Corso di Progetto di Macchine a Fluido — Cenni di ...people.unica.it/tizianoghisu/files/2018/05/chap3.pdf · Cenni di Gasdinamica Comprimibile Tiziano Ghisu April 26, 2018 1. Contents

Corso di

Progetto di Macchine a Fluido —

Cenni di Gasdinamica Comprimibile

Tiziano Ghisu

April 26, 2018

1

Contents

1 Equazioni di Navier-Stokes in Forma Adimensionale 3

2 Velocità del Suono 7

3 Ugelli 9

3.1 Flusso subsonico/supersonico di un gas perfetto in un ugello convergente di-vergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Effetto del Rapporto di Pressione su un Ugello Convergente-Divergente . . . 12

4 Cono di Mach 14

5 Onde d’Urto Normali 15

6 Onde d’Urto Oblique 20

7 Onde di Espansione 24

8 Metodo delle Caratteristiche 27

8.1 Equazione del Potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278.2 Caratteristiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2

1 Equazioni di Navier-Stokes in Forma Adimensionale

Consideriamo un flusso compressibile, viscoso e bidimensionale. L’equazione della quantitàdi moto nella direzione x può essere scritta in forma differenziale

∂ρu

∂t+

∂ρuu

∂x+

∂ρuv

∂y= − ∂p

∂x+

∂

∂x

(

λ∇ ·V + 2µ∂u

∂x

)

+∂

∂y

[

µ

(

∂v

∂x+

∂u

∂y

)]

(1)

L’equazione 1 è scritta in forma dimensionale. Ciò significa che tutte le variabili checompaiono (ρ, u, p, ecc.) hanno le dimensioni prevista (nel Sistema internazionale [ρ]=kg/m3,[u]=m/s, [p]=N/m2).

Introduciamo le seguenti variabili adimensionali:

ρ′ =ρ

ρ∞; u′ =

u

V∞

; v′ =v

V∞

; p′ =p

p∞;

µ′ =µ

µ∞

; x′ =x

c; y′ =

y

c; t′ =

t

τ; (2)

dove ρ∞, V∞, p∞, µ∞, τ sono valori di riferimento per le grandezze in esame (presi peresempio come valori del flusso indisturbato) e c è una lunghezza di riferimento.

Sostituendo le espressioni precedenti nell’equazione 1:

ρ∞V∞

τ

∂ρ′u′

∂t′+

ρ∞V 2∞

c

(

∂ρ′u′u′

∂x′+

∂ρ′u′v′

∂y′

)

= −p∞c

∂p′

∂x′+

µ∞V∞

c2

{

∂

∂x′

(

λ′∇ ·V′ + 2µ′∂u′

∂x′

)

+∂

∂y′

[

µ′

(

∂v′

∂x′+

∂u′

∂y′

)]}

(3)

Riunendo tutte le grandezze di riferimento (dividendo per ρ∞V 2

∞

c :

c

V∞τ

∂ρ′u′

∂t′+

∂ρ′u′u′

∂x′+

∂ρ′u′v′

∂y′= − p∞

ρ∞V 2∞

∂p′

∂x′+

µ∞

ρ∞V∞c

{

∂

∂x′

(

λ′∇ ·V′ + 2µ′∂u′

∂x′

)

+∂

∂y′

[

µ′

(

∂v′

∂x′+

∂u′

∂y′

)]}

(4)

Possiamo scrivere tre numeri adimensionali:

c

V∞τ= St (5)

p∞ρ∞V 2

∞

=γp∞

γρ∞V 2∞

=γRT∞

γV 2∞

=a2∞

γV 2∞

=1

γM2∞

(6)

µ∞

ρ∞V∞c= Re∞ (7)

Nelle precedenti, γ è il rapporto dei calori specifici a pressione e a volume costanti, a∞ è lavelocità del suono indisturbata e M∞ è il numero di Mach di riferimento (M = V

a ), St è il

3

numero di Strouhal, Re∞ è il numero di Reynolds calcolato con le grandezze di riferimento.L’equazione 4 diventa:

St∂ρ′u′

∂t′+

∂ρ′u′u′

∂x′+

∂ρ′u′v′

∂y′= − 1

γM2∞

∂p′

∂x′+

1

Re∞

{

∂

∂x′

(

λ′∇ ·V′ + 2µ′∂u′

∂x′

)

+∂

∂y′

[

µ′

(

∂v′

∂x′+

∂u′

∂y′

)]}

(8)

Questa forma delle equazioni ha un’importantissima conseguenza pratica: se consideriamodue problemi geometricamente simili, la soluzione dei due problemi (in termini adimensionali)sarà la stessa a patto che siano gli stessi i numeri adimensionali appena introdotti, e cioèil numero di Reynolds, il numero di Mach, il numero di Froude e il rapporto dei calorispecifici (che è lo stesso se non cambiamo il fluido, a patto che non cambi in modo notevolela temperatura). In pratica, ciò significa che affinchè le due soluzioni siano dinamicamentesimili (o vi sia similitudine dinamica) devono essere uguali i numeri adimensionali appenaintrodotti.

Chiaramente, il numero di Strouhal è importante solo per problemi dipendenti dal tempo(se la derivata temporale è nulla, si annulla il termine che contiene lo Strouhal), il numero diMach è importante solo per fluidi comprimibili e il numero di Reynolds solo per flussi viscosi.In particolare, se fossimo in presenza di un fluido incomprimibile, il termine

p∞ρ∞V 2

∞

(9)

che compare nell’equazione 4, non può essere scritto in funzione della velocità del suono(infinita per un fluido incomprimibile). Può invece essere scritto:

p∞ρ∞V 2

∞

∝ ρV 2∞

ρ∞V 2∞

= 1 (10)

Scriviamo invece l’equazione dell’energia:

∂ρ(e+ V 2/2)

∂t+

∂ρ(e+ V 2/2)u

∂x+

∂ρ(e+ V 2/2)v

∂y=

∂

∂x(k

∂T

∂x) +

∂

∂y(k

∂T

∂y)− ∂pu

∂x− ∂pv

∂y

+∂

∂x

[

µu

(

2∂u

∂x+

λ

µ∇ ·V

)]

+∂

∂y

[

µv

(

2∂v

∂y+

λ

µ∇ ·V

)]

+∂

∂x

[

µu

(

∂v

∂x+

∂u

∂y

)]

+∂

∂y

[

µv

(

∂v

∂x+

∂u

∂y

)]

(11)

Introducendo gli stessi valori di riferimento introdotti in precedenza, e inoltre:

4

e′ =e

cvT∞

; k′ =k

k∞(12)

ρ∞cvT∞

τ

∂ρ′(e′)

∂t′+

ρ∞V 2∞

τ

∂ρ′(V ′2/2)

∂t′+

ρ∞cvT∞V∞

c

(

∂ρ′e′u′

∂x′+

∂ρ′e′v′

∂y′

)

+

ρ∞V 3∞

c

(

∂ρ′u′V ′2/2

∂x′+

∂ρ′v′V ′2/2

∂y′

)

=k∞T∞

c2

[

∂

∂x′(k′

∂T ′

∂x′) +

∂

∂y′(k′

∂T ′

∂y′)

]

−p∞V∞

c

(

∂p′u′

∂x′− ∂p′v′

∂x′

)

+µ∞V 2

∞

c2

{

∂

∂x′

[

µ′u′

(

2∂u′

∂x′+

λ

µ∇ ·V′

)]

+∂

∂y′

[

µ′v′(

2∂v′

∂y′+

λ

µ∇ ·V′

)]

+∂

∂x′

[

µ′u′

(

∂v′

∂x′+

∂u′

∂y′

)]

+∂

∂y′

[

µ′v′(

∂v′

∂x′+

∂u′

∂y′

)]}

(13)

Dividendo per ρ∞V 3

∞

c , otteniamo i seguenti coefficienti adimensionali:

ρ∞cvT∞

τ

c

ρ∞V 3∞

=cvT∞c

τV 3∞

=1

γ − 1

RT∞

V 2∞

c

τV∞

=St

γ(γ − 1)M2∞

(14)

ρ∞V 2∞

τ

c

ρ∞V 3∞

=c

τV 3∞

= St (15)

ρ∞cvT∞V∞

c

c

ρ∞V 3∞

=cvT∞

V 2∞

=1

γ − 1

RT∞

V 2∞

=1

γ(γ − 1)M2∞

(16)

k∞T∞

c2c

ρ∞V 3∞

=k∞T∞

ρ∞V 3∞c=

k∞T∞

µ∞V 2∞

µ∞

ρ∞V∞c

k∞γRT∞

µ∞γRV 2∞

1

Re∞=

k∞µ∞γR

1

M2∞Re∞

=1

(γ − 1)Pr∞M2∞Re∞

(17)

p∞V∞

c

c

ρ∞V 3∞

=p∞

ρ∞V 2∞

=RT∞

V 2∞

=1

γM2∞

(18)

µ∞V 2∞

c2c

ρ∞V 3∞

=µ∞

ρ∞V∞c=

1

Re∞(19)

5

dove Pr∞ =cpµ∞

k∞

è il numero di Prandtl, rapporto tra la dissipazione per convezione equella per diffusione.

In forma adimensionale, l’equazione dell’energia diventa:

St

γ(γ − 1)M2∞

∂ρ′(e′)

∂t′+

1

γ(γ − 1)M∞

∂ρ′(V ′2/2)

∂t′+

1

γ(γ − 1)M2∞

(

∂ρ′e′u′

∂x′+

∂ρ′e′v′

∂y′

)

+

(

∂ρ′u′V ′2/2

∂x′+

∂ρ′v′V ′2/2

∂y′

)

=1

(γ − 1)Pr∞M2∞Re∞

[

∂

∂x′(k′

∂T ′

∂x′) +

∂

∂y′(k′

∂T ′

∂y′)

]

− 1

γM2∞

(

∂p′u′

∂x′− ∂p′v′

∂x′

)

+1

Re∞

{

∂

∂x′

[

µ′u′

(

2∂u′

∂x′+

λ

µ∇ ·V′

)]

+∂

∂y′

[

µ′v′(

2∂v′

∂y′+

λ

µ∇ ·V′

)]

+∂

∂x′

[

µ′u′

(

∂v′

∂x′+

∂u′

∂y′

)]

+∂

∂y′

[

µ′v′(

∂v′

∂x′+

∂u′

∂y′

)]}

(20)

Analogamente alla precedente equazione, due problemi geometricamente simili avrannola stessa soluzione (similitudine dinamica) a patto che siano uguali i numeri adimensionaliche compaiono nell’equazione dell’energia scritta in forma adimensionale, e quindi il rapportotra i calori specifici, i numeri di Reynolds, Mach, Prandtl e Strouhal.

6

2 Velocità del Suono

Consideriamo una discontinuità infinitesima che si propaga in un fluido in quiete (fermo) convelocità a:

!"#$%&'()*+,-./0123456789:;<=>?@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]^_`abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}~

ap

ρ

T

p+ dp

ρ+ dρ

T + dT

Figure 1: Propagazione di un’onda infinitesima

Riportiamo il problema a un sistema di riferimento solidale con l’onda infinitesima (ondastazionaria e fluido in movimento), e scriviamo le equazioni di conservazione per il volume dicontrollo indicato in figura 2.


p

ρ

T

ap+ dp

ρ+ dρ

T + dT

a+ da

Figure 2: Volume di controllo

CONTINUITÀ: ρa = (ρ+ dρ)(a+ da) (21)

Q.TÀ DI MOTO: p− (p+ dp) = −ρa2 + (ρ+ dρ)(a+ da2) (22)

Con alcune manipolazioni (trascurando infinitesimi di ordine superiore):

CONTINUITÀ: ρda+ adρ = 0 (23)

Q.TÀ DI MOTO: −dp = a2dρ+ 2ρada (24)

Sostituendo:

−dp = a2dρ− 2a2dρ = −a2dρ (25)

E quindi:

a2 =dp

dρ(26)

Per le ipotesi fatte, la velocità del suono a è uguale a√

dpdρ in un processo isentropico,

7

quindi:

dh =✟✟Tds+dp

ρ

dp

p=

ρ

pcpdT =

cpR

dT

T=

γ

γ − 1

dT

T(27)

Da questa relazione di possono derivare le relazioni isentropiche:

p

Tγ

γ−1

= cost;p

ργ= cost;

T

ργ−1= cost (28)

Sostituendo in 29:

a =

√

costdργ

dρ=√

cost(γ)ργ−1 =

√

p

ργγργ−1 =

√

γp

ρ=√

γRT (29)

8

3 Ugelli

Consideriamo un elementino di un ugello, come in figura


u

pρ

u+ du

p+ dpρ+ dρ

Figure 3: Equazioni di bilancio in un ugello a geometria variabile

CONTINUITÀ: ρuA = (ρ+ dρ)(u + du)(A+ dA)

ρudA+ ρduA+ ρudA = 0 (30)

Q.TÀ DI MOTO: pA− (p+ dp)(A+ dA) + (p+dp

2dA = −ρu2A+ (ρ+ dρ)(u + du)2(A+ dA)

−dpA = ρu2dA+ dρu2A+ 2ρuduA (31)

Moltiplicando l’equazione di continuità per u e sottraendola da quella di quantità di moto:

−dpA = ρuduA (32)

−dp = ρudu (33)

Dividendo per ρu2:

1

u2

dp

ρ+

du

u= 0 (34)

1

u2

dp

dρ

dρ

ρ+

du

u= 0 (35)

1

M2

dρ

ρ+

du

u= 0 (36)

(37)

Essendo (dall’equazione di continuità):

du

u+

dA

A+

dρ

ρ= 0 (38)

−(

du

u+

dA

A

)

+M2 du

u= 0 ⇒

(

M2 − 1) du

u=

dA

A(39)

Pertanto in un ugello, la variazione di velocità e di sezione sono concordi se il numero

9

di Mach è superiore a 1, discordi se il numero di Mach è inferiore a 1. Ne consegue ancheche per passare da un flusso subsonico a uno supersonico è necessario passare da una sezioneminima (sezione di gola).

3.1 Flusso subsonico/supersonico di un gas perfetto in un ugelloconvergente divergente

Consideriamo il ugello mostrato in figura. Il flusso nella sezione di gola (le cui condizionisono indicate con un asterisco) sono soniche. Quindi nella sezione di gola:


A∗

M∗ = 1u∗ = a∗

AMu

Figure 4: Ugello convergente divergente in condizioni bloccate (soniche nell’area di gola)

M∗ = 1 u∗ = a∗ (40)

Per l’equazione di continuità:

ρ∗u∗A∗ = ρuA (41)

A

A∗=

ρ∗

ρ

a∗

u=

ρ∗

ρ0

ρ0ρ

a∗

u(42)

dove ρ0 è la densità totale e valgono le seguenti relazioni:

ρ0ρ

=

(

1 +γ − 1

2M2

)1/(γ−1)

(43)

ρ0ρ∗

=

(

γ + 1

2

)1/(γ−1)

(44)

10

mentre:

( u

a∗

)2

= M∗2 =γ+12 M2

1 + γ−12 M2

(45)

Perciò:

(

A

A∗

)2

=

(

ρ∗

ρ0

)2(ρ0ρ

)2(a∗

u

)2

=

(

2

γ + 1

)2/(γ−1)(

1 +γ − 1

2M2

)2/(γ−1) 1 + γ−12 M2

γ+12 M2

(46)

(

A

A∗

)2

=1

M2

[

2

γ + 1

(

1 +γ − 1

2M2

)](γ+1)/(γ−1)

(47)

L’equazione precedente lega il rapporto d’area al numero di Mach. Presa nel senso op-posto, il numero di Mach è funzione del rapporto d’area tra l’area in un punto e l’area digola. In particolare (vedi figura 5):

1. Il rapporto d’area deve sempre essere maggiore di 1.

2. Per ogni rapporto d’area esistono 2 numeri di Mach che verificano l’equazione (unosubsonico e uno supersonico

0 1 2 3 4Mach number M

0

2

4

6

8

10

12

Are

a ra

tio A

/A*

Figure 5: Relazione tra rapporto d’area e numero di Mach (equazione (47))

In figura 6 viene mostrato l’andamento dei valori di Mach, pressione e temperatura inugello convergente-divergente supersonico, a partire dalle condizioni totali, quindi a partireda un serbatoio in cui possiamo considerare trascurabile la velocità. Per un dato ugello, esiste

11

solo un modo perchè il fluido si espanda in modo isentropico (in altre parole, in ogni puntodell’ugello, il numero di Mach è solo funzione del rapporto di aree A

A∗). Una volta noto il

numero di Mach, è immediato calcolare rapporti di pressione e temperatura.


TT0

p

p0

M

T0

p0

AA∗

→ ∞Ae

A∗

M < 1 M > 1A = A∗

M = 1

0

0.833

1

0

0.528

1

0

1 ❅❅■

equazione (47)

��✠

p

p0= (1 + γ−1

2M2)

−γγ−1

��✠

TT0

= (1 + γ−1

2M2)−1

Figure 6: Flusso isentropico in un ugello convergente divergente (supersonico)

3.2 Effetto del Rapporto di Pressione su un Ugello Convergente-Divergente

Affinché si realizzi l’andamento di numeri di Mach (e quindi pressioni e temperature) mostratoin figura 6 è necessario che il rapporto tra la pressione di uscita e la pressione totale abbiaprecisamente il valore pe

p0, che dipende esclusivamente dal rapporto di aree Ae

A∗.

Ma cosa succede se il rapporto di pressioni pe

p0

è diverso da quello per cui l’ugello è statoprogettato?

Supponiamo di avere pe

p0

= 1. In questo caso non ci sarà alcun flusso nell’ugello. Seiniziamo a diminuire la pressione di uscita (e quindi il rapporto pe

p0) il fluido comincerà a

12

fluire nell’ugello. Diminuendo progressivamente il rapporto pe

p0

, il numero di Mach localeaumenterà fino raggiungere una situazione in cui il Mach nella sezione di gola sarà unitario,ma nella parte divergente dell’ugello ci sarà ancora un flusso subsonico.


p

p0

M

T0

p0

AA∗

→ ∞Ae

A∗

M < 1 M < 1A = A∗M = 1

0

0.528

1

0

1��✠

Me3

✟✟✙Me2

✛ Me1

❅❅■ pe3p0

❍❍❨ pe2p0

✛ pe1p0

321

321

Figure 7: Flusso isentropico in un ugello convergente divergente (subsonico)

Continuando a diminuire il rapporto di pressione pe

p0, la portata nell’ugello non varierà più.

Questo perchè l’ugello ora è in condizioni bloccate (choked flow). Finchè però il rapporto dipressioni non ragginge quello dettato dalla soluzione supersonica per il rapporto d’aree con cuil’ugello è stato progettato (figura 6, la soluzione non potrà essere quella data dall’evoluzionesupersonica isentropica.

Per tutti i rapporti di pressione intermedi tra pe3

p0e pes

p0, il flusso dopo la sezione di gola

continuerà ad accelerare. Si verificherà quindi un’onda d’urto normale (non isoentropica) cheriporterà il flusso in condizioni subsoniche. Da qui in poi il flusso rimarrà subsonico e seguiràfino all’uscita una compressione isoentropica (subsonica). L’evoluzione è rappresentata infigura 8.

Continuando a diminuire il rapporto di pressione pe

p0, l’onda d’urto si sposterà sempre più

verso l’uscita dell’ugello, fino a che non si troverà sulla sezione d’uscita. Indichiamo questorapporto di pressioni come pe5

p0. La situazione sarà quella illustrata in figura 9.

Per tutti i rapporti di pressione compresi tra pe5

p0

e pes

p0

si verificheranno delle onde dicompressione (oblique) esterne rispetto al ugello (figura ??).

Invece, per rapporti di pressione inferiori a pes

p0

si verificheranno onde di espansioneall’esterno del ugello (figura ??).

13


p

p0

M

T0

p0

AA∗

→ ∞Ae

A∗

M < 1 M < 1A = A∗M = 1

0

0.528

1

0

1

✛ Mes (soluzione isoentropica supersonica)

��✠Me4

✛ Me3 (soluzione isoentropica subsonica)

✛

✛

✛ pesp0

(soluzione isoentropica supersonica)

pe4p0

pe3p0

(soluzione isoentropica subsonica)

Figure 8: Onda d’urto in un ugello convergente-divergente

4 Cono di Mach

Consideriamo un piccolo oggetto che si muove in un fluido fermo (figura 12). Si possonoverificare 3 situazioni:

1. Supponiamo che si muova a velocità inferiore rispetto a quella del suono (V < a). Inquesto caso il disturbo dovuto alla presenza dell’oggetto si propagherà con una velocitàa maggiore rispetto a quella dell’oggetto (M < 1). Disturbi emessi in tempi successivinon entrano in contatto.

2. Nel caso in cui V = a (l’oggetto si muove alla velocità del suono) le onde emessepercorrono in un tempo dt una distanza at, pari alla distanza percorsa dall’oggetto.Quindi non ci sarà modo per il disturbo di arrivare prima dell’oggetto stesso, e i dis-turbi emessi a tempi diversi si raggiungeranno tutti la stessa posizione (quella occupatadall’oeggetto)

3. Se poi V > a (quindi M > 1), l’oggetto si muoverà a una velocità maggiore rispettoal disturbo (onde sonore) emesse dallo stesso, formando (se la velocità V à costante)quello che prende il nome di cono di Mach, con un angolo:

µ = tan−1( a

V

)

= tan−1

(

1

M

)

(48)

14


p

p0

M

T0

p0

AA∗

→ ∞Ae

A∗

M < 1 M < 1A = A∗M = 1

0

0.528

1

0

1

✛ Mes (soluzione isoentropica supersonica)

��✠Me5

✛ Me3 (soluzione isoentropica subsonica)

✛

��✠✛ pes

p0(soluzione isoentropica supersonica)

pe5p0

pe3p0

(soluzione isoentropica subsonica)

Figure 9: Onda d’urto nella sezione di uscita di un ugello convergente-divergente


pes

pes < pe < pe5

Figure 10: Onde d’urto oblique in un ugello convergente-divergente

5 Onde d’Urto Normali

Un’onda d’urto è una discontinuità nel flusso (una brusca variazione delle sue caratteristiche)che si presenta in alcune situazioni, quando il fluido non è capace di adeguarsi normalmentealle variazione delle condizioni richiesta).

Consideriamo un’onda d’urto normale (o piana), come rappresentato in figura:

15


pes

pe < pes

Figure 11: Onde d’espansione in un ugello convergente-divergente


at

vt

at

vt

at

vt

M < 1 M = 1 M > 1

µ

Figure 12: Cono di Mach


1 2

p1ρ1T1

M1

T1

u1

p0,1h0,1

T0,1

s1

p2ρ2T2

M2

T2

u2

p0,2h0,2

T0,2

s2

Figure 13: Onda d’urto normale

Scriviamo le equazioni di conservazione:

CONTINUITÀ: ρ1u1 = ρ2u2 (49)

Q.TÀ DI MOTO: p1 − p2 = −ρ1u21 + ρ2u

22 ⇒ p1 + ρ1u

21 = p2 + ρ2u

22 (50)

ENERGIA: h1 +1

2u21 = h2 +

1

2u22 (51)

Dividiamo l’equazione della quantità di moto con quella di continuità:

p1ρ1u1

+ u1 =p2

ρ2u2+ u2 ⇒

p1ρ1u1

− p2ρ2u2

= u2 − u1 (52)

16

Ricordando che a2 = γ pρ :

a21γu1

− a22γu2

= u2 − u1 (53)

Scriviamo a2 in funzione di a∗2 (dove con ∗ indichiamo le condizioni soniche), dove:

a =√

γRT (54)

a∗ =√

γRT ∗ (55)

Consideando che l’entalpia totale in un urto di conserva (nessuno scambio di calore)

h0 = cost = h+1

2u2 =

γ

γ − 1RT +

1

2u2 =

a2

γ − 1+

1

2u2 (56)

Quindi:

a2 +γ − 1

2u2 = cost =

γ + 1

2a∗2 (57)

Pertanto:

a21 +γ − 1

2u21 = a22 +

γ − 1

2u22 =

γ + 1

2a∗2 (58)

Sostituendo la precendente nell’equazione 53:

γ + 1

2γa∗2u1 −

γ + 1

2γa∗2u2 +

γ − 1

2γu1 −

γ − 1

2γu2 = u2 − u1 (59)

(

γ + 1

2γa∗2u1u2 +

γ − 1

2γ

)

(u2 − u1) = u2 − u1 (60)

E di conseguenza:

γ + 1

2γa∗2 +

γ − 1

2γu1u2 = u1u2 (61)

a∗2 = u1u2 (62)

a∗2 = u1u2 (63)

17

e quindi:

M∗

2 =1

M∗

1

(64)

Riprendiamo la relazione:

a2 +γ − 1

2u2 =

γ + 1

2a∗2 (65)

La stessa può essere scritta nel modo seguente (dividendo la precedente per u2):

1

M2+

γ − 1

2=

γ + 1

2

1

M∗2(66)

γ + 1

2

1

M∗2=

1

M2+

γ − 1

2=

(γ − 1)M2 + 2

2M2(67)

oppure:

1

M∗2=

(γ − 1)M2 + 2

(γ + 1)M2(68)

Ne consegue che:

(γ + 1)M22

2 + (γ − 1)M22

=2 + (γ − 1)M2

1

(γ + 1)M21

(69)

Isolando M22 possiamo ricavare:

M22 =

22+(γ−1)M2

1

(γ+1)M2

1

(γ + 1)− (γ−1)(2+(γ−1)M2

1)

(γ+1)M2

1

=

=2(

2 + (γ − 1)M21

)

(γ + 1)(γ + 1)M21 − 2(γ − 1)− (γ − 1)2M2

1

=

=2(

2 + (γ − 1)M21

)

4γM21 − 2(γ − 1)

=

M22 =

1 + γ−12 M2

1

γM21 − γ−1

2

(70)

La precedente rappresenta il rapporto di numeri di Mach attraverso un urto piano. Da notarecome M2 sia sempre inferiore all’unità e come tenda al valore γ−1

2γ per M1 → ∞.

18

Per quanto riguarda invece il rapporto delle densità:

ρ2ρ1

=u1

u2=

u21

u1u2=

u21

a∗2= M∗2

1 = (71)

ρ2ρ1

=γ+12 M2

1

1 + γ−12 M2

1

(72)

Il rapporto delle velocità:

u2

u1=

1 + γ−12 M2

1γ+12 M2

1

(73)

Il rapporto delle pressioni:

p2 − p1 = ρ1u21 − ρ2u

22 (74)

p2p1

= 1 +ρ1p1

u1(u1 − u2) = 1 +γu2

1

a21(1− u2

u1) (75)

p2p1

= 1 + γM21

(

1− 1 + γ−12 M2

1γ+12 M2

1

)

(76)

p2p1

= 1 +2γ

γ + 1(M2

1 − 1) (77)

Posso anche ottenere il rapporto delle temperature:

T2

T1=

p2p1

ρ1ρ2

=

(

1 +2γ

γ + 1(M2

1 − 1)

)

1 + γ−12 M2

1γ+12 M2

1

(78)

Possiamo calcolare anche l’aumento di entropia attraverso uno shock (da ds = cpdTT −

R dpp ):

s2 − s1 = cplnT2

T1− Rln

p2p1

(79)

19

Per quanto riguarda le grandezze totali:

T02 = T01 non c’è scambio di calore (80)

s2 − s1 = −Rlnp02p01

(81)

p02p01

= e−1

R(s2−s1) (82)

6 Onde d’Urto Oblique

Consideriamo un’onda d’urto obliqua (figura 14). Scriviamo le equazioni di conservazionenelle direzioni normale e parallela all’urto:


w1 u1

V1 V2

u2

w2

θβ

p1

ρ1

T1

M1

T1

p0,1

h0,1

T0,1

s1

p1

ρ1

T1

M1

T1

p0,1

h0,1

T0,1

s1

Figure 14: Onda d’urto obliqua

Scriviamo le equazioni di conservazione:

CONTINUITÀ: ρ1u1 = ρ2u2 (83)

Q.TÀ DI MOTO: p1 − p2 = −ρ1u21 + ρ2u

22 ⇒ p1 + ρ1u

21 = p2 + ρ2u

22 (84)

−ρ1u1w1 + ρ2u2w2 ⇒ w1 = w2 (85)

ENERGIA: h1 +1

2u21 +

1

2w2

1 = h2 +1

2u22 +

1

2w2

2 (86)

L’equazione 85 dice che la componente della velocità parallela all’urto si conserva at-traverso lo stesso. Le equazioni 83, 84 e 86 sono le stesse scritte in precedenza nel caso dionde d’urto normali (equazioni 49, 50 e 51), a parte il fatto che contengono le componentidella velocità normali all’urto (cosa vera anche nel caso delle onde d’urto normali, visto chequesta era l’unica componente non nulla).

Le equazioni per i rapporti dei numeri di Mach, densità, pressioni, temperature, e cosìvia sono equivalenti a quelle scritte per gli urti normali, con l’unica differenza che in questocaso valgono per la componente normale. Pertanto:

20

M2n2 =

1 + γ−12 M2

n1

γM2n1 − γ−1

2

(87)

ρ2ρ1

=γ+12 M2

n1

1 + γ−12 M2

n1

(88)

u2

u1=

1 + γ−12 M2

n1γ+12 M2

n1

(89)

p2p1

= 1 +2γ

γ + 1(M2

n1 − 1) (90)

T2

T1=

p2p1

ρ1ρ2

=

(

1 +2γ

γ + 1(M2

n1 − 1)

)

1 + γ−12 M2

n1γ+12 M2

n1

(91)

s2 − s1 = cplnT2

T1− Rln

p2p1

(92)

T02 = T01 (93)

p02p01

= e−1

R(s2−s1) (94)

Nelle precedenti:

Mn1 = M1sin(β) Mn2 = M2sin(β − theta) (95)

Per calcolare l’angolo dell’urto, scriviamo le seguenti relazioni:

tan(β) =u1

w1tan(β − θ) =

u2

w2(96)

21

Quindi:

tan(β − θ)

tan(β)=

u2

u1=

1 + γ−12 M2

n1γ+12 M2

n1

= A (97)

Essendo:

tan(β − θ) =tan(β)− tan(θ)

1 + tan(β) tan(θ)(98)

A tan(β)(1 + tan(β) tan(θ)) = (tan(β)− tan(θ)) (99)

tan(θ)(

1 +A tan2(β))

= tan(β) (1−A) (100)

tan(θ) = tan(β)(1−A)

(

1 +A tan2(β)) = tan(β)

(γ + 1)M2n1 − (γ − 1)M2

n1 − 2

(γ + 1)M2n1 + [(γ − 1)M2

n1 + 2] tan2(β)=

2 tan(β)M2

n1 − 1

M2n1

[

γ(1 + tan2(β)) + (1− tan2(β))]

+ 2 tan2(β)=

2 tan(β)M2

n1 − 1M2

n1

cos2(β)

[

γ + (cos2(β)− sin2(β)]

+ 2 tan2(β)

(101)

tan(θ) =2

tan(β)

M21 sin

2(β) − 1

M21 [γ + cos(2β)] + 2

(102)

L’equazione 102 specifica il valore dell’angolo θ di deviazione del flusso dopo, in funzionedel numero di Mach a monte dell’urto M1 e dell’angolo dell’urto obliquo (β). Solitamente,conosciamo M1 e θ e vogliamo calcolare β (funzione implicita). Alcune considerazioni:

1. Per ogni valore del numero di Mach a monte dell’urto M1 esiste un angolo di deviazionemassima θmax. Significa che per quel numero di Mach e per quella deviazione del flussonon è possibile avere in natura un’onda d’urto obliqua. Si genererà invece un’ondacurva, staccata dal vertice del corpo, come illustrato in figura.

2. Per ogni valore di θ monore di θmax esistono due soluzioni per ogni numero di Mach amonte. Il valore più piccolo di β rappresenta la soluzione debole, mil valore più grandela soluzione forte (o urto debole e urto forte). Questa classificazione deriva dal fattoche per l’urto debole la decelerazione è minore, e cosí sono minori anche i rapporti didensità e pressione. In natura solitamente si verifica l’urto debole.

3. Se θ = 0 ci possono essere due soluzioni (β = 90◦ e β = µ). Nel primo caso abbiamo un

22

urto normale, nel secondo un urto infinitesimo. In entrambi i casi, non c’è deviazionedel flusso.

0 10 20 30 40 50deflection angle

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90sh

ock

angl

e

M1=1.25

M1=1.5

M1=2

M1=5

M1=10

M1=

Figure 15: Onde d’urto oblique. Dipendenza dell’angolo di deviazione dal numero di Mach edall’angolo dell’urto


Figure 16: Onde d’urto oblique attaccate e onde d’urto staccate

23

7 Onde di Espansione

Consideriamo un flusso supersonico che incontra uno spigolo convesso, come in figura 17.Questa situazione viene chiamata espansione di Prandtl-Meyer.


M1

M2

µ1

µ2

Figure 17: Espansione di Prandtl-Meyer

Consideriamo un’onda di espansione infinitesima (figura 18).


V

V + dVdθ

µ

Figure 18: Onda di espansione infinitesima

È facile dimostrare che, come nel caso delle onde d’urto (vedi equazione 85), la compo-nente parallela all’onda si conserva. Pertanto:

V cos(µ) = (V + dV ) cos(µ+ dθ) (103)

Sviluppando e utilizzando le approssimazioni valide per dθ infinitesimi (cos(dθ) ≈ 1 esin(dθ ≈ dθ)):

V cos(µ) = (V + dV ) (cos(µ) cos(dθ) − sin(µ) sin(dθ)) ≈ (V + dV ) (cos(µ)− sin(µ)dθ) (104)

Pertanto:

1 +dV

V≈ cos(µ)

cos(µ) + sin(µ)dθ=

1

1− dθ tan(µ)(105)

Utilizzando l’espansione in serie di Taylor:

1

1− x= 1 + x+ x2 + x3 + · · · ≈ 1 + x (106)

24

1 +dV

V≈ 1 + dθ tan(µ) (107)

1 +dV

V≈ 1 + dθ tan(µ) (108)

dθ ≈ dV/V

tanµ(109)

Possiamo scrivere tan(µ) in un altro modo, considerando che sin(µ) = 1/M

tan(µ) =1/M

√

1− 1/M2=

1√M2 − 1

(110)

Perciò l’equazione 109 diventa:

dθ =√

M2 − 1dV

V(111)

L’equazione (111) lega la variazione di angolo del flusso al numero di Mach e alla variazione divelocità. È valida per angoli infinitesimi. Per analizzare l’intera espansione di Prandtl-Meyerbisogna integrare rispetto all’angolo ∆θ. Di conseguenza:

∆θ =

∫ θ2

θ1

dθ =

∫ M2

M1

√

M2 − 1dV

V(112)

Perchè l’equazione (112) sia integrabile è necessario ricavare il legame tra V e M . Perdefinizione:

V = Ma ⇒ dV

V=

dM

M+

da

a(113)

Dobbiamo perciò ricavare il legame tra la velocità del suono a e il numero di Mach M .Essendo:

a

a0=

(

T

T0

)1/2

=

(

1 +γ − 1

2M2)

)

−1/2

(114)

da = −a0γ − 1

2M

(

1 +γ − 1

2M2

)

−3/2

dM (115)

25

e quindi:

da

a= −

(

1 +γ − 1

2M2

)1/2γ − 1

2M

(

1 +γ − 1

2M2

)

−3/2

dM =

= −γ − 1

2M

(

1 +γ − 1

2M2

)

−1

dM (116)

Riprendendo la (113):

dV

V=

dM

M+

da

a=

dM

M

(

1− γ − 1

2M2

(

1 +γ − 1

2M2

)

−1)

=

=1

1 + γ−12 M2

dM

M(117)

Sostituendo la precedente nell’equazione (112):

∆θ =

∫ θ2

θ1

dθ =

∫ M2

M1

√M2 − 1

1 + γ−12 M2

dM

M(118)

L’integrale

ν(M) =

∫

√M2 − 1

1 + γ−12 M2

dM

M(119)

è detto funzione di Prandtl-Meyer ed è solitamente indicato con il simbolo ν. Può essereintegrato in modo esatto e da:

ν(M) =

√

γ + 1

γ − 1tan−1

√

γ − 1

γ + 1(M2 − 1)− tan−1

√

M2 − 1 (120)

La costante di integrazione che comparirebbe nella precedente viene convenzionalmenteposta uguale a zero, in modo che ν(M) = 0 quando M = 1. Il suo valore non è comunqueimportante in quanto si semplificherebbe nell’equazione (??), che quindi può essere riscrittanel seguente modo:

∆θ = ν(M2)− ν(M1) (121)

La funzione di Prandtl-Meyer può essere calcolata algebricamente oppure viene spessofornita in tabelle in funzione del numero di Mach. Per conoscere il numero di Mach inseguito a un’espansione di Prandtl Meyer, il procedimento è il seguente:

1. Calcolare la funzione di Prandtl-Meyer corrispondente a M1 (ν(M1))

26

2. Calcolare ν(M2) = ν(M1) + ∆θ

3. Calcolare M2 per il quale ν(M2) è uguale al valore calcolato al punto 2 (tramite inver-sione numerica).

4. La velocità, la temperatura e la pressione dopo l’espansione possono essere calcolatetramite le relazioni isoentropiche.

8 Metodo delle Caratteristiche

8.1 Equazione del Potenziale

Consideriamo un flusso inviscido e stazionario, bidimensionale:

CONTINUITÀ: ∇ · (ρ−→V ) =∂ρu

∂x+

∂ρv

∂y= 0 (122)

Q.TÀ DI MOTO x: ∇ · (ρu−→V ) = − ∂p

∂x(123)

Q.TÀ DI MOTO y: ∇ · (ρv−→V ) = −∂p

∂y(124)

Sviluppando le precedenti:

CONTINUITÀ: ρ∂u

∂x+ ρ

∂v

∂yu∂ρ

∂x+ v

∂ρ

∂y= 0 (125)

Q.TÀ DI MOTO x: ρu∂u

∂x+ ρv

∂u

∂y= − ∂p

∂x= −∂p

∂ρρx = −a2

∂ρ

∂x(126)

Q.TÀ DI MOTO y: ρu∂v

∂x+ ρv

∂v

∂y= −∂p

∂y= −∂p

∂ρρy = −a2

∂ρ

∂y(127)

Sostituendo le equazioni (126) e (127) nell’equazione (125), e dividendo per ρ:

∂u

∂x+

∂v

∂y− u

a2

(

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y

)

− v

a2

(

u∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)

= 0 (128)

Introductiamo una funzione Φ (detta FUNZIONE POTENZIALE) tale che u = ∂Φ∂x e

v = ∂Φ∂y :

∂2Φ

∂x2+

∂2Φ

∂y2− 1

a2

[

(

∂Φ

∂x

)2∂2Φ

∂x2+

(

∂Φ

∂x

)(

∂Φ

∂y

)

∂2Φ

∂x∂y

]

− 1

a2

[

(

∂Φ

∂x

)(

∂Φ

∂y

)

∂2Φ

∂x∂y+

(

∂Φ

∂y

)2∂2Φ

∂y2

]

= 0 (129)

27

∂2Φ

∂x2

[

(1 − 1

a2

(

∂Φ

∂x

)2]

+∂2Φ

∂y2

[

(1− 1

a2

(

∂Φ

∂y

)2]

− 2

a2

(

∂Φ

∂x

)(

∂Φ

∂y

)

∂2Φ

∂x∂y= 0 (130)

L’equazione (130) rappresenta l’equazione del potenziale, che vale per flusso inviscido,stazionario, bidimensionale.

8.2 Caratteristiche

Scriviamo l’equazione del potenziale (130) nel seguente modo:

(

(1− u2

a2

)

∂2Φ

∂x2+

(

(1 − v2

a2

)

∂2Φ

∂y2− 2

uv

a2∂2Φ

∂x∂y(131)

Possiamo inoltre scrivere:

du =∂u

∂xdx+

∂u

∂ydy =

∂2Φ

∂x2dx+

∂2Φ

∂x∂ydy (132)

dv =∂v

∂xdx+

∂v

∂ydy =

∂2Φ

∂x∂ydx+

∂2Φ

∂y2dy (133)

Immaginiamo di dover trovare il valore di ∂2Φ∂x∂y dalle precedenti equazioni. Utilizzando la

regola di Cramer:

∂2Φ

∂x∂y=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(1− u2

a2 ) 0 (1 − v2

a2 )dx du 00 dv dy

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(1− u2

a2 ) −2uva2 (1 − v2

a2 )dx dy 00 dx dy

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(134)

Supponiamo di conoscere le condizioni del flusso su una linea di corrente, come rappre-sentato in figura 19. Risolvere questo sistema di equazioni serve se, date le condizioni (u, v)in un punto A, volessimo calcolare le condizioni (u, v) in un punto distande ds:

Infatti:

uB = uA =∂u

∂x|Adx+

∂u

∂y|Ady =

∂2Φ

∂x2|Adx+

∂2Φ

∂x∂y|Ady (135)

vB = vA +∂v

∂x|Adx+

∂v

∂y|Ady

∂2Φ

∂x∂y|Adx+

∂2Φ

∂y2|Ady (136)

Affinchè l’equazione (134) abbia soluzione, è necessario che il denominatore sia diverso da

28


ds dy

dx u

v−→V

❅❅❘linea di corrente

A

B

Figure 19: Linee di corrente

zero. Quindi:

(

1− u2

a2

)

dy2 + 2uv

a2dxdy +

(

1− u2

a2

)

dx2 (137)

Possiamo calcolare:

dy

dx=

−uva2 ±

√

(

uva2

)2 −(

1− u2

a2

) (

1− v2

a2

)

(

1− u2

a2

) =

=−uv

a2 ±√

u2

a2 + v2

a2 − 1(

1− u2

a2

) =

=−M2 sin(θ) cos(θ)±

√M2 − 1

1−M2 cos(θ)=

=− sin(θ) cos(θ)

sin2(µ) ±√

1sin2(µ) − 1

1− cos2 θsin2 µ

=

=− sin(θ) cos(θ)± sin2(µ) cos(µ)sin(µ)

sin2(µ) − sin2(θ)

=− sin(θ) cos(θ)± sin(µ) cos(µ)

sin2(µ)− sin2(θ)

=− sin(2θ)

2 ± sin(2µ)2

− cos2(2µ)2 − cos2(2θ)

2

=−sin(2θ)± sin(2µ)

− cos2(2µ)− cos2(2θ)

=sin(2θ)∓ sin(2µ)

cos2(2µ) cos2(2θ)(138)

29

Essendo:

sin(A) + sin(B) = 2 sin(A+B

2) cos(

A−B

2)

sin(A)− sin(B) = 2 sin(A−B

2) cos(

A+B

2) (139)

cos(A) + cos(B) = 2 cos(A+B

2) cos(

A−B

2)

L’equazione (138) diventa:

dy

dx=

sin(θ ∓ µ) cos(θ ± µ)

cos(θ + µ) cos(θ − µ)= (140)

dy

dx= tan(θ ∓ µ) (141)

L’equazione del potenziale (equazione (130)) ammette pertanto due caratteristiche, concoefficienti angolari tan(θ − µ) e tan(θ + µ).

Sulle caratteristiche, essendo il denominatore uguale a zero, anche il numeratore deveannullarsi (equazione (138. Pertanto:

(

1− u2

a2

)

dudy +

(

1− v2

a2

)

dvdx = 0 (142)

dv

du= −

(

1− u2

a2

)

(

1− v2

a2

)

dy

dx= −✟✟✟✟✟(

1− u2

a2

)

(

1− v2

a2

)

−uva2 ±

√

u2+v2

a2 − 1

✟✟✟✟✟(

1− u2

a2

)(143)

Pertanto:

V sin(θ)

V cos(θ)=

uva2 ∓

√

u2+v2

a2 − 1(

1− v2

a2

) =M2 cos(θ) sin(θ)∓

√M2 − 1

1−M2 sin(θ)= A (144)

Sviluppando:

sin(θ)dV + V cos(θ)dθ = A(cos(θ)dV − V sin(θ)dθ)

(A sin(θ) + cos(θ))dθ = (A cos(θ)− sin(θ))dV

V(145)

30

Sostitendo A:

dθ =M2 cos2(θ) sin(θ)∓

√M2 − 1 cos(θ)− sin(θ) +M2 sin3(θ)

✭✭✭✭✭✭✭✭M2 cos(θ) sin2(θ)∓

√M2 − 1 sin(θ) + cos(θ)−✭✭✭✭✭✭✭✭

M2 cos(θ) sin2(θ)

dV

V=

=M2 sin(θ)− sin(θ) ∓

√M2 − 1 cos(θ)

∓√M2 − 1 sin(θ) + cos(θ)

dV

V=

=∓√M2 − 1

✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭(

∓√M2 − 1 sin(θ) + cos(θ)

)

✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭∓√M2 − 1 sin(θ) + cos(θ)

dV

V(146)

Quindi:

dθ = ∓√

M2 − 1dV

V(147)

A parte il segno ∓, la precedente è la stessa equazione trovata per l’espansione di Prandtl-Meyer (equazione 111)). Risolvendola nello stesso modo e introducendo la funzione diPrandtl-Meyer (equazione (??)):

dθ = ∓dν (148)

Quindi sulle caratteristiche positive:

dy

dx= tan(θ + µ) dθ = dν ⇒ θ − ν = cost. (149)

Invece sulle caratteristiche negative:

dy

dx= tan(θ − µ) dθ = −dν ⇒ θ + ν = cost. (150)

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Corso di Progetto di Macchine a Fluido — Cenni di ...people.unica.it/tizianoghisu/files/2018/05/chap3.pdf · Cenni di Gasdinamica Comprimibile Tiziano Ghisu April 26, 2018 1. Contents