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Control Robot Scara
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Resumen: En el presente trabajo se tiene por objetivo modelar un
Robot Scara Epson de la serie EH de manera teórica empleando
dinámica de Lagrange, luego contrastar dicho modelo con uno
obtenido a partir del modelo real construido en Solidworks e
importado a Simulink mediante el empleo de SimMechanics. A
continuación aplicamos diversos tipos de control (Proporcional con
retroalimentación de velocidad, PD, PID, Par calculado, control
óptimo y LQR+PID), comparando los beneficios y perjuicios que
ofrecen cada uno de ellos. Una aplicación usual de este robot el
trabajo en la industria farmacéutica, donde el robot cumple la función
de tomar y posicionar (‘pick and place’), en la cual mediante una
ventosa sujeta paquetes pequeños y los posiciona en un lugar
determinado.
Palabras clave: robot Scara, dinámica de Lagrange, control
óptimo, LQR, PID.
I. INTRODUCCION
El presente artículo tiene como objetivo principal mostrar de
manera completa el modelamiento y control de un robot
manipulador de uso frecuente en la industria; para lograr
aquello seguiremos una secuencia de trabajo que se enumera a
continuación:
1. Obtener el modelo matemático de un robot scara del
fabricante Epson de la serie EH y código 850 y
comprobar su validez frente al modelo real.
2. Diseñar controladores para el robot scara en cuestión,
analizar los resultados.
3. Hacer una discusión sobre los resultados obtenidos
mostrando ventajas y desventajas de cada tipo de
control y seleccionar el controlador con mejores
prestaciones.
Un objetivo secundario radica en que este trabajo sea útil en la
práctica industrial y pueda ser tomado en cuenta para una
mayor comprensión del funcionamiento de manipuladores
industriales. En parte para satisfacer este objetivo secundario
se eligió un robot Scara por su amplia difusión en las
diferentes industrias donde cumple distintas funciones como
paletizado, ‘pick and place’ y ensamblaje.
En la figura 1 se muestra el robot que analizaremos.
Figura1. Robot Scara Epson EH-580(Modelo del fabricante)
II. MODELAMIENTO
A. Obtención del modelo matemático del robot:
A.1.- Descripción del prototipo:
El robot utilizado es un robot SCARA de cuatro
grados de libertad, tres articulaciones rotacionales y una
prismática. Las dimensiones han sido extraídas del manual
del fabricante y las masas aproximadas según el peso total y
la distribución del volumen.
Figura 2. Grados de libertad del Robot Scara
Modelamiento y Control de un Robot Scara
Epson de la Serie EH empleado en la Industria
Farmacéutica
Luis Hernández-Núñez, Boris Ramos-Vilcas y Williams García-Portocarrero
Asesor: Msc. Ing. Nilton Anchayhua-Arestegui
Se usará un modelo del robot hecho en un software
CAD (Solidworks), que nos facilitará el cálculo de las
propiedades geométricas (inercia y centro de masa) de cada
eslabón y será posteriormente exportado a Matlab2009 para
su control y simulación.
Figura 3. Robot Scara Epson EH-580 diseñado en Solidworks
A.2.- Parametrización del Modelo:
En la figura 2 se muestran los ejes de movimientos
de los eslabones lo que definirá los ejes Zi y luego se
definirán los ejes ligados por cada eslabón para su posterior
análisis por el algoritmo Denavit-Hartenverg.
Figura 4. Marcos coordenados
De la figura 4 obtenemos los datos para su parametrización
mostrada en la Tabla 1:
𝛼 a 𝜽 d
1 0 0.5 q1 0
2 0 0.35 q2 0
3 0 0 0 q3
4 0 0 q4 -0.41143
Tabla 1. Parametrización DH
A.3.- Cinemática Directa:
Con los parámetros DH calculamos las matrices
homogéneas (A) de cada eslabón.
[
𝛼 𝛼
𝛼 𝛼
𝛼
𝛼
]
La cinemática directa lo obtendremos al multiplicar las
matrices homogéneas:
[
]
Orientación del eje x del efector final respecto al inicial:
Orientación del eje y del efector final respecto al inicial:
Orientación del eje z del efector final respecto al inicial:
Posición del origen del efector final respecto al inicial:
Figura 5. Gráfica de la cinemática directa (q= [pi/3 -pi/4 -0.4 0])
A.4.- Cinemática Inversa:
Para la facilidad en el cálculo la cinemática inversa se hallara
por el método geométrico.
Por ley de cosenos:
A.4.- Dinámica:
Las masas a utilizar se muestran en la tabla 2.
Eslabón Masa (Kg)
0 (Base) 20
1 9
2 9
3 1.5
4 0.4
Tabla 2
Figura 6. Distancia hacia lo centroides de los eslabones
Se resolvió usando el método de Lagrange, para mayor detalle
revisar [4].
A.5.- Singularidares
[
]
Donde k es un entero cualquiera, esto es coherente dado que
en las posiciones en que q2=kπ el manipulador está totalmente
extendido o está totalmente retraído, en ambos casos con los
eslabones 2 y 3 alineados.
III. CONTROLADORES
A. Esquemas y resultados:
1. Control proporcional con realimentación de
velocidad en el espacio articular:
Es el control en lazo cerrado para manipuladores
robóticos más simple que existe. Mayor información
sobre él puede ser hallada en [1].
Ley de control:
Esquema:
Parámetros sintonizados:
KP=10*eye(4) KV=30*eye(4)
Resultados:
2. Control PD en el espacio articular:
Es una extensión directa del controlador usado en el
ítem anterior, información sobre este controlador
puede ser hallada en [1].
Ley de control:
Esquema:
Parámetros sintonizados:
KP=10*eye(4) KV=30*eye(4)
Resultados:
3. Control PD con compensación de gravedad en el
espacio articular:
Una descripción puede ser hallada en [2].
Ley de control:
Esquema:
Parámetros sintonizados:
KP=10*eye(4) KV=30*eye(4)
Resultados:
4. Control PID en el espacio articular:
Es el tipo de control más usado actualmente en la
industria según [3].
Ley de control: ∫
Esquema:
Parámetros sintonizados:
KP=diag([50,80,300,10])
KV=diag([50,40,50,0.5])
KI= diag([0.1,0.1,1000,100])
Resultados:
5. Control PID en coordenadas absolutas:
Esquema:
Resultados:
6. Control de Par Calculado
Para el control de una trayectoria definimos los
estados deseados . Consideramos entonces
la siguiente fórmula para el cálculo de par computado
(referencia):
Al igualar con la formula de la dinámica inversa,
tenemos:
Realizamos control PD para nuestra señal:
Usamos las ganancias del control PD previo.
Figura 7: Control por par computado
Para la programación se utilizo el algoritmo Luh-
Walker (referencia) para el cálculo de la dinámica
inversa.
Figura 8: Robot controlador por programación
Experimentamos para diferentes trayectorias:
Para la trayectoria 1:
Figura 9: Trayectoria 1 Deseada
Figura 10: Posiciones 1 Deseadas
Figura 11: Torques de Control
Figura 12: Trayectoria desplazada
Figura 13: Posiciones medidas
Para la trayectoria 2:
Figura 14: Trayectoria 2 Deseada
Figura 15: Posiciones 2 Deseadas
Figura 16: Torques de Control
Figura 17: Trayectoria desplazada
Figura 18: Posiciones medidas
Para la trayectoria 3:
Figura 19: Trayectoria 3 Deseada
Figura 20: Posiciones 3 Deseadas
Figura 21: Torques de Control
Figura 19: Trayectoria desplazada
Figura 23: Posiciones medidas
7. Control óptimo con realimentación de estados.
Esta técnica de control es válida para modelos
multivariables lineales, por ello es que se debe
considerar el modelo linealizado del robot. Sin
embargo, dado que el robot se mueve en una
trayectoria no existe un punto de operación fijo. En
consecuencia creamos una función que linealice el
modelo para cada punto (qp). El modelo linealizado
puede ser representado como:
….. (1)
Más información sobre esto se puede hallar en [4]
Las matrices A, B y C están definidas por:
Siendo la dinámica la que mostramos abajo:
…….. (2)
Ahora procedemos a expresar el sistema en su forma espacio
estados, con las variables de estado , .
(
) [
] (
) (
) ……(3)
Equivalentemente: …….. (4)
Con ello, ya podemos hallar nuestro LQR, solo hace falta
seleccionar las matrices Q y R, que serán elegidos como la
identidad para nuestra prueba.
Ley de control:
Esquema:
Resultados:
8. Control PID + LQR
Esta técnica es equivalente a PID+PD, pero en lugar
de usar un PD simple se emplea una matriz K que
reduce al máximo nuestro funcional de costo. La
intención de mezclar estas técnicas de control radica
en las siguientes causas:
-El control LQR requiere algún tipo de control
integral para eliminar el offset en el tercer grado de
libertad.
-Si solo añadimos control integral al LQR el sistema
elimina el offset pero sigue siendo acoplado; en
cambio si añadimos un controlador PID, el diseño de
sus 3 matrices de ganancia nos permiten desacoplar
el sistema y de paso aprovechar la acción integral
para eliminar el offset de q3.
Ley de control:
∫
Esquema:
Resultados: (q vs tiempo)
B. Discusión:
El controlador 1 y el 2 muestran resultados similares, ambos
presentan un tiempo de establecimiento y sobreimpulso
aceptables para q1, q2 y q4. Sin embargo, ambos tienen un
offset en la articulación prismática q3, esto se debe a que es la
única afectada por la gravedad. Los torques son aceptables.
El controlador 3 busca compensar la gravedad para eliminar el
offset de la articulación 3; sin embargo, esto no se consigue,
solo se logra reducir el offset. Esto se debe a que el término de
gravedad que compensamos es obtenido a partir del modelo
teórico que es solo una aproximación del real. El torque
máximo aumentó en 5 Nm en comparación al caso de los
controladores 1 y 2.
El controlador 4 busca eliminar el offset mediante un
integrador. Ello se consiguió satisfactoriamente, tal y como se
muestra en las gráficas, pero la sintonización fue más estricta
y compleja para poder garantizar un buen comportamiento del
sistema. Mayor información sobre al aproximación inicial para
la sintonización PID puede ser encontrada en [1] y [2].
Los torques crecieron bastante con respecto al caso anterior
pero aun así son aceptables para actuadores industriales
comerciales.
A continuación llevamos lo obtenido en el controlador 4 -para
el espacio articular- al espacio absoluto y obtuvimos
resultados satisfactorios, aunque en la orientación se presenta
un sobreimpulso aparentemente grande, ello no afecta a la
operación normal del sistema.
Luego procedemos a usar control optimo con realimentación
de estados, para ello implementamos un algoritmo que nos
permite linealizar a alrededor de cada punto de la trayectoria
dada y calcular una matriz K para cada punto, de este modo
logramos controlar las variables articulares; sin embargo, aun
se presenta un offset en q3. Para solucionar aquello en un
principio se pensó incluir acción integral, pero basándonos en
lo hecho en [4] concluimos que era más conveniente agregar
un PID que además de eliminar los offset nos permite
desacoplar el sistema.
Finalmente llegamos a la conclusión de que el mejor
controlador es el LQR+PID dado el buen comportamiento de
la señal de estados y a la robustez del mismo. No obstante,
tiene alto costo computacional por la cantidad de matrices con
que se trabaja.
APENDICE
Planos del espacio de trabajo proveídos por el fabricante:
Figura 7. Espacio de trabajo del robot.
IV. REFERENCIAS
[1] R. Kelly, V. Santibáñez and A. Loría, Control of robot manipulators in
joint space, Springer-Verlag London Limited 2005, ch. 6. [2] R. Kelly, V. Santibáñez and A. Loría, Control of robot manipulators in
joint space, Springer-Verlag London Limited 2005, ch. 7.
[3] R. Kelly, V. Santibáñez and A. Loría, Control of robot manipulators in joint space, Springer-Verlag London Limited 2005, ch. 9.
[4] Tarokh, M. and Seraji, H.(1988) A control scheme for trajectory tracking of robot manipulators. IEEE Robotics and Automation,
Volume(88), 1192-1197.
