Controlo de Sistemas Controladores PID

Controlo de SistemasControladores PID

Alexandra Moutinho

Dep. Engenharia Mecânica, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa, ([email protected])

• Erro estacionário

Controlo de Sistemas

Aula anterior

2

• Caracterização das ações básicas de Controlo: P, I, D (frequência e tempo)

• O controlador PID

• Projeto de controladores PID por métodos Ziegler-Nichols


Esta aula

3

• Considere o sistema de controlo por realimentação

• O controlador 𝐺𝑐(𝑠) define o valor da variável manipulada 𝑈(𝑠)de modo a compensar desvios na variável controlada 𝑌(𝑠), causados quer por perturbações 𝐷(𝑠), quer por variações nareferência 𝑅(𝑠)


Controlo por realimentação

𝑅(𝑠)

𝑈(𝑠)

𝐷(𝑠)

𝑌(𝑠)Controlador

𝐺𝑐 𝑠Sistema

𝐺𝑝(𝑠)

𝐸(𝑠)

4

• Ações básicas do controlador 𝐺𝑐 𝑠– Proporcional, P

– Integrativa, I

– Derivativa, D

• Os controladores PID (nas diferentes combinações das açõesbásicas e versões modificadas) são os mais utilizados na indústria


Controlador PID

𝑅(𝑠)

𝑈(𝑠)

𝐷(𝑠)



𝐺𝑝(𝑠)

𝐸(𝑠)

5

• Ação proporcional ao erro de seguimento (lida com presente):

𝐺𝑐 𝑠 =𝑈(𝑠)

𝐸(𝑠)= 𝐾𝑝, 𝑈 𝑠 = 𝐾𝑝𝐸 𝑠

ℒ−1

𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝𝑒(𝑡)

• Reduz o efeito das perturbações e o erro de seguimento

𝑌 𝑠 =𝐺𝑝 𝑠

1 + 𝐾𝑝𝐺𝑝 𝑠

⟶0, 𝐾𝑝⟶∞

𝐷 𝑠 +𝐾𝑝𝐺𝑝 𝑠

1 + 𝐾𝑝𝐺𝑝 𝑠

⟶1, 𝐾𝑝⟶∞

𝑅 𝑠


Controlador Proporcional, P

𝑅(𝑠)

𝑈(𝑠)

𝐷(𝑠)


𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝

Sistema

𝐺𝑝(𝑠)

𝐸(𝑠)

6

• Ajuste fácil (apenas 1 parâmetro de projeto)

• Aumenta a velocidade de resposta e o sobreimpulso

• Pode levar à instabilidade do anel de controlo (sistemas de ordem elevada)

• Não elimina erro estacionário (𝐾𝑝 ≪ ∞ devido a limitações dos

atuadores)


Controlador Proporcional, P

𝑅(𝑠)

𝑈(𝑠)

𝐷(𝑠)


𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝

Sistema

𝐺𝑝(𝑠)

𝐸(𝑠)

7

• Considere que pretende controlar a velocidade angular de um motor com indutância não desprezável, com FT dada por

𝐺𝑝 𝑠 =Ω(𝑠)

𝑈(𝑠)=

𝐴

𝑠2 + 𝑎1𝑠 + 𝑎2

Controlo de Sistemas 8

Controlador Proporcional: Exemplo

1. Desenhe o LGR do sistema para 𝐾 > 02. Verifique que caraterísticas do anel

fechado pode alterar com a escolha de ganho


𝑈(𝑠)=

𝐴

𝑠2 + 𝑎1𝑠 + 𝑎2

• A equação caraterística com controlador proporcional é

1 + 𝐾𝑝𝐺𝑝 𝑠 = 0

𝑠2 + 𝑎1𝑠 + 𝑎2 + 𝐾𝑝𝐴 = 0 ⇔ 𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2 = 0

• O projetista pode ajustar a frequência natural do sistema

controlado, 𝜔𝑛 = 𝑎2 + 𝐾𝑝𝐴, mas não consegue alterar o tempo

de estabelecimento (𝜉𝜔𝑛)



10

• Sistema tipo 0:

𝑒𝑠𝑠degrau

=1

1 + lim𝑠→0

𝐾𝑝𝐺𝑝(𝑠)= const

• 𝐾𝑝 elevado diminui 𝑒𝑠𝑠degrau

, mas:

• Amortecimento poderá sermuito baixo para obter umaresposta transientesatisfatória

• Tempo de estabelecimento,

𝑇𝑠2% =

4

𝜉𝜔𝑛, não varia



LGR, 𝐾 > 0

11

𝑎1 = 2, 𝑎2 = 4



Para 𝐴 = 2, 𝑎1 = 2, 𝑎2 = 4

𝑢 𝑡 = 6𝑒(𝑡)

12

Tempo de estabelecimento

constante

• Ação proporcional ao integral do erro de seguimento (lida com passado):


𝐸(𝑠)=

1

𝑇𝑖𝑠

• Elimina erro estacionário de posição, 𝑒𝑠𝑠degrau

= 0 (anel aberto de tipo >1)


Controlador Integrativo, I

𝑅(𝑠)

𝑈(𝑠)

𝐷(𝑠)


𝐺𝑐 𝑠 =1

𝑇𝑖𝑠

Sistema

𝐺𝑝(𝑠)

𝐸(𝑠)

13

𝑈 𝑠 =1

𝑇𝑖𝑠𝐸 𝑠

ℒ−1

𝑢 𝑡 =1

𝑇𝑖න0

𝑡

𝑒 𝜂 𝑑𝜂

• A amplitude da ação de controlo, 𝑈(𝑠), altera-se sempre que 𝑒(𝑡) ≠ 0, mantendo-se constante quando este se anula

• A ação de controlo exercida é tanto maior quanto mais demorada for a correção do erro



14

• Pode provocar oscilações indesejáveis na presença de saturações na ação de controlo (reset-windup)


𝐸(𝑠)=

1

𝑇𝑖𝑠

• Diminui a estabilidade relativado anel de controlo: introduzatraso de fase no anel aberto



15

• Considere o mesmoproblema do motor:


𝑈(𝑠)=

2

𝑠2 + 2𝑠 + 4

• Controlador integrativo:

𝐺𝑐 𝑠 =1

𝑇𝑖𝑠


Controlador Integrativo: Exemplo

16

1. Desenhe o LGR do sistemapara 𝐾 > 0

2. Verifique que caraterísticasdo anel fechado a escolhade ganho pode alterar

• Considere o mesmoproblema do motor:


𝑈(𝑠)=

2

𝑠2 + 2𝑠 + 4

• Controlador integrativo:

𝐺𝑐 𝑠 =1

𝑇𝑖𝑠



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• Sistema tipo 1:

𝑒𝑠𝑠degrau

=1

1 + lim𝑠→0

1𝑠𝐺𝑝(𝑠)

= 0

• Ação de controlo cumulativa do erro de seguimento, ou seja, mesmo quando erro se anula𝑢(𝑡) ≠ 0



𝑢 𝑡 = න0

𝑡

𝑒 𝜂 𝑑𝜂

19

• Ação proporcional à derivada do erro de seguimento (lida com futuro):


𝐸(𝑠)= 𝑇𝑑𝑠

𝑈 𝑠 = 𝑇𝑑𝑠𝐸 𝑠ℒ−1

𝑢 𝑡 = 𝑇𝑑d𝑒(𝑡)

d𝑡• Nunca se usa isoladamente pois amplifica o ruído do erro

(proveniente do ruído dos sensors que medem 𝑌(𝑠))


Controlador Derivativo, D

𝑅(𝑠)

𝑈(𝑠)

𝐷(𝑠)


𝐺𝑐 𝑠 = 𝑇𝑑𝑠Sistema

𝐺𝑝(𝑠)

𝐸(𝑠)

20

• Ação de controlo com caráterantecipatório (derivative kick), é por isso mais rápida a reagir a erros

• Não anula o erro estacionário


𝐸(𝑠)= 𝑇𝑑𝑠

• Aumenta a estabilidaderelativa do anel de controlo: introduz avanço de fase no anel aberto


Controlador Derivativo, D

21

• O controlador 𝐺𝑐(𝑠) poderá ser obtido pela combinação das 3 acções básicas de controlo, resultando:

– Controlador PI (Proporcional-Integral).

– Controlador PD (Proporcional-Derivativo).

– Controlador PID(Proporcional-Integral-Derivativo)


Família de controladores PID

𝑅(𝑠)

𝑈(𝑠)

𝐷(𝑠)



𝐺𝑝(𝑠)

𝐸(𝑠)

22

𝑈 𝑠 = 𝐾𝑝 1 +1

𝑇𝑖𝑠𝐸 𝑠 = 𝐾𝑝

𝑇𝑖𝑠 + 1


𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 +1

𝑇𝑖න0

𝑡

𝑒 𝜂 𝑑𝜂


Controlador PI

𝑅(𝑠)

𝑈(𝑠)

𝐷(𝑠)



𝐺𝑝(𝑠)

𝐸(𝑠)

23

𝑈 𝑠 = 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠 + 1


• Sistema tipo 1 (1 polo na origem):

– Elimina erro estacionário de posição, 𝑒𝑠𝑠degrau

= 0

– Introduz atraso de fase no anel aberto

• Zero no SPCE, em 𝑠 = −1

𝑇𝑖:

– “Atrai” LGR para a esquerda, melhorando as características dinâmicas da resposta


Controlador PI

24

• Devido ao termo proporcional, a ação correctiva é imediata:


Controlador PI

25

• O polo na origem introduz atraso de fase no anel aberto: diminui a estabilidade relativa


Controlador PI

26

• Pode resultar em oscilações indesejáveis

• Efeito provocado pela variação dos parâmetros 𝑇𝑖 e 𝐾𝑝:

• Necessária sintonia dos parâmetros 𝑇𝑖 e 𝐾𝑝 para melhorar

resposta transitória do anel de controlo


Controlador PI

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• Comparar desempenho do sistema de controlo

com:

• Controlador P: 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝 = 19

• Controlador PI: 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠+1

𝑇𝑖𝑠= 19

2𝑠+1

2𝑠


Controlador PI: Exemplo

28

Desenhe o LGR do sistema para 𝑲 > 𝟎



30



A introdução do termo integral eliminou o erro estacionário, masaumentou o sobreimpulso da resposta

31

𝑈 𝑠 = 𝐾𝑝 1 + 𝑇𝑑𝑠 𝐸 𝑠

𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 + 𝑇𝑑d𝑒(𝑡)

d𝑡

• Carácter antecipatório da acção correctiva


Controlador PD

𝑅(𝑠)

𝑈(𝑠)

𝐷(𝑠)



𝐺𝑝(𝑠)

𝐸(𝑠)

32

𝑈 𝑠 = 𝐾𝑝 1 + 𝑇𝑑𝑠 𝐸 𝑠

• Sistema tipo 0:

– Não elimina erro estacionário de posição, 𝑒𝑠𝑠degrau

= const

• Zero no SPCE, em 𝑠 = −1

𝑇𝑑:


– Amplifica o ruído na alta frequência devido ao ganho positivo

– Aumenta a estabilidade relativa devido à introdução de avanço de fase no anel aberto


Controlador PD

33


Controlador PD

Amplifica o ruído na alta frequência devido ao

ganho positivo

Aumenta a estabilidade relativa devido à

introdução de avanço de fase no anel aberto

34


com:



𝑇𝑖𝑠= 19

2𝑠+1

2𝑠

• Controlador PD: 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝 1 + 𝑇𝑑𝑠 = 19 1 + 0.21𝑠


Controlador PD: Exemplo

35

Desenhe o LGR do sistema para 𝑲 > 𝟎



37



A introdução do termo derivativo reduziu o comportamento oscilatóriodo sistema, mas não eliminou o erro estacionário de posição

38

𝑈 𝑠 = 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑇𝑑𝑠

2 + 𝑇𝑖𝑠 + 1


𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 +1

𝑇𝑖න0

𝑡

𝑒 𝜂 𝑑𝜂 + 𝑇𝑑d𝑒(𝑡)

d𝑡


Controlador PID

𝑅(𝑠)

𝑈(𝑠)

𝐷(𝑠)



𝐺𝑝(𝑠)

𝐸(𝑠)

39

𝑈 𝑠 = 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑇𝑑𝑠

2 + 𝑇𝑖𝑠 + 1


• 1 polo na origem:

– Elimina erro estacionário de posição, 𝑒𝑠𝑠degrau

= 0

• 2 zeros no SPCE (podem ser reais ou complexos):


– Amplifica o ruído na alta frequência

– Aumenta a estabilidade relativa devido à introdução de avanço de fase no anel aberto

– Caráter antecipatório da ação corretiva


Controlador PID

40


Controlador PID

Amplifica o ruído na alta frequência devido ao

ganho positivo

Aumenta a estabilidade relativa devido à

introdução de avanço de fase no anel aberto

41

• O desempenho do sistema depende da sintonia de K𝑝, 𝑇𝑖, e 𝑇𝑑

• Aumentar 𝐾𝑝 e 1/𝑇𝑖, reduz o erro de seguimento, mas pode

instabilizar o sistema

• Aumentar 𝑇𝑑 (para valores pequenos) melhora a estabilidade,embora origine uma resposta oscilatória e uma indesejávelamplificação do ruído para valores elevados:


Controlador PID

42


com:



𝑇𝑖𝑠= 19

2𝑠+1

2𝑠

• Controlador PD: 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝 1 + 𝑇𝑑𝑠 = 19 1 + 0.21𝑠

• Controlador PID: 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑇𝑑𝑠

2+𝑇𝑖𝑠+1

𝑇𝑖𝑠= 19

0.42𝑠2+2𝑠+1

2𝑠


Controlador PID: Exemplo

43



44



Com o controlador PID consegue-se eliminar o erro estacionário deposição sem comprometer o regime transiente

45


Família de controladores PID: quadro resumo

Controla-dor

Expressão temporalFunção de transferência𝐺𝑐 𝑠 = 𝑈(𝑠)/𝐸(𝑠)

P 𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝𝑒 𝑡 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝

I 𝑢 𝑡 =1

𝑇𝑖න0

𝑡

𝑒 𝜂 d𝜂 𝐺𝑐 𝑠 =1

𝑇𝑖𝑠

PI 𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 +1

𝑇𝑖න0

𝑡

𝑒 𝜂 d𝜂 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠 + 1

𝑇𝑖𝑠

PD 𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 + 𝑇𝑑d𝑒(𝑡)

d𝑡𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝 1 + 𝑇𝑑𝑠

PID 𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝 𝑒 𝑡 +1

𝑇𝑖න0

𝑡

𝑒 𝜂 d𝜂 + 𝑇𝑑d𝑒(𝑡)

d𝑡𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝

𝑇𝑖𝑇𝑑𝑠2 + 𝑇𝑖𝑠 + 1

𝑇𝑖𝑠 46

• Fazer um quadro resumo das vantagens e desvantagens de cada controlador da família PID relativamente a:

– Resposta transiente (𝑀𝑝, 𝑡𝑠, …)

– Resposta estacionária (𝑒𝑠𝑠)

– Resposta em frequência (ruído, margens estabilidade)


Trabalho de casa

48

• Projeto de controladores PID pelos métodos de Ziegler-Nichols


Próxima aula

49

– Controlo de Sistemas, Miguel Ayala Botto, AEIST Press, 2008

• Capítulo 8

– Feedback Control of Dynamic Systems, Gene F. Franklin, J. David Powell, Abbas Emami‐Naeini, Pearson (6ª edição), 2010

• Capítulo 4

– Modern Control Engineering, K. Ogata, Prentice‐Hall International (4ª edição), 2002

• Capítulo 8

– Control Systems Engineering, Norman Nise, John Wiley & Sons (6ª edição), 2011


Referências/fontes usadas

127

Documents

Controlo de Sistemas Controladores PID