02

103 98

11 π,

40,210 =ρ ( ) ff Ec <=⋅=⋅⋅⋅⋅

= GHz29,2Hz1029,24,205,02

103 98

10 π,

05,312 =′ρ ( ) ff Hc <=⋅=⋅⋅⋅

= GHz91,2Hz1091,205,305,02

103 98

12 π,

83,31011 =′= ρρ ( ) ( ) fff HcEc >=⋅⋅⋅

== GHz66,383,305,02

103 8

1011 π,

2,413 =′ρ ( ) .GHz01,4Hz1001,42,405,02

103 98

13ff Hc >=⋅=⋅

⋅⋅

=π

Deci la frecvenţa se pot propaga numai modurile şi . Ele au lungimile de undă:

GHz3=f ,11H 10E 12H

( )( ) ( )

cm34,12m1234,0376,11103

103

1 29

8

20

11

11==

−⋅

⋅=

−=

fff

c

cHHgλ ,

( )( ) ( )

cm48,15m1548,0329,21103

103

1 29

8

20

10

10==

−⋅

⋅=

−=

fff

c

cEEgλ ,

( )( ) ( )

cm.1,41m411,0391,21103

103

1 29

8

20

12

12==

−⋅

⋅=

−=

fff

c

cHHgλ

2.10 O linie microstrip este folosită pentru adaptarea la frecvenţa de 1 GHz a unei sarcini având impedanţa 25 ,SR = Ω la impedanţa generatorului Să se determine (aproximativ) dimensiunile liniei, ştiind că suportul este din alumină ( ) şi are grosimea

.100Ω=gR

rε 9=.mm1=d

51

Ghiduri uniforme

Rezolvare: Lungimea tronsonului de linie folosit pentru adaptare trebuie să fie 4λ=l :

cm5,2m025,09104

103444 9

800 ==

⋅⋅⋅

====rr f

cl

εελλ .

Pentru linia de lungime 4λ impedanţa de intrare are expresia:

2C

iS

ZZZ

=

deci valoarea impedanţei caracteristice a liniei microstrip trebuie să fie: 100 25 50c g SZ Z Z= = ⋅ = Ω . O expresie foarte aproximativă a impedanţei liniei microstrip este:

,C ddZ ZD

≅

unde D este lăţimea liniei. Cu substratul considerat, rezultă:

mm5,2m105,2950

12010 330 =⋅==== −− πε rcc

d

ZZ

dZZ

dD .

2.11 Într-un ghid de undă metalic, umplut cu aer, de secţiune dreptunghiulară, având dimensiunile transversale ,cm5=a ,cm5,2=b se propagă la frecvenţa

o undă . Ştiind că intensitatea maximă a câmpului electric (în planul de

simetrie

GHz4=f 10H

2ax = al ghidului) este mV1030 =E , să se calculeze densitatea maximă a

curentului de deplasare şi densitatea maximă a curentului superficial de conducţie Să se precizeze poziţia şi orientarea acestor curenţi.

DJ.CJ

Rezolvare: Curentul de deplasare este dat de relaţia jD ωε=J E . Densitatea maximă apare în planul median al ghidului, ( 2ax = ), deci pentru modul considerat va avea direcţia câmpului electric (verticală):

2339

90max mA10222,010

109411042 ⋅=⋅⋅⋅

⋅⋅==π

πωεEJ D

Densitatea de curent superficial de conducţie este dată de relaţia: . C = ×J n H

,Pe pereţii verticali, C z= ×J n Hde unde se deduce faptul că

( ) ,0

0

0

0

00maxmaxmax

cgc

g

Hu

y

c

gzC Z

EZE

Z

EHJ

λλ

λλλλ

λλ

====

unde cm5,7m075,0104103 98

00 ==⋅⋅== fcλ ,

52


. ( ) cm10210

=== aHcc λλ

Se obţine:

mA210

5,7120103

max ≈=πCJ

şi acest curent are direcţia verticală. Pe pereţii orizontali există două componente tangenţiale, şi defazate cu xH ,zH

,2π de amplitudini inegale, depinzând de coordonata x :

xa

HH zπcos0= ,

xa

HHg

cx

πλλ

sinj 0= .

Polarizarea fiind eliptică, valoarea maximă în timp a câmpului magnetic total este semiaxa mare a elipsei: zx HHH ,maxmax = .

Deoarece atunci când punctul se apropie de pereţii laterali xH scade iar zH

creşte, maxH va avea un minim corespunzător situaţiei zx HH = (polarizare circulară) şi o valoare maximă:

( ) ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

== 1,max,max 0maxmaxmaxmaxg

czx HHHH

λλ

.

Cu datele numerice ale problemei, se calculează: , cm102 == acλ

cm5,7m075,0104103 980 ==⋅⋅== fcλ ,

( ) ( )

cm3,11105,71

5,7

1 220

0 =−

=−

=c

gλλ

λλ ,

188,03,11

10<==

g

c

λλ deci

cZE

HHλλ0

0

00maxmax == .

Acest apare la marginea pereţilor orizontali şi are direcţia transversală. Numeric,

maxCJ

.mA2max =CJ 2.12 Să se determine puterea maximă transmisibilă, în cazul adaptării, printr-un ghid metalic cu dielectric aerul, având secţiunea transversală dreptunghiulară cu dimensiunile , la frecvenţa cm,2=a cm1=b GHz10=f Se cunoaşte intensitatea câmpului electric de străpungere a aerului, .cmkV30str =E Se admite un coeficient de siguranţă .25,0=C Cât devine puterea maximă transmisibilă dacă terminaţia ghidului se modifică astfel încât pe ghid apare un raport de undă staţionară 2=σ ? Rezolvare: La frecvenţa dată, în ghid se poate propaga numai modul dominant:

53

Ghiduri uniforme

( ) ( ) faccf

rHcHc <=⋅=

⋅⋅

=== GHz5,7Hz105,702,02

1032

98

0

1010 ελ

.

Pentru modurile imediat următoare acestui mod fundamental, rezultă:

( ) ( )

f

ac

bc

bc

ffrrr

HcHc

>=⋅=

=⋅

===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

GHz15Hz1015

02,0103

21

29

800

20

0120 εεε

(deoarece ). ba 2= În cazul modului , puterea transmisă în undă directă este dată de expresia: 10H

2

0

2max 1

4 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

ff

abZ

EP c ,

deci puterea maximă transmisibilă pe ghidul de undă dreptunghiular cu dielectric aer, terminat adaptat, este:

( ) MW79,0W1079,0

105,7101,002,0

1204103

14

6226

2

0

2str

adaptaretr.max

=⋅≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⋅

⋅⋅

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

π

ff

abZ

EP c

Rezultatul obţinut reprezintă de fapt limita teoretică referitoare la posibilităţile ghidului. În practică, puterea maximă transmisibilă este întotdeauna mai mică decât această valoare teoretică, deoarece orice ghid real are tot felul de neregularităţi ale pereţilor, iar aceste neregularităţi – în special muchiile ascuţite – provoacă apariţia unor concentrări locale ale câmpului electric, provocând astfel apariţia străpungerii mult mai repede decât era de aşteptat. Pentru a se ţine seama de acest aspect, expresia teoretică precedentă poate fi corectată în practică prin adăugarea unui coeficient subunitar, a cărui valoare este determinată de calitatea prelucrării suprafeţelor pereţilor ghidului:

MW2,079,025,014

2

0

2str

adaptaretr.max ≈⋅≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

ff

abZ

ECP c

Dacă ghidul nu este terminat adaptat, atunci în ghid există simultan atât o undă directă cât şi o undă inversă, situaţie în care puterea transmisă pe ghid este dată de diferenţa dintre puterea transportată de unda directă şi puterea transportată de unda inversă:

2

0

22

14 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=−=

ff

abZ

EEPPP cid

id .

Dar:

( )( )σ

2max

minmax22 E

EEEEEEEE ididid =⋅=−+=− .

Obţinem:

MW1,022,01

4adaptaretr.max

2

0

2max

tr.max ===⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

σσP

ff

abZ

EP c .

54


Puterea maximă transmisibilă unei sarcini oarecare printr-un ghid este deci de σ ori mai mică decât puterea maximă transmisibilă unei sarcini adaptate, prin acelaşi ghid. 2.13 Într-un ghid metalic de secţiune dreptunghiulară se propagă o undă transmiţând o putere limită de 1 MW, la frecvenţa

,10HGHz4=fGHz3

. Cât este puterea limită care se va putea transmite cu acest ghid la frecvenţa =′f ? Frecvenţa critică a ghidului considerat este ( ) GHz.5,2

10=Hcf

Rezolvare: Puterea maximă transmisibilă în cazul undei într-un ghid dreptunghiular (vezi problema 2.12) depinde de frecvenţă conform relaţiei:

10H

( ) ( )2tr.max 1 ffkfP c−= , unde este o constantă. kDeci:

( )( )

( )( )

( )( )

7,078,055,0

45,21

35,2111

2

2

tr.max

tr.max ==−

−=

−

′−=

′

ffff

fPfP

c

c .

Rezultă: . ( ) ( ) MW7,07,0 tr.maxtr.max ==′ fPfP Se constată scăderea pronunţată a puterii maxime transmisibile la apropierea de frecvenţa critică. 2.14 Care este intensitatea maximă a câmpului electric într-un ghid metalic de secţiune dreptunghiulară, dacă prin acest ghid se transmite unei sarcini, la frecvenţa

o putere în condiţiile unui raport de undă staţionară GHz,10=f kW1=P 5,1=σ ? Ghidul are dimensiunile transversale cm,2=a cm,1=b dielectric aerul şi prezintă pierderi neglijabile. Rezolvare: Singurul mod care se poate propaga prin ghidul respectiv la frecvenţa dată este modul dominant, Într-adevăr: .10H , ( ) cm42

10== aHcλ

( )( )

facc

frrHc

Hc <=⋅=⋅

=== GHz5,7Hz105,704,0103

29

800

10

10 εελ,

( ) ( ) fa

cff

rHcHc >=⋅=

⋅=== GHz15Hz1015

02,0103 9

80

2001 ε

(deoarece ). ba 2= Puterea transportată are expresia:

( ) ( ) ( ) ( )2222

101010444 id

HuHu

i

Hu

did EE

Zab

ZabE

ZabE

PPP −=⋅

−⋅

=−= .

55

Ghiduri uniforme

Câmpul electric are intensitatea maximă în acele plane transversale în care unda directă şi unda inversă sunt în fază, id EEE +=max . Dar:

( ) ( )σ

2max22 E

EEEEEE ididid =−⋅+=− .

de unde, înlocuind în expresia puterii, se obţine relaţia dintre puterea transmisă şi valoarea maximă a câmpului electric din ghid sub forma:

( )

2

0

2max

2max 1

4410

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⋅=

ff

abZ

EZ

abEP c

Hu σσ.

Cu datele problemei, rezultă în final valoarea intensităţii maxime a câmpului electric:

( ) ( )

mV1013105,7101,002,0

377105,14

1

4 42

3

20

max ⋅=−⋅⋅

⋅⋅⋅=

−=

ffab

PZE

c

σ.

2.15 Să se determine puterea transmisă printr-un ghid de undă fără pierderi, cu dielectric aerul, de secţiune circulară cu raza cm5=a , la frecvenţa pentru modul în cazul adaptării, ştiind că intensitatea câmpului magnetic axial are valoarea

GHz,2=f,11H

.mA100H = Rezolvare: Unda are două componente electrice transversale. Pentru calculul puterii transmise se preferă exprimarea acestora în funcţie de componenta axială, unică.

11H

Pentru modurile de tip H , folosind relaţia:

( ) 2 d

2 T

u HT

ZP a

Σ= ∫ H

şi exprimând prin componenta axială se obţine: TH ,zH

( )

∫Σ ∇⋅=T

aHk

ZP zT

Hu d2

24

2β .

În ghidurile metalice fără pierderi numărul de undă este legat de componenta axială prin relaţia

kzz HE sau =Φ

∫∫

Σ

Σ

Φ

Φ∇=

T

T

a

ak

T

d

d2

2

2 .

Deci, pentru un mod H ,

2

2

0

d2 T

d cz

g

ZP aλλ λ Σ

= ⋅ ∫ H .

În cazul undei în ghidul circular, componenta axială are expresia: 11H zH ( ) ,cosJ10 ϕρkHH z = unde ak 11ρ′= . Se obţine:

56


( )∫∫==

⋅⋅⋅=a

g

c kHZ

P0

21

2

0

2

0

2200 dJdcos

2 ρ

π

ϕ

ρρρϕϕλλλ

.

Ultima integrală este o integrală de tip Lommel, [3], deci se poate scrie:

( ) ( ),J21dJ 2

2

22

0

2 kaknak n

a

n ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⋅∫

=ρ

ρρρ

pentru .mnak ρ′= Se obţine:

( )

( ) 211

212

110

2200 J11

4a

HZP

g

c ρρ

πλλλ ′

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

′−⋅= .

Cu datele problemei rezultă: ( ) cm15m15,0102103 98

00 ==⋅⋅== fcλ ,

( ) cm1,1784,1

05,022

1111

≈⋅

=′

=π

ρπλ a

Hc ,

( )( ) ( )

cm8,3117151

15

1 220

011

=−

=−

=c

Hgλλ

λλ ,

kW4,1W104,1102558,084,111

8,31151,17

410120 342

2

22=⋅=⋅⋅⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅⋅

⋅⋅

⋅= −ππP .

2.16 Să se calculeze puterea maximă transmisibilă pentru modul printr-un ghid metalic de secţiune circulară având raza

,10Ecm3=a , la frecvenţa . Ghidul

are ca dielectric aerul (GHz5=f

cmkV30str =E ) şi este terminat pe o sarcină adaptată. Se va admite un coeficient de siguranţă .25,0=C Rezolvare: Se calculează frecvenţa critică corespunzătoare modului de propagare : 10E

( ) fa

cf Ec <=⋅=⋅

⋅⋅

== GHz82,3Hz1082,34,203,02

1032

98

100

10 πρ

π.

Se verifică astfel propagarea modului La acest mod, componentele câmpului electric au expresiile:

.10E

, ( )ρkEEz 00J=

( )ρλλ

ρ kEEg

c10Jj= ,

, 0=ϕEunde ,10 ak ρ= iar .22 10ρππλ akc == În consecinţă, puterea transmisă are expresia:

( ) ( ) ( ) ( )

2 2222 201

0 0

1 1d d d2 2 2

T T

ac

Tu u u gE E E

EP a a JZ Z Z

π

ρλ dkϕ ρ ρ ρλΣ Σ

⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫E E

57

Ghiduri uniforme

Dar, pentru ,mnka ρ=

( ) ( )kaJakJ n

a

n2

2

0

2

2d ′=∫ ρρρ (integrală Lommel, [3]),

astfel încât puterea transmisă poate fi scrisă sub forma:

( ) ( )102

1

2220

22

2ρπ

λλ

JaZE

Pg

c

Eu′⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= .

Câmpul electric, având două componente defazate cu 2π radiani, are o polarizare eliptică. Intensitatea maximă va fi egală cu cea mai mare dintre semiaxele elipsei:

( ) ( ) ( ) ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

= 101001000max J;0JmaxJ;Jmax ρλλ

ρλλ

ρg

c

g

c EkEkEE .

Se calculează, pe rând: • lungimea de undă critică, a modului 10E :

( ) cm85,7m0785,04,2

03,022

1010

==⋅

==π

ρπλ a

Ec ;

• lungimea de undă în spaţiul liber, la frecvenţa dată:

cm6m06,0105103

9

80

0 ==⋅⋅

==f

cλ ;

• lungimea de undă din ghid pentru modul 10E :

( )( ) ( )

cm3,985,761

6

1 220

010

=−

=−

=c

Egλλ

λλ .

Deci, în cazul datelor problemei, este: maxE

00max 58,03,985,7;1max EEE =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ⋅= ,

adică puterea transmisă este legată de câmpul electric maxim prin relaţia:

( ) ( )4,2J2

21

222

max ′⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= a

ZE

Pg

c

Euπ

λλ

.

Deci puterea maximă transmisibilă are, pentru acest mod, expresia:

( ) ( )( )

( )4,2J12

4,2JZ2

21

22

20

2str2

12

2

u

2str

tr.max ′⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=′⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= a

ffZ

ECa

ECP

g

c

cg

c

E

πλλ

πλλ

Pentru calculul valorii se poate folosi relaţia cunoscută: ( 4,2J1′ )

( ) ( ) ( )xxxx 1

01JJJ −=′ .

Se obţine:

( )( )

( ) ( )26 2

2 22max tr. 2

3 10 7,850, 25 3 10 0,22 0, 44MW9,32 120 1 3,8 5

P ππ

−⋅ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ≅⎜ ⎟

⎝ ⎠⋅ −.

58


2.17 Să se calculeze constanta de atenuare în cazul unui ghid metalic cu pereţi perfect conductori având secţiunea dreptunghiulară cu dimensiunile , la frecvenţa . Ghidul este umplut cu un dielectric având permitivitatea relativă şi tangenta unghiului de pierderi

cm,2=a cm1=bGHz8=f

2=rε ( ) .1025,2tg 4−⋅=δ Rezolvare: În cazul pereţilor perfect conductori, constanta de atenuare este determinată doar de pierderile în dielectric:

( )22 1d d

d

c

Z

f f

σα ≅−

.

Folosind datele problemei, se calculează: • frecvenţa critică corespunzătoare modului dominant:

( ) fac

fr

Hc <=⋅=⋅⋅

== GHz3,5Hz103,5202,02

1032

98

010 ε

;

• lungimea de undă critică corespunzătoare modului 10H : ; ( ) cm42

10== aHcλ

• impedanţa dielectricului:

Ω=== 2672

1200 πε r

dZ

Z .

Din relaţia

ωεσ

δ d=tg

se deduce conductivitatea dielectricului (considerat omogen),

mS1021025,221036

11082tg2 449

90

−− ⋅=⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅==π

πδεεπσ rd f .

Se obţine astfel o constantă de atenuare:

( )

mNp0356,083,512

2671022

4=

−

⋅⋅=

−

α ,

[ ] [ ] 31,07,8mNpmdB =⋅= αα . 2.18 Să se calculeze constanta de atenuare a unui ghid metalic cu dielectric aerul, având secţiunea dreptunghiulară de dimensiuni cm,4=a cm2=b , la frecvenţa

. Pereţii ghidului sunt din cupru, GHz5=f .mS105 7⋅=mσ Rezolvare: Pierderile în aer fiind foarte mici, constanta de atenuare va fi determinată de pierderile în metal:

( ) ,d

d

2

2

∫∫Σ

Γ⋅=

TaH

lH

ZR

T

t

Hu

mmα

59

Ghiduri uniforme

unde reprezintă rezistenţa de undă în metal (adică partea reală a impedanţei de undă în metal), este secţiunea transversală a ghidului, conturul ei,

câmpul magnetic transversal, câmpul magnetic tangenţial la pereţii ghidului.

mm ZR Re= TΣ Γ

TH tH La frecvenţa se poate propaga doar modul fundamental: f

( ) fac

fr

Hc <=⋅=⋅⋅

== GHz75,3Hz10375,004,02

1032

108

010 ε

;

( ) ( ) fa

cbc

ffrr

HcHc >=⋅=⋅

==== GHz5,7Hz1075,004,0103

210

800

0120 εε.

Lungimea de undă în ghid, pe modul fundamental, are valoarea:

( )( ) ( ) ( )

cm9m09,0575,31105

103

11 29

8

20

20

10==

−⋅

⋅=

−=

−=

ff

fc

ff ccHg

λλ .

cazul modului componentele câmpului magnetic au expresiile: În ,10H

xa

HH zπcos0= ,

xa

HHg

cx

πλλ

sinj 0= ,

. Cu acest presii , se pot calcula integralele care determină constanta :

0=yH e ex mα

2dsin

dddd

22

00

220

20

2

0

22

abHxxa

Hb

xHyaHaH

g

ca

g

c

ab

xxTTT

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

===

∫

∫∫∫∫ ΣΣ

λλπ

λλ

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=++= ∫∫ ∫ =Γ =

baHyHxHHlHg

cb

xz

a

yzxt 2

22

00

20

00

222 12

2d2d2dλλ

.

Se obţine astfel expresia constantei de atenuare datorată pierderilor în pereţii ghidului,

pentru modul 10H :

( ) ( ) 2

221

1

1010

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅⋅=

g

c

g

c

Hu

mHm

ab

bZR

λλ

λλ

α .

Rezistenţa în metal are expresia:

,1R = mm

m σδunde

60


μm1m10105104105

112 6779

0==

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=== −

−ππσμμπωμσδ

mrmm f

reprezintă adâncimea de pătrundere în metal. Se obţine astfel:

Ω=⋅⋅

=−

02,010510

176mR ,

( )( ) ( )

Ω=−

=−

= 570575,31

120

1 220

10

π

ff

ZZ

cHu ,

( )( )

mNp006,098

198102,01

57002,0

2

2

=++

⋅⋅=mα ,

[ ] [ ] 053,07,8mNpmdB =⋅= mm αα . Observaţie: În realitate constanta de atenuare este întotdeauna mai mare datorită neuniformităţilor de prelucrare a suprafeţelor interioare ale ghidului (vezi şi ordinul de mărime al adâncimii de pătrundere ).

mα

mδ 2.19 Să se calculeze frecvenţa la care constanta de atenuare a modului într-un ghid metalic de secţiune dreptunghiulară, având ca dielectric aerul, este minimă, precum şi valoarea aceste constante minime de atenuare. Ghidul are dimensiunile secţiunii transversale

10H

cm,2=a cm1=b , iar pereţii sunt din cupru cu conductivitatea .mS105 7⋅=mσ

Rezolvare: Constanta de atenuare a ghidului, ,α este o sumă între constanta de atenuare datorată pierderilor în pereţii metalici imperfect conductori, şi constanta de atenuare corespunzătoare dielectricului imperfect,

,mα:dα

. dm ααα +=Pierderile în aer fiind neglijabile ( )0≈dα , se poate considera că pierderile în ghid sunt cauzate numai de pereţii metalici imperfect conductori:

( )

( )( )10

2

mm 2

1 21 c g

u H c g

b aRZ b

λ λα α

λ λ

+ +≅ = ⋅ ⋅ .

Frecvenţa critică corespunzătoare modului dominant de propagare are valoarea:

( ) GHz5,7Hz1075,004,0103

210

80

10=⋅=

⋅==

ac

f Hc .

Pentru a urmări variaţia cu frecvenţa a constantei , se notează: mα cff=η . Se obţine astfel:

ησμπ

σωμ

ωμσσ

σδ 12211 kfR

mm

mm

mmm ===== ,

unde

61

Ghiduri uniforme

Ω=⋅=⋅

⋅⋅⋅⋅== −

−

m24,33Ω1033,24105

104105,7 37

79

1ππ

σμπ

m

cfk ,

precum şi

( )( ) 11 202

010 −

=−

=η

ηZff

ZZ

cHu ,

unde . 0 120 377Z π= ≅ ΩDe asemenea,

1111 22

20

0−=−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⋅= η

ηη

λλ

λλ

λλ

ff

ff c

cg

c

g

c .

Înlocuind 12 =ab se obţine:

,1

12

2

0

1

−

+=

ηη

ηαZk

unde 5301 1045,63771033,24 −− ⋅=⋅=Zk .

Frecvenţa la care atenuarea este minimă rezultă din condiţia

0dd

=ηα ,

sau, echivalent,

( ) 0d

d 2=

ηα .

Efectuând calculele, se obţine condiţia:

( ) ( ) ( ) ( ) 02112121 22222 =⋅+−+−⋅+⋅− ηηηηηηηη , de unde 0

4

16 24 =+− ηηdeci . ,2opt =η Prin urmare atenuarea este minimă la adică la cff 4,2= GHz.18=f Rezultă: 01min 24,2 Zk=⋅=αα şi, numeric,

mNp1029,1377

1033,2422 43

0

1min

−−

⋅=⋅

⋅=⋅=Zk

α ,

[ ] [ ] 3minmin 1012,17,8mNpmdB −⋅=⋅= αα .

Observaţie: În realitate acest minim de atenuare nu este practic utilizabil deoarece el se află dincolo de limita superioară a benzii normale de lucru a ghidului dreptunghiular. 2.20 Să se calculeze constanta de atenuare a unui ghid coaxial având dimensiunile Ghidul este din cupru, mm,5=R mm.3=r mS105 7⋅=Cuσ şi are

62


drept dielectric polietilena având permitivitatea electrică relativă şi conductivitatea

2=rε.mS10 4−=dσ Frecvenţa de lucru este GHz1=f .

Cât devine constanta de atenuare a aceluiaşi ghid la frecvenţa ? 101 =f GHz Rezolvare: Pentru modul fundamental (TEM) în ghidul coaxial componentele câmpului (în coordonate cilindrice) au expresiile:

ρρrEE 0= ,

unde este valoarea maximă a intensităţii câmpului electric care apare la suprafaţa conductorului interior,

( )rEE ρ=0

r=ρ ;

ρϕrHH 0= ,

unde reprezintă valoarea maximă a intensităţii câmpului magnetic care există la suprafaţa conductorului interior,

( )rHH ϕ=0

r=ρ . Pe de altă parte, la orice undă TEM raportul între intensitatea câmpului electric şi magnetic este constanta :dZ

dZHE

=0

0 .

Deoarece pierderile se produc atât în metal cât şi în dielectric, se poate scrie: , md ααα +=unde

mNp1032 3−⋅,132

3771021

21

21 40 − =⋅⋅===

rdddd

ZZ

εσσα ,

rRRr

ln

11+

ZR

H

RHrH

ZR

aH

lH

ZR

d

mR

r

Rr

d

m

T

t

d

mm

T

2dd

dd

2d

d

2 22

0

2

0

22

0

2

2

2

=

+

==

∫∫

∫∫

∫∫ ==

Σ

Γ

ρρϕ

ϕϕα

ϕ

π

π

ρϕ

π

ρϕ

.

Cu datele numerice ale problemei, se obţine:

μm25,2m1025,2

10510410112

6

7790

=⋅=

=⋅⋅⋅⋅⋅

===

−

−ππσμπωμσδ

CuCu f ,

mΩ88,81088,85,112

11051025,2

11 376 =Ω⋅≈=

⋅⋅⋅== −

−Cu

mRδσ

,

Ω=== 2662

3770

rd

ZZε

,

( ) mNp1044,1735ln5

103

10

26625,112 3

33

1−

−

⋅=+

⋅⋅

=mα .

63

Ghiduri uniforme

Rezultă: mNp1076,301032,131044,17 333 −−− ⋅=⋅+⋅=+= dm ααα , [ ] [ ] 26,07,8mNpmdB =⋅= αα . Admiţând că nu variază cu frecvenţa, la frecvenţa se modifică doar adâncimea de pătrundere:

dσ 1f

μm7,0m107

10510410112

7

7710011

1

=⋅=

=⋅⋅⋅⋅⋅

===

−

−ππσμπμσωδ

CuCum f ,

mΩ5,280285,0105107,0

1176

11 =Ω=

⋅⋅⋅==

−Cum

mRσδ

.

La frecvenţa , constanta de atenuare în metal devine: 1f

( ) mNp105635ln5

103

10

2662105,28 3

33

3

1−

−

⋅=+

⋅⋅

=mα ,

deci mNp103,69103,131056 333

11−−− ⋅=⋅+⋅=+= dm ααα ,

[ ] [ ] 6,07,8mNpmdB 11 =⋅= αα . Observaţie: Se poate observa că la ghidul coaxial atenuarea creşte monoton cu frecvenţa. Acesta este unul din motivele pentru care utilizarea ghidurilor coaxiale este limitată în mod normal la frecvenţe mai joase de câţiva gigaherţi [2]. 2.21 Să se determine raza r a conductorului interior al unui ghid coaxial astfel încât constanta lui de atenuare să aibă o valoare minimă. Ghidul este alcătuit din două conductoare din acelaşi metal ( mS102 7⋅=mσ ) separate prin aer. Raza conductorului exterior este cm.1=R Cât este impedanţa caracteristică a acestui ghid ? Dar constanta lui de atenuare la frecvenţa ? GHz1=f Rezolvare: Pierderile în dielectric fiind neglijabile, rezultă (vezi problema 2.20):

( ) ( )rRrR

RZR

rRRr

ZR

d

m

d

m

ln

112ln

11

2

+=

+=α .

Notând ,rRx = raza r pentru care atenuarea este minimă se obţine din condiţia:

( ) 0dd

=rR

mα

adică

0d

d=

xmα

de unde rezultă

64


0ln

1=

′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

xx

adică

( ) 011ln =+− xx

x

deci

x

x 11ln += .

Soluţia aproximativă (numerică sau grafică) a acestei ecuaţii este: 3,6x ≅de unde mm77,26,3106,3 === Rr . Impedanţa caracteristică a ghidului coaxial are valoarea:

0 120ln ln ln 3,6 772 22

dc

r

Z ZR RZr r

ππ ππ ε

= = = ≅ Ω .

Se calculează: • adâncimea de pătrundere la frecvenţa de lucru

μm5,3m1035

10210410112

7

7790

=⋅=

=⋅⋅⋅⋅⋅

===

−

−ππσμμπωμσδ

mrm f ;

• rezistenţa de undă în metal

m 6 7m

1 1 1 0,0143,5 10 2 10 70

Rδσ −= = = ≅

⋅ ⋅ ⋅Ω ;

Pentru 6,3=rR constanta de atenuare ia valoarea:

mNp108,66,3ln6,31

01,01

1202701 3−⋅=

+⋅⋅

⋅⋅=

πα ,

[ ] [ ] 059,07,8mNpmdB =⋅= αα . 2.22 Să se determine impedanţa caracteristică a unui ghid coaxial având raza conductorului exterior R dată, care permite transmiterea unei puteri maxime într-o sarcină adaptată. Se consideră drept dielectric aerul. Rezolvare: În ghidul coaxial, componentele câmpului electromagnetic au expresiile:

( )ρ

ρρrEE 0= ,

( )ρ

ρϕrHH 0= , cu dZHE =00 ,

unde şi reprezintă valoarea maximă a intensităţii câmpului electric, respectiv magnetic, valori atinse pe suprafaţa conductorului interior iar impedanţa dielectricului.

0E 0H

dZ

65

Ghiduri uniforme

Dacă ghidul coaxial este fără pierderi, puterea transmisă sarcinii adaptate are expresia:

cZ

UP

2

2

= .

În relaţia precedentă U reprezintă tensiunea dintre conductoarele ghidului coaxial:

0 0 0dd d l

B R R

A r r

r RU E E r E rr

ρρρ ρ

= = = =∫ ∫ ∫E l n ,

unde şi A B sunt puncte situate pe suprafaţa conductorului interior, respectiv exterior, în aceeaşi secţiune transversală. Impedanţa caracteristică a unui ghid coaxial este (vezi problema 2.21):

rR

rRZ

Zr

dc ln60ln

2 επ== .

Rezultă pentru puterea transmisă expresia:

rRrE

rR

rRrE

P r

r

ln120ln60

ln

21 22

0

2220 ε

ε

=⋅= .

Dar nu poate depăşi valoarea corespunzătoare străpungerii dielectricului. şi 0E 0E R fiind date, puterea devine maximă atunci când

0lndd 2 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

rRr

r

de unde se obţine

21ln =

rR

sau

e=rR

deci

e

Rr = .

În acest caz, impedanţa caracteristică a ghidului are valoarea Ω== 30eln60cZ . Observaţie: Deoarece la cablul coaxial dimensiunile transversale nu sunt direct impuse de frecvenţa de lucru, alegerea acestor dimensiuni poate avea în vedere o optimizare a anumitor proprietăţi ale cablului. Astfel, conform problemelor 2.21 şi 2.22, rezultă că o atenuare minimă se obţine cu o valoare a impedanţei caracteristice a cablului coaxial cu aer de în timp ce o putere transmisibilă maximă se obţine cu o impedanţă caracteristică a cablului folosit (cu dielectric aer) de În aceste condiţii valoarea uzuală reprezintă de fapt un compromis acceptabil. Valoarea de

este totuşi recomandată aplicaţiilor în care semnalele sunt foarte mici, cum ar fi cablurile de la antenele de recepţie TV, iar valori ale lui mai mici de apar uneori în aplicaţiile de mare putere cum ar fi alimentarea unor antene de emisie etc.

,77Ω≈cZ

Z.30Ω=cZ

cZ

Ω= 50c

Ω75Ω50

66


2.23 Să se determine impedanţa caracteristică a ghidului coaxial care permite aplicarea unei tensiuni maxime spre o sarcină adaptată. Raza conductorului interior R este dată şi se consideră drept dielectric aerul iar. Rezolvare: Procedând similar ca la problema (2.22) se obţine o expresie a tensiunii dintre conductoarele componente ale ghidului coaxial,

,ln0 rRrEU =

unde este valoarea maximă a intensităţii câmpului electric. Considerând şi 0E 0E R constante ( nu poate depăşi valoarea corespunzătoare străpungerii dielectricului) tensiunea admisibilă este maximă dacă

0E

0lndd

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

rRr

r,

de unde rezultă

0ln 2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

rR

Rrr

rR

adică

1ln =rR

sau

e=rR

deci

eRr = .

În acest caz impedanţa caracteristică a cablului are valoarea:

Ω=== 60eln2

120ln2

0

ππ

επ rRZ

Zr

c .

2.24 Să se calculeze constanta de atenuare şi factorul de calitate propriu al unei linii microstrip realizate pe un substrat dielectric de grosime având permitivitatea electrică relativă (constanta dielectrică) şi conductivitatea

mm1=d4=rε

,mS105 4−⋅=dσ cu depunerile din cupru, mS105 7⋅=Cuσ , la frecvenţa . GHz10=f Rezolvare: Deoarece există pierderi atât în dielectric cât şi în metal, . md ααα +=Constanta de atenuare produsă de dielectricul imperfect este

2

ddd

Zσα =

iar constanta de atenuare în metal are expresia

67

Ghiduri uniforme

∫

∫

Σ

Γ=

T

aH

lH

ZR

T

t

d

mm

d

d

2 2

2

α .

În cazul liniei microstrip, neglijând efectele de margine se poate admite că 0 ,xH=H e deci , pe domeniul situat sub depunerea metalică. Se

obţine: constant0 == HHt

dZ

RHDd

HD

ZR

d

m

d

mm ==

20

202

2α .

Folosind datele problemei, se calculează: • adâncimea de pătrundere, mδ

μm7,0m107

10510410112

7

77100

=⋅=

=⋅⋅⋅⋅⋅

===

−


CuCum f ;

• rezistenţa de undă în metal, :mR

Ω=⋅⋅⋅

==− 35

1105107,0

1176

CummR

σδ;

• impedanţa dielectricului, :dZ

Ω=== 1884

1200 π

ε rd

ZZ .

Rezultă:

mNp047,02

188105 4=

⋅⋅=

−

dα ,

mNp152,01018835

13 =

⋅⋅=

−mα ,

0,047 0,152 0,2 Np mα = + ≅ , [ ] [ ] 74,17,8mNpmdB =⋅=αα . Factorul de calitate propriu (intrinsec) al liniei este dat de relaţia:

10471032,0

4108

10

00 =

⋅⋅⋅⋅

===π

αεπ

αλπ

cf

Q r .

Observaţie: Linia microstrip este o linie deschisă, la care pe lângă pierderile în metal şi în dielectric trebuie luate în consideraţie şi pierderile prin radiaţie: . radαααα ++= md

Pierderile prin radiaţie – care au fost neglijate în problemă – nu pot avea o expresie simplă deoarece ele depind nu numai de geometria secţiunii transversale a liniei, ci şi de lungimea şi forma ei (dreaptă sau curbată etc.). Drept regulă generală, aceste pierderi sunt proporţionale cu pătratul frecvenţei.

68


2.25 Cât este constanta de atenuare a modului într-un ghid metalic de secţiune circulară, de rază la frecvenţa dacă la frecvenţa

constanta de atenuare este

01H10=cm,5=r GHz,2f

GHz41 =f mdB01,0 ? Rezolvare: Constanta de atenuare a modului într-un ghid circular are expresia [1]: 01H

01 m 2 2

1 1 Np m,1 1

cH

c

Kaδπα αλ η η η η

≅ = =− −

unde este adâncimea de pătrundere la frecvenţa critică iar cδ cf .not

cff=η Rezultă:

( )1

1211

1−

=ηη

α Kf ,

( )1

1222

2−

=ηη

α Kf ,

de unde se obţine:

( ) ( ) ( )22

2

221

2

112

2

21

2

112

1

1

c

c

ff

ffff

fff−

−=

−

−= α

η

ηηη

αα .

Frecvenţa critică corespunzătoare modului în ghidul circular este: 01H

( ) GHz66,3Hz10366,083.31052

1032

102

8

010

01=⋅=⋅

⋅⋅⋅

=′=−π

ρπrc

f Hc .

Se obţine deci:

( ) KmdB1mdB001,066,310

66,3410401,0

22

22

2 ==−

−⋅⋅=fα .

2.26 Să se determine lungimea de undă în ghidul dielectric placă infinită, de grosime şi având , la frecvenţa cm2=d 4=rε GHz.4=f La ce distanţă de placă câmpul scade de 100 de ori faţă de valoarea lui de la suprafaţa plăcii? Rezolvare: Modurile care se pot propaga printr-un ghid placă dielectrică sunt cele care au frecvenţa prag mai mică decât frecvenţa de lucru [1]: pf f

( ) ( )12

1 0

−

−=

rnp d

cnf

ε.

Cu datele problemei, avem:

( ) fff pp >=⋅=⋅⋅

== GHz33,4Hz10433,0302,02

103 108

2.

În concluzie, se pot propaga numai modurile şi . 1H 1ENumărul de undă în dielectric, se obţine din ecuaţiile: ,1k

69

Ghiduri uniforme

22

ctguR

uu−

= pentru modul , 1H

respectiv

22

1ctguR

uur −

=ε

pentru modul , 1E

unde s-au folosit notaţiile:

21dku = ,

( ) 12 0

0 −=−= rddR ελ

πμεεω .

Înlocuind cu datele numerice, se obţine:

cm5,7m075,0104103

9

80

0 ==⋅⋅

==f

cλ ,

ππ 46,035,7

2==R .

Soluţiile aproximative (obţinute grafic sau numeric) sunt: , π285,0=Hu . π385,0=EuNumerele de undă din mediul ambiant plăcii se obţin din relaţia: 22 jKk =

,222 Rqu =+

unde .22

not dKq = Rezultă:

ππ 36,0285,046,0 2222 =−=−= HH uRq , respectiv ππ 25,0385,046,0 2222 =−=−= EE uRq . Constanta de defazare are expresia:

2

20

21

02

20

21

0002

21

00 42

πλ

ελπ

ωεω

μεωεμεωβ

kckc

krrr −=−=−=

deci

22

220

0

πλ

ε

λλ

du

r −

= .

Se obţine:

cm44,4

4285,05,74

5,7

2

222

22

220

01

=⋅

−

=

−

=

ππ

πλ

ε

λλ

duH

r

H

şi

70


cm42,5m0542,0

4385,05,74

5,7

2

222

22

220

01

==⋅

−

=

−

=

ππ

πλ

ε

λλ

duE

r

E .

În exteriorul plăcii, câmpul descreşte proporţional cu ( ).exp 2 xK− Distanţa la care câmpul scade de 100 de ori rezultă din: 1100e 2 −− =δK

1 2

O2a−

b

rεεε 01 = 2 εε =

2a x

y

0

Figura 2.27.1

deci

dqq

dK

3,26,42

100ln1

2=⋅==δ .

Se obţine:

cm1,4236,0

3,23,21

=⋅==π

δ dqH

H ,

cm8,5225,0

3,23,21

=⋅==π

δ dqE

E .

2.27 Să se determine cea mai joasă frecvenţă critică a unui ghid metalic de secţiune dreptunghiulară, al cărui interior este umplut pe jumătate cu un dielectric fără pierderi, având permitivitatea electrică relativă (constanta dielectrică) Ghidul are dimensiunile transversale

.4=rεcm.32 == ba

Rezolvare: Într-un sistem de referinţă cartezian, componentele axiale şi satisfac ecuaţiile:

zE zH

- în mediul 1:

0212

2

2

2=+

∂∂

+∂∂ φφφ k

yx,

unde ; 01222

1 μεωγ +=k- în mediul 2:

,0222

2

2

2=+

∂∂

+∂∂ φφφ k

yx

71

Ghiduri uniforme

unde , 02222

2 μεωγ +=kcu condiţii de anulare (pentru ) respectiv extrem (pentru ) pe pereţii metalici perfect conductori şi cu condiţii de continuitate la suprafaţa de separaţie

zE zH.0=x

Cu sistemul de referinţă din figura 2.27.1, folosind metoda separării variabilelor se obţin următoarele soluţii care satisfac ecuaţiile lui Maxwell precum şi condiţiile pe pereţii perfect conductori:

yb

naxkEE xzπ1

1011 sin2

sin ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += ,

yb

naxkEE xzπ2

2022 sin2

sin ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ,

yb

naxkHH xzπ1

1011 cos2

cos ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += ,

yb

naxkHH xzπ2

2022 cos2

cos ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ,

unde ,2

121

21 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

bn

kk xπ

respectiv 2

222

22 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

bn

kk xπ

, şi fiind numere întregi. 1n 2n

Rămâne ca acestor soluţii să li se impună continuitatea componentelor câmpului la . 0=x

1. Continuitatea componentelor longitudinale la :0=x (a) 21,021 unde de nnEE yxzz ==

∀= şi qE , pE sinsin 0201 −=

(b) 21,021 unde de nnHH yxzz ==∀=

şi q , HpH coscos 0201 =

unde ,21

not akp x= .22

not akq x=

Se obţine astfel condiţia:

( ) ( ) ( ) ,444

221

22

22

21

222

21

222 Rakkakkaqp xx =−=−=−=− εεμω

cu ( ).2 21

notεεμω −=

aR

Deci soluţiile care satisfac şi cerinţa (1.) au forma:

yb

naxkEE xzπsin

2sin 1011 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

yb

naxkEE xzπsin

2sin 2022 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= (1)

yb

naxkHH xzπcos

2cos 1011 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

yb

naxkHH xzπcos

2cos 2022 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

2. Continuitatea componentelor transversale la :0=x (a) 21 yy E , E =

(b) 21 yy H , H =

72


(c) 22 , 11 xx EE εε =(d) 21 xx H . H =

Exprimând componentele transversale prin componentele longitudinale , relaţia (a) devine:

,zE

zH

0

2220

2220

1210

121

jj

==== ∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

−x

z

x

z

x

z

x

z

xH

kyE

kxH

kyE

kωμγωμγ .

Se obţine de aici:

qHkEb

nk

pHkEb

nk xx sinj1sinj1

0220222

0110121

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + ωμπγωμπγ .

Analog, din (b) rezultă:

qEkHb

nk

pEkHb

nk xx cosj1cosj1

02220222

01110121

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − ωεπγωεπγ .

Observaţie: De fapt, în formularea continuităţii câmpului la o suprafaţă de separaţie, este întotdeauna suficientă impunerea continuităţii componentelor tangenţiale ale E şi H . Din (c) şi (d) ţinând seama de (1) se obţin aceleaşi condiţii ca şi din (a) şi (b). Rezumând, la o frecvenţă dată ω soluţiile problemei au forma (1) şi satisfac condiţiile: , 222 Rqp =− , qEpE sinsin 0201 −= , qHpH coscos 0201 =

qpHEZ

q

qppHE

Z

p

p ddsin

11sin

11

02022

22

22

2201011

21

22

22

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+−

+−

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+−

+

ϕηη

ηϕηη

η

qpEHqZq

ppEHpZp

d

d

cos11

cos11

020222

22

222

010121

22

122

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

+−

+=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

+−

+

ϕηη

η

ϕηη

η,

unde ,2

not ab

nπη = μεωϕ 1

not

1 2a

= şi μεωϕ 22 2a

= .

Frecvenţa critică este frecvenţa la care 0=γ , deci la frecvenţa critică respectiv , iar relaţiile de mai sus iau o formă mai simplă:

,21

21 ϕ=k

22

22 ϕ=k

Se obţine astfel sistemul: , 222 Rqp =− , qEpE sinsin 0201 −= , qHpH coscos 0201 =

73

Ghiduri uniforme

2

02

1

01 sinsinεε

qqHppH−= ,

. qqEppE coscos 0201 =Eliminând aici între ultimele patru ecuaţii, se obţine: 02010201 ,,, HHEE

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−=

qq

pp

qqpp

tgtg

tgtg

21 εε

de unde rezultă relaţia

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−= pp

2

1

2

1 tgtgεε

εε ,

sau , (2) pKKp tgtg −=

unde s-a notat 2

1

εε

=K .

Rezolvând această ecuaţie transcendentă, din soluţiile ei, , se obţin frecvenţele critice ale diferitelor moduri de propagare posibile în ghidul considerat:

cp

με

ω1

1cc

k= ,

unde 22

1 η+= cc pk . Primele soluţii pozitive ale ecuaţiei (2), determinate numeric sau grafic, sunt:

, ( ) , etc... ( ) 01 =cp 955,02 =cp ( ) 186,23 =cpCele mai joase frecvenţe critice corespund celor mai mici soluţii ale ecuaţiei şi celor mai mici valori ale numărului natural .n

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧==⇒=

==

M

ππ baknn

p cc 21TEM) unde unei corespunde(ar imposibil0

0 11

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧+=⇒=

=⇒=

=M

221

1

2 955,01955,00

955,0 πc

c

c knkn

p

( )⎩⎨⎧ =⇒=

=M

186,20186,2 1

3c

ckn

p

Se constată că cea mai joasă frecvenţă critică corespunde combinaţiei ( ; 0 ). Acesta este modul (având ) şi are frecvenţa critică: 955,0=cp =n 10H 0=zE

( ) GHz04,3Hz1004,32

9

01

110

=⋅≈=μεπ

cHc

kf .

74


Următorul mod este dat de perechea ( 0;186,2=cp =n ). Acesta este un mod care are frecvenţa critică:

,20H

( ) GHz96,6Hz1096,6955,0186,204,3 9

20=⋅=⋅≈Hcf .

Observaţie:1. În general, modurile care se propagă prin ghidul considerat au, atât cât şi , deci sunt moduri HE sau EH. Singura excepţie o constituie

modurile cu , care sunt de tip H. 0≠zE 0≠zH

0=n 2. Ca şi la ghidul dielectric, numerele de undă deci aspectul câmpului, depinde de frecvenţă.

21, xx kk

3. Frecvenţele critice ale modurilor superioare nu sunt multipli întregi ai frecvenţei critice a modului dominant .

0nH

10H Metoda 2. Frecvenţele critice corespunzătoare modurilor pot fi calculate mai simplu folosind metoda “rezonanţei transversale”. Această metodă se bazează pe faptul că la frecvenţa critică cele două unde parţiale care compun modul au direcţii de propagare normale la pereţii ghidului, iar câmpul este o undă staţionară transversală.

0,nH

0,nH

Frecvenţele la care se produce această “rezonanţă transversală” pot fi se obţinute considerându-se linii de transmisiune echivalente celor două domenii din secţiunea transversală a ghidului (figura 2.27.2) şi calculând frecvenţele de rezonanţă ale acestui circuit echivalent:

2ε

2a

1ε

2a

Figura 2.27.2

02

tgj2

tgj 2211 =+aZaZ cc ββ .

Dar:

1

2

2

1

εε

=c

c

ZZ

,

101 εββ = ,

22 εβ = . Se regăseşte astfel, direct, ecuaţia (2):

Kp

Kp−=

tgtg

ale cărei soluţii conduc la valorile frecvenţelor critice. cp

75

Ghiduri uniforme

2.28 Să se calculeze grosimea maximă pe care o poate avea o placă de dielectric având permitivitatea electrică relativă (constanta dielectrică) pentru ca să asigure o transmisiune unimodală la frecvenţa

5=rεGHz.20=f

Rezolvare: Într-un ghid placă dielectrică, frecvenţele prag ale modurilor care se propagă sunt date de relaţia:

( ) ( )( )12

1 0

−−

=r

np dcn

fε

unde este numărul de ordine al modului (E sau H), iar este grosimea plăcii de dielectric.

n d

Cea mai joasă frecvenţă prag (nenulă) se obţine pentru 2=n :

( )( )12

02 −=

rp d

cf

ε.

Condiţia este ca această frecvenţă prag să fie mai mare decât frecvenţa de lucru: ( ) ff p >

2.

De aici rezultă:

( )12

0

−<

rfc

dε

adică

cm75,3m0375,04

11022

10310

8==⋅

⋅⋅⋅

<d .

Observaţie: În aceste condiţii se pot propaga totuşi două moduri: şi , ambele având aceeaşi frecvenţă prag, . Transmisia poate deveni unimodală dacă sistemul de excitaţie evită apariţia uneia dintre aceste două unde.

1H 1E0=pf

76


3

RREEZZOONNAATTOOAARREE EELLEECCTTRROOMMAAGGNNEETTIICCEE

PPEENNTTRRUU MMIICCRROOUUNNDDEE 3.1 O cavitate paralelipipedică cu aer oscilează pe modul la frecvenţa

pe modul la frecvenţa şi pe modul la frecvenţa Să se determine dimensiunile cavităţii.

111EGHz,5,171 =f

3 =f112E GHz5,192 =f 121E

GHz.3,31Ce permitivitate electrică relativă trebuie să aibă un dielectric care ar umple

complet cavitatea, pentru ca să scadă la rε

1f GHz101 =′f ?

Rezolvare: Pentru cavităţi paralelipipedice frecvenţele de rezonanţă sunt date de relaţia:

,2

2220 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

cp

bn

amc

fm,n,p

unde sunt dimensiunile cavităţii iar reprezintă setul de numere întregi formând indicele modului de oscilaţie.

cba ,, pnm ,,

Deci:

2220

1111111

2 cbac

ff ++== ,

2220

1122411

2 cbac

ff ++== ,

2220

1213141

2 cbac

ff ++== .

Din aceste ecuaţii rezultă:

( ) ( )

cm3m03,0105,17105,19

321033

2 2929

8

21

22

0 ==⋅−⋅

⋅=

−=

ffc

c ,

( ) ( )

cm1m01,0105,17103,31

321033

2 2929

8

21

23

0 ==⋅−⋅

⋅=

−=

ffc

b ,

77

Rezonatoare electromagnetice pentru microunde

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= 222

0

21

21141cbc

fa

,

adică . cm2=a Introducând în cavitate un dielectric, frecvenţele de rezonanţă devin:

r

2220

222 pnm2

pnm2 εε

m,n,p

rm,n,p

fcba

ccba

cf =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=′ .

Rezultă:

06,310

5,17 22

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

′=

m,n,p

m,n,pr f

fε .

3.2 O cavitate paralelipipedică rezonează la temperatura pe frecvenţa

Care va fi frecvenţa aceluiaşi mod de oscilaţie la temperatura ? Cavitatea are pereţi din cupru,

C20o=tGHz.5=f C50o=′t

.K107,1 16cu

−−⋅=α Rezolvare: Frecvenţele de rezonanţă ale cavităţii paralelipipedice sunt date de relaţia:

222

0,, 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

cp

bn

amc

f pnm .

În urma dilataţiei termice, dimensiunile cavităţii devin: , ( )taa Δ+=′ cu1 α , ( )tbb Δ+=′ cu1 α , ( )tcc Δ+=′ cu1 αunde este coeficientul de dilataţie termică al cuprului. cuαRezultă:

( )tft

fcp

bn

amc

f pnmpnm

pnm Δ−≈Δ+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛′

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′=′ cu,,

cu

,,222

0,, 1

12α

α.

Se obţine: ( ) GHz9975,4Hz109975,4293107,11105 969

,, =⋅=⋅⋅−⋅=′ −pnmf .

3.3 Să se calculeze frecvenţa de rezonanţă a modului într-o cavitate coaxială având dimensiunile

2TEMcm,10 cm,3Rcm,1 === lr umplută cu un dielectric fără

pierderi având permitivitatea electrică relativă (constanta dielectrică) .2=rε Rezolvare: Deoarece la modurile de propagare TEM şi nu depinde de dimensiunile transversale, modurile de oscilaţie în cavitatea coaxială au frecvenţele de rezonanţă date de relaţia (vezi metoda reflexiilor în studiul rezonatoarelor):

λλ =g

nTEM

78


( )r

n lc

nl

cnfε22

00 == .

Înlocuind, se obţine:

GHz12,2Hz102,2121,02

1032 88

TEM2=⋅=

⋅⋅

⋅=f .

3.4 O cavitate cilindrică cu aer are dimensiunile cm,3=a Să se calculeze primele trei frecvenţe de rezonanţă ale acestei cavităţi.

cm.5=l

Rezolvare: Frecvenţele de rezonanţă ale diverselor moduri de oscilaţie rezultă din relaţia:

,2gpl

λ⋅=

unde p este un număr natural şi 0≠p pentru moduri .HSe obţine:

2

20 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

lpcff c .

Frecvenţa de rezonanţă creşte cu indicele . p Frecvenţele critice cele mai scăzute în ghidul metalic de secţiune circulară corespund, în ordine, modurilor şi (moduri degenerate) etc. 11121011 ,,, EHEH 10H Se calculează, pe rând:

( ) GHz93,2Hz103,2903,02

84,11032

88

11011

=⋅=⋅⋅⋅

=′

=ππ

ρa

cf Hc ,

( ) GHz82,3Hz102,3803,02

4,21032

88

10010

=⋅=⋅⋅⋅

==ππ

ρa

cf Ec ,

( ) GHz85,4Hz105,4803,02

05,31032

88

12012

=⋅=⋅⋅⋅

=′

=ππ

ρa

cf Hc ,

( ) ( ) GHz1,6Hz106103,02

83,31032

88

1101110

=⋅=⋅⋅⋅

===ππ

ρa

cff EcHc ,

GHz3Hz103005,02

10322

88

0 =⋅=⋅⋅

==rl

cl

cε

.

Rezultă apoi: , ( ) GHz82,3

100,0,1== EcE ff

, ( ) GHz1,6110,1,1== EcE ff

( ) ( ) GHz19,4393,22 2222111,1,1

=+=+= lcff HcH ,

( ) ( ) GHz86,4382,32 2222101,0,1

=+=+= lcff EcE ,

( ) ( ) GHz7,5385,42 222121,2,1

=+=+= lcff HcH ,

şi aşa mai departe.

79


Deci modurile acestei cavităţi care au cele mai joase frecvenţe de rezonanţă sunt, în ordine: .,, 1,0,11,1,10,0,1 EHE 3.5 O cavitate paralelipipedică cu pereţi perfect conductori, având dimensiunile

şi ca dielectric aerul, oscilează pe modul . Ştiind că

intensitatea maximă a câmpului electric din cavitate este

cm,5=a cm,4=b cm6=c 1,0,1H

,mV1030 =E să se

determine valorile maxime ale densităţilor de curent de deplasare şi de curent superficial de conducţie. Rezolvare: Cu ajutorul metodei reflexiilor, plecând de la modul în ghidul dreptunghiular pentru modul se obţine structura câmpului în cavitate:

10H

1,0,1H

zc

xa

HH zππ sincosj2 0−= ,

zc

xa

HH xππ

λλ

cossinj2 0g

c= ,

( ) zc

xa

ZHE Hug

cy

ππλλ

sinsin2 0−= ,

unde .2 ,2 ca gc == λλ

( )( ) a

caZZZ

Z dg

d

c

dHu

22

0201

+==

−=

λλ

λλ.

Frecvenţa de rezonanţă a modului este: 1,0,1H

GHz9,3Hz103910361

10251

210311

28

44

8

220

1,0,1 =⋅=⋅

+⋅

⋅=+=

−−cac

f .

Densitatea de curent de deplasare este dată de relaţia jd ωε=J E , deci are aceeaşi distribuţie ca şi valoarea maximă fiind în axul central al cavităţii, paralel cu :

,E( )Oy

( ) 9 30 0 0 9max

12 3,9 10 10 217 A m36 10d Eω ε ππ

= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⋅

J 2

,

.

Densitatea de curent superficial este s

deci curenţii sunt verticali pe pereţii laterali şi “radiali” pe pereţii orizontali, completând astfel liniile închise ale curentului total .

= ×J n H

d s= +J J J Dar ,x x zH H= +H e ez adică

2 2 .x zH H= +H

80


Deoarece între şi există un defazaj de , maximul rezultantei, corespunzând semiaxei mari a elipsei descrise de , coincide cu maximul celei mai mari componente.

zH xH o90H

Acest maxim se produce pe axele a două dintre feţele laterale; fie la ;sau 0 ax = 2cz = , fie la ;2ax = cz sau 0= şi are valoarea: 0max 2 max 1;H a c=H . Cu datele numerice ale problemei, 1<ca deci

3

00max max 2 2

0

10 6 52 2120 5 25 36s

E c aHZ a a c π

= = = ⋅ = ⋅ ⋅ =++

H J ,03A m .

3.6 Într-o cavitate paralelipipedică cu dimensiunile cm,3=a

se introduce prin peretele cm,5,1=b

cm4=c 0=y o mică tijă metalică cilindrică, cu diametrul , care pătrunde în interiorul cavităţii pe o lungime mm2=d mm.3=l Tija este paralelă

cu axa ( şi este introdusă prin centrul peretelui respectiv. )Oy Să se calculeze variaţia frecvenţei de rezonanţă a modului de oscilaţie cauzată de introducerea tijei.

1,0,1H

Rezolvare: În lipsa tijei, frecvenţa de oscilaţie a modului este: 1,0,1H

GHz25,6Hz105,6210161

1091

210311

28

44

8

220

1,0,1 =⋅=⋅

+⋅

⋅=+=

−−cac

f .

Datorită introducerii tijei (perturbaţie mică), se produce o variaţie de frecvenţă conform relaţiei [2]:

EM

EM

WWWW

ff

+Δ−Δ

≈Δ

0,

unde şi sunt energiile magnetică, respectiv electrică din întregul rezonator, iar şi Δ unt energiile care existau în volumul V

MW EW

E sMWΔ W Δ ş re au dispărut din cavitate în urma micşorării volumului ei.

i ca

Se observă că variaţia frecvenţei de rezonanţă produsă în urma micii reduceri a volumului cavităţii poate fi pozitivă, negativă sau chiar nulă, în funcţie de raportul dintre densităţile de energie magnetică şi electrică din locul unde se produce perturbaţia [2]. O aplicaţie curentă a acestor concluzii este utilizarea unor şuruburi la realizarea acordului fin al cavităţilor rezonante, soluţie practicată la reglajul filtrelor de microunde. Pentru a calcula mărimile implicate în relaţia precedentă se folosesc expresiile componentelor câmpului pentru modul în cavitatea dreptunghiulară: 1,0,1H

zc

xa


zc

xa

HcaH x

ππ cossinj2 0= ,

81


( ) zc

xa

Ezc

xa

ZHcaE Huy

ππππ sinsinsinsin2 00 =−= .

Se obţine:

42 dddsinsin

2

d4

22

20

02220

0

2

abcEzyxcz

axE

VE

WWW

V

VEME

εππε

ε

==

===+

∫∫∫

∫

În axul cavităţii, paralel la ( )Oy ( ),2 ,2 00 czax == componentele câmpului sunt: , ( ) 0, 00 =zxH z

, ( ) 0, 00 =zxH x

. ( ) 000 , EzxE y =Prin urmare: , WMΔ ≅ 0

2 2 2

0 0 0 01W2 2 4 4E

E E d lVε ε πΔ ≅ =

şi deci rezultă:

2 6 3

90

4 10 3 106, 25 10 6,54 MHz2 2 0,03 0,015 0,04

d lf fabcπ π − −⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Δ ≅ − = − ⋅ ⋅ = −⋅ ⋅ ⋅

.

3.7 Într-o cavitate paralelipipedică cu dimensiunile cm,4=a

prin centrul peretelui cm,2=b

cm,5=c 0=x).Ox

se introduce o tijă metalică cilindrică de diametru paralelă cu axa ( Tija pătrunde în interiorul cavităţii pe o lungime

Să se calculeze variaţie frecvenţei de rezonanţă a modului în cavitate, în urma introducerii tijei.

mm,1=dcm.1=l 1,0,1H

Rezolvare: Frecvenţa modului fără tijă este: 1,0,1H

GHz8,4Hz104810251

10161

210311

28

44

8

220

1,0,1 =⋅=⋅

+⋅

⋅=+=

−−cac

f .

Variaţia de frecvenţă provocată de introducerea tijei este:

EM

EM

WWWW

ff

+Δ−Δ

=Δ

0.

Pentru a calcula această modificare de frecvenţă se folosesc expresiile câmpului în cavitate:

zc

xa


zc

xa

HcaH x

ππ cossinj2 0= ,

zc

xa

ZHc

caE dyππ sinsin2 0

22 +−= .

82


În axul de simetrie al cavităţii în lungul căreia este introdusă tija ( 2 ,2 czby == ) expresiile componentelor sunt:

xa

HH zπcosj2 0= ,

, 0=xH

xa

ZHc

caE dyπsin2 0

22 +−= .

Se calculează corespunzătoare volumului V al tijei: ,MWΔ EWΔ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=⋅⋅===Δ ∫∫∫Δ

alalHd

xaxHSxSHVHW

ll

zV

M

ππ

πμ

πμμμ

2sin424

dcos44

d4

d4

02

0

0

220

0

0

2020

( )

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=

=+

===Δ ∫∫∫Δ

alal

ccaHd

xax

ccaZH

SxSEVEWl

dl

yV

E

ππ

πμ

πεεε

2sin424

dsin4

4d

4d

4

2

2220

20

0

22

222200

0

2020

Se calculează apoi energia totală din cavitate: ( )

( )c

abcaH

zyxzc

xac

caZHV

EWWW

a b cd

VEME

2

dddsinsin4

42d

422

22200

0 0 0

222

222200

2

+=

=+

===+ ∫ ∫ ∫∫μ

ππεε

Înlocuind, se obţine:

( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⋅⋅

−⋅

⋅+⋅⋅+⋅⋅

⋅=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

++

=Δ

−

−

−

−−

−−

−

4

2

4

44

44

6

22

22

22

2

0

102504,0102

412sin

102510251016

1025101602,0805,010

22sin28

ππ

ππcla

al

cca

cabcd

ff

Rezultă:

4

01013,1 −⋅=

Δff

şi deci . MHz54,0Hz104,542108,41013,11013,1 394

04 =⋅≈⋅⋅⋅=⋅⋅=Δ −− ff

3.8 Într-o cavitate paralelipipedică de dimensiuni cm,4=a se introduce o probă dintr-o ferită şi se urmăreşte modificarea frecvenţei de rezonanţă a modului de oscilaţie Proba are forma unei sfere de rază

cm,2=b

mm5,1

cm6=c

.1,0,1H =r şi poate fi deplasată pe peretele inferior al cavităţii. ( 0=y ) Când proba este în centru, se constată o modificare a frecvenţei rezonatorului cu

Când proba este adusă lângă mijlocul laturii mari a peretelui inferior, MHz.95,71 −=Δf

83


se constată o variaţie a frecvenţei , faţă de frecvenţa cavităţii fără probă.

MHz5,162 −=Δf

Să se determine permitivitatea electrică şi permeabilitatea magnetică relativă ale feritei din care a fost făcută proba. ( r , με r )

Rezolvare: Se poate arăta că dacă o sferă dielectrică este plasată într-un câmp electrostatic uniform, câmpul produs în interiorul sferei este: ,1E

rar

EEE

εε1

12 23

=+

= ,

unde este permitivitatea electrică relativă (constanta dielectrică) a dielectricului iar rε( ) 32+= rεraε este permitivitatea electrică aparentă. Relaţia poate fi folosită dacă

sfera este foarte mică şi este plasată într-o regiune de câmp electric omogen. Similar, pentru câmpul magnetic dintr-o sferă se poate scrie:

rar

HHH

μμ1

12 23

=+

= .

Frecvenţa modului de oscilaţie în cavitatea neperturbată este: 1,0,1H

GHz5,4Hz1045210311

28

4220

1,0,1 =⋅=⋅

=+=−ca

cf

10361

10161

4

8

⋅+

⋅ −.

Variaţia de frecvenţă datorată introducerii probei este dată de relaţia:

( ) ( )

0

1

0 211

www

VV

WWWW

ff EraMra

EM

EM −+−−≈

+Δ−Δ

−≈Δ εμ

,

unde sunt densităţile de energie locale din locul unde a fost introdusă proba, este densitatea de energie (electrică sau magnetică) medie din cavitate, iar şi

sunt volumul probei, respectiv volumul cavităţii.

EM ww ,

0w 1V V

Pentru modul considerat, componentele câmpului din cavitate, au expresiile:

zc

xa


zc

xa

HcaH x

ππ cossinj2 0= ,

zc

xa

ZHc

caE dyππ sinsin2 0

22 +−= .

Energia electrică medie din cavitate, , este: 0w

2

22200

2

2222

00

20

0 44

41

4d

41

ccaH

ccaZHV

EV

w dV

+=

+== ∫

μεε.

În prima poziţie a probei, câmpul este: , 0== xz HH

c

caZHE dy

22

02 +−= ,

prin urmare:

84


( )

( )12

2

44

11

2

22200

2

2222

00

1

0

1 −=+

+−

−=Δ

ra

dra

VV

ccaH

ccaZH

VV

ff

εμ

εε

.

Rezultă de aici:

2211

10

1 =⋅Δ⋅−=

VV

ff

raε

deci . 4=rε În cea de a doua poziţie, ( ,2 ,0 czx == )

0

câmpul este: , 02j HH z −= . == yx EHSe obţine:

( )

( ) 22

21

2

22200

20

0

1

0

1 12

2

44

1

cac

VV

ccaH

H

VV

ff

ra

ra

+−−=

+

−−=

Δμ

μ

μμ

,

de unde rezultă

4211 2

22

10

2 =+Δ

−=c

caVV

ff

raμ

adică . 10=rμ 3.9 La ce distanţă de capătul unui rezonator coaxial, având dimensiunile

, se poate introduce un şurub de metal care să pătrundă puţin în interiorul cavităţii şi totuşi să nu modifice frecvenţa de rezonanţă a modului de oscilaţie ?

cm,1=r cm,3=R

1TEM

cm10=l

Rezolvare: Deoarece se urmăreşte să se obţină o variaţie nulă a frecvenţei,

00

=+Δ−Δ

≈Δ

EM

EM

WWWW

ff ,

şurubul trebuie introdus într-un plan transversal în care densitatea de energie electrică şi magnetică sunt egale între ele. Pentru rezonatorul coaxial oscilând pe modul componentele câmpului sunt (conform metodei reflexiilor):

,1TEM

zl

rEE πρρ sin2j 0−= ,

zl

rHH πρϕ cos2 0= ,

unde .00 HZE d=

85


În apropierea peretelui exterior ( )R=ρ , densităţile de energie au expresiile:

zlR

rHHwMπμμ 2

220

020 cos444

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== ,

zlR

rEEwEπεε 2

220

020 sin444

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== .

Condiţia se reduce la egalitatea ME ww =

zl

zl

ππ 22 sincos =

de unde rezultă

40ππ

=zl

adică cm.5,240 == lz 3.10 Să se calculeze factorul de calitate al unei cavităţi cilindrice oscilând pe modul ştiind că pereţii sunt dintr-un metal perfect conductor, iar dielectricul are

permitivitatea electrică relativă şi conductivitatea 1,1,1E

4=rε .mS10 4−=σ Cavitatea are raza şi lungimea cm5=a .cm7=l Rezolvare: Frecvenţa de rezonanţă a modului în cavitatea cilindrică este: 1,1,1E

( ) GHz1,2Hz1021122

82

2110

22

0 1,11,1,1=⋅=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

lac

lcff

rEE π

ρε

.

Deoarece pierderile cavităţii sunt numai în dielectric, factorul de calitate pentru orice mod de oscilaţie este dat de relaţia

( )

d

rE

dd

fQQ

σ

εεπ

σεω 000

01,1,1

2=== .

Înlocuind datele problemei, se obţine:

466610

41036

1101,22

4

99

0 ≈⋅

⋅⋅⋅⋅

=−

ππ

Q .

3.11 Să se calculeze factorul de calitate al unei cavităţi paralelipipedice din cupru, ,mS105 7⋅=Cuσ având dimensiunile cm,2=a cm,1=b oscilând pe modul dacă rezonatorul conţine un dielectric fără pierderi cu permitivitatea electrică relativă (constanta dielectrică) .

cm,5,2=c,1,0,1H

2=rε Rezolvare: Factorul de calitate propriu al unei cavităţi care are dielectric ideal dar ai cărei pereţi nu sunt perfect conductori este:

86


,d

d22

2

0

∫∫Σ

==aH

VHQQ

t

V

mm δ

unde este adâncimea de pătrundere a câmpului în pereţii metalici, Σ reprezintă suprafaţa pereţilor, iar este câmpul magnetic tangenţial la această suprafaţă.

mδ

tH În cazul modului de oscilaţie din cavitatea paralelipipedică, ţinând seama de faptul că

1,0,1H

ac

HH

g

c

z

x ==λλ

0

0 ,

pentru integrala de la numărător se obţine expresia:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+= ∫∫ 2

22

0222 1

4dd

caabcHVHHVH zV xzV

.

Calculul integralei de la numitor poate fi efectuat considerându-se separat integralele pe fiecare perete al rezonatorului paralelipipedic:

( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

=+++= ∫∫∫ ∫∫∫∫ ===Σ

2

2

2

22

0

0

20

00 00

22

0

20

0

2

21

422

dd2dd2dd2d

caab

caacbcH

xHyzxHHzHyaH

z

c

zx

bb c

yzx

c

xz

b

t

Înlocuind aceste rezultate în expresia factorului de calitate, rezultă:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

+==

cbca

ba

ca

QQm

m 2112

11

2

2

2

2

δ.

Cu datele problemei, se calculează frecvenţa modului de oscilaţie : 1,0,1H

GHz8,6Hz10681025,6

11041

2210311

28

44

8

220

1,0,1 =⋅=⋅

+⋅

⋅=+=

−−cac

frε

.

dâncimea de pătrundere are valoarea:

A mδ

μm86,0105104108,6

112779

0=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅===


mmm f

.

Rezultă:

( ) 6050

025,02

01,01

5,22

01,01

02,02

5,2211086,0

12

2

6 =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

+⋅

⋅=

−Q .

3.12 Să se calculeze factorul de calitate al unei cavităţi paralelipipedice de

dimensiuni cm,3=a cm,5,1=b cm,5=c oscilând pe modul ,1,0,1H ştiind că dielectricul ii mitivitatea electrică re 4=ε şi din interiorconductivitatea

ul cavităţ are per lativă r

.mS102=dσ 5−⋅ Cavitatea este din cupru, . mS105 7⋅=Cuσ

87


Rezolvare: Deoarece ât în metal cât şi în dielerezonatorului se c ula

există pierderi at ctric, factorul de calitate al ulează cu formalc

dm QQQ

1

0+= , 11

unde

d

dQσεω0=

iar

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⋅=

cbca

ba

ca

Qm

m2112

11

2

2

δ , (vezi problema precedentă).

u datele problemei, se calculează fr ului de oscilaţie considerat: C ecvenţa de rezonanţă a mod

GHz91,2Hz101,291110311 82222

01,0,1 =⋅=+

⋅=+=

cf .

05,003,0422

8

carεa această frecvenţă, adâncimea de pătrundere în cupru este

L

μm31,11051041091,2 9

0 ⋅⋅⋅⋅ ππσμπωμσ CuCum f

11277 =

⋅⋅===

−δ .

Rezultă:

6045

05,02

015,01

53

015,01

03,02

531

1031,11

2

2

6 =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⋅⋅

= −mQ ,

32333102

41036

11091,22

5

99

=⋅

⋅⋅

⋅⋅⋅=

−π

πdQ

şi deci

5092323336045323336045

0 =+⋅

=+

=dm

dm

QQQQ

Q .

3.13 Să se calculeze factorul de calitate unui rezonator coaxial realizat dintr-o

porţiune de ghid coaxial, de lungime al

cm,10=l terminată în scurtcircuit la ambele apete c care rezonează pe frecvenţa fundamentală GHz20 =f . Constanta de atenuare a

ghidului la frecvenţa 0f este ,mdB05,0=α iscurile terminale de scurtcircuit sunt

din alamă,

iar d

.mS104 7⋅=σ Rezolvare:

derile din rezon pot fi grupate astfel: Pier ator

88


PP += pscpdpmp

u este puterea pierdută în conductoarele cPP + ,

nde ilindrice, puterea pierdută în

Rezultă:

pmPric i

pdPdielect ar pscP reprezintă puterea pierdută în cele două discuri de scurcircuitare.

Figura 3.13.1 Liniile câmpului pentru modul de oscilaţie TEM1 în rezonatorul coaxial

scc QQQ

111

00+=

nde este factorul d nd pierderile şi

,

alitate intrinsec al cablului (înglobâu e c cQ0

es pmP pdP )

iar scQ te factorul de calitate al scurtcircuitelor, definit cu relaţia:

∫∫

==dVHWQ V2ω .

ΣscaHtm d2

2

δPpscsc 0

În rezonatorul coaxial oscilând pe modul fundamental ( ), câmpul electromagnetic are o singură componentă: 1TEM

zl

rHH πρϕ cos0= ,

deci

∫∫

∫∫∫=

R

r

R

r

l

msc

rH

zzl

rHQ

ρρρ

ϕ

ρρρ

πϕ

δ π

π

d1d2

d1dcosd2

2

2

022

0

2022

022

0

.

Factorul de calitate intrinsec al cablului este:

l

Q c απ

αλπ

20 == .

D lemeoarece, cu datele prob ei,

mNp1075,5mNp7,8

mdB05,0 ==α 05,0 3−⋅= ,

r ia

μm78,1m101781041041022

22 8779

00=⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅== −

−ππσμωδm ,

zultă re

27321,01075,52 30 =

⋅⋅⋅=

−

πcQ ,

89


280901078,12

1,02 6 =

⋅⋅==

−δlQsc ,

eci, în final,

d

2490280902732280902732

0

00 Q

=+⋅

=+

=scc

scc

QQQ

Q .

3.14 O cavitate rezonantă pe un anumit mod are frecvenţa de rezonanţă şi este cuplată la un ghid coaxial de acces având impedanţa caracteristică

GHz100 =f 5=C

factorul lui dacces, =

.0ΩZ Să se calculeze factorul de calitate propriu 0Q al cavităţii cunoscând e calitate în sarcină, 1000=sQ , şi indicele de cuplaj al cavităţii cu linia de .2β

Să se determine o schemă echi ă pentru rezonator.

valent

Rezolvare: Factorul de calitate propriu este legat de factorul de0Q calitate în sarcină

rin rel

echivalentă a cavităţii depinde de planul considerat pe linia de acces. legând un plan în care la dezacord (departe de frecvenţa de rezonanţă ) există un

sQ p aţia [1]: ( ) ( ) 300010002110 ⋅+=+= sQQ β . Schema

=

A 0fminim al distribuţiei de tensiune, se obţine o schemă echivalentă de tip derivaţie.

0L 0R 0CCZ

Pentru această schemă,

CZ

R0=β ,

CL XR

XR

Q 000 −== .

zultă astfel elementele schemei echivalente: ,

Re = Ω⋅== 1005020 CZR β

Ω=== 033,01000RX ,

30000QL

.

3.15 Un rezonator este lcătuit dintr-o linie bifilară, având ca dielectric aerul, rminată în scurtcircuit la c ete. Să se determine schema echivalentă a acestui zonat

Ω−=−= 033,0LC XX

aapte

re or, valabilă în jurul frecvenţei de rezonanţă GHz5,10 =f a modului de oscilaţie fundamental ( 1TEM ), dacă cuplajul cu rezonatorul se face serie, la o distanţă cm2=d de unul din capete.

90


Linia a pacitatea lineică re ca mpF67=LC şi o constantă de aten frecvenţa ,0f de va

uare, laloare .mdB3=α

iZ

d l d−

1Z 2Z

iZ

Rezolvare: Schema echivalentă în cazul cuplajului considerat este o schemă de re

rie, a ele: zonator

se vând element

( )ld

lZR C

e πα

2cos=′ ,

( )ldlL

L Le π2cos2=′ ,

e

e LC

′=′ 2

0

1ω

.

calculează, pe rând:

• impedanţa caracteristică a liniei: Cu datele problemei, se

Ω=== 5011Z⋅⋅⋅ −1067103 128

0 LC Cc

;

• inductanţa lineică: mnH5,167mH105,167106750 91222 =⋅=⋅⋅== −−

LCL CZL . Pe de altă parte,

mNp345,0mNp7,8

3mdB3 ===α ,

r lungimea rezonatorului este: ia

m1,0105,1222 9

0

0

⋅⋅===

fl 103 8

=⋅cλ

stfel încât se obţine: a

( )

Ω=⋅⋅

=′ 63,210

1,0345,050 , ⋅2cos2 πeR

( )nH79,12H1⋅ 079,12

102cos21,0105,167 9

2

9==

⋅⋅⋅

=′ −−

πeL ,

( )pF88,0F1088,0

1079,12105,14

1 12

9292=⋅=

⋅⋅⋅⋅=′ −

−πeC .

91


Oe

bservaţie: Se ştie că pentru un rezonator serie (fără priză) elementele schemei chivalente au expresiile:

( )ldRlZR eCe πα 2cos′== ,

( )ldLlLL eLe cos1 ′== π2

2,

( )ldC

LC e

ee πω 22

0 cos1 ′

== .

:1neC eR

eL

Se observă că schema echivalentă a rezonatorului cu priză se deosebeşte de schema echivalentă a rezonatorului serie (fără priză) prin prezenţa unui transformator ideal având raportul de transformare:

( )ldn

πcos1

= .

3.16 Un rezonator este realizat dintr-un tronson de ghid coaxial de lungime

terminat la un capăt în scurtcircuit, iar la celălalt capăt având un condensator

cm,15=lu capc acitatea pF.5=C Linia din care a fost realizat tronsonul are impedanţa

ică ,50Ω=CZ constanta de atenuare caracterist mdB05,0=α iar permitivitatea electrică relativă icului din interior este .2=rε Să se c mai joasă frecvenţă de rezona i rezonator. Să se determine factorul de calitate propriu al lui, considerând o capacitate terminală ideală (fără pierderi) şi admi

a dielectralculeze cea nţă a acestu

rezonatoruele ţând pierderi nule în conductoar

cablului. Să se alcătuiască schema echivalentă a rezonatorului dacă cuplajul se face paralel, la o distanţă cm4=d de capătul liniei terminat pe condensator.

l

d

a

a

b

b′ ′

zO

92


Rezolvare: Expresiile tensiunii şi curentului în lungul liniei terminate în scurtcircuit la

sunt de forma:

nde ş sunt le te prin relaţia:

z 0= zUU βsin0= ,

zII βcos0= , u ga 0U i 0I

CZI

0 . U

=0

recvenţele de re nanţă rezultă din condiţia generală de rezonanţă, F zo

MEunde

WW = ,

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=+= ∫∫ l

CCzzUClUCzzUCW

L

l

L

l

LE ββ 2

0

220

2

0

2 sindsin41

41d

41 ,

spectiv re

( ) ∫∫ ==l

L

l

LMW zzILzzIL0

220

0

2 dcos41d

41 β .

in egalarea energiilor rezultă:

D

ββ β

ββ

42sin

212sin1 lCl+= ,

dică

sin42

2 lCL

+−

a

lClC

l L

ββ 1tg ⋅= .

cuaţia poate fi rezolva numeric sau grafic:

În cazul problemei considerate, s calculează:

E tă

e

mpF2,94mF102,9450103

218 =⋅⋅

=== rL ZcZc

Cε 12

0=⋅ −

CCd,

e unde

d

83,2105

102,9415,012

12≈

⋅⋅⋅

= −

−

ClCL .

locuind, se obţine prima soluţie

În

93


18,101 ≈lβ şi deci

MHz266Hz1026618,115,022

1032

68

010

01 =⋅≈⋅⋅

⋅==

πβ

επl

lc

fr

.

Observaţie: Celelalte frecvenţe de rezonanţă nu sunt multipli ai acestei valori ! Factorul de calitate propriu se obţine din relaţia:

0 0 0 0m

W W W

p p pd pc pd

QP P P P P+ +

,

unde au fost notate cu puterile pierdute în metal, respectiv în dielectric lă.

rului de calitate se exprimă, pe rând:

ω ω ω= = ≅

,pmP ,pdP pcPşi în capacitatea termina Pentru calculul facto

( )∫==+=l

221LMME zzLIWWWW

0010 dcos

422 β ,

( ) ( )∫∫ ==l

L

l

Lpd zzGUzzUGP0

0122

00

2 dsin21d

21 β ,

, 0

ci:

0=pmP , =pcPşi de

( )

( )

( )

( )

( )

( )∫

∫

∫

∫

∫

∫=== l

001

2

001

2

l

001

2

001

2

0l

001

2

001

2

200

dsin

dcos2

dsin

dcos

dsin

dcos

zz

zz

GY

zz

zz

GC

zz

zz

GZL

Q

l

L

C

l

L

L

l

LC

L

β

β

λπ

β

βω

β

βω

Constanta de atenuare a unei linii TEM cu pierderi mici are expresia [4]:

C

LLdm YZ 22

+=+= ααα . C

GR

acă pierderile în metal sunt neglij ile şi deci D ab , 0≈LR

C

L

YG2

≈α .

În inlocuind, se obţ e pentru factorul de calitate:

( )

( )

( )

( ) 1274

42sin

21

4

dsin01

01

l

001

2

00 =

−==

∫ ββββ

αλβ

αλ l

l

zzQ

l

.

La bornele capacităţii (cuplaj paralel) apare un circuit rezonant derivaţie, având frecvenţa de rezonanţă şi factorul de calitate

2sin21dcos 01

2+∫ π

βπ

zz

f 01 0 .Q

94


eL eR eC

Capacitatea echivalentă se obţine din egalarea energiilor electrice din rezonator şi din schema echivalentă:

( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+= ∫ l

CCzzUClUC

L

l

Le 012

001

22001

220 sindsin

41sin

41 βββ ,

de unde rezultă:

( )

( )pF8,10

sin

sin411

2sin

dsin

012

012

012

001

2

=−

+=+=∫

l

lllC

Cl

zzCCC L

l

Le β

βπ

λ

β

β.

Se obţine:

( )

nH33108,10102664

14

1112262222

0

=⋅⋅⋅⋅

===−ππω ee

e CfCL ,

. kΩ70107010331026621274 39600 =Ω⋅=⋅⋅⋅⋅⋅== −πω ee LQR

Cunoscând schema echivalentă la bornele capacităţii ( )bb ′ se obţine imediat schema echivalentă la bornele de acces ( )aa ′ prin adăugarea unui transformator ideal, cu raportul de transformare:

( )

82,021,11

sinsin

010

010 ==−

==′

′

lUdlU

UU

Nbb

aa

ββ

Schema echivalentă obţinută este prezentată în figura de mai jos.

1:1,21

eC

70kΩ33nH 10,8pF

3.17 Se consideră un rezonator Fabry – Perot, alcătuit din două plăci metalice conductoare, paralele, foarte mari faţă de lungimea de undă (teoretic infinite). Să se determine factorul de calitate al acestui rezonator, dacă dielectricul este aer, iar pereţii au conductivitatea .mS105 7⋅=σ Frecvenţa de lucru este de iar distanţa dintre plăci este de

GHz,300cm.10

Rezolvare: Pentru un astfel de rezonator, factorul de calitate se calculează din energia înmagazinată şi din puterea pierdută corespunzătoare unităţii de arie transversală. Câmpul din rezonator este o undă staţionară, rezultată din reflexiile unei unde plane care se propagă normal pe pereţi.

95


Se obţine:

mmt

V

m

aaaH

VHQ

δδδ 221

22

d

d2

2

2

0 =⋅⋅==∫

∫

Σ

în care adâncimea de pătrundere are valoarea:

μm13,0m1013105104103

12 87711

0=⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅== −

−ππσωμδm .

Rezultă:

3846151013,02

1,060 =

⋅⋅= −Q .

Observaţie: Deoarece

200103

1031,02228

11

0

0

0=

⋅⋅⋅⋅

===cafap

λ,

modul de oscilaţie din rezonator poate fi numit . 200TEM 3.18 O cavitate prezintă o rezonanţă la , iar pe ghidul de acces la această frecvenţă se constată un raport de undă staţionară Modificând frecvenţa în jurul acestei valori, se obţine o curbă

GHz7=rf

rσ .2=( )fσσ = care poate fi aproximată de expresia

analitică ( )20 rffk −+≈ σσ , unde . 2s13104 −⋅=k Să se determine factorul de calitate propriu al cavităţii. Rezolvare: Curba (σσ = permite determinarea factorului de calitate în sarcină cu relaţia [1]:

)f sQ

dB3B

fQ r

s = ,

unde este banda de frecvenţe cuprinsă între limitele determinate de o anumită valoare

dB3B

21σ a raportului de undă staţionară. Dacă σ creşte nemărginit atunci când frecvenţa se îndepărtează de atunci ,rf 21σ este dat de relaţia:

85,611

112

2

21 =+−+

+++≈

rr

rr

σσ

σσσ .

Acestei valori limită îi corespunde un dezacord:

MHz48,3104

285,613

21 =⋅

−=

−=−

−kff r

rσσ

.

Deci: . 1000=sQ Factorul de calitate propriu este legat de prin relaţia: 0Q sQ , ( ) sQQ β+= 10

96


în care β este indicele de cuplaj,

⎩⎨⎧

=tăsupracupla cavitate o la ,

subcuplată cavitate o la ,1

r

r

σσ

β

Pentru a calcula trebuie cunoscut tipul de cuplaj (subcuplat sau supracuplat). În funcţie de aceasta se obţin următoarele valori posibile ale lui

0Q:0Q

( ) 15001101 =+= sr QQ σ , dacă 1<β , , dacă ( ) 3000102 =+= sr QQ σ .1>β Caracterul sub – sau supracuplat nu rezultă din datele problemei, dar poate fi dedus experimental [1].

97


4

NNOOŢŢIIUUNNII DDEE TTEEOORRIIAA

CCIIRRCCUUIITTEELLOORR LLIINNIIAARREE DDEE MMIICCRROOUUNNDDEE 4.1 Să se calculeze elementele schemei echivalente în T a unei porţiuni de ghid uniform, fără pierderi, de lungime .l Rezolvare: Ghidul fiind fără pierderi, schema lui echivalentă în T va fi compusă din trei reactanţe, ca în figură, unde 0111

2== IiZZ

02221=

= IiZZ

01

22112

2=

==II

UZZ .

11 12Z Z− 22 12Z Z−

12Z0Z

l

l

Reactanţele şi se obţin imediat: 11Z 22Z lZZZZ

sZi βctgj 02211 −===∞=

Pentru calculul reactanţei pot fi folosite expresiile undelor (directă şi inversă) de tensiune, la o linie fără pierderi:

12Z

−+ += 001 UUU

( ) lllz UUzUU ββ j

0j

02 ee −−+=

+==

În acelaşi mod se pot exprima şi curenţii şi : 1I 2I

98

Noţiuni de teoria circuitelor liniare de microunde

Oz

1U 2U

1I 2I

0U +

0U −

l ( )−+ −= 00

01

1 UUZ

I

( ) ( )lllz UU

ZzII ββ j

0j

00

2 ee1 −−+=

−==

Pentru rezultă: 02 =I lUU β2j

00 e−+− =deci

( ) l

ZU

UI

UZ

l

l

I ββ

β

sin1j

e1Z1

e20

2j0

0

j0

01

221

2

−=−

==−+

−+

=

.

Se obţine apoi:

2

tgjctgsin

1j 0012221211lZl

lZZZZZ ββ

β=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=−

Schema echivalentă a tronsonului de ghid este reprezentată în figura de mai jos.

0j tg2lZ β

0j sinZ lβ−

0j tg2lZ β

4.2 Să se calculeze matricea de repartiţie S corespunzătoare diportului cu schema din figură. Valorile impedanţelor componente sunt normate la impedanţa caracteristică a liniilor de acces, .021 ZZZ CC == Să se verifice apoi proprietăţile matricei S pentru joncţiuni reciproce, fără pierderi.

j2

j−

j

99


Rezolvare: Termenii S şi se obţin imediat, ei reprezentând coeficienţi de reflexie la câte una dintre porţi, atunci când cealaltă este terminată adaptat:

11 22S

02

111 ZZS=

Γ= ,

01

222 ZZS=

Γ= .

j2

j−

j

1

1inz

Se calculează, pe rând:

11

1

0

1

0

1

01

0111

2

02

0211

1

1

=

=

=+−

=+

−=

+−

=zin

in

ZZ

in

in

ZZin

in

zz

ZZZZ

ZZZZ

S .

Impedanţa de intrare normată, la poarta 1, cu poarta 2 terminată adaptat, are valoarea:

( ) ( )[ ] ( )( ) j12j1

j1j2jj||j1112

+=++−

=+−+==zinz

astfel încât se obţine:

( )( ) 5

2j11j11j1

11+

=++−+

=S .

Analog, se poate scrie:

12

2

0

2

0

2

02

0222

1

01

0111

1

1

=

=

=+−

=+

−=

+−

=zin

in

ZZ

in

in

ZZin

in

zz

ZZZ

Z

ZZZZ

S ,

unde reprezintă impedanţa normată de intrare la poarta 2 cu poarta 1 terminată adaptat.

2inz

j2

j−

j

1

2inz

Cu datele din enunţ

100


( ) ( )[ ] ( )( )2

j1j1

j2j1jj2j1j121

−=

+−+

+=−++==zinz

şi deci

5

2j1j3j1

12

j1

12

j1

22+

−=−+

−=+

−

−−

=S .

Pentru calculul lui care este coeficientul de transfer (de transmisie) de la poarta 1 la poarta 2, se poate folosi relaţia

,21S

( ) ( )02022 1

211

1

211

2

1

01

221 11

ZZZZC

C

a UU

SUU

SZZ

ab

S===

+=+== ,

în care reprezintă tensiunea de la poarta 1 iar tensiunea de la poarta 2, conform figurii de mai jos.

1U 2U

j2

j−

j

11U U 2U

Se obţine:

( ) ( )

( ) ( )[ ] 2j1

j1j1

j11

2jjj1jj1

j11

11

2

1

2

202

+−=

+−

⋅+

=+−+

−+⋅

+=⋅=

== zZZ UU

UU

UU

şi deci:

5

4j22

j15

2j1121+

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=S .

Analog, se poate scrie:

( ) ( )01011 2

122

2

122

1

2

02

112 11

ZZZZC

C

a UU

SUU

SZZ

ab

S===

+=+== .

j2

j−

j

1 1U U 2U

Se obţine:

( ) ( )( ) ( )[ ] j

j13j1

52j1

jj||2j1j||2j1

2j11

12

1

2

1

101

−=−−

⋅−

=+−+

−+⋅

+=⋅=

== zZZ UU

UU

UU

şi deci

101


( )5

4j2j5

2j1112+

−=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=S .

Rezultă astfel matricea S a diportului considerat:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

+−

+−

+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

52j1

54j2

54j2

52j1

2221

1211

SSSS

S .

Verificări: 1. 2112 S= (diport reciproc); S

2. 15

15

2j12211 <=

+== SS ; 1

52

54j2

2112 <=+

−== SS (diport pasiv);

3.1 ;154

512

122

11 =+=+ SS 151

542

222

21 =+=+ SS ;

3.2 022 122111 =+ ∗∗ SSSSadică

212211

12 222arctg2arctg

22ϕππϕϕ

ϕ =±+

=±+

= (diport reciproc, pasiv şi

nedisipativ); 4. 2211 S (diport nesimetric). S ≠ 4.3 Să se calculeze matricea de repartiţie în raport cu impedanţa de referinţă , pentru diportul cu schema din figură. Tronsoanele de linie de transmisiune din circuit sunt fără pierderi.

0Z

0Z

1 4l λ=

0Z

2 8l λ=

1T 2T( )0Z ( )0Z

0jZ

Rezolvare: Se calculează întâi matricea S′ a diportului subţire reprezentat de reactanţa derivaţie, iar apoi se aplică teorema schimbării planelor de referinţă.

0jZ

1T ′ 2T ′

1U ′ 2U ′

( )0Z ( )0Z

102


5

2j1

1j1

j

1j1

j

11

11

1

01

01111

20202

+−=

++

−+

=+−

=+−

=Γ′=′=′=′

=′zi

i

ZZi

iZZ z

zZZZZ

S .

Circuitul considerat fiind un diport subţire, 2211 SS ′=′ iar

5

2j45

2j111 111221+

=+−

+=′+=′=′ SSS .

Readucând planele de referinţă 1T ′ şi 2T ′ în poziţiile iniţiale, respectiv se obţine:

,1T ,2T

5

2j1ee 11j

112j

11111

−=′−=′=′= −− SSSS l πβ ,

5

j2jee 222

j22

2j2222

2+

=′−=′=′=−− SSSS lπ

β ,

( ) ( )3j152ee 4

3j21

j212112

21 +−=′=′==−+−

πβ SSSS ll .

Deci matricea repartiţie corespunzătoare circuitului considerat este:

[ ]( )

( ) ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−

+−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

5j23j1

52

3j152

52j1

2221

1211

SSSS

S .

4.4 Să se calculeze matricea de repartiţie corespunzătoare diportului din figură, la o frecvenţă la care lungimea de undă este cm40=λ ştiind că lungimile tronsoanelor de linie sunt iar raportul de transformare al transformatorului ideal este .

cm,101 =l2=

cm,152 =lN

0Z

1l

0Z

2l

1T 2T( )0Z ( )0Z

:1N

Rezolvare: Se calculează întâi matricea de repartiţie S′ a transformatorului ideal:

11

2

2

002

002

01

0111

02+−

=+−

=+′−′

=′= N

NZZNZZN

ZZZZS

ZZi

i ,

2

2

02

0

02

0

02

0222 1

1

01NN

ZNZZNZ

ZZZZS

ZZi

i

+−

=+−

=+′−′

=′=

.

Deoarece la transformatorul ideal

103


NU

U 1

1

2 =′′

rezultă:

( ) 1222

2

1

21121 1

211111

02

SN

NNN

NUUSS

ZZ

′=+

=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

+=′′

⋅′+=′=

.

Utilizând teorema schimbării planelor de referinţă, se obţine apoi matricea de repartiţie a diportului complet:

λπβ

11

4j

2

22j

1111 e11e

ll

NNSS

−−

+−

=′= ,

2

2

2 j4j222 22 2

1e e1

ll NS S

Nπβ λ

−− −′= =+

,

( ) ( )1 21 2

2jj12 21 21 2

2e e1

l ll l NS S SN

πβ λ

− +− +′= = =+

.

Folosind datele problemei, se obţine:

53e

53e

1212 j40

104j

2

2

11 −==+−

= −− ππS ,

53je

2121 2

3j

2

2

22 −=+−

=−

π

S ,

( )

( )j15

224

5jsin4

5cos54e

54e

1222 4

5j1510402j

212 +−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −==

+⋅

=−+− ππππ

S .

Observaţie: Se pot verifica şi aici proprietăţile matricei de repartiţie corespunzătoare diporţilor reciproci, pasivi şi nedisipativi. Matricea nu are deoarece diportul nu este simetric (având tronsoane cu lungimi diferite la cele două porţi).

2211 SS =

4.5 Să se calculeze elementele matricei de repartiţie corespunzătoare unei reactanţe paralel , dacă linia de intrare are impedanţa caracteristică

iar linia de ieşire are impedanţa caracteristică Ω= 200X

Ω= 501CZ .1002 Ω=CZ

j X

1T 2T( )1CZ ( )2CZ

1CZ 2CZ

Rezolvare: Folosind drept impedanţă de normare la poarta 1 impedanţa iar la poarta 2 impedanţa , se obţine:

1CZ

2CZ

2 2

2 2

1 111 1

1 1C

C

in CZ Z

in C Z Z

Z ZSZ Z=

=

−= Γ =

+,

104


unde

( )Ω+=+⋅

=+⋅

== 40j80100200j100200j

jj

||j2

21 2

C

CCin ZX

ZXZXZ

reprezintă impedanţa de intrare la poarta 1 calculată cu poarta 2 terminată adaptat, . 22 CZZ =

j X

1T 2T( )1CZ ( )2CZ

2Z2U1U

Rezultă:

( )( ) 37

8j11502j140j502j140j

11+

=+−−−

=S .

Analog, se obţine:

11

1122

22222

CC

ZZCin

CinZZ ZZ

ZZS

== +

−=Γ= ,

unde

Ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

+⋅

=+⋅

==17200j

17800

50200j50200j

jj

||j1

112

C

CCin ZX

ZXZXZ

este impedanţa de intrare la poarta 2 cu poarta 1 terminată adaptat, . 11 CZZ =

j X

1T 2T( )1CZ ( )2CZ

1Z 2inZ

Rezultă:

( )

( ) 374j13

1004j117200j

1004j117200j

22+−

=+−

−−=S .

Pentru , coeficientul de transfer de la poarta 1 la poarta 2, se obţine: 21S

( ) ( )j637

24137

8j111100501

221

211

2

11221 +=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⋅=⋅+⋅==

= CZZC

C

UU

SZZ

SS .

105


Observaţie: Se pot verifica proprietăţile matricelor de repartiţie corespunzătoare diporţilor reciproci, fără pierderi, subţiri. Matricea nu are deoarece diportul nu poate fi considerat simetric (având impedanţe de normare diferite la cele două porţi).

2211 SS =

4.6 Să se determine matricea de repartiţie a unui tronson de linie de lungime l , având impedanţa caracteristică , conectat între o linie de intrare având impedanţa caracteristică şi o linie de ieşire având impedanţa caracteristică

CZ

1CZ .2CZ Cele trei linii de transmisiune sunt fără pierderi.

l

CZ1U 2U

1T 2T( )01Z ( )02Z

1CZ 2CZ

Rezolvare: Parametrii de repartiţie ai liniei se pot determina cu uşurinţă în cazul în care normarea la cele două porţi s-ar face cu impedanţe egale cu impedanţa caracteristică a acestei linii, . ℜ∈== CZZZ 0201

Într-adevăr, urmărind figura, pentru impedanţe de normare egale cu , se scrie:

CZ

221

1

011

01111 0

2022

SZZZZ

ZZZZ

ZZZZ

SCC

CC

ZZCin

Cin

ZZin

in

C

==+−

=+−

=+−

===

,

( ) 12jj

1

211

02

0121 ee11

022

SZZ

UU

SZZ

S ll

C

C

ZZ

==⋅⋅=⋅+⋅= −−

=

ββ

şi deci matricea repartiţie calculată în raport cu impedanţa de normare , , este: CZ ( CZS )

. ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

−

0ee0

j

j

2221

1211l

l

Z SSSS

SC β

β

Matricea S′ corespunzătoare enunţului problemei poate fi obţinută din matricea determinată mai sus, cu ajutorul formulelor de schimbare a impedanţei de normare.

Întrucât noile impedanţe de normare, S

101 CZZ =′ , 202 CZZ =′ , sunt şi ele reale, pot fi utilizate formulele simplificate, valabile pentru diporţi:

( )

DSS

S 222121111

1 Γ−Γ−ΔΓ−=′ ,

( )( )

DS

S22

2112

1211 Γ−Γ−

=′ ,

( )( )

DS

S22

2121

2111 Γ−Γ−

=′ ,

106


( )

DSSS 1112122

221 Γ−Γ−ΔΓ−

=′ ,

unde

0 0

0 0

, 1, 2k k Ck Ck

k k Ck C

Z Z Z Z kZ Z Z Z′ − −

Γ = = ∈′ + +

, [ ] lSSSSS β2j21122211 edet −−=−==Δ

. ( ) lSSD β2j21212111222 e111 −ΓΓ−=ΔΓΓ+=ΔΓ−Γ−Γ−=

Rezultă:

l

l

S β

β

2j21

12j

211 e1

e−

−

ΓΓ−Γ−Γ

=′ ,

( )( )

l

l

SS β

β

2j21

22

21

j

2112 e111e

−

−

ΓΓ−

Γ−Γ−=′=′ ,

l

l

S β

β

2j21

22j

122 e1

e−

−

ΓΓ−Γ−Γ

=′ .

Deşi, în principiu, problema a fost rezolvată, relaţiile de mai sus pot fi puse şi sub o altă formă, calculând

( )( ) ( )[ ] l

llljl

ll β

ββββ

ββ j1212

jj121

2j2

esinjcos2

eeee−

−−−

Γ+Γ−Γ−Γ=

=Γ−Γ=Γ−Γ

( )( ) ( )[ ] l

llll

ll β

ββββ

ββ j2121

jj21

j2j21

esin1jcos12

eeee1−

−−−

ΓΓ++ΓΓ−=

=ΓΓ−=ΓΓ−

( ) ( )[ ] ll ljl ββ ββ j21212

2j1 esincos2e −− Γ+Γ−Γ−Γ=Γ−Γ .

Expresiile parametrilor de repartiţie devin:

( )( ) l

lS

ββ

tg1j1tgj

2121

121211 ΓΓ++ΓΓ−

Γ+Γ−Γ−Γ=′ ,

( )( )

( ) ( ) llSS

ββ sin1jcos111

21

2121

22

21

2112 ΓΓ++ΓΓ−Γ−Γ−

⋅=′=′ ,

( )( ) l

lS

ββ

tg1j1tgj

2121

212122 ΓΓ++ΓΓ−

Γ+Γ−Γ−Γ=′ .

Dacă se înlocuiesc şi , se calculează: 1Γ 2Γ

( )

( )( )CCCC

CCC

CC

CC

CC

CC

ZZZZZZZ

ZZZZ

ZZZZ

++−

=+−

−+−

=Γ−Γ21

12

1

1

2

212

2,

( )

( )( )CCCC

CCC

ZZZZZZZ++

−=Γ+Γ

21

221

122

,

( )

( )( )CCCC

CCC

ZZZZZZZ++

+=ΓΓ−

21

2121

21 ,

( )

( )( )CCCC

CCC

ZZZZZZZ++

+=ΓΓ+

21

221

212

1 ,

107


( )( )( ) ( )22

21

2212

22

116

11CCCC

CCC

ZZZZZZZ++

=Γ−Γ−

şi rezultă:

( ) ( )( ) ( ) lZZZZZZ

lZZZZZZS

CCCCCC

CCCCCC

ββ

tgjtgj

212

12

212

1211 +++

−+−=′ ,

( ) ( )( ) lZZZZlZZZZZZ

SSCCCCCCC

CCC

ββ sinjcos2

2121

212112 ++++=′=′ ,

( ) ( )( ) ( ) lZZZZZZ

lZZZZZZS

CCCCCC

CCCCCC

ββ

tgjtgj

212

21

212

2122 +++

−+−=′ .

4.7 Să se exprime parametrii matricei de repartiţie corespunzătoare unui diport reciproc, subţire şi fără pierderi, în funcţie de:

a) modulul coeficientului de reflexie la intrare, când ieşirea este terminată adaptat; b) faza coeficientului de reflexie la intrare, când ieşirea este terminată adaptat; c) susceptanţa normată paralel, corespunzătoare diportului.

Rezolvare: Considerând matricea repartiţie S de forma

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211SSSSS

pentru diporţii liniari, reciproci, pasivi şi nedisipativi, având impedanţe de normare identice la cele două porţi, pot fi scrise următoarele relaţii: 12

122

11 =+ SS ,

1222

221 =+ SS ,

. 022122111 =+ ∗∗ SSSS Dacă se ţine seama de faptul că diportul este reciproc ( )2112 SS = , din primele două relaţii rezultă: 2211 SS = ,

2112112 1 SSS −== ,

iar din ultima relaţie se obţine

212211

12 22ϕπϕϕ

ϕ =±+

= .

Dacă diportul este subţire atunci tensiunile de la cele două porţi sunt întotdeauna egale între ele, , ceea ce conduce la relaţia: 21 UU = . 21 111S S= + Similar, , 12 221S S= +prin urmare .2211 SS = Sumarizând, în cazul tipului de diport considerat există următoarele relaţii:

108


1221

211 =+ SS (1)

(2) 1121 1 SS += (3) 2211 SS = (4) 2112 SS =care permit determinarea tuturor parametrilor în funcţie de o singură mărime reală. S Egalând modulele şi argumentele relaţiei (2) şi folosind relaţia (1), se obţine:

( ) 1122

112

11112

11 sincos11 ϕϕ SSS ++=− ,

1111

111121 cos1

sinarctg

ϕϕ

ϕS

S+

= ,

de unde rezultă 1111 cosϕ−=S ,

21112πϕϕ ±= .

a) Alegând drept parametru independent 11S , se obţin expresiile:

( )11arccosj112211 e SSSS −== ,

( )11arccosj2112112 e1j SSSS −−±== .

b) Alegând drept parametru independent 11ϕ , rezultă expresiile: , 11j

112211 ecos ϕϕ ⋅−== SSϕ . 11j

112112 esinj ϕ ⋅−== SSc) Deoarece tipul de diport considerat poate fi reprezentat printr-o simplă reactanţă

paralel, notând cu b valoarea susceptanţei normate respective rezultă:

( )22

2arctgj

2210

10111 e

442j

j2j

0202

Sb

bb

bbb

bYYYY

S b

YYin

inYY =

+=

++

=+−

=+−

=Γ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

==

π,

precum şi

( )12

2arctgj

2221 e4

24

j22j2

j1 Sbb

bb

bS b =+

=+−

=+

−=−

.

4.8 Care trebuie să fie distanţa dintre două bobine ideale, conectate în paralel pe o linie de transmisiune având impedanţa caracteristică , pentru ca diportul astfel format să prezinte o atenuare de inserţie nulă la frecvenţa ? Cele două bobine, identice, au inductanţa

Ω= 300CZf MHz100=

μH1=L iar linia, ideală, are ca dielectric aerul. Rezolvare: Condiţia de transmisiune totală (de atenuare nulă) este 121 =S , sau, echivalent, 011 =Sdeoarece diportul este nedisipativ.

109


l

CZ

1T 2T( )0Z ( )0Z

jBjB

Parametrul reprezintă coeficientul de reflexie la poarta 1 când poarta 2 este terminată adaptat, adică

11S

11

1

1

1111

222 1

1

=== +

−=

+−

=Γ=yin

in

YYinC

inCYY y

yYYYY

SC

C

astfel încât condiţia este echivalentă cu 011 =S 111

2=

=yiny (1)

Admitanţa de intrare în linia de lungime terminată pe admitanţa normată în paralel cu conductanţa normată unitate

l bj( )12 =y are expresia:

( ) lblb

lyly

ys

sin β

βββ

tgj1j1tgjj1

tgj1tgj

1 ++++

=++

=′

astfel încât admitanţa normată de intrare în circuitul considerat, cu poarta 2 terminată adaptat este: ( 12 =y ) ( )

( ) llblbby yin βββtgjtg1

tgj1j112 +−

+++=

=.

Condiţia (1) devine: llblblblbb βββββ tgjtg1tgjj1tgtgjj 2 +−=+++−−adică 0tgj2j 2 =− lbb βde unde (soluţia 0=b nu corespunde) rezultă:

b

l 2tg =β ,

deci

Zkkb

l ∈+= unde ,2arctg πβ

respectiv

2

2arctg2

λπλ k

bl += , . Nk ∈

Înlocuind datele numerice ale problemei, rezultă: , Ω=⋅⋅=== − 3,628101022 68

00 ππω LfLX

09,2300

3,628===

CZXx ,

110


1 0,477C

BbY x

= = − = − ,

m310

1038

80 =

⋅==

fc

λ .

Se obţine:

m861,05,1638,023

477,02arctg

23 1=

=⋅+−=+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=k

kklπ

.

Observaţie:1. S-a considerat pentru valoarea care conduce la o lungime l pozitivă dar minimă.

k

2. Determinarea parametrului se poate face şi prin alte metode. De exemplu, se consideră o undă incidentă şi se urmăresc reflexiile repetate, succesive pe diporţii subţiri reprezentaţi de cele două inductanţe. Un alt procedeu constă în determinarea matricei de repartiţie a întregului circuitului prin combinarea matricelor de repartiţie ale diporţilor componenţi, corespunzători inductanţelor şi liniei, diporţi conectaţi în lanţ (în cascadă).

11S

O astfel de metodă este prezentată în cele ce urmează. Circuitul considerat este descompus într-o cascadă de 3 diporţi elementari, primul şi ultimul reprezentând susceptanţa derivaţie iar diportul central – tronsonul de linie fără pierderi (figura 4.8.2).

Determinarea termenilor sau poate fi realizată dacă se cunosc matricile S corespunzătoare diporţilor din figura de mai sus.

11S 21S

Pentru susceptanţa derivaţie, coeficientul de reflexie la poarta 1, cu poarta 2 terminată adaptat este

( )( ) Γ==

+−

=+++−

=+−

==

not

2211

111 j2

jj11j11

11

2

Sb

bbb

yy

Syi

i , (1)

unde este admitanţa normată de intrare la poarta 1 iar 1iy Γ semnifică coeficientul de reflexie al susceptanţei normate b . Coeficientul de transmisie are valoarea 21S . (2) 121121 11 SSS =Γ+=+=Observaţie: În relaţiile (1) şi (2) s-a făcut apel la proprietăţile diportului subţire reprezentat de către susceptanţa derivaţie. Rezultă astfel matricile S corespunzătoare diporţilor terminali, identici:

. [ ] [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΓΓ+Γ+Γ

==1

131 SS

[ ]1S [ ]3S[ ]2S

1a0a 2a 3a

0b 1b 2b 3b

Figura 4.8.2

111


Pentru tronsonul de linie de transmisiune, termenul are valoarea: 11S

2200

00

01

0111 0

02

SZZZZ

ZZZZS

ZZi

i ==+−

=+−

==

, (3)

unde reprezintă impedanţa de intrare la poarta 1 a tronsonului iar este impedanţa de normare la ambele porţi, egală cu impedanţa caracteristică a liniei.

1iZ 0Z

În cazul analizat, coeficientul de transmisie are expresia: 21S

021

221

ZZUU

S=

= ,

unde reprezintă tensiunea la intrarea liniei iar tensiunea la sarcină. 1U 2ULegătura dintre cei doi termeni este dată de distribuţia tensiunii în lungul liniei considerate: , lIZlUU ββ sinjcos 2021 +=în care, exprimând curentul prin sarcină în funcţie de tensiunea la sarcină,

0

222 Z

UZU

IS== ,

se obţine: ϕβββ j

2j

2221 eesinjcos UUlUlUU l ==+=şi deci , (4) 12

j21 e SS == − ϕ

astfel încât matricea S corespunzătoare tronsonului de linie este

. [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

−

0ee0

j

j

2 ϕ

ϕ

S

Având astfel calculate matricile S ale diporţilor constituenţi, matricea repartiţie care descrie proprietăţile circuitului studiat poate fi determinată folosind, de pildă, metoda grafului de fluenţă [6]. Ţinând cont de convenţia folosită pentru desenarea undelor generalizate de putere, rezultă graful asociat structurii analizate, prezentat în figura 4.8.3.

Din definiţia coeficientului de reflexie al circuitului considerat, particularizată conform notaţiilor din figura 4.8.2 şi folosind regula lui Mason, [6], se obţine:

11S

ΓΓΓΓ

0a 0a 1a 2a 3a

0b 1b 2b 3b

ϕje−

3b

1 Γ+1 1+Γ

ϕje−Γ+1 1+Γ 1

Figura 4.8.3

112


Δ

Δ==∑

=

kkk

b

P

ab

S00

011

3

,

unde: k reprezintă numărul căilor între nodurile şi (vezi figura 4.8.3); 0a 0b

kP este transmitanţa unei căi, între nodurile şi ; 0a 0bΔ reprezintă determinantul grafului;

kΔ se obţine din în care nu se iau în considerare termenii ce conţin bucle cu cel puţin un nod comun cu calea “ ”.

Δk

Din graf, rezultă: , ϕ2j2 e1 −Γ−=Δ , 2=k , Γ=1P , ϕ2j2

1 e1 −Γ−=Δ

, ( ) ϕ2j22 e1 −Γ+Γ=P

12 =Δşi deci

( ) ( ) ( )[ ]222j2

2j

2j2

2j22j2

11 e1e211

e1e1e1 SS =

Γ−Γ++Γ

=Γ−

Γ+Γ+Γ−Γ=

−

−

−

−−

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ.

Coeficientul de transfer are expresia: 21S

00

321

3=

=ba

aS .

Conform regulii lui Mason, se calculează: , 1=k , ( ) ϕj2

1 e1 −Γ+=P 11 =Δşi deci

( )1222

j2

21 e1e1 SS j =

Γ−Γ+

=−

−

ϕ

ϕ.

Rezultă în final matricea repartiţie corespunzătoare circuitului din problemă:

[ ]( )[ ] ( )

( ) ( )[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Γ−Γ++Γ

Γ−Γ+

Γ−Γ+

Γ−Γ++Γ

=

−

−

−

−

−

−

−

−

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

2j2

2j

2j2

j2

2j2

j2

2j2

2j

e1e211

e1e1

e1e1

e1e211

S .

Condiţia de atenuare nulă, , conduce la: 011 =S

( )[ ] 0e1

e2112j2

2j=

Γ−Γ++Γ−

−

ϕ

ϕ

,

adică ( )[ ] 0e211 2j =Γ++Γ − ϕ şi întrucât soluţia 0=Γ nu convine (implică 0=b , fals!), rezultă:

113


, ( ) 0e211 2j =Γ++ − ϕ

sau

rad673,2j22

22j e451,0j892,0

44j

44

j2j21

1211e =+−=

+−

+−

=

+−

+

−=

Γ+−

=−

bb

bb

bb

ϕ

adică 3365,1−== lβϕ şi deci

( ) ( ) m861,0233365,1

23

23365,1

2

1==+−=+−=

kkkl

πλ

πλ .

Observaţie: De asemenea, la fel ca la metoda precedentă, s-a considerat pentru valoarea care conduce la o lungime pozitivă dar minimă.

kl

4.9 Să se arate că puterea disponibilă a unui generator

( )2

2

12 G

GdG

aP

Γ−=

nu depinde de impedanţa de normare utilizată la definirea variabilelor de repartiţie. 0Z Rezolvare: Considerând cazul general al unei impedanţe de normare complexe, unda de putere emergentă dintr-un generator, în absenţa oricărei unde incidente, este:

0Z

∗+=

0

0ReZZZE

aG

G

iar coeficientul de reflexie generalizat al generatorului se scrie

∗+

−=Γ

0

0

ZZZZ

G

GG .

Înlocuind în expresia puterii disponibile, se obţine:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 20 0

2 22 20 0 00

0

20

2 2 2 20 0 0 0

2 20

0

Re Re1

22 1

2

2 4 8

dG

G G GG

G

G G G G

G G

E Z E ZP

Z Z Z Z Z ZZ ZZ Z

E R

R R X X R R X X

E R ER R R

∗ ∗

∗

⋅= ⋅ =

⎛ ⎞+ + − −−⎜ ⎟−⎜ ⎟+⎝ ⎠

⋅= =

⎡ ⎤+ + − − − − −⎣ ⎦

⋅= =

⋅ ⋅

=

S-a regăsit astfel o relaţie cunoscută, care exprimă puterea disponibilă a unui generator, evident independentă de impedanţa de normare considerată. 0Z

114


4.10 Să se determine schema echivalentă în T (cu elemente normate) corespunzătoare unui diport reciproc şi fără pierderi conectat între linii de acces identice, fără pierderi, dacă se cunosc:

5

111 =S ;

; 2arctg11 −= πϕ . 2arctg22 −=ϕ Rezolvare: Se calculează mai întâi toate elementele matricei de repartiţie, folosind proprietăţile diporţilor reciproci şi fără pierderi:

5

25111 2

112112 =−=−== SSS ,

5

11122 == SS ,

22

2arctg222

22112112

πππϕϕϕϕ ±

−=±

+== .

Rezultă: 2arctg2112 −== ϕϕsau . 2arctg2112 −== πϕϕÎn primul caz matricea S corespunzătoare diportului considerat este:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−+−

=2j14j24j22j1

51S .

De aici se calculează matricea impedanţă normată, z, cu ajutorul relaţiei: . ( ) ( SSz +⋅−= − 11 1 ) Pentru aceasta, se calculează, pe rând:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=+

j-3j2-1j2-1j2

521 S ,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++−

=−j2j21-j21-j3

521 S ,

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++

=− −

j-3j2-1j2-1j2

j2211 1S .

Se obţine:

. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

=jjj0

z

Schema echivalentă în T, reprezentată în figura 4.10 a, rezultă din relaţiile: , 12111j zzx −= , 12222j zzx −= 123j zx =

115


1j x

3j x

2j x

Figura 4.10 a.

adică, înlocuind cu valorile problemei: , jj 1 =x , 0j 2 =x . jj 3 −=x Se obţine deci schema echivalentă din figura (4.10 b).

j

j−

j−

j

j2−

Similar, considerînd , 2arctg2112 −== πϕϕse obţine o a doua schemă echivalentă, reprezentată în figura (4.10 c). 4.11 Să se calculeze parametrul pentru diportul rezultat prin conectarea în lanţ (în cascadă) a doi diporţi identici, având matricele de repartiţie:

21S

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−+

=4j2j2j24j2

51S ,

în raport cu impedanţa de referinţă . 0Z Rezolvare: Se utilizează schema din figura de mai jos.

Comportarea diportului poate fi descrisă convenabil în cazul conectării în lanţ cu ajutorul matricei de transfer T, definită prin relaţiile:

2T

2T ′′

2T ′

1T ′′1T

1T ′

[ ]S ′ [ ]S ′′

1b 1a

1b′ 1a′

1b ′′ 1a ′′

2a′ 2b′

2a ′′ 2b ′′

2a 2b

116


(2) 2122111 aTbTa += (3) 2222211 aTbTb +=care se pot scrie şi compact, sub formă matriceală, astfel:

. 1 2

1 2

a bb a⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

T

Considerând că cei doi diporţi conectaţi în cascadă au matricele de transfer ′T , respectiv şi observând pe baza schemei din figură că ′′T 11 aa ′= , , 11 bb ′= 1b2a ′′=′ ,

, , 12 ab ′′=′ 2a2a =′′ 22 bb =′′ , se obţine succesiv:

. 1 1 2 1 2

1 1 2 1 2

a a b a b bb b a b a a

′ ′ ′′ ′′⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′ ′ ′′ ′ ′′= = = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥′ ′ ′′ ′′⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

T T T T T T 2

2

Comparând acest rezultat cu expresia scrisă pentru diportul echivalent, având matricea de transfer , T

, 1 2

1 2

a bb a⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

T

se obţine . (4) ′ ′′=T T T În cazul problemei se cunosc şi se cer termeni ai matricelor de repartiţie. Este necesar să se folosească relaţiile de legătură dintre parametrii de repartiţie şi cei de transfer. Deoarece trebuie aflat parametrul , se va exprima acest parametru în funcţie de parametrii de transfer. În acest scop se explicitează din relaţia (2):

21S

2b

211

121

112

1 aTTa

Tb −=

şi se compară cu cea de a doua ecuaţie din cele care caracterizează diportul cu ajutorul parametrilor de repartiţie: (5) 2121111 aSaSb += (6) 2221212 aSaSb +=Rezultă:

11

211

TS = .

Termenul al matricei de transfer a diportului rezultat prin conectarea în lanţ a celor doi diporţi daţi se obţine din relaţia (4)

11T:

. (7) 2112111111 TTTTT ′′′−′′′=Pentru a-l calcula este necesar să se cunoască formulele de trecere de la parametrii la parametrii , şi . Acestea se determină rezolvând în raport cu necunoscutele

şi sistemul format din ecuaţiile (5) şi (6):

S11T 12T 21T

1a 1b

221

222

211

1 aSS

bS

a −= ,

111 2

21 21

detSb bS S

= −S

2a

şi făcând identificarea cu relaţiile (2) şi (3). Astfel, rezultă:

117


21

111

ST = ,

21

2212 S

ST −= ,

21

1121 S

ST = .

Utilizând aceste expresii, relaţia (7) devine:

2121

112211

1SS

SST

′′′′′′−

= ,

de unde se poate determina parametrul cerut în problemă,

1122

2121

1121 1

1SS

SST

S′′′−

′′′== ,

sau, numeric,

65

4j7

54j21

5j2

2

2

21−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=S .

O altă metodă de rezolvare constă în determinarea termenului pe baza grafului de fluenţă asociat circuitului din problemă.

21S

Se reprezintă, în prealabil, cei doi diporţi conectaţi în cascadă şi se desenează în dreptul planelor lor de referinţă undele generalizate de putere (figura 4.11.2).

Corespunzător, graful de fluenţă are forma din figura 4.11.3.

[ ]S [ ]S

2a1a 3a

1b 2b 3b

Figura 4.11.2

Figura 4.11.3

22S22S11S

1a 1a 2a 3a

1b 2b 3b

21S21S1

11S

3b

12S 112S

118


Parametrii repartiţie care apar în figură reprezintă termenii matricei S a celor doi diporţi identici:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

4j2j2j24j2

51

2221

1211

SSSS

S .

Coeficientul de transfer al circuitului, conform notaţiilor din figura 4.11.2, este dat de expresia:

01

321

3=

=ba

aS

şi poate fi determinat folosind regula lui Mason aplicată grafului din figura 4.11.3 (vezi şi problema 4.8). Cu datele problemei, se calculează:

25

16j375

4j2112

2211−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=−=Δ SS ,

, 1=k

25

4j35

j2 22211

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

== SP ,

11 =Δşi se obţine

65

4j7

2516j37

254j3

21−

=−

−

=S .

4.13 Să se calculeze reactanţa normată paralel reprezentată printr-un diport subţire, fără pierderi, dacă pe linia de acces s-a măsurat un raport de undă staţionară

4=σ atunci când diportul era terminat pe o sarcină adaptată.

jb 1Sy =4σ =

iny

Rezolvare: Un diport subţire şi fără pierderi poate fi reprezentat printr-o susceptanţă derivaţie a cărei valoare normată este notată cu b .Dacă diportul este terminat pe o sarcină adaptată, atunci: , byin j1+=deci coeficientul de reflexie de la intrarea lui este:

( )( )

( )211 42j1

j2j

j11j11

11

bb

bb

bb

yy

Sin

in

++

−=+−

=+++−

=+−

==Γ ,

astfel încât raportul de undă staţionară pe linia de acces are expresia:

119


22

2

2

11 441 41

4

bb bb

b b bb

σ+

+ Γ + ++= = =− Γ + −−

+

.

Din această relaţie rezultă:

( )( ) 2

2

2

22 411 4

111

bb

bb +

=−

+⇒

+=

−+

=Γ σ

σσσ ,

adică

σ

σ 1−=b

sau

1

1−

==σσ

bx .

Folosind datele problemei, rezultă că este vorba de o reactanţă normată având modulul:

67,014

4≈

−=x .

Reactanţa poate fi de natură inductivă sau capacitivă. 4.14 Să se determine matricea de repartiţie a unui diport reciproc, pasiv, fără pierderi, simetric, ştiind că faza coeficientului de reflexie la intrare, , este

atunci când diportul este terminat în gol, respectiv atunci când diportul este terminat în scurtcircuit.

1Γo601 =gϕ

o301 −=scϕ

DIPORT

Rezolvare: Coeficientul de reflexie la intrare în poarta 1 a unui diport reciproc are expresia:

S

S

S

S

SS

SSSS

Sab

Γ−Γ

+=Γ−Γ

+==Γ22

212

1122

211211

1

11 11

,

unde

2

2

ba

S =Γ

este coeficientul de reflexie al sarcinii de la poarta 2 a diportului. Deci:

22

212

11111 1 SSS

Sg −

+=Γ=Γ=Γ

,

1Γ

2a

2b

1a

1b SZ

sΓ

120


22

212

11111 1 SSS

Ssc +

−=Γ=Γ−=Γ

.

Ţinând cont şi de condiţia de simetrie, ( )2211 SS = , din aceste relaţii se obţine:

11

11

111

111

11

SS

SS

sc

g

−+

−=−Γ

−Γ,

de unde se poate calcula coeficientul de reflexie , 11S

scg

gscSS11

112211 2 Γ−Γ+

Γ+Γ== .

Deoarece diportul este fără pierderi, 111 =Γ=Γ scg deci rezultă

scg

gsc

SS11

11

jj

jj

2211ee2

eeϕϕ

ϕϕ

−+

+== ,

iar apoi parametrii se obţin cu ajutorul relaţiilor existente între termenii matricei de repartiţie a unui diport reciproc şi fără pierderi.

2112 SS =

Cu datele din problemă, rezultă:

21j

23

23j

212

21j

23

23j

21

ee2

ee

6j

3j

3j

6j

2211

+−++

−++=

−+

+==

−

ππ

ππ

SS ,

adică .

o9,24jrad435,0j2211 e664,0e664,0 −− === SS

Ceilalţi termeni se obţin imediat:

748,0664,011 221121 =−=−= SS ,

rad57,1435,021121 ±−=±=πϕϕ .

Alegând în relaţia precedentă semnul +, rezultă:

o65jrad135,1j2112 e748,0e748,0 === SS

astfel încât, în final, se poate scrie matricea S corespunzătoare diportului considerat:

. [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

−

oo

oo

9,24j65j

65j9,24j

2221

1211

e664,0e748,0e748,0e664,0

SSSS

S

4.15 Într-un cablu coaxial cu aer spaţiul dintre cele două conductoare se umple, pe o lungime , cu un material dielectric fără pierderi. Discontinuitatea astfel formată este măsurată, la frecvenţa

cm5=dGHz1=f , prin metoda deplasării minimelor

obţinându-se la curba experimentală în punctul de inflexiune o pantă a tangentei de valoare 2tg =α . Să se deducă din această măsurătoare permitivitatea electrică relativă a dielectricului folosit.

121


0x0y:1N

Rezolvare: Schema echivalentă a unei porţiuni de ghid incluzând partea cu dielectric este reprezentată în figura 4.15.1, unde, conform metodei de măsură menţionate [5]: 2tg == αN . Pe de altă parte, înlocuind placa printr-un tronson de linie de lungime d , având o altă impedanţă caracteristică, se obţine o a doua schemă, prezentată în figura 4.15.2.

d

0Z 0Z0Z ′

Pentru ca cele două scheme să fie echivalente, este necesar (şi suficient) ca, în cazul ieşirii terminate adaptat, pe linia de intrare să existe acelaşi raport de undă staţionară, adică modulul coeficientului de reflexie să fie acelaşi. Se calculează:

11

2

2

1 +−

=ΓNN ,

( )( )

( )( ) dZZZZ

dZ

dZZZZdZZ

ZdZZdZZ

Z

ZdZZdZZ

Z

ZZZZ

in

in

β

β

ββ

ββββ

220

20

20

20

20

20

20

2000

20

20

000

000

000

000

0

02

tg4

tgZ

tgj2tgj

tgjtgjtgjtgj

′++′

′−=

=′++′

−′=

++′

′+′

−+′

′+′

=+−

=Γ

Constanta de defazare β poate fi exprimată în funcţie de constanta de defazare în spaţiul liber, , 0β

0βεεμωβ r== , iar impedanţa caracteristică este 0Z ′

r

ZZ

ε0

0 =′ .

Înlocuind, se obţine relaţia

122


( )

( )rrr

rr

d

d

NN

εβεε

εβε

02

2

0

2

2

tg1114

tg11

11

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=+−

din care apoi poate fi determinată constanta dielectrică . rε Utilizând datele numerice ale problemei, se obţine:

cm3010

1039

80

0 =⋅

==f

cλ ,

3

53022

00

ππλπβ =⋅== dd ,

31

1212

1tg1tg

11

2

2=

+−

=+−

=+−

αα

NN .

Permitivitatea electrică relativă, , rezultă deci din ecuaţia rε

( )

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=

rrr

rr

επεε

επε

3tg14

3tg1

31

22.

Relaţia precedentă poate fi adusă şi la forma

( )( ) 1 ,1223

tg2 >−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

rrr

rr ε

εεε

επ .

Prin rezolvarea numerică sau grafică se obţin soluţiile: K , 5,10 , 3,7 , 2 321 ≈≈≈ rrr εεεdeci răspunsul nu este univoc. În consecinţă, metoda de măsurare a bazată pe această idee poate fi aplicată numai dacă este apriori cunoscută o valoare aproximativă a constantei dielectrice.

rε

4.16 Se consideră triportul reciproc, pasiv şi nedisipativ având schema cu elemente normate reprezentată în figura de mai jos. Impedanţele de normare la porţi sunt egale cu impedanţa caracteristică, aceeaşi pentru cele trei linii fără pierderi, iar transformatoarele sunt ideale. Să se calculeze parametrii , şi ai triportului. 11S 22S 33S

8λ :1n 1: nj

3 8λ

1T 2T

3T

4λ

123


Rezolvare: Se pleacă de la triportul din figura de mai jos, pentru care se calculează impedanţele de intrare la fiecare poartă în condiţiile în care celelalte porţi sunt terminate adaptat:

:1n 1: nj

1T ′ 2T ′3T ′

( ) 1222

22

113132

j111j=′=′=′=′

′=++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=′

inininin zzinzzin znnn

nz

j2213

21+=′

=′=′ nz

inin zzin

Se determină parametrii de repartiţie 3 ,2 ,1 , ∈′ iSii ai acestui triport:

( )( ) ( ) 22

j1j2

j1j11j1

11

24

22

22

22

22

22

11

111

32++++

=++

+=

+++−++

=+′−′

=′=′=′ nn

nnnn

nnnnnn

zz

Szzin

in ,

, 1122 SS ′=′

22

2j2j2j2

1j2

1j2

11

24

24

22

22

2

2

13

333

21++

+−=

+++−

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+′−′

=′=′=′ nn

nnnnnn

n

nzzS

zzin

in

Dacă se deplasează convenabil planele de referinţă, ale triportului din figura de mai sus se obţine circuitul din problemă. Parametrii săi de repartiţie sunt:

( )221jjeee 24

222

112

j11

822j

112j

11111

+++−

=′−=′=′=′=−−−

nnnnnSSSSS l

πλλπ

β

( )22j1eee 24

222

22j

224

22j22

42j

2222++++

−=′−=′=′=′= −−−

nnnnnSSSSS π

λλπλβ

( )22

2j2jeee 24

42

332

3j33

8322j

338

32j3333

++−+−

=′=′=′=′=−−−

nnnnSSSSS

πλλπλβ

4.17 Pentru măsurarea unei joncţiuni triport reciproce, pasive, fără pierderi, cu plan de simetrie, (porţile 1 şi 2 fiind simetrice) s-a conectat la poarta 3 un scurtcircuit deplasabil. S-a constatat că transmisia de putere între porţile 1 şi 2 este întreruptă atunci când pistonul de scurtcircuit se află la o distanţă de poarta 3, iar atunci când pistonul este la distanţa de aceeaşi poartă puterea este transmisă în întregime (fără reflexii). În această a doua situaţie, defazajul între porţile 1 şi 2 este de π radiani.

cm11 =zcm625,12 =z

Terminând adaptat porţile 2 şi 3, s-a măsurat pe ghidul de intrare un raport de undă staţionară .2=σ

124


Ştiind că toate ghidurile de acces sunt identice şi că lungimea de undă în aceste ghiduri este , să se determine schema echivalentă (normată) a triportului. cm5=gλ Rezolvare: Orice triport pasiv reciproc şi nedisipativ admite schema echivalentă cu elemente normate reprezentată în figura de mai jos.

1l1 :1n 21: nj x

3l

1T 2T

3T

2l

Condiţia de întrerupere a transmisiei de putere între porţile 1 şi 2 se poate scrie sub forma: , ( ) ∞→+ 13tg zlβdeci

( )2

213

πλπ

=+ zlg

,

de unde rezultă

cm25,0145

4 13 =−=−= zl gλ .

Pentru joncţiunile cu plan de simetrie ( )nnn == 21 , transmisia integrală a puterii între porţile 1 şi 2 este condiţionată de relaţia: , ( ) 0tg 23 =++ xzlβde unde rezultă:

( ) ( ) ( ) 1625,125,05

2tg2tgtg 2323 =+−=+−=+−=π

λπβ zlzlxg

.

Conectând la porţile 2 şi 3 sarcini adaptate, impedanţa de intrare normată văzută la poarta 1 este:

( ) xnnxn

nzin22

22

1 j1j11 ++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++= .

astfel încât coeficientul de reflexie are expresia

( )[ ]( )[ ] ( )

( )( ) 22

j1j2j1

j2j

1j11j1

11

24

22

22

2

22

22

22

22

1

11

++++

=+++

=

+++

=+++−++

=+−

=Γ

nnnn

nnn

xnnxnn

xnnxnn

zz

in

in

125


Modulul coeficientului de reflexie este legat de raportul de undă staţionară, prin relaţia:

31

1212

11

1 =+−

=+−

=Γσσ .

Egalând modulele, se obţine:

31

442

224

2=

++ nn

n ,

de unde rezultă . 8,021 === nnn Mai trebuie determinate lungimile . În cazul transmisiei integrale de putere, defazajul dintre porţile 1 şi 2 are expresia simplă

lll == 21

llllgλπβββϕ 22221 ==+=Δ

şi, întrucât radianiπϕ =Δ rezultă

cm.25,145

421 ===== glllλ

4.18 Să se arate că joncţiunea cu 4 porţi, în dublu T, simetrică, poate fi folosită ca punte de microunde, adică alimentând-o la poarta 3 (sau 4) şi conectând un detector adaptat la poarta 4 (respectiv 3), acesta va indica o putere nulă dacă şi numai dacă impedanţele conectate la porţile 1 şi 2 sunt egale între ele. Rezolvare: Matricea de repartiţie a joncţiunii dublu T simetrice are forma:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

441414

331313

14131112

14131211

00

SSSSSS

SSSSSSSS

S

Se consideră un generator aplicat la poarta 3 şi un detector adaptat montat la poarta 4 . Se notează , respectiv , coeficienţii de reflexie ai sarcinilor conectate la porţile 1, respectiv 2. Se scriu relaţiile:

( 04 =a ) 1Γ 2Γ

1111

11 ba

ba

Γ=⇒=Γ (1)

2222

22 ba

ba

Γ=⇒=Γ (1’)

Prima, a doua şi a patra ecuaţie a sistemului aSb ⋅= au expresiile: , (2) 3132121111 aSaSaSb ++= , (3) 3132111122 aSaSaSb ++= . (4) 2141144 aSaSb −=

126


Dacă se scad relaţiile (2) şi (3) şi se ţine seama de egalităţile (1) şi (1’), se obţine:

( )( 2112112

2

1

1 aaSSaa

−−=Γ

−Γ

) .

De aici rezultă imediat faptul că . (5) 2121 aa =⇔Γ=Γ Pe de altă parte, egalitatea se poate scrie sub forma 21 Γ=Γ

11

11

2

2

1

1

+−

=+−

zz

zz

,

ceea ce înseamnă că , (6) 2121 zz =⇔Γ=Γunde şi sunt impedanţele normate de la porţile 1 şi 2. 1z 2z Pe de altă parte, din relaţia (4) rezultă că . (7) 214 0 aab =⇔= În consecinţă, din echivalenţele (5), (6) şi (7) se obţine, concluzia: . 214 0 zzb =⇔=

127

0.1

0.1

0.1

0.2

0.2

0.2

0.3

0.3

0.3

0.4

0.4

0.4

0.50.5

0.5

0.6

0.6

0.6

0.7

0.7

0.7

0.8

0.8

0.8

0.9

0.9

0.9

1.0

1.0

1.0

1.2

1.2

1.2

1.4

1.4

1.4

1.6

1.6

1.6

1.81.8

1.8

2.02.0

2.0

3.0

3.0

3.0

4.0

4.0

4.0

5.0

5.0

5.0

10

10

10

20

20

20

50

50

50

0.2

0.2

0.2

0.2

0.4

0.4

0.4

0.4

0.6

0.6

0.6

0.6

0.8

0.8

0.8

0.8

1.0

1.0

1.01.0

20-20

30-30

40-40

50

-50

60

-60

70

-70

80

-80

90

-90

100

-100

110

-110

120

-120

130

-130

140

-140

150

-150

160

-160

170

-170

180

±

90-9

085

-85

80-8

0

75-7

5

70-7

0

65-6

5

60-6

0

55-5

5

50-50

45

-45

40

-40

35

-35

30

-30

25

-25

20

-20

15

-15

10

-10

0.04

0.04

0.05

0.05

0.06

0.06

0.07

0.07

0.08

0.08

0.09

0.09

0.1

0.1

0.11

0.11

0.12

0.12

0.13

0.13

0.14

0.14

0.15

0.15

0.16

0.16

0.17

0.17

0.18

0.18

0.190.19

0.20.2

0.210.21

0.220.22

0.23

0.230.24

0.240.25

0.25

0.26

0.26

0.27

0.27

0.28

0.28

0.29

0.29

0.3

0.3

0.31

0.31

0.32

0.32

0.33

0.33

0.34

0.34

0.35

0.35

0.36

0.36

0.37

0.37

0.38

0.38

0.39

0.39

0.4

0.4

0.41

0.41

0.42

0.42

0.43

0.43

0.44

0.44

0.45

0.45

0.46

0.46

0.47

0.47

0.48

0.48

0.49

0.49

0.0

0.0

ANG

LE O

F TRA

NS

MIS

SIO

N C

OE

FFICIE

NT IN

DE

GR

EES

ANG

LE O

F RE

FLEC

TION

CO

EFFIC

IEN

T IN D

EG

REES

—>

WA

VE

LEN

GTH

S T

OW

ARD

GEN

ERAT

OR

—>

<— W

AVEL

ENG

THS

TOW

AR

D L

OA

D <

—

IND

UC

TIVE

REA

CTAN

CE C

OMPONENT (+

jX/Zo), OR C

APACITIVE SUSCEPTANCE (+jB/Yo)

CAPACITIVE REACTANCE COMPONENT (-

jX/Zo), O

R INDUCTI

VE S

USCE

PTAN

CE

(-jB/

Yo)

RESISTANCE COMPONENT (R/Zo), OR CONDUCTANCE COMPONENT (G/Yo)

RADIALLY SCALED PARAMETERS

TOWARD LOAD —> <— TOWARD GENERATOR1.11.21.41.61.822.5345102040100

SWR 1¥

12345681015203040dBS

1¥

1234571015 ATTEN. [dB]

1.1 1.2 1.3 1.4 1.6 1.8 2 3 4 5 10 20 S.W. L

OSS C

OEFF

1 ¥

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 20 30

RTN. LOSS [dB] ¥

0.010.050.10.20.30.40.50.60.70.80.91

RFL. COEFF, P0

0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.5 2 3 4 5 6 10 15 RFL. LOSS

[dB]

¥0

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.5 3 4 5 10 S.W. P

EAK (CONST

. P)

0 ¥

0.10.20.30.40.50.60.70.80.91

RFL. COEFF, E or I 0 0.99 0.95 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 TRANSM. C

OEFF, P

1

CENTER1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 TRANSM

. COEFF, E

or I

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

ORIGIN

Nicu

Rectangle

Nicu

Rectangle

Nicu

Rectangle

Nicu

Rectangle

Nicu

Rectangle

Documents

Culegere Probleme Microunde Militaru