Corso di Fluidodinamica delle ... Corso di Fluidodinamica delle Macchine ¢â‚¬â€œ A.A. 2012-2013 - Dipartimento

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  • Corso di Fluidodinamica delle Macchine – A.A. 2012-2013

    - Dipartimento di Ingegneria Industriale Firenze -

    Corso di Fluidodinamica delle

    Macchine

    Parte 2b: Risoluzione di Flussi Non Viscosi (applicazioni)

    Pagina 1

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    Pagina 2

    2D Flow Near a 90° Corner (1)

    • Un flusso 2D incomprimibile, non viscoso, in prossimità di un angolo di 90° (come quello riportato in figura) viene descritto dalla seguente stream function ψ:

     2sin2 2

    r

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    Pagina 3

    2D Flow Near a 90° Corner (2)

    1. Determinare, se possibile, la funzione potenziale

    2. Se la pressione in (1) vale 30kPa, calcolare la p in (2)

    Si consideri ρ=1000kg/mc e z2=z1 .

    P1 = 30 kPa

    ?

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    Pagina 4

    2D Flow Near a 90° Corner (3) • Le velocità vr e vθ possono essere a loro volta espresse

    attraverso la stream function ψ come segue:

    • Si possono quindi calcolare le componenti di velocità radiale e tangenziale:

    • Se il campo di moto ammette l’esistenza del potenziale questo soddisfa la relazione seguente:

    r v

    r v

    r

     

     

    1

    

     

     

     2sin4

    2cos4 2sin2

    2

    rv

    rv r

    r

     

      

     

     

    rr V

    1

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    Pagina 5

    2D Flow Near a 90° Corner (4)

    • Integrando le equazioni differenziali si ha:

    • L’unico modo affinché entrambe siano valide è che le due funzioni f1 e f2 siano uguali fra loro e costanti, e per comodità, senza perdere in generalità, si pongono uguali a 0 (interessano le variazioni). Quindi:

    • Il fatto che sia possibile individuare una funzione potenziale dimostra che il campo è IRROTAZIONALE.

     

     rfrr

    frr r

    2

    22

    1

    2

    2cos22sin4

    2cos22cos4

     

     

     

     

     2cos2 2

    r

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    2D Flow Near a 90° Corner (5)

    • Si può assumere una qualsiasi stream function, ma solo per quelle che definiscono un campo irrotazionale è possibile individuare una funzione potenziale.

    • Per flussi irrotazionali è indifferente utilizzare le streamlines oppure le linee equipotenziale per caratterizzare il flusso.

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    Pagina 7

    2D Flow Near a 90° Corner (6)

    • Nell’ipotesi di flusso incomprimibile è possibile applicare il trinomio di Bernoulli tra i punti (1) e (2) per trovare la relazione tra pressione e velocità (z1=z2):

    • Il modulo di V può essere calcolato:

     2 2

    2

    112

    2

    22

    2

    11

    222 VVpp

    g

    Vp

    g

    Vp 

    

    2222 16 rvvV

    r 

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    Pagina 8

    2D Flow Near a 90° Corner (7) • La stream function poteva essere espressa anche in

    coordinate cartesiane:

    • In questo modo però sarebbe stato più complesso generalizzare l’espressione di ψ per angoli diversi da 90°. Per un generico angolo α si ha:

    quadrata) (iperbole 4cossin42sin2 2

    xyrrr  

     

     

    

    

    cos

    sin

    Ar

    Ar

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    FLUSSI A POTENZIALE 2D (tipologie base)

    • Uniforme

    • Sorgente e pozzo

    • Doppietto (pozzo-sorgente)

    • Vortice

    Essendo i flussi a potenziale governati dall’equazione di Laplace (LINEARE), i vari flussi base possono essere combinati per realizzare soluzioni particolari.

    Si ricordi che le streamlines in un flusso 2D, non viscoso, possono essere considerate come pareti solide.

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    Pagina 10

    FLUSSO UNIFORME GENERICO

     

     

    ( , ) c o s c o s ( )

    s in ( ) s in

    ( , ) c o s s in

    ( , ) c o s s in

    x y U d x U x f y

    f U f y U y

    y y

    x y U x y

    x y U y x

      

      

      

      

      

         

     

     

     

    yx U

     

     

     cos

    xy U

     

     

     sin

    Potenziale e funzione di corrente (flusso uniforme)

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    Pagina 11

    • Consideriamo un flusso che si muova radialmente come riportato in figura. Se m è la portata volumetrica per unità di lunghezza (lungo asse z) che fuoriesce dalla sorgente si ha:

    r

    m vmvr

    rr

    1

    2 2

      

    • Dal momento che la componente tangenziale del flusso è nulla, si può calcolare il valore del potenziale e della stream function integrando le relazioni già viste in precedenza.

     

       

    

     

    2

    ln 2

    0 1

    1

    2

    m

    r m

    r

    r

    r

    m

    r

    

     

     

    SORGENTE e POZZO

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    Pagina 12

    • Se m > 0 si tratta di una sorgente (flusso uscente), se m < 0 si tratta di un pozzo (flusso entrante);

    • Nell‘ origine la velocità ha una singolarità, ma questo non è un problema perché si farà sempre in modo che tali punti siano all‘ esterno del dominio fluido;

    SORGENTE e POZZO

    • Alcuni flussi reali possono essere approssimati ad una certa distanza dall’origine utilizzando pozzi o sorgenti.

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    Pagina 13

    COMBINAZIONE POZZO-SORGENTE (1)

    • Supponiamo di combinare una sorgente e un pozzo, disposti come in figura. La stream function per questo caso vale (eq. Laplace è lineare):

     

      21

    21

    tan 2

    tan

    2

     

     

     

      

     

    

    m

    m

    • Sfruttando le relazioni trigonometriche e calcolando le tangenti degli angoli (θ1 e θ2) si ottiene:

     22 0

    22

    1 sinsin2 tan

    2 ar

    mar

    ar

    arm a

    

      

      

     

    

     

     

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    • Quando a tende a 0 mentre m tende a infinito si parla di DOUBLETS (DOPPIETTO) e per questi casi si può scrivere:

    r K

    r KK

    ma

    m

    a  

     

    cos ;

    sin0 

    

    • Sorgenti, pozzi e doublets non hanno una reale controparte in natura ma aiutano a modellare fenomeni fisici reali quando sono combinati con altri flussi a potenziale (flusso intorno ad un cilindro).

    COMBINAZIONE POZZO-SORGENTE (2)

    Streamlines

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