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 Cours de Math´ emati ques MPSI -2 Lyee F er mat Alain Soyeur

cours complet mpsi

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Cours de Mathmatiques eMPSI-2 Lyce Fermat e

Alain Soyeur

Table des mati`res e1 Raisonnement, ensembles 1.1 Logique. . . . . . . . . . . . . 1.2 Ensembles . . . . . . . . . . . 1.3 Applications . . . . . . . . . . 1.4 Familles . . . . . . . . . . . . 1.5 Relations . . . . . . . . . . . 1.5.1 Relation dquivalence e 1.5.2 Relation dordre . . . 1.6 Loi de composition interne . . 2 Les 2.1 2.2 2.3 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 8 10 15 16 16 17 18 21 21 22 25 27 27 27 27 28 29 30 30 30 30 31 31 31 31 32 32 32 32 33 33 34 34 34 36 37 37 38 39 40 40 41 41

nombres complexes Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Rappels de trigonomtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Exponentielle imaginaire et applications en trigonomtrie . . . . . . . e Racines dun nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Extraction de racine carre par rsolution algbrique (` viter) e e e ae 2.4.2 Extraction de racine carre par rsolution trigonomtrique . . . e e e 2.4.3 Equation du second degr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.4.4 Racines ni`mes de lunit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 2.4.5 Racines ni`mes dun nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Fonctions usuelles 3.1 Thor`mes danalyse admis . . . . . . . . . . e e 3.2 Calcul pratique de drives . . . . . . . . . . e e Drive dune homographie . . . . . . e e Drive dun quotient . . . . . . . . . e e Drive logarithmique . . . . . . . . . e e Exponentielle en facteur . . . . . . . . R`gle de la cha e ne . . . . . . . . . . . 3.3 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Exponentielles, logarithmes . . . . . . Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . Logarithme nprien . . . . . . . . . . e e Exponentielle de base a : ax = ex ln a . ln x Logarithme de base a : loga (x) = ln a 3.3.2 Fonctions puissance x = e ln x . . . . 3.3.3 Fonctions hyperboliques et circulaires Fonctions circulaires . . . . . . . . . . Etude des fonctions hyperboliques . . Trigonomtrie . . . . . . . . . . . . . . e 3.3.4 Fonctions circulaires rciproques . . . e Fonction arcsin . . . . . . . . . . . . . Fonction arccos . . . . . . . . . . . . . Fonction arctan . . . . . . . . . . . . . 3.3.5 Fonctions hyperboliques rciproques . e Fonction argsh . . . . . . . . . . . . . Fonction argch . . . . . . . . . . . . . Fonction argth . . . . . . . . . . . . .

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3.3.6 3.3.7

Etude dune fonction . . . . . . . Fonction exponentielle complexe Drive dune fonction complexe e e Exponentielle complexe . . . . .

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42 43 43 43 44 44 44 45 46 47 48 48 49 49 52 52 53 55 57 60 62 62 63 64 65 66 69 71 71 72 73 74 75 77 77 78 78 78 82

4 Equations direntielles e 4.1 Rappels dintgration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.2 Caractrisations de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.3 Equations du premier ordre linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.3.1 Rsolution de lquation homog`ne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 4.3.2 Rsolution de lquation avec second membre . . . . . . . . . . . . . . e e 4.3.3 Mthode dEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.4 Equations direntielles du second ordre a coecients constants . . . . . . . . e ` 4.4.1 Rsolution de lquation homog`ne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 4.4.2 Rsolution de lquation avec second membre exponentielle-polynme e e o 5 Gomtrie du plan e e 5.1 Points, vecteurs . . . . . . . . . 5.2 Modes de reprage dans le plan e 5.3 Produit scalaire, produit mixte 5.4 Droites . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Gomtrie de lespace e e 6.1 Modes de reprage dans lespace e 6.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . 6.3 Produit vectoriel . . . . . . . . . 6.4 Dterminant, produit mixte . . . e 6.5 Droites et plans . . . . . . . . . . 6.6 Sph`res . . . . . . . . . . . . . . e

7 Courbes paramtres e e 7.1 Fonctions a valeurs dans R2 . . . . . . . . . ` 7.2 Courbes paramtres . . . . . . . . . . . . . e e 7.3 Plan dtude dune courbe paramtre . . . e e e 7.4 Courbes polaires. . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Etude dune courbe = f (). . . . . 7.4.2 La cardio . . . . . . . . . . . . . . de 7.4.3 La stropho droite . . . . . . . . . de 7.5 Coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 Equation polaire dune conique . . . 7.5.2 Equations cartsiennes rduites . . . e e 7.5.3 Courbes algbriques du second degr e e

8 Les nombres rels e 85 8.1 Valeur absolue, majorer, minorer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 8.2 Borne suprieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 e 9 Suites relles e 9.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 9.2 Limite dune suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Thor`mes gnraux sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . e e e e 9.4 Suites et sries gomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 9.5 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7 Etude de suites rcurrentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 9.7.1 La fonction f est croissante sur un intervalle stable . . 9.7.2 La fonction f est dcroissante sur un intervalle stable e 9.7.3 Quelques relations de rcurrences classiques . . . . . . e Suites arithmtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Suites gomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e Suites arithmtico-gomtriques . . . . . . . . . . . . . e e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 90 91 93 94 95 95 96 97 98 98 98 98 98

9.8 9.9

Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . 9.9.1 Recherche pratique dquivalents . . . . . . e Recherche dun quivalent dune somme . . e Recherche dun quivalent dun logarithme e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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99 100 103 103 104 105 105 107 111 113 118 118 120 121 125 128 128 128 129 130 131 133 134 134 135 138 140 144 145 147 147 148 149 151 152 154 156 158 159 161 161 162 165 166 168 169 171 171 171 172 174 176 178 179 180 182

10 Fonctions dune variable relle e 10.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Etude locale dune fonction . . . . . . . . 10.3 Etude locale dune fonction . . . . . . . . 10.4 Proprits globales des fonctions continues ee 11 Drives e e 11.1 Drive . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 11.2 Drives successives . . . . . . . . . . . e e 11.3 Thor`me de Rolle et des accroissements e e 11.4 Fonctions convexes. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 Les entiers naturels 12.1 Les entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . 12.1.1 Proprits fondamentales . . . . . . ee 12.1.2 Ensembles nis . . . . . . . . . . . . 12.1.3 Dnombrements fondamentaux . . . e 12.1.4 Proprits des coecients binmiaux ee o 12.1.5 Numrotation en base b . . . . . . . e 12.2 Les entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . 12.2.1 Congruences . . . . . . . . . . . . . 12.3 Structure de groupe . . . . . . . . . . . . . 12.4 Structure danneau . . . . . . . . . . . . . . 12.4.1 Arithmtique dans Z . . . . . . . . . e 12.4.2 Nombres premiers . . . . . . . . . . 12.4.3 Applications de larithmtique . . . e 13 Espaces vectoriels 13.1 Structure de corps . . . . . 13.2 Espaces vectoriels . . . . . . 13.3 Sous-espaces vectoriels . . . 13.4 Sous-espaces anes . . . . . 13.5 Syst`mes libres, gnrateurs e e e 13.6 Applications linaires . . . . e 13.7 Structure dalg`bre . . . . . e 13.8 Projecteurs . . . . . . . . . 13.9 Formes linaires . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 Polynmes o 14.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 14.2 Arithmtique des polynmes . . . . . . . . . . . . . . . e o 14.3 Fonctions polynmiales. Racines dun polynme . . . . o o 14.4 Drivation, formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . e 14.5 Relations coecients-racines pour les polynmes scinds o e 14.6 Dcomposition dun polynme en facteurs irrductibles e o e

15 Intgration e 15.1 Construction de lintgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 15.1.1 Intgrale dune fonction en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . e 15.1.2 Intgrale dune fonction continue par morceaux . . . . . . . . . e 15.1.3 Notations dnitives et majorations fondamentales dintgrales. e e 15.2 Le thor`me fondamental du calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 15.3 Changement de variables, intgration par parties. . . . . . . . . . . . . e 15.4 Formules de Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5 Mthodes numriques de calcul dintgrales. . . . . . . . . . . . . . . e e e 15.6 Fonctions a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . `

16 Espaces vectoriels en dimension nie 16.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 16.2 Dimension dun espace vectoriel . . . . . . . . . . . 16.3 Sous-espaces vectoriels en dimension nie . . . . . 16.4 Applications linaires en dimension nie formule e 16.5 Endomorphismes en dimension nie . . . . . . . .

. . . . . . du . .

. . . . . . . . . rang . . .

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185 185 185 186 188 189

17 Matrices 17.1 Dnition dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 17.2 Matrice dune application linaire relativement a deux bases e ` 17.3 Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4 Lalg`bre des matrices carres. . . . . . . . . . . . . . . . . e e 17.5 Matrices remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.1 Matrices scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.2 Matrices diagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.3 Matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.4 Matrices symtriques, antisymtriques . . . . . . . . e e 17.6 Le groupe des matrices inversibles. . . . . . . . . . . . . . . 17.7 Changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.7.1 Matrices de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.7.2 Changement de coordonnes . . . . . . . . . . . . . e 17.7.3 Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.8 Rang dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Dveloppements limits e e 18.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 18.2 Dveloppements limits classiques. . . . . . . . . e e 18.2.1 Obtention par Taylor-Young . . . . . . . 18.2.2 Obtention de DL par primitivation . . . . 18.2.3 Produit de DL . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.4 Obtention de DL par composition . . . . 18.3 Applications des dveloppements limits . . . . . e e 18.3.1 Recherche de limites et dquivalents . . . e 18.3.2 Prolongement dune fonction . . . . . . . 18.3.3 Branches innies dune courbe y = f (x) . 18.3.4 Etude locale des courbes paramtres . . e e 18.3.5 Branches innies des courbes paramtres e e 18.3.6 Equations direntielles non-normalises . e e 19 Dterminants e 19.1 Groupe symtrique . . . . . . . . . . . . . . . . e 19.1.1 Cycles, transpositions . . . . . . . . . . 19.1.2 Signature dune permutation . . . . . . 19.2 Formes n-linaires alternes . . . . . . . . . . . e e 19.3 Dterminant dun syst`me de vecteurs dans une e e 19.4 Dterminant dun endomorphisme . . . . . . . e 19.5 Calcul de dterminants . . . . . . . . . . . . . . e 20 Syst`mes dquations linaires e e e 20.1 Interprtations dun syst`me . . . . . . . . . e e 20.1.1 Interprtation vectorielle . . . . . . . . e 20.1.2 Interprtation matricielle . . . . . . . e 20.1.3 Interprtation linaire . . . . . . . . . e e 20.1.4 Interprtation duale . . . . . . . . . . e 20.1.5 Structures de lensemble des solutions 20.2 Syst`mes de Cramer . . . . . . . . . . . . . . e 20.3 Oprations lmentaires . . . . . . . . . . . . e ee 20.4 Mthode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . e

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191 . 191 . 192 . 193 . 194 . 196 . 196 . 196 . 197 . 197 . 197 . 198 . 198 . 199 . 200 . 201 203 203 204 204 204 205 205 206 206 206 207 207 208 209

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210 . 210 . 210 . 212 . 213 . 214 . 215 . 215 220 220 220 220 220 221 221 221 222 223

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21 Calcul de primitives 21.1 Calcul pratique de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.1 Primitives usuelles a conna par coeur . . . . . . . . . . . . ` tre 21.2 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.1 Dcomposition en lments simples dune fraction rationnelle e ee 21.2.2 Dcomposition en lments simples dans C(X) . . . . . . . . e ee Recherche des coecients associs aux ples multiples . . . . e o 21.2.3 Dcomposition en lments simples dans R(X) . . . . . . . . e ee 21.2.4 Primitives de fractions rationnelles. . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.5 Primitives rationnelles en sin , cos . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.6 Primitives rationnelles en sh , ch . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.7 Primitives avec des racines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Produit scalaire 22.1 Dnitions et r`gles de calcul . . . . . . . . . . . . . . e e 22.2 Orthogonalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 22.3 Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4 Matrice de produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . 22.5 Endomorphismes orthogonaux, matrices orthogonales . 22.6 Projecteurs et symtries orthogonaux . . . . . . . . . . e 22.7 Espaces euclidiens orients. Produit mixte . . . . . . . e 22.8 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.9 Etude du groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . . . 22.9.1 Etude du groupe orthogonal en dimension 2. . 22.9.2 Etude du groupe orthogonal en dimension 3 . . 23 Fonctions de deux variables 23.1 Continuit dune fonction de deux variables e 23.2 Drives partielles . . . . . . . . . . . . . . e e 23.3 Extrmas dune fonction de deux variables . e 23.4 Drives partielles dordre suprieur . . . . e e e 23.5 Intgrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . e 23.6 Changement de variables . . . . . . . . . . . 23.7 Aire dun domaine plan . . . . . . . . . . . 24 Proprits mtriques des courbes planes e e e 24.1 Rectication des courbes planes. . . . . . 24.1.1 Notations direntielles . . . . . . e 24.1.2 Abscisse curviligne, longueur . . 24.1.3 Courbure . . . . . . . . . . . . . 24.1.4 Calcul pratique de la courbure . . 24.2 Centre de courbure . . . . . . . . . . . . . 25 Applications anes 25.1 Points-vecteurs . . 25.2 Sous espaces anes 25.3 Barycentres . . . . 25.4 Applications anes 25.5 Isomtries anes . e 25.6 Similitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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224 224 224 226 226 227 228 228 229 230 230 230 232 232 233 234 235 236 237 240 240 242 243 244 247 247 249 252 253 254 256 257 258 258 258 259 261 262 264 265 265 265 266 267 270 271

Chapitre 1

Raisonnement, ensembles1.1 Logique.

Une proposition est un nonc qui peut prendre deux valeurs logiques : V (vrai) ou F (faux). e e En mathmatiques, on part dun petit nombre de propositions que lon suppose vraies (les axiomes) et lon essaie e dtendre le nombre dnoncs vrais au moyen de dmonstrations. Pour cela on utilise des r`gles de logique. e e e e e ` A partir de deux propositions quelconques A et B, on en fabrique de nouvelles dont on dnit la valeur logique e en fonction des valeurs logiques de A et de B. Une ( table de vrit ) rsume cela : ( e e ) e A B non A A et B A ou B A B A B V V F V V V V V F F F V F F F V V F V V F F F V F F V V Lvaluation des nouvelles propositions en fonction de la valeur des anciennes para naturelle sauf pour limplie t cation. En eet, si la proposition A vaut F, quelle que soit la valeur de vrit de la proposition B, la proposition e e A B sera value a V . On utilise en mathmatiques limplication pour obtenir de nouveaux rsultats. Si lon e e ` e e sait quun rsultat A est vrai et si lon montre que limplication A B est vraie, alors dapr`s la table de vrit, e e e e on en dduit que la proposition B est vraie, ce qui tend les rsultats mathmatiques. e e e e Pour montrer que A B est vrai, on peut utiliser lun des deux raisonnements suivants : Raisonnement direct : Supposons A vrai, et montrons qualors B est vrai ; Raisonnement par contrapose : Supposons B faux et montrons que A est faux. e Exemple 1. On consid`re un nombre rel x 0 et les deux propositions : e e A : Pour tout rel strictement positif, 0 x ; e B : x = 0. Montrer que A B. Pour montrer une quivalence A B, on proc`de en deux temps : e e 1. On montre que A B est vrai ; 2. On montre que B A est vrai. Exemple 2. On consid`re une fonction f : R R et les deux propositions e A : f est une fonction paire et impaire ; B : f est la fonction nulle. Montrer que A B. Remarque 1. Pour montrer lquivalence de trois propositions A B C, il sut de montrer trois e implications convenablement choisies, par exemple A B, B C et C A. Raisonnement par labsurde. On suppose quune proposition B est fausse. Si on aboutit a une contradiction avec une ` proposition A que lon sait tre vraie, alors on a montr que B est vraie. e e Exemple 3. Montrer que le rel 2 nest pas rationnel. e

1.2

Ensembles

Sans rentrer dans les dtails, un ensemble est une ( collection ) dobjets appels lments. On note x E si e ( ) e ee lobjet x est un lment de E. ee Soit P (x) une proprit dpendant dun objet x dun ensemble E. On note : ee e x E, P (x) lorsque la proprit est vraie pour tous les lments x ; ee ee x E, P (x) lorsquil existe au moins un lment x de lensemble E pour lequel la proprit est vraie ; ee ee !x E, P (x) lorsquil existe un unique lment de lensemble E pour lequel la proprit est vraie. ee ee Il faut savoir nier une proposition dpendant de quanticateurs : e Exercice 1-1 Quelle est la ngation des propositions suivantes : e 1. x E, P (x) ; 2. x E, P (x) ; 3. x E, y E, P (x,y) ; 4. x E, y E, P (x,y) ; 5. r R, s R, x R, x r et s r. Remarque 2. Nous utiliserons beaucoup les mots ( soit ) et ( posons ) dans nos dmonstrations cette anne. ( ) ( ) e e Pour montrer une proposition de la forme : x E, P (x) (quel que soit x dans E, x vrie une proprit) e ee on commence la dmonstration par : ( Soit x E ) Imaginez quune personne extrieure mette en doute e ( ). e votre rsultat. Elle vous donne un lment x de son choix. Vous navez pas le droit de choisir vous mme e ee e cet lment, et vous devez montrer que cet lment vrie bien la proprit. ee ee e ee Pour montrer une proposition de la forme : x E tel que P (x) ( il existe un objet x vriant la proprit e ee P (x)), il vous sut dexhiber un lment x vriant cette proprit. La dmonstration contiendra alors la ee e ee e phrase : ( Posons x = . . . Vrions que x convient . . . ) ( e ) Pour montrer quune proposition de la forme : x E,P (x) est fausse (cest a dire que x E tel que ` P (x) est faux), il sut dexhiber un contre-exemple : ( Posons x = . . . ) Pour cet lment x, P (x) est ( ). ee fausse. Si E et F sont deux ensembles, on note E F lorsque tous les lments de E sont des lments de F : x E, ee ee x F.

y x F E(a) x E

x

E(b) F E

Fig. 1.1 Notations ensemblistes Un ensemble particulier est lensemble vide not . Il ne contient aucun lment, et pour tout ensemble E, on e ee a E. Exemple 4. Soit lensemble E = {{},1,N,{0,1,2}}. Mettre le signe ou et ou correct entre les objets suivants : ...E ; {} . . . E ; N...E ; {,N} . . . E. Pour montrer que E F , on utilise le plan suivant : Soit x E. ... x F.

Dfinition 1.1 : Egalit de deux ensembles e e On note E = F ssi E F et F E Pour montrer que E = F , on utilise le plan suivant : 1. Montrons que E F : . . . ; 2. Montrons que F E : . . . . Dfinition 1.2 : Intersection, union, complmentaire e e Soient E et F deux ensembles. On dnit de nouveaux ensembles : e Intersection E F : x E F lorsque x E et x F ; Union E F : x E F lorsque x E ou x F ; Complmentaire E \ F : x E \ F lorsque x E et x F . e Exercice 1-2 On consid`re trois ensembles A,B,C. Montrer que e (A B A C et A B A C) (B C)

Exercice 1-3 On consid`re trois ensembles A,B,C. Comparer les ensembles : e 1. A (B C) et (A B) (A C) ; 2. A (B C) et (A B) (A C).

Dfinition 1.3 : ensemble des parties de E e Soit E un ensemble. On note P(E) lensemble dont les lments sont les sous-ensembles de E. ee Exemple 5. Si E = {a,b,c}, P(E) = ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} Exercice 1-4 Ecrire lensemble P P(E) lorsque E = {a,b}. Dfinition 1.4 : Produit cartsien e e Soient E et F deux ensembles. On note E F lensemble des ( couples ) (x,y) avec x E et ( ) y F . Lensemble E F sappelle le produit cartsien des ensembles E et F . e On dnit de mme pour n ensembles E1 , . . . ,En , lensemble E1 En form des n-uplets e e e (x1 , . . . ,xn ) avec x1 E1 , . . . ,xn En . Remarque 3. Ne pas confondre un couple de deux lments (x,y) avec la paire {x,y}. ee Remarque 4. Soit E un ensemble de rfrence, et P(x) une proprit qui dpend de llment x E. On peut ee ee e ee dnir lensemble des lments de lensemble E pour lesquels la proprit est vraie : e ee ee F = {x E | P(x) est vrai } Il est ncessaire dutiliser un ensemble de rfrence E sous peine daboutir a des paradoxes. e ee `

1.3

Applications

Dfinition 1.5 : Dnition dune application e e Soient E et F deux ensembles. Soit G E F un sous-ensemble de couples vriant : e x E ; !y F tel que (x,y) G A chaque lment de x, on fait alors correspondre lunique lment y not f (x) de lensemble F ee ee e tel que (x,y) G. On dit que G est un graphe fonctionnel. E x f y=f (x)

F

La donne (E,F,G) (ensemble de dpart, darrive et graphe fonctionnel) sappelle une application e e e de lensemble E vers lensemble F note plus simplement : e f : E F ou E F Remarque 5. Fonction et application sont synonymes. On notera F(E,F ) lensemble des applications de E dans F . (On trouve galement la notation F E ). e Dfinition 1.6 : Egalit de deux applications e e Soient f : E F et f : E F deux applications. On dit que quelles sont gales et lon note e f = f lorsque elles ont mme ensemble de dpart : E = E , mme ensemble darrive : F = F et e e e e lorsque x E, f (x) = g(x) Pour montrer que f = g, on utilise le plan suivant : Soit x E. ... f (x) = g(x) Dfinition 1.7 : Identit e e Soit E un ensemble. On appelle identit de E lapplication e idE : E x E xf

Dfinition 1.8 : Restriction et prolongement dune fonction e Soit f : E F une application. Soit un sous-ensemble E E. On dnit la restriction de lapplication f au sous-ensemble e E comme tant lapplication e f|E : E x F f (x)

Si E E , une application f : E F est un prolongement de lapplication f : E F si et seulement si f|E = f , cest a dire que x E, f (x) = f(x). ` Dfinition 1.9 : Compose dapplications e e Soit deux applications f : E F , g : F G, on dnit lapplication compose note h = g f : e e e E G par la correspondance : x E, h(x) = g f (x) E F x f (x) f g

Ggf (x)=g f (x)

Remarque 6. Lorsquil sagit de composer des applications, il est bon dutiliser des schmas dapplications pour e vrier la validit des composes. e e e

Fig. 1.2 Compose de deux applications e

Thor`me 1.1 : e e

( Associativit ) de la composition ( e ) E F G H f g h

1. Pour trois applications on a h (g f ) = (h g) f . 2. Si f : E F , on a

f idE = f et idF f = f

Dfinition 1.10 : Applications injectives, surjectives, bijectives e Soit f : E F une application. On dit que f est injective ssi (x,y) E 2 , f (x) = f (y) x = y ; f est surjective ssi y F , x E tel que y = f (x) ; f est bijective ssi f est injective et surjective. Pour montrer que f est injective : Soit x E et y E. Supposons que f (x) = f (y). ... Alors x = y. Pour montrer que f est surjective : Soit y F . Posons x = . . . , On a bien y = f (x). Pour montrer que f est bijective : 1. Montrons que f est injective ; 2. Montrons que f est surjective. Remarque 7. Dire que f est injective revient a dire (par contrapose) que ` e (x,y) E 2 , (x = y) (f (x) = f (y)) Deux lments distincts de lensemble de dpart ont deux images distinctes. ee e Dire que f est surjective revient a dire que tout lment de lensemble darrive poss`de au moins un ` ee e e antcdent. e e Dire que f est bijective revient a dire que tout lment de lensemble darrive poss`de un et un seul ` ee e e antcdent : e e y F, !x E tq y = f (x) Exercice 1-5 Les applications de R R suivantes sont-elles injectives, surjectives? x x2 x x3 x sin x

E

f

g

G

F

gf

F t E c z

E d F c z

b

y

b

y

a

x

a

x

f injective, non surjective f non injective, surjective Fig. 1.3 Injection, surjection

Exercice 1-6 R2 R2 Soit f : . Est-elle injective? Surjective? (x,y) (x + y,x + 2y) Exercice 1-7 Soit P lensemble des entiers pairs. Montrer que lapplication : N n P 2n

est une bijection. (Il y a donc ( autant ) dentiers que dentiers pairs !) ( ) Thor`me 1.2 : Proprits des composes e e e e e Soient f : E F et g : F G deux applications. Si f et g sont injectives, alors g f est injective ; Si f et g sont surjectives, alors g f est surjective ; Si g f est injective, alors f est injective ; Si g f est surjective, alors g est surjective. Thor`me 1.3 : Bijection rciproque e e e Soit f : E F une application. f bijective !g F (F,E) tq(i) (ii)

f g = idF g f = idE

Lorsque f est bijective, on note note lapplication g du thor`me g = f 1 . Cest la bijection e e rciproque de lapplication f . e Ef f 1

F

Remarque 8. Nintroduire lapplication f 1 que lorsquelle existe, cest a dire lorsque lapplication f est bijective ! ` Exercice 1-8 Soit f : N n N et g : n+1 n N N 0 n1 si n = 0 . Etudier linjectivit et la surjectivit des e e si n = 0

a b c d E

x y z t F

Fig. 1.4 Application bijective et bijection rciproque : y = (a), a = 1 (y) e

applications f et g. Dterminer les applications g f et f g. Conclusion? e Exercice 1-9 Soit E un ensemble et f : E E une application vriant f f = f . Montrer que : e 1. f injective f = idE ; 2. f surjective f = idE . Thor`me 1.4 : bijection rciproque dune compose e e e e Si f : E F et g : F G sont deux bijections, alors lapplication g f est bijective et (g f )1 = f 1 g 1 Exercice 1-10 Soient deux applications f : E F et g : F E. On suppose que lapplication g f g f est surjective et que lapplication f g f g est injective. Montrer qualors les deux applications f et g sont bijectives. Dfinition 1.11 : Fonction caractristique e e Soit un ensemble E et une partie A E de cet ensemble. On appelle fonction caractristique de e la partie A, lapplication {0,1} E 1 si x A A : x 0 si x A

Thor`me 1.5 : Oprations usuelles en termes de fonction caractristique e e e e Soit un ensemble E et deux parties A E et B E de cet ensemble. On dnit de nouvelles e fonctions a valeurs dans N par les formules : ` (A + B ) : E x {0,1,2} A (x) + B (x) A B : E x {0,1} A (x) B (x)

Avec ces notations, on caractrise les parties A B, E \ A et A B : e E\A = 1 A , AB = A B , AB = A + B A B

Exercice 1-11 Soit un ensemble E. Pour deux parties A E et B E, on appelle dirence symtrique de ces deux parties, e e la partie de E dnie par e A B = (A B) \ (A B) a. Exprimer la fonction caractristique de la partie A B a laide des fonctions caractristiques de A et de e ` e B; b. En dduire que pour trois parties (A,B,C) P (E)3 , on a (A B) C = A (B C). e

Dfinition 1.12 : Image directe, rciproque e e Soit une application f : E F et deux parties A E et B F . a) On appelle image rciproque de B par f , la partie de E note : e e f 1 (B) = {x E tq f (x) B} b) On appelle image directe de A par f , la partie de F note : e f (A) = {y F tq x A avec y = f (x)}

f 1 (B)

E

F

Fig. 1.5 Image rciproque e

E

F

Fig. 1.6 Image directe Remarque 9. Attention, la notation f 1 (B) na rien a voir avec une ventuelle bijection rciproque : f 1 (B) est ` e e un sous-ensemble de lensemble de dpart de f . e Pour montrer que x f 1 (B) : Calculons f (x) ... Donc f (x) B Par consquent, x f 1 (B). e Pour montrer que y f (A) : Posons x = . . . On a bien y = f (x) et x A. Par consquent, y f (A). e Remarque 10. Limage rciproque est en gnral plus facile a manier que limage directe. e e e ` Remarque 11. Une application f : E F est surjective ssi f (E) = F .

A

B

f (A)

Exercice 1-12 R R Soit f : . Dterminez (apr`s avoir vri que les notations sont correctes) : e e e e x sin x f 1 (0) ; f 1 ({0}) ; f 1 ([0, + [) ; f ([0,]) ; f ({0}) ; f (R).

Exercice 1-13 Soit f : E F , et A1 ,A2 E, B1 ,B2 F . Montrer que 1. B1 B2 f 1 (B1 ) f 1 (B2 ) ; 2. f 1 (B1 B2 ) = f 1 (B1 ) f 1 (B2 ) ; 3. f 1 (B1 B2 ) = f 1 (B1 ) f 1 (B2 ) ; 4. A1 A2 f (A1 ) f (A2 ) ; 5. f (A1 A2 ) = f (A1 ) f (A2 ) ; 6. f (A1 A2 ) f (A1 ) f (A2 ) ; 7. f (f 1 (B1 )) B1 ; 8. A1 f 1 (f (A1 )). Dfinition 1.13 : Partie stable e Soit une application f : E E, et une partie A E. On dit que la partie A est stable par lapplication f lorsque f (A) A. Cela est quivalent a dire que : e ` x A,f (x) A

1.4

Familles

Dfinition 1.14 : Familles e Soit un ensemble I (les indices) et un ensemble E. On appelle famille dlments de E indexe par ee e I, une application I E : i ai On note cette application (ai )iI . Exemple 6. Si E = R et I = N, cela dnit une suite de rels. e e Dfinition 1.15 : Famille de parties e Soit un ensemble E et un ensemble I. On dnit une famille de parties de E : e (Ai )iI o` i I,Ai P(E) u Et lon note Ai = {x E tq i I, x Ai } Ai = {x E tq i I, x Ai }

iI

iI

Exemple 7. Si E = R et pour k N, Ak = [k,k], dterminez les ensembles e Ak etkN kN

Ak

Exercice 1-14 Soit un ensemble E et une famille de parties de E, (Ai )iI . Montrer que : E\ Ai =iI iI

(E \ Ai )

E\

Ai =iI iI

(E \ Ai )

Exercice 1-15 Soit une application f : E F et une famille de parties de F , (Bi )iI . Montrer que f 1iI

Bi =iI

f 1 (Bi )

1.5

Relations

Dfinition 1.16 : Relation e Soit un ensemble E. Une relation binaire sur E est un sous-ensemble G E E. Si (x,y) E 2 , on crira : e xRy (x,y) G

z t x y u

Fig. 1.7 Reprsentation sagittale dune relation e

Dfinition 1.17 : Proprits des relations e e e Soit R une relation sur E. On dit que R est : rexive ssi x E, xRx ; e symtrique ssi (x,y) E 2 , xRy yRx ; e antisymtrique ssi (x,y) E 2 , xRy et yRx x = y ; e transitive ssi (x,y,z) E 3 , xRy et yRz xRz ;

1.5.1

Relation dquivalence e

Dfinition 1.18 : Relation dquivalence e e On dit quune relation sur un ensemble E est une relation dquivalence si elle est e 1. rexive ; e 2. symtrique ; e 3. transitive ; Exemple 8. La relation dgalit sur un ensemble : e e xRy x = y est une relation dquivalence. e Dfinition 1.19 : Classes dquivalence e e Soit R une relation dquivalence sur un ensemble E. On note pour un lment x E : e ee Cx = {y E | xRy} Lensemble Cx sappelle la classe dquivalence de llment x. e ee

Dfinition 1.20 : Partition e Soit un ensemble E et une famille de parties de E : (Ai )iI . On dit que cette famille de parties est une partition de lensemble E si et seulement si : 1. Chaque classe est non vide : i I, Ai = ; 2. Les classes distinctes sont deux a deux disjointes : (i,j) I 2 , Ci Cj = Ci = Cj ; ` 3. Les classes recouvrent lensemble E : iI Ai = E. Thor`me 1.6 : Les classes dquivalence forment une partition e e e Soit une relation dquivalence R sur un ensemble E. La famille (Cx )xE des classes dquivalences e e associes forme une partition de lensemble E. e Remarque 12. Rciproquement, tant donne une partition (Ai )iI dun ensemble E, on peut dnir la relation e e e e dnie par : e xRy i I | x Ai et y Ai On montre que cette relation est une relation dquivalence et que les classes dquivalences associes sont les e e e ensembles Ai . Exercice 1-16 Sur E = Z, on dnit la relation nRp p n est pair. Montrer que cest une relation dquivalence et e e dterminer ses classes dquivalences. e e

1.5.2

Relation dordre

Dfinition 1.21 : Relation dordre e Soit une relation R dnie sur un ensemble E. On dit que cest une relation dordre si elle est : e 1. rexive ; e 2. antisymtrique ; e 3. transitive. Remarque 13. Une relation dordre permet de comparer deux lments. Lorsque xRy, on dit que llment x ee ee est ( plus petit ) que llment y, et on prf`re noter ( ) ee ee x y

La transitivit et lantisymtrie empchent davoir un cycle form dlments distincts de la forme : e e e e ee x1 x2 xn x1

Dfinition 1.22 : Ordre total e Soit une relation dordre sur un ensemble E. On dit que deux lments (x,y) E 2 sont compaee rables pour cet ordre si et seulement si x y ou alors y x. Lorsque tous les couples dlments de lensemble E sont comparables, on dit que la relation dordre ee est totale. Remarque 14. Soit un ensemble X et E = P (X). Sur lensemble E, on dnit la relation e (A,B) E 2 , ARB A B 1. Montrez que la relation R est une relation dordre ; 2. Cet ordre est-il total? Remarque 15. Soit lensemble E = R2 . On dnit les deux relations dordre suivantes : e Lordre produit : (x,y) 1 (x ,y ) x x et y y Lordre lexicographique : (x,y)2

(x ,y ) x x ou alors x = x et y y

Lordre produit est un ordre partiel et lordre lexicographique est un ordre total.

Dfinition 1.23 : Elements remarquables e Soit une relation dordre sur un ensemble E et une partie A E. On dnit les notions suivantes : e Un lment M E est un majorant de la partie A si et seulement si a A, a M ; ee Un lment m E est un minorant de la partie A si et seulement si a A, m a ; ee Un lment a A est un plus petit lment de A si et seulement si x A, a x ; ee ee Un lment a A est un plus grand lment de A si et seulement si x A, x a ; ee ee Un lment m A est un lment minimal de A si et seulement si x A, x m x = m ; ee ee Un lment M A est un lment maximal de A si et seulement si x A, M x ee ee x = M. Thor`me 1.7 : Unicit dun plus petit lment e e e ee Si a A est un plus petit (grand) lment de la partie A, il est unique. ee Remarque 16. Il se peut quil nexiste pas de plus petit (grand) lment dune partie. ee Exercice 1-17 Dans N, on consid`re la relation de divisibilit : e e (n,m) N2 , n/m k N tel que m = kn 1. Vrier que cette relation dnit un ordre partiel sur N ; e e 2. Lensemble N admet-il un plus petit (grand) lment pour cet ordre? ee 3. Quels sont les lments maximaux (minimaux) de N \ {0,1} pour cet ordre? ee

1.6

Loi de composition interne

Dfinition 1.24 : Loi de composition interne e Soit E un ensemble. On appelle loi de composition interne une application de E E dans E : : E E (a,b) E a b

Remarque 17. Pour simplier les notations, on note ab = a b = (a,b). Il ny a aucune raison a priori pour ` que ab = ba. On peut itrer une lci : si (a,b,c) E 3 , on notera e (a b) c = (a,b),c a (b c) = a,(b,c) Il ny a aucune raison a priori pour que ces deux lments soient gaux. ` ee e Exemples : E = N, la multiplication et laddition des entiers sont des lci. Si G est un ensemble, sur P(G), lunion et lintersection dnissent des lci. e Dfinition 1.25 : Proprits dune lci e e e Soit une lci sur un ensemble E. On dit que est : commutative ssi (a,b) E 2 , a b = b a associative ssi (a,b,c) E 3 , a (b c) = (a b) c Un lment e E est dit neutre ssi x E, e x = x e = x ee Si G est un ensemble, sur E = F(G,G), la composition des applications dnit une lci e

Pour 1. 2. 3. Pour 1. 2. 3. Pour 1. 2. 3.

montrer que est commutative : Soit (x,y) E 2 x y=y x Donc est commutative montrer que est associative : soit (x,y,z) E 3 x (y z) = (x y) z Donc est associative montrer que e E est neutre : Soit x E e x = x, x e = x Donc e est neutre.

Exemples : (N,+), + est commutative et associative, 0 est lunique lment neutre ; ee (N,), est commutative et associative, 1 est lunique lment neutre ; ee (F(R,R),), est associative mais pas commutative. Lapplication idR est un lment neutre ; ee (P(G),), la loi est commutative, associative, la partie est neutre pour cette loi. Remarque 18. Si une loi de composition interne est commutative et associative, on dnit les notations suivantes e pour (x1 , . . . ,xn ) E n : Lorsque la loi est note additivement, on dnit e en i=1

xi = x 1 + + x n

et lorsque la loi est note multiplicativement, en i=1

xi = x 1 x n

Thor`me 1.8 : Unicit de llment neutre e e e ee Si (E, ) poss`de un lment neutre, il est unique. e ee Dfinition 1.26 : Mono e de Un ensemble (E, ) muni dune loi de composition interne associative et admettant un lment ee neutre est appel un mono e de. Exemple 9. (N,+) est un mono dlment neutre 0. de e e Exemple 10. On consid`re un ensemble ni A appel alphabet, et on dnit un mot sur A comme tant une e e e e suite nie de lettres de A. On notera m = a1 . . . an un tel mot. On dnit galement le mot vide . Sur lensemble e e A des mots de A, on dnit la concatnation de deux mots : si m1 = a1 . . . an et si m2 = b1 . . . bp , on note e e m1 .m2 = a1 . . . an b1 . . . bp . Alors lensemble des mots muni de la concatnation, (A ,.) est un mono dlment e de e e neutre le mot vide . Ce mono est tr`s utilis en informatique thorique en thorie des langages. de e e e e Dfinition 1.27 : Symtrique e e On suppose que (E, ) poss`de un lment neutre e. Soit un lment x E. On dit quun lment e ee ee ee y E est un symtrique (ou un inverse) de llment x si et seulement si : e ee x y=y x=e Thor`me 1.9 : Unicit du symtrique e e e e Dans un mono (E, ), si un lment x E poss`de un symtrique, ce symtrique est unique. de ee e e e Pour 1. 2. 3. montrer que y E est linverse de x E : x y = e; y x = e; Donc y = x1 .

Remarque 19. Si un lment x E poss`de un symtrique y E, alors llment y poss`de galement un ee e e ee e e symtrique qui est llment x : e ee (x1 )1 = x

Remarque 20. Llment neutre est toujours son propre symtrique : e1 = e. ee e Dfinition 1.28 : Groupe e On appelle groupe un ensemble G muni dune lci vriant : e 1. la loi est associative ; 2. G poss`de un lment neutre ; e ee 3. Tout lment x de G admet un symtrique. ee e Si de plus la loi est commutative, on dit que le groupe est ablien (ou commutatif ). e Remarque 21. Lors dune tude abstraite dun groupe, on note x1 le symtrique dun lment x (notation e e ee multiplicative). Mais si la lci est note +, par analogie avec les groupes de nombres, le symtrique de llment e e ee x sera not x. Cest une dicult quil faut bien comprendre ! e e Exemple 11. Dans les cas suivants, dire si lensemble est un groupe. Prciser llment neutre, et dterminer e ee e le symtrique ventuel dun lment x : e e ee (N,+), (Z,+), (R,+), (R,), (R ,), (C,+), (C ,), (B(E,E),), (F(R,R),+), (F(R,R),). Thor`me 1.10 : R`gles de calcul dans un groupe e e e Soit (G,) un groupe. 1. Llment neutre est unique ; ee 2. Tout lment poss`de un unique symtrique ; ee e e 3. Pour tout lment x dun groupe, on a x1 ee 4. On peut simplier : (a,x,y) G3 ;1

= x.

a x=a y x=y x a=y a x=y 5. Soit (a,b) G2 . Lquation a x = b poss`de une unique solution : e e x = a1 b 6. (x,y) G2 , (x y)1 = y 1 x1 .

Chapitre 2

Les nombres complexes2.1 Dnitions e

On dnit les lois suivantes sur R2 : e (x,y) + (x ,y ) = (x + x ,y + y ) (x,y) (x ,y ) = (xx yy ,xy + x y). On vrie que R2 muni de ces deux lois est un corps commutatif not C. e e Si a R, on ( identie ) a avec le complexe (a,0). ( ) En notant i = (0,1), on vrie que e i2 = (1,0) i (a,0) = (0,a) Et on adopte alors les notations dnitives : e (a,b) = (a,0) + i (b,0) = a + ib Dfinition 2.1 : Partie relle, imaginaire e e Soit z = a + ib, un complexe. a = Re(z) est la partie relle de z e b = Im(z) est la partie imaginaire de z. Thor`me 2.1 : Conjugu dun complexe e e e Soit z = a + ib un nombre complexe. Le conjugu de z est le nombre complexe z = a ib. On a e les proprits suivantes : ee z+z =z+z zz =zz 1=1 Les proprits suivantes sont intressantes pour caractriser les complexes rels et imaginaires purs : ee e e e z R z = z ; z iR z = z. Dfinition 2.2 : Axe, image e Soit M = (a,b) un point ou un vecteur de R2 , on appelle axe de M de coordonnes (a,b) le e nombre complexe z = [M ] = a + ib. Soit z = a + ib un lment de C alors on pourra dnir le point image et le vecteur image de z par ee e M = (a,b). Remarque 22. z z reprsente la symtrie par rapport a Ox et z z + b reprsente la translation de vecteur e e ` e limage de b. Dfinition 2.3 : Module dun nombre complexe e Cest le rel dni par e e |z| = a2 + b2 = z z |z a| reprsente la distance du point daxe z au point daxe a. e

Remarque 23. On exprime linverse dun complexe non-nul a laide du conjugu : ` e 1 z = 2 z |z| Remarque 24. Il faut savoir dvelopper pour (z,z ) C2 , e z+z2

= |z|2 + 2 Re zz + |z |2

Proposition 2.2 : Ingalit entre module et parties relles-imaginaires e e e Soit z = a + ib C. On a les ingalits suivantes : e e Re z |z| et Im z |z| Thor`me 2.3 : Ingalit triangulaire e e e e 1. Si z,z C, |z| |z | |z + z | |z| + |z | avec galit dans la derni`re majoration si et seulement si les images des complexes z et z e e e sont sur une mme demi-droite passant par lorigine. e 2. Pour n complexes z1 , . . . ,zn , |z1 + + zn | |z1 | + + |zn | Thor`me 2.4 : Groupe (U,) e e Lensemble des nombres complexes de module 1 muni de la multiplication est un groupe multiplicatif not U, . e Dfinition 2.4 : Disque ouvert, ferm e e Lensemble D(a,r) = {z C | |z a| < r} est appel disque ouvert de centre a, de rayon r. e Lensemble D(a,r) = {z C | |z a| r} est appel disque ferm de centre a, de rayon r. e e Proposition 2.5 : Calcul dune somme gomtrique e e Soit un complexe z C et un entier n N. On appelle somme gomtrique, la somme e en

Sn =k=0

zk = 1 + z + z2 + + zn

Cette somme se calcule :

Exercice 2-1 Calculer pour z C et (n,p) N2 , n < p la somme :

(n + 1) Sn = z n+1 1 z1

si z = 1 si z = 1

p

Sn,p = z n + z n+1 + + z p =

zkk=n

2.2

Rappels de trigonomtrie e

On suppose connues les proprits des fonctions sin, cos, tan et cotan ainsi que le cercle trigonomtrique. ee e Exercice 2-2 Simplier sin( 3 ), cos(5 + ), tan(3 + ), cotan( ), tan( 5 + ). 2 2 2

cotan

sin

cos

tan

Fig. 2.1 Cercle trigonomtrique e

y = sin(x)

y = cos(x)

2

0

2

2

2

y = tan(x)

y = cotan(x)

2

2

k +

2

2

2

k

Fig. 2.2 Fonctions sin, cos, tan et cotan

Exercice 2-3 Rsoudre cos = cos , sin = sin , tan = tan . e Proposition 2.6 : Formules fondamentales cos2 + sin2 = 1 cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b

cos(a b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a sin(a b) = sin a cos b sin b cos a

cos(2a) = 2 cos2 a 1 = 1 2 sin2 a = cos2 a sin2 a sin(2a) = 2 sin a cos a

tan(a + b) =

tan a + tan b 1 tan a tan b tan a tan b tan(a b) = 1 + tan a tan b 2 tan a tan(2a) = 1 tan2 a

Exercice 2-4 Calculer lintgrale I = e

/2 0

sin2 d.

Exercice 2-5 Simplier 1 + cos , 1 cos . Exercice 2-6 Exprimer cos(3) comme un polynme en cos . Exprimer de mme sin(3). o e Proposition 2.7 : Autres formules ` conna a tre 1 cos(a + b) + cos(a b) 2 1 sin a sin b = cos(a b) cos(a + b) 2 1 sin a cos b = sin(a + b) + sin(a b) 2

cos a cos b =

cos p + cos q = 2 cos

pq p+q cos 2 2 pq p+q sin cos p cos q = 2 sin 2 2 pq p+q cos sin p + sin q = 2 sin 2 2 pq p+q sin sin p sin q = 2 cos 2 2

Remarque 25. Il ny a pas de transformation gnrale de cos p sin q. e e Exercice 2-7 Factoriser sin + cos .

Proposition 2.8 : Angle moiti e Soit R. On note t = tan 2 =

sin . Alors : 1 + cos 2t 1 + t2 1 t2 cos = 1 + t2 2t tan = 1 t2 sin =

2.3

Exponentielle imaginaire et applications en trigonomtrie e

Dfinition 2.5 : Exponentielle imaginaire e Soit un rel R, on note e ei = cos + i sin Proposition 2.9 : Proprits de lexponentielle imaginaire e e 1. |ei | = 1, ei = ei ,

2. ei 2 = i, ei = 1 3. ei = 1 k Z, tq = 2k 4. ei = ei k Z tq = + 2k. Thor`me 2.10 : Lexponentielle est un morphisme de groupes e e Pour deux rels (, ) R2 , on a : e ei(+ ) = ei ei En dautres termes, lapplication exp : est un morphisme de groupes, de noyau Ker(exp) = 2Z = {2k,k Z} et dimage Im exp = U . Thor`me 2.11 : Formules de De Moivre a et dEuler b e e n Z, cos = ei + ei 2 ein = ein

1 = ei ei

(R,+) (U,) ei

sin =

ei ei 2i

Ces deux formules, plus la formule du binme et le calcul de sommes gomtriques sont fondao e e mentales en trigonomtrie. e On utilise galement la factorisation de langle moiti : e e eix + 1 = e 2ix

e 2 + e 2

ix

ix

= 2e 2 cos

ix

x 2 x 2

eix 1 = e 2a Abraham b Leonhard

ix

e 2 e 2

ix

ix

= 2ie 2 sin

ix

De Moivre, (26/05/1667), Franais. Auteur de la formule attribue injustement a Stirling c e ` Euler, (15/04/1707-18/09/1783), Suisse. Un des mathmaticiens les plus productif. Il a trouv un e e nombre incroyable de formules

Remarque 26. On a la factorisation de langle moiti plus gnrale (voir gure 2.3) : e e e eix + eiy = ei(x+y) 2

e

i(xy) 2

+ e

i(xy) 2

= 2ei

x+y 2

cos

xy 2

eiy

eix + eiyx+y 2

eix

Fig. 2.3 Factorisation de langle moiti e

Calculs trigonomtriques ` conna e a tre parfaitement Pour exprimer cos n = Tn () o` (Tn est le ni`me polynme de Tchebychev) u e o in in i n i n e +e (e ) + (e ) 1. Ecrire cos n = = ; 2 2 2. Utiliser la formule du binme ; o 3. Regrouper les deux sommes et on spare les indices pairs et impairs. e Pour linariser cosn (ou sinn ) : e n ei + ei ; 1. Ecrire cosn = 2 2. Dvelopper avec la formule du binme ; e o 3. Regrouper dans les sommes les termes conjugus ; e 4. Distinguer les cas n pair et n impair ; 5. Retransformer en cosinus. Pour calculer Sn = 1 + cos + cos 2 + + cos n 1. Introduire la somme Un = 1 + ei + + ein qui est une somme gomtrique, et alors e e Sn = Re(Un ) ; 2. Pour simplier le rsultat, factoriser langle moiti. e e Dfinition 2.6 : Argument dun nombre complexe e Soit un nombre complexe z C non-nul : z = 0 . Alors R, z = rei avec r = |z| = 0 qui est le module de z. On dit que est un argument de z et on note = Arg(z). Si (z,z ) C2 , on a Arg(z z ) = Arg z + Arg z + 2k Remarque 27. Largument nest pas unique: il est dni a 2 pr`s. On peut imposer lunicit de largument en e ` e e le choisissant dans un intervalle de longueur 2 (en gnral 0,2 ou ] ,]). e e

Exercice 2-8 Dterminer le module et un argument du nombre complexe z = 1 + ei , ( R). e Dfinition 2.7 : Exponentielle complexe e Pour z = a + ib C, on dnit e ez = ea+ib = ea eib (Son module vaut ea et son argument b).

Exercice 2-9 On consid`re lapplication exp : e a. b. b. c.

Rsoudre lquation ez = 1. e e Rsoudre lquation ez = 1 i 3. e e Dterminer limage dune droite x = a par exp. e Dterminer limage dune droite y = b par exp. e

(C,+) (C ,) . z ez

2.42.4.1

Racines dun nombre complexeExtraction de racine carre par rsolution algbrique (` viter) e e e ae

On consid`re un nombre complexe non nul z = x + iy C et lon cherche les nombres complexes Z = X + iY e vriant Z 2 = z. e 1. Cela revient a rsoudre le syst`me : ` e e X 2 + (Y 2 ) = x, X 2 (Y 2 ) = y 2 4

2. Si lon conna la somme et le produit de deux nombres rels, ils sont solutions dune quation du second t e e degr. e 3. On tudie les signes. e 4. On trouve nalement Z= x2 + y 2 + x + i sg(y) x2 + y 2 x {1,1}

2.4.2

Extraction de racine carre par rsolution trigonomtrique e e e

On crit z = |z|ei avec |z| = 0. On cherche Z sous la forme Z = ei vriant Z 2 = z. e e On trouve alors deux racines distinctes : Z1 = Exercice 2-10 1i Trouver une racine carre de e 3i Exercice 2-11 En utilisant la rsolution trigonomtrique et algbrique, dterminer sin e e e e 8

|z|ei 2 ,

Z2 =

|z|ei( 2 +) = Z1

et cos

8

.

2.4.3

Equation du second degr. eaz 2 + bz + c = 0 ((a,b,c) C3 , a = 0)

1. On met cette quation sous forme rduite : e e z+ b 2a2

=

b2 4ac 4a2

2. on introduit le discriminant = b2 4ac C.

3. (a) si = 0, on trouve une unique solution z = (b) si = 0, on trouve deux solutions distinctes z1 =

b , 2a b + 2a

b 2a

z2 =

o` est une racine carre complexe de . u e

Remarque 28. Pour une quation du second degr de la forme e e az 2 + 2bz + c = 0 former le discriminant rduit = b2 ac, et si est une racine carre de , les deux solutions scrivent e e e z1 = b , z2 = b + Remarque 29. Lorsque les coecients (a,b,c) sont rels, former le discriminant = b 2 4ac et tudier son e e signe : 1. Si > 0, il y a deux solutions relles e b + b x1 = , x2 = 2a 2a 2. Si = 0, il y a une racine double : x= 3. Si < 0, il y a deux racines complexes conjugues : e z1 = Exercice 2-12 Rsoudre lquation complexe e e z 2 2z(cos u + i sin u) + 2i sin u(cos u + i sin u) = 0 (u ] ,[) b i || b + i || , z2 = 2a 2a b 2a

2.4.4

Racines ni`mes de lunit e ezn = 1

Soit un entier non nul n N . Une racine ni`me de lunit est une solution de lquation e e e On les cherche sous la forme z = ei et lon trouve exactement n racines ni`mes distinctes : e Un = {e o` = e u2i n 2ik n

; k [[0,n 1]]} = { k ; k [[0,n 1]]}

sappelle la racine ni`me primitive de lunit. e e j

2

1 = j3 3 1

4

5(a) racines sixi`mes de lunit e e

j2 = =

1 j(b) Raines cubiques de lunit e

Fig. 2.4 Racines ni`mes de lunit e e

Thor`me 2.12 : Groupe des racines de lunit e e e Lensemble des racines ni`mes de lunit, (Un ,) est un groupe ni de cardinal n. e e

Thor`me 2.13 : La somme des racines ni`mes de lunit est nulle e e e en1

k = 0k=0

Remarque 30. On note j = e

2i 3

la racine cubique primitive de lunit, et on a les relations : e U3 = {1,j,j 2 }, j 2 = 1 = 1 + j + j2 = 0 j

Exercice 2-13 Dterminer les complexes de module 1 vriant |z + 1| = 1. e e Exercice 2-14 Rsoudre dans C lquation x2 + x + 1 = 0, puis ensuite lquation xn + xn1 + + x + 1 = 0. e e e Exercice 2-15 Calculer le produit de toutes les racines ni`mes de lunit. e e Exercice 2-16 On consid`re un triangle (ABC) du plan. On consid`re les complexes (a,b,c) axes des points A, B et C. e e Montrer que le triangle (ABC) est quilatral si et seulement si e e a2 + b2 + c2 ab ac bc = 0

2.4.5

Racines ni`mes dun nombre complexe e

Soit un nombre complexe non nul z = |z|ei C . On veut rsoudre lquation Z n = z. On cherche Z sous la e e forme Z = ei et on trouve n solutions distinctes. En notant la racine ni`me primitive de lunit : e e S = { n |z|ei n k ; k [[0,n 1]]} Exercice 2-17 Rsoudre dans C lquation (z 1)6 + (z + 1)6 = 0. e e

Chapitre 3

Fonctions usuelles3.1 Thor`mes danalyse admis e e

Nous utiliserons dans ce chapitre des thor`mes danalyse que nous dmontrerons plus tard. e e e Thor`me 3.1 : Fonctions constantes e e Soit une fonction f : I R drivable sur un intervalle I R. La fonction f est constante si et e seulement si x I, f (x) = 0. Remarque 31. On dduit de ce thor`me que deux primitives dune mme fonction di`rent dune constante. e e e e e Thor`me 3.2 : Thor`me de la bijection e e e e Soit une fonction f : I R. On note J = f (I). On suppose que la fonction f est : H1 continue sur I ;H2 strictement monotone sur I. Alors la fonction f ralise une bijection de lintervalle I vers lintervalle J, et sa bijection rciproque e e f 1 : J I est une fonction continue strictement monotone de mme sens que f . e

Thor`me 3.3 : Drivation de la bijection rciproque e e e e Soit une fonction f : I R et un point x0 I. On suppose que : H1 f est strictement monotone sur lintervalle I ;H2

f est drivable au point x0 ; e

H3 f (x0 ) = 0. On sait dj` que f ralise une bijection de lintervalle I vers lintervalle J = f (I) et alors la fonction ea e f 1 est drivable au point y0 = f (x0 ) avec e

(f 1 ) (y0 ) =

1 f (x0 )

On en dduit que si : e H1 f : I R est strictement monotone sur lintervalle I ;H2 H3

f est drivable sur lintervalle I ; e x I, f (x) = 0 ;

alors la fonction f 1 est drivable sur lintervalle f (I) avec e (f 1 ) = 1 f f 1

3.2

Calcul pratique de drives e e

Drive dune homographie e e f (x) = f (x) = ax + b cx + d f (x) = f (x) = ad bc (cx + d)2

au(x) + b cu(x) + d

ad bc u (x) (cu(x) + d)2

Exercice 3-1 3x ln x + 1 . Driver f (x) = e 2x ln x + 3

Drive dun quotient e e u(x) v n (x) u (x) u(x)v (x) n n+1 v n (x) v (x)

f (x) =

(n 2) f (x) =

Lorsque n 2, on prf`re driver avec la formule dun produit. ee e Exercice 3-2 Driver la fonction dnie par f (x) = e e produit. Conclusion? x3 + 1 en utilisant la formule (x2 + 1)2 u v et en la drivant sous forme de e

Drive logarithmique e en n

f (x) =i=1

fii

f (x) = f (x)

ii=1

fi (x) fi (x)

Exercice 3-3 Driver la fonction dnie par f (x) = e e

x+1 . (x + 3)(x + 4)

Exponentielle en facteur

(x) = ea(x) f (x) (x) = ea(x) [f (x) + a (x)f (x)] Remarque 32. Cette r`gle de calcul est utile pour rsoudre des quations (inquations) direntielles. Lorsquon e e e e e rencontre un groupement : f (x) + a(x) f (x) on consid`re une primitive A de la fonction a, et on introduit la fonction e g(x) = eA(x) f (x) car g (x) = eA(x) [f (x) + a(x)f (x)] Exercice 3-4 Soit une fonction f : [0, + [ R drivable sur [0, + [ telle que x 0, f (x) + f (x) 1. Montrer que la e fonction f est majore. e

R`gle de la cha e ne

f (x) = f1 fn (x) Exercice 3-5

f (x) = [f1 f2 fn (x)] [f2 f3 fn (x)] fn (x) e2x + 1 e2x + 3

Driver la fonction dnie par f (x) = sin ln e e

.

Remarque 33. On calcule souvent des drives pour tudier leur signe. Comme la drivation en cha donne e e e e ne un produit de fonctions, il sut de dterminer le signe de chacun des morceaux. e

3.33.3.1

Fonctions usuellesExponentielles, logarithmes

Exponentielle On suppose connue la fonction exponentielle et ses proprits fondamentales. Vous verrez lanne prochaine la ee e bonne faon de dnir lexponentielle dun nombre complexe : c e+

ez =k=0

zk k!

Lexponentielle ralise un morphisme de groupes : e exp : (R,+) x (R+, ,) ex

(x,y) R2 ,

ex+y = ex ey

lingalit classique : e e

Elle est drivable sur R et x R, exp (x) = exp(x) . Elle satisfait donc lquation direntielle f = f . On a e e e x R, Logarithme nprien e e Lexponentielle est continue et strictement croissante sur I = R donc dapr`s le thor`me de la bijection, elle e e e ralise une bijection de I = R vers J =]0, + [ On dnit le logarithme nprien comme sa bijection rciproque. e e e e e exp(x) 1 + x

y = ex

y = ln x

Fig. 3.1 Exponentielle et logarithme

ln :

]0, + [ x

R ln x

Comme la fonction exp est drivable sur I = R et que x I, exp (x) = 0, sa bijection rciproque ln est e e 1 drivable sur J =]0, + [ et x J =]0, + [, (ln) (x) = e . La fonction ln vrie lquation fonctionnelle : e e x x,y > 0 On a les ingalits classiques : e e x > 1, ln(1 + x) x ln(xy) = ln x + ln y

Exponentielle de base a : ax = ex ln a On dnit galement pour a > 0 lexponentielle de base a : e e fa : Elle vrie lquation fonctionnelle : e e Elle est drivable sur I = R (comme compose) et sa drive vaut : e e e e (x,y) R2 , ax+y = ax ay x R, fa (x) = (ln a)eax Si a = 1, alors x R, fa (x) = 1 ; Si a > 1, alors fa est strictement croissante sur R ; Si 0 < a < 1, alors fa est strictement dcroissante sur R. e R x R ax = ex ln a

y = ax (0 < a < 1) y = ax (a > 1)

Fig. 3.2 Exponentielles en base a

Logarithme de base a : loga (x) =

ln x ln a Lorsque a > 0 et a = 1, lexponentielle de base a est une fonction fa continue sur I = R, et strictement monotone. Dapr`s le thor`me de la bijection, elle ralise une bijection de I vers J. On note log a sa bijection e e e e rciproque (qui est donc continue sur J =]0, + [ de mme sens de variation que f a ). e e Comme la fonction fa est drivable sur lintervalle I et que x I, fa (x) = 0, la fonction loga est drivable sur e e lintervalle J =]0, + [ et 1 x J =]0, + [, loga (x) = (ln a)x Le logarithme en base a vrie lquation fonctionnelle : e e (x,y) ]0, + [2 , loga (xy) = loga x + loga y

On peut exprimer le logarithme de base a a laide du logarithme nprien : ` e e x > 0, loga (x) = ln x ln a

3.3.2

Fonctions puissance x = e ln xf : ]0, + [ x R x = e ln x

Pour R, on dnit e

f est drivable sur R (fonction compose) et x R, e e fa (x) = x1 . En notant I =]0, + [, Si = 0, f est constante et vaut 1.

y = logb (x) (0 < b < 1) =1 >1

0 0, on peut prolonger par continuit f et 0 en posant f (0) = 0. Etudions la drivabilit de la e e e fonction ainsi prolonge (encore note f ) : e e Si > 1, f est drivable en 0 avec f (0) = 0. e Si = 1, f est drivable en 0 avec f (0) = 1. e Si 0 < < 1, f nest pas drivable en 0 (demi- tangente verticale). e Comme R , f est continue sur I =]0, + [ et strictement monotone sur I, elle est bijective de I vers J =]0, + [. On montre alors que 1 1 f = f

3.3.3

Fonctions hyperboliques et circulaires

Fonctions circulaires Etude des fonctions hyperboliques

ex + ex 2 ex ex sh x = 2 sh x th x = ch x 1 coth x = th x ch x = On a les proprits suivantes : ee ch x + sh x = ex ch x sh x = ex ch2 x sh2 x = 1 ch x = sh x sh x = ch x th x = 1 th2 x = 1 ch2 x cos x + i sin x = eix cos x i sin x = eix cos2 x + sin2 x = 1 cos x = sin x sin x = cos x tan x = 1 + tan2 x = 1 cos2 x

eix + eix 2 eix eix sin x = 2i sin x tan x = cos x 1 cotan x = tan x cos x =

y = sin(x)

y = cos(x)

2

0

2

2

2

y = tan(x)

y = cotan(x)

2

2

k +

2

2

2

k

Fig. 3.4 Fonctions sin, cos, tan et cotan

y = ch x

y=

ex 2

y = sh x

Fig. 3.5 Fonctions sh et ch

y = coth x

+1

y = th x

1

Fig. 3.6 Fonctions th et coth

sh 0 = 0, ch 0 = 1. On remarque que x R, sh x ex ch x et ch x sh x = ex 0 x+ 2

ex Par consquent, la courbe y = e est asymptote aux deux courbes y = sh x et y = ch x et on a la position 2 des courbes par rapport a la courbe asymptote. `

Trigonomtrie e Les formules a conna par coeur : ` tre cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b ch(a + b) = ch a ch b + sh a sh b ch(a b) = ch a ch b sh a sh b sh(a + b) = sh a ch b + ch a sh b sh(a b) = sh a ch b ch a sh b

cos(a b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin(a b) = sin a cos b cos a sin b

A conna galement par coeur : tre e cos 2a = cos2 a sin2 a = 2 cos2 a 1 = 1 2 sin2 a sin 2a = 2 sin a cos a ch 2a = ch2 a + sh2 a = 2 ch2 a 1 = 1 + 2 sh2 a sh 2a = 2 sh a ch a

cos2 a =

cos 2a + 1 2 1 cos 2a 2 sin a = 2

ch2 a =

ch 2a + 1 2 ch 2a 1 2 sh a = 2

Formules utiles galement en intgration (elles permettent dexprimer les fonctions trigonomtriques comme e e e fractions rationnelles en t) : x t = tan( ) 2 2t sin x = 1 + t2 1 t2 cos x = 1 + t2 2t tan x = 1 t2 x t = th( ) 2 2t sh x = 1 t2 1 + t2 ch x = 1 t2 2t th x = 1 + t2

1 cos2 x tan a + tan b tan(a + b) = 1 tan a tan b tan a tan b tan(a b) = 1 + tan a tan b 2 tan a tan(2a) = 1 tan2 a 1 + tan2 x =

1 ch2 x th a + th b th(a + b) = 1 + th a th b th a th b th(a b) = 1 th a th b 2 th a th(2a) = 1 + th2 a 1 th2 x =

3.3.4

Fonctions circulaires rciproques e

Fonction arcsin Sur [ , ], la fonction sinus est continue strictement croissante vers [1,1]. On dnit sa bijection rciproque e e 2 2 arcsin : [1,1] [ , ]. La fonction arcsin est impaire et on a les proprits suivantes : ee 2 2 x , ], 2 2 x [1,1], x [1,1], x [1,1], arcsin(sin x) = x sin(arcsin x) = x cos(arcsin x) = 1 x2 x tan(arcsin x) = 1 x2

La fonction arcsin est drivable sur lintervalle ] 1,1[ (demi-tangentes verticales en 1 et 1) et x ] 1,1[, e (arcsin) (x) = On a donc une primitive a conna : ` tre Quelques valeurs particuli`res a conna : e ` tre arcsin(0) = 0 arcsin(1/2) = 6 1 arcsin = 4 2 3 = arcsin 2 3 arcsin(1) = 2 1 dx = arcsin x + C 1 x2 1 1 x2

y = arcsin(x) y = sin(x)

1 2

1

2

Fig. 3.7 Restriction de sin a [ , ] et fonction arcsin ` 2 2

Fonction arccos Sur [0,], la fonction cosinus est continue strictement croissante vers [1,1]. On dnit sa bijection rciproque e e arccos : [1,1] [0,]. On a les proprits suivantes : ee x [0,], arccos(cos x) = x cos(arccos x) = x 1 x2 1 x2 tan(arccos x) = x sin(arccos x) =

x [1,1], x [1,1], x [1,1], x = 0,

La fonction arccos est drivable sur lintervalle ] 1,1[ (demi-tangente verticale en 1 et 1), et x ] 1,1[, e (arccos) (x) = 1 1 x2

y = arccos(x)

2

1

1

2

y = cos(x)

Fig. 3.8 Restriction de cos a [0,] et fonction arccos `

La relation suivante lie les fonctions arcsin et arccos. En pratique, on transforme la fonction arccos en arcsin dans les tudes de fonctions : e x [1,1], arcsin x + arccos x = 2

Quelques valeurs particuli`res a conna : e ` tre 2 arccos(1/2) = 3 1 arccos = 4 2 3 = arccos 2 6 arccos(1) = 0 arccos(0) = Fonction arctan , [, la fonction tangente est continue strictement croissante vers R. On dnit sa bijection e 2 2 ee rciproque arctan : R ] , [. On a les proprits suivantes : e 2 2 x , , arctan(tan x) = x 2 2 x R, tan(arctan x) = x 1 x R, cos(arctan x) = 1 + x2 x x R, sin(arctan x) = 1 + x2 La fonction arctan est drivable sur R et x R, e Sur lintervalle ] (arctan) (x) = Une primitive tr`s importante : e x2 1 = arctan x + C +1 y = tan(x) 1 1 + x2

2

y = arctan(x) 2 2

2

Fig. 3.9 Restriction de tan a ] , [ et fonction arctan. ` 2 2 Quelques valeurs particuli`res a conna : e ` tre arctan(0) = 0 1 arctan = 6 3 arctan(1) = 4 arctan( 3) = 3

x R

arctan x + arctan

1 = x 2

( = sg(x))

Exercice 3-6 Pour x R, trouver une expression sans fonction trigonomtrique de arcsin(sin x). e Exercice 3-7 Soient (a,x) R2 tels que ax = 1. Montrer que arctan a + arctan x = arctan

a+x + 1 ax

( {1,0,1})

Exercice 3-8 x . Simplier pour x ] 1,1[, arctan 1 x2 Exercice 3-9 Etudier la fonction dnie par f (x) = 2 arctan th(x) arctan sh(2x) . e

3.3.5

Fonctions hyperboliques rciproques e

Fonction argsh La fonction sh ralise une bijection strictement croissante de ],[ vers J =],[. On appelle argsh = sh 1 e sa bijection rciproque. e y = sh x

y = argsh x

Fig. 3.10 Fonctions sh et argsh La fonction argsh est drivable sur R et e x R, argsh (x) = On a lexpression logarithmique de argsh : argsh x = ln(x + On en dduit que e 1 dx = argsh(x) + C = ln(x + 1 + x2 x2 + 1) + C x2 + 1) 1 1 + x2

Fonction argch La restriction de la fonction ch a lintervalle I = [0, + [ ralise une bijection strictement croissante de I vers ` e [1, + [. On appelle argch = ch1 sa bijection rciproque. e y = ch x

1

y = argch x

1 Fig. 3.11 Fonctions ch et argch La fonction argch est drivable sur ]1, + [ et e x ]1, + [, argch (x) = On a lexpression logarithmique : argch x = ln(x + et on en dduit la primitive : e Fonction argth La fonction th ralise une bijection strictement croissante de lintervalle I =],+[ vers lintervalle J =]1,1[. e On appelle argth = th1 sa bijection rciproque. e y = argth x 1 dx = argch x + C = ln(x + x2 1 x2 1) + C x2 1) 1 x2 1

y = th x 1

1 1

1

Fig. 3.12 Fonctions th et argth La fonction argth est drivable sur ] 1,1[ et e x ] 1,1[, argth (x) = On a lexpression logarithmique : argth x = 1 1 x2

1+x 1 ln 2 1x

3.3.6

Etude dune fonction

Dfinition 3.1 : Asymptotes Soit f : [c, + ] R une fonction. On dit quune courbe e y = g(x) est asymptote a la courbe y = f (x) en + ssi ` g(x) f (x) 0 x+

En particulier, une droite dquation y = ax + b est asymptote a la courbe reprsentative de f ssi e ` e f (x) [ax + b] 0 x+

y = g(x)

g(x) f (x) 0 x+

y = f (x) x

Fig. 3.13 Courbes asymptotes lorsque x +

Mthode pratique de recherche dasymptotes e 1. Si f (x) l R, la droite horizontale y = l est asymptote. On lit sur le tableau x+

3. Si f (x) ax, (a R ) on calcule f (x) ax et on cherche la limite de f (x) ax. Si f (x) ax b R, la droite y = ax + b est asymptote. On dtermine la position de e la courbe par rapport a lasymptote en cherchant un quivalent de f (x) [ax + b]. ` e f (x) f (x) 4. Si , on dit quon a une branche parabolique de direction (0y). Si 0, x x une branche parabolique de direction (0x). 5. Si f (x) ax2 , (a = 0), on peut rechercher des paraboles asymptotes. Plan dtude dune fonction e 1. Trouver le domaine de dnition. e 2. Calculer la drive (factoriser) et tudier son signe. e e e 3. Tableau de variations. On prcise les valeurs exactes remarquables, les limites et les e prolongements ventuels (on tudie alors la drivabilit de la fonction prolonge). e e e e e 4. Recherche dventuelles asymptotes. e 5. Trac approximatif de la courbe y = f (x) : on reprsente les asymptotes ventuelles, e e e les tangentes horizontales Remarque 34. La reprsentation de valeurs particuli`res numriques obtenues a laide de la calculatrice ne e e e ` prsente en gnral aucun intrt ! e e e e e Exercice 3-10 Etudier la fonction dnie par f (x) = xx+1 . e

de variations la position de la courbe par rapport a lasymptote. ` 2. Si f (x) , on cherche un quivalent simple de f (x) en +. ex+

3.3.7

Fonction exponentielle complexe

Drive dune fonction complexe e e Dfinition 3.2 : Drive dune fonction complexe e e e I C Si f : est une fonction complexe, o` f1 = Re(f ) et f2 = Im(f ) u x f (x) = f1 (x) + if2 (x) sont deux fonctions relles drivables, on dnit la drive de f par : e e e e e x I, f (x) = f1 (x) + if2 (x) Proposition 3.4 : Drive dun produit e e Soient deux fonctions complexes drivables sur un intervalle I R, f : I C et g : I C. La e fonction f g : I C est drivable sur lintervalle I et e x I, (f g) (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x) Exponentielle complexe Thor`me 3.5 : Drive de lexponentielle complexe e e e e Soit : I C une fonction complexe drivable sur un intervalle I R. Alors la fonction e : est drivable sur lintervalle I et e x I, (x) = (x) e(x) I x C e(x)

Chapitre 4

Equations direntielles e4.1 Rappels dintgration e

Nous dmontrerons plus tard les rsultats suivants. e e Dfinition 4.1 : Primitives e Soit deux fonctions f et F dnies sur un intervalle I. On dit que la fonction F est une primitive e de la fonction f sur lintervalle I si et seulement si : 1. la fonction F est drivable sur I ; e 2. x I, F (x) = f (x). Thor`me 4.1 : Deux primitives di`rent dune constante e e e Soit f : I R une fonction dnie sur un intervalle I et deux primitives F,G : R de la fonction e f sur lintervalle I. Alors ces deux primitives di`rent dune constante : e C R tq x I, G(x) = F (x) + C

Thor`me 4.2 : Le thor`me fondamental du calcul e e e e H1 Soit un intervalle I. Soit une fonction f continue sur I. Soit un point a I. Alors la fonctionH2

F :

I x

x a f (t)

R

dt

est de classe C 1 sur I et x I, F (x) = f (x). En dautres termes, la fonction F est lunique primitive de f qui sannule au point a. Corollaire 4.3 : Thor`me fondamental deuxi`me forme e e e Soit une fonction f de classe C 1 sur le segment [a,b]. Alors la formule suivante relie f et sa drive e e par une intgrale. Pour tout x [a,b] : ex

f (x) = f (a) +a

f (t) dt

4.2

Caractrisations de la fonction exponentielle e(E) : y = ay

On consid`re un complexe a C et lquation direntielle e e e

Rsoudre cette quation direntielle consiste a dterminer lensemble S des fonctions f : R C drivables e e e ` e e vriant : e t R, f (t) = af (t)

Thor`me 4.4 : Rsolution de lquation direntielle y = ay e e e e e S = {f ; C}

o` f : u

R t

On se propose maintenant de dterminer les fonctions f : R C vriant lquation fonctionnelle : e e e (t,u) R2 , f (t + u) = f (t)f (u) La fonction exponentielle vrie cette proprit. Considrons maintenant une fonction quelconque f drivable e ee e e vriant cette proprit. On montre que : e ee Thor`me 4.5 : Rsolution de lquation fonctionnelle f (t + u) = f (t)f (u) e e e e 1. Sil existe t0 R tel que f (t0 ) = 0, alors f est la fonction nulle. 2. Si f nest pas la fonction nulle, alors f (0) = 1. 3. Si f nest pas la fonction nulle, alors il existe a C tel que t R, f (t) = eat .

C eat

4.3

Equations du premier ordre linaires e

Dfinition 4.2 : Equation direntielle gnrale du premier ordre e e e e Soit F : R R I R une fonction de trois variables o` I est un intervalle de R. On dit quune u fonction y : I R est une solution de lquation direntielle e e (E) F (y ,y,t) = 0 si et seulement si : 1. y est une fonction drivable sur I ; e 2. t I, F (y (t),y(t),t) = 0. On note SE lensemble des fonctions y solutions de lquation direntielle. On dit que deux e e quations direntielles sont quivalentes lorsquelles ont mme ensemble de solutions. On appelle e e e e courbe intgrale de lquation direntielle, une courbe reprsentative dune solution y S E . e e e e Dfinition 4.3 : Probl`me de Cauchy e e Soit F : RRI R une fonction de trois variables o` I est un intervalle de R. Soit (t 0 ,y0 ) IR. u On dit quune fonction y : I R est solution du probl`me de Cauchy : e (C) F (y ,y,t) = 0 y(t0 ) = y0

si et seulement si : 1. y est une fonction drivable sur lintervalle I ; e 2. t I, F (y (t),y(t),t) = 0 ; 3. y(t0 ) = y0 . Parmi les quations direntielles du premier ordre gnrales, on distingue : e e e e Les quations du premier ordre explicites de la forme : e (E) y = f (y,t)

o` f : R I R ; u Les quations du premier ordre linaires de la forme : e e (E) a(t)y + b(t)y = c(t)

o` a,b,c : I R sont trois fonctions continues sur lintervalle I ; u Les quations du premier ordre linaires normalises de la forme : e e e (E) y + (t)y = (t)

o` , : I R sont deux fonctions continues sur lintervalle I. u

Remarque 35. Si y SE , est une solution dune quation direntielle explicite e e (E) y = f (y,t)

alors en un point (t,y) de la courbe reprsentative de y, la pente de la tangente a la courbe C y vaut f (y,t). La e ` connaissance de la fonction f permet de tracer un champ de vecteurs. En un point (t0 ,y0 ) du plan on reprsente e un vecteur de pente f (t0 ,y0 ). Alors un point (t0 ,y(t0 )) dune courbe intgrale de (E), le champ de vecteurs sera e tangent a la courbe. Cest lide de la mthode dEuler. ` e e16 14 12 10 y(t) 8 6 4 2

1

0.5

0

0.5 t Curve 1 Curve 2

1

Fig. 4.1 Champ de vecteurs et courbes intgrales e Dfinition 4.4 : Equations direntielles linaires du premier ordre e e e Soit I un intervalle de R et a(t),b(t),c(t) trois fonctions continues sur I a valeurs dans R ou dans ` C. On dit quune fonction y(t) : I R (ou C) est une solution de lquation direntielle e e (E) si: 1. y est une fonction drivable sur I ; e 2. t I, a(t)y (t) + b(t)y(t) = c(t). Rsoudre lquation direntielle consiste a dterminer lensemble des solutions S E de lquation e e e ` e e direntielle (E) sur lintervalle I. e Proposition 4.6 : Si la fonction a(t) ne sannule pas sur I, les solutions de (E) sont les solutions de lquation normalise : e e c(t) b(t) y= (E ) y + a(t) a(t) Dans ce qui suit, on consid`re une quation direntielle normalise de la forme : e e e e (E) y + a(t)y = b(t) et lquation homog`ne associe (avec second membre nul) : e e e (H) y + a(t)y = 0 a(t)y + b(t)y = c(t)

4.3.1

Rsolution de lquation homog`ne e e e(H) y + a(t)y = 0

Thor`me 4.7 : Solutions de lquation homog`ne e e e e Si A : I R (ou C) est une primitive de la fonction a(t) sur lintervalle I, alors on sait crire e directement lensemble des solutions de lquation homog`ne : e e SH = {t CeA(t) ; C R} (pour des solutions complexes, C C). Remarque 36. Nous verrons plus tard que lensemble des solutions de lquation homog`ne a une structure de e e droite vectorielle. Exercice 4-1 Rsoudre lquation direntielle (E) : y + y = 0 sur lintervalle I = R. Dessiner lensemble des courbes e e e intgrales. Trouver lunique solution de (E) vriant y(0) = 2. e e Exercice 4-2 Rsoudre lquation direntielle (E) : (1 + t2 )y + 4ty = 0 sur lintervalle I = R. e e e Exercice 4-3 Trouver toutes les fonctions f : [0, + [ R continues sur lintervalle I = [0, + [, vriant : ex

x ]0, + [,

2xf (x) = 30

f (t)dt

4.3.2

Rsolution de lquation avec second membre e e(E) y + a(t)y = b(t)

Thor`me 4.8 : Solutions de lquation compl`te Si lon conna une solution particuli`re e e e e t e y a lquation compl`te, on a lensemble de toutes les solutions : ` e e S = {t CeA(t) + y(t) ; C R} Remarque 37. 1. Le thor`me suivant justie quil existe toujours une solution particuli`re. e e e 2. Nous verrons plus tard que lensemble des solutions a une structure de droite ane. Thor`me 4.9 : Rsolution du probl`me de Cauchy e e e e Soit t0 I et y0 R. Il existe une et une seule solution de (E) vriant y(t0 ) = y0 . (i.e. il existe e une unique courbe intgrale de (E) passant par le point (t0 ,y0 )). Cette solution est donne sous e e forme intgrale : e y(t) = eA(t0 )A(t) y0 + eA(t)t t0

eA(u) b(u) du

Rsolution pratique : e 1. On rsout lquation homog`ne : la solution gnrale de lquation homog`ne est de la forme Ce A(t) ; e e e e e e e 2. Y a-t-il une solution particuli`re vidente? On peut utiliser le principe de superposition des solutions. Si e e le second membre est de la forme c(t) = c1 (t) + + cn (t) et si lon conna des solutions particuli`res t e y1 , . . . ,yn des quations avec second membre ci (t), alors la fonction e y(t) = y1 (t) + + yn (t) est une solution particuli`re de lquation (E). e e 3. Si lon ne voit pas de solution vidente, on cherche une solution particuli`re de lquation compl`te sous e e e e la forme y(t) = C(t)eA(t) o` C(t) est une fonction vriant u e C (t)eA(t) = b(t) cest la mthode de la variation de la constante ; e

4. On crit la solution gnrale de lquation compl`te. e e e e e Exercice 4-4 Rsoudre sur I = R, lquation direntielle e e e y + ty = t

Exercice 4-5 Rsoudre lquation direntielle sur lintervalle I = R, e e e y + 2xy = exx2

Exercice 4-6 Rsoudre sur lintervalle I = R, lquation direntielle e e e y + y = 2ex + 4 sin x + 3 cos x

4.3.3

Mthode dEuler e

On consid`re le probl`me de Cauchy pour une quation direntielle du premier ordre explicite : e e e e y y(t0 ) = f (t,y) = y0

Mme si lquation direntielle est linaire, sa rsolution passe par un calcul de primitives, or on ne sait e e e e e calculer que tr`s peu de primitives. Lorsque lquation direntielle est non-linaire, il est en gnral impossible e e e e e e de dterminer la solution explicite du probl`me de Cauchy. On a recours a des mthodes numriques de calcul e e ` e e approch de solutions. La plus simple de ces mthodes est la mthode dEuler qui se base sur une ide gomtrique e e e e e e simple. Lide est dapproximer la drive de y au point t par un taux daccroissement : e e e y (t) y(t + h) y(t) h

y(t0 + h) y(t0 ) h f (t0 ,y0 ), on en dduit que y(t0 + h) y0 + f (t0 ,y0 ). Connaissant la valeur de y en t0 + h, on peut recommencer e pour obtenir une approximation de y(t0 + kh). ou de mani`re quivalente, dapproximer la courbe de y par sa tangente en t 0 . Comme e e yn+1 = yn + hf (t0 + nh,yn ) Le rel yn est une approximation de y(t0 + nh). e

4.4

Equations direntielles du second ordre ` coecients constants e a

Dfinition 4.5 : Equation linaire du second ordre ` coecients constants e e a Soient trois complexes (a,b,c) C, et une fonction f : I C continue sur lintervalle I R. On dit quune fonction y : I C est une solution de lquation direntielle e e (E) : si 1. y est une fonction de