1

Prof. Aura Ignat

CULEGERE MATEMATICĂ

Teste sumative

Clasa a X-a

VOLUMUL I

ISBN 978-606-671-779-3 Editura Sfântul Ierarh Nicolae

2014

2

Referent ştiinţific Prof. Dr. Mihaela Cojocaru

3

Cuprins

Noţiuni introductive

Programa școlară clasa a X-a…………………………......................4

Planificare calendaristică orientativă…………………………….…..8

Calcule cu puteri şi radicali ………………………………...........................17

Logaritmi ………………………………………….……..............................20

Proprietăţi ale funcţiilor……………..………………….…..........................22

Funcţia putere şi funţia radical. Ecuaţii iraţionale………............................ 25

Funcţia exponenţială şi funcţia logaritmică.

Ecuaţii exponenţiale şi logaritmice…………………….……………….......27

Funcţii trigonometrice directe şi inverse ………………...............................29

Numere complexe ……………………………………................................ 32

Elemente de combinatorică …………………………….............................. 34

Geometrie……………………………………………….…......................... 36

Matematici financiare …………………………………….......................... 38

Recapitulare finală: Teste Evaluare în educaţie la matematică………….....40

Bibliografie ..………………………………………………………............ 43

4

Noţiuni introductive Programa scolara clasa a X-a

COMPETENŢE GENERALE

1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în

care au fost definite

2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri

matematice

3. Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau

globală a unei situaţii concrete

4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situaţii

concrete şi a algoritmilor de prelucrare a acestora

5. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii-problemă

6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea

cunoştinţelor din diferite domenii

VALORI ŞI ATITUDINI

Dezvoltarea unei gândiri deschise, creative, a independenţei în gândire şi acţiune

Manifestarea iniţiativei, a disponibilităţii de a aborda sarcini variate, a tenacităţii, a perseverenţei şi a capacităţii de concentrare

Dezvoltarea simţului estetic şi critic, a capacităţii de a aprecia rigoarea, ordinea şi eleganţa în arhitectura rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii

Formarea obişnuinţei de a recurge la concepte şi metode matematice în abordarea unor situaţii cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice

Formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională

5

TRUNCHI COMUN ŞI CURRICULUM DIFERENŢIAT – 3 ore

COMPETENŢE SPECIFICE ŞI CONŢINUTURI

Competenţe specifice Conţinuturi

1. Identificarea caracteristicilor tipuri de numere

utilizate în algebră şi formei de scriere a unui număr real sau complex în contexte specifice.

2. Compararea şi ordonarea numerelor reale utilizând metode variate.

3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului puteri, radicali, logaritmi sau numere complexe în contexte variate.

4. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real sau complex în vederea optimizării calculelor.

5. Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor.

6. Determinarea unor analogii între proprietăţile operaţiilor cu numere reale şi complexe scrise în forme variate şi utilizarea acestora în rezolvarea unor ecuaţii.

Mulţimi de numere Numere reale: proprietăţi ale puterilor cu

exponent raţional, iraţional şi real ale unui număr pozitiv, aproximări raţionale pentru numere iraţionale sau reale.

Radical dintr-un număr raţional (ordin 2 sau 3), proprietăţi ale radicalilor.

Noţiunea de logaritm, proprietăţi ale logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaţia de logaritmare.

Mulţimea C: Numere complexe sub forma algebrică, conjugatul unui număr complex operaţii cu numere complexe. Interpretarea geometrică a operaţiilor de adunare şi scădere a numerelor complexe şi a înmulţirii acestora cu un număr real.

Rezolvarea în C a ecuaţiei de gradul al doilea cu coeficienţi reali. Ecuaţii bipătrate.

1. Trasarea prin puncte a graficelor unor funcţii. 2. Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin graficul

unei funcţii în scopul deducerii unor proprietăţi algebrice ale acesteia (monotonie, semn, bijectivitate, inversabilitate, continuitate, convexitate).

3. Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în trasarea graficelor şi rezolvarea de ecuaţii

4. Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete şi reprezentarea prin grafice a unor funcţii care descriu situaţii practice

5. Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor

6. Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi inversabilitate în trasarea unor grafice şi în rezolvarea unor ecuaţii algebrice.

Funcţii şi ecuaţii Funcţia putere cu exponent natural f: R→D, f(x)=xn şi n ≥ 2 Funcţia radical f: D→R, f(x)= n x , n=2,3

unde D = [0, ∞) pentru n par şi D= R pentru n impar.

Funcţia exponenţială f : R→ ( 0;∞ ), f(x)=ax, a є ( 0;∞ ), a ≠ 1 şi funcţia logaritmică f : ( 0;∞ ) →R, f(x) =logax, , a є ( 0;∞ ), a ≠ 1, creştere exponenţială, creştere logaritmică .

Funcţii trigonometrice directe şi inverse Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate,

Funcţii inversabile:definiţie, proprietăţi grafice, condiţia necesară şi suficientă ca o funcţie să fie inversabilă.

Rezolvări de ecuaţii folosind proprietăţile funcţiilor:

- Ecuaţii iraţionale ce conţin radicali de ordinul 2 sau 3;

- Ecuaţii exponenţiale, ecuaţii logaritmice

Notă: Pentru toate tipurile de funcţii se vor studia: intersecţia cu axele de coordonate, ecuaţia f(x)=0, reprezentarea grafică prin puncte, simetrie, lectura grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor: monotonie, bijectivitate, inversabilitate, semn, concavitate/convexitate.

6

Competenţe specifice Conţinuturi 1. Diferenţierea problemelor în funcţie de

numărul de soluţii admise. 2. Identificarea tipului de formulă de numărare

adecvată unei situaţii –problemă date. 3. Utilizarea unor formule combinatoriale în

raţionamente de tip inductiv. 4. Exprimarea caracteristicilor unor probleme în

scopul simplificării modului de numărare. 5. Interpretarea unor situaţii problemă cu

conţinut practic cu ajutorul elementelor de combinatorică.

6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor situaţii practice în scopul optimizării rezultatelor.

Metode de numărare

Metoda inducţiei matematice Mulţimi finite ordonate Permutări – numărul de mulţimi ordonate

cu n elemente care se obţin prin ordonarea unei mulţimi finite cu n elemente

Aranjamente – numărul submulţimilor ordonate cu câte m elemente fiecare, m≤n care se pot forma cu cele n elemente ale unei mulţimi finite

Combinări – numărul submulţimilor cu câte k elemente, unde 0 ≤k ≤ n ale unei mulţimi finite cu n elemente, proprietăţi: formula combinărilor complementare, numărul tuturor submulţimilor unei mulţimi cu n elemente.

Binomul lui Newton

1. Recunoaşterea unor date de tip probabilistic sau

statistic în situaţii concrete. 2. Interpretarea primară a datelor statistice sau

probabilistice cu ajutorul calculului financiar, a graficelor şi diagramelor.

3. Utilizarea unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabilităţilor pentru analiza de caz.

4. Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace statistice, probabilistice a unor probleme practice.

5. Analiza şi interpretarea unor situaţii practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabilistice.

6. Corelarea datelor statistice sau probabilistice în scopul predicţiei comportării unui sistem prin analogie cu modul de comportare în situaţii studiate.

Matematici financiare

Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA.

Culegerea, clasificarea şi prelucrarea datelor statistice: date statistice, reprezentarea grafică a datelor statistice.

Interpretarea datelor statistice prin parametrii de poziţie: medii, dispersia, abateri de la medie.

Evenimente aleatoare egal probabile, operaţii cu evenimente, probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile.

Variabile aleatoare. Probabilităţi condiţionate. Dependenţa şi independenţa evenimentelor, scheme clasice de probabilitate : schema lui Poisson şi schema lui Bernoulli.

Notă: Aplicaţiile vor fi din domeniul financiar:

profit, preţ de cost al unui produs, amortizări de investiţii, tipuri de credite, metode de finanţare, buget personal, buget familial.

1. Descrierea unor configuraţii geometrice analitic

sau utilizând vectori. 2. Descrierea analitică, sintetică sau vectorială a

relaţiilor de paralelism şi perpendicularitate. 3. Utilizarea informaţiilor oferite de o configuraţie

Geometrie Reper cartezian în plan, coordonate

carteziene în plan, distanţa dintre două puncte în plan.

Coordonatele unui vector în plan, coordonatele sumei vectoriale, coordonatele

7

Competenţe specifice Conţinuturi geometrică pentru deducerea unor proprietăţi ale acesteia şi calcul de distanţe şi arii.

4. Exprimarea analitică, sintetică sau vectorială a caracteristicilor matematice ale unei configuraţii geometrice.

5. Interpretarea perpendicularităţii în relaţie cu paralelismul şi minimul distanţei.

6. Modelarea unor configuraţii geometrice analitic, sintetic sau vectorial.

produsului dintre un vector şi un număr real. Ecuaţii ale dreptei în plan determinată de

un punct şi de o direcţie dată şi ale dreptei determinată de două puncte distincte, calcule de distanţe şi arii.

Condiţii de paralelism, condiţii de perpendicularitate a două drepte din plan, calcule de distanţe şi arii.

8

Clasa a X-a Disciplina: Matematică M_tehnologic Anul şcolar:

Nr. ore: 3 ore / săptămână PLANIFICARE CALENDARISTICĂ ORIENTATIVĂ

UNITATE DE

ÎNVĂŢARE COMPETENŢE SPECIFICE VIZATE CONŢINUTURI

NR. ORE

SAPTAMANA

OBS.

Recapitulare

7.Trasarea prin puncte a graficelor unor funcţii.

8.Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin graficul unei funcţii în scopul deducerii unor proprietăţi algebrice ale acesteia (monotonie, semn, bijectivitate, inversabilitate, continuitate, convexitate). 3.Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în trasarea graficelor şi rezolvarea de ecuaţii

-Recapitulare cls a IX-a: - progresii aritmetice;geometrice; - functii, semnul functiei, graficul functiei, --minimul/maximul functiei; -Ecuatii;Inecuatii - Evaluare Initiala

1

1

1

2

1

1. Numere reale

Calcule cu puteri şi radicali

1.Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră şi formei de

scriere a unui număr real în contexte specifice;

2.Compararea şi ordonarea numerelor reale utilizând metode variate;

3.Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu puteri, radicali sau logaritmi pe

contexte variate; 4.Alegerea formei de reprezentare a unui

număr real în vederea optimizării calculelor ; 5.Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea

optimizării calculelor;

6.Analiza validității unor afirmații prin

- Proprietăţi ale puterilor cu exponent raţional, iraţional şi real ale unui număr pozitiv; - Aproximări raţionale pentru numere iraţionale sau reale; - Radical dintr-un număr raţional (ordin 2 sau 3), proprietăţi ale radicalilor; -Aplicatii proprietati ale puterilor ;ale radicalilor - Evaluare.

1

1

1

1

1

9

utilizarea aproximărilor, a proprietăților sau a

regulilor de calcul; 7.Determinarea unor analogii între

proprietăţile operaţiilor cu numere reale scrise în forme variate şi utilizarea acestora

la rezolvarea unor ecuaţii.

Logaritmi

1.Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră şi formei de

scriere a unui număr real în contexte specifice;

2.Compararea şi ordonarea numerelor reale utilizând metode variate;

3.Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu puteri, radicali sau logaritmi pe

contexte variate; 4.Alegerea formei de reprezentare a unui număr real în vederea optimizării calculelor ;

5.Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor;

6.Analiza validității unor afirmații prin

utilizarea aproximărilor, a proprietăților sau a

regulilor de calcul; 7.Determinarea unor analogii între

proprietăţile operaţiilor cu numere reale scrise în forme variate şi utilizarea acestora

la rezolvarea unor ecuaţii.

- Noţiunea de logaritm, conditii de existenta - Proprietăţi ale logaritmilor; - Calcule cu logaritmi, operaţia de logaritmare; -Aplicatii; - Evaluare.

1

1

2

2

1

10

Proprietăţi ale funcţiilor (recapitu-

lare şi completări

1.Exprimarea relațiilor de tip funcțional în

diverse moduri; 2.Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin grafi-cul unei funcţii în scopul deducerii

unor proprietăţi algebrice ale acesteia; 3.Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în trasarea graficelor şi rezolvarea de ecuaţii; 4.Exprimarea în limbaj matematic a unor

situaţii concrete şi reprezentarea prin grafice a unor funcţii care descriu situaţii

practice; 5.Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a

pro-prietăţilor algebrice ale funcţiilor ; 6.Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi in-versabilitate în trasarea unor grafice şi în rezolvarea unor ecuaţii algebrice.

- Funcţii: recapitulare şi completări; - Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate, - Funcţii inversabile, inversa unei functii: definiţie, proprietăţi grafice, -Condiţia necesară şi suficientă ca o funcţie să fie inversabilă. - Aplicatii -Evaluare;

1

2

1

1

1

1

Funcţia putere şi funţia radical. Ecuaţii

iraţionale

1.Exprimarea relațiilor de tip functional în

diverse moduri; 2.Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin grafi-cul unei funcţii în scopul deducerii

unor proprietăţi algebrice ale acesteia; 3.Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în trasarea graficelor şi rezolvarea de ecuaţii; 4.Exprimarea în limbaj matematic a unor

situaţii concrete şi reprezentarea prin grafice a unor funcţii care descriu situaţii

practice; 5.Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a

- Funcţia putere -Funcţia radical; - Rezolvări de ecuaţii iraţionale ce conţin radicali de ordinul 2 sau 3 - Aplicatii - Evaluare.

1

1

2

2

1

11

pro-prietăţilor algebrice ale funcţiilor ; 6.Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi inversabilitate în trasarea unor grafice şi în rezolvarea unor ecuaţii algebrice.

Evaluare semestrială

1.Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care

au fost definite; 2.Prelucrarea datelor de tip cantitativ,

calitativ, structural,contextual cuprinse în enunţuri matematice;

3.Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor mate-matice pentru caracterizarea locală

sau globală a unei situaţii concrete; 4.Exprimarea caracteristicilor matematice canti-tative sau calitative ale unei situaţii concrete şi a algoritmilor de prelucrare a

acestora; 5.Analiza şi interpretarea caracteristicilor

mate-matice ale unei situaţii problemă; 6.Modelarea matematica a unor contexte

proble-matice variate, prin integrarea cunoştinţelor din dife-rite domenii.

- Recapitulare pentru teză; -Teză; - Discutarea tezei . .

2

1

1

Funcţia exponenţială

şi funcţia logaritmică.

Ecuaţii exponenţiale şi logaritmice

1.Exprimarea relatiilor de tip functional în diverse moduri;

2.Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin grafi-cul unei funcţii în scopul deducerii

unor proprietăţi algebrice ale acesteia; 3.Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în trasarea graficelor şi rezolvarea de ecuaţii; 4.Exprimarea în limbaj matematic a unor

situaţii concrete şi reprezentarea prin grafice a unor funcţii care descriu situaţii

practice; 5.Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a

pro-prietăţilor algebrice ale funcţiilor ; 6.Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi in-versabilitate în trasarea unor grafice

- Funcţia exponenţială -Funcţia logaritmică; - Creşteri liniare, exponenţiale, - Creşteri logaritmice; - Ecuaţii exponenţiale, -Ecuaţii logaritmice; -Aplicatii; ec. exponentiali, ec. logaritmice

1 1

1 1

2 2

1

12

şi în rezolvarea unor ecuaţii algebrice.

- Evaluare 1

3. Numere complexe sem II

Înmulţirea numerelor complexe

1.Identificarea caracteristicilor tipurilor de nu-mere utilizate în algebră şi formei de scriere a unui număr complex în contexte specifice; 2.Determinarea echivalenţilor între forme dife-rite de scriere a unui număr; 3.Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu numere complexe în contexte variate;

- Numere complexe sub formă algebrică, conjugatul unui număr complex; - Operaţii cu numere complexe sub formă algebrică; - Rezolvarea în C a ecuaţiei de gradul al doilea cu coeficienţi reali;

1

1

1

4.Alegerea formei de reprezentare a unui număr complex în vederea optimizării calculelor; 5.Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor; 6.Determinarea unor analogii între proprietăţile operaţiilor cu numere complexe scrise în forme variate şi utilizarea acestora în rezolvarea unor ecuaţii.

-Ecuaţii bipătrate. -Aplicatii:operatii cu nr. complexe, ec. de gr. al II lea,ecuatii bipatrate -Evaluare

1

1

1

Interpretarea geometrică a numerelor complexe

1.Identificarea caracteristicilor tipurilor de nu-mere utilizate în algebră şi formei de scriere a unui număr complex în contexte specifice; 2.Determinarea echivalenţilor între forme dife-rite de scriere a unui număr; 3.Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu numere complexe în contexte

- Interpretarea geometrică a operaţiilor de adunare şi scădere a numerelor complexe şi a înmulţirii acestora cu un număr real; -Aplicatii - Evaluare

1

1

1

13

variate; 4.Alegerea formei de reprezentare a unui număr complex în vederea optimizării calculelor; 5.Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor; 6.Determinarea unor analogii între proprietăţile operaţiilor cu numere complexe scrise în forme variate şi utilizarea acestora în rezolvarea unor ecuaţii.

4. Metode de numărare

14

Elemente de combinato-

rică

1.Diferenţierea problemelor în funcţie de numă-rul de soluţii admise; 2.Identificarea tipului de formulă de numărare adecvată unei situaţii problemă date; 3.Utilizarea unor formule combinatoriale în raţio-namente de tip inductiv; 4.Exprimarea caracteristicilor unor probleme în scopul simplificării modului de numărare; 5.Interpretarea unor situaţii problemă cu conţinut practic cu ajutorul elementelor de combinatorică; 6.Alegerea strategiilor de rezolvare a unor situaţii practice în scopul optimizării rezultatelor.

- Metoda inducţiei matematice; - Mulţimi finite ordonate; - Permutări ; - Aranjamente ; - Combinări; -Proprietăţi: formula combinărilor complementare, numărul tuturor submulţimilor unei mulţimi cu n elemente; - Binomul lui Newton; -Aplicatii; - Evaluare.

1

1

1

1

2

1

1

2

1

5. GEOMETRIE

1.Descrierea unor configuraţii geometrice ana-litic sau utilizând vectori; 2.Descrierea analitică, sintetică sau vectorială a relaţiilor de paralelism şi perpendicularitate;

3.Utilizarea informaţiilor oferite de o configu-raţie geometrică pentru deducerea unor pro-prietăţi ale acesteia şi calcul de distanţe şi arii; 4.Exprimarea analitică, sintetică sau vectorială a caracteristicilor matematice ale unei configuraţii geometrice; 5.Interpretarea perpendicularităţii în relaţie cu paralelismul şi minimul distanţei;

- Reper cartezian în plan, coordonate carteziene în plan, distanţa dintre două puncte în plan; - Coordonatele unui vector în plan, coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector şi un număr real; - Ecuaţii ale dreptei în plan determinate de un punct şi de o direcţie dată şi ale dreptei determinată de două

1

1

2

15

6.Modelarea unor configuraţii geometrice anali-tic, sintetic sau vectorial.

puncte distincte; - Condiţii de paralelism, condiţii de perpendicularitate a două drepte din plan ; - Calcule de distanţe şi arii ; -Aplicatii - Evaluare.

2

1

1

1

Elemente de calcul

financiar şi date statistice

1.Recunoşterea unor date de tip probabilistic sau statistic în situaţii concrete; 2.Interpretarea primară a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului financiar, a graficelor şi diagramelor; 3.Utilizarea unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabilităţilor pentru analiza de caz; 4.Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace statistice, probabilistice a unor probleme practice ; 5.Analiza și interpretarea unor situații practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabilistice; 6.Corelarea datelor statistice sau probabilistice în scopul predicţiei comportării unui sistem prin analogie cu modul de comportare în situaţii studiate.

- Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA; - Culegerea, clasificarea şi prelu-crarea datelor statistice: date statistice, reprezentarea grafică a datelor statistice; - Interpretarea datelor statistice prin parametrii de poziţie: medii, dispersia, abateri de la medii; - Evaluare.

3

1

1

1

Evaluare semestrială

1.Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite; 2.Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural,contextual cuprinse în enunţuri matematice; 3.Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor mate-matice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete; 4.Exprimarea caracteristicilor matematice canti-tative sau calitative ale unei situaţii concrete şi a algoritmilor de prelucrare a acestora; 5.Analiza şi interpretarea caracteristicilor mate-matice ale unei situaţii problemă;

- Recapitulare pentru teză; -Teză; - Discutarea tezei . .

2

1

1

16

6.Modelarea matematica a unor contexte proble-matice variate, prin integrarea cunoştinţelor din dife-rite domenii.

Elemente de probabilitate

1.Recunoşterea unor date de tip probabilistic sau statistic în situaţii concrete; 2.Interpretarea primară a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului financiar, a graficelor şi diagramelor; 3.Utilizarea unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabilităţilor pentru analiza de caz; 4.Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace statistice, probabilistice a unor probleme practice; 5.Analiza și interpretarea unor situații practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabilistice; 6.Corelarea datelor statistice sau probabilistice în scopul predicţiei comportării unui sistem prin analogie cu modul de comportare în situaţii studiate.

- Evenimente aleatoare egal probabile, operaţii cu evenimente, probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile; -Probabilităţi; Variabile aleatoare; Probabilităţi condiţionate; - Dependenţa şi independenţa evenimentelor; Scheme clasice de probabilitate; - Evaluare

2

2

1

1

17

Calcule cu puteri şi radicali TEST 1

Sub I: Încercuiţi răspunsul corect 1. Rezultatul înmulţirii 1 3 23 3 g este:

A. 03 B. 4

33

C. 3

43

D. 43 3

2 Expresia 1 222 este :

A. 0,75 B. 32

C. 12

D. 2

3. Rezultatul adunarii 3 3 5 2 27 este :

A.- 5 2 B 5 2 C 2 5 D -2 5 4. Comparând numerele ordinea crescătoare este: A x<y<z B x>y>z C y>z<x D x>y<z 5. Mulţimea valorilor reale ale lui pentru care este definită următoarea expresie:

:

A 1,2

x B. 1,

2x

C 1 ,2

x D 1 ,

2x

6 Rezultatul calcului este :

A 316 2 B- 317 2 C 317 2 D - 316 2

SUB II Rezolvaţi exerciţiile:

1. Stabiliţi dacă este număr iraţional.

2. Să se raţionalizeze numitorii:

a)

18

b) .

3. Scoateţi de sub radical: , ,

4. Să se arate că expresia

TEST 2

1. Să se calculeze:

I. 43

32

6252584

II. 32

43

644819

2. Scoateţi factorii de sub radical şi calculaţi: (6 puncte)

I. 333 1285416 II. 333 1928124

3. Scrieţi expresia sub formă de un radical:

3

23

a axa

4. Scrieţi sub formă de putere cu exponent real expresia şi determinaţi valoarea de adevăr

a propoziţiei:

I. 12111

5,1

43

65

aa

aa

5. Logaritmaţi în baza dată expresia dată:

I. 3 2

4

aaax

, în baza 2;

6. Raţionalizaţi numitorul fracţiei:

I. a) 3 10020

; II. b) 104 2

7. Determinaţi (prin potenţiere) x din expresiile cu logaritmi:

19

I. 35log935log6log2log 2222 x

8. Aduceţi a o formă mai simplă expresia:

I. 21

23

23

12

1

xyyxyxyxE .

20

Logaritmi

TEST 1

Sub I: Completaţi spaţiile punctate:

1. Rezultatul calculului 15625log5 este …………………………………………

2. Domeniul de definiţie al logaritmului 22log 4x este……………………..

3. Dacă a12log3 atunci 18log3 este egal ………………………….............. 4. Rezultatul expresiei log 5 10 + log 5 3 - log 5 6 este ...................................... 5. Utilizând logaritmii, din expresia =64, x este egal ……………………….. 6. Utilizând puterile ,logaritmul log49 este egala cu …………………………….

SUB II : Rezolvaţi aplicaţiile

1. Verificaţi dacă lg 2 lg 3 lg 4 lg 6 0 .

2. Calculaţi: 2010

5 5 5 21 2 24log log ... log .log 42 3 25

.

3. Să se determine x ¡ pentru care sunt definiţi logaritmii:

a) log 4x x ;

b) 22log 3 2x x

4. Compară numerele: 3log 3 9 27 81a şi 2log 4 8 16 32b .

5. Dacă 2log 3a , să se calculeze în funcţie de a expresia 3 8

3 3

log 36 log 3log 18 log 72

E

21

TEST 2

1. Să se determine valorile reale ale lui x , pentru care sunt definiţi logaritmii:

a) 3log (x 4) b) 2lg( x x 2) c) log (x 2)x

2. Demonstraţi egalitatea : 2 3 4 100 ....... ­ 2.1 2 3 99

lg lg lg lg

3. Să se aducă la o formă mai simplă:

a) 8 4 2( ( )21 )– 6log log log

b) 32 3log (log 3 )

4. Aplicând proprietăţile logaritmilor, să se calculeze:

a) 8 81 1log log4 2 = b) 3 13 3

3 2

64log 27 log 27 log 27 log27

c) 1 3 42

1log 4 log 9 : log4

g =

5. Logaritmaţi expresiile :

2 4

1 2 4

a xEb y

2

283a bEx y

6. Utilizând formula de schimbare a bazei unui logaritm, scrieţi urmatorii logaritmi in baza 2 :

a) 4log 8 b) 8log 2 c) 8log 32

22

Proprietăţi ale funcţiilor

TEST 1

1. Precizaţi care dintre corespondenţele de mai jos reprezintă funcţie, funcţie injectivă, funcţie surjectivă. Justificaţi.

a) A B b) A B

c ) A -> B

2) Verificaţi dacă funcţia de mai jos este injectivă şi/sau surjectivă: a) f : R R, f(x)=2x – 4 ; b) f : R R, f(x) = x2 + 1 3) Stabiliţi daca următoarea funcţie este inversabilă: : , (x) 3x 1f f ¡ ¡ 4) Aflati inversa functiei f : [0,] [0,], f(x) = x2 5 ) Se dau funcţiile f : A B şi g : B C. Completaţi diagrama pentru a obţine funcţia compusă g fo , precizând, în spaţiul punctat, domeniul şi codomeniul acesteia:

a

b

c

d

e

1

2

3

4

5

1

2

3

a

b

c

d

1

2

3

4

10

20

25

40

23

g o f : …………… Completaţi egalităţile de mai jos: g(f(1))= g(f(2))= g(f(3))=

6).Se dau funcţiile f , g : R R , f(x) = 2x2+1, g(x) = – x+1. Determinaţi g o f şi f o g . TEST 2

1. Care dintre graficele următoare sunt imaginile geometrice ale unor funcţii injective? Dar

surjective?

a) f: ¡ ¡ b) f: ¡ ¡ c) f : R R

1

2

3

a

b

c

d

m

n

p

s

B

A C

24

d)f : R R

1. Se dau funcţiile f , g : R R , f(x) = 2x2+x, g(x) = 2 x+1.

Determinaţi g o f şi f o g .

2. Se consideră funcţia 164)(},4{\}1{\:

xxxff RR .

a) Să se demonstreze că funcţia f este inversabilă

b) Aflaţi 1f . c) Să se calculeze )3()1( 1 ff .

3. Verificati grafic daca functia f este bijectiva : f : R → R , f (x) = 3x -8 si reprezentati grafic functiile f si 1f in acelasi reper cartezian xOy.

4. Fie funcţia f:(1; ) → (2; ), f(x) = x2 + 1. Să se arate că f este bijectivă.

25

Funcţia putere şi funţia radical. Ecuaţii iraţionale

TEST 1

1. Fie f:D ¡ , f(x)= 2x , unde D este domeniul maxim de definiţie al funcţiei f.

a) Aflaţi D.

b) Studiaţi bijectivitatea functiei f.

c) Aflaţi 1f .

2. Fie f:D ¡ , f(x)= 2x , unde D este domeniul maxim de definiţie al funcţiei f.

a) Aflaţi D.

b) Studiaţi monotonia funcţiei f.

c) Rezolvaţi pe D ecuaţia f(x)= 3.

3. Fie f : R R, f(x)= 3x

a) Completaţi valorile funcţiei f in tabelul de mai jos:

x -2 -1 0 1 2 +

f(x)

b) Trasaşi graficul functiei f .

c) Rezolvaţi pe [0, ) ecuaţia (x) xf x .

4. Rezolvând urmatoarele ecuatii irationale ,Încercuiţi răspunsul corect:

a) 3 2 2x x

A . S={-3,-2} B . S= {-2} C . S= [-2,+ )

26

b) 3 13 1 1x x

A. S={0,2} B S= R C. S={-5,0,2}

TEST 2

I. Scrieţi asocierile între ecuatiile irationale care apar în coloana A şi solutiile acestora din coloana B.

COLOANA A COLOANA B

1. 1 2x a) S={-2,0}

2. 3 2 3x b) S={3}

3. 2 2 1 1x x c) S= R

4. 1 3 1x x d)S= {5}

e)S= [-1,+ )

f) S= {-25}

II. Fie f: : R R, unde f(x)= 3 x . a) Completaţi valorile funcţiei f in tabelul următor:

x - -8 -1 18

0 18

1 8 +

f(x)

b) Trasaţi graficul funcţiei f în reperul carteyian xOy.

27

c) Rezolvaţi in R ecuaţia f(x) -1= -1.

III. Fie f : [0.+ )-> R, f(x)= 2 2x . a)Studiaţi monotonia funcţiei f. b)Studiati bijectivitatea functiei f . c) Aflati inversa functiei f.

Funcţia exponenţială şi funcţia logaritmică. Ecuaţii exponenţiale şi logaritmice

TEST 1

1. Scrieţi asocierile între funcţiile care apar în coloana A şi graficele acestora din coloana B

Coloana B

a b

1 2 3

y

1 2 3 x

y

1 2 3 1 2 3 x

C B

D

E

F

y

8

4 2

1

O 1 2 3 1 2 3 x

8

4 2

1

O

C B D

E

y

c d

Coloana A

1. f(x)= x2log 2. f(x)= x2 3. f(x)= x

21log

4. f(x)=x

21

28

2. Mulţimea valorilor reale x pentru care expresia 84log2 x are sens este:

a) );2,( b) );,2( c) );,2[ d) ).2;2(

3. Se consideră funcţia : 0,f R , 2lg 6lg 5f x x x . a) Calculati f(10)+f( 210 ); b) Să se determine rădăcinile funcţiei.

4.Completaţi spaţiile punctate:

a) Soluţia ecuaţiei: )13(log)22(log 33 xx este .....

b) Soluţia ecuaţiei 23log 21 xxx este ..............................

c) Soluţia ecuatiei 6255 22

xx . Este ....................................................

TEST 2

1. Fie 2: (0, ) R,f(x) logf x .

a) Completaţi valorile funcţiei f in tabelul de mai jos :

x 0 14

12

1 2 4 +

f(x)

b) Reprezentaţi grafic funcţia f in reperul cartezian xOy.

c) Aflaţi inversa funcţiei f .

2. Fie 2: (0, ), f(x) 2xf .

a) Realizaţi tabelul de valori ale funcţiei f.

b) Reprezentaţi grafic funcţia f .

c) Rezolvaţi în R ecuatia f(x)= 4

3. Aşezaţi in ordine crescătoare numerele :

29

a) f(x)= 13

x

, pentru x1 1{ 9, 3, ,0,1, , 3}2 2

;

b) f(x)= 3log (x 1) , pentru x {4,10,28,244}

4. Completaţi spaţiile punctate:

a) Soluţia ecuaţiei 2 1 22 2 16x x este………………………….

b) Soluţia ecuaţiei 4 23 4 3 3 0x x g este…………………………

c) Soluţia ecuaţiei 3 3 3log (x 2) log log 8x este…………………..

d) Soluţia ecuaţiei 1 12 2

log log 2x x este…………………………..

Funcţii trigonometrice directe şi inverse TEST 1

1. Se consideră funcţia: : , (x) sin2xf f ¡ ¡ .

a) Să se calculeze f(0) , f(3 ) , f(

2 ), f( ).

b) Să se verifice egalitatea : f(x+4 ) = f(x), x ¡

c) Să se traseze graficul funcţiei f pe interalul [0,2 ].

2. Încercuiţi valoarea de adevăr a următoarelor enunţuri:

a) f:D-> R. f(x)= xsinx este A) f pară B) f impară

b) f:D-> R. f(x)=cox+sinx este A) f pară B) f impară

c) f:D-> R. f(x)=sin3x este A) f pară B) f impară

30

3. Să se determine xR pentru care au sens expresiile:

a) arcsin(2x-13) b)arcrg 2 5 4x x

4. Asociaţi expresiilor din coloana A raspunsurile corecte din coloana B

COLOANA A COLOANA B

1. arcsin (sin (-34

)) a) 0

2. arccos(tg4 ) b)

2

3. arcsin(cos ) c) 4

4. arctg (sin 2

) d) 2

5. arcsin (- 12

)+arccos (- 22

) e) 43

f) 4

TEST 2

1. Fie funcţia f:R->R, f(x)= cos2x.

a) Să se studieze dacă funcţia f este pară sau impară.

b) Să se calculeze f(x)-f(x+ )

c) Să se traseze graficul funcţiei f pe intervalul [- , ].

2. Completaţi spaţiile punctate:

31

a) Semnul expresiei sin 80o este…………………..

b) Semnul expresiei cos155oeste………………….

c) Semnul expresiei 125tg o este…………………..

3. Să se calculeze media aritmetică si media geometrică a numerelor a şi b ştiind că:

a= sin(arcsin 12

+arctg 3 ) şi b= tg(arcos 0 - arctg 33

)

4. Determinaţi x ¡ care verifică egalităţile :

a) arcsin 5x

= 2

b) 1arccos

3 2x

c) 3 3arcctgx

32

Numere complexe

TEST 1

1. Completaţi spaţiile punctate.

a) Fie numărul complex z= 5 − 3푖. atunci Re 푧 =……, Im 푧 =…….,

(−푧) =…….., |푧| =……, z =…….., 1z ………

b) Dacă are loc egalitatea 2 33 4

i a bii

,atunci a=……. si b=……...

c) Dacă 6 5z i z ,atunci z=…………..

d) Dacă 100(1 i) x yi , atunci x=………... si y =…………….

2. Se dă ecuaţia 2 2 5 0z z , unde 1z si 2z sunt soluţii ale ecuaţiei.

a) Să se reprezinte în reperul xOy punctele A( 1z ), B( 2z ) si C(- 1z ).

b) Să se precizeze natura triunghiului ABC, să se determine aria si perimetrul triunghiului ABC.

3. Rezolvaţi cerinţele :

33

a) Fie numerele complexe: z1 = 3 + 2i, z2 = - 2 – 3i ; calculaţi: 21 zz .

b) Să se calculeze z-1, pentru z = ii

221 .

TEST 2

1. Fiind date numerele complexe: z1 =(2x – y – 1) + (x – 2y + 3)i si

z2 =(5 – x – y) + (x – y + 2)i, să se determine numerele reale x, y , astfel încât: z1 = z2 . 2. Se consideră numerele complexe: z1 = 1 + 2i, z2 = 2 – 3i. Se cere:

a) calculaţi: z1 + z2 notat z3 ;

b) determinaţi : - z3

c) scrieţi: 3z ; 3 .Rezolvaţi cerinţele:

a) Construiţi ecuaţia de gradul al doilea, care admite rădăcinile: z1= 1 + 2i,

z2 = 1 – 2i.

b) Descompuneţi în factori ecuaţia: z2 – 2z + 5 = 0.

c) Calculaţi E = 521

21

zzzz

, unde z1 şi z2 sunt rădăcinile ecuaţiei: z2 – 2z + 7 = 0.

34

Elemente de combinatorică

TEST 1

1. Completaţi formulele:

a) .........knA

b) ........knC

c) 0 0 ... 1 2 ... 2(a ...) ....n n n nn n n nC a b C a b C a b C b

2. Încercuiţi valoarea de adevăr corespunzătoare pentru următoarele expresii, A însemnând adevărat şi F însemnând fals.

a) 3! 42! A F

b) 217! 1!

(220 3)!

A F

c) 2 33 4 7C C A F

d) 2 34 5 0A A A F

e) 2 2(a 2 ) 4 4b a ab A F

f) 5(n 2)! 5(n 2)

!(n 1)n

A F

3. Rezolvaţi ecuaţiile :

35

a) 2 42, 2,xA x x ¥

b) 1

3

42x

x

PP

TEST 2

1. Completaţi formulele:

a) .....nP

b) 0 ... 0 1 1 2 2 ...(a ) ... .... ...n n n nn n n nb C a b C a C a b C

c) Numărul de submulţimi ale unei mulţimi cu n elemente este………

2. Asociaţi expresiilor din coloana A răspunsurile corecte din coloana B.

COLOANA A COLOANA B

a) 314!313!

1) 1

(n 1)(n 2)

b) 62! 60!60! 59!

2) -17

c) 2 23 5A A 3) 630

d) !(n 2)!

n

4) 314

e) 3 4 59 9 92C C C 5) 14

36

f) 24 2 4P P A 6) 14!

7) 314!

8) 3722

3. Rezolvaţi ecuaţiile pentru n ¥ :

a) .

b)

Geometrie

TEST 1

1. Se consideră punctele A(5,-4) , B(-1,3) si C(-3,-2) Să se detemine:

a) Coeficientul unghiular al dreptelor AB,B,CA.

b) Ecuatiile dreptelor AB si BC.

c) Ecuaţiile dreptelor care trec prin A si B , si sunt paralele cu dreptele BC si, respectiv AC.

2. Se dau punctele A(5,0), B(-7,-2) şi C(-4,3). Scrieţi ecuaţiile dreptei care:

a) Trece prin punctele A si C

b) Trece prin punctual C si este perpendiculară pe AB.

c) Trece prin punctul C si este paralelă cu AB.

37

3. Completaţi spaţiile punctate următorului enunţ:

Fie dreptele (d1):x-2y-5=0; (d2): 10x+5y-2=0; (d3) :5x-10y+2=0

a) Dreptele .…si … sunt paralele

b) Dreptele …şi ….sunt perpendiculare.

TEST 2

1. Dreptele de ecuaţii (d1):x+y=1; (d2): x+5y=17 si (d3): 3x-y=3 sunt concurente doua câte doua şi formează triunghiul ABC . Aflaţi perimetrul triunghiului ABC.

2. Alegeţi varianta corecta de răspuns pentru următoarele expresii:

a) Punctul de intersecţie al dreptelor cu ecuaţiile (d1):2x+y=1 si (d2):4x+3y=11, este:

A. A(-4,9) B. A(4,-9) C. A(3,-9) D. A(4,-8)

b) Se consideră punctul M(1,4) si N(-2,5). Ecuatia dreptei MN este:

A. X+3y-13=0 B. x-3y-13=0 C. x+3y+13=0 D. 2x+3y-13=0

c) Distanţa dintre punctul A(3,2) si B(5,1) este :

A. d(A,B)= 5 B. d(A,B)= 5 C. d(A,B)= -5 D. d(A,B)= - 5

3. Se dau punctele A(1.-2), B(5,4) si C(-2,0).

a) Să se determine ecuaţiile laturilor AB si BC.

b) Aflaţi mijloacele laturilor AB, BC si AC.

c) Determinaţi ecuaţiile medianelor triunghiului ABC si coordonatele centrului de greutate a triunghiului ABC .

38

Matematici financiare

Test 1

1. Să se calculeze TVA–ul pentru un produs ştiind că preţul de vânzare al produsului este de 65 lei (procentul TVA este de 24 %).

2. Firma F1 are un capital iniţial de 40.000 lei şi în anul 2007 a realizat un profit de 8.000 lei . Exprimaţi în raport cu capitalul iniţial procentul pe care-l reprezintă profitul firmei.

3. Un agent economic solicită un credit de 12.000 euro rambursabil în cinci ani astfel: în primul an 30% din valoarea creditului, în al doilea an 25% din creditul rămas, în al treilea an 30% din suma rămasă de plată iar în ultimii doi ani tranşe egale. Dacă rata dobânzii este de 10% pe an completaţi următorul tabel:

Nr.ani Tranşa Dobânda Credit nerambursat

Suma de plată

4. La o verificare scrisă la disciplina matematică s-au înregistrat următoarele note

8, 6, 9, 7, 7, 5, 4, 10, 6, 8, 5, 8, 4, 5, 7, 10, 7, 9, 5, 9, 10, 6, 4, 8, 10, 5, 5, 3, 8, 6.

a) Completaţi tabelul frecvenţelor absolute, relative şi absolute cumulat crescător

b) Realizaţi diagrama cu batoane si poligonul frecvenţelor

c) Calculaţi media clasei

5. a) Se consideră mulţimea 6,5,4,3,2,1A . Să se calculeze probabilitatea ca alegând o pereche ba, cu elemente din mulţimea AA să avem 6 ba

b) Să se determine probabilitatea ca alegând un număr natural de patru cifre acesta să fie divizibil cu 9

39

TEST 2

1. După o reducere de 10% un produs costă 297 lei. Să se determine preţul produsului înainte de reducere.

2. După două scumpiri succesive cu 10% , respectiv 20% , preţul unui produs este de 1980 lei. Să se determine preţul iniţial al produsului.

3. Un agent economic solicită un credit de 10.000 euro rambursabil în cinci ani astfel: în primul an 25% din valoarea creditului, în al doilea an 20% din creditul rămas, în al treilea an 30% din suma rămasă de plată iar în ultimii doi ani tranşe egale. Dacă rata dobânzii este de 12% pe an completaţi următorul tabel:

Nr.ani Tranşa Dobânda Credit nerambursat

Suma de plată

4. La o verificare scrisă la disciplina matematică s-au înregistrat următoarele note 8,7,9,7,7,5,4,10,6,9,8,8,4,5,7,10,9,9,3,9,10,6,4,8,10,5,5,3,8,7.

a)Completaţi tabelul frecvenţelor absolute, relative şi absolute cumulat crescător b)Realizaţi diagrama cu batoane si poligonul frecvenţelor c)Calculaţi media clasei

5. a) Se consideră mulţimea 6,5,4,3,2,1A . Să se calculeze probabilitatea ca alegând o pereche ba, cu elemente din mulţimea AA să avem 6ba

b) Să se determine probabilitatea ca alegând un număr natural de patru cifre acesta să fie divizibil cu 9.

40

Recapitulare finală

EVALUARE ÎN EDUCAŢIE LA MATEMATICĂ

Etapa a II-a – 19.02.2011

Clasa a X-a – TC + CD = 3 ore ♦ Toate subiectele sunt obligatorii. ♦ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Subiectul I Încercuiţi răspunsul corect. 1. Partea întreagă a numărului 3 9 este egală cu: A) 0; B) 9; C) 2; D) 1; E) 3 2. Numărul 2 1 2 1 g este egal cu: A) 0; B) 1; C) 2; D) 3; E) 2 3.Domeniul maxim de definiţie al funcţiei f ( x) = 2 6x este egal cu:

A) ¡ B) \ {3}¡ C) ,3 D) 3, E) 3,

4. Numărul 12 8

2 32

este egal cu :

A) 3 B)2 C) 2 D) 4 E) 12

5. Numărul 2 2log 6 log 12 este egal cu :

A) 2 B) 1 C) -1 D) 0 E) 3

6. Numărul 2log 54 este egal cu :

A) 2 B) -4 C) 25 D) 5 E) 1

41

7. Numărul 1 43 33 9 este egal cu :

A) 27 B) 9 C) 3 D) 1 E) 6

8. Dacă 35; 8; 3a b c atunci :

A) a<b<c B) b<a<c C) c<a<b D) c<b<a E) b<c<a

9. Cât este 3 6log 6 log 9 ?

A) 6log 3 B) 3 C) 2 D) 3 3 E) 9

10. Domeniul maxim de definiţie al funcţiei f(x)= 7log | x 3 | este egal cu :

A) ¡ B) \ {3}¡ C) ,3 D) 3, E) 3,

Subiectul II. Scrieţi rezolvările complete:

1. Rezolvaţi in R ecuaţia: 1 2x

2. Rezolvaţi in R ecuaţia: 3log (x 1) 2

3. Rezolvaţi in R ecuaţia:12 5x

4. Arătaţi că numărul ( 2 1) 3 2 2 este natural .

5. Determinaţi domeniul maxim de definiţie al funcţiei date de expresia 21log (x 1)x .

6. Determinaţi numărul a ştiind că 3 32; 4; a sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice .

7. Calculaţi media geometrică a numărelor 2; 2 ; 2 2 .

8. Comparaţi numerele 7; lg 2010a b .

9. Rezolvaţi in R ecuaţia: 2 4log log 1x x

10. Rezolvaţi in R ecuaţia 2lg 1x

42

Subiectul III : Scrieţi rezolvările complete

1. Rezolvaţi în ¡ ecuaţie 1 6 5x x

2. Determinaţi valorile naturale ale lui n pentru care 3log (n 1) 2 .

3. Determinaţi valorile reale ale lui a pentru care funcţia :f ¡ ¡ ,

f(x)= 2(a 1) x 1x este injectivă.

4. Determinaţi inversa funcţiei f : 2 10. (1,2), f(x)1

xx

.

5. Demonstraţi ca funcţia 2: 1, , f(x) x 4 5f x ¡ este surjectivă.

43

EVALUARE ÎN EDUCAŢIE LA MATEMATICĂ

Etapa a III-a – 21.05.2011 Clasa a X-a – TC + CD = 3 ore Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. SUBIECTUL I. Încercuiţi răspunsul corect.

1. Numărul 2!+ 3! este egal cu:

A) 5; B) 8; C) 6; D) 12; E) 14

2. Numărul 26A este egal cu:

A) 8; B) 30; C) 6; D) 24; E) 120

3. Numărul 35C este egal cu:

A) 10; B) 5; C) 8; D) 2; E) 15.

4. Numărul natural n pentru care 100 < n!< 500 este egal cu: A) 10; B) 50; C) 5; D) 4; E) 6.

5. Numărul natural n pentru care 1 2011nnC este egal cu:

A) 200; B) 2001; C) 2002; D) 2010; E) 2011. 6. În plan sunt 5 puncte distincte. Numărul segmentelor având capetele în aceste puncte este: A) 2; B) 10; C) 15; D) 5; E) 20. 6.

7. Probabilitatea ca, alegând un element din mulțimea {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} , numărul

să fie prim este:

A) 40%; B) 25%; C) 110

D) 410

E) 12

8. Numărul termenilor dezvoltării 10(1 x) este egal cu: A) 9; B) 10; C) 11; D) 12; E) 13 9. Termenul al doilea al dezvoltării 4(a 3 )b este egal cu:

A) 4a B) 31 2 a b ; C) 2 254a b ; D) 2 212a b E) 312a b

44

10. Suma coeficienților binomiali ai dezvoltării 5(1 x) este egală cu:

A) 32; B) 10; C) 5; D) 1; E) 15.

SUBIECTUL II. Scrieţi rezolvările complete

1. Determinați ce procent reprezintă 9! din 10!.

2. Determinați numărul submulțimilor cu 2 elemente ale unei mulțimi cu 8 elemente.

3. Determinați numărul permutărilor mulțimii {1,2,3, 4} care au pe prima poziție un

număr par.

4. Determinați numerele naturale nenule n astfel încât n!= 42×(n - 2)!.

5. Câte numere naturale de două cifre au toate cifrele pare?

6. Determinați numerele naturale n, n ³ 3, astfel încât 2 21 1 6n nC C

45

7. Determinați numărul submulțimilor având un număr impar de elemente ale unei mulțimi

cu 7 elemente

8. Ordonați crescător numerele 5 6 1 41 8 1 8 1 8; ;C C C .

9. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale având trei

cifre, produsul cifrelor sale să fie impar.

10. Determinați coeficientul lui 3x din dezvoltarea 5(1 x ) .

SUBIECTUL III. Scrieţi rezolvările complete.

1. Calculați : 2! 3! 100!...1! 2 ! 99!

.

2. Aflați probabilitatea ca, alegând un element (a,b)al mulțimii {0,1,2,3,4}X{0,1, 2,3,

4},numărul a ×b să fie nenul.

46

3. Câți termeni pozitivi are dezvoltarea 101(1 2 ) ?

4. Arătați că 50!20! 30!

este un număr natural.

5. Determinați cel mai mare termen al dezvoltării 1 0 01 3

2 4

.

47

BIBLIOGRAFIE

1. Burtea Marius, „Matematică- clasa a X-a”,Bucureşti, Editura Campion , 2011

2. Schneider A. Gheorghe, „Matematică- Exerciţii si problme pentru clasa a X-a”, Craiova, Editura Hyperion, 2011

3. Ganga Mircea, „Matematică- manual pentru clasa a X-a”,Ploieşti, Editura Mathpress,2003

4. Năchilă Petre ,”Mate2000+7/8-Algebră”,Piteşti, Editura Paralela 45, 2007

5. www.didactic.ro

6. www.evaluareineducatie.ro