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Meccanica: studio del moto di un corpo.
Cominciamo dal punto materiale (più semplice!!!!) Cinematica del punto materiale: branca della meccanica che studia il movimento dei corpi senza
domandarsi quali sono le cause che lo producono. Nella cinematica vengono definite le variabili necessarie per descrivere il moto dei corpi.
Introduzione alla cinematica
CINEMATICA
STUDIO DEL MOTO DAL PUNTO DI VISTA GEOMETRICO
DINAMICA
STUDIO DEL MOTO DAL PUNTO DI VISTA DELLE CAUSE
PUNTO MATERIALE: punto matematico senza dimensione dimensioni piccole rispetto al sistema che si sta studiando
Sistema di riferimento • Per descrivere il moto serve un sistema di riferimento. • Sistema di riferimento: insieme di corpi, fissi relativamente l’uno all’altro, rispetto
ai quali definiamo la posizione del corpo studiato e il suo movimento. • Esempio: la stanza nella quale ci troviamo. In tal caso la posizione del corpo che
studiamo può essere definita misurandone le distanze dalle pareti. • La scelta del sistema di riferimento è del tutto arbitraria. Sistema di coordinate • Utilizzato per dare una descrizione matematica del movimento rispetto al sistema
di riferimento. Sistema di coordinate ancorato al sistema di riferimento. • Il sistema di riferimento è qualcosa di fisico, il sistema di coordinate è qualcosa di
geometrico. • Possiamo sempre scegliere fra infiniti sistemi di coordinate quello che meglio si
presta alla descrizione del problema. Sistema di coordinate cartesiane ortogonali Sistema di coordinate polari
Punto materiale • Descrivere il moto di un corpo di forma arbitraria può essere molto complicato. • Il caso più semplice è quello del cosiddetto punto materiale, per descrivere il
quale sono sufficienti 3 coordinate cartesiane ortogonali per il moto nello spazio, mentre ne bastano 2 nel piano e 1 sola se il moto avviene lungo una retta.
Traiettoria • Un punto materiale muovendosi nello spazio occupa successivamente
un’infinità di posizioni successive. • Si chiama traiettoria il luogo dei punti occupati successivamente dal punto
materiale nel suo moto. Si tratta in genere di una linea curva. • Se la linea è chiusa il moto è limitato e il punto percorre continuamente la
medesima traiettoria, come nel caso delle orbite planetarie.
X0
Istanti t1 e t2 con posizioni corrispondenti x1 e x2
x(t)=????
Velocità media
12
12
ttxx
txvm −
−=
ΔΔ
=
dttvxtxdtdxv
t
tm ∫+=⇒=
0
)()( 0
Velocità istantanea
Moto unidimensionale
xf
x
xi
X = 0
î
Velocità media
Δx
Δx Δt
= ( xf - xi ) î ( tf - ti )
Vm = [L] [T]
m s
ti tf t
t = 0 Δt
Vm
10/3/06
Moto unidimensionale
x
t
1
n
Δt
Δx
θ
θ
x(t)
t1 tn
xn
x1
x(t) ≡ equazione oraria posizione istante per istante Piano x-t
Δx Δt
Vm = = tg θ
x1 t1 x2 t2 x3 t3 … … xn tn
t
x
P Q
Q’ Q’’
ti
Δt1
Δt2
Δt3
t3 tf t2
xi
x3 x2 xf Δx3
tangente in P
θ
Δx Δt
l i m Δt 0
Vi =
dx dt
=
modulo = tg θ
direzione data dalla retta del moto rettilineo
Δx2
Velocità istantanea
t
x
S R
θP
P
θQ θS
viP = tgθP > 0
ViQ = tgθQ > 0
viR = tgθR = 0
viS = tgθS < 0
tS
xS Q xP
xQ
xR
modulo vi = tg θ
Parte da xP, arriva in xRdove si ferma e torna indietro
)()()( vcost 0000
ttvxdttvxtxdtdxv
t
tm −+=+=⇒=== ∫
Velocità = costante
x
t
x0
t0
Moto rettilineo uniforme
Accelerazione media
Δv Δt
= ( vf - vi ) î ( tf - ti )
am = [T]
[T]
m
s2
[L]
Accelerazione istantanea
Δv Δt
l i m Δt 0
ai = d2x dt2
= dv dt
= d dt
= dx dt
variazione di v nel tempo
Accelerazione
v(t) ≡ velocità istante per istante Piano v-t
Δv Δt
am = = tg θ
v1 t1 v2 t2 v3 t3 … … vn tn
v
t
P
Q
Δt
Δv
θ
v(t)
tP tQ
vQ
vP θ
)t(x
14)t(vdtda xx ==
2735)( tttx ++= t143vx += 14ax =
2t7t35)t(x ++=
t143)t(xdtdvx +==
)t(xdtd)t(x
dtd
dtd)t(v
dtda 2
2
xx ===
)t(xdtdvx =
θ
14
10
06
02 14tg =θ
)()()( v cost 0000
ttavdttavtadtdxa
t
tm −+=+=⇒=== ∫
[ ] 200000000 )(
21)()()()(
0
ttattvxdtttavxdttvxtxt
t−+−+=−++=+= ∫∫
inoltre per la posizione
12
12
ttvv
tvam −
−=
ΔΔ
= dttavtdtdva
t
t∫+=⇒=0
)()( v 0
Se l’accelerazione è costante
Moto rettilineo uniformemente accelerato
)()(
)()()(
)()()(
txdtvtvdtaa
tvdttvdtddtatv
dtda
txtxdtddtvtx
dtdv
xxxx
xxxxx
xx
=⇒=⇒
==→=
==→=
∫∫
∫∫
∫∫
)t(ax
5)t(ax =
x0xx vdt)t(av += ∫
dtvdt)t(a(dt)t(v)t(x x0xx ∫∫ ∫∫ +==
002
0 5215)()( xtvtdtvdttdttvtx xxx ++=+== ∫∫∫
xxx vtdttav 05)( +== ∫
xx ata 0)( = 2000 2
1)( tatvxtx xx ++=tavv xxx 00 +=
002
000
000
0
21)()()(
)(
)(
xtvtadtvtadttvtx
vtadtadttav
akta
xxxxx
xxxxx
x
++=+==
+===
==
∫∫
∫∫
t
v
xv0
t
a
xa0
t
x
0x
java
ALCUNI ESEMPI
Esempio Sia data la legge oraria di una particella in movimento, che, esprimendo tutte le grandezze in unità del SI, sia:
x(t)= 3t2 + 6t - 2
Calcolare la velocità nell’istante t=2 e l'accelerazione in quello stesso istante.
Svolgimento: Sapendo che la velocità istantanea è dx/dt: v=x'(t)= 6t + 6 Quindi, la velocità nell'istante t=2 è: v(2)=x'(2)= 6.2 + 6 = 18 Ovviamente anche questo valore sarà in unità SI, ovvero in m/s. Mentre l'accelerazione, essendo la derivata della velocità rispetto al tempo è
a(t)=x''(t) = 6
(in questo caso particolare, a è una costante, cioè non dipende da t. Però è bene sottolineare che nel caso generale anche a dipende dal tempo)
Accelerazione di gravità g=9.8 m/s2.
Applico le equazioni viste in precedenza considerando quelle che sono le condizioni iniziali ossia • g • lascio l’oggetto da una certa quota h con velocità v=0
Avrò:
gtttavtga −=−+=⇒−== )()( v cost 00
[ ] 20 2
1)()(0
gthdtgthdttvxtxt
t−=−+=+= ∫∫
Moto verticale
da cui t=24.73 s v=242.61 m/s ossia 873 Km/h!!!!
gtttavtga −=−+=⇒−== )()( v cost 00
[ ] 20 2
1)()(0
gthdtgthdttvxtxt
t−=−+=+= ∫∫
−=
−=
gttv
gthtx
)(
21)( 2
Esempio Esempio
Goccia di pioggia che cade da 3000 m. Con che velocità arriva al suolo??
h=3000 m
a=-kv
kdtvdv
kvdtdv
−=
−=
ktvvkdt
vdvv
v
t
t−=⇒−=∫ ∫
0
ln0 0 ( )
−=
=
−
−
kt
kt
ekvx
evv
10
0
Moto rettilineo smorzato
Moto periodico: quando ad intervalli di tempo regolari la particella torna a passare nella stessa posizione con la stessa velocità.
Se immaginiamo una pallina che cade verticalmente e rimbalza in modo perfettamente elastico su un piano orizzontale, oppure una biglia che rimbalza fra le sponde di un biliardo urtandole perpendicolarmente, così da muoversi avanti e indietro lungo un segmento di retta, abbiamo due esempi (anche se solo ideali) di moto periodico unidimensionale.
Si tratta di due moti diversi: qual è la legge oraria e come è fatto il grafico di x(t) nei due casi?
Consideriamo un particolare tipo di moto periodico, che ha particolare importanza anche perché alla sua descrizione si rifanno anche numerosi altri fenomeni fisici, non limitati al solo campo della meccanica.
Il moto a cui ci riferiamo si chiama moto armonico.
Moto periodico
Si ha un moto armonico semplice lungo un asse rettilineo quando la sua legge oraria è del tipo:
x( t ) = A cos (ωt + φ)
A - ampiezza.
ω - frequenza angolare o pulsazione, ed ha dimensione del reciproco di un tempo.
φ - argomento del coseno al tempo t=0; quindi cambiare la fase è equivalente a ridefinire l'origine dei tempi.
cos (ω t + φ ) varia tra -1 e 1. L'ampiezza in cui si muove l'oggetto è 2A.
Se passa un tempo T=2π / ω, φ cambia proprio di 2π .
T - esprime la durata di un'oscillazione completa. Si chiama periodo del moto.
Moto armonico
Esiste un'ultima quantità che viene indicata generalmente con f o con ν la quale è uguale all'inverso di T.
Si chiama frequenza e descrive quanti angoli giri compie l'argomento del coseno nell'unità di tempo.
Visto che un giro sono 2π radianti, è evidente che vale la relazione
f=1/T= ω / 2π
Questa relazione (con tutte le sue possibili inverse) può essere considerata come definizione di frequenza e pulsazione (una volta definito il periodo, o di periodo e frequenza (una volta definita la pulsazione) ecc.
Abbiamo ora gli elementi per analizzare velocità ed accelerazione dei moti armonici. Se deriviamo la legge oraria in funzione del tempo otteniamo
Controlliamo le dimensioni e verifichiamo che v è effettivamente una velocità: [v]=[LT-1].
Deriviamo ancora ed otterremo l'accelerazione:
notiamo che in particolare
L’ accelerazione è proporzionale allo spostamento dallo zero, secondo un fattore di proporzionalità negativo: tipico dei moti armonici. Dalla costante di proporzionalità è possibile dedurre T (ovvero f, ovvero ω)
)sin()( ϕωω +−== tAdtdxtv
)cos()( 2 ϕωω +−== tAdtdvta
)()( 2 txta ω−=
Moto periodico: velocità ed accelerazione
T
)tcos(A)t(x ϕω +=
)sin()( ϕωω +−= tAtv
)cos()( 2 ϕωω +−= tAta
Moto periodico: grafico di x, v ed a
