Cours-beton-Armee cba65

8/7/2019 Cours-beton-Armee cba65

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Cours Du Bton Arm I: Centre Universitaire de Bchar

1

Rpublique Algrienne Dmocratique et Populaire

Ministre de l'enseignement suprieur et de la recherche scientifique

Centre Universitaire de Bchar

Dpartement de Gnie Civil et d'Architecture

Support du cours

Bton Arm ITEC185

Fait par : Mr BARAKA Abdelhak

Anne universitaire 2005-2006


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SommairePrsentation 11

Chapitre I : Introduction en bton arm

I- Gnralits 13

II- Avantages et inconvnients du bton arm 13

1- Avantages 13

2. Les inconvnients du bton arm 14

Chapitre II : Scurit Rglementation

I- Gnralits 16

II- Rglements classiques - coefficient de scurit (C.C.B.A) 16

III- Thorie probabiliste de la scurit 16

IV- Thorie semi -probabiliste - Etats limites (B.A.E.L) 83-91 16

1. Etat limite ultime (E.L.U) 17a- Etat limite ultime dquilibre statique de louvrage 17

b- Etat limite ultime de rsistance de lun des matriaux de construction 17

c- Etat limite ultime de stabilit de forme .. 17

2. Etat limite de service (E.L.S) . 17

a- Etat limite de service de compression de bton 17

b- Etat limite de service douverture des fissures 17

c- Etat limite de service de dformation 17

V- Rglements Algriens (C.B.A.93)-(R.P.A.2003) .. 17

VI- Actions et sollicitations . 18

1- Les actions 18

a- actions permanentes (G) 18

b- actions variables (Q) 18

c- actions accidentelles (F A) 18

2- Les sollicitations 18

3-Les combinaisons d'actions 18


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a- Etats limites ultimes (E.L.U) 19

b- Etats limites de services (E.L.S) 19

Chapitre III : Les composants du Bton Arm

I- Le bton 21

1-Dfinition 21

2- Caractristiques physiques et mcaniques du bton 21

A- Masse volumique 21

B- Dformations du bton indpendantes des charges appliques 21

1-Dformation thermique 21

2- Le retrait hygromtrique 21

3- Facteur et influence du retrait 22

c- dformation du bton sous actions courte dure ( < 24 H ) 22

1- Rsistance la compression 22

a- Essai de compression . 22

b- Evolution de la rsistance la compression avec lge du bton 22

2- Rsistance la traction 23

a- Traction par fendage 23

b- Traction par flexion 23

c- Rsistance caractristique la traction . 23

3- Module de dformation instantane 24

4- Dformation du bton sous actions de longues dures (le fluage) 24

1. dfinition . 24

2-Facteurs influenant le fluage 24

2. 3-module de dformation diffr . 24

5-Diagramme contrainte /dformation de calcul 24

-E .L .S 25

-E .L .U .. 25

6-Condition de pntration du bton dans les moules 26

7- Ouvrabilit . 26

I- Acier .. 26

Gnralit 26


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4

2. Essai de traction 26

3- Diffrent types daciers 27

Acier rond lisse 27

Acier haute adhrence 27

Les treillis souds 28

4-Dsignation des aciers 28

5- Diagramme Contrainte - Dformation de calcul 29

5.1- E .L . U 29

5.2- E . L .S 29

Chapitre IV : Association Bton - Acier

I- Gnralit 31

II- Ladhrences 31

1-Dfinition 31

2. Fonctions dadhrence 31

3. . Entranement des barres 32

4. Ancrage des barres32

5. distribution de la fissuration 32

Facteurs agissant sur ladhrence 32

a . Etat de surface des barres 32

b. Forme des barres 32

c. groupement darmatures 32

d. La rsistance du bton 33

e. La compression transversale 33

f. Lpaisseur du bton 33

III. Ancrage des barres 33

Dfinition 33

2-Ancrages rectilignes 34

a - Variation de leffort axial le long dune barre droite 34

b- Longueur de scellement droit 34

3- Les ancrages courbes

34

a- Variation de l'effort axial le long d'une barre courbe 35


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5

b- Calcul d'un ancrage courbe 35

IV- Dispositions constructives 36

1- Dnomination des armatures 37

Ferraillage de la poutre 37

a-Les armatures longitudinales 38

b- Les armatures transversales 38

2- Dispositions constructives gnratives 38

a- Protection des armatures 39

b- Distance entre barres 39

-barres isoles 39

- groupement des barres 39

c- Pousse dans le vide 39

3- Condition de non crasement du bton 40

- Ancrage d'une barre comprime 40

4- Les recouvrements 41

-recouvrement rectiligne 41

-recouvrement courb 41

- Application 42

Chapitre V : Les hypothses de calcul

I- Hypothses LE .L .U 44

Hypothse (1) 44

Hypothse (2) 44

Hypothse (3) 44

Hypothse (4) 44

Hypothse (5) 45

Hypothse (6 ) 45

Rgle des 3 pivots 45

Le domaine( 1) 46

le sous domaine 1-a 46

Le sous domaine 1-b 46

Le domaine(2) 46


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6

Sous domaine 2-a 47

Sous domaine 2-b 47

Sous domaine 2-c 47

. Le domaine(3) 47

II- Hypothses lE .L .S (durabilit de la structure ) 47

Hypothse (1) 47

Hypothse (2) 47

Hypothse (3) 47

-Homognisation de la section 48

Hypothse(4) 48

Hypothse(5) 48

III- Hypothses lE .L .S de compression du bton 48

IV- Hypothse l E .L .S de dformation 48

V- Hypothse l E .L .S douverture des fissures 48

1-Si la fissuration est peu prjudiciable 48

2. Si la fissuration est prjudiciable 48

3. Si la fissuration est trs prjudiciable 49

- Application 49

Chapitre VI : La traction simple

I- Dfinition 51

Tirants rectilignes 51

Tirants circulaires 51

I- Dtermination des armatures 52

1. Condition de non-fragilit 52

2. E.L.U 52

3. E.L.S 52

4. Armatures transversales 52

- Application 53


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7

Chapitre VII : La compression simple

I- Compression centre 55

- Dfinition du noyau central 55

II- Longueur de flambement et lancement 55

1- La longueur de flambement (L f ) 55

a- Evaluation de la longueur de flambement et la longueur libre 55

-Cas des poteaux isols 56

-Cas des poteaux dans des btiments tages multiples 56

2- L'lancement de 56

- Dfinition du rayon de giration. 56

1- Section rectangulaire.. 56

2- Section circulaire 56

3- Section carre 57

III- Etat limite de service (E.L.S) 57

IV- Etat limite Ultime (E.L.U) 57

V - Dtermination des armatures 58

1- Armatures longitudinales 58

2- Pourcentage d'armatures minimum 58

3- Pourcentage d'armatures maximum 58

4- Armatures transversales 59

5- Dispositions constructives 59

-Section rectangulaire 59

-Section rectangulaire 59

-Section polygonale 59

VI Prdimensionnement des poteaux 60

-Application 61

Chapitre VIII : La flexion simple

I Dfinition 63

II- Etat limite ultime de rsistance pour une section rectangulaire 63

1- Equilibre d'une section flchie 63


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8

2 Section armatures simple 63

Le moment rduit " u" 64

Le moment de rfrence d'une section 64

Le moment rsistant M R 64- Etat limite ultime par coulement plastique des aciers 65

- Etat limite ultime par crasement du bton 65

- Position particulire de l'axe neutre 66

III- Dtermination des armatures pour une section donne 66

a- Section armatures simple 66

-Application 66

b- Section armatures double 67 Moment rsistant et moment rsiduel 67 Dtermination des armatures 67-Application 68

IV- Etat limite de service 69

1- Dtermination des contraintes 69

a- dtermination de l'axe neutre 69

b- dtermination des contraintes 69-Application 70

V- Etat limite ultime pour une section en " T " 70

1 dfinition 70

2 dtermination du ferraillage 70

-Moment quilibr par les dbords 71

-Moment quilibr par la section b 0 ; h0 71

VI- Etat limite de service 71a- dtermination de l'axe neutre 71

b- dtermination des contraintes 72

-Application 73

Chapitre IX : L'effort tranchant

I- Gnralits 76

II- Contrainte tangentielle conventionnelle 76


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9

III- Comportement des poutres sous l'action de l'effort tranchant 76

1- Etat de contrainte provoqu par l'effort tranchant 76

2- Ncessit d'armatures transversales 76

3 Justification des poutres sous sollicitations tangentes 76

a- Justification du bton 77

3 Justification des poutres sous sollicitations tangentes 77

Conditions complmentaires 78 Effort tranchant pour une section en T 786- Rpartition des cadres le long de la poutre 78

a Position du 1 er cadre 78

b Rpartition des cadres 78

Mthode forfaitaire de Caquot 78 Epure de rpartition 79-Application 81

Chapitre X : La flexion compose

I Dfinition 84

II Gnralits 84

III- Etat limite ultime de rsistance pour une section rectangulaire 86

1- Courbe de rfrence d'une section 86

a- Section partiellement comprime (Domaine 2 pivot B) 86

b - Section tendue ou partiellement comprime (Domaine 1 pivot A) 86

c - Section entirement comprime (Domaine 3 pivot 3). 86

d - Le trac de la courbe de rfrence.. 87

2- Domaines de fonctionnement de la section.. 87

a- Dtermination des domaines 88

b- Domaine de fonctionnement ... 89

IV- Dtermination des armatures 90

1- Section entirement tendue 90

2- Section partiellement comprime 90

3- Section entirement comprime 91

-Application 92


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10

V- Etat limite de service 94

1 Section entirement .. 94

2 Section entirement comprime.. 94

3 Section partiellement comprime 95

N est un effort de compression 95 N est un effort de traction 96-Application 96

Chapitre XI : La torsion

I Dfinition Gnralits 99

a- Torsion uniforme de S t Venant 99

b- Torsion non uniforme 99

II Contraintes tangentes de torsion 99

1- Sections creuses (tubulaires) 99

2- Sections pleines 99

III- Comportement des poutres soumises un moment de torsion 100

IV- Justification des poutres sous sollicitation de torsion 100

1- Justification du bton 100

-Sections creuses 100

-Sections pleines 100

2- Justification des armatures 101

- Application 102

- Bibliographie 104


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Prsentation

S'appuyant sur la documentation riche et disponible dans le domaine, nous

avons mis au point ce travail, prsent comme un support du cours du Bton

arm I (TEC185). Ce dernier dfinit les diffrents constituants du bton arm

ainsi que leurs faonnages et dispositions. Il illustre les notions de base de

calculs de ce matriau sous contraintes gnralises (compression, traction,

flexion simple), tenant compte des rgles de conceptions et de calculs aux

tats limites adoptes par le rglement Algrien le C.B.A93.

Enfin, avec les dveloppements dtaills des mthodes de calculs du bton

arm accompagns de quelques applications; ce polycopi constitue une

rfrence pdagogique oriente au niveau du centre universitaire de Bchar,

dans l'objectif de faciliter toutes consultations ou enseignement du module

concern.


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I- Gnralits ... 13

II- Avantages et inconvnients du bton arm ...... 13

1- Avantages ... 132. Les inconvnients du bton arm . 14


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Chapitre I : Introduction en bton arm

I- Gnralits :

Le B.A est un lment mlang par plusieurs matriaux. Il est constitu par la

runion de deux matriaux que nous supposons simple; cest le bton et lacier,

disposs dune faon utiliser dune manire conomique la rsistance de chacun deu on

appelle bton : le mlange dans des proportion convenable des lments suivants :

liant hydraulique (ciment)

bton granulats (agrgats) ( sable, gravier,.....)

leau

On appelle bton arm le matriau obtenu en ajoutant au bton des barres en acier. Ces

barres en acier sont gnralement appeles armatures .

Dans lassociation bton + acier, le bton rsiste aux efforts de compression et lacier

rsiste aux efforts de traction et ventuellement aux efforts de compression si le bton ne

suffit pas pour prendre tous les efforts de compression qui existent.

Bton Compression (Rsistance la compression = 20 MPa 40MPa)(Rsistance la traction = 2 MPa 4MPa)

Acier Traction ou compression (200 MPa 500 MPa)Une construction sera appele en bton arm si les deux matriaux participent la

rsistance de lensemble.

II- Avantages et inconvnients du bton arm :

1- Avantages :

a. Lintrt conomique : Le bton est le moins coteux des matriaux rsistant la

compression et susceptible dtre associ dautres lments.

On dit que lacier est actuellement le seul matriau utilis dans la fabrication des armatures

parce que sa rsistance est moins chaire des matriaux pouvant tre rsists la traction.

b. La souplesse dutilisation : le bton tant mis en place (dans des moules : coffrage)

ltat pteux ; il est possible de raliser des constructions aux formes les plus varies et les

Armatures (le ferraillage cestlensemble de toutes les armatures)


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armatures peuvent tre facilement lies. Les assemblages entre diffrents lments en bton se

ralisent par simple contact.

Le bton arm se traite facilement la pr-fabrication en usine.

c. Economie dentretien : les constructions en bton arm ne ncessitent aucun entretien

tandis que les constructions mtalliques ont besoins dtre peintes rgulirement.

d. Rsistance au feu : les constructions en bton arm se comportent beaucoup mieux en cas

dincendie que les constructions mtallique ou en bois. Le bton, grce sa mauvaise

conductibilit thermique retarde les effets de la chaleur sur les armatures, il est possible de

remettre en service la construction aprs les rparations superficielles ce qui est impossible

pour les constructions mtalliques. Cette proprit a permit dutiliser le bton arm dans

certaines parties des fours.

e. Rsistance aux efforts accidentels : le bton arm en raison de son poids important est

moins sensible aux variations de surcharges que dautres modes de constructions.

f. Durabilit : le bton arm rsiste bien laction de l eau et de lair la seule condition a

observer et la protection des armatures.

2. Les inconvnients du bton arm :

a. Le poids : les ouvrages en B.A sont plus lourds que les autres modes de constructions.

b. Lexcution : pour excuter un ouvrage en bton arm il faut :

- Prparation de coffrage qui demande beaucoup de temps et un travail de charpente

important. Ce coffrage doit rester en place jusqu' se que le bton atteint une rsistance

suffisante.

- le placement des armatures

- pendant et aprs les mises en place du bton, il faut prendre des prcautions pour le

protger contre le gel et lvaporation de leau.

- Le contrle de la qualit du matriau perfectionn lors du gchage.

c. Brutalit des accidents : les accidents qui surviennent dun ouvrage en bton arm sont en

gnral soudains ou brutaux, en gnral ces accidents sont dus des erreurs de calculs ou de

ralisations.

d. Difficult de modification dun ouvrage dj ralis : il est difficile de modifier un

lment dj ralis.


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Cours Du Bton Arm I Centre Universitaire de Bchar

15

I- Gnralits ... 16

II- Rglements classiques - coefficient de scurit (C.C.B.A) ... 16

III- Thorie probabiliste de la scurit .... 16

IV- Thorie semi -probabiliste - Etats limites (B.A.E.L) 83-91 ..... 16

1. Etat limite ultime (E.L.U) ... 17

2. Etat limite de service (E.L.S) ..... 17

V- Rglements Algriens (C.B.A.93)-(R.P.A.2003) ......... 17

VI- Actions et sollicitations ... . 18

1- Les actions ... 18

2- Les sollicitations .............. 18

3-Les combinaisons d'actions .. 18

a- Etats limites ultimes (E.L.U) ... 19

b- Etats limites de services (E.L.S) ...... 19


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Chapitre II : Scurit Rglementation

I- Gnralits :

La scurit est dfinit comme labsence de risque et dans le domaine de construction ;

cela implique la stabilit et la durabilit et laptitude lemploi. La scurit absolue

nexiste pas; il faut accept une probabilit non ngligeable daccident.

Le dimensionnement des ouvrages et la vrification de la scurit ne peuvent pas

se faire de manire empirique. Ils sont bass sur des rgles de calculs bien prcises.

II- Rglements classiques - coefficient de scurit : (C.C.B.A)

Ces rglements utilisent la mthode des contraintes admissibles qui consiste

vrifier les contraintes calculs par la R.D.M en tout point dune structure sous une

contrainte admissible obtenue en divisant la contrainte de ruine du matriau par un

coefficient de scurit fix lavance.

>d. La rsistance du bton : Ladhrence augmente avec laugmentation de la rsistance la

compression du bton.

e. La compression transversale : Dans une pice comprime, ladhrence va augment par la

contrainte cre (le serrage).

f. Lpaisseur du bton : Plus llment est pais plus ladhrence est assure car lpaisseur

du bton vite lclatement.

III. Ancrage des barres :1. Dfinition : La longueur dancrage sera la longueur ncessaire pour quilibrer leffort

axial exerc sur la barre. Sur la longueur dancrage la contrainte dadhrence sera suppose

constante est gale sa valeur limite ultime qui est la suivante :

s = 0,6 . .f tj

: Coefficient de scellement.

= 1 pour R.L

= 1,5 pour H.A

d

d'

La longueur


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34

2-Ancrages rectilignes :

a - Variation de leffort axial le long dune barre droite :

La variation de leffort F A - FB sera transmise au bton qui quilibre cette effort par

ladhrence.

U dxdF

s

1.=

dF = s. U . dx

en intgrant dxU dF B

As

F

F

B

A

.. =

FB FA = s. U . L = s. . . L

b- Longueur de scellement droit :

la longueur de scellement droit l s sera la longueur ncessaire pour une barre

rectiligne de diamtre soumise une contrainte gale sa limite lastique soit

convenablement ancre (ancrage total) .

FA =FB + s. . . L B extrmit de la barre FB = 0

FA = s. . . Ls

L'ancrage sera dit total si l'effort F A sera

l'effort ultime de la barre :

feF A .4. =

pour dterminer la longueur de scellement "L s" il faut donc :

fe Lss .4.

...

=

do :s

s

fe L

.4

=

3- Les ancrages courbes : La longueur Ls est souvent trop importante par rapport ce que

l'on dispose pour cela, on utilise les ancrages courbes.

AFA FA B

L

ls

2cm

AB


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35

a- Variation de l'effort axial le long d'une barre courbe:

le long d'une barre courbe, l'effort axial varie en fonction de deux choses :

1. l'adhrence entre le bton et l'acier.

2. en fonction du frottement rsultant de la raction du bton

sur la barre, le coefficient de frottement Acier-Bton sera

not :

= 0,4

FA et FB sont des efforts aux extrmits du trononcourbe.

N et N+dN sont les efforts aux extrmits d'un petit

lment. dR et dR sont les composantes normale et

tangentielle de la raction du bton sur la barre.

dF est la force d'adhrence qui sera donne par :dF = s. .. .r . d

avec r : le rayon de courbure.

En vecteur nous avons : 0=+++++ dRdRdF dN N N

Projection sur la normale : 02

sin)(2

sin. =+ d dN N d N dR

02

d 22

sin d d =

02

.22

= d dN d N d N dR (2

. d

dN est ngligeable)

02

..2 = d N dR dR = N.d

Projection sur la tangente : 02

cos).(2

cos. =++ d dN N d N dRdF

02

d 12

cos d

0=++ dN N N dRdF

0=+ dN dRdF dRdF dN += On peut crire : dN = s. .. .r . d + . N . d

AdFdR

dR

BF B

FA

d

r

N+dN

N


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36

d r

N dN s .....

+=

d r

N

dN

s

....

=+

Aprs intgration :

.... =

+

B

A

s N r

Ln

....

...

=

+

+

Bs

As

F r

F r

Ln

.

...

...

eF

r

F r

Bs

As

=+

+ )1.(

... +=

er

eF F B A

Posons : e= et

1= e

F A = . F B + . . . r . s

Nous avons pour les barres : R.L r = 3 .

H.A r = 5,5 .

30 45 60 90 120 135 150 180

1,23 1,37 1,52 1,87 2,31 2,57 2,85 3,51

0,58 0,92 1,30 2,19 3,28 3,92 4,62 6,28

b- Calcul d'un ancrage courbe :L : la longueur d'ancrage.

Pour un tronon rectiligne : F A = FB + s. . . L

Pour un tronon courbe : F A = . FB + . . . r . s FA4 = 0

A4-A3 : rectiligne FA3 = FA4 + s. . . L1

FA3 = s. . . L1

A3-A2 : courbe FA2 = . FA3 + . .. r . s

90

180 120 45

A1 A2

A3

A4 L1

L2

L

r


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37

FA2 = . s. . . L1 + . . . r . s

A2-A1 : rectiligne FA1 = FA2 + s. . . L2

FA1 = . s. . . L1 + . . . r . s + s. . . L2 .(1)

Sachant que : F A1 = s. . . Ls..(2)(1) = (2) s. . . Ls = . s. . . L1 + . . . r . s + s. . . L2 Ls = . L1 + . r + L 2

do : L 2 = L s - . L 1 - . r

IV- Dispositions constructives:

1- Dnomination des armatures :

90180 120 135

L1 = 2. L1 = 6. L1 = 10.

T max

T max

Comprime

A.N

Tendue

Axe NeutreComprime

Tendue

M max Moment de flexion

h

b


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38

Ferraillage de la poutre :

On distingue deux types d'armatures:

a-Les armatures longitudinales : on utilise gnralement du haute adhrence avec de

diamtres suprieurs ou gales 12 mm , elle seront disposes dans la partie tendue de la

poutre pour reprendre les efforts de traction (armatures principales). Dans la partie comprime

les barres de montage qui peuvent ventuellement reprendre une partie des efforts de

compression lorsque le bton ne suffit pas.

Pour les armatures de traction, il peut y avoir plusieurs nappes dans la partie ou le moment est

maximum.

b- Les armatures transversales : sont appeles armatures de couture puisqu'elles coudent

les fissures. Elles ont un diamtre infrieur 10 mm. Il existe trois sorte d'armatures

transversales :

Les armatures transversales sont disposes le long de la poutre, elles sont trs rapprochesau niveau des appuis parce que l'effort tranchant est maximum.

Les armatures transversales sont attaches aux barres longitudinales en maintenant leurscartements.

Barres de montage de

Barres longitudinales de traction

Armatures transversales

Armatures de peausi h > 50 cm

2-

1-

1-

2-

Coupe 1-1 Coupe 2-2

cadre trier


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39

2- Dispositions constructives gnratives :

a- Protection des armatures : cette protection appele l'enrobage "c" . L'enrobage de toute

armature doit au moins tre gal 5cm pour les ouvrages de mer

ou exposs aux atmosphres trs agressives.

3 cm : pour les ouvrages soumis des actions agressives et des

ouvrages exposs aux intempries (pluie, neige) ou en contact

avec un liquide ( pont).

1 cm : pour les parois situes dans des locaux ouverts.

b- Distance entre barres :

-barres isoles :

e > max ( ; Cg)

eh > max ( ; 1,5.Cg)

ev > max ( ; Cg)

- groupement des barres :

e > max ( 2. ; Cg)eh > max ( 2. ; 1,5.Cg)

ev > max ( 2. ; Cg)

Cg : diamtre maximum des granulats.

c- Pousse dans le vide : la prsence d'ancrage courbe tente faire flchir la barre au point de

changement de courbure. Il peut en rsulter la pousse au

vide capable de faire clater le bton, alors trois solutions

existent :

1. supprimer cette pousse en modifiant le ferraillage :

2. rduire le risque d'clatement en inclinant la barre:

c

c

ev

ehe

e

evehe


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40

3. quilibrer la pousse, en attachant la barre par des ligatures.

3- Condition de non crasement du bton : (rayon de courbure minimal)

Pour que la condition de non crasement du bton soit assure, il faut vrifier l'ingalit

suivante:

cj

s

f r

..

e1..2,0

r

+

er : distance de la plus proche parois.

: diamtre des barres courbes.

s : la contrainte de l'acier calcule dans l'tat limite ultime. : coefficient = 1 si les barres sont disposes en une seule nappe.

3;37

;35= si les barres sont disposes en 2 nappes; 3 nappes; 4 nappes

respectivement.

- Ancrage d'une barre comprime : l'ancrage d'une barre comprime courbe (ancrage courbe)

est interdit. Pour une barre rectiligne l'ancrage en compression sera calcul comme suit :

s

scsc L

.

4=

: diamtre des barres.

sc : la contrainte la compression.s : la contrainte d'adhrence.

Ligature

er

er


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42/104


42

- Application :

Dterminez la longueur de scellement droit d'une barre de nuance FeE400 et de

diamtre

16 mm avec f c28 = 25MPa.

-Puis recalculer pour un ancrage courbe de 180.

Solution :

1- Ancrage rectiligne :

ss

fe L

.4

= avec s = 0,6 . . f t28

f t28 = 0,6 + 0,06. f c28 = 0,6 +0,06 .25 = 2.1 MPa.

s = 0,6 . (1,5) . 2,1 = 2,83 MPa avec = 1,5 pour HA.

Donc :83,2

400.

416=s L = 565,37 mm 566 mm.

2- Ancrage courbe :

L2 = L s .L1 - .r

Ls = 566 mm. ; r = 5,5. ; = 16mm ; L 1 = 2.

L2 = 566 3,51 . (2 16 ) 6,28 . (5,5 16)L2 < 0 L2 = 0

L = L 2 + r +2

= 0 + 5,5 16 +2

16

L = 96 mm.


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43

I- Hypothses LE .L .U ... 44

Rgle des 3 pivots ... 45

Le domaine( 1) ... 46

Le domaine(2) ... 46

Le domaine(3) ... 47

II- Hypothses lE .L .S (durabilit de la structure ) ...... 47

-Homognisation de la section ...... 48

III- Hypothses lE .L .S de compression du bton ... 48

IV- Hypothse l E .L .S de dformation .... 48

V- Hypothse l E .L .S douverture des fissures ..... 48

- Application ...... 49


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44

Chapitre V : Les hypothses de calcul

I- Hypothses LE .L .U :

Hypothse (1) : toute section plane avant dformation reste plane dformation.

Hypothse (2) : Il n est y a pas de glissement relatif entre le bton et lacier . la

dformation de deux matriaux et la mme. Il rsulte de cette hypothse que les

dformations des fibres sont proportionnelles leurs distances par rapport laxe

neutre .

bc : la dformation du bton la compression.

s : la dformation des laciers tendue .x : la distance de laxe neutre .

d : la distance du centre de gravit aux

armatures tendues.

sbc

bc

d x

+

==

bcs

.1

=

ou sbc

.1

=

Hypothse (3) : la rsistance du bton tendu est nglige.

Hypothse (4) : On suppose concentr en leur centre de gravit la section dun groupe

de plusieurs barres tendues ou comprimes, si lerreur commise sur les dformations

unitaires ne dpassent pas 15% .

Avant dformation

Aprs dformation

bc

xd A.Nh

s


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45

%15sup.

sup.

s

ss

%15

inf .

inf . s

ss

Hypothse (5) : le diagramme contrainte-dformation du bton pouvant tre utilis dans

tout les cas sera le diagramme parabole-rectangle. Lorsque la section nest pas

entirement comprime, On peut utiliser le diagramme rectangulaire simplifi dfinit

comme suit :

sur une distance de 0,2.x partir de laxe neutre, la contrainte sera considre commenulle.

Sur la distance qui reste, la contrainte sera gale b

c f

82.85,0

Hypothse (6) : le raccourcissement unitaire du bton est limit de 3,5% en compression

et lallongement unitaire des aciers sera limit 10%.

Rgle des 3 pivots : Le diagramme de dformation dune section ltat limite ultime

de rsistance reprsent par une droite doit obligatoirement pass par lun des pivots

A - B - C, dont la position sera dfinit sur la figure ci aprs. Cette rgle se fixe comme

objectif pour utilis au mieux le bton et lacier .

s,sup

s,inf s,

0,8 x

0,2 x

b

c f

82.85,0

x bc f

82.85,0

h

A i

dDomaine (1)

A (10

B (3,5 )

C

2 O'

O

CompressionTraction

Domaine (2)

Domaine (3)

h73

h74


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46

Ce diagramme sera devis en 3 domaines

Le domaine( 1) : les diagrammes passent par le pivot A qui correspond un

allongement maximum de 10%, les armature tendue supposes concentr en leur centre

de gravit .on distingue deux sous domaines :

le sous domaine 1-a : le bton est toujours tendue et ne participe pas la rsistance

de la section .

Le sous domaine 1-b : le bton est partiellement comprim.

le domaine (1) sera dcrit par la condition suivant :

0 < = 259,0105,3

5,3 =+

=+

st bc

bc

d x

0 < < 0,259 0 < x = .d < 0,259.d Le domaine(2) : les diagrammes passent par le pivot B qui correspond un

raccourcissement de 3,5% de la fibre la plus comprime. On distingue 3 sous

domaines.0,259 .d

B

2-aC

2-c2-bA e

FC ou sectionentirement comprimeFS ou FC

B

A

OA

1-b

1-a

O'

0,259.d

OOA

10%Tractionsimple Flexion compose avec une

section entirement tendue

BO

A

Flexion simple ou compose

avec une sectionpartiellement comprime.


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47

Sous domaine 2-a : lallongement des armatures est suprieure lallongement

lastique ( es) donc les armatures sont plastifie .

Sous domaine 2-b : Lallongement des armatures tendues est infrieure

lallongement tatique ( es) et la contrainte dans les aciers sera infrieure f c / s.Sous domaine 2-c : les armatures seront comprimes et le domaine(2) sera dcrit par

la condition :

0,259 d h

. Le domaine(3) : les diagrammes passent par le pivot qui correspond un

raccourcissement de 2% de la fibre du bton situe h73

de la fibre suprieure. La

section est entirement comprime .

le domaine (3) se dcrit par la condition :

h/d.

II- Hypothses lE .L .S (durabilit de la structure ) :

Hypothse (1) : les sections droites planes avant dformation restent planes aprs

dformation

et Il nest y a pas de glissement relatif entre le bton et lacier . Hypothse (2) : le bton tendue est nglig.

Hypothse (3) : le bton et lacier seront considr comme des matriaux linaires

lastiques, donc on leur applique la loi de HOOKE = E .

s

s

b

bbs

aaa

bbb

E E E

E

====

.

.

b

sbs E

E . = On a : n

E

E

b

s = n : coefficient d'quivalence.

b

s

E

E n = donc : n = 15

3,5 %2%O

CCompression simple

Flexion compose

x

O

200000 MPa

3700 3 cj f MPa

11000 3 cj f MPa


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48

-Homognisation de la section : pour pouvoir appliquer au bton arm qui est un

matriau htrogne les rgles de RDM pour les corps homognes, Il sera ncessaire

dhomogniser la section de bton arm. Une section dacier travaille

nfois plus quune mme section de bton. Donc une section dacier

nfois quune

section de bton. Pour homogniser la section de bton arm, on remplace la section

dacier par n fois sa section de bton.

Hypothse(4) : On ne tient pas conte du fluage de bton et du retrait.

Hypothse(5) : On suppose concentr on leur centre de gravit un ensemble de

plusieurs barres.

III- Hypothses lE .L .S de compression du bton : La contrainte de compression

du bton est limite 0,6.f c 28 .

b 0,6 f c28 .

Ce risque nexiste que dans le cas ou le pourcentage darmature est lev.

A / bd 2% .

IV- Hypothse l E .L .S de dformation :

La flche dune poutre ne doit pas dpasse.

V- Hypothse l E .L .S douverture des fissures :

1-Si la fissuration est peu prjudiciable : Aucune vrification nest demand et la

contrainte dans les aciers nest pas limite. La fissuration est considre comme peu

prjudiciable, lorsque llment vrifier est situ dans les locaux ouverts.

2. Si la fissuration est prjudiciable : la fissuration considre comme prjudiciable si les

lments sont exposs aux intemprie (pluie, neige, vent...) ou bien en contact avec leau. La

contrainte de traction dans les armatures tendues sera limite la valeur suivante :

b

b.hhA

n.A

L

La flche

cm.enexprimeestL

m5L si 0,5cm1000

m5L si 500

>+

L

L


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50

I- Dfinition ... 51

Tirants rectilignes ... 51

Tirants circulaires ... 51

II- Dtermination des armatures ... 52

1. Condition de non-fragilit ... 52

2.E.L.U ...... .. 52

3.E.L.S ...... 52

4. Armatures transversales... 52

- Application ... 53


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51

Chapitre VI : La traction simple

I- Dfinition :

Une pice est sollicite en traction simple si lensemble des forces extrieures agissant

dun mme cot dune section se rduit une force normale volumique est perpendiculaire

la surface est applique au centre de gravit.

Dans chaque section droite le centre de gravit des armatures longitudinales concide

avec le centre de gravit du bton et avec le point dapplication de la force de traction.

Les pices soumises la traction seront appeles des tirants .

1. Tirants rectilignes : ils sont normalement utiliss pour les couvertures votes des

btiments industriels ou bien pour les mosques. Les armatures

rsistent leffort de traction selon les armatures longitudinales.

Les armatures transversales ne jouent quun rle de montage. La

section de bton devra tre aussi petite que possible et les barres

doivent tre rparties uniformment dans la section (il faut

respecter le symtrie et choisir un nombre paire).

2. Tirants circulaires : ils sont normalement utiliss dans les parois de rservoirs

circulaires et des silos.

Projection verticale :

0.2.Sin.R.P0

= N d

0.2cos..0

= N RP 2. P . R - 2N = 0

dou : N = P.R

S

GN

Tirant

P.R.d

d

N N

R

P.R.d .sin P.R.d .cos


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52

I- Dtermination des armatures :

1. Condition de non-fragilit : la section tendue ou flchie est considre comme

non fragile si les armatures travaillants leur limite lastique peuvent quilibrer les

sollicitations provoquant la fissuration du bton dans cette section.

Les pices fragiles sont justifiables par le rglement. La condition suivante est appele

Condition de non fragilit et doit tre vrifie comme suit :

fe

f B A t sB

28.

AsB : Armature longitudinale.

B : Section du bton.

Du point de vue rsistance B peut tre quelconque, mais pour que la pice ne soit pasfragile, il faut que B vrifie la condition de non fragilit.

Remarque : si B est impos, il faut que A s vrifie la condition de non fragilit.

2. E.L.U : Etant donn que le bton est nglig, il rsulte que les armatures longitudinales

doivent quilibrer seul les efforts appliqus.

Nu : l'effort de traction l'E.L.U.

Dou : )10(st

Nu Asu

avec

sst

fe

=

3. E.L.S : du moment quil sagit de fissuration du bton en traction; nous devons passer par

la vrification l E.L.S. Ns : l'effort de traction l'E.L.S.

Dou :st

Ns Ass

avec st : en fonction de la fissuration.

La section des armatures longitudinales sera la suivante :

As = Max (Asu ; Ass ; A sB )

4. Armatures transversales : elles non aucun rle dans la rsistance la traction. Leur

diamtre est calcul comme suit :

A(10)

Nu

Traction simple


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53

t 0,3 . L avec tmin = 6 mmEspacement : esp Min (40 cm ; a + 10 cm) avec a : la plus petite dimension.

- Application :

Soit un tirant d'une section carre ( 25 25) cm sollicit par un effort de traction l'E.L.U Nu = 0,45 MN et l'E.L.S : Ns = 0,34 MN. Les matriaux sont FeE400 et f c28 = 20

MPa.

La fissuration est prjudiciable.

- Calculez la section des armatures longitudinales ?

- Solution

E.L.U : )10(st

Nu Asu

avec

sst

fe

= MPast 83,34715,1400 ==

83,34745,0 Asu Asu 12,94 cm

E.L.S :st

Ns Ass avec

28.110 ; .32

min t st f fe

1,8.6,1110 ; 400.

32

minst MPa186,67=st

67,18634,0 Ass Ass 18,21 cm

C.N.F:

fe

f B A t sB

28. 400

8,1).2525( sB A

AsB = 2,81 cm

La section : As = Max (Asu ; Ass ; A sB ) = Max (12,94 ; 18,21 ; 2,81) cm

On prend : As = 18,21 cm 416+ 420 = 8,04 + 12,57 = 20,61 cm

a

esp

25

25

416+ 420


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55

Chapitre VII : La compression simple

I- Compression centre :

Pour avoir une compression centre il vrifier les conditions suivantes :

- Il faut que le centre de gravit (CDG) soit centr.

- Il faut que la force soit applique dans le noyau central.

2centralnoyauduDimension

max =e

- Dfinition du noyau central :

Rectangulaire : Circulaire :

- L'lancement est limit 70 .

II- Longueur de flambement et lancement:

1- La longueur de flambement (L f ) : Elle dpend de la longueur de l'lment (L) et du

type de la liaison.

a- Evaluation de la longueur de flambement et la longueur libre :

e

GN

a

bb/3 b/3b/3

a/3

a/3

a/3

R

R/4

G

N

S

CDG


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56

-Cas des poteaux isols :

-Cas des poteaux dans des btiments tages multiples :

L f = 0,7 . L 0 : si le poteau est encastr dans un massif

de fondation ou bien assembl des poutres

de plancher ayant au moins la mme

raideur (E.I) dans le sens de flambement..

- ou dans le cas de poteaux d'tages multiples.

2- L'lancement de : mini

L f =

- Dfinition du rayon de giration : B

I i xx xx = avec : B : la section du poteau.

1- Section rectangulaire :

12.

I ; 12. 3

yy

3 baab I xx ==

yy xx yy xx ii I I ba


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59

4- Armatures transversales : elles n'ont aucun rle de rsistance, le rle principale c'est

d'empcher le flambement des armatures longitudinales.

Le diamtre sera :3

lt

=

L'espacement entre deux cadre : esp = Min {40cm ; a+10cm ; 15. lmin}.C.B.ADans la zone nodale :

esp Min{15cm ; 10 lmin } Zones I et IIa R.P.Aesp 10cm Zones IIb et IIIR.P.A

Dans la zone courante :

esp 15lmin Zones I et IIa R.P.Aesp {b/2 ; a/2 ; 10

lmin} Zones IIb et IIIR.P.A

5- Dispositions constructives :

-Section rectangulaire :

lmax < Min (40 ; a+10) cm C.B.A

0.

0..9,0 . 28 f

fe

f Br Nu A s

b

csc

= avec Br = (a 0,02) . (b 0,02)

0..9,0

).02,0).(02,0( 28 f fe

f ba Nu A s

b

csc

=

28

b.9,0.)02,0).(02,0(c f

Nuba

p )02,0.(

.9,0.)02,0(

28

b

a f Nu

bc

p

02,0)02,0.(

.9,0. 28

b + a f Nub

c

p

Pour le prdimensionnement le R.P.A2003 exige :

Pour un poteau rectangulaire :

Min ( a , b ) 25 cm en zones I et IIa.Min ( a , b ) 30 cm en zones IIb et III.

Min ( a , b ) he / 20 h e : la hauteur entre nu d'tage.4

41

ab

Pour un poteau circulaire :

D 25 cm en zones I.D 30 cm en zones IIa.D 35 cm en zones IIb et III.

D he / 15 h e : la hauteur entre nu d'tage.

b

a


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61

-Application : Soit un btiment tage multiple

Ng = 0,7 MN

Nq = 0,35 MN

f c28 = 25 MPa

FeE400

Solution :

Nu = 1,35 . N g +1,5 . N q = 1,5 . 0,7 + 1,5 . 0,35 = 1,47 MN.

L0 = 2,7 + 0,25 = 2,95 m.

La longueur de flambement : L f = 0,7 . L 0 = 0,7 . 2,95 = 2,065 m.

Le rayon de giration :32

25

32min ==

ai = 7,22 cm

L'lancement : 31,2822,75,206

min === i L f

< 50 75,0

3531,28

.2,01

85,0

35.2,01

85,022

=

+

=

+

=

La section rduite: Br = (40 - 2) (25 -2) = 874 cm.

La section d'armature :400

15,1.

5,1.9,025.0874,0

75,047,1

..9,0

. 28

=

fe

f Br Nu A s

b

csc

Asc 9,81 cm.

Ascmin = 0,1% . B = 0,1 .100

4025 = 1 cm.

Ascmax = 4% . B = 4 .100

4025 = 40 cm.

Do : Ascmin Asc Ascmax et le choix peut tre : 4 16 + 2 12

40 cm

25 cm

212

Poteau

Plancher

Poteau

Poteau

Plancher

Plancher

2,7 m

25 cm

40 cm

25 cm

La section du poteau


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62

I Dfinition ... 63

II- Etat limite ultime de rsistance pour une section rectangulaire .. 63

1- Equilibre d'une section flchie ... 63

2 Section armatures simple ... 63

- Etat limite ultime par coulement plastique des aciers ... 65

- Etat limite ultime par crasement du bton ... 65

- Position particulire de l'axe neutre 66

III- Dtermination des armatures pour une section donne 66

a- Section armatures simple 66

-Application .. 66

b- Section armatures double ... 67

-Application ... 68

IV- Etat limite de service ... 69

-Application ... 70

V- Etat limite ultime pour une section en " T " . 70

1 dfinition ... 712 dtermination du ferraillage . 71

VI- Etat limite de service pour une section en " T " .......... 72

-Application 73


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63

Chapitre VIII : La flexion simple

I Dfinition :

Une poutre sera sollicite en flexion simple lorsqu'elle sera soumise l'action de force

dispose symtriquement par rapport au plan moyen.

La rduction de cette force au centre de gravit de la section se dcompose en moment

flchissant et un effort tranchant.

II- Etat limite ultime de rsistance pour une section rectangulaire :

1- Equilibre d'une section flchie :

Les efforts s'criront : N st = A st . st Nsc = A sc . scNbc = 0,8 . x . b . bc

L'quilibre de la section :

Fx = 0 et M = M u.2 Section armatures simple :

L'quilibre des efforts : N st = N bc

Ast . st = 0,8 . x . b . bcL'quilibre des moments : M u = M bc . z

Avec z = d 0,4 . x et x = .

d z = d . ( 1 - 0,4. )

x = .dA.N

dh

d'

b

Ast

Asc

bc

st dformation

st contrainte

bc 0,8.x

st

bc 0,8.x

Contraintesimplifie

z

d0,4.xd' Nsc

Nbc

Nst

zd

0,4.xNbc

Nst


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64

Mu = 0,8 . . d . b . bc . d . ( 1 - 0,4. )= 0,8 . . d . b . bc . ( 1 - 0,4. )

Mu = N st . z = A st . d . ( 1 - 0,4. )

Le moment rduit " u" : M u = 0,8 . . d . b . bc . ( 1 - 0,4. ))0,4-(1..8,0

..

=

bc

u

d b

M

On appellera cette quantit le moment rduit

)0,4-(1..8,0..

==bc

u

d b

M

Donc )0,4-(1..8,0 =

Do : ) 21125,1 =

Le moment de rfrence d'une section :bc

u

d b

M

..

=

La rgle des 3 pivots se fixe comme

objectif d'utiliser les matriaux leurs

maximum. Le diagramme de dformation

correspondant sera le diagramme qui passe

par les pivots A et B.

259,0105,3

5,3 =+

=+

=st bc

bc

do : AB = 0,186Le moment rduit AB correspond un moment flchissant appel moment de rfrence :

M AB = AB . b . d . bc

Le moment rsistant M R :On dsigne par un moment rsistant le moment obtenu lorsque l'allongement des armatures

est gal l'allongement lastique ( es).Le rsistant s'crit : M R = l . b . d . bc

Avec : )0,4-(1..8,0 lll =

esesbc

bcl

+=

+=

5,35,3

x = .dA.N

dh

d'

b

Ast

Asc

B (3,5)

A (10)

Le diagramme idal

xl = l .dB (3,5)

es


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65

FeE215 FeE235 FeE400 FeE500Nuance

s = 1 s= 1,15 s = 1 s= 1,15 s = 1 s= 1,15 s = 1 s= 1,15

fe/ s 215 187 235 204 400 348 500 435es () 1,075 0,935 1,175 1,02 2,00 1,74 2,5 2,175

l 0,765 0,789 0,749 0,774 0,636 0,668 0,583 0,617

l 0,425 0,432 0,420 0,427 0,379 0,392 0,358 0,372

Si > l < es : alors les aciers ne travail pas suffisamment.Les domaines dfinis par la rgle des 3 pivots sont :

Domaine 1 0,186 0 < 0,259Domaine 2-a 0,186 < l 0,259 < l Domaine 2-b l < 0,48 l < 1

Donc l'tat limite ultime peut tre atteint de deux manires :

- Par coulement plastique des aciers.

- Par crasement du bton.

- Etat limite ultime par coulement plastique des aciers :

Pivot A : Cette tat limite sera caractrise par les dformations suivantes :

s = 10 bc = 0 et 3,5 0 < 0,259

- Etat limite ultime par crasement du bton :

Pivot B : Cette tat limite sera caractrise par les dformations suivantes :

bc = 3,5 s = 0 et 10 0,259 < 1

OA

O

B


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66

Le mode d'obtention de l'tat limite ultime sera dtermin en comparant et 0,259; la valeurqui correspond l'tat limite atteint simultanment par l'coulement de l'acier et l'crasement

du bton.

- Position particulire de l'axe neutre :- si < 0,167 le bton travail mal et nous avons alors une section

surdimensionne.

- si 0,167 < < l le domine le plus conomique du bton.III- Dtermination des armatures pour une section donne :

a- Section armatures simple :

bc

u

d b

M

..

=

si "d" est inconnu; on prendra : d = 0,9 . h

u l (l : tire du tableau prcdent)

) 21125,1 = On choisi comme origine de l'axe "z" le point d'application N bc :

Mu = N st . z + N bc . 0

Mu = A st . st . z

Z = d 0,4 x = d (1 0,4 . )

st

ust z

M A

.=

-Application : Soit une section (25 50) sollicite par un moment de flexion M u = 0,153MN.m, avec f c28 = 25 MPa et FeE400.

1- Calculez la section du ferraillage l'E.L.U ?

- Solution

On prendra : d = 0,9 . h = 0,9 . 50 = 45 cm

MPa47,141,5

25.85,0.85,0 28 ===b

cbc

f

bc

u

d b

M

..

= 213,014,47.(0,45).25,0

153,0 ==

u l = 0,392

La section est armatures simple : ) 21125,1 = )213,0 .21125,1 = = 0,303

d h

b

Ast

z

d

0,4.xNbc

Nst

45 50

25

Ast


67/104


67

z = d. (1 0,4 . ) = 0,45 . (1 0,4 .0,303) = 0,3954 m

st

ust z

M A

.= =

348 .3954,0153,0

= 0,001112 m

Ast = 11,12 cmLe choix peut tre : 4T20 = 12,57 cm.

b- Section armatures double :

u l Section simple armatures (S.S.A)u > l Section double armatures (S.D.A)De la rgle des 3 pivots nous savons que, quand le moment rduit " u" dpasse le momentrduit limite " l", le travail des armatures infrieures est trs faible, l'acier est donc malutilis. Plusieurs solutions sont possibles :

-

Augmenter b et h.- Utilisation d'un bton qui a une grande rsistance.

- Ajouter les armatures comprimes.

- Laisser la section et la calculer avec comme ferraille armatures

simple.

Moment rsistant et moment rsiduel :Le moment rsistant du bton sera le moment qui peut quilibrer : M R = l . b . d . bc

Le moment rsiduel sera la diffrence entre le moment sollicitant et le moment rsistant :M r = M u - M R

Dtermination des armatures :On choisi comme origine de l'axe "z" le centre de gravit des armatures infrieures A st :

Mu = N st . z(=0) + N bc . zbc + N sc . zsc

Mu = 0,8 . l . d . b . bc . ( 1 - 0,4. l) + A sc . sc . (d d')Mu = l . b . d . bc + A sc . sc . (d d')

)'.( d d M M A

sc

Rusc =

d h

d'

b

Ast

Asc

4T12

4T20


68/104


68

N = 0.Nst N sc N bc = 0 Nst = N sc + N bc

Ast . st = 0,8 . l . d . b . bc + A sc . sc

).4,01('.

l

Rr st st d

M d d

M A

+=

( )

+

=

).4,01('1

l

Rr

st st d

M

d d

M A

-Application : Soit une section (25 50) sollicite par un moment de flexion M u = 0,315MN.m, avec f c28 = 25 MPa et FeE400 et d' = 5 cm..


- Solution

bc

u

d b

M

..

= 439,014,47.(0,45).25,0

315,0 ==

u l = 0,392 La section est armatures doubles.

MR = l . b . d . bc = 0,392 . 0,25 . (0,45) . 14,47 = 0,281 MN.m

Mr = M u - M R = 0,315 0,281 = 0,034 MN.m.

)'.( d d M M

Asc

Rusc

=

=)0,0545,0.(348

034,0

= 2,44 cm

( )

+

=

).4,01('1

l

Rr

st st d

M

d d

M A

( ) 93,26

)668,0.4,01.(45,0281,0

0,0545,0034,0

3481

cm=

+

=

Le choix peut tre : 6T25 = 29,45 cm

d

0,4.xd' Nsc

Nbc

45 50

25

Ast

3T12 = 3,39 cm

6T25 = 29,45 cm


69/104


69

IV- Etat limite de service :

Il est ncessaire de vrifier l' E .L.S que la compression du bton reste admissible ainsi que

la traction dans les armatures en fonction de la prjudiciabilit de la fissuration :

bc = 0,6 . fc28la fissuration prjudiciable

28.110 ; .3

2min t st f fe

la fissuration trs prjudiciable

28.90 ; .2

1min t st f fe

1- Dtermination des contraintes :

a- dtermination de l'axe neutre :

Par l'quilibre des moments statiques :

b . x .2 x + n . A sc . ( x d') n . A st . (d x ) = 0

b- dtermination des contraintes :

Sous l'action du moment, la section se dforme jusqu' obtenir un tat de contrainte

qui quilibre le moment :

M i = M S (moment de service)Nous avons : M b + M ASC + M AST = M S

I = I b + n . I st + n . I sc

3. 3 xb

I b = ; I sc = A sc . ( x d') ; I st = A st . (d - x )

Alors les contraintes sont : I

x M Sbc

.= et I

xd M n Sst

).(. =

Les vrifications sont : est vrifi .. S L E st st

bcbc

p

p

Si l'une ou les deux conditions ne sont pas vrifie alors l'E.L.S n'est pas vrifi.

b

Ast

Asc

bc

st

dformation Contrainte

bc

st

sc sc


70/104


70

-Application : Vrifiez l'tat limite service pour une section (25 50) sollicite par unmoment de flexion l'E.L.S M s = 0,2 MN.m ? avec f c28 = 25 MPa et FeE400 ;

d' = 5 cm ; A st = 6T25 = 29,45 cm ; A sc = 3T12 = 3,39 cm

- Solution

- La vrification l'E.L.S :

La position de l'axe neutre :

b . x .2 x

+ n . A sc . ( x d') n . A st . (d x ) = 0

12,5 . x + 15 . (3,39) . (x - 5) 15 . 29,45 . (45 - x) = 0

12,5 x + 492,6 . x 201331 = 0

x = 25 cm.

Le moment d'inertie :

3. 3 xb

I = + n . Asc . ( x d') + n . A st . (d - x )

=3(25).25 3

+ 15 . 3,39 (25 - 5) + 15 . 29,45 . (45 - 25) = 0,0033 m 4

Les contraintes sont : I

x M Sbc

.= = MPa15,150,0033

0,25.2,0 = > bc =0,6 . 25 = 15 MPa

et I

xd M n Sst

).(. = = MPa1820,0033

0,25)-(0,45.0,2.15 =

- la fissuration prjudiciable :

= 28.110 ; .3

2min 183 t st f fe MPa = 201

MPa

Alors l'E.L.S n'est pas vrifi.V- Etat limite ultime pour une section en " T " :

1 dfinition :La table

dbordsdbords

La

b0

b

h0

hb1 d

d'Asc


71/104


71

2 dtermination du ferraillage :

=

=

=

2...

2

..0

00

0 hd hb M h

d z

hb N

bct

bc

1er cas : Si M u < M t La table n'est pas entirement comprime. La dtermination des

armatures sera identique une section rectangulaire (b h).

2me cas : Si M u > M t La table est entirement comprime. Le calcul de ferraillage sera en

dcomposant la section en T de la manire suivante :

-Moment quilibr par les dbords :

=

2...

2.2 00

0 hd hbb

M bcd

( )

= 2...0

00

hd hbb M bcd

t d M b

bb M .0

=

=

2. 0

hd

M A

st

d st

h0 /2

z

Ast

F bt

b

h

b

h

b

h

20bb


72/104


72

-Moment quilibr par la section b 0 ; h0 : le moment rsiduel sera M u - M d

bc

d u

d b

M M

..0

=

Si u

l:

) 21125,1 =

z = d (1 0,4 . )

st

d ust z

M M A

.2=

Si u > l :

On prend : x l = l . d

Si 0,8. xl h0 :

M R = l . b 0 . d . bc et zl = d (1 0,4 . l )

( )

+

=

l

R Rd u

st st z

M

d d

M M M A

'1

)'.( d d M M M

Asc

Rd usc

=

Si 0,8. xl < h0 : la section sera considre comme une section rectangulaire( b h) soumise un moment M u.

VI- Etat limite de service :


Par l'quilibre des moments statiques :

b . x .2 x

+ ( ).2 0

0 h xbb

+ n . A sc . ( x d') n . A st . (d x ) = 0

b- dtermination des contraintes :

Les moments d'inerties s'criront :

- Si l'axe neutre est dans la table :3. 3 xb

I b =

- Si l'axe neutre est dans la nervure : ( )3003

.33

.h x

bb xb I b

=

et I sc = A sc . ( x d') ; I st = A st . (d - x )

M i = M S (moment de service)

Nous avons : M b + M ASC + M AST = M S


73/104


73

I = I b + n . I st + n . I sc


x M Sbc

.= et I

xd M n Sst

).(. =


bcbc

p

p

Si l'une ou les deux conditions ne sont pas vrifie alors l'E.L.S n'est pas vrifi.

-Application : Soit une section en "T" sollicite par un moment de flexion l'E.L.U :

Mu = 0,8 MN.m et l'E.L.S M s = 0,5 MN.

Si : f c28 = 20 MPa ; FeE400 ; d = 65 cm ; d' = 4 cm.


2-Vrifiez les contraintes l'E.L.S?

- Solution

1- E.L.U :

Le moment de la table :

MN.m544,02

10,065,0.11,33. 0,10 .80,0

2... 00 =

=

= hd hb M bct

Mu = 0,8 MN.m > M t = 0,544 MN.m La table est entirement comprime. Le calcul de

ferraillage sera en dcomposant la section en T de la manire suivante :

-Moment quilibr par les dbords :

t d M b

bb M .0

= = 0,544.

803080

= 0,34 MN.m

=

2. 0

hd

M A

st

d st

= 28,16

210,0

65,0.348

34,0cm Ast =

=

-Moment quilibr par la section b 0 ; h0 :

bc

d u

d b

M M

..0

=33,11. )65,0.( 3,0

34,080,0 = = 0,32

u = 0,32 l = 0,392 : ) 21125,1 = = )32,0 . 21125,1 = 0,5

30

80 cm

10

7065

4Asc

Ast


74/104


74

z = d (1 0,4 . ) = 65 . (1- 0,4 . 0,5) = 52 cm.

cm43,2511,33. 52,0

34,08,0.2

===st

d ust z

M M A

Ast = A st1 + A st2 = 16,28 + 25,43 = 41,71 cmSoit un choix de : 9T25 = 44,18 cm.

2-E.L.S : M s = 0,5 MN.m


b . x .2 x

+ ( ).2 0

0 h xbb

+ n . A sc . ( x d') n . A st . (d x ) = 0

15 x + 1162,7 . x 45575,5 = 0

x = 28,63 cm > h 0 = 10 cm..

Le moment d'inertie s'crira :

I = ( )3003

.33

.h x

bb xb

+ Asc . ( x d') + A st . (d - x )

I = 0,014 m 4


x M Sbc

.= = MPa10,230,014

0,2863 .5,0 = < bc =0,6 . 20 = 12 MPa

et I xd M n S

st

).(. = = MPa1950,014

0,2863)-(0,65.0,5.15=

- la fissuration prjudiciable :

= 28.110 ; .3

2min 183 t st f fe MPa = 201 MPa


bcbc

p

p

3T12

9T25 = 44,18 cm

65

30

80 cm

10

70

4


75/104


75

I- Gnralits ... 76

II- Contrainte tangentielle conventionnelle ......... 76

III- Comportement des poutres sous l'action de l'effort tranchant ... 76

1- Etat de contrainte provoqu par l'effort tranchant ......... 76

2- Ncessit d'armatures transversales ... . 77

3 Justification des poutres sous sollicitations tangentes ... 77

a- Justification du bton ....... 77

4 Dtermination des armatures ...... 77

Conditions complmentaires ... .. 77

Effort tranchant pour une section en T . 776- Rpartition des cadres le long de la poutre ...... 78

Mthode forfaitaire de Caquot ... 78

Epure de rpartition ............ 79-Application ... 81


76/104


76

Chapitre IX : L'effort tranchant

II- Gnralits :

Dans une poutre en bton arm l'effort tranchant est quilibr par les armatures

transversales.

III- Contrainte tangentielle conventionnelle :

L'effort tranchant fait glisser les plans les uns par rapport aux autre, les plans

perpendiculaires et les plans parallles.

La contrainte tangente (contrainte de cisaillement) dans la section ou se produit l'effort

tranchant sera donne par l'quation suivante : I bST

.

.=

Avec : T : l'effort tranchant.

S : Moment statique de la section.

b : la largeur de la section.

I : le moment d'inertie de la section.

Le rglement C.B.A admet par simplification le principe de la tangente conventionnelle ultime:

d bT u

u .=

u : la contrainte de cisaillement.

T u : l'effort tranchant.

b : la largeur de la section.d : la distance entre la fibre suprieure et les armatures

infrieures.

III- Comportement des poutres sous l'action de l'effort tranchant :

1- Etat de contrainte provoqu par l'effort tranchant :

d h

b

M = 0T=Tmax

Les fissures

45


77/104


77

Les contraintes normales dans le bton aux appuis (isostatique) sont nulles. Donc nous

avons un cisaillement pur.

2- Ncessit d'armatures transversales :

Le bton par sa faible rsistance la traction ne peut quilibrer les contraintes de

traction engendres par l'effort tranchant. Il est donc ncessaire de renforcer cette

insuffisance par des armatures qui vont coudre ces fissures leurs disposition logique sera :

Parce que leur efficacit reste la mme et pour faciliter l'excution; les armatures seront

disposes de la manire suivant le 2 me cas. On notera le ferraillage comme suit :

At : La quantit d'acier d'armature.

At = n . avec : n : le nombre de brin.

= le diamtre du brin en gnral 6 ou 8.

Exemple :

3 Justification des poutres sous sollicitations tangentes :

a- Justification du bton :

La contrainte tangentielle u doit satisfaire les conditions suivantes Cas d'armatures droites :

MPa f

b

cu 5 ;

.2,0min 28

pour une fissuration peu prjudiciable.

2 1

BielleFissure

1er cas de couture desfissures.

Fissure

Armaturestransversales

Ou

2me cas de couturedes fissures.

Fissure

Armaturestransversales droites

8

4

Nous avons : A t = 4 8


78/104


78

MPa f

b

cu 4 ;

.15,0min 28

pour une fissuration trs prjudiciable ou

prjudiciable.

Cas d'armatures inclines :

MPa f

b

cu 7 ;

.27,0min 28

Si u > ulimite on doit augmenter les dimensions de la section.

3 Justification des poutres sous sollicitations tangentes :

( )St

g zn cot1. +=

Projection verticale : T u = F st . sin En remplaant toutes ces forces et en faisant la transformation ncessaire et en utilisant des

approximations, on obtient :

)cos.(sin.9,0

..3,0

St.

'

+

s

tjut

fe

f k

b

A

)cos.(sin.8,0

..3,0

St.

'

+

fe

f k

b

A tjut

- Si on utilise des cadres droits sin + cos = 1.

- 'tj f = min ( f tj ; 3,3 MPa)

- k = 1 : dans le cas gnral.

k = 0 : si la fissuration est trs prjudiciable ou s'il y'a reprise de btonnage.

Conditions complmentaires :St 7 cm avec S tmin = 7 cm.St min ( 0,9.d ; 40 cm)

MPa 4,0St..

b

fe At

t min

l;10b

;35

h

t 12 mm

zNbc

Nst

Fst

Tu

St St


79/104


79

Effort tranchant pour une section en T :On considre que seul l'me rsiste

l'effort tranchant :

d bT

.0=

6- Rpartition des cadres le long de la poutre :

a Position du 1 er cadre :

b Rpartition des cadres :

Mthode forfaitaire de Caquot :Cette mthode est applicable qu'aux poutres de section constante et soumises des

charges uniformment rparties.

1- On calcule St 0

2- On prendra l'espacement immdiatement infrieur St 0 dans la srie de

Caquot suivantes : 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 13 ; 16 ; 20 ; 25 ; 25 ; 35. (cm)

On choisis les espacements successivement qu'on respectera autant de fois en nombre

entier compris dans la demi port de la poutre ou la port d'une console.

Exemple : St = 9,68 cm de la srie on prend St = 9 cm

3 9 ; 3 10 ; 3 11 ; jusqu' la demi port.

Epure de rpartition : aucune condition n'est impose.

fe

f k

b

A tjut .8,0

..3,0

St.

fe

f k

feb

A tjut .8,0

..3,0

.8,0St.

tjt

u f k St b

fe A..3,0

..8,0. + ..multiplions les deux cots par ( b d ) .

d b f k St

d fe AT tj

t u ....3,0

..8,0. +

Posons : At . 0,8 . fe .d = K 1 et 0,3 . f tj . k .b . d = K 2

b0

h

b0

h

St/2

StSt


80/104


80

Do : 21 K

St

K T u +

La mthode sera la suivante :

- On calcule St 0.

- On choisit les espacements St 1 ; St2 ; St 3 . Tel que St 1 St2 St3

- On calcule les quantits 20

1 K St

K + ; 21

1 K St

K + ; 22

1 K St

K + ;T u

T umax

L/2esp= n.St 0 esp= n.St 1 esp= n.St 2 esp= n.St 3

2

1

1 K

St

K +

22

1 K St K +

23

1 K St K +

20

1 K St K +


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81

-Application :

Soit une poutre rectangulaire d'une porte L = 6 m soumise un effort tranchant

Tu = 200 KN. Si les cadres transversaux sont droits et de nuance FeE240. Sachant que

f c28 = 25 MPa ; la fissuration est prjudiciable et il n'y a pas de reprise de btonnage.

Solution :

1- La vrification de la contrainte de cisaillement dans le bton :

45,03,02,0

. ==

d bT u

u = 1,48 MPa

La fissuration est prjudiciable:

MPa f

b

cu 4 ;

.15,0min 28

MPau 4 ;5,1

2515,0min = 2,5 MPA

Donc : u < u

2- calcul de l'espacement entre cadres :

)cos.(sin.8,0

..3,0

St.

'

+

fe

f k

b

A tjut

-cadres droits : sin + cos = 1.

- 'tj f = min ( f tj ; 3,3 MPa) = 2,1 MPa

- k = 1 : dans le cas gnral.

- A t = 48 = 2,01 cm.

- f e = 235 MPa

)..3,0.(

.8,0.St '

tju

t

f k b

fe A

)..3,0.(

.8,0.St

tju

t

f k b

fe A

)1,213,048,1(3,0

2358,01001,2St

4

St 14,8 cm.

8

30

50


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82

Conditions complmentaires :

St 7 cm avec S tmin = 7 cm.

St min ( 0,9.d ; 40 cm) min ( 40,5 cm ; 40 cm)MPa 4,0

St..

b

fe At MPa 4,0 06,1148,030,0

2351001,2 4 =

MPa

t min

l;10b

;35

h

choix effectu la flexion.

t 12 mm

De la srie de Caquot St = 13 cm. n = L/2 = 6,00/2 = 3

298 cm

6cm

13 13 20 20 25 25 35 3513 20 25 35


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84/104


84

Chapitre X : La flexion compose

I Dfinition :

Une poutre est sollicite en flexion compose si la rduction au centre de gravit (CDG)

d'une section S des forces situes gauche de cette section se dcomposes.

- Couple de moment M d'axe la fibre moyenne.

- Effort normal N la section.

- Effort tranchant T dans le plan de la section.

II Gnralits : Le systme form par le moment flchissant (M) et l'effort normal (N)

peut tre remplac par une force unique quivalente (N) et applique au point (C) appel

point d'application ou centre de pression.

Donc on remplace (M,N) N au centre de pression tel que la distance GC = e.G : centre de gravit de la section.

C : point d'application (N)

e : excentricit. N M

eGC ==

En flexion compose, il faut toujours prciser en quel point on effectue la rductiondes forces car la valeur des moments est dpendante de ce point. Ce point sera

normalement, soit au CDG du bton (sans armatures) = (G); soit au centre de gravit

des armatures tendues (A).

N

M e G= ;

N

M e Aa =

En flexion compose, la premire chose faire est de chercher la position du centre depression (C)

MN

T

MG

N

G ea

C

AMA

e

M

N G

N

G

Ce


85/104


85

Si (N) est un effort de compression (C) sera pos au dessus de (G).

ea e

Le point (C) peut se situer en dehors de la section donc "e" peut tre suprieure 2h

:

e >2h

Si (N) est un effort de traction (C) sera pos au dessous de (G). (au cot de (A))CA = e a

GC = e

C : peut tre en dehors de la section.

Les quations d'quilibre en flexion compose s'tablissent de la mme manire que laflexion simple avec 3 diffrences :

- N 0.- La section peut tre totalement comprime.

- Les sollicitations doivent tre calcules l'origine, que nous prendrons le point (A).

En flexion compose, la section peut tre partiellement comprime sous un effort detraction ou compression: Nous avons 3 cas de position de l'axe neutre :

La section peut tre entirement comprime sous un effort de compression :

G ea

C

A

e

compression

traction

Gea

CA

e

xA.N

dh

d'

x < d'

xA.Nd

d'

d' < x < d

x

A.N

d

d'

x > d

x

A.N

d

d'

x > h


86/104


86

La section peut tre entirement tendue sous un effort de traction :

III- Etat limite ultime de rsistance pour une section rectangulaire :

1- Courbe de rfrence d'une section :

a- Section partiellement comprime : (Domaine 2 pivot B)

bc

d

xd b b. xdz zb N ..81,0).(.

==

).416,0.(..81,0).(.. xd b. xdz z zb M bcd

xd b ==

).416,0.(...81,0 = d d b. bc

Alors le moment rduit u sera : ).416,0(..81,0..

== d d b

M

bc

bu

L'effort normal rduit :

d b

N

bc

bu .81,0

..==

La relation entre u et u :

=

81,0416,0

1. uuu

( )uuu .514,01. =

b - Section tendue ou partiellement comprime : (Domaine 1 pivot A)

0 0,259

x = 0 z = d.

x = d z = 0,89. d.

xA.N

d

d'

x < 0

xA.N

dh

d'

b

As1

As2

bc =3,5 10 -3

st

dformation

st

contrainte

bc 3/7.x4/7.x

bc =2 10 -3


87/104


87

c - Section entirement comprime : (Domaine 3 pivot 3)

2h

x

+= hd

hd

76

5,0

. =1

2

37

05,3

=

h x

x = h = 0,19

x = = 0

= hd

76

145

d - Le trac de la courbe de rfrence :

On constate de la plus part des cas que N b est une fonction croissante de x et M b est

une fonction croissante de x et de Nb lorsque la section est partiellement commprime et elle

est dcroissante lorsque la section est entirement comprime.

x = 0 point O Nb = 0 et M b = 0.

x = d point D Nb = bcd b ...81,0 et M b = bcd b ...473,0

x = h point E Nb = bchb ...81,0 et M b =

d h

d hb bc 416,01....81,0

x = point F Nb = bchb .. et M b = bchbh

d ...2

hd'

b

As1

As2

bc =3,5 10 -3

st

3/7.h

4/7.h

bc =2. 10 -3

4/7.h

. C

.

.

..

D

EF

O

Nb

M b


88/104


88

2- Domaines de fonctionnement de la section :

a- Dtermination des domaines : sur la courbe de rfrence et partir des points "D"

et "E" et "F", on trace les droites D, E, F de pente'

1d d

. L'quation gnrale de ces droites

sera :

M u = M b + (N u - N b).(d d')

La courbe de rfrence et les 3 droites D , E , F ont dlimites 5 zones. Alors les droites D, E,

F auront pour quations :

Droite D : Mu = M b + (N u - Nb).(d d')

Mu = bcd b ...473,0 + N u.(d d') - bcd b ...81,0 .(d d')

Mu = )d'.(dd'

0,81.0,337-... bc +

+ d N d b u

Nu.(d d') M u = bc...dd'

0,81.-0,337 d b

Droite E : Mu = M b + (N u - Nb).(d d')

Mu = )d'.(hd'

0,81.0,337-.h.. bc +

+ d N b u

Nu.(d d') M u = bch...hd'

0,81.-0,337 b

Droite F : Mu = M b + (N u - Nb).(d d')

Mu = )d'.(hd'

0,5-... bc +

+ d N hb u

Nu.(d d') M u = bch...h

d'-0,5 b

.

.

..

D

E

F

O

Nb

M b

(F)

(E)

(D)1

2

3

4

5


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89

b- Domaine de fonctionnement :

Zone (1) : Si on trouve dans cette zone, la section sera dite surabondante.

Le point de coordonn (m , n) sera situ dans la zone (1) si les conditions

suivantes sont vrifies :

Nu bchb ...81,0 et M A Nu . d .

bc..514,01

d b N u

Ou N u > bchb ...81,0 et M A b . h . bc .

hd

b

N u76

.h.145

bc

Zone (2) : Cette zone correspond une section partiellement comprime

avec armatures infrieures tendues.

La condition qui nous indique que nous somme dans la zone (2):

Nu.(d d') M A bc...dd'

0,81.-0,337 d b

Zone (3) : Correspond une section partiellement comprime avec

armatures infrieures comprimes.

bc...dd'

0,81.-0,337 d b

< N u.(d d') M A bch...hd'

0,81.-0,337 b

Zone (4) et Zone (5) : Correspond une section entirement comprime. .

Nu.(d d') M A > bch...hd'

0,81.-0,337 b

O

2

DA.N

A1

A.NA1

A2

3

E

D

3

E

D


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90

IV- Dtermination des armatures :

1- Section entirement tendue :

Une section sera dite entirement tendue, si l'effort appliqu est un effort de tarction et s'il est

appliqu entre les armatures :

Les sections d'armatures seront donnes par :

= '1.1 d d e N

A ast

u et )'.(

.2 d d

e N A

st

au=

2- Section partiellement comprime :

Une section sera partiellement comprime si elle vrifie les conditions de la zone (2) et (3) en

plus, une section sera partiellement comprime dans les trois cas suivant :

1er cas : si l'effort appliqu est un effort de traction et son point d'application est situ

l'extrieur de la section.

2me cas : si l'effort appliqu est un effort de compression et son point d'application se situ

l'extrieur de la section.

3me cas : si l'effort appliqu est un effort de compression et son point d'application se situ

entre les armatures et s'il est proche des armatures suprieures.

A1

A2

C

G.. eea

A1

A2

C

G.

.e

ea

A1

A2

C

G.

.

e

ea


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91

bc

Au d b

M

..= On compare u avec l :

Si : u l

A2 = 0 ;

= N

z

M A A

st 1

1

on utilise : ( + ) si l'effort est un effort de traction.( - ) si l'effort est un effort de compression.

Si : A 1 < 0 La section non ferraille rsiste aux efforts appliqus.

Si : A 1 = 0 La section ne ncessite pas de ferraillage.

Si : u > l Le rsistant s'crit : M R = l . b . d . bc

Avec : )0,4-(1..8,0 lll =

)'.(2 d d M M A

sc

R A

=

( )

+

= N

d

M

d d

M M A

l

R R A

st ).4,01('1

1

Si : A 1 < 0 A1 = fe

f d b A t 28min ...23,0=

( )

sc

bc

2

2

.)'.(2

d'd'..

++=

b

M N d d b N

A

Aubc

3- Section entirement comprime :

Une section sera entirement comprime si l'effort est un effort de compression et son point

d'application est entre les armatures et prs du centre de gravit. Il faut vrifier les conditions

des zones 4 et 5.

A1

A2

CG.. x

A1

A2

bc

st

st

bc AN


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92

La vrification est faite avec les ingalits suivantes :

Nu .(d d') M A (0,5.h d') . b . h . bc.Si N u .(d d') M A (0,5.h d') . b . h . bc :

On est dans la zone 4.

hd b

M N d d

hd Au

'76

h..).'('

5,0 bc

=

A1 = 0

sc

u b N A

bc2

h..).1( =

=

75,1'

73110.2 3-

hd

c

Si N u .(d d') M A > (0,5.h d') . b . h . bc :On est dans la zone 5.

-310.2=c )10.2( 3= f

sc

A

d d

hd b M

A

).'(

)2

.(h.. bc2

=

2bc

1

h.. A

b N A

sc

u =

-Application : Soit une section rectangulaire soumise

l'E.L.U un moment de flexion M u = 0,155 MN et un effort

de traction N u = 0,2 MN. Si f c28 = 25 MPa et FeE400.

- Calculez les sections d'armatures ?

A1

A2

CG..

xA1

A2

bc

2

AN

1 1

2

G.3

33

420

25


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93

- Solution :

- L'excentricit :2,0

155,0== N M

e = 77,5 cm >2

402

=h = 20 cm.

Nous avons une section partiellement comprime.

ea = e ( d -2h

) = 77,5 ( 36 -2

40) = 61,5 cm.

MA = N u . ea = 0,2 . 0,615 = 0,123 MN.m

0,81 . b . h . bc = 0,81 . 0,25 . 0,40 . 14,17 = 1,147 MN

N = 0,2 MN < 0,81 . b . h . bc = 1,147 MN

MA = 0,123 MN.m >

bcd b N

d N ..

.514,01.. = 0,0662 MN.m

N.(d d') M A = 0,2 . (0,36 0,03)- 0,123 = -0,057 MN.m

N.(d d') M A = -0,057 MN.m bc...dd'

0,81.-0,337 d b

= 0,124 MN.m

On est dans la zone (2) S.P.C avec armatures infrieures tendues.

bc

Au d b

M

..= =

14,17(0,36)..25,0123,0

= 0,268

u = 0,268 l = 0,392

A2 = 0 ;

+= N

z

M A A

st 1

1

= 0,399 ; z = 0,3 m.

+= 2,0

3,0123,0

3481

1 A = 17,53 cm Soit 6HA20 = 18,85 cm.

A1

A2

C

G.

.77,5

61,5

La section n'estpas surabondante

3T12

6T20 = 18,85 cm


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94

V- Etat limite de service :

1 Section entirement tendue : Une section sera entirement tendue, si l'effort est un

effort de traction et si le centre de pression est appliqu entre les armatures.

Sachant que A1 et A2 sont des sections de ferraillage choisies.

=

'1.

11 d d

e

A

N aser st

'..

22 d d A

e N aser st

=

2 Section entirement comprime : Une section sera entirement comprime, si

l'effort est un effort de compression et si le point C est l'intrieur du noyau central de la

section totale homogne.6h

e ;S I

e =1

I : Le moment d'inertie de la section totale.

S : Le moment statique de la section totale.

++

+= d hee And hee AneehbS AN 2

..'2

..).(. 11121

2

11

2

122

1

3

2..'

2..).(.

12.

++

++= d hee And hee Aneehbhb I AN

++

++

++

+++=

d h

e And h

e Anehb

d h

e And h

e Anehbhb

e

2..'

2....

2..'2....12.

12

2

1

2

22

3

1

Si eh

e +

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