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LA GRAFICACIN - MODELACIN Y LA SERIE DE TAYLOR 319

ASTRID MORALES SOTO, FRANCISCO CORDERO OSORIO

LA GRAFICACIN - MODELACIN Y LA SERIE DE TAYLOR.UNA SOCIOEPISTEMOLOGA DEL CLCULO

THE MODELLING - USE OF GRAPHS, AND THE TAYLOR SERIES.A SOCIOEPISTEMOLOGY OF CALCULUS

RESUMEN

En este artculo presentamos los resultados de una investigacin acerca de la resignificacin de la Serie deTaylor en una situacin de modelacin del movimiento(SM-M). De acuerdo con la perspectiva epistemolgica, eldiscurso matemtico escolar habitual no toma en cuenta el aspecto funcional de la Serie de Taylor. A la luz de lostrabajos de Newton, esta perspectiva destaca el papel de la prediccin como prctica que va conformando laSerie de Taylor. Los ejes principales de la situacin sonla prediccin y el binomio graficacin-modelacin, en cuanto prcticas sociales. Estos articulados generan conocimiento y resignifican la Serie de Taylor.

ABSTRACT

This article shows the research results on the Taylor series resignification of the movement modeling situation(M-MS). From an epistemological perspective, the usual mathematical discourse does not take into consideration the functional aspect of the Taylor Series. In the wake ofNewtons work, this perspective points out how prediction forms the Taylor series. The main axes are prediction and binomial modelling-use of graphs when it comes to a social practice environment. These are the ones that build knowledge and resignificate the Taylor series.

PALABRAS CLAVE:

- Resignificacin- Serie de Taylor- Modelacin- Graficacin- Prediccin

KEY WORDS:

- Resignification- Taylor Series- Modelling- Use of graphs- Prediction

Revista Latinoamericana de Investigacin en Matemtica Educativa (2014) 17 (3): 319-345.17 (3): 319-345.17Recepcin: Diciembre 17, 2011 / Aceptacin: Febrero 10, 2013. DOI: 10.12802/relime.13.1733


Relime, Vol. 17 (3), Noviembre de 2014

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RESUMO

Neste artigo, apresentamos os resultados de uma pesquisa sobre a ressignificao da Srie de Taylor em uma situao de modelao do movimento (SM-M). De acordo com a perspectiva epistemolgica, o discurso matemtico escolar habitual no leva em considerao o aspecto funcional da Srie de Taylor. luz dos trabalhos de Newton, esta perspectiva destaca o papel da predio como prtica que vai formando a Srie de Taylor. Os eixos principais da situao so a predio e o binmio graficao - modelao, no tocante a prticas sociais. Esses articulados geram conhecimentoe ressignificam a Srie de Taylor.

RSUM

Dans cet article nous prsentons les rsultats dune recherche sur la resignification de la Srie de Taylor dans une situationde modlisation du mouvement (SM-M). Daprs la perspectivepistmologique, le discours mathmatique scolaire traditionnelne prend pas en compte laspect fonctionnel de la srie de Taylor.Sur la base des travaux de Newton, cette perspective met enrelief le rle de la prdilection comme pratique sociale conformant la srie de Taylor. Les lignes principales de la situation, comme pratiques sociales, sont la prdilection et le binme utilisation graphique - modlisation. Ces lmentsarticuls produisent des connaissances et resignifient la srie de Taylor.

MOTS CLS:

- Resignification- Srie de Taylor- Modlisation- Utilisation graphique- Prdilection

PALAVRAS CHAVE:

- Ressignificao- Srie de Taylor- Modelao- Graficao- Predio

1. INTRODUCCIN

La problemtica fundamental que atiende la Matemtica Educativa es la confrontacin entre la obra matemtica y la matemtica escolar. Para entenderla naturaleza de esa confrontacin, la aproximacin socioepistemolgica desarrollaestrategias de investigacin orientadas a formular epistemologas que analicen las circunstancias que favorecen la construccin social del conocimiento matemtico. Se fundamentan en prcticas sociales, en contraposicin de metforas del objeto matemtico. Se busca que las prcticas sociales favorezcan el establecimiento derelaciones funcionales, alejadas del utilitarismo, entre los diversos tpicos del saber



matemtico (Cordero, 2006). Con esta visin, la socioepistemologa ha ayudadoa entender que la matemtica escolar no tiene marcos de referencia para que lamatemtica se resignifique. Nuestra investigacin consiste en resignificar la Seriede Taylor (ST) a travs de una situacin de modelacin del movimiento (SM-M)con la teora Socioespitemolgica. Se formula una epistemologa basada en laprctica social de la prediccin, la cual tiene un rol de argumento rector en el diseo de situacin que se confeccion, de esta manera se pone en juego la graficacin-modelacin en la SM-M donde se resignifica la Serie de Taylor. La analiticidad de las funciones est expresada en la ST cuando se generan procedimientospara comparar dos estados de una cantidad que vara continuamente, segn las experiencias institucionales de los participantes. La SM-M genera una categora de uso de las grficas propio de la modelacin escolar, la cualnorma la resignificacin de la ST. De esta manera, se provee un marco de referencia ausente en la matemtica escolar. Esto significa, como lo explicaremos ms adelante, que el uso de las grficas, a travs de su funcionamiento y forma, robustecen la problemtica de enseanza aprendizaje y da indicadores parael rediseo del discurso del Clculo escolar.

La puesta en escena del diseo de situacin se realiz utilizando aspectos metodolgicos de la ingeniera didctica y con estudiantes de matemticas de nivel superior.

A continuacin, describiremos el problema que esta investigacin abord comotambin la aproximacin terica que la cobija. Al final del escrito presentaremosejemplos de algunas producciones de los participantes para precisar los resultados dela investigacin.

2. PROBLEMA DE INVESTIGACIN

2.1. Antecedentes

Existen muchas investigaciones que se inscriben en la dificultades de la enseanzay aprendizaje de las matemticas, en particular del Clculo, por ejemplo,Artigue (1995) seala estos estudios tambin muestran de manera clara que, frente a las dificultades encontradas, la enseanza tradicional y en particular la enseanza universitaria, tiende a centrarse en una prctica algortmica y algebraica del clculo y a evaluar en esencia las competencias adquiridas de



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este dominio (p.97). Por otro lado Dreyfus (1990) seala que los estudiantes aprenden los procedimientos del Clculo (encontrar lmites, diferenciacin, etc.) enun nivel puramente algortmico, construidos sobre imgenes conceptuales escasas.Las dificultades en la concepcin de los procesos de diferenciacin e integracin pueden explicarse en trminos de que los estudiantes carecen, necesariamente, de un nivel alto de abstraccin, tanto del concepto de funcin (como un objeto), como de los procesos de aproximacin.

Por otro lado, trasladando nuestra atencin de la enseanza del Clculo en un ambiente de aula, podemos decir que nuestro sistema didctico opera mso menos de la siguiente manera: la enseanza tiene asignado un papel formativo puramente terico, en el que los profesores tienen una metodologa para ofrecer clases magistrales donde el alumno es considerado como sujeto pasivo que asimilaideas de forma natural mediante el estudio de apuntes de clases y textos escolares (Marcolini & Perales, 2005).

Estudios socioepistemolgicos con relacin al Clculo han dado evidencia deque, por un lado, la enseanza tradicional del Clculo se basa en la transmisin de conocimientos, dando nfasis al desarrollo de habilidades algebraicas y algortmicas y desatendiendo la comprensin de ideas, nociones y conceptos ascomo la articulacin de estos (Alanis, 1996; Alans, Salinas, Pulido, Santos, Escobedo & Garza, 2003). Por el otro, podemos observar que en los planes deestudio de las carreras universitarias, los programas curriculares de matemticas tienen un carcter instrumental, en el sentido de que hacen que la matemtica sea un medio para lograr los objetivos. Esto nos lleva a cuestionar cul es el estatus real que tiene el Clculo y cul es su discurso escolar actual.

2.2. Problemtica

El discurso matemtico escolar1 (dME) maneja los contenidos de manera separada y carentes de interaccin, lo que provoca que el proceso de adquisicin del conocimiento se logre de manera particionada (Morales, 2009); es por esto que para lograr nuestro propsito se debern buscar mecanismos que vinculen los contenidos, los cuales sern elementos de los marcos de referencia para resignificar el conocimiento en una situacin especfica, en nuestro caso la Serie deTaylor. La fuente de esos elementos son las prcticas sociales generadoras del conocimiento matemtico, cuya finalidad es la de redisear el discurso matemtico escolar (Cordero, 2008). Este rediseo expresar la funcionalidad del conocimiento matemtico.

1 El discurso matemtico escolar es la manifestacin del conocimiento matemtico normado por creencias de los actores del sistema didctico sobre qu es la enseanza y la matemtica.



En este sentido, la problemtica trata la resignificacin de la Serie de Taylor (ST) en una situacin de modelacin del movimiento (SM-M), donde la resignificacin es la construccin del conocimiento mismo en la organizacin normado por lo institucional; es decir, es el uso del conocimiento en unasituacin especfica donde se debate entre su funcionamiento y forma acorde con lo que organizan los participantes. La resignificacin est articulada con los aspectos funcionales y del uso del conocimiento en cuestin. En consecuencia, se debe elaborar una epistemologa que analice las circunstancias que favorecen la construccin social del conocimiento matemtico. En este caso, los elementos que entran en juego en la epistemologa son la prediccin, la graficacin-modelacin y el movimiento; todos estos deben estar articulados. Una de las formas en que podemos apreciar su articulacin es en la SM-M, ah se someten los participantes a ciertas actividades donde se utiliza tecnologa para identificar las grficas como movimientos.

La SM-M es un escenario de variacin, en donde se rescata el aspecto funcional de la ST y en donde el argumento de prediccin se manifiesta en lagraficacin-modelacin (G-M)2. La ST es en s el modelo de prediccin. En otras palabras, la resignificacin consiste en que la ST precisa la simultaneidad delas derivadas, cuya funcin es la prediccin.

La formulacin de la SM-M conllev la categora de uso de las grficas, un constructo terico de la socioepistemologa que se ha venido fortaleciendo con las investigaciones (Cordero & Flores, 2007; Cordero, Cen & Surez, 2010). Ms adelante ahondamos al respecto.

2.3. Una mirada a la enseanza del Clculo desde la Socioepistemologa y el estatus de la Serie de Taylor en el discurso matemtico escolar

Haciendo referencia a la visin socioepistemolgica, un aspecto de la investigacin se ha enfocado en precisar que la manera como se han tratado las materias del Clculo no permite dar cuenta que la analiticidad de las funciones es el objeto principal del Clculo debido a que el discurso matemtico escolar est basado en la idea de aproximacin. Cantoral (2001) abre una ruta al respecto, formula una epistemologa a la luz de los trabajos de Newton, la cual destaca una evolucin de la prediccin como una prctica que va conformando la ST. Cordero (2001; 2008) recapitula los trabajos socioepistemolgicos en esa direccin y plantea la necesidad de hacer una sntesis para configurar un programa (en el sentido de

2 El trabajo de Surez, L. (2008) muestra que el binomio graficacin-modelacin (G-M) tiene el estatus de categora en la Socioepistemologa. Entendemos como categora aquella articulacin entre el uso del conocimiento matemtico, su funcionalidad y resignificacin.



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Lakatos) que d cuenta de diversas formas de construir el Clculo, que se llam socioepistemologa del Clculo y Anlisis. Para lograr un mejor entendimiento al respecto, reinterpretamos la sntesis en una tabla (ver Tabla I) como un marco dereferencia visual (Morales, 2009) ver Tabla I. Se exhiben tres situaciones llamadasvariacin, transformacin y aproximacin, con cuatro elementos de construccin que componen la estructura de las situaciones: significados, procedimientos, proceso-objeto y argumentacin. Cada una de stas formula una epistemologa del Clculo, y a su vez, tambin en conjunto.

Es de nuestro inters sealar que la tercera situacin (cuarta columna) alude a una de las maneras ordinarias de tratar los temas del clculo, donde se le concibe como una situacin de aproximacin: es all donde se expresa el discurso del clculo escolar habitual. Varias investigaciones, en el seno de la socioepistemologa, sostienen que esta manera de tratar los temas de clculo no estn generando conocimiento y ms an, no se concibe a la Serie de Taylor como un tema relevante, es decir, a pesar de enfatizar cada uno de los conceptos matemticos en cuestin no se llega a formular la analiticidad (Cantoral, 2001; Cordero, 2001, 2008; Alans, 1996).

TABLA ISocioepistemologa del Clculo

CONSTRUCCIONES EN LAS PRACTICAS

SITUACIN DE VARIACIN

SITUACIN DE TRANSFORMACIN

SITUACIN DE APROXIMACIN

Significados

Flujo

Movimiento

Acumulacin

Estado Permanente

Patrones de comportamiento

grficos y analticos

Comportamiento tendencial de la funcin

Lmite

Derivacin

Integracin

Convergencia

Procedimientos

Comparacin de dos estados

f (f (f x+h(x+h( )- f (f (f x(x( )=h

= f (x(x( )x)x

Variacin de parmetros

y =AfAfA (Bx+C(Bx+C( )+D

Lmite de un cociente

Proceso-ObjetoCantidad de

variacin continua

Instruccin que organiza

comportamientos Funcin

ArgumentacinPrediccin

E0+variacin =E

fE

fE

Graf icacin Modelacin Analiticidad de

las funciones

f (x(x( +h) =f=f= (x(x( )+x)+x f)+f)+ (x(x( )x)x h+ f (x(x( )x)x h2

+...2!

f (f (f x+h(x+h( )- f (f (f x(x( )= f= f= (x(x( )x)x

hlim

h0



Cordero (2008) plantea que el estatus del clculo escolar predominantementees concebido como la rama de la matemtica que trata con la diferenciacin y la integracin, es por eso que los programas de las materias tienen una estructura relacionada con los conceptos de funcin, lmite, derivada, integral y convergencia, donde adems predominan las operaciones con relacin a la definicin de la derivada como el lmite de un cociente y a la definicin dela integral como el lmite de una suma. Con esta mirada el concepto de funcin es el ncleo del Clculo.

Todo esto genera un discurso del clculo escolar que no ayuda a apreciarla epistemologa de la analiticidad de las funciones, inclusive pudiera ser ignorada en los cursos de clculo. El efecto que provoca ese discurso es la centracin en elconcepto de funcin, el cual privilegia ciertos procedimientos e ignora otros. Por ejemplo, hallar la recta tangente que pasa por un punto de una curva, cuyo procedimiento requiere de calcular el lmite de cierto cociente a travs deargumentaciones de aproximacin. Explcitamente, lo que se requiere para estasituacin es una funcin f dada, un punto especfico (f dada, un punto especfico (f x dada, un punto especfico (x dada, un punto especfico (

0, f (x(x(

0)) para calcular

la derivada o encontrar la recta tangente a la grfica de la funcin f en el puntof en el puntofdado. Con estas herramientas se trabaja y se elaboran estrategias de preguntas para el alumno. Pero, no obstante, con esa manera de proceder lo que se pierdees la comparacin de dos estados de una cantidad de variacin continua, de la formaf (x(x( +h)-f-f- (x(x( ) con argumentacin de prediccin expresadas por la analiticidad.x) con argumentacin de prediccin expresadas por la analiticidad.x

f (x(x( +h) =f=f= (x(x( )+x)+x f)+f)+ (x(x( )x)x h+ f (x(x( )x)x h2

+... Para poder trabajar de esa manera se requierede significados para predecir la posicin de un mvil cuando se conoce suposicin inicial y su variacin en ese instante. En esta situacin la funcin f no seconoce pero lo que s se conoce son los estados de la cantidad f (x(x( ) y x) y x f (x(x( +h) y lasvariaciones f (x(x( ), x), x f (x(x( ), ...x), ...x

El hecho anterior cuestiona el estatus de la Serie de Taylor (ST) en la matemtica escolar. Es un concepto menos conocido del resto de otros conceptos que usualmente aparecen en los textos del Clculo. Es posible tratar la derivada y sus n-simas derivadas y no necesariamente hablar de la ST. En todo caso, la ST es destacada para atender aspectos propios de convergencia, es por ello que las materias tratadas en la enseanza actual y que anteceden a la ST son losteoremas de continuidad, teoremas de los valores medios y los criterios de convergencia de series numricas. Tal estatus sugiere que la Serie de Taylor no es elemental, que pertenece a cierta matemtica avanzada que tiene como objetivo profundizar en los procesos de convergencia de las series infinitas, acompaado desus mtodos algebraicos. Hay investigaciones que han dado evidencias al respecto, ver por ejemplo, Cantoral (1995), Cordero (2008), Hernndez (2006), Alans (1996).

2!



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La ST en el discurso matemtico escolar restringe otras epistemologas; si bien es cierto que tratarla como un polinomio infinito que se aproxima a una curva en la vecindad de un punto potencializa a la serie misma, esto obscurecela situacin de variacin que subyace a la ST.

En los textos de Clculo ordinarios de acuerdo con Morales (2009), en el tema de la ST, los ejercicios y el discurso en general tienen un tratamiento algortmico debido a que siempre la funcin y un punto son dados; entonces sepide calcular el polinomio y la serie de Taylor. Muchos son los ejercicios con estadinmica, pero no se aborda con claridad la densidad de las funciones polinomialesen un dominio especfico con relacin a los espacios de funciones continuas, infinitamente diferenciable o analticas en el mismo dominio (ver por ejemplo Granville 1980). Un tratamiento utilitario de la ST se observa en el caso de las ecuaciones diferenciales, ya que se parte del hecho de que la funcin es analtica y se ocupa a la ST como herramienta (encuentran los a

n). Nuevamente, queda en

el aire lo del dominio y no se atiende la densidad. Estos aspectos no son tratados sino hasta el mbito de las series: se trabaja dominio, convergencia, radio de convergencia, acercamiento y densidad. Pero el modo en que se abordan estos aspectos en las series est desconectado de la esencia de la ST, la analiticidad.

Ahora bien, la socioepistemologa descentraliza al objeto matemtico en cuestin y enfoca la atencin en aquello que norma su construccin. Es el caso dela prctica de predecir lo que conlleva preguntarse acerca de la funcionalidadde la ST.

2.4. La funcionalidad de la Serie de Taylor

Con la epistemologa que conlleva la SM-M se destacaron dos caminos: el primero,orientado a rehabilitar la Serie de Taylor en una concepcin funcional dondeel objeto de estudio es el movimiento (en ese sentido se abandona la centracin de la Serie de Taylor como objeto matemtico); el segundo, orientado a plantearuna situacin no comn en el discurso matemtico escolar, lo que propicia lafuncionalidad del conocimiento matemtico y se reconoce como un marco dereferencia para resignificar la Serie de Taylor, generando contextos argumentativos.

Para tal fin, se dise una situacin que formula una epistemologa que relaciona tres argumentaciones: la prediccin, la graficacin y la analiticidad (Cordero, 2001, 2006). sta consiste en que se pueden deducir comportamientos dela funcin no conocida a pesar de que no se conoce la funcin pero s los datos iniciales f (a(a( ), a), a f (a(a( ), a), a f (a(a( ). As la graficacin-modelacin toma importancia real a). As la graficacin-modelacin toma importancia real adebido a que se puede apreciar la simultaneidad de las derivadas a travs de una grfica. La idea fundamental de la situacin es romper con la visin ordinaria de



las n-esimas derivadas, la cual es tratada como una iteracin de derivadas. Esas que los elementos que se ponen en juego en cada uno de los tres momentos del diseo de situacin que resignifican a la ST son la simultaneidad de las derivadas, la modelacin-graficacin y el modelo de prediccin (ver figura 2).

3. ASPECTOS TERICOS Y METODOLGICOS

3.1. Aproximacin Terica

La Socioepistemologa tiene una mirada crtica al discurso matemtico escolar, ya que ste tiene una centracin en los objetos matemticos y no en las prcticas sociales. Uno de sus planteamientos consiste en hacer que la matemtica escolar seafuncional y deje de ser utilitaria, entendiendo la matemtica funcional como un conocimiento incorporado orgnicamente en el humano que lo transforma y que le transforma su realidad, todo ello en oposicin al conocimiento utilitario. Es por esto que la situacin que se elabora es una resignificacin de cierto conocimiento matemtico, donde la prctica social identificada pasa a ser el argumento de dicha situacin (Cordero, 2008).

A travs de la resignificacin se ha permitido establecer diferentes categorasde conocimiento matemtico que permiten establecer relaciones funcionales entrelos diferentes tpicos que integran el saber matemtico, una de esas categoras es el binomio graficacin-modelacin.

Para lograr dicho planteamiento las prcticas sociales son un referente de la construccin del conocimiento matemtico. En Cordero (2006) se reporta que cualquier anlisis del problema didctico de las matemticas en cuestin, depender de la concepcin del conocimiento que subyace con el planteamiento terico. La concepcin misma enfoca la atencin en aspectos del contenido matemtico, como por ejemplo los procesos cognitivos que el alumno debe realizar ante algn problema matemtico y el papel que juegan las interrelaciones en escenarios socioculturales. Para nosotros este aspecto es importante ya que da luz a nuestra problemtica.

El uso de las grficas es un constructo que es determinado por sus componentes llamadas funcionamiento y la forma de la grfica segn la clase de tareas (Cordero & Flores, 2007). Cordero (2008) llama la atencin sobre la conveniencia de entender el uso de las grficas en las prcticas institucionales y para eso se est investigando cul ha sido y es su uso en la obra matemtica y en el discurso matemtico escolar. El aporte que han hecho estas investigaciones es



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dar indicadores de dos aspectos bsicamente: el primero, para poder desarrollar situaciones didcticas donde la graficacin es el argumento y el segundo, para formular epistemologas donde la graficacin-modelacin es una categora que genera conocimiento del clculo. Cordero ofrece evidencias cuya finalidad es ver el funcionamiento y la forma de las grficas cuando los participantes las usan en una situacin especfica. Todo esto contribuye a conformar marcos de referencia para resignificar el conocimiento matemtico.

Cordero y Flores (2007) realizan un estudio del uso de las grficas enel discurso matemtico escolar (dME), el cual consiste en comprender la graficacin en su proceso institucional y no como una representacin del concepto de funcin. En los libros de texto del nivel bsico, tanto deprimaria como de secundaria, se encontraron varios momentos de uso, los cuales fueron clasificados en comportamientos: de lo numrico, de lo geomtrico y de lovariacional. En consecuencia Cordero, Cen y Surez (2010) formulan un marco de referencia de los usos de las grficas que generan las prcticas institucionales en el bachillerato. Sus investigaciones muestran que los funcionamientos y formas de las grficas mantienen una relacin dialctica y se van resignificando para dar lugar a otros funcionamientos y formas grficas, lo cual expresa el desarrollo del uso de la grfica en tres aspectos: los mtodos de uso de la graficacin, las comprensiones de las grficas y su funcionalidad. Por otro lado, Suarez y Cordero (2010) establecen el concepto de uso de las grficas en la modelacin,lo que conllev plantear una epistemologa para la modelacin escolar. El sustentose vali de analizar el Tractatus de Oresme sobre la Figuracin de las Cualidades: explica la transformacin de uso de las matemticas de la poca para abordar la problemtica de las situaciones de cambio y variacin, donde lo figural es lo fundamental y no as el concepto de funcin. Con base a esto, se formula la categora graficacin-modelacin compuesta por dos aspectos: los elementos propios de la modelacin-graficacin (realizaciones mltiples, identificacin de parmetros, realizacin de ajustes, desarrollo del razonamiento) y las argumentaciones conformadas por significados, procedimientos y procesos.

En sntesis, el estatus epistemolgico del uso de grficas puede ser trazada en tres momentos: la grfica antecede a la funcin, la grfica es argumentativa y eluso de las grficas tiene un desarrollo.

3.2. Diseo de la Situacin. La Modelacin del Movimiento

El diseo de situacin tiene como objetivo resignificar la ST, nos ofrece rasgos de su carcter funcional, justo donde la Serie de Taylor deja de ser el objeto de la situacin para darle ese lugar al movimiento. El objetivo consisti en formular un marco de referencia intencional para resignificar la ST. El marco pondr en



juego elementos tales como las prcticas y las herramientas, los cuales estn insertosen el sistema didctico y afloran en contextos argumentativos. En particular, eldiseo es una situacin de variacin en la cual se relacionan movimientos especficos con sus grficas y con aspectos de cinemtica, la bsqueda de patrones de comportamientos y las prcticas de predecir y de modelar-graficar.

La epistemologa en s es un modelo de prediccin (Cantoral, 2001), es decir, que dado el estado inicial f (x(x( ) y la variacin entre ste y el estado final x) y la variacin entre ste y el estado final x f (f (f x (x ( +h) se h) se hpuede determinar este ltimo (ver figura 1).

Figura 1. Modelo de prediccin

3.3. Estructura del diseo de situacin

Haremos referencia, a manera general, de lo que trata cada momento y sus actividades en trminos de resignificacin de la ST, de esta formacontextualizamos los ejemplos que se darn en la siguiente seccin.

El diseo consta de tres momentos, en cada uno de ellos est presente elaspecto de variacin y descritos en trminos de aquellos elementos que resignificanla ST, los cuales se explicaron en la seccin 2.

Momento 1

En este momento se examina la simultaneidad de las derivadas, destacando la importancia de que stas aparezcan en la grfica y no como una iteracin de derivadas. Es por ello que las actividades realizadas aqu tienen relacin con grficas y con movimiento. Las tres actividades que se formularon al respecto representan distintos tipos de movimiento a travs de grficas, para este efecto se usaron sensores y calculadoras grficas.

En la actividad 1 se entregaron tres grficas que representan el movimiento constante, el uniforme y el uniformemente acelerado; despus se pidi que realizaran fsicamente los movimientos necesarios para que el sensor dibuje las grficas entregadas, para lograr de esta manera la relacin entre movimientoy grfica. En la actividad 2 se presentan los mismos tipos de movimientos que en la actividad anterior, pero en cada uno de ellos debern identificar la curva de entre

f (x(x( )

f (x+h(x+h( ) ?

x+hx



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un conjunto que se propuso y argumentar por qu son de esta manera; as se logr reconocimiento de patrones de movimientos y, a partir de ello, argumentos acerca de qu tipo de curvas van apareciendo al ir variando esos patrones. Para este propsito se dieron ciertas grficas que representan variaciones. En la actividad 3, dado un enunciado, se pidi analizarlo y luego entregar la representacin grfica que le corresponde, de esta manera se logra la conexin con las dos actividades anteriores y explicaciones del tipo de movimiento que se est reflejando en el enunciado entregado (ver Anexo).

Momento 2

En este momento se examina la graficacin - modelacin a travs de tres actividades. El objetivo es resignificar las expresiones analticas de las ecuaciones deprimer y de segundo grado. Para ello, se debern utilizar diferencias entre punto inicial y punto final, la cual da sentido a la funcin como a sus derivadas primera y segunda con argumentos de variacin. Las secuencias se realizan en un ambiente de cinemtica.

Las tres actividades fueron las siguientes: en la actividad 1 entregamos un problema de cinemtica en que la velocidad es constante y se pidi predecir la posicin de un mvil en un tiempo determinado, logrando en esta actividad resignificar la ecuacin de la recta, en el sentido de que se pueda interpretar ala pendiente como la velocidad constante y a la interseccin con el eje Y como el punto inicial del movimiento.

En la actividad 2 entregamos otro problema de cinemtica en que se refleja el movimiento acelerado y se pidi predecir la posicin de una partcula en un tiempo determinado, logrando en esta actividad resignificar la ecuacin de segundo grado, en el sentido de que la aceleracin juega un rol en dicha ecuacin, tanto como la velocidad constante y el punto inicial.

En la actividad 3 se da una funcin que representa el movimiento de un mvil, se pidi predecir su posicin, si acaso se acerca o aleja del observador, su velocidad, su aceleracin en un tiempo determinado, etc. y luego comparar estos datos con los de otra funcin de movimiento. Esta actividadpone en evidencia lo realizado en las actividades anteriores que conforman este momento (ver Anexo).

Momento 3

En este momento se examina el modelo de prediccin, para ello se elabor una actividad para integrar los elementos obtenidos en las actividades anteriores en



una expresin que representa los primeros trminos de una Serie de Taylor. La pregunta de prediccin trata de lo siguiente: dados A y la variacin de A de acuerdo al movimiento, se pregunta por B (ver Anexo).

3.4. Aspectos generales del diseo

En trminos generales la estructura del diseo rescata el aspecto funcional de la Serie de Taylor y destaca la importancia de conocer y analizar el uso delas grficas en la situacin que esta investigacin aborda. Todas las actividades planteadas en los momentos estn interrelacionadas, es a partir de la actividad 1, momento 1, que comienza la ilacin con el resto de lo planteado en el diseo. Por otro lado, la estructura del diseo logra que existan dos componentes esenciales, a saber, la prediccin y la modelacin, que se ven reflejados en los tres momentos del diseo. A continuacin, en la figura 2, presentamos lo que queremos lograr en los tres momentos, en trminos de resignificacin y cmo estn articulados entres: en el momento 1, se relacionan tipos de movimiento y patrones grficos; en el momento 2, se establecen comportamientos grficos, segn la variacin de parmetros de las funciones lineales y cuadrticas; por ltimo en el momento 3, se modela la prediccin segn las variaciones simultneas. La resignificacin de la ST, sucede cuando en las grficas que expresan el movimiento se reconoce el estado inicial y final as como sus variaciones del mismo.

Figura 2. Resignificacin de la Serie de Taylor en su aspecto funcional

M1 M2

M3

graficacin modelacin

y=ax+b

y=ax2+bx+c

movimiento grfica

constante uniforme no uniforme

prediccin

f (x(x( +h) f f (x(x( )+x)+x f)+f)+ (x(x( )x)x h+ f (x(x( )x)x h2

2!



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3.5. Aspectos Metodolgicos

Con el propsito de generar una matemtica funcional y trabajar con epistemologasde prcticas se debe identificar al grupo humano y cmo ellos se organizan para poderobservar cul es la prctica que emerge. Una vez identificada esa prctica socialy el querer insertar dicha prctica y desarrollarla con intencionalidad enel sistema didctico, debe ser reinterpretada; es por eso que se forma una categorade la prctica social (C(PS)), ausente en el currculo, donde en una situacin especfica, dicha prctica pasa a ser el argumento que sostiene la situacin (figura 3).

Figura 3. Prctica social y categora situacional

En nuestro caso trabajamos con las prcticas de prediccin y graficacin-modelacin, ambas con su categora: para la primera la comparacin de dos estados y para la segunda el comportamiento con tendencia.

Ahora bien, el aspecto metodolgico que gua la recoleccin de datos ocupa elementos de la Ingeniera Didctica (Farfn, 1997), los cuales tiene que ver con unanlisis a priori de una epistemologa hipottica (resignificacin de la ST), una puesta en escena (situacin de modelacin de movimiento) y un anlisis a posteriori (lo que realmente hicieron los estudiantes). La confrontacin entre ambos anlisis generar una epistemologa revisada, la cual ser la conclusindel anlisis (Buenda, 2004).

El diseo ha sido aplicado a tres grupos de estudiantes de la Pontificia Universidad Catlica de Valparaso (PUCV). El primer grupo (G1) estuvo conformado por dos estudiantes, quienes se encontraban en el sexto semestre de la carrera de Pedagoga en Matemticas y cursaban la asignatura Anlisis Real 2.

GrupoHumano

PrcticaSocial(PS)

DiseoSituacinIntencionalidad

Epistemologa

C(PS)



El segundo grupo (G2) estuvo formado por tres estudiantes, que se encontraban en el primer semestre de la carrera, por lo que estaban cursando la asignatura de Clculo 1. El tercer y ltimo grupo (G3) lo constituyeron tres estudiantes, alumnos de primer ao de Bachillerato en Ciencias, quienes ya tenan aprobado las asignaturas de Matemticas 1 y Matemticas 2 (que incluan las materias de Clculo 1).

Trabajar con ocho alumnos de diferentes niveles en matemticas, particularmente en Clculo, nos permiti tener ms variedad de argumentos paraanalizar y de esta manera brindar alguna respuesta al problema planteado. Es importante sealar que los estudiantes que participaron en el desarrollo del diseo accedieron de forma voluntaria y estuvieron de acuerdo con que las sesiones fueran grabadas.

Cada uno de los grupos atendi la SM-M en un tiempo aproximado de dos horas en que interactuaron entre pares y, cuando surgi alguna duda, podan solicitar al profesor (en este caso, la autora) que les respondiera o aclarara alguna inquietud siempre con un espritu de gua y no con la intencin de proporcionar una respuesta explcita.

Cabe mencionar que los participantes utilizaron tecnologa, especficamente la calculadora TI 84 y el sensor de movimiento CBR2.

4. RESIGNIFICACIN DE LA SERIE DE TAYLOR

En esta seccin presentamos algunas de las producciones realizadas por los estudiantes que dan cuenta de nuestro objetivo en esta investigacin. Se muestran tres ejemplos, uno de cada momento del diseo, enfocados en tres elementos importantes que dan cuenta de la resignificacin de la Serie de Taylor. El primer ejemplo evidencia la simultaneidad de las derivadas, el segundo la relacin graficacin-modelacin y el tercero da evidencia de una construccin del modelo de prediccin.

Estos ejemplos identifican los elementos importantes que dan cuenta del objetivo trazado. Para esto el centro de atencin fue el movimiento: se partedel hecho de obtener una relacin movimiento-grfica para incentivar construir un modelo de prediccin. Todo esto conlleva la resignificacin de la Serie de Taylor en una situacin especfica (SM-M), donde la categora de prediccin puesta en juego logra plasmar un debate frente al conocimiento que emerge.



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Las evidencias que se muestran son algunos extractos de las producciones de los grupos, con la nomenclatura E1G1, E2G1, E1G2, E2G2, E3G2, E1G3, E2G3,E3G3. Por ejemplo, E1G1 se refiere al estudiante 1 del grupos 1.

4.1. Simultaneidad de las derivadas

En este momento se dar evidencia de la simultaneidad de las derivadas, es por esto que nuestro objetivo central es el identificar la relacin movimiento-grfica. En las producciones de los estudiantes podemos dar cuenta que logran la relacin movimiento-grfica y, ms an, identifican qu clase de movimiento es el que se est representando. Se exhiben, adems, conexiones con su conocimiento matemtico previo al que recurren de manera natural, por ejemplo, conectan con sus nociones de cinemtica (velocidad constante y aceleracin) y con aspectos observados en la grfica tales como que es creciente o decreciente o se parece auna curva conocida, entre otros. Tambin logran reconocer patrones de comportamientos mencionando explcitamente qu es lo que vara para explicar las distintas curvas presentadas. Se identificaron expresiones tales como: vara, velocidad constante, a una misma velocidad, distintos puntos de partida, velocidadmayor, velocidad creciente, se alejan, etc.

De acuerdo con lo planteado, dentro de las funciones que dan como respuesta, identifican cul sera la variable que cambia (la variable independiente), identificanlas curvas con cuerpos u objetos que estn o no en movimiento. Cabe mencionarque la tecnologa en esta actividad juega un rol especial: no se le pide al estudiante quegrafique, ms bien, que dada la grfica (obtenida por la calculadora) y el contextode la actividad, el estudiante pueda generar una argumentacin grfica.

A continuacin presentamos un ejemplo que da cuenta de lo mencionado anteriormente, con la finalidad de apreciar cmo es que los estudiantes responden con elementos como el de reconocer qu tipo de movimiento est representadoen las grficas (figura 4), as como el declarar qu expresin analtica representa la grfica (figura 5). Adems, hemos agregado parte de un dilogo con la intencin de reflejar la conversacin dentro del grupo y cmo es que ellos argumentan para validar su respuesta, abordando aspectos como el rol que juega la grfica, el tipo de movimiento y las conexiones que hacen; es as que se visualizan dos aspectos claros: el de identificar qu tipo de curva es lo que representa la grfica, parbola, exponencial u otra (figura 4) y cmo tratan de identificar en funcin de la grfica qu expresin analtica sera. Es justamente en este ejercicio que se declara que tienen identificado el tipo de movimiento (figura 5).



TABLA IIIdentificacin del movimiento

Figura 4. El movimiento representado en la grfica

E3G3 es una curva s, peroE1G3 es una linda parbola que sera comoE3G3 una parbola una cuadrtica, una cosa as?E2G3 yo creo que sera una exponencialE2G3 la otra sera como una exponencial pero con el

dominio restringidoE1G3 tambin podra ser peroE1G3 una ax2+bx+c, una ecuacin de la recta no podra

ser?E2G3 eh una x2, un puro x positivo, pero depende si te

coloca menos tanto ms tantoE1G3 podra ser una cuadrtica E2G3 es que sera como media parbolaE3G3 s, como lo mismo, imagnateE1G3 pero podra ser en una de esas una cuadrtica

o no?

TABLA IIIExpresin analtica en relacin con el movimiento

Figura 5. La frmula representada en la grfica

E3G3 s, porque ac no se le sumas b o algo as y ah la parbola queda as, pero tienes que sacarle el resto.

E1G3 pero esa frmula podra ser porque, te acuerdas del lanzamiento de proyectil? Lo que daba la lo que daba una frmula, pongamos partimos Ttomas tiempo positivo y tiempo negativo, te acuerdas?A ti te pueden salir dos tiempos, nos haban explicadoque el tiempo positivo ya es cuando supongamos t dejas caer un objeto y La, la, la, la, la y cae y el tiempo negativo sera como porque la frmula no te margina si, si lo ests lanzando desde abajo no te margina, no te hace parar la curva. no te da la curva desde ac hasta ac, no te da en la frmula, as te va a dar entero, por eso el tiempo negativo, el tiempo negativo sera como que parte desde ac.

E3G3 por qu as?E2G3 porque esa es la frmula de distancia del

movimiento acelerado, uniformemente aceleradoE3G3 s?E1G3 podra serE3G3 pero esprate qu es c ac?E2G3 c seria el intercepto de donde parte, ya x ya x2 una

cuadrticaE1G3 distancia tiempo, claroE2G3 que en pocas palabras es velocidad por tiempo y

eso es un medio de la aceleracin por el tiempo al cuadrado

E1G3 pero ese sera semejante a ese de la posicin final y todo eso?

E2G3 s, si distancia es esoE1G3 posicin inicial menos posicin final

c) distancia

tiempo

c) distancia

tiempo



336

4.2. Modelacin-Graficacin

Daremos evidencia de la relacin graficacinmodelacin puesto que se puede visualizar en las producciones de los estudiantes que hacen realizaciones mltiples, identificacin de parmetros y realizacin de ajustes.

El plantear un problema de cinemtica, en que se otorga cierta informacin a los estudiantes, permite percibir que ellos pueden identificar el movimiento descrito y recurren a una representacin grfica, relacionan las variables que entran en juego como son el tiempo y la distancia y pueden interpretar de buenamanera la funcin implicada en las actividades planteadas con los datos entregados;es por esto que pueden predecir la posicin del mvil en el tiempo pedido.

Presentamos dos producciones de grupos de estudiantes, el primero muestracmo relacionan el problema con la primera y la segunda derivada (figura 6) y elsegundo muestra cmo recurren a una representacin grfica (figura 7)para explicar cmo es el movimiento y de qu manera llegan al resultado;con estos ejemplos podemos visualizar que con una representacin grfica (segundo ejemplo) se ampla la mirada a la resolucin del problema en cuestin, ya que recurren a la grfica para poder potenciar su pensamiento y a travsde ella argumentar. Cabe mencionar que la representacin grfica que le corresponda al ejercicio estaba a un nivel funcional, en el sentido de que norecurran a razonamientos lgicos. Una vez realizada la conexin con el movimiento y su expresin analtica, respondan a la pregunta de predecir.

TABLA IVConexin con las derivadas

Figura 6. El movimiento y las derivadas

E1G1 pero, a ver qu pasara?... v0, v en

el tiempo cero este movimiento que hace, recorre una cierta altura cierto?, parte con v

0. Cierto,

verdad? Es igual a 49 y el v finales cero

E2G1 te acuerdas de las ecuaciones diferenciales, qu representaba la velocidad?, cul derivada?...

E1G1 la primeraE2G1 y despus vena laE1G1 la aceleracin entonces aqu hay

algo que se est oponiendo verdad?, esto que sera la fuerza de gravedad g, es igual a menos 10, menos 9,8 metros partido por segundos al cuadrado, esta es aceleracin



TABLA VLa grfica como argumento

Figura 7. Potencialidad de la grfica

E3G3 se lanza un objeto desde el suelo hacia arriba con una velocidad inicial de 42 metros por segundo. Cmo?

E1G3 que hay que ver lo que hace el objeto,el objeto sube y baja, es decir se aleja del observador y vuelve, es decir es como la distancia

E2G3 pero no son rectas, porque es acelerado

E1G3 Ah! Claro, porque cada vez cuando, porque sale con una velocidad, sale con una velocidad que es rpida, que la tira as con fuerza y tiende, y en el punto mximoqueda con velocidad cero y despus comienza con la misma velocidad con que subi comienza a bajar,o sea, tomando en cuenta que es un sistema aislado y no hay viento ni cosas malas que lo afecten, cul sera la grfica del observado enla a?; ya, quin sera?

E2G3 parte desde el origenE1G3 parte desde el origen? y te vas

como as?E2G3 es como una parbola dada vuelta,

a ver

4.3. Construccin de un modelo de prediccin

Daremos evidencia de la construccin de un modelo de prediccin. En la produccin de un grupo de estudiantes se puede apreciar cmo es que elaboran argumentos para dar respuesta al enunciado. Es as que este grupo cuestiona silo que vara es la velocidad o el movimiento y luego enfrenta el problema ponindose en ambos casos. Tambin trabajan en busca de una ecuacin yla relacionan con los datos entregados, se expresan con x

fx

fx y

f y

fx

i en relacin con la

ecuacin encontrada, afirman que slo se necesita la velocidad para determinarf

ecuacin encontrada, afirman que slo se necesita la velocidad para determinarf

la posicin del mvil (figura 8).

En otra seccin de la actividad planteada se puede apreciar cmo se refieren a la variacin de la variacin (figura 9). Relacionan la ecuacin con los datos entregados, es decir, mencionan la variacin de tiempo y la velocidad de un punto a otro, indican que se puede predecir D si la variacin de la variacin es constante, tambin hacen referencia a cmo debe ser el tiempo, indican que se puede conocer la posicin D.



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Reconocen que para obtener lo pedido se debe encontrar las variables previas, es decir, para obtener C en el primer dibujo se debe obtener B primero. De igual manera proceden para el segundo dibujo pero mencionan que la velocidad es negativa entre B y C debido a que se est acercando al observador, esa expresin es un ejemplo de que conectan con las actividades desarrolladas anteriormente. Es interesante hacer notar que en esta parte de la actividad no se les entreg un dibujo o grfica pero los estudiantes realizan uno y afirmanque se puede predecir D, que es una de las preguntas realizadas, si la variacin de la variacin es constante y hacen alusin al rol que juega el tiempo.

Figura 8. Identificacin de variables y de la frmula

Figura 9. Construccin de un modelo de prediccin



5. CONCLUSIONES

Se ha formulado y discutido una resignificacin de la Serie de Taylor en una SM-Mconsecuente con el objetivo de la Socioepistemologa el cual consiste en realizar un rediseo del discurso matemtico escolar (RdME) para rehabilitar lo funcional de la matemtica. Por ende, es importante resignificar los objetos matemticos. El dME ordinario no es el adecuado, es por esto que problematizamos sobre el discurso del clculo escolar y el rol de la analiticidad de las funciones expresado en la Serie de Taylor, brindando una mirada desde lo epistemolgico: con la obra deNewton se da fuerza a la relacin Serie de Taylor-prediccin donde se aprecia su aspecto funcional.

El escenario ad hoc para poder cumplir con el diseo de acuerdo con la epistemologa mencionada al principio fue la formulacin de la Situacin de Modelacin del Movimiento en la que se ref lej la prctica de graficacin-modelacin enlazada con la prctica de predecir, con sus categoras correspondientes: comportamiento con tendencia y comparacin de dos estados.

El diseo y la puesta en escena de la SM-M permiti ver de qu manera se relacionan temas, como por ejemplo, funciones, el describir funcin creciente, decreciente, los acercamientos a la definicin de derivada y a las argumentacionesgrficas con relacin a la cinemtica, nociones como velocidad constante, aceleracin, expresiones analticas y cul es la profundidad que se requiere para dar respuesta a una problemtica educativa. Es por esto que podemos hacer referencia a cmo ocupan dichos contenidos, en otras palabras, la mirada en este caso no apunta a los conceptos (que se deberan aprender) sino ms bien a cmo son usados, cmo se produce un quiebre cuando comienzan a cuestionar algunas cosas que crean saber y de esta manera comenzar a ubicar sus conocimientos, sus puntos de vista, sus interpretaciones, sus consensos, sus argumentos en ellos mismos y frente a sus compaeros. Es as como se pudo observar que el conocimiento que los estudiantes tratan en las materias de matemticas ordinariasque tienen consigo al momento de trabajar la situacin (SM-M) est en un cierto nivel que no es suficiente. Se requiri hacer conexiones tanto de grficas como de funciones, imaginar cmo debera ser cierto comportamiento de movimiento, etc. Se pudo palpar cmo dichos conocimientos los ocuparon al momento de predecir, cmo es que una curva dibujada no es lo mismo que plantear un problema y deducir la curva, los movimientos con velocidad constante y con aceleracin se pudieron ver representados en una grfica y los estudiantes pudieron participar de dichos movimientos y ver reflejado aquello en una grfica que una calculadora les mostraba. En resumen, el estudiante tuvo la necesidad de involucrarse de



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manera real y vivencial a lo propuesto, conect temas, argument sus ideas, creestrategias, record y relacion materias que hoy en da se ensean desconectadasy dejamos la tarea al estudiante para que las conecte.

Por otro lado, si analizamos una mirada desde el punto de vista pedaggico, no se trata de realizar una actividad para ver cmo se aprende un tema especfico sino qu contenido matemtico deber ponerse en juego. Precisamente eldiseo pone en evidencia el qu, trastoca la matemtica brindando una situacin especfica ausente en el currculo y la manera en que afloran temas matemticos y sus posibles conexiones. En otras palabras, las articulaciones que pueden surgir con la propuesta del diseo en cuestin.

Los resultados de esta investigacin sealan una perspectiva que deber ser atendida desde su aspecto terico-metodolgico: la resignificacin matemtica en otro dominio y en la alternancia de dominios de conocimiento. Aqula aproximacin fue incipiente, pero no por eso menos importante: el diseode la situacin con base en una epistemologa precis la resignificacin de la ST en contextos argumentativos, su carcter funcional destac la analiticidadde las funciones.

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ANEXO

DISEO DE LA SITUACIN APLICADO

Momento 1

Actividad 1

Se muestran tres grficas que representan distintos movimientos, ya sea de persona o de una pelota. Utilizando calculadora grfica y sensores realice los movimientos necesarios para reproducir cada una de esas grficas. (Indique la ubicacin del sensor en cada grfica)

a) b) c)

Actividad 2

A continuacin encontrar cuatro grficas cartesianas, en cada una de las cuales se ha dibujado un grupo de curvas.

i) Para cada grupo, describa los patrones de movimientos necesarios para obtener las curvas dibujadas.

ii) Qu tipo de funciones daran las mismas grficas?

a) b)

c) d)

a) b) c)a) b) c)a) b) c)

distancia

tiempo

a) b) c)a) b) c)

distancia

tiempo

distancia

tiempo

a) b)

distancia

tiempo

distancia

tiempo

distancia

tiempo

c) d)

distancia

tiempo



Actividad 3

Suponga que usted toma datos con un sensor de los movimientos indicados.Una persona que est a su lado comienza a moverse con velocidad constante hasta un poste situado a 50 metros de distancia y se detiene por cinco minutos, luego regresa al lugar de partida.

a) Construya una grfica que describa el movimiento realizado por la persona, desde que parte hasta que regresa.

b) Suponga ahora que la persona parte desde el poste, se acerca a usted a una velocidad constante, se detiene cinco minutos y regresa al poste. Cul sera la grfica del movimiento realizado?

c) Realice una comparacin fundamentada de las grficas obtenidas en los incisos a) y b).

Momento 2

Actividad 1

Un automvil transita por una carretera recta. El automvil viaja con una velocidad constante de 63 metros/segundo. Usted se encuentra al lado de la carretera y dispone de un sensor, suponga que en el momento que empieza a medir el tiempo, el automvil se encuentra a 20 metros a la derecha y se aleja de usted.

a) Cul es la grfica obtenida por el sensor para establecer la relacin entre las variables t y d?

b) Prediga la posicin del mvil en un tiempo t =17 segundos

Actividad 2

Un observador lanza un objeto desde el suelo hacia arriba con una velocidad inicial v

0= 49m_s .

a) Cul es la grfica que el observador hara para establecer la relacin entre las variables t y t y t d?

b) Prediga la posicin del objeto cuando han transcurrido segundos.



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Actividad 3

La funcin f (t) = 49t +4.9t 2 representa el movimiento de un mvil respectode un observador.

a) Indique si el mvil se acerca o se aleja del observador

b) Prediga cul es la posicin del mvil en el tiempo t = 4

c) Prediga la velocidad del mvil en el tiempo t = 4

d) Indique la aceleracin del mvil en el tiempo t = 4 y en el tiempo t =8

e) La funcin f (t) =25t +8t 2 representa el movimiento de otro mvil. Qu puede decir de su velocidad y su aceleracin en relacin con las del primer mvil?

Momento 3

Actividad 1

a) En la siguiente figura, A y B representan la posicin de un mvil en tiempos diferentes. Se supone que usted slo conoce A y la variacin deA a B (pero no B). Construya un modelo que le permita predecir B a partir de esos datos.

b) Suponiendo que se conoce A, la variacin de A a B y la variacin deB a C (pero no C (pero no C B ni C) construya un modelo que le permita predecir By tambin C a partir de esos datos.C a partir de esos datos.C

A

B

A

CB

A C

B



c) De acuerdo con la experiencia obtenida en los casos anteriores, construya un modelo predictivo de la posicin futura del mvil si usted conoce:

Posicin inicial del mvil A Variacin entre los puntos A y B Variacin de la variacin, obtener el punto C

Puede con esto predecir D?

Autores

Astrid Morales Soto. Pontificia Universidad Catlica de Valparaso, Chile. [email protected]

Francisco Cordero Osorio. Centro de Investigacin y de Estudios Avanzados, Mxico. [email protected]

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