2nde Corrigé et barème du devoir commun (sujet B)

Exercice 3 (8 points)

1) Etude de l’échantillon du lundi

a) Tableau 0,5

Temps d’attente ix (en min) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nombre de clients (effectifs) 6 10 11 23 16 12 15 4 1 2

Effectifs cumulés croissants 6 16 27 50 66 78 93 97 98 100

b) L’effectif total 100N = est pair. 0,5

Donc la médiane est égale à la moyenne des valeurs de rangs 502

N= et 1 51

2

N+ = . 0,5

4 54,5

2Méd

+= = . La médiane est égale à 4,5 min. 0,5

c) 254

N= . Donc le premier quartile est la 25ème valeur 0,5. 1 3Q = min. 0,5

375

4

N= . Donc le premier quartile est la 75ème valeur 0,5. 3 6Q = min. 0,5

d) Il y a 100 78 22- = clients qui attendent au moins 7 minutes aux caisses. 0,5

Cela correspond à 22

22%100

= des clients.

Puisque 22% 15%> , le directeur doit ouvrir une nouvelle caisse le lundi. 0,5

2) Etude de l’échantillon du vendredi

Temps d’attente iy (en min) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Nombre de clients (effectifs) 4 10 8 12 9 18 13 10 5 6 3 2

(ce tableau n’est pas demandé)

4 1 10 2 ..... 2 12 5825,82

100 100y

´ + ´ + + ´= = = calcul : 0,5 ; résultat : 0,5

Le temps d’attente moyen est égal à 5,82 min.

3) Comparaison des deux échantillons

a) Le vendredi, il y a 4 10 8 22+ + = clients qui attendent 3 minutes ou moins. 0,5

Ce qui correspond à 22

22%100

= des clients.

Puisque 22% 25%< , l’information est fausse. 0,5

b) Le lundi, il y a 78 clients qui qualifient leur temps d’attente acceptable. 0,25

Le vendredi, il y a 4 10 8 12 9 18 61+ + + + + = clients qui qualifient leur temps d’attente acceptable. 0,5

Puisque 78 61¹ , l’information est fausse. 0,25

Exercice 4 (8 points)

1) Figure. ( )1;5A , ( )4;4B et ( )3;1C 1 (retirer 0,5 par point mal placé)

2) Poser le calcul d’une longueur avec (ou sans) une formule (valoriser le début d’un calcul) : 0,5

( ) ( )2 2

1 4 5 4 9 1 10BA = - + - = + = 0,5 et ( ) ( )2 2

3 4 1 4 1 9 10BC = - + - = + = 0,5.

Puisque BA BC= , on en déduit que le triangle ABC est isocèle en B.

3) On admet que 20AC = .

On a alors 2 20AC = et 2 2 10 10 20BA BC+ = + = . Ainsi 2 2 2AC BA BC= + 0,5

D’après la réciproque du théorème de Pythagore 0,5, le triangle ABC est rectangle en B.

4) Soit K le milieu de [ ]AC . 1 3

22

Kx+

= = 0,5 et 5 1

32

Ky+

= = 0,5. On obtient ( )2;3K . (Placer K : 0,5)

5) a) On construit le point D symétrique de B par rapport à K. 0,5

b) K est donc le milieu de [ ]BD .

Ainsi 4 4

2 et 3 4 4 et 4 6 0 et 2 2 2

0,5 0,5D DD D D D

x yx y x y

+ += = Û + = + = Û = = . On obtient ( )0;2D .

(mettre seulement 0,5 si l’élève calcule les coordonnées du milieu de [BD] et retrouve K)

6) ABCD est un parallélogramme car ses diagonales [ ]AC et [ ]BD se coupent en leur milieu K. 0.5

Puisque le triangle ABC est rectangle en B, ABCD est alors un rectangle. 0.5

Puisque BA BC= , on en conclut que ABCD est un carré. 0.5

Exercice 5 (5 points)

1) 2 25 25AF = = et 2 2 2 24 3 16 9 25AG FG+ = + = + = 0,5 . Ainsi 2 2 2AF AG FG= + 0,5.

D’après la réciproque du théorème de Pythagore 0,5, le triangle AFG est rectangle en G.

2) Puisque les points A, G et E sont alignés, on en déduit que ( ) ( )GF AE^ 0,5.

Puisque ( ) ( )/ /GF DE , on en déduit que ( ) ( )DE AE^ 0,5.

Par conséquent, le triangle ADE est rectangle en E.

3) Les points F, A, B d’une part et G, A, C d’autre part sont alignés dans le même ordre 0,5.

61,2

5

AB

AF= = et

4,81,2

4

AC

AG= = 0,5. On a donc

AB AC

AF AG= 0,5.

D’après la réciproque du théorème de Thalès 0,5, on en déduit que ( ) ( )/ /FG BC 0,5.

(accepter en conclusion une réponse cohérente avec les calculs)

2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

-6

0 1

1

x

y

I

J

A

B

C

D

K

O