CONTINUITÀ LIMITI E DIFFERENZIABILITÀ

DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI

CONTINUITÀ LIMITI E DIFFERENZIABILITÀ

DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI

Argomenti della lezioneArgomenti della lezioneEstensione delle nozioni Estensione delle nozioni di continuità e di limite di continuità e di limite alle funzioni di più variabilialle funzioni di più variabili

Derivate direzionali Derivate direzionali e derivate parzialie derivate parziali

Differenziale di una Differenziale di una funzione funzione

di più variabilidi più variabili

Continuità di funzioniContinuità di funzioni

f : A Rn Rf : A Rn R

f : A Rn Rf : A Rn R

è continua in x0 =

(x01, x0

2 ,… x0n)

T

è continua in x0 =

(x01, x0

2 ,… x0n)

T

se per ogni V intorno di f (x0)se per ogni V intorno di f (x0)

esiste U intorno di x0esiste U intorno di x0

x UA è f(x) V x UA è f(x) V

RnRn

f(x0)f(x0)

RR

X0X0AA

VV

UU

Limite di funzioniLimite di funzioni

f : A Rn Rf : A Rn R

f : A Rn Rf : A Rn R

ha limite l per x che tende a

x0 = (x01, x0

2 ,… x0n)

T

ha limite l per x che tende a

x0 = (x01, x0

2 ,… x0n)

T

se per ogni V intorno di lse per ogni V intorno di l

esiste U intorno di x0esiste U intorno di x0

x UA è f(x) V x UA è f(x) V

Una funzioneUna funzione

ma con restrizionema con restrizione

di due variabilidi due variabili

non continua in (0,0)T non continua in (0,0)T

ad ogni rettaad ogni retta

per l’origine continuaper l’origine continua

ff ((xx,,yy))

00 sese((xx,,yy)T)T((00,,00)T,)T,x yx y

x2x2yysese x2x2yy00..

Se prendiamo la restrizione alla retta per l’origine x = t, y = t, si trova

Se prendiamo la restrizione alla retta per l’origine x = t, y = t, si trova

ff(( tt,, tt))==

00 sese tt==00,,22 tt++

sese 22 t2t2++ tt 00•• ••

•• tt••••

limlimtt 00

ff((tt,,tt))00ff ((00,,00))Dunque la restrizione alle rette Dunque la restrizione alle rette

per l’origine è continuaper l’origine è continua

Dunque la restrizione alle rette Dunque la restrizione alle rette

per l’origine è continuaper l’origine è continua

Ma la restrizione all’iperbole Ma la restrizione all’iperbole

per l’origineper l’origine

y = k x2/(x -k), con k ≠ 0, y = k x2/(x -k), con k ≠ 0,

ha valore costante k ≠ 0 = f(0,0).

ha valore costante k ≠ 0 = f(0,0).

Anche il limite della funzioneAnche il limite della funzione

La funzione non è continua in (0,0)T.

La funzione non è continua in (0,0)T.

preso lungo l’iperbolepreso lungo l’iperbole

vale k ≠ 0 = f(0,0). vale k ≠ 0 = f(0,0).

-0.5-0.5

-1-1

-1.5-1.5

-2-2

Caso k = 2Caso k = 211 -0.5-0.5 00 0.50.5 11

0

200

100

0

-100

-200

y

00

-0.5

-1

-1.5

-2

x0

2

1

0

-1

-2

0

200

100

0

-100

-200

y

00

-0.5

-1

-1.5

-2

x0

2

1

0

-1

-2

Derivate Derivate direzionali direzionali e derivate e derivate

parzialiparziali

(x0, y0)T(x0, y0)T

AA

∂f∂x xx0

f(x, y0)-f(x0,y0)x- x0

=(x0,y0) lim _____________

∂f∂y

(x0,y0) = limyy0

_____________f(x0, y)-f(x0,y0)y- y0

Più in generale

∂f∂xk

(x10 ,..,xk

0,.., xn0) =

f(x0,..,xk,.., xn0) - f(x0,..,xk

0,.., xn0)____________________________lim

xk - xk0xkxk

0=

Sia =(1,…, n)T un versore di Rn e sia

x(t)= x0+ t una retta passante per x0

e avente direzione .

La derivata di f in direzione , nel punto x0

è data da

∂f∂

=(x10 ,..,xk

0,.., xn0) f(x0+ t)- f(x0)

limt0

____________t

FunzioneFunzioneFunzioneFunzione

non continuanon continuanon continuanon continua

con tutte le derivatecon tutte le derivatecon tutte le derivatecon tutte le derivate

direzionalidirezionalidirezionalidirezionali

nulle in (0,0)nulle in (0,0)nulle in (0,0)nulle in (0,0)

ff ((xx,,yy))

00 sese ((xx,,yy))TT ((00,,00))TT,,

xx 22 yy

xx 44

yy 22

22

sese ((xx,,yy))TT ((00,,00))TT..

SiaSia = = (cos (cos , sen, sen ))TT ee tt una retta per l’origineuna retta per l’origine

per t ≠ 0, e si ha per t ≠ 0, e si ha

))22ff(cos(cos t, sent, sen

coscos44 sensen22 tt

(cos(cos44 tt22++sensen22 t)t)

limt 0

f(cost,sen t) f(0,0)

t

limt 0

cos4 sen2t

cos4t2 sen2 ( )2

0.

Ma Ma f(x,y)f(x,y) non è continua non è continua nell’origine. nell’origine.

Infatti la restrizione Infatti la restrizione alle parabole passanti alle parabole passanti

per l’origine per l’origine y =y =xx22 ( ( ≠ 0) ≠ 0) ha valore costante: ha valore costante:

f(x,x2)=2/(1+ 2)

0

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0

y0

2

1

0

-1

-2

x

0

2

1

0

-1

-2

Differenziale Differenziale di una funzione di una funzione di più variabilidi più variabili

f : A Rn Rf : A Rn R

si dice differenziabile in

x0 = (x01, x0

2 ,… x0n)

T

si dice differenziabile in

x0 = (x01, x0

2 ,… x0n)

T

se esiste un’ applicazionese esiste un’ applicazione

lineare L : Rn R tale che lineare L : Rn R tale che

f(x) = f(x0)+ L(x- x0)+(x)|x- x0|

con (x) 0 se x x0.