1. BY dali200821 For Tunisia-sat Unit SESSignaux et systmes
1
2. Haute Ecole dIngnierie et de Gestiondu Canton de
VaudDpartement Technologies Industrielles Unit SES Signaux et
Systmesi nstitut dA utomatisation Prof. Freddy Mudryi
ndustrielle
3. "La science, son got est amer au dbut mais la fin, plus doux
que le miel" (Plat dcor pigraphique XI-XIIme sicle, Iran ou
Transoxiane Le Louvre - Arts de lIslam) i
4. Informations concernant lunit Signaux et Systmes SES Prof.
F. MudryObjectifs lissue de cette unit denseignement, ltudiant sera
en mesure de : 1. valuer les caractristiques et les rponses
temporelles dun systme analogique li- naire ou non. 2. Dcrire le
comportement des systmes contre-ractionns. 3. Matriser les sries de
Fourier : reprsentations spectrales et calcul de la puissance. 4.
Analyser et mettre en pratique les relations temps-frquence. 5.
valuer les eets de lchantillonnage et de la quantication. 6. valuer
et calculer le comportement dun systme numrique linaire. lissue des
travaux pratiques en laboratoire, ltudiant sera en outre capable de
: 1. Matriser un outil de programmation tel que Matlab. 2. Simuler
des systmes analogiques linaires ou non et apprcier leurs eets. 3.
Synthtiser et analyser des signaux. 4. Visualiser, dcrire et
analyser le spectre dun signal quelconque. 5. crire en ligne un
rapport succint mais complet de son travail.Remarques 1. Le temps
accord pour les exposs et exercices du cours SES est de 4 priodes
hebdomadaires pendant un trimestre. Durant le trimestre suivant, le
cours de 5 priodes hebdomadaires est complt par un laboratoire de 3
priodes hebdomadaires. 2. Dans la mesure du possible, les cours et
exercices sont donns en alternance durant deux priodes. 3. Les
corrigs dexercices sont donns dans un fascicule part. An dapprendre
rsoudre les exercices proposs de manire personnelle et indpendante,
celui- ci ne devrait pas tre consult pendant les sances dexercices.
4. Les tests crits sont constitus de problmes similaires ceux
proposs comme exercices. Le seul document autoris pour les TE est
un formulaire manuscrit personnel. 5. Lexamen de n dunit SES se
fera sous forme crite et durera deux heures. 6. Des informations
complmentaires sont donnes dans la che de cours SES.Programme Un
temps total de 96 priodes est accord cette unit denseignement.
Larpartition et la progression du cours sont donnes dans le tableau
ci-aprs. Il est bienclair que ce programme constitue une ligne
directrice et que le rythme du cours peut trelgrement modi selon
les circonstances.ii c 2008 [email protected]
5. Semestres Signaux et Systmes Priodes Total Semaines Cours
Trimestre 2 : 5 pr. hebdo. = 40 priodes I Analyse des systmes
linaires 6 6 1.2 Analyse des systmes analogiques 8 14 2.8 lments de
rgulation automatique 10 24 4.8 TP 1 : Simulation dun systme
analogique 6 30 6 II Analyse des signaux priodiques 6 36 7.2 1 TE +
correction 4 40 8 Cours Trimestre 3 : 5 pr. hebdo. = 35+3 priodes
Analyse des signaux priodiques (n) 4 4 1 Analyse des signaux non
priodiques 4 8 2 lments danalyse spectrale numrique 4 12 2.5 III
chantillonnage et reconstruction des signaux 6 18 3 Signaux et
systmes numriques 16 34 6 1 TE + correction 4 38 7 Labo Trimestre 3
: 3 pr. hebdo. = 21-3 priodes TP 2 : Synthse et analyse de signaux
priodiques 6 6 3 TP 3 : Numrisation des signaux analogiques 6 12 5
TP 4 : Synthse et ralisation de ltres numriques 6 18 7 Tab. 0.1.:
Programme denseignement de lunit SES c 2008 [email protected]
iii
6. Bibliographie gnraleTraitement des signaux 1. B.P. Lathi :
Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press,
1998 2. B.P. Lathi : Linear Systems and Signals, Berkeley-Cambridge
Press, 1992 3. F. de Coulon : Thorie et traitement des signaux,
PPR, 1984 4. A. Spataru : Fondements de la thorie de la
transmission de linformation, PPR, 1987 5. A.V. Oppenheim, A.S.
Willsky : Signals and Systems, Prentice-Hall, 1983Traitement
numrique des signaux 1. B. Porat : A Course in Digital Signal
Processing, J. Wiley, 1997 2. J.H. McClellan, R.W. Schafer, M.A.
Yoder : DSP First, Prentice Hall, 1999 3. J.G. Proakis, D.G.
Manolakis : Digital Signal Processing, MacMillan, 2me dition, 1992
4. C.S. Burrus et al. : Computer-Based Exercises for Signal
Processing, Prentice- Hall, 1994 5. V.K. Ingle, J.G. Proakis :
Digital Signal Processing Using MatLab, PWS, 1997 6. E.C. Ifeachor,
B.W. Jervis : Digital Signal Processing, Addison-Wesley,
1993Filtres analogiques et numriques 1. M. Labarrre et al. : Le
ltrage et ses applications, Cepadues Editions, 1982 2. R. Bote, H.
Leich : Les ltres numriques, Masson, 1980 3. R. Miquel : Le ltrage
numrique par microprocesseurs, Editests, 1985 4. H. Lam : Analog
and Digital Filters, Prentice Hall, 1979 5. T.W. Parks, C.S. Burrus
: Digital Filter Design, J. Wiley, 1987 6. Ch.S. Williams :
Designing Digital Filters, Prentice-Hall, 1986Analyse spectrale
numrique 1. Hewlett-Packard : The Fundamentals of Signal Analysis,
Application Note 243, 1981 2. R.B. Randall : Frequency Analysis,
Brel-Kjaer, 1987 3. C.S. Burrus, T.W. Parks : DFT / FFT and
convolution algorithms, J. Wiley, 1985 4. R.W. Ramirez : The FFT
Fundamentals and Concepts, Prentice-Hall, 1985iv c 2008
[email protected]
7. Traitement de la parole 1. R. Boite et all : Traitement de
la parole, PPUR, 2000 2. Deller, Proakis, Hansen : Discrete Time
Processing of Speech Signals, Macmil- lan, 1993 3. S. Saito, K.
Nakata : Fundamentals of Speech Signal Processing, Academic Press,
1985 4. L.R. Rabiner, R.W. Schafer : Digital Signal Processing of
Speech, Prentice- Hall, 1978Pour le plaisir des yeux et de lesprit
1. Warusfel Andr : Les nombres et leurs mystres, Seuil 1961 2.
Stewart Ian : Does God Play Dice ? the new mathematics of chaos,
Penguin, 1989 3. Stewart Ian : Dieu joue-t-il aux ds ? les
nouvelles mathmatiques du chaos, Flammarion, 1993 4. Peitgen H.O.,
Saupe D. : The Science of Fractal Images, Springer-Verlag, 1988 5.
Dunham William : Euler, the master of us all, The Mathematical
Association of America, 1999 6. Maor Eli : To Innity and Beyond : a
cultural history of the innity, Birkhu- ser, 1986 7. Klein Etienne
: Il tait sept fois la rvolution - Albert Einstein et les autres,
Flammarion, 2005 8. Klein Etienne : La physique quantique, Dominos
Flammarion, 1996 9. Hawking Stephen : Une brve histoire du temps,
Flammarion, 1988 10. Reeves Hubert : Malicorne : rexions dun
observateur de la nature, Seuil, 1990 11. ThuanTrinh Xuan : Le
chaos et lharmonie : la fabrication du rel, folio essais,
Gallimard, 1998 12. Davis Ph.J, Hersh R. : Lunivers mathmatique,
Bordas 1985 13. Ekeland Ivan : Le Calcul, lImprvu : les gures du
temps de Kepler Thom, Seuil, 1984 14. Conway John : The Book of
Numbers, Copernicus, 1996 15. Fivaz Roland : Lordre et la volupt,
PPR 1989 16. Lesieur Marcel : La turbulence, Grenoble PUG
1994Quelques adresses InternetDmonstrations interactives 1. http
://www.jhu.edu/~signals/ c 2008 [email protected] v
17. Premire partie .tude des systmes analogiques 1
18. 1. Analyse des systmes linairesLanalyse des systmes
linaires se fait essentiellement avec la transformation deLaplace
car celle-ci traite une classe de signaux plus large que ne
lautorise la trans-formation de Fourier. De plus, elle permet
dtudier des systmes stables ou non parle fait que la variable de
Laplace (s = + j C) est dnie dans lensemble duplan complexe. Enn,
par linterptation des ples de la fonction image X(s), onprdit
facilement la forme de la fonction orginale x(t).1.1. La
transformation de Laplace1.1.1. Rappels mathmatiquesDans ce
paragraphe, on se contente de rappeler quelques proprits lies la
trans-formation de Laplace et utilises dans lanalyse des systmes
linaires. Pour touteinformation supplmentaire, on consultera
avantageusement son cours de mathma-tiques.Dnition L(x(t)) = X(s)
x(t) est dt, s = + j [1/sec] (1.1) 0Dans lanalyse des signaux
temporels, la variable s est appele pulsation complexeet elle
possde les units [1/sec]. On notera que, si la variable x(t) est
une tensionlectrique alors son image X(s) se mesure en [V
sec].Linarit L(a x(t) + b y(t)) = a X(s) + b Y (s) (1.2)Drivation
dx(t) L = s X(s) x(t = 0) (1.3) dtIntgration t X(s) x(t = 0) L x(t)
dt + x(t = 0) = + (1.4) 0 s s 3
19. 1. Analyse des systmes linairesAmortissement L x(t) eat =
X(s + a) (1.5)Valeurs limites x(t 0+ ) = s X(s)|s (1.6) x(t ) = s
X(s)|s0 (1.7)Quelques transformes De lensemble des transformes de
Laplace gnralementproposes dans les formulaires mathmatiques, on ne
gardera que les plus frquem-ment utilises dans lanalyse des systmes
(tableau 1.1). La connaissance de celles-ci,associe aux proprits
rappeles plus haut, permettra de rsoudre la plupart desproblmes.
x(t) X(s) (t) 1 1 (t) s 1 exp(a t) (t) s+a sin( t) (t) s2 + 2 s
cos( t) (t) s2 + 2 eat sin( t) (t) (s + a)2 + 2 s+a eat cos( t) (t)
(s + a)2 + 2 Tab. 1.1.: Quelques transformes de LaplacePles et zros
Comme le montre le tableau des transformes, limage X(s)
dunefonction x(t) est une fraction constitue de deux polynmes N (s)
X(s) = (1.8) D(s)Les racines de ces polynmes sont importantes pour
lanalyse de lvolution dessignaux ou du comportement des systmes. On
dnit ainsi4 c 2008 [email protected]
20. 1.1. La transformation de Laplace 1. Les ples de X(s) qui
sont les racines du dnominateur D(s) ; ils dterminent compltement
la partie transitoire (oscillation et amortissement) des rponses
temporelles. 2. Les zros de X(s) qui sont les racines du numrateur
N (s) ; leur eet ninter- vient que sur les amplitudes des
composantes temporelles des signaux x(t).1.1.2. Quelques exemples
introductifsExemple 1Connaissant limage I1 (s) dun courant i1 (t) 2
2 I1 (s) = = (1.9) s2 + 7s + 12 (s + 3) (s + 4)on souhaite connatre
i1 (0+), i1 () et i1 (t).Valeurs initiale et nale Le thorme des
valeurs limites permet dobtenir i1 (0+ ) = s I1 (s)|s = 0 [A] i1 ()
= s I1 (s)|s0 = 0 [A]Recherche des ples Les ples sont les racines
du dnominateur de la fonction-image I1 (s). Dans ce cas, les ples
valent simplement 1 1 p1 = 3 et p1 = 4 sec secvolution temporelle
Le calcul de i1 (t) se fait en dcomposant la fonction I1 (s)en
somme de fractions simples faisant intervenir les ples de I1 (s).
Dans ce cas, cettefonction se dcompose en deux fractions dordre 1
A1 A2 I1 (s) = + s+3 s+4Se souvenant des transformes lmentaires
prsentes plus haut, on voit que lecourant i1 (t) est dcrit par la
somme de deux exponentielles i1 (t) = A1 exp(3t) + A2 exp(4t)que
lon crira plus gnralement sous la forme i1 (t) = A1 exp(t/1 ) + A2
exp(t/2 ) c 2008 [email protected] 5
21. 1. Analyse des systmes linairesCette criture fait apparatre
les constantes de temps 1 1 1 = [sec] et 2 = [sec] 3 4Connaissant
ces constantes de temps, on peut en dduire la dure ttr du
rgimetransitoire 1 ttr 5 max = 5 2 [sec] 3Les valeurs des coecients
A1 et A2 se trouvent par identication des coecientsdes numrateurs :
2 I1 (s) = (s + 3) (s + 4) A1 A2 = + s+3 s+4 (A1 + A2 ) s + 4A1 +
3A2 = (s + 3) (s + 4)On en dduit que A1 + A 2 = 0 4A1 + 3A2 = 2Do
A1 = A2 = 2 2 2 I1 (s) = s+3 s+4Le courant i1 (t) correspondant
cette fonction-image I1 (s) vaut donc i1 (t) = 2 exp(3t) 2 exp(4t)
(1.10)Exemple 2Connaissant limage I2 (s) dun courant i2 (t) s+2 s+2
I2 (s) = = (1.11) s2 + 7s + 12 (s + 3) (s + 4)on dsire calculer i2
(0+), i2 () et i2 (t).Valeurs initiale et nale Le thorme des
valeurs limites permet dobtenir i2 (0+ ) = s I2 (s)|s = 1 [A] i2 ()
= s I2 (s)|s0 = 0 [A]6 c 2008 [email protected]
22. 1.1. La transformation de LaplaceRecherche des ples Les
ples de la fonction-image I2 (s) sont videmment lesmmes que dans
lexemple prcdent 1 1 p1 = 3 et p1 = 4 sec secvolution temporelle
Comme les ples de I2 (s) sont les mmes que ceux delexemple 1, la
fonction I2 (s) se dcompose en deux fractions simples identiquesaux
prcdentes : A1 A2 I2 (s) = + s+3 s+4Do i2 (t) = A1 exp(3t) + A2
exp(4t)Comme les constantes de temps sont les mmes que prcdemment,
la dure durgime transitoire nest pas change. Seules les valeurs des
coecients A1 et A2 vontdistinguer ces deux rponses temporelles.
Courants i (t) et i (t) 1 2 0.2 0.15 i1 (t) [A] 0.1 0.05 0 0.05 0
0.5 1 1.5 2 2.5 1 0.8 i2 (t) [A] 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 t
[sec] Fig. 1.1.: volution des courants i1 (t) et i2 (t)La rduction
un mme dnominateur commun donne s+2 I2 (s) = (s + 3) (s + 4) A1 A2
= + s+3 s+4 (A1 + A2 ) s + 4A1 + 3A2 = (s + 3) (s + 4) c 2008
[email protected] 7
23. 1. Analyse des systmes linairesOn en dduit que A1 + A 2 = 1
4A1 + 3A2 = 2do A1 = 1, A2 = 2 1 2 I2 (s) = + s+3 s+4qui correspond
au courant i2 (t) = 1 exp(3t) + 2 exp(4t) (1.12)Une illustration
des courants i1 (t) et i2 (t) est donne dans la gure 1.1. Comme
onla dj dit, une modication du numrateur, cest--dire des zros de la
fonction-image, ne modie en rien les constantes de temps des
exponentielles constitutivesdu signal ; seules leurs amplitudes
sont changes.Exemple 3On dsire connatre i3 (0), i3 () et i3 (t)
sachant que la fonction-image I3 (s) vaut : 2s2 + 15s + 125 I3 (s)
= (1.13) s (s2 + 10s + 125)Valeurs initiale et nale Le thorme des
valeurs limites permet dobtenir imm-diatement : i3 (0) = sI3 (s) |s
= 2 [A] i3 () = s I(s)|s0 = 1 [A]Recherche des ples Les ples sont
les racines du dnominateur de la fonction-image I3 (s) qui valent 1
p1 = 0, p2,3 = 5 j10 secvolution temporelle Le calcul du courant i3
(t) se fait en dcomposant la fonctionI3 (s) en somme dlments
simples. Comme il y a trois ples, la fonction I3 (s) sedcompose en
trois termes : A1 A2 A3 I3 (s) = + + avec A2 = A 3 s s + 5 + j10 s
+ 5 j108 c 2008 [email protected]
24. 1.1. La transformation de LaplaceLes deux dernires
fractions se ramnent, par rduction un mme dnominateurcommun, une
fraction quadratique de la forme : A1 B(s + 5) + C I3 (s) = + s (s
+ 5)2 + 102Utilisant le thorme de lamortissement et le tableau des
transformes lmentaires,on en dduit que la forme gnrale de i3 (t)
est C i3 (t) = A1 + exp(5t) B cos(10t) + sin(10t) 10que lon crira
de prfrence sous la forme quivalente suivante i3 (t) = A1 + A23
exp(5t) cos (10t + 23 ) Courant i3(t) 2 1.5 i3 (t) [A] 1 0.5 0 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 t [sec] Fig. 1.2.: volution du courant i3
(t)Cette forme de i3 (t) fait apparatre un amortissement de
constante de temps 1 = [sec] 5et une oscillation de pulsation p =
10 [rad/sec]Pour obtenir lexpression exacte du courant, il faut
encore calculer les coecientsA, B et C. En identiant les numrateurs
de la fonction I3 (s), on obtient : 2s2 + 15s + 125 I3 (s) = s (s2
+ 10s + 125) A B(s + 5) + C = + s (s + 5)2 + 102 (A + B) s2 + (10A
+ 5B + C) s + 125A = s (s2 + 10s + 125) c 2008
[email protected] 9
25. 1. Analyse des systmes linairesdo A = 1, B = 1, C=0Ce qui
permet dcrire I3 (s) sous la forme 1 s+5 I3 (s) = + s (s + 5)2 +
10Ce qui correspond au courant suivant i3 (t) = 1 + exp(5t)
cos(10t) (1.14)Conclusions Ici galement, la dynamique du signal est
dcrite par les ples de lafonction-image. On en dduit en particulier
: la dure du rgime transitoire : ttr 5 = 5/5 = 1 [sec] la priode de
loscillation amortie : 2 2 Tp = = 0, 6 [sec] p 10 le nombre de
priodes visibles : ttr 1 sec Nosc = = 1.6 priodes Tp 0.6 secOn
constate aussi que la prsence de deux ples conjugus complexes
conduit untrinme scrivant sous la forme dune somme de deux carrs
parfaits s2 + 10s + 125 = (s + 5)2 + 102dans lesquels on trouve les
parties relle et imaginaire de la paire de ples. Onvoit donc que la
partie relle des ples (5) entrane un amortissement
temporelcorrespondant une translation dans le domaine complexe.
Alors que la partieimaginaire (j10) conduit une oscillation
impliquant une somme de deux carrsparfaits dans le domaine
complexe.1.1.3. Impdances et fonctions de transfert symboliquesTout
circuit constitu de rsistances, capacits et inductances peut tre
modlispar une quation direntielle linaire coecients constants qui
reprsente ainsiun systme linaire et temporellement invariant
(LTI).Dans le cas dun circuit RLC srie conditions initiales nulles
(gure 1.3), lquationdirentielle pour t0 scrit t di 1 u(t) = Ri(t) +
L + i(t)dt (1.15) dt C 010 c 2008 [email protected]
26. 1.2. Rponses temporelles vs ples et zros i(t) R L C u(t)
Fig. 1.3.: Circuit RLC srieSa transforme de Laplace est 1 U (s) =
RI(s) + L sI(s) + I(s) sCdo 1 U (s) = R + sL + I(s) = Z(s) I(s)
(1.16) sCOn retrouve ici la loi dOhm faisant apparatre limpdance
symbolique U (s) 1 Z(s) = R + sL + (1.17) I(s) sCsimilaire
limpdance bien connue en rgime sinusodal permanent U (j) 1 Z(j) = R
+ jL + (1.18) I(j) jC partir de ceci, on voit que toutes les
descriptions de circuits AC possdent leurquivalent symbolique. En
particulier, la rgle du diviseur de tension est applicableet permet
de calculer les fonctions de transfert de quadriples U2 (s) Z2 (s)
G(s) = U1 (s) I2 (s)=0 Z1 (s) + Z2 (s)1.2. Rponses temporelles vs
ples et zros1.2.1. Eets des ples et zrosEn conclusion des exemples
ci-dessus, on retiendra les points suivants : 1. Une fonction-image
X(s) dun signal x(t) scrit sous la forme dun rapport de deux
polynmes N (s) X(s) = (1.19) D(s) 2. Le comportement temporel
transitoire est totalement dtermin par les ples de la fonction X(s)
(racines du dnominateur). 3. chaque ple correspond une
exponentielle dont lexposant est le ple pk multipli par le temps t.
c 2008 [email protected] 11
27. 1. Analyse des systmes linaires 4. La forme gnrale de la
fonction temporelle est donc dtermine par les ples x(t) = Ak
exp(+pk t) (1.20) 5. Les constantes de temps dpendent de la partie
relle des ples 1 k = (1.21) |Re(pk )| 6. Les priodes des
oscillations sont xes par la partie imaginaire des ples 2 Tpk =
(1.22) |Im(pk )| 7. Les racines du numrateur de la fonction-image
sont appeles les zros de la fonction ; leur eet nintervient quau
niveau des amplitudes des fonctions temporelles, mais pas du tout
sur les paramtres dynamiques. 8. Les systmes stables sont
caractriss par des ples partie relle ngative.Une illustration tire
de [2] montre le comportement des systmes suivant lempla-cement de
leurs ples dans le plan complexe (gure 1.4).1.2.2. Eet des
conditions initialesConsidrons comme exemple le circuit RLC srie
pour lequel les conditions initiales(CI) ne sont pas nulles et
calculons lvolution du courant qui le traverse. Pour t 0,lquation
direntielle de ce circuit scrit t di 1 u(t) = Ri(t) + L + i(t)dt +
uC (0) dt C 0Sa transforme de Laplace vaut 1 uC (0) U (s) = RI(s) +
L(sI(s) iL (0)) + I(s) + sC sRegroupant les facteurs de la fonction
I(s), on obtient uC (0) 1 1 + sRC + s2 LC U (s) + L iL (0) = I(s) R
+ sL + = I(s) s sC sCOn voit ainsi que les conditions initiales
jouent le rle de sources de tension dcrivantltat du systme en
linstant t = 0. De cette quation, on peut tirer le courant sC sLC
iL (0) C uC (0) I(s) = 2 LC U (s) + 1 + sRC + s 1 + sRC + s2 LCOn
constate alors que les dnominateurs des deux fractions sont les
mmes et quilsne dpendent pas des conditions initiales. On en dduit
que les ples de la fonction,12 c 2008 [email protected]
28. 1.2. Rponses temporelles vs ples et zrosFig. 1.4.: Position
des ples et rponses temporelles [2] c 2008 [email protected]
13
29. 1. Analyse des systmes linairesdonc la dynamique de la
rponse temporelle, sont indpendants des conditions ini-tiales.
Seules les amplitudes des fonctions temporelles seront modies par
celles-ci.Plus gnralement, on dira que la rponse dun systme est
dcrite par la somme dedeux termes faisant intervenir le signal
dentre X(s), le systme G(s) = N (s)/D(s)et ses conditions initiales
N (s) P (s; CI) Y (s) = X(s) + (1.23) D(s) D(s)o : P (s; CI) est un
polynme dont les coecients dpendent directement des CI et qui
sannule si celles-ci sont nulles ; N (s) et D(s) sont le numrateur
et dnominateur de la fonction dcrivant le systme.Ce rsultat est
important car il montre que la connaissance des ples du
systme,cest--dire du dnominateur de la fonction G(s) dcrivant le
systme sut pourprvoir le comportement temporel de celui-ci.1.3.
Analyse dun systme dordre 11.3.1. Fonction de transfertLexemple
type dun systme dordre 1 est le ltre passe-bas RC (gure 1.5. Dansle
cas o le courant de sortie du quadriple RC est nul, le quadriple
est dcrit parlquation direntielle suivante (CI nulle) t 1 u1 (t) =
R i(t) + u2 (t) avec u2 (t) = uc (t) = i(t) dt (1.24) C 0La
transformation de Laplace de ces deux quations donne I(s) U1 (s) =
R I(s) + U2 (s) avec U2 (s) = sCTirant le courant I(s) = sC U2 (s)
de la deuxime quation et le portant dans lapremire, il vient U1 (s)
= sRC U2 (s) + U2 (s)Sachant la fonction de transfert dun quadriple
est dnie comme le rapport destensions sortie/entre, on retrouve la
fonction de transfert bien connue du circuitRC U2 (s) 1 G(s) =
(1.25) U1 (s) I2 =0 1 + sRCdont la constante de temps = RC dtermine
la dynamique du circuit.De manire gnrale, un systme dordre 1 est
reprsent par une fonction de trans-fert de la forme b0 + b1 s G(s)
= (1.26) a0 + a1 s14 c 2008 [email protected]
30. 1.3. Analyse dun systme dordre 1 R u1(t) C u2(t) Fig. 1.5.:
Circuit lmentaire dordre 1dont la description se fera de prfrence
dans une des deux formes canoniques sui-vantes b 0 1 + 2 s G(s) =
(forme de Bode) (1.27) a0 1 + 1 s b1 s + 1/2 b1 s + 2 G(s) = =
(forme de Laplace) (1.28) a1 s + 1/1 a1 s + 1avec 1 a1 1 b1 1 = = 2
= = 1 a0 2 b01.3.2. Ple et rponse transitoireUn tel systme possde
un ple et un zro qui valent 1 1 p1 = z1 = (1.29) 1 2La rponse
transitoire de ce systme est alors dcrite par une exponentielle 1
yh (t) = A1 et/1 avec 1 = (1.30) |p1 |1.3.3. Rponse
indicielleLimage de la rponse indicielle dun systme est dcrite par
1 Y (s) = X(s) G(s) avec X(s) = (1.31) sCas particulier Dans le cas
dun simple ltre passe-bas, on a 1 1 Y (s) = s 1 + s 1 1/ = s s + 1/
A0 A1 = + s s + 1/ c 2008 [email protected] 15
31. 1. Analyse des systmes linairesavec A0 = 1 = A1 . La
transformation inverse conduit lexpression bien connue t y(t) = 1
exp (1.32) Rponses indicielles dordre 1 1 0.8 0.6 y1 (t) 0.4 0.2 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 5 4 3 y (t) 2 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 t [ms] Fig.
1.6.: Rponses indicielles de deux systmes dordre 1Cas gnral Dans le
cas dun systme dordre 1 quelconque dcrit par b0 + b1 s G(s) =
(1.33) a0 + a1 son peut montrer que, indpendamment de la valeur des
coecients, les rponsesindicielles sont telles que 1. Lvolution
temporelle est entirement dcrite par t y(t) = y(0) + (y() y(0)) 1
exp (1.34) 2. Le temps pour atteindre la valeur y(t) vaut y() y(0)
t = ln (1.35) y() y(t) 3. Le 63% de lvolution temporelle est ralise
au temps t= car on a exp(t/ )|t= = e1 0.37 (1.36)16 c 2008
[email protected]
32. 1.4. Analyse dun systme dordre 2 4. Le temps de monte dni
comme le tempes ncessaire pour passer de 10% 90% de la variation
y() y(0+ ) vaut tr t90% t10% = ln(9) (1.37)Les rponses indicielles
de deux systmes dordre 1 dcrits par 1 1 + s 2 G1 (s) = , G2 (s) =
avec 1 = 1 ms, 2 = 5 ms 1 + s 1 1 + s 1sont illustres dans la gure
1.6.1.4. Analyse dun systme dordre 21.4.1. Fonction de
transfertLexemple type dun systme dordre 2 est le ltre passe-bas
RL-C (gure 1.7. Dans lecas o le courant de sortie est nul, le
quadriple est dcrit par lquation direntiellesuivante (pour laquelle
on admet que les CI sont nulles) di(t) u1 (t) = R i(t) + L + uC (t)
(1.38) dt t 1 u2 (t) = uC (t) = i(t) dt (1.39) C 0La transformation
de Laplace de ces deux quations donne U1 (s) = R I(s) + sL I(s) +
Uc (s) I(s) U2 (s) = UC (s) = sCTirant le courant I(s) = sC U2 (s)
de la deuxime quation et le portant dans lapremire, il vient U1 (s)
= sRC U2 (s) + s2 LC U2 (s) + U2 (s) R L u1(t) C u2(t) Fig. 1.7.:
Circuit lmentaire dordre 2 c 2008 [email protected] 17
33. 1. Analyse des systmes linairesSachant que la fonction de
transfert dun quadriple est dnie comme le rapportdes tensions de
sortie et dentre, on retrouve la fonction de transfert bien
connuedu ltre passe-bas U2 (s) 1 G(s) = (1.40) U1 (s) I2 =0 1 + sRC
+ s2 LCComme un systme dordre 2 peut reprsenter autre chose quun
simple circuit RLC,on prfre travailler avec une expression plus
gnrale pour le dnominateur 2 1 s s D(s) = 1 + + (1.41) Q0 n
nfaisant intervenir la pulsation naturelle du systme n et le
facteur de qualit Q0 ouson inverse, le coecient damortissement 1
(1.42) 2Q0Ce qui donne 1 1 G(s) = 2 = 2 (1.43) 1 s s s s 1+ Q0 n +
n 1 + 2 n + nDe manire gnrale, un systme dordre 2 est reprsent par
une fonction de trans-fert de la forme a0 + a1 s + a2 s 2 G(s) =
(1.44) b 0 + b 1 s + b 2 s2Pour ce qui suit, on se contentera
danalyser les systmes de type passe-bas dcritspar 1 G(s) = 1 + b 1
s + b 2 s2dont la description se fera dans une des deux formes
canoniques suivantes 1 G(s) = 2 (forme de Bode) (1.45) 1 s s 1+ Q0
n + n 2 n G(s) = 2 2 (forme de Laplace) (1.46) s + 2n s + n1.4.2.
Ples et rponse transitoireLes ples dun systme dcrit par cette
fonction de transfert G(s) valent p1,2 = n (n )2 n = n 2 2 1
(1.47)Selon la valeur de , on voit que ces ples peuvent tre rels,
complexes ou imagi-naires. Pour tudier le comportement temporel du
systme, il faut donc considrerles trois situations suivantes.18 c
2008 [email protected]
34. 1.4. Analyse dun systme dordre 2 Rponses indicielles 1.5
1.5 1.5 1 1 1 y(t) 0.5 0.5 0.5 = 0.2 = 0.4 = 0.6 0 0 0 0 10 20 0 10
20 0 10 20 1.5 1.5 1.5 1 1 1 y(t) 0.5 0.5 0.5 = 0.8 =1 = 1.2 0 0 0
0 10 20 0 10 20 0 10 20 1.5 1.5 1.5 1 1 1 y(t) 0.5 0.5 0.5 = 1.4 =
1.6 = 1.8 0 0 0 0 10 20 0 10 20 0 10 20 temps temps temps Fig.
1.8.: Rponses indicielles dun systme dordre 2 en fonction de >1
: les ples sont rels distincts La rponse transitoire du systme est
alorsdcrite par 1 yh (t) = A1 et/1 + A2 et/2 avec 1,2 = (1.48)
|p1,2 |La dure du rgime transitoire ttr vaut alors ttr 5 max (1.49)
= 1 : les ples sont rels confondus La rponse transitoire du systme
estalors dcrite par 1 1 yh (t) = A1 et/ (1 + A2 t) avec = = (1.50)
|p1 | |p2 |Dans ce cas, la dure du rgime transitoire vaut ttr 7
(1.51)0 35 [1/sec]; Ka > 1.7 103Reg 4 Considrant un systme dcrit
par (s + z) 1 Go (s) = Ka Ga1 (s) Ga2 (s) = Ka (s + a) s(s + 3)que
lon boucle sur lui-mme avec une raction ngative, trouvez les
valeurs deKa , z et a pour que la rponse indicielle ait un
dpassement de 10% et un tempsdtablissement t5% dune seconde.130 c
2008 [email protected]
146. 3.10. ExercicesReg 5 Considrant le schma fonctionnel dun
asservissement de vitesse (gure3.20) constitu dun amplicateur de
gain Ka = 5 [V/V], dune gnratrice tachy-mtrique de gain Kg = 2
V/1000 rpm et dun moteur reprsent par 1 Kmot = 5 [(rad/sec)/V] Gmot
(s) = Kmot avec 1 + s mot mot = 10 [msec] 1. Exprimez en unit SI la
valeur du gain DC en boucle ouverte Kbo . 2. Recherchez ce que
valent, en boucle ferme, la dure du rgime transitoire et la vitesse
permanente du moteur (en rpm) lorsque la consigne w(t) vaut 10 [V].
w(t) e(t) u(t) (t) u(t) Ka Gmot(s) Kg Fig. 3.20.: Schma fonctionnel
dun asservissement de vitesseReg 6 Considrant le schma fonctionnel
dune rgulation de position ralise avecun moteur pralablement
asservi en vitesse (gure 3.21) : 1. Calculez sa fonction de
transfert en boucle ferme. 2. Recherchez la valeur du gain Ka pour
que la rponse indicielle soit optimum lorsque rad/sec mV K1 = 3 ,
Kg = 2 , 1 = 10 msec V rad/sec Kg W K1 1 Y Ka s 1+s1 Fig. 3.21.:
Schma fonctionnel dun asservissement de positionReg 7 On sintresse
ici un problme classique de la rgulation automatique :
lasustentation magntique dune sphre. La gure 3.22 en prsente une
photographieavec son schma technologique. Lquation dcrivant le
mouvement de la sphre esttrs simple : mY (t) = mg + F (Y (t), I(t))
c 2008 [email protected] 131
147. 3. lments de rgulation automatiqueLa dicult du problme
rside dans le fait que la force F (Y, I) dpend non linaire-ment de
la position de la sphre et du courant circulant dans la bobine. On
doit donclinariser cette fonction autour dun point de
fonctionnement {Y0 , I0 }. En dcrivantles variations de la position
et du courant autour de ces valeurs, il vient Y (t) = Y0 + y(t)
I(t) = I0 + i(t) F (Y (t), I(t)) = F (Y0 , I0 ) + F (y(t), i(t)) F0
+ k1 y(t) + k2 i(t)En portant ce rsultat dans lquation de Newton,
on obtient mY (t) = m(t) = mg + F0 + k1 y(t) + k2 i(t) yComme
autour du point de fonctionnement la force F0 quilibre le poids mg
, ontrouve que le mouvement de la sphre est dcrit par m(t) = +k1
y(t) + k2 i(t) y I0 + i(t) F(Y(t),I(t)) Y0 + y(t) mg Fig. 3.22.:
Sustentation magntique (ralisation heig-vd)Pour maintenir la sphre
une hauteur donne, il faut la placer dans une boucle dergulation
contenant un correcteur qui gnre le courant circulant dans la
bobine.Ce correcteur, de type proportionnel-driv, est dcrit par
lquation de(t) i(t) = Kp e(t) + Td dttant donn ces pralables, on
demande : 1. Calculez la fonction de transfert du systme Ga (s) = Y
(s)/I(s) et montrez que le systme seul est instable.132 c 2008
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148. 3.10. Exercices 2. Calculez la fonction de transfert du
correcteur Gc (s) = I(s)/E(s). 3. Dessinez le schma fonctionnel du
systme asservi ; indiquez la position des variables w(t), e(t),
i(t), y(t) et calculez sa fonction de transfert Gf (s) = Y (s)/W
(s). 4. Montrez que le systme boucl est stable si Kp est susamment
grand. Re- marque : un systme dordre 2 est stable si tous les
coecients du dnominateur de G(s) sont du mme signe. 5. Le but de la
rgulation est de trouver les paramtres du correcteur de manire
satisfaire un cahier des charges. Dans notre cas, on peut trouver
Kp et Td de manire ce que le systme soit susamment rapide (n ) avec
un amor- tissement satisfaisant ( ). Pour le voir, crivez Gf (s)
sous forme canonique et montrez que KP et Td dpendent des valeurs
choisies pour n et de la manire suivante 2 m n + k1 2n m Kp = , Td
= k2 Kp k 2 6. Admettant que les paramtres de la sustentation
magntique valent N N m = 0.012 kg, k1 = 12 , k2 = 0.66