INGENIERIA QUIMICA

Análisis de Datos Experimentales

Cuadro comparativo de Distribuciones de Probabilidad Continuas

Distribución Definición Parámetros Formula General Media / Varianza Observación Aplicaciones Características

DISTRIBUCIÓNUNIFORME

.

Corresponde al caso de una variable aleatoria que sólo puede tomar valores comprendidos entre dos extremos a y b, de manera que todos los intervalos de una misma longitud (dentro de (a, b)) tienen la misma probabilidad.

α=mínimo delrecorrido

β=máximodelrecorrido

Función de densidad

f ( x )= 1β−α

α ≤x ≤β

f ( x )=0enotrocaso

Integrando se obtiene función de distribución

P (a≤x ≤b )=∫a

bdxβ−α

¿(b−a)(β−α )

Media

E (X )=(β+α )2

Varianza

V (X )=(β−α)2

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También puede expresarse como el modelo probabilístico correspondiente a tomar un número al azar dentro de un intervalo (a, b).

Muestreo de una distribución uniforme

Muestreo de una distribución arbitraria

Esta distribución presenta una peculiaridad importante: la probabilidad de un suceso dependerá exclusivamente de la amplitud del intervalo considerado y no de su posición en el campo de variación de la variable.

DISTRIBUCIÓN WEIBULL

Complementa a la distribución exponencial y a la normal, se usa cuando se sabe de antemano que una de ellas es la que mejordescribe la distribución de

Parámetro de escala δ > 0 y parámetro de forma β > 0

fx (x;δ,β)=βδ ( x¿¿

δ )β-1 e

-(x/δ)β

para x >0

Media

E(X)= λΓ (1+ 1k )Varianza

x= λ2

Coincide con la exponencial de

intensidad  1λ

cuando k = 1 y la de distribución de Rayleigh de

Se aplica en el desgaste de sistemas por ejemplo el número de fallas aumenta con el tiempo (ejemplo, el desgaste), disminuye con el tiempo o

La distribución de Weibull

puede caracterizarse como

la distribución de una

variable aleatoria X tal que

y= ( xλ )k

sigue una distribución

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fallos o cuando se han producido muchos fallos [Γ+(1+ 2k )−Γ 2(1+ 1k )] moda σ =

1

√2

cuando k=2.

permanece constante(fallas provocadas por causas externas al sistema).

exponencial estándar de intensidad 1.

DISTRIBUCIÓN ERLANG

Se define como la variable aleatoria que es igual al lapso en que ocurren r conteos en un proceso Poisson

λ = 1/ θr = 1, 2, 3, ....

fx(x;λ,r) = λr xr−1 e−λx

(r−1)ǃ

Para x¿0 y r = 1,2,…

Media:μx=E (X )=r / λ

Varianza:

σ x2=V (X )=r / λ2

Puede considerarse como el análogo de una variable aleatoria binomial negativa

Probabilidades en cálculos informáticos.

DISTRIBUCIÓN GAMMA

Es el resultado de que r en una variable aleatoria Erlang no sea un entero, y se cumpla que r > 0

λ>¿ 0r ¿ 0

fx(x;λ,r) = λr xr−1 e−λx

Ƭ (r)

para x > 0

Media:μx=E (X )=r / λ

Varianza:

σ x2=V (X )=r / λ2

No se emplea con mucha frecuencia como modelo de un sistema físico

Estimación por intervalos y en las pruebas de hipótesis.Modelar experimentos aleatorios

Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”. Por esta razón,es muy utilizada en las teorías de la fiabilidad, mantenimiento y fenómenos de espera.

Es la distribución más importante de todo el campo de la estadística.

Parámetros μ ,σDondeμ = media y

σ 2 = varianza

La densidad de la variable aleatoria normal X, con una media μ y varianza σ 2, es:

Media:

E (X )=μ

Varianza:

Describe fenómenos que ocurren en la naturaleza, la industria y la investigación. Se usa en las mediciones

Propiedades de la curva normal.

1. La moda, que es el punto sobre el eje horizontal donde la curva es un máximo,

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DISTRIBUCIÓN NORMAL

n ( x ; μ ,σ )= 1√2 πσ

e−12σ2 ( x−μ )2

Donde π = 3.1416 y e = 2.71828

V (X )=σ2físicas de áreas como los experimentos meteorológicos, como estudios de lluvia y mediciones de partes fabricadas.

donde ocurre enx=μ.2. La curva es simétrica

alrededor del eje vertical a través de la media μ .

3. La curva tiene sus puntos de inflexión en x=μ±σ , es cóncava hacia abajo si μ−σ<X<μ+σ , y es cóncava hacia arriba en cualquier otro caso.

4. La curva normal se aproxima al eje horizontal de manera asintótica, conforme nos alejamos de la media en cualquier dirección.

5. El área total bajo la curva y sobre el eje horizontal es igual a 1.

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

Describe procesos en los que interesa saber el tiempo hasta queocurre determinado evento; en particular, se

λ>0 F ( x ; λ )= {λe− λx x≥0

De lo contrario0

E(X)= ∫0

∞

x λ e− λxdx

La varianza de x se calcula utilizando el hecho de que

V(X)=E(X2)-[E(X)]2

La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta

Se utiliza como modelo de la distribución de tiempos entre la ocurrencia de eventos sucesivosProporciona modelos de probabilidad

Modela la distribución de la duración de un componente.

Se asemeja a la distribución de Poisson

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utiliza para modelar tiempos de supervivencia

Los resultados son:

μ51λσ25

1

λ2

que son muy utilizados en disciplina de ingeniería y ciencias

Conclusión

El concepto de probabilidad surge con la necesidad de conocer los sucesos futuros. En la actualidad se continúa con el estudio de nuevas metodologías que permitan el estudio y análisis de las probabilidades, minimizando de esta forma, los márgenes de error. La teoría de la probabilidad es utilizada en física, ciencias, matemática e incluso en filosofía.

Toda distribución de probabilidad es generada por una variable aleatoria, la cual como sabemos puede ser discreta o continua, esta última se caracteriza porque puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos.

Las probabilidades asociadas con una variable aleatoria continua se dan como áreas bajo la distribución de probabilidad f(y).No es posible asignar probabilidades a los puntos muéstrales asociados con una variable aleatoria continua, requiere un modelo poblacional completamente distinto.

Las distribuciones de variable continua más importantes son las siguientes:

Distribución exponencial Distribución normal Distribución Gamma

Distribución uniforme (continua) Distribución Erlang Distribución Weibull

El modelo de probabilidad a utilizar dependerá de la variable a identificar y de la situación a considerar.

Fuentes de Consulta

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http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_Weibull Walpole Ronald E, et. al. PROBABILIDAD & ESTADÍSTICA. Edit. Prentice Hall. Octava edición. Pág. Consultadas 172 – 185. probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias séptima edición. JAY L. DEVORE. Pag 157,158,159. http://www.uv.es/ceaces/base/modelos%20de%20probabilidad/exponencial.htm Probabilidad y Estadística para ingeniería. Tercer Edición. WILLIAM W. HINES. Pag 203 – 219 Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería, Douglas C. Montgomery, Ed. McGraw Hill, 1ra. Edición, 1996, Págs. 204-208. http://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo4/B0C4m1t1.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_Erlang

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