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Teoría de Conjuntos Difusos

Control con Lógica Difusa

Teoría Conjuntos Difusos: Funciones de Pertenencia

Dr. Fernando Ornelas Tellez

Universidad Michoacana de San Nicolás de HidalgoFacultad de Ingeniería Eléctrica

Morelia, Michoacan

Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 1/18

Teoría de Conjuntos Difusos

Bibliografía

1 D. Driankov et al. An introduction to Fuzzy Control (2nd Ed.),Springer, 1996.

2 G. Chen. Introduction to Fuzzy Sets, Fuzzy Logic and FuzzyControl Systems, CRC Press

3 K. Tanaka et al. Fuzzy Control Systems Design and Analysis,John Willey and Sons.

4 Fuzzy Logic Toolbox, User’s Guide, The Math Woks


Teoría de Conjuntos Difusos Funciones de Pertenencia

1 Teoría de Conjuntos Difusos

Funciones de PertenenciaDr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 3/18


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1 Teoría de Conjuntos Difusos

Funciones de Pertenencia



Funciones de pertenencia

Un conjunto difuso está completamente caracterizado o descrito por

su función de pertenencia (MF).

Ahora se describirán las MF comúnmente utilizadas para definir con-juntos difusos. Básicamente se analizarán en una dimensión, es decir,MF con una sola entrada, aunque también es posible definir MF paramás de una dimensión.

Cualquier función de MF es válida: Su definición exacta depende delconcepto a definir, del contexto al que se refiera, de la aplicación,etc.




En general, es preferible usar funciones simples, debido a que simpli-fican muchos cálculos y no pierden exactitud, debido a que precisa-mente se está definiendo un concepto difuso.

Sin embargo, diversas estrategias han sido aplicadas para construirfunciones de pertenencia de conjuntos borrosos:

Evaluación subjetiva y construcción a partir de expertos:

en esta estrategia los conjuntos difusos pueden determinarse apartir del conocimiento de expertos en el dominio deaplicación.




Frecuencias convertidas o probabilidades: la informacióntomada a partir de histogramas de frecuencia u otras curvas deprobabilidad se emplea como base para construir MF. Sinembargo, es necesario recordar que las MF no son funciones dedensidad probabilística.Aprendizaje y adaptación: la aplicación de las técnicas deaprendizaje automatizado a partir de datos numéricos ysimbólicos pueden permitir el diseño de MF.

Algunos ejemplos que muestran el uso de las estrategias anterioresson:

Método de interpolación por el polinomio de Bernstein, dondea partir de pares (valor, pertenencia) suministrados porexpertos se obtiene la función de pertenencia asociada.




Mediante la determinación de los centros de gravedad de las

variables lingüísticas, punto en que las funciones de pertenenciaasociadas a las variables lingüísticas alcanzan su máximo valor.A partir de casos de entrenamiento, suministrados porexpertos, utilizando algoritmos de aprendizaje automatizado(algoritmos genéticos, enjambre de partículas, etc.).

Entre las representaciones de funciones de pertenencia basadas enmodelos matemáticos lineales se encuentran las curvas S , las cam-panas, los triángulos y los trapecios entre otras.




Definición: MF TriangularUna MF triangular está definida por tres parámetros como:

Tri(x ; a, b, c) =

8>>>>><

>>>>>:

0, x a

x�a

b�a

, a x b

c� x

c�b

, b x c

0, c x

Otra forma de calcular el valor de pertenencia de x a la MF es

Tri(x ; a, b, c) =max

✓min

✓x�a

b�a

,c� x

c�b

◆, 0◆.




Definición: MF TrapezoidalUna MF trapezoidal está definida por cuatro parámetros como:

Trap(x ; a, b, c , d) =

8>>>>>>><

>>>>>>>:

0, x a

x�a

b�a

, a x b

1, b x c

d � x

d � c

, c x d

0, d x

Otra forma de calcular el valor de pertenencia de x a la MF es

Trap(x ; a, b, c , d) =max

✓min

✓x�a

b�a

, 1,d � x

d � c

◆, 0◆.

Note que Trap = Tri cuando en Trap, b = c .




Definición: MF GUna MF G ó T está definida por dos parámetros como:

G (x ; a, b) =

8><

>:

0, x a

x�a

b�a

, a x b

1, b x .

También se le conoce como MF lineal monótonamente creciente.




Definición: MF L

Una MF L está definida por dos parámetros como:

L(x ; a, b) =

8><

>:

1, x a

a� x

b�a

, a x b

0, b x .

También se le conoce como MF lineal monótonamente decreciente.




Definición: MF GaussianaUna MF Gaussiana está definida por dos parámetros como:

Gaussiana(x ; c , s) = e

� 12(

x�c

s )2.

Note que esta MF está determinada completamente por c y s .




Definición: MF CampanaUna MF Campana está definida por tres parámetros como:

Bell(x ; a, b, c) =1

1+��x� c

a

��2b

donde b es usualmente positivo (si este es negativo, la campana seinvierte).

Debido a su simplicidad y eficiencia computacional, las MF

triangulares y trapezoidales son las que generalmente se utili-

zan.










Definición: MF SigmoidalUna MF Sigmoidal está definida por dos parámetros como:

Sig(x ; a, b) =1

1+ e

[�a(x�c)]

donde a controla la pendiente en el punto de cruce definido por c .





Appendix Para mayor información

[allowframebreaks]Para mayor información

D. Driankov et al.An introduction to Fuzzy Control (2nd Ed.)Springer, 1996

G. ChenIntroduction to Fuzzy Sets, Fuzzy Logic and Fuzzy ControlSystemsCRC Press.

K. Tanaka et al.Fuzzy Control Systems Design and AnalysisJohn Willey and Sons

Fuzzy Logic ToolboxUsers GuideThe Math Works

S. Someone.On this and that.Journal on This and That. 2(1):50–100, 2000.


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