Control Estad stico de la Calidad (CEC) Tema 9: Control de ...eio.usc.es/eipc1/base/BASEMASTER/FORMULARIOS-PHP/... · Las normas MIL-STD-105 y MIL-STD-414 y sus correspondientes extensiones

Tema 9: CEC2015

Salvador Nayay Javier Tarrıo

Control Estadıstico de la Calidad (CEC)Tema 9: Control de Recepcion

Salvador Naya ([email protected])Departamento de Matematicas

Universidad de A Coruna

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Introduccion

Contenido del tema

Fundamentos estadısticos de los planes de muestreo.

Plan de muestreo por atributos y por variables.

Curva caracterıstica para un plan de muestreo.

Nivel de calidad aceptable y Calidad media de salida.

Las normas MIL-STD-105 y MIL-STD-414 y suscorrespondientes extensiones (ANSI/ASQC/ISO).

Referencias.

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El control de recepcion

Fundamentos estadısticos de los planes de muestreo

El control de recepcion se aplica a las materias primas,materiales o productos intermedios recibidos y que seranintroducidos en el proceso de fabricacion. Partimos de unapoblacion o colectivo que nos interesa estudiar, normalmenteen este contexto suelen ser productos producidos en lınea obien recibidos en lotes, es posible que esta poblacion tenga untamano finito conocido que denotaremos por N. Para el estudiode alguna de sus caracterısticas de calidad utilizaremos unamuestra de tamano n.El objetivo del control de recepcion serıa aceptar o rechazar undeterminado lote basandonos en la informacion de la muestra.

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Existen tres posibilidades para evaluar un lote:

Aceptar el lote sin inspeccionar

Extraer una muestra y sacar una conclusion sobre el lotecompleto (control por muestreo o muestreo de aceptacion)

Inspeccionar la totalidad de individuos del lote (inspeccional 100 %) La primera opcion es util en situaciones de altaconfianza entre el productor y el consumidor (p.ej.productos o procesos con ındices de capacidad 6-sigma omayores).El muestreo de aceptacion se realiza cuando no es factible,o es antieconomico, la inspeccion del 100 % de losartıculos.

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Para realizar un control de recepcion mediante la seleccion deuna muestra es necesario establecer un plan de muestreo. Unplan de muestreo para aceptacion no es mas que unplanteamiento del tamano muestral necesario que hay que usary de los criterios de aceptacion y rechazo correspondientes.Los planes de muestreo pueden ser disenados para el estudiocontrol basado en atributos o basado en variables. Ademas sedistinguiran en planes simples, dobles, multiples o secuenciales.Dado la importancia que tienen para el control de la calidad sehan generado unas reglas, auspiciadas por organismos deestadarizacion como el americano ANSI/ASQC, las normasUNE, las ISO o las espanolas AENOR. La mayorıa de estosplanes de muestreo son adaptaciones de planes militares, comolas normas MIL STD propuestas por el ejercito americano.

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Control de Recepcion

Diferentes tipos de control de recepcion

Planes de muestreo por atributos o por por variables

Plan de muestreo simple: se basa en la toma de unamuestra aleatoria de n individuos y toma la decision enbase a estos.

Plan de muestreo doble: se basa en la toma de unaprimera muestra de tamano n1 a partir de la que se decideaceptar el lote, rechazar el lote o extraer una segundamuestra de tamano n2.

Plan de muestreo multiple es una extension del muestreodoble donde se pueden tomar de 1 a k muestras antes dela decision.

Plan de muestreo secuencial: se van extrayendo una a unalas unidades y en cada momento se puede decidir aceptar,rechazar el lote o tomar un nuevo individuo. 13 / 58

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El control simple por atributos

Supongase que se recibe un lote de un gran numero, N, deproductos y que el comprador considera que si la proporcionverdadera de elementos defectuosos, p, es menor que un valorpA el lote es aceptable.El valor pA se denomina nivel de calidad aceptable (AQL, delingles acceptable quality level). Habitualmente, el valor pAdepende de criterios economicos y tecnicos.En pocas palabras, un plan de muestreo simple requiere elegirel tamano de la muestra, n, y un numero de defectuosos, c ,tales que si el numero de defectuosos observados en la muestra,X , es mayor que c , el lote se rechace, mientras que si es menoro igual que c , se acepte.

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Los dos tipos de errores para un plan de muestreo simple

El error de tipo I o riesgo del vendedor, que en este casoconsiste en rechazar un lote que en realidad es aceptable(p = pA) y el error de tipo II o riesgo del comprador, queequivale a aceptar un lote que se deberıa rechazar (p > pA).La probabilidad del error de tipo uno o riesgo α sera:

α =n∑

i=c+1

(n

i

)piA(1− pA)n−i ,

mientras que la probabilidad del error de tipo II, dado un valorpR , mayor que pA, llamado nivel de calidad rechazable (RQL):

β =c∑

i=0

(n

i

)piR(1− pR)n−i .

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El control simple por atributos. Curva OC

La curva caracterıstica para un valor p ∈ [0, 1], OC (p),representa la probabilidad de aceptar el lote (mediante el plande muestreo disenado) cuando la proporcion de defectuosos enel mismo es p. Una vez fijados los valores α, pA, β y pR ,puede obtenerse el tamano muestral, n, y el maximo valorpermisible del numero de defectos, c , para aceptar el lote. Estoes lo mismo que decir que fijados dos puntos de la curvacaracterıstica ((α, pA) y (β, pR)) puede obtenerse el plan demuestreo con dichas especificaciones.

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la probabilidad de que un lote que contiene d artıculosdefectuosos sera:

P(X = d) =n!

d!(n − d)!pd(1− p)n−d

En donde p es la probabilidad de artıculos defectuosos del lote,estimada por la proporcion de defectuosos observada. Puestoque la aceptacion se produce si el numero de defectuosos en lamuestra es igual o inferior a c. Se tendra que la probabilidad deaceptacion es:

pa = P(X ≤ c) =c∑

i=0

n!

d!(n − d)!pd(1− p)n−d

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Si por ejemplo la probabilidad de defectuosos del lote fuesep = 0,01, n = 100 y c = 2, tendrıamos:

pa = P(X ≤ 2) =c∑

i=0

100!

d!(100− d)!0,01d(0,99)n−d

= (0,99)100 + 100(0,01)(0,99)99 +100(99)

20,012(0,99)98

= 0,366 03 + 0,369 7 + 0,184 86 = 0,920 59

Pueden utilizarse aproximaciones de la distribucion binomial ala Normal y a la Poisson.

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Ejemplo

Disenar un plan de muestreo para lotes de 10000 unidades conlos siguientes parametros: pA = 0,02, α = 0,05, pR = 0,04,β = 0,05.La variable X , numero de defectos, es aproximadamente normalcon media np y desviacion tıpica

√np(1− p). Ası pues, las

especificaciones anteriores nos llevan a que han de elegirse c(maximo numero de defectos permitidos) y n (tamanomuestral) de forma que

1− Φ

(c − 0,02n√

n0,02(1− 0,02)

)= P(X > c |p=0,02) = 0,05 y

Φ

(c − 0,04n√

n0,04(1− 0,04)

)= P(X ≤ c |p=0,04) = 0,05.

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Ejemplo

Esto equivale a imponer las condiciones

c = 0,02n + z0,05

√n0,02(1− 0,02)

c = 0,04n − z0,05

√n0,04(1− 0,04)

Teniendo en cuenta que z0,05 = 1,64, se obtiene

1,64√

n0,04(1− 0,04) + 1,64√n0,02(1− 0,02) = 0,02n,

es decir,

1,64√n0,04(1− 0,04) + 1,64

√n0,02(1− 0,02) = 0,02n.

Esta ecuacion puede escribirse de la forma

0. 55097√n = 0,02n, 24 / 58

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Ejemplo

De donde se sigue que n ha de ser (0. 55097/0,02)2 = 758. 92.Tomando, por aproximacion, n = 759, se obtienec = 0,02 · 759 + 1,64

√759 · 0,02(1− 0,02) = 21. 505.

En resumen, el plan de muestreo que satisface lascaracterısticas especificadas es el que consiste en tomarmuestras de 759 unidades, rechazando el lote si se encuentran22 o mas elementos defectuosos y aceptandolo si el numero dedefectuosos es menor o igual que 21.

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Ejemplo plan de muestreo

En un plan de muestreo para lotes de 15.000 tornillos, laprobabilidad de que un lote sea aceptado si contiene un 1,59 %de unidades defectuosas sera:

β(0,0159) = e−npc∑

x=0

(np)x

x!.

donde resuelto el plan de muestreo queda:x =n◦ de unidades defectuosas en la muestra.Pa = probabilidad de aceptacion.n =315, tamano de la muestra.c = 5, numero de aceptacion.p =0,0159, proporcion de defectuosos en el lote.

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Ejemplo plan de muestreo

En efecto, si la regla de decision ha sido aceptar el lote si en lamuestra de tamano 315 aparecen 5 o menos de 5 unidadesdefectuosas, la probabilidad de aceptacion sera la dada por laexpresion anterior.Esta probabilidad puede calcularse con ayuda de una tabla dela distribucion de Poisson, o directamente.Pa = 0,616es decir, se aceptaran el 61,6 % de los lotes que lleven un1,59 % de defectuosos.

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Curva OC

Resulta bastante laborioso determinar un plan de muestreo apartir del valor de la curva caracterıstica en dos puntos. Parasimplificar esta tarea se puede acudir a tablas que proporcionanlas caracterısticas del plan en cuestion.Los planes de muestreo se dividen en dos tipos: aquellos quetan solo recomiendan la aceptacion o el rechazo de un lote(planes de aceptaci on/rechazo) y los que consisten eninspeccionar al cien por cien los lotes rechazados, reemplazandolos elementos defectuosos por otros no defectuosos. Dentro delprimer tipo destacan las normas japonesas (o plan JIS Z 9002)y la norteamericanas (Military Standard). Por su parte, losplanes rectificativos mas utilizados son debidos a Dodge yRomig.

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Curva OC

La curva OC indicara el poder discriminatorio del plan demuestreo, ası en el ejemplo anterior para p = 0,01 resultarıauna probabilidad de aceptacion del lote de 0,92. Esto significaque si se aplicara esta plan de muestreo a lotes con unporcentaje de defectuosos del 1 %, la probabilidad de quefuesen aceptados serıa de 0,92: de 100 lotes aceptarıamos 92 yrechazarıamos 8.Para el calculo de la curva OC podrıamos dar distintos valorespara p y determinar pa. por ejemplo en el caso de que p = 0,05:

pa = (0,95)100+100(0,05)(0,95)99+100(99)

20,052(0,95)98 = 0,118 26

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Curva OC

En la siguiente tabla se presentan algunos valores para estacurva OC:

pa = (0,9)100+100(0,1)(0,9)99+100(99)

20,12(0,9)98 = 0,118 26

p pa0,01 0,920 590,02 0,676 690,03 0,419 780,04 0,232 140,05 0,118 260,06 0,056610,08 0,011270,10 0,00194 30 / 58

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Curva OC. Consideraciones para su utilizacion.

Se pueden utilizar dos enfoques diferentes para crear planes demuestreo mediante el uso de estas curvas: planes de muestreocon numero de aceptacion iguales a 0, c=0, o planes convalores c que son un porcentaje fijo del tamano muestral.En la practica el proveedor y el consumidor tendran puntos devista diferentes a la hora de establecer un plan de muestreo. Eslogico que el proveedor quiera conocer el nivel de calidad dellote o del proceso que pruduzca una alta calidad de aceptacion,mientras el comprador o consumidor lo que estara interesado enconocer cual es el nivel de calidad del lote o proceso queproducira una baja probabilidad de aceptacion.El proveedor establecera un plan de muestreo que respete uncierto nivel de calidad, que llamaremos, el nivel de calidadaceptable. El consumidor le interesa un plan de muestreo quede una alta probabilidad a la aceptacion de un producto quecumpla con ese nivel AQL.

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Curva OC. Interpretacion.

La curva caracterıstica es un grafico que expresa, para un plande muestreo concreto, la probabilidad de aceptar un lote enfuncion del porcentaje p de artıculos defectuosos existentes enel lote. Llamemos OC(p) a esta probabilidad. Si p = 0aceptaremos siempre ese lote, pues cualquier muestra queextraigamos estarıa libre de artıculos defectuosos. Por tanto,OC(0) = 1. Asimismo, si todos los artıculos son defectuosos (p= 1) rechazaremos siempre ese lote, pues cualquier muestraque se extraiga tendrıa todos los artıculos defectuosos. Portanto, la probabilidad de aceptar el lote serıa cero: OC(1) = 0.El objetivo de un diseno de un plan de muestreo es, pues,doble: 1. Garantizar que, aplicando dicho plan, lotes con unporcentaje de defectuosos bajo se acepten con una probabilidadmuy alta. Esto es equivalente a decir, que a la izquierda de pAla curva OC(p) se aproxime a la unidad. 2. Garantizar que lotescon un porcentaje de defectuosos alto sean aceptados con unaprobabilidad muy baja. Por tanto, a la derecha de pA la curvaOC(p) correspondiente se aproxime a cero.

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Ejemplo curva OC para atributos

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Tres curvas OC para el caso de un muestreo conn=10, c=1: en verde con hipergeometrica, ennegro binomial y en verde Poisson.

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Curva OC para variables

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Planes de muestreo. El plan japones JIS Z 9002

Para ciertas elecciones de los valores α y β, mediante unasimple tabla de doble entrada para pA y pR , se obtiene eltamano de la muestra,n , y el numero maximo de defectuososadmisibles, c . Ası, por ejemplo, si se desea disenar un plan demuestreo con α = 0,05, β = 0,10, pA = 0,02 y pR = 0,10, seacude a la tabla del plan JIS Z 9002, con α = 0,05 y β = 0,10y se busca la fila correspondiente a un 2 y la columna donde sehalla el 10 . Con todo esto se encuentra que el tamano de lasmuestras ha de ser n = 60, rechazando el lote siempre que elnumero de defectos exceda de c = 3.Los planes de muestreo siguiendo estas normas japonesaspresentan curvas caracterısticas que pasan aproximadamentepor los puntos especificados.

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El plan Military Standard (MIL-STD-105D o UNE 66020)

Estos planes fueron disenados por el ejercito de EstadosUnidos, pero son de amplia aplicacion en todo el mundooccidental. Sus caracterı sticas fundamentales son que el plandepende del tipo de inspeccion a realizar (coste economico dela misma) y que se va ajustando en funci on de la calidad delos lotes que se inspeccionan. Los planes estan disenados paraofrecer un valor de AQL del 5 (pA = 0,05), pero no tienen encuenta el valor de pR . En la practica el riesgo β es pequeno sipR es aproximadamente cinco veces pA.

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El funcionamiento del plan se esquematiza en los siguientespasos:

Decidir el AQL.

Determinar el tipo de inspeccion:

1 Nivel I: coste de inspeccion alto.2 Nivel II: coste estandar.3 Nivel III: coste de inspeccion bajo4 Niveles S1 a S4: ensayos destructivos.

Determinar el rigor de la inspeccion:

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Decidir el AQL.




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Decidir el AQL.




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Decidir el AQL.




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Decidir el AQL.




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Decidir el AQL.




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Decidir el AQL.




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Para aplicar el plan hay que seguir una serie de pasos:

Decidir el AQL o pA. Las columnas desde 0.01 hasta 10son de noconfomes. El resto de columnas desde 15 a 1000indican el numero de no-conformidades por 100 unidades.

Determinar el nivel de inspeccion en funcion de su coste(nivel I, II, III, o niveles especiales).

Con el tamano del lote y el nivel de inspeccion anterior ir ala tabla de codigos y encontrar el codigo de inspeccion(tabla 10.7 del anexo).

Determinar el plan de inspeccion (normal, riguroso (oestricto) y reducido).

Con el codigo de inspeccion y el plan de inspeccion, acudira la tabla correspondiente.

Tomar la muestra y ejecutar la inspeccion.45 / 58

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Ejemplo del plan Military Standard

Supongamos que N = 500 y que el AQL = 4 y Nivel II.Con estos datos para determinar el plan de muestreo simple dela norma MIL STD 105E, se busca en la correspondiente tablalos valores del plan:Mirando en la tabla del plan la letra del codigo es J, y losvalores (n, Ac,Re) son (80, 7, 8) en inspeccion normal, (80, 5,6) en inspeccion estricta y (32, 3, 6) en inspeccion reducida.

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Planes Dodge-Romig de control rectificativos

Se basan en la idea de inspeccionar el total de los lotesrechazados, reemplazando las unidades defectuosas por otrasen buen estado. Estos planes consiguen que la calidad media desalida (AOQ, del ingles average outgoing quality) sea alta.Supongase un lote de tamano N, con D unidades defectuosas.Entonces, la proporcion de defectuosas es p = D/N.Considerese β(p) la probabilidad de que un plan dado aceptelotes con esa calidad. Es evidente que la calidad media desalida despues del plan de muestreo es

AOQ = β(p) · p + (1− β(p)) · 0 = β(p) · p.

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Planes Dodge-Romig de control rectificativos

La curva resultante se obtiene multiplicando la curva OC (p)por el valor p. Como consecuencia, es muy parecida a lafuncion identidad cuando p es cercano a cero, para luegoalcanzar un maximo (lımite de calidad media de salida, AOQL)y posteriormente decrecer hacia altura cero. La raz on es muysencilla: lotes con una gran proporcion de defectos tender an aser examinados en su totalidad practicamente siempre y, portanto, a ser reemplazados los defectos por elementos nodefectuosos.Las tablas suministradas por los planes de control rectificativode Dodge-Romig pueden usarse de dos formas distintas. DadosN, el AQL y pR , encontrar n, c y el AOQL (tomando el riesgodel comprador igual a 0,10), o bien fijando N, el AQL y elAOQL, se determinan n, c y pR .

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Ejemplo del plan Dodge con el paquete Dodge

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Bibliografıa

Referencias

Duncan (1996). Control de Calidad y EstadısticaIndustrial. Alfaomega.

Juran J. y Godfrey B. (2005). Manual de Calidad(tomos I y II). McGrawHill.

Montgomery D. C. (2005/09). Introduction toStatistical Quality Control. Wiley.

Andreas Kiermeier. (2015). PackageAcceptanceSampling. librerıa de R para control deaceptacion.

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Bibliografıa

Referencias especıficas de control de recepcion

MIL-STD-105E (1989). Sampling Procedures and Tablesfor Inspection by Attributes. Department of Defense,Washington, DC.

Dodge, H.F. and Romig, H.G. (1959). Sampling InspectionTables, Single and Double Sampling. 2nd edition, JohnWiley and Sons, New York.

Johnson NL, Kotz S, Wu X (1991). Inspection Errors forAttributes in Quality Control. Chapman and Hall.

Kiermeier A (2008). Visualising and Assessing AcceptanceSampling Plans: The R Package AcceptanceSampling.Journal of Statistical Software, 26(6).

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