Click here to load reader

Culegere Probleme Gimnaziu

  • View
    172

  • Download
    23

Embed Size (px)

DESCRIPTION

probleme de matematica pentru gimnaziu

Text of Culegere Probleme Gimnaziu

ADRIAN STANDreptul de copyright: Cartea downloadat de pe site-ul www.mateinfo.ro nu poate fi publicat pe un alt site i nu poate fi folosit n scopuri comerciale fr specificarea sursei i acordul autorului

Refereni tiinifici:

Prof. gr. I Mnzal Iorgu - inspector de matematic Inspectoratul colar Judeean Buzu Prof. gr. I Stanciu Neculai director Grupul colar Tehnic Sf. Mc. SAVA, Berca

2

BREVIAR TEORETIC

DIVIZIBILITATERelaia de divizibilitate: a # b (sau ba)

c N respectiv Z astfel nct a=bc.

(a se divide cu b) sau (a este divizibil cu b) sau ( b divide pe a) Proprieti: 1. aa , a Z * 2. 1a, a Z 3. ab, bc ac, a, b Z * 4. da,db da+b sau da-b 5. ab, ba a=b , a, b Z * 6. da dabc 7. ad, bd abd, dac a i b sunt prime ntre ele. Descompunerea n factori primi:

......... p k k N Numrul divizorilor lui n N este: N= (a 1 + 1 )(a 2 + 1 )........ (a k + 1 ) . Numrul divizorilor lui n Z este: N=2Na a2 a3 a

n = p1 1 p 2

p3

Numere prime Numim numr prim orice numr natural mai mare dect 1, care are numai divizori improprii-adic pe 1 i pe el nsui.

Criterii de divizibilitate:

3

Criteriul de divizibilitate cu 2 Un numr este divizibil cu 2 dac ultima sa cifr este par. Numerele care sunt divizibile cu 2 se numesc numere pare. Criteriul de divizibilitate cu 5 Un numr este divizibil cu 5 dac ultima sa cifr este 0 sau 5. Criteriul de divizibilitate cu 4 Un numr este divizibil cu 4, dac numrul format de ultimele sale 2 cifre este divizibil cu 4. Criteriul de divizibilitate cu 8 Un numr este divizibil cu 8, atunci cnd n umrul format de ultimele sale 3 cifre este divizibil cu 8. Criteriul de divizibilitate cu 25 Un numr este divizibil cu 25, dac numrul format de ultimele sale 2 cifre este divizibil cu 25, adic dac ultimele sale 2 cifre sunt:00;25;50; 75. Criteriul de divizibilitate cu 125 Un numr este divizibil cu 125, dac numrul format de ultimele sale 3 cifre este divizibil cu 125. Criteriul de divizibilitate cu o putere a lui 10 Un numr este divizibil cu o putere a lui 10, dac ultimele sale n cifre sunt zerouri. Criteriul de divizibilitate cu 3 Un nr.este divizibil cu 3, dac suma cifrelor sale este un numr divizibil cu 3. Criteriul de divizibilitate cu 9 Un numr este divizibil cu 9, daca suma cifrelor sale este divizibil cu 9. Criteriul de divizibilitate cu 6 Un numr este divizibil cu 6, dac este divizibil cu 2 i cu 3. Criteriul de divizibilitate cu 15 Un numr este divizibil cu 15, dac este divizibil cu 5 si cu 3. Criteriul de divizibilitate cu 11 Un numr este divizibil cu 11, dac diferena dintre suma cifrelor situate pe locurile impare si suma cifrelor situate pe locurile pare este un numr divizibil cu 11. Teorema mpririi cu rest n N.

4

Fie a, b N q, r N ,0 r b a. a = b q + r , b 0 Cel mai mare divizor comun al numerelor a i b (c.m.m.d.c) sau (a,b) este cel mai mare numr la care se mpart exact si a si b i este dat de produsul factorilor comuni, luai la puterea cea mai mic. 1) (a;b)=d a=dxa', b=dxb', (a';b')=1 2) (a;b)=d d/a si d/b, oricare ar fi d' a.. d'/a si d'/b=> d'/d Cel mai mic multiplu comun al numerelor a si b (c.m.m.m.c.) sau [a,b] este cel mai mic numr care se mparte exact i la a i la b i este dat de produsul factorilor comuni i necomuni luai la puterea cea mai mare. 1)[a;b]=m m=axm' , m=bxm' 2)[a;b]=m a/m si b/m, oricare ar fi m', a.i. a/m' si b/m'=>m'/m

Relaia dintre c.m.m.m.c i c.m.m.d.c[a,b](a,b)=ab Dac p i q sunt prime atunci p n si q m sunt prime.

MULIMI. OPERAII CU MULIMI

N * = N \ {0} Z = {...... n,.... 3,2,1,0,1,2,3,........., n,.......} Z * = Z \ {0} a Q = a, b Z , b 0 Q* = Q \ {0} b R \ Q = n n 0 nu este patrat perfect R = Q ( R \ Q) = (,+) .N = {0 ,1, 2 ,3,......... .. n ,...... }

Fie A i B dou mulimi. Atunci:

5

A B = x x A sau x B . A B = x x A si x B . A \ B = x x A si x B . AxB = ( x, y ) x A si y B .

Reuniunea mulimilor. Intersecia mulimilor. Diferena mulimilor. Produsul cartezian.

Definiie: Se numete cardinal al unei mulimi finite , numrul de elemente pe care-l are aceasta. Principiul includerii i excluderii: card(A B) =card (A) +card(B) card (AB). Definiie: Se numete submulime al unei mulimi A, orice mulime format cu elementele lui A. Numrul tuturor submulimilor unei mulimi cu n elemente este 2n. FRACII Fracie: Se numete fracie, o expresie de forma numete numrtor iar b se numete numitor. Fracie subunitar: Fracia dac ab saua , b 0 se numete fracie ba 1 . b a c si se numesc echivalente i b dFracii echivalente: Dou fracii scriema c = dac a d = b c . b dA amplifica o fracie cu un numr natural, diferit de 0, nseamn a nmuli att numrtorul ct i numitorul, cu acel numr.a am = , b 0, m 0. b bmA simplifica o fracie cu un numr natural, diferit de 0, nseamn a mpri att numrtorul, ct i numitorul la acel numr.a a:m = , b 0, m 0. b b:mFracie ireductibil: Fraciaa , b 0 se numete bireductibil,dac nu se mai poate simplifica adic c.m.m.d.c(a,b)=1. Compararea fraciilor:a c a c b bNumr raional :a a b c b ca c a d b c b d a i bSe numete numr raional , numrul reprezentat prin fracia toate fraciile echivalente cu aceasta.;Operaii cu numere fracionare: Pentru a aduna sau scdea numere fracionare reprezentate prin numitori diferii se aduc fraciile la7acelai numitor prin amplificarea fiecrei fracii cu ctul dintre c.m.m.m.c al numitorilor i numitorul fraciei respective.a c a + c a c ac a c a d ; ; + = : = ; = b b b b d bd b d b c 0 m n m+ n a a a a = 1; = ; b b b bm n mnnmn 1 a m b a a ; = ; = a b b b b ac + b ; Introducerea unui ntreg n fracie: a = c ca a a : = b b bFracii zecimale: - Fracii zecimale: finite: {0,5;1,45;2,5;0,12345;......} Transformarea fraciilor zecimale n fracii ordinare:a, b =1, (3);21,3(5);2,3(4)......} - fracii zecimale -periodice: { Transformarea fraciilor zecimale periodice n fracii ordinare:ab ; 10a, bc =abc ; 100ab a abc a ; a, (bc) = ; 9 99 abc ab abcd ab a, b(c ) = ; a, b(cd ) = ; 90 990 a, (b) =Scrierea n baza zece:abcd = a 103 + b 102 + c 10 + dsutelor; c-cifra zecilor; d-cifra unitilor;a-cifra miilor;b-cifraa, efg = a 10 + e 101 + f 102 + g 103 = = a 10 + e 0.1 + f 0.01+ g 0.001a-cifra unitilor, e-cifra zecimilor; miimilor. f-cifra sutimilor; g-cifra8Aflarea unei fracii dintr-un numr :a a din x = x ; b ba c a c ac din ; = = b d b d bdProcente: Un raport n care numitorul este 100, se numete raport procentual si se noteaz de formap 1 = p 0 0 ; (sau p ) 100 100 a p a 1 a sau p = b 100 b 100 bp 0 0 din x =p x; 100p 0 0 dinOperaii cu fracii zecimale: La adunarea sau scderea fraciilor zecimale finite, numerele trebuie aezate astfel nct virgula s fie sub virgul. La nmulirea cu 10, 100, 1000 a unei fracii zecimale finite se deplaseaz virgula spre dreapta cu 1,2,3 cifre. La mprirea cu 10,100,1000, a unei fracii zecimale finite se deplaseaz virgula spre stnga cu 1,2,3 cifre. La nmulirea fraciilor zecimale finite, efectum nmulirea obinuit dup care punem virgula de la dreapta spre stnga dup un numr de zecimale egal cu numrul de cifre zecimale ale celor dou numere; La mprirea fraciilor zecimale finite se vor nmulii ambele numere cu puteri ale lui 10 astfel nct s mprim numere fr virgul.9Ultima cifr a unui numrU(cn) 1n 2n 3n 4n 5n 6n 7n 8n 9nU (abc ) = U (c n )n=4k+2 1 4 9 6 5 6 9 4 1 n=4k+3 1 8 7 4 5 6 3 2 9 n=4k 1 6 1 6 5 6 1 6 1nn=4k+1 1 2 3 4 5 6 7 8 9Proporii: Egalitatea a dou rapoarte se numete proporie: Proprietatea fundamental a proporiilor: Proporii derivate:a c = a d = bc b da c a b ab cd a b = , = = = b d ba d b b d c d 2 2 a c a c a a+c = = 2 = 2 b:m d :m b b+c b d am cm a c a a+c = = = b d b:m d :m b b+c am cm = b da ca = b d ba c = b:m d :m10Sir de rapoarte egale: Mrimile (a1,a2,a3,......, an ) i ( b1,b2,....,bn ) sunt direct proporionalea a1 a 2 = = ....... n b1 b2 bn(b1,b2,....,bn ) sunt invers Mrimile (a1,a2,a3,......, an ) i proporionale a1 b1 = a 2 b2 = .....a n bnProbabilitiProbabilitatea realizrii unui eveniment este dat de raportul dintre numrul cazurilor favorabile realizrii evenimentului i numrul cazurilor egal posibile. Modulul numerelor reale Proprieti: a, 0, a, a0 a = 0 a 0adef1. a 0, 3. a = a ,a R ;2. a = 0, 4. a = b , 6. a = 0;a R ; a = b ;5. a b = a b ; 7.a a = ; b0 b bxn=xn, x R , n N8.a b a + b , a, b R9. a b a b a + b ; a , b R1110. x = a, 11. x a, 12. x = a,a 0 ; a 0 ;, a, b R ; x [ a, a ],max (a, b) = min (a, b) =a+b+ ab2 a+b ab213. x a, x [, a ] [a,+],a 0 ;14. a1 a 2 ... a n a1 + ... + a n , in R .Fie a R, n ZPuteri cu exponent ntrega n defa a a ...... a n factoriFie a, b R, a, b 0, m, n Z *1. a o = 1; a 1 = a;0 n = 0; 2. a m + n = a m a n 3. ( a b ) = a bn n n5 . ( a m ) n = a m n 6. a n =n1 anan a 7. = n b b 8. a m = a n m = n.nam 4. n = a m n ; a 1, n par 9. (-1) = 1, n impar na 10. bb = an12Proprietile radicalilorFie a , b R1. 2. 3. 4. 5.+a 2 = a 0,a b = a b a bn=a , b0 bn n 2a = ( a) = a a b =a + a2 b a a2 b 2 2(formula radicalilor dubli)unde a-b=k . 6. Dac 7. a b = 8.a N a = k2a 2ba 2b = a b9. x a y b = xy ab 10. x a y a = ( x y ) a 11.x a y b=n12. x a 13. Fie( )x ya , y, b 0 b= xn an a= m Q m = n = 0 na R \ Q . Atunci14. Dac m, n Q i a nu e ptrat perfect im+n a =0m= n =0 15. Dac a, b N i a + b Q a N , b N16. Dac a i b nu sunt ptrate perfecte a + b Q13Q+ i , Q a.. a + b Q a Q , b Q 18. Dac a, b Q a.. b R \ Q +17. Dac a, b ++a b R \ Q ia bR\Q19. Dac a Qi b R \ Q a + b R \ Q ia bR \QRaionalizrix a x=x a , a =x a b=x b ab x = x( a + b ) a2 ba+ bMediix(a b ) , a2 ba bx+ y 2 Media geometric m g = x y , x, y R * +Media aritmetic ma = Media ponderat m p =px+q y ; p, q N * ponderile p+q 2 2 xy * Media armonic m h = , x, y R = 1 1 x+ y + x y14ECUAIIb a x + b = 0 a x = b x = , a 0. a 2 x = a x = a , a 0. ;a x 2 + b x + c = 0 x1, 2 = b b 2 4ac 2aa 0.