Cueva Pacheco

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

“6ª PRÁCTICA CALIFICADA”

CURSO: Cálculo por elementos finitos

TEMA: Estructuras con nodos no articulados

ALUMNO:

RAMOS CUIPA JORGE LUIS

SECCION: C

MC 516 - C PROFESOR:

Ing. Ronald Cueva Pacheco

Lima, 10 de Diciembre del 2014

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS MC 516 - D

INDICE

Enunciado del Problema....................................................................3

Modelado del cuerpo real..................................................................3

Ubicaciones nodales..........................................................................4

Coordenadas nodales y cosenos directores........................................4

Cuadro de conectividad......................................................................5

Matriz de rigidez locales……………………………………………5

Matriz de rigidez global………….…………………………………5

Ecuación de rigidez y condiciones de contorno……………………6

Esfuerzos...........................................................................................7

Descripción del programa..................................................................8

Diagrama de Bloques.........................................................................9

Digitalización del programa..............................................................11

Ejecución del Programa.....................................................................13

Conclusiones.................................................................................... 17

SEXTA PRÁCTICA CALIFICADA

Estructura con nodos no articulados Página 2


1. ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Resolver el problema de la Tercera Practica considerando el peso propio del material.

Considerando:

Secciones: φ 50 mm

Material: E = 3.1 x 105

N/mm2

γ=7.8 gr−f /cm3

Hallar las reacciones en los apoyos y los esfuerzos en cada elemento finito.

2. MODELADO DEL CUERPO REAL

Como los miembros de la armadura tienen sección constante, entonces estos mismos miembros se pueden

tomar como elementos finitos. Luego tendremos 7 elementos finitos.



El área de cada elemento finito será igual a:

A=πD2

4=π

502

4=1963.4954 mm2

3. UBICACIONES NODALES

El origen de coordenadas está localizado a la izquierda de la armadura, como se puede observar en la

Figura 2. Las posiciones para cada nodo se pueden ser en el siguiente cuadro:

NODO X (mm) Y (mm)

(1) 0 1500

(2) 1500 1500

(3) 3000 1500

(4) 3000 0

(5) 1500 0

4. COORDENADAS NODALES Y COSENOS DIRECTORES

Para cada elemento finito se define:

l=x2−x1

le

m=y2− y1

le

le=√(x2−x1)2+( y2− y1)

2

La matriz de transformación de coordenadas es:

[q ' 1

q ' 2

q ' 3

q ' 4

q ' 5

q '6

]=[l m 0 0 0 0

−m l 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 l m 00 0 0 −m l 00 0 0 0 0 1

]∗[q1

q2

q3

q4

q5

q6

]q ' t=Ltr∗q t



5. CUADRO DE CONECTIVIDAD

Utilizando las formulas anteriores y guiándonos del grafico obtendremos:

e NODOS GDL Le (mm) l m

1 1 2 1 2 3 4 5 6 1500 1 0

2 2 3 4 5 6 7 8 9 1500 1 0

3 3 4 7 8 9 10 11 12 1500 0 1

4 3 5 7 8 9 13 14 15 1500√2√22

√22

5 4 5 10 11 12 13 14 15 1500 1 0

6 2 5 4 5 6 13 14 15 1500 0 1

7 1 5 1 2 3 13 14 15 1500√2−√2

2√22

6. MATRICES DE RIGIDEZ LOCALES

Las matrices de rigidez locales se calculan a partir de:

k rse= AE

¿ +E I1

¿3

Para trabajar con la ecuación de rigidez tenemos que transformar esta matriz de rigidez, utilizando:

k ers=Lrt∗ke

rs∗Ltr

7. MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL

Se determina a través de la conectividad del modelo, utilizando la siguiente fórmula:

K iJ=∑ kers s →i

r →J

Como tenemos 5 nodos y en cada nodo hay 3 grados de libertad, la matriz de rigidez global sera de

15x15.

8. ECUACION DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO



La ecuación de rigidez está determinada por la siguiente ecuación:

F i=K iJ Q J

Como los nodos (3) y (4) están empotrados, su desplazamiento y giro será cero. Luego el vector

desplazamiento será:

QJT=¿

Entonces tomaremos subsistemas y resolviendo obtenemos:

9. ESFUERZOS



Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento finito, lo dividimos en 2 partes:

σ e=±[σ eM +σ

eN ]

Esfuerzo debido a la flexión

σeM=−( Ey

le2

)[6 z (−q1 m+q2 l)+(3 z−1)l e q3−6 z (−q4 m+q5 l)+(3 z+1) le q6 ]

Es conveniente analizar el esfuerzo en el extremo medio de cada elemento finito, es decir: z=0

Ademas, como nos interesan los esfuerzos máximos, y para el caso de la flexion eso se da cuando está

más alejado del eje neutro, es decir y=D

Esfuerzo debido a la tracción

σeN=−( E

l )e

[−l −m l m ] [q3 s−2

q3 s−1

q3 r−2

q3 r−1]

Para cada elemento finito obtendremos:



10. DESCRIPCION DEL PROGRAMA

El programa es aplicado para cualquier arreglo de armaduras, de donde como datos de entrada se

ingresará:

- Las coordenadas de cada nodo (en orden desde el nodo 1 hasta el nodo n), todos

respecto del mismo sistema.

- Los nodos correspondientes a cada elemento, en orden.

- Las condiciones de frontera, considerando que para cada nodo se tendrá 3 valores de

deformaciones (2 para cada eje y otra para la torsión), de donde si existe la deformación

se colocará 1, en caso contrario 0.

- El módulo de elasticidad para cada elemento.

- El peso propio del material.

- La condición que deberá cumplir e (0 o 1).

- El área correspondiente para cada elemento.

- Las fuerzas externas aplicadas sobre la armadura (los valores no conocidos como las

reacciones se colocan como ceros).

Como resultado se obtendrá la tabla de conectividad y los grados de libertad para cada elemento

de la armadura, los cosenos directores, la matriz de rigidez, las deformaciones para cada nodo,

las fuerzas externas totales aplicadas y los esfuerzos para cada barra.

11. DIAGRAMA DE BLOQUES





12. DIGITALIZACION DEL PROGRAMA



clcclear allformat short gdisp(' ____________________________________')disp(' ')disp(' ESTRUCTURAS CON NUDOS NO ARTICULADOS')disp(' ____________________________________')disp('--------------------------------------------------------------------');disp('Insertar ([mm. N.] o [pulg. lb.])')disp(' ');x=input('Datos de coordenadas nodales [x1 y1;x2 y2;...;xnn ynn] ->');disp(' ');c=input('Nodos para cada elemento (en orden): [a1 b1;a2 b2;...;an bn] ->');disp(' ');disp('Indicar condiciones de frontera (soportes fijos:0/moviles:1)')M=input('Condiciones para :[Q1;Q2;Q3;Q4;...;Q(3nn-2) Q(3nn-1) Q(3nn)]->');disp(' ')E=input('Modulo de elasticidad para cada elemento [E1;E2;..;En] ->');disp(' ')pe=input('Peso propio del material [N/mm3]->');disp(' ')e=input('Consideración del e ->');disp(' ')A=input('Area para cada elemento [A1;A2..;An]->');disp(' ')diam=input('Diametro ->')disp(' ')F=input('Fuerzas Externas sin reacciones [F1;F2;F3;F4;...;F]->');disp('--------------------------------------------------------------------');%tabla de cosenos directorescosdir=[];for i=1:length(c) le(i)=sqrt((x(c(i,2),1)-x(c(i,1),1))^2+(x(c(i,2),2)-x(c(i,1),2))^2); cosdir=[cosdir;[i le(i) (x(c(i,2),1)-x(c(i,1),1))/le(i) (x(c(i,2),2)-x(c(i,1),2))/le(i)]];end%Tabla de conectividad y GDLgld(:,1)=1:3:2*length(c)-1;gld(:,2)=2:3:2*length(c);gld(:,3)=3:3:2*length(c)+1;T=[];for i=1:length(c) T=[T;[gld(c(i,1),:) gld(c(i,2),:)]];endT=[cosdir(:,1) c T];disp('ELemento Conectividad GDL')disp(T)disp(' Le l m')disp(cosdir(:,2:end))format short%matriz de rigidez y cargasKT=zeros(3*length(x));PT=zeros(3*length(x),1);for i=1:length(le) l=cosdir(i,3);m=cosdir(i,4); ktw=zeros(6);k=[];kt=zeros(3*length(x)); ltr=[l m 0 0 0 0;-m l 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0;0 0 0 l m 0;0 0 0 -m l 0;0 0 0 0 0 1]; ktw([1 4],[1 4])=A(i)*E(i)/le(i)*[1 -1;-1 1]; ktw([2 3 5 6],[2 3 5 6])=E(i)*(pi*diam^4/64)/le(i)^3*[12 6*le(i) -12 6*le(i);6*le(i) 4*le(i)^2 -6*le(i) 2*le(i)^2;-12 6*le(i) 12 -6*le(i);6*le(i) 2*le(i)^2 -6*le(i) 4*le(i)^2]; k=ltr'*ktw*ltr; kt(T(i,4:9),T(i,4:9))=k; KT=KT+kt; Fw=zeros(3*length(x),1); fw=[-pe*A(i)*le(i)*m/2 -pe*A(i)*le(i)*l/2 -pe*A(i)*le(i)^2*l/12 -pe*A(i)*le(i)*m/2 -pe*A(i)*le(i)*l/2 pe*A(i)*le(i)^2*l/12]; Fwo=ltr'*fw'; Fw(T(i,4:9),1)=Fwo; PT=PT+Fw;enddisp(' ')disp('MATRIZ DE RIGIDEZ ESTRUCTURAL K')disp(' ')disp(KT)disp('FUERZAS DE CARGA')disp(PT)%condiciones de fronteram=[];



for i=1:3*length(x) if M(i)==1 m=[m;[i]]; endendF1=PT+F;for i=1:length(m) for j=1:length(m) kr(i,j)=KT(m(i),m(j)); end f(i)=F1(m(i));endq=inv(kr)*f';Q=M;for i=1:length(m) Q(m(i))=q(i);endFT=KT*Q;disp(' ')disp('DESPLAZAMIENTOS mm o pulg')disp(Q)disp(' ')disp('FUERZAS TOTALES (reacciones y externas) N o Lb')disp(FT)disp('FUERZAS INCOGNITAS A HALLAR')disp(FT-F1)%esfuerzos maximos flexion ({e=0 y y=D/2)for i=1:length(le) ES1(i)=-(E(i)*(diam)/le(i)^2)*([-6*e*cosdir(i,4);6*e*cosdir(i,3);(3*e-1)*le(i);6*e*cosdir(i,4);-6*e*cosdir(i,3);(3*e+1)*le(i)]'*[Q(T(i,4:9))]);enddisp('Esfuerzo Máximo debido a la flexion')disp(ES1)disp(' ')%esfuerzos debidos a la tracciónfor i=1:length(le) ES2(i)=E(i)/le(i)*([-cosdir(i,3);-cosdir(i,4);cosdir(i,3);cosdir(i,4)]'*[Q(T(i,4:5));Q(T(i,7:8))]);enddisp('Esfuerzo debido a la tracción')disp(ES2)disp(' ')disp('ESFUERZOS N/mm2 o Lb/pulg2')disp(ES1+ES2)D=[];DF=[];for i=1:length(c) D=[D;[x(c(i,1),:);x(c(i,2),:)]]; DF=[DF;[x(c(i,1),:)+[Q(T(i,4)),Q(T(i,5))];x(c(i,2),:)+[Q(T(i,7)),Q(T(i,8))]]];endplot(D(1:2,1),D(1:2,2),'LineWidth',3)hold onplot(DF(1:2,1),DF(1:2,2),'r','LineWidth',2.3)for i=3:2:2*length(c)-1 plot(D(i:i+1,1),D(i:i+1,2),'LineWidth',3) plot(DF(i:i+1,1),DF(i:i+1,2),'r','LineWidth',2.3)endhold offgrid onaxis([-max(abs(D(:,1)))/2 3/2*max(abs(D(:,1))) -max(abs(D(:,2)))/2 3/2*max(abs(D(:,2)))])xlabel({['Abscisas de ',int2str(length(x)),' nodos'];'(mm)'},'Color', [0.2,0.2,0.2],'FontWeight','bold');ylabel({['Ordenadas de ',int2str(length(x)),' nodos'];'(mm.)'},'Color', [0.2,0.2,0.2],'FontWeight','bold');title({'GRAFICO';'DEFORMACION EN ARMADURAS PLANAS';['Numero de elementos: ',int2str(length(le))]},'Color', [0.2,0.2,0.2],'FontWeight','bold')legend('Armadura inicial','Armadura deformada',3)set(gcf,'Color', [0.95,0.95,0.95]);

13. EJECUCION DEL PROGRAMA

____________________________________



ESTRUCTURAS CON NUDOS NO ARTICULADOS ____________________________________--------------------------------------------------------------------Insertar ([mm. N.] o [pulg. lb.]) Datos de coordenadas nodales [x1 y1;x2 y2;...;xnn ynn] ->[0 1500;1500 1500;3000 1500;3000 0;1500 0]; Nodos para cada elemento (en orden): [a1 b1;a2 b2;...;an bn] ->[1 2;2 3;4 3;5 3;5 4;5 2;5 1]; Indicar condiciones de frontera (soportes fijos:0/moviles:1)Condiciones para :[Q1;Q2;Q3;Q4;...;Q(3nn-2) Q(3nn-1) Q(3nn)]->[1;1;1;1;1;1;0;0;0;0;0;0;1;1;1]; Modulo de elasticidad para cada elemento [E1;E2;..;En] ->[3.1*10^5;3.1*10^5;3.1*10^5;3.1*10^5;3.1*10^5;3.1*10^5;3.1*10^5]; Peso propio del material [N/mm3]->7.649187*1e-5; Consideración del e ->0 Area para cada elemento [A1;A2..;An]->[50^2*pi/4;50^2*pi/4;50^2*pi/4;50^2*pi/4;50^2*pi/4;50^2*pi/4;50^2*pi/4]; Diametro ->50

diam =

50

Fuerzas Externas sin reacciones [F1;F2;F3;F4;...;F]->[-5000;-4000;0;0;-2000;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0];--------------------------------------------------------------------ELemento Conectividad GDL 1 1 2 1 2 3 4 5 6 2 2 3 4 5 6 7 8 9 3 4 3 10 11 12 7 8 9 4 5 3 13 14 15 7 8 9 5 5 4 13 14 15 10 11 12 6 5 2 13 14 15 4 5 6 7 5 1 13 14 15 1 2 3

Le l m 1500 1 0 1500 1 0 1500 0 1 2121.3 0.70711 0.70711 1500 1 0 1500 0 1 2121.3 -0.70711 0.70711

MATRIZ DE RIGIDEZ ESTRUCTURAL K 1.0e+008 *

Columns 1 through 8

0.0055 -0.0014 0.0009 -0.0041 0 0 0 0 -0.0014 0.0014 0.0034 0 -0.0000 0.0025 0 0 0.0009 0.0034 4.3295 0 -0.0025 1.2681 0 0 -0.0041 0 0 0.0081 0 0.0025 -0.0041 0 0 -0.0000 0.0025 0 0.0041 0 0 -0.0000 0 0.0025 1.2681 0.0025 0 7.6085 0 -0.0025 0 0 0 -0.0041 0 0 0.0055 0.0014 0 0 0 0 -0.0000 0.0025 0.0014 0.0055 0 0 0 0 0.0025 1.2681 0.0034 -0.0034 0 0 0 0 0 0 -0.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0041 0 0 0 0 0 0 0.0025 0 -0.0014 0.0014 -0.0009 -0.0000 0 -0.0025 -0.0014 -0.0014 0.0014 -0.0014 -0.0009 0 -0.0041 0 -0.0014 -0.0014 0.0009 0.0009 0.8967 0.0025 0 1.2681 0.0009 -0.0009

Columns 9 through 15



0 0 0 0 -0.0014 0.0014 -0.0009 0 0 0 0 0.0014 -0.0014 -0.0009 0 0 0 0 -0.0009 -0.0009 0.8967 0 0 0 0 -0.0000 0 -0.0025 0.0025 0 0 0 0 -0.0041 0 1.2681 0 0 0 -0.0025 0 1.2681 0.0034 -0.0000 0 -0.0025 -0.0014 -0.0014 -0.0009 -0.0034 0 -0.0041 0 -0.0014 -0.0014 0.0009 6.8657 -0.0025 0 1.2681 -0.0009 0.0009 0.8967 -0.0025 0.0041 0 -0.0025 -0.0041 0 0 0 0 0.0041 -0.0025 0 -0.0000 0.0025 1.2681 -0.0025 -0.0025 5.0724 0 0.0025 1.2681 -0.0009 -0.0041 0 0 0.0069 0 -0.0043 0.0009 0 -0.0000 0.0025 0 0.0069 0.0025 0.8967 0 -0.0025 1.2681 -0.0043 0.0025 8.6591

FUERZAS DE CARGA 1.0e+004 *

0 -0.0272 -6.7986 0 -0.0338 0 0 -0.0385 6.7986 0 -0.0225 2.8161 0 -0.0544 -2.8161

DESPLAZAMIENTOS mm o pulg -0.0453 -0.1796 -0.0001 -0.0226 -0.0828 0.0001 0 0 0 0 0 0 0.0278 -0.0771 0.0000

FUERZAS TOTALES (reacciones y externas) N o Lb 1.0e+004 *

-0.5000 -0.4272 -6.7986 -0.0000 -0.2338 -0.0000 1.6254 0.7131 -1.6529 -1.1280 0.0034 -1.5620 -0.0000 -0.0544 -2.8161



FUERZAS INCOGNITAS A HALLAR 1.0e+004 *

0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 1.6254 0.7516 -8.4515 -1.1280 0.0259 -4.3781 -0.0000 0.0000 0.0000

Esfuerzo Máximo debido a la flexion -1.8966 0.9043 0 0.2266 0.3204 -0.5839 0.9282

Esfuerzo debido a la tracción 4.6821 4.6807 0 5.0936 -5.7450 -1.1807 -3.0360

ESFUERZOS N/mm2 o Lb/pulg2 2.7855 5.5850 0 5.3202 -5.4246 -1.7646 -2.1078

Gráfica de la Armadura: Inicial – Final

Visualizando los nodos móviles:



Nodo (1)

Nodo (2)

Nodo (5)



14. CONCLUSIONES

Cuando trabajamos con armadura de nodos rígidos, los valores de las fuerzas de reacción en los

apoyos son más altos, esto es debido a que en cada elemento no solo se somete a esfuerzo de

tracción sino también a esfuerzos de flexión.

Notamos que el elemento “3” de la armadura no trabaja bajo esfuerzo, es decir no está sometido a

alguna carga de tracción ni de flexión, a pesar de esto, es necesaria para garantizar la estabilidad del

sistema, ya que sin esta barra, la armadura sería inestable.

El elemento “5” presenta el mayor esfuerzo de tracción debido a que uno de sus extremos esta

empotrado en la pared y prácticamente todo el peso recae sobre él , por lo cual es el elemento que

fallara primero y a su vez el que determinará el diámetro de cada elemento para el diseño de la

armadura.

Los valores de las deformaciones en el sistema son más cercanos a la realidad debido a que estamos

considerando el peso de cada elemento, en comparación con los resultados obtenidos en la tercera

práctica, las deformaciones en este caso son de mayor magnitud, esto se da fundamentalmente por la

flexión que ocurre en cada elemento.

Para resolver una armadura con nudos rígidos, tan solo sumamos los efectos de tracción y de

flexión, para nuestra matriz de rigidez, así logramos resolver dicha armadura por los métodos ya

conocidos.

Este tipo de análisis es muy recomendado debido a que a partir de éste, podremos deducir el

comportamiento (deformaciones) de cualquier armadura sometida a diferentes fuerzas e inclusive

cargas distribuidas a lo largo de cada elemento (incluyendo su propio peso).

El método por elementos finitos para el cálculo de armaduras en el plano tiene una tiene una

aproximación casi exacta, sólo se comete error por las cifras significativas que trabaja el MATLAB;

al comparar los resultados en forma analítica con la de elementos finitos el error del cálculo es cero

a su vez este método es aplicable a cualquier estructura en el plano, para ello tenemos que ingresar

la tabla de conectividad, que resultaría tedioso si la estructura consta de muchos elementos. La

ventaja de este método es la facilidad de cálculo por medio del MATLAB, en nuestro caso, ya que

se sigue una rutina y es de fácil cálculo para un número de elementos muy grade, que resultaría casi

imposible de resolverlo analíticamente.


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