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CUADERNOGUÍA DE LA
ESTUDIANTE
AÑO 2011
CUADERNILLO DE MATEMÁTICAS
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1. PRESENTACIÓNApreciada participante:
El presente Cuaderno de Matemáticas ha sido elaborado para apoyar y acompañar tu de-cisión de seguir aprendiendo.
El cuaderno está organizado en cuatro capítulos y sus unidades. En cada unidad encon-trarás conceptos matemáticos, reglas y propiedades matemáticas, ejercicios de ejemplos y aplicación de reglas, que son fundamentales para resolver las operaciones y problemas matemáticos que se plantean y que precisas aprender a resolverlos para que puedas con-tinuar tu formación académica.
Las actividades que se presentan ponen a tu disposición un conjunto variado de ejemplos, ejercicios de aplicación para trabajar en el aula, unas en forma individual y otras para tra-bajar en grupo con tus pares, para reflexionar y debatir el tema y justificar sus opiniones y decisiones, de forma de aprendan juntos con la ayuda del profesor. Las tareas para la casa te ayudarán a reforzar y conseguir el afianzamiento de los conocimientos que vayas adqui-riendo en la clase.
Se propone una metodología activa, ya que requiere la participación y colaboración perma-nente del participante.
Esperamos que este cuaderno de apoyo se convierta en una herramienta que aporte va-liosas experiencias de aprendizaje para tu vida diaria, y despierte tu interés y la motivación para seguir aprendiendo.
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INTRODUCCIÓN
El hombre es curioso por naturaleza, y esa curiosidad se despierta por la necesidad de adaptarnos al medio ambiente que nos rodea.
Este es uno de los principales motivos que llevaron al ser humano a emprender sus pasos en el contar, pero ¿cuáles fueron las principales necesidades que llevaron al ser humano a contar?:
1. Adaptarse al medio ambiente.
2. Proteger sus bienes (necesitaba contarlos).
3. Distinguir los ciclos de la naturaleza (necesidad de alimentarse).
En un principio, el conocimiento de los números por parte del hombre era reducido a un conjunto muy pequeño; es tanto que en las sociedades primitivas se contaba: uno, dos, muchos. “Muchos” se dice tres en latín, es decir que su repertorio sola-mente era hasta el numero tres; esto fue hace aproximadamente cuatro mil años.
El sistema más antiguo consistía en contar con los dedos. ¿Pero cómo anotar el re-sultado? Lo que hicieron fue anotar grandes números echando fichas en una bolsa, pero se dieron cuenta entonces de que bastaban unas simples marcas grabadas sobre una tablilla.
La forma actual de nuestras cifras, nuestro sistema decimal, viene pues del Oeste de la India, por intermedio de los árabes. Pero no es hasta el siglo XIII que penetró en Italia, adoptado por los comerciantes de Florencia. Su empleo no se generalizó hasta el siglo XVI.
Como puedes ver, la humanidad ha invertido varios miles de años en domesticar al número, y la ciencia ha llegado a ser lo que es después de algunos siglos.
Las matemáticas no se han hecho en un día y, más aun, su inicio apenas está aleja-do de nosotros.
Las matemáticas están en todas las partes y aspectos de nuestra vida cotidiana; no podemos imaginar un mundo sin ellos. Esto no nos sorprende, y aunque quizás no todos somos conscientes de las matemáticas, ellas están ahí; los números nos acompañan en cada pequeño detalle diario. La hora que nos despertamos, la can-tidad de leche que usamos en el desayuno, el tiempo que necesitamos para llegar a tiempo al colegio de los niños, así como el dinero que gastamos cada día para las compras en el supermercado, implican operaciones matemáticas.
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CAPÍTULO ILos números y sus operaciones fundamentales
UNIDAD I : SISTEMAS DE NUMERACIÓN
La matemática se inició con la invención de los números para contar.
A lo largo de la historia de la humanidad, el ser humano ha buscado diferentes ma-neras de representar cantidades. Si nos remontamos hacia más de dos mil años, los pueblos de aquella época no utilizaban números para contar objetos, sino que hacían uso de cualquier elemento que pudiera servirles para contar, ya sea utilizando sus propios dedos, dibujando símbolos, marcando bastones (ramas) o haciendo nudos en una cuerda, entre otros. ¿Te imaginas lo difícil que habrá sido representar grandes cantidades? ¿Cuántas piedras o marcas habrán necesitado hacer para representar ese número? ¿Cuánto tiempo les habrá significado eso? Por esto, a medida que la cantidad crecía, las distintas civilizaciones comenzaron a ver la necesidad de utilizar símbolos para representar montos mayores. Fue así como al alcanzar una determina-da cantidad, comenzaron a representarla con una marca distinta, que simbolizaba a todo ese grupo.
La necesidad de contar condujo a la humanidad a la primera noción de los números. Los números naturales han estado presentes en todas las civilizaciones y se han re-presentado de distintas maneras. Los matemáticos de la India fueron los primeros en introducir símbolos individuales para cada uno de los números del 1 al 9.
Es probable que el símbolo “1” provenga del dedo levantado, que es la manera más sencilla y natural que tenemos para decir “uno”.
Así, hasta hoy día utilizamos los números naturales: 1, 2, 3, 4…; aquellos que cono-cemos desde la infancia. Con ellos nos enseñaron a contar.
La idea de número se remonta a épocas prehistóricas. Desde hace miles de años que los hombres han necesitado contar o enumerar.
¿Por qué? Poder hacerlo y encontrar la forma adecuada les ha permitido conocer información importante para su vida diaria. Por ejemplo, han podido saber cuántos animales tienen, conocer el número de personas que conforman su familia, el número de utensilios necesarios, entre muchas otras cosas. Sin embargo, la forma de contar ha sido muy distinta y ha ido variando con el paso del tiempo.
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En el pasado, el hombre usó sus dedos, palitos de madera, piedras, marcas en obje-tos, entre otras formas, para ir ordenando, contando o sumando objetos. La manera de hacerlo y los recursos que utilizaron para ello dependieron de su propia cultura.
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL Y POSICIONAL
Los números naturales son los que usamos para contar y forman un conjunto infinito, un conjunto que no se acaba.
Esto lo simbolizamos con puntos suspensivos, que indican que esta colección sigue de la manera indicada, es decir, sumando uno cada vez: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, 86, 87, 88, ..., 399, 400, 401, ..., 1.273, 1.274, 1.275...
Para escribir los números naturales usamos el llamado sistema de numeración deci-mal. Necesitamos diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Estos números se llaman dígitos y se combinan para escribir otros números.
Si los objetos que contamos son nueve o menos, usamos los dígitos para expresar esa cantidad.
Si los objetos que contamos son más de nueve, formamos grupos de diez en diez, llamados decenas.
El sistema numérico que usamos actualmente recibe el nombre de decimal y posicio-nal. Decimal, porque agrupamos de diez en diez. Es posicional porque el valor que representa cada cifra depende de su situación en el número.
Por ejemplo, si tenemos 37 limones, tendremos tres grupos de diez (30) y siete uni-dades (7). Esto se muestra en el siguiente esquema:
1 11 1 11 11 1 11 11 1 1
11
1 11 1 11 11 1 11 11 1 1
111
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3 grupos de 10=30 7
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EL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
Se llama decimal o de base diez porque se utilizan diez símbolos para representar todos los números. Los diez símbolos son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
A cada uno de los números naturales, del 0 al 9, se lo llama cifra o dígito.
La numeración posicional significa que si tenemos un número, por ejemplo 43, el nº
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3 de la derecha representa 3 veces 1, y el nº 4 de la izquierda representa 4 veces 10. Luego 43 = 4 x 10 + 3 x 1. Así también: 347 = 3 x 100 + 4 x 10 + 7 x 1.
Un dígito es cada una de las cifras que componen un número.
Así, 157 se compone de tres dígitos, que son: 1, 5 y 7.
Ejemplos de formación de números
Los grupos que tenemos son: de las unidades, de las decenas, de las centenas, etc.
Por ejemplo, el número 7.354 está formado por:
4 unidades (1) 4
5 decenas (10) 50
3 centenas (100) 300
7 unidades de mil (1.000) 7.000
7.354
El cuadro de valor posicional siguiente indica los nombres asignados en el sistema decimal para los periodos en que se descompone un número.
Centena Decena Unidad Centena Decena Unidad Centena Decena Unidad
de millón de millón de millón de mil de mil de mil
5 unidades 1 5
0 decena 10 00
3 centenas 100 300
1 unidad de mil 1.000 1.000
6 decenas de mil 10.000 60.000
9 centenas de mil 100.000 900.000
6 unidades de millón 1.000.000 6.000.000
8 decenas de millón 10.000.000 80.000.000
86.961.305
Así, por ejemplo, 86.961.305 se lee: ochenta y seis millones novecientos sesenta y un mil tres cientos cinco.
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CÓMO SE LEEN LOS NÚMEROS NATURALES
Para leer los números se realizarán las siguientes operaciones:
1º) El número se divide en grupos de seis cifras, yendo de derecha a izquierda. Entre el primer grupo de seis cifras y el segundo se intercala el subíndice 1, entre el se-gundo grupo de seis cifras y el tercero se intercala el subíndice 2, y así, sucesiva-mente.
2º) Cada grupo de seis cifras se divide, mediante un punto, en dos grupos de tres cifras.
3º) Se comienza a leer el número por la izquierda, leyendo la palabra billón al llegar al subíndice 2, la palabra millón al llegar al subíndice 1 y la palabra mil cada vez que llegamos a un punto.
Por ejemplo, para leer el número 5290765638946126, lo primero que haremos será dividirlo en grupos de 6 cifras, contando de derecha a izquierda:
529027656381946126
A continuación dividiremos cada grupo de 6 cifras, en dos grupos de 3 cifras cada uno, mediante un punto:
5.2902765.6381946.126
Ahora es fácil leer el número: solo deberemos intercalar la palabra mil en todos los puntos, la palabra billón en el subíndice (2) y la palabra millón en el subíndice (1): cin-co mil doscientos noventa billones, setecientos sesenta y cinco mil seiscientos treinta y ocho millones, novecientos cuarenta y seis mil ciento veintiséis».
Otros ejemplos:
467 = cuatrocientos sesenta y siete.
5.916 = cinco mil novecientos dieciséis.
305.982 = trescientos cinco mil, novecientos ochenta y dos.
61456.872 = seis millones, cuatrocientos cincuenta y seis mil, ochocientos setenta y dos.
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APLICACIÓN
1) ¿Cuántos ceros hay que poner a la derecha de 1 para escribir un millón?
R.: …………………….
2) ¿Cuántos ceros hay que poner a la derecha de 1 para escribir cien mil?
R.: …………………….
3) ¿Cuántos ceros hay que poner a la derecha de 1 para escribir diez millones? R.:…………………......
4) ¿Qué números forman: (Observación: para resolver utilizar el cuadro del valor po-sicional)
a) diez decenas b) diez centenas c) diez unidades de mil
d) mil decenas e) mil unidades f) mil centenas
Escribe los siguientes números:
1) Trescientos cuatro mil seis:
2) Setenta y dos mil ochenta y siete:
3) Novecientos ochenta y dos mil cuatrocientos cincuenta y tres:
Lee y escribe como lees los siguientes números:
1) 897654 2) 486325 3) 80003 4) 1302786 5) 54200040
Descomponer los siguientes números en: unidades, decenas, centenas, etc.
1) 407.254 2) 654.720 3) 2.005.036 4) 10.305.345 5) 46.134.532
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TAREA PARA LA CASA
1. Rodea con círculo los números que tienen un 3 en las unidades:
35, 43 , 53 , 35 , 73 , 37 , 93 , 39 , 31 , 13
2. Descomponer los siguientes números en unidades, decenas, centenas, etc.
3. Descompone en centenas, decenas y unidades los siguientes números, siguiendo el ejemplo.
Ejemplo: 345 = 3 centenas más 4 decenas más 5 unidades.
1. 167 = .................. centenas más ..….........….. decenas más …...…......... unidades
2. 298 = .................. centenas más …...........….. decenas más ……............ unidades
3. 345 = .................. centenas más…...........…... decenas más ……............ unidades
4. 467 = .................. centenas más …............…..decenas más …...........…. unidades
5. 509 = .................. centenas más …...........….. decenas más ……............ unidades
6. 636 = ..................centenas más ……............. decenas más ……............ unidades
7. 777 = .................. centenas más ……............. decenas más ……............ unidades
Numero Centena de millón
Decena de millón
Unidad de millón
Centena de mil
Decena de mil
Unidad de mil
Centena Decena Unidad
2.934
1.363
23.140
4.368
14.320
243.500
1.243.500
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4. Escribe cómo lees los siguientes números:
1) 1.032: .......................................................................................................................
2) 14.265: ......................................................................................................................
3) 84.103: .....................................................................................................................
4) 9.003: .......................................................................................................................
5) 10.035: .....................................................................................................................
6) 103.052: ...................................................................................................................7) 481.506: ....................................................................................................................
8) 144.444: ...................................................................................................................
5. Escribe el número que representa a:
medidas de capacidad
1 litro1 dm3
1 dm
1 dm
1 dm
3 decenas de millar + 2 centenas + 8 decenas + 9 unidades = …………………………..
7 centenas de millar + 3 decenas de millar + 7 unidades de millar = …...………………
8 unidades de millar + 9 centenas + 5 decenas + 2 unidades = ………………………….
1. SISTEMA DE NUMERACIÓN NO POSICIONAL -
NUMERACIÓN ROMANA
La numeración romana es el sistema de representación de los numerales empleados por los romanos. Es un sistema de numeración que usa letras mayúsculas a las que se ha asignado un valor numérico.
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La numeración romana utiliza siete letras mayúsculas, a las que corresponden los siguientes valores:
Letras I V X L C D MValores 1 5 10 50 100 500 1.000
Se usa principalmente:
En el conteo de los siglos, en los relojes, en los números de capítulos y tomos de una obra, en títulos de nobleza, en los nombres de papas, reyes y emperadores, en los actos y escenas de una obra de teatro, en la designación de congresos, olimpiadas, asambleas, etc.
REGLAS DE ESCRITURA DE NÚMEROS ROMANOS:
•Enlanumeraciónromananoexistesímboloparaeldígitocero.
•LossímbolosV y L no se repiten.
•Unmismosímbolonosepuederepetirmásdetresveces.
•Lossímbolosqueserepitensesumanentresí.
•Lossímbolosquevanaladerechadeotromayorsesuman.
•Unsímboloquevaalaizquierdadeunorestaaestesímbolo.
•SololossímbolosI, X y C se restan a otros mayores.
Ejemplo:
10 = X 20 = XX 30 = XXX40 = XL 50 = L 60 = LX
70 = LXX 80 = LXXX 90 = XC
Para escribir los números romanos se deben cumplir las siguientes reglas:
1ª Si a la derecha de una cifra romana se escribe otra igual o menor, el valor de esta se suma a la anterior.
Ejemplos: VI = 6; XXI = 21; LXVII = 67
2ª La cifra “I” colocada delante de la “V” o la “X”, les resta una unidad; la “X” que
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precede a la “L” o a la “C”, les resta diez unidades, y la “C” delante de la “D” o la “M”, les resta cien unidades.
Ejemplos: IV = 4; IX = 9; XL = 40; XC = 90; CD = 400; CM = 900
3ª En ningún número se puede poner una misma letra más de tres veces seguidas.
Ejemplos: XIII = 13, XIV = 14; XXXIII = 33, XXXIV = 34
EJERCICIOS
a) ¿Qué se observa en los números del reloj de la ilustración?
b) Escribe en números romanos los siguientes números y comparte los resultados con tus compañeras.
1 = 2 = 3 = 5 = 7 =
12 = 19 = 31 = 43 = 55 =
88 = 150 = 190 = 234 = 303 =
500 = 1.050 = 2.020 = 3.036 = 5.000 =
c) ¿Cómo se leen los siguientes números romanos?
1) MCMXCVI 2) CCCXLII 3) XCIII 4) CDIV5) LXXVII 6) CXCIX 7) XLIX 8) LXXI
Expresar en números naturales los siguientes números romanos:
a) CDLXXXVI: b) MMDCIX : c) CCXLII : d) DCCXI :
e) XCIX : f) CMLXXXVIII: g) MDCCXI: h) MMXI:
i) CMLXXXIX : j) MMDCCCIV : k) MMM: l) CCX:
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TAREA PARA LA CASA
1) Observa atentamente los siguientes números romanos. Encierra en cír-culos los números correctos y tacha los incorrectos:
1 = I 2 = II 3 = III 4 = IIII 5 = V 6 = VI
7 = VII 8 = VIII 9 = IX 10 = X 11 = XI 12 = XII
13 = XIII 14 = XIV 15 = XV 16 = XVI 17 = XVII 18 = XVIII
19 = XIX 20 = XX 21 = XXI 29 = IIIX 30 = XXX 31 = XXXI
39 = XXXIX 40 = XXXX 50 = L 51 = LI 59 = LIX 60 = LVI
61 = LXI 68 = LXVIII 69 = LXIX 70 = LXX 71 = LIXX 74 = LXXIV
75 = LXXV 77 = VIIVII 78 = LXXVIII 79 = LXXIX 80 = LXXX 81 = LXXXI
88 = LXXXVIII 89 = LXXXIX 90 = XC 91 = XCI 99 = XCIX 100 = C
100: LL 109 = CIX 114 = CXIV 149 = CXLIX 399 = CCCXCIX 400 = CD
444 = CDXLIV 445 = CDXLV 449 = CDXLIX 450 = CDL 899 = DCCCXCIX 900 = CM
2) Expresa en números romanos los siguientes números naturales:
a) 231 b) 789 c) 419 d) 98
e) 856 f) 1.535 g) 1.536 h) 1.482
Expresa en números romanos:
a) tu edad:
b) El año de tu nacimiento:
c) El año de la independencia del Paraguay:
d) El siglo actual:
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UNIDAD 2 : LOS NUMEROS NATURALES
Los números naturales son aquellos que conocemos desde la infancia. Con ellos nos enseñaron a contar.
Números naturales son los que comienzan con el número 0 y los siguientes se van obteniendo por agregado de la unidad al número anterior; por ejemplo, comenzamos con el 0, el siguiente número es 0+1=1, el siguiente número es 1+1=2, el siguiente es 2+1=3, y así sucesivamente.
Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos núme-ros naturales:
5 > 3; 5 es mayor que 3.
3 < 5; 3 es menor que 5.
Los números naturales son ilimitados; si a un número natural le sumamos 1, obte-nemos otro número natural.
Los números naturales pueden representarse en una recta, en la que cada punto de la recta representa un número. Para ello debemos fijar la posición del punto 0 y la longitud del segmento unidad, que será el segmento que llevaremos sobre la recta sucesivas veces según el valor del número.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
ACTIVIDADES
Reflexiona sobre las preguntas siguientes y comparte las respuestas entre compañeras:
•¿Paraquésirvenlosnúmerosnaturales?
•Citaejemplosdenúmerosnaturalesqueutilizasdiariamente.
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OPERACIONES - PROPIEDADES
SUMA O ADICIÓNPropiedad conmutativa: se puede cambiar el orden de los sumandos, y el resultado no se altera. Ejemplo: 3+2 = 2+3. Propiedad asociativa: se pueden agrupar los distintos sumandos, y el resulta-do no se altera. Ejemplo: 1+5+3= (1+5)+3=1+ (5+3).
Y una más: Resolvamos la siguiente cuestión: Con 10.000 guaraníes puedo com-prar un gaseosa que cuesta Gs. 6.000; para saber cuántos guaraníes me sobran, hago: 10.000 - 6.000 = 4.000.
Si ahora tengo 6.000 guaraníes y quiero comprar un aro que cuesta Gs. 10.000, haciendo mis cálculos encuentro que con Gs. 6.000 no puedo pagar Gs. 10.000, o sea, no es lo mis-mo 10.000 - 6.000 que 6.000 - 10.000. Esto nos demuestra que no se puede cambiar de lugar los valores que se van a restar. La operación que en este ejemplo se usó es la resta.
PROPIEDADES DE LA RESTA DE NÚMEROS NATURALES
La resta no tiene las propiedades de la suma.La resta no es una operación interna en el conjunto de los números naturales, porque para que dos números naturales se puedan restar es necesario que el número minuendo sea mayor que el número substraendo. Si eso no ocurre, esa resta no es posible en el conjunto de los números naturales porque el resultado no sería un número natural.
La resta no tiene la propiedad conmutativa, es decir, no podemos intercambiar la posición del minuendo con la del substraendo. La resta tampoco tiene la propiedad asociativa.
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EJEMPLO:
1. (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
5 + 5 = 2 + 8
10 = 10
2. 2 + 5 = 5 +2
7 = 7
EJERCICIOS
a) Efectúa las siguientes sumas aplicando las propiedades conmutativa y aso-ciativa para cada suma indicada:
1) 2.110 + 4.999 + 1.985 + 5.500=
2) 1.823 + 2.368 + 12.354=
3) 3.415 + 2.739 + 1.136=
b) Encuentra el término desconocido:
1. 327 + ....... = 1.208
2. ....... – 4.121 = 626
OPERACIONES COMBINADAS DE NÚMEROS NATURALES
1. Combinación de sumas y diferencias.
9 - 7 + 5 + 2 - 6 + 8 - 4 =
Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.
9 - 7 + 5 + 2 - 6 + 8 - 4 = 7
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2. Combinación de sumas, restas y productos.
3.2-5+4•3-8+5•2=
Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad.
= 6 - 5 + 12 - 8 + 10 =
Efectuamos las sumas y restas.
= 6 - 5 + 12 - 8 + 10 = 15
RESOLUCIÓN DE PROBLEMASIndicaciones: Para resolver problemas es importante poder entender bien de qué se trata el enunciado.• Hay algo que no sabemos y tenemos que averiguar. A veces eso se señala en forma de pregunta. Las preguntas aparecen encerradas con los signos ¿?
• En el problema hay información que se usa para averiguar lo que no sabemos. Son los datos que a veces se muestran como números.
• Es útil imaginarse la situación. A veces un dibujo puede resul-tar conveniente.
• Es importante, una vez resuelto el problema, pensar si los re-sultados que se averiguaron tienen sentido, si son posibles.
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RESUELVE
a) En la compra en un supermercado tuve los siguientes gastos: por la carne pagué Gs. 10.500, por azúcar Gs. 6.800, por arroz Gs. 4.300, por leche Gs. 16.250 y por panificados Gs. 8.000. ¿Cúanto gasté en total?
Datos Incógnita Solución
Respuesta:
b) Al vender un zapato por Gs. 85.000, perdí Gs. 11.900. ¿Cuánto me costó ese za-pato?
Datos Incógnita Solución
Respuesta:
c) El vendedor de un negocio me ofreció una radio por Gs. 322.500, y al pedirle factura legal me dijo que al precio original se le debe agregar el IVA, que es de Gs. 32.250. ¿Cuánto pagué en total?
Datos Incógnita Solución
Respuesta:
APLICACIÓN
Coloca ordenadamente y efectúa las siguientes restas:
1) 4.808 - 547 = 2) 8.560 - 6.585 =
3) 3.780 - 2.893 = 4) 2.670 - 1.999 =
5) 4.556 - 1.869 = 6) 4.587 - 4.487 =
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Efectúa las operaciones combinadas:
a) 9 - 7 + 5 + 2 - 6 + 8 - 4 =
b) 15 - 10.13 - 7=
c) 25 + 13 - 12 + 5 =
d) 3.3 - 1 + 2.1 =
e) 120 + 100 - 20=
ACTIVIDAD
Antes de resolver un problema, sigue estas recomendaciones:Lee el problema tantas veces como sean necesarias para com-prenderlo.Analiza los datos que se dan, así como la pregunta que debes responder.Comprende los datos que debes buscar.Identifica y realiza las operaciones que debes hacer.Comprueba tus operaciones para saber si tu resultado es correcto.
RESUELVE
a) Para mi desayuno compré 1 litro de leche por Gs. 4.200, un paquetito de café por Gs. 2.100, 1/4 de azúcar por Gs. 1.800 y una galletita de Gs. 2.300. Yo tengo Gs. 20.000 y quiero saber cuántos guaraníes gasté y cuántos me sobran.
Datos Incógnita Solución
Respuesta:
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b) Tengo Gs. 80.000 para gastos de la casa. Debo comprar: focos, que alcanzan Gs. 22.000; detergente, que alcanza Gs. 13.500; repasador por Gs. 16.800; toallas, que alcanzan Gs. 28.350, y crema dental, que cuesta Gs. 15.000. ¿Puedo comprar todos esos artículos con el dinero que tengo? Si no es así, ¿qué artículos puedo comprar?
Datos Incógnita Solución
Respuesta:
c) Compré una olla de presión por Gs. 112.000 y la vendí por Gs. 97.500 ¿Cuántos guaraníes perdí?
Datos Incógnita Solución
Respuesta:
TAREA PARA LA CASA
Ordena de menor a mayor en una recta numérica.
9, 5, 7, 4, 2 11, 14, 17, 6
Ordena de mayor a menor y suma los siguientes números:
a) 113; 79 b) 18; 993 c) 17.503; 39.008
Aplicar la propiedad asociativa en las siguientes sumas:
a) 13 + 64 + 56 b) 304 + 93 + 77 c) 802 + 98 + 15 + 17
Busca el término desconocido:
1) 327 + ....... = 1.208 2) ....... - 4.121 = 626
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Efectúa las siguientes sumas y restas combinadas:
1) 45 + 15 - 31 - 1 + 8 =
2) 81 - 9 + 48 - 31 + 5 - 3 =
3) 21 - 3 - 7 + 20 + 9 - 10 + 15 - 25 + 10 =
4) 348 + 25 - 22 - 15 + 9 - 3 =
5) 20.2 + 5.2 - 10=
6) 20.5 - 50 + 20.3 - 10 =
RESUELVE
Para hacer una sopa paraguaya necesito 500 gramos (g) de harina de maíz, que cuesta Gs. 3.500; una cebolla, que cuesta Gs. 500; 100 ml de aceite, que me cues-ta Gs. 1.250, queso Paraguay, 200 g, que me cuesta Gs. 6.500; 3 huevos, que me cuestan Gs. 1.800, 1/2 litro de leche, que cuesta Gs. 2.500, y una cucharada de sal, que me cuesta Gs. 200. ¿Cuántos guaraníes necesito para hacer la sopa paraguaya?
Datos Incógnita Solución
Respuesta:
MULTIPLICACIÓN
Multiplicación de números naturales. Términos de la multiplicaciónLa multiplicación es una suma reiterada; sumamos el primer número consigo mismo de forma que interviene de sumando tantas veces como indica el se-gundo número.Los números que se multiplican se llaman factores, y el resultado de la multi-plicación se llama producto.
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PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN
La multiplicación es conmutativa: Ejemplo 1: 2 x 4 x 5= 5 x 4 x 2=4 x 2 x 5 = 40
La multiplicación es asociativa: Ejemplo 2: 3 x 4 x 5 x 2 = 3 x (4 x 5 x 2) = (3 x 4) x (5 x 2) = 120
La multiplicación tiene propiedad distributiva respecto a la adición y a la sus-tracciónEjemplo 3:1) 5 x (3 + 2) = 5 x 3 + 5 x 2;2) (4 + 3) x 2 = 4 x 2 + 3 x 2;3) 6 x (4 - 2) = 6 x 4 -6 x 2
APLICACIÓN
Efectúa las siguientes multiplicaciones, aplicando la propiedad conmutativa.
1) 11 x 7 = 5) 4 x 89 = 9) 28 x 6 =
2) 42 x 5 = 6) 96 x 3 = 10) 57 x 6 =
3) 63 x 6 = 7) 56 x 11 = 11) 97 x 3 =
4) 74 x 9 = 8) 71 x 9 = 12) 11 x 6 =
Aplica la propiedad distributiva y efectúa:
1) (4 x 5) x 3 = 6) (5 + 7) x 8 =
2) 5 x (3 x 7) = 7) 4 x (5 + 2) =
3) (7 + 3) x 2 = 8) 5 (20 - 10) =
4) 3 x (1 + 2 + 3) = 9) ( 3 + 5 + 2+ 1 + 4 ).6 =
5) (5 x 6 x 7) x 2 = 10) (9 - 4 ).5 =
RESUELVE
1) Tengo que pagar por: 4 kg de rosquita, que cuesta Gs. 8.000 el kilo; por 5 kg de asado, que cuesta Gs. 12.000 el kilo; por 10 litros de leche, que cuesta Gs. 3.200 el litro. ¿Cuánto debo pagar en total? Si tengo Gs. 150.000. ¿Cuántos guaraníes me sobran?
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2) Óscar ahorra cada día 9.200 guaraníes. ¿Cuánto ahorra a lo largo de 7 días?
3) Manuel gasta Gs. 30.000 cada domingo en la entrada de fútbol. Si deja de ir 4 do-mingos, ¿cuánto ahorrará en total?
6 ÷ 2 = 2
Dividendo Divisor Cociente
PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN:
La división no es conmutativa.La división solamente es distributiva con respecto al divisor.
EJEMPLO: Así:20/(4+5)≠20/4+20/5
(15 + 10)/5 = 15/5 + 10/5
DIVISIÓN
Al igual que el concepto de suma está mentalmente asociado a “aumentar” y el concepto de restar está muy asociado mentalmente a “disminuir”, el con-cepto de dividir está muy asociado a “repartir”.Efectivamente, cuando dividimos dos cantidades a y b, lo que estamos ha-ciendo es repartir el número de elementos de a entre el número de elementos de b. Así, para repartir 6 peras (elemento a) entre 2 personas (elemento b), dividimos el elemento 6 entre el elemento 2, que se expresa: 6 : 2 = 3
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ACTIVIDAD
USO BÁSICO DE LA CALCULADORA
Primeros pasos con la calculadora
Toda calculadora tiene los 10 números del sistema decimal (del 0 al 9) y las operacio-nes aritméticas principales (suma, resta, multiplicación y división).Para introducir un número, simplemente hay pulsar las teclas de números y se irá armarlo en el pequeño tablero –de izquierda a derecha– la cifra que se va formando. Por ejemplo, para escribir 25.600 hay que escribir el 2, luego el 5, luego el 6, luego el 0 y por último el 0.Después de escribir el primer número debemos elegir la operación a realizar (si es suma, presionamos el “+”, si es resta el “-”, y así con cualquier operación).Luego de seleccionar la operación, debemos elegir el otro número para operar.Por poner un ejemplo, escribimos 25600.Luego presionamos +y escribimos el segundo sumando, el número 4400Solo nos resta saber el resultado; para ello presionamos el botón de igual: =En caso de querer seguir operando, podemos trabajar sobre el resultado.Supongamos que al resultado del ejemplo anterior, que fue 30.000, lo queremos divi-dir por 2.Básicamente, cuando vemos 30000 en la pantalla presionamos “/” (dividir) y luego el 2; por último presionamos “=”, y se observa en pantalla el resultado de la división: 15000.Ese es el funcionamiento básico de una calculadora.
EJERCICIOS
Harina gs. 3.200 el kg; azúcar gs.
6.200 el kg; mantequilla gs. 10.000
el kg; huevo Gs. 6.500 la docena;
aceite gs. 12.000 el litro.
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Resuelve usando la calculadora y observa la maravilla de los números
1) 46 x 96 = 2) 64 x 69 = 3) 333 x 333 = 4) 3333 x 3333 =
5. Comprueba los resultados de las operaciones del cuadro, utilizando calcu-ladora.
Uso la calculadora para resolver el siguiente problema:
Mercedes tiene 77 bolígrafos y quiere repartirlos a partes iguales entre 6 amigas. ¿Cuántos bolígrafos corresponden a cada una?
Dividimos 77 entre 6, y el resultado da 12,8333.
Luego, 12 x 6 = 72………… Entonces, a cada amiga le corresponden 12 bolígrafos, y quedan 5 que ya no pueden distribuirse.
La división que has hecho no es exacta, porque el resto no es cero. ¿Cómo sabrá Mercedes si ha hecho bien el reparto?
El número de bolígrafos que tenía (77) debe ser igual a los que ha dado a sus amigas (6 x 12), más los que han sobrado (5). Y deben sobrar menos de 6 bolígrafos.
Comprueba que:
77 = 6 X 12 + 5 5 < 6 (se lee 5 es menor que 6)
1 x 8 + 1 = 912 x 8 + 2 = 98123 x 8 + 3 = 9871234 x 8 + 4 = 987612345 x 8 + 5 = 98765123456 x 8 + 6 = 9876541234567 x 8 + 7 = 987654312345678 x 8 + 8 = 987654321213456789 x 8 + 9 = 987654321
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RESUELVE
Si tengo Gs. 8.200 para comprar un yogur que cuesta Gs. 2.200 cada uno, ¿cuántos yogures puedo comprar y cuantos guaraníes me sobran?
Datos Incógnita SoluciónTengo Gs. 8.200Precio de cada yogur:Gs. 2.200
1. ¿Cuántos yogures pue-do comprar?Después de abonar: 2. ¿Cuántos guaraníes me sobran?
8.200 : 2.200 = 3,7Puedo comprar 3 yogures.3 yogures alcanzan: 2.200 x 3= 6.600; luego: 8.200 - 6.600 = 1.600
Respuesta: Puedo comprar 3 yogures. Me sobran Gs. 1.600.
APLICACIÓN
Efectúa las siguientes divisiones:
1) (9 + 6)/3 = 2) (18 - 12)6 = 3) (12 - 8)/2 =
4) (60 + 24 + 12)/12 = 5) (8 - 4 + 36)/4 = 6) (21 + 9 + 27)/3 =
Resuelve aplicando la propiedad distributiva:
a) (81 - 9 + 27 ) : 9 =
b) (21 + 63 + 28 ) : 7 =
c) (55 - 44 ) : 11 =
RESUELVE
a) Para un mes, de 30 días, tengo 60 litros de leche y 90 botellitas de jugo. ¿Cuántos litros de leche y cuántas botellitas de jugo puedo consumir por día para agotar toda la leche y todo el jugo?
Datos Incógnita Solución
Respuesta:
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b) Mis gastos diarios fijos son: desayuno, Gs. 10.000; almuerzo Gs. 14.900; cena Gs. 8.400 y pasaje diario Gs. 8.400. ¿Cuántos guaraníes gasto de lunes a viernes?
Datos Incógnita Solución
Respuesta:
c) Necesito preparar jarrones de flores para adornar la casa, y tengo Gs. 100.000 para la compra de flores. En la florería indican los siguientes precios de flores:
Flores Precio por unidad
Rosas Gs. 4.000
Claveles Gs. 3.000
Margaritas Gs. 2.000
Ramo de floressilvestres Gs. 1.500
Girasoles Gs. 2.300
1. Si decido comprar 1 docena de rosas, 3 girasoles y 2 ramos de flores silvestres, ¿cuántos claveles puedo agregar a la compra?
2. ¿Cuántos guaraníes me sobran?
Datos Incógnita Solución
Respuesta:
d) Un granjero ha obtenido de sus gallinas 12.648 huevos en un mes. ¿Cuánto dinero recibirá sabiendo que los vende a Gs. 7.000 la docena?
Datos Incógnita Solución
Respuesta:
e) María ha dividido 384 entre 14 y ha obtenido como cociente exacto 21. Su padre hace una multiplicación, y le dice que la división está mal hecha.
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a) ¿Qué multiplicación ha hecho el padre de María?
b) Haz tú bien esa división.
Datos Incógnita Solución
Respuesta:
TAREA PARA LA CASA
1. Aplica la propiedad conmutativa y halla el resultado de la multiplicación:
2. Aplica la propiedad distributiva y efectúa:
1) (2 x 5) x 3 = 6) (3 + 7) x 4 =
2) 5 x (2 x 7) = 7) 4 x (5 + 2) =
3) (8 + 3) x 3 = 8) 5 ( 10 - 5) =
4) 3 x (1 + 2 + 3 + 4 ) = 9) ( 3 + 5 + 2 + 4 ) . 6 =
5) (5 x 5 x 5) x 2 = 10) (9 - 5) . 4 =
3. Resuelve los siguientes problemas:
1) Debo comprar 4 paquetes de pilas, que cuestan Gs. 3.500 por paquete. Si tengo Gs. 20.000, ¿cuántos guaraníes me darán de vuelto?
2) Para hacer una torta gasté Gs. 15.000. ¿Por cuánto debo vender para ganar Gs. 6.000?
3) Compré una blusa por Gs. 28.500. Cuando me probé, me quedó muy chico y lo volví a vender por Gs. 22.900. ¿Cuántos guaraníes perdí en la venta?
27 x 6 = 7 x 12 =
39 x 6 = 7 x 10 =
44 x 4 = 9 x 60 =
72 x 2 = 3 x 78 =
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4) Compro un pantalón vaquero por Gs. 85.900, y pagué con un billete de Gs. 100.000. ¿Cuántos guaraníes me sobran?
5) En el almacén de mi barrio hago una compra que me alcanza Gs. 78.000, pero yo tengo solamente Gs. 45.000. El almacenero me da la posibilidad de llevarle al día siguiente el resto de lo que me falta. ¿Cuántos guaraníes me faltan? ¿Qué signo debe tener la cantidad que me falta?
6) Manuel ha dividido 94 entre 7 y ha obtenido de cociente 12 y de resto 10. ¿Ha hecho bien la división? Hazla tú y verifica.
4. Divide los siguientes números naturales. Utiliza la calculadora para verifi-car el resultado.
Comprueba las divisiones siguientes y completa este cuadro:
Dividendo Divisor Cociente Resto Corrección Especifica el error
29 4 7 1 OK ninguno
150 30 5 0
485 4 121 0
1.576 12 112 2
3.500 70 5 0
2.435 15 162 2
850 47 18 4
1.109 41 27 2
554 25 21 29
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UNIDAD 3: LOS NÚMEROS ENTEROS
Con los números naturales no es posible realizar restas o diferencias en las que el minuendo sea menor que el que el sustraendo, pero en la vida nos encontramos con operaciones de este tipo donde a un número menor hay que restarle uno mayor. Ejemplo: 5 - 7= -2
Por ejemplo, la necesidad de representar el dinero adeudado, temperatura bajo cero, profundidades con respecto al nivel del mar, etc.
Las anteriores situaciones nos obligan a ampliar el concepto de números naturales, introduciendo un nuevo conjunto numérico llamado NÚMEROS ENTEROS.
El conjunto de los números enteros está formado por:
...-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...
Es decir, los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero. Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero.
Los números enteros pueden representarse en una recta numérica.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
negativos cero positivos
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Ejemplo:
a) Necesitamos expresar las situaciones siguientes utilizando números positivos o negativos:
• Siete metros bajo el nivel del mar: -7m
• Quince grados bajo cero: - 15 grados …
• 1875 metros sobre el nivel del mar: …+ 1875 …
• El termómetro marca cuatro grados bajo cero: -4 º…
• Treinta y cinco metros bajo el nivel del mar: … -35 m …
• Pablo debe doscientos cincuenta guaraníes: …- 200 gs. …
RESUELVE
b) Problema: Un ascensor que está en la primera planta baja cinco pisos. ¿En qué
planta se encuentra ahora el ascensor?
c) Problema: A las dos de la mañana, el termómetro marcaba -5 ºC. Tres horas
más tarde, la temperatura baja dos grados. ¿Qué temperatura marca entonces
el termómetro?
d) Problema: Un día, la temperatura a las doce de la noche era de -4 ºC. Después, bajó cinco grados. Finalmente, descendió otros dos grados. ¿Qué temperatura marcó al final el termómetro?
APLICACIÓN
1) Para hacer una torta gasté Gs. 10.000, y para preparar 5 litros de jugo gasté Gs. 4.000. ¿Cuántos guaraníes gasté en total para preparar el jugo y la torta?
2) Si en la venta de la torta gano Gs. 15.000 y en la venta del jugo gano Gs. 3.000. ¿Cuántos guaraníes es el total de mi ganancia? ¿Qué signo debe tener las ganancias y qué signos los gastos?
Al final de toda la venta, ¿cuántos guaraníes debo tener en total?
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Operaciones Combinadas de Números Positivos y Negativos
a) Suma de números enteros
Suma de 2 números enteros de igual signo
Suma de 2 números positivos
- Se suman sus valores absolutos y se deja el resultado con el signo +.
- Ej.: (+2) + (+5) = (2+5) = (+7)
Suma de 2 números negativos
- Se suman sus valores absolutos y se deja el resultado con el signo -.
- Ej.: (-8) + (-2) = (8+2) = (-10)
Suma de 2 números enteros de distinto signo
- Se restan sus valores absolutos, (al mayor se le resta el menor), y se deje el resulta-do con el signo del número mayor.
- Ej.: (-4) + (+3) = (4 - 3) = (-1) (+5) + (-7) = (7 - 5) = (-2)
b) Resta de números enteros
- Siempre que vayamos a restas, tenemos que convertir la resta en una suma.
Para ello, tenemos que cambiar el signo del número que lleve el – delante. Luego re-solveremos la operación como una suma de números enteros.
Ej.: (+3) – (+2) = (+3) + (-2) = (3 - 2) = (+1)
(-6) -(+5) = (-6) + (-5) = (6 + 5) = (-11)
1) 2 + (-3) = 2) -7 + (-5) + 8 + (-15) = 3) 58 – 63 – 18 = 4) -91 + 83 - (-45) =
PARA PENSAR Y RESOLVER
2) Compré una pulsera de plata por 64.000 guaraníes y un reloj por 35.000 guara-níes. Después de un tiempo quise vender la pulsera y el reloj, pero por la pulsera me pagaron solamente 53.900 guaraníes y por el reloj me pagaron solamente 21.800 guaraníes. ¿Cuántos guaraníes gasté en la compra del reloj y la pulsera? ¿Cuántos guaraníes perdí en total?
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3) Dado el siguiente grupo de números, ordenar en forma creciente y en forma decre-ciente. Puedes guiarte graficando en la recta numérica.
a) H = {-9; 4; 2; -14; 0; -7; 11} b) G = {-6; 3; -5; 7 ; -2; 9; 8} c) J = {0; -9; 3; -2; 5; -4; -6; 15;-20}
NÚMEROS ENTEROS OPUESTOS
Nos fijamos, por ejemplo, en la posición que ocupa el 3 y el -3 en la recta.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
Observamos que 3 y -3 se encuentran a la misma distancia de cero. Son simétricos res-pecto al cero. Tienen el mismo valor absoluto, pero distinto signo. Se llaman opuestos
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO
El valor absoluto de un número entero es ese mismo número con signo positivo. El signo positivo delante del número se omite. Se representa así: | -7 | = 7
APLICACIÓN
Escribe el valor absoluto de los siguientes números:
1) |0|= 2) |-11 |= 3) |5|= 4) |8|= 5) |-15|= 6) |-37|= 7) |2| = 8) |-2|=
Los valores absolutos de los números se utilizan, por ejemplo, para obtener la varia-ción de temperaturas entre temperaturas + y temperaturas - . También se podrían usar para expresar la cantidad de pisos que hay entre un determinado piso de un edificio y un determinado subsuelo de ese mismo edificio. En general, para saber la separación que hay entre dos valores, una positiva y otra negativa, efectuamos una suma de los valores absolutos de los números; si los números son positivos: del mayor se resta el menor, y si los números son negativos: del valor absoluto del menor se resta el valor absoluto del mayor. Observación: recordar que cuanto más a la derecha de la recta numérica esté situado un número, es mayor.
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Ejemplo:
1) Una ciudad A se encuentra a 2000 m sobre el nivel del mar, y otra ciudad B se encuentra a 300 m bajo el nivel del mar. ¿Cuál es el desnivel que hay entre las dos ciudades? (Tener en cuenta que bajo el nivel del mar es -300m).
Solución: 2000+ |-300| = 2000 + 300 = 2300 m
Respuesta: El desnivel que hay entre las ciudades A y B es de 2300 m.
2) En un día de frío, la temperatura a la mañana fue de -3º Celsius, y a la noche la temperatura fue de -10º Celsius. ¿Cuánto fue la variación de temperatura de ese día?
Solución: |-10| - |-3|=10 -3 =7
Respuesta: La variación de temperatura de ese día fue de 7º Celsius.
APLICACIÓN
1) Una ciudad A se encuentra a 20 m bajo el nivel del mar, otra ciudad B se encuentra a 55 m bajo el nivel del mar. ¿Cuál es el desnivel que hay entre las dos ciudades?
2) Una ciudad A se encuentra a 255 m sobre el nivel del mar, otra ciudad B se encuen-tra a 78 m sobre el nivel del mar. ¿Cuál es el desnivel que hay entre las dos ciudades?
3) En el día de hoy, la temperatura a la mañana fue de 15º Celsius, y a la noche la temperatura fue de -4º Celsius. ¿De cuántos grados fue la variación de temperatura de ese día?
4) En el día de hoy, la temperatura a la mañana fue de 43º Celsius, y a la noche la temperatura fue de 22º Celsius. ¿De cuántos grados fue la variación de temperatura de ese día?
5) Estoy en el piso 5 de un edificio, y me bajo en el ascensor 7 pisos. ¿En qué piso me encuentro ahora?
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6) Una cubeta con crema para helado se encuentra a 20 ºC, luego se coloca en la heladera y su temperatura pasa a ser de -2 ºC. ¿Cuántos grados descendió la tempe-ratura de la crema?
a) Resolver las siguientes sumas:
1) (-4) + 4 = 2) 4+ (-5) + (-7) - (-11)=
3) (-4) + (-2) + (-7) - (-42) + (-33) = 4) (-8) - (+9) - (+10) =
5) 10 - 15 + 20 + 35 - (-89) =
b) Efectuar las siguientes sumas y restas combinadas:
1) (-3) + (-6) + (-8) + 3 = 2) 1 - 5 - (-8) + (-2) + 5 =
3) 10 + (-8) - (-4) + (-9) = 4) -(+5) + 5 + 4 + (-10) + (-4) + 10 =
5) 9 + 12 + (-8) + 4 + 5 + (-9) + (-1) = 6) (-15) + 6 + 3 + (-20) + 17 + 31 =
7) -30 + 8 - (-5) + 1 - 5 - (-3) + (- 7) = 8) -4 + (-2 + 1) + 5 - [3 -(1 - 2) + 4] + 1 - 2 =
9) (3 - 8) + (- 5 - 2) - (-9 + 1) - (7 - 5) = 10) (4 + 5) - (3 - 4) + 12 =
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Regla del producto de los signosEl producto de signos iguales es siempre positivo El producto de signos diferentes es siempre negativo. Ejemplo: 2 x 3 = 6 ; -5 x -4 = 20 ; -3 x 4 = -12 ; 8 x -2 = -16
La multiplicación de números enteros tiene también propiedades similares a la de números naturales: La multiplicación de números enteros cumple las siguientes pro-piedades:
•Propiedadasociativa.Dadostresnúmerosenterosa,byc,losproductos(aXb)Xcy a X (b Xc) son iguales.
•Propiedadconmutativa.Dadosdosnúmerosenterosayb,losproductosaXbybXa son iguales.
•Elementoneutro.Todoslosnúmerosenterosaquedaninalteradosalmultiplicarlospor 1: a X 1 = a
+ x + = + - x - = + + x - = + - x + = +
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•Propiedaddistributiva.Dadostresnúmerosenterosa,byc,elproductoaX(b+c)y la suma de productos (a X b) + (a X c) son idénticos.
Ejemplo:
Propiedad asociativa:
[(-7) x (+4)] x (+5) = (-28) x (+5) = -140
(-7) x [(+4) x (+5)] = (-7) x (+20) = x 140
1. Propiedad conmutativa:
(-6) x (+9) = -54
(+9) x (x 6) = -54
APLICACIÓN
Después de conocer la regla de la multiplicación, responde:
1) ¿Qué signo tiene el producto de 3 números negativos?
2) ¿Qué signo tiene el producto de: un número positivo por otro número positivo por otro número negativo?
3) Si se cambia el orden de los números de la pregunta anterior, ¿varia el signo del resultado?
Resolver las siguientes multiplicaciones
1) 23 x (-15) = 2) -82 x -16 =
3) -9 x -8 = 4) 13 x 17 =
5) 120 x -11 = 6) -17 x -8 =
7) 6 x 36 = 8) 7 x -8 =
9) (-8 ).(-3) = 10) (+12).(+2) =
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DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para hallar el cociente exacto de dos números enteros, se dividen sus va-lores absolutos; si el dividendo y el divisor tienen igual signo, el cociente es positivo, y si el dividendo y el divisor tienen distinto signo, el cociente es ne-gativo.
Ejemplos:
(+12) : (+3) = +4
(+12) : ( -3) = - 4
(-12) : (-3) = +4
(-12) : (+3) = -4
Regla de la división de signos
La división de números de igual signos es siempre positiva.
La división de números de signos diferentes es siempre negativa.
Ejemplos: 20/10 = 12 ; -100/20 = -5 ; -8/-2 = 4 ; 75/-25 = -3
APLICACIÓN
a) ¿Qué parecido encuentras entre la regla de los signos de la multiplicación y la de la división?
b) Resolver:
1) -6/3 = 2) -4/-2 =
3) 4/-2 = 4) 27/-3 =
5) 39/-13 = 6) -50/-2 =
7) 75/3 = 8) -3/-1 =
9) -15/5 = 10) 18/-6 =
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c) Resuelve aplicando propiedad distributiva:
1) (-12 + 24 - 18):(-6) = 2) (-3).(6 - 8 + 4 - 3) = 3) (45 - 18 + 81):(-9) =
TAREA PARA LA CASA
a) Sumar
1) ( + 5 ) + ( + 3 ) = 2) ( - 8 ) + ( - 5 ) =
3) ( - 3 ) + ( + 9 ) = 4) (- 2 ) + ( - 15) =
5) ( - 1 ) + ( + 7 ) = 6) ( - 5 ) + ( + 0 ) =
7) ( - 5 ) + ( + 5 ) = 8) ( - 4 ) + ( - 4 ) =
b) Restar
1) (+5) - (+3) = 2) (-8) - (-5) =
3) (-3) - (+9) = 4) (-2) - (-15) =
5) (-1) - (+7) = 6) (-8) - (+0) =
7) (-5) - (+5) = 8) (-4) - (-4) =
c) Multiplicar
1) (-7).(+4) = 2) (+13).(-3) =
3) (-25).(-5) = 4) 2.(-3).3.(-2) =
d) Calcular los siguientes cocientes
1) (-21) : (-7) = 2) (+15) : (+3) =
3)(-18) : (+3) = 4) (+63) : (-9) =
5) (-12) : (-6) =
e) Resuelve aplicando propiedad distributiva
1) (12 - 7 - 8 + 1).(-2) = 2) (-35 - 42 - 63):(+7) =
3) (+4).(-8 + 5 - 6 +2) = 4) (-72 + 24 - 48 - 12):(+12) =
5) (-6 + 4 - 3 - 5).(-10) =
31+
50
39
RESUELVE
1) Una ciudad A se encuentra a 220 m sobre el nivel del mar, otra ciudad B se encuen-tra a 75 m bajo el nivel del mar. ¿Cuál es el desnivel que hay entre las dos ciudades?
2) Una ciudad A se encuentra a 55 m sobre el nivel del mar, otra ciudad B se encuen-tra a 78 m sobre el nivel del mar. ¿Cuál es el desnivel que hay entre las 2 ciudades?
3) En el día de hoy, la temperatura a la mañana fue de 35º Celsius, y a la noche la temperatura fue de -6º Celsius. ¿De cuántos grados fue la variación de temperatura de ese día?
5) En el día de hoy, la temperatura a la mañana fue de 36º Celsius, y a la noche la temperatura fue de 12º Celsius. ¿De cuántos grados fue la variación de temperatura de ese día?
6) Estoy en el piso 8 de un edificio, y me bajo al subsuelo 3. ¿Cuántos pisos recorrí?
7) Amalia y Jorge van en bicicleta y salen del mismo lugar. Amalia avanza 6 km y luego retrocede 2 km, mientras que Jorge avanza 8 km y retrocede 5 km. a) ¿A qué distancia se encuentra uno del otro? b) ¿Quién recorrido más?
8) Se tarda 55 minutos para hornear una torta, 40 minutos para que se enfríe y 22 minutos para decorarla. ¿Cuántos minutos se utilizaron en total entre hornear, enfriar y decorar esa torta?
MÚLTIPLOS Y DIVISIBILIDAD
Para obtener los múltiplos de un número multiplicamos el número por cada uno de los números naturales.
Por ejemplo:
1 x 2 = 2 2 x 2 = 4 3 x 2 = 6 4 x 2 = 8 5 x 2 = 10 6 x 2 = 12
Luego los números 2, 4,6, 8,10, 12, son múltiplos de 2.
31+
50
40
Así:
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x10
Múltiplos de 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
Múltiplos de 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Ahora, se dice que un número es divisible por otro, cuando el cociente de esta división es exacto.
Divisibilidad por 2
Los números: 2, 4, 6, 8, 10, 12… son múltiplos de 2.
Todos los números que terminan en múltiplos de 2 o en 0 son divisibles por 2, y estos números son llamados números pares.
Ejemplos:
30/2 = 15 ; 22/2 = 11 ; 48/2 = 24, entonces 30, 22 y 48 son divisibles por 2.
Todos los números que no son divisibles por 2 se llaman números impares.
Divisibilidad por 3
Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Ejemplo:
1356 1 + 3 + 5 + 6 = 15, como 15 es múltiplo de 3; 1356 es divisible por 3.
4287 4 + 2 + 8 + 7 = 21, como 21 es múltiplo de 3; 4287 es divisible por 3.
Divisibilidad por 5
Un número es divisible por 5 cuando el número termina en 0 o en 5.
Ejemplos: 40; 25; 1255
31+
50
41
APLICACIÓN
a) Escribe 15 números que sean divisibles por 2
b) Escribe 15 números que sean divisibles por 3
c) Escribe 15 números divisibles por 5
Divisor de un número
Un número es divisor de otro, si cuando dividimos el segundo entre el primero, el resto de la división es 0.
Por ejemplo, decimos que 5 es divisor de 10 porque al dividir 10 entre 5 la división es exacta; 10/5= 2 y el resto es 0.
1) Escribe 15 números divisibles por 5; entre esos números ¿cuáles son múltiplos de 3?
2) Calcula 4 múltiplos de cada uno de las siguientes cifras: 6, 17, 12, 3, 11, 20.
3) Escribe 3 divisores de cada uno de los siguientes números: 40, 50, 18, 75, 82, 100.
Observa: La descomposición en producto de factores primos de los siguientes núme-ros y calcula el valor de cada uno de estos números:
A = 22 x 3 x 52 = B = 22 x 3 x 5 = C = 22 x 32 x 52 x 7 =
DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUS FACTORES PRIMOS
La descomposición de un número en sus factores primos se efectúa transformando al número dado en producto indicado de sus factores primos. Los factores primos que vamos a utilizar en esta descomposición son los números 2, 3 y 5, estos números son primos porque se pueden dividir solamente por sí mismos y por la unidad.
Definición
Todo número puede expresarse como producto de factores primos. Para descompo-ner un número en sus factores primos, se debe seguir el siguiente procedimiento:
31+
50
42
•Dividirelnúmeroporelmenornúmeroprimoposible.
•Sielresultadopuededividirsenuevamenteporesenúmero,realizarladivisión.
•Sielresultadonopuedevolveradividirseporesenúmero,buscarelmenornúmeroprimo posible para continuar dividiendo.
•Seguirconelprocedimientohastaobtenerelcocienteigualauno.
90451551
2335
90= 2 x 32 x 5
APLICACIÓN
a) Descomponer en sus factores primos los siguientes números
a)64 b) 96
c) 3000 d) 385
e) 1080 f) 408
g) 10000 h) 1875
i) 13500 k) 1296
l) 450 m) 1200
Máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (MCM
Máximo común divisor: Es el mayor de los divisores comunes a varios naturales. Si el máximo común divisor de dos números es 1, se dice que son primos relativos. Para el cálculo del máximo común divisor de varios números, primero los factorizamos y luego tomamos los factores comunes elevados al menor exponente.
Mínimo común múltiplo: Es el menor de los múltiplos comunes de un conjunto de naturales. Para el cálculo de mínimo común múltiplo tras la factorización de los números tomamos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.
31+
50
43
Ejemplo:
1. Hallar el m.c.d. y el m.c.m. de: 72, 108 y 60.
723618931
22233
1085427931
22333
60301551
2235
Máximo común divisor: Es el mayor de los divisores comunes a varios naturales. Si el máximo común divisor de dos números es 1, se dice que son primos relativos. Para el cálculo del máximo común divisor de varios números, primero los factorizamos y luego tomamos los factores comunes elevados al menor exponente.
Mínimo común múltiplo: Es el menor de los múltiplos comunes de un conjunto de na-turales. Para el cálculo de mínimo común múltiplo tras la factorización de los números tomamos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.
1. Hallar el m.c.d. y el m.c.m. de: 72, 108 y 60.
72=23•32
108=22•33
60=22•3•5
m.c.d.(72,108,60)=22•3=12
12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60.
Para hallar el m.c.m. se toman los factores comunes y no comunes con ma-yor exponente.
72=23•32
108=22•33
31+
50
44
60=22•3•5
m.c.m.(72,108,60)=23•33•5=2160
2. Un ebanista quiere cortar una plancha de madera de 256 cm de largo y 96 cm de ancho en cuadrados lo más grandes posible.
a) ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadrado?
SOLUCIÓN
a) La longitud del lado del cuadrado tiene que ser un divisor de 256 y de 96, y además debe ser el mayor divisor común; luego hay que calcular el m.c.d. (256, 96).
256 = 28
96 = 25 x 3
m.c.d. (256, 96) = 25= 32. La longitud del lado del cuadrado es de 32 cm.
3. En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se puedan envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan.
m. c. d. (250, 360, 540) = 10
Capacidad de las garrafas = 10 l.
Número de garrafas de T 1 = 250 / 10 = 25
Número de garrafas de T 2 = 360 / 10 = 36
Número de garrafas de T 3 = 540 / 10 = 54
Número de garrafas = 25 + 36 + 54 = 115 garrafas
31+
50
45
APLICACIÓN
1) Escribe los divisores de 24 y 32. Rodea con un círculo los comunes. Señala el ma-yor de ellos. Este será el m.c.d. (24, 32).
2) Escribe varios múltiplos de 24 y de 32 (hasta que haya al menos dos comunes excluido el 0). Rodea con un círculo los comunes. El menor de ellos que no sea 0 será el m.c.m. (24, 32).
3) Calcula por el método anterior el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de números: 14 y 24; 8 y 16; 32 y 64.
4) Halla el MCD y MCM de los siguientes números por los 2 métodos y verifica si co-inciden los resultados:
a) 60; 90 b) 600 ;180 c) 385 ; 286; 715 d) 270;300;175 e) 1050;660;1155 f) 84; 198
RESUELVE
Se tienen 3 cintas de tela de 60 cm, 80 cm y 100 cm de longitud, respectivamente, y se quiero dividir en pedazos iguales. ¿Cuántos centímetros va tener cada pedazo?, ¿y cuántos pedazos voy a obtener?
TAREA PARA LA CASA
1) Descomponer en sus factores primos
a) 1.215 b) 2400 c) 405 d) 1875 e) 729 f) 256 g) 3125 h) 900
2) Hallar MCD y MCM de los siguientes números por los 2 métodos estudiados:
a) 36, 156, 620 b) 32, 80 y 360 c) 100, 500, 700 y 1.000 d) 96, 102, 192
3) María y Jorge tienen 25 bolas blancas, 15 bolas azules y 90 bolas rojas y quieren hacer el mayor número de collares iguales sin que sobre ninguna bola.
a) ¿Cuántos collares iguales pueden hacer?
31+
50
46
UNIDAD 4: NÚMEROS RACIONALES
Los números racionales son los que se pueden representar por medio de fracciones. Representan partes de algo que se ha dividido en partes iguales. Por ejemplo, si cortamos una naranja en 4 trozos iguales y tomamos tres trozos de esta, nos hemos comido 3/4 de la naranja.
Un número racional es también, todo número que puede representarse como el co-ciente de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común).
Son ejemplos de números racionales: 1 3 112 4 5
También son números racionales los números enteros:
2 1
2= 102
5=
Con el mismo denominador
Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.
Con distinto denominador
En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.
31+
50
47
Calcula:
4 5
de 1.000 g 4x1000/5=800
5 8
de 2.000 m
5 6
de 60 minutos
APLICACIÓN
Representar gráficamente. (Para graficar se pueden usar cuadrados, rectán-gulos, círculos, etc.)
1) 1/4 2) 1/3 3) 2/5 4) 5/8 5) 5/4 6) 7/3
Tipos de fracciones
APLICACIÓN
a) Convertir las siguientes fracciones impropias a fracción mixta:
1) 20/7 2) 5/4 3) 12/5 4) 18/11 5) 19/4 6) 15/8 7) 25/7
b) Convertir estos números mixtos a fracción impropia.
1) 2 3/4 2) 3 2/5 3) 4 3/8 4) 7 5/6 5) 6 7/9 6) 10 3/5 7) 15 4/9 8) 17 2/3
31+
50
48
c) simplifica las fracciones siguientes.
3/15 4/20
16/ 48 54/81
180/640 5/25
15 /60 75/30
40/420 6/18
d) En cada par, indique cuál es la fracción mayor:
1) 2/7; 2/9 2) 7/4; 3/10 3) 5/6; 4/5 4) 1/3; 8/9
OPERACIONES CON FRACCIONES:
Observación: Todo número entero tiene como denominador el 1.
31+
50
49
EJERCICIOS
Efectúa las siguientes operaciones:
1) 3/5 + 7/2 + 1/4 2) 4/7 + 6 + 3/5 3) 4/3 + 11/5 + 19 + 4/15 4) 3/10 + 8 + 7/3 5) 4/5 + 11/6 + 1/9 6) 4/7 - 3/117) 7/11 - 8/13 8) 19/3 - 43/7 9) 2/5 - 1/3 10) 7/8 - 5/6
11) 5/7 - 4/9
En la multiplicación de fracciones, las fracciones homogéneas y heterogéneas se multiplican de la misma forma: Ejemplo: 2 •3 = 6 = 2•3 = 1 3 4 12 3•2•22
EJERCICIOS
Multiplica. Observación: en la multiplicación de fracciones, si se puede, se simplifi-can previamente los números
1) (-10/7) x 21/4 x (-4/15) 2) 5/16 x 8/5 x (-4//3) 3) (-3/2) x 10/9 x (-5/7) 4) 1/6 x (-5/8 ) x (-7/12) 5) (5/2) x (-4/5) x (-7/8) 6) 3/11 x (- 4) x (- 11/3 )
División de fracciones
En la división de fracciones, siempre se cambia a multiplicación y la segunda fracción cambia a su recíproco. Ejemplo: 3 ÷ 4 = 3•3 = 9 5 3 5 4 20 Ejemplo: 3 ÷ 1 = 3•2 = 6 7 2 7 1 7
31+
50
50
APLICACIÓN
Multiplica las siguientes fracciones: 1) 2/3•1/2 2) 1/4•2/7
3) 2/3•6/20 4) 1/8•1/2
5) -1/2•3/5 6) -1/3•-1/3
7) 1/9•3/8 8) 2/9•4/3
9)1•1/2 10) 4 x 1/3
Divide las siguientes fracciones:
1) 2/9 ÷ 1/3 2) 1/5 ÷ -2/5
3) 2/9 ÷ 3/7 4) 1/9 ÷ 1/4
5) 3/2 ÷ 1/6 6) 1/5 ÷ 1/5
7) 3/7 ÷ 2/7 8) 4/3 :1/2
1) En el cumpleaños de Ana se dividió una tarta en 12 partes iguales. Ana se comió 1/12 de la tarta, Luisa se comió 1/6 de la tarta, Pedro se comió 1/4 de la tarta y Car-los se comió 1/3 de la tarta.
a) ¿Qué fracción de tarta se comieron entre los cuatro amigos?
b) ¿Qué fracción de tarta quedó?
2) Un ciclista ha estado corriendo durante tres horas. En la primera hora, ha recorrido los 3/8 de un trayecto; en la segunda hora ha recorrido los 7/24 del trayecto, y en la tercera hora ha recorrido los 1/5 del trayecto. Calcula:
a) La fracción del trayecto que ha recorrido en las tres horas.
b) La fracción del trayecto que le queda por recorrer.
c) Los kilómetros recorridos en las tres horas, si el trayecto es de 450 km.
3) Calcula las siguientes sumas y restas combinadas:
31+
50
51
1)1/5 + 4/3 - 1/2 = 2) 4/7- 3/5 + 1/8 = 3) 2/3 - 3/4 - 5/8 =
4) 3/2 + 2/5 - 3/4 - 7/10 5) 1/9 - 5/6 + 11/18 - 7/3
TAREA PARA LA CASA
a) Simplifique las siguientes fracciones:
1) 3/6 2) 15/45 3) 4/12 4) 2/8 5) 6/18
b) Indique cuál fracción es mayor:
1) 6/11 , 2/9 2) 4/11 ; 6/7 3) 4/9 ; 12/17 4) 4/3 ; 9/2
c) Resolver las siguientes sumas y resta combinadas:
1) 3/2 + 2/5 - 3/4 - 7/10 2) 1/9 - 1 + 11/18 - 7/3 3) 3/10 + 7/3 + 2/15 - 3/5 - 1/6
d) Representa gráficamente las siguientes fracciones: (se pueden utilizar círcu-los y cortar como se cortan las tortas).
1) 3/5 2) 3/8 3) 4/7 4) 2/4 5)3/6 6) 2/7
e) Tengo en mi bolsón 3/4 kg de azúcar, 1/2 kg de carne, 2 kg de arroz y 1kg de fideo. ¿Cuánto pesa mi bolsón?
f) ¿Cuántos minutos hay en un cuarto de hora? ¿Y en tres cuartos?
g) ¿Cuántos metros son los 3/4 de 52 kilómetros?
a) Resolver los siguientes productos de fracciones:
1) (-4/3)x1/2 x 2/4x(-3/2)x(-2/3) 2) 9/4x2/3x2/27x5/3 3) (-3/4) x1/2x(-5/3 x(-8/5)
b) Resolver las siguientes divisiones de fracciones:
1) 3/16 : 1/10 2) 30/7 : 15/11 3) 8/3 : (-6/5) 4) (-2/3) : 4/9 5) (-3/8) : (-4/9)
31+
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52
UNIDAD 5: SISTEMA DE MEDIDAS
Una medida es un número que muestra el tamaño o cantidad de algo. Podemos medir muchas cosas distintas, pero lo más usual es medir longitud, área, volumen, peso y tiempo.
¡Hola! Acabo de llegar desde el planeta Micrón. Ha sido un largo viaje, ¡pero ha valido la pena venir a pasar un rato contigo!
Nada más llegar, no entendía cómo se miden las cosas aquí, pero mi amigo Tomás me explicó todo lo que hace falta saber sobre medidas, y ahora voy a compartir con-tigo lo que he aprendido.
Lo primero que me dijo Tomás es que se puede medir cosas usando el metro. ¡Hoy vamos a aprender el sistema métrico!
Tomás dice que si entendemos 10, 100 y 1000, entonces nos va a ser muy fácil apren-der el sistema métrico. ¡Ojalá yo también tuviera diez dedos!
1 litro1 dm3
1 dm
1 dm
1 dm
Medidas de capacidad
Como mi vuelo ha sido muy largo, lo primero que quería era beber algo frío.
¡Pero quiero saber cuánto tengo que pedir! No quiero una bebida muy grande o muy pequeña.
Las medidas de capacidad son las que sirven para medir líquidos. La unidad es el litro, que es la capacidad de un decímetro cúbico. En el dibujo vemos que el líquido de un recipiente de 1 litro cabe en una caja que tiene un decímetro por cada lado.
El litro se escribe abreviadamente l.
31+
50
53
Múltiplos de litro:
1 decalitro es igual a 10 litros: 1 dal = 10 l
1 hectolitro es igual a 100 litros: 1 hl = 100 l
1 kilolitro es igual a 1000 litros: 1 kl = 1000 l
1 mirialitro es igual a 10000 litros: 1 mal = 10000 l
Un mililitro (que sale de juntar “mili” y “litro”) es una cantidad de líquido muy pequeña.En una cuchara de postre cabe un mililitro de leche. ¡Y no llega para llenarla!
Tomás dice que si juntas unas 20 gotas de agua tendrás 1 mililitro:
20 gotas de agua hacen más o menos 1 mililitro
¡Y en una cuchara de postre caben más o menos cinco mililitros:
1 cucharada de líquido tiene más o menos 5 mililitros
Los mililitros se suelen escribir ml (abreviado), así que “100 ml” significa “100 mililitros”.
¡Pero un mililitro es muy poco cuando uno tiene sed! Así que Tomás me ha hablado también de los litros.
Un litro es un montón de mililitros juntos. De hecho, 1000 mililitros hacen 1 litro.
1 litro = 1000 mililitros
Esta jarra tiene exactamente 1 litro de agua.
Los litros se suelen escribir l (abreviado), así que “3 l” significa “3 litros”.
La leche, el agua y muchas otras bebidas suelen venderse por litros.
Tomás dice que lea las etiquetas; así que la próxima vez que vayas de compras,
¡tómate un minuto para ver cuántos litros (o mililitros) hay en cada botella!
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Ahora que sé que un mililitro es muy pequeño, y que un litro es como una jarra llena, ¡voy a pedir medio litro de jugo!
Peso
Después de beber, quiero comer chocolate... Así que tengo que aprender un poco sobre pesos. Tomás me dice que para entender los pesos, tengo que conocer estas tres cosas:
•Gramos
•Kilogramos
•Toneladas
Los gramos son los más pequeños y las toneladas son las más grandes. Vamos a dedicar unos minutos para ver cuánto pesa cada uno.
Gramos
Un clip de papel pesa más o menos un gramo.
Pon un clip en la palma de tu mano. ¿Pesa mucho? ¡No! Un gramo es algo muy liviano. Por eso muchas cosas pesan cientos de gramos.
Los gramos se suelen escribir g (abreviado), así que “300 g” significa “300 gramos”.
Tomás dice que un pan pesa unos 700 g
Kilogramos
Cuando juntes 1000 gramos, tendrás 1 kilogramo (se suele llamar kilo).
1 kilo = 1000 gramos
Un diccionario pesa alrededor de un kilo .
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Los kilogramos son muy útiles para medir cosas que la gente puede levantar.
(¡A veces hace falta ser fuerte de todas maneras!)
Los kilogramos se suelen escribir kg (la “k” por kilo y la “g” por gramo); así que “10 kg” significa “10 kilos”. Cuando te pesas, usas kilogramos. Tomás pesa unos 40 kg. ¿Cuánto pesas tú? Pero cuando queremos hablar de cosas muy pesadas, usamos toneladas.
Tonelada
Una tonelada son 1000 kilogramos.
Las toneladas (también se llaman toneladas métricos) se usan para medir cosas que pesan mucho. Cosas como automóviles, camiones y contenedores se pesan en toneladas. Este auto pesa 2 toneladas, aproximadamente.
Las toneladas se escriben t (abreviado), así que “5 t” significa “5 toneladas”.
Presta atención en la relación entre kilogramo y gramo, para utilizar en conversiones. Es la siguiente:
1 kilogramo = 1000 gramos
1 tonelada = 1000 kilogramos
Longitud
Medir la longitud de algo, su altura, o a qué distancia están dos cosas, son ejemplos de medidas de distancias. Tomás me dice que tengo que aprender:
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•Milímetros
•Centímetros
•Metros
•Kilómetros
Las unidades de medida más pequeñas se llaman milímetros (bueno, las hay más pequeñas, pero su uso no es muy común).
Un milímetro es como el grosor de una cedula de identidad
O como el grosor de 10 hojas de papel juntas.
¡Es una medida muy pequeña!
Centímetros
Cuando tengas 10 milímetros, tienes 1 centímetro.
1 centímetro = 10 milímetros
Una uña tiene aproximadamente 1 centímetro de ancho.
Puedes usar centímetros para tu altura, o la anchura de una mesa, pero no deberías usarlos para medir un campo de fútbol. Para eso es mejor pasar a metros.
Metros
Un metro es igual a 100 centímetros.
1 metro = 100 centímetros
Esta guitarra mide más o menos 1 metro.
Los metros se suelen usar para medir la longitud de una casa o el tamaño de un parque.
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Kilómetros
•Cuandoviajesdeunsitioaotro,tendrásquemedirladistanciaenkilómetros.
Un kilómetro es lo mismo que 1000 metros.
•Ladistanciadeunaciudadaotraounviajeenaviónsemideenkilómetros.
Para terminar con las longitudes:
1 centímetro = 10 milímetros; 1 metro = 100 centímetro; 1 kilómetro = 1000 metros
CONVERSIONES
¿Cómo se hace para pasar de unas medidas a otras? ¿Y si sabes cuánto mide algo en metros, pero lo necesitas en centímetros?
En la siguiente tabla de posición se muestran el nombre, la abreviatura y el valor de los múltiplos (km, hm, dam) y submúltiplos (dm, cm, mm) más usuales del metro. En algunos libros de Matemáticas, el hectómetro se abrevia como Hm y el decámetro como Dm.
kilómetro hectómetro decámetro metro decímetro centímetro milímetro
km hm dam m dm cm mm
1000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m
Como puede observarse en la tabla, el valor de cada unidad es 10 veces mayor que el de su derecha. Es decir:
Ejemplo: Convertir 9 km en m.
Como desde km a m hay 3 posiciones hacia la derecha, tendremos que multiplicar por 1.000. Por lo tanto, 9 km = 9 x 1.000 = 9.000 m.
Lo que equivale a correr la coma 3 lugares a la derecha: 9,000 X 1.000 = 9.000,0
31+
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(Los ceros a la derecha de la coma de decimales no tienen valor, y podemos poner los que necesitemos.)
Ejemplo: Convertir 120 mm en dam.
Como desde mm a dam hay 4 posiciones hacia la izquierda, tendremos que dividir por 10.000. Por lo tanto, 120 mm = 120 : 10.000 = 0,012 dam.
Lo que equivale a correr la coma 4 lugares a la izquierda: 00120,0 : 10.000 = 0,012.
(Los ceros a la izquierda de un número entero no tienen valor y podemos poner los que necesitemos.)
EJERCICIOS
Escribe:
El nombre de un sitio que esté a más de 1 kilómetro de tu casa …………………………………………........
El nombre de un sitio que esté a menos de 1 kilómetro de tu casa …………………………………..................
2. Expresa en metros las siguientes distancias:
25 km = …..…… m
10 km = ………...m
7 km = ………… m
3. Pasa a kilómetros las siguientes unidades:
200 m = ...…… km
150 m = ……….km
4800 m = ……..km
31+
50
59
4. Complete:
12 km = …….....……. him = ………….....….. dm = ……...…........... m...........................
4 km = ……....……… hm = ………......…….. dm = ……........…….. m............................
28 km = …….....……. hm = ………….....….. dm = …….........…….. m...........................
RESUELVE
5. Una caja de frutillas pesa 5 1/2 kg. El envase de madera pesa 625 g. ¿Cuántos gramos de fruta tiene la caja?
6. Si un paquete de caramelos pesa 125 g, ¿cuántos paquetes del mismo peso puedo formar con 5 kg de caramelos?
7. Un señor vende 143 litros de leche de un bidón que contiene 300 litros. Se le derra-man del bidón 7 litros. ¿Cuántos litros le quedan?
8. Halla en metros la diferencia de dos caminos, si uno mide 7 km y 3 m de largo, y otro, 26 hm y 6 m.
9. Se quiere arreglar un tramo de carretera que mide 30 km. Se han reparado ya 6321 m. ¿Cuántos metros quedan por reparar?
10. Una caja contiene 120 manzanas. Si el peso medio de cada manzana es de 75 g, ¿cuántos kilogramos pesarán todas las manzanas?
TAREA PARA LA CASA
1. Indica:
a. Un objeto que mida un metro .……………………………………...............……………
b. Un objeto que mida más de un metro, e indica cuánto mide……………………….....
c. Un objeto que mida menos de un metro, e indica cuánto mide……………………….
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2. Completa la siguiente tabla:
Mide menos de un metro Mide más de un metro
Una cerilla
Un árbol
Un bolígrafo
La altura de una casa
Tu altura
3. Completa:
1 m = 100 cm4 m = ……....... cm 10 m = ….........cm 2 m = 2 x 100 = cm 5 m = …......… cm 14 m = …......... cm 3 m = x = …… cm 8 m = ….......… cm 25 m = …......... cm
4. Completa:
12 m = ……..........…. dm = …………........... cm = ….......………….mm………........................ m = 30 dm = ……….. cm = ………….......… mm…….…...................… m = ……….. ..............dm = 600 cm = ..…… mm………....................… m = ……….............… dm = ………….......... cm = 9000 mm
5. Calcula cuántos centímetros mide cada árbol:
6. Mide con una regla graduada y completa:
Una hoja de papel mide de ancho ………….cm y de largo…………..................… cm.Un bolígrafo mide de largo …….............................................................………….. cm.Un clip mide de largo …….......................………….............................................… cm.Una goma mide de ancho ……….........……. cm y de largo …..............…….....…. cm.
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RESUELVE
1. En un balde de fregar caben 10 litros de agua. ¿Cuántos litros de agua caben en 8 baldes?
2. Una familia está formada por 6 personas. Cada una de ellas toma un litro de leche diario. ¿Cuántos litros de leche necesitan a la semana?
3. La familia de Isabel está compuesta por 5 personas. Cada una gasta diariamente 9 litros de agua en su higiene personal. ¿Cuántos litros de agua gasta la familia en un día para su higiene personal?
4. Una caja de leche tiene 6 sachets de 1 litro. ¿Cuántas cajas necesito para tener 48 litros?
5. Contesta:¿Qué pesa más: una bolsa con un kilo de papas o una con 1 kilo de plumas? ¿Por qué? ¿Qué bolsa tiene mayor tamaño: la del kilo de papas o la del kilo de plumas?
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UNIDAD 6: RAZONES Y PROPORCIONES
RAZONES Y PROPORCIONES son una parte muy importante de las matemáti-cas; describen la relación entre dos cantidades con un solo número. Se utilizan en to-dos los aspectos de la vida: ¿cuántos huevos por taza de harina utilizas en la receta? ¿Cuántos litros de combustible por kilómetro consume un auto?
RAZÓN O RELACIÓN de dos cantidades es el resultado de comparar dos canti-dades.
Dos cantidades pueden compararse de dos maneras: hallando en cuánto excede una a la otra, es decir, restándolas, o hallando cuántas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas. De aquí que haya dos clases de razones: razón aritmética o dife-rencia, y razón geométrica o por cociente.
RAZÓN ARITMÉTICA O POR DIFERENCIA de dos cantidades es la diferen-cia indicada de dichas cantidades.
Las razones aritméticas se pueden escribir de dos modos: separando las dos cantida-des con el signo – o con un punto (.).
Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe: 6 – 4 ó 6 . 4 y se lee “seis es a cuatro”.
RAZÓN GEOMÉTRICA O POR COCIENTE de dos cantidades es el cociente indicado de dichas cantidades.
Las razones geométricas se pueden escribir de dos modos: en forma de quebrados, separados numerador y denominador por una raya horizontal o separadas las canti-dades por el signo de división (÷).
Así, la razón geométrica de 8 a 4 se escribe 8/4 u 8 ÷ 4, y se lee “ocho es a cuatro”.
Los términos de la razón geométrica se llaman antecedente, el primero, y consecuen-te, el segundo. Así, en la razón 8 ÷ 4, el antecedente es 8 y el consecuente 4.
PROPIEDADES DE LAS RAZONES ARITMÉTICAS O POR DIFERENCIAS
Como la razón aritmética o por diferencia de dos cantidades no es más que la diferen-cia indicada de dichas cantidades, las propiedades de las razones aritméticas serán
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las propiedades de toda resta o diferencia:
1. Si al antecedente de una razón aritmética se suma o resta un número, la razón queda aumentada o disminuida en ese número.
2. Si al consecuente de una razón aritmética se suma o resta un número, la razón que-da disminuida en el primer caso y aumentada en el segundo en el mismo número.
3. Si al antecedente y al consecuente de una razón aritmética se suma o resta un mis-mo número, la razón no varía.
PROPIEDADES DE LAS RAZONES GEOMÉTRICAS O POR COCIENTE
Como la razón geométrica o por cociente de dos cantidades no es más que una divi-sión indicada o un quebrado, las propiedades de las razones geométricas serán las propiedades de los quebrados:
1. Si el antecedente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda multiplicada o dividida por ese número.
2. Si el consecuente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda dividida en el primer caso y multiplicada en el segundo por ese mismo número.
3. Si el antecedente y el consecuente de una razón geométrica se multiplican o divi-den por un mismo número, la razón no varía.
PROPORCIONES
Cuando tengamos dos razones igualadas, diremos que tenemos una proporción entre ambas razones. Por ejemplo, sean a; b; c y d cuatro magnitudes, entonces una pro-porción entre ambas razones es
a:b = c:d , y lo leeremos “a es a b como c es a d”.
Una proporción es una igualdad entre dos razones, y aparece frecuentemente en notación fraccionaria. Por ejemplo:
2 = 6 5 15
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Para resolver una proporción, debemos multiplicar cruzado para formar una ecuación. Por ejemplo:
2•15=6•5
30 = 30
Las proporciones expresan igualdades. Ejemplo
2 = 8 x 16
Ahora, se multiplica cruzado.
2•16=8•x
32 = 8x
Se resuelve la ecuación.
32 = 8x 8 8
4 = x El valor que hace cierta la proporción es 4, es decir:
2 = 8
4 16
APLICACIÓN
Para hacer bocadillos de maíz, mi vecina usa 3 tazas de harina de maíz por 1 taza de líquido (que contiene agua, azúcar, sal y manteca). Si ella quiere usar 13 tazas de harina, ¿cuánto líquido debe agregarle?
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Hagamos una proporción:
harina = harina
líquido líquido
3 tazas harina = 13 tazas 1 taza líquido x tazas líquido
x es el valor que busco; en este caso, es el líquido para las 13 tazas de harina.
3 = 13
1 x
Ahora se multiplica cruzado.
3•x=13•1
3x = 13
Se resuelve la ecuación para encontrar el valor de x.
3x = 13
3 3
x = 4.3
La x es igual a 4.3 . Por lo tanto, para 13 tazas de harina se necesitan 4.3 tazas de líquido para poder hacer los bocaditos de maíz.
Ejemplo. Hallar el valor de x en la siguiente proporción:
8 = x 8 . 12 = 4 . x x = 8 . 12 x = 24 4 12 4
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APLICACIÓN
Hallar el valor de x:
1) 5 = x 2) 3 = 12 3) x = 5 4) 8 = 24 15 45 9 x 80 10 x 6
5) 10 = x 6) 3 = 33 7) x = 48 8) 30 = 270
300 1200 4 x 3 12 x 9
9) x/3 = 4/6 1 0) 4/x=8/100 11) 120/180=16/x 12) 4/6=x/54
Calcula el valor de x en cada proporción:
a) x/5 = 12/20 b) 4/11 = x/55 c) 1/3 / 2/7 = 4 2/3 / x d) 1,6/3,8 = x/6
REGLA DE TRES
Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes directamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.
La regla de tres directa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se estable-cen las relaciones:
A más..........más
A menos......menos
Ejemplo:
Un automóvil recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas?
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Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a menos horas, recorrerá me-nos kilómetros.
240 km..................... 3 h
x km....................... 2 h
APLICACIÓN
1) Si un pasaje de Asunción a Caacupé cuesta 5500 gs., ¿cuántos guaraníes costarán entonces 22 pasajes?
2) Si 4 lápices cuestan 4.000 gs, ¿cuántos guaraníes costarán 16 lápices?
3) Si 3 litros de leche cuestan 10500 gs., ¿cuánto costarán 10 litros?
4) Si 10 personas consumen 8 kg de asado, ¿cuántos kilos de asado necesito para 25 personas?
5) Sabemos que 1 km es igual a 1000 m. ¿Cuántos metros son 56 km?
6) Se sabe que 1 m es igual a 100 cm. ¿Cuántos centímetros son 2,8 m?
TAREA PARA LA CASA
1) 1. Calcula el valor de x en cada una de las siguientes proporciones:
a) X/24 = 5/2 b) 27/37 = X/38 C) x/28 = 35/135 d) x/9 = 4/3
e) 6/24 = 15/24
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RESUELVE
1) Una envasadora de productos veterinarios da salida a 3200 frascos de vacunas en 4 horas. Averigua cuántos frascos envasará en 7 h.
2) Una docena de rosas cuestan 9000 guaraníes. ¿Cuánto habrá que pagar por 20 rosas?
3) Con 4000 gs. se han comprado 20 limones. ¿Cuántos limones puedo comprar por 16000 gs.?
4) Una pista de carrera tiene 100 m. Si recorro esa pista 20 veces, ¿cuántos kilóme-tros recorrí?
5. Si en dos paquetes de figuritas hay 10 figuritas, ¿cuántas figuritas habrá en 7 pa-quetes, sabiendo que en todos los paquetes hay la misma cantidad?
6. Si una planta crece en tres días 4 cm, ¿cuánto crecerá en 6 días?
7. Un auto recorre 120 km y tarda 2 horas. ¿Cuánto tardará en recorrer 270 km si mantiene la misma velocidad?
8. El lado de un cuadrado mide 3 cm. ¿Cuánto será su perímetro? ¿Y si el lado mide 5 cm? ¿Y si mide 7,5 cm?
Regla de tres simple inversa
Consiste en que, dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.
A1 CA2 X
I
} A1= CA2 X
x= A1•C A2
Ejemplo
3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto tardarán en construirlo 6 obreros? Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más obreros tardarán menos horas.
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3 obreros........12 h
6 obreros..........x h
6 = 12 x= 12•3 = 6h3 X 6
APLICACIÓN
1) Si estamos dos limpiadora y tenemos que realizar un trabajo en 10 h, ¿en cuántas horas vamos a terminar ese mismo trabajo si ahora estamos 4 limpiadora?
2) Un grupo de 4 albañiles debe construir una muralla en 54 h de trabajo. Si se va a construir esa misma muralla con 6 albañiles, ¿en cuántas horas se hará el trabajo?
3) Para asfaltar un camino se utilizaron 2 máquinas y la tarea se realizó en 12 días. Determinar cuántas máquinas se necesitan para realizar ese mismo trabajo en 4 días.
TAREA PARA LA CASA
RESOLVER LOS SIGUENTES PROBLEMAS
1) Si 9 huevos cuestan 4500 gs., ¿cuánto costaran 24 huevos?
2) En un paseo, 15 personas gastaron 600.000 gs. Si 90 personas quieren realizar ese mismo paseo, ¿cuánto van a gastar?
3) Para preparar 10 tortillas uso 3 huevos y 3/4 kg de harina. Para hacer 100 tortillas, ¿cuántos huevos voy a usar y cuántos kilogramos de harina?
4) Para la decoración de un local, 3 personas tardan 12 horas. ¿Cuántas personas más se deben contratar para hacer ese mismo decorado en 4 horas?
5) Un automóvil viaja a 30 km/h y tarda 2 horas en llegar de una ciudad a otra. Si se traslada a 10 km/h, ¿en cuánto tiempo va llegar?
6) Una cuadrilla de obreros hace una obra en 20 días, trabajando 6 horas diarias. ¿En cuántos días se habría hecho la obra si hubieran trabajado 8 horas diarias?
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7) Para construir 5 casas se han utilizado 22000 kg de cemento. ¿Cuántas casas po-dremos hacer con 132000 kg?
8) En un asilo para huérfanos hay 72 niños que consumen 152 kg de pan en 5 días. Averiguar cuántos kilos de pan se necesitarán para 20 días si la cantidad de niños aumenta a 90?
9) Para rellenar un terreno trabajan 6 obreros durante 5 horas diarias, y la tarea que-da concluida en 18 días. Establecer cuántos días demorarían 9 obreros si trabajan 2 horas diarias.
10) Para transportar 2000 troncos a través del río se necesitan 5 balsas, las cuales completan el trabajo en cuatro días. Determinar la cantidad de balsas que necesitan para transportar 8400 troncos en 3 días.
PORCENTAJE
Un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de denominador 100, es decir, la proporción que corres-ponde si relacionamos ese número con 100.
Se llama tanto por ciento de un número a una o varias partes que se toman de las 100 partes iguales en que se puede dividir
dicho número, es decir, uno o varios centésimos de un número. El signo del tanto por ciento es %.
Por ejemplo, si queremos el 7 % de 300, debemos tomar 7 de cada 100, o sea, es 21. Como si tuviéramos 300 piedras y separáramos en montones de 100, y de cada mon-tón tomamos 7; serían 3 montones y, por lo tanto, apartaríamos 21 piedras.
Pero qué sucede si no es un múltiplo de 100, por ejemplo, 174. Para esto podemos utilizar lo que sabemos de proporciones, con una simple regla de tres
Por el cálculo del valor faltante, tenemos que: x = (174)*(7)/10 = 12.18
Cantidad Porcentaje
100 7
174 x
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APLICACIÓN
1) Al partir la manzana en 2 partes, ¿qué porcentaje de la manzana representa cada parte?
2) Al partir la manzana en 4 partes, ¿qué porcentaje de la manzana representa cada parte?
Razona y Responde:
1) ¿La cantidad total de un número dado, qué porcentaje de ese número es?
2) ¿El 50% de una cantidad dada, qué fracción de esa cantidad es?
3) ¿El 25% de una cantidad dada, qué fracción de esa cantidad es?
Hallar el porcentaje de los números siguientes:
1) 18% de 72 2) 32% de 180 3) 42% de 1250 4) 56% de 3000
5) 90% de 1315 6) 1/2% de 18 7) 2/3% de 54 8) 3/5% de 108
9) 2/9% de 360 10) 1/4% de 1320
RESUELVE
11) Tengo que pagar una cuenta que alcanza 230.000 guaraníes y le debo agregar el IVA, que es el 10% del monto. ¿Cuánto debo pagar en total? Observación: a 230.000 gs. se le debe sumar el 10% de 230.000 gs.
12) Por la compra al contado de un pantalón que cuesta 96.500 gs. me hacen un des-cuento del 12%. ¿Cuánto es el descuento y cuánto debo pagar? R.: 11.580 gs; 84.920 gs.
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TAREA PARA LA CASA
1. Las ganancias de una panadería son: el 27% por la venta de pasteles y el 54% por la venta de pan. ¿Qué porcentaje corresponde a otros productos?
2. Si el 63% de una botella está llena. ¿Qué porcentaje de la botella está vacío?
3. En una página de una revista los dibujos ocupan el 78%. Si los márgenes son el 12%, ¿qué porcentaje de la página ocupan los textos?
4. En un polideportivo, una pista de hockey de 40 m x 20 m ocupa el 28% del espacio total. ¿Qué porcentaje del polideportivo está dedicado a otros servicios?
5. En un campo de tenis hay 15000 espectadores. En el partido, el 60% de esos hin-chas apoyan a uno de los jugadores. ¿Qué porcentaje apoya al otro?
6. Julián gasta el 70% de lo que cobra cada semana. ¿Qué porcentaje ahorra?
7. Si 4 de cada 6 motos se pagan mediante un préstamo. ¿Qué porcentaje de motos se pagan al contado?
8. En la liga de fútbol un equipo gana 2/3 de los partidos. ¿Qué porcentaje de partidos pierde o empata?
9. Pepe gasta el 40% de su sueldo en pagar su casa. ¿Qué porcentaje le queda para otros gastos?
10. El precio de una moto es 15.350.000 gs. Si por añadir unos accesorios aumenta el precio en un 3,5%, ¿cuál es el precio final?
CONVERSIÓN DE DE MONEDAS
Como cada país tiene su propia moneda, es común que se presente la necesidad de convertir el valor de una moneda en otra, ya sea con fines comerciales o turísticos.
Las distintas monedas tienen cada una su propio valor; el valor de las monedas varía según los factores que hacen variar su valor. Por eso los bancos o casas financieras o negocios que se dedican al cambio de monedas presentan un cuadro de valores de las monedas, que son conocidos como cotizaciones.
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Aquí tenemos un cuadro de cotizaciones de un día de setiembre de 2011
Para el cambio de monedas siempre se debe tener en cuenta que el banco o financie-ra es el que nos compra o nos vende las monedas.
Debido a eso, siempre nos compran más barato y nos venden más caro.
Ejemplo:
Tengo 80.000 gs. y necesito cambiarlos a dólares.
El banco me vende los dólares que necesito según la tabla de cotización: 1 dólar = 4020 gs.
1 dólar --------------- 4.020 gs. x = 80.000 gs . 15 = 19,90 dls.
X ---------------- 80.000 gs. 4.020
Por 80.000 gs., el banco me venderá 19,90 dls.
Si ahora vuelvo a cambiar 19,90 dls. a gs., ¿cuánto voy a recibir?
Se busca en la tabla el precio de compra del dólar, porque el banco ahora me va a comprar mis dólares.
1 dls. 39.301 gs. X = 19,90 dls . 3930 gs = 78.207 gs
19,90 dls. X 1 dls
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El banco me compró 19,90 dls. por 78.207 gs.
Ejemplo:
Para viajar al Brasil necesito cambiar 550.000 guaraníes a reales.
¿Cuántos reales voy a tener?
El banco me vende reales; de la tabla de cotizaciones obtengo que 1 real = 2.450 gs.
1 real 2.450 gs. X= 550.000 gs . 1 real
X 550.000 gs. 2.450 gs = 224,48 reales
Por 550.000 gs. recibiré 224,48 reales.
Suponiendo que se gastaron 100 reales y lo que me sobró lo vuelvo a cambiar a gua-raníes, ¿cuántos guaraníes me sobran?
224,48 – 100 = 120,48 reales es la cantidad que se va a cambiar a guaraníes.
Según la tabla de cotizaciones, el banco me compra 1 real por 2.350 guaraníes.
1 real 2.350 gs. X= 120,48 reales . 2350 gs = 283.128 gs.
120,48 reales X 1 real
R.: Me sobraron 283.128 guaraníes.
Para hacer el cambio de monedas se debe tener en cuenta que el banco me compra o me vende monedas extranjeras, y los precios de compra y de venta figuran en la tabla de cotizaciones.
Ejemplo:
Un argentino que se encuentra de paso en nuestro país quiere cambiar 25.000 pesos argentinos a dólares. ¿Qué cantidad de dólares recibirá?
Para resolver este ejercicio debemos realizar dos operaciones: de peso argentino a guaraníes y de guaraníes a dólares.
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1) De peso argentino a guaraníes. En la tabla vemos que 1 peso argentino = 930 gs.
1 peso 930 gs. X= 25.000 . 930 = 23.250.000 gs.
25000 pesos X 1
2) De guaraníes a dólares.
En la tabla vemos que 1 dólar = 4.020 guaraníes.
1 dólar 4.020 gs X = 1 dólar x 23.250.000 gs = 5783,58 dólares
X 23.250.000 gs 4.020 gs
Respuesta: por 25.000 pesos argentinos me dan 5.783, 58 dólares
APLICACIÓN
1) Una persona dispone de 3.400.000 gs. y resuelve cambiar a dólares americanos. ¿Cuántos dólares podrá recibir por esa cantidad?
2) Un turista brasileño que está en nuestro país necesita guaraníes y tiene 923 reales. ¿Cuántos guaraníes va a recibir tras el cambio?
3) Calcular cuántos yenes se pueden comprar con el importe de la venta de una casa que asciende a la suma de 60.000 pesos argentinos.
TAREA PARA LA CASA
1. Convertir:
Convertir A euros A pesos A guaraníes A reales
100 euros
100.000 guaraníes
35000 reales
1580000 pesos
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RESUELVE
1) Un pantalón vaquero cuesta 30 dólares. ¿Cuántos guaraníes me costará?
2) Voy a viajar a Ciudad del Este y necesito cambiar 880.000 gs. a reales para realizar mis compras ¿Cuántos reales tengo que recibir?
3) El pasaje para una excursión a Buenos Aires cuesta 1.890 pesos argentinos. Yo tengo ahorrados para esa excursión US$ 1.250. Después de cambiar mis dólares a pesos argentinos, ¿cuántos pesos me sobran para mis gastos?
4) Un norteamericano se encuentra en Asunción y quiere viajar al Uruguay. Tiene 9.500 dólares, y quiere cambiar su dinero a pesos uruguayos. ¿Cuántos pesos uru-guayos tendrá para su viaje?
5) Tengo 2.500 dólares y 600 reales. ¿Cuántos pesos argentinos puedo comprar en total?
6) Quiero comprar 950 euros y 320 dólares. ¿Cuántos guaraníes necesitaré?
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CAPÍTULO IIÁlgebra y Operaciones Básicas
UNIDAD I. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
¡El álgebra es muy divertida!
¿Cuál es el número que falta?
.......... - 2=4
Bueno, la respuesta es 6, ¿no? Porque 6 - 2 = 4.
En Álgebra no usamos espacios vacíos o cajas, sino una letra (normalmente una x o una y, pero puede ser cualquier otra letra). Entonces, escribiríamos:
x - 2 = 4
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligada por los sig-nos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.
Valor numérico de una expresión algebraica
El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el nú-mero que se obtiene al sustituir en esta por valor numérico dado y realizar las opera-ciones indicadas.
Si L = 2ab y a = 5, b = 10, entonces L = 5.10 = 50
Tipos de expresiones algebraicas:
Monomio
Un monomio es una expresión algebraica formada por un solo término.
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50
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Binomio
Un binomio es una expresión algebraica formada por dos términos.
Trinomio
Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres términos.
Polinomio
Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un término.
Partes de un monomio
Coeficiente
El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.
Parte literal
La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.
Ejemplo: En la expresión: 2xy, 2 es el coeficiente, y xy es la parte literal.
En1/2 xy3, 1/2 es el coeficiente y xy3 es la parte literal.
Monomios semejantes
Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.
Ejemplo: 2x2y3z es semejante a 5x2y3z
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UNIDAD 2. OPERACIONES BÁSICAS CON MONOMIOS
Suma de monomios
Solo podemos sumar monomios semejantes.
La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.
Ejemplo: 2x2y3z + 3x2y3z = 5x2y3z
Si los monomios no son semejantes, se obtendrá un polinomio.
2x2y3 + 3x2y3z
Producto de un número por un monomio
El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coefi-ciente es el producto del coeficiente de monomio por el número.
Ejemplo:5•(2x2y3z)=10x2y3z
Multiplicación de monomios
La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base.
Ejemplo: (5x2y3z)•(2y2z2) = 10x2y5z3
División de monomios
Solo se pueden dividir monomios con la misma parte literal y con el grado del dividen-do mayor o igual que el grado de la variable correspondiente del divisor.
La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base.
6x3y4z2 = 2xy2
3x2y2z2
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50
80
Si el grado del divisor es mayor, obtendremos una fracción algebraica.
6x3y4z2 = 2xy2
3x5y2z4 x2 z2
Potencia de un monomio
Para realizar la potencia de un monomio, se eleva cada elemento de este al exponen-te de la potencia.
(2x3)3=23•(x3)3 = 8x9
(-3x2)3 = (-3)3•(x2)3 = -27x6
Expresiones algebraicas comunes
El doble o duplo de un número: 2x
El triple de un número: 3x
El cuádruplo de un número: 4x
La mitad de un número: x/2
Un tercio de un número: x/3
Un cuarto de un número: x/4
Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,..
Un número al cuadrado: x2
Un número al cubo: x3
Dos números consecutivos: x y x+1
EJERCICIOS DE MONOMIOS
1. Indica cuáles de las siguientes expresiones son monomios. En caso afirmativo,
indica su grado y coeficiente.
13x3 25x-3 33x + 1 2x - 1
√2x -3/4x -3/x 2x3-5x
31+
50
81
2. Realiza las sumas y restas de monomios.
1. 2x2y3z + 3x2y3z
2. 2x3 - 5x3 =
3. 3x4 - 2x4 + 7x4 =
4. 2 a2bc3 - 5a2bc3 + 3a2bc3 - 2 a2bc3 =
3. Efectúa los productos de monomios.
1. (2x3)•(5x3) =
2. (12x3)•(4x)=
3.5•(2x2y3z) =
4. (5x2y3z)•(2y2z2) =
5. (18x3y2z5)•(6x3yz2) =
6. (-2x3)•(-5x)•(-3x2) =
4. Realiza las divisiones de monomios.
1. (12x3) : (4x) =
2. (18x6y2z5) : (6x3yz2) =
3. (36x3y7z4) : (12x2y2) =
4. 6x3y4z2 =
3x5y2z2
5. 24x5 +18x4 y5 - 48x10 y3
6x2y3
6. 12x3 y5 +18x5 y7- 48x12 y6
3x2y2
Llamando x a un número natural cualquiera, escribe la expresión algebraica que resul-
ta de traducir cada uno de los siguientes enunciados:
1) El doble de un número aumentado en 5.
2) La tercera parte del número disminuida en 7.
31+
50
82
3) Un número disminuido en su tercera parte.
4) La cuarta parte del número aumentado en su tercera parte.
5) Un número más su consecutivo. Observación: si tenemos el número 5, su conse-cutivo es 6, o sea, el consecutivo de un número es ese número aumentado en 1.
6) 5 veces el número disminuido en 11.
7) La quinta parte del número disminuido en 5.
8) El tiple del número aumentado en su tercera parte.
TAREA PARA LA CASA
1. Traduce cada expresión a lenguaje algebraico:
. El triple de un número
. El doble de un número menos su mitad
. El cuadrado de un número más su triple
. La mitad más la tercera parte más la cuarta parte de un número
. La mitad de un número menos el propio número
. El doble de un número más el triple de otro número
2. Llamando x a un número natural cualquiera, escribe la expresión algebraica que resulta de traducir cada uno de los siguientes enunciados:
. El doble del número
. El triple del número
. El doble del número más cuatro
. La mitad del número más 1
. El cuadrado del número menos su mitad
3. Escribe 5 parejas de monomios semejantes:
31+
50
83
4. Suma los monomios siguientes:
5x + 2x =
-3x2 - 2x2 =
4a + 5a =
8z3 - 9z3 =
5. Halla el resultado cuando sea posible:
1) 3x2 + 2x2 = 2) 6x - 9x = 3) 9x 2+ 12x = 4) -5x2 + 9x2 =
5) -8x - 4x = 6) 5x + 2x2 = 7) x - 8x = 4x + x = 8) 9x3 - 5 x3 =
6. Efectúa las operaciones indicadas:
1) 7n. 9x = 2) (-2n).(-5ay) 3) 4n2. (-6n3) 4) (-6a7) . a4m2 =
5) (-2n5x3). (-5a3n2) 6) (12x3) : (4x) = 7) (18x6y2z5) : (6x3yz2) =
8) (36x3y7z4) : (12x2y2) =
31+
50
84
UNIDAD 3. POLINOMIOS Y OPERACIONES ELEMENTALES
Definición de polinomio
Un polinomio es una expresión algebraica compuesta de dos o más monomios.
Grado de un polinomio
El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.
Polinomio de grado cero
P(x) = 2
Polinomio de primer grado
P(x) = 3x + 2 (el exponente mayor de la variable es 1)
Polinomio de segundo grado
P(x) = 2x2+ 3x + 2 (el exponente mayor de la variable es 2)
Polinomio de tercer grado
P(x) = x3 - 2x2+ 3x + 2 (el exponente mayor de la variable es 3)
Polinomio de cuarto grado
P(x) = x4 + x3 - 2x2+ 3x + 2 (el exponente mayor de la variable es 4)
Ejemplo
1) x4 - 3x5 + 2x2 + 5 R.: grado: 5, término independiente: 5.
2) 7X2 + 2
31+
50
85
3) 5x3 + x5 + x2
4) 6x - 2 x- 3 + 8
OPERACIONES CON POLINOMIOS
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 5x - 3 Q(x) = 4x - 3x2 + 2x3
1. Ordenamos los polinomios, si no lo están.
Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x
P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x - 3) + (2x3 - 3x2 + 4x)
2. Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 - 3 x2 + 5x + 4x - 3
3. Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 4x3 - 3x2 + 9x - 3
También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.
P(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2 Q(x) = 6x3 + 8x +3
P(x) + Q(x) = 7x4 + 6x3 + 4x2 + 15x + 5
Luego:
Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.
Ejemplo: P(x) - Q(x) = (2x3 + 5x - 3) - (2x3 - 3x2 + 4x)
P(x) - Q(x) = 2x3 + 5x - 3 - 2x3 + 3x2 - 4
31+
50
86
P(x) - Q(x) = 2x3 - 2x3 + 3x2 + 5x - 4x - 3
P(x) - Q(x) = 3x2 + x - 3
Valor numérico de un polinomio: es el número que se obtiene al sustituir la x por un valor dado y efectuar luego las operaciones indicadas.
Ejemplo 1: sea el polinomio x2 + 3x – 4; hallar el valor numérico para x = 2.
Reemplazamos la x por 2 y tenemos: 22 + 3.2 - 4 = 4 + 6 - 4 = 6; luego, el valor nu-mérico de ese polinomio, para x = 2, es 6.
Ejemplo 2: P(x) = 2x3+5x-3;parax=1P(1)=2•13+5•1-3=2+5-3=4
¿Qué es un binomio?
Se le llama binomio a un polinomio de dos términos. Por ejemplo:
x + 4 ; x3 + x ; a + b2; 5 - a
Y un binomio al cuadrado es, entonces, un polinomio de dos términos, elevado a la potencia 2. Por ejemplo:
(x + 5)2 ; (x2 + 3)2; (1 - a)2;
La fórmula: (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2
Se emplea para resolver el cuadrado de un binomio: Y se puede resolver de varias maneras:
1) Aplicando la fórmula: (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2, donde “a” es el primer término y “b” el segundo término (ejemplos de aplicación de esta fórmula). A la aplicación de esta fórmula se le llama cuadrado de un binomio.
Ejemplo:
Ejemplos de aplicación de la fórmula del cuadrado de un binomio:
Recordemos que la fórmula es: (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2. Donde a es el primer término y b el segundo.
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50
87
- Con dos términos positivos:
(x + 7)2 = x2 + 2.x.7 + 72 = x2 + 14x + 49
- Con términos negativos:
(x - 3)2 = x2 + 2.x.(-3) + (-3)2 = x2 - 6x + 9 El segundo es -3
(-x + 5)2 = (-x)2 + 2.(-x).5 + 52 = x2 - 10x + 25 El primero es -x
(-x - 1)2 = (-x)2 + 2.(-x).(-1) + (-1)2 = x2 + 2x + 1 El primero es -x y el segundo -1
EJERCICIOS
1) Calcula el valor numérico de: 3a - 2b + 4a + 3b, si a = 2 y b = 3
2) Para la expresión: a3 - 3b2, calculamos el valor numérico con a = 4 y b = 2.
3) Hallar el valor numérico del polinomio x3 + 3x2- 4 x – 12, para x = 1, para x = -1 y para x = 2.
4. (x + 3)2 5. (-2x - 1)2 6. (x- 5)2 7. (x - 9)2 8. (3x - 3)2
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el poli-nomio.
3x2•(2x3-3x2+4x-2)=6x5-9x4+12x3-6x2
Multiplicación de polinomios
Ejemplo P(x) = 2x2 - 3 Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
P(x)•Q(x)=(2x2-3)•(2x3-3x2+4x)=
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88
= 4x5 - 6x4 + 8x3 - 6x3 + 9x2 - 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 - 6x4 + 2x3 + 9x2 - 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:
EJERCICIOS
Dados los polinomios:
P(x) = 4x2 - 1 Q(x) = x3 - 3x2 + 6x - 2 R(x) = 6x2 + x + 1
Calcular: 1. P(x) + Q(x) = 2. P(x) - R(x) =
3. P(x) + R(x) = 4. 2P(x) - R(x) =
5. P(x) x R(x) = 6. 3.Q(x) =
FACTORIZAR UN POLINOMIO
Factorizar un polinomio es descomponerlo en un producto de otros polinomios de menor grado.
La factorización de polinomios es un procedimiento utilizado para escribir un polinomio como producto de factores que tengan el menor grado posible.
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89
1. FACTOR COMÚN
Consiste en aplicar la propiedad distributiva.
a•b+a•c+a•d=a(b+c+d)
Ejemplo: Descomponer en factores sacando factor común y hallar las raíces
1. x3 + x2 = x2 (x + 1) 2. 2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2)
Otra forma de obtener el factor común de un polinomio:
Ejemplo: el factor común de a5 + a2 b2=
1) Me pregunto: ¿qué letra tiene igual? a
2) ¿Cuál es el exponente más pequeño de la a? 2
3) Entonces escojo a2
4) Coloco a2 y abro un paréntesis
a5 + a2 b2= a2
5) Divido cada término entre a2
a5 + a2 b2 =a2)a2 a2
6) Coloco la respuesta dentro del paréntesis restando los exponentes así:
“No se te olvide que para dividir se copia la base igual y se restan los exponentes”.
“No se te olvide que cualquier base elevada a la potencia cero es igual a 1”.
se copia el signo
a5 + a2 b2 = a2 (a5-2 + a2-2 b2) = a2 (a3 + a0+ b2) = a2 (a3+ b2)a2 a2
31+
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90
EJERCICIOS
Factorizar:
1. 3x3y – 24 x2y + 6xy =
2. m6 n4 - m4 n2 =
3. x2 – 3 x =
4. 2 x2 –
2. Diferencia de Cuadrados
Una diferencia de cuadrados es el producto de la suma de las raíces por su diferencia.
a2 - b2=(a+b)•(a-b)
Ejemplo: Factorizar
1. x2-4=(x+2)•(x-2)
2. x4-16=(x2+4)•(x2-4)=(x+2)•(x-2)•(x2+4)
Ejemplos: Factorizar
a. 225x8 - 256y2z6
Solución: 225x8 - 256y2z6 = (15x4 + 16yz3 ) (15x4 - 16yz3 )
b. (x2y2 - 4y2) - (9x2 - 36)
Solución: (x2y2 - 4y2) - (9x2 - 36) = y2 (x2 - 4) - 9(x2 - 4)
= (y2 - 9) (x - 4)
= (y + 3)(y - 3)(x + 2)(x - 2)
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3. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO / EJERCICIOS RESUELTOS
¿Por qué se llama así el caso?
Recordemos que trinomio significa polinomio de tres términos. Como vemos en los ejemplos, son todos polinomios de 3 términos los que factorizamos con este caso. Y cuadrado perfecto es porque se trata del cuadrado de algo. O sea, que algo elevado al cuadrado (a la potencia 2) dio como resultado ese trinomio que tenemos que facto-rizar.
EJEMPLO 1: (con términos positivos)
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
x 3
2.3.x
6x
Se buscan dos términos que sean cuadrado de algo. Son: x2 y 9. Entonces bajo la x y el 3 (que serán las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x (doble producto del primero por el segundo). Da igual que el tercer término. El polinomio es un cuadrado perfecto. El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)2
EJEMPLO 2: (con el 1)
x2 + 2x + 1 = (x + 1)2
x 1
2.1.x
2x
EJEMPLO 3:
x2 - 10x + 25 = (x - 5)2
x (-5)
31+
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2.(-5).x
-10x
EJEMPLO 6: (con un número que multiplica a la x2)
9x2 + 30x + 25 = (3x + 5)2
3x 5
2.5.3x
30x
Las bases son 3x y 5, ya que (3x)2 da 9x2. En este caso, hay un número que acompa-ña a la letra que está al cuadrado. Para que el término sea uno de los cuadrados que buscamos, ese número también tiene que ser un cuadrado (4, 9, 16, 25, etc.).
EJERCICIOS
Factorizar:
1. 3 x2 + 6 x 2. x3 + 2 x2 + 3 3. x3 - 3 x2 - x + 3 4. 49 x4 - 25
5. x6 - 4 6. x2 - 6 x + 9 7. x2 + 12 x + 36 8. 4x + 4 + x2
9) 36x2 - 12x5 + 60x3 10. 6 x3 – 3 x2 +4 x – 2=
Factorizar:
a) x2 - y2 b) x2 - 2xy + y2 c) x2 + 5x + 6 d) a2b4 - a4b2
e) a2 + 4ab + 4b2 f) 25x2 - y2
Factorizar:
1. x2 + 7x + 10 2. x2 - 5x + 6 3. x2 + 3x - 10 4. x2 + 3x - 2
5. a2 + 4a + 3
31+
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TAREA PARA LA CASA
1. Resuelve los siguientes binomios elevados al cuadrado aplicando la formula
(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2 simplificada:
1. (m + n)2 = 2. (5x - 7y)2 = 3. (ab - 1)2 = 4. (3a3 + 5ab)2 =
5. (4x2 - 7xy)2 = 6. (m - 1)2 = 7. (8a + 2ab)2 = 8. (5x + y)2 =
9. (9a - 7b)2 = 10. (5ab2 + 6)2 =
2. Factorizar aplicando los casos que ya conoces:
1. 6x - 12 = 2. 4x - 8y = 3. 24a - 12ab = 4. 10x - 15x2 =
5. 14m2n + 7mn = 6. 8a3 - 6a2 = 7. b4 - b3 = 8.14a - 21b + 35 =
9. 4m2 -20 am = 10. ax + bx + cx = 11. 4a3bx - 4bx = 12. 20x-12xy+4xz =
13. 3ab+6ac-9ad = 14. 6x4-30x3+2x2 = 15.10x2y-15xy2+25xy =
16. 9a2 - 25b2 = 17. 4x2 - 1 = 18. 36m2n2 - 25 =
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UNIDAD 4. ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO
¿Qué es una ecuación?
Para las matemáticas, una ecuación es una igualdad que contiene una o más incóg-nitas. Tendrá un signo de igualdad (=); por ejemplo:
x + 2 = 6
Lo que esta ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo que está en la derecha (6)
Así que una ecuación es como una afirmación “esto es igual a aquello”.
Partes de una ecuación
Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las diferentes par-tes (¡mejor que decir “esta cosa de aquí”!)
Aquí tienes una ecuación que dice 4x - 7 es igual a 5, y todas sus partes:
Una variable es un símbolo para un número que todavía no conocemos. Normalmente, es una letra, como x o y.
Al número solo se lo denomina constante.
Un coeficiente es un número que está multiplicando a una variable (4x significa 4 por x; así que 4 es un coeficiente).
Un operador es un símbolo (como +,x, etc.) que representa una operación (es decir, algo que quieres hacer con los valores).
Un término es o bien un número o variable solo, o números y variables multiplicados juntos.
Una expresión es un grupo de términos (los términos están se-parados por signos + o -)
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Ahora podemos decir, por ejemplo: “esa expresión solo tiene dos términos”, o “el se-gundo término es constante”, o incluso “¿estás seguro de que el coeficiente es 4?”.
Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas, y está formada por va-rios elementos. Tomemos como ejemplo la siguiente igualdad:
3x-3= 4x-2
Miembros: son las expresiones ubicadas a ambos lados del signo igual.
Términos: son los monomios con los cuales se forma cada miembro; aquí también se distinguen los términos independientes, que son monomios de grado cero.
Incógnitas: Son las letras que aparecen en la ecuación.
Grado: Una vez realizadas todas las operaciones posibles en la ecuación, el mayor exponente que tenga la incógnita nos dará el grado de la ecuación.
Soluciones: Son los valores que deben de tener las incógnitas para que la igualdad sea cierta. En nuestro ejemplo de arriba:
3x-3= 4x-2 ----» 3x-4x= -2 + 3 ----» -x = 1----» x= -1
Las operaciones que hemos efectuado han sido simplemente sumar y restar las incóg-nitas y los términos independientes de la ecuación, pasándolos de izquierda (primer miembro) a derecha (segundo miembro) para tenerlo todo en un mismo lado. Se tiene que saber que cuando se cambia un miembro de un lado de la igualdad al otro lado, su signo también cambia, es decir, si es + pasa a –.
Ejemplo:7•(x+1)-4•(x+3)=x-9
1.Quitar paréntesis realizando las operaciones correspondientes:
7x + 7 - 4x - 12 = x - 9
2.Agrupar los términos con la x en un miembro de la ecuación y los términos sin la x en el otro (recuerda que al pasar un término de un miembro a otro de la ecuación, cambia su signo):
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7x - 4x - x = -9 - 7 + 12
3.Operar: 2x = -4
4.Despejar la x:
x= -4 =-2
2
Pedro quiere saber cuántos años tiene, pero es muy olvidadizo, y solo recuerda que cuando él nació, su hermano Juan tenía 30 años, y Juan nos dice que su edad es el triple que la de Pedro. ¿Cuál es la edad de Pedro?
Expresado en ecuación, llamando x a la edad de Pedro:
x + 30 = 3x----» 2x = 30 ----» x = 15 (edad de Pedro)
Ejemplo 2. El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo, y este, 3 más que el menor. Si entre todos tienen la edad del padre, que tiene 40 años, ¿qué edad tiene cada hermano?
Para resolver estos problemas debemos elegir algún valor desconocido para llamarle x. En este caso, llamemos:
X: edad del hermano menor.
A partir de ello, expresar los datos del problema y plantear una igualdad (ecuación) con ellos: Será:
x+3: edad del hermano mediano.
x+3 + 4 = x+7: edad del hermano mayor.
Ecuación: suma de las edades de los hermanos x + x + 3 + x + 7 = 40,
Resolviendo la ecuación se obtiene x = 10, luego las edades de los tres hermanos son 10, 13 y 17 años.
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APLICACIÓN
Resuelve las siguientes ecuaciones:
1) x - 3 = 5 2) 2x + 10 = 20 3) x/3 = 4 4) 8 + x/2 = 30 5) 2x + 3x + 7 = 47
6) Si a = 4 y b = 3, calcular: 3a + 4b + 12.
7) Si m = 16 y n = 15, calcular: m/4 + n/3 – 9.
8) Si p = 7 y q = 11, calcular: el doble de p aumentado en el triple de q.
9) El doble de un número aumentado en el triple del número nos da 45. ¿Cuál es el número?
10) La suma de tres números consecutivos es 51. ¿Cuáles son los números?
11) Determinar tres números consecutivos que suman 444.
12) Un padre tiene 3 veces la edad de la hija. Si entre los dos suman 48 años, ¿qué edad tienen cada uno?
13) La suma de tres números naturales consecutivos es 276. Calcúlalos.
TAREA PARA LA CASA
1. Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones:
1) 4x = 2x - 12 2) 8x - 24 = 5x 3) 7x + 12 = 4x -17 4) 3x - 25 = x - 5
5) 5x+13 =10x + 12 6) 12x-10=-11+ 9x 7) 36 - 6x = 34 - 4x 8) 10x -25 = 6x - 25
9) 11x - 1 + 5x = 65 x - 36 10) 4x - 13 - 5x = -12x + 9 + 8x
Resuelve los problemas siguientes
1) La suma de tres números consecutivo es 18. ¿Cuáles son los números?
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2) La edad de A es el triple de B, y ambas edades suman 40 años. ¿Hallar ambas edades?
3) Repartir 300 dólares entre A, B y C, de modo que la parte de B sea el doble que la de A y la de C sea el triplo de la de A. ¿Cuántos dólares recibirá cada uno?
4) Dos ángulos suman 180º; uno de los ángulos es el doble del otro. Calcular el valor de cada ángulo.
3. Hallar un número sabiendo que:
a) si se disminuye en 7 se obtiene 34.
b) si se aumenta en 13 se obtiene 76.
c) su tercera parte es igual a 187.
d) su triple es igual a 216.
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma , donde la “a” no es nula.
Si observamos los coeficientes b y c, las podemos clasificar en incompletas si se anu-la b o c, o completas si no se anula ninguno de los coeficientes.
Número de soluciones:
Solucionar una ecuación de segundo grado consiste en averiguar qué valor o valores al ser sustituidos por la indeterminada convierten la ecuación en una identidad.
Para resolver estas ecuaciones, aplicamos la fórmula
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EJERCICIOS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
1. Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la formula:
•7x2 + 21x - 28 = 0
•-x2 + 4x - 7 = 0
•12x2 - 3x = 0
•x2 + 7x + 12 = 0
•x2 - 7x - 18 = 0
•x2+2x-15=0
•2x2 + 11x + 5 = 0
2. Problemas con ecuaciones de segundo grado:
a. Escribir una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean: 3 y -2.
b. Factorizar:
x2 - 5x + 6 = 0
c. Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuación x2 - kx + 36 = 0 sean iguales.
d. La suma de dos números es 5 y su producto es -84. Halla dichos números.
e. Dentro de 11 años, la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.
TAREA PARA LA CASA
1. Resuelve las siguientes ecuaciones completas:
a) x2 + 7x + 12 = 0 b) x2 - 7x - 18 = 0 c) x2 + 2x - 15 = 0 d) 2x2 + 11x + 5 = 0
e) 23 = 9x2 - 2 f) x2 - 7x – 18 = 0 g) 3x2 - 8x – 3 = 0 h) x2 + 11x = 0
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100
CAPÍTULO IIIGeometría
El Universo está escrito en el lenguaje de las matemáticas y sus caracteres son trián-gulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible entender una sola de sus palabras. Sin ese lenguaje, navegamos en un oscuro labe-rinto. Galileo Galilei.
PUNTO
Es el primer objeto geométrico y origen de todos los demás. No tiene dimensiones.
El punto se representa por un pequeño círculo. Se nombran por una letra mayúscula.
Es el elemento más pequeño de la geometría.
No tiene dimensión. Solo designa un lugar en el espacio.
Se representan por medio de estos signos: +, x, y se nombran con letras mayúsculas o números. Noción de punto
La marca que deja la punta de un lápiz bien afilado, la marca que deja la punta de un alfiler, entre otros, nos dan la noción de punto. Así, el punto geométrico es una porción de espacio más pequeña que todas las de más que puedan suponerse. Se representa mediante una letra mayúscula.
LA RECTA
La línea recta es una sucesión ilimitada de puntos en una misma dirección. Los cables del tendido eléctrico, la esquina en la que se unen dos paredes, el trazo de una línea con una regla, entre otros, nos dan la idea de una línea recta. Una recta no tiene lími-tes, por lo que se puede representar una parte de ella.
Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas cuando equidistan en toda su longitud.
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Recta perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando un ángulo de 90 grados.
Semirrecta
Una semirrecta es una porción de recta que tiene principio, pero no final.
Segmento
Un segmento es una porción de recta, con principio y final. Se nombra con una letra minúscula o con las letras mayúsculas de los puntos extremos.
Ángulo
¿Qué es un ángulo? ¿Cómo se forma? Cuando las rectas se cortan, forman cuatro regiones a las que se les llama ángulos. En el dibujo que está a continuación podrás ver que hemos destacado uno de los cuatro ángulos, al que hemos llamado a.
De esta forma, decimos que el ángulo es la abertura que se for-ma por dos rayos que parten de un punto común. A los rayos los llamamos lados del ángulo, y a su punto en común lo denomina-
mos vértice.
Como puedes ver, cada ángulo está limitado por dos lados y un vértice.
Los ángulos podemos clasificarlos en agudo, obtuso o recto, de-pendiendo de cuánto mida el ángulo formado por las dos rectas.
Ángulo recto
Ángulo que se forma por dos rectas perpendiculares, y mide 90°.
Los ángulos rectos son como la esquina de una escuadra.
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Ángulo agudo
Ángulo que mide menos de 90°, o sea, es menor que un ángulo recto.
Ángulo obtuso
Es un ángulo que es mayor al ángulo recto, por lo tanto, mide más de 90°.
Todos los ángulos anteriores han sido formados por la intersección de rectas.
El plano
El plano es una superficie infinita que está formada por puntos y rectas, y donde po-demos encontrar figuras geométricas como: triángulos, rombos, cuadrados, círculos, entre muchas otras.
Imagina por un momento que una parte de ese plano es tu hoja de cuaderno. No olvi-des que el plano no tiene grosor y es ilimitado; por lo tanto, imagínalo que se extiende en todas sus direcciones.
Noción de plano
Una pared, el piso o la superficie superior de una mesa, entre otros, nos dan la noción de un plano. El plano no tiene límites, por lo que se puede representar una parte de él. Usualmente, un plano se representa gráficamente por medio de un paralelogramo y se denota con una mayúscula en su vértice.
El estudio de las figuras planas y sus propiedades geométricas abarca a los polígonos en general –tanto regulares como irregulares–, como también al círculo, que puede ser considerado un caso especial de polígono.
Dicho estudio comprende:
•Lasrelacionesreferentesalaslíneas,puntosyángulosdelospolígonosregulares;
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•Losmétodosparaeldibujodelospolígonosregulares;
•Losmétodosparaelcálculodelasuperficiedelospolígonosregulareseirregulares.
EJERCICIOS
1) Dar 3 ejemplos de recta.
2) Dar 3 ejemplos de plano.
3) Enumerar 3 ejemplos de rectas paralelas.
4) Enumerar 3 ejemplos de rectas perpendiculares.
5) Dar 2 ejemplos de puntos.
6) Definir y dibujar: ángulo agudo, ángulo recto, ángulo obtuso.
FIGURAS PLANAS:
A. EL TRIÁNGULO:
Triángulo es la figura plana formada por la intersección de tres rectas que se cortan y que constituyen los lados. A los puntos de corte se les llama vértices.
Los ángulos del triángulo se designan con letras mayúsculas A, B, y C, y los lados opuestos, con a, b y c. La suma de los lados es el perímetro.
Los triángulos son figuras geométricas que se forman por la intersección de tres rectas en tres puntos diferentes.
De esta manera, obtenemos una figura de tres lados como la que ves a continuación:
Los triángulos tienen tres ángulos, y la suma de ellos siempre será de 180º.
A todas las figuras geométricas que están formadas por tres lados se les llama triángulo, y la suma de sus tres ángulos siem-pre es 180 grados.
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Clasificación de los triángulos:
Los triángulos los podemos clasificar según sus lados y por sus ángulos.
•Porsuslados
• Equilátero: que tiene su tres lados iguales
• Isósceles: que tiene dos lados iguales
• Escaleno: que tiene todos sus lados desiguales
•Porsusángulos
• Acutángulos: que tiene tres ángulos agudos.
• Rectángulos: tiene un ángulo recto y dos agudos.
• Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso y dos agudos.
Elementos de un triángulo:
•Labasedeuntriánguloeselladosobreelqueseapoyaeltriángulo;puedeserlocualquiera de los lados.
•Laalturadeuntriánguloeselsegmentoperpendicularalabasequevadesdeelvértice. opuesto a esta. En un triángulo, al haber tres bases, se pueden trazar tres alturas.
En los triángulos rectángulos, los lados se denominan: •Hipotenusa: es el lado opuesto al ángulo recto y es el lado mayor.•Catetos: son los otros dos lados, forman el ángulo recto.
PERÍMETRO Y SUPERFICIE DE TRIÁNGULOS
Perímetro. Se denomina perímetro de una figura plana a la suma de las longitudes de sus lados. De este modo, el perímetro de un triángulo cuyos lados miden 5 cm, 6 cm y 10 cm es de 5+6+10 = 21 cm.Para calcular el perímetro, es necesario conocer la longitud de todos los lados de la figura. Perímetro del triángulo: P = a+b+c donde a, b, c son lados.
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Superficie del triángulo:
b = base; h= altura
EJERCICIOS
1. Halla el perímetro de los siguientes triángulos cuyos lados miden:
1) a = 43 m b = 36 m c = 45 m 2) a = 34 m b = 63 m c = 54 m
3) a = 38 cm b = 23 cm c = 19 cm 4) a = 53cm b = 16 cm c = 48 cm
2. Halla el área de los siguientes triángulos:
a) La base mide 15 cm y la altura, 8 cm.
b) La base mide 51 cm y la altura, 4 cm.
c) La base mide 21 cm y la altura, 4 cm.
d) La base mide 18 m y la altura, 40 m.
El CUADRADO
El cuadrado es un polígono que tiene los cuatro lados y los cuatro án-gulos iguales. Los cuatro ángulos son rectos. La suma de los cuatro ángulos es 360 grados.
Perímetro del cuadrado
P=4•l
Área o superficie: Para hallar el área o la superficie, se utiliza la siguiente fórmula
A = l2
EJERCICIOS
1. Halla el perímetro y el área de los siguientes cuadrados:
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1) El lado del cuadrado mide 12 cm.
2) El lado del cuadrado mide 21 cm.
3) El lado del cuadrado mide 7 cm.
4) El lado del cuadrado mide 10 m
5) El lado del cuadrado mide 14 m.
6) El jardín de mi casa tiene forma cuadrada y mide 5 m de lado, y quiero saber cuán-tos m2 de pasto debo comprar para cubrir toda esa superficie. También lo quiero pro-teger con 3 vueltas de tejido. ¿Cuántos m2 de pasto y cuántos metros de tejido debo comprar?
2. Calcula el área de los cuadrados cuyos lados miden:
a) 8 cm. b) 3,5 dm c) 10 m d) 0,5 dm
El RECTÁNGULO
El rectángulo es un polígono de 4 lados, que son iguales dos a dos. Al lado mayor se le llama largo (a) y al menor ancho (b); el segmento que une dos vértices y corta en dos partes al rectángulo se lo llama diagonal (d).
Los ángulos de un rectángulo son todos iguales y miden 90º, o sea, 1 recto.
PERÍMETRO Y ÁREA DEL RECTÁNGULO
rectagulo de lados a, b
b
a
Perímetro
El rectángulo tiene los lados iguales dos a dos, por tanto:
P=2•a+2•b
Área
El área de un rectángulo es el producto de la longitud de los lados.
A=a•b
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EJERCICIOS
Hallar el perímetro y el área de los siguientes rectágulos.
1) El largo mide 20 cm y el ancho 10 cm.
2) El largo mide 35 cm y el ancho 15 cm.
3) El largo mide 15 m y el ancho 12 m.
4) Tengo que comprar una sabana para mi cama que tiene 180 cm de largo y 110 cm de ancho. Quiero que tengo 30 cm más de ancho y 20 cm más de largo. ¿Cuán-tos cm2 de tela debo comprar con estas medidas nuevas?
RESUELVE
1. Calcula el perímetro y el área de un cuadrado de lado 4 m.
2. La base de un rectángulo es 5 m y la altura, la mitad de la base. Calcula el área y el perímetro.
3. El área de un cuadrado es 5,76 cm2. Calcula el perímetro del cuadrado.
CIRCUNFERENCIA
¿Qué es circunferencia y círculo?
La circunferencia podemos definirla como la sucesión de pun-tos equidistantes de un punto llamado centro. El círculo es la zona delimitada por la circunferencia.
Segmentos notables
Diámetro: segmento que pasa por el centro y une dos puntos de la circunferencia.
Radio: Es la mitad de diámetro.
Arco: Es una parte de la circunferencia que se delimita entre dos puntos.
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Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia.
CÍRCULO: Es la superficie plana limitada por la circunferencia
Calcular la circunferencia de un círculo
La circunferencia de un círculo es la distancia alrededor del círculo. Se podría llamar perímetro del círculo. ¿Cómo encon-trar la circunferencia de un círculo?
•Lacircunferenciadeuncírculosepuedeaveriguarmultiplicandopi(p=3,14)poreldiámetro del círculo.
•Siuncírculotieneundiámetrode4,sucircunferenciaes3,14*4=12,56
•Siconoceselradio,eldiámetroesdosvecessulargo.
Áreaa y volumen del cilindro
g=h
AL =2.π.r.h
AT =2.π.r(h+r)
V=π.r2 . h
Área y volumen del cubo
D=√a3 + a3 + a3
D=√3.a
AL= 4 . a2
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EJERCICIOS
Hallar el perímetro y el área de las siguientes circunferencias, dados:
1) r =20 cm 2) d = 8 cm 3) d = 16 m 4) r = 32 cm 5) d = 24 m
5) Halar el área lateral del cubo de lado 5 cm.
6)Hallarelárealateralyvolumendelcilindrodeh=3myradio=2m.(usar∏=3,14)
RESUELVE
1) Quiero saber cuántos m2 de tela debo comprar para hacer un mantel para una mesa redonda que tiene 1,2m de diámetro. Además, alrededor le debo poner una cinta de color, por lo que quiero saber cuántos metros de esta cinta debo comprar.
2) En mi jardín tengo un espacio redondo vacío de 3 m de diámetro, y lo quiero cu-brir con pasto. ¿Cuántos m2 de pasto debo comprar? Si 1 m2 de pasto cuesta 45.000 gs., ¿cuánto voy a pagar por el pasto?
TAREA PARA LA CASA
1) Para hacer 1 bonetes necesito cortar cartulina en forma triangular; la base debe tener 30 cm y la altura debe ser de 40 cm. Si tengo que confeccionar 20 bonetes, ¿cuántos cm2 de cartulina tengo que comprar?
2) Tengo que fabricar 100 manteles cuadrados que tengan 2 m de lado. ¿Cuántos m2 de tela debo comprar? Me pidieron también que cada mantel tenga un borde de una cinta de color; ¿cuántos metros de esa cinta debo comprar?
3) Voy a colocar piso a una cancha de fútbol de salón que tiene 25 m de largo y 15 m de ancho. ¿Cuántos m2 de piso debo comprar? También planeo colocar 5 vueltas de alambre alrededor de la cancha. ¿Cuántos metros de alambre debo comprar?
4) Para poner un protector solar sobre una piscina necesito comprar una carpa redonda de 8 m de diámetro. ¿Cuántos m2 de carpa debo comprar? Y para estirar la carpa necesito que sus bordes sean reforzados con una cinta gruesa. ¿Cuántos metros se esa cinta debo comprar también?
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CAPÍTULO IVINTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA
USAR Y MANEJAR DATOS
De nuevo un poco de historia:
Desde los comienzos de la civilización, han existido formas sencillas de estadísticas, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o ciertas cosas. Hacia el año 3000 a.C., los babilonios usaban ya pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos en tablas sobre la producción agrícola y de los géneros vendidos o cambiados mediante un trueque. Los egipcios analizaban los datos de la población y la renta del país mucho antes de construir las pirámides en el siglo XXXI a.C. Los libros bíblicos de los Números y las Crónicas incluyen, en algunas partes, trabajos de estadística. El primero contiene dos censos de la población de Israel, y el segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judías. En China existían registros numéricos similares con anterioridad al año 2000 a.C. Los griegos clásicos realizaban censos cuya información se utilizaba hacia el año 594 a.C. para cobrar impuestos.
El Imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de datos sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control. Durante la edad media sólo se realizaron algunos censos en Europa. Los reyes carolingios Pipi-no el Breve y Carlomagno ordenaron hacer estudios minuciosos de las propiedades de la Iglesia en los años 758 y 762, respectivamente
¿Te has preguntado alguna vez para qué sirven las encuestas que se suelen hacer en la calle? ¿Cómo saber si una estación de radio tiene más audiencia que otra? ¿Cuál candidato puede ganar? Bueno, en realidad, todo comienza con la recolección de datos.
Los datos son la información que se recoge; esto puede ser la opinión de las personas sobre un tema, la edad o sexo de los encuestados, dónde viven, cuántas personas viven en una casa, qué tipo de sangre tiene un grupo de personas, etc.
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Hay mucha información que puede servirles a diferentes profesionales para sacar da-tos que son útiles en la toma de decisiones, para resolver problemas o cualquier otro elemento que así lo amerite.
¿Qué hacen estas personas con la información que han recogido? Una vez que se haya recogido toda la información, se procede a crear una base de datos, donde se registran todos los datos obtenidos. Algunas veces, si los datos son muy complicados, se codifican, esto quiere decir que se ole coloca una palabra clave que identifica un título muy largo. Cuando ya está elaborada la base de datos, se parece a una tabla.
NÚM(número del
sujeto)EDAD
COLOR(color preferido)
INAS(inasistencia a
clases en un mes)
ANI(tipo de animal que
tiene en casa)
1 8 azul 3 perro
2 6 verde 0 perro
3 7 rojo 7 gato
4 7 amarillo 4 perro
5 9 verde 3 ninguno
6 8 azul 1 gato
7 9 rojo 0 pez
8 8 morado 2 perro
9 6 azul 3 pez
10 7 verde 1 ninguno
Con esta tabla no se puede hacer mucho, pero es importante para registrar los datos. A partir de esta base de datos se puede hacer una tabla de frecuencias. Para deter-minar la frecuencia de algo o el número de veces que se produce un fenómeno (el fenómeno puede ser “el color preferido de los niños de un salón”, “la edad de un grupo de sujetos”, “el tipo de animal que tiene en casa”, “la cantidad de inasistencias a clase” o cualquier otro fenómeno). Vemos ahora qué pasa con nuestra base de datos:
Con los datos obtenidos, elaboramos una serie de tablas. Con los datos de las tablas fabricamos unos gráficos (también llamados figuras) de frecuencia, que podrás obser-var al lado de cada tabla.
Pero esto no nos dice nada si no “analizamos” los datos. Analizar significa sacar con-clusiones de la información expuesta. Este análisis está debajo de la tabla y el gráfico.
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Frecuencia de colores preferidos del grupo estudiado
rojo
1
0
2
3
4
azul verde morado amarillo
Figura 1.Frecuencia de colores preferidos del gupo estudiado
Se puede observar que los colores preferidos de mayor frecuencia son el azul y el verde, cada uno con una frecuencia de 3.
Todo lo que acabas de aprender es lo que se llama usualmente ESTADÍSTICA.
LA ESTADÍSTICA
La estadística es la ciencia de recoger, clasificar, describir y analizar datos numéricos que sirven para conocer la realidad, sacar conclusiones y tomar de-cisiones a partir de los datos obtenidos.
La estadística es la ciencia que ayuda a otras ciencias, como la medicina, a tener datos que nos permiten evaluar nuestra propia realidad.
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Estadística y probabilidad Los datos estadísticos
Los datos estadísticos son
obtenidos en una encuesta
La profesora ha hecho una encuestaa los veinte estudiantes de su clase
EJERCICIOS
Averigua: A cuántos niños en tu salón les gusta el deporte; a cuántos les gusta hela-dos de chocolate, vainilla o frutilla; a cuántos les gusta hacer tarea o estudiar; cuáles son las tallas de zapato en tu salón, etc.
¡Hay tanto que descubrir! Elabora tu propia base de datos para ver qué cosas inte-resantes descubres, pero recuerda que cada base de datos solo sirve para el mismo grupo de personas estudiadas. ¡Que te diviertas!
Obteniendo información
El final del siglo pasado se ha caracterizado por la enorme cantidad de información que nos rodea.
Diarios, libros, enciclopedias, revistas, internet, radio, televisión y otros medios nos permiten tener acceso a la más variada gama de datos. La estadística es la herra-mienta que tiene la matemática para organizar esos datos.
Los números que ves en la tabla son el resultado de realizar el recuento y se denominan datos estadísticos: 2, 5, 7, ...
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La materia prima de la estadística consiste en conjuntos de números obtenidos al contar o medir cosas. Al recopilar datos estadísticos, se ha de tener especial cuidado para garantizar que la información sea completa y correcta.
Claridad, rapidez y precisión
Nuestra primera tarea se relaciona con la obtención de datos.
Podemos obtener información a partir de un cuestionario, de un estudio de casos o de una encuesta.
Todos ellos deben estar diseñados de forma que la información se obtenga con clari-dad, rapidez y precisión.
EJEMPLO
Tomaremos como caso una encuesta sobre sabores de helado que prefiere la gente.
La pregunta es: ¿cuál de estos sabores de helado es su preferido?
•Frutilla•Chocolate•Piña•Vainilla•Otrosabor•Notomahelados
45 personas contestaron la encuesta, y el resultado fue:
5 personas eligieron helado de frutilla.
12 personas eligieron helado de chocolate.
7 personas eligieron helado de piña.
6 personas eligieron helado de vainilla.
5 personas eligieron helado de otro sabor.
2 personas no toman helado.
El número de personas que eligió cada alternativa recibe el nombre de frecuencia absoluta.
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Frecuencia absoluta y frecuencia relativa
¿Que es la Moda?
Denominamos frecuencia o frecuencia absoluta de un valor al número de veces que aparece dicho valor en un conjunto de datos.
Las frecuencias se anotan en una tabla conocida como tabla de distribución de fre-cuencias.Los datos estadísticos se pueden representar mediante diagramas de barras.La tabla de distribución de frecuencias de nuestra encuesta es:
La mascota más frecuente de la encuesta realizada es el perro. Por eso, decimos que el dato “perro” es la moda.
