Control de angulo de cabeceo de un avion

INSTITUTO UNIVERSITARIO AERONÁUTICOINFORME TÉCNICO SC-001/13 página: 1

Índice

1. Introducción 2

2. Autopiloto básico 22.1. Conversor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2. Sensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3. Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.4. Planta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.4.1. Actuador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.4.2. Sistema de estabilidad aumentada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.4.3. Dinámica del avión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3. Modelo 53.1. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2. Datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3. Diagrama de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4. Análisis 84.1. Respuesta en lazo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.1.1. Respuesta ante entradas impulso y escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.1.2. Respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2. Respuesta en lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2.1. Error en régimen permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2.2. Respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2.3. Margen de estabilidad - Criterio de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . 12

5. Diseño 135.1. Polos objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.2. Lugar de raíces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.2.1. Polos y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.2.2. Asíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2.3. Puntos del eje real que pertenecen al lugar de las raíces . . . . . . . . . . . . 145.2.4. Puntos de ruptura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2.5. Puntos de corte con el eje imaginario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2.6. Ángulos de salida y llegada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2.7. Grá�ca del lugar de raíces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.3. Compensador de adelanto-retraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.3.1. Ajuste por el lugar de raíces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.3.2. Criterio de selección de a y b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.3.3. Calculo de la ganancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.3.4. Análisis de los resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.4. Rediseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.4.1. Reubicación de los polos objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.4.2. Diseño �nal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6. Conclusión 27

06/02/13 Shing Chan Revisión:/


1. Introducción

Con este trabajo se pretende mostrar la aplicación de la Teoría de Control en el desarrollo deun autopiloto para el mantenimiento del angulo de cabeceo de un avión de transporte convencio-nal a través del control del elevador. Hemos adoptado al Boeing 747-400 para este propósito. Seexpondrán las ecuaciones de movimiento para nuestro vehículo bajo ciertas hipótesis que permiti-rán la linealización y simpli�cación del modelo, luego se aplicará la transformada de Laplace a lasecuaciones diferenciales para obtener la función de transferencia que relacione el angulo de cabeceocon la de�exión del elevador. De la misma manera se obtendrán las funciones de transferencia parael actuador, el sensor y el ampli�cador. A continuación se dibujará el diagrama de bloques delautopiloto, y de acuerdo con los requerimientos de comportamiento, se establecerá la ley de controly se diseñará el bloque del controlador con los métodos vistos en la teoría. Finalmente se gra�carála salida del angulo de cabeceo en el tiempo y se veri�cará que cumpla con los requerimientos.

2. Autopiloto básico

El autopiloto para el mantenimiento del angulo de cabeceo previene al piloto de repetitivasmaniobras de corrección durante el vuelo, especialmente durante turbulencias en el vuelo, reduciendola fatiga del piloto. Este sistema toma la señal de referencia y la compara con la señal del sensor desalida como realimentación. El sistema utiliza esta diferencia de señal y, bajo una ley de control,actúa sobre la aeronave mediante el elevador.

Conversor Controlador Planta

Perturbaciones

vcontrol

Sensor

θref vref ev θout−

vsensor

2.1. Conversor

El conversor traduce el angulo de referencia a la cual se quiere equilibrar el avión en una señal devoltaje de referencia manipulable para el sistema. Suponemos el uso de un conversor proporcionalde relación unitaria. Por ejemplo, para un angulo de referencia de 5 grados, la señal de referenciaes de 5 volts. La función de transferencia es la unidad.

Conversor =vref (s)

θref (s)= 1

en unidades de V/◦.

2.2. Sensor

Para el sensor suponemos el uso de un giróscopo vertical que mida la inclinación del avión ydevuelva una señal de voltaje como realimentación del sistema. Para la ley de conversión suponemos



como en el caso anterior una relación proporcional unitaria. En cuanto al tiempo de retraso en lamedición, se aproxima a una función de transferencia de primer orden:

Sensor =vsensor(s)

θout(s)=

1

τss+ 1

en unidades de V/◦, donde τs es la constante de tiempo de retraso. Para sensores relativamentemodernos, el valor de τs es bastante bajo, de modo que la medición es casi instantánea. Para estecaso:

Sensor =vsensor(s)

θout(s)=

1

τss+ 1≈ 1

para τs muy pequeño.

2.3. Controlador

El bloque del controlador corresponde a la ley de control que se quiere diseñar para que elsistema de autopiloto responda con los requerimientos deseados.

2.4. Planta

El bloque de la planta consiste en el conjunto formado por el actuador, la dinámica del avióny el sistema de estabilidad aumentada (SAS: stability augmentation system). El subdiagrama de

bloques para la planta se representa como:

Actuador Dinámicaδ

SAS

vcontrol vdamp θout−

vsas

Planta

2.4.1. Actuador

Suponemos el uso de un actuador electrohidráulico para el elevador, de relación proporcionalunitaria (1 grado de de�exión de elevador por voltio) y retardo en la actuación de primer orden. Lafunción de transferencia es:

Actuador =δ(s)

vdamp(s)=

1

τes+ 1

en unidades de ◦/V. Para aviones de transporte, suponemos un valor típico de τe = 0.1seg.



2.4.2. Sistema de estabilidad aumentada

O sistema de estabilidad virtual, se utiliza para brindar mayor estabilidad ante perturbacionescuando la estabilidad natural de la aeronave sola no es su�ciente. Para aumentar el amortiguamientode cabeceo, se realimenta el actuador con una señal proporcional a la velocidad de cabeceo. Seutiliza entonces un sensor de velocidad angular. La señal del sensor es ampli�cada por un factor deproporcionalidad KSAS con valores entre 0.1 y 2. Para un factor típico del Boeing 747-400 igual a0.5, el bloque resulta:

SAS =vdamp(s)

θout(s)= 0.5s

en unidades de V/◦. En la Figura 1 se comparan las respuestas del avión ante una ráfaga de viento(perturbación tipo impulso) con y sin SAS.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Impulse Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

con SASsin SAS

Figura 1: Respuestas ante perturbación tipo impulso

2.4.3. Dinámica del avión

El bloque de la dinámica del avión relaciona el comportamiento del angulo de cabeceo con lade�exión del elevador. En la sección siguiente se exponen las ecuaciones de movimiento longitudinaly se deduce la función de transferencia para este bloque.



3. Modelo

3.1. Ecuaciones de movimiento

Las ecuaciones que gobiernan el movimiento de un avión es un complicado conjunto de seisecuaciones diferenciales acopladas y no lineales. Sin embargo, bajo ciertas hipótesis, éstas puedendesacoplarse y linealizarse en tres ecuaciones longitudinales y tres laterales. El angulo de cabeceodel avión es dictado por las ecuaciones longitudinales. Los ejes de referencia y las fuerzas básicasque actúan en el avión se muestran en la Figura 2.

Figura 2: Diagrama de cuerpo libre

Se asume que el avión se encuentra en vuelo crucero a velocidad y altitud constantes. Por tantoel empuje, el arrastre, el peso y la sustentación se balancean en las direcciones x e y. Las ecuacionesde movimiento longitudinal se escriben como sigue:

CDu+ τ u+1

2(CDα − CL)α+

CL2θ = 0

CLu+CLα2α+ τα− τ θ = 0

Cmuu+ Cmαα+ Cmdατα+ Cmdθτ θ − hτ2θ = −Cmδδ − Cmdδτ δ

donde:α = angulo de ataque.θ = angulo de cabeceo.δ = de�exión del elevador.CL = coe�ciente de sustentación.CDα = pendiente del coe�ciente de resistencia.CLα = pendiente del coe�ciente de sustentación.Cmα = momento de cabeceo por angulo de ataque.Cmdα = momento de cabeceo por velocidad de cambio de angulo de ataque.Cmdθ = amortiguamiento de cabeceo.Cmδ = potencia del elevador.



Cmdδ = momento de cabeceo por cambio en la velocidad del elevador.

h =2k2yµc2 = constante del avión que expresa una relación de inercias.

τ = mρSV = constante de tiempo para la condición de equilibrio del avión.

Una deducción completa y detallada de estas ecuaciones se puede encontrar en Airplane Per-formance Stability and Control - Perkins and Hage. Una versión más breve en Apuntes de Clase:Mecánica de Vuelo II - Ing. Gustavo Scarpin.

Al estudiar el movimiento de cabeceo del avión para usarlo en nuestro sistema de control, solointeresa el movimiento en las primeras oscilaciones, ya que se pretende que el sistema de controlestabilice relativamente rápido . En los primeros segundos del movimiento, predomina el short mode

(corto periodo) caracterizado por oscilaciones fuertemente amortiguadas y alta frecuencia. En esteperiodo es despreciable la variación de la velocidad u frente a las demás variaciones (α y θ). Luego,despreciando el valor de Cmdδ generalmente pequeño, las ecuaciones de movimiento se reducen a:

1

2CLαα+ τα− τ θ = 0

Cmαα+ Cmdατα+ Cmdθτ θ − hτ2θ = −Cmδδ

Aplicando transformada de Laplace y escribiendo en términos de α(s)δ(s) y θ(s)

δ(s) , las ecuacionesanteriores en forma matricial queda:(

12CLα + τs −τs

Cmα + Cmdατs Cmdθs− hτ2s2

)( α(s)δ(s)θ(s)δ(s)

)=

(0

−Cmδ

)Finalmente, la función de transferencia para θ(s)

δ(s) se despeja con la regla de Cramer:

θ(s)

δ(s)=

∣∣∣∣ 12CLα + τs 0

Cmα + Cmdατs −Cmδ

∣∣∣∣∣∣∣∣ 12CLα + τs −τs

Cmα + Cmdατs Cmdθs− hτ2s2

∣∣∣∣3.2. Datos

Usaremos los datos del Boeing 747-400 en vuelo crucero a Mach=0.65 y 20000 pies. Los datospara esta condición de vuelo (sacados de Roskam J., Aircraft Flight Dynamics and Automatic FlightControls) son:

V = 205.13m/s ρ = .653 kg/m3 m = 288773.23 kg S = 510.97m2 c = 8.32mIy = 44.88× 106 kg ·m2 µ = 104.07 ky = 12.47m h = .0431 τ = 4.22 s

CL = 0.4 CDα = 0.2 CLα = 4.4 Cmα = −1 Cmdα = −0.017Cmdθ = −0.085 Cmδ = −1.3 Cmdδ = −.005

Las ecuaciones de movimiento en forma matricial resultan:(4.22s+ 2.2 −4.22s−0.072s− 1 0.768s2 − 0.359s

)( α(s)δ(s)θ(s)δ(s)

)=

(01.3

)



Finalmente, la función de transferencia que relaciona el angulo de cabeceo con la de�exión delelevador es:

θout(s)

δ(s)=

∣∣∣∣ 4.22s+ 2.2 0−0.072s− 1 1.3

∣∣∣∣∣∣∣∣ 4.22s+ 2.2 −4.22s−0.072s− 1 0.768s2 − 0.359s

∣∣∣∣ =1.69s+ 0.84

s(s2 + 1.18s+ 1.59)

3.3. Diagrama de bloques

Con la función de transferencia de la dinámica encontrada podemos dibujar el diagrama debloques completo, donde el bloque C corresponde al controlador que se va a diseñar.

1V/◦ C 10.1s+1

1.69s+0.84s(s2+1.18s+1.59)

δvcontrol

0.5s

1V/◦

θref vref ev θoutvdamp

−vsas

−

vsensor

Podemos reducir el diagrama de bloques reemplazando el loop interno que corresponde a laplanta por la función de transferencia de la misma.

10.1s+1

1.69s+0.84s(s2+1.18s+1.59)

δ

0.5s

vcontrol vdamp θout−

vsas

Planta

Se tiene queθout(s)

vcontrol(s)=

Actuador ×Dinamica1 +Actuador ×Dinamica× SAS

10.1s+1

1.69s+0.84s(s2+1.18s+1.59)

1 + 10.1s+1

1.69s+0.84s(s2+1.18s+1.59)0.5s

=16.90(s+ 0.50)

s(s+ 9)(s2 + 2.17s+ 2.23)

entonces



16.90(s+0.50)s(s+9)(s2+2.17s+2.23)

vcontrol θout

Planta

El diagrama de bloques �nal queda:

1V/◦ C16.90(s+0.50)

s(s+9)(s2+2.17s+2.23)

vcontrol

1V/◦


vsensor

4. Análisis

Se establecen los requerimientos y se analizan las respuestas del sistema en lazo abierto y cerradoante entradas impulso y escalón unitario.

El piloto automático deberá recibir una señal del tipo entrada escalón y llevar el avión a lainclinación deseada dentro de los siguientes limites:

Sobrepasamiento menor al 5%.

Tiempo de establecimiento menos de 5 segundos.

Error en el estado estacionario menor al 1%.

4.1. Respuesta en lazo abierto

4.1.1. Respuesta ante entradas impulso y escalón

Utilizando MATLAB se gra�ca la salida de la planta sin compensación en lazo abierto anteentradas impulso y escalón unitario. La entrada impulso simula una perturbación del sistema, comouna ráfaga de viento. La entrada escalón unitario simula el comportamiento del autopiloto, sincompensación ni realimentación alguna, y será claramente divergente.

16.90(s+0.50)s(s+9)(s2+2.17s+2.23)

vref (s) = 1 θout(s)

Entrada impulso



16.90(s+0.50)s(s+9)(s2+2.17s+2.23)

vref (s) =1s θout(s)

Entrada escalón unitario

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Impulse Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

Entrada impulso

0 1 2 3 4 5 6 70

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

Entrada escalón unitario

Se ve que el sistema posee un amortiguamiento natural que lo hace estable ante perturbacio-nes del tipo impulso. El sistema es claramente divergente ante una entrada escalón cuando no esrealimentado.

4.1.2. Respuesta en frecuencia

Para dibujar el diagrama de Bode, procedemos a descomponer la función de transferencia lazoabierto en sus partes elementales:

Gla(s) =16.90 (s+ 0.5)

s (s+ 9) (s2 + 2.17s+ 2.23)= 0.19

1

s

9

s+ 9

s+ 0.5

0.5

2.232

s2 + 2.17s+ 2.23

Vemos que la función de transferencia lazo abierto es el producto entre una ganancia, un inte-grador, un polo simple, un cero simple y un polo doble. El diagrama de Bode resultante es la sumade los diagramas de Bode para cada una de las funciones elementales, en virtud de que el logaritmode un producto es la suma de los logaritmos de los factores.



−150

−100

−50

0

50

Mag

nitu

de (

dB)

10−2

10−1

100

101

102

103

−270

−225

−180

−135

−90

−45

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

Figura 3: Diagrama de Bode lazo abierto

4.2. Respuesta en lazo cerrado

4.2.1. Error en régimen permanente

Al examinar la funcion de transferencia en lazo abierto del sistema, nos damos cuenta que elsistema es de tipo I. En virtud a ello se puede concluir que el error en régimen permanente anteuna entrada escalón será nulo, en concordancia con la siguiente tabla:

1s

1s2

1s3

0 11+Kp

∞ ∞I 0 1

Kv∞

II 0 0 1Ka

Utilizando MATLAB veri�camos que es así. Presentamos la salida del sistema lazo cerrado anteuna entrada escalón (Figura 4).

Se ve que el sistema cumple con la mayoría de los requerimientos salvo el tiempo de asentamiento,que es mas del doble de lo deseado. Algún tipo de compensación se debe realizar.



16.90(s+0.50)s(s+9)(s2+2.17s+2.23)

1V/◦

vref (s) =1s ev(s) θout(s)

−

vsensor

Sistema en lazo cerrado

Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 4: Respuesta del sistema lazo cerrado

4.2.2. Respuesta en frecuencia

Para dibujar el diagrama de Bode del sistema lazo cerrado, utilizamos el diagrama de Bode lazoabierto y realizamos las correcciones necesarias. Para bajas frecuencias el sistema en lazo cerradoes la unidad, y a frecuencias elevadas es igual que el diagrama de Bode en lazo abierto.



−150

−100

−50

0

50

Mag

nitu

de (

dB)

10−2

10−1

100

101

102

103

−270

−180

−90

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

Lazo abiertoLazo cerrado

Lazo abiertoLazo cerrado

Figura 5: Diagrama de Bode lazo cerrado

4.2.3. Margen de estabilidad - Criterio de Routh-Hurwitz

La función de transferencia en lazo cerrado con un compensador proporcional K (Figura 6) es:

K(16.9s+ 8.45)

s4 + 11.17s3 + 21.78s2 + (16.9K + 20.11) s+ 8.45K

Todos los coe�cientes de la ecuación característica son positivos para K > 0. Se procede a armarla tabla y se veri�ca que los valores de la primera columna sean positivos.

s4 1 21.78 8.45ks3 11.17 16.9K + 20.11s2 20− 1.51K 8.45K

s1 −25.52K2+213.25K+402.220−1.51K

s0 8.45K

En la �la 3 se tiene 20− 1.51K > 0⇒ K < 13.25. En la �la 4 se tiene −25.52K2 + 213.25K +402.2 > 0⇒ K < 9.93. Por tanto, la ganancia critica queda de�nido por el limite inferior, o sea

Kcr = 9.93



5. Diseño

Con los requerimientos de diseño presentados, se de�nen los polos objetivos. Se emplea el métodode lugar de las raíces para el diseño de un compensador proporcional que logre que los polosdominantes del sistema sean los polos objetivos. De no ser posible, se procede al diseño de uncompensador de adelanto-retraso que modi�que el lugar de raíces de forma que pase por los polosobjetivos.

5.1. Polos objetivos

Sobrepasamiento menor al 5%.

0.05 ≥Mp = e−πξ√1−ξ2 ⇒ ξ ≥ 0.69

El polo objetivo debe localizarse dentro de la zona del eje real negativo entre los ángulos 134.43◦ y−134.43◦. Usaremos ξ = 0.7.

Tiempo de levantamiento menor a 5 segundos.

5 s ≥ ts =4

ξωn⇒ ξω ≥ 0.8

La parte real de los polos objetivos debe ser menor o igual a −0.8. Para ξ = 0.7⇒ ωn ≥ 1.143 rad/s.El modulo de los polos objetivos debe ser mayor o igual a 1.143. Adopto ωn = 2 rad/s.

Los polos objetivos resultan:

−1.4± 1.43i

Si los polos del sistema contienen a los polos objetivos, y estos son dominantes, entonces nosaseguraremos de que cumplirán los requerimientos.

5.2. Lugar de raíces

Se hallan los polos y ceros de la planta. Luego se hallan las asíntotas, el lugar en el eje real,corte en el eje imaginario, puntos de ruptura, ángulos de salida/entrada y margen de ganancia.

5.2.1. Polos y ceros

Calculamos los polos y ceros del sistema lazo abierto.

Planta =16.90(s+ 0.5)

s(s+ 9)(s2 + 2.17s+ 2.23)

polos =

0−9

−1.09 + 1.03i−1.09− 1.03i

ceros = −0.5



5.2.2. Asíntotas

Todas las asíntotas se cortan en un único punto del eje real, que se calcula de la forma:

σa =

∑pi −

∑zj

n−m

donde n es la cantidad de polos y m es la cantidad de ceros. Los ángulos que forman las asíntotasson:

θa =180◦

n−m(2k + 1) k = 0, 1, . . . , n−m− 1

Para los datos,

σa =(0− 9− 1.09 + 1.03i− 1.09− 1.03i)− (−0.5)

4− 1= −3.56

Los ángulos que forman las asíntotas son 60º, 180º y 300º.

5.2.3. Puntos del eje real que pertenecen al lugar de las raíces

Los intervalos de la parte real que pertenecen al lugar de las raíces deben dejar a su derecha unnumero impar de ceros y polos. De acuerdo a esto, los intervalos [−0.5, 0] y (−∞,−9] son lugar dede las raíces. Es decir, todo el eje real negativo excepto el intervalo (−9, 0).

5.2.4. Puntos de ruptura

En un punto del lugar de las raíces se pueden juntar varios polos del sistema. Son los puntos deruptura y se buscan entre las raíces de la ecuación:

∂Gla(s)

∂s= 0

Derivamos la función de transferencia con respecto a s y tomamos el numerador. La ecuación aresolver es:

s4 + 8.11s3 + 12.85s2 + 7.26s+ 3.35 = 0

Las raíces de la ecuación son:

s =

−1.39−6.22

−0.25 + 0.57i−0.25− 0.57i

Las soluciones reales no pertenecen al lugar de las raíces, por tanto no son puntos de ruptura.



K16.90(s+0.50)

s(s+9)(s2+2.17s+2.23)−

Figura 6: Compensación proporcional

5.2.5. Puntos de corte con el eje imaginario

Se emplea el criterio de Routh-Hurwitz. Se sustituye el valor de la ganancia crítica en la tablade Routh-Hurwitz. Se anulará una de las �las y con la �la inmediatamente superior se construye elpolinomio auxiliar en s, cuyas raíces son los puntos de corte con el eje imaginario.

En la sección anterior hemos calculado el valor de la ganancia crítica Kcr = 9.93. Luego laecuación auxiliar es:

5.01s2 + 83.9 = 0

.El lugar de raíces corta al eje imaginario en s = ±4.1i.

5.2.6. Ángulos de salida y llegada

Se utiliza la condición del argumento en un punto q muy cercano al polo o cero objeto de estudio.∑ziq −

∑pjq = ±180 (2k + 1) k ∈ N

El lugar de raíces en el eje real ya se analizo anteriormente. Por tanto solo resta saber el angulode salida en los polos complejos.

Para q ≈ −1.09 + 1.03i∑ziq −

∑pjq = 136.63◦ − 90◦ − 7.26◦ = 39.4◦

El lugar de raíces sale del polo −1.09+1.03i a un angulo de 39.4◦ y del polo −1.09− 1.03i a unangulo de −39.4◦.

5.2.7. Grá�ca del lugar de raíces

Con los datos anteriores ya tenemos una idea del lugar de raíces. Utilizamos MATLAB paragra�car el lugar de raíces (Figura 7a) y veri�camos que los datos calculados sean consistentes. Enla Figura 7b se ha marcado con lineas gruesas la zona disponible de diseño donde pueden ubicarselos polos objetivos. La linea gruesa vertical que corta al eje real en −0.8 delimita la zona disponiblepara satisfacer la condición del tiempo de asentamiento ξωn ≥ 0.8. La otra zona delimitada por doslineas gruesas corresponde a la zona disponible para satisfacer la condición del sobrepasamiento: lospolos objetivos se deben ubicar entre −134.43◦ y 134.43◦ del semiplano negativo. La zona disponible�nal es la zona no pintada donde pueden ubicarse los polos objetivos.

En nuestro caso, se puede ver que prácticamente ningún punto del lugar de raíces cae sobre lazona disponible de diseño. En particular, los polos objetivos de�nidos −1.4±1.43i no pertenecen allugar de raíces. Por tanto, no es posible encontrar un valor de K que haga que los polos objetivossean polos del sistema.



−12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

Root Locus

Real Axis (seconds−1)

Imag

inar

y A

xis

(sec

onds

−1 )

(a) Grá�ca del lugar de raíces

(b) Zona disponible de diseño (zona no pintada)

Figura 7: Lugar de raíces



5.3. Compensador de adelanto-retraso

El compensador de adelanto puede ayudar a mejorar la respuesta transitoria del sistema, mien-tras que el compensador de retraso mejora la respuesta estacionaria. En la sección anterior habíamosexaminado la función de transferencia del sistema lazo abierto y nos dimos cuenta que éste era deltipo I con lo que el error en régimen permanente ante una entrada escalón seria nulo. Por tanto solonos haría falta un compensador de adelanto. Un compensador de adelanto tiene la siguiente forma:

C = Kcs+ a

s+ ba < b

El efecto de un compensador de adelanto en el lugar de raíces es la de arrastrar las ramas dellugar de raíces hacia la zona negativa, haciendo que más puntos del lugar de raíces pertenezcana la zona estable. Esto es deseable en nuestro sistema ya que posee muy poca disponibilidad depuntos para el diseño. Se intentará elegir valores para a y b para que las ramas del lugar de raícesse desplacen y pasen por los polos objetivos.

5.3.1. Ajuste por el lugar de raíces

Se toman los polos objetivos y se aplica la condición de argumento. Esto se hace porque se quieregarantizar que esos puntos pertenecen al nuevo lugar de raíces del sistema. Se aplica la condiciónde argumento teniendo en cuenta el nuevo polo y cero que introduce el compensador. Siendo p∆ unpolo objetivo, se toma ϕc como el angulo encerrado por las rectas que unen a p∆ con el nuevo poloy cero. Entonces ϕc se calcula como:

ϕc = −180 (2k + 1)−(∑

zip4 −∑

pjp4

)Donde las sumatorias son sobre los polos y ceros del sistema original.

Siendo p4 = −1.4 + 1.43i⇒ ϕc = 68◦.

5.3.2. Criterio de selección de a y b

Una vez tenido el valor de ϕc, cualquier par de valores a y b que satisfagan la condición deargumento son valores posibles. Usaremos el criterio de un compensador proporcional-derivativo,o sea b → ∞ en cuyo caso el compensador tiene la forma C = Kc(s + a). Con este criterio elcompensador no agrega un polo adicional al sistema. El valor de a esta dado por la geometría y secalcula como:

a = −x+1

tanϕcy

Donde x es la parte real del polo objetivo e y es la parte imaginaria, o sea p∆ = x + yi. Parap∆ = −1.4 + 1.43i⇒ x = −1.4, y = −1.43. Dado ϕc = 68◦ ⇒ a ≈ 2. Gra�camos con MATLAB elnuevo lugar de raíces para el sistema compensado (Figuras 8 y 10) y se comprueba que los valorescalculados son correctos.

Se aprecia que las ramas se corrieron hacia la izquierda.



−10 −8 −6 −4 −2 0 2−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

Root Locus

Real Axis (seconds−1)

Imag

inar

y A

xis

(sec

onds

−1 )

Figura 8: Compensación PD

5.3.3. Calculo de la ganancia

Fijados los polos objetivos en el nuevo lugar de raíces, se aplica la condición del modulo paraencontrar la ganancia Kc:

KcKla =

∏pjp∆∏zip4

Donde Kla = 16.9. Para p∆ = −1.4 + 1.43i:∏pjp∆∏zip∆

= 7.61 = KcKla ⇒ Kc = 0.45

El bloque del compensador queda:

C = 0.45(s+ 2)

5.3.4. Análisis de los resultados

Con el compensador de�nido, se pueden hallar todos los polos del sistema �nal en lazo cerrado.La función de transferencia lazo cerrado queda dado por:



θout(s)

θref (s)=

C × Planta1 + C × Planta

=0.45 (s+ 2) 16.9(s+0.5)

s(s+9)(s2+2.17s+2.23)

1 + 0.45 (s+ 2) 16.9(s+0.5)s(s+9)(s2+2.17s+2.23)

=7.6 (s+ 2) (s+ 0.5)

(s+ 8.14) (s+ 0.23) (s2 + 2.8s+ 4.04)

y los polos y ceros del sistema:

polos =

−8.14−0.23

−1.4 + 1.43i−1.4− 1.43i

ceros =

{−2−0.5

}En la Figura 10 se muestra el lugar de raíces con los polos y ceros del sistema lazo cerrado. Los

puntos cuadrados rosados representan los polos lazo cerrado, el punto circular azul es el cero de laplanta y el punto circular rojo es el cero introducido por el compensador. Los puntos en cruz sonlos polos de la planta.

Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 9: Respuesta para compensador C = 0.45 (s+ 2)



Figura 10: Lugar de raíces y polos del sistema para Kc = 0.45

Resulta que tenemos un problema con la aparición de un polo mas dominante (s = −0.23)que los polos objetivos que queríamos. Además, el polo se encuentra muy cerca del origen. Elefecto resultante es la de una respuesta con mucho mayor amortiguamiento, pero a costa de unaumento en el tiempo de asentamiento. El grá�co de la respuesta (Figura 9) muestra este hechodonde el requerimiento en el sobrepasamiento esta claramente satisfecho mientras que el tiempo deasentamiento es 3 veces mayor que el limite requerido (∼ 15 segs).

5.4. Rediseño

Examinando la Figura 10 se ve que siempre tendremos un polo ubicado en el intervalo (−0.5, 0)el cual se encuentra en la zona no disponible de diseño. El polo además será siempre más dominanteque cualquier polo ubicado en la zona disponible, por tanto, será siempre más dominante que



cualquier polo objetivo posible. Sin embargo, el efecto del polo puede aminorarse si ésta se encuentrasu�cientemente cerca del cero del sistema, en −0.5.

5.4.1. Reubicación de los polos objetivos

De de la Figura 10 vemos que contamos con un tramo de las ramas que caen sobre la zonadisponible de diseño donde se puede elegir para los polos objetivos, con parte real entre −4 y −1aproximadamente. Procedemos a probar nuevos polos objetivos que dejen al tercer polo problemá-tico su�cientemente cerca del cero del sistema para contrarrestar su efecto.

p4 = −2± 1.8i

ξ = 0.74

ωn = 2.7 rad/s

Kc = 0.97

polos =

−2± 1.8i−6.87−0.33

Mp = 0%

ts = 8.76 s

Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 11: Kc = 0.97 p4 = −2± 1.8i



p∆ = −3± 2.2i

ξ = 0.81

ωn = 3.71 rad/s

Kc = 1.47

polos =

−3± 2.2i−4.81−0.37

Mp = 0%

ts = 6.84 s

Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

0 2 4 6 8 10 120

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 12: Kc = 1.47 p∆ = −3± 2.2i



p∆ = −4± 4.2i

ξ = 0.69

ωn = 5.8 rad/s

Kc = 2.27

polos =

−4± 4.2i−2.77−0.41

Mp = 1.5%

ts = 5.33 s

Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Figura 13: Kc = 2.27 p∆ = −4± 4.2i

Para este ultimo caso, nos hemos acercado bastante a los requerimientos exigidos (Mp =1.5%, ts = 5.33s). Notar que esta vez el polo problemático s = −0.41 esta bastante cerca delcero del sistema, en −0.5. Se ve que el amortiguamiento de los polos oscilantes esta por debajodel limite propuesto (ξ ≥ 0.7) pero esta insu�ciencia es compensada por el cuarto polo real delsistema, de efecto amortiguante, que esta vez resulta ser más dominante que los polos objetivos,pero a diferencia del polo problemático, ésta se encuentra en la zona de diseño.

5.4.2. Diseño �nal

Un ultimo ajusto en los datos con ayuda de MATLAB obtenemos los polos objetivos �nales quepermiten cumplir con los requerimientos. La ubicación de los polos �nales y la respuesta del sistemase presentan en las Figuras 14 y 16.



p∆ = −4.08± 4.92i

ξ = 0.64

ωn = 6.39 rad/s

Kc = 2.65

polos =

−4± 4.92i−2.59−0.423

Mp = 4.66%

ts = 4.88 s

Figura 14: Lugar de raíces y polos �nales



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

C=1Kc=0.45Kc=0.97Kc=1.47Kc=2.27Kc=2.65

Figura 15: Respuesta de las diferentes pruebas realizadas



Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Figura 16: Respuesta con los requerimientos cumplidos

El bloque del compensador �nal es:

C =vcontrol(s)

ev(s)= 2.65 (s+ 2)

El diagrama de bloques �nal queda:

1V/◦ 2.65 (s+ 2) 16.90(s+0.50)s(s+9)(s2+2.17s+2.23)

vcontrol

1V/◦


vsensor

La función de transferencia del sistema lazo cerrado es:

θout(s)

θref (s)=

44.77 (s+ 2) (s+ 0.5)

(s+ 2.59) (s+ 0.423) (s2 + 8.17s+ 40.89)



6. Conclusión

Se ha visto que el uso de un compensador es una aplicación poderosa que mejora la respuestade un sistema. También vimos que el diseño de un compensador puede resultar una tarea directao terminar en un proceso de prueba y error para encontrar el ajuste preciso para que el sistemaresponda como se desea. El conocimiento de las herramientas y metodologías brindadas por laTeoría de Control fueron cruciales para diseñar el sistema automático y simpli�car los procesos decálculo.

Referencias

[1] Apuntes de clase - Ing. Ladislao Mathe.

[2] Ingeniería de Control Moderna - Katsuhiko Ogata.

[3] Ingeniería de Control - Universidad de Navarra.

[4] Apuntes de clase: Mecánica de Vuelo II - Ing. Gustavo Scarpin.

[5] Introduction to Aircraft Stability and Control - David A. Caughey.

[6] Flight Dynamics Principle - M. V. Cook.

[7] Control Tutorials Matlab & Simulink - University of Michigan.

[8] Airplane Performance Stability and Control - Perkins and Hage.

[9] Roskam J., Aircraft Flight Dynamics and Automatic Flight Controls.


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Control de angulo de cabeceo de un avion