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26 septembre 2017 Créé par : plusdebonnesnotes

Corrigé, Mathématiques, Seconde

Repérages dans le plan, géométrie analytique

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Corrigé, Mathématiques, Seconde Repérages dans le plan, géométrie analytique

Énoncé

Corrigé rédigé et détaillé

Exercice 1

Question 1 On sait que 𝐼 est le milieu du segment 𝑁𝑃 donc on peut calculer les coordonnées de 𝐼 à partir de celles des

points 𝑁 et 𝑃 :

D’une part :

𝑥% =𝑥' + 𝑥)

2

𝑥% =−5 + −2

2

𝑥% = −72

D’autre part :

𝑦% =𝑦' + 𝑦)

2

𝑦% =1 + −1

2

𝑦% = 0

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Finalement on peut dire que le point 𝐼 a pour coordonnées : 𝐼 − 23; 0 .

Question 2

Rappel de cours Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu.

On souhaite que le quadrilatère 𝑀𝑁𝑅𝑃 soit un parallélogramme. Donc ses diagonales se coupent en leur milieu. Ainsi 𝐼 est le milieu du segment 𝑀𝑅 :

Finalement, les coordonnées de 𝑅 sont −9;−3 .

Voici une figure pour mieux comprendre :

Exercice 2

Question 1 Calculons les distances demandées :

𝐴𝐵 = 𝑥; − 𝑥< 3 + 𝑦; − 𝑦< 3

𝐴𝐵 = 4 − −13+ 17 − −8

3

𝐴𝐵 = 25 + 625

𝐴𝐵 = 650

𝑥% =𝑥@ + 𝑥A

2

−72=2 + 𝑥A2

2× C−72D = 2 + 𝑥A

𝑥A + 2 = −7𝑥A = −7 − 2𝑥A = −9

𝑦% =𝑦@ + 𝑦A

2

0 =3 + 𝑦A2

2×0 = 3 + 𝑦A𝑦A + 3 = 0𝑦A = −3

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Calculons 𝐴𝐶 :

𝐴𝐶 = 0,5 + 1 3 + −0,5 + 8 3𝐴𝐶 = 2,25 + 56,25𝐴𝐶 = 58,5

Calculons 𝐶𝐵 :

𝐶𝐵 = 0,5 − 4 3 + −0,5 − 17 3𝐶𝐵 = 12,25 + 306,25𝐶𝐵 = 318,5

Question 2 A la calculatrice on constate que 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 = 𝐴𝐵

Question 3 On en déduit que les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont alignés.

Exercice 3

Question 1 Voir figure suivante :

Pour tracer le cercle circonscrit, on trouve d’abord son centre avec l’intersection des trois médiatrices des trois côtés du triangle.

Question 2 Calculons la distance 𝐸𝐴 :

𝐸𝐴 = 8,5 − 6 3 + 6 − 1 3𝐸𝐴 = 6,25 + 25

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𝐸𝐴 = 31,25

Calculons 𝐸𝐵 :

𝐸𝐵 = 8,5 − 3 3 + 6 − 5 3𝐸𝐵 = 30,25 + 1𝐸𝐵 = 31,25

Calculons 𝐸𝐷 :

𝐸𝐷 = 8,5 − 11 3 + 6 − 1 3𝐸𝐷 = 6,25 + 25𝐸𝐷 = 31,25

On constate que 𝐸𝐴 = 𝐸𝐵 = 𝐸𝐷 donc 𝐸 est bien le centre du cercle circonscrit au triangle 𝐴𝐵𝐶.

Question 3 Nous venons de voir que 𝐸 est le centre du cercle circonscrit. Donc 𝐴𝐸 est également la médiatrice du segment 𝐵𝐷 . On en déduit que le triangle 𝐵𝐼𝐴 est rectangle en 𝐼.

Question 4 On sait que dans un triangle rectangle le centre 𝐹 du cercle circonscrit est situé sur le milieu de l’hypoténuse

𝐴𝐵 donc :

𝑥J =𝑥< + 𝑥;

2

𝑥J =6 + 32

𝑥J =92

et :

𝑦J =𝑦< + 𝑦;

2

𝑦J =1 + 52

𝑦J = 3

Finalement, les coordonnées de 𝐹 sont : K3; 3