Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica A.A. 2015/2016, Sessione invernale

Esame di Fisica Generale I con Lab 25 Gennaio 2016, Prova Scritta TESTI E SOLUZIONI DEI PROBLEMI

PROBLEMA 1 (Fis. Gen. I Lab.) Supponiamo che la forza, applicata alla sfera nel lancio del peso ( 7,2m kg= ) sia costante in direzione

e abbia l’andamento 0 sinF F tω= ( 0 8,52F

kgp sω

= ⋅ ) nell’intervallo 02

t πω

< < , calcolare:

1. Il modulo della velocità con cui il peso lascia la mano dell’atleta 2. Il lavoro compiuto dall’atleta, se la quota del peso è aumentata di 1m durante la fase di lancio.

Soluzione Dal secondo principio:

20 0 0 00

0

sin sin ( cos ) 11,61 /tF F F Fdv t v tdt t m s

dt m m m mπωω ω ω

ω ω= ⇒ = = − = =∫ .

Il lavoro totale è: 2

2 202 2

1 1( ) 7,2(9,81 0,5 11,61 ) 5562 2

FL mg h mv m g h J

m ω= Δ + = Δ + = + ⋅ = .

PROBLEMA 2 (Fis. Gen. I Lab.) Una corona circolare conduttrice di raggi 1 10r cm= e 2 20r cm= è percorsa da una corrente di densità

21,9 /j A m= . 1. Qual è il campo magnetico nel centro della corona circolare? 2. Quale è il momento magnetico?

Soluzione Il campo magnetico generato nel suo centro da una corona circolare di larghezza dr è dato da:

0 0

2 2di jdrdBr r

µ µπ π

= = .

Integrando troviamo: 2

1

0 0 2

1

12,56ln 1,9ln2 2,632 2 6,28

r

r

rjdrB j Tr r

µ µπ π

= = = =∫ .

Il momento magnetico è dato da: 2 2

1 1

3 32 2 2 22 1 8 1( ) 3,14 1,9( 10 ) 43,75 10

3 3 3

r r

r r

r rm dm j r dr j A mπ π − −−= = = − = ⋅ = ⋅ ⋅∫ ∫

PROBLEMA 3 (Fis. Gen. I Lab.) Data l’identità

S V

fndS fdV= ∇∫ ∫ , dimostrare la legge di Archimede.

Soluzione Prendiamo come funzione ( , , )f x y z gzρ= che dà, come è noto, la pressione a profondità z in un liquido di densità ρ e sostituiamola nell’identità, abbiamo:

( )nS S V

gzndS F dS gz dVρ ρ= = ∇∫ ∫ ∫

che separata in componenti, dà: 0x

S

gzn dSρ =∫

0yS

gzn dSρ =∫

zS V

gzn dS gdV gMρ ρ= =∫ ∫ ,

in cui , ,x y zn n n sono le componenti cartesiane della normale alla superficie esterna S del corpo di volume V . Come si vede il membro a destra è il peso di liquido spostato dal corpo. Il primo membro rappresenta invece la, componente lungo l’asse Z della somma delle forze dovute alla pressione applicate sulla superficie. PROBLEMA 4 (Fis. Gen. II Lab.) Due conduttori 1f e 2f sottili, infiniti, rettilinei giacciono in un piano perpendicolarmente l’uno all’altro. Una spira rettangolare di lati 10a cm= e 20b cm= è disposta nel piano dei fili con i lati a paralleli ad 1f . Il lato più vicino ad 1f dista 1 10l cm= da 1f ed il lato b più vicino a 2f dista 2 20l cm= da 2f .

1. Se in 1f si lancia una corrente 1 10i A= , quale corrente occorre lanciare in 2f perché, nei due casi, venga messa in moto la stessa quantità di carica nella spira?

2. Se la spira è percorsa da una corrente 1i A= nel verso orario ed i versi di 1i e di 2i sono positivi degli assi coordinati X-Y, calcolare il modulo della forza agente su ciascuno dei lati più vicini ai fili.

Soluzione La quantità di carica messa in moto durante la variazione della corrente da zero al valore finale è:

0

1 1( )t

S S

dQ B ndS dt B ndSR dt R

= ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫ ,

in parole la carica è data dal flusso finale diviso per la resistenza della spira. Nel nostro caso B è

perpendicolare alla superficie della spira e ha modulo 0

2iBr

µπ

= . Pertanto il flusso generato da 1f è:

1

1

0 0 11 1

1( ) ln

2 2

l b

S l

l bdrB B ndS i a i ar l

µ µπ π

++

Φ = ⋅ = =∫ ∫ .

Equivalentemente il flusso generato da 2i è: 0 22

2( ) ln

2l a

B i bl

µπ

+Φ = .

Eguagliando i due flussi e risolvendo per 2i , abbiamo:

1

12 1

2

2

ln13,55

ln

l blai i Al abl

+

= =+

.

Sul lato a agiscono le forze esercitate dalle correnti nei fili, che sono:

601 1

12 10

2aaF iBa ii Nl

µπ

−= = = ⋅ e 2 2

2 2

60 0 22 2 2

2ln 1,1 10

2 2

l a l a

al l

l adrF i Bdr ii ii Nr l

µ µπ π

+ +−+

= = = = ⋅∫ ∫ .

Le due forze sono disconcordi e la forza totale sarà così: 60 2

1 2 1 21 2

ln 0,9 102tot a a

l aaF F F i i i Nl l

µπ

−⎛ ⎞+= − = − = ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠.

PROBLEMA 5 (Fis. Gen. II Lab.) Il diametro del k-esimo anello nero di un sistema di anelli di Newton varia da 1 1,25d mm= a 2 1d mm= quando all’aria si sostituisce un liquido. Calcolare l’indice di rifrazione n del liquido. Soluzione Per gli anelli valgono le due relazioni:

1 2d krλ= e 2 2d krnλ

= ;

dividendo membro a membro abbiamo: 21

2( )d

nd

= =1.562.

PROBLEMA 6 (Fis. Gen. II Lab.) Una cellula fotoelettrica a vuoto è costituita da una lamina piana fotosensibile (catodo) e da una griglia metallica (anodo) parallele ad una distanza tra loro 0 3l mm= . Tra di loro è applicata una differenza di potenziale 100V V= , sufficiente ad avere una corrente di saturazione. Quando il catodo viene illuminato da una sorgente posta a 1 60l cm= con luce con 500nmλ = , la corrente è 1 30i Aµ= . Calcolare:

1. Il numero di elettroni che in media arrivano all’anodo ogni 60 s. 2. Il valore della corrente quando la sorgente luminosa viene portata ad una distanza 2 90l cm= 3. Il tempo che in media impiega un elettrone ad attraversare la distanza tra catodo e anodo, se

il lavoro d’estrazione vale 0 2,08W eV= ( 346,62 10 Js−= ⋅ , 319,1 10em kg−= ⋅ ). Soluzione

1. La carica che raggiunge l’anodo in 60t s= è 6 3

1 30 10 60 1,8 10Q i t A s− −= = ⋅ ⋅ = ⋅ , il numero di elettroni sarà quindi:

316

191,8 10 1,125 101,6 10

Q Cne C

−

−

⋅= = = ⋅

⋅.

2. La quantità di luce e conseguentemente il numero di elettroni sarà ridotto del rapporto 21

2( )ll

.

Dunque la corrente sarà: 2 21

2 12

60( ) 30 ( ) 13,390

l cmi i A Al cm

µ µ= = =

3. L’energia del fotone incidente sull’anodo è: 8

34 14 1 207

3 10 / 6,62 10 6 10 39,7 10 2,485 10

m sE h h Js s J eVmγ ν − − −

−

⋅= = = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =

⋅.

L’energia dell’elettrone prodotto sarà:

19 190 2,48 2,08 0,40 0,40 1,6 10 0,64 10eE E W eV eV eV J Jγ

− −= − = − = = ⋅ ⋅ = ⋅ . La velocità d’uscita dell’elettrone dal metallo è:

195

0 312 2 0,64 10 3,75 10 /

9,1 10e

e

E Jv m sm kg

−

−

⋅ ⋅= = = ⋅

⋅

e la sua accelerazione sarà: 19

15 231 3

0

1,6 10 100 5,93 10 /9,1 10 3 10

eE eV C Va m sm ml kg m

−

− −

⋅ ⋅= = = = ⋅

⋅ ⋅ ⋅.

Dal secondo principio della dinamica abbiamo che 2

0 0 020 0

212

v v all v t at t

a− ± +

= + ⇒ = .

Scegliendo la soluzione col segno +, abbiamo 109,45 10t s−= ⋅ .