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TRABAJO DE MATEMATICAS III FINAL
PERTENECE A: GERARDO JOSE PLATA RODRIGUEZ
GRUPO: BD
PROFESOR: IVAN MENDOZA
UNIVERSIDAD AUTONOMA DEL CARIBE
BARRANQUILLA/ATLANTICO
2011
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Coordenadas Esféricas
El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que lascoordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un puntomediante una distancia y dos ángulos.
En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tresmagnitudes: el radio r, el ángulo polar o colatitud θ y el azimut φ.
Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margenes de 90º a -90º (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También
puede variar la medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj ocontrarreloj, y de 0º a 360º (0 a 2π en radianes) o de -180º a +180º (-π a π).
Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado.
Relación con las coordenadas cilíndricas
Como sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, estáel de las coordenadas cilíndricas, que se relaciona con el de las esféricas por lasrelaciones
y sus inversas
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Coordenadas Cilíndricas
En el sistemas de coordenadas cilíndricas un punto P del espacio tridimensional
está representado por la terna ordenada (r,θ,z), donde r y el θ son lascoordenadas polares de la proyección de P en el plano xy y z es la distancia
dirigida del plano xy a P.
Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Rectangulares
Las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas que tienen simetría alrededor
de un eje, en ese caso se selecciona el eje z de manera que coincida con el eje de
simetría
Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Cilíndricas
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Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Esféricas
El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde
hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto.
Ejemplo
Convertir el Punto a coordenadas cilíndricas.
Encontramos
Ahora encontramos
el cuadrante donde es negativo (-3) y es positivo (3) es el IV
cuadrante.
Ahora encontramos :
Entonces, el punto en coordenadas cilíndricas es:
Teorema de Green
En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre una integral de
línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región
plana D limitada por C . El teorema de Green se llama así por el científico
británico George Green y es un caso especial del más general teorema de Stokes.
El teorema afirma:
Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por
trozos, en el plano y sea D la región limitada por C .
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Si L y M tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que
contiene D ,
A veces la notación
se utiliza para establecer que la integral de línea está calculada usando la
orientación positiva (antihoraria) de la curva cerrada C .
Relación con el teorema de la divergencia
El teorema de Green es equivalente a la siguiente analogía bidimensional
del teorema de Stokes:
donde es el versor normal saliente en la
frontera.
Para ver esto, considere la unidad normal en la parte derecha de la ecuación.
Como es un vector apuntando tangencialmente a través de unacurva, y la curva C está orientada de manera positiva (es decir, en contra del
sentido de las agujas del reloj) a través de la frontera, un vector normal saliente
sería aquel que apunta en 90º hacia la derecha, el cual podríaser .
El módulo de este vector es . Por lo tanto .
Tomando los componentes de , el lado derecho se convierte en
que por medio del teorema de Green resulta:
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Teorema de Stokes
El teorema de Stokes en geometría diferencial es una proposición sobre
la integración de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo
vectorial. Se nombra así por George Gabriel Stokes (1819-1903), a pesar de que
la primera formulación conocida del teorema fue realizada por William Thomson yaparece en una correspondencia que él mantuvo con Stokes.
El teorema fundamental del cálculo establece que la integral de una función f en
el intervalo [a , b ] puede ser calculada por medio de una antiderivada F de f :
El teorema de Stokes es una generalización de este teorema en el siguientesentido:
Para la F elegida, . En el lenguaje de las formas diferenciales es decir
que f (x ) dx es la derivada exterior de la 0-forma (como por ejemplo una
función) F : dF = f dx . El teorema general de Stokes aplica para formas
diferenciales mayores ω en vez de F .
En un lenguaje matemático, el intervalo abierto (a , b ) es una variedadmatemática unidimensional. Su frontera es el conjunto que consiste en los dos
puntos a y b . Integrar f en ese intervalo puede ser generalizado como integrar
formas en una variedad matemática de mayor orden. Para esto se necesitan
dos condiciones técnicas: la variedad matemática debe ser orientable, y la
forma tiene que ser compacta de manera que otorgue una integral bien
definida.
Los dos puntos a y b forman parte de la frontera del intervalo abierto. Más
genéricamente, el teorema de Stokes se aplica a variedades orientadas M con
frontera. La frontera ∂M de M es una variedad en sí misma y hereda la
orientación natural de M . Por ejemplo, la orientación natural del intervalo da
una orientación de los dos puntos frontera. Intuitivamente a hereda la
orientación opuesta a b , al ser extremos opuestos del intervalo. Entonces,
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integrando F en los dos puntos frontera a , b es equivalente a tomar la
diferencia F (b ) − F (a ).
Por lo que el teorema fundamental relaciona la integral de una función sobre un
intervalo, con una integral o suma de la primitiva de la función en los límites que
encierran dicho intervalo:
Por otro lado el teorema de Green hace algo similar en dos dimensiones, relaciona
la integral a lo largo de una curva simple con la integral de una combinación de
derivadas sobre un área limitada por la curva simple:
Similarmente el teorema de la divergencia relaciona la integral de una función
sobre una superficie con la integral de una combinación de derivadas sobre el
interior del conjunto:
El teorema de Stokes generaliza todos estos resultados, relacionando la integral
sobre una frontera con la integral de una función "derivada" sobre el interior de la
región limitada por la frontera.
[editar]Formulación general
Sea M una variedad de dimensión n diferenciable por trozos orientada compacta y
sea ω una forma diferencial en M de grado n -1 y de clase C¹. Si ∂ M denota el
límite de M con su orientación inducida, entonces
aquí d es la derivada exterior, que se define usando solamente la estructurade variedad. El teorema debe ser considerado como generalización
del teorema fundamental del cálculo y, de hecho, se prueba fácilmente
usando este teorema.
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El teorema se utiliza a menudo en situaciones donde M es una subvariedad
orientada sumergida en una variedad más grande en la cual la forma ω se
define.
El teorema se extiende fácilmente a las combinaciones lineales de las
subvariedades diferenciables por trozos, las, así llamadas, cadenas. El
teorema de Stokes demuestra entonces que las formas cerradas
definidas módulo una forma exacta se pueden integrar sobre las cadenas
definidas módulo borde. Ésta es la base para el apareamiento entre
los grupos de homología y la cohomología de de Rham.
El clásico teorema de Kelvin-Stokes
que relaciona la integral de superficie del rotacional del campo
vectorial sobre una superficie Σ en el 3-espacio euclidiano a la integral de
línea del campo vectorial sobre su borde, es un caso especial del
teorema de Stokes generalizado (con n = 2) una vez que identifiquemos
el campo vectorial con una 1-forma usando la métrica en el 3-espacio
euclidiano.
Asimismo el teorema de Ostrogradsky-Gauss o Teorema de la
divergencia:
es un caso especial si identificamos un campo vectorial con la n -1 forma obtenida
contrayendo el campo vectorial con la forma de volumen euclidiano.
El teorema fundamental del cálculo y el teorema de Green son también casos
especiales del teorema de Stokes generalizado.
La forma general del teorema de Stokes que usa formas diferenciales es de más
alcance que los casos especiales, por supuesto, aunque los últimos son más
accesibles y a menudo son considerados más convenientes por físicos e
ingenieros.
Otra forma de escribir el mismo teorema es la siguiente:
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Donde es un campo vectorial cualquiera.
Establece que la integral de superficie del rotacional de un campo vectorial sobre
una superficie abierta es igual a la integral (curvilínea) cerrada del campo
vectorial a lo largo del contorno que limita la superficie.
Teorema de la divergencia o de GAUSS
En cálculo vectorial, el teorema de la divergencia, también llamado teorema de
Gauss o teorema de Gauss-Ostrogradsky, teorema que relaciona el flujo de
un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de
su divergencia en el volumen delimitado por dicha superficie. Intuitivamente se
puede concebir como la suma de todas las fuentes menos la suma de todos los
sumideros da el flujo de salida neto de una región . Es un resultado importante
en física, sobre todo en electrostática y en dinámica de fluidos. Desde el punto de
vista matemático es un caso particular del teorema de Stokes.
Historia
El teorema fue descubierto originariamente por Joseph Louis Lagrange en 1762, e
independientemente por Carl Friedrich Gauss en 1813, por George Green en 1825y en 1831 por Mikhail Vasilievich Ostrogradsky, que también dio la primera
demostracion del teorema. Posteriormente, variaciones del teorema de
divergencia se conocen como teorema de Gauss , el teorema de Green , y teorema
de Ostrogradsky .
Enunciado
Sean y dos subconjuntos abiertos en donde es simplemente
conexo y el borde de , es una superficie regular o regular a trozos y cerrada.
Sea , un campo vectorial de clase , es decir, cuenta con
derivadas parciales de primer orden continuas.
Este resultado es una consecuencia natural del Teorema de Stokes, el cual
generaliza el Teorema fundamental del cálculo. El teorema fue enunciado por el
matemático alemán Carl Friedrich Gaussen 1835, pero no fue publicado
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hasta 1867. Debido a la similitud matemática que tiene el campo eléctrico con
otras leyes físicas, el teorema de Gauss puede utilizarse en diferentes problemas
de física gobernados por leyes inversamente proporcionales al cuadrado de la
distancia, como la gravitación o la intensidad de la radiación. Este teorema recibe
el nombre de ley de Gauss y constituye también la primera de las ecuaciones deMaxwell.
![átomo de hidrógeno [Modo de compatibilidad]depa.fquim.unam.mx/amyd/archivero/ATOMO_HIDROGENO_21388.pdf · Ecuación de Schroedinger en coordenadas esféricas polares. 0 1 1 1 2](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/61383da60ad5d206764922bf/tomo-de-hidrgeno-modo-de-compatibilidaddepafquimunammxamydarchiveroatomohidrogeno21388pdf.jpg)
