Cuerpos geomtricos. Como todos sabemos, los cuerpos geomtricos corresponden a una figura geomtrica tridimensional, es decir, que se proyecta en tres dimensiones: largo, ancho y alto. Debido a esta caracterstica, existen en el espacio pero se hallan limitados por una o varias superficies. Si todas las superficies que lo limitan son llanas y de contorno poligonal, el cuerpo es un poliedro. -POLIEDROS: Un poliedro es, en el sentido dado por la Geometra clsica al trmino, un cuerpo geomtrico cuya superficie se compone de una cantidad finita de polgonos planos que encierran un volumen finito y no nulo. Se clasifican en dos tipos: regulares e irregulares.

a) Poliedros regulares:Los poliedros regulares son poliedros convexos con todas las caras idnticas que son polgonos regulares y con todos los vrtices recibiendo el mismo nmero de aristas. Solo existen 5 tipos de poliedros regulares: tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo y dodecaedro.

Tetraedro

Hexaedro (cubo)

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

N de caras N de vrtices N de aristas N de lados de cada cara N aristas concurrentes en un vrtice

4 caras 8 caras 12 caras 20 caras 6 caras (tringulos (tringulos (pentgonos (tringulos (cuadrados) equilteros) equilteros) regulares) equilteros) 4 6 8 12 20 4 6 3 3 8 12 4 3 6 12 3 4 20 30 5 3 12 30 3 5

-Tetraedro:

Un tetraedro regular es un poliedro formado por cuatro caras que son tringulos equilteros, y cuatro vrtices en cada uno de los cuales concurren tres caras. Es uno de los cinco poliedros perfectos llamados slidos platnicos. Adems es uno de los ocho poliedros convexos denominados deltaedros. Aplicndole la nomenclatura estndar de los slidos de Johnson podra ser denominado pirmide triangular. Clculo de dimensiones fundamentales Exclusivamente a partir de la arista a se pueden calcular el resto de las dimensiones fundamentales de un tetraedro regular. As, para las esferas singulares del tetraedro: Radio R de la esfera circunscrita al tetraedro (la que contiene en su superficie los cuatro vrtices del mismo):

Tetraedro regular

Grupo Nmero de caras Polgonos que forman las caras Nmero de aristas Nmero de vrtices Caras concurrentes

Slidos platnicos 4 Tringulos equilteros 6 4 3

en cada vrtice Vrtices contenidos 3 en cada cara Grupo de simetra Tetradrico (Td) Tetraedro Poliedro conjugado (autoconjugado)

Radio r de la esfera inscrita al tetraedro (la tangente a las cuatro caras del tetraedro):

Radio de la esfera tangente a las seis aristas del tetraedro:

En un tetraedro regular cada pareja de aristas opuestas (las que no concurren en un mismo vrtice) son ortogonales entre s, siendo la mnima distancia entre ellas el segmento que une sus puntos medios, de longitud doble al radio de la esfera tangente a las aristas del tetraedro.

La altura H del tetraedro (apoyado el tetraedro de manera estable sobre un plano horizontal, distancia perpendicular desde el plano de apoyo al vrtice opuesto):

Volumen, rea y desarrollo Dado un Tetraedro regular de arista a, podemos calcular su volumen V mediante la siguiente frmula:

Y el rea total de sus caras A (que es 4 veces el rea de una de ellas, Ac), mediante:

-Cubo:Un cubo, o hexaedro regular es un poliedro de seis caras cuadrados congruentes, siendo uno de los llamados slidos platnicos. Un cubo, adems de ser un hexaedro, puede ser clasificado tambin como paraleleppedo, recto y rectngulo, pues todas sus caras son de cuatro lados y paralelas dos a dos, e incluso como un prisma de base cuadrangular y altura equivalente al lado de la base. Volumen, rea y desarrollo Grupo Dado un Hexaedro regular de arista a, podemos calcular su volumen V mediante la siguiente frmula: V = a3 Y el rea total de sus caras A (que es 6 veces el rea de una de ellas, Ac), mediante: Nmero de caras Polgonos que forman las caras Nmero de aristas Nmero de vrtices Caras concurrentes en cada vrtice Vrtices contenidos en cada cara Grupo de simetra Poliedro conjugado Slidos platnicos 6 Cuadrados 12 ani= V % 4 8 3 4 Octadrico (Oh) Octaedro Hexaedro regular o cubo

-Icosaedro: Un icosaedro es un poliedro de veinte caras, convexo o cncavo. Sus caras han de ser polgonos de diecinueve lados o menos. Si las veinte caras del icosaedro son tringulos equilteros, forzosamente iguales entre s, el icosaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados slidos platnicos. El poliedro conjugado del icosaedro es el dodecaedro. Icosaedro regular

Clculo de dimensiones fundamentales

Volumen, rea y desarrollo

Dado un Icosaedro regular de arista a, se puede calcular su volumen V mediante la siguiente frmula:

Grupo Nmero de caras Palpedos que forman las caras Nmero de aristas Nmero de vrtices Caras concurrentes en cada vrtice Vrtices contenidos en cada cara Grupo de simetra Poliedro conjugado

Slidos platnicos 20 Tringulos equilteros 30 12 5 3 Icosadrico (Ih) Dodecaedro

Y el rea total de sus caras A (que es 20 veces el rea de una de ellas, Ac), mediante:

-Octaedro: Un octaedro es un poliedro de ocho caras.

Volumen, rea y desarrolloDado un Octaedro regular de arista a, podemos calcular su volumen V mediante la siguiente frmula: Octaedro regular

Y el rea total de sus caras A (que es 8 veces el rea de una de ellas, Ac), mediante: Grupo Nmero de caras Polgonos que forman las caras Nmero de aristas Nmero de vrtices Caras concurrentes vrtice Vrtices cara en cada cada Slidos platnicos 8 Tringulos equilteros 12 6 4 3 Octadrico (Oh) Cubo

contenidos en

Grupo de simetra Poliedro conjugado

Simetra

Un octaedro regular tiene tres ejes de simetra de orden cuatro, las rectas que unen vrtices opuestos; seis ejes de simetra de orden dos, las rectas que unen los centros de aristas opuestas y cuatro ejes de simetra de orden tres, las rectas que unen los baricentros de las caras opuestas; nueve planos de simetra, tres que contienen cada grupo de aristas coplanares, y seis perpendiculares a cada par de aristas paralelas; y un centro de simetra. Esto hace que este cuerpo tenga un orden de simetra total de 72: 2x(3x4+6x2+4x3). Los elementos de simetra anteriores definen uno de los grupos de simetra octadricos, el denominado Oh segn la notacin de Schenflies. -Dodecaedro: Un dodecaedro es un poliedro de doce caras, convexo o cncavo. Sus caras han de ser polgonos de once lados o menos. Si las doce Dodecaedro regular caras del dodecaedro son pentgonos regulares, forzosamente iguales entre s, el dodecaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados slidos platnicos.

Volumen, rea y desarrolloDado un Dodecaedro regular de arista a, podemos calcular su volumen V mediante la siguiente frmula:

Grupo Nmero de caras Polgonos que forman las caras Nmero de aristas Nmero de vrtices Caras concurrentes en cada vrtice Vrtices contenidos en cada cara Grupo de simetra Poliedro conjugado

Slidos platnicos 12 Pentgonos regulares 30 20 3 5 Icosadrico (Ih) Icosaedro

Y el rea total de sus caras A (que es 12 veces el rea de una de ellas, Ac), mediante:

SimetraUn dodecaedro regular tiene seis ejes de simetra de orden cinco, las rectas que unen los centros de caras opuestas; quince ejes de simetra de orden dos, las rectas que unen los centros de aristas opuestas; quince planos de simetra, que contienen cada pareja de aristas opuestas coplanares; y un centro de simetra. Esto hace que este cuerpo tenga un orden de simetra total de 120: 2x(6x5+15x2). Los elementos de simetra anteriores definen uno de los grupos de simetra icosadricos, el denominado Ih segn la notacin de Schenflies. (El dodecaedro tiene tambin diez ejes de simetra de orden tres: las rectas que unen cada par de vrtices opuestos.)

b) Poliedros irregulares:Un poliedro irregular est limitado por caras polidricas, que pueden presentar diferentes formas. En este tipo de poliedros, el nmero de caras no presenta lmites como ocurre con los poliedros regulares. Se clasifican en:

Pentaedro: es una figura formada por cinco pentgonos (siempre) quepuede tener los lados iguales o desiguales, lo que har que los ngulos sean distintos los unos de los otros.

Hexaedro: Un hexaedro es un cuerpo geomtrico llamado poliedro de seiscaras. Con este nmero de caras ha de ser forzosamente un poliedro convexo, y sus caras han de ser polgonos de cinco lados o menos.

Heptaedro: Es un cuerpo geomtrico limitado por siete caras planas.

Octaedro: Poliedro limitado por ocho caras planas que son tringulos.

Prisma: Un prisma recto es un poliedro que tiene por bases dos poliedrosiguales e igualmente dispuestos, y por caras, rectngulos, de los cuales, dos lados opuestos son lados correspondientes de los polgonos de la base.

Si sus caras fuesen paralelogramos, se llamara prisma oblicuo. Y un prisma se llamar prisma regular cuando sus bases sean polgonos regulares. Prisma Recto y Prisma oblicuo

Area de la superficie. El rea de la superficie lateral de un prisma recto es igual al permetro de la base multiplicado por la altura. Si al rea lateral aadimos el rea de cada una de las bases, obtendremos el rea de la superficie total, que indicaremos con St. Sl = p h St = p h + 2Ab

Volumen de un prisma. Para determinar el volumen de los prismas, hay que compararlo con un ortoedro de base un rectngulo equivalente a la base del prisma, y as poderlo hallar mediante el principio de Cavalieri. En resumen, podemos decir que el volumen de un prisma se obtiene multiplicando la base por la altura. V = Abase h

Prisma oblicuo

Prisma recto

Pirmides:

El nombre de pirmide se remonta al antigua Egipto, referdo a aquellas construcciones monumentales levantadas a orillas del Nilo ms de dos mil aos antes de Cristo para servir de tumba a los reyes.

Una pirmide es un poliedro limitado por un polgono (base de la pirmide) y por tringulos (caras de la pirmide). As pues, si la pirmide tiene de base un tringulo se llamar triangular, un cuadrado, cuadrangular, etc. Cuando la base sea un polgono regular, podemos decir que es una pirmide recta de base regular, cuando la altura (h) caiga sobre el centro de la base. Pirmide recta de base regular rea de la pirmide. El rea de la superficie lateral de una pirmide recta de base regular (de una pirmide regular) se obtiene multiplicando la longitud del permetro de la base por la apotema y dividiendo el producto por 2. Sl = p a El rea de la superficie total se obtendr aadiendo al rea lateral el rea de la base. St = p a + A Volumen de la pirmide. El volumen de la pirmide es igual al tercio del producto de la base por la altura. V = 1/3 A h

Pirmide de base regular

1. En la figura siguiente tienes dibujados algunos cuerpos.

a.

Qu caractersticas comunes ves a todos ellos?

b. Dibuja otros tres cuerpos con las mismas caractersticas. c. Piensa objetos reales en los que aparezcan poliedros.

2. En la figura siguiente tienes pintado un poliedro. En l se te indican algunoselementos caractersticos.

a. b. c. d.

Cmo definiras cada uno de estos elementos? Cuntas caras, vrtices y aristas tiene este poliedro? Cuntas caras se habrn de juntar en un vrtice como mnimo?

Cunto pueden sumar los ngulos de las caras que concurren en un mismo vrtice como mximo?

3.

En albailera, una construccin rectangular como la de la figura, representa una debilidad estructural. Si consideramos los ladrillos como domins, ser posible formar un rectngulo de manera que no haya ninguna lnea de fractura? Cul sera el rectngulo mnimo?

4.

De entre todos los octamantes (hay 11) dibuja los que son desarrollos del octaedro regular.

Slo hay 8 deltaedros convexos. Ah los tienes dibujados.

5.

Hallar el rea de un icosaedro regular de arista 12 cm.

6. Completa la tabla siguiente.N de caras(C) 4 6 8 10 12 14 16 18 10 7 18 3 4 0 N de vrtices(V) 4 N de aristas(A) N de vrtices de orden 3 4 3 N de vrtices de orden 4 N de vrtices de orden 5 0

20

30

12

(Observa que no se ha podido encontrar el deltaedro-18). Expresa el nmero de aristas de un deltaedro en funcin de su nmero de caras. Expresa tambin el nmero de vrtices en funcin del nmero de caras.

7.

Una fuente tiene una altura de 1 m y su base es un hexgono regular de 2m de lado. Calcular su volumen.

Vctor Ruiz y Brbara Gutirrez