Cours Complet Rdm - Mecanique

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de Yves DEBARD (IUT Le Mans)

Module

Elasticit Plane

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2

Sommaire 1. Rappel d'lasticit.......................................................................................................................... 5

1.1 Contraintes...................................................................................................................... 5 1.1.1 Etat des contraintes en un point ...................................................................... 5

1.1.2 Vecteur contrainte en un point pour une direction n

.................................... 5 1.1.3 Contrainte normale et tangentielle.................................................................. 6 1.1.4 Contraintes principales et directions principales............................................ 6 1.1.5 Etats de contraintes particuliers...................................................................... 8 1.1.6 Cercles de Mohr.............................................................................................. 10

1.1.6.1 Cercles de Mohr des contraintes ..................................................... 10 1.1.6.2 Cercles de Mohr en contraintes planes ........................................... 11 1.1.6.3 Construction de Mohr ..................................................................... 13

1.1.7 Etat des contraintes autour d'un point sur la surface d'un solide .................... 13 1.2 Dplacements - Dformations ........................................................................................ 15

1.2.1 Champ des dplacements................................................................................ 15 1.2.2 Etat des dformations au voisinage d'un point................................................ 15 1.2.3 Allongement unitaire en A et pour une direction

q ....................................... 15 1.2.4 Glissement. Distorsion.................................................................................... 16 1.2.5 Dformations principales et directions principales ........................................ 17 1.2.6 Etat de dformations planes............................................................................ 17

1.3 Loi de comportement ...................................................................................................... 18 1.4 Critres de limite lastique ............................................................................................. 19

1.4.1 Critre de Tresca ou du cisaillement maximal ............................................... 19 1.4.2 Critre du plus grand travail de distorsion. Critre de Von Mises ................. 23 1.4.3 Critres exprims dans le cas de contraintes planes ....................................... 23

1.4.3.1 Critre de Tresca ............................................................................. 23 1.4.3.2 Critre de Von Mises ...................................................................... 24

1.5 Types particuliers de problme dlasticit.................................................................... 24 1.5.1 Contraintes planes du plan (x1,x2) ................................................................ 25 1.5.2 Dformations planes ....................................................................................... 25 1.5.3 Problmes axisymtriques mridiens.............................................................. 26

2. Fondement mcanique de la mthode des lments finis.............................................................. 27 2.1 Notations......................................................................................................................... 27 2.2 Problme d'lasticit. Equations d'quilibre ................................................................... 28 2.3 Loi de comportement ...................................................................................................... 29 2.4 Energie de dformation lastique ................................................................................... 29 2.5 Thorme d'unicit.......................................................................................................... 30 2.6 Champ de dplacement virtuel admissible ..................................................................... 30

2.6.1 Dfinition ........................................................................................................ 30 2.6.2 Consquence ................................................................................................... 30

2.7 Energie potentielle d'un systme lastique ..................................................................... 30 2.7.1 Systme un degr de libert ......................................................................... 31 2.7.2 Systme plusieurs degrs de libert ............................................................. 32 2.7.3 Systme continu .............................................................................................. 32

2.8 Approximation par lments finis .................................................................................. 33 2.8.1 Dfinitions ...................................................................................................... 34

2.9 Mthode des lments finis en lasticit, conduite partir des dplacements............... 34 2.10 Application l'lment triangulaire trois noeuds ...................................................... 36

2.10.1 Construction de la loi d'interpolation............................................................ 36 2.10.2 Tenseur des dformations approches .......................................................... 39 2.10.3 Loi de comportement .................................................................................... 39 2.10.4 Matrice de rigidit de l'lment .................................................................... 40

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3

2.10.5 Vecteur d'effort ............................................................................................. 40 2.11 Application une poutre en flexion simple.................................................................. 41

2.11.1 Dcomposition en lments finis.................................................................. 41 2.11.2 Calcul de la matrice rigidit de chaque lment ........................................... 42 2.11.3 Assemblage de la matrice ............................................................................. 44 2.11.4 Introduction des conditions aux limites ........................................................ 47 2.11.5 Rsolution du systme linaire ..................................................................... 47 2.11.6 Calcul des dformations et des contraintes................................................... 48

2.11.6.1 Vecteur dplacement en un point quelconque .............................. 48 2.11.6.2 Tenseur des dformation en un point quelconque ........................ 48 2.11.6.3 Tenseur des contraintes en un point quelconque .......................... 48

2.11.7 Organigramme du processus de rsolution ................................................... 49 2.12 Types d'lments plus performants............................................................................... 50

3. Type d'lments finis et indicateurs de choix................................................................................ 51 3.1 Problmes pratiques poss l'utilisateur de la mthode des lments finis ................... 51

3.1.1 Choix des lments ......................................................................................... 51 3.1.2 Influence du maillage. Etude sur un cas test................................................... 52

4. Description des possibilits du logiciel ......................................................................................... 56 4.1 Modlisation ................................................................................................................... 58

4.1.1 Modlisation de la gomtrie.......................................................................... 59 4.1.2 Modlisation du maillage............................................................................... 64

4.1.2.1 Dfinition des paramtres de maillage............................................ 64 4.1.2.2 Choix de llment .......................................................................... 66 4.1.2.3 Vrification de la qualit du maillage............................................ 71 4.1.2.4 Sauvegarde du maillage ................................................................. 74 4.1.2.5 Maillage par blocs........................................................................... 76

4.2 Sauvegardes des tudes................................................................................................... 79 4.2.1 Modlisation mcanique ................................................................................. 80

4.2.1.1 Dfinition des paisseurs ................................................................ 80 4.2.1.2 Dfinition des matriaux................................................................. 82 4.2.1.3 Dfinition des liaisons .................................................................... 84 4.2.1.4 Dfinition des cas de charges.......................................................... 85 4.2.1.5 Dfinition du modle dtude dynamique....................................... 88

4.3 Calculs ............................................................................................................................ 90 4.3.1 Calcul statique ................................................................................................ 90 4.3.2 Calcul dynamique ........................................................................................... 91

4.4 Exploitation des rsultats................................................................................................ 93 4.4.1 Rsultats du calcul thorique .......................................................................... 93 4.4.2 Rsultats donns par le logiciel ...................................................................... 94

5. Exemples de modlisation ............................................................................................................. 115 5.1 Couronne de pont 17x56................................................................................................. 115

5.1.1 Problme pos................................................................................................. 115 5.1.2 Donnes techniques ........................................................................................ 115 5.1.3 Traitement dun modle OSSATURE ............................................................ 115

5.1.3.1 Modlisation ................................................................................... 115 5.1.4 Traitement dun modle en lasticit plane (contraintes planes) avec le module M. E. F. ....................................................................................................... 116

5.1.4.1 Modlisation ................................................................................... 116 5.1.4.2 Rsultats de ltude en lasticit plane ........................................... 116

5.1.5 Conclusion ...................................................................................................... 120 5.2 Capteur d'effort "PRECIA-precia".................................................................................. 122

5.2.1 Prsentation..................................................................................................... 122 5.2.2 Ralisation ...................................................................................................... 123

5.2.2.1 Forme du corps d'preuve ............................................................... 123

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4

5.2.2.2 Jauges de contraintes....................................................................... 123 5.2.3 Corps d'preuve tudi.................................................................................... 123

5.2.3.1 Epaisseur ......................................................................................... 124 5.2.3.2 Matriau .......................................................................................... 124

5.2.4 Maillage .......................................................................................................... 124 5.2.5 Montage du corps d'preuve ........................................................................... 124 5.2.6 Liaisons........................................................................................................... 125 5.2.7 Chargement ..................................................................................................... 125 5.2.8 Rsultats.......................................................................................................... 125

5.3 Pice support d'ATR 42.................................................................................................. 128 5.3.1 L'avion ATR 42.............................................................................................. 128 5.3.2 Conditionnement d'air..................................................................................... 128 5.3.3 Donnes .......................................................................................................... 129

5.3.3.1 Caractristiques techniques............................................................ 130 5.3.3.2 Appuis : ........................................................................................... 130 5.3.3.3 Charges extrieures ......................................................................... 131

5.3.4 Travail demand ........................................................................................... 131 5.3.4.1 En thorie des poutres..................................................................... 131 5.3.4.2 En lasticit plane ........................................................................... 131

5.3.5 Rsultats.......................................................................................................... 132 5.3.5.1 Appuis de type pivots en C et D ( hyperstatique) ........................... 132

5.3.5.1.1 Maillage........................................................................... 132 5.3.5.1.2 Appuis et dplacements en A et B .................................. 133 5.3.5.1.3 Contraintes quivalente de Von Mises............................ 134

5.3.5.2 Avec appui ponctuel en D (isostatique) .......................................... 135 5.3.5.2.1 Dforme......................................................................... 135 5.3.5.2.2 Contraintes quivalente de Von Mises............................ 135

5.4 Support de galet freineur ................................................................................................ 136 5.4.1 Objectif de ce problme.................................................................................. 136 5.4.2 Prsentation du systme mcanique ............................................................... 136

5.4.2.1 Description du galet freineur .......................................................... 136 5.4.3 Etude statique.................................................................................................. 139

5.4.3.1 Etude statique du galet .................................................................... 139 5.4.3.2 Etude statique du support (15) ........................................................ 140

5.4.4 Etude en lasticit plane ................................................................................. 144 5.4.4.1 Description des liaisons .................................................................. 145 5.4.4.2 Description des charges .................................................................. 146 5.4.4.3 Conditions de l'tude....................................................................... 147

5.4.5 Modle dfinitif .............................................................................................. 148 6. Annexe........................................................................................................................................... 154

6.1 Limites actuelles du logiciel M.E.F................................................................................ 155 6.1.1 Limites de calcul............................................................................................. 155 6.1.2 Sauvegarde des tudes .................................................................................... 155

6.2 Modlisation dune articulation...................................................................................... 156 6.3 Courbes CETIM.............................................................................................................. 158

7. Bibliographie ................................................................................................................................. 161

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5

1. Rappel d'lasticit

1.1 Contraintes

1.1.1 Etat des contraintes en un point On dmontre dans le cours d'lasticit que, compte tenu des hypothses physiques, l'tat de contrainte en un point A (figure 1. 1) est caractris par le tenseur des contraintes. C'est un tenseur du second ordre symtrique. Dans une base orthonorme il est reprsent par la matrice des contraintes qui s'crit :

11 12 13

2322

33

(A) = Sym

1112

13A

31

21

23

32

22

33

X1

X2

X3

Figure 1. 1 : Contraintes autour du point A

Dans cette notation du tenseur des contraintes, le premier indice indique la direction de la normale la facette, le deuxime : la direction de la contrainte

1.1.2 Vecteur contrainte en un point pour une direction n

Soit un point A d'un solide, et une direction repre par un vecteur n

(normale extrieure la matire) .

Soit une facette infiniment petite d'aire dS de normale n

. Le vecteur contrainte au point A pour

la direction n

s'crit :

T (A, n ) = (A) n

Soit :

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6

1 1 + 2+1 311 12 1 11 12 13 3

2 2 + 2+1 3212 1 22 232322

3 3 + 2+33 1 33 23 331 13 23

T n n n nT = n = n n nT n n n n

1.1.3 Contrainte normale et tangentielle Le vecteur contrainte en un point A et pour la direction

n (figure 1. 2) peut tre projet :

- sur la normale, on obtient la contrainte normale :

= T (A ,n) . n = n (A) nt

= [ ]2 21 3 1 311 12 1 11 12 13 31

1 2 3 1 2 33 2 2 22 1 22 1 221 23 23

31 2 3 1 2 33 23 33 3 23 331 1

n + n + n n ( n + n + n )n n n n + n + n n ( n + n + n )

n + n + n n ( n + n + n )

=

- sur le plan tangent, on obtient la contrainte tangentielle telle que:

= T(A ,n) -

A

T(A,n)

n

Figure 1. 2 : Contrainte normale et tangentielle en un point A

1.1.4 Contraintes principales et directions principales

Mathmatiquement on dmontre : le tenseur des contraintes tant rel symtrique, il est

diagonalisable, c'est dire qu'il existe un rel i et une direction X i

telle que:

(A) X = Xi i i

- les trois valeurs propres i sont relles (distinctes ou confondues) ;

- si les trois valeurs propres sont distinctes, les vecteurs propres correspondants Xi

sont orthogonaux.

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7

1

A 2

3

X 1

X 2

X 3

Figure 1. 3: Contraintes principales autour du point A

Traduction mcanique : si les trois contraintes principales 1, 2 et 3 sont distinctes, il

existe trois directions principales orthogonales correspondantes X

1, X

2 et X

3.

Ainsi pour une telle direction X

i le vecteur contrainte :

T ( A , X ) = Xi i i

est colinaire la direction X

i En d'autres termes, la contrainte tangentielle pour cette direction est nulle. Dans cette direction on a donc affaire, soit une sollicitation de traction (i > 0) , soit une sollicitation de compression (i < 0). Dans le repre principal la matrice des contraintes s'crit alors :

1

2

3 ( X X X )1 2 3

(A) =

, ,

Dtermination des contraintes principales et des directions principales (figure 1. 3)

- Les contraintes principales sont dtermines en crivant que le dterminant suivant est nul :

-

--

= 011 12 13

12 23

13 23 33

22

On aboutit l'quation caractristique : -3 + I1 - I2 + I3 = 0

Dans cette quation I1, I2 et I3 sont les trois invariants du tenseur des contraintes ( quantits indpendantes de la base dans laquelle est exprim le tenseur). Dans une base quelconque ils ont pour expression :

I1 = 11 + 22 + 33 = trace de (A) I2 = (11 22 - 12) + ( 22 33 - 23) + ( 11 33 - 13)

I3 = dt [ (A)]

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8

et, dans la base principale :

I1 = 1 + 2 + 3 = trace de (A) I2 = 1 2 + 2 3 + 3 1

I3 = dt [ (A)]

La direction principale X

correspondant la contrainte principale est dtermine en crivant :

111 12 13

212 2322

33313 23

- X 0- X = 0

- X 0

Le dterminant de la matrice (A) - ij tant nul, on ne dispose plus que de deux quations indpendantes (par exemple les deux premires). On ne peut donc dterminer qu'une direction et non un vecteur (l'une des composantes est arbitraire), c'est pourquoi l'on parle de direction principale.

1.1.5 Etats de contraintes particuliers

a) Etat de contrainte uniaxial Dans le repre principal, le tenseur des contraintes se rduit :

1

(X ,X ,X )31 2

0 0 (A) = 0 0 0

0 0 0

Traction simple si 1 > 0, compression simple si 1 < 0 b) Etat de cisaillement simple Soit un repre orthonorm ( A ; X1, X2, X3 ), l'tat de contraintes en A est un tat de cisaillement simple par rapport aux directions

x 1 et

x 2 si le tenseur des contraintes se rduit :

1 2 3( , , )

0 0 (A) = 0 0

0 0 0x x x

Les contraintes principales sont gales :

1 = , 2 = - , 3 = 0 Dans le repre principal, le tenseur des contraintes admet la forme suivante :

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9

(X , X , X )31 2

0 0 (A) = 0 0

0 0 0

c) Etat de contraintes planes On a affaire un tat plan de contraintes paralllement au plan (

x 1,

x 2) si : 13 = 23 = 33 = 0 11 = 11 (x1,x2) , 22 = 22 (x1,x2) et 12 = 12 (x1,x2) C'est le cas des plaques planes charges dans leur plan. Le tenseur des contraintes s'crit alors dans une base quelconque :

211 1

12 22

( , , )31 2

0 (A) = 0

0 0 0 x x x

L'axe

x 3 est donc direction principale et la contrainte principale correspondante est nulle. Dans la base principale :

1

2

(X , X , X )31 2

0 0 (A) = 0 0

0 0 0

d) Etat de contrainte dans une section droite de poutre En tout point A d'une section droite, l'tat de contrainte peut se reprsenter dans la base locale classique de la thorie des poutres ( x 1,

x 2, x 3 ) :

- x 1 tangent la ligne moyenne ; - x 2 et

x 3 dans le plan de section droite et axes principaux de la section.

211 1 13

12

13 ( , , )31 2

(A) = 0 00 0 x x x

Traction (compression) simple :

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10

( , , )31 2

0 0 (A) = 0 0 0

0 0 0 x x x

Flexion pure :

( , , )31 2

0 0 (A) = 0 0 0

0 0 0 x x x

Flexion simple :

12 13

12

13 ( , , )31 2

(A) = 0 00 0 x x x

Torsion avec sections circulaires :

12 13

12

13 ( , , )31 2

0 (A) = 0 0

0 0 x x x

1.1.6 Cercles de Mohr

1.1.6.1 Cercles de Mohr des contraintes

Supposons connues les trois contraintes principales 1, 2 et 3 au point M. On peut montrer

que, dans le plan (,) (appel plan de Mohr), l'extrmit des vecteurs contraintes T

(M, n )

admissibles, n tournant autour du point M , est la surface ombre de la figure 1. 4.

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11

3 12

Max

T(A,n)

Figure 1. 4a : Tricercle de Mohr

Cas particulier important : Dans le cas o le vecteur

n dcrit un plan principal, par exemple ( X

1, X

2 ), l'extrmit du vecteur T

(M, n ) dcrit, dans le plan ( , ) , un cercle centr sur

l'axe O et ayant pour diamtre le segment 1, 2 . C'est notamment le cas en contraintes planes.

1.1.6.2 Cercles de Mohr en contraintes planes En contraintes plane 3 = 0 ainsi la figure ci-dessus devient :

3 12

Max

T(A,n)

= 0

Figure 1. 4b : Tricercle de Mohr en contraintes planes

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12

Plaons nous dans le plan principal (A ; X

1, X

2)

Considrons une facette dont la normale n fait un angle de par rapport l'axe principal X

1.

Soit un vecteur unitaire

t tangent la facette, obtenu par rotation de - /2 de n .

n = cos X + sin Xt = sin X - cos X

1 2

1 2

X2

X1

n

t

facette

B C A

12 2

MT(M,n)

Figure 1. 5 : Construction de Mohr

Le vecteur contrainte admet pour expression :

1

2

0 cos T ( A, n ) =

0 sin

= 1 2 1 2 cos X + sin X

la contrainte normale est : = T ( A, n ) . n

= 1 cos + 2 sin et la contrainte tangentielle dfinie ici par :

= T ( A, n ) . t

= 1 cos sin - 2 sin cos en passant en arc double, il vient :

+ - 1 2 1 2

- 1 2

= + cos (2 )2 2

= sin (2 )2

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13

Lorsque la facette oriente par la normale extrieure

n tourne, l'angle varie. Il lui correspond le point figuratif M (figure 1. 5) Dans le plan de Mohr, le lieu de M lorsque varie est un cercle de centre :

C

=2

1 + 2

= 0 et de rayon

1 2-2

1.1.6.3 Construction de Mohr Convenons de classer les contraintes principales dans l'ordre suivant :

1 > 2 Dans le plan de Mohr (Figure 1. 5) l'axe horizontal est gradu en contrainte normale et l'axe vertical en contrainte tangentielle .

Le point A

=

=

=

0

01 et le point B

/ 2

=

=

=

2

0

Le point M est le point courant. Il correspond une facette qui a tourn de par rapport l'axe

X

1. L'angle au centre ( CA ,CM

) est alors de 2.

Remarque : Ne pas oublier que 3 = 0. Il y a donc trois cercles de Mohr.

1.1.7 Etat des contraintes autour d'un point sur la surface d'un solide

Considrons un point A sur la surface d'un solide. Soit un repre (A; x 1,

x 2,x 3) tel que :

- x 1 et x 2 soient situs dans le plan tangent ;

- x 3 est dirig suivant la normale

A

x

x

x

1

3n ,

t

2

Figure 1. 6 : Point A sur la surface d'un solide

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14

Supposons qu'en A il n'y a pas de chargement. C'est donc que le vecteur chargement extrieur

est nul : Q (A) = 0

Les conditions aux limites sur le chargement imposent : T (A, x ) = Q (A)3

alors : T (A,x = 03 )

(1) Projetons la relation (1) sur la tangente

t dfinie par et sur la normale.

T ( A , x ) . t = 03

(2)

T ( A , x ). x = 03 3

(3) Signification de la relation (2) :

11 12 1 13 3

3 12 232322

3313 3323

0( , ) 0 =

1T A x

=

t = cos x + sin x1 2

alors T (A, x ) . t = cos + sin = 03 13 23

et ceci quel que soit , c'est donc que: 13 = 0 et 23 = 0

Ainsi le tenseur des contraintes s'crit en A: 11 12

12 22

33

0( ) 0

0 0A

=

Ainsi, lorsqu'il n'y a pas de chargement tangentiel la surface au point A, la normale la

surface est une direction principale car:

(A) n = n33

Le plan ( x 1,

x 2) est alors plan principal. Signification de la relation (3) :

T (A ,x ) . x = 0 = 03 3 33

En dfinitive, le tenseur des contraintes s'crit en A: 11 12

12 22

0( ) 0

0 0 0A

=

Conclusion : Lorsque en un point A de la surface d'un solide il n'y a pas de charge extrieure, l'tat de contrainte est un tat de contrainte plane dans le plan tangent la surface.

Cette proprit est mise en oeuvre en extensomtrie.

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15

1.2 Dplacements - Dformations

1.2.1 Champ des dplacements Sous l'effet des efforts, la structure se dforme. Un point M de coordonnes (x1, x2, x3) appartenant la structure se dplace sous le chargement. Son dplacement est caractris par le vecteur dplacement :

U

(M) = u1 (x1,x2,x3)

x 1 + u2 (x1,x2,x3)

x 2 + u3 (x1,x2,x3)

x 3 Comme on est en thorie des petites perturbations, les composantes u1, u2 et u3 sont "petites" .

1.2.2 Etat des dformations au voisinage d'un point

On se place ici dans le cas des petites dformations. On dmontre que l'tat de dformation au voisinage d'un point A est caractris par le tenseur des dformations. C'est un tenseur du second ordre symtrique qui se dduit du champ des dplacements par la relation :

ij = 12

(

u x

i

j+

ux

j

i )

Dans une base orthonorme il s'crit en A :

11 12 13

2322

33

(A) = Sym

1.2.3 Allongement unitaire en A et pour une direction q

Aprs dformation, la longueur ds1 du vecteur AA1

de direction

q 1 est devenue ds'1. On peut alors dfinir l'allongement relatif en A et pour la direction

q 1 (Figure 1. 7) :

C'est la quantit : e (A, q ) = ds' - dsds1

1 1

1

ds'1 et ds1 sont des longueurs infiniment petites. On peut montrer que cette quantit s'exprime partir du tenseur des dformations par :

e ( A , q ) = q (A) q 1t

1 1

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16

Exemple: Calculons l'allongement unitaire dans la direction

x1(1,0,0)

[ ]11 12 13

1 21 2322

3313 23

1e (A, x ) = 1 0 0 0

0

= 11

On interprte ainsi les termes diagonaux du tenseur des dformations qui reprsentent les allongements unitaires dans les trois directions orthonormes.

x

x

AA

A

1

2

1

2

Aprs dformation

dsds

1

2q

q

1

2

x

x

1

2

AA'

A'2

1

q'1

q'2

ds'

ds'2

1

Figure 1. 7 : Dformation au voisinage d'un point A

1.2.4 Glissement. Distorsion

Aprs dformation, l'angle droit A1AA2 est devenu A'1A'A'2. Cette variation d'angle droit s'appelle le glissement ou la distorsion. On peut montrer que le glissement g (A, q q ) 1 , 2

se calcule par :

g (A,q q ) = - 2 q q1, 2t

1 2

Exemple : Calculons la distorsion de l'angle droit ( x 1,

x 3)

[ ]11 12 13

3 21 1 23 1322

3313 23

0g (A, x , x ) = -2 1 0 0 0 - 2

1

=

On interprte ainsi les termes non diagonaux du tenseur des dformations qui reprsentent un facteur prs les distorsions des trois angles droits d'un tridre.

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17

1.2.5 Dformations principales et directions principales

De mme que pour le tenseur des contraintes, le tenseur des dformations tant rel symtrique,

il est diagonalisable, c'est dire qu'il existe un rel i et une direction Xi

telle que :

(A) X = Xi i i

Ainsi dans une telle direction X

i il n'y a pas de glissement mais seulement un allongement. Dans le repre principal en A, la matrice des dformations s'crit alors :

1

2

3 ( X X X )1 2 3

(A) =

, ,

1.2.6 Etat de dformations planes

On a affaire un tat plan de dformations paralllement au plan ( x 1,x 2) si le champ des

dplacements U

(M) de tout point M peut se mettre sous la forme :

U

(M) = u1 (x1, x2) x 1 + u2 (x1, x2)

x 2 + C x3 x 3

Les composantes u1 et u2 ne sont fonctions que des deux seules variables x1 et x2 , C est une constante : la composante suivant x 3 est une fonction affine en x3 Cette hypothse est gnralement admise lorsque l'on tudie des pices cylindriques de gnratrice parallle l'axe x 3 , suffisamment longues pour que l'on puisse ngliger les effets aux extrmits, et charges dans le plan ( x 1,

x 2). C'est le cas des canalisations de transport de fluide par exemple. Dans ces conditions, le tenseur des dformations s'crit :

ij = 12

( u x

i

j+

ux

j

i )

Comme u1 et u2 ne dpendent pas de x3 , 13 = 23 = 0 et 33 = C

11 = u x

1

1 , 22 =

u x

2

2

et 12 = 12

(

ux

1

2 +

u x

2

1 )

Dans la suite on supposera C = 0.

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18

Le tenseur des dformations s'crit alors dans une base quelconque :

1 2 3

11 12

12 22

( , , )

0(A) = 0

0 0 0x x x

L'axe x 3 est donc direction principale et l'allongement unitaire correspondant est nul.

1.3 Loi de comportement

La linarit de la loi de comportement de l'lasticit se traduit par la linarit de la loi qui relie tenseur des contraintes et tenseur des dformations. Soit en notation indicielle :

= + 2 G ij kk ij ij Dans cette relation : ij est le tenseur de Kronecker

ij = 1 si i = j , ij = 0 si i j Dans certains manuels on note G : et G sont les coefficients de Lam, constants pour un matriau donn.

kk = 11 + 22 + 33 est le premier invariant du tenseur des dformations Inversement, on peut exprimer le tenseur des dformations partir de celui des contraintes :

= 1 + E

- E

ij ij kk ij

Dans cette relation :

E est le module de Young et le coefficient de Poisson, constants pour un matriau donn.

kk = 11 + 22 + 33 est le premier invariant du tenseur des contraintes

Les relations entre les diffrents coefficients d'lasticit sont les suivantes :

= E (1- 2 ) (1+ )

, G E=+2 1( )

G est le module de Coulomb. Si = 0,25 alors G = E / 2.5 , c'est le cas pour les matriaux ductiles. Pour l'acier "doux" ( S235 par exemple) : E 200 000 MPa et G 80 000 MPa

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19

En dcomposant sur les axes on obtient :

1111

=

E -

E + )22 33( ,

22

22=

E -

E )33 + 11(

3333

22= E -

E ) + 11( ,

12

12

2=

G, 13

13

2=

G ,

23

232

=

G

1.4 Critres de limite lastique

On supposera dans la suite que la limite lastique en traction simple est gale la limite lastique en compression simple (matriaux ductiles). Soit e cette limite. On connat bien le comportement d'un matriau dans le cas d'une sollicitation de traction simple. Cette connaissance est lie l'essai de traction simple statique. Soit un tat de contrainte complexe caractris en un point A par les trois contraintes principales 1, 2 et 3. Existe-t-il un moyen de savoir si, en ce point, la limite lastique est dpasse ? On peut rpondre cette question par l'affirmative. On dfinit pour cela une contrainte de traction simple g prsentant le mme danger de dpassement de limite lastique que l'tat de contrainte complexe ( 1, 2 ,3). g est appele contrainte quivalente. Bien entendu, dans le cas gnral, g est une contrainte fictive que l'on ne rencontre pas dans la pice contrainte. Il n'y a pas unicit du critre de limite lastique. Au cours de l'histoire de la mcanique des milieux continus dformables, plusieurs critres ont t proposs. Certains sont plus ou moins bien vrifis en fonction du type de matriau sollicit et du type de sollicitation. A l'heure actuelle les logiciels d'lasticit prennent en compte surtout les critre de Tresca et de Von Mises que nous allons expliciter.

1.4.1 Critre de Tresca ou du cisaillement maximal Pour ce critre, l'tat limite est atteint lorsque la contrainte de cisaillement maximal admet la valeur seuil e dtermine par l'essai de torsion. A l'aide de la reprsentation de Mohr, on sait dterminer le cisaillement maximal, il suffit de tracer le plus grand des trois cercles de Mohr.

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20

3 12

Max

T(A,n)

Figure 1. 9 : Tricercle de Mohr et contrainte tangentielle maximale a) Dans le cas particulier d'une sollicitation de traction simple : 1 seul est diffrent de zro. Alors: max = 1 / 2

1

Max

Figure 1. 10: Traction uniaxiale

Le critre de Tresca impose : max = 1/2 e Si 1 atteint sa limite e on obtient: e = e / 2

Ainsi le critre de Tresca impose cette dernire relation entre e et e Rappel :

e est la limite lastique en traction simple. e est la limite lastique en cisaillement simple.

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21

b) Dans le cas particulier d'une sollicitation en contraintes planes Soit un tat de contraintes planes caractris par les deux contraintes principales 1 et 2 (3 = 0). On peut reprsenter cet tat de contraintes dans le plan des contraintes (1, 2). En effet tout tat de contraintes (1 , 2) on fait correspondre un point caractristique M (1, 2). Le point M peut, priori, dcrire tout le plan des contraintes.

1

2

M

Figure 1. 11 : Etat de contraintes planes Distinguons plusieurs cas : 1) 1 et 2 admettent le mme signe Dans ces conditions M appartient au premier ou au troisime quadrant. a) Si 1 > 2

La plus grande scission est :

max = 0,5 1- 3 or 3 = 0 donc: max = 0,5 1

et le critre de Tresca impose : 0,5 1 e

Soit 1 2 e = e . Ainsi dans ces conditions: 1 e Si 1 > 0 alors 1 < e Si 1 < 0 alors 1 > - e

b ) Si 1 < 2

La plus grande scission est : max = 0,5 2 Ainsi dans ces conditions : 2 e Si 2 > 0 alors 2 e Si 2 < 0 alors 2 - e

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22

1 23= 0

Figure 1. 12: 1 et 2 de mme signe

2) 1 et 2 admettent des signes opposs

Dans ces conditions M appartient au deuxime ou au quatrime quadrant. max = 0,5 1 - 2 Si 1 > 2 alors max = 0,5 (1 - 2) soit 1 - 2 e Si 1 < 2 alors max = 0,5 (2 - 1) soit 2 - 1 e

12 3 = 0

Figure 1. 13 : 1 et 2 de signes diffrents

Conclusion :

Pour appliquer le critre de Tresca, il faut bien connatre les signes de 1 et 2 :

- si 1 et 2 ont un mme signe 1 < e et 2 < e ; - si 1 et 2 ont des signes diffrents: 1 - 2 < e

La zone admissible pour le point M est l'intrieur du polygone de la figure 1. 14.

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23

Polygone de Tresca

1 e

e

e

e

e

2 1 e

1

2

2 +

Figure 1. 14 : Polygone de Tresca

1.4.2 Critre du plus grand travail de distorsion. Critre de Von Mises

Pour ce critre, l'tat limite est atteint lorsque l'nergie de distorsion par unit de volume est gale l'nergie de distorsion unitaire limite du matriau. L'nergie de distorsion par unit de volume s'exprime en fonction des contraintes principales par:

dW(f )

dv = 1 +

E [ ( - ) + ( - ) + ( - ) ]1 2

21 3

22 3

2

Dans le cas de la traction simple, seule 1 0 : dW(f )

dv = 1 +

E 2 1

2

Ce critre devant tre valable quel que soit l'tat de sollicitation, on doit donc avoir :

[ ( - ) + ( - ) + ( - ) ] 2 1 22

1 32

2 32

e La contrainte de traction simple quivalente g l'tat de contrainte complexe est alors en fonction des contraintes principales telle que :

g 1 22

1 32

2 32 = 1

2 ( - ) + ( - ) + ( - )

et, en fonction des contraintes non principales :

g 11 222

11 332

22 332

12 23 13 = 12

( - ) + ( - ) + ( - ) + 6 ( + + )

1.4.3 Critres exprims dans le cas de contraintes planes

Seules les contraintes 11, 22 et 12 sont non nulles.

1.4.3.1 Critre de Tresca

g = [(11 - 22)2 + 4 122 ]1/2 Si de plus 22 = 0 (flexion-torsion) alors : g = ( 112 + 4 122 ) 1/2

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24

1.4.3.2 Critre de Von Mises En fonction des contraintes principales, il reste :

g = ( 12 + 22 - 1 2 ) 1/2

L'tat limite est atteint pour: 12 + 22 - 1 2 = e2 C'est l'quation d'une ellipse dont le grand axe est inclin de 45 dans le plan ( 1, 2 )

En fonction des contraintes non principales, il vient :

g = ( 112 + 222 - 11 12 + 3 122 )1/2

Si de plus 22 = 0 (flexion-torsion) alors : g = ( 112 + 3 122 )1/2

Ellipse de Von Mises

Polygone de Tresca

1 e

e

e

e

e

2 1 e

1

2

2 +

Figure 1. 15 : Reprsentation graphique des critres de limite lastique e est la limite lastique du matriau considr.

Conclusion : Il apparat clairement que les critres de Tresca et de Von Mises ne donnent pas tout fait les mmes rsultats ( coefficients 3 ou 4 en flexion-torsion, notamment). L'exprience montre que le critre de Von Mises est souvent plus satisfaisant que celui de Tresca. De plus le critre de Von Mises est d'emploi plus facile que celui de Tresca car il se traduit par une formule unique quadratique, donc sans problme de signe.

1.5 Types particuliers de problme dlasticit

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25

1.5.1 Contraintes planes du plan (x1,x2)

C'est le cas de certaines plaques soumises des forces parallles leur plan moyen. Les contraintes et les dformations sont indpendantes de x3. Le tenseur des contraintes admet la forme :

211 1

12 22

( , , )31 2

0 (A) = 0

0 0 0 x x x

Le tenseur des dformations admet la forme :

211 1

12 22

33 ( , , )31 2

0 (A) = 0

0 0 x x x

33 11 22 = -

1 - ( + )

Avec :

11 11 22 = 1E

( - )

22 22 11 = 1E

( - )

12 12 = 1 +

E

1.5.2 Dformations planes

C'est le cas de certains solides cylindriques d'axe x 3, longs et soumis des forces de surface et de volume perpendiculaire x 3. Ces forces sont indpendantes de la coordonne

x 3 Le tenseur des dformations admet la forme :

211 1

12 22

( , , )31 2

0 (A) = 0

0 0 0 x x x

Le tenseur des contraintes admet la forme :

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26

211 1

12 22

33 ( , , )31 2

0 (A) = 0

0 0 x x x

33 = ( 11 + 22)

Avec :

11 11 22 = 1 +

E - ( )1

22 22 11 = 1 +

E - ( )1

12 12 =

1 + E

1.5.3 Problmes axisymtriques mridiens Par dfinition, la structure, le chargement et les forces de liaisons admettent un axe de rvolution O x 3. De plus toutes les forces sont situs dans des plans mridiens (pas de forces circonfrentielles). Tous les paramtres sont indpendants de la coordonnes circonfrentielle . On traite ce type de problme en coordonnes cylindriques. Le tenseur des dformations admet la forme :

( , , )

0 (A) = 0 0

0

r rz

rz z r z

Le tenseur des contraintes admet la forme :

( , , )

0 (A) = 0 0

0

r rz

rz z r z

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27

2. Fondement mcanique de la mthode des lments finis

Ce bref expos a pour but de prsenter brivement des utilisateurs mcaniciens potentiels les ides essentielles de la mthode des lments finis, applique l'lasticit linaire. Il ne faut pas chercher dans ces quelques lignes une rigueur ni mcanique, ni mathmatique (un ouvrage entier serait alors ncessaire). On rappelle les points essentiels de la mthode, tant mathmatiques que mcaniques. C'est un premier "point d'entre" relativement cette mthode. Les esprits curieux pourront se rfrer la bibliographie fournie. Afin de simplifier les notations, on se limite un expos en lasticit plane.

2.1 Notations

La structure occupe le domaine plan (D), dlimite par la surface (S ).

(M) : tenseur des contraintes ;

(M) : tenseur des dformations ; Notations vectorielles :

U

(M) : champ des dplacements rels ;

U

*(M) : champ de dplacements virtuels ;

f

(M) : champ des efforts volumiques ;

T

(M,n) =

(M) n : vecteur contrainte en M pour la direction n ;

Q

(P): champ des efforts surfaciques sur (S), P(S) ; Notations matricielles des vecteurs et des matrices :

{u} : vecteur dplacement associ un point courant M ; {d} : vecteur dplacement associ aux noeuds d'un lment ; {D} : vecteur dplacement des noeuds de la structure entire ; [E] : matrice relative la loi de comportement ; [B] : matrice associe la relation {} = [B] {d} ; [N] : matrice d'interpolation associe la relation {u} = [N] {d} ; [k] : matrice de rigidit associe un lment ; [K] : matrice de rigidit de la structure ; {r} : vecteur d'effort appliqu aux noeuds d'un lment ; {R} : vecteur d'effort appliqu aux noeuds de la structure ;

W : nergie de dformation de la structure ; P : nergie potentielle de la structure ;

m : nombre d'lments de la structure discrtise ;

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28

2.2 Problme d'lasticit. Equations d'quilibre

Dans tout ce qui suit, on considre que la structure est en quilibre (Figure 2. 1).

Les conditions aux frontires sont gnralement de deux types :

- des forces surfaciques Q

(P) sont imposes sur une partie SF de (S) ;

- des dplacements U

O(P) sont imposs (appuis) sur une partie SU de (S) ;

On suppose que : S = SU SF et SU SF =

Les conditions aux limites vrifier sur S sont alors :

T

(P,

n ) = Q

(P) pour tout point P de SF ; (1)

U

(P) = U

O(P) pour tout point P de SU ;

(M) tant le tenseur des contraintes en M et f

(M) le champ des efforts volumiques, les quations d'quilibre s'crivent :

ij,j + fi = 0 i et j [1,3] (2)

Dans (2) on emploie la convention de l'indice muet.

La relation (2) conduit trois quations aux drives partielles :

x

11

1 + x

12

2 + x

13

3 + f1 = 0

x

21

1 + x

22

2 + x

23

3 + f2 = 0

x

31

1 + x

32

2 + x

33

3 + f3 = 0

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29

x

y

AM

i,j + f = 0i

(D)

S

SF

U

n

Q(A)

Figure 2. 1 : Problme d'lasticit

2.3 Loi de comportement

En lasticit, en petites dformations et pour les matriaux isotropes linaires elle s'crit :

(M) = [E]

(M) (3)

En dformation plane :

11 11

12 12

22 22

1 01-

= 1 0 1-

21 20 02(1- )

et en contraintes planes :

11 11

12 12

22 22

1 0 = 1 0

(1+ ) (1- )1 20 0

2

E

2.4 Energie de dformation lastique

En lasticit, en petites dformations et pour les matriaux isotropes linaires, on appelle nergie de dformation lastique par unit de volume en M, la fonction w(M) telle que :

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30

w(M) = 12ij(M) ij(M) (4)

Pour toute la structure, occupant un domaine D on obtient :

W = w(M) dV

D (5)

2.5 Thorme d'unicit

La thorie de l'lasticit permet de dmontrer que la solution (

(M), U

(M)) vrifiant les conditions aux limites dfinies par (1) est unique si l'nergie de dformation lastique (5) est positive.

2.6 Champ de dplacement virtuel admissible 2.6.1 Dfinition

Un champ de dplacement U

*(M) dfini sur D est dit cinmatiquement admissible, s'il est continment drivable dans D et s'il vrifie les conditions de dplacement sur SU :

U

*(P) = U

O(P) quel que soit P appartenant SU 2.6.2 Consquence

U

*(M) tant continment drivable, on peut partir de ce champ calculer le tenseur des

dformations *(M) et par les lois de comportement, le tenseur des contraintes

*(M). Mais

ce tenseur des contraintes ne vrifie pas les quations d'quilibre et *(M).n ne vrifie pas la

condition aux frontire sur SF, sinon U

*(M) serait le champ des dplacements rels en vertu du thorme d'unicit.

2.7 Energie potentielle d'un systme lastique

On appelle nergie de potentielle de la structure occupant un domaine D, l'nergie dfinie par :

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31

P (U) = W(U) - D

f (M) . U (M) dV

- S

T(P, n ) . U (P) dS


P (U) est l'nergie potentielle de la structure associe au champ de dplacement U(M)

;

W(U) est l'nergie de dformation lastique de la structure associe au champ de

dplacement U(M)

;

la premire intgrale reprsente le travail dvelopp par les efforts volumiques f

(M), et moins cette intgrale reprsente l'nergie potentielle associ ces efforts ;

la deuxime intgrale reprsente le travail dvelopp par les efforts surfaciques T

(P, n)

, et moins cette intgrale reprsente l'nergie potentielle associ ces efforts ;

Considrons un solide dformable plus les charges supportes par celui-ci. Le principe des travaux virtuels permet d'affirmer que :

Parmi tous les champs de dplacement virtuels admissibles, ceux qui satisfont les quations d'quilibre rendent l'nergie potentielle extrmale. Si cet extremum est un minimum, alors l'quilibre est stable.

2.7.1 Systme un degr de libert

Exemple : Ressort de raideur k soumis une charge P. Le dplacement sous la charge P est x (un degr de libert). Dans ce cas l'nergie potentielle du systme est :

P = 12

k x - P x

Le dplacement virtuel x qui conduit l'quilibre statique est tel que :

P = 0

Soit : k x - P = 0

La position d'quilibre est alors : xq= Pk

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32

x

W

x

P

1/2 k x2

1/2 k x2 - Px

- P x

x q

Figure 2. 2 : Energie potentielle d'un ressort

2.7.2 Systme plusieurs degrs de libert

Si la configuration d'un systme dpend de Nd degrs de libert, l'nergie potentielle dpend de ces Nd degrs de libert et :

P = P (D1, D2,......, Dn)

alors : p =

D

P

1

D1 + D

P

2 D2 + ................+

D

P

n Dn

soit, en notation matricielle : p = P1

t D

{ }D

Si l'on cherche un extremum de P, on doit avoir P = 0, quel que soit le champ de dplacements infinitsimal {D}, soit:

D

P

1

= 0 pour i [ 1, Nd ] , soit { }P = 0 D

On obtient ainsi un systme algbrique de Nd quations avec Nd inconnues.

2.7.3 Systme continu

Un systme continu comporte une infinit de degrs de libert. Par exemple en lasticit, tout point matriel M du solide on peut associer un vecteur dplacement :

U(M)

= u1

x 1 + u2

x 2 + u3

x 3

soit trois degrs de libert.

RDM 5.xx Page

33

Comme le nombre de "points" est infini , le nombre de degrs de libert du systme est infini.

La rsolution des quations aux drives partielles (2) d'quilibre , soumises aux conditions aux limites (1) n'est pas chose facile !

L'ide de la thorie des lments finis est donc de rduire le systme un nombre Nd fini de degrs de libert, c'est dire d'effectuer le calcul en un nombre fini de points appels noeuds du systme, on obtient ainsi une solution approche partir de la rsolution de Nd quations algbriques. La solution est approche en ce sens que les quations d'quilibre ne seront pas rigoureusement satisfaites en tout point M du solide, le nombre de degrs de libert tant fini. Cette solution sera d'autant moins approche que ce nombre de degrs de libert sera important.

2.8 Approximation par lments finis

Raisonnons pour plus de facilit en dformation plane.

En lasticit, on considre gnralement que le champ des dplacements U(M)

est l'inconnue premire du problme.

Soit : U(M)

= u1(x1,x2)

x 1 + u2(x1,x2)

x 2

x

x

De

O

D

l

m

n

1

2

Figure 2. 3 : Dcoupage en lments finis

Appelons u l'une des deux composantes u1 ou u2. La mthode d'approximation par lments finis simplifie la construction de la fonction approche u et s'adapte bien au calcul sur ordinateur. Elle consiste :

- dfinir un ensemble De de sous-domaines de D , sans recouvrements ni intersections (l'exposant e signifie lment) (figure 2. 3) ; - dfinir un champ de dplacements cinmatiquement admissible (fonction approche) ue (x1, x2) diffrente sur chaque lment par la mthode d'approximation nodale.

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34

L'approximation nodale utilise admet de plus les particularits suivantes :

- cette approximation ue (x1,x2) ne fait intervenir que les noeuds situs sur De et sur

sa frontire ; - les fonctions ue (x1,x2) sont continues sur D

e et elles satisfont des conditions de continuit entre les diffrents sous-domaines De.

2.8.1 Dfinitions

Les sous domaines De sont appels des lments ; Les points en lesquels la fonction u (x1, x2) concide avec la fonction exacte u

e (x1, x2) sont les noeuds d'interpolation ; Les coordonnes (x1, x2) de ces noeuds sont les coordonnes nodales ; Les valeurs des dplacements (d1, d2) au noeud d'interpolation considr sont les variables nodales.

La solution est obtenue quel que soit le point M en se servant de fonctions d'interpolation N, soit :

{u} = [ N ] { d }


{u} est le vecteur comportant les deux composantes du vecteur dplacement U(M)

; {d} est le vecteur qui comporte autant de composantes que l'lment possde de degrs de libert nd ; enfin [N] est une matrice rectangulaire 2 lignes et nd colonnes appele matrice d'interpolation. Chaque terme de cette matrice est fonction des coordonnes des noeuds de l'lment et des coordonnes du point M.

2.9 Mthode des lments finis en lasticit, conduite partir des dplacements

A partir du champ des dplacements, on peut construire le tenseur des dformations car :

ij = i, j j,iu + u

2

On obtient sous forme condense:

{} = [B] {d }

On obtient ainsi le potentiel d'un lment :

Pe = { } [ ] [ ][ ] { } { } [ ] { } { } [ ] { }t t t t t tDe De Se

1 d B E B dV d - d N f dV- d N Q dS2

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35

L'nergie potentielle totale du systme est la somme des nergies potentielles des lments. Faisons intervenir de plus le potentiel des charges P concentres, directement appliques aux noeuds. On obtient alors pour les m lments :

P = { } { }m

Pei 1

- D Pt

=

On appelle maintenant {D} le vecteur des dplacements de la structure totale. Il comporte 2 Nd composantes si la structures comporte Nd noeuds.

Pe=

{ } [ ] [ ][ ] { } { } [ ] { } [ ] { } { } { }m mt t t t t t i=1 i=1De De Se

1 D B E B dV D - D N f dV- N Q dS - D P2

La configuration d'quilibre est obtenue si P = 0, quel que soit le champ de dplacements infinitsimal {D}, soit :

D

P

i = 0 pour i [ 1, Nd ] , soit { }P = 0 D

On obtient ainsi un systme algbrique de Nd quations avec Nd inconnues :

[ ] [ ][ ] { } [ ] { } [ ] { } { }m mt t ti=1 i=1De De Se

B E B dV D = N f dV+ N Q dS P

+

Appelons : [k] = [ ] [ ][ ]tDe

B E B dV

chacune des m matrices de rigidit lmentaire du premier membre de la relation prcdente.

De mme notons : {r} = [ ] { } [ ] { }t tDe Se

N f dV + N Q dS

le vecteur du second membre relatif chaque lment.

On peut alors crire de faon simplifie :

[ ] { } { } { }m mi=1 i=1

k D = r P +

Cette relation peut encore s'crire de faon plus concise :

[K] {D} = {R}

[K] s'appelle la matrice rigidit de la structure totale (connue aprs calcul) ; {D} est le vecteur dplacement (inconnu) de la structure complte ; {R} est le vecteur (connu) des efforts extrieurs appliqus la structure.

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36

On obtient donc un systme linaire de Nd quations Nd inconnues que l'on sait bien rsoudre numriquement par des mthodes de type Gauss ou par des mthodes itratives pour les grands systmes.

2.10 Application l'lment triangulaire trois noeuds

On suppose que les efforts f

(M) de volume sont nuls. On dtaille la mthode de calcul sur ce type d'lment car les calculs engendrs sont simples, la mthode expose n'en reste pas moins gnrale. Cependant, les rsultats issus d'un calcul avec ce type d'lment sont regarder de trs prs.....

u

vk

k

um

un

vn

vm

k

m

n

x x x

y

y

yk

m

n

k n m x

y

Figure 2. 4: Elment triangulaire 3 noeuds 2.10.1 Construction de la loi d'interpolation

Comme on dispose de trois noeuds d'interpolation on peut crire :

u (x,y) = 1 + 2 x + 3 y (20) v (x,y) = 4 + 5 x + 6 y

i sont des coefficients qu'il s'agit de dterminer en fonction des dplacements des noeuds. Les relations ci-dessus montrent que l'approximation des dplacements est linaire sur un lment.

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37

En notant [F] la matrice d'interpolation : [F] =F1

2

(x,y)F (x,y)

= 1 x y 0 0 00 0 0 1 x y

et {U} le vecteur des dplacements en un point M du domaine {U} = u (x,y)v (x,y)

On peut crire matriciellement :

u (x,y)v (x,y)

= 1 x y 0 0 00 0 0 1 x y

1

2

3

4

5

6

Il faut crire ensuite que les dplacements en un point quelconque sont construits partir de ceux des noeuds (interpolation) :

uk = 1 + 2 xk + 3 yk vk = 4 + 5 xk + 6 yk um = 1 + 2 xm + 3 ym vm = 4 + 5 xm + 6 ym un= 1 + 2 xn + 3 yn vn = 4 + 5 xn + 6 yn

Soit matriciellement :

k kk 1

k kk 2

m m m 3

m m m 4

n n n 5

n n n 6

u 1 x y 0 0 0v 0 0 0 1 x yu 1 x y 0 0 0

= v 0 0 0 1 x yu 1 x y 0 0 0v 0 0 0 1 x y

et, sous forme condense :

{d} = [A] {} (21)

En inversant cette relation matricielle, on obtient :

{} = [A]-1 {u} = [C] {d} ( car les dplacements des noeuds sont nots {d} (22)

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38

Soit :

211 1 13 k1

21 22 232 k

m32 33313

me 2 311 1 14

n2321 225

n31 32 336

c 0 c 0 c 0 uc 0 c 0 c 0 vc 0 c 0 c 0 u1 = 0 c 0 c 0 c v2 0 c 0 c 0 c u0 c 0 c 0 c v

Les i sont maintenant dtermins en fonction des coordonnes des noeuds k, m et n et des dplacements de ceux-ci.

On note e l'aire de l'lment qui est dfinie par :

e = 12

det 111

x yx yx y

k k

m m

n n

e est l'aire du triangle k, m, n. Il apparat donc intressant d'avoir un triangle d'aire maximale car e intervient au dnominateur ( en tout tat de cause non nul ! ).

La matrice [C] contient les coordonnes des noeuds k, m et n ( dcrit dans le sens trigonomtrique).

c11= xm yn - xn ym c12= xn yk - xk yn c13 = xk ym - xm yk

c21= ym - yn c22= yn- yk c23 = yk - ym

c31= xn - xm c32= xk- xn c33 = xm - xk (23)

u (x,y)v (x,y)

= 1

2 e

1 x y 0 0 00 0 0 1 x y

[C]

k

k

m

m

n

n

uvuvuv

Ces relations dfinissent le champ de dplacement linaire sur un lment.

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39

2.10.2 Tenseur des dformations approches

En lasticit plane :

11 = u1,1 22 = u2,2 et 12 = (u1,2 + u2,1)/2 (24)

Compte tenu des relations (20), il vient :

11 = 2 22 = 6 et 12 = ( 3 + 5 )/2 (25)

Ainsi, l'intrieur d'un lment les dformations et donc les contraintes sont constantes.

k

k21 22 2311

m31 322 332

me2 33 2312 1 21 32 23

n

n

uv

c 0 c 0 c 0u1 = 0 c 0 c 0 cv2

2 c c c c c cuv

e est l'aire du triangle k, m, n. Soit en remplaant les cij par leurs valeurs :

k

k11 m n n k mk m

22 n m n mk k me12 n m m n n n m mk k k k n

n

uv

y -y 0 y -y 0 y -y 0u1 = 0 x -x 0 x -x 0 x -x v2

2 x -x y -y x -x y -y x -x y -yuv

Le champ des dformations est donc constant l'intrieur de l'lment.

Soit : {} = [B] {d} (27) Notons que la matrice [B] est constante l'intrieur d'un lment.

2.10.3 Loi de comportement

Elle s'crit :

= [E]

(28)

En contraintes planes :

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40

[E] = E

1

1 01 0

10 02

(29)

et en dformations planes :

[E] = E

( )( )1 1 2+

(1 ) 01 0

10 02

Dans les deux cas on peut crire : [E] = 11 12

12 22

33

00

0 0

E EE E

E

Remarquons que l'on passe de (29) (30) en substituant :

E

1 E et

1

2.10.4 Matrice de rigidit de l'lment

La matrice de rigidit de l'lment vaut :

[k] = [ ] [ ][ ]tDe

B E B dV

Dans ce cas, les matrices [B] et [E] tant constantes, l'intgration donne simplement :

[k] = [ ] [ ][ ]tDe

B E B dV = [B]t[E][B] V V est le volume de l'lment.

2.10.5 Vecteur d'effort

Il s'crit : {r} = [ ] { }tSe

N Q dS

Lorsque l'on prend en compte l'ensemble des lments, ce vecteur s'annule sauf pour les lments dont les cots sont des frontires charges par un chargement extrieur.

Remarque :

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41

On a dj fait remarquer que les contraintes l'intrieur d'un lment sont uniformes. Ce type d'lment est donc proscrire dans les zones fort gradient de contraintes. Par contre, en traction, cet lment peut s'avrer intressant.

2.11 Application une poutre en flexion simple

Soit la poutre ci-dessous, en flexion simple, encastre son extrmit gauche et supportant une charge verticale droite. Considrons la poutre d'paisseur constante e. Le processus de rsolution est le suivant :

2.11.1 Dcomposition en lments finis On dfinit le contour de la pice et l'on dcompose l'intrieur en un certain nombre d'lments (ici triangulaires).

(I) (II)

(III) (IV)

2

1

4

3

6

5

F

x

y

L L

H

Figure 2. 5

L'lment gnrique est dfini gomtriquement par la position de ses trois noeuds k, m et n :

u

vk

k

um

un

vn

vm

k

m

n

x x x

y

y

yk

m

n

k n m x

y

Figure 2. 6

RDM 5.xx Page

42

La poutre est ici spare en 4 lments ( I IV ) et comporte 6 noeuds.

2.11.2 Calcul de la matrice rigidit de chaque lment Si S est l'aire d'un lment, la matrice de rigidit d'un lment est :

[k] = [B]t [E] [B] e S

Faisons une tude en lasticit plane alors la matrice d'lasticit est :

[E] =11 12

12 22

33

00

0 0

E EE E

E

La matrice [B] est issue de la relation entre le vecteur dplacement des noeuds et le vecteur des dformations : {} = [B] {d} Cette relation s'explicite par :

l

l11 m n n l l m

m22 n m l n m l

e m12 n m m n l n n l m l l m

n

n

uv

y -y 0 y -y 0 y -y 0u1 = 0 x -x 0 x -x 0 x -x v2


e est l'aire du triangle k, m, n . Si l'on passe de k m et de m n par rotation dans le sens trigonomtrique. Elle se calcule par :

e = 12

det 111

x yx yx y

k k

m m

n n

Dans l'exemple, l'aire commune tous les triangles est e = H L / 2 soit 2 e = H L Pour l'lment choisi, la matrice [k] ne comporte que les coordonnes des noeuds et les coefficients d'lasticit.

La matrice de rigidit traduit la relation qui existe entre les efforts appliqus par les noeuds sur les lments.

Cet effort sera not : { Fe } =

k

k

m

m

n

XYXYXYn

et les dplacements associs : {d} =

k

k

m

m

n

n

uvuvuv

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43

Ainsi :

k

k

m

m

n

n

XYXYXY

= Ke

k

k

m

m

n

n

uvuvuv

Nous allons faire tout d'abord deux remarques essentielles pour la suite. Faisons une remarque relative la matrice lmentaire [Ke] associe l'lment ( k, m, n). On peut dcomposer la matrice (6,6) en 9 blocs (2,2) dont la lecture est la suivante :

kmm : coefficients des forces exerces sur l'lment, au voisinage du noeud m, dues aux dplacements du noeud de numro m kmn : coefficients des forces exerces sur l'lment, au voisinage du noeud m, dues aux dplacements du noeud de numro n

k

k

m

m

n

n

XYXYXY

= kk km kn

mm mnmk

nnnmnk

k k kk k kk k k

k

k

m

m

n

n

uvuvuv

Matrice de rigidit de l'lment I :

3 3

3 333,I 32,I 31,I

2 223,I 22,I 21,I

2 213,I 12,I 11,I

1 1

1 1

X uY v

k k kX u

k k k Y v

k k kX uY v

=

Matrice de rigidit de l'lment II :

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44

3 3

3 333,II 35,II 34,II

5 553,II 55,II 54,II

5 543,II 45,II 44,II

4 4

4 4

X uY v

k k kX u

k k k Y v

k k kX uY v

=

Matrice de rigidit de l'lment III :

3 3

3 333,III 34,III 32,III

4 443,III 44,III 42,III

4 423,III 24,III 22,III

2 2

2 2

X uY v

k k kX u

k k k Y v

k k kX uY v

=

Matrice de rigidit de l'lment IV :

5 5

5 555,IV 56,IV 54,IV

6 665,IV 66,IV 64,IV

6 645,IV 46,IV 44,IV

4 4

4 4

X uY v

k k kX u

k k k Y v

k k kX uY v

=

2.11.3 Assemblage de la matrice Cet assemblage consiste traduire l'quilibre des noeuds et donc expliciter la relation matricielle :

[ ] { } { } { }4 4i=1 i=1

- k D = r P +

Le signe moins apparat devant [k] car il s'agit maintenant des actions des lments sur le noeud isol Quand on isole un noeud i, il intervient les actions de tous les lments partageant ce noeud.

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45

Exemple : Noeud numro 3 :

I

IIIII

Noeud 3

Figure 2. 7 Les lments II, III et I agissent sur le noeud numro 3 : Il n'y a pas d'effort extrieur. Son quilibre se traduit par : FII3 + FIII3 + FI3 = 0

(III)

2 4

3

(I)

2

1 3

(II)

4

3 5

Figure 2. 8

FII3 provient des dplacements des noeuds 3, 4 et 5 FI3 provient des dplacements des noeuds 3,2 et 1 FIII3 provient des dplacements des noeuds 3, 4 et 2

Ainsi : FII3 = F33,II + F34,II + F35,II Autrement dit, l'action de l'lment II sur le noeud 3 est due :

- aux dplacements du noeud 3 : k33,II - aux dplacements du noeud 4 : k34,II - aux dplacements du noeud 5 : k35,II

et : FI3 = F33,I + F32,I + F31,I Autrement dit, l'action de l'lment I sur le noeud 3 est due :

- aux dplacements du noeud 3 : k33,I - aux dplacements du noeud 2 : k32,I - aux dplacements du noeud 1 : k31,I

enfin : FIII3 = F33,III + F34,III + F32,III Autrement dit, l'action de l'lment III sur le noeud 3 est due :

- aux dplacements du noeud 3 : k33,III - aux dplacements du noeud 4 : k34,III - aux dplacements du noeud 2 : k32,III

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46

Ces termes sont encadrs dans la matrice page suivante.

(I) (II)

(III) (IV)

2

1

4

3

6

5

F

Figure 2. 9 Il s'agit maintenant de constituer une matrice gnrale en "clatant" les matrices de rigidit de chaque lment en blocs (2,2) et en les plaant convenablement dans la matrice gnrale. On obtient ainsi la matrice associe la numrotation choisie :

dp1

u1 , v1 dp2 u2 , v2

dp3 u3 , v3

dp4 u4 , v4

dp5 u5 , v5

dp 6 u6 , v6

force1 X1 , Y1

k11,I

k12,I k13,I

force2 X2 , Y2

k21,I k22,I + k22,III

k23,I + k23,III

k24,III + k24,III

force3 X3 , Y3

k31,I

k32,I + k32,III

k33,I + k33,II + k33,III

k34,II + k34,III

k35,II

force4 X4 , Y4

k42,II

k43,IV + k43,III

k44,II + k44,III + k43,IV

k45,II + k45,IV

k46,IV

force5 X5 , Y5

k53,II k54,II + k54,IV

k55,II + k55,IV

k56,IV

force 6 X6 , Y6

k64,IV k65,IV k66,IV

Dans cette matrice, chaque sous-matrice [k] doit tre prcde du signe moins car il s'agit des actions des lments sur le noeud isol On s'aperoit que cette matrice s'organise autour de la diagonale principale (matrice bande) . Ceci est d la numrotation choisie pour les noeuds.

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47

La demi-largeur de bande (1/2 LB) compte en noeuds est gale la plus grande diffrence entre les indices des noeuds d'un mme lment augmente de un. Le stockage de la matrice est alors celui de la bande. On voit donc l'importance de la numrotation des noeuds. La plupart des logiciels comporte une procdure de renumrotation des noeuds qui minimise la largeur de bande. Cette procdure est totalement transparente pour l'utilisateur qui ne voit que sa propre numrotation ( si la numrotation a t faite manuellement). On aboutit un systme linaire de 12 quations 12 inconnues, dont la matrice rigidit est [Kg].

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

u 0v 0u 0v 0

Kg u 0v 0

= u 0v 0u 0v -Fu 0v 0

2.11.4 Introduction des conditions aux limites

Deux types de noeuds sont considrer :

- les noeuds 3, 4, 5 et 6 sont dplacements libres. Leurs dplacements sont inconnus, par contre les efforts extrieurs appliqus en ces noeuds sont connus :

- nuls pour les noeuds 3, 4 et 5 ; - (0, -F) pour le noeud 6

- les noeuds 1 et 2 sont encastrs sur le bti, ainsi leurs dplacements sont nuls. Par contre les efforts extrieurs ne sont pas connus.

Ainsi en un noeud, on connat soit le dplacement, soit l'effort. Le systme linaire prcdent est donc restructur pour ne garder dans ce systme que les noeuds dont les dplacements sont inconnus.

2.11.5 Rsolution du systme linaire Il s'effectue par la mthode de Gauss tant que les systmes ne sont pas trop important. Lorsque les systmes sont trs grands la mthode de Gauss peut conduire des erreurs importantes. On met alors en oeuvre des mthodes indirectes (itratives).

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48

Le rsultat de cette rsolution est l'obtention des dplacements des noeuds :

3, 4, 5 et 6 les dplacements des noeuds 1 et 2 sont nuls.

Ainsi, ce stade, on connat les dplacements de tous les noeuds du maillage.

2.11.6 Calcul des dformations et des contraintes

2.11.6.1 Vecteur dplacement en un point quelconque

Sur l'lment gnrique (l, m, n) les relations suivantes permettent de calculer les dplacements en un point quelconque M de l'lment :

u (x,y)v (x,y)

= 1

2 e

1 x y 0 0 00 0 0 1 x y

[C]

uvuvuv

1

1

m

m

n

n

2.11.6.2 Tenseur des dformation en un point quelconque Le tenseur des dformations se calcule par :

xx = u x

, yy =

v y

et xy = 12

(

u y

+

vx

)

Soit par :

k

kxx km n n k m

myy n m k n m ke m

xy n m m n k n n k m k k mn

n

uv

y -y 0 y -y 0 y -y 0u1 = 0 x -x 0 x -x 0 x -x v2


Le tenseur des dformations est constant sur l'lment.

2.11.6.3 Tenseur des contraintes en un point quelconque Le tenseur des contraintes se calcule partir du tenseur des dformations par la loi de comportement :

= [E]

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49

Le tenseur des contraintes est constant sur l'lment. A partir de ces lments fondamentaux, on peut calculer tous les lments drivs :

- critres de limite lastique ( Tresca, Von-Mises,......) ; - les directions et les contraintes principales ; - ....................

2.11.7 Organigramme du processus de rsolution Compte tenu de ce qui vient d'tre dit, on peut rsumer le processus l'aide de l'organigramme de principe suivant :

Entre des donnes

Calcul des matrices lmentairesdans le repre local

Assemblage de la matrice de rigidit globale

Introduction des conditions aux limites

Rsolution du systme d'quationset

dtermination des dplacements des noeuds

Calcul des effets lastiquesen fonction

des dplacements des noeuds

Edition des rsultats

Figure 2. 10 : Algorithme de rsolution

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50

2.12 Types d'lments plus performants On a vu que le triangle 3 noeuds conduit une approximation linaire pour le champ des

dplacements et uniforme pour le tenseur des contraintes. Des lments plus performants sont utiliss lorsque l'on veut une approximation plus prcise.

Elments triangulaires

Elments quadrangulaires

Linaire : 3 noeuds Quadratique : 6 noeuds Cubique: 9 noeuds

Linaire : 4 noeuds Quadratique incomplet : 8 noeuds

Quadratique complet : 9 noeuds Cubique : 12 noeuds

Figure 2.11 : Diffrents lments utiliss en 2D

Exemple : Pour un domaine D deux dimensions Polynme de degr 1 : 1, x, y nd = 3 Polynme de degr 2 : 1, x, y, x, y, xy nd = 6 En d'autres termes :

- pour approximer linairement u il faut disposer de 3 noeuds d'interpolation ;

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51

- pour approximer quadratiquement u il faut disposer de 6 noeuds d'interpolation ; - pour approximer cubiquement u il faut disposer de 10 noeuds d'interpolation si l'on veut disposer d'une base complte.

Dans certaines applications on se contente de base incomplte. Par exemple : Base bilinaire : 1, x, y, xy nd = 4

3. Type d'lments finis et indicateurs de choix

3.1 Problmes pratiques poss l'utilisateur de la mthode des lments finis

En pratique diffrents problmes pratiques se posent l'utilisateur de logiciel mettant en oeuvre la mthode des lments finis :

- choix des lments du maillage: triangle, quadrangle, nombre de noeuds de ces lments... - le choix des lments tant fait, quelle doit tre la densit de ce maillage ? - validit de la solution approximative trouve, la solution thorique n'tant videmment pas connue dans le cas gnral.

Soit un maillage M1 ralis l'aide de N lments triangulaires 6 noeuds. Soit un autre maillage M2 ralis l'aide de 2N lments triangulaires 3 noeuds. Bien qu'ayant le mme nombre de noeuds, ces deux maillage ne sont pas quivalents. On a vu que l'lment 3 noeuds est la base d'une approximation linaire des dplacements, alors que celui 6 noeuds conduit une approximation quadratique des dplacements et est donc beaucoup plus performant.

Il est difficile l'heure actuelle de rpondre de faon trs prcise ces diffrents points. Dans la rfrence (11) les auteurs prcisent d'ailleurs que : "beaucoup d'tudes ont t consacrs aux aspects thoriques mais peu d'articles traitent de la dmarche suivre pour analyser et concevoir une pice mcanique dans le contexte industriel". De faon gnrale on peut cependant donner quelques recommandations de bon sens. L'approximation de la solution d'un problme d'lasticit linaire doit rsulter de plusieurs tudes :

- considrer plusieurs maillages avec le mme type d'lments ; - utiliser des lments de type diffrents.

Il semble que l'exprience joue un grand rle dans la rponse aux questions poses. Les auteurs prcisent que les systmes experts associs des bases de connaissances devraient jouer un rle important dans les annes venir.

3.1.1 Choix des lments

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52

- pour les problmes plans ou axisymtriques o la zone discrtiser ne comporte pas d'accidents, les lments triangulaires 3 noeuds ou quadrangulaires 4 noeuds sont conomiques ; - si la flexion intervient, les lments de type quadrangle 8 noeuds, 9 noeuds ou triangulaire 6 noeuds sont performants.

3.1.2 Influence du maillage. Etude sur un cas test

Poutre encastre : Acier : E=210000 MPa , = 0,28 Epaisseur e = 10 mm Longueur L = 90 mm Hauteur H = 30 mm Charge rpartie p = 100 N/mm

On fait varier deux types de paramtres du maillage :

- le type d'lments : - triangles 3 noeuds ; - quadrangles 4 noeuds ; - triangles 6 noeuds ; - quadrangles 8 noeuds ;

- la densit des lments.

Aciere = 10 mm

30

90

p = 100 N/mm

x

y

Figure 3. 1

Diffrents maillages (suivant x, suivant y) :

triangle 3 noeuds

Quadrangle 4 noeuds

Triangle 6 noeuds

Quadrangle 8 noeuds

Quadrangle 9 noeuds

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53

a) maillage 3 x 1; b) maillage 6 x 2; c) maillage 9 x 3; d) maillage 12 x 4; e) maillage 15 x 5; f) maillage 18 x 6;

g) maillage 3 x 1; h) maillage 6 x 2; i) maillage 9 x 3; j) maillage 12 x 4; k) maillage 15 x 5;l) maillage 18 x 6;

m) maillage 3 x 1; n) maillage 6 x 2; o) maillage 9 x 3;

p) maillage 3 x 1; q) maillage 6 x 2; r) maillage 9 x 3;

s) maillage 3 x 1; t) maillage 6 x 2; u) maillage 9 x 3;

Nature des lments Maillage Nb noeuds

Nb lments

Valeur absolue du dplacement suivant y en mm

Triangle 3 noeuds a 8 6 0,063 b 21 24 0,110 c 40 54 0,142 d 65 96 0,160 e 96 150 0,170 f 133 216 0,176 Quadrangle 4 noeuds g 8 3 0,133 h 21 12 0,171 i 40 27 0,182 j 65 48 0,186 k 96 75 0,188 l 133 108 0,190 Triangle 6 noeuds m 21 6 0,185 n 65 24 0,192 o 133 54 0,193 Quadrangle 8 noeuds p 18 3 0,186 q 53 12 0,192 r 106 27 0,193 Quadrangle 9 noeuds s 21 3 0,189 t 65 12 0,193 u 133 27 0,1937

La figure suivante montre que le triangle 3 noeuds est trs peu performant. Mme lorsque le nombre de noeuds augmente, la solution ne tend que trs lentement vers la solution exacte. Ainsi, il ne sert rien de se servir d'lment triangulaire 3 noeuds en levant inconsidrment le nombre de noeuds. L'lment quadrangle 4 noeuds est lgrement plus performant que le triangle 3 noeuds. Par contre, triangle 6 noeuds et quadrangle 8 et 9 noeuds sont des lments nettement plus performants. La solution est rapidement approche, mme avec un faible nombre de noeuds. On peut donc conclure de cette petite tude que :

- le choix du type d'lment est trs important ;

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- en flexion, triangle 6 noeuds et quadrangle 8 et 9 noeuds sont des lments performants

Le test a port sur la convergence des dplacements. En construction la convergence des contraintes doit aussi tre aborde. Sur lexemple trait le maillage (s) de 3 lments 9 noeuds donne un rsultat satisfaisant pour le dplacement. Il ne satisfait pas les contraintes. Il sera donc ncessaire daugmenter le nombre dlments pour satisfaire les deux conditions : deplacements et contraintes

40 100 150

0,197

0,063

nb de noeuds

dplacement y

: triangle 3 noeuds: quadrangle 4 noeuds

: quadrangle 8 noeuds : triangle 6 noeuds

: quadrangle 9 noeuds

Figure 3. 2 La valeur de rfrence en prenant en compte leffort tranchant se calcule par la relation : [Timoshenko : Rsistance des matriaux Tome 1]

4 2

8 2Z

l ly q qE I AG

= + et vaut y = 0.197 mm

avec :

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3 4section rectangulaire ; section circulaire2 3airede la section droitemoment quadratiquesuivant

= module de YOUNG

=2(1+ )

coefficient de Poisson

AIz zE

EG

= =

=

=

=

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4. Description des possibilits du logiciel

Etude de structures planes ou de rvolution et calcul de caractristiques de section droites par la mthode des lments finis en tenant compte des hypothses suivantes :

- matriau homogne et isotrope - comportement linaire et lastique - petits dplacements

Ecrans de RDM Version 5

Au lancement du programme M. E. F. lcran ci dessous apparat.

Il est compos :

- dune barre titre RDM - Elments finis - dune barre de menus des diffrents modules accessibles - dune zone graphique dans laquelle est indiqu :

la version du logiciel et la date de mise jour la signature de lutilisateur

Figure 4.1

Aprs le choix du module, lcran du programme apparat (voir figures 4.2 et 4.3).

Il est compos :

- de la barre titre du module indiquant le type de problme suivi du nom de ltude traite Elasticit : contraintes planes [ chemin\nom de ltude ] - de la barre de menus droulants, - de la zone graphique - dune zone de 2 lignes qui renseignent sur les actions en cours

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La saisie de donnes est effectue dans des fentres flottantes qui apparaissent en fonction des actions demandes.

Figure 4.2

Figure 4.3

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Description des possibilits offertes par le Module Elmnts Finis (M. E. F.) du logiciel.

Cette description est faite partir de lexemple suivant (figure 4.4):

Eprouvette rectangulaire dpaisseur 5mm comportant une singularit de forme, encastre une extrmit et

- soumise un effort de 6000 N suivant son axe principal (sollicitation de traction). - soumise un couple de 250 Nm (sollicitation de flexion pure).

Zone dpaisseur N1 Zone dpaisseur N2

Cas de charge numro1

60 N/mm

Cas de charge numro 2

-100 N/mm

100 N/mm

Figure 4.4

La dmarche dtude dune pice mcanique passe par trois tapes :

1 - Modlisation gomtrique et mcanique. 2 - Calcul. 3 - Exploitation des rsultats.

Il est souvent ncessaire deffectuer un retour la modlisation pour modification aprs analyse des rsultats.

4.1 Modlisation

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4.1.1 Modlisation de la gomtrie

La gomtrie doit tre aussi proche que possible de la gomtrie relle de la pice tudier. Ce modle peut tre ralis avec le module Dessin/Maillage du logiciel. Pour des gomtries complexes, il est souvent plus ais dutiliser un logiciel de D. A. O. permettant de la sauvegarder dans un fichier au format standard I. G. E. S. ou D. X. F1.

Cette gomtrie doit dfinir les contours extrieurs de la pice (traits continus) ainsi que les contours intrieurs (traits interrompus). Les contours intrieurs dfinissent des frontires entre des zones de caractristiques diffrentes (paisseurs, matriaux, etc...). Un enlvement de matire (Zone sans matire type perage dbouchant) sera limit par un contour extrieur.

Le fichier au standard (I. G. E. S. ou D. X. F. ) est repris avec le menu Dessin/Maillage du module M. E. F. .

Les crans figure 4.5 et figure 4.6 apparaissent successivement :

Pointer sur Dessin/Maillage (figure 4.5)

Pointer sur Fichier (figure 4.6) Glisser sur Importer

Glisser sur IGES Renseigner le champ : Nom du fichier

Figure 4.5

1 I. G. E. S. est une norme dchange graphique de donnes (Initial Graphics Exchange Spcification). Les entits rcupres par RDM sont : le segment, le cercle, larc de cercle, (le point). D. X. F. est un standard dchange graphique de Autodesk Co.

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Figure 4.7

Aprs avoir prcis les units employes, le logiciel rcupre la gomtrie, la traite et laffiche lcran. Si elle est incomplte, elle peut tre modifie. Cest dans cette phase que lon introduit les points libres qui permettent de dfinir un noeud impos pour le maillage (points particuliers qui peuvent servir pour positionner une charge, un appui, localement une densification locale de maillage).

Figure 4.6

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Figure 4.8

Ce transfert tant termin, on devra modliser, si ce nest dj fait, les limites de zones matrialises par des traits interrompus et, si ncessaire, les points mailler.

Pour crer les points de contrainte de maillage il faut tout dabord modliser des points de gomtrie, et ensuite dfinir ces points comme points mailler (noeuds caractristiques de maillage).

Dfinition du point gomtrique (figure 4.9)

Pointer le menu droulant Modliser Pointer sur Point

Slectionner par point licne permettant de construire le point Excuter la commande. Une petite croix apparat.

Les renseignements concernant un segment de la gomtrie sont obtenus en pointant llment et en cliquant avec le bouton droit de la souris. Le rsultat apparat dans une fentre identique celle ci-contre. Le segment point est le segment bord gauche de lprouvette.

Les coordonnes dun point sont obtenues de la mme manire.

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Dfinition de ce point comme point a mailler (figures 4.10 et 4.11)

Pointer le menu droulant Modliser Pointer sur Points mailler

Pointer sur le point gomtrique. La croix prcdente est encapsule.

Figure 4.9

Remarques : Un point mailler ne peut tre cr que sur des points gomtriques existants.

Les points mailler peuvent tre construits sur les contours, aprs construction du point gomtrique. Ils dcoupent la ligne du contour sur laquelle ils sont placs. Cela prsente un intrt pour le traitement de problmes avec maillage non uniforme de la frontire (densification du maillage sur des lignes dtermines). Dans ce cas, la densification automatique nest pas (actuellement) possible autour de ces points. Il est vident que les points extrmits de segments, peuvent tres dsigns directement (sans passer par le menu point) comme points mailler.

Par exemple sur la figure 4.10, six points sont dfinis Points mailler :

- Le point milieu du segment vertical situ droite (point servant dfinir la zone dapplication des charges), construit comme point milieu dun segment. Ce point dcoupe la ligne verticale en deux segments (l

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