Contrôlabilité des moments pour les équationssemi-linéaires. Application à l’équation deKhokhlov-Zabolotskaya-Kuznetsov (KZK)

Anna Rozanova-Pierrat

MAS, École Centrale de Paris

29 juin 2011

Plan

1 Introduction

2 MéthodeÉléments de la démonstrationPrécisions sur les dimensions des voisinages d’existences

3 Équation KZKIntroduction du modèleAnalyse de l’équation KZK

4 Contrôlabilité des moments pour l’équation KZKProblème linéaire directProblème linéaire inverseProblème perturbéDifficultés dans le problème non-linéaire avec (uux)x

Plan

1 Introduction

2 MéthodeÉléments de la démonstrationPrécisions sur les dimensions des voisinages d’existences

3 Équation KZKIntroduction du modèleAnalyse de l’équation KZK

4 Contrôlabilité des moments pour l’équation KZKProblème linéaire directProblème linéaire inverseProblème perturbéDifficultés dans le problème non-linéaire avec (uux)x

Collaboration

C. Bardos (LJLL, Paris 7)

M.F. Sukhinin (URAP, Moscou)

M. Fink, M. Tanter, T. Le Pollès (Institut Laugevin, ESPCI)

Publications

A.R.-P. Math. Mod. Meth. Appl. Sci., Vol. 18, No. 5, 2008, pp.781–812.

A.R.-P. Commun. Math. Sci., Vol 7, No. 3, 2009, pp. 679–718.

A.R.-P. Applicable Analysis. Vol 89, No. 3, 2010, pp. 391–408.

A. R. Math. Notes, Vol. 76, No. 4, 2004, pp. 511–524.

A. R. Diff. Equ., Vol. 40, No. 6, 2004, pp. 853–872.

Introduction Méthode KZK Contrôlabilité

Type de problèmes sur la contrôlabilité des moments

Pour un domaine connexe borné Ω ⊂ Rn avec ∂Ω ∈ C2 (n ≥ 2),ST = ∂Ω× [0,T ],

ut −∆u = h(x , t)f (t)u|t=0 = 0,u|ST

= 0∫Ω u(x , t)ω(x)dx = χ(t)

Définition

La fonction f (t) est une solution du problème inverse pour h, ω,χ données, si f ∈ L2(0,T ) telle que la solution u du problème

direct avec cette fonction f satisfasse la condition deredétermination.

5 / 36

Introduction Méthode KZK Contrôlabilité

Bibliographie

V. Soloviev (1985) équations paraboliques linéaires∫

Ωu(x , t)ω(x)dx = χ(t)

A. Prilepko, V. Soloviev (1987) u(x0, t) = χ(t)

A. Prilepko, A. Kostin (1992) équations paraboliqueslinéaires périodiques en temps

∫ T

0u(x , t)ω(t)dt = χ(x)

A. Prilepko, I. Tihonov (1994) équation linéaire abstraite

∫ T

0u(t)dµ(t) = ψ

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Introduction Méthode KZK Contrôlabilité

Bibliographie

RemarqueT∫0

u(t)dµ(t) = ψ généralise la condition de redétermination finale

et intégrale à la fois.

1 Redétermination finale u(T ) = ψSi µ(t) est une fonction escalier,

α1u(t1) + α2u(t2) + ... = ψ,

où ti ∈ [0,T ], αi : Σ|αi | <∞.2 Redétermination intégrale Si µ(t) est une fonction

absolument continue, alors µ′(t) est une fonction sommable,T∫0

µ′(t)u(t)dt = ψ.

6 / 36

Introduction Méthode KZK Contrôlabilité

Bibliographie

A. Prilepko, D. Orlovsky, I. Vasin “Methods for solvinginverse problems in mathematical physics”, New York, 1999.Problèmes inverses linéaires pour les équationshyperboliques (1 et 2 ordres) ; de transport radiatif ;de Boltzmann ; de Navier-Stokes incompressible ; équationsabstraites

A. Popov, I. Tihonov (2004) résolution du problème non local

∂tu −u = 0, x ∈ Rn, 0 ≤ t ≤ T

1T

∫ T0 u(x , t)dt = φ(x) ∈ C(Rn)

A. R-P (2004) problèmes inverses semi-linéaires pourl’équation de la chaleur et pour une équation abstraite

A. R-P (2010) équation KZK linéaire et perturbée

(u(x , t), ω(x))Hs (Ω) = χ(t)6 / 36

Plan

1 Introduction

2 MéthodeÉléments de la démonstrationPrécisions sur les dimensions des voisinages d’existences

3 Équation KZKIntroduction du modèleAnalyse de l’équation KZK

4 Contrôlabilité des moments pour l’équation KZKProblème linéaire directProblème linéaire inverseProblème perturbéDifficultés dans le problème non-linéaire avec (uux)x

Introduction Méthode KZK Contrôlabilité Éléments de la démonstration Voisinages

Idées générales

ut − Au = h(x , t)f (t) (1)

u|t=0 = 0, u|∂Ω = 0 (2)

l(u) =

∫

Ωu(x , t)ω(x)dx = χ(t) (χ(0) = 0) (3)

1 Soit le problème linéaire direct bien posé :pour tout F (x , t) = h(x , t)f (t) ∈ Y ∃!u ∈ X telle que

‖u‖X ≤ C‖F‖YRemarque

A est un opérateur fermé linéaire

D(A) est dense dans un espace de Banach E ⊆ L2(Ω)

A est générateur d’un semi-groupe de classe C0

Si A est un opérateur abstrait : Y = C1([0,T ],E ) etX = C1([0,T ],E ) ∩ C([0,T ],D(A))

Si A = : Y = L2(QT ) et X = H2,1(QT ) ∩ H10 (QT )

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Introduction Méthode KZK Contrôlabilité Éléments de la démonstration Voisinages

Idées générales

ut − Au = h(x , t)f (t)

u|t=0 = 0, u|∂Ω = 0

l(u) =

∫

Ωu(x , t)ω(x)dx = χ(t)

1 Soit le problème linéaire direct bien posé2 Soit le problème linéaire inverse bien posé : il existe une

unique solution f ∈ L2(0,T )

Remarque

ω(x) est telle que A∗ω ∈ L2(Ω) et, si ∂Ω 6= ∅, ω est à supportcompact dans Ω

χ ∈ H1(0,T ) et χ(0) = 0

h(x , t) est telle que h ∈ Y ⊆ L2(QT ), et ‖h(·, t)‖L2(Ω) estbornée sur [0,T ]

|∫Ω h(x , t)ω(x)dx | ≥ δ > 0 ∀t ∈ [0,T ]8 / 36

Introduction Méthode KZK Contrôlabilité Éléments de la démonstration Voisinages

Idées générales

ut − Au = h(x , t)f (t)

u|t=0 = 0, u|∂Ω = 0

l(u) =

∫

Ωu(x , t)ω(x)dx = χ(t)

1 Soit le problème linéaire direct bien posé2 Soit le problème linéaire inverse bien posé : il existe une

unique solution f ∈ L2(0,T )

Remarque

Le semi-groupe S(t) généré par A est tel que

‖S(t)‖ ≤ Me−βt avec les constantes M ≥ 1, β > 0

(I − A)φ(t) = χ′(t) ⇒ ‖A‖L(Z ,Z) < 1

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Introduction Méthode KZK Contrôlabilité Éléments de la démonstration Voisinages

Idées générales

ut − Au = h(x , t)f (t)

u|t=0 = 0, u|∂Ω = 0

l(u) =

∫

Ωu(x , t)ω(x)dx = χ(t)

1 Soit le problème linéaire direct bien posé2 Soit le problème linéaire inverse bien posé

Alors pour la non-linéarité G : X → Y

strictement Fréchet-différentiable

G(0) = G ′(0) = 0

le problème inverse semi-linéaire a une unique solution f dansun voisinage de zéro de L2(0,T ) pour χ ∈ H1(0,T ) suffisammentpetit en norme.

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Introduction Méthode KZK Contrôlabilité Éléments de la démonstration Voisinages

Exemples des non-linéarités et de problèmes

Soit (Ω,Σ, µ) un espace muni de la mesure µ et t, s ∈ Ω.

1 u(t) 7→ g(t, u(t)) l’opérateur de Nemytski,2 u(t) 7→ ∫

Ω

K (t, s, u(s))dµ(s) l’opérateur de Urysohn,

3 u(t) 7→ ∫Ω

K (t, s)g(s, u(s))dµ(s) l’opérateur de Hammerstein.

équation des ondes amorties

équation KZK linéarisée

équations paraboliques

. . .

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Introduction Méthode KZK Contrôlabilité Éléments de la démonstration Voisinages

Problème semi-linéaire direct

On a ∀ F (x , t) = h(x , t)f (t) ∈ Y ∃!u ∈ X telle que

‖u‖X ≤ C‖F‖Y

Définition

Espace des solutions

Hdef= v ∈ X |∃ F ∈ Y :

v est une solution du problème linéaire direct

Alors,

l’opérateur L = d/dt − A est un isomorphisme isométriqueH −→ LH = Y

‖u‖H = ‖Lu‖Y(H, ‖ · ‖H) est un espace de Banachl’inclusion H ⊂ Y est continue

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Introduction Méthode KZK Contrôlabilité Éléments de la démonstration Voisinages

Problème semi-linéaire direct (existence locale)

Lu − Gu = F

G : H → Y est strictement Fréchet-différentiable avecG ′(0) = 0

L : H → Y est un isomorphisme

⇒ D’après le théorème de la fonction inverse,

ξ : u(t) 7−→ Lu(t)−Gu(t) est un difféomorphisme local de classe C1

U ′ ⊂ H → V ′ ⊂ Y

⇒ existence locale d’une solution unique

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Introduction Méthode KZK Contrôlabilité Éléments de la démonstration Voisinages

Problème semi-linéaire inverse

Soit η = ξ−1 : V ′ → U ′ l’application inverse,η : F 7−→ u, où u est une solution de Lu − Gu = F .

l(F ) = (h(x , t), ω(x))L2 (Ω)f (t)def= ϕ

Comme F (t) = h(x , t) ϕ(h(x ,t),ω(x))L2 (Ω)

def= Λ(ϕ), on considère

P : E → H, P(ϕ) = η [Λ(ϕ)] (= u !),

⇒ P est strictement Fréchet-différentiable.

Remarque

On cherche la solution du problème inverse semi-linéaire avecF (t) = Λ(ϕ) sous la forme

u = P(ϕ)

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Introduction Méthode KZK Contrôlabilité Éléments de la démonstration Voisinages

Problème semi-linéaire inverse

M : Z → Z ,

M : ϕ 7−→ϕ+

∫

Ω[P(ϕ)]A∗ω(x)dx +

∫

ΩG [P(ϕ)]dω(x)x

.

Mϕ(t) = χ′(t)

Proposition

M est strictement Fréchet-différentiable au voisinage du zéro de Zet

M ′(0) = I − A

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Introduction Méthode KZK Contrôlabilité Éléments de la démonstration Voisinages

Précisions sur les dimensions des voisinages d’existences

‖G ′(u)‖L(H,LH) ≤ ϑ(r)

pour ‖u‖H ≤ r ,

où ϑ : [0,∞[→ [0,∞[ est monotone non-décroissante

Théorème

(M.F. Sukhinin 1995) Soit

X un espace de Banach,

Y un espace vectoriel topologique séparable,

A : X → Y un opérateur linéaire continu,

U une boule ouverte unitaire dans X ,

PAU : AX → [0,+∞[ foctionnelle de Minkowski de l’ensembleAU,

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Introduction Méthode KZK Contrôlabilité Éléments de la démonstration Voisinages

Théorème

Soit l’application Ψ : X → AX satisfaisant la condition

PAU

(Ψ(x)−Ψ(x)

) ≤ Θ(r)‖x − x‖

pour ‖x − x0‖ 6 r , ‖x − x0‖ ≤ r pour un x0 ∈ X ,

où la fonction Θ : [0,∞[→ [0,∞[ est monotone non-décroissante.On pose b(r) = max

(1−Θ(r), 0

)pour r ≥ 0.

Soit w =∞∫0

b(r) dr ∈]0,∞],

r∗ = supr ≥ 0| b(r) > 0, w(r) =r∫0

b(t)dt (r ≥ 0) et

f (x) = Ax + Ψ(x) pour x ∈ X .

Alors ∀r ∈ [0, r∗[ ∀y ∈ f (x0) + w(r)AU

∃ x ∈ x0 + rU : f (x) = y .

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Introduction Méthode KZK Contrôlabilité Éléments de la démonstration Voisinages

Schéma de la démonstration

‖G ′(u)‖L(H,LH) ≤ ϑ(r) pour ‖u‖H ≤ r ,

ϑ(r) = CH→Y ϑ(r),

1

∀r ∈ [0, r∗[ ∀F ∈ w(r)LUH ∃ ! u ∈ rUH :Lu − Gu = F ⇔ ξ(u) = F .

r∗ est la racine de 1− ϑ(r) = 0,

w(r) = r −r∫0

ϑ(t)dt.

‖F‖LH < w(r)⇒ ‖η(F )‖H < r ,

r ′ = w(r)⇒ r = w−1(r ′).

2

∀r ′ ∈ [0, r ′∗[ ∀v ∈W (r ′)UH ∃ ! F ∈ r ′ULH :

L−1F − Q(F ) = v ⇔ η(F ) = v .16 / 36

Introduction Méthode KZK Contrôlabilité Éléments de la démonstration Voisinages

Schéma de la démonstration

1

∀r ∈ [0, r∗[ ∀F ∈ w(r)LUH ∃ ! u ∈ rUH :Lu − Gu = F ⇔ ξ(u) = F .

2

∀r ′ ∈ [0, r ′∗[ ∀v ∈W (r ′)UH ∃ ! F ∈ r ′ULH :

L−1F − Q(F ) = v ⇔ η(F ) = v .

r ′∗ est la racine 1− 2ϑ(w−1(r ′)) = 0,

‖ϕ‖E ≤ r ⇒ ‖F‖LH = ‖Λϕ‖LH ≤ ‖Λ‖r < w(r) = r ′

⇒ ‖η(Λϕ)‖H = ‖P(ϕ)‖H ≤ w−1(‖Λ‖ r)

3

∀ r ∈ [0, r∗[ ∀χ ∈ W (r)ˆAUE ∃ !ϕ ∈ rUE :M(ϕ) = χ.

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Plan

1 Introduction

2 MéthodeÉléments de la démonstrationPrécisions sur les dimensions des voisinages d’existences

3 Équation KZKIntroduction du modèleAnalyse de l’équation KZK

4 Contrôlabilité des moments pour l’équation KZKProblème linéaire directProblème linéaire inverseProblème perturbéDifficultés dans le problème non-linéaire avec (uux)x

Introduction Méthode KZK Contrôlabilité Introduction du modèle Analyse

Bibliographie

N.S. Bakhvalov, Ya. M. Zhileikin and E.A. Zabolotskaya,Nonlinear Theory of Sound Beams, American Institute of Physics,New York, 1987 (Nelineinaya teoriya zvukovih puchkov, Moscow"Nauka", 1982).E. A. Zabolotskaya, R. V. Khokhlov Quasi-planes waves in thenonlinear acoustic of confined beams, Sov. Phys. Acoust. 15,35–40, 1969.

M.A. Averkiou, Y.-S. Lee, M.F. Hamilton . . .

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Introduction Méthode KZK Contrôlabilité Introduction du modèle Analyse

Obtention de l’équation KZK

c∂2τz I − (γ+1)

4ρ0∂2τ I

2 − ν2c2ρ0∂3τ I − c2

2 ∆y I = 0 z

y

∂tρǫ + div(ρǫuǫ) = 0ρ[∂tuǫ + (uǫ · ∇) uǫ] = −∇p(ρǫ) + ǫν∆uǫ

x1

x ′

t

Navier-Stokes/Euler (x1, x′, t)

z = ǫx1

y =√ǫx ′

τ = t − x1c

KZK (τ, z , y)

• A. Rozanova, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, 344 (2007), pp. 337–342.

• A. Rozanova-Pierrat, Commun. Math. Sci., 7 (2009), pp. 679–718.

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Introduction Méthode KZK Contrôlabilité Introduction du modèle Analyse

Passage à un modèle « mathématique »

c∂2τz I − (γ + 1)

4ρ0∂2τ I

2 − ν

2c2ρ0∂3τ I −

c2

2∆y I = 0

z := t, τ := x , y := y , I :=u√γ+14cρ0

Pour les constantes β ≥ 0, γ ≥ 0 on envisage le problème dans(Rx/(LZ))× R

n−1y :

(ut − uux − βuxx)x − γy u = 0, (4)

u(x , y , 0) = u0(x , y), (5)

u(x + L, y , t) = u(x , y , t),

∫ L

0u(x , y , t)dx = 0. (6)

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Introduction Méthode KZK Contrôlabilité Introduction du modèle Analyse

Équation KZK intégrée

(ut − uux − βuxx)x − γ∆y u = 0 dans (Rx/(LZ)) × Rn−1y (7)

u(x + L, y , t) = u(x , y , t),

∫ L

0u(x , y , t)dx = 0

On définit l’inverse de la dérivée ∂−1x

∂−1x f =

∑

k 6=0

f (k)

2πi kL

e2iπ kxL =

∫ x

0f (s)ds +

∫ L

0

s

Lf (s)ds

(7) est équivalente à l’équation

ut − uux − βuxx − γ∂−1x ∆y u = 0 dans (Rx/(LZ))× R

n−1y

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Introduction Méthode KZK Contrôlabilité Introduction du modèle Analyse

I. Kostin, G. Panasenko

I. Kostin, G. Panasenko (2006)

αuzτ = (f (uτ ))τ+βuτττ+γuτ+xu, (z , x) ∈ Rd×R, d = 1, 2

uτ = uτ (z , x , τ) est la pression acoustique,τ est le temps retardé,α, β, γ sont des fonctions rapidement oscillantes par rapport à z

Hypothèse : f est non-linéaire et à dérivée bornée ⇒

existence globale

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Introduction Méthode KZK Contrôlabilité Introduction du modèle Analyse

Estimations a priori

ut − uux − βuxx − γ∂−1x yu = 0 x

y

12

d

dt‖u‖2L2

+ β‖∂x u‖2L2= 0

Pour s >

[n

2

]+ 1

12

d

dt‖u‖2Hs + β‖∂x u‖2Hs ≤ C(s)‖u‖3Hs

et12

d

dt‖u‖2Hs + βC(L)‖u‖2Hs ≤ C(s)‖u‖3Hs

• A. Rozanova-Pierrat, Math. Mod. Meth. Appl. Sci., 18(5) (2008), pp.781–812.

• A. Rozanova, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, 344 (2007), pp. 337–342.

23 / 36

Introduction Méthode KZK Contrôlabilité Introduction du modèle Analyse

Questions d’existence

ut − uux − βuxx − γ∂−1x yu = 0 x

y

Stabilité et unicité

u ∈ L∞(]0,T [; Hs ), et v ∈ L2(]0,T [; L2) sont deux solutions del’équation KZK

|u(, t)−v(., t)|L2≤ e

∫ t

0supx,y |∂x u(x ,y ,s)|ds |u(., 0)−v(., 0)|L2

.

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Introduction Méthode KZK Contrôlabilité Introduction du modèle Analyse

Questions d’existence

ut − uux − βuxx − γ∂−1x yu = 0 x

y

β ≥ 0 on a au moins l’existence local en temps ∀u0 ∈ Hs

T ⋆ = max(T )

∫ T∗

0supx ,y

(|∂x u(x , y , t)| + |∇y u(x , y , t)|)dt =∞.

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Introduction Méthode KZK Contrôlabilité Introduction du modèle Analyse

Questions d’existence

ut − uux − βuxx − γ∂−1x yu = 0 x

y

β ≥ 0 on a au moins l’existence local en temps ∀u0 ∈ Hs

1 Cas visqueux β > 0

0

profi

l

T ⋆ = +∞ pour ‖u0‖Hs < C

2 Cas non visqueux β = 0

0

profi

l supx ,y

∂x u(T ⋆) = +∞

T ⋆ < +∞ pour supx ,y

∂xu0 ≫ γ

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Introduction Méthode KZK Contrôlabilité Introduction du modèle Analyse

Phénomène de quasi-choc

Profils de la solution de l’équa-tion KZK (8) pour la densitéle long de l’axe τ avec diffé-rentes valeurs de z . Les valeursde z sur les courbes 1-4 sont0.15, 0.3, 0.7, 1.2 respective-ment ; N = 3.25, δ = 0.1.

∂2ρ2

∂τ∂z− N

∂2ρ2

∂τ2− δ ∂

3ρ

∂τ3−(∂2

∂r2+

1r

∂

∂r

)ρ = 0, (8)

ρ|z=0 = −e−r2sin τ.

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Plan

1 Introduction

2 MéthodeÉléments de la démonstrationPrécisions sur les dimensions des voisinages d’existences

3 Équation KZKIntroduction du modèleAnalyse de l’équation KZK

4 Contrôlabilité des moments pour l’équation KZKProblème linéaire directProblème linéaire inverseProblème perturbéDifficultés dans le problème non-linéaire avec (uux)x

Introduction Méthode KZK Contrôlabilité Direct linéaire Inverse linéaire Perturbé (uux )x

Problème linéaire direct pour l’équation KZK

ut − βuxx − γ∂−1x yu = F (x , y , t), (9)

u|t=0 = u0, u(x + L, y , t) = u(x , y , t),

∫ L

0udx = 0

d

dt‖u‖L2(Ω) +

β

C2(Ω)‖u‖L2(Ω) ≤ ‖F (·, ·, t)‖L2(Ω)

‖u‖H0,1(QT ) ≤ C(‖u0‖H2(Ω) + ‖F‖L2((0,T ),H2(Ω))). (10)

Pour tout F (x , y , t) ∈ L2((0,T ); Hs (Ω)) and u0 ∈ Hs(Ω) il existeune unique solution de (9) u ∈ Hs−2,1

0 (QT ) telle que

‖u‖Hs−2,1(QT ) ≤ C(‖u0‖Hs (Ω) + ‖F‖L2((0,T );Hs (Ω))). (11)

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Introduction Méthode KZK Contrôlabilité Direct linéaire Inverse linéaire Perturbé (uux )x

Problème linéaire inverse pour l’équation KZK

ut − βuxx − γ∂−1x yu = h(x , y , t)f (t) (12)

∫ L

0

∫

Ωu(x , y , t)ω(x , y)dxdy = χ(t) (13)

avec

u|t=0 = 0, u(x + L, y , t) = u(x , y , t),

∫ L

0udx = 0, (14)

pour un domaine non borné(s’il est borné en y on choisit u|∂Ωy

= 0).

29 / 36

Introduction Méthode KZK Contrôlabilité Direct linéaire Inverse linéaire Perturbé (uux )x

Hypothèses

Définition

‖f ‖2Lα2(0,T ) =

∫ T

0e−αt |f (t)|2dt, (15)

où α > 0 est à définir.

Théorème

Soit

ω ∈ H2(Ωxy)∩

H1 (Ωxy)

χ ∈ H1(0,T ), χ(0) = 0

h ∈ L2(QT ), ‖h(·, ·, t)‖L2(Ωxy ) est borné sur [0,T ]∣∣∣∣∣∫

Ωxy

h(x , y , t)ω(x , y)dxdy

∣∣∣∣∣ ≥ δ > 0 pour ∀ t ∈ [0,T ]

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Introduction Méthode KZK Contrôlabilité Direct linéaire Inverse linéaire Perturbé (uux )x

Résultat

Théorème

Alors ∃! (u(f ), f ) solution du problème inverse

δ ‖f ‖Lα2(0,T ) ≤

∥∥χ′∥∥

Lα2(0,T ) /(1−m), (16)

où

m = C1

(β‖ωxx‖L2(Ωxy ) + γ‖∂−1

x ∆yω‖L2(Ωxy )

)e

T2

(α+2/C2(Ω))12

C1 > 0 tel que‖h(·,·,t)‖L2(Ωxy )

(h,ω)L2(Ωxy )≤ C1,

C(Ω) est une constante de Poincaré-Friedrichs (ou C(L) pourle domaine non borné),

α > 0 est choisi tel que la condition m < 1 soit vérifiée.

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Introduction Méthode KZK Contrôlabilité Direct linéaire Inverse linéaire Perturbé (uux )x

Démonstration.

(ut − βuxx − γ∂−1

x ∆y u, ω)

L2(Ωxy )= (h, ω)L2(Ωxy ) f ∀t ∈ [0,T ]

On définit ϕ(t) = (h, ω)L2(Ωxy ) f

A : L2(0,T )→ L2(0,T ),

(Aϕ)(t) =

∫ L

0

∫

Ωy

u(x , y , t)(−βωxx + γ∂−1x ∆yω)(x , y)dxdy ,

ϕ→ f → u → Aϕϕ− Aϕ = Ψ. (17)

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Introduction Méthode KZK Contrôlabilité Direct linéaire Inverse linéaire Perturbé (uux )x

Démonstration.

On utilise la norme équivalente dans L2(0,T )

‖f ‖2Lα2(0,T ) =

∫ T

0e−αt |f (t)|2dt (18)

‖Aϕ‖2Lα2(0,T ) ≤ N2C

C21

2βC2(Ω)

+ αeT ‖ϕ‖2Lα

2(0,T ),

où N =(β‖ωxx‖L2(Ωxy ) + γ‖∂−1

x ∆yω‖L2(Ωxy )

)2

⇒ A ∈ L(Lα2 (0,T )) et ∃ α > 0 tel que ‖A‖ < 1.

33 / 36

Introduction Méthode KZK Contrôlabilité Direct linéaire Inverse linéaire Perturbé (uux )x

Perturbation de l’équation KZK

ut − βuxx − γ∂−1x yu − Φ(u) = F (x , t)

u|t=0 = 0, u|∂Ω×[0,T ] = 0

u(x + L, y , t) = u(x , y , t),

∫ L

0udx = 0

∫

Ωu(x , t)ω(x)dx = χ(t)

ou(u(x , y , t),w(x , y))Hs−2(Ω) = χ(t)

où F (x , t) = h(x , t)f (t),la fonction Φ ∈ C1(R) est telle que

|Φ(u)| ≤ C1 |u|α1 + C2 |u|α2 ,∣∣Φ′(u)

∣∣ ≤ α1C1 |u|α1−1 + α2C2 |u|α2−1 ,

où 1 < α1 ≤ α2 ≤ (n + 1)/(n − 1).34 / 36

Introduction Méthode KZK Contrôlabilité Direct linéaire Inverse linéaire Perturbé (uux )x

Éléments de la démonstration

s ≥ 2

∀F (x , y , t) ∈ L2((0,T ),Hs (Ω)) ∃! u ∈ H1((0,T ); Hs−2(Ω)) :

‖u‖Hs−2,1(QT ) ≤ C(‖u0‖Hs (Ω) + ‖F‖L2((0,T );Hs (Ω))

)

Φ : H1((0,T ); Hs−2(Ω))→ L2((0,T ); Hs (Ω)) est strictementFréchet-différentiable

on définit L = ∂t − β∂2x − γ∂−1

x y et H avec‖v‖H = ‖Lv‖L2((0,T );Hs (Ω))

⇒ L : H → L2((0,T ); Hs (Ω)) est un isomorphismeisométrique

(H, ‖·‖H) est complet, l’inclusion H ⊂ Hs−2,10 (QT ) est

continue

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Introduction Méthode KZK Contrôlabilité Direct linéaire Inverse linéaire Perturbé (uux )x

Difficultés

1 Φ : X → Y est strictement Fréchet-différentiable (s. F.-d.)2 ∀F ∈ Y ∃! u ∈ X : ‖u‖X ≤ C‖F‖Y

Remarque

(uux )x n’est pas borné dans L2

pour F (x , y , t) ∈ Y = L2((0,T ),Hs (Ω)) etu ∈ X = H1((0,T ); Hs−2(Ω))

Φ(u) = uux : X → Y n’est pas s. F.-d.

pourF (x , y , t) ∈ L2((0,T ),Hs+3(Ω)) et u ∈ H1((0,T ); Hs+1(Ω))Φ(u) = uux est s. F.-d.H1((0,T ); Hs+1(Ω))→ L2((0,T ); Hs (Ω))mais pas s. F.-d. pourH1((0,T ); Hs+1(Ω))→ L2((0,T ),Hs+3(Ω))

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