Control1 Guia Lab

Gua de Practicas de LaboratorioTeora de Control Automatico 1

Preparado por:Ing. Juan CutipaIng. Oscar SalazarIng. Daniel Yanyachi

30 de mayo de 2008

Indice general

1. Introduccion al Matlab 1

2. Simulacion numerica 6

3. Respuesta en frecuencia de los Sistemas de Control Automatico 10

4. Respuesta Temporal de los Sistemas de Control Automatico 13

5. Estabilidad de los Sistemas de Control Automatico 18

A. Tutorial Basico de Matlab 21

i

Indice de figuras

1.1. Escalon Unitario y Peine de Dirac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1. Diagrama de Bloques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.1. Suspension simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2. Filtro Activo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3. Sistema Controlado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.1. Modelo dinamico de un motor DC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2. Respuesta escalon del sistema controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3. Diagrama de Bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.4. Curva de respuesta escalon unitario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.5. Sistema mecanico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.1. Amplificador con realimentacion negativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2. Diagrama de bloques del sistema de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

ii

Indice de tablas

4.1. Coeficientes para el modelo dinamico del motor DC . . . . . . . . . . . . . . 14

iii

Captulo 1

Introduccion al Matlab

1. Repetir y ejercitar los siguientes comandos en Matlab.

Definicion de una constante:

a=1

b=[1 2]

Escribiendo numeros complejos:

a=2+i

b=-5-3*i

Expresion booleana:

a==1

Vector constante:

v=[1 2 3 4 5]

o

v=1:5

Matriz constante:

A=[2 2 3

0 0 7

5 9 -1]

o

A=[2 2 3;0 0 7;5 9 -1]

Podemos formar matrices usando operaciones con objetos definidos anteriormente:

a=1;b=2;

Observe que si colocamos punto y coma al final de la expresion, el resultado no esmostrado en la pantalla, lo que puede ser conveniente en algunas situaciones.

1

A=[a+b pi 3

b^2 0 atan(a)

5 sin(b) -1]

Podemos formar matrices y vectores de zeros:

B=zeros()

Matriz de zeros con 2 filas y 3 columnas:

B=zeros(2,3)

Matriz de zeros con las dimensiones de la matriz A:

A=[2 2 3;0 0 7;5 9 -1];

B=zeros(A)

De modo semejante, podemos formar matrices y vectores de unos:

Matriz de unos con 2 filas e 3 columnas:

C=ones(2,3)

Matrices diagonales:

Matriz diagonal con los elementos da diagonal principal yendo de 1 a 5:

D=diag(1:5)

Extrayendo los elementos de la diagonal principal:

A=[1 2 3

4 5 6

7 8 9]

B=diag(A)

Formando una matriz diagonal con los elementos de la diagonal principal de una matriz:

C=diag(diag(A))

Operaciones: Matriz identidad:

A=diag(ones(1,3))

o

A=eye(3)

Suma de matrices (recuerde las matrices deben tener la misma dimension):

B=A+A

Sumar 1 a todos los elementos de una matriz:

C=B+1

2

Multiplicacion de matrices:

A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]

C=[1 2 0;0 0 1;0 2 3]

D=A*C

Multiplicacion elemento a elemento:

A=[1 0 0;0 2 3;5 0 4]

B=[2 0 0;0 2 2;0 0 3]

C=A.*B

Extraccion de la fila 2:

a=C(2,:)

Extraccion da columna 3:

b=C(:,3)

Traza de una matriz:

A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

t=trace(A)

Rank (rango) de una matriz:

r=rank(A)

Matriz transpuesta:

B=A

Inversa de una matriz:

A=[0 1;-2 -3]

B=inv(A)

A*B

Determinante de una matriz:

d=det(A)

Polinomios:

Polinomio p1 con races en 0 e -1:

v=[0 -1]

p1=poly(v)

Polinomio p2 con coeficientes 1 e 2 e 1:

3

p2=poly([1 2 1])

Calculo de races:

p=roots(p1)

Autovalores e autovectores (eigenvalues and eigenvectors):

Autovalores:

A=[0 1;-2 -3]

r=eig(A) % r vector de autovalores

o

[V,D]=eig(A) % produce un matriz diagonal D de autovalores

% y una matriz completa V cuyas columnas son

% sus correspondientes autovectores. Asi (A*V=V*D)

Funciones:

function[y]=mifuncion(x) % definimos un archivo mifuncion.m

if x

Figura 1.1: Escalon Unitario y Peine de Dirac.

2. Ejercicios:

Implemente en matlab la siguiente funcion, luego plotee

y = f(x) =1

x2 1 (1.1)

Implemente en matlab la siguiente funcion, luego plotee

y = f(x1, x2) =

{x1 + x2 if x1 > 0, x2 > 0x21 + x

22 en los demas casos

(1.2)

Haga un .m file que ayude a encontrar el mnimo de f(x) = x3 2x 5, dentro delintervalo (0,2)

Construya una senal escalon unitario, de 0 a 50 segundos, con step inicial en 25 s. Elpaso debera ser de 0.5s. Plotee el resultado

Construya una senal peine de dirac Plotee el resultado.

5

Captulo 2

Simulacion numerica

1. Ecuaciones diferenciales (Repetir la siguiente actividad)

Determine la solucion de la ecuacion diferencial y =[1 y(t)]

2usando el metodo

de Euler.

Plotear el grafico de y(t) en funcion de t, y el grafico de la solucion exacta ye(t)en funcion de t.

instante inicial: t = 0

instante final : tf = 10

solucion exacta de la ecuacion diferencial: ye(t) = 1 e(1t/2)

Primero, implementamos la funcion en edo1.m

function [ydot]=edol(y)

ydot=(1-y)/2;

Segundo, cree el archivo euler ode1.m

t(1)=0; % Instante inicial

tf=10; % Instante final

y(1)=0; % Condicion inicial

ye(1)=0; % Valor inicial de la soluccion exata

%

% Paso de integracion (experimente alterar el paso):

h=0.5;

% Calculo de numero de pasos):

n=round(tf/h);

% Integracion numerica usando el metodo de Euler:

% Comando for:

for i=1:n

% Vector de tiempo:

t(i+1)=t(i)+h;

% Vector ydot (derivada en el tiempo de y):

ydot(i)=edol(y(i));

% Solucion numerica:

y(i+1)=y(i)+h*ydot(i);

% Solucion exata:

6

ye(i+1)=1-exp(-t(i+1)/2);

% Finaliza comando for:

end

% Determinacion del ultimo termino del vector ydot:

ydot(n+1)=edol(y(n+1));

% Ploteando la solucion exata ye y la solucion numerica y, ambos versus el vetor de tiempo t:

plot(t,y,t,ye,r:);

% Colocando una leyenda en la parte superior derecha de la figura:

legend(solucion exacta,solucion numerica - Euler)

% Colocando titulo en la parte superior y etiquetas en las coordenadas

title(Comparacion entre la solucion exata y la solucion numerica)

xlabel(Tiempo (s))

ylabel(Amplitud ())

Para ejecutar la simulacion, en el workspace digite euler ode1

Obs: Los archivos .m deben ser guardados en el directorio de trabajo, que generalmentees: C:\MATLAB6p5\workComentario: Uno de los metodos numericos mas usados es el metodo Runge Kutta decuarta orden (RK4), que brinda soluciones mas exactas en comparacion con el metodoEuler.

2. Repita las instrucciones, le ayudara a entender como introducir funciones de transfer-encia (LTI) en matlab:

Definimos nuestro sistema expresado por la F.T. H(s) = 1/(s+ 1)

h=tf(1,[1 1])

Definimos nuestro sistema G expresado en espacio de estados:

x = Ax+Bu

y = Cx+Du

g=ss([0 1;-5 -2],[0;3],[0 1],0)

Obtencion del numerador y denominador de la F.T. a partir de las matrices A,B,C yD (matrices del modelo en espacio de estados).

[num,den]=ss2tf([0 1;-5 -2],[0;3],[0 1],0)

Principales graficas para facilitar el analisis de sistemas LTI.

g = tf([16],[1 9 16]) % definimos nuestro sistema

subplot(2,2,1)

bode(g) % grafico de bode

subplot(2,2,2)

pzmap(g) % grafico de polos y zeros

subplot(2,2,3)

step(g) % respuesta escalon unitario

subplot(2,2,4)

nyquist(g) % grafico de nyquist

7

3. Ejercicio: realice la simulacion numerica de la ecuacion diferencial descrita en el item 1.Esta vez implemente el algoritmo RK4, en vez del metodo Euler. Haga una comparacionentre las soluciones: Exacta, Euler y RK4.

4. Ejercicio: repetir 1, usando la ecuacion diferencial (no-lineal) siguiente:

y = 2,5 [y(1 y)] y(0) = 0,9 Condicion inicial h = 0,85 Paso tf = 600s Instante final(2.1)

5. Ejercicio: reducir el diagrama de bloques de la figura 2 y expresar la funcion de trans-ferencia entre C y R en funcion de (G1, G2 y H)

Figura 2.1: Diagrama de Bloques.

6. Ejercicio: el proposito de estos ejercicios es familiarizarse con las funciones de transfer-encia, su representacion y respuesta. Ud. podra explorar la relacion entre la localizacionde polos y zeros, la respuesta temporal y la respuesta frecuencial. Por tanto, para lassiguientes funciones de transferencia grafique (i) el diagrama de polos y zeros, (ii) eldiagrama de bode y (iii) la respuesta escalon unitario:

a) Sistema de primer orden

H1(s) =1

s+ 1b) Sistema de segundo orden (se adiciono un polo a una frecuencia mas elevada)

H2(s) =2

(s+ 1)(s+ 2)

c) Sistema de primer orden (adicionamos un zero, primero en el RHP (semiplanoderecho), luego en el LHP (semiplano izquierdo))

H3(s) =1

2

s 2s+ 1

H4(s) =1

2

s+ 2

s+ 1d) El siguiente sistema es un sistema de segundo orden, con n = 5 y = 0,2

H5(s) =25

s2 + 2s+ 25e) Ahora adicionamos un zero sobre el origen. (No olvide que s en el dominio de la

frecuencia corresponde a d/dt en el dominio del tiempo)

H6(s) =25s

s2 + 2s+ 25

8

f) Ahora adicionamos un zero a 5 rad/s

H7(s) =5(s+ 5)

s2 + 2s+ 25

g) Un tercer polo es adicionado aH5, primero a baja frecuencia, luego a alta frecuencia.

H8(s) =25

(s+ 1)(s2 + 2s+ 25)

H9(s) =125

(s+ 5)(s2 + 2s+ 25)

9

Captulo 3

Respuesta en frecuencia de losSistemas de Control Automatico

Figura 3.1: Suspension simple.

1. Para fines didacticos, iremos analizar la respuesta en frecuencia de un sistema de sus-pension de automovil.

%//////////////////////////////////////////////

% Sistema de Suspension //

% /////////////////////////////////////////////

clear % borra las variables antiguas

% /////////////////////////////////////////////

% Parametros

m=250; % masa suspensa (kg)

k=10000; % rigidez del resorte (N/m)

b=316.23; % amortecimiento (Ns/m)

% Matrices del sistema

A=[0 1;-k/m -b/m];

B=[-1;b/m];

C=[-k/m -b/m];

D=[b/m];

% Sistema en el espacio de estados

G=ss(A,B,C,D);

% Respuesta en frequencia

% Diagrama de Bode del sistema (observe las escalas de los graficos):

10

bode(G)

% La escala horizontal es logaritmica, y muestra la frequencia en rad/s.

% La escala vertical del grafico superior es lineal, y muestra la

% ganancia en db.

% La escala vertical del grafico inferior es lineal y muestra la fase

% en grados.

% Matlab asigna valores por defecto a nuestro grafico de Bode, el Matlab

% mostro que la amplitud de la ganancia esta entre -0db e +40db, la

% fase esta entre -90 e 90 grados, y que la frequencia esta entre 10 y

% 1000 rad/s. Vamos construir un vector w donde el logaritmo de la

% distancia entre un valor y otro es constante, comenzando en 10

% elevado a (-3), terminando en 10 elevado a (4), con 2000 puntos, y

% convencionando que la unidad es rad/s:

w=logspace(-3,4,2000);

% Determinamos los vetores de magnitud y fase,

[mag,phase]=bode(G,w);

% mag y fase son arrays de 3 dimensiones, esto quiere decir que la

% funcion bode trabaja con sistemas multivariable (MIMO)

% Entonces, para nuestro caso, debemos solo capturar el vector

% correspondiente

mag=mag(1,:);

phase=phase(1,:);

% Plotenado el Bode de ganancia

subplot(2,1,1)

semilogx(w,20*log10(mag)) % semilogx realiza un plot semilogaritmico

axis([10^-3 10^4 -70 60]) % definimos los margenes de la ventana

grid % rejilla

% Ploteando el Bode de fase

subplot(2,1,2)

semilogx(w,phase) % semilogx realiza un plot semilogaritmico

axis([10^-3 10^4 -100 100]) % definimos los margenes de la ventana

grid % rejilla

2. Ejercicio: Encuentre la respuesta en frecuencia del filtro activo mostrado en la figura2. Encuentre el Margen de Fase (MF) y el Margen de Amplitud (MA).

Figura 3.2: Filtro Activo.

3. Ejercicio: Dada la siguiente estructura de control (ver figura 3), donde G(s) es la plantaque sera controlada por el controlador Gc(s). Se debe predecir el desempeno del sistema

11

en lazo cerrado (LC) a partir del analisis en lazo abierto (LA). Por tanto se debe teneren consideracion los siguientes items:

El sistema debe mostrarse estable en LC a partir de los diagramas de Bode delsistema en LA.

La frecuencia crossover de la ganancia (Wcg) debe ser menor que la frecuenciacrossover de la fase (Wcf ). Esto esWcg < Wcf . Entonces, el sistema en LC sera es-table.

Siendo aun mas conservadores con respecto a la estabilidad, para un sistema desegundo orden, podemos elegir un MF mayor a 60 grados.

Dado los items anteriores, en este laboratorio solo nos abocaremos a evaluar la respuestaen frecuencia de un sistema controlado. Dejaremos para otro Laboratorio el comodisenar el controlador?.

Siendo asi, haga un estudio de la estabilidad mediante los graficos de Bode en LA,identifique MG,MF, Wcg y Wcf , comente los resultados para cada uno de los casossiguientes:

Figura 3.3: Sistema Controlado.

i) Gc(s) =1

1y G(s) =

10

1,25s+ 1

ii) Gc(s) =1

sy G(s) =

10

1,25s+ 1

iii) Gc(s) =s+ 1

sy G(s) =

10

1,25s+ 1

iv) Gc(s) =5(s+ 1)

sy G(s) =

10

1,25s+ 1

Adicionalmente, para cada uno de los casos, debe plotear la respuesta al escalon uni-tario, indicar el overshoot, indicar el tiempo de establecimiento de la senal y el erroren regimen permanente ess.

4. Ejercicio: Haga el modelamiento matematico del sistema de suspension de automovil(figura 1). Exprese primeramente en EDOs y haga el traspaso a espacio de estados.

NOTA: El informe de este laboratorio se entrega impreso, donde se incluyen todos los scriptcomentados de matlab. Por tanto, solo para este laboratorio, no es necesario adjuntar CD.

12

Captulo 4

Respuesta Temporal de los Sistemasde Control Automatico

1. Controlador PID: Repita las siguientes instrucciones y tome atencion en cada uno delos resultados obtenidos. Le permitira conocer la accion proporcional (P), Integral (I)y derivativa (D), de los controladores. Estructura mayormente usada en la industria.

El modelo dinamico de un motor DC esta expresado por la siguiente funcion de trans-ferencia:

Figura 4.1: Modelo dinamico de un motor DC.

s(Js+ b)(s) = kI(s) (4.1)

(Ls+R)I(s) = V ks(s) (4.2)

G(s) =

V=

k

(Js+ b)(Ls+R) + k2(4.3)

Los valores numericos de los coeficientes del modelo estan en la Tabla 1.

Las especificaciones de diseno del controlador para este sistema, considerando unaentrada escalon unitario de 1 rad/s, son:

tiempo de acomodacion menor que 0.04 s.

overshoot menor que 16%.

ess = 0 error en regimen permanente (steady state error)

13

Tabla 4.1: Coeficientes para el modelo dinamico del motor DCconstante unidades descripcion

J 3.2284E-6 kgm2/s2 momento de inercia del rotorb 3.5077E-6 Nm/s coeficiente de amortecimiento del motor

k = ke = kt 0.0274 Nm/Amp constante de la fuerza electromotrizR 4 resistencia electrica del motorL 2.75E-6 H inductancia electrica del motorV ? voltaje de entrada ? angulo o posicion de salida

La funcion de transferencia de nuestro controlador PID es de la forma:

PID(s) = KP +KIs

+KDs =KDs

2 +KP s+KIs

(4.4)

Para resolver este problema, crearemos un file pidmotor.m donde introduziremos losiguiente:

function [h]=pidmotor(kp,ki,kd)

% modelo del motor G(s)

J=3.2284E-6;

b=3.5077E-6;

K=0.0274;

R=4;

L=2.75E-6;

num=K;

den=[(J*L) ((J*R)+(L*b)) ((b*R)+K^2) 0];

% F.T del controlador PID(s)

kp=kp;

ki=ki;

kd=kd;

numpid=[kd kp ki];

denpid=[1 0];

% F.T en lazo abierto F(s)=G(S)*PID(s)

numf=conv(num,numpid);

denf=conv(den,denpid);

[af,bf,cf,df]=tf2ss(numf,denf)

sysf=ss(af,bf,cf,df)

% FT en lazo cerrado H(s)=F(s)/1+F(s) (negative feedback)

h=feedback(sysf,1);

Teniendo ya la estructura del sistema controlado, procedemos a sintonizar (tunning)los parametros del PID (Ecuacion (4))

a) Accion Proporcional (P)

clear all

h=pidmotor(1.79,0,0)

t=0:0.001:0.3; % tiempo de la simulacion

step(h,t)

xlabel(Tiempo (s))

14

ylabel(Posicion (rad))

grid

Observe. Cual es el efecto de la accion proporcional?

b) Accion Proporcional Integral (PI)

clear all

h=pidmotor(1.79,20,0)


step(h,t)

xlabel(Tiempo (s))


grid

Incremente el valor de KI , primero a 50, luego a 200.

Observe. Cual es el efecto de la accion integral?.

En los casos anteriores, el tiempo de acomodacion es muy largo. Para reducirloy obtener una respuesta mas rapida, hacemos las modificaciones KP = 17 yKI = 200.

c) Accion Proporcional Integral Derivativo (PID)

En el ultimo caso, obtuvimos una respuesta rapida, pero el overshoot incrementodemasiado. Por tanto, para reducir este efecto, introduciremos la accion derivativa.Con los datos KP = 17, KI = 200 y KD = 0,15 obtenemos:

clear all

h=pidmotor(17,200,0.15)


step(h,t)

xlabel(Tiempo (s))


grid

Observe. Cual es el efecto de la accion derivativa?Finalmente hemos alcanzado las especificaciones de diseno de controlador. El re-sultado muestra un overshoot por debajo de 16%, un tiempo de acomodacioninferior a 40 ms y no hay error en regimen permanente.

2. Dado el sistema de segundo orden descrito en la Ec. (5),

H(s) =2n

s2 + 2ns+ 2n(4.5)

plotee el mapa de polos y la respuesta temporal para los siguientes casos.

i) = 0,7 y n = [0 : 0,25 : 4] rad/s

ii) = 0,5 y n = [0 : 0,25 : 4] rad/s

iii) = [0 : 0,25 : 3] y n = 2 rad/s

iv) = [0 : 0,25 : 3] y n = 3 rad/s

15

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo (s)

Posi

cion

(rad

)

Figura 4.2: Respuesta escalon del sistema con-trolado

( S )G ( S )P I D ( S )

+ V ( S )R ( S )

V o l t a j e a p l i c a d o V e l o c i d a d d e s a l i d aV e l o c i d a d d e s e a d a

Figura 4.3: Diagrama de Bloques

Recomendaciones: Use el vector t = [0 : 0,1 : 5] segundos para la respuesta temporal.Comente el comportamiento del sistema cuando es subamortiguado, sobreamortiguadoy cuando = 1, comente tambien cual es el comportamiento del sistema cuando seincrementa el valor de la frecuencia natural n.

3. Plotee la respuesta temporal del sistema:

G(s) =2600

4s4 + 128s3 + 1053s2 + 1990s+ 2600(4.6)

Identifique y etiquete los valores en el grafico: tr, tp ts y Mp. Use la notacion siguiente(adoptado de OGATA, 1998, 3ra Edicion):

tr: tiempo de levantamiento (rise time), es el tiempo requerido para que la re-spuesta pase del 10% al 90%, del 5% al 95% o del 0% al 100% de su valorfinal.

tp: tiempo de pico (peak time), es el tiempo requerido para que la respuestaalcance el primer pico maximo.

Figura 4.4: Curva de respuesta escalon unitario.

16

Figura 4.5: Sistema mecanico.

ts: tiempo de asentamiento (settling time), es el tiempo requerido para que larespuesta entre en la barrera de tolerancia permisible. Dicha barrera esta , por logeneral, entre 2 a 5% del valor final.

Mp: sobrepaso maximo (overshoot), es el valor de la respuesta en su pico maximo,generalmente expresado en%, de acuerdo a la relacion siguiente:

Mp(%) =c(tp) c()

c() 100% (4.7)

4. Considere el sistema de la ecuacion (5). Determine los valores de y n para que elsistema responda a una entrada escalon con un sobrepaso de aproximadamente 5%y con un tiempo de asentamiento (ts) de 2 segundos. (Use el criterio de 2% para latolerancia permisible. Compare con los resultados analticos)

5. Implemente una nueva funcion (similar a la funcion pidmotor del item 1). Usando esanueva funcion, encuentre los parametros del controlador PID (KP , KI y KD) para elsistema mecanico siguiente:

X(s)

F (s)=

1

ms2 + bs+ k(4.8)

donde:

m = 2 kg (masa del movil)

b = 15 Ns/m (coef. del amortiguador)

k = 25 N/m (coef. del resorte)

Recomendacion: El sistema controlado debera tener una respuesta rapida (ts < 1 s),un sobrepaso mnimo (Mp < 25%) y un error en regimen permanente nulo (ess = 0).

17

Captulo 5

Estabilidad de los Sistemas deControl Automatico

1. Criterio de Routh-Hurtwitz (R-H): Determine si G(s) es estable usando el criteriode R-H.

i) G(s) =N(s)

s3 3s+ 2ii) G(s) =

kN(s)

s5 + 2s4 + 24s3 + 48s2 25s 50Use roots en MATLAB para determinar las races de la ecuacion caracterstica ycomprobar sus resultados analticos.

2. Criterio de (R-H): A partir de la ecuacion caracterstica (s), determine si el sistemaes estable usando el criterio de R-H.

i) (s) = s3 + 2s2 + s+ 2

ii) (s) = s4 + 13s2 + 36

iii) (s) = s5 + 2s4 + 4s3 + 8s2 + 5s+ 10

iv) (s) = s4 + s3 + s2 + s+ 2

Use MATLAB para graficar las races de (s) en el plano s.

3. Diagrama de Nyquist: Un amplificador tiene una ganancia de 200 en lazo directo.Su funcion de transferencia (en lazo directo) tiene tres polos con parte real negativa a1MHz, 2MHz, y 4MHz. Use el diagrama de nyquist para determinar si el sistema enlazo cerrado es estable. El factor de atenuacion del lazo inverso f = 0,05.

Use nyquist en MATLAB para obtener el grafico de nyquist.

Figura 5.1: Amplificador con realimentacion negativa.

18

Figura 5.2: Diagrama de bloques del sistema de control.

4. Lugar de Races: Sea el sistema de control definido por el diagrama de bloques dela fig. 2. Realice el grafico del lugar de las races; y segun este grafico, determine paraque valores de k el sistema es estable.

i) C(s) = k, G(s) =(s+ 2)(s+ 3)

s2 + s, y H(s) = 1

ii) C(s) = k, G(s) =1

s(s2 + 3s+ 18), y H(s) = 1

iii) C(s) =k

s, G(s) =

s+ 1

s(s+ 4), y H(s) = 1

iv) C(s) =k

s, G(s) =

1

s+ 2, y H(s) =

1

s+ 4

Use rlocus y rlocfind en MATLAB para comprobar sus resultados analticos.

5. A partir de la ecuacion caracterstica (s), determine para que valor el sistema esestable (use criterio de R-H).

i) (s) = s4 + s3 + 3s2 + 2s+ k

ii) (s) = s5 + s4 + 2s3 + s2 + s+ k

6. Un motor DC esta representado por la funcion de transferencia (1), donde (s) es lavelocidad del motor y Vi(s) es el voltaje de entrada. Disene un controlador proporcionalpara que el sistema en lazo cerrado tenga un coeficiente de amortecimiento = 0,707.Determine el error en regimen permanente.

(s)

Vi(s)=

2

(s+ 10)(s+ 2)(5.1)

7. La funcion de transferencia del pendulo invertido esta expresado por (2), donde (s) esel angulo de inclinacion de la barra y T (s) representa el torque aplicado por un motoren la base del pendulo. Haga el lugar de races suponiendo un controlador proporcionalGc(s) = Kp. Que tipo de respuesta em lazo cerrado espera para los diferentes valoresde Kp?

(s)

T (s)=

2

s2 2 (5.2)

8. Considere el sistema en lazo directo G(s).

G(s) =10

s+ 1(5.3)

Obtenga la respuesta temporal del sistema en lazo cerrado (realimentacion negativa yunitaria) cuando esta sujeto a cada una de las entradas siguientes:

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i) r(t) = sen(t+ 30)

ii) r(t) = 2sen(2t 45)iii) r(t) = sen(t+ 30) 2cos(2t 45)Use el comando lsim en Matlab, el cual permite personalizar el tipo de senal de entrada.

9. Considere un sistema en lazo cerrado con la siguiente funcion de transferencia en lazoabierto:

G(s)H(s) =10k(s+ 0,5)

s2(s+ 2)(s+ 10)(5.4)

Grafique las trazas polares de G(s)H(s) con valores de k = 1 y k = 10. Apliqueel criterio de estabilidad de Nyquist y determine la estabilidad del sistema con estosvalores.

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Apendice A

Tutorial Basico de Matlab

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Control1 Guia Lab