Cours de Terminale S Géométrie et probabilités...Chapitre A Nombres complexes - Forme algébrique Ce que dit le programme Contenus Modalités de mise en oeuvre Commentaires Nombres

Cours de Terminale S

Géométrie et probabilités

Éric ROUGIER

21 mai 2015

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Table des matières

A Nombres complexes - Forme algébrique 5I - Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1. Forme algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62. Conjugué d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

II - Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71. Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72. Premiers calculs géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83. Interprétation géométrique du conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

III - Calculs à l’aide du conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91. Propriétés des conjugués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92. Inverse et quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

IV - Résolution dans C d’équations du second degré à coefficients réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111. Deux exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112. Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

B Probabilités : Conditionnement et indépendance 13I - Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142. Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

II - Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151. Partitionnement de l’univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152. Arbres pondérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

III - Évenements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

C Droites et plans de l’espace 19I - Règles d’incidence : positions relatives de droites et de plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1. Position relative des plans et des droites de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202. Droites parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213. Plans parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214. Droites et plans parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

II - Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231. Orthogonalité de deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232. Droite perpendiculaire à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

D Échantillonnage et estimation 25I - Échantillonnage et loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1. Description de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272. Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

II - Théorème de Moivre-Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29III - Échantillonnage et intervalle de fluctuation asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31IV - Estimation et intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3

Terminale S Chapitre

E Vecteurs de l’espace 35I - Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36II - Vecteurs coplanaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36III - Repères de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1. Repérage dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372. Représentation paramétrique d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383. Représentation paramétrique d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

F Nombres complexes - Forme trigonométrique 41I - Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1. Définition, interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422. Propriétés des modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

II - Forme trigonométrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421. Arguments d’un nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422. Forme trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433. Propriétés des arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

III - Forme exponentielle d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

G Produit scalaire dans l’espace 47I - Rappels de première sur le produit scalaire dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1. Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482. Droites et cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

II - Produit scalaire dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501. Repère orthonormé de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502. Définition du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

III - Orthogonalité dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521. Vecteurs orthogonaux, vecteurs normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522. Droites perpendiculaires (ou orthogonales) à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533. Plan perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544. Équations cartésiennes d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

H Lois à densité 55I - Variables aléatoires à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57II - Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58III - Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58IV - Lois normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

1. Loi normale N (0, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602. Loi normale N (µ, σ2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633. Lien entre loi binomiale et loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

Chapitre

A

Nombres complexes - Forme algébrique

Ce que dit le programme

Contenus Modalités de mise en oeuvre Commentaires

Nombres complexesForme algébrique, conjugué. Somme, pro-duit, quotient.

• Effectuer des calculs algébriques avec desnombres complexes.

On introduit dans ce chapitre des élémentslui donnant une dimension historique.

Équation du second degré à coefficientsréels.

• Résoudre dans C une équation du seconddegré à coefficients réels.

Représentation géométrique. • Représenter un nombre complexe par unpoint ou un vecteur.

Le plan est muni d’un repère orthonormé(O; #»u , #»v ).

Affixe d’un point, d’un vecteur. • Déterminer l’affixe d’un point ou d’unvecteur.

5

Terminale S Chapitre A

I - Définitions

1. Forme algébrique

Théorème 1 AdmisIl existe un ensemble noté C, appelé ensemble des nombres complexes qui possède les propriétés suivantes :

• il contient l’ensemble R des nombres réels ;

• l’addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les règles decalcul restent les mêmes ;

• il existe un nombre complexe noté i tel que i2 = −1 ;

• tout nombre complexe z s’écrit de manière unique sous la forme z = a+ ib où a et b sont des réels.

Exemples 1

1. Donner trois exemples de nombres complexes : Solution z = −2 + 5i, z′ = −3i et z′′ =√2 sont des nombres complexes ;

2. Déterminer les nombres complexes solutions de l’équation x2 + 1 = 0. Solution

i et i sont les deux solutions complexes de l’équation x2 + 1 = 0 car x2 + 1 = (x− i)(x+ i) ;

3. On considère les nombres complexes z = 1 + 2i et z′ = −2 + 3i.

Écrire sous la forme algébrique les nombres z + z′, zz′, z2.

Solution

• (1 + 2i) + (−2 + 3i) = (1− 2) + (2 + 3)i = −1 + 5i ;

• (1 + 2i)(−2 + 3i) = −2 + 3i − 4i+ 6i2 = (−2− 6) + (3− 4)i = −8− i ;

• z2 = 12 + 2× 1× 2i + (2i)2 = 1 + 4i − 4 = −3 + 4i ;

4. Développer les expressions (a + ib)2 et (a + ib)(a − ib). Solution

(a+ ib)2 = a2 − b2 + 2abi et (a+ ib)(a− ib) = a2 + b2.

Définition 1L’écriture z = a+ ib est appelée forme algébrique du nombre complexe z, et :

• a est la partie réelle de z, notée Re(z) ;

• b est la partie imaginaire de z, notée Im(z).

Remarques :

• les parties réelles et imaginaires sont des nombres réels ;

• z est un nombre réel si, et seulement si Im(z) = 0 ;

• si Re(z) = 0 alors on dit que z est un imaginaire pur.

Exemple 2

On considère les nombres complexes z :√3 + i;−4i; 2i2; 0;−2i2 + 3i.

Déterminer Re(z) et Im(z).

Solution

• Re(√3 + i) =

√3 et Im(

√3 + i) = 1 ;

• Re(−4i) = 0 et Im(−4i) = −4 ;

• 2i2 n’est pas sous la forme algébrique : 2i2 = 2× (−1) = −2, d’où Re(2i2) = −2 et Im(2i2) = 0 ;

• Re(0) = 0 et Im(0) = 0 (0 est l’unique nombre complexe qui est à la fois un réel et un imaginaire pur) ;

• −2i2 + 3i = −2× (−1) + 3i = 2 + 3i, d’où Re(−2i2 + 3i) = 2 et Im(−2i2 + 3i) = 3.

Théorème 2Soit z, z′ ∈ C tels que z = a+ ib et z′ = a′ + ib′ alors :

• z = 0 si, et seulement si a = 0 et b = 0 ;

• z = z′ si, et seulement si a = a′ et b = b′.

Démonstration

Cette propriété découle de l’unicité de l’écriture d’un nombre complexe sous forme algébrique.


Terminale S Nombres complexes - Forme algébrique

Exemple 3

Résoudre dans C l’équation 2z + 3 = iz + i.Solution 2z + 3 = iz + i ⇔ (2− i)z = −3 + i ⇔ (4 + 1)z = (−3 + i)(2 + i) ⇔ 5z = −7− i ⇔ z = −7

5− 1

5i. Donc S =

−7

5− 1

5i

.

2. Conjugué d’un nombre complexe

Définition 2On appelle conjugué du nombre complexe z = a + ib (avec a ∈ R et b ∈ R) le nombre complexe noté z deforme algébrique a− ib. On écrit z = a− ib.

Exemples 4

1. Écrire sous forme algébrique les nombres complexes 1− i, 3 + 2i, 2 et i. Solution

1− i = 1 + i, 3 + 2i = 3− 2i, 2 = 2 et i = −i.

2. Résoudre dans C l’équation z2 = iz.

Solution

On pose z = a+ ib avec a, b réels. On a z2 = a2 − b2 et iz = b+ ia.

D’où z2 = iz ⇔ßa2 + 2abi − b2 = b

a = 2b⇔ßa = 0

b = 0ou

ßa = 0

b = −1ou

b =1

2

a =

√3

2

ou

b =1

2

a = −√3

2

.

D’où S= 0;−i;

√3

2+

1

2i;

√3

2− 1

2i .

II - Interprétation géométrique

1. Représentation graphique

Le plan est rapporté au repère orthonormé direct (O; #»u , #»v ).

Définition 3À tout nombre complexe z = a + ib, on associe le point M decoordonnées (a; b) (on le note souvent M(z)), on dit que :

• le point M est le point image du nombre complexe z.On dit que z est l’affixe de M , on la note souvent zM .

• le vecteur #»ω = a #»u + b #»v est le vecteur image du nombrecomplexe z.On dit que z est l’affixe de #»ω, on la note souvent z #»w ;

• le plan est alors appelé le plan complexe. O #»u

#»v

Re(z)

Im(z)

b

a

M(z)

#»ω

Remarques :

• un nombre réel est représenté par un point de l’axe des abscisses, cet axe est appelé axe des réels ;

• un nombre imaginaire pur est représenté par un point de l’axe des ordonnées appelé axe des imaginaires.



Exemple 5

Placer dans le plan complexe les point Mk d’affixes respectives zk : z1 = 1 + 3i ; z2 = 3 + i ; z3 = −1 + 2i ;z4 = 2− i ; z5 = −2i ; z6 = i ; z7 = −2 ; z8 = −i − 3.

Solution

O #»u

#»v

Re(z)

Im(z)

×

×

×

×

×

×

×

×

M1

M6

M3

M5

M4

M2

M7

M8

2. Premiers calculs géométriques

Propriété 1Soient #»s et

#»

t d’affixes respectives z #»s et z #»

t et k un réel. Alors :

(1) #»s +#»

t a pour affixe z #»s + z #»

t :z #»s+

#»

t = z #»s + z #»

t .

(2) k #»s a pour affixe kz #»s pour tout réel k :zk #»s = kz #»s .

Démonstration

(1) si z = a + ib et z′ = a′ + ib′ alors #»s (a; b) et#»

t (a′; b′) d’où #»s +#»

t (a + a′; b + b′), par suite ce vecteur a pour affixe(a+ a′) + i(b+ b′) = z #»s + z #»

t ;

(2) il suffit de remarquer que k(a+ ib) = ka+ i(kb) et que k #»s (ka; kb) ;

Propriété 2Soit A et B deux points d’affixes respectives zA et zB.

(1) Le# »

AB a pour affixe zB − zA :z # »

AB = zB − zA.

(2) Si I est le milieu du segment [AB], alors I a pour affixezA + zB

2:

zI =zA + zB

2.

Démonstration

(1) Puisque# »

AB =# »

OB − # »

OA l’affixe de# »

AB est zB − zA ;

(2) Les coordonnées de I sont(xA + xB

2;yA + yB

2

)

, son affixe est alorszA + zB

2;

Remarque : M a pour affixe z et M ′ a pour affixe z′ si, et seulement si le pointS d’affixe z + z′ est le quatrième point du parallélogramme OMSM ′.

O

#»u#»v

×

×M(z)

S(z + z′)

M ′(z′)



3. Interprétation géométrique du conjugué

Dans le plan complexe, le point M ′ d’affixe z est l’imagedu point M d’affixe z par la symétrie par rapport à l’axedes abscisses.

×

××

×M(z)M2(−z)

M1(−z) M ′(z)

O#»u

#»v

III - Calculs à l’aide du conjugué

1. Propriétés des conjugués

Propriété 3Pour tout nombre complexe de forme algébrique z = a+ ib, on a :

• Re(z) =z + z

2;

• Im(z) =z − z

2i;

• z = z ;

• zz = a2 + b2.

Démonstration

• z + z

2=

a+ ib+ a− ib2

= a = Re(z) ;

• z − z

2i=

a+ ib− a+ ib2i

=2ib2i

= b = Im(z) ;

• z = a− ib = a+ ib = z ;

• zz = (a+ ib)(a− ib) = a2 − (ib)2 = a2 + b2.

Conséquences• z est un réel si, et seulement si z = z ;

• z est un imaginaire pur si, et seulement si z = −z ;

• z = 0 si, et seulement si zz = 0.

Propriété 4z et z′ sont deux complexes et n un entier naturel non nul.

• z + z′ = z + z′ ;

• zz′ = z × z′ ;

• zn = (z)n ;



Démonstration

Soit z et z′ deux nombres complexes de forme algébrique a+ ib et a′ + ib′ respectivement.

• Comme z + z′ = (a+ a′) + i(b+ b′), alors z + z′ = (a+ a′)− i(b+ b′), donc z + z′ = z + z′.

• Comme zz′ = (aa′ − bb′) + i(ab′ + a′b), alors zz′ = (aa′ − bb′)− i(ab′ + a′b).Or, z × z′ = (a− ib)(a′ − ib′) = aa′ − iab′ − ia′b− bb′ = (aa′ − bb′)− i(ab′ − a′b). Donc zz′ = z × z′.

• Par récurrence, lorsque n = 1, on a z1 = z = z1.

Supposons que pour un entier k > 1 on ait : zk = (z)k.Or, zk+1 = zk × z = zk × z. D’après l’hypothése de récurrence, on a zk+1 = zk × z = zk+1.Donc pour tout entier naturel n 6= 0, on a : zn = (z)n

Exemple 6

a, b et c sont des nombres réels.Montrer que si z0 est solution de l’équation az2 + bz + c = 0 alors z0 est aussi solution de cette équation.

SolutionPuisque az20 + bz0 + c = 0, on a aussi az20 + bz0 + c = 0 et d’après la propriété 3 : az02 + bz0 + c = 0 car a, b et c sont desréels. Par conséquent z0 est solution de cette équation.

2. Inverse et quotient

Théorème 3

Tout nombre complexe non nul z de forme algébrique admet un inverse noté1

z, de plus :

1

z=

z

zz.

Démonstration

Soit z un nombre complexe non nul, on a zz ∈ R∗, de plus z ×

(z

zz

)

= z × 1

zz× z =

1

zzzz = 1.

Par conséquent z admet pour inverse le nombrez

zz.

Exemple 7

Déterminer l’écriture algébrique de l’inverse du nombre complexe 2 − i. Solution

1

2− i=

1(2 + i)

(2− i)(2 + i)=

2 + i

4 + 1=

2

5+

1

5i ;

Définition 4Soit z et z′ deux nombres complexes avec z′ 6= 0.

Le quotient de z par z′ est le nombre compexez

z′= z × 1

z′.

Exemple 8

Déterminer l’écriture sous forme algébrique du nombre complexe :1 + i1− 3i

. Solution

1 + i

1− 3i=

(1 + i)(1 + 3i)

(1− 3i)(1 + 3i)=

1 + 3i + i + 3i2

1 + 9=

−2 + 4i

10= −1

5+

2

5i.

Propriété 5z et z′ sont deux nombres complexes avec z non nul. Alors :

Å1

z′

ã=

1

z′etÅz

z′

ã=

z

z′.

Démonstration

Si z′ 6= 0, alors z′ 6= 0. Comme1

z′× z′ = 1, on a

1

z′× z′ = 1, d’où

(1

z′

)

× z′ = 1. Donc(1

z′

)

=1

z′.

De plus,Ä zz′

ä=(

z × 1

z′

)

= z ×(1

z′

)

= z × 1

z′=

z

z′.



IV - Résolution dans C d’équations du second degré à coefficients réels

1. Deux exemples

• Résolution dans C de l’équation z2 + 2 = 0

Solution

z2 + 1 = 0 ⇔ z2 − (i√2)2 = 0

⇔ (z − i√2)(z + i

√2) = 0

⇔ z = i√2 ou z = −i

√2.

Donc S= −i√2; i

√2.

• Résolution dans C de l’équation z2 + 2z + 30 = 0

Solution

z2 + 2z + 30 = 0 ⇔ z2 + 2z + 1− 1 + 30 = 0

⇔ (z + 1)2 + 29 = 0

⇔ (z + 1)2 − (i√29) = 0

⇔ (z + 1 + i√29)(z + 1− i

√29) = 0.

Donc S= −1− i√29;−1 + i

√29.

2. Cas général

Théorème 4Soit l’équation az2 + bz + c = 0, d’inconnue z, où a, b et c sont des réels et a 6= 0.Le discriminant de cette équation du second degré est ∆ = b2 − 4ac.

• Si ∆ > 0, l’équation admet deux solution réelles distinctes :

z1 =−b−

√∆

2aou z2 =

−b+√∆

2a;

• Si ∆ = 0, l’équation admet une unique solution réelle double : z0 =−b

2a;

• So ∆ < 0, l’équation admet deux solutions complexes conjuguées distinctes :

z1 =−b− i

√−∆

2aou z2 =

−b+ i√−∆

2a.

Démonstration

On considère l’équation az2 + bz + c = 0, où a, b et c sont des réels et a 6= 0 et l’on pose f(z) = az2 + bz + c ; la forme canoniquede f(z) est :

f(z) = a

ï(z +

b

2a

)2

− ∆

4a

ò, avec ∆ = b2 − 4ac.

• Si ∆ > 0, on est dans le cas étudié en Première S.

• Si ∆ < 0, alors : ∆ = −(−∆) = i2(√−∆)2 = (i

√−∆)2 ar −∆ > 0.

Ainsi f(z) = a

ñ(

z +b

2a

)2

−Å

i√−∆

2a

ã2ô= a

Åz +

b− i√−∆

2a

ãÅz +

b+ i√−∆

2a

ã.

Par suite, puisque a 6= 0, f(z) = 0 ⇔ z =−b+ i

√−∆

2aou z =

−b− i√−∆

2a.



Exemple 9

Résoudre dans C l’équation z2 + 2z + 3 = 0.

Solution

Le discriminant de l’équation est ∆ = 4− 12 = −8 = (2i√2)2.

L’équation admet deux solutions complexes conjuguées :

z1 =−2 + i

√2

2= −1 + i

√2 et z2 = z1 = −1− i

√2.

L’ensemble des solution est −1− i√2;−1 + i

√2.


Chapitre

B

Probabilités : Conditionnement et indé-pendance


Capacités attendues Commentaires

Conditionnement et indépendanceConditionnement par un événement deprobabilité non nulle.

Notation PA(B).

• Construire un arbre pondéré en lien avecune situation donnée.• Exploiter la lecture d’un arbre pondérépour déterminer des probabilités.• Calculer la probabilité d’un événe-ment connaissant ses probabilités condi-tionnelles relatives à une partition de l’uni-vers.

On représente une situation à l’aide d’unarbre pondéré ou d’un tableau. On énonceet on justifie les règles de construction etd’utilisation des arbres pondérés.

Un arbre pondéré correctement construitconstitue une preuve.Le vocabulaire lié à la formule des proba-bilités totales n’est pas un attendu du pro-gramme, mais la mise en œuvre de cetteformule doit être maîtrisée.

Indépendance de deux événements. Démontrer que si deux événements Aet B sont indépendants, alors il en est demême de A et B.

Cette partie du programme se prêteparticulièrement à l’étude de situationsconcrètes.

⋄ Des activités algorithmiques sont menéesdans ce cadre, notamment pour simulerune marche aléatoire.

[SVT] Hérédité, génétique, risque géné-tique.

13

Terminale S Chapitre B

I - Probabilités conditionnelles

Soit Ω = e1; e2; ...; en un univers fini sur lequel est défini une loi de probabilité.

1. Définitions

Définition 1Soit A ⊂ Ω un événement tel que P (A) 6= 0.Pour tout événement B ⊂ Ω, on appelle probabilité conditionnelle de B sachant A le réel noté PA(B)défini par :

PA(B) =P (A ∩B)

P (A).

Théorème 1Lorsque à chaque issue x ∈ Ω on associe le réel PA(x), on définit une loi de probabilité sur Ω et PA est laprobabilité associée à cette loi.

DémonstrationIl faut démontrer que :

(i) PA(x) > 0 pour tout x ∈ Ω.

(ii)∑

x∈Ω

PA(x) = 1.

Allons y :

(i) Soit x ∈ Ω, PA(x) =P (A ∩ x)

P (A). Or, P (A ∩ x) > 0 et P (A) > 0 car P est une probabilité, d’où PA(x) > 0.

(ii)∑

x∈Ω

PA(x) =∑

x∈A

PA(x) +∑

x∈A

PA(x) car Ω = A ∪A et A ∩ A = ∅ (on dit que A et A forment une partition de Ω).

Or, si x ∈ A alors A ∩ x = x et PA(x) =P (x)P (A)

. Si x ∈ A alors A ∩ x = ∅ et PA(x) =P (∅)

P (A)= 0.

Donc∑

x∈Ω

PA(x) =∑

x∈A

P (x)P (A)

=1

P (A)

∑

x∈A

P (x) = 1

P (A)P (A) = 1.

Exemple 1

On lance un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6. On considère les événements suivants :A : «le résultat est pair» ; B : «le résultat est un multiple de 3 ».Calculer PA(2), PA(5) et PA(B).

Solution

On a : PA(2) = P (A) ∩ 2P (A)

=1/6

1/2=

1

3car A ∩ 2 = 2.

PA(5) = 0

1/2car 5 ∩A = ∅ et PA(B) =

P (A ∩B)

P (A)=

1/6

3/6=

1

3.

2. Propriétés

Propriété 1Soit A et B deux événements de Ω tels que P (A) 6= 0 et P (B) 6= 0.On a : P (A ∩B) = PA(B)× P (A) = PB(A)× P (B).

Démonstration

PA(B) =P (A ∩B)

P (A)et PB(A) =

P (B ∩ A)

P (B).


Terminale S Probabilités : Conditionnement et indépendance

Propriété 2Soit A, B et C trois événements de Ω avec P (A) 6= 0.

(1) Si A et B sont incompatibles alors PA(B) = 0.

(2) PA(A) = 1.

(3) Si C ⊂ B alors PA(C) 6 PA(B).

(4) PA(B ∪ C) = PA(B) + PA(C)− PA(B ∩ C).

(5) PA(B) + PA(B) = 1.

Démonstration(1) A et B sont incompatibles lorsque A ∩ B = ∅. Dans ce cas P (A ∩ B) = 0 et PA(B) = 0. (2), (3) et (4) résultent du fait que

PA est une probabilité.

Exemple 2

On considère une urne contenant 4 boules bleues et 5 boules noires indiscernables au toucher.On effectue deux tirages successifs d’une boule sans remise et on considère les événements suivants :

A : «la première boule tirée est bleue» ;

B : «la deuxième boule tirée est noire».

Calculer P (A), PA(B), puis P (A ∩B).

Solution

On est dans une situation d’équiprobabilité, donc P (A) =4

9.

Si A est réalisé alors il reste 3 boules bleues et 5 noires dans l’urne, c’est-à-dire 5 boules noires sur 8 boules. Donc PA(B) =5

8.

On en déduit : P (A ∩B) = PA(B)× P (A) =4

9× 5

8=

5

18.

II - Formule des probabilités totales

1. Partitionnement de l’univers

Définition 2On dit que k événements A1, A2 . . . , Ak (avec k > 2) forment une partition de l’univers Ω lorsque les troisconditions suivantes sont vérifiées :

(1) pour tout i ∈ 1; 2; . . . ; k, Ai 6= ∅ ;

(2) A1 ∪A2 ∪ . . . ∪Ak = Ω ;

(3) pour tout i, j ∈ 1; 2; . . . ; k avec i 6= j, Ai ∩Aj = ∅ (les événements Ai et Aj sont incompatibles).

A1

A2

A3

Ak

Ω

Remarques :

(1) Si A 6= Ω et A 6= ∅ alors A et A forment un partition de Ω.

(2) Si A1, A2, . . . , Ak forment une partition de Ω alors P (A1) + P (A2) + . . .+ P (Ak) = 1.



Théorème 2 Formule des probabilités totalesSoit A1, A2, . . . , Ak, k événements de probabilité non nulle formant une partition de Ω. Alors pour toutévénement B de Ω, on a :

P (B) = P (A1 ∩B) + P (A2 ∩B) + . . .+ P (Ak ∩B)= PA1(B)× P (A1) + PA2(B)× P (A2) + . . .+ PAk

(B)× P (Ak)

Démonstration

A1

A2

A3

Ak

Ω

B

On a : B = (A1 ∩B) ∪ (A2 ∩B) + . . .+ (Ak ∩B).Or, pour i, j ∈ 1; 2; . . . ; k avec i 6= j, Ai et Aj sont incompatibles, doncAi ∩B et Aj ∩B aussi.Par suite, il vient :

P (B) = P (A1 ∩B) + P (A2 ∩B) + . . .+ P (Ak ∩B)= PA1

(B)× P (A1) + PA2(B)× P (A2) + . . .+ PAk

(B)× P (Ak)d’après la propriété 1.

Exemple 3

Un client entre dans une animalerie ayant deux aquariums que l’on notera A et B. Dans l’aquarium A, il y a5 poissons rouges et 6 noirs, dans l’aquarium B, il y en a 9 rouges et 3 noirs.Le client choisi un aquarium, puis pèche un poisson au hasard dans cet aquarium. La probabilité que le client

choisisse l’aquarium A est3

5.

Calculer la probabilité que le client achette un poisson rouge.

Solution

L’univers Ω est constitué des 23 poissons contenus dans les deux aquariums. On note les événements suivants :

A : «le poisson provient de l’aquarium A» ;

B : «le poisson provient de l’aquarium B». ;

R : «le poisson est rouge ».

On cherche P (R) et on connait P (A) =3

5et P (B) =

2

5. Il est clair que les événements A et B forment une partition de Ω.

D’après la formule des probabilités totales : P (R) = PA(R)× P (A) + PB(R)× P (B)

=5

11× 3

5+

9

12× 2

5=

63

110≈ 0, 57

2. Arbres pondérés

Voici un exemple d’arbre pondéré d’une expérience aléatoire dont les événements A,B et C forment une partition de Ω. Les événements E et E forment une partition deA, de B et de C. Sur les branches de l’arbre, on note la probabilité de l’événementqui se trouve à son extrémité (pour les branches primaires) ou la probabilité condi-tionnelle de l’événement qui se trouve à son extrémité sachant que l’événement situéà son origine a été réalisé.Les règles suivantes doivent-être vérifiées (elles sont justifiées par la formule desprobabilités totales) :

(1) La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d’un même nœud estégale à 1.

Par exemple : PA(E) + PA(E) =P (A ∩E) + P (A ∩E)

P (A)=

P (A)

P (A)= 1.

(2) La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités figurant sur sesbranches.

Par exemple : P (A ∩E) = P (A)× PA(E).

(3) La probabilité d’un événement est la somme des probabilités de tous les cheminsmenant à un sommet où apparaît cet événement.Par exemple : P (E) = P (A ∩E) + P (B ∩ E) + P (C ∩ E)

= P (A)× PA(E) + P (B)× PB(E) + P (C)× PC(E).

b

b

A

P (A)

bEPA(E)

bEPA(E)

b

BP (B)bE

PB(E)

bEPB(E)

b

CP (C)bE

PC(E)

bEPC(E)


Terminale S Probabilités : Conditionnement et indépendance

Exemple 4

Représenter la situation décrite dans l’exemple des aquariums par un arbre pondéré.

Solution b

b

A

3/5

bR5/11

bR6/11

b

B2/5 bR

9/12

bR3/12

III - Évenements indépendants

Définition 3On dit que deux événements A et B de Ω sont indépendants pour la probabilité P lorsque :

P (A ∩B) = P (A)× P (B).

Remarque : Pour tout événement A ⊂ Ω :

• A et Ω sont indépendants car P (A ∩ Ω) = P (A) = P (A)× P (Ω).

• A et ∅ sont indépendants car P (A ∩∅) = P (∅) = 0 = P (A)× P (∅).

Exemple 5

On lance un dé équilibré à six faces et on note le numéro de sa face supérieure. On considère les événementssuivants :

A : «le numéro est un nombre pair » ;

B : «le numéro est 2» ;

C : «le numéro est un nombre supérieur ou égal à 5».

Les événements A et B sont-ils indépendants ? Et les événements A et C ?

Solution

On a : P (A) =1

2; P (B) =

1

6; P (C) =

1

3. De plus,

P (A ∩ B) =1

6et P (A)× P (B) =

1

12donc A et B ne sont pas indépendants.

P (A ∩ C) =1

6et P (A)× P (C) =

1

6donc A et C sont indépendants.

Propriété 3Soit A et B deux événements de Ω de probabilité non nulle.

(1) A et B sont indépendants si, et seulement si PA(B) = P (B).

(2) A et B sont indépendants si, et seulement si PB(A) = P (A).

Démonstration

(1) A et B sont indépendants ⇔ P (A ∩B) = P (A)× P (B) ⇔ P (A ∩B

P (B)= P (A) ⇔ PB(A) = P (A).

(2) Idem.

Propriété 4Si A et B sont deux événements indépendants alors A et B ; A et B ou bien A et B sont indépendants.

Démonstration

D’après la formule des probabilités totales P (A) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B). Si A et B sont indépendants, on a P (A ∩ B) =

P (A)−P (A)×P (B) = P (A)(1−P (B)) = P (A)×P (B). En remplaçant A par B, on obtient le deuxième résultat et en utilisant

ce résultat avec A et B on obtient le troisième résultat.




Chapitre

C

Droites et plans de l’espace


Capacités attendues Commentaires

Droites et plansPositions relatives de droites et de plans :intersection et parallélisme.

• Étudier les positions relatives de droiteset de plans.

Le cube est une figure de référence pourla représentation des positions relatives dedroites et de plans.

Orthogonalité :

— de deux droites ;

— d’une droite et d’un plan.

• Établir l’orthogonalité d’une droite etd’un plan.

On étudie quelques exemples de sectionsd’un plan. Ce travail est facilité par l’uti-lisation d’un logiciel de géométrie dyna-mique.

19

Terminale S Chapitre C

I - Règles d’incidence : positions relatives de droites et de plans

1. Position relative des plans et des droites de l’espace

Deux plans distincts

Plans disjoints : intersection vide Plans sécants : une droite d’intersection

Propriété 1 (Admise)Soit P et Q deux plans sécants.Si les points A et B (distincts) appartiennent au plan P et au plan Q alors la section des plans P et Q estla droite (AB).

Un plan et une droite (non contenue dans le plan)

b

Droite et plan disjoints :

intersection vide

Droites et plans sécants :

un point d’intersection

Remarque : Une droite et un plan sont parallèles lorsque soit la droite est incluse dans ce plan, soit ils sontdisjoints.

Deux droites distinctes

b

Droites coplanaires parallèles :

intersection vide

Droites non coplanaires :

intersection vide

Droites sécantes :

un seul point d’intersection


Terminale S Droites et plans de l’espace

Exemple 1

ABCDEFGH est parallélépipède rectangle.

b

M

b

Ab

B

b

Cb

D

b

Eb

F

b

Gb

HSans justification, citer :

1. a) deux plans disjoints.

b) deux plans sécants et leur section.

2. a) une droite et un plan disjoints.

b) une droite et un plan sécants et leur intersection.

3. a) deux droites disjointes.

b) deux droites non coplanaires.

c) deux droites sécantes et leur intersection.

Solution

1. a) (EFH) et (ABD).

b) (EFH) et (DCG) de section (HG) : (EFH ∪ (DCG) = (HG).

2. a) (EFH) et (AB), ils sont parallèles.

b) (EFH) et (GC) sont sécants en G : (EFH) ∪ (GC) = G.3. a) (EF ) et (AB), elles sont parallèle ou bien (EF ) et (BC) elles sont non coplanaires.

b) (EF ) et (BC).

c) (AB) et (BC) sont sécantes en B : (AB) ∪ (BC) = B.

2. Droites parallèles

Propriété 2 (Admise)(1) Si deux droites sont parallèles alors toute parallèle à l’une est parallèle à l’autre.

(2) Si deux droites sont parallèles alors tout plan qui coupe l’une coupe l’autre.

Exemple 2

En appliquant cette propriété, justifier que dans le pavé droit ABCDEFGH :

1. les droites (AB) et (HG) sont parallèles ;

2. le plan (EGB) et la droite (DC) sont sécants, puis construire en argumentant la démarche cette intersection.

Solution

1. Les faces étant des rectangles, (AB) est parallèle à (EF ) qui elle même est parallèle à (HG), ainsi (AB) est parallèleà (HG).

2. Les droites (DC) et (AB) sont parallèles et la droite (AB) est sécante en B avec le plan (EGB), ainsi ce plan coupeégalement la droite (DC). Si on note N le milieu de [BG] donc de [FC] également, les droites (EN) et (DC) sontcoplanaires et sécantes en M . Ce point étant sur (EN) qui est contenue dans (EGB), il appartient bien à (EGB) et(AD).

3. Plans parallèles

Propriété 3 (Admise)(1) Si deux plans sont parallèles alors tout plan parallèle à l’un est parallèle à l’autre.

(2) Étant donnés un plan P et un point A de l’espace.Il existe un unique plan P

′ parallèle à P passant par A.

(3) Étant donnés deux plans P et P′ parallèles :

• toute droite d qui coupe l’un coupe l’autre ;

• tout plan Q qui coupe l’un coupe l’autre et les droites ∆ et ∆′ d’intersection sont parallèles. (voir

la figure )



P′

P

b

∆′

∆ Q

b

AP est le plan parallèle à P passant par le point A.

La droite d non incluse dans P′ passant par A (c’est-à-dire sécante en A avec P

′)est également sécante avec P.

∆ est incluse dans les plans P et Q : Q ∩ P = ∆.∆′ est incluse dans les plans P

′ et Q : Q ∩ P′ = ∆′.

Par conséquent : ∆ et ∆′ sont parallèles.

Propriété 4Si un plan P contient deux droites sécantes et parallèles à un plan P

′, alors les plans P et P′ sont parallèles.

Démonstration

Notons ∆ et ∆′ les droites sécantes de P parallèles à P′.

Raisonnons par l’absurde : supposons que les plans P et P′ ne soient pas parallèles, c’est-à-dire sécants suivant une droite d.

Cette droite est alors incluse dans P donc sécante à au moins l’une des deux (dans le cas contraire elle serait parallèle aux deux

qui le serait aussi, ce qui est contraire à l’hypothèse) : on arrive donc à une contradiction avec l’hypothèse que les droites ∆ et ∆′

soient parallèles à P′. Notre supposition est donc absurde, c’est donc le contraire qui est vrai : les plans P et P

′ sont parallèles.

4. Droites et plans parallèles

Propriété 5 (Admise)Étant donnés deux plans parallèles.Toute droite contenue dans un des plans est parallèles à l’autre plan.

P′

P

Les plans P et P′ sont parallèles.

Puisque d ⊂ P on peut affirmer que la droite d et le plan P′ sont

parallèles.

Propriété 6Étant donnés deux droites parallèles.Tout plan contenant l’une des droites est parallèle à l’autre.

P

d

d′

Les droites d et d′ sont parallèles.

Puisque d ⊂ P on peut affirmer que le plan P est parallèle à la droited′


Terminale S Droites et plans de l’espace

Démonstration

Dans le cas où d′ appartient à P, le résultat est immédiat.Considérons maintenant le cas où d′ n’est pas incluse dans P.

Raisonnons par l’absurde : on suppose que d′ coupe P et notons M le point d’intersection de d′ et P. La parallèle D à d passant

par M est incluse dans P, comme D//d et d//d′, on en déduit que D//d′, puisque M appartient à ce deux droites, elles sont

confondues, et d′ est incluse dans P ce qui est absurde, car on est dans le cas où d′ n’est pas incluse dans P. On en déduit que

d′ et P sont disjoints : donc parallèles.

Remarque : Grâce à cette propriété, pour montrer qu’une droite est parallèle à un plan, il suffit de trouverune droite de ce plan parallèle à cette droite.

Théorème 1 Théorème du toitÉtant donnés deux deux plans P et P

′ sécants suivant une droite ∆, d une droite du plan P et d′ un droitedu plan P

′.Si d et d′ sont parallèles alors ces deux droites sont aussi parallèles à l’intersection ∆.

P

dd′

∆

P′

P et P sont sécants suivants la droite ∆ : P ∩ P′ = ∆.

d est incluse dans P : d ⊂ P et d′ est incluse dans P′ : d′ ⊂ P

′.

Puisque d et d′ sont parallèles on peut affirmer que d et d′ sontparallèles à ∆.

Démonstration

Si d et d′ sont confondues, alors elles sont aussi confondues avec ∆ donc parallèles avec elle.Considérons maintenant le cas où d et d′ sont strictement parallèles.

Raisonnons par l’absurde : on suppose que ∆ et d sont sécantes en M . Ainsi, puisque sur ∆, M est aussi un point de P′. M

n’appartenant pas à d′(en effet d et d′ sont strictement parallèles) M et d′ définissent le plan P′. Mais puisque d et d′ sont

parallèles, d est parallèle au plan P′ et passe par M , elle est donc incluse dans P

′, ainsi P et P′ sont sécants suivant la droite d,

alors confondue avec ∆, ce qui contredit le fait que d et ∆ soient sécantes. En conclusion, elles ne sont pas sécantes, mais comme

elles sont coplanaires, elles sont parallèle. Par suite, ∆ est aussi parallèle à d′ car d et d′ sont parallèles.

Exemple 3

ABCDEFGH étant le parallélépipède rectangle de l’exemple 1, I et J sont les centres respectifs des facesEFGH et ABCD.En utilisant le théorème du toit, montrer que la droite (IJ) est parallèle au plan (ABE).

Solution

Les plans (BDHF ) et (ACGE) sont sécants suivant la droite (IJ), de plus (BF ) ⊂ (BDHF ) et (AE) ⊂ (ACGE).Puisque (BF ) et (AE) sont parallèles, d’après le théorème du toit les droites (AE) et (BF ) sont parallèles à la droite (IJ).De plus d’après la propriété 6, (IJ) est parallèle au plan (ABFE).

II - Orthogonalité

1. Orthogonalité de deux droites

Définition 1Deux droites de l’espace sont dites orthogonales lorsque leurs parallèles respectives menées par un pointquelconque de l’espace sont perpendiculaires.

Exemple 4

En utilisant la figure des exemples précédents, justifier que :

1. les droites (EF ) et (EH) sont orthogonales ;

2. les droites (EA) et (DC) sont orthogonales.

Solution

1. les droites (EF ) et (EH) sont orthogonales car elles sont coplanaires et dans le plan (EFH) elles sont perpendiculaires.

2. les droites (EA) et (DC) sont orthogonales car si on mène par exemple la parallèle à (DC) passant par A, c’est-à-direla droite (AB), cette dernière est perpendiculaire à la droite (EA) dans le plan (EAB).

Remarque : Dans l’espace, bien que toutes droites perpendiculaires soient orthogonales, la réciproque estfausse :



• deux droites perpendiculaires sont coplanaires et sécantes ;

• deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement coplanaires et, par conséquent, pas nécessairementsécantes.

2. Droite perpendiculaire à un plan

Définition 2On dit qu’une droite est perpendiculaire ou orthogonale à un plan lorsqu’elle est orthogonale à toutes lesdroites de ce plan.

Théorème 2

Pour qu’une droite soit perpendiculaire à un plan, il suffit qu’elle soit perpen-diculaire à deux droites sécantes de ce plan.

d

P

Démonstration

Voir le chapitre sur le produit scalaire dans l’espace. Activité 2 page 292 à l’aide du théorème de la médiane.

Exemple 5

Dans le parallélépipède rectangle ABCDEFGH, montrer que les droites (AE) et (HF ) sont orthogonales.Solution

En prenant à nouveau la figure de l’exemple 2, la droite (AE) est orthogonale aux droites (EF ) et (EH), donc perpendiculaireau plan (EFH), on en déduit qu’elle est orthogonale par exemple à la droite (HF ) du plan (EFH).

Remarque : Dans le théorème précédent, l’hypothèse que les droites sont sécantes est essentielle. Par exemple,dans la figure de l’exemple 2, la droite (AE) est orthogonale aux droites (HG) et (DC), mais elle n’est pasperpendiculaire au plan (DCG).

Définition 3Deux plans sont perpendiculaires lorsque l’un d’eux contient une droite perpen-diculaire à l’autre.

d

P


Chapitre

D

Échantillonnage et estimation


Contenus Modalités de mise en oeuvre Commentaires

Intervalle de fluctuation Démontrer que si la variable aléatoireXn suit la loi B(n, p), alors, pour tout α

dans ]0; 1[ on a, limn→+∞

P(Xn

n∈ In

)

=

1 − α, où In désigne l’intervalleñp− uα

√p(1− p)√

n; p+ uα

√p(1− p)√

n

ô.

La démonstration ci-contre donne l’expres-sion d’un intervalle de fluctuation asymp-totique(*) au seuil 1−α de la variable aléa-

toire fréquence Fn =Xn

nqui, à tout échan-

tillon de taille n, associe la fréquence obte-nue f .

• Connaître l’intervalle de fluctua-tion asymptotique(*) au seuil de 95 % :ñp− 1, 96

√p(1− p)√

n; p+ 1, 96

√p(1− p)√

n

ô

où p désigne la proportion dans la popula-tion.

Avec les exigences usuelles de précision, onpratique cette approximation dès que n >

30, np > 5 et n(1− p) > 5.

En majorant 1, 96√

p(1− p), on retrouvel’intervalle de fluctuation présenté en classede seconde.La problématique de prise de décision, déjàrencontrée, est travaillée à nouveau avecl’intervalle de fluctuation asymptotique.

EstimationIntervalle de confiance (*).

• Estimer par intervalle une proportion in-connue à partir d’un echantillon.

Les attendues de ce paragraphe sont mo-destes et sont à exploiter en lien avec lesautres disciplines.

Niveau de confiance • Déterminer une taille d’échantillon suffi-sante pour obtenir, avec une précision don-née, une estimation d’une proportion au ni-veau de confiance 0, 95.

Il est intéressant de démontrer que,pour une valeur de p fixée, l’intervalleïFn − 1√

n;Fn +

1√n

òcontient, pour n as-

sez grand, la proportion p avec une proba-bilité au moins égale à 0, 95.On énonce alors que p est élément de l’in-

tervalle

ïf − 1√

n; f +

1√n

òavec un niveau

de confiance de plus de 95 %, où f désignela fréquence observée sur un échantillon detaille n.Avec les exigences usuelles de précision, onutilise cet intervalle dès que n > 30, np > 5et n(1− p) > 5.La simulation de sondages sur tableur per-met de sensibiliser aux fourchettes de son-dage.Il est important de noter que, dansd’autre champs, on utilise l’intervalleñf − 1, 96

√f(1− f)√

n; f + 1, 96

√f(1− f)√

n

ô

qu’il n’est pas possible de justifier dans ceprogramme.

25

Terminale S Chapitre D

[SVT] Analyse de graphiques où les don-nées sont fournies par des intervalles deconfiance.AP Prise de décision lors de la comparai-son de deux proportions (par exemple lorsd’un essai thérapeutique).

(*)Avec les notations précédentes :Un intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire Fn au seuil 1 − α est un intervalle déterminé àpartir de p et de n et qui contient Fn avec une probabilité d’autant plus proche de 1− α que n est grand.Un intervalle de confiance pour une proportion p à un niveau de confiance 1 − α est la réalisation, à partir d’unéchantillon, d’un intervalle aléatoire contenant la proportion p avec une probabilité supérieure ou égale à 1 − α,intervalle aléatoire déterminé à partir de la variable aléatoire fréquence Fn qui, à tout échantillon de taille n, associela fréquence.Les intervalles de confiance considérés ici sont centrés en la fréquence observée f .


Terminale S Échantillonnage et estimation

I - Échantillonnage et loi binomiale

1. Description de la méthode

Dans une population donnée, on suppose qu’un caractère est présent dans la proportion p. On prélève au hasardavec remise, un échantillon de taille n. Que peut-on dire de la fréquence f du caractère sur cet échantillon ?

En classe de seconde

On a observé que sur un grand nombre d’échantillons de taille n simulés, 95 % au moins fournissent une fréquence f

appartenant à l’intervalle

ñp− 1√

n; p+

1√n

ô, sous certaines conditions de n et p. Traduit en terme de probabilité,

on dispose alors du résultat suivant :

Théorème 1Pour n > 25 et 0, 2 6 p 6 0, 8, lorsqu’on prélève au hasard un échantillon de taille n dans une populationoù la proportion d’un caractère est p, la fréquence f du caractère sur cet échantillon appartient à l’intervalleñp− 1√

n; p+

1√n

ôavec une probabilité égale à 0, 95.

En classe de première

Le tirage au hasard dans la population d’un individu qui peut présenter un caractère avec une probabilité p estune épreuve de Bernoulli de paramètre p, où le succès est l’issue : «l’individu possède le caractère».

Le prélèvement au hasard avec remise d’un échantillon de taille n dans cette population est un schéma de Bernoullide paramètre n et p, et la variable aléatoire Xn, qui compte le nombre de succès, c’est-à-dire le nombre d’individuprésentant le caractère, suit la loi binomiale B(n; p).

La variable aléatoire Fn =Xn

nreprésente alors «la fréquence théorique» du succès sur un échantillon de taille n.

D’après le résultat de seconde, on a P

Çp− 1√

n6 Fn 6 p+

1√n

å> 0, 95 et on dit que

ñp− 1√

n; p+

1√n

ôest un

intervalle de fluctuation de Fn au seuil de 95 %.

Définition 1

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n; p) et Fn =X

nla variable aléatoire qui représente

la fréquence théorique du succès. Un intervalle de fluctuation associé à X au seuil de 95 % est un intervalle :

• de la formeïa

n;b

n

ò, où a et b sont des entiers compris entre 0 et n ;

• tel que P

Åa

n6 Fn 6

b

n

ã> 0, 95, ce qui équivaut à P (a 6 Xn 6 b) > 0, 95.

Remarques :

• En pratique, on s’efforce d’obtenir l’intervalleïa

n;b

n

òde plus faible amplitude ; pour celà, il suffit de chercher

les plus petits entiers a et b tels que P (Xn 6 a) > 0, 025 et P (Xn > b) > 0, 975.

• L’intérêt de l’intervalle calculé à partir de la loi binomiale, est de fournir un intervalle convenable pour toutesles valeurs de n et p, alors que l’intervalle vu en seconde n’est pas adapté pour les «petites binomiales».



Règle de décisionOn veut examiner l’hypothèse selon laquelle dans la population le caractère est présent dans la proportion p.Soit f la fréquence d’apparition observé du caractère dans un échantillon de taille n.On désigne par In l’intervalle de fluctuation au de seuil de 95 % associé à une variable aléatoire qui suit uneloi binomiale B(n; p).

• Si f ∈ In, on accepte l’hypothèse.

• Si f /∈ In, on rejette l’hypothèse avec une probabilité inférieure à 5 % de rejeter une hypothèsepourtant vraie.

2. Un exemple

Considérons l’exemple traité en activité : un médecin de santé publique veut savoir si, dans sa région, le pourcentaged’habitants atteints d’hypertension artérielle est égal à la valeur de 16 % récemment publiée pour des populationssemblables. En notant p la proportion d’hypertendus dans la population de sa région, le médecin formule l’hypothèsep = 0, 16. Pour vérifier cette hypothèse, le médecin constituera un échantillon de n = 100 habitants de la région ;il déterminera la fréquence f d’hypertendus (l’échantillon est prélevé au hasard et la population est suffisammentimportante pour considérer qu’il s’agit de tirages avec remise).

Loi binomiale B(100; 0, 16)

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

a bZone de rejetà droite : auplus 2,5 %

Intervalle defluctuation :

au moins 95 %

Zone de rejetà gauche : auplus 2,5 %

Pour déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %, nous allons travailler avec les probabilités cumuléescroissantes, que la calculatrice ou le tableur fournissent facilement. En tabulant les probabilités cumulées P (X 6 k),pour k allant de 0 à 100, il suffit de déterminer le plus petit entier a tel que P (X 6 a) > 0, 025 et le plus petitentier b tel que P (X 6 b) > 0, 975.Le document ci-après a été construit de la manière suivante :

• la cellule B3 contient la valeur de n, taille de l’échantillon et la cellule E3 contient la valeur de p, proportionsupposée dans la population ;

• B6 la formule =LOI.BINOMIALE(A6 ;B$3 ;D$3 ;FAUX) pour tabuler les probabilités P (X = k) (ceci n’est pasnécessaire) ;

• C6 la formule =LOI.BINOMIALE(A6 ;B$3 ;D$3 ;VRAI) pour tabuler les probabilités P (X 6 k) lorsque X suitla loi binomiale de paramètres n et p ;

• D6 la formule =SI(C6>0,025 ;A6/B$3 ;"") pour afficher les valeurs de k telles que P (X 6 k) dépasse stricte-ment 0, 025 ;

• E6 la formule =SI(C6>=0,975 ;A6/B$3 ;"") pour afficher les valeurs de k telles que P (X 6 k) égale oudépasse 0, 975 ;

Ces trois formules ont été ici recopiées vers le bas jusqu’à la ligne 106. L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %est affiché en cellules G8 et H8 contenant les formules =MIN(C6 :C1006) et =MIN(D6 :D1006).

Dans le cas de l’exemple choisi, on a n = 100 et p = 0, 16. L’algorithme fournita

n= 0, 09 et

b

n= 0, 23.



La règle de décision, pour le médecin, sera la suivante :

• si la fréquence observée f appartient à l’intervalle de fluctuation [0, 09; 0, 23], on considère que l’hypothèseselon laquelle la proportion d’hypertendus dans la population est p = 0, 16 n’est pas remise en question et onl’accepte ;

• sinon, on rejette l’hypothèse selon laquelle cette proportion vaut p = 0, 16.

Avec la calculatrice TI Pour avoir dans la table les listes correspondants à P (X = k) et P (X 6 k), on saisitY1=binomFdp(100,0.16,X) et Y2=binomFRép(100,0.16,X) ou plus simplement pour des valeurs de n pas trop grandesvoici un programme :

PROGRAM :FLUCTBIN

:Prompt N, P:0→I:While binomFRép(N,P,I)60.025

:I+1→I:End:Disp ˝B1=˝,I/N:While binomFRép(N,P,I)<0,975

:I+1→I:End:Disp ˝B2=˝,I/N

II - Théorème de Moivre-Laplace

Une variable aléatoire est dite centrée réduite, si son espérance est nulle et son écart type vaut 1.

Propriété 1

Soit X une variable aléatoire d’espérance E(X) = m, de variance V (X) et d’écart type σ =»V (X) non nul.

La variable aléatoire Z =X −m

σest centrée réduite.

Démonstration

E(Z) = E(1

σX − m

σ

)

=1

σE(X)− m

σ= 0.

V (Z) = V(1

σX − m

σ

)

=1

σ2× σ2 = 1.

Rappel : Soit p ∈ [0; 1] et n ∈ N∗ fixés. La variable aléatoire Xn qui suit la loi binomiale B(n, p) vérifie

E(Xn) = np et V (Xn) = np(1− p).



Ainsi, la variable aléatoire Zn =Xn − np»np(1− p)

est centrée réduite.

NotationSoit a et b deux réel. On admet que pour la fonction

f : x 7→ 1√2π

e−x2

2

l’aire du domaine compris entre sa courbe, l’axe desabscisses et les droites d’équation x = a et x = b existe,on notera cette aire :

∫ b

a

1√2π

e−x2

2 dx

Théorème 2 Théorème de Moivre-Laplace (admis)Avec les notations précédentes, pour tous réels a et b tels que a < b :

limn→+∞

P (a 6 Zn 6 b) =

∫ b

a

1√2π

e−x2

2 dx.

En pratiqueDans la pratique, on considère que la limite dans le théorème de Moivre-Laplace est pratiquement atteintelorqu’on a simultanément n > 30, np > 5 et n(1− p) > 5.

Remarque : La calculatrice donne ce nombre par la commande : normalFRép(a,b,0,1) à l’aide des touches

2nde

var , ou bien pour avoir une représentation graphique (choisir une fenêtre adaptée) taper Y1=normalFpd(X,0,1)

puis à l’aide des touches

2nde

trace choisir 7 :... et indiquer la borne inférieure et la borne supérieure :



Exemple 1

Soit X une variable aléatoire suivant une loi B

Å180;

1

6

ã. On souhaite calculer P (27 6 X 6 36).

1. Est-il raisonnable d’utiliser l’approximation fournie par le théorème de Moivre-Laplace pour calculer cetteprobabilité ?

2. Donner une valeur approchée de la probabilité demandée à 10−1 près en utilisant l’approximation deMoivre-Laplace.

3. Comparer ce résultat avec ce que donne la calculatrice avec la loi binomiale.

Théorème 3Pour tout réel α ∈]0; 1[, il existe un unique réel positif uα tel que :

∫ uα

−uα

1√2π

e−x2

2 dx = 1− α.

Démonstration

La démonstration se fera dans le chapitre sur les lois à densité.

Remarques :

• on admettra que l’aire totale sous comprise entre la courbe de la fonction x 7→ 1√2π

e−x2

2 vaut 1 : on dit que

c’est une fonction de densité de probabilité.

• La calculatrice donne uα par la commande : FracNormale(1− α/2) à l’aide des touches

2nde

var .

• On retiendra les valeurs approchées : u0,05 ≃ 1, 96 et u0,01 ≃ 2, 58.

III - Échantillonnage et intervalle de fluctuation asymptotique

Théorème 4

Pour tout entier naturel n non nul, on note Xn la variable aléatoire suivant la loi B(n, p) et Fn =Xn

nla

variable fréquence associée à Xn. Pour α ∈]0; 1[, on note uα le réel définie dans le théorème 3. Alors :

(1) limn→+∞

P (Fn ∈ In) = 1− α avec In =

p− uα

»p(1− p)√n

; p+ uα

»p(1− p)√n

.

(2) L’intervalle In contient la fréquence Fn avec une probabilité proche de 1− α lorsque n est grand : on ditque In est un intervalle de fluctuation asymptotique de Fn au seuil 1 − α.

DémonstrationD’après le théorème de Moivre-Laplace et le théorème 3, lim

n→+∞

P (−uα 6 Zn 6 uα) = 1− α.

Or, −uα 6 Zn 6 uα ⇔ −uα 6Xn − np√

np(1− p)6 uα ⇔ −uα

√

np(1− p) 6 Xn − np 6 uα

√

np(1− p)

⇔ p− uα

√p(1− p)√

n6

Xn

n6 p+ uα

√p(1− p)√

n⇔ Fn ∈ In.

Ainsi, P (−uα 6 Zn 6 uα) = P (Fn ∈ In), d’où le résultat.

En pratiquePour α = 0, 05, lorsque n > 30, np > 5 et n(1− p) > 5 la fréquence de succès Fn fluctue avec une probabilitéde 0, 95 dans l’intervalle

p− 1, 96

»p(1− p)√n

; p+ 1, 96

»p(1− p)√n

.

Cet intervalle appelé : intervalle de fluctuation asymptotique de Fn au seuil de 95 %.



Exemple 2

Dans une urne contenant 3 boules rouges et 7 boules bleues, on effectue 100 tirages avec remise. On désigne

par X la variable aléatoire correspondant au nombre de boules rouges obtenues. On pose F =X

100.

1. a) Déterminer la loi de la variable aléatoire X.

b) Déterminer l’intervalle de fluctuation de la variable aléatoire F au seuil de 95 %.

2. En utilisant la loi binomiale, déterminer l’intervalle de fluctuation de la variable aléatoire F au seuil 95 %(arrondir les bornes à 10−2. Comparer avec le résultat obtenu à la question 1.b).

Théorème 5 Intervalle de fluctuation simplifiéSoit Xn une variable aléatoire suivant la loi B(n, p) avec p ∈]0; 1[. Pour n assez grand, l’intervalle simplifiévue en seconde ñ

p− 1√n; p+

1√n

ô

est un intervalle de fluctuation au seuil 95 %.

Démonstration

Posons, an = P (−2 6 Zn 6 2), pour n > 1, d’après le théorème de Moivre-Laplace, limn→+∞

an =

∫ 2

−2

1√2π

e−x2

2 dx = l ≈ 0, 9545

(avec la calculatrice).Soit ε un réel tel que 0 < ε < 0, 004 (ainsi l − ε > 0, 95, par puisque la suite (an) converge vers l, il existe un entier n0 tel quepour tout n > n0, an ∈]l − ε; l + ε[. Ainsi, pour n > n0, on a an > 0, 95.Comme dans la démonstration du théorème 4, on a

−2 6 Zn 6 2 ⇔ Fn ∈ In avec In =

ñp− 2

√p(1− p)√

n; p+ 2

√p(1− p)√

n

ô

Donc P (Fn ∈ In) = an.

L’étude de la fonction p 7→ p(1 − p) sur l’intervalle ]0; 1[ permet de majorer p(1 − p) par son maximum1

4sur ]0; 1[, donc

√

p(1− p) 61

2, d’où 2

√p(1− p)√

n6

1√n

, ainsi

In ⊂ïp− 1√

n; p+

1√n

òet P (Fn ∈ In) 6 P

ÅFn ∈

ïp− 1√

n; p+

1√n

òã.

Puisque pour n > n0, an > 0, 95, on a aussi P

ÅFn ∈

ïp− 1√

n; p+

1√n

òã> 0, 95.

D’où le résultat.

IV - Estimation et intervalle de confiance

Considérons une expérience aléatoire à deux issues possibles (succès ou échec) dont on ne connaît pas la probabilitédu succès p. On désire estimer au mieux p à partir de la réalisation de n expériences indépendantes.

En notant Xn le nombre de succès parmi n, il est naturel de proposer comme estimateur de p la proportion de

succès Fn =Xn

n.

À quel point peut-on se fier à cette estimation ? Peut-on évaluer une marge d’erreur ? On répond généralement àcette question en estimant p par un intervalle de confiance.



Définition 2Soit α ∈]0; 1[, un intervalle de confiance au niveau 1− α pour l’estimation de p est un intervalle, noté IC ,qui ne s’exprime qu’en fonction de Fn et de n, tel que P (p ∈ IC) > 1− α.

Propriété 2Lorsque n est grand (en pratique n > 30, np > 5 et n(1− p) > 5, l’intervalle

IC =

ñFn − 1√

n;Fn +

1√n

ô

est un intervalle de confiance de proportion inconnue p à un niveau de confiance de 0, 95.

Démonstration

p− 1√n

6 Fn 6 p+1√n

⇔ Fn − 1√n

6 p 6 Fn +1√n

., ainsi d’après le théorème 5, pour n assez grand, P (p ∈ IC) > 0, 95.

Remarques :

• L’intervalle

ñFn − 1√

n;Fn +

1√n

ôest aléatoire car il dépend de la réalisation de Fn : il a plus de 95 % de

chances de contenir le paramètre inconnue p.

• En pratique, ayant observé une réalisation f de Fn, l’intervalle

ñf − 1√

n; f +

1√n

ôn’est plus aléatoire :

il contient ou non p mais il n’est pas possible de le savoir puisque p est inconnu. On dit que p est élément

de l’intervalle

ñf − 1√

n; f +

1√n

ôavec un niveau de confiance de plus de 95 %. Ainsi, à chaque tirage d’un

échantillon, on obtient un intervalle de confiance différent.

• Supposons que l’on puisse observer Fn de nombreuses fois et notons f1,..., fN ces observations (N grand). On

remarquerait la chose suivante : plus de 95 % des intervalles

ñfi −

1√n; fi +

1√n

ô, pour 1 6 i 6 n, contiendrait

p, les autres non.




Chapitre

E

Vecteurs de l’espace


Contenus Capacités attendues Commentaires

Géométrie vectorielleCaractérisation d’un plan par un point etdeux vecteurs non colinéaires.

On étend à l’espace la notion de vecteur etles opérations associées.On fait observer que des plans dirigés parle même couple de vecteurs non colinéairessont parallèles. Il est intéressant de présenter la démons-tration du théorème dit «du toit».

Vecteurs coplanaires.Décomposition d’un vecteur en fonction detrois vecteurs non coplanaires.

• Choisir une décomposition pertinentedans le cadre de la résolution de problèmesd’alignement ou de coplanarité.

On fait percevoir les notions de liberté etde dépendance.

Repérage.Représentation paramétrique d’une droite.

• Utiliser les coordonnées pour :- traduire la colinéarité ;- caractériser l’alignement ;- déterminer une décomposition de vec-teurs.

On ne se limite pas à des repères orthogo-naux.La caractérisation d’un plan par un pointet deux vecteurs non colinéaires conduità une représentation paramétrique de ceplan. [SI] Cinématique et statique d’un sys-tème en mécanique.

35

Terminale S Chapitre E

I - Généralités

On généralise à l’espace la notion de vecteur rencontrée en géométrie plane.

Définition 1Deux vecteurs non nuls

# »

AD et# »

BC sont égaux si, et seulement si ABCD est un parallélogramme (éventuel-lement applati).

#» v#» v

#»u

#»u+

#»v

A B

CD

ABCD est un parallélogramme.

Toutes les définitions et règles établies en géométrie plane se généralisent à l’espace. En particulier :

Définition 2Soit #»u et #»v deux vecteurs non nuls de l’espace.Les vecteurs #»u et #»v sont colinéaires lorsqu’il existe un réel k tel que #»u = k #»v (ou bien #»v = k #»u ).

Remarque : On conviendra que le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs de l’espace.

Théorème 1 Caractérisation d’une droiteSoit A un point et #»u un vecteur non nul de l’espace.L’ensemble D des points M de l’espace tels que

# »

AM = k #»u , avec k ∈ R est une droite : la droite passant parA de vecteur directeur #»u .

Démonstration

Soit B un point tel que #»u =# »

AB.M ∈ D ⇔ il existe un réel k tel que

# »

AM = k #»u = k# »

AB ⇔ # »

AM et# »

AB sont colinéaires⇔ A, B et M sontalignés⇔ M ∈ (AB). Donc D est la droite (AB). b

b

AB

D#»u

Remarques :

• Tout vecteur non nul colinéaire au vecteur# »

AB est un vecteur directeur de# »

AB ;

• Si deux droites ont des vecteurs directeurs colinéaires alors elles sont parallèles.

II - Vecteurs coplanaires

Définition 3(1) Quatre points de l’espace sont coplanaires s’il appartiennent à un

même plan.

(2) Trois vecteurs de l’espace sont coplanaires s’il existe quatre pointsA, B, C et D coplanaires tels que : #»u =

# »

AB, #»v =# »

AC et #»w =# »

AD.#»v

#»u

#»w

A D

BC


Terminale S Vecteurs de l’espace

Théorème 2 Caractérisation de la coplanaritéSoit #»u , #»v et #»w trois vecteurs de l’espace tels que #»u et #»v ne sont pas colinéaires.Les vecteurs #»u , #»v et #»w sont coplanaires si, et seulement si il existe deux réels α et β tels que :

#»w = α #»u + β #»v .

Démonstration

Soit A, B, C, et D tels que #»u =# »

AB, #»v =# »

AC et #»w =# »

AD. Puisque #»u et #»v ne sont pas colinéaires, les points A, B et C ne sontpas alignés et (A;B,C) est un repère du plan (ABC).«⇒»Si #»u , #»v et #»w sont coplanaires alors D ∈ (ABC). Soit (α;β) ses coordonnées dans le repère (A;B,C), on a :

# »

AD =α

# »

AB + β# »

AC ⇔ #»w = α #»u + β #»v .«⇐»Si il existe deux réels α et β tels que #»w = α #»u + β #»v , on a

# »

AD = α# »

AB + β# »

AC.

Soit B′ tel que α# »

AB =# »

AB′ et C ′ tel que β# »

AC =# »

AC ′.

B′ et C ′ appartiennent à (ABC) puisque B′ ∈ (AB) et C ′ ∈ (AC). Or,# »

AD =# »

AB′ +# »

AC ′, donc D est le quatrième point du

parallélogramme dont trois sommets sont A, B′ et C ′ appartiennent au plan (ABC). Donc D ∈ (ABC) et les vecteurs #»u , #»v et #»w

sont coplanaires.

Théorème 3 Caractérisation d’un planSoit A un point, #»u et #»v deux vecteurs non colinéaires de l’espace.L’ensemble P des points M de l’espace tels que :

# »

AM = α #»u +β #»v avec α, β ∈ R est un plan : le plan passantpar A et de vecteurs directeurs #»u et #»v .

Démonstration

Soit A, B et C, et D tels que #»u =# »

AB et #»v =# »

AC. D ∈ P ⇔ il existe deux réels α et β tels que# »

AM = α #»u + β #»v ⇔ # »

AM, #»u et#»v sont coplanaires⇔ A,B,C et M sont coplanaires⇔ M ∈ (ABC). Donc P est le plan (ABC).

III - Repères de l’espace

1. Repérage dans l’espace

Définition 4

(1) On appelle base de l’ensemble des vecteurs de l’espace, tout triplet ( #»ı , #» ,#»

k ) de vecteurs de l’espace noncoplanaires tels que #»ı et #» soient non colinéaires.

(2) On appelle repère de l’espace, tout quadruplet (O; #»ı , #» ,#»

k )où O est un point de l’espace et ( #»ı , #» ,#»

k )un base.

Dans la suite du chapître (O; #»ı , #» ,#»

k )est un repère de l’espace.

Théorème 4Pour tout point M de l’espace, il existe un unique triplet (x; y; z) de nombres réels tel que :

# »

OM = x #»ı + y #» + z#»

k .

Le triplet (x; y; z) est appelé triplet de coordonnées du vecteur# »

OM ou du point M dans le repère(O; #»ı , #» ,

#»

k ). x est l’abscisse, y l’ordonnée et z la cote.



Démonstration

La parallèle à (O,#»

k ) coupe le plan (O; #»ı , #» )en un unique pointM ′.Dans le repère (O; #»ı , #» ), il existe un unique couple (x; y) de

réels tel que :# »

OM ′ = x #»ı + y #» .

De plus,#»

k est colinéaire à# »

M ′M , donc il existe un réel z tel que# »

M ′M = z#»

k .Ainsi, on a bien :# »

OM =# »

OM ′ +# »

M ′M = x #»ı + y #» + z#»

k .

#»u

y

x

#»ı

#»

#»

k

bO

b

M

b

M ′

Propriété 1Soit A(xA; yA; zA) et B(xB; yB ; zB) deux points de l’espace. Alors :

(1) le vecteur# »

AB a pour coordonnées# »

AB(xB − xA; yB − yA; zB − zA).

(2) le milieu du segment [AB] a pour coordonnées :ÅxA + xB

2;yA + yB

2;zA + zB

2

ã.

Démonstration

(1) On a# »

OA = xA#»ı + yA

#» + zA#»

k et# »

OB = xB#»ı + yB

#» + zB#»

k .Ainsi,

# »

AB +# »

AO +# »

OB =# »

OB − # »

OA = (xB − xA)#»ı + (yB − yA)

#» + (zB − zA)#»

k .

(2) Lorsque I est le milieu de [AB], on a# »

IA+# »

IB =#»

0 , ainsi# »

OA+# »

OB =# »

OI +# »

IA+# »

OI +# »

IB = 2# »

OI, donc# »

OI =1

2

(# »

OA+# »

OB),

d’où le résultat.

2. Représentation paramétrique d’une droite

Propriété 2Soit A(xA; yA; zA) un point et #»u (a; b; c) un vecteur non nul de l’espace.On considère la droite ∆ passant par A et de vecteur directeur #»u .

M(x; y; z) ∈ ∆ ⇔

x = xA + at

y = yA + bt

z = zA + ct

avec t ∈ R.

Ce système d’équation est appelé une représentation paramétrique de ∆.

Démonstration

M(x; y; z) ∈ ∆ ⇔ # »

AM = t #»u avec t ∈ R ⇔

x− xA = at

y − yA = bt

z − zA = ct

avec t ∈ R ⇔

x = xA + at

y = yA + bt

z = zA + ct

avec t ∈ R.


Terminale S Vecteurs de l’espace

Exemple 1

On donne les points A(1; 4;−2) et B(2;−3; 4).

a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).

b. Déterminer les coordonnées du point M d’intersection de la droite (AB) et du plan (xOy).

c. Les points C(0; 11;−8) et D(2;−3; 3) sont-ils des points de la droite (AB) ?

Solution

a. Le vecteur# »

AB a pour coordonnées (1;−7; 6), ainsi

x = 1 + t

y = 4− 7t

z = −2 + 6t

avec t ∈ R est un représentation paramétrique de

la droite (AB).

b. M(x; y; z) ∈ (AB) ∩ (xOy) ⇔

x = 1 + t

y = 4− 7t

z = −2 + 6t

et z = 0 ⇔ t =1

3et

x =4

3

y =5

3z = 0

. Donc M(4/3; 5/3; 0).

c. Lorsque C ∈ (AB), il existe t tel que

1 + t = 0

4− 7t = 11

−2 + 6t = −8

. La valeur t = −1, convient. Donc C ∈ (AB).

De la mêfaçon pour le point D, on cherche t tel que

1 + t = 2

4− 7t = −3

−2 + 6t = 3

. Or, t = 1 convient pour les deux premières

équation mais pas pour la dernière. Donc D 6∈ (AB).

3. Représentation paramétrique d’un plan

Propriété 3Soit A(xA; yA; zA) un point, #»u (a; b; c) et #»v (a′; b′; c′) des vecteurs non colinéaires de l’espace.On considère le plan P passant par A et de vecteurs directeurs #»u et #»v .

M(x; y; z) ∈ P ⇔

x = xA + at+ a′t′

y = yA + bt+ b′t′

z = zA + ct+ c′t′avec t, t′ ∈ R.

Ce système d’équation est appelé une représentation paramétrique de P.

Démonstration

M(x; y; z) ∈ P ⇔ # »

AM = t #»u + t′ #»v avec t, t′ ∈ R ⇔

x− xA = at+ a′t′

y − yA = bt+ b′t′

z − zA = ct+ c′t′avec t ∈ R ⇔

x = xA + at

y = yA + bt

z = zA + ct

avec t ∈ R.

Exemple 2

Dans un repère de l’espace, on considère les points E(2;−3; 5), H(1;−8; 8) et la droite d de représentation

paramétrique

x = 1 + t

y = 4− t

z = −2 + 2t

, t ∈ R.

a. Montrer que les droites d et (EH) sont sécantes et préciser les coordonnées de leur point d’intersection K.

b. On note P, le plan contenant la droite d et le point E, déterminer un système d’équations paramétriquesde P.

c. Les points A(4; 1; 3) et B(3; 2; 2) sont-ils des points du plan P ?




Chapitre

F

Nombres complexes - Forme trigonomé-trique



Forme trigonométrique :

— module et argument, interprétationgéométrique dans un repère ortho-normé direct ;

— notation exponentielle.

• Passer de la forme algébrique à la formetrigonométrique et inversement.• Connaître et utiliser la relation zz = |z|2.• Effectuer des opérations sur les nombrescomplexes écrits sous différentes formes.

La notation exponentielle est introduiteaprès avoir montré que la fonction θ 7→cos θ + isinθ vérifie la même relation fonc-tionnelle que la fonction exponentielle.Les nombres complexes permettent demémoriser les formules trigonométriquesd’addition et de duplication vues en pre-mière. Analyse fréquentielle d’un système.

41

Terminale S Chapitre F

Dans tout le chapitre le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct.

I - Module d’un nombre complexe

1. Définition, interprétation géométrique

Définition 1Soit z = a+ ib avec a, b ∈ R un nombre complexe. On appelle module de z le réel noté |z| défini par :

|z| =√

a2 + b2.

Remarques :

• |z| > 0 ;

• Si z ∈ R alors |z| = |a| (valeur absolue du réel a) ;

Exemples 1

• |3 + 2i| =√

32 + 22 =√13 ;

• |3− 2i| =√

32 + 22 =√13 ;

• |i| =√

02 + 12 = 1.

Propriété 1Soit z ∈ C.

(1) Si M est le point d’affixe z alors OM = |z|.(2) Si #»w est un vecteur d’affixue z alors ‖ #»w‖ = |z|.

2. Propriétés des modules

Propriété 2z et z′ étant deux nombres complexes.

(1) |z|2 = zz ou bien |z| =√zz.

(2) |z| = 0 ⇔ z = 0.

(3) |z| = |z| = | − z| = | − z|.(4) |zz′| = |z| · |z′|.

(5) Si z 6= 0 alors∣∣∣∣

1

z

∣∣∣∣ =

1

|z| .

(6) Si z 6= 0 alors

∣∣∣∣∣

z′

z

∣∣∣∣∣=

|z′||z| .

(7) Si z 6= 0 alors pour tout n ∈ Z, |zn| = |z|n .

Démonstration(1),(2),(3) évidents.(4) |zz′|2 = zz′zz′ = zz′zz′ = zzz′z′ = |z|2.|z′|2 = (|z|.|z′|)2.(5), (6), (7) même idée.

II - Forme trigonométrique d’un nombre complexe

1. Arguments d’un nombre complexe non nul

Définition 2Soit z un nombre complexe non nul et M le point d’affixe z.On appelle argument de z et on le note arg(z) une mesure en radian de l’angleorienté ( #»u ;

# »

OM).#»u

#»v

O

M(z)

arg(z)

|z|

b


Terminale S Nombres complexes - Forme trigonométrique

Remarques :

• 0 n’a pas d’argument ;

• Tout nombre complexe admet une infinité d’arguments : si θ est un argument de z alors pour tout k ∈ Z,θ + 2kπ est aussi un argument de z. On écrit :

arg(z) = θ (2π).

Exemples 2

Soit A, B, C, D et E les points du plan complexe d’affixes respectives3

2, −4, 3i, −2i et 1 + i.

Déterminer un argument de chacun d’eux.Solution arg(1, 5) = 0 (2π) ; arg(−4) = π (2π) ; arg(3i) =

π

2(2π) ; arg(−2i) = −π

2(2π) et arg(1 + i) =

π

4(2π).

2. Forme trigonométrique

Théorème 1Soit z = a+ib un nombre complexe non nul avec a, b ∈ R et θ un argumentde z. Alors :

a = |z| cos θ et b = |z| sin θ.#»u

#»v

O

M(z)

θ = arg(z)

|z|

a = |z| cos θ

b = |z] sin θ

b

b

b

b

Définition 3Une écriture d’un nombre complexe z sous la forme :

z = |z|(cos θ + i sin θ) où θ = arg(z) (2π).

est appelée forme trigonométrique de z.

Exemples 3

1. Donner deux formes trigonométriques distincts du nombre complexe z = 1− i.

2. Déterminer une forme trigonométrique du nombre z = −3 + i√3.

3. Soit z le nombre complexe, tel que |z| = 4 et arg(z) =2π

3(2π).

Déterminer la forme algébrique de z.

Solution

1. z =√2îcosÄ−π

4

ä+ i sin

Ä−π

4

äóou z =

√2

[

cos

(3π

4

)

+ i sin(3π

4

)]

.

2. |z| =»

(−3)2 +√32=

√9 + 3 = 2

√3.

En posant θ = arg(z) (2π), on a

cos θ =−3

2√3=

−3√3

2× 3= −

√3

2

sin θ =

√3

2√3=

1

2

À l’aide du cercle trigonométrique, on en déduit que θ =5π

6, d’où z = 2

√2(sin

5π

6+ i sin

5π

6).

3. z = 4

(

cos2π

3+ i sin

2π

3

)

= 4

Å−1

2+ i

√3

2

ã= −2 + 2i

√3.

Remarque : a =√2

Åcos

π

4− i sin

π

4

ãn’est pas une forme trigonométrique mais puisque cos

Å−π

4

ã= cos

π

4et

sin

Å−π

4

ã= − sin

π

4, une forme trigonométrique de a est a =

√2

ïcos

Å−π

4

ã+ i sin

Å−π

4

ãò.

L’unicité de l’écriture d’un nombre complexe sous forme algébrique donne immédiatement les deux propriétéssuivantes :

Propriété 3Si un nombre complexe z s’écrit sous la forme z = r(cosα+ i sinα) où r ∈ R avec r > 0 et α ∈ R alors :

|z| = r et arg(z) = α (2π).



Théorème 2Soit z et z′ deux nombres complexes.z = z′ ⇔ |z| = |z′| et arg(z) = arg(z′) (2π).

3. Propriétés des arguments

Propriété 4Pour tout nombre complexe z non nul, on a :

(1) arg(z) = − arg(z) (2π) ;

(2) arg(−z) = arg(z) + π (2π) ;

(3) z ∈ R ⇔ arg(z) = 0 [π] (c’est-à-dire 0 ou 2π (2π)) ;

(4) z ∈ iR ⇔ arg(z) =π

2[π] (c’est-à-dire −π

2ou

π

2(2π)).

#»u

#»v

O

M2(−z)M1(z)

M(z)

−θ

θ

θ + π

b

b

bb

Théorème 3Pour tous nombres complexes non nuls z et z′, on a :

arg(zz′) = arg(z) + arg(z′) (2π).

DémonstrationRappelons qu’en première on démontre à l’aide des angles orientés de vecteurs et de la formule analytique du produit scalairedans un repère orthonormé que pour tous nombres réels a et b on a :

• cos(a+ b) = cos a cos b− sin a sin b ;

• sin(a+ b) = cos a sin b+ sin a cos b.

On pose θ = arg(z) (2π) et θ′ = arg(z′) (2π).zz′ = |z|(cos θ+ i sin θ)× |z′|

[cos θ′ + i sin θ′) = |z|.|z′(cos θ × cos θ′ − sin θ sin θ′ + i(cos θ sin θ′ + sin θ cos θ′)

]= |zz′|(cos(θ+ θ′)+

i sin(θ + θ′)).

D’après la propriété 3, on en déduit que arg(zz′) = θ + θ′ (2π).

Propriété 5Pour tous nombres complexes non nuls z et z′, on a :

(1) arg

Å1

z

ã= − arg(z) (2π) ;

(2) arg

Åz

z′

ã= arg(z)− arg(z′) (2π) ;

(3) Pour tout n ∈ Z, arg (zn) = n arg(z) (2π).

Démonstration

(1) z × 1

z= 1, d’où arg z × 1

z= arg(1) = 0 (2π).

D’après le théorème 3, arg(z)× arg(1

z

)

= 0 (2π), d’où le résultat.

(2)z

z′= z × 1

z′, d’après le théorème 3, arg

Ä zz′

ä= arg(z) + arg

(1

z′

)

et avec le point précédent on obtient le résultat.

(3) Pour n ∈ N, on raisonne par récurrence sur n.arg(z0) = arg(1) = 0 (2π), et 0× arg(z) = 0 (2π). La propriété est initialisée.Supposons que pour un entier naturel n, on ait arg(zn) = n. arg(z) (2π).

arg(zn+1) = arg(zn × z) = arg(zn) + arg(z) = n. arg(z) + arg(z) = (n+ 1) arg(z) (2π). La propriété est donc héréditaire.D’après l’axiome de récurrence pour tout n ∈ N, on a arg(zn) = n arg(z) (2π).

Si n ∈ Z−, alors on pose m = −n ∈ N, ainsi arg(zn) = arg(z−m) = arg

(1

zm

)

= − arg(zm) = −m arg(z) = n arg(z) (2π).


Terminale S Nombres complexes - Forme trigonométrique

Exemples 4

Déterminer la forme trigonométrique de z1 =1

1 + i, z2 = (1 + i)

Ç−√3 + i4

ået z3 = (1 + i)4.

Solution

On remarque d’abord que |1 + i| =√2 et que arg(1 + i) =

π

4(2π).

Ainsi, |z1| =1

|1 + i|=

√2

2et arg(z1) = − arg(z1) = −π

4, d’où z1 =

√2

2

îcosÄ−π

4

ä+ i sin

Ä−π

4

äó.

En posant z4 =−√3 + i

4, on a |z4| =

1

2et arg(z4) = arg

Å−√3

2+

1

2i

ã=

5π

6. D’où |z2| =

√2

2et arg(z2) =

π

4+

5π

6=

13π

12.

Donc z2 =

√2

2

[

cos

(13π

12

)

+ i sin(13π

12

)]

.

On a |z3| = |1 + i|4 =√24= 4 et arg(z3) = 4 arg(1 + i) = π.

Donc z3 = 4 [cosπ + i sinπ].

Théorème 4Soit A(zA), B(zB), C(zC) et D(zD) quatre points du plan complexe tels que A 6= B et C 6= D.

(1) AB = |zB − zA| et ( #»u ,# »

AB) = arg(zB − zA) (2π) ;

(2) (# »

AB,# »

CD) = arg

ÅzD − zCzB − zA

ã(2π).

Démonstration

(1) z # »

AB = zB − zA, d’où le résultat.

(2) (# »

AB,# »

CD) = (# »

AB, #»u ) + ( #»u ,# »

CD) = ( #»u ,# »

CD)− ( #»u,# »

AB) = arg(zD − zC)− arg(zB − zA) = arg(zD − zCzB − zA

)

(2π).

III - Forme exponentielle d’un nombre complexe

Soit f la fonction définie sur R par f(θ) = cos θ + i sin θ.

Remarques :

• f(θ) ∈ C et f(0) = 1 ;

• f(θ + θ′) = cos(θ + θ′) + i sin(θ + θ′).

Donc f(θ + θ′) est le nombre complexe de module 1, et dont un argument est θ + θ′ (propriété 4).

De plus, f(θ)f(θ′) a également pour module 1 et pour module θ + θ′ (théorème 3).

En appliquant le théorème 2, on en déduit que : f(θ + θ′) = f(θ)f(θ′).

• La fonction f est dérivable sur R (on dérive la partie réelle et la partie imaginaire indépendamment). Paranalogie avec la propriété caractéristique de la fonction exponentielle, on a envie de dire que f(θ) = exp(kθ)avec k ∈ C.

• De plus, f ′(θ) = − sin θ + i cos θ = i(cos θ + i sin θ) = if(θ). et f(0) = 1. Par conséquent k = i.

Définition 4Pour tout réel θ, on pose :

cos θ + i sin θ = eiθ.

eiθ est le nombre complexe de module 1 et d’argument θ.

Exemples 5

Écrire sous la forme algébrique les nombres complexes suivants : e2iπ, eiπ, eiπ2 , e−iπ

2 et eiπ3 .

Solution e2iπ = 1, eiπ = −1, eiπ

2 = i, e−iπ

2 = −i et eiπ

3 =1

2+ i

√3

2.

Remarque : La formule eiπ = −1 est appelée la formule d’Euler.



Propriété 6Pour tous réels θ et θ′ et tout entier n :

(1)∣∣∣eiθ∣∣∣ = 1 et arg

Äeiθä= θ (2π) ;

(2) eiθeiθ′ = ei(θ+θ′) ;

(3)eiθ

eiθ′ = ei(θ−θ′) ;

(4)1

eiθ = e−iθ ;

(5)Äeiθän

= einθ (formule de Moivre).

Démonstration

Conséquences de la propriété 6 et du théorème 3.

Remarques :

• La formule de Moivre s’écrit aussi : (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ).

• En appliquant Re(z) =z + z

2et Im(z) =

z − z

2iau nombre complexe z = cos θ + i sin θ pour tout réel θ, on

obtient les formules d’Euler :

cos θ =eiθ + e−iθ

2et sin θ =

eiθ − e−iθ

2i.

Théorème 5Tout nombre complexe z non nul peut s’écrire sous la forme z = |z|eiθ où θ est un argument de z. Cetteécriture est appelée forme exponentielle de z.

Démonstration

Conséquences du théorème 1 et de la définition 4.

Propriété 7Soit z ∈ C, si z = reiα où z ∈ R

∗+ et α ∈ R alors

r = |z| et α = arg(z) (2π).

Démonstration

Conséquences de la propriété 4 et de la définition 4.

Exemple 6

Déterminer le module de z = −3eiπ3 et un argument de z.

Solution |z| = | − 3| × 1 = 3 et arg(z) = arg(−3) +π

3= π +

π

3=

4π

3= −2π

3(2π).

Propriété 8 Équation paramétrique d’un cercleSoit A un point du plan complexe d’affixe zA et r un réel positif.Une équation de la forme z = zA + reiθ avec θ ∈ R est une équation paramétrique du cercle de centre Aet de rayon r.

DémonstrationOn note C le cercle de centre A et de rayon r.M(z) ∈ C ⇔ AM = r ⇔ |z − zA| = r ⇔ z − zA = reiθ avec θ ∈ R car reiθ et le nombre complexe de module r et d’argument θ.


Chapitre

G

Produit scalaire dans l’espace



Produit scalaireProduit scalaire de deux vecteurs dans l’es-pace : définition, propriétés.

On étend aux vecteurs de l’espace la défi-nition du produit scalaire donnée dans leplan.

Vecteur normal à un plan. Équation carté-sienne d’un plan.

• Déterminer si un vecteur est normal à unplan. Caractériser les points d’un plan de l’es-pace par une relation ax+ by+ cz + d = 0avec a, b et c trois nombres réels non tousnuls.

On caractérise vectoriellement l’orthogo-nalité de deux droites et on introduit lanotion de plans perpendiculaires.

• Déterminer une équation cartésienned’un plan connaissant un point et un vec-teur normal.• Déterminer un vecteur normal à un plandéfini par une équation cartésienne. Démontrer qu’une droite est orthogonaleà toute droite d’un plan si et seulement sielle est orthogonale à deux droites sécantesde ce plan.• Choisir la forme la plus adaptée entreéquation cartésienne et représentation pa-ramétrique pour :- déterminer l’intersection d’une droite etd’un plan ;- étudier la position relative de deux plans.

AP Perpendiculaire commune à deuxdroites non coplanaires.Intersection de trois plans.

47

Terminale S Chapitre G

I - Rappels de première sur le produit scalaire dans le plan

1. Définitions et propriétés

Définition 1• Si #»u et #»v sont deux vecteurs non nuls tels que #»u =

# »

AB et #»v =# »

AC.On note H le projeté orthogonal de C sur (AB) .

A B#»u H

C

#»v

A B#»uH

C

#»v

Le produit scalaire de ces deux vecteurs est le nombre réel, que l’on note #»u · #»v défini par :

#»u · #»v =# »

AB · # »

AC =

AB ×AH si# »

AB et# »

AH ont le même sens.

−AB ×AH si# »

AB et# »

AH sont de sens contraire.

• Si #»u ou #»v est nul, on pose par : #»u · #»v = 0.

Propriété 1Deux vecteurs #»u et #»v sont orthogonaux si, et seulement si #»u · #»v = 0.

Propriété 2Pour tous vecteurs #»u et #»v non nuls, on a : #»u · #»v = || #»u || × || #»v || × cos( #»u, #»v ).

Propriété 3 Expression analytique du produit scalaireLe plan étant muni d’un repère orthonormal (O; #»ı , #» ).

Soit #»u

Çxy

ået #»v

Çx′

y′

ådans (O; #»ı , #» ). Alors : #»u · #»v = xx′ + yy′.

Propriété 4Soit #»u et #»v deux vecteurs.

(1) #»u · #»v =1

2

î|| #»u + #»v ||2 − || #»u ||2 − || #»v ||2

ó=

1

2

î|| #»u ||2 + || #»u ||2 − || #»u − #»v ||2

ó;

(2) #»u 2 = || #»u ||2 = x2 + y2 et || #»u || =»x2 + y2 dans un repère orthonormal (O; #»ı , #» ) ;

(3) Les vecteurs #»u et #»v sont orthogonaux si, et seulement si dans un repère orthonormal (O; #»ı , #» ) :

xx′ + yy′ = 0 avec #»u

Çxy

ået #»v

Çx′

y′

å.

Propriété 5Soit #»u , #»v et #»w des vecteurs et k un réel. Alors :

(1) #»u · #»v = #»v · #»u ;

(2) (k #»u ) · #»v = #»u · (k #»v ) = k( #»u · #»v ) ;

(3) #»u · ( #»v + #»w) = #»u · #»v + #»u · #»w.


Terminale S Produit scalaire dans l’espace

2. Droites et cercles

Définition 2Soit #»n un vecteur non nul et A un point du plan.L’ensemble des points M du plan tels que

# »

AM · #»n = 0 est une droite D , passant par A, et dirigée par unevecteur #»u orthogonal à #»n .On dit que n est un vecteur normal à la droite D .

Propriété 6 Caractérisation d’une droiteSoit A un point du plan et #»n un vecteur non nul.

Si #»n

Çab

ådans un repère orthonormal (O; #»ı , #» ), alors la droite D a une équation cartésienne de la forme

ax+ by + c = 0.

Exemple 1

Soit A(3; 1) et #»n

Ç−1

2

å. On note #»u un vecteur directeur de la droite D passant par A de vecteur normal #»n .

On a #»n · #»u = 0 ⇔Çx

y

å·Ç−1

2

å= 0 ⇔ −x+ 2y = 0 ⇔ x = 2y. On peut prendre #»u

Ç2

1

å.

M(x; y) ∈ D ⇔ # »

AM · #»n = 0⇔ (x− 3)× (−1) + (y − 1)× 2 = 0⇔ −x+ 3 + 2y − 2 = 0⇔ −x+ 2y + 1 = 0

Propriété 7 Caractérisation d’un cercleLe cercle C de diamètre [AB] est l’ensemble des points M du plan tels que

# »

MA · # »

MB = 0.

Propriété 8Soit Ω(a; b) un point du plan dans un repère orthonormé (O; #»ı , #» ), R un réel strictement positif.Le cercle C de centre Ω et de rayon R est l’ensemble des points M du plan tels que ΩM = R, ou encoreΩM2 = R2.Une équation cartésienne de C dans (O; #»ı , #» )est (x− a)2 + (y − b)2 = R2.

Exemple 2

Prenons Ω(−2; 5) et R = 3.Le cercle de centre Ω et de rayon 3 a pour équation cartésienne : (x+2)2+(y−5)2 = 9 ⇔ x2+y2+4x−10y+20 =0.



II - Produit scalaire dans l’espace

1. Repère orthonormé de l’espace

Définition 3Soit O, I, J et K quatre points non coplanaires.Le quadruplet (O; I, J,K) est un repère :

(1) orthogonal lorsque les droites (OI), (OJ) et (OK) sont deux à deux perpendiculaires.

(2) orthonormé (ou orthonormal) lorsqu’il est orthogonal et OI = OJ = OK.

Théorème 1Soit (O; I, J,K) un repère orthonormé de l’espace et #»u de coordonnées (a; b; c) un vecteur de l’espace. On a :

|| #»u || =√

a2 + b2 + c2.

Démonstration

Soit M le point tel que# »

OM = #»u .La parallèle à (OK) coupe le plan (OIJ) en H.La droite (OK) est perpendiculaire à (OH), ainsi le triangle(OHM) est rectangle en M . D’après le théorème de Pythagore,on a OM2 = OH2 +HM2 = OH2 + c2.De plus, en notant M1 le projeté orthogonale de H sur la droite(OI) dans le plan (OIJ), le triangle OM1H est rectangle enM1 et d’après le théorème de Pythagore, on a OH2 = OM2

1 +M1H

2 = a2 + b2.On en déduit finalement que || #»u || = OM =

√

a2 + b2 + c2.

#»u

M2

M1

I

J

K

bO

b

M(a; b; c)

b

H

Remarque : Si A(xA; yA; zA) et B(xB; yB; zB) sont deux points de l’espace muni d’un repère orthonormé alors

AB =»(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2.

2. Définition du produit scalaire

Définition 4Soit #»u et #»v deux vecteurs de l’espace et A, B et C trois points tels que : #»u =

# »

AB et #»v =# »

AC. Il existetoujours un plan P contenant A, B et C et le produit scalaire des vecteurs #»u et #»v est le produit scalaire desvecteurs

# »

AB et# »

AC dans le plan P.

Remarque : On a #»u · #»v =1

2

Ä‖ #»u + #»v ‖2 − ‖ #»u‖2 − ‖ #»v ‖2

äet cette expression est indépendante du choix des

représenants de #»u et #»v . Par conséquent, le produit scalaire est indépendant du plan P.



Théorème 2Toutes les propriétés du produit scalaire établies en géométrique plane s’appliquent à des vecteurs coplanairesde l’espace.

Propriété 9Soit #»u (x; y; z) et #»v (x′; y′; z′) deux vecteurs de l’espace muni d’un repère orthonormé (O; I, J,K). On a :

#»u · #»v = xx′ + yy′ + zz′.

DémonstrationOn note (O; I, J,K) le repère orthonormé.Ainsi || #»u ||2 = x2 + y2 + z2 et de même || #»v ||2 = x′2 + y′2 + z′2

et || #»u − #»v ||2 = (x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2 = x2 + y2 + z2 + x′2 + y′2 + z′2 − (2xx′ + 2yy′ + 2zz′).

Or, #»u · #»v =1

2

[|| #»u ||2 + || #»v ||2 − || #»u − #»v ||2

]=

1

2(2xx′ + 2yy′ + 2zz′).

D’où #»u · #»v = xx′ + yy′ + zz′.

Définition 5 Projection orthogonale sur un planSoit P un plan et M un point de l’espace. La droite perpendiculaire à P passant par M coupe le plan P enM ′ appelé projeté orthogonal de sur P.

P

D

b

M ′

b M

P

C ′

C

A

B

Remarque : Si A, B soit deux points d’un plan P et C /∈ P alors# »

AB · # »

AC =# »

AB ·# »

AC ′ où C ′ est le projetéorthogonal de C sur P.

En effet,# »

AB · # »

AC =# »

AB · (# »

AC ′ +# »

C ′C) =# »

AB ·# »

AC ′ +# »

AB ·# »

AC ′ =# »

AB ·# »

AC ′.

Propriété 10Soit A et B deux points de l’espace.

(1) L’ensemble des points M tels que# »

MA · # »

MB = 0 est la sphère de diamètre [AB].

(2) Soit R un réel strictement positif et Ω(a; b; c) un point dans un repère orthonormé de l’espace. Uneéquation cartésienne de la sphère de centre Ω et de rayon R est :

(x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2.

DémonstrationSoit I le milieu de [AB].

(1)# »

MA · # »

MB = (# »

MI +# »

IA) · ( # »

MI +# »

IB =# »

MI2 +# »

MI · ( # »

IA+# »

IB)+# »

IA · # »

IB = MI2 − IA2 car I est le milieu de [AB], c’est-à-dire# »

IA = − # »

IB.

Ainsi,# »

MA · # »

MB = 0 ⇔ IM = IA ⇔ M est un point de la sphère de diamètre [AB].

(2) M(x; y; z) appartient à la sphère de centre Ω et de rayon R si, et seulement si ΩM2 = R2, c’est-à-dire (x− a)2 + (y − b)2 +(z − c)2 = R2.



III - Orthogonalité dans l’espace

1. Vecteurs orthogonaux, vecteurs normaux

Propriété 11Soit #»u et #»v deux vecteurs de l’espace. A, B et C sont trois points tels que #»u =

# »

AB et #»v =# »

AC.#»u · #»v = 0 si, et seulement si #»u =

#»

0 ou #»v =#»

0 ou ÷BAC =π

2.

Démonstration

En effet, #»u · #»v = || #»u || × || #»v || × cos’BAC.

Remarque : La notion d’angle orienté n’a pas de sens dans l’espace mais cos( #»u, #»v ) = cos(−( #»u, #»v )) = cos÷BAC.

Définition 6On dit que deux vecteurs #»u et #»v sont orthogonaux lorsque #»u · #»v = 0.

Remarque : Deux droites de l’espace sont orthogonales si, et seulement si leurs vecteurs directeurs sont ortho-gonaux.

Définition 7Soit O un point et #»ı , #» et

#»

k trois vecteurs non coplanaires de l’espace. Le quadruplet (O; #»ı , #» ,#»

k ) est unrepère de l’espace :

(1) orthogonal de l’espace lorsque les vecteurs #»ı , #» et#»

k sont deux à deux orthogonaux ;

(2) orthonormé (ou orthonormal) de l’espace lorsqu’il est orthogonal et que || #»ı || = || #» || = || #»

k || = 1.

Définition 8On dit qu’un vecteur non nul de l’espace est normal à un plan lorsqu’il est orthogonal à tout vecteur du plan.

Remarque : On rappelle qu’un vecteur est normal à une droite lorsqu’il est orthogonal à tout vecteur directionde cette droite.

Théorème 3Un vecteur est normal à un plan si, et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.

Démonstration

"⇒" Évident par définition du vecteur normal à un plan."⇐" Soit #»u et #»v deux vecteurs non colinéaires d’un plan P et #»n un vecteur orthogonal à #»u et #»v .Soit #»w un vecteur normal de P. Il faut montrer que #»w · #»n = 0.Puisque #»u et #»v sont non colinéaires et que #»u , #»v et #»w sont coplanaires, il existe deux réels α et β tels que #»w = α #»u + β #»v .

Ainsi, #»n · #»w = #»n · (α #»u ) + #»n · (β #»v ) = α #»n · #»u︸︷︷︸

=0

+β #»n · #»v︸︷︷︸

=0

= 0. Ainsi #»n est orthogonal à #»w.

Remarques :

• Soit M un point de l’espace n’appartenant pas à un plan P et H le projeté orthogonal de M sur P. Levecteur

# »

HM est un vecteur normal de P. Ainsi, tout plan de l’espace admet un vecteur normal.

• Deux vecteurs normaux d’un plan de l’espace sont colinéaires.



2. Droites perpendiculaires (ou orthogonales) à un plan

Théorème 4Une droite est perpendiculaire à un plan si, et seulement si tout vecteur directeur de cette droite est normalau plan.

Démonstration"⇒" Soit D une droite perpendiculaire au plan P et #»n un vecteur directeur de D .Considérons #»u et #»v deux vecteurs non colinéaires de P et notons d et d′ deux droites de P de vecteurs directeurs respectifs #»uet #»v .Par définition D est orthogonale à d et d′, donc #»n est orthogonal à #»u et #»v , ainsi #»n est normal à P."⇐" Soit D une droite de l’espace et #»n un vecteur directeur de D . Puisque #»n est normal à D , il est othogonal à tout vecteur deP.

Considérons d et d′ deux droites de P, #»n étant orthogonal aux vecteurs directeurs de d et d′, la droite D est orthogonal à d et

d′, elle est alors perpendiculaire au plan P.

Propriété 12Soit A un point et #»n un vecteur non nul de l’espace.Il existe un unique plan P de vecteurs directeurs #»u et #»v ayant pour vecteur normal le vecteur #»n . De plus,les vecteurs #»u , #»v et #»n sont non coplanaires.

Démonstration

On munit l’espace d’un repère orthonormé et on note

(abc

)

les coordonnées de #»u dans ce repère. Puisque #»u est non nul, on peut

supposer par exemple que a est non nul (dans le cas contraire on échangera les rôles de a, b et c).

Posons #»u

(−c0a

)

et #»v

(−ba0

)

.

Ils sont non colinéaires car

c = kb

0 = ka

a = k × 0

⇔ k = 0 puisque a est non nul, de plus on vérifie facilement que #»n · #»u = 0 et #»n · #»v = 0.

Considérons maintenant le plan P passant par A de vecteurs directeurs #»u et #»v . Si les vecteurs #»u , #»v et #»n étaient coplanaires,

il existerait deux réels α et β tels que #»n = α #»u + β #»v ⇔

a = −αc− βb

b = βa

c = αa

⇔

(1 + α2 + β2)a = 0

b = βa

c = αa

, ce qui est absurde car

puisque a est non nul, il faudrait que 1 + α2 + β2 soit nul, ce qui n’est pas possible.Par suite, les vecteurs #»u , #»v et #»n sont non coplanaires.

On admettra l’unicité.

Propriété 13Soit A un point et #»n un vecteur non nul de l’espace. L’ensemble des points M de l’espace tels que

# »

AM · #»n = 0est le plan passant par A de vecteur normal #»n .

DémonstrationSoit P le plan de vecteur normal #»n . On note #»u et #»v deux vecteurs directeurs de P non coplanaires avec #»n .Ainsi (A; #»u , #»v , #»n) forme un repère de l’espace et pour tout point M de l’espace il existe trois réel x, y et z tels que

# »

AM =x #»u + y #»v + z #»n .

Or,# »

AM · #»n ⇔ x

=0︷︸︸︷#»u · #»n +y

=0︷︸︸︷#»v · #»n +z #»n · #»n = 0 ⇔ z × || #»n ||2 = 0 ⇔ z = 0 ⇔ # »

AM = x #»u + y #»v ⇔ # »

AM, #»u et #»v sont coplanaires ⇔M ∈ P.

D’où le résultat.



3. Plan perpendiculaires

Propriété 14 Admise

Soit P et P′ deux plans de l’espace de vecteurs normaux respectifs #»n et

#»

n′.

(1) P et P′ sont perpendiculaires si, et seulement si #»n ·

#»

n′ = 0.

(2) P et P′ sont parallèles si, et seulement si #»n et

#»

n′ sont colinéaires.

4. Équations cartésiennes d’un plan

Propriété 15Soit A un point et #»n un vecteur non nul de l’espace.

(1) Si #»n a pour coordonnées (a; b; c) dans un repère orthonormé de l’espace, alors le plan P passant par Aet de vecteur normal #»n admet dans ce repère une équation cartésienne de la forme :

ax+ by + cz + d = 0 où a, b, c, d ∈ R.

(2) Un équation de la forme ax+ by + cz + d = 0 où a, b, c, d ∈ R avec (a, c, d) 6= (0, 0, 0) est dans un repèreorthonormé de l’espace une équation cartésienne d’un plan de vecteur normal #»n de coordonnées (a; b; c).

Démonstration

à faire ! ! !

Remarque : Dans un repère orthonormé (O; #»ı , #» ,#»

k ), le plan d’équation z = 0 admet le vecteur#»

k (0; 0; 1)pour vecteur normal et contient le point O(0; 0; 0). C’est donc le plan (O; #»ı , #» ).+donner des exemples pour passer d’une équation cartésienne à un système d’équations paramétriques et récipro-quement


Chapitre

H

Lois à densité


Notion de loi à densité à partird’exemples

Loi à densité sur un intervalle.

Les exemples étudiés s’appuient sur uneexpérience aléatoire et un univers asso-cié Ω, muni d’une probabilité. On définitalors une variable aléatoire X, fonction deΩ dans R, qui associe à chaque issue unnombre réel d’un intervalle I de R. On ad-met que X satisfait aux conditions qui per-mettent de définir la probabilité de l’évé-nement X ∈ J comme aire du domaine :M(x, y) ; x ∈ J et 0 6 y 6 f(x) où fdésigne la fonction de densité de la loi et Jun intervalle inclus dans I.Toute théorie générale des lois à densité etdes intégrales sur un intervalle non bornéest exclue.

Loi uniforme sur [a; b].Espérance d’une variable aléatoire suivantune loi uniforme.

• Connaître la fonction de densité de la loiuniforme sur [a; b].

L’instruction «nombre aléatoire» d’un lo-giciel ou d’une calculatrice permet d’intro-duire la loi uniforme sur [0; 1]. La notiond’espérance d’une variable aléatoire à den-sité f sur [a; b] est introduite à cette occa-

sion par E(X) =

∫ b

a

tf(t) dt. On note que

cette définition constitue un prolongementdans le cadre continu de l’espérance d’unevariable aléatoire discrète.AP Méthode de Mont-Carlo.

Lois exponentielles. • Calculer une probabilité dans le cadred’une loi exponentielle.

On démontre qu’une variable aléatoire Tsuivant une loi exponentielle vérifie la pro-priété de durée de vie sans vieillissement :pour tous réels t et h positifs, PT>t(T >

t+ h) = P (T > h).Espérance d’une variable aléatoire suivantune loi exponentielle.

Démontrer que l’espérance d’une va-riable aléatoire suivant une loi exponen-

tielle de paramètre λ est1

λ.

L’espérance est définie comme la limite

quand x tend vers +∞ de

∫ x

0

tf(t) dt où

f est la fonction de densité de la loi expo-nentielle considérée.Cette partie du programme se prêteparticulièrement à l’étude de situationsconcrètes, par exemple sur la radioactivitéou la durée de fonctionnement d’un sys-tème non soumis à un phénomène d’usure.

55

Terminale S Chapitre H

Loi normale centrée réduite N (0, 1).

Théorème de Moivre-Laplace (admis).

• Connaître la fonction de densité de la loinormale N (0, 1) et sa représentation gra-phique. Démontrer que pour α ∈]0; 1[, il existeun unique réel positif α tel que P (−uα 6

X 6 uα) = 1 − α lorsque X suit la loinormale N (0, 1).• Connaître les valeurs approchées u0,05 ≃1, 96 et u0,01 ≃ 2, 58.

Pour introduire la loi normale N (0, 1), ons’appuie sur l’observation des représenta-tions graphiques de la loi de la variable

aléatoire Zn =Xn − np√

np(1− p)où Xn suit

la loi binomiale B(n, p), et cela pour degrandes valeurs de n et une valeur de pfixée entre 0 et 1. Le théorème de Moivre-Laplace assure que pour tous réels a et b,

P (Zn ∈ [a, b]) tend vers

∫ b

a

1√2π

e−x2

2 dx

lorsque n tend vers +∞.L’espérance d’une variable aléatoire sui-vant la loi N (0, 1) est définie par

limt→−∞

∫ 0

t

tf(t) dt + limx→+∞

∫ t

0

tf(t) dt où

f désigne la densité de cette loi.On peut établir qu’elle vaut 0.On admet que la variance, définie parE(X − E(X))2 , vaut 1.

Loi normale N (µ, σ2) d’espérance µ etd’écart-type σ.

• Utiliser une calculatrice ou un tableurpour calculer une probabilité dans le cadred’une loi normale N (µ, σ2).

Une variable aléatoire X suit une loi

N (µ, σ2) siX − µ

σsuit la loi normale

N (0, 1).On fait percevoir l’information apportéepar la valeur de l’écart-type. [SI et SPC] Mesures physiques sur unsystème réel en essai.

• Connaître une valeur approchée de laprobabilité des événements suivants : X ∈[µ − σ, µ + σ], X ∈ [µ − 2σ, µ + 2σ] etX ∈ [µ − 3σ, µ + 3σ], lorsque X suit laloi normale N (µ, σ2).

La connaissance d’une expression algé-brique de la fonction de densité de la loiN (µ, σ2) n’est pas un attendu du pro-gramme.On illustre ces nouvelles notions par desexemples issus des autres disciplines.


Terminale S Lois à densité

On considère une expérience aléatoire dont l’ensemble des issues ou univers est notée Ω.

I - Variables aléatoires à densité

RappelUne variable aléatoire X est une fonction définie sur Ω à valeurs dans R. Ainsi, pour tout élément x ∈ Ω, ona X(x) ∈ R et on confondra la fonction et ses images, on pourra donc écrire X ∈ R.

Remarques :

• Jusqu’à présent, une expérience aléatoire conduisait à un univers fini, ainsi une variable aléatoire X prenaitun nombre fini de valeurs. La loi de X se définissait par la donnée des probabilités de toutes ses valeurs (ouune formule pour la loi binomiale).

• Il arrive que les issues d’une expérience aléatoire ou les valeurs prises par X puissent-être n’importe quelnombre d’un intervalle I de R (durée de vie d’une ampoule). Dans ce cas, on dit que la loi de probabilité de Xest continue.

• Dans ce cas, on ne la définie plus en donnant la probabilité de chacune de ses valeurs mais la probabilité quechacune de ses valeurs appartiennent à un intervalle [a; b] inclus dans I, on la notera P (X ∈ [a; b]) ou encoreP (a 6 X 6 b).

Définition 1Une fonction f définie sur un intervalle I de R est appelée densité sur I lorsque :

• f > 0 sur I ;

• f est continue (sauf éventuellement en un nombre fini de valeurs) ;

• En notant D = M(x; y)/x ∈ I et 0 6 y 6 f(x), l’aire du domaine D existe et vaut 1 u.a..

Exemples 1

• La fonction définie par f(x) =3

2x2 pour x ∈ [−1; 1] est une densité sur [−1; 1].

• La fonction définie par f(x) =1

x2pour x > 1 est une densité sur [1; +∞[.

Théorème 1 AdmisSoit X une variable aléatoire continue sur Ω et f une densité sur un intervalle I de R.Pour tout intervalle [a; b] de R de la forme, on note :

P (X ∈ [a; b]) =

∫ b

af(x) dx.

P est une probabilité sur Ω et définie ainsi une loi de probabilité de la variable aléatoire X.

Remarque : On a donc pour tous intervalles disjoints [a; b] et [c; d] inclus dans I :

• 0 6 P (X ∈ [a; b]) 6 1 (conservation de l’ordre de l’intégrale) ;

• P (X ∈ I) = 1 ;

• P (X ∈ [a; b] ∪ [c; d]) = P (X ∈ [a; b]) + P (X ∈ [c; d]) (relation de Chasles de l’intégrale).

• Rappelons que si X est une variable aléatoire discrète alors l’espérance de X est

E(X) =n∑

i=1

xiP (X = xi).



Définition 2Soit X une variable aléatoire continue de loi de probabilité définie par la densité f sur I = [a; b].L’espérance E(X) est définie par :

E(X) =

∫ b

axf(x)dx.

Remarque : Lorsque l’intervalle I n’est pas bornée, il faudra passer à la limite dans les bornes de l’intégraledéfinissant l’espérance de X.

II - Loi uniforme

a et b sont deux réels tels que a < b.

Définition 3On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [a; b] lorsque sa densité f est définie sur [a; b]par :

f(x) =1

b− a.

On note X → U ([a; b]).

Exemple 2

La fonction définie par f(x) =1

2sur [3; 5] la densité de la loi uniforme sur [3; 5] et si X → U ([3; 5]) alors par

exemple :

P (X ∈ [0; 4]) = P (X ∈ [3; 4]) =1

2

∫ 4

3dx =

1

2.

Propriété 1Si X suit la loi uniforme sur [a; b] alors

(1) Pour tout a 6 c 6 d 6 b, P (X ∈ [c; d]) =d− c

b− a.

(2) Pour tout a ∈ R, P (X = a) = 0.

(3) E(X) =a+ b

2.

Démonstration

(1) P (X ∈ [c; d]) =

∫ d

c

1

b− adx =

[x

b− a

]d

c=

d− c

b− a.

(2) P (X = a) =

∫ a

a

1

b− adx = 0.

(3) E(X) =

∫ b

a

x1

b− adx =

ïx2

2(b− a)

òba

=b2 − a2

2(b− a)=

b+ a

2.

III - Loi exponentielle

Soit λ un réel strictement positif, la fonction définie sur [0; +∞[ par f(x) = λe−λx est positive et continue, de plus,pour tout réel t > 0, on a :

∫ t

0λe−λx dx =

î−e−λx

ót0= −e−λt + 1.

Par suite, puisque limt→+∞

−λt = −∞ et limX→−∞

eX = 0, par composition et somme de limites, on en déduit que

limt→+∞

∫ t

0λe−λx dx = 1 et on peut noter :

∫ +∞

0λe−λx dx = 1. Ainsi f est une densité sur [0; +∞[.



Définition 4On dit qu’une variable aléatoire T suit une loi exponentielle de paramètre λ, avec λ > 0 lorsque sadensité f est définie sur [0; +∞[ par :

f(x) = λe−λx.

On note T → E (λ).

Remarques :

• pour tous réels 0 6 a < b, on a P (T ∈ [a; b]) =

∫ b

aλe−λx dx =

î−e−λx

óba= e−λa − e−λb.

• Pour tout t > 0, P (T 6 t) =

∫ t

0f(x) dx = 1− e−λt et P (T > t) = 1− P (T < t) = 1− P (T 6 t) = e−λt.

Exemple 3

On considère que la durée de vie d’un élément radioactif est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentiellede paramètre λ.On appelle demi-vie de cet élément, le réel t tel que P (X 6 t) = 0, 5.

1. Exprimer t en fonction de lambda.

Solution P (T 6 t) =

∫ t

0

λe−λx dx = 1− e−λt = 0, 5, d’où e−λt =1

2⇔ −λt = − ln 2 ⇔ t =

ln 2

λ.

2. La demi-vie du Césium 137 est de 30 ans.

Calculer la probabilité que la durée de vie du Césium 137 dépasse 50 ans.

Solution

t = 30 ⇔ λ =ln 2

30.

P (T > 50) = 1− P (T 6 50) = 1−(1− e−λ×50

)= e−

5

3ln 2 =

13√32

≃ 0, 315.

Remarque : La durée de vie d’un appareil est dite «sans vieillissement» lorsque la probabilité qu’il fonctionneencore pendant une durée h (au moins) ne dépend que de h et pas de la durée t de son fonctionnement passé.

Théorème 2Soit T → E (h), elle vérifie la propriété de «durée de vie sans vieillissement» :Pour tous réels t et h positifs : PT>t(T > t+ h) = P (T > h).

Démonstration

PT>t(T > t+ h) =P ((T > t+ h) ∩ (T > t))

P (T > t)=

P (T > t+ h)

P (T > t)=

e−λ(t+h)

e−λt= e−λh = P (T > h).

Exemple 4

La durée de vie T en heure, d’un appareil suit la loi exponentielle de paramètre λ. On a P (T > 800) = 0, 45et P (T > 1200) = 0, 3.Calculer P (T > 2000).

Solution

PT>1200(T > 2000) = P (T > 800) car 2000 = 1200 + 800.

Ainsi,P (T > 2000)

P (T > 1200)= P (T > 800) ⇔ P (T > 2000) = P (T > 800)× P (T > 1200) = 0, 45× 0, 3 = 0, 135.



Propriété 2Si T → E (h) alors son espérance est :

E(T ) = limt→+∞

∫ t

0xλe−λx dx =

1

λ.

Démonstration

En posant u(x) = x et v(x) = −e−λx, on a (uv)′(x) = u′(x)v(x) + u(x)v′(x) = xλe−λx − e−λx.

En intégrant entre 0 et t, par linéarité de l’intégrale, on a : (uv)(t) =

∫ t

0

(uv)(x)dx =

∫ t

0

xλe−λx dx−∫ t

0

e−λx dx.

Donc,

∫ t

0

xλe−λx dx = −te−λt +

∫ t

0

e−λx dx = −te−λt +[

− 1

λe−λx

]t

0=

1

λ

(−λte−λt

)− 1

λe−λt +

1

λ.

En posant X = −λt, on a limt→+∞

X = −∞.

Par composition, limt→+∞

−λte−λt = limX→−∞

XeX = 0 (par croissance comparée) et limt→+∞

e−λt = limX→−∞

eX = 0.

Par produit et somme, limt→+∞

∫ t

0

xλe−λx dx =1

λ, d’où E(T ) =

1

λ.

IV - Lois normales

1. Loi normale N (0, 1)

Définition 5On appelle fonction de Laplace-Gauss, la fonction ϕ définiesur R par :

ϕ(x) =1√2π

e−x2

2 .

Sa représentation graphique est la courbe de Gauss ou courbe«en cloche».

Remarques :

• ϕ est continue, dérivable, positive sur R, paire et admet en 0 un maximum :1√2π

.

• limx→+∞

ϕ(x) = 0 et limx→−∞

ϕ(x) = 0.

Théorème 3 AdmisLa fonction de Laplace-Gauss est une densité sur R.En particulier :

1√2π

∫ +∞

−∞e−

x2

2 dx = 1.

Définition 6On dit qu’une variable aléatoire Z suit la loi normale standard ou centrée réduite lorsque sa densité estla fonction de Gauss-Laplace.On note Z → N (0, 1).

Remarques :

• P (a 6 Z 6 b) =1√2π

∫ b

ae−

x2

2 dx.



• Les primitives de la fonction de Laplace-Gauss existent mais ne peuvent pas s’exprimer à partir d’opérationsalgébriques simples sur les fonctions usuelles. On utilisera la calculatrice pour déterminer une valeur approchéedes probabilités.

Exemple 5

Sur TI : normalFRép(-1,2,0,1) donne P (−1 6 Z 6 2) ≃ 0, 819.

• P (Z 6 0) = P (Z > 0) =1

2.

• P (Z 6 b) = lima→−∞

∫ b

aϕ(x) dx :

Exemple 6

Avec la calculatrice, il faudra écrire normalFRép(-10^99,1,0,1) pour P (Z 6 1) ≃ 0, 841.

Ou bien remarquer que P (Z 6 1) = P (Z 6 0) + P (0 6 Z 6 1) =1

2+ P (0 6 Z 6 1).

• P (Z 6 −b) = P (Z > b) = 1− P (Z 6 b).

• P (−a 6 Z 6 a) = 1− 2P (Z > a) = 2P (Z 6 a)− 1.



Propriété 3 Admise pour la varianceSi Z → N (0, 1) alors son espérance est nulle et sa variance, définie par V (Z) = E

î(Z − E(Z))2

óvaut 1 :

E(Z) = 0 et V (Z) = 1.

Démonstration

•∫ b

a

xϕ(x)dx =1√2π

∫ b

a

xe−x2/2dx =1√2π

î−e−x2/2

óba=

1√2π

Äe−a2/2 − e−b2/2

ä.

Or, par composition lima→−∞

e−a2/2 = limX→−∞

eX = 0 et limb→+∞

e−b2/2 = limX→−∞

eX = 0.

Par somme E(Z) =

∫ +∞

−∞

xϕ(x)dx = 0.

• En ce qui concerne la variance, puisque E(Z) = 0, on a V (Z) = E(Z2).Par ailleurs, à l’aide d’une intégration par parties :∫ b

a

x2ϕ(x)dx =

∫ b

a

x︸︷︷︸

u(x)

×xϕ(x)︸︷︷︸

v′(x)

dx = [−xϕ(x)]ba +

∫ b

a

ϕ(x)dx = aϕ(a)− bϕ(b) +

∫ b

a

ϕ(x)dx.

Par composition et croissances comparées lima→−∞

ae−a2/2 = limb→+∞

be−b2/2 = 0.

Et puisque ϕ est une densité sur R :

∫ +∞

−∞

ϕ(x)dx = 1, d’où V (Z) = 1.

Théorème 4Soit Z → N (0, 1).Pour tout réel α tel que 0 < α < 1, il existe un uniquenombre strictement positif uα tel que

P (−uα 6 Z 6 uα) = 1− α.

Démonstration

Soit Φ(x) =

∫ x

−x

ϕ(t) dt = 2

∫ x

0

ϕ(t)dt (par parité de la fonction de Laplace-Gauss).

Comme ϕ est continue et positive, on en déduit que Φ est dérivable, et que sa dérivée 2ϕ est strictement positive, donc Φ eststrictement croissante sur [0;+∞[.Ainsi, P (−uα 6 Z 6 uα) = Φ(uα).Donc P (−uα 6 Z 6 uα) = 1− α ⇔ Φ(uα) = 1− α.

Puisque 0 < α < 1, on a 0 < 1 − α < 1 et comme la fonction Φ est continue et strictement croissante sur [0;+∞[ avec Φ(0) = 0

et limx→+∞

Φ(x) = 1, d’après le théorème de la bijection, l’équation Φ(x) = 1− α possède une unique solution uα > 0.

Remarque : En pratique, on cherche −uα, tel que P (Z 6 −uα) =α

2avec la calculatrice.

Par exemple pour α = 0, 05, on trouve avec FracNormal(.05/2,0,1), u0,05 ≃ 1, 96 et pour α = 0, 01, u0,01 ≃ 2, 56.



Exemple 7

Lors d’un concours, la moyenne des notes est de 8. On note Z la note obtenue par un candidat. En admettantque Z − 8 suit la loi normale N (0, 1).

1. À combien faut-il fixer la note de réussite pour que 60 % des candidats soient reçus ?

Solution

Le seuil d’admission est le nombre a tel que P (Z > a) = 0, 6.Or, P (Z > a) = 0, 6 ⇔ P (Z − 8 > a− 8) = 0, 6 ⇔ P (Z − 8 6 a− 8) = 0, 4.Avec la calculatrice FracNormal(0.4,0,1), on trouve a− 8 ≃ −0, 25, c’est-à-dire a ≃ 7, 75.

2. Dans quel intervalle de notes, centré en 8, se trouvent 80 % des résultats ?

Solution

On cherche un nombre u tel que P (8− u 6 Z 6 8 + u) = 0, 8 ⇔ P (−u 6 Z − 8 6 u) = 0, 8.

Or, 1− α = 0, 8 ⇔ α = 0, 2 ⇔ α

2= 0, 1.

La calculatrice FracNormal(0.1,0,1) donne u ≃ 1, 28, c’est-à-dire que 80 % des notes sont dans l’intervalle [8−1, 28; 8+1, 28] =[6, 72; 9, 28].

2. Loi normale N (µ, σ2)

Soient µ un réel et σ un réel strictement positifs.

Définition 7Soient µ un réel et σ un réel strictement positifs.

On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi normale N (µ, σ2) lorsque la variable aléatoireX − µ

σsuit

la loi normale centrée réduite N (0, 1).

Remarques :

• µ est l’espérance de X et σ est son écart-type.

• Les calculatrices permettent de calculer directement des probabilités selon la loi N (µ, σ2) mais on peut

toujours se ramener à la loi normale centrée réduite pour la variable aléatoire Z =X − µ

σ.

• La densité de la loi normale N (µ, σ2) est x 7→ 1

σ√2π

e−12(

x−µσ )

2

mais n’est pas à connaître.

Propriété 4Soit une variable aléatoire X suivant la loi normal N (µ, σ2) :

P (µ− σ 6 X 6 µ+ σ) ≃ 0, 683 P (µ− 2σ 6 X 6 µ+ 2σ) ≃ 0, 954 P (µ− 3σ 6 X 6 µ+ 3σ) ≃ 0, 997

3. Lien entre loi binomiale et loi normale

Théorème 5 Moivre-Laplace (Admis)Soit n un entier naturel non nul et p un nombre réel de [0; 1]. On considère les variables aléatoires Xn suivantsune loi binomiale B(n, p). Pour tous les réels a et b avec a < b, on a :

limn→+∞

P

Ña 6

Xn − np»np(1− p)

6 b

é= P (a 6 Z 6 b) où Z suit la loi normale centrée réduite N (0, 1).

Rappel de l’activité vue dans le chapitre sur l’échantillonnage :



En pratiqueOn considère que la limite dans le théorème de Moivre-Laplace est pratiquement atteinte lorsqu’on a simul-tanément n > 30, np > 5 et n(1− p) > 5. Dans ces conditions, on a donc pour tous réels a et b,

P

Ña 6

Xn − np»np(1− p)

6 b

é≃ P (a 6 Z 6 b) où Z suit la loi normale centrée réduite N (0, 1).

Remarque : Comme la loi binomiale est représentée par un histogramme dont les rectangles centrés en chaquevaleur entière k comprise entre 0 et n ont pour largeur 1 et pour hauteur P (Xn = k), lorsqu’on approche la loibinomiale par la loi normale, il est préférable de remplacer P (k1 6 Xn 6 k2) par P (k1 − 0, 5 6 Xn 6 k2 + 0, 5)avant de centrer et réduire la variable aléatoire : c’est ce qu’on appelle la correction de continuité.

Exemple 8

On lance 180 fois de suite un dé équilibré et on souhaite estimer la probabilité d’obtenir entre 25 et 32 fois lechiffre 6.

Solution

Le nombre X de 6 obtenus suit la loi binomiale B(180,1

6).

Les conditions n > 30, np = 180× 1

6= 30 et np(1− p) = 25 permettent de considérer que la variable aléatoire

X − 30

5suit

«approximativement» une loi N (0, 1).On applique une correction de continuité, en remplaçant P (25 6 X 6 32) par P (24, 5 6 X 6 32, 5) et P (24, 5 6 X 6

32, 5) = P

(

−1, 1 6X − 30

56 0, 5

)

.

Or, pour une variable aléatoire Z qui suit la loi normale N (0, 1), on a P (−1, 1 6 Z 6 0, 5) ≃ 0, 556, on peut donc estimerque P (25 6 X 6 32) ≃ 0, 556.Si on calcule la probabilité précédente avec une loi binomiale, on trouve P (25 6 X 6 32) ≃ 0, 563.


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Cours de Terminale S Géométrie et probabilités...Chapitre A Nombres complexes - Forme algébrique Ce que dit le programme Contenus Modalités de mise en oeuvre Commentaires Nombres