Cuadernillos 3º ESO. Catalán

____________________________ INS __________________________

INS _______________________

QUADERN Nm. 1 NOM: DATA: / /

Nombres racionals - 1 -

Els nombres racionals

Continguts

1. Nombres racionals Decimals peridics Fracci generatriu Ordenaci i representaci

2. Operacions amb fraccions Sumes i restes Productes i quocients Operacions combinades

3. Potncies dexponent enter Definici Operacions

4. Notaci cientfica Introducci Nombres molt grans i nombres molt petits Operacions

5. Mesura derrors Aproximacions Error absolut i relatiu

6. Aplicacions Problemes daplicaci

Objectius Identificar, ordenar i representar nombres racionals.

Efectuar operacions amb fraccions.

Expressar fraccions com a nombres decimals i nombres decimals com a fraccions.

Calcular potncies amb exponent enter i efectuar operacions amb potncies.

Aproximar nombres i calcular lerror absolut i relatiu.

Expressar un nombre en notaci cientfica i efectuar operacions amb nombres en aquesta notaci.

Utilitzar els nombres racionals per resoldre problemes relacionats amb la vida quotidiana.

Autora: Conxa Sanchis Sanz Sota llicncia Creative Commons Si no sindica el contrari.

INS _______________________



Per repassar conceptes fonamentals de fraccions, com ara lobtenci de fraccions equivalents o la reducci de fraccions a denominador com... Clica

Desprs de repassar, clica per anar als continguts de la quinzena.

ACTIVITAT: Observa la figura que apareix a lescena. En quants triangles es divideix inicialment? _____ Al final noms queden els polgons que es veuen en aquesta figura. Escriu dins de cadascun la fracci que correspon al seu tamany, considerant el quadrat complet com una unitat. En tots els casos, escriu aquesta fracci de dues maneres: Simplificada i amb denominador 64.

1. Nombres racionals 1.a. Decimals peridics Llegeix el text de la pantalla. EXERCICI. Completa el text segent:

Una fracci s un _____________ entre dos nombres enters.

El resultat daquesta divisi s un ____________________ amb un grup de xifres que ________________________, anomenat __________, i que pot ser:

Exemple: Sescriu: El perode s:

Decimal ______________ =1112

______________

Decimal ______________ =1531

______________

Decimal ______________ =81

______________

Llegeix lexplicaci de lescena.

Abans de comenar

INS _______________________



Fes lactivitat de lescena i completa aquest quadre amb els exemples que apareixen i amb quatre exemples ms, els que tu tris.

Fracci Expressi decimal

Decimal exacte

Decimal peridic pur

Decimal peridic mixt Perode

1115

1,363636 No Si No 36

712

1531

817

Per qu podem afirmar que la representaci decimal duna fracci s sempre un decimal finit o infinit peridic? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________

Ara fes clic al bot para fer uns exercicis.

Sobre una escena en qu hi apareix un nombre decimal i has dindicar de quin tipus s. Completa aquest quadre amb vuit dels exercicis que resolguis en aquesta escena.

Fracci Nombre decimal Tipus Fracci Nombre decimal Tipus

Quan acabis Clica per anar a la pgina segent.

INS _______________________



1.b. Fraccions generatrius

Llegeix atentament a lescena el procediment per a obtenir la fracci generatriu segons els

diferents tipus de decimals. Copia en el requadre segent un exemple de cada tipus seguint

pas a pas lexplicaci de lescena:

Exemple Procs:

Exacte x = Multipliquem per 10 : ________x = _________

Allem: =x

Peridic pur x =

Multipliquem per 10 : ________x = _________

Restem les dues equacions: _______x = __________

Allem: =x

Peridic mixt x =



Restem les dues darreres equacions: _____x = ________

Allem: =x

A la banda esquerra apareixen els tres tipus de decimals. Si passes el ratol per sobre de la

paraula destacada podrs veure lexplicaci o frmula de cadascun dels mtodes.

Escriu-los en el requadre: Mtode

Decimal exacte

Decimal peridic pur

Decimal peridic mixt

Ara clica al bot

per fer uns exercicis.

Apunta quatre resultats en la taula segent:

Nombre decimal Fracci Nombre decimal Fracci


INS _______________________



1.c. Ordenaci i representaci grfica

A lescena inferior esquerra, COMPARACI DE FRACCIONS, aprendrs a comparar fraccions

amb procediments aritmtics.

En primer lloc, repassa el clcul del mnim com mltiple: A lescena, et proposen que calculis

el m.c.m. de dos nombres: calculal i, desprs, fes clic a COMPROVAR per veure si el teu

clcul s correcte.

Anota quatre resultats en aquesta taula (practica a lescena fins a conseguir un mnim de tres

encerts consecutius).

Parell de nombres Mnim com mltiple

Parell de nombres Mnim com mltiple

En aquesta mateixa escena de COMPARACI DE FRACCIONS:

Clica al bot per repassar el procs de reducci de fraccions a com denominador.

Llegeix atentament el text en qu sexplica com es fa i desprs clica a per

practicar. Repeteix lexercici fins a obtenir un mnim de 3 encerts consecutius.

Anota quatre resultats en aquesta taula:

Fraccions Fraccions amb

denominador com Fraccions Fraccions amb

denominador com

Ara ja pots emprendre la comparaci de fraccions. Clica al bot per comenar. Fes exercicis de comparaci de fraccions positives i de fraccions negatives fins a obtenir un mnim de tres resultats correctes consecutius en cada cas. Anota sis exercicis en els requadres segents:

Fraccions Fraccions ordenades Fraccions Fraccions ordenades

INS _______________________



A lescena de la dreta, REPRESENTACI GRFICA DE FRACCIONS, aprendrs a comparar fraccions per procediments grfics. Clica a per seguir lexplicaci. Has de veure diversos exemples, fins que entenguis b el procediment, tant en el cas de fraccions prpies com imprpies.

Quan ho hagis ents, clica


Fes tres exercicis de cada tipus i escriu els resultats a les taules segents:

Fraccions Fraccions ordenades

Fraccions Representaci grfica


EXERCICIS 1. Esbrina de quin tipus sn els decimals que resulten de les fraccions segents:

a) 7392

b) 2257

c) 3627

2. Calcula les fraccions generatrius dels decimals segents: a) x = 2,375 b) x = 43,666... c) x = 4,3666...

3. Ordena de menor a major les fraccions segents: 29

59

99

123

105 ,,,,

4. Representa en la recta les fraccions:

a) 32

b) 43

44

19+= c)

52

5523

+=

EXERCICIS de REFOR Ordena els segents parells de fraccions:

a) 23

i 51

b) 31

i 21

c) 53

i 158

d) 53

i 71

INS _______________________



2. Operacions amb fraccions 2.a. Sumes i restes Llegeix el text on sexpliquen els procediments per SUMAR i RESTAR fraccions. EXERCICI 1: Completa. Exemple SUMES: Si les fraccions tenen el mateix denominador _________________ ______________________________________________________.

Si no tenen el mateix denominador, _________________________ ______________________________________________________.

RESTES: ______________________________________________________.

Llegeix atentament lescena de la dreta per comprendre el procediment a seguir per calcular una suma de fraccions. EXERCICI 2: Completa. Respostes

Escriu la suma que representa la quantitat que ha menjat el primer amic: +

Per calcular aquesta suma cal dividir cadascuna de les pizzes en el mateix nombre de porcions. Quin s el nombre mnim de porcions en qu shan de dividir per poder fer la suma?

Aix podem expressar aquesta suma de fraccions como la suma de dues que tenen el mateix denominador. Indica-la i calculan el resultat:

=+

Consulta ara lescena da baix a lesquerra per conixer les propietats de la suma de fraccions. EXERCICI 3: Escriu els noms de les propietats i un exemple de cadascuna. Exemple

1

2

3

4

Clica el bot

Per fer uns exercicis.

Fes quatre exercicis de cada tipus. Desprs clica COMPROVAR per veure si ho has fet b. Utilitza els espais de la taula de la pgina segent per resoldrels.

INS _______________________



Suma de dues fraccions

Desenvolupament i resultat

Suma de dues fraccions


Resta de dues fraccions


Resta de dues fraccions


Suma duna fracci i un enter


Suma duna fracci i un enter


Sumes combinades Desenvolupament i resultat


2.b. Productes i quocients Llegeix el text on sexpliquen els procediments per a calcular PRODUCTES i QUOCIENTS de fraccions. EXERCICI 1: Completa: Exemple PRODUCTES: ______________________________________________________.

La inversa duna fracci sobt _______________________ ______________________________________________________.

QUOCIENTS: ______________________________________________________.

INS _______________________



EXERCICI 2: Llegeix atentament lescena de la dreta per comprendre el procediment a seguir en calcular productes de fraccions i completa all que falta en aquesta taula. Respostes

Comencem amb els adossats:

Cada fase representa del total. Cada zona dadossats s de la fase

en qu es troba. Amb quina operaci es calcula la part del total reservada a zona dadossats de cada fase i quin s el resultat?

=

Quina fracci de la parcel.la ocupen els adossats?

Hi ha adossats dins de parts de la parcel.la i en cadascuna daquestes

parts representen de la mateixa. Indica loperaci i el resultat de la

fracci del total que ocupen els adossats:

=

Quina fracci de la parcel.la ocupen els pisos?

Hi ha pisos dins de parts de la parcel.la i en cadascuna daquestes

parts representen els de la mateixa. Indica loperaci i el resultat de la

fracci del total que ocupen els pisos:

=

Quina fracci de la parcel.la ocupen les zones verdes?

Hi ha zones verdes dins de part de la parcel.la i dins della representen

els de la mateixa. Indica loperaci i el resultat de la fracci del total

que ocupen les zones verdes:

=

Quina fracci de la parcel.la ocupen les zones dotacionals?

Hi ha zones dotacionals en part de la parcel.la i dins della

representen de la mateixa. Indica loperaci i el resultat de la fracci

del total que ocupen les zones dotacionals:

=

En resum =

EXERCICI 3: Consulta ara lescena de la part inferior esquerra per conixer les propietats del producte de fraccions. Escriu els noms de les propietats i un exemple de cadascuna en aquesta taula. Exemple

1

2

3

4

5

6

7

INS _______________________



Clica al bot


Fes quatre exercicis de cada tipus. Desprs clica COMPROVAR per a veure si ho has fet b. Utilitza els espais de la taula per a resoldrels.

Producte de dues fraccions


Producte de dues fraccions


Quocient de dues fraccions


Quocient de dues fraccions


Producte duna fracci i un

enter


Producte duna fracci i un

enter


Producte dun enter i una

fracci


Producte dun enter i una

fracci


Quocient duna fracci i un

enter


Quocient duna fracci i un

enter


Quocient dun enter i una

fracci


Quocient dun

enter i una fracci



INS _______________________



2.c. Operacions combinades Llegeix el text en qu es recorden les normes de prioritat. EXERCICI 1: Escriu en els cercles el nre dordre de loperaci corresponent.

Si no hi ha parntesis Ordre en qu sha de fer

Si hi ha parntesis

Ordre en qu sha de fer

Sumes i restes

Sumes i restes

Productes i quocients

Efectuar els parntesis

Productes i quocients

EXERCICI 2: Observa en lescena diferents exemples de clcul amb operacions combinades fins que hagis ents b el procs. Desprs, fes dos exercicis de cada tipus en els requadres segents, sense consultar la soluci fins que els hagis acabat. Comprova desprs si ho has fet b:

Operacions sense parntesis

Operacions amb parntesis

Operacions amb parntesis dins de parntesis

INS _______________________



Operacions amb parntesis implcits


EXERCICIS

5. Calcula 89

111

+

6. Calcula 127

59

7. Calcula 759

8. Calcula 58

9102

127

59

++

9. Calcula 56

71

10. Calcula 56

:71

11. Calcula )6(71

12. Calcula 71

)6(

13. Calcula )6(:71

14. Calcula 71

)6(

15. Calcula 262

346

71

4:64

+

16. Calcula

+

+

67

:61

21

7771

64

17. Calcula

21

27

52

:

21

71

23

75

++

+

INS _______________________



3. Potncies dexponent enter 3.a. Definici Llegeix la definici de potncia dexponent enter. Fixat, sobretot, en la definici de potncia dexponent negatiu.

Si n = 1

Si n > 1

Si n = 0

EXERCICI 1: Completa.

an =

Si n < 0

EXERCICI 2: Completa les igualtats segents com a lexemple:

251

5

15

22

== ==35 ==23

==24 ==26 ==37

Clica al bot

per fer exercicis de clcul de potncies. Escriu-ne sis a la taula

de sota. Desprs de cada exercici, clica COMPROVAR per corregir-lo.

Exercici 1 Exercici 2 Exercici 3

Exercici 4 Exercici 5 Exercici 6

En lescena de la dreta pots veure les PROPIETATS DE LES POTNCIES.

Clica per avanar per lescena i anar-les veient.

INS _______________________



Escriu les propietats en aquest quadre amb dos exemples de cadascuna.


RECORDA PROPIETATS DE LES POTNCIES 1. Per multiplicar potncies de la mateixa base:

_____________________________________________________________.

Exemples:

2. Per dividir potncies de la mateixa base: _____________________________________________________________.

Exemples:

3. Per elevar una potncia a un exponent: _____________________________________________________________.

Exemples:

4. Per elevar un producte a un exponent: ______________________________________________________________.

Exemples:

5. Per elevar una fracci a un exponent: ______________________________________________________________.

Exemples:

NOTA: Llegeix lexplicaci de ls de parntesis quan la base s negativa.

Exemples:

6. Potncies dexponent zero: a0 = __

Exemples:

7. Potncies dexponent negatiu: a-n =

Exemples:

INS _______________________



3.b. Operacions amb potncies Llegeix lexplicaci: Quan hem defectuar operacions combinades... EXERCICI: Completa a continuaci les normes de prioritat quan hi ha potncies.

Sefectuen en primer lloc: ________________________________________________.

Tot seguit ___________________________________________________________.

Amb els resultats obtinguts es fan les _____________________________________.

Les prioritats anteriors es poden alterar amb ______________, o tamb si es poden aplicar algunes de les propietats que hem vist a la pgina anterior (productes o quocients de potncies amb la mateixa base).

EXERCICI 2: Observa a lescena diferents exemples de clcul amb operacions combinades que inclouen potncies. Tot seguit, fes dos exercicis de cada tipus en els requadres segUents, sense consultar la soluci fins que els hagis acabat. Comprova desprs si ho has fet b.

Operacions senzilles

Exemple 1.1:

Exemple 1.2:

Transformar nombres en potncies

Exemple 2.1:

Exemple 2.2:

Productes i quocients de potncies de la mateixa base

Exemple 3.1:

Exemple 3.2:

INS _______________________



Potncies del mateix exponent

Exemple 4.1:

Exemple 4.2:

Fes clic al bot

i anirs a una pgina de jocs amb potncies.

Ara, escriu a cada lloc un dels resultats dels jocs que vas resolent: 1. Triangle de multiplicacions i divisions amb quatre potncies. 2. Triangles de quocients amb potncies de 2.

3. Triangles de quocients amb les potncies de 10 4. Triangle de quocients amb potncies

Triangles mgics multiplicatius 4. Triangle de quocients amb potncies 5. amb potncies de 2 6. amb potncies de 3

INS _______________________



Tres anelles mgiques multiplicatives 7. Triangle mgic multiplicatiu amb potncies 8. amb potncies de 10 9. amb potncies

10. Estrella mgica multiplicativa de tres puntes, amb nou potncies de 2

11. Estrella mgica multiplicativa de sis puntes, amb potncies

12. Quadrat mgic multiplicatiu de 3x3 amb les potncies de 2


EXERCICIS 18. Calcula

4

95

19. Calcula 2

52

20. Calcula 43 21. Calcula 3

21

22. Calcula ( )03

1:43

:76

:21

35

23. Transforma 1000 en potncia de 10.

24. Transforma 0,00001 en potncia de 10.

25. Transforma 16 en potncia de 2.

26. Transforma 0,0016 en potncia de 5.

27. Expressa cada terme com a potncia de 10 i simplifica: ( ) ( ) ( )22

222

1001,0

01,01000:1,0

28. Expressa cada terme com a potncia de 4 i simplifica: ( )( ) 4:6464

1

64

116

22

29. Simplifica tant com es pugui la segent fracci de manera que el resultat quedi en

forma de productes i quocients de potncies dexponent positiu: ( )( )2

233

322

732

532

INS _______________________



4. Notaci cientfica 4.a. Productes i quocients per potncies de 10 Llegeix el text per tal de repassar les regles de clcul del producte i la divisi dun nombre per una potncia de 10. EXERCICI: Completa.

Multiplicar per 10n (equival a ______________________________ )

o Si el nombre s enter __________________________________________.

o Si no s enter _______________________________________________________ ____________________________________________________________________.

Dividir per 10n (equival a ______________________________ )

o ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________.

Desprs, ves a lescena i llegeix tants exemples com calgui fins que comprenguis el procediment. Copia un daquests exemples a lespai segent:

Clica al bot

Per fer exercicis de productes i quocients per potncies de 10.

Resol-ne almenys sis i escriu-los aqu. Clica COMPROVAR desprs de resodre cadascun per veure si lhas fet b.

Operaci Resultat Operaci Resultat




INS _______________________



4.b. Nombres molt grans o molt petits Llegeix lexplicaci: Es diu que un nombre EXERCICI 1: Completa: La notaci cientfica s til per a representar nombres _____________________________ o ________________________________________ . Aquests nombres apareixen sovint en ______________________________________ , daqu el seu nom. Si un nombre est escrit en notaci cientfica, t laparena c0,c1c2..cp10n c0 s una xifra _____________ de zero i lordre de magnitud del nombre s _____.

En lescena, apareixen exemples de situacions en les quals es treballa amb nombres molt grans o molt petits. Llegeix-los atentament. EXERCICI 2: Completa: Dimetre de la galxia Andrmeda, amb totes les seves xifres:

Dimetre de la galxia escrit en Notaci Cientfica:

Quin s lordre de magnitud del dimetre daquesta galxia?

Distncia de la nostra galxia a la galxia Andrmeda:

Quin s lordre de magnitud daquesta distncia?

Quantes vegades, aproximadament, s ms gran la distncia a la galxia Andrmeda que el dimetre daquesta galxia?

Dimetre del nostre Sistema Solar:

Quin s lordre de magnitud del dimetre del Sistema Solar?

Distncia de La Terra a la Lluna:

Quin s lordre de magnitud de la distncia Terra-Lluna?

Quantes vegades, aproximadament, s ms gran el dimetro del Sistema Solar que la distncia Terra-Lluna?

EXERCICI 3: En la mateixa escena, passem al mn dall molt petit. Completa:

________'010 1 == __________'010 3 == __________'010 5 ==

________'010 2 == __________'010 4 == __________'010 6 ==

Tamany duna pua:

Ordre de magnitud

Mesura duna aresta de silici

Ordre de magnitud

Mesura duna escata de lala duna papallona

Ordre de magnitud

INS _______________________



Mesura duna bactria del clera

Ordre de magnitud

Mesura dun virus

Ordre de magnitud

Dimetre dun tom doxigen

Ordre de magnitud

Dimetre del nucli dun tom doxigen

Ordre de magnitud

Quants toms doxigen caben dins dun virus, aproximadament?

Quantes vegades cabria el nucli al llarg dun tom doxigen, aproximadament?

Clica

Per fer exercicis. En trobars instruccions per introduir

nombres en notaci cientfica. Llegeix-les atentament, perqu et caldran pels exercicis segents. En i trobars exercicis per practicar el pas de notaci decimal a cientfica i a linrevs. Fes sis exercicis de cada tipus a la taula segent:

Pas de forma decimal a cientfica

Notaci decimal Notaci cientfica Notaci decimal Notaci cientfica



Pas de forma cientfica a decimal





INS _______________________



4.c. Operacions en notaci cientfica Llegeix lexplicaci: Els nombres escrits en notaci cientfica noms se solen presentar en EXERCICI 1: Completa les frmules per multiplicar i dividir potncies de 10.

n10ax =

m10by = 10___yx = 10

yx

=

EXERCICI 2: Completa:

Distncia de la nostra galxia a la galxia Andrmeda:

Dimetre de la galxia Andrmeda:

Comparaci entre els ordres de magnitud (fet abans):

Quocient entre les mesures completes:

Clica el bot

per fer exercicis doperacions en notaci cientfica.

Escriu-ne sis en la taula segent. Desprs de resoldre cada exercici, fes clic a COMPROVAR per corregir-lo.

Operaci Resultat

INS _______________________




5. Mesura derrors 5.a. Aproximacions EXERCICI 1: Llegeix lexplicaci: A la vida real se solen presentar i contesta. En quines situacions es calcula amb valors aproximats?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

A lescena pots veure tres botons que et permeten accedir a exemples daproximacions.

Clica:

Sobre un quadre amb diversos exemples trets de buscadors dInternet. Completa les dades que falten en els segents requadres:

Buscador Resultats Arrodoniment a les Valor exacte entre:

Google

Ask

Yahoo

Clica:

Sobre un quadre amb una factura. Completa les dades que falten en els requadres:

Preu del llibre sense IVA

Import IVA IVA aprox. con dues xifres

Preu final

Aprox. en clculs no exactes

Aproximacions amb enters

EXERCICIS 30. Calcula: 63.785108

31. Calcula 133,750781010

32. Calcula: 3018910-2

33. Calcula: 626,210-5

34. Passa a forma cientfica el nombre 94494000

35. Passa a forma cientfica el nombre 0,0000007308

36. Efectua l operaci segent i deixa el resultat en notaci cientfica:

(5,6733102) (1,625810-6)

37. Efectua l operaci segent i deixa el resultat en notaci cientfica:

(1,231910-9) (8,479810-1)

38. Efectua l operaci segent i deixa el resultat en notaci cientfica: 10

11

106422,1109989,9

39. Efectua l operaci segent i deixa el resultat en notaci cientfica: 4

10

10217,3103472,1

INS _______________________



Clica:

En lescena apareix un segment blau. Pots mesurar-lo utilitzant el regle que apareix en lescena. Completa les dades que falten en els segents requadres:

Aproximaci per defecte Aproximaci per excs Valor ms probable

EXERCICI 2: Respon: Com sarrodoneix una quantitat a un ordre determinat? Posa un exemple.

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

Clica el bot

per fer exercicis daproximacions. Desprs de resoldre cada

exercici, fes clic a COMPROVAR per corregir-lo i a UN ALTRE EXEMPLE per generar-ne un de nou.

Quantitat Aproximaci Expressi en notaci cientfica


5.b. Error absolut i error relatiu Llegeix lexplicaci: Presentem aqu un seguit de mesures EXERCICI: Completa les segents definicions tot seguit:

Error absolut: s la diferncia entre _________________ i el __________________.

T ____________________________ que els valors que sutilitzen.

Cota de error: s la _____________________ en el qual es pot trobar el valor exacte.

Aquesta mesura sutilitza quan ____________________________.

Error relatiu: s el quocient entre ______________ i _______________.

No t ____________ i es pot expressar tamb _________________________.

Aproximacions en mesures

INS _______________________



A lescena de la dreta pots veure exemples daquestes mesures.

Exemple 1: La factura Exemple 2: Els buscadors

Preu sense IVA Google Ask

Valor exacte de lIVA Valor exacte

Valor aproximat (dues xifres) Valor aproximat

Error absolut Cota derror

Error relatiu Error relatiu

Exemple 3: La factura Cota derror

Aproximaci per defecte 0,1

Aproximaci per excs

Valor ms probable

Clica el bot

Per fer exercicis daproximacions. Desprs de resoldre cada

exercici, fes clic a COMPROVAR per corregir-lo i a UN ALTRE EXEMPLE per generar-ne un de nou.

Quantitat Aproximaci Error absolut Error relatiu


EXERCICIS 40. Arrodoneix a les centsimes 171,39664703

41. Arrodoneix a les deumil.lsimes i passa a notaci cientfica 0,0065439

42. Arrodoneix a les desenes de miler i passa a notaci cientfica 859.417.590

43. 460.000.000 s un arrodoniment a les desenes de mili de 456.099.072. Calcula lerror absolut i el relatiu.

INS _______________________



6. Aplicacions 6.a. Problemes daplicaci

Clica als botons superiors per accedir als diferents exercicis.

Un cop resolts, clica a COMPROVAR per corregir-los. PROBLEMA 1 La piscina dun xalet disposa de dues entrades daigua per omplir-la. Si noms sutilitza la primera, la piscina triga ___ ___ hores en omplir-se. Si sutilitza noms la segona, tarda ___ ___ hores. Quant trigar en omplir-se si sutilitzen les dues a la vegada?

PROBLEMA 2 El triangle de Sierpinski s una figura geomtrica dun tipus especial anomenat fractal. Es construeix aix: Es parteix dun triangle equilter. Nivell 1: Selimina el triangle que uneix els punts mitjans. Nivell 2: Es repeteix el procs amb els tres triangles que queden. Nivell 3: Es repeteix el procs amb els nou triangles que queden. Encara que aqu noms es veuen 4 etapes, el procs segueix indefinidament. Si lrea del triangle inicial s d 1 m2, quant val lrea del triangle de Sierpinski de nivell 4?

INS _______________________



PROBLEMA 3 Laire pressiona sobre cada centmetre quadrat de la superfcie terrestre amb la fora d1 kg. Si la superfcie del planeta s de, aproximadament, 510 milions de quilmetres quadrats, Quant pesa latmosfera? Si la massa de la Tierra es dunes 61021 Tm, quantes vegades s ms pesat el planeta que latmosfera?

PROBLEMA 4 En joieria sutilitza luna troy com a unitat de pes per lor. Una una troy pesa 31,1034768 g. Si el preu de lor s de 273 /oz, calcula el preu dun gram dor. Un joier que treballa lor disposa duna balana que comet un error mxim de 5 centsimes de gram per gram. Amb el preu anterior, calcula quant pot guanyar o perdre por cada una i per cada gram a causa de lerror.

INS _______________________



Recorda el ms important RESUM

Completa:

Un nombre racional s: _____________________________________________________.

Tot nombre racional es pot expressar com ___________________________________.

Els nombres racionals estan ___________ i es poden ____________________.

Els nombres enters _____________________________.

Operacions amb fraccions

Sumar i restar:____________________________________________________________.

Multiplicar i dividir:

Per elevar a un exponent:

Mesura derrors

Lerror absolut s _______________________________________________________.

Lerror relatiu s ________________________________________________________.

La cota derror s ________________________________________________________.

Prioritats en les operacions (quan intervenen potncies)

1) _______________________________________

2) _______________________________________

3) _______________________________________

4) _______________________________________

Potncies

Si n > 0, an =

Si a 0, a0 = i a-n = En particular: a-1 = i n

ba

=

Notaci cientfica

Els nombres molt grans o molt petits sexpressen en notaci cientfica: __________.

Per operar amb nombres en notaci cientfica apliquem____________________________.

Clica per anar a la pgina segent

INS _______________________



Per practicar A la pgina d EXERCICIS, en trobars de diferents tipus:

Problemes per practicar les operacions amb fraccions Problemes amb potncies i notaci cientfica Problemes amb valors aproximats

Problemes per practicar les operacions amb fraccions Per comenar, clica en el control Tria opci per escollir el tipus de problema que prefereixis. Conv que resolguis un problema de cada tipus. A lenunciat, omple lespai reservat a la dada o dades que falten, i desprs resol el problema.

1. Problemes durbanisme

Lajuntament duna ciutat ven ____ dun solar a una empresa i ____ de la resta a una altra. Queden sense vendre ____ ha. Quina superfcie t el solar?

2. Amb IVA o sense IVA?

Limport de la reparaci dun cotxe en un taller s de _____ sense IVA. Quant puja la factura amb IVA? (LIVA s del ____ %).

3. Les rebaixes

Per un vestit hem pagat ____ . i a letiqueta ens indiquen que se li ha aplicat una rebaixa del ___ . %. Quin era el preu del vestit abans del descompte?

4. El celler

Quina quantitat de vi hi ha emmagatzemat en ____ caixes i ____ , si cada caixa cont _____ . ampolles de _____ litre cada una?

5. Omplint un dipsit

Una font omple un dipsit en ____ hores i una altra en ____ hores. Quina fracci del dipsit omple cada una en una hora? I les dues juntes? Quant trigaran en omplir-lo les dues a la vegada?

6. A quin preu est el caf?

En un magatzem venen caf en paquets de ___ kg i descafenat en paquets de ___ kg. El preu per kg de les dues varietats s el mateix.

Un bar ha comprat ____ paquets de normal i ____ de descafenat, i en total ha pagat ____ . Quin s el preu del kg de caf?


INS _______________________



Problemes amb potncies i notaci cientfica

1. Cpia de seguretat

Vull fer una cpia de seguretat dels arxius del meu PC, que ocupen ___ GB. Quants DVDs de 4,5 GB necessito com a mnim per fer-ho? I si faig servir CDs de 700 MB? I amb disquets antics d 1,4 MB? I amb els antiqussims de 360 MB? (Utilitza la taula adjunta).

2. La densitat dels planetes

Sabent que el radi de ___ s de ___ km, calcula el seu volum. Si la seva massa s de ___ kg, calcula la seva densitat en g/cm3.

3. El pes de les molcules

En condicions normals, en un mol de ______ hi ha 6,0221023 molcules daquest gas i pesen ____ g. Calcula el pes en grams duna molcula de __________


Problemes amb valors aproximats

1. Mesurant terrenys

Mesurem una parcel.la rectangular amb una corda molt llarga amb marques a cada metre (mesures al marge). Repetim les mesures amb un teodolit, millorant la precisi. Calcula les cotes derror que es produieixen al calcular la superfcie en cada cas. Amb el preu que sindica, calcula les majors diferncies de cost en cada cas segons la mesura que agafem.

2. Enquesta electoral

Una empresa de demoscpia ha fet una enquesta dintenci de vot, i ha obtingut els resultats que veus al marge. Amb aquestes dades la cadena de televisi ABCD informa que el ___ guanyar les eleccions. Per altra banda, la cadena DCBA diu que hi ha un empat tcnic entre PBP i PTC. Qui creus que t ra?


INS _______________________



Autoavaliaci

Completa aqu cada un dels enunciats que van apareixent a lordinador i solucional. Desprs introdueix el resultat per a comprovar si la soluci s correcta.

Correccin Enunciat Soluci

Escriu la fracci generatriu del nmero _____

Ordena de menor a major les fraccions segents: ____ , ____ , ____ , ____ , ____ ,

Calcula el resultat de ____________________________

Calcula el resultat de ____________________________

Calcula el resultat de

____________________________

Calcula el resultat de

___________________________

Calcula ____________ i deixa el resultat en forma de productes o quocients de potncies dexponent positiu.

Calcula el resultat de ______________________________

Arrodoneix el nombre _________ a les __________

Un obrer triga ________ dies en fer una tanca. Un altre triga _______ dies. Quant trigarien treballant junts?

Activitats per enviar al tutor Fes les activitats i envia-les al teu professor/a seguint les seves instruccions. Finalment, no oblidis visitar lenlla Per saber-ne ms per ampliar els teus coneixements.

INS _______________________

QUADERN Nm. 2 NOM DATA: / /

Polinomis - 1 -

Polinomis

Continguts

1. Monomis i polinomis Expressions algebraiques Expressi en coeficients Valor numric dun polinomi

2. Operacions Suma i diferncia Producte Factor com

3. Identitats notables Suma al quadrat Diferncia al quadrat Suma per diferncia

Objectius

Emprar les expressions algebraiques i calcular-ne el valor numric.

Reconixer els polinomis i el seu grau.

Sumar, restar i multiplicar polinomis.

Treure factor com.

Conixer i utilitzar les identitats notables.

Autora: Conxa Sanchis Sanz Sota llicncia Creative Commons Si no sindica el contrari.

INS _______________________


Polinomis - 2 -

ACTIVITATS:

En lescena, clica a i observa lanimaci

en qu apareix el valor numric de lexpressi x2 +x+17 per a diferents valors de x. Desprs, completa la taula segent com a lexemple:

Valor de x Valor numric de x2 +x+17

13 132 +13+17 = 169 + 13 + 17 = 199

2

7

11

Ara, visita els enllaos de la part inferior esquerra:

A Expressions, podrs repassar lexpressi polinmica dun nombre en una base i el seu significat. A Bases 10, 12, 60 podrs veure un vdeo sobre la base 60, que es fa servir per a la mesura dangles i del temps, i la seva relaci amb la base del nostre sistema de numeraci, 10, i la base 12.

CONTESTA AQUESTES QESTIONS: RESPOSTES

Quines magnituds es mesuren fent servir la base 60?

En quina regi utilitzaven el sistema de numeraci de base 60? Entre quins rius est situada?

En qu es fonamenta el sistema de numeraci de base 12?

Quina s la base del sistema de numeraci que fem servir nosaltres? Per qu?

Quin pot ser el motiu que existeixi la base 60?

Ara, clica per accedir als continguts de la quinzena.

Abans de comenar

INS _______________________


Polinomis - 3 -

1. Monomis i polinomis 1.a. Expressions algebraiques Llegeix atentament el text de la pantalla. EXERCICI. Completa el text segent:

Un monomi s una _____________________ que noms cont _____________________

i ____________________________________ .

Un polinomi s una _____________ de diversos __________________.

A continuaci, vs a lescena i explora els diferents exemples. Fes els dibuixos i completa les solucions de les qestions:

Calcula lexpressi algebraica que ens dna el nombre de quadradets del rectangle:

(Fes abans el dibuix)

Expressi Grau Coeficients

Quin monomi ens dna lrea del rectangle de base x i altura y?


Quina expressi ens dna el volum dun cub daresta x?


Quina expressi ens dna lespai recorregut a una velocitat constant de x km/h durant t hores?


Quin polinomi ens dna la longitud del segment marr?


INS _______________________


Polinomis - 4 -

Quin polinomi ens dna la mitjana aritmtica de dos nombres?


Quin polinomi ens dna el triple dun nombre menys cinc?


Quin polinomi ens dna la suma dels quadrats de dos nombres?


Quina expressi defineix la diagonal dun quadrat?


Quina expressi defineix la diagonal dun rectangle de base x i altura y?


Ara fes clic a per fer uns exercicis.

Sobre una escena en qu apareixen, a lesquerra, diferents nombres i potncies de x i, a la dreta, les condicions que ha de verificar el polinomi buscat.

Practica lexercici fins a aconseguir tres encerts consecutius.

Quan acabis clica per anar a la pgina segent.

INS _______________________


Polinomis - 5 -

1.b. Expressi en coeficients Llegeix atentament el text Un polinomi es pot definir.... i tot seguit completa: Lexpressi dun polinomi en coeficients consisteix en__________________________ _____________________________________________________________________ . Aix, per exemple, el polinomi x3 +4x2 +3x -2 sexpressa per _____________________.

Ara clica en el bot

per fer uns exercicis. A la part superior de lescena

veurs els controls per a triar els coeficients del polinomi de major a menor grau. Modificals com tu vulguis: tria algun coeficient igual a 0, 1 o -1 i aprn a escriure el polinomi de la manera usual. Completa la taula segent amb cinc exemples ms, com a lexemple de la primera fila:

Coeficients

gr4 gr3 gr2 gr1 gr0 Polinomi

Manera usual descriure el

polinomi

1 -3 0 -1 4 1x4+(-3)x3+0x2+(-1)x+4 x4-3x3-x+4

Clica a

per fer exercicis sobre lexpressi en coeficients dun polinomi.

Hi ha dos tipus dexercici: en un, apareixer un polinomi i haurs dintroduir els seus coeficients amb els controls de la part superior i, tot seguit, prmer intro. En laltre, es dna lexpressi del polinomi en coeficients i haurs descriure el polinomi en la forma usual. Pots clicar Soluci per tal de corregir els teus resultats. Fes quatre exercicis de cada tipus i copials a la taula:

Polinomi C. gr 3 C. gr 2 C. gr 1 C. gr 0

INS _______________________


Polinomis - 6 -

Completa: Dos polinomis sn iguals si _________________________________________________.

A lescena de la dreta apareixen dos polinomis P(x) i Q(x). Has de deduir quin es el valor del coeficient desconegut a, en Q(x), perqu els dos polinomis siguin iguals. Practica fins a tenir un mnim de 3 encerts consecutius.

P(x) Q(x) Valor de a


1.c. Valor numric dun polinomi Llegeix atentament el text en qu es relaciona el valor numric dun polinomi amb el nostre sistema de numeraci, el decimal, i amb el sistema utilitzat per a la mesura del temps, el sexagesimal. Completa:

El valor numric del polinomi 5x2 + 2x + 3 per x = 10 s _______, el nombre d _______ que hi ha en ___ centenes, ____ desenes i _____ unitats.

El valor numric del polinomi 5x2 + 2x + 3 per x = 60 s ________ , el nombre de ______ que hi ha en ___ hores, ____ minuts i _____ segons. A lescena de la dreta tens exemples de clcul del valor numric dun polinomi per a un valor determinat de x.

Modifica el valor de x amb el control

i calcula el corresponent valor numric del

polinomi que apareix a lescena. Pots utilitzar calcuculadora. Per comprovar si ho has fet b, clica Veure el resultat del valor numric. Per a canviar de polinomi, clica en Altres polinomis. Anota sis exemples en la taula inferior, tres de cada opci:

Opci P(x) x Valor numric

P( ) = ___________________ =

P( ) = ___________________ =

P( ) = ___________________ =

P( ) = ___________________ =

P( ) = ___________________ =

P( ) = ___________________ =

INS _______________________


Polinomis - 7 -

Ara clica a

per veure ms exemples i fer exercicis.

A la primera srie (Srie 1 de 2), apareixeran 7 exemples resolts. En cada exemple pots veure a la dreta, en el requadre de color taronja, els passos a seguir. Fes-ne tants com calgui fins a entendre b el procediment. Per a passar dun exemple a un altre, clica al bot > de la part superior. Copia dos daquests exemples a continuaci: Exemple 1. Valor numric del polinomi _____________________________ per x = ___

Exemple 2. Valor numric del polinomi _____________________________ per x = ___

Ara, per fer exercicis, clica al bot >> de la part superior. Accedeixes a la srie 2 de 2 en qu hi tens 10 exercicis proposats que has de resoldre a lescena. Anota els resultats dels quatre ltims exercicis en aquesta taula:

Polinomi Valor de x Valor numric del polinomi

INS _______________________


Polinomis - 8 -


EXERCICIS 1. Troba les expressions algebraiques associades a cada imatge

Longitud del segment marr

Quin polinomi expressa la mitjana aritmtica de dos nombres x, y?

El triple dun nombre menys cinc

La suma dels quadrats de dos

nombres La diagonal dun

quadrat de costat x

La diagonal dun

rectangle de base x i altura y

2. Escriu un polinomi tal que:

3. Troba lexpressi en coeficients dels polinomis

P(x)=3x2-2x+1; Q(x)=x3-4

R(x)=0,5x2 +3x

4. Escriu les expressions polinmiques dels polinomis que tenen expressi en coeficients: P(x) 1 0 3 -1 Q(x) 3 2 0 0 R(x) 3/2 -3 0 5

5. Troba el valor numric en 1, 0 i 2 dels polinomis segents:

POLINOMI Valor en 1 Valor en 0 Valor en -2

x5-2x3 -x2

x2/5-1

- 2x3 + x2

-x3+1+ 2x2-1/5

- 2 x2+1

INS _______________________


Polinomis - 9 -

2. Operacions amb polinomis 2.a. Sumes i restes Llegeix el text en qu sexplica la forma de sumar i restar polinomis. A lescena, es mostra com calcular una suma o una resta utilitzant les expressions en coeficients dels polinomis. Clica o per a veure un exemple de suma o resta, respectivament.

Copia un exemple de cada operaci: SUMA: RESTA:

Ara clica a

per fer exercicis.

Apareixer una escena amb dos polinomis i loperaci a efectuar. Fes 6 daquests exercicis tot seguit.

Per a comprovar el resultat, clica

I per a canviar de dades, Altres polinomis EXEMPLE Polinomis Operaci Coeficients

54

1 1 1 P(x) +

Q(x) 51

41

2 3

P(x) = 54

x3 + x2 x 1

Q(x) = 51

x3 + 41

x2 2x 3 RESULTAT

53

45

3 4

P(x) + Q(x) = 53

x3 + 45

x2 3x 4

EXERCICI 1 Operaci Coeficients

P(x)

Q(x)

P(x) = Q(x) =

RESULTAT

P(x) Q(x) =

INS _______________________


Polinomis - 10 -


P(x)

Q(x)

P(x) = Q(x) =

RESULTAT

P(x) Q(x) =


P(x)

Q(x)

P(x) = Q(x) =

RESULTAT

P(x) Q(x) =


P(x)

Q(x)

P(x) = Q(x) =

RESULTAT

P(x) Q(x) =


P(x)

Q(x)

P(x) = Q(x) =

RESULTAT

P(x) Q(x) =


P(x)

Q(x)

P(x) = Q(x) =

RESULTAT

P(x) Q(x) =


INS _______________________


Polinomis - 11 -

2.b. Producte Abans de passar als continguts daquesta pgina, fes clic a per veure una animaci en qu es recorden les prioritats aritmtiques i els aspectes que cal tenir en compte quan sopera amb monomis en lloc de fer-ho amb nombres. Ara, llegeix lexplicaci del text i completa:

Els polinomis es multipliquen _________ a _________, aplicant la propietat ___________ del producte. I ordenem els _____________ segons el seu _______.

Igual com amb la suma, pot resultar cmode passar els polinomis a la seva expressi en coeficients, tal i com sexplica en lescena de la dreta.

Examina diferents exemples fins que entenguis b la mecnica de loperaci, i copian un al requadre de la dreta:

Ara clica a

per fer exercicis.

Has de calcular el producte dels dos polinomis que apareixen a lescena. Fes 6 daquests exercicis tot seguit. Per comprovar el resultat, clica a

I per a canviar de dades, Altres polinomis

P(x) Q(x) P(x)Q(x)


INS _______________________


Polinomis - 12 -

2.c. Factor com Llegeix el text, i fixat b en lexemple en qu sexplica el procediment per a treure factor com. Tot seguit, a lescena, introdueix el factor com als coeficients i la potncia de x que es poden treure en tots els monomis, i col.loca els nombres escaients en els corresponents requadres. Despres, prem intro. Seguidament, fes clic a Clica per treure el factor per veure el resultat daquesta operaci. Per a canviar dexercici clica a Un altre polinomi. Fes deu exercicis a la taula segent:

P(x) Factor com Resultat de treure factor

Ara clica a

per fer exercicis.

Sobrir una escena amb un polinomi en el qual has de treure factor com la mxima potncia possible de x: per fer-ho, haurs dintroduir els nmeros escaients en els requadres i prmer intro.

Si has fet b lexercici, apareixer el missatge Clica inici per fer un altre exercici.

Si no, apareixer el bot

que permet veure el resultat correcte.

Fes deu daquests exercicis a la taula segent:

INS _______________________


Polinomis - 13 -

P(x) P(x) s igual a P(x) P(x) s igual a


EXERCICIS

6. Troba P(x)+Q(x) i 3P(x)-Q(x)

P(x)=x4+2x3+3x Q(x)=2x3+x2-3x+5

7. Multiplica P(x)=x3+6x2+4x-6 per Q(x)= x3+3x2+5

8. Suma P(x) i Q(x) Multiplica P(x) i Q(x)

9. Treu factor com:

P(x)= 4x13 4x11 - 6x5 3x4 P(x)= P(x)= -8x10 + 6x9 2x3 4x2 P(x)= P(x)= 6x5 + x2 4x P(x)=

INS _______________________


Polinomis - 14 -

3. Identitats notables 3.a. Quadrat duna suma

A lescena apareix un puzzle que et permetr deduir la frmula per a obtenir el quadrat duna suma. Hi tens: Un quadrat blau de costat 3, per tant drea

____ Un altre de vermell de costat 4 i rea ____ Dos rectangles de costats 3 i 4, per tant

lrea de cadascun s ____ Un quadrat de costat 3+4, amb rea

_______. Arrossega les peces de colors fins a completar el quadrat gris. Quan ho hagis fet, apareixer a la part inferior lexpressi:

Lrea del quadrat gris s la suma de les rees de les peces de colors. Modifica els valors de a i b amb els controls

i

i comprova la validesa de la frmula per a diferents parells de valors. Completa com a lexemple:

a b (a+b)2 a b (a+b)2 3 4 (3+4)2 = 32 + 42 + 2 3 4

Tamb pots veure una demostraci aritmtica de la frmula en lanimaci que apareix fent clic

a . Copia en aquest espai la frmula que ens dna el quadrat duna suma:

Tamb has de reconixer aquesta igualtat a linrevs, de manera que identifiquis el polinomi x2+6x+9 amb lexpressi (x+3)2

Ara clica a

per fer exercicis.

Sobre una escena en qu, a la part superior, hi veurs:

Haurs danar avanant per les 11 sries dexercicis, que funcionen de diferents maneres. Completa els exercicis i exemples que sindica en els requadres segents:

INS _______________________


Polinomis - 15 -

Srie 1. Quadrat duna suma (automtic, guiat) (a+b)2 = Per a efectuar el quadrat duna suma,

Sefectua en primer lloc el quadrat del primer sumand

El doble del primer pel segon

Finalment es troba el quadrat del segon sumand

I ho sumem tot Clica Srie 2. Quadrat duna suma (automtic, lliure) ( + )2 =

Clica

Srie 3. Quadrat duna suma (automtic, guiat) s el mateix exemple que a la srie 2, per amb les explicacions en el requadre taronja. Srie 4. Quadrat duna suma (automtic, lliure) ( + )2

Clica

Srie 5. Quadrat duna suma (automtic, guiat) s el mateix exemple que en la srie 4, per amb les explicacions en el requadre taronja. Srie 6. Quadrat duna suma (automtic, lliure) Exercici 1 de 5. Intenta entendre els exemples segents. ( + )2

Escriu el resultat final de cadascun dels altres 4 exercicis de la srie 6: Exercici 2 ( + )2 = Exercici 3 ( + )2 = Exercici 4 ( + )2 = Exercici 5 ( + )2 =

Per passar a la segent srie dexercicis clica

INS _______________________


Polinomis - 16 -

Srie 7. Quadrat duna suma (automtic, guiat) ( + )2 = Escriu la frmula de cop, sense operar

Opera tots els sumands

Resultat Clica Srie 8. Quadrat duna suma (escriure, guiat) Has danar escrivint les operacions en cada pas, tot seguint les indicacions del requadre taronja. (Recorda que per elevar al quadrat es fa servir la tecla ^) Exercici 1 de 3. ( + )2 = Escriu la frmula de cop, sense operar


Resultat Clica Exercici 2 de 3. ( + )2 = Escriu la frmula de cop, sense operar


Resultat Clica Exercici 3 de 3. ( + )2 = Escriu la frmula de cop, sense operar


Resultat Clica Srie 9. Quadrat duna suma (automtic, lliure) Exercici 1 de 5. Directament el resultat ( + )2 =

Clica

Exercici 2 de 5. Directament el resultat ( + )2 =

Clica

Exercici 3 de 5. Directament el resultat

( + )2 =

Clica


Clica


Clica

INS _______________________


Polinomis - 17 -

Srie 10. Quadrat duna suma (automtic, guiat) Exercici 1 de 3. Ara a linrevs

Busquem dos sumands que siguin quadrats

El primer sumand s el quadrat de __

El segon sumand s el quadrat de __

Laltre sumand s el doble de __ per __

Podem escriure lexpressi inicial com una suma

al quadrat. Clica Exercici 2 de 3. Ara a linrevs Busquem dos sumands que siguin quadrats





al quadrat. Clica Exercici 3 de 3. Ara a linrevs Busquem dos sumands que siguin quadrats





al quadrat. Clica Srie 11. Quadrat duna suma (escriure, guiat) Exercici 1 de 3. Has descriure lexpressi com el quadrat duna suma. Escriu la frmula de cop, sense operar

= ( + )2 Resultat Si est Molt b, clica Exercici 2 de 3. Has descriure lexpressi com el quadrat duna suma.

Escriu la frmula de cop, sense operar

= ( + )2 Resultat Si est Molt b, clica Exercici 3 de 3. Has descriure lexpressi com el quadrat duna suma. Escriu la frmula de cop, sense operar

= ( + )2 Resultat


INS _______________________


Polinomis - 18 -

3.b. Quadrat duna diferncia

En lescena apareix un puzzle que et permetr deduir la frmula per a obtenir el quadrat duna diferncia. Tens: Un quadrat blau de costat 7, per tant drea

____ Un altre vermell de costat 3 i rea ____ Dos rectangles de costats 3 i 7, per tant

lrea de cadascun s ____ Un quadrat de costat 73, lrea del qual s

_______. Arrossega les peces de colors per tal de completar la figura vermella i blava. Quan ho hagis fet, apareixer a la part inferior lexpressi:

Lrea del quadrat gris s la suma de les rees de les peces de colors. Modifica els valors de a i b amb els controls

i i comprova la validesa de la frmula per a diferents parells de valors. Completa com a lexemple:

a b (ab)2 a b (ab)2 7 3 (73)2 = 72 + 32 2 7 3

Tamb pots veure una demostraci aritmtica de la frmula en lanimaci que apareix fent clic

a . Copia en aquest espai la frmula que ens dna el quadrat duna diferncia:

Tamb has de reconixer aquesta igualtat a linrevs, de manera que identifiquis el polinomi x210x+25 amb lexpressi (x5)2

Ara clica en

per fer exercicis.

Sobre una escena en qu veurs, a la part superior:

Haurs danar avanant per les 11 sries dexercicis que funcionen de diferents maneres. Completa els exercicis i exemples que sindiquen en els requadres segents: Srie 1. Quadrat duna diferncia (automtic, guiat)

INS _______________________


Polinomis - 19 -

(ab)2 = Per efectuar el quadrat duna diferncia,

Sefectua en primer lloc el quadrat del primer sumand

El doble del primer pel segon

Finalment es troba el quadrat del segon sumand

I ho sumem tot Clica Srie 2. Quadrat duna diferncia (automtic, lliure) ( )2 =

Clica

Srie 3. Quadrat duna diferncia (automtic, guiat) s el mateix exemple que en la srie 2, per amb les explicacions en el requadre taronja. Srie 4. Quadrat duna diferncia (automtic, lliure) ( )2

Clica

Srie 5. Quadrat duna diferncia (automtic, guiat) s el mateix exemple que en la srie 4, per amb les explicacions en el requadre taronja. Srie 6. Quadrat duna diferncia (automtic, lliure) Exercici 1 de 5. Intenta entendre els segents exemples. ( )2

Escriu el resultat final de cadascun dels altres 4 exercicis de la srie 6: Exercici 2 ( )2 = Exercici 3 ( )2 = Exercici 4 ( )2 = Exercici 5 ( )2 =


INS _______________________


Polinomis - 20 -

Srie 7. Quadrat duna diferncia (automtic, guiat) ( )2 = Escriu la frmula de cop, sense operar


Resultat Clica Srie 8. Quadrat duna diferncia (escriure, guiat) Has danar escrivint les operacions en cada pas, seguint les indicacions del requadre taronja. (Recorda que per elevar al quadrat es fa servir la tecla ^) Exercici 1 de 3. ( )2 = Escriu la frmula de cop, sense operar


Resultat Clica Exercici 2 de 3. ( )2 = Escriu la frmula de cop, sense operar


Resultat Clica Exercici 3 de 3. ( )2 = Escriu la frmula de cop, sense operar


Resultat Clica Srie 9. Quadrat duna diferncia (automtic, lliure) Exercici 1 de 5. Directament el resultat ( )2 =

Clica

Exercici 2 de 5. Directament el resultat ( )2 =

Clica

Exercici 3 de 5. Directament el resultat

( )2 =

Clica


Clica


Clica

INS _______________________


Polinomis - 21 -

Srie 10. Quadrat duna diferncia (automtic, guiat) Exercici 1 de 3. Ara a linrevs

Busquem dos sumands que siguin quadrats




Podem escriure lexpressi inicial com una

diferncia al quadrat. Clica Exercici 2 de 3. Ara a linrevs Busquem dos sumands que siguin quadrats





diferncia al quadrat. Clica Exercici 3 de 3. Ara a linrevs Busquem dos sumands que siguin quadrats





diferncia al quadrat. Clica Srie 11. Quadrat duna diferncia (escriure, guiat) Exercici 1 de 3. Has descriure lexpressi com el quadrat duna diferncia. Escriu la frmula de cop, sense operar

= ( )2 Resultat Si est Molt b, clica Exercici 2 de 3. Has descriure lexpressi com el quadrat duna diferncia.

Escriu la frmula de cop, sense operar

= ( )2 Resultat Si est Molt b, clica Exercici 3 de 3. Has descriure lexpressi com el quadrat duna diferncia. Escriu la frmula de cop, sense operar

= ( )2 Resultat


INS _______________________


Polinomis - 22 -

3.c. Suma per diferncia

En lescena apareix una demostraci geomtrica de la frmula que ens dna lexpressi per a la suma per diferncia. Tens: Un quadrat blau de costat 7, per tant drea

____ Un altre gris de costat 3 i rea ____ En blau apareix la diferncia dels dos

quadrats, ___________ Arrossega i gira el rectangle inferior fins al contorn vermell. Shaur format un rectangle de costats: _____ i _____ i la seva rea ser _______. En fer-ho apareixer lexpressi:

Modifica els valors de a i b amb els controls

i i comprova la validesa de la frmula per diferents parells de valors. Completa com a lexemple:

a b (a+b) (ab) a b (a+b) (ab) 7 3 (7+3) (73) = 72 32 = 40

Tamb pots ver una demostraci aritmtica de la frmula en lanimaci que apareix fent clic en

. Copia en aquest espai la frmula que ens dna producte de suma per diferncia:

Has de reconixer aquesta igualtat tamb a linrevs, de manera que identifiquis el polinomi x216 amb lexpressi (x+4) (x4).

Ara clica a

per fer exercicis.

Sobre una escena en qu a la part superior veurs:

Haurs danar avanant per les 11 sries dexercicis que funcionen de diferents maneres. Completa els exercicis i exemples que sindiquen en els requadres segents:

INS _______________________


Polinomis - 23 -

Srie 1. Suma per diferncia (automtic, guiat) (a+b) (ab) = Per efectuar suma per diferncia,

Efectuem el quadrat del primer sumand

El quadrat del segon sumand

I restem Clica Srie 2. Suma per diferncia (automtic, lliure)

( + ) ( ) =

Clica

Srie 3. Suma per diferncia (automtic, guiat) s el mateix exemple que en la srie 2, per amb les explicacions en el requadre taronja. Srie 4. Suma per diferncia (automtic, lliure) ( + ) ( )

Clica

Srie 5. Suma per diferncia (automtic, guiat) s el mateix exemple que en la srie 4, per amb les explicacions en el requadre taronja. Srie 6. Suma per diferncia (automtic, lliure) Exercici 1 de 5. Intenta entendre els segents exemples.

( + ) ( )

Escriu el resultat final de cadascun dels altres 4 exercicis de la srie 6: Exercici 2 ( + ) ( ) = Exercici 3 ( + ) ( ) = Exercici 4 ( + ) ( ) = Exercici 5 ( + ) ( ) =


Srie 7. Suma per diferncia (automtic, guiat) ( + ) ( ) = Escriu la frmula de cop, sense operar


Resultat Clica

INS _______________________


Polinomis - 24 -

Srie 8. Suma per diferncia (escriure, guiat) Exercici 1 de 3.

( + ) ( ) = Escriu la frmula de cop, sense operar


Resultat Clica Exercici 2 de 3. ( + ) ( ) = Escriu la frmula de cop, sense operar


Resultat Clica Exercici 3 de 3. ( + ) ( ) = Escriu la frmula de cop, sense operar


Resultat Clica Srie 9. Suma per diferncia (automtic, lliure) Exercici 1 de 5. Directament el resultat

( + ) ( ) = Clica

Exercici 2 de 5. Directament el resultat ( + ) ( ) = Clica




Srie 10. Suma per diferncia (automtic, guiat) Exercici 1 de 3. Ara a linrevs

Tenim una diferncia de quadrats



Sexpressa com suma per diferncia Clica Exercici 2 de 3. Ara a linrevs Tenim una diferncia de quadrats



Sexpressa com suma per diferncia Clica

INS _______________________


Polinomis - 25 -

Exercici 3 de 3. Ara a linrevs Tenim una diferncia de quadrats



Sexpressa com suma per diferncia Clica Srie 11. Suma per diferncia (escriure, guiat) Exercici 1 de 3. Has descriure lexpressi com suma per diferncia.

= ( + ) ( ) Resultat Si est Molt b, clica Exercici 2 de 3. Has descriure lexpressi com suma per diferncia.

= ( + ) ( ) Resultat Si est Molt b, clica Exercici 3 de 3. Has descriure lexpressi com suma per diferncia.

= ( + ) ( ) Resultat Pots tancar el quadre


EXERCICIS 10. Desenvolupa les expressions segents:

Expressi Soluci Expressi Soluci

(x+1)2 (x-1)2

(2x+1)2 (3-2x)2

(3x/2+5)2 (x/3-2)2

( 2 x+2)2 (x- 3 )2

11. Troba lexpressi en coeficients dels segents productes

Productes Soluci Productes Soluci

(x+2)(x-2) (x-1/4)(x+1/4)

(3x+7) (3x-7) (1+ 2 x)(1- 2 x)

12. Aplica les identitats notables per tal de descompondre en factors els polinomis:

Expressi Soluci Expressi Soluci

4x2+12x+9 49x2-36

36x2+36x+9 25x2-9/4

6x5-12x4+6x3 4x2-3

INS _______________________


Polinomis - 26 -

Recorda el ms important RESUM

Fes clic a per veure una animaci.

Completa:

Coeficient Variable Grau

EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES Clica Escriu a la dreta de cada imagen lexpressi algebraica corresponent i la seva classificaci:

xt Monomi 2 variables. Grau 2

A lescena de la dreta tens un llibret en qu podrs repassar els continguts daquesta quinzena. Arrossega les pgines o fes clic a

per passar de pgina.

Repassars: Valor numric Operacions amb polinomis:

o Suma o Diferncia o Producte o Factor com

Identitats notables (completa les frmules)

o (a + b)2 = o (a b)2 = o (a + b) (a b)=

Alguns exemples didentificacions tils:

o x2 + 6x + 9 = o x2 10x + 25 = o x2 49 =


INS _______________________


Polinomis - 27 -

Per practicar A la pgina dexercicis, en trobars de diversos tipus:

Expressions algebraiques, polinomis, valor numric Operacions amb polinomis. Identitats notables

Expressions algebraiques, polinomis Per comenar, clica en el control tria opci per escollir el tipus de problema que prefereixis. Conv que resolguis un problema de cada tipus. A lenunciat, omple lespai reservat a la dada o dades que falten, i desprs resol el problema.

1. Nombres

Trobar lexpressi algebraica dun nombre de ___ xifres si la xifra de les unitats s ______________ la xifra de les desenes.

2. Quant camino?

De dilluns a dijous camino x km diaris i de divendres a diumenge, ______ km cada dia. Troba lexpressi algebraica dels km que camino en z setmanes.

3. Km de ciclisme

Si practico ciclisme a una velocitat mitjana de ____ km/h durant t hores al mes, Quants km faig al cap de lany?

4. Sou

El meu sou mensual s de ____ euros . Cada any augmenta un x%. Calcular el sou mensual daqu a _________ anys.

5. Geometria

__________________ s lexpressi que defineix _________________________ en funci del seu radi. Quina s la variable? El grau? El coeficient? El _____________ per un radi de _______ cm?

6. Coeficient

Quin s el grau del polinomi de lesquerra? Quin s el seu coeficient de grau _____? I el de grau ______? Calcula el seu valor numric en

x = ___

7. Hores

Quina fracci dhora sn ______ minuts i _____ segons? Saps expressar-la com a valor numric dun polinomi de segon grau?

8. Segons

Quants segons hi ha en __ h ___ min ___ seg? Saps expressar-los com el valor numric dun polinomi de segon grau?

INS _______________________


Polinomis - 28 -

9. Dotzenes, grosses, masses

Quantes unitats hi ha en _____ masses, _____ grosses i _______dotzenes? Saps expressar-les com el valor numric dun polinomi de segon grau?

Una massa = 12 grosses, una grossa = 12 dotzenes, una dotzena = 12 unitats.

Operacions amb polinomis. Identitats notables 1. Suma i resta

P(x) = _______________________

Q(x)= _______________________

Troba els coeficients de _________________

2. Multiplica

P(x) = _______________________

Q(x)= _______________________

Troba els coeficients de P(x) Q(x)

3. Factor com

P(x) = _______________________

Treu factor com en el polinomi P(x)

4. Converteix en quadrat

Quantes unitats has dafegir a ___________ per convertir aquest binomi en el quadrat dun altre binomi? s a dir, observa la figura i converteix el rectangle inicial en un quadrat.

5. Efectua el quadrat (tipus 1)

Efectua la potncia ___________________

6. Efectua el quadrat (tipus 2)

Efectua la potncia ___________________

7. Clcul mental

Calcula mentalment _______________

Si apliques les identitats notables, has de trigar menys de 5 segons a donar la resposta.

8. Simplificar fraccions (tipus 1)

Aplica les identitats notables per tal de simplificar la fracci






INS _______________________


Polinomis - 29 -

Autoavaliaci

Completa aqu cadascun dels enunciats que apareixen a lordenador i resol-lo, desprs introdueix el resultat per tal de comprovar si la soluci s correcta.

Correcci Enunciat Soluci

P(x) = __________________ Q(x) = __________________ R(x) = __________________ Calcula P(x) Q(x) + P(x) R(x) i escriu els coeficients del resultat.

Calcula el valor numric de _________________ en x = ________.

Troba lexpressi algebraica que defineix lrea de _____ quadrats de costat x+y i _____ rectangles de base x i altura y.

s certa la igualtat? ____________________________ En cas afirmatiu introdueix 1, en cas negatiu, -1

Troba els coeficients de ____________________________

Quina constant sha de sumar a _________________ per tal dobtenir el quadrat de un binomi?

Calcula el coeficient de primer grau de ____________

Aplica les identitats notables per calcular mentalment el nombre que apareix en clicar Nombre:________________

Simplifica la fracci ___________________

Treu factor com la major potncia de x en _____________

Activitats per enviar al tutor Fes les activitats i envia-les al teu professor/a tot seguint les seves instruccions. Finalment, no oblidis visitar lenlla Per saber-ne ms per ampliar els teus coneixements.

INS _______________________

QUADERN Num. 3 NOM: DATA: / /

Equacions de segon grau - 1 -

Equacions de segon grau

Continguts

1. Expressions algebraiques Identitat i equaci Soluci duna equaci

2. Equacions de primer grau Definici Mtode de resoluci Resoluci de problemes

3. Equacions de segon grau

Definici. Tipus Resoluci de ax2+bx=0 Resoluci de ax2+c=0 Resoluci de ax2+bx+c=0 Suma i producte de les arrels Discriminant duna equaci Equaci (xa)(xb)=0 Resoluci de problemes

Objectius Identificar les solucions duna equaci.

Reconixer i obtenir equacions equivalents.

Resoldre equacions de primer grau.

Resoldre equacions de segon grau tant completes com incompletes.

Utilitzar el llenguatge algebraic i les equacions per resoldre problemes. Autor: Jos Luis Alcn Camas Sota llicncia

Versi en catal: Francesc Cassasas Canals Creative Commons Si no sindica el contrari.

INS _______________________



Recorda Fes memria de com resolem les equacions a 2n dESO.

Ara intenta resoldre el segent problema:

Clica a per anar a la segent pgina.

1. Igualtats algebraiques 1.a. Identitat i equaci Llegeix el text de pantalla: Una igualtat algebraica est ... EXERCICI. Contesta: Quina diferncia hi ha entre una equaci i una identitat?

A lescena:

Clica UN EXEMPLE MS per veure diferents exemples dIdentitats i dEquacions: a) Copia un exemple complet tal com apareix a la pantalla per IDENTITAT.

b) Copia un exemple complet tal com apareix a la pantalla per EQUACI verificant amb la soluci.

c) Copia un exemple complet tal com apareix a la pantalla per EQUACI amb un nombre diferent de la soluci.

Clica sobre el bot


Quant et va costar aquesta radio?

Un quart, ms un cinqu, ms un

sis, menys 21 euros va ser la

meitat de tot.

Abans de comenar empezar

INS _______________________



1.b. Soluci duna equaci Llegeix el text de pantalla: El valor de la lletra que ... EXERCICI. Contesta les segents preguntes:

a) Quan s incompatible una equaci? ____________________________________ b) Com sobtenen equacions equivalents? ________________________________

Clica a UN EXEMPLE MS per veure diferents exemples. a) Copia un exemple (1) complet tal com apareix a la pantalla per EQUACI COMPATIBLE.

b) Copia un exemple (2) complet tal com apareix a la pantalla per EQUACI COMPATIBLE.

c) Copia un exemple complet tal com apareix a la pantalla per EQUACI INCOMPATIBLE.

Clica sobre el bot


Clica

per anar a la segent pgina.

EXERCICIS 4. Escriu una equaci de la forma ax =b que sigui equivalent a 164x5 =+

5. Escriu una equaci de la forma x +b=c que sigui equivalent a 1520x5 =+

6. Raona si x=2 s soluci de lequaci: 13)1x(3x5 =+

7. Raona si x=3 s soluci de lequaci: 16)2x(3x7 =+

8. Comprova que x=-1, s soluci de lequaci 4xx5 2 =+

9. Escriu una equaci que sigui incompatible.

EXERCICIS 1. Classifica lexpressi algebraica: 76x4x3)1x7(6 +=+ , com identitat o equaci.

2. Classifica lexpressi algebraica: 7x40x5)1x5(7 =+ , com identitat o equaci.

3. Escriu una equaci de la forma ax+b=c que tingui per soluci x=4.

INS _______________________



2. Equacions de primer grau 2.a. Definici Llegeix el text de pantalla: Una equaci de primer grau amb una incgnita s ... EXERCICI. Contesta la segent pregunta: De quin grau s lexponent de la x? _____

Clica UN EXEMPLE MS per veure diferents exemples.

a) Copia un exemple (1) complet tal com apareix a la pantalla.

b) Copia un exemple (2) complet tal com apareix a la pantalla.

c) Copia un exemple (3) complet tal com apareix a la pantalla.

Clica sobre el bot


Clica


EXERCICIS de Refor Resol aplicant les regles de la suma i el producte les segents equacions de primer grau:

a) 18x+1=7

b) 2x+15=9

c) 10x+13=17x+5

d) 9x8=15x

e) 12x+15=5x

f) x+15=18x+4

INS _______________________



2.b. Mtode de resoluci

Llegeix el text de pantalla: Per resoldre una equaci de primer grau ...


a) Copia un exemple (1) complet tal com apareix a la pantalla.

b) Copia un exemple (2) complet tal com apareix a la pantalla.

c) Copia un exemple (3) complet tal com apareix a la pantalla.

Clica sobre el bot


EXERCICIS 10. Resol les segents equacions:

a) 7x 5 9x 7

17 8

+ + =

b) 2x (x 1) 5x 2

4 6

+ +=

c) 3x 7(x 1) 2x 1

26 3

+ =

d) 2x 5 2x 8

x3 7

+ =

e) 6x (x 8) 2x 17

x6 3

= +

INS _______________________



2.c. Resoluci de problemes

Llegeix el text de pantalla: Per resoldre un problema mitjanant una equaci,shan de...

Exemples

Clica sobre

i continua amb per veure com es fa.

I

INS _______________________



3. Equacions de segon grau 3.a. Definici. Tipus.

Llegeix el text de pantalla: Una equaci de segon grau amb...


a) Copia un exemple (1) dequaci de segon grau COMPLETA tal com apareix a la pantalla.

b) Copia un exemple (2) dequaci de segon grau INCOMPLETA SENSE terme independent.

c) Copia un exemple (3) dequaci de segon grau INCOMPLETA AMB terme independent.

Clica sobre el bot


EXERCICIS de Refor Resol els problemes pas a pas: a) Un ciclista surt de la ciutat A cap a la ciutat B a una velocitat constant de 30 km/h i un

altre ciclista surt de B cap a A a una velocitat constant de 20 km/h. Si la distncia entre les dues ciutats s de 30 km, a quina distncia de B es trobaran?

b) Tenim 180 pedres i volem fer dues piles, de manera que una tingui el triple de pedres

que laltra. Quantes pedres tindr cada pila?

INS _______________________



Clica


3.b. Resoluci de ax2+bx=0.

Llegeix el text de pantalla: Per resoldre aquest tipus...

Clica sobre Pas 1

per veure com es fa. Clica UN EXEMPLE MS per veure ms exemples.

a) Copia un exemple (1) tal com apareix ala pantalla.

b) Copia un exemple (2) tal com apareix a la pantalla.

c) Copia un exemple (3) tal com apareix a la pantalla.

Clica sobre el bot


Clica


EXERCICOS de Refor Indica els valors dels coeficients a, b i c en cada una de les segents equacions de segon grau:

a) x2 + 9 = 0 b) x2 + 3 = 4x2

c) 7x2 + 5x - 7 = 6x d) -x2 - 7 = 1 e) 7x2 - 1 = -4x

EXERCICIS de Refor Resol les segents equacions incompletes:

a) -x2 + 13x = 0 b) 16x2 + x = 0 c) x2 + 85x = 0 d) 27x2 + 23x = 0 e) 73x2 - 81x = 0

INS _______________________



3.c. Resoluci de ax2+c=0. Llegeix el text de pantalla: Per resoldre aquest tipus...

EXERCICI. Contesta la segent pregunta:

Quan hi ha dues solucions per lequaci ax2+c=0? ___________________________

Escriu dos exemples dequacions daquest tipus:

Clica sobre per veure com es fa. Clica UN EXEMPLE MS per veure ms exemples.

a) Copia un exemple (1) tal com apareix a la pantalla.



Clica sobre el bot


Clica


3.d. Resoluci de ax2+bx+c=0.

Llegeix el text de pantalla: Lequaci de segon grau completa...

EXERCICI. Escriu la frmula de la soluci de lequaci de segon grau completa.

Equaci Frmula

EXERCICIS de Refor Resol les segents equacions incompletes:

a) 2x2 - 162 = 0 b) 4x2 - 9 = 0 c) 4x2 - 64 = 0 d) -2x2 + 128 = 0 e) 18x2 - 162 = 0

INS _______________________



Clica sobre Per veure com es fa. Clica UN EXEMPLE MS per veure ms exemples.



Clica sobre el bot


Clica


3.e. Suma i producte de les arrels.

Llegeix el text de pantalla: Si x1 i x2 sn les arrels duna equaci...

Clica UN EXEMPLE MS per veure ms exemples.



Clic sobre el bot


EXERCICIS de Refor Resol les segents equacions de segon grau completes:

a) - x2 - 11x - 28 = 0 b) - x2 - x + 30 = 0 c) - x2 + 2x + 24 = 0 d) - x2 + 11x - 30 = 0 e) x2 7x - 10 = 0

INS _______________________



Clica


3.f. Discriminant.

Llegeix el text de pantalla: Sanomena discriminant duna equaci...

EXERCICI. Contesta les segents preguntes: a) Escriu lexpressi duna equaci de segon grau i la del seu discriminant.

Equaci: Discriminant:

b) Quina condici ha de complir el discriminant per tenir una nica soluci?

c) Quina condici ha de complir el discriminant per tenir dues solucions?

En lescena de la dreta pots veure un exemple del clcul del discriminant.





Clica sobre el bot


EXERCICIS de Refor Resol els segents exercicis sobre la suma i el producte de les arrels duna equaci de segon grau:

a) Escriu una equaci de segon grau que tingui per arrels -8 i 1.

b) Calcula el valor de m, sabent que x = -8 s una de les solucions de lequaci de segon grau x2 + 3x + m = 0

c) Sense resoldre lequaci, indica les arrels de lequaci de segon grau

x2 - 12x + 32 = 0

d) Calcula el valor de m, sabent que x = - 10 s una de les solucions de lequaci de segon grau x2 + 12x + m = 0

e) Sense resoldre lequaci, indica les arrels de lequaci de segon grau

x2 - 11x + 30 = 0

INS _______________________



Clica


3.g. Equaci (x-a)(x-b)=0

Llegeix el text de pantalla: Com ja saps, per tal que un producte de...





Clica sobre el bot


Clica

Documents

Cuadernillos 3º ESO. Catalán